专题27 关系式法
微专题27 双星与多星问题-2025版高中物理微专题
微专题27双星与多星问题【核心要点提示】(1)核心问题是“谁”提供向心力的问题．(2)“双星问题”的隐含条件是两者的向心力相同、周期相同、角速度相同；双星中轨道半径与质量成反比；(3)多星问题中，每颗行星做圆周运动所需的向心力是由它们之间的万有引力的合力提供，即F 合＝m v 2r ，以此列向心力方程进行求解．【微专题训练】【例题1】(2018·全国Ⅰ卷，20)(多选)2017年，人类第一次直接探测到来自双中子星合并的引力波．根据科学家们复原的过程，在两颗中子星合并前约100s 时，它们相距约400km ，绕二者连线上的某点每秒转动12圈．将两颗中子星都看作是质量均匀分布的球体，由这些数据、万有引力常量并利用牛顿力学知识，可以估算出这一时刻两颗中子星()A ．质量之积B ．质量之和C ．速率之和D ．各自的自转角速度BC[两颗中子星运动到某位置的示意图如图所示每秒转动12圈，角速度已知，中子星运动时，由万有引力提供向心力得Gm 1m 2l 2＝m 1ω2r 1①Gm 1m 2l 2＝m 2ω2r 2②l ＝r 1＋r 2③由①②③式得Gm 1＋m 2l 2＝ω2l ，所以m 1＋m 2＝ω2l 3G，质量之和可以估算．由线速度与角速度的关系v ＝ωr 得v 1＝ωr 1④v 2＝ωr 2⑤由③④⑤式得v 1＋v 2＝ω(r 1＋r 2)＝ωl ，速率之和可以估算．质量之积和各自自转的角速度无法求解．]【变式1】(2017·吉林长春调研)2016年2月12日，美国科学家宣布探测到引力波，证实了爱因斯坦100年前的预测，弥补了爱因斯坦广义相对论中最后一块缺失的“拼图”。
双星的运动是产生引力波的来源之一，假设宇宙中有一双星系统由a 、b 两颗星组成，这两颗星绕它们连线的某一点在万有引力作用下做匀速圆周运动，测得a 星的周期为T ，a 、b 两颗星的距离为l ，a 、b 两颗星的轨道半径之差为Δr (a 星的轨道半径大于b 星的轨道半径)，则()A ．b 星的周期为l －Δrl ＋ΔrT B ．a 星的线速度大小为πl ＋Δr T C ．a 、b 两颗星的半径之比为l l －Δr D ．a 、b 两颗星的质量之比为l ＋Δr l －Δr[解析]a 、b 两颗星是围绕同一点运行的双星系统，故周期T 相同，选项A 错误；由r a －r b ＝Δr ，r a ＋r b ＝l ，得r a ＝l ＋Δr 2，r b ＝l －Δr 2，所以r a r b ＝l ＋Δrl －Δr ，选项C 错误；a 星的线速度v ＝2πr a T＝πl ＋Δr T，选项B 正确；由m a ω2r a ＝m b ω2r b ，得m a m b ＝r b r a ＝l －Δrl ＋Δr，选项D 错误。
专题27 功和功率（解析版）
专题27功和功率1.功的正负的判断方法2.计算功的方法3.几种力做功比较(1)重力、弹簧弹力、电场力、分子力做功与位移有关,与路径无关。
(2)滑动摩擦力、空气阻力、安培力做功与路径有关。
(3)摩擦力做功有以下特点:①单个摩擦力(包括静摩擦力和滑动摩擦力)可以做正功,也可以做负功,还可以不做功。
②相互作用的一对静摩擦力做功的代数和总等于零;相互作用的一对滑动摩擦力做功的代数和不为零,且总为负值。
③相互作用的一对滑动摩擦力做功过程中会发生物体间机械能转移和机械能转化为内能,内能Q=F f x相对。
4.求变力做功的方法方法以例说法应用动能定理用力F把小球从A处缓慢拉到B处,F做功为W F,则有W F-mgl(1-cos θ)=0,得W F=mgl(1-cos θ)微元法质量为m的木块在水平面内做圆周运动,运动一周克服摩擦力做功W f=F f·Δx1+F f·Δx2+F f·Δx3…=F f(Δx1+Δx2+Δx3…)=F f·2πR功率法汽车以恒定功率P在水平路面上运动t时间的过程中,牵引力做功W F=Pt等效 转换法恒力F 把物块从A 拉到B,绳子对物块做功W=F ·(hsin α-hsin β)平均 力法弹簧由伸长x 1被继续拉至伸长x 2的过程中(在弹性限度内),克服弹力做功W=F (x 2-x 1)图象法一水平拉力F 0拉着一物体在水平面上运动的位移为x 0,图线与横轴所围面积表示拉力所做的功,即W=F 0x 0【典例1】[恒力做功]如图所示，质量为m 的物体置于倾角为θ的斜面体上，物体与斜面体间的动摩擦因数为μ，在外力作用下，斜面体沿水平方向向左做匀速运动，水平位移为L ，运动中物体与斜面体相对静止｡则关于斜面对物体的摩擦力和支持力的做功情况，下列说法中正确的是( )A. 摩擦力做的功为−mgLsinθB. 摩擦力做的功为−μmgLcosθC. 支持力做的功为mgLcosθD. 支持力做的功为mgLsinθcosθ【答案】D【解析】AB.对物体进行受力分析如图：根据受力分析可得摩擦力f =mgsinθ，由功的计算公式W =FScosθ，得摩擦力做的功W =−mgLsinθcosθ，故AB 错误；CD.斜面对物体的支持力F N =mgcosθ，得支持力做的功W =mgLsinθcosθ，故C 错误，D 正确。
专题27 论证方法与论证思路(两大考法,两个知识点)(课件)-2024年中考语文二轮复习讲练测
的精气神。今天，我们正在推进中国式现代化，这是一个探索性事业，呼唤着大批创
2024年中考语文二轮复习讲练测
议论文阅读
专题27 论证方法与论证思路
——两大考法，两个知识点
2024年中考语文二轮复习讲练测
目录
CONT ENT S
01
考情分析
02
知识建构
03
题型特训
2024年中考语文二轮复习讲练测
第一部分
考情分析
2024年中考语文二轮复习讲练测
2022版课标中对于议论文阅读的考查，有如下几点。 1.阅读简单的议论文，能区分观点与材料（道理、事实、数据、图表等），发现 观点与材料之间的联系，并通过自己的思考，作出判断。阅读新闻和说明性文章，能 把握文章的基本观点，获取主要信稿息定。PP阅T读科技作品，还应注意领会作品中所体现的 科学精神和科学思想方法。阅读由稿多定P种PT材，海料量组素合材持、续较更为复杂的非连续性文本，能领会
考法一 论证方法及作用
（2023·内蒙古呼和浩特）阅读下面选文，完成下面小题。
奋跃而上，激扬青春力量
张凡
①青年者，人生之华也。人们总是把最美好的词语赋予青春，把最热忱的希望寄予青
年。一代代青年在心系家国、无畏稿向定前P的PT奋斗中，回答着“青年何谓”“青春何为”的
人生考题。
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文本的意思，得出有意义的结论。款适合你 2.阅读关于生活感悟、生活哲理方面的优秀作品，学习思考与表达的方法，结合
生活经验和阅读材料，阐述自己的感悟和观点。
2024年中考语文二轮复习讲练测
3.阅读诗话、文论、书画艺术论的经典片段，尝试运用其中的观点欣
赏、评析作品。
高考物理一轮复习专题27法拉第电磁感应定律(原卷版+解析)
专题27 法拉第电磁感应定律目录题型一实验：探究影响感应电流方向的因素 (1)题型二感应电流的产生和方向判断 (4)题型三楞次定律推论的应用 (6)题型四“三定则、一定律”的应用 (9)题型五法拉第电磁感应定律的理解及应用 (10)题型六导体切割磁感线产生的感应电动势 (13)类型1 平动切割磁感线 (14)类型2 转动切割磁感线 (15)类型3 有效长度问题 (16)题型六自感现象 (17)题型一实验：探究影响感应电流方向的因素1．实验设计如图2所示，通过将条形磁体插入或拔出线圈来改变穿过螺线管的磁通量，根据电流表指针的偏转方向判断感应电流的方向。
2．实验结论当穿过线圈的磁通量增加时，感应电流的磁场与原磁场的方向相反；当穿过线圈的磁通量减小时，感应电流的磁场与原磁场的方向相同。
3．注意事项实验前应首先查明电流表中电流的流向与电流表指针偏转方向之间的关系，判断的方法是：采用如图所示的电路，把一节干电池与电流表及线圈串联，由于电流表量程较小，所以在电路中应接入限流变阻器R，电池采用旧电池，开关S采用瞬间接触，记录指针偏转方向。
【例1】探究感应电流方向的实验所需器材包括：条形磁体、电流表、线圈、导线、一节干电池(用来查明线圈中电流的流向与电流表中指针偏转方向的关系)．(1)实验现象：如图所示，在四种情况下，将实验结果填入下表．①线圈内磁通量增加时的情况①线圈内磁通量减少时的情况请填写表格中的空白项．(2)实验结论：当穿过闭合线圈的磁通量增加时，感应电流的磁场与原磁场方向________(选填“相同”或“相反”)．(3)总结提炼：感应电流具有这样的方向，即感应电流的磁场总要阻碍引起感应电流的________．(4)拓展应用：如图所示是一种延时继电器的示意图．铁芯上有两个线圈A和B.线圈A和电源连接，线圈B与直导线ab构成一个闭合回路．弹簧K与衔铁D相连，D的右端触头C 连接工作电路(未画出)．开关S闭合状态下，工作电路处于导通状态．S断开瞬间，延时功能启动，此时直导线ab中电流方向为________(选填“a到b”或“b到a”)．说明延时继电器的“延时”工作原理：________.【例2】在“探究电磁感应的产生条件”的实验中，先按如图甲所示连线，不通电时，电流计指针停在正中央，闭合开关S时，观察到电流表指针向左偏。
专题27 基本不等式中常见的方法求最值(解析版)
专题27 基本不等式中常见的方法求最值一、例题选讲 题型一、消参法消参法就是对应不等式中的两元问题，用一个参数表示另一个参数，再利用基本不等式进行求解.解题过程中要注意“一正，二定，三相等”这三个条件缺一不可！例1、(2017苏北四市期末）. 若实数x ，y 满足xy ＋3x ＝3⎝⎛⎭⎫0＜x ＜12，则3x ＋1y －3的最小值为________． 【答案】 8【解析】解法1 因为实数x ，y 满足xy ＋3x ＝3⎝⎛⎭⎫0＜x ＜12，所以y ＝3x－3(y ＞3)， 所以3x ＋1y －3＝y ＋3＋1y －3＝y －3＋1y －3＋6≥2(y －3)·1y －3＋6＝8，当且仅当y －3＝1y －3，即y ＝4时取等号，此时x ＝37，所以3x ＋1y －3的最小值为8.解法2 因为实数x ，y 满足xy ＋3x ＝3⎝⎛⎭⎫0＜x ＜12，所以y ＝3x －3(y ＞3)，y －3＝3x－6＞0， 所以3x ＋1y －3＝3x ＋13x －6＝3x －6＋13x －6＋6≥2⎝⎛⎭⎫3x －6·13x －6＋6＝8，当且仅当3x －6＝13x －6，即x ＝37时取等号，此时y ＝4，所以3x ＋1y －3的最小值为8.例2、（2013徐州、宿迁三检）若0,0a b >>，且，则的最小值为 ．【解析】由已知等式得222122a b ab a b b ++=+++，从而212b b a b-+=，21222b b a b b b -++=+131222b b =++1122≥+=题型二、双换元若题目中含是求两个分式的最值问题，对于这类问题最常用的方法就是双换元，分布运用两个分式的分母为两个参数，转化为这两个参数的不等关系例3、(2015苏锡常镇、宿迁一调）已知实数x ，y 满足x >y >0，且x ＋y ≤2，则2x ＋3y ＋1x －y的最小值为________．【答案】3＋224【解析】设⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3y ＝m ，x －y ＝n .解得⎩⎨⎧x ＝m ＋3n4，y ＝m －n4.所以x ＋y ＝m ＋n 2≤2，即m ＋n ≤4.设t ＝2x ＋3y ＋1x －y ＝2m＋1n ，所以4t ≥⎝⎛⎭⎫2m ＋1n (m ＋n )＝3＋2n m ＋m n ≥3＋2 2.即t ≥3＋224，当且仅当2n m ＝mn ，即m ＝2n 时取等号．例4、（2013徐州、宿迁三检）若0,0a b >>，且，则的最小值为 ． 【答案】 【解析】所以332222m n a b +=+-，因为33113()()22222222m n m n m n m n n m+=++=++≥+所以332222m n a b +=+-≥题型三、1的代换1的代换就是指凑出1，使不等式通过变形出来后达到运用基本不等式的条件，即积为定值，凑的过程中要特别注意等价变形。
专题27 根与系数关系的非对称运用-2021年高考数学一轮复习优拔尖必刷压轴题(选择题、填空题)
专题27 根与系数关系的非对称运用【方法点拨】在一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠中，若0∆>，设它的两个根分别为12,x x ，则有根与系数关系：12b x x a +=-，12cx x a=，借此我们往往能够利用韦达定理来快速处理12x x -、1211x x +、2212x x +之类的“对称结构”，但有时，我们会遇到涉及的不同系数的代数式的应算，比如求21x x 、12x x λμ+之类的结构，就相对较难地转化到应用韦达定理来处理了.特别是在圆锥曲线问题中，我们联立直线和圆锥曲线方程，消去 x 或 y ，也得到一个一元二次方程，我们就会面临着同样的困难，可采用反过来应用韦达定理，会有较好的作用.【典型题示例】例1 已知圆()22:18C x y ++=，定点()1,0A ，M 为圆上动点，点P 在AM 上，点N在CM 上，且满足2AM AP =,0NP AM =,点N 的轨迹为曲线E . （1）求曲线E 的方程；（2）过定点()0,2F 的直线交曲线E 于不同的两点G 、H (点G 在点F 、H 之间)，且满足FG FH =λ,求λ的取值范围.【分析】求λ的取值范围，突破口在于将FG FH =λ转化为12=x x λ，可以直接用向量转化，也可以用三角相似转化.下一步关键在于如何将λ和k 联系，处理策略是()2121212x x x x +=γ++γ，这样就建立了λ和k 联系，再利用k 的取值范围就能求出λ的范围.【解析】(1)∵2AM AP =,0NP AM =.∴NP 为AM 的垂直平分线，∴NA NM =又∵CN NM +=,∴2CN AN +=>∴动点N 的轨迹是以点()0C -1，，()1,0A为焦点的椭圆，且椭圆长轴长为2a =，焦距222,1,1c a c b ====.∴曲线E 的方程2212x y +=.（3）当直线GH 斜率存在时，设直线GH 方程为2y kx =+，代入椭圆方程2212x y +=，得2214302k x kx ⎛⎫+++=⎪⎝⎭，由0>∆得232k >.设()()1122,,,G x y H x y ，122248=1122k k x x k k --+=++(1)，1222361122x x k k ==++(2) ∵=FG FH λ,∴()()11122122,2,2,x x y x y x x x -=λ-∴=λ∴λ=， ()()()2222113232+2=1231+232k k k ⇒λ+=λ⎛⎫+ ⎪⎝⎭∵2233216,4,12332k k >∴<<⎛⎫+ ⎪⎝⎭∴116142.3,0133<λ++<<λ<<λ<λ113∴<λ< 又当直线HG 斜率不存在方程110,,33x FG FH ==λ=，∴111,133⎡⎫≤λ<λ∈⎪⎢⎣⎭，. 例2 函数321()13f x ax ax x =-++在12,x x 处有极值，且2115x x <≤，求a 的取值范围.【答案】915⎛⎤ ⎥⎝⎦，【解析】令2()210f x ax ax '=-+=，则有122x x +=，121x x a=令21x t x =，则21x tx =(15t <≤)，得()1211x x t x +=+，2121x x tx =， 所以()()2212121x x t x x t++=，即142a t t =++，因为15t <≤，解得915a <≤. 点评：像这种21x tx =非对称的结构，我们可以通过配凑成正常的韦达定理处理结构来.21x tx =，得()1211x x t x +=+，2121x x tx =，所以()()2212121x x t x x t++=.【巩固练习】1. 设直线l 过点P (0，3)，和椭圆22194x y +=顺次交于 A 、B 两点，则AP PB的取值范围为 .2.椭圆有两顶点A(-1，0)、B(1，0)，过其焦点F(0，1)的直线l 与椭圆交于C 、D 两点，并与x 轴交于点P ．直线AC 与直线BD 交于点Q ． (I)当|CD |=322时，求直线l 的方程； (II)当点P 异于A 、B 两点时，求证：OP OQ ⋅ 为定值.3.椭圆22194x y +=的左右顶点分别为A 、B ，过椭圆的右焦点F 的直线l 交椭圆交于 P 、Q 两点，设直线AP 的斜率为k 1，直线BQ 的斜率为k 2.证明：12k k 为定值.4. 已知A 、B 分别是椭圆2214x y +=的右、上顶点，CD ∥AB ，C 、D 在椭圆上，设直线AC 的斜率为k 1，直线BD 的斜率为k 2.证明：12k k 为定值.5.已知椭圆22143x y +=，M 、N 分别是上、下顶点，过点P (0,1)的直线l 交椭圆于A 、B 两点(异于M 、N )，直线AM 、BN 交于点T .求证：点T 的纵坐标为定值.【答案或提示】1.【答案】115⎡⎫⎪⎢⎣⎭，【解析】设直线l 的方程为：y = kx + 3，代入椭圆方程，消去y 得(9k 2+4)x 2+54kx +45=0(*)则12212254944594k x x k x x k ⎧+=-⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩， 注 意 到1122x x AP PB x x ==，设12xx λ=，则12x x λ=，所 以()1211x x x λ+=+，2121x x x λ=，所以()()2212121x x x x λλ++=，即22132424520k k λλ++=+ .在(*)中，由判别式0∆>，可得259k >， 从而有2232436445205k k <<+，所以136425λλ<++<，解得155λ<<.结合01λ<< ，得115λ<<. 综上，115AP PB≤<. 点评：12x x λ=经常出现在圆锥曲线的题型为：过点Q 的直线与圆锥曲线交于不同的两点 , A 、B ，且满足QA QB λ=之类的，或者是QAQB之类的.其中QA QB λ=，用坐标表示出来后，就可以选择一个较简单的式子来转化到韦达定理；QAQB我们可以设他们的比值为λ，这样可以转化到QA QB λ=，再用同样的办法来解决. 2.【答案】(I) 1y =+或1y =+ ；(II)略.【解析】(Ⅰ)因椭圆的焦点在y 轴上，设椭圆的标准方程为22221(0)y x a b a b +=>>，由已知得1b =，1c =，所以22a =，则椭圆方程为2212y x +=．直线l 垂直于x 轴时与题意不符．设直线l 的方程为1y kx =+，联立221,21,y x y kx ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩得22(2)210k x kx ++-=， 设11(,)C x y ，22(,)D x y ，则22244(2)8(1)k k k ∆=++=+，12222k x x k +=-+，12212x x k =-+，||CD ==．=，解得k =所以直线l的方程为1y =+或1y =+． (Ⅱ)直线l 垂直于x 轴时与题意不符．设直线l 的方程为1y kx =+(0k ≠且1k ≠±)，所以P 点的坐标为1(,0)k-．设11(,)C x y ，22(,)D x y ，由(Ⅰ)知12222k x x k +=-+，12212x x k =-+，直线AC 的方程为：11(1)1y y x x =++，直线BD 的方程为：22(1)1yy x x =--，方法一：联立方程1122(1),1(1),1y y x x y y x x ⎧=+⎪+⎪⎨⎪=-⎪+⎩设00(,)Q x y ，解得12212112012211221(1)1(1)(1)(1)(1)(1)(1)1(1)y x y x y x y x x y x y x y x y x -++++-==-+---+， 不妨设12x x >，则211202112(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)kx x kx x x kx x kx x ++++-=++-+-12122112122()()()()2kx x x x k x x k x x x x +++-=++-+2222k k--===k -， 因此Q 点的坐标为0(,)k y -，又1(,0)P k -，∴1()()01OP OQ k k⋅=-⋅-+=．故OP OQ ⋅为定值． 方法二：联立方程1122(1),1(1),1y y x x y y x x ⎧=+⎪+⎪⎨⎪=-⎪+⎩消去y 得()()211221121212111111y x kx x kx x x x y x kx x kx x +++++==-+-+-，(x 1 、x 2的系数出现了不对称) 又12222kx x k+=-+，12212x x k =-+，12222k x x k =--+， 代入上式可得，2222222222111222211122k k kx x x k k k k k x k k x x k k ⎛⎫⎛⎫-++--+ ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭==--⎛⎫⎛⎫----+- ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭即11x x +-11k k +=-，解得x k =-． 因此Q 点的坐标为0(,)k y -，又1(,0)P k -，∴1()()01OP OQ k k⋅=-⋅-+=．故OP OQ ⋅为定值．3.【证明】令直线PQ 的方程是1x my =+，11(,)P x y ，22(,)Q x y则由22321201x y x my ⎧+-=⎨=+⎩，得()2234690m y my ++-=则122634m y y m +=-+，122934y y m =+(♯) 又1111123y y k x my ==++，2222221y y k x my ==-- 所以()()121121221122133y my k my y y k y my my y y --==++(*) 由(♯)得()121232y y y y m=+，代入(*)得：()()121121212212313122233933222y y y y y k k y y y y y +-+===+++. 4.【答案】14证明：令直线CD 的方程是12y x t =-+，11(,)C x y ，22(,)D x y则由2244012x y y y t ⎧+-=⎪⎨=-+⎪⎩，得222(22)0x tx t -+-= 所以()121121212************ t x t x t y y k k x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-+--+ ⎪⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭==-- ()()()1211221221222222211142424x t x t x t x x x x x x x x x --+--===--.5.【答案】3【证明】设直线l 的方程是1y kx =+，11(,)A x y ，22(,)B x y则由22341201x y y kx ⎧+-=⎨=+⎩，得22(43)880k x kx ++-=所以12122288,4343k x x x x k k +=-=-++，所以12121x x x x k +=又因为11:y AM y x x =+22:y BN y x x =所以(2121y y y y x x +=故y ==3==.。
专题27记叙文阅读之掌控情感主旨-备战中考语文阅读“公式记忆法”
中考语文阅读“公式记忆法”专题记叙文阅读--掌控情感主旨【考点解读】记叙文是主要运用叙述、描写两种表达方式进行叙事、写人、写景、状物，表现人物思想性格和道德风尚，揭示人生哲理和社会本质，反映自然规律等所作的文章。
记叙文的内容，是作者在文中通过各种描写想要表达出来的思想情感。
记叙文的主题，就是作者的写作意图和文章所反映的中心思想。
这两个方面一直是中考语文对记叙文阅读考查的重要考点。
●考点1：通过词语考察情感◎常见题型1、探究文章中“ⅹⅹ”词的丰富意蕴。
2、“ⅹⅹ”词在文中多次出现，说说其作用。
3、“ⅹⅹ”词反复出现，表达作者怎样的思想感情。
◎答题思路1、审清题干，明确题干要求和考查意图。
词语角度把握主题,往往有“内涵”“是什么”"如何理解”“为什么会xx”等标志性词语。
(说明:词语角度把握主题与词语的含义及表达效果有区别，注意辨别。
词语含义及表达效果往往是“从词语角度鉴赏xx”"说说词语的表达效果”“从修辞角度鉴赏”“加点词语运用好在哪里”)2、从词语本义入手，结合句段、全文内容等探究词语的具体指向。
词语本义是什么→在文中指的是什么→从不同角度探究主旨知识卡片1抒情散文：作者情感态度(由景及人，由景及理)叙事散文：人物精神品质(由外及里，由个别到一般）哲理散文：人文精神感悟(由事及理，由物及理)归纳方法归纳法内容关键信息归纳法如抒情语句、议论语句层次顺序分析法要弄清文章叙述了什么事，理清文章层次关系段意串联法汇总中心句，概括文章主旨重复中心法从文中反复出现的词句中发现文章主旨首尾归纳法从首尾段落归纳文章的中心主旨文章标题法从文章标题探究文章的中心主旨3、条理清楚，精准表达。
“XX"一词的意思是……,文中指的是……,抒发了作者……感情/表现了XX(人物/某类人)……精神品质/表达了作者对……的感悟。
◎例题示范课文结尾说:“那是一个幸运的人对一个不幸者的愧怍。
”作者为什么“愧怍”?这种“愧”的感人之处在哪里?（《老王》“积累拓展”）【分析】明确本题要求答出作者“愧怍”的原因，以及对“老王”心存“愧怍”情感的内在夷现，即文章主题。
高考数学一轮复习考点知识专题讲解27---同角三角函数基本关系式及诱导公式
高考数学一轮复习考点知识专题讲解 同角三角函数基本关系式及诱导公式考点要求1.理解同角三角函数的基本关系式sin 2α＋cos 2α＝1，sin αcos α＝tan α.2.掌握诱导公式，并会简单应用．知识梳理1．同角三角函数的基本关系 (1)平方关系：sin 2α＋cos 2α＝1.(2)商数关系：sin αcos α＝tan α⎝ ⎛⎭⎪⎫α≠π2＋k π，k ∈Z .2．三角函数的诱导公式公式一 二三四五 六角2k π＋α(k ∈Z )π＋α－απ－απ2－απ2＋α 正弦sin α－sin α－sin αsin α cos α cos α余弦cos α－cos α cos α－cos αsin α－sin α正切tan αtan α－tan α－tan α口诀奇变偶不变，符号看象限常用结论同角三角函数的基本关系式的常见变形 sin 2α＝1－cos 2α＝(1＋cos α)(1－cos α)； cos 2α＝1－sin 2α＝(1＋sin α)(1－sin α)； (sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α. 思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)若α，β为锐角，则sin 2α＋cos 2β＝1.(×) (2)若α∈R ，则tan α＝sin αcos α恒成立．(×) (3)sin(π＋α)＝－sin α成立的条件是α为锐角．(×) (4)若sin ⎝⎛⎭⎪⎫3π2－α＝13，则cos α＝－13.(√)教材改编题1．已知α是第二象限角，sin α＝55，则cos α的值为． 答案－255解析∵sin α＝55，α是第二象限角， ∴cos α＝－1－sin 2α＝－255.2．已知sin α－2cos α3sin α＋5cos α＝－5，那么tan α的值为．答案－2316解析由sin α－2cos α3sin α＋5cos α＝－5，知cos α≠0，等式左边分子、分母同时除以cos α，可得tan α－23tan α＋5＝－5，解得tan α＝－2316.3．化简cos ⎝⎛⎭⎪⎫α－π2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π2＋α·sin(α－π)·cos(2π－α)的结果为．答案－sin 2α解析原式＝sin αcos α·(－sin α)·cos α＝－sin 2α.题型一 同角三角函数基本关系 例1(1)已知cos α＝－513，则13sin α＋5tan α＝. 答案0解析∵cos α＝－513<0且cos α≠－1， ∴α是第二或第三象限角．①若α是第二象限角， 则sin α＝1－cos 2α＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－5132＝1213， ∴tan α＝sin αcos α＝1213－513＝－125.此时13sin α＋5tan α＝13×1213＋5×⎝ ⎛⎭⎪⎫－125＝0. ②若α是第三象限角， 则sin α＝－1－cos 2α＝－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－5132＝－1213，∴tan α＝sin αcos α＝－1213－513＝125，此时，13sin α＋5tan α＝13×⎝ ⎛⎭⎪⎫－1213＋5×125＝0.综上，13sin α＋5tan α＝0.(2)已知tan α＝12，则sin α－3cos αsin α＋cos α＝；sin 2α＋sin αcos α＋2＝.答案－53135解析已知tan α＝12，所以sin α－3cos αsin α＋cos α＝tan α－3tan α＋1＝－53.sin 2α＋sin αcos α＋2 ＝sin 2α＋sin αcos αsin 2α＋cos 2α＋2＝tan 2α＋tan αtan 2α＋1＋2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋1＋2＝135.(3)已知sin θ＋cos θ＝713，θ∈(0，π)，则tan θ＝. 答案－125解析由sin θ＋cos θ＝713，得sin θcos θ＝－60169， 因为θ∈(0，π)，所以sin θ>0，cos θ<0， 所以sin θ－cos θ＝1－2sin θcos θ＝1713，联立⎩⎪⎨⎪⎧sin θ＋cos θ＝713，sin θ－cos θ＝1713，解得⎩⎪⎨⎪⎧sin θ＝1213，cos θ＝－513，所以tan θ＝－125. 教师备选1．(2022·平顶山联考)已知sin α＋3cos α3cos α－sin α＝5，则cos 2α＋12sin2α等于()A.35 B ．－35C ．－3D ．3答案A解析由sin α＋3cos α3cos α－sin α＝5，得tan α＋33－tan α＝5，可得tan α＝2，则cos 2α＋12sin2α＝cos 2α＋sin αcos α＝cos 2α＋sin αcos αcos 2α＋sin 2α＝1＋tan α1＋tan 2α＝35. 2．若α∈(0，π)，sin(π－α)＋cos α＝23，则sin α－cos α的值为() A.23 B ．－23 C.43 D ．－43 答案C解析由诱导公式得sin(π－α)＋cos α＝sin α＋cos α＝23， 所以(sin α＋cos α)2＝1＋2sin αcos α＝29，则2sin αcos α＝－79<0，因为α∈(0，π)，所以sin α>0， 所以cos α<0，所以sin α－cos α>0， 因为(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝169，所以sin α－cos α＝43.思维升华 (1)应用公式时注意方程思想的应用：对于sin α＋cos α，sin αcos α，sin α－cos α这三个式子，利用(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α，可以知一求二． (2)注意公式逆用及变形应用：1＝sin 2α＋cos 2α，sin 2α＝1－cos 2α，cos 2α＝1－sin 2α.跟踪训练1(1)(2021·新高考全国Ⅰ)若tan θ＝－2，则sin θ(1＋sin2θ)sin θ＋cos θ等于()A ．－65B ．－25 C.25 D.65答案C解析方法一因为tan θ＝－2， 所以角θ的终边在第二或第四象限， 所以⎩⎪⎨⎪⎧sin θ＝25，cos θ＝－15或⎩⎪⎨⎪⎧sin θ＝－25，cos θ＝15，所以sin θ(1＋sin2θ)sin θ＋cos θ＝sin θ(sin θ＋cos θ)2sin θ＋cos θ＝sin θ(sin θ＋cos θ) ＝sin 2θ＋sin θcos θ ＝45－25＝25. 方法二(弦化切法)因为tan θ＝－2， 所以sin θ(1＋sin2θ)sin θ＋cos θ＝sin θ(sin θ＋cos θ)2sin θ＋cos θ＝sin θ(sin θ＋cos θ) ＝sin 2θ＋sin θcos θsin 2θ＋cos 2θ＝tan 2θ＋tan θ1＋tan 2θ＝4－21＋4＝25.(2)已知α是三角形的内角，且tan α＝－13，则sin α＋cos α的值为．答案－105解析由tan α＝－13，得sin α＝－13cos α，将其代入sin 2α＋cos 2α＝1，得109cos 2α＝1， 所以cos 2α＝910，易知cos α<0， 所以cos α＝－31010，sin α＝1010，故sin α＋cos α＝－105. 题型二 诱导公式例2(1)已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝13，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α的值为()A.223 B ．－223 C.13 D ．－13答案D解析cos ⎝⎛⎭⎪⎫π4＋α＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4 ＝－sin ⎝⎛⎭⎪⎫α－π4＝－13. 延伸探究本例(1)改为已知θ是第二象限角，且sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝45，则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝. 答案34解析∵θ是第二象限角，且sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝45， ∴θ＋π4为第二象限角，∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝－35，∴tan ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π4＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4－π2cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4－π2＝－cos ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫－3545＝34.(2)tan(π－α)cos(2π－α)sin⎝⎛⎭⎪⎫－α＋3π2cos(－α－π)sin(－π－α)的值为()A．－2B．－1C．1D．2 答案B解析原式＝－tanα·cosα·(－cosα)cos(π＋α)·[－sin(π＋α)]＝tanα·cos2α－cosα·sinα＝－sinαcosα·cosαsinα＝－1.教师备选1．已知函数f(x)＝a x－2＋2(a>0且a≠1)的图象过定点P，且角α的始边与x轴的正半轴重合，终边过点P，则cos⎝⎛⎭⎪⎫11π2－αsin⎝⎛⎭⎪⎫9π2＋α＋sin2αcos⎝⎛⎭⎪⎫π2＋αsin(－π－α)等于()A.23B．－23C.32D．－32答案B解析易知函数f(x)＝a x－2＋2(a>0且a≠1)的图象过定点P(2,3)，故tanα＝3 2，则cos⎝⎛⎭⎪⎫11π2－αsin⎝⎛⎭⎪⎫9π2＋α＋sin2αcos⎝⎛⎭⎪⎫π2＋αsin(－π－α)＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＋sin2αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋αsin α ＝－sin αcos α＋2sin αcos α－sin αsin α＝－cos αsin α＝－1tan α＝－23. 2．若sin x ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π2，则cos x ·cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π2等于() A.310 B ．－310 C.34 D ．－34答案A解析易知sin x ＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π2＝－3cos x ， 所以tan x ＝－3，所以cos x cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π2 ＝－sin x cos x ＝－sin x cos x sin 2x ＋cos 2x＝－tan x tan 2x ＋1＝310. 思维升华 (1)诱导公式的两个应用①求值：负化正，大化小，化到锐角为终了；②化简：统一角，统一名，同角名少为终了．(2)诱导公式的应用步骤任意负角的三角函数―――――→利用诱导公式三或一任意正角的三角函数――――――→利用诱导公式一0～2π内的角的三角函数――――――→利用诱导公式二或四或五或六锐角三角函数．跟踪训练2(1)已知cos(75°＋α)＝13，求cos(105°－α)＋sin(15°－α)＝. 答案0解析因为(105°－α)＋(75°＋α)＝180°，(15°－α)＋(α＋75°)＝90°，所以cos(105°－α)＝cos[180°－(75°＋α)]＝－cos(75°＋α)＝－13， sin(15°－α)＝sin[90°－(α＋75°)]＝cos(75°＋α)＝13. 所以cos(105°－α)＋sin(15°－α)＝－13＋13＝0. (2)(2022·盐城南阳中学月考)设tan(5π＋α)＝2，则sin (－3π＋α)＋cos (α－π)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－112π＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫9π2＋α＝. 答案3解析由已知tan(5π＋α)＝tan α＝2，sin (－3π＋α)＋cos (α－π)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－112π＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫9π2＋α＝sin (π＋α)＋cos (π－α)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π2＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α ＝－sin α－cos α－sin α＋cos α＝sin α＋cos αsin α－cos α＝tan α＋1tan α－1＝3. 题型三 同角三角函数基本关系式和诱导公式的综合应用例3已知f (α)＝sin (α－3π)cos (2π－α)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－α＋3π2cos (－π－α)sin (－π－α). (1)化简f (α)；(2)若α＝－31π3，求f (α)的值； (3)若cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－α－π2＝15，α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π，3π2，求f (α)的值． 解(1)f (α)＝sin (α－3π)cos (2π－α)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－α＋3π2cos (－π－α)sin (－π－α)＝－sin α×cos α×(－cos α)－cos α×sin α＝－cos α.(2)若α＝－31π3， 则f (α)＝－cos ⎝⎛⎭⎪⎫－31π3＝－cos π3＝－12. (3)由cos ⎝⎛⎭⎪⎫－α－π2＝15， 可得sin α＝－15， 因为α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π，3π2， 所以cos α＝－265， 所以f (α)＝－cos α＝265. 教师备选设f (α)＝2sin (π＋α)cos (π－α)－cos (π＋α)1＋sin 2α＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＋α－sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α(1＋2sin α≠0)． (1)化简f (α)；(2)若α＝－23π6，求f (α)的值． 解(1)f (α)＝(－2sin α)·(－cos α)－(－cos α)1＋sin 2α＋sin α－cos 2α＝2sin αcos α＋cos α2sin 2α＋sin α＝cos α(2sin α＋1)sin α(2sin α＋1)＝cos αsin α＝1tan α. (2)当α＝－23π6时，f (α)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－23π6＝1tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－23π6＝1tan ⎝⎛⎭⎪⎫－4π＋π6 ＝1tan π6＝133＝ 3. 思维升华 (1)利用同角三角函数关系式和诱导公式求值或化简时，关键是寻求条件、结论间的联系，灵活使用公式进行变形．(2)注意角的范围对三角函数符号的影响．跟踪训练3(1)(2022·聊城模拟)已知α为锐角，且2tan(π－α)－3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋β＋5＝0，tan(π＋α)＋6sin(π＋β)－1＝0，则sin α的值是()A.355B.377C.31010D.13答案C解析由已知得⎩⎨⎧ 3sin β－2tan α＋5＝0，tan α－6sin β－1＝0.消去sin β，得tan α＝3，∴sin α＝3cos α，代入sin 2α＋cos 2α＝1， 化简得sin 2α＝910，则sin α＝31010(α为锐角)． (2)已知－π<x <0，sin(π＋x )－cos x ＝－15，则sin2x ＋2sin 2x 1－tan x＝. 答案－24175解析由已知，得sin x ＋cos x ＝15， 两边平方得sin 2x ＋2sin x cos x ＋cos 2x ＝125， 整理得2sin x cos x ＝－2425. ∴(sin x －cos x )2＝1－2sin x cos x ＝4925， 由－π<x <0知，sin x <0，又sin x cos x ＝－1225<0， ∴cos x >0，∴sin x －cos x <0，故sin x －cos x ＝－75. ∴sin2x ＋2sin 2x 1－tan x ＝2sin x (cos x ＋sin x )1－sin x cos x＝2sin x cos x (cos x ＋sin x )cos x －sin x＝－2425×1575＝－24175. 课时精练1．cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－19π3等于()A ．－32 B ．－12 C.12 D.32答案C解析cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－19π3＝cos 19π3＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫6π＋π3＝cos π3＝12.2．若cos165°＝a ，则tan195°等于()A.1－a 2B.1－a 2a C ．－1－a 2a D ．－a 1－a 2答案C解析若cos165°＝a ，则cos15°＝cos(180°－165°)＝－cos165°＝－a ，sin15°＝1－a 2，所以tan195°＝tan(180°＋15°)＝tan15°＝sin15°cos15°＝－1－a 2a .3．若cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π5＝513，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫7π10－α等于()A ．－513 B ．－1213 C.1213 D.513 答案D解析因为7π10－α＋⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π5＝π2，所以7π10－α＝π2－⎝⎛⎭⎪⎫α－π5， 所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫7π10－α＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫α－π5＝513. 4．(2022·天津西青区模拟)已知sin α＋cos α＝－2，则tan α＋1tan α等于()A ．2 B.12 C ．－2 D．－12答案A解析由已知得1＋2sin αcos α＝2，∴sin αcos α＝12，∴tan α＋1tan α＝sin αcos α＋cos αsin α＝sin 2α＋cos 2αsin αcos α＝112＝2.5．在△ABC 中，下列结论不正确的是()A ．sin(A ＋B )＝sin CB ．sin B ＋C 2＝cos A 2C ．tan(A ＋B )＝－tan C ⎝ ⎛⎭⎪⎫C ≠π2D ．cos(A ＋B )＝cos C答案D解析在△ABC 中，有A ＋B ＋C ＝π，则sin(A ＋B )＝sin(π－C )＝sin C ，A 正确．sin B ＋C 2＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－A 2＝cos A 2，B 正确． tan(A ＋B )＝tan(π－C )＝－tan C ⎝⎛⎭⎪⎫C ≠π2，C 正确． cos(A ＋B )＝cos(π－C )＝－cos C ，D 错误．6．已知α∈(0，π)，且sin α＋cos α＝15，给出下列结论： ①π2<α<π； ②sin αcos α＝－1225； ③cos α＝35； ④cos α－sin α＝－75. 其中所有正确结论的序号是()A ．①②④B ．②③④C ．①②③D ．①③④答案A解析∵sin α＋cos α＝15， 等式两边平方得(sin α＋cos α)2＝1＋2sin αcos α＝125， 解得sin αcos α＝－1225，故②正确； ∵α∈(0，π)，sin αcos α＝－1225<0，∴α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π， ∴cos α<0，故①正确，③错误；cos α－sin α<0，且(cos α－sin α)2＝1－2sin αcos α＝1－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－1225＝4925， 解得cos α－sin α＝－75，故④正确． 7．sin 21°＋sin 22°＋sin 23°＋…＋sin 289°＝________.答案44.5解析∵sin1°＝cos89°，sin2°＝cos88°，…，sin89°＝cos1°， ∴sin 21°＋sin 22°＋sin 23°＋…＋sin 289°＝44.5.8．设f (θ)＝2cos 2θ＋sin 2(2π－θ)＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋θ－32＋2cos 2(π＋θ)＋cos (－θ)，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫17π3＝. 答案－512解析∵f (θ)＝2cos 2θ＋sin 2θ＋cos θ－32＋2cos 2θ＋cos θ＝cos 2θ＋cos θ－22cos 2θ＋cos θ＋2， 又cos 17π3＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫6π－π3 ＝cos π3＝12，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫17π3＝14＋12－212＋12＋2＝－512.9．(1)(2022·郑州模拟)已知sin θ＝45，求sin (π－θ)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋θcos (π＋θ)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－θ的值． 解∵sin θ＝45， ∴cos 2θ＝1－sin 2θ＝925， 则sin (π－θ)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋θcos (π＋θ)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－θ＝sin θ(－sin θ)(－cos θ)cos θ ＝sin 2θcos 2θ＝169. (2)已知sin x ＋cos x ＝－713(0<x <π)，求cos x －2sin x 的值． 解∵sin x ＋cos x ＝－713(0<x <π)， ∴cos x <0，sin x >0，即sin x －cos x >0，把sin x ＋cos x ＝－713， 两边平方得1＋2sin x cos x ＝49169， 即2sin x cos x ＝－120169，∴(sin x －cos x )2＝1－2sin x cos x ＝289169， 即sin x －cos x ＝1713， 联立⎩⎪⎨⎪⎧ sin x ＋cos x ＝－713，sin x －cos x ＝1713，解得sin x ＝513，cos x ＝－1213， ∴cos x －2sin x ＝－2213. 10．(2022·衡水模拟)已知角α的终边经过点P (3m ，－6m )(m ≠0)．(1)求sin (α＋π)＋cos (α－π)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π2＋2cos ⎝⎛⎭⎪⎫α－π2的值； (2)若α是第二象限角，求sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋3π2＋sin(π－α)·cos α－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α的值． 解(1)∵m ≠0，∴cos α≠0，即sin (α＋π)＋cos (α－π)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π2＋2cos ⎝⎛⎭⎪⎫α－π2 ＝－sin α－cos αcos α＋2sin α＝－tan α－11＋2tan α. 又∵角α的终边经过点P (3m ，－6m )(m ≠0)，∴tan α＝－6m 3m＝－2，故sin (α＋π)＋cos (α－π)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π2＋2cos ⎝⎛⎭⎪⎫α－π2 ＝－tan α－11＋2tan α＝2－11＋2×(－2)＝－13. (2)∵α是第二象限角，∴m <0，则sin α＝－6m (3m )2＋(－6m )2 ＝－6m 35|m |＝255， cos α＝3m (3m )2＋(－6m )2＝3m 35|m |＝－55， ∴sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋3π2＋sin(π－α)cos α－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α ＝cos 2α＋sin αcos α＋sin α＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－552＋255×⎝ ⎛⎭⎪⎫－55＋255 ＝－1＋255.11．已知角α满足sin α·cos α≠0，则表达式sin (α＋k π)sin α＋cos (α＋k π)cos α(k ∈Z )的取值可能为()A ．－2或0B ．－1或1C ．2或－2D ．－2或2或0答案C解析当k 为奇数时，原式＝－sin αsin α＋－cos αcos α＝(－1)＋(－1)＝－2； 当k 为偶数时，原式＝sin αsin α＋cos αcos α＝1＋1＝2. ∴原表达式的取值可能为－2或2.12．(2022·河北六校联考)若sin α是方程5x 2－7x －6＝0的根，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－α－3π2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－αtan 2(2π－α)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋αsin (π＋α)等于() A.35 B.53 C.45 D.54答案B解析方程5x 2－7x －6＝0的两根为x 1＝－35，x 2＝2，则sin α＝－35. 原式＝cos α(－cos α)tan 2αsin α(－sin α)(－sin α)＝－1sin α＝53. 13．曲线y ＝e x ＋x 2－23x 在x ＝0处的切线的倾斜角为α，则sin ⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π2＝. 答案45解析由题意得y ′＝f ′(x )＝e x ＋2x －23， 所以f ′(0)＝e 0－23＝13， 所以tan α＝13， 所以α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2， 所以cos α＝310， 所以sin ⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π2 ＝cos2α＝2cos 2α－1＝2×910－1＝45. 14．函数y ＝log a (x －3)＋2(a >0且a ≠1)的图象过定点Q ，且角α的终边也过点Q ，则3sin 2α＋2sin αcos α＝.答案75解析由题意可知点Q (4,2)，所以tan α＝12， 所以3sin 2α＋2sin αcos α＝3sin 2α＋2sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝3tan 2α＋2tan α1＋tan 2α＝3×14＋2×121＋14＝75.15．已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且在[0，＋∞)上单调递增，若a ＝f ⎝⎛⎭⎪⎫sin 12π7，b ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 5π7，c ＝f ⎝⎛⎭⎪⎫tan 2π7，则() A ．a >b >c B ．c >a >bC ．b >a >cD ．c >b >a答案B解析根据题意，sin12π7＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π－2π7 ＝－sin2π7， cos 5π7＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫π－2π7＝－cos 2π7， 又由函数f (x )是定义在R 上的偶函数，则a ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 12π7＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－sin 2π7＝f ⎝⎛⎭⎪⎫sin 2π7， b ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 5π7＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－cos 2π7＝f ⎝⎛⎭⎪⎫cos 2π7， 又由π4<2π7<π2， 则有0<cos 2π7<sin 2π7<1<tan 2π7， 又由函数在[0，＋∞)上单调递增，则有c >a >b .16．已知关于x 的方程2x 2－(3＋1)x ＋m ＝0的两根分别是sin θ和cos θ，θ∈(0,2π)，求：(1)sin 2θsin θ－cos θ＋cos θ1－tan θ的值； (2)m 的值；(3)方程的两根及此时θ的值．解(1)原式＝sin 2θsin θ－cos θ＋cos θ1－sin θcos θ＝sin 2θsin θ－cos θ＋cos 2θcos θ－sin θ＝sin 2θ－cos 2θsin θ－cos θ＝sin θ＋cos θ.由已知得sin θ＋cos θ＝3＋12， 所以sin 2θsin θ－cos θ＋cos θ1－tan θ＝3＋12. (2)由已知得sin θcos θ＝m2， 因为1＋2sin θcos θ＝(sin θ＋cos θ)2，所以1＋m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3＋122， 解得m ＝32. (3)联立⎩⎪⎨⎪⎧ sin θ＋cos θ＝3＋12，sin θcos θ＝34，解得⎩⎪⎨⎪⎧ sin θ＝32，cos θ＝12或⎩⎪⎨⎪⎧ sin θ＝12，cos θ＝32.因为θ∈(0,2π)，所以θ＝π3或π6.。
专题27 基本不等式中常见的方法求最值(解析版)
专题27 基本不等式中常见的方法求最值一、例题选讲题型一、消参法消参法就是对应不等式中的两元问题,用一个参数表示另一个参数,再利用基本不等式进行求解.解题过程中要注意“一正,二定,三相等”这三个条件缺一不可！例1、(2017苏北四市期末). 若实数x ,y 满足xy ＋3x ＝3⎝⎛⎭⎫0＜x ＜12,则3x ＋1y －3的最小值为________． 【答案】 8【解析】解法1 因为实数x ,y 满足xy ＋3x ＝3⎝⎛⎭⎫0＜x ＜12,所以y ＝3x－3(y ＞3), 所以3x ＋1y －3＝y ＋3＋1y －3＝y －3＋1y －3＋6≥2(y －3)·1y －3＋6＝8,当且仅当y －3＝1y －3,即y ＝4时取等号,此时x ＝37,所以3x ＋1y －3的最小值为8.解法2 因为实数x ,y 满足xy ＋3x ＝3⎝⎛⎭⎫0＜x ＜12,所以y ＝3x －3(y ＞3),y －3＝3x－6＞0, 所以3x ＋1y －3＝3x ＋13x －6＝3x －6＋13x －6＋6≥2⎝⎛⎭⎫3x －6·13x －6＋6＝8,当且仅当3x －6＝13x －6,即x ＝37时取等号,此时y ＝4,所以3x ＋1y －3的最小值为8.例2、(2013徐州、宿迁三检)若0,0a b >>,且11121a b b =+++,则2a b +的最小值为 ．【解析】由已知等式得222122a b ab a b b ++=+++,从而212b b a b-+=,21222b b a b b b -++=+131222b b =++1122≥+=,题型二、双换元若题目中含是求两个分式的最值问题,对于这类问题最常用的方法就是双换元,分布运用两个分式的分母为两个参数,转化为这两个参数的不等关系例3、(2015苏锡常镇、宿迁一调)已知实数x ,y 满足x >y >0,且x ＋y ≤2,则2x ＋3y ＋1x －y的最小值为________．【答案】3＋224【解析】设⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3y ＝m ，x －y ＝n .解得⎩⎨⎧x ＝m ＋3n 4，y ＝m －n4.所以x ＋y ＝m ＋n 2≤2,即m ＋n ≤4.设t ＝2x ＋3y ＋1x －y ＝2m ＋1n,所以4t ≥⎝⎛⎭⎫2m ＋1n (m ＋n )＝3＋2n m ＋m n ≥3＋2 2.即t ≥3＋224,当且仅当2n m ＝mn ,即m ＝2n 时取等号．例4、(2013徐州、宿迁三检)若0,0a b >>,且11121a b b =+++,则2a b +的最小值为 ．【解析】12,211m n a b m a b n b n --⎧+==⎧⎪⎨⎨+=⎩⎪=-⎩解得 所以111,m n +=332222m n a b +=+-,因为33113()()22222222m n m n m n m n n m+=++=++≥+所以332222m n a b +=+-≥题型三、1的代换1的代换就是指凑出1,使不等式通过变形出来后达到运用基本不等式的条件,即积为定值,凑的过程中要特别注意等价变形.例5、(2019苏锡常镇调研)已知正实数a ,b 满足a ＋b ＝1,则bb a a 421222+++的最小值为 ． 【答案】.11【解析】思路分析：由于目标式比较复杂,不能直接求最小值,需要对该式子进行变形,配凑出使用基本不等式的条件,转化为熟悉的问题,然后利用基本不等式求解．1174274))(41()(24212421222=+⨯≥++=++++=+++=+++baa b b a a b b a b a b a b b a a b b a a 当且仅当b a a b 4=,即⎪⎩⎪⎨⎧==3231b a 时取“=”,所以b b a a 421222+++的最小值为.11例6、(2019年苏州学情调研)若正实数x y ，满足1x y +=,则4y x y+的最小值是 ． 【答案】8【解析】因为正实数x y ，满足1x y +=,所以4()444y y x y y xx y x y x y ⨯++=+=++4448≥=+=,当且仅当4y x x y =,即2y x =,又1x y +=,即12,33x y ==,等号成立,即4yx y +取得最小值8.题型四、齐次化齐次化就是含有多元的问题,通过分子、分母同时除以得到一个整体,然后转化为运用基本不等式进行求解.例7、(2019通州、海门、启东期末)已知实数a>b>0,且a ＋b ＝2,则3a －ba 2＋2ab －3b 2的最小值为________．【答案】3＋54思路分析2 注意到所求的代数式的分子与分母分别为一次式、二次式,为此想到将它们转化为齐次式来加以处理,即将分子利用条件a ＋b ＝2,通过常数代换转化为二次式,进而将齐次式化为单变量的问题来加以处理．解析：(化齐次式法)：因为a ＋b ＝2,所以3a －b a 2＋2ab －3b 2＝（a ＋b ）（3a －b ）2（a 2＋2ab －3b 2）＝32＋2（－ab ＋2b 2）a 2＋2ab －3b 2＝32＋2（2－ab ）（a b ）2＋2·a b －3,令u ＝2－a b ,因为a ＋b ＝2,a>b>0,所以2－b>b>0,故0<b<1,从而u ＝2－a b ＝2－2－b b ＝3－2b ∈(－∞,1),则3a －b a 2＋2ab －3b 2＝32＋2u u 2－6u ＋5＝32＋2u ＋5u－6 当u∈(0,1)时,u ＋5u －6>0,此时3a －b a 2＋2ab －3b 2>32；当u<0时,u ＋5u －6＝－⎝⎛⎭⎫－u ＋5－u －6≤－6－25,此时3a －b a 2＋2ab －3b 2≥32＋2－6－25＝3＋54,当且仅当u＝－5时等号成立．因此3a －b a 2＋2ab －3b 2的最小值为3＋54.二、达标训练1、(2019年苏州学情调研)若正实数x y ，满足1x y +=,则4y x y+的最小值是 ． 【答案】8【解析】因为正实数x y ，满足1x y +=,所以4()444y y x y y xx y x y x y ⨯++=+=++4448≥=+=,当且仅当4y x x y =,即2y x =,又1x y +=,即12,33x y ==,等号成立,即4yx y +取得最小值8.2、(2018苏锡常镇调研) 已知a>0, b>0,且2a ＋3b ＝ab,则ab 的最小值是________．【答案】 26【解析】思路分析 利用基本不等式,化和的形式为积的形式．因为ab ＝2a ＋3b ≥22a ·3b ,所以ab≥26,当且仅当2a ＝3b＝6时,取等号．3、(2018苏锡常镇调研) 已知a b ，为正实数,且()234()a b ab -=,则11a b+的最小值为 ．【答案】【解析】因为223()()44()4a b a b ab ab ab +=-+=+,所以3222114()44()()48()a b ab ab ab a b ab ab ab +++===+≥,故11a b +≥当且仅当21()4ab a b =⎧⎨-=⎩,即11a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩时取得等号,所以11a b +的最小值为.224、(2018南通、扬州、淮安、宿迁、泰州、徐州六市二调)已知a,b,c 均为正数,且abc ＝4(a ＋b),则a ＋b ＋c 的最小值为________． 【答案】 8【解析】由a,b,c 均为正数,abc ＝4(a ＋b),得c ＝4a ＋4b ,代入得a ＋b ＋c ＝a ＋b ＋4a ＋4b ＝⎝⎛⎭⎫a ＋4a ＋⎝⎛⎭⎫b ＋4b ≥2a·4a＋2b·4b＝8,当且仅当a ＝b ＝2时,等号成立,所以a ＋b ＋c 的最小值为8. 5、(2019苏北三市期末) 已知a>0,b>0,且a ＋3b ＝1b －1a ,则b 的最大值为________．【答案】 13【解析】由a ＋3b ＝1b －1a ,得1b －3b ＝a ＋1a .又a>0,所以1b －3b ＝a ＋1a ≥2(当且仅当a ＝1时取等号),即1b －3b≥2,又b>0,解得0<b≤13,所以b 的最大值为13.6、(2019扬州期末)已知正实数x,y 满足x ＋4y －xy ＝0,若x ＋y≥m 恒成立,则实数m 的取值范围为_________． 【答案】 (－∞,9]【解析】 m≤x ＋y 恒成立,m≤(x ＋y)min .解法1(消元法) 由x ＋4y －xy ＝0,得y ＝x x －4,因为x,y 是正实数,所以y>0,x>4,则x ＋y ＝x ＋x x －4＝x ＋x －4＋4x －4＝x ＋4x －4＋1＝(x －4)＋4x －4＋5≥2（x －4）·4x －4＋5＝9,当且仅当x ＝6时,等号成立,即x ＋y 的最小值是9,故m≤9.解法2(“1”的代换) 因为x,y 是正实数,由x ＋4y －xy ＝0,得4x ＋1y ＝1,x ＋y ＝(x ＋y)·⎝⎛⎭⎫4x ＋1y ＝4y x ＋x y ＋5≥24y x ·xy＋5＝9,当且仅当x ＝6,y ＝3时,等号成立,即x ＋y 的最小值是9,故m≤9. 解法3(函数法) 令t ＝x ＋y,则y ＝t －x,代入x ＋4y －xy ＝0,得x 2－(3＋t)x ＋4t ＝0.Δ＝(t ＋3)2－16t ＝t 2－10t ＋q≥0,得t≤1或t≥9.又y ＝xx －4>0,且x>0,则x>4,故t>4,从而t≥9.所以m≤9. 7、(2017苏州期末) 已知正数x,y 满足x ＋y ＝1,则4x ＋2＋1y ＋1的最小值为________． 【答案】 94【解析】 解法1 令x ＋2＝a ,y ＋1＝b ,则a ＋b ＝4(a ＞2,b ＞1),4a ＋1b ＝14(a ＋b )⎝⎛⎭⎫4a ＋1b ＝14⎝⎛⎭⎫5＋4b a ＋a b ≥14(5＋4)＝94,当且仅当a ＝83,b ＝43,即x ＝23,y ＝13时取等号．8、(2019宿迁期末)已知正实数a,b 满足a ＋2b ＝2,则1＋4a ＋3b ab 的最小值为________.【答案】252【解析】解法1(消元法) 由a ＋2b ＝2得a ＝2－2b ＞0,所以0＜b ＜1,令f(b)＝1＋4a ＋3b ab ＝9－5b2b －2b 2,f′(b)＝－10b 2＋36b －18（2b －2b 2）2＝－2（5b －3）（b －3）（2b －2b 2）2.当b∈⎝⎛⎭⎫0，35时,f′(b)<0,f(b)单调递减；当b∈⎝⎛⎭⎫35，1时,f′(b)>0,f(b)递增, 所以当b ＝35时,f(b)有唯一的极小值,也是最小值f ⎝⎛⎭⎫35＝252. 解法2(齐次化) 因为a ＋2b ＝2,所以1＋4a ＋3b ab ＝12a ＋b ＋4a ＋3bab ＝9a ＋8b 2ab ＝（9a ＋8b ）（a ＋2b ）4ab ＝9a4b ＋4b a ＋132≥29a 4b ·4b a ＋132＝252,当且仅当a ＝45,b ＝35时取等号,所以所求的最小值为252.。
专题27+盈亏问题(重点突围)-2022-2023学年小升初数学重难点专题提优训练(通用版)
专题27 盈亏问题（重点突围）2022-2023学年小升初数学重难点专题提优训练一．选择题（共5小题）1．李师傅加工一批零件，如果每天做50个，要比计划晚8天完成；如果每天做60个，就可提前5天完成，这批零件共有多少个？()A．3500个B．3800个C．3900个D．4000个2．美猴王带着蟠桃回到花果山分给众猴，先分给3只老猴各6个，每只小猴4个，发现还有4只小猴分不到，于是收回重新分，3只老猴各5个，每只小猴3个，可是还剩下12个，那么花果山共有()只猴．A．24 B．25 C．26 D．283．米奇专卖店以100元的单价卖出两套不同的童装，其中一套赚20%，另一套亏本20%，那么这个童装店卖这两套服装总体核算是()A．亏本B．赚钱C．不亏也不赚D．不能确定亏本或赚钱4．某市对城区主干道进行绿化，计划把某一段公路的一侧全部栽上桂花树，要求路的两端各栽一棵，并且每相邻两棵树的间隔相等。
如果每隔5米栽1棵，则树苗缺21棵；如果每隔6米栽1棵，则树苗正好用完。
原有树苗()棵。
A．100 B．105 C．106 D．1205．小红从家里到县城去上学，她以每分钟50米的速度走了3分钟，发觉按这个速度走下去就要迟到8分钟，于是立即加快了速度，每分钟多走了10米，结果到学校时，离上课还有5分钟，小红家到学校的路程是()米．A．3900 B．4050 C．4300二．填空题（共11小题）6．小明计划到风景区旅游，如果他坐汽车以40千米/小时的速度行驶，那么比骑车去早到3小时，如果他以8千米/小时的速度步行去，那么比骑车晚到5小时，小东的出发点到周口店有千米．7．某人与厂家老板签订了一合同：工作一天得80元，若不工作的话除得不到工资外，一天还要上缴20元，3月1日开始执行．到月底结算时，他只领到工资1180元，本月他工作了天．8．某商店按一元钱2千克买进若干千克黄瓜，如果按每千克0.6元卖出一半又60千克后，这时成本全部收回．买进黄瓜千克．9．某商品按每个7元的价格卖出6个的利润，与按每个8元的价格卖出4个的利润一样多．这种商品的进货价是每个元．10．松鼠妈妈采松子，晴天每天采20个，雨天每天可采12个，它一连采了112个，平均每天采14个，这几天中有天是雨天．11．若干人分一篮橘子，如果其中二人每人分4个，其余每人分2个，就剩4个；如果只有一人分6个，其余每人分4个，就少12个．这篮橘子共有个．12．一辆客车和一辆小汽车同时从甲城开往乙城，客车行驶的速度比小汽车每小时慢8千米，客车比小汽车晚3小时到达乙城，小汽车在乙城没有停留继续前行，当客车到达乙城时，小汽车到达离乙城96千米的丙城．问：甲城和乙城相距千米．13．一位同学从家到学校，如果以每分钟50米得速度行走，就迟到3分钟，如果以每分钟70米得速度行走，就可以提前5分钟到学校，从他家到学校的距离是米．14．某车间给职工发奖金，若每人发240元则缺1800元，若每人发200元则余2200元，那么平均每人能发奖金元．15．小光想用长绳吊一重物来测量井深，当他将绳子2折时，绳比井深长出6米，当将绳子4折时，则绳比井深长1米，请你帮小光算一算，井深米，绳长米．16．学校派一些学生去搬树苗，如果每人搬6棵，则差4棵，如果每人搬8棵，则差18棵，这批树苗有棵．三．解答题（共14小题）17．小明从家到学校，如果他每小时走10千米，就会比计划时间迟到10分钟到校；如果他每小时走15千米，就会比计划时间早10分钟到校．现在小明相比计划时间早5分钟到学校，但是他不知道每小时该走多少？请你告诉小明每小时该走多少千米？18．某班学生合买一件纪念品，如果每人出6元，则多48元，如果每人出5元，则少3元，求这个班共有学生多少人？19．张老师给美术班兴趣小组的同学分若干支彩色粉笔．如果每人分5支则多18支，如果每人分8支则多3支．请问彩色粉笔一共有多少支？20．一只白山狐滑雪橇从山顶到山脚参加雪山动物联欢会．如果它每分钟行250米，预计15分钟到达，但滑行到35路程时，雪橇突然出了故障，急忙停下来修理，用了1.2分钟才修好，之后它继续前进，如果它要在原来预定的时间内到达山脚，那么余下的路程它每分钟必须比原来多行多少米？21．现在有一批书发给六年级（2）班，如果每人4本则多17本，如果每人5本则少33本，那么这批书共多少本？22．学校在开学典礼上奖励上学期的三好学生，粗心的老师把奖品弄错了，如果每人9个本子则少15本，如果每人发7本，则少7本，你知道学校上学期有多少名三好学生，而老师有准备了多少个本子吗？23．有一批图书总数在1000本以内，若按24本书包成一捆，最后一捆差2本；若按28本书包成一捆，最后一捆还是差2本书；若按32本包一捆，最后一捆是30本．这批图书有多少本？24．甲、乙、丙三人去看同一部电影，如用甲带的钱买三张电影票，还差39元；如果用乙带的钱去买三张电影票，还差50元；如果用甲、乙、丙三个人带去的钱买三张电影票，就多26元，已知丙带了25元钱，请问：一张电影票多少元？25．一人骑摩托车匀速行驶到火车站赶乘火车，若每小时行驶30千米，则可早到15分钟，若每小时行驶15千米则迟到5分钟，如果打算提前5分钟到，那么摩托车的速度应该是多少？26．六（一)班同学合买一件礼物送给母校留作纪念．如果每人出4.5元，则多6元：如果每人出4元，则少20元，求六（一)班有学生多少人？（列方程解）27．小明想送给妈妈一束鲜花．他带的钱如果买4枝康乃馨，还剩3.6元；如果买8枝康乃馨，则差4.8元．小明带了多少钱？28．老师给小朋友分饼干，如果每人5块，还剩下15块；如果其中的10个小朋友每人7块，其余的小朋友每人4块，恰好分完．问一共有多少个小朋友？老师共有多少块饼干？29．老师带了一些钱去商店买篮球，他想买15个篮球，可是发现自己少了180元，于是他改买12个篮球，找回24元，每个篮球多少元？老师带了多少钱？30．一个学生从家到学校，先用每分钟50米的速度走了2分钟，如果这样走下去，他上课就要迟到8分钟；后来他改用每分钟60米的速度前进，结果早到了5分钟，求这个学生从家到学校的距离是多少？参考答案一．选择题（共5小题）1．【分析】根据题意：可得到等量关系式：零件的个数508÷-=零件的总个数605÷+，设这批零件共有x 个，把未知数代入等量关系式解答即可。
中考化学计算题技巧
复习方法指导化学计算目的是从定量角度来理解物质的性质和变化规律，帮助加深对化学概念、原理及物质变化规律的理解，并获得化学计算技能和技巧。
在化学计算复习中，首先要准确掌握和理解元素符号、化学式、化学方程式、相对原子质量、相对分子质量、质量守恒定律、溶解度、质量分数等重要概念。
其次，培养自己的审题能力，善于从题给信息中发掘出问题，再从所学知识中提取有关知识与问题对应，进而架构起解题思路；然后立式、运算、并要应用规律、法则寻求最简捷、准确、巧妙的方法，迅速完成解题。
拿到一个计算题，首先要认真阅读整题，粗读、精读，直到读清搞明白为止，找出已知和求解，有哪些化学反应，应用哪些概念、定律等，有哪些数据，单位及结果保留小数的位数。
然后根据各个量之间的内在联系，挖掘隐含条件，找出突破口，确定解题思路、方案。
另外，书写时步骤要齐全，格式要规范，切忌乱写乱画。
最后，还要养成认真检验结果的正误，判断结论是否符合化学实际等的良好习惯。
相信在复习完本章内容后，你的审题、运算、表达等能力一定会有较大提高。
知识结构梳理初中阶段的化学计算，按知识内容一般分为以下几部分：由于在前面的复习中已经涉及到有关化学式、化学方程式和溶液的基本计算，因此，本章主要复习常用的解题方法(关系式法、守恒法、差值法、平均值法、讨论法等)和综合计算技巧。
专题27 关系式法关系式法是化学计算中常用的方法之一。
解题的关键是从数学和化学反应的实质等方面入手，设法确定有关物质间量的关系式或其代数式。
优点是省去了多步计算的繁琐和比较复杂的运算。
一、解题方法指导1、多步化学反应中关系式的确定例题1：用含杂质10%的锌195ｇ和足量的稀硫酸反应(杂质不和稀硫酸反应)，生成的H2最多能还原多少克氧化铁?思考：还原氧化铜所需氢气的比其理论值；这里提出的“最多”是指。
本题涉及的化学反应有：锌和稀硫酸反应的化学方程式。
氢气还原氧化铁的化学方程式。
纵述两个化学方程式中物质间的系数关系，你能推知：锌、氢气、氧化铁、铁之间的系数关系吗? 即3Zn～3H2～Fe2O3～2Fe。
专题11 第48讲 微专题27 有序思维突破同分异构体的书写及数目判断
②位置异构⇒
、
、
、
③官能团异构⇒C—O—C—C—C、
、C—C—O—C—C
(3)芳香族化合物：两个取代基在苯环上的位置有邻、间、对3种。
2.同分异构体数目的判断方法 (1)记忆法：记住一些常见有机物同分异构体数目，如 ①凡只含一个碳原子的分子均无同分异构体； ②乙烷、丙烷、乙烯、乙炔无同分异构体； ③4个碳原子的烷烃有2种同分异构体，5个碳原子的烷烃有3种同分异构 体，6个碳原子的烷烃有5种同分异构体。 (2)基元法：如丁基有4种，则丁醇、戊醛、戊酸都有4种同分异构体。
构体有
、
、
、
、
、
、
、
，共8种。其中核磁共振氢谱为4组峰，且峰面积之比为
1∶2∶3∶4的结构简式为
。
1234
3.(2020·太原模拟)在G(
)的同分异构体中，苯环上的一氯
代物只有一种的共有__8___种(不含立体异构)，其中核磁共振氢谱显示两
组峰的是____________________(写结构简式)。
有6种，故B错误； (CH3)2CHCHClCH3的母体为戊烷，戊基(C5H11—)共有8种，则戊烷的一氯代物 共有8种，除去(CH3)2CHCHClCH3，则(CH3)2CHCHClCH3的同分异构体有7种， 故C正确；
与
官能团相同，则含有酯基，符合条件的物质有HCOOCH2CH2CH3、
HCOOCH(CH3)2、CH3COOCH2CH3、CH3CH2COOCH3，共4种，故D错误。
解析 遇FeCl3溶液有显色反应，说明含有酚羟基；分子中甲基与苯环直 接相连，苯环上共有三个取代基，则三个取代基分别是硝基、甲基和酚 羟基。如果硝基和甲基处于邻位，有4种结构；如果硝基和甲基处于间 位，有4种结构；如果硝基和甲基处于对位，有2种结构，所以符合条件 的同分异构体有10种。
初中数学复习专题27 规律探究问题(解析版)
专题27 规律探究问题一、单选题(共0分)1．（2022·广东广州）如图，用若干根相同的小木棒拼成图形，拼第1个图形需要6根小木棒，拼第2个图形需要14根小木棒，拼第3个图形需要22根小木棒……若按照这样的方法拼成的第n个图形需要2022根小木棒，则n的值为（）A．252 B．253 C．336 D．337【答案】B【解析】【分析】根据图形的变化及数值的变化找出变化规律,即可得出结论．【详解】解：设第n个图形需要an（n为正整数）根小木棒，观察发现规律：第一个图形需要小木棒：6=6×1+0，第二个图形需要小木棒：14=6×2+2；第三个图形需要小木棒：22=6×3+4，…，∴第n个图形需要小木棒：6n+2（n-1）=8n-2．∴8n-2=2022，得：n=253，故选：B．【点睛】本题考查了规律型中图形的变化类，解决该题型题目时，根据给定图形中的数据找出变化规律是关键．2．（2022·新疆）将全体正偶数排成一个三角形数阵：按照以上排列的规律，第10行第5个数是（）A．98 B．100 C．102 D．104【答案】B【解析】【分析】观察数字的变化，第n 行有n 个偶数，求出第n 行第一个数，故可求解．【详解】观察数字的变化可知：第n 行有n 个偶数，因为第1行的第1个数是：2102=⨯+ ；第2行的第1个数是：4212=⨯+ ；第3行的第1个数是：8322=⨯+；…所以第n 行的第1个数是：()12n n -+ ，所以第10行第1个数是：109292⨯=+，所以第10行第5个数是：9224100+⨯= ．故选：B ．【点睛】本题考查了数字的规律探究，推导出一般性规律是解题的关键．3．（2020·重庆）把黑色三角形按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有1个黑色三角形，第②个图案中有3个黑色三角形，第③个图案中有6个黑色三角形，…，按此规律排列下去，则第⑤个图案中黑色三角形的个数为（ ）A ．10B ．15C ．18D ．21【答案】B【解析】【分析】 根据前三个图案中黑色三角形的个数得出第n 个图案中黑色三角形的个数为1+2+3+4+……+n ，据此可得第⑤个图案中黑色三角形的个数．【详解】解：∵第①个图案中黑色三角形的个数为1，第②个图案中黑色三角形的个数3＝1+2，第③个图案中黑色三角形的个数6＝1+2+3， ……∴第⑤个图案中黑色三角形的个数为1+2+3+4+5＝15，故选：B．【点睛】本题主要考查图形的变化规律，解题的关键是根据已知图形得出规律：第n个图案中黑色三角形的个数为1+2+3+4+……+n．4．（2020·山东聊城）人行道用同样大小的灰、白两种不同颜色的小正方形地砖铺设而成，如图中的每一个小正方形表示一块地砖．如果按图①②③…的次序铺设地砖，把第n个图形用图表示，那么图㊿中的白色小正方形地砖的块数是（）．…A．150 B．200 C．355 D．505【答案】C【解析】【分析】由图形可知图①中白色小正方形地砖有12块，图②中白色小正方形地砖有12+7块，图③中白色小正方形地砖有12+7×2块，…，可知图中白色小正方形地砖有12+7(n-1)=7n+5，再令n=50，代入即可．【详解】解：由图形可知图中白色小正方形地砖有12+7(n-1)=7n+5（块）当n=50时，原式=7×50+5=355（块）故选：C【点睛】考查了规律型：图形的变化，解决这类问题首先要从简单图形入手，后一个图形与前一个图形相比，在数量上增加（或倍数）情况的变化，找出数量上的变化规律，从而推出一般性的结论．5．（2020·湖南）如图，将一枚跳棋放在七边形ABCDEFG的顶点A处，按顺时针方向移动这枚跳棋2020次．移动规则是：第k次移动k个顶点（如第一次移动1个顶点，跳棋停留在B处，第二次移动2个顶点，跳棋停留在D处），按这样的规则，在这2020次移动中，跳棋不可能停留的顶点是（ ）A．C、E B．E、F C．G、C、E D．E、C、F【答案】D【解析】【分析】设顶点A，B，C，D，E，F，G分别是第0，1，2，3，4，5，6格，因棋子移动了k次后走过的总格数是1+2+3+…+k＝12k（k+1），然后根据题目中所给的第k次依次移动k个顶点的规则，可得到不等式最后求得解．【详解】设顶点A，B，C，D，E，F，G分别是第0，1，2，3，4，5，6格，因棋子移动了k次后走过的总格数是1+2+3+…+k＝12k（k+1），应停在第12k（k+1）﹣7p格，这时P是整数，且使0≤12k（k+1）﹣7p≤6，分别取k＝1，2，3，4，5，6，7时，12k（k+1）﹣7p＝1，3，6，3，1，0，0，发现第2，4，5格没有停棋，若7＜k≤2020，设k＝7+t（t＝1，2，3）代入可得，12k（k+1）﹣7p＝7m+12t（t+1），由此可知，停棋的情形与k＝t时相同，故第2，4，5格没有停棋，即顶点C，E和F棋子不可能停到．故选：D．【点睛】本题考查的是探索图形、数字变化规律，从图形中提取信息，转化为数字信息，探索数字变化规律是解答的关键.6．（2022·湖北鄂州）生物学中，描述、解释和预测种群数量的变化，常常需要建立数学模型．在营养和生存空间没有限制的情况下，某种细胞可通过分裂来繁殖后代，我们就用数学模型2n来表示．即：21＝2，22＝4，23＝8，24＝16，25＝32，……，请你推算22022的个位数字是（）A．8 B．6 C．4 D．2【答案】C【解析】【分析】利用已知得出数字个位数的变化规律进而得出答案．【详解】解：∵21＝2，22＝4，23＝8，24＝16，25＝32，…，∴尾数每4个一循环，∵2022÷4＝505……2，∴22022的个位数字应该是：4．故选：C．【点睛】此题主要考查了尾数特征，根据题意得出数字变化规律是解题关键．7．（2022·重庆）用正方形按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有5个正方形，第②个图案中有9个正方形，第③个图案中有13个正方形，第④个图案中有17个正方形，此规律排列下去，则第⑨个图案中正方形的个数为（）A．32 B．34 C．37 D．41【答案】C【解析】【分析】第1个图中有5个正方形，第2个图中有9个正方形，第3个图中有13个正方形，……，由此可得：每增加1个图形，就会增加4个正方形，由此找到规律，列出第n个图形的算式，然后再解答即可．【详解】解：第1个图中有5个正方形；第2个图中有9个正方形，可以写成：5+4=5+4×1；第3个图中有13个正方形，可以写成：5+4+4=5+4×2；第4个图中有17个正方形，可以写成：5+4+4+4=5+4×3；．．．第n个图中有正方形，可以写成：5+4（n-1）=4n+1；当n=9时，代入4n+1得：4×9+1=37．故选：C．【点睛】本题主要考查了图形的变化规律以及数字规律，通过归纳与总结结合图形得出数字之间的规律是解决问题的关键．8．（2021·江苏镇江）如图，小明在3×3的方格纸上写了九个式子（其中的n是正整数），每行的三个式子的和自上而下分别记为A1，A2，A3，每列的三个式子的和自左至右分别记为B1，B2，B3，其中，值可以等于789的是（）A．A1B．B1C．A2D．B3【答案】B【解析】【分析】把A1，A2，B1，B3的式子表示出来，再结合值等于789，可求相应的n的值，即可判断．【详解】解：由题意得：A1＝2n+1+2n+3+2n+5＝789，整理得：2n＝260，则n不是整数，故A1的值不可以等于789；A2＝2n+7+2n+9+2n+11＝789，整理得：2n＝254，则n不是整数，故A2的值不可以等于789；B1＝2n+1+2n+7+2n+13＝789，整理得：2n＝256＝28，则n是整数，故B1的值可以等于789；B3＝2n+5+2n+11+2n+17＝789，整理得：2n＝252，则n不是整数，故B3的值不可以等于789；故选：B．【点睛】本题主要考查规律型：数字变化类，解答的关键是理解清楚题意，得出相应的式子．9．（2021·湖北十堰）将从1开始的连续奇数按如图所示的规律排列，例如，位于第4行第3列的数为27，则位于第32行第13列的数是（）A．2025 B．2023 C．2021 D．2019【答案】B【解析】【分析】根据数字的变化关系发现规律第n行，第n列的数据为：2n(n-1)+1，即可得第32行，第32列的数据为：2×32×(32-1)+1=1985，再依次加2，到第32行，第13列的数据，即可．【详解】解：观察数字的变化，发现规律：第n行，第n列的数据为：2n(n-1)+1，∴第32行，第32列的数据为：2×32×(32-1)+1=1985，根据数据的排列规律，第偶数行从右往左的数据一次增加2，∴第32行，第13列的数据为：1985+2×(32-13)=2023，故选：B．【点睛】本题考查了数字的变化类，解决本题的关键是观察数字的变化寻找探究规律，利用规律解决问题．10．（2021·山东济宁）按规律排列的一组数据：12，35，□，717，926，1137，…，其中□内应填的数是（）A．23B．511C．59D．12【答案】D【解析】【分析】分子为连续奇数，分母为序号的平方1+，根据规律即可得到答案．【详解】观察这排数据发现，分子为连续奇数，分母为序号的平方1+，∴第n 个数据为：2211n n -+ 当3n =时W 的分子为5，分母为23110+=∴这个数为51102= 故选：D ．【点睛】本题考查了数字的探索规律，分子和分母分别寻找规律是解题关键．11．（2022·河南）如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正六边形ABCDEF 的中心与原点O 重合，AB x ∥轴，交y 轴于点P ．将△OAP 绕点O 顺时针旋转，每次旋转90°，则第2022次旋转结束时，点A 的坐标为（ ）A ．)1-B ．(1,-C ．()1-D ．( 【答案】B【解析】【分析】首先确定点A 的坐标，再根据4次一个循环，推出经过第2022次旋转后，点A 的坐标即可．【详解】解：正六边形ABCDEF 边长为2，中心与原点O 重合，AB x ∥轴，∴AP ＝1， AO ＝2，∠OPA ＝90°，∴OP∴A （1，第1次旋转结束时，点A -1）；第2次旋转结束时，点A 的坐标为（-1，；第3次旋转结束时，点A 的坐标为（1）；第4次旋转结束时，点A 的坐标为（1；∵将△OAP 绕点O 顺时针旋转，每次旋转90°，∴4次一个循环，∵2022÷4＝505……2，∴经过第2022次旋转后，点A 的坐标为（-1，），故选：B【点睛】本题考查正多边形与圆，规律型问题，坐标与图形变化﹣旋转等知识，解题的关键是学会探究规律的方法，属于中考常考题型．12．（2021·贵州安顺）小星在“趣味数学”社团活动中探究了直线交点个数的问题．现有7条不同的直线()1,2,3,4,5,6,7n n y k x b n =+=，其中12345,k k b b b ===，则他探究这7条直线的交点个数最多是（ ）A ．17个B ．18个C ．19个D ．21个【答案】B【解析】【分析】因为题中已知12345,k k b b b ===，可知：第1、2条直线相互平行没有交点，第3、4、5条直线交于一点，由此即可求解此题．【详解】解：∵直线()1,2,3,4,5,6,7n n y k x b n =+=，其中12345,k k b b b ===∴第1、2条直线相互平行没有交点，第3、4、5条直线交于一点，∴这5条直线最多有7个交点，第6条直线，与前面5条直线的交点数最多有5个，第7条直线，与前面6条直线的交点数最多有6个，∴得出交点最多就是7＋5+6＝18条，故选：B ．【点睛】本题考查了两条直线相交或平行问题，做题关键在于分析得出两条平行直线，三条直线相交于一点．二、填空题(共0分)13．（2022·青海）木材加工厂将一批木料按如图所示的规律依次摆放，则第n 个图中共有木料______根.【答案】()21n n +【解析】【分析】 第一个图形有1根木料，第二个图形有2(21)122⨯++=根木料，第三个图形有3(31)1232⨯+++=根木料，第四个图形有4(41)12342⨯++++=根木料，以此类推，得到第n 个图形有()21n n +根木料．【详解】 解：∵第一个图形有1(11)12⨯+=根木料， 第二个图形有2(21)122⨯++=根木料， 第三个图形有3(31)1232⨯+++=根木料， 第四个图形有4(41)12342⨯++++=木料， ∴第n 个图形有()11232n n n +++++=L 根木料， 故答案为：()21n n +．【点睛】 本题考查了图形的变化类问题，仔细观察，分析，归纳并发现其中的规律是解本题的关键．14．（2021·西藏）按一定规律排列的一列数依次为23，14，215，112，235，…，按此规律排列下去，这列数中的第n 个数是___________________．【答案】2211n +-（） 【解析】 【分析】观察一列数可得223122=- ， 214123=-， 2221541=- ， 2211251=- ，2223561=-，…，按此规律排列下去，即可得这列数中的第n 个数． 【详解】解：观察一列数可知：223122=-，214123=-，2221541=-，2211251=-，2223561=-，…， 按此规律排列下去，这列数中的第n 个数是：2211n +-（）， 故答案为：2211n +-（）． 【点睛】此题考查规律总结，根据已知数据找出规律用代数式表示即可． 15．（2022·湖南怀化）正偶数2，4，6，8，10，…，按如下规律排列，则第27行的第21个数是 _____． 【答案】744 【解析】 【分析】由题意知，第n 行有n 个数，第n 行的最后一个偶数为n （n +1），计算出第27行最后一个偶数，再减去与第21位之差即可得到答案． 【详解】由题意知，第n 行有n 个数，第n 行的最后一个偶数为n （n +1）， ∴第27行的最后一个数，即第27个数为2728756⨯=，∴第27行的第21个数与第27个数差6位数，即75626744-⨯=， 故答案为：744． 【点睛】本题考查数字类规律的探究，根据已知条件的数字排列找到规律，用含n 的代数式表示出来由此解决问题是解题的关键．16．（2021·湖北恩施）古希腊数学家定义了五边形数，如下表所示，将点按照表中方式排列成五边形点阵，图形中的点的个数即五边形数；图形…五边形数 1 5 12 22 35 51 …将五边形数1，5，12，22，35，51，…，排成如下数表；1第一行512第二行223551第三行……………观察这个数表，则这个数表中的第八行从左至右第2个数为__________．【答案】1335【解析】【分析】分析表格中的图形和五边形数之间的规律，再找到排成数表中五边形数和行数之间的规律．【详解】解：由图形规律可知，第n个图形是一个由n个点为边长的等边三角形和一个长为n个点，宽为（n-1）个点的矩形组成，则第n个图形一共有()()1+12n nn n+⋅-个点，化简得232n n-，即第n个图形的五边形数为232n n-．分析排成数表，结合图形可知：第一行从左至右第1个数，是第1个图形的五边形数；第二行从左至右第1个数，是第2个图形的五边形数；第三行从左至右第1个数，是第4个图形的五边形数；第四行从左至右第1个数，是第7个图形的五边形数；…∴第n行从左至右第1个数，是第()11+2n n-个图形的五边形数．∴第八行从左至右第2个数，是第30个图形的五边形数．第30个图形的五边形数为：22333030=1335 22n n-⨯-=．故答案为：1335． 【点睛】本题是找规律题，解此题的关键是分析表格中的图形个数与五边形数，排成数表中的五边形数和行数，得出规律．17．（2022·湖南长沙）当今大数据时代，“二维码”具有存储量大．保密性强、追踪性高等特点，它已被广泛应用于我们的日常生活中，尤其在全球“新冠”疫情防控期间，区区“二维码”已经展现出无穷威力．看似“码码相同”，实则“码码不同”．通常，一个“二维码”由1000个大大小小的黑白小方格组成，其中小方格专门用做纠错码和其他用途的编码，这相当于1000个方格只有200个方格作为数据码．根据相关数学知识，这200个方格可以生成2002个不同的数据二维码，现有四名网友对2002的理解如下：YYDS （永远的神）：2002就是200个2相乘，它是一个非常非常大的数； DDDD （懂的都懂）：2002等于2200； JXND （觉醒年代）：2002的个位数字是6；QGYW （强国有我）：我知道10321024,101000==，所以我估计2002比6010大． 其中对2002的理解错误的网友是___________（填写网名字母代号）． 【答案】DDDD 【解析】 【分析】根据乘方的含义即可判断YYDS （永远的神）的理解是正确的；根据积的乘方的逆用，将2002化为1002(2)，再与2200比较，即可判断DDDD （懂的都懂）的理解是错误的；根据2的乘方的个位数字的规律即可判断JXND （觉醒年代）的理解是正确的；根据积的乘方的逆用可得2001020603202(2),10(10)==，即可判断QGYW （强国有我）的理解是正确的． 【详解】2002是200个2相乘，YYDS （永远的神）的理解是正确的；200100222(2)200=≠，DDDD （懂的都懂）的理解是错误的； 1234522,24,28,216,232===== ，∴2的乘方的个位数字4个一循环， 200450÷= ，∴2002的个位数字是6，JXND （觉醒年代）的理解是正确的；2001020603202(2),10(10)== ，10321024,101000==，且103210> 20060210∴>，故QGYW （强国有我）的理解是正确的；故答案为：DDDD ． 【点睛】本题考查了乘方的含义，幂的乘方的逆用等，熟练掌握乘方的含义以及乘方的运算法则是解题的关键．18．（2022·湖北恩施）观察下列一组数：2，12，27，…，它们按一定规律排列，第n 个数记为n a ，且满足21112n n n a a a +++=．则4a =________，2022a =________． 【答案】 15 13032【解析】 【分析】 由已知推出1211111n n n n a a a a +++-=-，得到202220211132a a -=，202120201132a a -=，L 431132a a -=，211132a a -=，上述式子相加求解即可． 【详解】 解：∵21112n n n a a a +++=；∴1211111n n n n a a a a +++-=-， ∵21111113212222a a -=-=-=，∵43411113227a a a -=-=，∴a 4=15，∴202220211132a a -=，202120201132a a -=，L 211132a a -=， 把上述2022-1个式子相加得2022111320212a a ⨯-=， ∴a 2022=13032， 故答案为：15，13032．【点睛】此题主要考查了数字的变化规律，关键是得出1211111n n n n a a a a +++-=-，利用裂项相加法求解．19．（2022·山东泰安）将从1开始的连续自然数按以下规律排列：若有序数对(),n m 表示第n 行，从左到右第m 个数，如()3,2表示6，则表示99的有序数对是_______． 【答案】()10,18 【解析】 【分析】分析每一行的第一个数字的规律，得出第n 行的第一个数字为211n +-（），从而求得最终的答案． 【详解】第1行的第一个数字：()2111=+-1 第2行的第一个数字：()22121=+- 第3行的第一个数字：()25131=+- 第4行的第一个数字：()210141=+- 第5行的第一个数字：()217151=+- …..，设第n 行的第一个数字为x ，得()211x n =+- 设第1n +行的第一个数字为z ，得21z n =+ 设第n 行，从左到右第m 个数为y 当99y =时221(1)991n n +-≤<+ ∴22(1)98n n -≤< ∵n 为整数 ∴10n =∴21182x n =+-=（）∴9982118m =-+=故答案为：()10,18． 【点睛】本题考查数字规律的性质，解题的关键是熟练掌握数字规律的相关性质．20．（2021·甘肃武威）一组按规律排列的代数式：2335472,2,2,2a b a b a b a b +-+-，…，则第n 个式子是___________． 【答案】()12112n n n a b +-+-⋅【解析】 【分析】根据已知的式子可以看出：每个式子的第一项中a 的次数是式子的序号；第二项中b 的次数是序号的2倍减1，而第二项的符号是第奇数项时是正号，第偶数项时是负号． 【详解】解：∵当n 为奇数时，()111n +-=；当n 为偶数时，()111n +-=-，∴第n 个式子是：()1211·2n n n a b +-+-．故答案为：()1211·2n n n a b +-+- 【点睛】本题考查了多项式的知识点，认真观察式子的规律是解题的关键．21．（2021·江苏扬州）将黑色圆点按如图所示的规律进行排列，图中黑色圆点的个数依次为：1，3，6，10，……，将其中所有能被3整除的数按从小到大的顺序重新排列成一组新数据，则新数据中的第33个数为___________．【答案】1275 【解析】 【分析】首先得到前n 个图形中每个图形中的黑色圆点的个数，得到第n 个图形中的黑色圆点的个数为()12n n +，再判断其中能被3整除的数，得到每3个数中，都有2个能被3整除，再计算出第33个能被3整除的数所在组，为原数列中第50个数，代入计算即可． 【详解】解：第①个图形中的黑色圆点的个数为：1，第②个图形中的黑色圆点的个数为：()1222+⨯=3，第③个图形中的黑色圆点的个数为：()1332+⨯=6，第④个图形中的黑色圆点的个数为：()1442+⨯=10，...第n个图形中的黑色圆点的个数为()12n n+，则这列数为1，3，6，10，15，21，28，36，45，55，66，78，91，...，其中每3个数中，都有2个能被3整除，33÷2=16...1，16×3+2=50，则第33个被3整除的数为原数列中第50个数，即50512⨯=1275，故答案为：1275．【点睛】此题考查了规律型：图形的变化类，关键是通过归纳与总结，得到其中的规律．22．（2022·黑龙江大庆）观察下列“蜂窝图”，按照这样的规律，则第16个图案中的“”的个数是____________．【答案】49【解析】【分析】根据题意可知：第1个图案中有六边形图形：1+2+1=4个，第2个图案中有六边形图形：2+3+2=7个，……由规律即可得答案．【详解】解：∵第1个图案中有六边形图形：1+2+1=4个，第2个图案中有六边形图形：2+3+2=7个，第3个图案中有六边形图形：3+4+3=10个，第4个图案中有六边形图形：4+5+4=13个，……∴第16个图案中有六边形图形：16+17+16=49个，故答案为：49． 【点睛】此题考查图形的变化规律，解题的关键是找出图形之间的运算规律，利用规律解决问题． 23．（2022·四川德阳）古希腊的毕达哥拉斯学派对整数进行了深入的研究，尤其注意形与数的关系，“多边形数”也称为“形数”，就是形与数的结合物．用点排成的图形如下：其中：图①的点数叫做三角形数，从上至下第一个三角形数是1，第二个三角形数是123+=，第三个三角形数是1236++=，……图②的点数叫做正方形数，从上至下第一个正方形数是1，第二个正方形数是134+=，第三个正方形数是1359++=，……由此类推，图④中第五个正六边形数是______．【答案】45 【解析】 【分析】根据题意找到图形规律，即可求解． 【详解】根据图形，规律如下表：三角形3正方形4五边形5六边形6LM 边形m11111 L1 2 1+2 1+211+2111+211 1L1+21(3)1m ⎫⎪-⎬⎪⎭3 1+2+31+2+31+21+2+31+21+21+2+31+21+2 1+2L1+2+312(3)12m +⎫⎪-⎬⎪+⎭4 1+2+3+41+2+3+41+2+31+2+3+41+2+3 1+2+31+2+3+41+2+3 1+2+3 1+2+3L 1+2+3+4123(3)123m ++⎫⎪-⎬⎪++⎭n 12n +++ 12n +++12(1)n +++-L12n +++12(1)n +++-L 12(1)n +++-L12n +++12(1)n +++-L 12(1)n +++-L 12(1)n +++-L L12n +++12(1)(3)12(1)n m n +++-⎫⎪-⎬⎪+++-⎭由上表可知第n 个M 边形数为：12)[12(1)]()(3S n n m +++++++-=-L L ， 整理得：1)(1)(3)2(2n n n n m S --+=+， 则有第5个正六边形中，n=5，m=6，代入可得：((1)(1)(3)15)55(51)(63)452222n n n S n m +--+--+=+==， 故答案为：45． 【点睛】本题考查了整式--图形类规律探索，理解题意是解答本题的关键．24．（2021·贵州铜仁）观察下列各项：112，124，138，1416，…，则第n 项是______________． 【答案】12nn + 【解析】 【分析】根据已知可得出规律：第一项：1111122=+，第二项：2112242=+，第三项：3113382=+…即可得出结果． 【详解】解：根据题意可知：第一项：1111122=+，第二项：2112242=+，第三项：3113382=+，第四项：41144162=+， …则第n 项是12n n +； 故答案为：12nn +． 【点睛】此题属于数字类规律问题，根据已知各项的规律得出结论是解决此类题目的关键． 25．（2022·江苏宿迁）按规律排列的单项式：x ，3x -，5x ，7x -，9x ，…，则第20个单项式是_____． 【答案】39x - 【解析】 【分析】观察一列单项式发现偶数个单项式的系数为：1,-奇数个单项式的系数为：1,而单项式的指数是奇数，从而可得答案． 【详解】解：x ，3x -，5x ，7x -，9x ，…，由偶数个单项式的系数为：1,- 所以第20个单项式的系数为1,- 第1个指数为：211,´- 第2个指数为：221,´- 第3个指数为：231,´-······指数为220139,´-= 所以第20个单项式是：39.x - 故答案为：39x - 【点睛】本题考查的是单项式的系数与次数的含义，数字的规律探究，掌握“从具体到一般的探究方法”是解本题的关键．26．（2022·四川遂宁）“勾股树”是以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边分别向外作正方形，重复这一过程所画出来的图形，因为重复数次后的形状好似一棵树而得名．假设如图分别是第一代勾股树、第二代勾股树、第三代勾股树，按照勾股树的作图原理作图，则第六代勾股树中正方形的个数为______．【答案】127【解析】【分析】由已知图形观察规律，即可得到第六代勾股树中正方形的个数．【详解】解：∵第一代勾股树中正方形有1+2=3（个），第二代勾股树中正方形有1+2+22=7（个），第三代勾股树中正方形有1+2+22+23=15（个），.....．∴第六代勾股树中正方形有1+2+22+23+24+25+26=127（个），故答案为：127．【点睛】本题考查图形中的规律问题，解题的关键是仔细观察图形，得到图形变化的规律． 27．（2021·贵州黔西）如图，在Rt ΔOAB 中，90AOB ∠=︒，OA OB =，1AB =，作正方形1111D C B A ，使顶点1A ，1B 分别在OA ，OB 上，边11C D 在AB 上；类似地，在Rt △11OA B 中，作正方形2222A B C D ；在Rt △22OA B 中，作正方形3333A B C D ；⋯；依次作下去，则第n 个正方形n n n n A B C D 的边长是______．【答案】13n【解析】【分析】法一：过O 作OM AB ⊥，通过做辅助线并结合等腰直角三角形的性质找到第二个正方形边长与第一个正方形边长的比值为13，依次类推可得第n 个正方形的边长． 法二：直接利用等腰直角三角形的性质，找到第二个正方形边长与第一个正方形边长的比值为13，依次类推可得第n 个正方形的边长． 【详解】解：法1：过O 作OM AB ⊥，交AB 于点M ，交11A B 于点N ，如图所示：11//A B AB ，11ON A B ∴⊥，OAB ∆ 为斜边为1的等腰直角三角形，1122OM AB ∴==， 又 △11OA B 为等腰直角三角形，111122ON A B MN ∴==， :1:3ON OM ∴=，∴第1个正方形的边长1122113323A C MN OM ===⨯=， 同理第2个正方形的边长22222113363A C ON ==⨯=， 则第n 个正方形n n n n AB DC 的边长13n； 法2：由题意得：45A B ∠=∠=︒，11111111AC A C C D B D BD ∴====，1AB =，111133C D AB ∴==， 同理可得：221122111333C D A B AB ===， 依此类推13n n n C D =． 故答案为：13n． 【点睛】 本题考查了等腰直角三角形与正方形的性质，能够准确利用相关性质找到正方形边长的比值规律是解决本题的关键．28．（2022·黑龙江齐齐哈尔）如图，直线:l y x =+x 轴相交于点A ，与y 轴相交于点B ，过点B 作1BC l ⊥交x 轴于点1C ，过点1C 作11B C x ⊥轴交l 于点1B ，过点1B 作12B C l ⊥交x 轴于点2C ，过点2C 作22B C x ⊥轴交l 于点2B …，按照如此规律操作下去，则点2022B 的纵坐标是______________．【答案】202243⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】【分析】 先根据30°的特殊直角三角形，如AOB ，1BAC ，1BOC △，11BC B △求出B 点，B 1点的纵坐标，发现规律，即可【详解】∵:l y =当0y =时，3x =-当0x =时，y =故(3,0)A -，B∴AOB 为30°的直角三角形∴30BAO ∠=︒∵1BC l ⊥∴1BAC 为30°的直角三角形∴160OC B ∠=︒∴1BOC △为30°的直角三角形1BC = ∵11B C x ⊥轴∴11B C BO ∥∴111B C B C BO ∠=∠11BC B △为30°的直角三角形211143B C BC OB OB === 同理： 2222121143B C C B C OB ⎛⎫== ⎪⎝⎭ 33343B C OB ⎛⎫= ⎪⎝⎭…43n n n B C OB ⎛⎫= ⎪⎝⎭故：20222022202220224433B C OB ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故答案为：202243⎛⎫ ⎪⎝⎭【点睛】 本题考查30°的特殊直角三角形；注意只用求点2022B 的纵坐标，即20222022B C 长度 29．（2021·山东潍坊）在直角坐标系中，点A 1从原点出发，沿如图所示的方向运动，到达位置的坐标依次为：A 2（1，0），A 3（1，1），A 4（﹣1，1），A 5（﹣1，﹣1），A 6（2，﹣1），A 7（2，2），…．若到达终点An （506，﹣505），则n 的值为 _______．【答案】2022【解析】【分析】终点()506505n A -，在第四象限，寻找序号与坐标之间的关系可求n 的值． 【详解】解：∵()506505-，是第四象限的点， ∴()506505n A -，落在第四象限． ∴在第四象限的点为()()()()61014213243506505n A A A A ---⋯-，，，，，，，，． ∵64121042214432=⨯-+=⨯-+=⨯-+，，，18442=⨯-+⋯，， ∴450522022n =⨯-+=．故答案为：2022【点睛】本题考查了点坐标的位置及坐标变化规律的知识点，善于观察并寻找题目中蕴含的规律是解题的关键．30．（2021·内蒙古呼伦贝尔）如图，点1B 在直线1:2l y x =上，点1B 的横坐标为1，过点1B 作11B A x ⊥轴，垂足为1A ，以11A B 为边向右作正方形1112A B C A ，延长21A C 交直线l 于点2B ；以22A B 为边向右作正方形2223A B C A ，延长32A C 交直线l 于点3B ；……；按照这个规律进行下去，点2021B 的坐标为___________．【答案】202020202020202133(,)22【解析】【分析】由题意分别求出A 1、A 2、A 3、A 4……A n 、B 1、B 2、B 3、B 4……B n 、的坐标，根据规律进而可求解．【详解】解：∵点1B 在直线1:2l y x =上，点1B 的横坐标为1，过点1B 作11B A x ⊥轴，垂足为1A ， ∴1(1,0)A ，11(1,)2B ，∴A 1B 1=12，根据题意，OA 2=1+12=32， ∴23(,0)2A ，233(,)24B ， 同理，39(,0)4A ，399(,)48B ， 427(,0)8A ，42727(,)816B …… 由此规律，可得：113(,0)2n n n A --，11133(,22n n n n n B ---， ∴2021120211202120211202133(,22B ---即2020202020212020202133(,22B ， 故答案为：202020202020202133(,)22． 【点睛】本题考查一次函数的应用、正方形的性质、点的坐标规律，理解题意，结合图象和正方形的性质，探索点的坐标规律是解答的关键．31．（2021·辽宁朝阳）如图，在矩形ABCD 中，AB ＝1，BC ＝2，连接AC ，过点D 作DC 1⊥AC于点C 1，以C 1A ，C 1D 为邻边作矩形AA 1DC 1，连接A 1C 1，交AD 于点O 1，过点D 作DC 2⊥A 1C 1于点C 2，交AC 于点M 1，以C 2A 1，C 2D 为邻边作矩形A 1A 2DC 2，连接A 2C 2，交A 1D 于点O 2，过点D 作DC 3⊥A 2C 2于点C 3，交A 1C 1于点M 2；以C 3A 2，C 3D 为邻边作矩形A 2A 3DC 3，连接A 3C 3，交A 2D 于点O 3，过点D 作DC 4⊥A 3C 3于点C 4，交A 2C 2于点M 3…若四边形AO 1C 2M 1的面积为S 1，四边形A 1O 2C 3M 2的面积为S 2，四边形A 2O 3C 4M 3的面积为S 3…四边形An ﹣1OnCn ＋1Mn 的面积为Sn ，则Sn ＝__________．（结果用含正整数n 的式子表示）【答案】11945n n -+⨯ 【解析】【分析】根据四边形ABCD 是矩形，可得AC 运用面积法可得DC 1＝AB BC AC ⋅，进而得出DCn ＝n ，得出S 1＝21920DC ，……，Sn ＝2920n DC ＝920×2n ＝11945n n -+⨯． 【详解】解：∵四边形ABCD 是矩形，∴∠B ＝90°，AD ∥BC ，AD ＝BC ＝2，CD ＝AB ＝1，∴AC∵DC 1•AC ＝AB •BC ，∴DC 1＝AB BC AC⋅，同理，DC 2DC 1）2，DC 3）3， ……，DCn n ，∵11DC CC ＝tan ∠ACD ＝AD CD＝2， ∴CC 1＝12DC 1∵tan ∠CAD ＝11DC AC ＝CD AD ＝12， ∴A 1D ＝AC 1＝2DC 1∴AM 1＝AC 1﹣C 1M 1＝2DC 1﹣12DC 1＝32×DC 1， 同理，A 1M 2＝32×DC 2， A 2M 3＝32×DC 3， ……，An ﹣1Mn ＝32×DCn ， ∵四边形AA 1DC 1是矩形，∴O 1A ＝O 1D ＝O 1A 1＝O 1C 1＝1，同理∵DC 2•A 1C 1＝A 1D •DC 1，∴DC 2＝1111A D DC A C ⋅＝45， 在Rt △DO 1C 2中，O 1C 235＝34DC 2， 同理，O 2C 3＝34DC 3， O 3C 4＝34DC 4， ……，OnCn ＋1＝34DCn ＋1， ∴1121211ADM O DC AO C M S S S S ==- 四边形 ＝12×AM 1×DC 1﹣12×O 1C 2×DC 2 ＝（34﹣310）21DC ＝21920DC＝925， 同理，1223222920A DM O DC S S S DC =-=＝920×4＝3945⨯，S 3＝92023DC ＝920×6＝24945⨯， ……，Sn ＝9202n DC ＝920×2n＝11945n n -+⨯． 故答案为：11945n n -+⨯． 【点睛】本题考查了矩形性质，勾股定理，解直角三角形，三角形面积等，解题关键是通过计算找出规律．32．（2020·四川广安）如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正方形OA 1B 1C 1的两边在坐标轴上，以它的对角钱OB 1为边作正方形OB 1B 2C 2，再以正方形OB 1B 2C 2的对角线OB 2为边作正方形OB 2B 3C 3……以此类推，则正方形OB 2020B 2021C 2021的顶点B 2021的坐标是________．【答案】（-21011，-21011）【解析】【分析】首先先求出B 1、B 2、B 3、B 4、B 5、B 6、B 7、B 8、B 9、B 10的坐标，找出这些坐标之间的规律，然后根据规律计算出点B 2021的坐标．【详解】解：∵正方形OA1B1C1的边长为2，∴OB1B1的坐标为（2，2）∴OB2∴B2（0，4），同理可知B3（-4，4），B4（-8，0），B5（-8，-8），B6（0，-16），B7（16，-16），B8（32，0），B9（32，32），B10（0，64）．由规律可以发现，点B1在第一象限角平分线上、B2在y轴正半轴上、B3在第二象限角平分线上、B4在x轴负半轴上、B5在第三象限角平分线上、B6在y轴负半轴上、B7在第四象限角平分线上、B8在x轴正半轴上、B9在第一象限角平分线上、B10在y轴正半轴上，每经过8次作图后，点的坐标符号与第一次坐标的符号相同，倍，∵2021÷8=252⋯⋯5，∴B2021和B5都在第三象限角平分线上，且OB2021=2×2021=2×21010=21011∴点B2021到x轴和y轴的距离都为21011=21011．∴B2021（-21011，-21011）故答案为：（-21011，-21011）．【点睛】此题考查的是一个循环规律归纳的题目，解答此题的关键是确定几个点坐标为一个循环，再确定规律即可．33．（2020·黑龙江齐齐哈尔）如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形①沿x轴正半轴滚动并且按一定规律变换，每次变换后得到的图形仍是等腰直角三角形．第一次滚动后点A1（0，2）变换到点A2（6，0），得到等腰直角三角形②；第二次滚动后点A2变换到点A3（6，0），得到等腰直角三角形③；第三次滚动后点A3变换到点A4（10，），得到等腰直角三角形④；第四次滚动后点A4变换到点A5（，0），得到等腰直角三角形⑤；依此规律…，则第2020个等腰直角三角形的面积是_____．【答案】22020【解析】。
【高中数学数学文化鉴赏训与学习】 专题27 阿基米德多面体 (以阿基米德多面体为背景)解析版
【高中数学数学文化鉴赏与学习】阿基米德多面体（以阿基米德多面体为背景的高中数学考题题组训练）一、单选题1．半正多面体亦称“阿基米德多面体”是由边数不全相同的正多边形围成的多面体，体现了数学的对称美．二十四等边体就是一种半正多面体，是由八个正三角形和六个正方形构成的（如图所示），则异面直线AB 与CF 所成的角为（）A ．6πB ．4πC ．3πD ．2π故选：C2．“阿基米德多面体”也称为半正多面体，是由边数不全相同的正多边形围成的多面体，它体现了数学的对称美．如图是以一正方体的各条棱的中点为顶点的多面体，这是一个有八个面为正三角形，六个面为正方形的“阿基米德多面体”.若该多面体的棱长为1，则经过该多面体的各个顶点的球的表面积为（）A．8πB．4πC．3πD．2π故选：B3．半正多面体亦称“阿基米德多面体”，是由边数不全相同的正多边形围成的多面体，体现了数学的对称美．二十四等边体就是一种半正多面体，它是由正方体的各条棱的中点连接形成的几何体、它由八个正三角形和六个正方形围成（如图所示），若它所有棱的长都为2，则下列说法错误的是（）A ．该二十四等边体的表面积为24+B ．QH ⊥平面ABEC ．直线AH 与PN 的夹角为60︒D ．该半正多面体的顶点数V 、面数F 、棱数E ，满足关系式2V F E +-=D 正确；故选：B.4．“阿基米德多面体”也称为半正多面体，半正多面体是由两种或多种正多边形面组成，而又不属于正多面体的凸多面体．如图，某广场的一张石凳就是一个阿基米德多面体，它是由正方体截去八个一样的四面体得到的．若被截正方体的棱长为40cm ，则该阿基米德多面体的表面积为（）A ．(24800cm +B ．(24800cm +C ．(23600cm +D ．(23600cm +5．“阿基米德多面体”也称为半正多面体，是由边数不全相同的正多边形为面围成的多面体，它体现了数学的对称美.如图，将一个正方体沿交于一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，共可截去八个三棱锥，得到八个面为正三角形，六个面为正方形的“阿基米德多面体”，则该多面体中具有公共顶点的两个正三角形所在平面的夹角正切值为（）A．2B ．1C D ．建立如图所示空间直角坐标系，设正方体的棱长为则(1,0,2),(2,1,2),(2,0,1),(2,1,0),(1,0,0),E F G H K 设平面EFG 的法向量为(,,),m x y z = (1,1,0),EF = 所以00EF m x y EG m x z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=-=⎪⎩，令1,1,1x y z ==-=，所以设平面GHK 的法向量为(,,),n a b c = (0,1,GH =- 所以00GH n b c GK n a c ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=--=⎪⎩ ，令1,1,1a b c ==-=-，所以6．如图，将正方体沿交于同一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，如此共可截去八个三棱锥，截取后的剩余部分称为“阿基米德多面体”，它是一个24等边半正多面体．从它的棱中任取两条，则这两条棱所在的直线为异面直线的概率为（）A ．1023B ．1223C ．2969D ．50697．半正多面体（semiregular solid ）亦称“阿基米德多面体”，是由边数不全相同的正多四面体，得到的一个半正多面体，则下列说法错误的是（）A ．该半正多面体是十四面体B ．该几何体外接球的体积为43πC ．该几何体的体积与原正方体的体积比为5∶6D ．原正方体的表面积比该几何体的表面积小8．“阿基米德多面体”这称为半正多面体（semi-regularsolid ），是由边数不全相同的正多边形为面围成的多面体，它体现了数学的对称美.如图所示，将正方体沿交于一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，共可截去八个三棱锥，得到八个面为正三角形、六个面为正方形的一种半正多面体.已知2AB =，则该半正多面体外接球的表面积为（）A ．18πB ．16πC ．14πD ．12π【答案】A 【分析】根据正方体的对称性可知：该半正多面体外接球的球心为正方体的中心O ，进而可求球的半径和表面积.【详解】如图，在正方体1111F EFG E G H H -中，取正方体、正方形1111E F G H 的中心O 、1O ，连接1111,,,E G OO OA O A ，9．中国有悠久的金石文化，印信是金石文化代表之一，印信的形状多为长方体､正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”.半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体，古希腊著名数学家阿基米德研究过此类多面体的性质，故半正多面体又被称为“”.半正多面体体现了数学的对称美，如图，是一个棱数为24的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的棱上，且此正方体的棱长为1.则下列关于该多面体的说法中错误的是（）A ．多面体有12个顶点，14个面B ．多面体的表面积为3C ．多面体的体积为56D ．多面体有外接球（即经过多面体所有顶点的球）【答案】B【分析】求得一个棱数为24的半正多面体的顶点数和面数，可判断A ；将半正多面体10．半正多面体亦称“阿基米德多面体”，是由边数不全相同的正多边形围成的多面体，体现了数学的对称美．二十四等边体就是一种半正多面体，是由正方体切截而成的，它由八个正三角形和六个正方形围成（如图所示），若它所有棱的长都为2，则（）A ．BC ⊥平面ABEB ．该二十四等边体的体积为3C ．ME 与PN 所成的角为45D ．该二十四等边体的外接球的表面积为16π【答案】D【分析】依题意补齐正方体，对于A ，假设BC ⊥平面ABE ，得到90EBC ∠=︒，根据六边形EBCGQM 为正六边形，120EBC ∠=︒，得出矛盾判断A ；对于B ，结合集合图形，该二十四等边体的体积为正方体体积去掉八个三棱锥体积，从而求出B ；对于C ，由平移法找出异面直线所成角为60NPF ∠=︒，判断C ；对于D ，取正方形A C P M 对角线交点为O ，即为该二十四等边体的外接球球心，从而求出半径大小，进而求出外接球体积，判断D.【详解】依题意，补齐正方体，如下图，对于A ，假设BC ⊥平面ABE ，BE ⊂ BE BC ∴⊥，90EBC ∴∠=︒，二十四等边体就是一种半正多面体，由对称性可知，六边形EBCGQM 为正六边形，120EBC ∴∠=︒，在等腰Rt PFC △中，22=PC ，在正方形A C P M 中，2AO =，即外接球半径2R =，∴该二十四等边体的外接球的表面积24π16πS R ==，D 正确.故选：D.11．有很多立体图形都体现了数学的对称美，其中半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体，半正多面体因其最早由阿基米德研究发现，故也被称作阿基米德体.如图，这是一个棱数为24，的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，可以看成是由一个正方体截去八个一样的四面体所得.若点E 为线段BC 上的动点，则直线DE 与直线AF 所成角的余弦值的取值范围为（）A ．132⎡⎢⎣⎦B ．132⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．122⎡⎢⎣⎦D ．122⎡⎤⎢⎥⎣⎦因为半正多面体的棱长为2，故正方体的棱长为所以()()2,1,0,2,2,1A F ，()()1,0,2,0,1,2,B C12．半正多面体亦称“阿基米德多面体”，是由边数不全相同的正多边形围成的多面体，体现了数学的对称美.二十四等边体就是一种半正多面体，它是由正方体的各条棱的中点连接形成的几何体.它由八个正三角形和六个正方形围成（如图所示），若它的棱长为2，则下列说法错误的是（）A ．该二十四等边体的外接球的表面积为16πB ．该半正多面体的顶点数V 、面数F 、棱数E ，满足关系式2V F E +-=C ．直线AH 与PN 的夹角为60°D ．QH ⊥平面ABE【答案】D【分析】将二十四等边体补齐成正方体，根据空间几何相关知识进行判断.【详解】由已知，补齐二十四等边体所在的正方体如图所示记正方体体心为O ，取下底面ABCD 易知112OO BO ==，则外接球半径所以外接球的表面积2=416S R π=由欧拉公式可知：顶点数+面数又因为PN ∥AD ，易知直线AH 直线AH 与PN 的夹角为60 ，故13．“阿基米德多面体”是由边数不全相同的正多边形为面围成的多面体，它体现了数学的对称美.如图，将正方体沿交于一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，共可截去八个三棱锥，得到八个面为正三角形，六个面为正方形的“阿基米德多面体”.若该多面体的棱长为2，则其外接球的表面积为（）A ．16πB ．8πC ．16π3D ．32π3【答案】A 【分析】根据其外接球为正四棱柱的外接球，再结合球的表面积公式，即可得到结果.【详解】由题意可得2AB =，根据该几何体的对称性可知，22的正四棱柱的外接球，即()22R =2，则该正多面体外接球的表面积4πS =14．“阿基米德多面体”也称半正多面体，是由边数不全相同的正多边形围成的多面体，它体现了数学的对称美.如图是以一正方体的各条棱的中点为顶点的多面体，这是一个有八个面为正三角形，六个面为正方形的“阿基米德多面体”，若该多面体的棱长为1，则经过该多面体的各个顶点的球的体积为（）A ．4π3BC ．4πD ．8π由于多面体的棱长为1，则正方体的棱长为因此该多面体是由棱长为2的正方体连接各棱中点所得，于是得该多面体的外接球球心是正方体体对角线中点，该多面体外接球半径R等于球心到一个顶点的距离，即正方体面对角线的一半，则222R=⨯，解得1R=，15．有很多立体图形都体现了数学的对称美，其中半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体，半正多面体因其最早由阿基米德研究发现，故也被称作阿基米德体.如图，这是一个棱数为24，的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，可以看成是由一个正方体截去八个一样的四面体所得.若点E为线段BC上的动点，则下列结论不正确的是（）A．存在点E、使得A、F、D、E四点共面；B．存在点E，使DE DF⊥；C．存在点E，使得直线DE与平面CDF所成角为π3；D．存在点E，使得直线DE与直线AF10.【答案】C【分析】将半正多面体补成一个棱长为2的正方体，当点E在点C时，根据//DF AC，得A、F、D、E四点共面，故A正确；当点E在点B时，根据正方体的性质易得DE DF⊥，则半正多面体的所有顶点都是正方体的棱的中点，对A ，当点E 在点C 时，对B ，当点E 在点B 时，易得以O 为原点，过O 的三条棱所在直线分别为则()2,1,0A ，()2,2,1F ，(1,0,2B 对C ，设BE BC λ= (01)λ≤≤，则(,2,0)λλ=--，设平面CDF 的一个法向量为n = 则0n CD x y ⎧⋅=+=⎪⎨ ，令x二、多选题16．半正多面体（semiregular solid ）亦称“阿基米德多面体”，是由边数不全相同的正多边形围成的多面体，半正多面体有且只有13种．最早用于1970年世界杯比赛的足球就可以近似看作是由12个正五边形和20个正六边形组成的半正面体，半正多面体体现了数学的对称美．如图所示的二十四等边体就是一种半正多面体，它由8个正三角形和6个正方形围成，它是通过对正方体进行八次切截而得到的．若这个二十四等边体的棱长都为2，则下列结论正确的是（）A ．MQ 与平面AEMH 不可能垂直B ．异面直线BC 和EA 所成角为60 C ．该二十四等边体的体积为3D ．该二十四等边体外接球的表面积为18π对于D ，取正方形A C P M 对角线的交点为其半径为2212R AC AM =+=所以该二十四面体的外接球的表面积为故选：ABC.17．“阿基米德多面体”也称为半正多面体，是由边数不全相同的正多边形为面围成的多面体，它体现了数学的对称美．如图，将正方体沿交于一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，共截去八个三棱锥，得到的半正多面体的表面积为12+，则关于该半正多面体的下列说法中正确的是（A ．AB =B ．该半正多面体的外接球的表面积为6πC ．AB 与平面BCD 所成的角为4πD ．与AB 所成的角是3π的棱共有16条【答案】ACD【分析】补全该半正多面体得到一正方体，根据条件计算正方体的棱长，再求AB 的长，判断A;利用几何体的对称性确定该半正多面体的外接球的球心及半径,判断B ；根据线面角的定义找到线面角，解三角形求其大小,判断C ；利用平行关系，确定与AB 所成的18．半正多面体（semiregularsolid）亦称“阿基米德多面体”，是由边数不全相同的正多边形围成的多面体，体现了数学的对称美，二十四等边体就是一种半正多面体，是由正方体切截而成的，它由八个正三角形和六个正方形构成（如图所示），若它的所有棱长都为2，则（）A ．BF EAB⊥平面B ．AB 与PF 所成角为45°C ．该二十四等边体的体积为203D ．该二十四等边体多面体有12个顶点，14个面对于A ：正方体的体对角线RS ⊥平面EAB ，而RS 所以BF ⊥平面EAB 不成立，即选项A 错误；对于B ：因为PF AH ∥，所以HAB ∠是AB 与PF 所成角或其补角，在ABH 中，2AH AB ==，2222121BH =++=因为222+AH AB BH ≠，所以45HAB ∠≠ ，即选项对于C ：因为该二十四等边体的所有棱长都为2所以正方体的棱长为2，19．“阿基米德多面体”也称为半正多面体，它是由边数不全相同的正多边形为面围成的多面体，体现了数学的对称美．如图，将正方体沿交于同一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，共截去八个三棱锥，得到的半正多面体的表面积为12+多面体的下列说法中正确的是（）A ．AB 与平面BCD 所成的角为4πB ．AB =C ．与AB 所成的角是3π的棱共有16条D ．该半正多面体的外接球的表面积为6π20．半正多面体亦称“阿基米德多面体”，是由边数不全相同的正多边形围成的多面体，体现了数学的对称美．二十四等边体就是一种半正多面体，是由正方体切截而成的，它由八个正三角形和六个正方形围成（如图所示），若它所有棱的长都为2，则（）A ．BC ⊥平面ABEB ．该二十四等边体的体积为3C ．ME 与NP的夹角为60︒D ．该二十四等边体的外接球的表面积为16π【答案】BD对于A ，假设BC ⊥平面ABE BE BC ∴⊥，90EBC ∴∠=︒，二十四等边体就是一种半正多面体，由对称性可知，六边形EBCGQM 120EBC ∴∠=︒，这与“90EBC ∠=︒”矛盾，所以假设不成立，∴该二十四等边体的外接球的表面积24π16πS R ==，D 正确.故选：BD.21．有很多立体图形都体现了数学的对称美，其中半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体，半正多面体因其最早由阿基米德研究发现，故也被称作阿基米德体.如图，这是一个棱数为24，的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，可以看成是由一个正方体截去八个一样的四面体所得.若点E 为线段BC 上的动点（包含端点），则下列说法正确的是（）A ．该半正多面体的体积为163B ．当点E 运动到点B 时，//DE FGC ．当点E 在线段BC 上运动时（包含端点），AH 始终与DE 垂直D ．直线DE 与平面AFHG 所成角的正弦值的取值范围为⎡⎢⎣⎦该几何体为大正方体截取八个一样的正三棱锥得到的，则体积为11202228111323⨯⨯-⨯⨯⨯⨯⨯=确； 在正方体中，AH 始终垂直于平面22．很多立体图形都体现了数学的对称美，其中半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体，半正多面体因其最早由阿基米德研究发现，故也被称作阿基米德体．如图，这是一个棱数24，棱长为的半正多面体，它所有顶点都在同一个正方体的表面上，可以看成是由一个正方体截去八个一样的四面体所得的．下列结论正确的有（）A．该半正多面体的表面积为48+B．AG⊥平面BCDGC．点B到平面ACD D．若E为线段BC的中点，则异面直线DE与AF故选：BCD23．很多立体图形都体现了数学的对称美，其中半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体，半正多面体因其最早由阿基米德研究发现，故也被称作阿基米德体．如图，这是一个棱数为24，棱长为方体的表面上，可以看成是由一个正方体截去八个一样的四面体所得，则下列各选项正确的是（）A ．该半正多面体的体积为203B ．A ，C ，D ，F 四点共面C ．该半正多面体外接球的表面积为12πD ．若点E 为线段BC 上的动点，则直线DE 与直线AF 所成角的余弦值的取值范围为12⎡⎢⎣⎦又(1,1,0)BC =-，设(,,0)BE BC λλλ==-24．半正多面体亦称“阿基米德体”，是由边数不全相同的正多边形为面的多面体．如图，将正四面体每条棱三等分，截去顶角所在的小正四面体，得到一个有八个面的半正多面体．点A 、B 、C 是该多面体的三个顶点，且棱长2AB =，则下列结论正确的是（）A ．该多面体的表面积为B ．该多面体的体积为3C ．该多面体的外接球的表面积为22πD ．若点M 是该多面体表面上的动点，满足CM AB ⊥时，点M 的轨迹长度为4+延长MO交NG于点H，则因为MNG为等边三角形，则易知点O为MNG的中心，则因为PO⊥平面MNG，MO则MN⊥平面CEF，原正四面体（棱长为6）的高为3由题意可知，“阿基米德体”的外接球球心易知23232323EN=⨯⨯=，即正底面正六边形的外接圆半径为2，由正六边形的几何性质可知ABK ∠因为BK CK =，则30KBC ∠= ，所以，即BC AB ⊥，同理可知BQ AB ⊥，因为AB BQ B = ，BC 、BQ ⊂平面因为CQ ⊂平面BCQ ，所以，AB 由余弦定理可得2BC BK CK =+三、填空题25．很多立体图形都体现了数学的对称美，其中半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体，半正多面体因其最早由阿基米德研究发现，故也被称作阿基米德体.如图，这是一个棱数为24的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，可以看成是由一个正方体截去八个一样的四面体所得.若E 为线段BC 的中点，则直线DE 与直线AF 所成角的余弦值为___________.建立如图所示的空间直角坐标系.因为该半正多面体的棱长为2，所以正方体的棱长为()(2.2,1,0,A F ()()110,1,2,,,2,1,2,2,22C E D ⎛⎫ ⎪⎝⎭()130,1,1,,,0,22AF DE ⎛⎫==-- ⎪⎝⎭ ，35cos ,10AF DE AF DE AF DE⋅==- ，26．“阿基米德多面体”也称半正多面体，是由边数不全相同的正多边形围成的多面体，它体现了数学的对称美.二十四等边体就是一种半多正多面体．如图，棱长为1的正方体截去八个一样的四面体，就得到二十四等边体，则该几何体的体积为________．27．半正多面体亦称“阿基米德体”“阿基米德多面体”，是以边数不全相同的正多边形为面的多面体.某半正多面体由44个正六边形构成，其可由正四面体切割MN=，若在该半正多面体内放一个球，则该球表面积的最大值而成，如图所示.已知1为__________.在PDE △中，333322PD =⨯=该半正多面体所在的正四面体的高为：22233322h PD DE ⎛⎫⎛=-=- ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝设点O '到正六边形所在平面的距离为O 'O F PD '⊥28．半正多面体亦称“阿基米德体”“阿基米德多面体”，是由边数不全相同的正多边形为面的多面体.某半正多面体由4个三角形和4个正六边形构成，其可由正四面体切割而成，如图所示.若点G 在直线BC 上，且5,1BG BC BC == ，则直线EF 与直线AG 所成角的余弦值为__________．【答案】42则313,,0,,1,223A B ⎛⎫⎛- ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝3126,,,623C E ⎛⎫⎛-- ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝5316,,,623EF BC ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭ 29．半正多面体（semiregularsolid ）亦称“阿基米德多面体”，是由边数不全相同的正多边形围成的多面体，体现了数学的对称美.二十四等边体就是一种半正多面体，是由正方体切截而成的，它由八个正三角形和六个正方形构成（如图所示），若它的所有棱长______.①BF ⊥平面EAB ；②AB 与PF 所成角为45︒；③该二十四等边体的体积为203；④该二十四等边体外接球的表面积为8π.因为该二十四等边体的所有棱长都为2，所以正方体的棱长为对于①：根据正方体的性质可得AB ⊥平面同理可证BE RS ⊥，AB BE B ⋂=，,AB BE 所以RS ⊥平面EAB ，而RS 与BF 是异面直线，所以BF ⊥平面EAB 不成立，即选项①错误；对于②：因为//PF AH ，所以BAH ∠是AB 与PF 所成角或其补角，在ABH 中，2AH AB ==，22212BH =+30．将棱长为12的正四面体沿棱长的三等分点处截去四个小正四面体后，所得的多面体称为阿基米德体，如图所示.若点N在阿基米德体的表面上运动，且直线MN与直线⊥，则动点N的轨迹所围成平面图形的面积是___________.AB始终满足MN AB【详解】CH DH如图，取直线AB中点H，连接,易知，在正四面体中AB⊥面CDH，又BMK平面CDH，所以AB//所以满足条件的动点N的轨迹所围成平面图形为22四、双空题31．半正多面体（又称作“阿基米德体”），是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体，其构成体现了数学的对称美．如图，这是一个棱数为2414面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，可以看成是由一个正方体沿共顶点的三条棱的中点截去八个相同的三棱锥所得，则这个半正多面体的体积为______﹔若点E 为线段BC 上的动点，则直线DE 与平面AFG 所成角的正弦值的取值范围为__________则()()()(2,1,0,2,2,1,1,2,2,A F D G 设()(),1,2,01,0,1,1,E t t t AF -≤≤= 设平面AFG 的一个法向量为(,n x = 00AG n x y AF n y z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩，令1x =，则n32．阿基米德多面体也称为半正多面体，是以边数不全相同的正多边形为面围成的多面体．如图，已知阿基米德多面体的所有顶点均是一个棱长为2的正方体各条棱的中点，则该阿基米德多面体的体积为______；若M ，N 是该阿基米德多面体表面上任意两点，则M ，N 两点间距离的最大值为______．【答案】203##263322所以该阿基米德多面体是由正方体切掉其体积112088111323V =-⨯⨯⨯⨯⨯=该阿基米德多面体的外接球刚好是正方体的棱切球，点的球，33．“阿基米德多面体”也称为半正多面体，是由边数不全相同的正多边形为面围成的多面体，它体现了数学的对称美.如图，将一个棱长为2正方体沿交于一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，共可截去八个三棱锥，得到八个面为正三角形，六个面为正方形的“阿基米德多面体”，则该多面体的表面积为___________；其外接球的表面积为___________.34．有很多立体图形都体现了数学的对称美，其中半正多面体是由两种成两种以上的正多边形围成的多面体，半正多面体因其最早由阿基米德研究发现，故也被称作阿基米德体.如图，这是一个棱数为24，的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，可以看成是由一个正方体截去八个一样的四面体所得，这个正多面体的表面积为___________.若点E为线段BC上的动点，则直线DE与直线AF所成角的余弦值的取值范围为___________.35．如图，将正四面体每条棱三等分，截去顶角所在的小正四面体，余下的多面体就成为一个半正多面体，亦称“阿基米德体”．点A ，B ，M 是该多面体的三个顶点，点N 是该多面体外接球表面上的动点，且总满足MN AB ⊥，若4AB =，则该多面体的表面积为______；点N 轨迹的长度为______．如图，设点H 为该多面体的一个顶点，则8HF MF ==，4BF =.在HBF 中，2222cos HB HF BF HF BF =+-⋅⋅则43HB =，所以222HB BF HF +=，HB BF ∴⊥，即HB AB ⊥，同理MB AB ⊥，又MB HB B = ，AB ∴⊥平面MHB .点N 是该多面体外接球表面上的动点，由题可知，。
微专题27-非对称韦达定理可编辑全文
∴kk12＝x1y＋1 1·x2y－2 1＝4（x1－1y）1y（2 x2－1）＝4（my1＋1y）1y（2 my2＋1） ＝4[m2y1y2＋my（1yy2 1＋y2）＋1] ＝4m2＋my1y＋1y2y2＋y11y2 ＝4m2＋m×－43m＋4m122－1＝－13. 法三(极点、极线法) 点 T(2，0)对应的极线方程为21x＝1，即 x＝12.
Δ>0，
则y1＋y2＝－4m162－m 1，
①
y1y2＝4m122－1， ②
索引
而① ②得y1y＋1y2y2＝－43m， ∴my1y2＝－34(y1＋y2)， 法一(双参变单参) 又 k1＝x1y＋1 1， k2＝x2y－2 1， ∴kk12＝x1y＋1 1·x2y－2 1＝mmyy11yy22＋＋3yy12＝－－4433（（yy11＋＋yy22））＋＋3yy12＝－13.
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有aa9422－－b3212b＝2＝1，1，解得ab22＝＝31，， 故 C 的方程为x32－y2＝1.
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(2)过点(3，0)的直线l交C于P，Q两点，过点P作直线x＝1的垂线，垂足为A. 证明：直线AQ过定点. 证明 当直线 l 与 x 轴不重合时，设直线 l：x＝my＋3 代入x32－y2＝1，
索引
法二(第三定义法) 由题意得 kMA＝x1y＋1 1，kMB＝x1y－1 1，由 x21－y421＝1，得 y21＝4(x21 －1)， ∴kMAkMB＝x21y－21 1＝4， 即 k1kMB＝x21y－21 1＝4， ∴k1＝x1y＋1 1＝4（x1y－1 1）. 又 k2＝kNB＝x2y－2 1，
k1，k2，若k1，k0，k2成等差数列，求实数t的值.
解 设直线l：x＝my＋1，M(x1，y1)，N(x2，y2)， x＝my＋1，
专题27 探究向心力大小的表达式(解析版)
2023届高三物理一轮复习多维度导学与分层专练专题27 探究向心力大小的表达式导练目标导练内容目标1教材经典实验方案的原理、步骤和数据处理目标2新高考的改进创新实验一、教材经典实验方案的原理、步骤和数据处理1.实验目的：探究向心力与物体的质量、转动的角速度、转动的半径之间的定量关系。
2.实验思路：采用控制变量法探究(1)使两物体的质量、转动的半径相同,探究向心力的大小跟转动的角速度的定量关系;(2)使两物体的质量、转动的角速度相同,探究向心力的大小跟转动的半径的定量关系;(3)使两物体的转动半径、转动的角速度相同,探究向心力的大小跟物体质量的定量关系。
3.实验器材：向心力演示仪,见下图。
当转动手柄1时,变速塔轮2和3就随之转动,放在长滑槽4和短滑槽5中的球A和B都随之做圆周运动。
球由于惯性而滚到横臂的两个短臂挡板6处,短臂挡板就推压球,给球提供了做圆周运动所需的向心力。
由于杠杆作用,短臂向外时,长臂就压缩塔轮转轴上的测力部分的弹簧,使测力部分套管7上方露出标尺8的格数,便显示出了两球所需向心力之比。
4.进行实验：(1)安装并调试向心力演示仪:在滑槽静止时,旋动两测力部分标尺的调零螺母,使两套管的上沿都与标尺顶端对齐。
(2)把两个质量相同的小球放在长槽和短槽上,使它们的转动半径相同,调整塔轮上的皮带,使两个小球转动的角速度之比分别为1∶1、1∶2和1∶3,分别读出两球所需的向心力大小,将结果填入设计的表格。
(3)把两个质量相同的小球放在长槽和短槽上,使半径之比为2∶1;调整塔轮上的皮带,使两个小球的角速度相同,分别读出两球所需的向心力大小,将结果填入设计的表格。
(4)把两个质量不同的小球放在长槽和短槽上,使两球的转动半径相同,调整塔轮上的皮带,使两个小球的角速度相同,分别读出两球所需的向心力大小,将结果填入设计的表格。
分析与论证:(1)分析表格,发现F跟ω的二次方成正比。
(2)分析表格,发现F跟r成正比。
专题27 角中的常见思想方法的应用(师)
专题27 角中的常见思想方法的应用【题型5 角中的整体思想】【题型6 角中的方程思想】【题型7 角中的分类讨论思想】【题型8 角中的数形结合思想】10【题型5 角中的整体思想】【例5】（2022·山西·七年级期末）数学课上，李老师出示了如下题目．将一副三角板按如图1所示方式摆放，分别作出∠AOC，∠BOD的平分线OM，ON，然后提出问题：求∠MON的度数．小明与同桌小丽讨论后，进行了如下解答：特殊情况，探索思路将三角板分别按图2，图3所示的方式摆放，OM和ON仍然是∠AOC和∠BOD的平分线，其中，按图2方式摆放时，可以看成是ON，OD，OB在同一直线上．按图3方式摆放时，∠AOC和∠BOD相等．（1）请你直接写出计算结果：图2中∠MON 的度数为______，图3中∠MON的度数为______；特例启发，解答题目（2）请你完成李老师出示的题目的解答过程；拓展结论，设计新题（3）若将李老师出示的题目中条件“分别作出∠AOC，∠BOD的平分线OM，ON”改为“分别作出射线OM，ON，使∠AOM=34∠AOC，∠DON=14∠BOD”，请你直接写出∠MON的度数．【答案】（1）135°；135°；（2）答案见解析；（3）112.5°【分析】（1）根据角平分线的定义和角的和差即可得到结论；（2）根据已知条件得到∠AOC+∠BOD=180°-∠COD=90°，根据角平分线的定义得到∠MOC+∠NOD =12∠AOC+1 2∠BOD=12(∠AOC+∠BOD)=45°，于是得到结论；（3）根据已知条件得到∠AOC+∠BOD=180°-∠COD=90°，根据角平分线的定义得∠MOC+∠NOD=14(∠AOC+∠BOD)=22.5°，于是得到结论．【详解】（1）解：图2中，∠MON=12×90°+90°=135°,图3中，∠MDN=12∠AOC+12∠BOD+∠COD=12(∠AOC+∠BOD)+90°=12×90°+90°=135°；故答案为：135°，135°；（2）图1中，∠∠COD=90°，∠∠AOC+∠BOD=180°-∠COD=90°，∠OM和ON是∠AOC和∠BOD的角平分线，∠∠MOC+∠NOD=12∠AOC+12∠BOD=12(∠AOC+∠BOD)=45°，∠∠MON=（∠MOC+∠NOD+∠COD=45°+90°=135°；（3）∠∠COD=90°，∠∠AOC+∠BOD=180°-∠COD=90°，∠∠AOM=34∠AOC，∠DON=14∠BOD∠∠MOC=14∠AOC，∠∠MOC+∠NOD=14∠AOC+14∠BOD=14(∠AOC+∠BOD)=22.5°，∠∠MON=（∠MOC+∠NOD）+∠COD=22.5°+90°=112.5°；故答案为：112.5°．【点睛】本题考查了角的计算，角平分线的定义，通过图形直观得出各个角之间的和差关系，是解决问题的关键．如图，已知∠AOB内部有三条射线，其中OE 平分角∠BOC，OF平分∠AOC．（1）如图1，若∠AOB=120°，∠AOC=30°，求∠EOF的度数？（2）如图2，若∠AOB=α，求∠EOF的度数，（用含α的式子表示）（3）若将题中的“平分”的条件改为“∠EOB=13∠COB，∠COF=23∠COA，且∠AOB=α，求∠EOF的度数．（用含α的式子表示）【答案】(1) 45°;(2) 12a; (3)23a．【分析】(1) 首先求得∠BOC的度数, 然后根据角的平分线的定义和角的和差可得∠EOF=∠EOC+∠COF即可求解;(2) 根据角的平分线的定义和角的和差可得∠EOF=∠EOC+∠COF=12∠BOC+12∠AOC=12(∠BOC+∠AOC),即可求解;(3) 根据角的等分线的定义可得∠EOF=∠EOC+∠COF=23∠BOC+23.∠AOC=23(∠BOC+∠AOC) =23∠AOB,即可求解.【详解】解：（1）∠BOC=∠AOB﹣∠AOC=90°﹣30°=60°，∠OE平分∠BOC，OF平分∠AOC，∠∠EOC=∠BOC=×60°=30°，∠COF=∠AOC=×30°=15°，∠∠EOF=∠EOC+∠COF=30°+15°=45°；（2）∠OE平分∠BOC，OF平分∠AOC，∠∠EOC=∠BOC，∠COF=∠AOC，∠∠EOF=∠EOC+∠COF=∠BOC+∠AOC=（∠BOC+∠AOC）=∠AOB=a ；（3）∠∠EOB=∠BOC，∠∠EOC=∠BOC，又∠∠COF=∠AOC，∠∠EOF=∠EOC+∠COF=∠BOC+∠AOC=（∠BOC+∠AOC）=∠AOB=a．【点睛】本题主要考查角的计算及角平分线的定义，注意运算的准确性.【变式5-2】（2022·全国·七年级）已知∠AOB ＝120∘，OC、OD是过点O的射线，射线OM、ON分别平分∠AOC和∠DOB．（1）如图①，若OC、OD是∠AOB的三等分线，求∠MON的度数；（2）如图②，若∠COD＝50∘，∠AOC≠∠DOB，则∠MON＝________；（3）如图③，在∠AOB内，若∠COD＝α(0∘<α<60∘)，则∠MON＝________．【答案】（1）80º；（2）85º；（3）60∘+12α【分析】（1）由题意易得∠AOC＝∠COD＝∠DOB=13×120∘＝40∘，进而可得∠MOC=1 2∠AOC＝20∘，∠DON=12∠DOB＝20∘，然后问题可求解；（2）由题意易得∠MOC=12∠AOC，∠DON= 12∠DOB，则有∠MOC+∠DON=12(∠AOC+∠DOB)，进而可得∠MOC+∠DON＝35°，然后问题可求解；（3）由题意可得∠MOC+∠DON=12(∠AOC+∠DOB)，则有∠MOC+∠DON＝60°−12α，然后根据角的和差关系可求解．【详解】解：（1）∠OC、OD是∠AOB的三等分线，∠∠AOC＝∠COD＝∠DOB=13×120∘＝40∘，∠射线OM、ON分别平分∠ACO和∠DOB，∠∠MOC=12∠AOC＝20∘，∠DON=12∠DOB ＝20∘，∠∠MON＝20∘+40∘+20∘＝80∘；（2）∠射线OM、ON分别平分∠ACO和∠DOB，∠∠MOC=12∠AOC，∠DON=12∠DOB，∠∠MOC+∠DON=12(∠AOC+∠DOB)，∠∠AOB＝120∘，∠COD＝50∘，∠∠AOC+∠DOB＝120∘−50∘＝70∘，∠∠MOC+∠DON＝35∘，∠∠MON＝50∘+35∘＝85∘；故答案为85°；（3）∠射线OM、ON分别平分∠AOC和∠DOB，∠∠MOC=12∠AOC，∠DON=12∠DOB，∠∠MOC+∠DON=12(∠AOC+∠DOB)，∠∠AOB＝120∘，∠COD＝α，∠∠AOC+∠DOB＝120°−α，∠∠MOC+∠DON＝60°−12α，∠∠MON＝60°−12α+α＝60°+12α；故答案为60°+12α．【点评】本题考查了角度的计算，也考查了角平分线的性质．【变式5-3】（2022·全国·七年级单元测试）如图，将一副三角板如图①所示摆放，∠AOB ＝60°，∠COD ＝45°，OM ，ON 分别平分∠AOD 、∠COB ．(1)求∠MON 的度数；(2)将图①中的三角板OCD 绕点О旋转到如图②的位置，求∠MON 的度数；(3)将图①中的三角板OCD 绕点О旋转到如图③的位置，猜想∠MON 的度数，并说明理由．【答案】(1)52．5°;(2)52．5° (3)52．5°，理由见解析【分析】（1）利用角平分线的性质，分别求出∠NOB 和∠MOB ，相加即可求得∠MON ， （2）由角平分线分别表示出∠MOD 和∠NOB ，则∠MON =12∠AOD +12∠COB +∠BOD ，将式子变形为∠MON =12 (∠AOD +∠BOD +∠COB +∠BOD )=12(∠AOB +∠COD )，代值计算即可，（3）同（2）由角平分线分别表示出∠MOD 和∠NOB ，则∠MON =12∠AOD +12∠COB -∠BOD ，将式子变形为∠MON =12 (∠AOD +∠BOD −∠COB −∠BOD ) =12(∠AOD −∠BOD ) +12(∠COB −∠BOD ) =12(∠AOB +∠COD )，代值计算即可，（1）∠OM 平分∠AOD ，ON 平分∠COB ． ∠∠NOB =12∠COB =22．5°，∠MOB =12∠AOD =30°， ∠∠MON =∠NOB +∠MOB =22．5°+30°=52．5°， （2）∠OM 平分∠AOD ，ON 平分∠COB ． ∠∠MOD =12∠AOD ，∠NOB 12∠COB ，∠∠MON =12∠AOD +12∠COB +∠BOD ，=12(∠AOD +∠COB +2∠BOD )，=12(∠AOD +∠BOD +∠COB +∠BOD )，=12(∠AOB +∠COD )=12(60°+45°)=52.5°， （3）∠OM 平分∠AOD ，ON 平分∠COB ． ∠∠MOD =12∠AOD ，∠NOB =12∠COB ， ∠∠MON =12∠AOD +12∠COB −∠BOD ， =12(∠AOD +∠COB −2∠BOD )，=12(∠AOD −∠BOD )+12(∠COB −∠BOD )， =12(∠AOB +∠COD ) =12×(60°+45°) =52.5°．【点睛】本题考查了角平分线的性质，几何图形中角的计算．准确识图并发现角度之间的关系是解题关键． 【例6】（2022·黑龙江牡丹江·七年级期末）以直线MN 上点O 为端点作射线OC ，将直角三角板AOB 的直角顶点放在点O 处．(1)如图①，三角板AOB 的边OB 在射线ON上，若∠BOC =40°，则∠AOC =________． (2)如图②，将三角板绕点O 逆时针方向转动，使得OB 平分∠CON ，请判断OA 平分∠COM 吗？并说明理由．(3)若∠CON =50°，将三角板AOB 绕点O 按逆时针方向转动，使得∠BOC =13∠AOM ，则∠BON =________．（可用备用图．） 【答案】(1)50°;(2)OA 平分∠MOC ，见解析 (3)30°或60°【分析】（1）代入∠AOB =∠AOC +∠COB 求出即可；（2）求出∠COB=∠BON，根据∠AOB=90°求出∠AOM+∠BON=90°，∠AOC+∠COB=90°，推出∠AOM=∠AOC，即可得出答案；（3）设∠BOC=x°，则∠AOM=3x°，分OB在∠CON的内部和在∠COM的内部时两种情况讨论，利用平角的性质列出方程求解即可．（1）解：∠∠AOB=∠AOC+∠COB=90°，又∠∠COB=40°，∠∠AOC=50°，故答案为：50°；（2）解：OA平分∠MOC，理由如下：∠OB平分∠NOC，∠∠COB=∠BON=12∠NOC，∠∠AOB=90°，∠∠AOM+∠BON=180°-90°=90°，∠∠AOC+∠COB=90°，∠∠AOM=∠AOC，∠OA平分∠MOC；（3）解：设∠BOC=x°，则∠AOM=3x°，当OB在∠CON的内部时，如图：∠∠AOC=90°-x°，∠COM=180°-50°=130°，∠∠AOM+∠AOC=∠COM=130°，∠3x+90-x=130，∠x=20，∠∠BOC=20°，∠∠BON=50°-20°=30°；当OB在∠COM的内部时，如图：∠∠AOM+∠AOB+∠BOC=∠COM=130°，∠3x+90+x=130，∠x=10，∠∠BOC=10°，∠∠BON=10°+50°=60°；故答案为：30°或60°．【点睛】本题考查了角平分线定义和角的计算，一元一次方程的应用，能根据图形和已知求出各个角的度数是解此题的关键.【变式6-1】（2022·陕西渭南·七年级期末）如图，已知∠AOC:∠AOB=2:7,OD是∠AOB 的平分线，若∠AOC=16°，求∠AOD的度数．【答案】∠AOD=28°．【分析】设∠AOC=2x°，∠AOB=7x°，由∠AOC= 16°，求出x=8，可求∠AOB=7x°=56°由OD是∠AOB的平分线，可得∠AOD=12∠AOB==28°即可．【详解】∠∠AOC：∠AOB=2：7，∠设∠AOC=2x°，∠AOB=7x°，∠∠AOC=16°,∠2x=16,∠x=8∠∠AOB=7x°=7×8°=56°∠OD是∠AOB的平分线，∠∠AOD=12∠AOB=12×56°=28°．【点睛】本题考查了角的和差，角平分线的定义，7等分角问题，关键是能根据题意得出关于x的方程．【变式6-2】（2022·山东烟台·期末）如图，将直角三角板OMN的直角顶点O放在直线AB上，射线OC平分∠AON．(1)当∠BON =60°时，求∠COM 的度数； (2)若∠AOM =2∠COM ，求∠AON 的度数． 【答案】(1)∠COM =30°;(2)∠AON =135° 【分析】（1）根据邻补角得出∠AON =120°，再由角平分线得出∠CON =60°，结合图形求解即可；（2）设∠COM =x ，结合图形利用角平分线及一元一次方程求解即可．（1）解：∠∠BON =60°，∠∠AON =120°， ∠OC 平分∠AON ，∠∠CON =12∠AON =12×120°=60°，∠∠MON =90°，∠∠COM =90°−60°=30°；（2）设∠COM =x ，∠∠AOM =2∠COM ，∠∠AOM =2x ∠∠AOC =3x ，∠OC 平分∠AON ，∠∠AOC =∠CON ， ∠∠CON =∠AOC =3x ，∠∠COM +∠CON =90°，∠x +3x =90°， 解得x =22.5°，∠∠AON =6x =135°． 【点睛】题目主要考查角平分线的计算，邻补角的计算及一元一次方程的应用，理解题意，找准各角之间的关系是解题关键． 【变式6-3】（2022·河南郑州·七年级期末）如图，已知∠AOB =90°，三角形COD 是含有45°角的三角板，∠COD =45°，OE 平分∠BOC ．(1)如图1，当∠AOC =30°时，∠DOE =__________°； (2)如图2，当∠AOC =60°时，∠DOE =__________°；(3)如图3，当∠AOC =α（90°<α<180°）时，求∠DOE 的度数（用α表示）； (4)由前三步的计算，当0°<∠AOC <180°时，请直接写出∠AOC 与∠DOE 的数量关系为____________________________________． 【答案】(1)15;(2)30;(3)∠DOE =12α; (4)∠AOC =2∠DOE【分析】（1）先求出∠BOC =60°，再根据角平分线的定义可得∠EOC =30°，然后根据角的和差即可得；（2）先求出∠BOC =30°，再根据角平分线的定义可得∠EOC =15°，然后根据角的和差即可得；（3）先求出∠BOC =α−90°，再根据角平分线的定义可得∠EOC =12α−45°，然后根据角的和差即可得；（4）设∠AOC =x (0°<x <180°)，分①0°<x ≤90°和②90°<x <180°两种情况，参照（1）和（3）的方法求解即可得． （1）解：∵∠AOB =90°,∠AOC =30°， ∴∠BOC =∠AOB −∠AOC =60°， ∵OE 平分∠BOC ，∴∠EOC =12∠BOC =30°， ∵∠COD =45°，∴∠DOE =∠COD −∠EOC =15°， 故答案为：15．（2）解：∵∠AOB =90°,∠AOC =60°， ∴∠BOC =∠AOB −∠AOC =30°， ∵OE 平分∠BOC ，∴∠EOC =12∠BOC =15°，∵∠COD =45°，∴∠DOE =∠COD −∠EOC =30°， 故答案为：30．（3）解：∵∠AOB=90°,∠AOC=α(90°<α< 180°)，∴∠BOC=∠AOC−∠AOB=α−90°，∵OE平分∠BOC，∴∠EOC=12∠BOC=12α−45°，∵∠COD=45°，∴∠DOE=∠COD+∠EOC=12α．（4）解：设∠AOC=x(0°<x<180°)，①如图1和图2，当0°<x≤90°时，∵∠AOB=90°,∠AOC=x，∴∠BOC=∠AOB−∠AOC=90°−x，∵OE平分∠BOC，∴∠EOC=12∠BOC=45°−12x，∵∠COD=45°，∴∠DOE=∠COD−∠EOC=12x，即∠AOC=2∠DOE；②如图3，当90°<x<180°时，同（3）可得：∠DOE=12x，则∠AOC= 2∠DOE；综上，∠AOC与∠DOE的数量关为∠AOC=2∠DOE，故答案为：∠AOC=2∠DOE．【点睛】本题考查了与角平分线有关的计算，正确找出图形中的角之间的关系是解题关键．【题型7 角中的分类讨论思想】【例7】（2022·浙江金华·七年级期末）定义：在一个已知角内部，一条线分已知角成两个新角，其中一个角度数为另个角度数的两倍，我们把这条线叫做这个已知角的三等分线．(1)如图，已知∠AOB＝120°，若OC是∠AOB 三等分线，求∠AOC的度数．(2)点O在线段AB上（不含端点A，B），在直线AB同侧作射线OC，OD．设∠AOC ＝3t，∠BOD＝5t．①当OC是∠AOD的三等分线时，求t的值．②当OC是∠BOD的三等分线时，求∠BOD 的度数．【答案】(1)∠AOC的度数为40°或80°；(2)①：t=907或36019；②∠BOD=270019度【分析】（1）分两种情况讨论，列式计算即可；（2）①分两种情况讨论，列式计算即可；②计算得到∠COD=8t-180°，分两种情况讨论，列式计算即可．(1)解：OC是∠AOB的三等分线，当∠AOC=23∠AOB时，如图：∠∠AOB =120°，∠∠AOC =23∠AOB =80°； 当∠AOC =13∠AOB 时，如图：∠∠AOB =120°，∠∠AOC =13∠AOB =40°； 综上，∠AOC 的度数为40°或80°； (2)解：①∠OC 是∠AOD 的三等分线， ∠OC 在∠AOD 内，依题意得：(180°-5t )÷3=3t 或(180°-5t )÷3×2=3t ， 解得：t =907或36019；②∠OC 是∠BOD 的三等分线，∠OC 在∠BOD 内，∠∠BOD+∠AOC =180°-∠COD ，∠AOC =3t ，∠BOD =5t ，∠∠COD =8t -180°，依题意得：(8t -180°) ×3=5t 或(8t -180°)×32=5t ， 解得：t =54019或54014；∠∠BOD =270019度或270014度（舍去）．【点睛】本题考查了角的计算，解决问题的关键是掌握角的三等分线的定义，解题时注意分类思想的运用，分类时不能重复，也不能遗漏．【变式7-1】（2022·江苏·文昌初级中学七年级阶段练习）已知如图，∠COD=90°，直线AB 与OC 交于点B ，与OD 交于点A ，射线OE 与射线AF 交于点G.(1)若OE 平分∠BOA ，AF 平分∠BAD ，∠OBA=42°，则∠OGA= ° (2)若∠GOA=13∠BOA ，∠GAD=13∠BAD ，∠OBA=42°，则∠OGA= °；(3)将(2)中的“∠OBA=42°”改为“∠OBA=α”，其它条件不变，求∠OGA 的度数.(用含α的代数式表示)(4)若OE 将∠BOA 分成1︰2两部分，AF 平分∠BAD ，∠ABO=α(30°<<90°) ，求∠OGA 的度数.(用含α的代数式表示)【答案】（1）21°；（2）14°；（3）13α；（4）∠OGA 的度数为12α+15°或12α﹣15°【分析】（1）由于∠BAD =∠OBA +∠BOA =α+90°，由AF 平分∠BAD 得到∠F AD =12∠BAD ，而∠F AD =∠EOD +∠OGA ，45°+∠OGA =12(α+90°)，则∠OGA =12α，然后把∠OBA =α=42°代入计算即可；（2）由于∠GOA =13∠BOA =30°，∠GAD =13∠BAD ，∠OBA =α，根据∠GAD =∠EOD +∠OGA 得到30°+∠OGA =13(α+90°)，则∠OGA =13α，然后把∠OBA =α=42°代入计算即可； （3）由（2）得到∠OGA =13α；（4）讨论：当∠EOD ：∠COE =1：2时，则∠EOD =30°，利用∠BAD =∠ABO +∠BOA =α+90°，∠F AD =∠EOD +∠OGA 得到30°+∠OGA =12(α+90°)，则∠OGA =12α+15°；当∠EOD ：∠COE =2：1时，则∠EOD =60°，同理得∠OGA =12α﹣15°．【详解】（1）21°；（2）14°；（3）13α； （4）当∠EOD ：∠COE =1：2时，则∠EOD =30°， ∠∠BAD =∠ABO +∠BOA =α+90°， 而AF 平分∠BAD ，∠∠F AD =12∠BAD ， ∠∠F AD =∠EOD +∠OGA ∠2×30°+2∠OGA =α+90°， ∠∠OGA =12α+15°；当∠EOD ：∠COE =2：1时，则∠EOD =60°， 同理得到∠OGA =12α﹣15°，即∠OGA 的度数为12α+15°或12α﹣15°． 考点：三角形内角和定理；三角形的外角性质；角平分线的性质．学研究室七年级期末）如图，∠AOB=90°，∠BOC=α(0°<α<180°)，OD ，OE 分别是∠AOB ，∠BOC 的平分线．(1)如图1，当OC 在OB 左侧，且α=80∘时，∠DOE 的度数是_________；(2)当OC 的位置不确定时，请利用备用图，画出相关图形，探究∠DOE 的大小与α的数量关系；(3)当∠DOE 的度数为36°时，请直接写出α的度数．【答案】(1)85°;(2)∠DOE=45°+12α或∠DOE=45°−12α或∠DOE=12α−45°;(3)18°或162°【分析】（1）利用角平分线的定义和角的和差关系求解；（2）分OC 在OB 左侧，OC 在∠AOB 内部，OC 在OA 下方三种情况，利用角的和差关系分别计算即可求解；（3）将∠DOE=36°代入（2）中结论即可求解．（1）解：由题意得，∠AOB=90°，∠BOC=α=80°，∠OD ，OE 分别是∠AOB ，∠BOC ∠∠DOB=12∠AOB=45°，∠EOB=12∠BOC=40°，∠∠DOE=∠DOB+∠EOB=45°+40°=85°， 即∠DOE 的度数是85°；（2）解：分三种情况讨论，当OC 在OB 左侧时，如下图所示：∠DOE=∠DOB+∠EOB=12∠AOB+12∠BOC=45°+12α；当OC在∠AOB内部时，如下图所示：∠DOE=∠DOB−∠EOB=12∠AOB−12∠BOC=45°−12α；当OC在OA下方时，如下图所示：∠DOE=∠EOB−∠DOB=12∠BOC−12∠AOB=12α−45°；综上可知，∠DOE=45°+12α或∠DOE=45°−12α或∠DOE=12α−45°．（3）解：由（2）可知，∠DOE=36°时，45°−12α=36°，或12α−45°=36°，或36°=45°+12α解得α=18°，或α=162°，或α=−18°（舍去），即α的度数为18°或162°．【点睛】本题考查角平分线的定义和角的和差关系，需要注意OC的位置有多种可能，掌握分类讨论思想是解题的关键．【变式7-3】（2022·广东汕头·七年级期末）探索新知：如图1，射线OC在∠AOB的内部，图中共有3个角：∠AOB，∠AOC和∠BOC，若其中有一个角的度数是另一个角度数的两倍，则称射线OC是∠AOB的“巧分线”（1）一个角的平分线______这个角的“巧分线”（填“是”或“不是”）；（2）如图2，若∠MPN=α，且射线PQ是∠MPN的“巧分线”，则∠MPQ=______；（用含α的代数式表示）；深入研究：如图2，若∠MPN=60°，且射线PQ绕点P 从PN位置开始，以每秒10°的速度逆时针旋转，当PQ与PN成180°时停止旋转，旋转的时间为t秒．若射线PM同时绕点P以每秒5°的速度逆时针旋转，并与PQ同时停止，请求出当射线PQ是∠MPN的“巧分线”时的值．【答案】（1）是；（2）12α或13α或23α；深入研究：当t为2.4或4或6时，射线PQ 是∠MPN的“巧分线”．【分析】（1）根据巧分线定义即可求解；（2）分3种情况，根据巧分线定义即可求解；深入研究：分3种情况，根据巧分线定义得到方程求解即可．【详解】（1）一个角的平分线是这个角的“巧分线”，故答案为：是；（2）∠∠MPN=α，当∠MPN=2∠MPQ时，如图：∠∠MPQ=12α；当∠QPN=2∠MPQ时，如图：∠∠MPQ=13α；当∠MPQ=2∠QPN时，如图：∠∠MPQ=23α，故答案为：12α或13α或23α；深入研究：依题意有：①10t=13(5t+60)，解得t=2.4；②10t=12(5t+60)，解得t=4；③10t=23(5t+60)，解得t=6；故当t为2.4或4或6时，射线PQ是∠MPN 的“巧分线”．【点睛】本题考查了几何问题中的角度计算，解一元一次方程，巧分线定义，学生的阅读理解能力及知识的迁移能力．理解“巧分线”的定义是解题的关键．【题型8 角中的数形结合思想】【例8】（2022·浙江台州·七年级期末）如图，已知∠AOB＝120°，OC是∠AOB内的一条射线，且∠AOC：∠BOC=1：2．(1)求∠AOC，∠BOC的度数；(2)作射线OM平分∠AOC，在∠BOC内作射线ON，使∠BON=70°，补全图形，并求出∠MON的度数；(3)若存在射线OD，使∠AOD=4∠BOD，请直接写出所有可能的∠COD的度数．【答案】(1)∠AOC=40°，∠BOC=80°(2)∠MON=30°(3)56°或120°或128°【分析】（1）根据角的倍分关系求解即可；（2）根据题意画出图形，求出∠CON和∠COM即可求解；（3）分射线OD在∠AOB的内部和射线OD 在∠AOB的外部分别求解即可．(1)解：∠∠AOB=120°，∠∠AOC：∠BOC=1：2．∠∠AOC=13∠AOB=40°，∠BOC=23∠AOB=80°；(2)解：如图，∠∠BOC=80°，∠BON=70°∠∠CON=∠BOC-∠BON=10°，∠OM平分∠AOC，∠∠COM=12∠AOC=20°，∠∠MON=∠CON+∠COM=30°；(3)解：当射线OD在∠AOB的内部时，如图，∠∠AOD=4∠BOD，∠∠BOD=15∠AOB=24°，∠∠COD=∠BOC-∠BOD=80°-24°=56°；当射线OD在∠AOB的外部时，如图，∠∠AOD=4∠BOD，∠∠BOD=13∠AOB=40°，或∠BOD=15(360°-∠AOB)=48°∠∠COD=∠BOC+∠BOD=80°+40°=120°，或∠COD=80°+48°=128°，综上，∠COD的度数为56°或120°或128°．【点睛】本题考查简单作图、角平分线的定义、角的运算，属于基础题型，解答关键是理解题意，利用数形结合和分类讨论思想进行角度的运算．已知∠AOB、∠COD，射线OE平分∠AOD；(1)如图1，已知∠AOB=180°、∠COD=90°，若∠DOB=46°，求∠COE的度数；(2)∠AOB、∠COD的位置如图2，已知∠COD=12∠AOB，求∠COE:∠DOB的值．【答案】(1)∠COE=23°(2)∠COE:∠DOB= 1:2【分析】（1）先根据邻补角性质求出∠AOD= 134°，再根据角平分线定义求出∠EOD度数，即可由∠COE=∠COD−∠EOD求解；（2）由角平分线得∠EOD=12(∠AOB+∠BOD)，又因为∠COD=12∠AOB，则∠EOC=∠EOD−∠COD=12∠AOB+12∠BOD−12∠AOB=12∠BOD，即可求解．（1）解：∠∠AOB=180°，∠DOB=46°，∠∠AOD=134°，∠OE平分∠AOD，∠∠EOD=12∠AOD=12×134°=67°，∠∠COD=90°，∠∠COE=∠COD−∠EOD=90°−67°= 23°；（2）解：∠OE平分∠AOD，∠∠EOD=12(∠AOB+∠BOD)∠∠COD=12∠AOB，∠∠EOC=∠EOD−∠COD=12∠AOB+12∠BOD−12∠AOB=12∠BOD,∠∠COE:∠DOB=1:2【点睛】本题考查与角平分线有关的角的计算，利用数形结合，熟练掌握利用数形结合进行角的和差倍分运算是解题的关键．【变式8-2】（2022·全国·七年级单元测试）操作与实践：在综合与实践活动课上，老师将一副三角板按图1所示的位置摆放，分别在∠AOC，∠BOD的内部作射线OM，ON，然后提出如下问题：先添加一个适当条件，再求∠MON的度数．(1)特例探究：“兴趣小组”的同学添加了：“若OM ，ON 分别平分∠AOC ，∠BOD ”，画出如图2所示图形．小组3号同学佳佳的做法：由于图中∠AOC 与∠BOD 的和为90°，所以我们容易得到∠MOC 与∠NOD 的和，这样就能求出∠MON 的度数．请你根据佳佳的做法，写出解答过程．(2)特例探究：“发现小组”的同学添加了：“若∠MOC =13∠AOC ，∠DON =13∠BOD ”，画出如图3所示图形．小组2号同学乐乐的做法：设∠AOC 的度数为x °，我们就能用含有x °的式子表示出∠COM 和∠DON 的度数，这样就能求出∠MON 的度数，请你根据乐乐的做法，写出解答过程．(3)类比拓展：受“兴趣小组”和“发现小组”的启发，“创新小组”的同学添加了：“若∠MOC =1n ∠AOC ，∠DON =1n ∠BOD ”．请你直接写出∠MON 的度数． 【答案】(1)135°;(2)120°;(3)90°n+90°【分析】根据题意，由于图中∠AOC 与∠BOD 的和为90°，所以我们容易得到∠MOC 与∠NOD 的和，这样就能求出∠MON 的度数，即可求解．【详解】（1）∵OM ，ON 分别平分∠AOC ，∠BOD ∴∠MOC =12∠AOC,∠DON =12∠BOD∵ ∠AOC +∠BOD =180°−∠COD =90° ∴∠MON =∠MOC +∠COD +∠DON =12(∠AOC +∠BOD )+90° =45°+90°=135°，（2）∵∠MOC =13∠AOC ，∠DON =13∠BOD设∠AOC 的度数为x °，∴∠COM +∠DON =13(∠AOC +BOD )，∴∠MON =∠MOC +∠COD +∠DON=13(∠AOC +∠BOD )+90° =30°+90°=120°，（3）∵∠MOC =1n ∠AOC ，∠DON =1n ∠BOD 设∠AOC 的度数为x °，∴∠COM+∠DON =1n (∠AOC +BOD )，∴∠MON =∠MOC +∠COD +∠DON =1n (∠AOC +∠BOD )+90°=90°n+90°．【点睛】本题考查了角平分线，n 等分线，角度的和差计算，数形结合是解题的关键． 研究中心期中）如图，将一副三角板放到一起可以擦除怎样的数学火花呢？福山区某学校两个数学兴趣小组对一副三角板进行了以下两种方式的摆放组合．已知一副三角板重合的顶点记为点O ，作射线OE 平分∠AOC ，射线OF 平分∠BOD ，来研究一下45°三角板不动，30°三角板绕重合的顶点O 旋转时，∠EOF 的度数如何变化． 【A 组研究】在同一平面内，将这副三角板的的两个锐角顶点重合（图中点O ），此时∠AOB =45°，∠COD =30°将三角板OCD 绕点O 转动． （1）如图①，当射线OB 与OC 重合时，则∠EOF 的度数为___________；（2）如图②，将∠COD 绕着点O 顺时针旋转，设∠BOC =α，∠EOF 的度数是否发生变化？如果不变，请根据图②求出∠EOF 的度数；如果变化，请简单说明理由． 【B 组研究】在同一平面内，将这副直角三角板中的一个直角顶点和一个锐角顶点重合(图中点O)，此时∠AOB=90°，∠COD=30°，将三角板OCD 绕点O转动．（3）如图③，当三角板OCD摆放在三角板AOB内部时，则∠EOF的度数为___________；（4）如图④，当三角板OCD转动到三角板AOB外部，设∠BOC=β，∠EOF的度数是否发生变化？如果不变，请根据图④求出∠EOF的度数；如果变化，请简单说明理由．【答案】（1）37.5°；（2）不变，37.5°；（3）60°；（4）不变，60°【分析】（1）根据∠EOF=∠EOB+∠COF=1 2∠AOB+12∠COD即可求得答案；（2）根据条件得∠COE=12∠AOC=(45°−a),∠BOF=∠BOD=12(30°−a)，又因为∠EOF=∠COE+∠BOF+∠BOC，得出答案；（3）根据∠EOF=∠COE+∠DOF+∠COD=12∠AOB+12∠COD，得出答案；（4）根∠EOF=∠COE+∠BOF−∠BOC=12(90°+β)+12(30°+β)−β，得出答案；【详解】解: (1) ∵∠AOB=45°,∠COD=30°，OE平分∠AOC，OF平分∠BOD，∴∠EOF=∠EOB+∠COF=12∠AOB+12∠COD=22.5°+15°=37.5°，故答案为：37.5°；(2)不变；∠∠BOC=a,∠AOB=45°,∠COD=30°，∠∠AOC=45°−a,∠BOD=30°−a，∠OE平分∠AOC，OF平分∠BOD，∠∠COE=12∠AOC=(45°−a),∠BOF=∠BOD=12(30°−a)，∠∠COE=12∠AOC,∠DOF=12∠BOD，∠EOF=∠COE+∠BOF+∠BOC，=12∠AOC+12∠BOD+a，=12(45°−a)+12(30°−a)+a，=37.5°；(3) ∠EOF=∠COE+∠DOF+∠COD，=12∠COA+12∠BOD+∠COD，=12(∠COA+∠BOD)+∠COD，=12(∠AOB−∠COD)+∠COD，=12∠AOB+12∠COD，=45°+15°，=60°，故答案为：60°；(4)不变，由题意得，∠COE=12∠AOC，∠DOF=12∠BOD，∠EOF=∠COE+∠BOF−∠BOC，=12∠AOC+12∠BOD−β，=12(90°+β)+12(30°+β)−β，=60°．【点睛】本题考查角的计算，解题关键根据角平分线的性质结合图形得出结论。
专题27因境补文类新题型(讲义)-2024年高考语文二轮复习(新教材新高考)
考点27因境补文因境补写怎么考补写句子，是新课标卷最经典、出现频率很高的一种语言表达题型。
语句补写即因境补文(也叫语段填句题)，就是按照题干要求，根据语段的中心内容和具体情境在指定的位置填入合适的句子，使之与上下文贯通。
选用的语料，从表达方式上看，主要是记叙性、说明性、议论性语段。
“因境补文”考点题设要求：内容贴切、语意连贯、逻辑严密。
1.选文一般贴近现实生活和学生实际（近年来所选文本均说明文体）。
2.要求考生认真分析语境，把握语段中心内容，并根据上下文内容（补写内容来源）来推导应补写的句子，做到内容上扣得紧，形式上对得上。
3.补写一般位置特殊，都是语段的总起句、总结句和衔接句。
4.不能照抄原文，还有字数限制。
分值一般2分一空，共三空。
核心素养：语言的建构与运用、思维的提升与发展。
【命题规律】语段：1. 以说明性为主，兼顾议论性2.内部层次性、逻辑性强；上下句之间，首尾句之间均有一定的逻辑照应，语意紧密。
句子：1. 特殊位置：与上下文关系（引领下文、总结上文、与上下文衔接呼应）2. 性质类型：有领起句、展开句、过渡句、总结句，以过渡句或展开句居多答案：1. 简练：每句有字数限制2. 规范：答案文字中的关键词（包括内容与形式的）多在语段的前后句中出现（答案源自文本材料）【四步技法】第一步：明确话题，确定文体——把握语段中心根据表达方式，确定材料的性质，整体把握语段中心。
一个文段(句群)，虽然由若干个句子组成，却表述一个中心意思，句子的安排必然围绕这个中心。
因此，把握语段话题，就抓住了解决问题的关键，保证补写句子不偏离方向。
说明性语段：明确被说明对象的特征或阐述的事理。
记叙性语段：明确记叙的对象和事件。
议论性语段：明确议论的话题和观点。
熟知三种文体特点1.叙述类语段。
叙述类语段一般包括时间、地点、人物,以及事件的起因、经过、结果等要素。
在一个意思相对独立的叙述类语段中,以上要素不一定齐全,但一定有一个叙述的主体或对象。
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第四章 化学计算方法技巧
复习方法指导
化学计算目的是从定量角度来理解物质的性质和变化规律，帮助加深对化学概念、
原理
在化学计算复习中，首先要准确掌握和理解元素符号、化学式、化学方程式、相对原子质量、相对分子质量、质量守恒定律、溶解度、质量分数等重要概念。
其次，培养自己的审题能力，善于从题给信息中发掘出问题，再从所学知识中提取有关知识与问题对应，进而架
构起解题思路；然后立式、运算、并要应用规律、法则寻求最简捷、准确、巧妙的方法，迅
拿到一个计算题，首先要认真阅读整题，粗读、精读，直到读清搞明白为止，找出已知和求解，有哪些化学反应，应用哪些概念、定律等，有哪些数据，单位及结果保留小数的位数。
然后根据各个量之间的内在联系，挖掘隐含条件，找出突破口，确定解题思路、方案。
另外，书写时步骤要齐全，格式要规范，切忌乱写乱画。
最后，还要养成认真检验结果的正
相信在复习完本章内容后，你的审题、运算、表达等能力一定会有较大提高。
知识结构梳理
由于在前面的复习中已经涉及到有关化学式、化学方程式和溶液的基本计算，因此，本章主要复习常用的解题方法(关系式法、守恒法、差值法、平均值法、讨论法等)和综合计算技巧。
专题27 关系式法
关系式法是化学计算中常用的方法之一。
解题的关键是从数学和化学反应的实质等方面入手，设法确定有关物质间量的关系式或其代数式。
优点是省去了多步计算的繁琐和比较复
计算物质的相对分子质量
计算化合物中各元素的质量比
计算化合物中各元素的质量分数(百分含量)
有关反应物、生成物质量的计算
含一定量杂质的反应物或生成物质计算
溶解度概念的简单计算
溶液中溶质的质量分数计算
化学式的计算 综合计算
化学方程式的计算
溶液的计算
一、解题方法指导
1、多步化学反应中关系式的确定
例题1：用含杂质10%的锌195ｇ和足量的稀硫酸反应(杂质不和稀硫酸反应)，生成的H 2最多能还原多少克氧化铁?
思考：还原氧化铜所需氢气的比其理论值 ；这里提出的“最多”是指 。
本题涉及的化学反应有：锌和稀硫酸反应的化学方程式 。
氢气还原氧化铁的化学方程式 。
纵述两个化学方程式中物质间的系数关系，你能推知：锌、氢气、氧化铁、铁之间的系数关系吗? 即3Zn ～3H 2～Fe 2O 3～2Fe 。
事实上3Zn ～Fe 2O 3就是本题的关系式，然后代入关系量即可求解。
解：设最多能还原氧化铁的质量为x 。
有关的化学方程式为：
Zn + H 2SO 4 ＝ ZnSO 4 + H 2↑ 3H 2 + Fe 2O 3 ＝ 2Fe + 3H 2O 由上述两个化学方程式可推知参加反应的锌和被还原的氧化铁有如下关系：
3Zn ～ Fe 2O 3
3×65 160
195g ×(1-10%) x
所以：3×65 : 160 = 195g ×(1-10%) : x
解得: x = 144g
答：最多能还原氧化铁的质量为144g
有兴趣的同学还可以根据分步的反应方程式计算求出被还原的氧化铁的质量，比较找关系式法与分步计算有何优点?
回顾：在上述反应中找关系式时的关键点(或难点)在哪里?
若是用铝和盐酸的反应制得的H 2再去还原三氧化钨（WO 3），你能否找出Al 、H 2和WO 3间的关系式?
2、根据化学式确定关系式
例题2：现有FeCl 2和FeCl 3样品各一份，已经测定它们中所含氯元素的质量相同，则FeCl 2和FeCl 3样品的质量比为多少？所含铁元素的质量比是多少？
思考：若要满足题目条件，使两化合物之间氯原子的个数相同即可。
二者间的关系式为：３FeCl 2 ～ ２FeCl 3Fe ～ ２Fe ，题目中的两个问题便迎刃而解。
例题3：测得硫酸亚铁和硫酸铁的混合物中，硫元素的质量分数为23%，则混合物中铁元素的质量分数是（ ）
A 、28%
B 、31%
C 、36.8%
D 、无法计算
思考：硫酸亚铁和硫酸铁的化学式分别为 、 ，由它们的化学式可以看出，此混合物中无论硫酸亚铁和硫酸铁的质量分数如何改变，其中硫元素和氧元素的质量比是一定的（为什么？）。
硫元素和氧元素的质量关系为：
S ～ 4O
32 64
所以，铁的质量分数 = 1 – 硫元素的质量分数 - 氧元素的质量分数
这是寻找关系式的
依据，决不能省略
二、知识能力训练
1、分解79ｇ高锰酸钾与分解多少克氯酸钾所生成氧气的质量相等。
2、有两块质量相等的锌片，使其中一片跟足量的稀H2SO4反应，另一片先燃烧转化成氧化锌，然后也跟足量的稀硫酸反应。
不用计算能知道两种方法制得的硫酸锌的质量相等吗?
3、钠、镁、铝三种金属分别与盐酸反应，若生成的氢气质量相同时，则消耗钠、镁、铝三种金属的质量比是( )
A、23：27：24
B、46：27：24
C、46：18：24
D、23：18：12
4、下列化合物中氯元素的质量分数最大的是（）
A、CaCl2
B、NaCl
C、KCl
D、MgCl2
6、用足量的CO与20.2ｇ氧化铜充分反应，并将生成的气体通入足量的石灰水中，生成白色沉淀25
7、10.6ｇ碳酸钠和足量盐酸反应，把生成的CO2通入足量的澄清石灰水中，能生成沉淀多少克?
8、某氢氧化钠溶液中含氧80%
9、为给某麦田施氮肥，经测定需施尿素[CO（NH2）2]7Kg，因缺货改施硝酸铵（NH4NO3），若要达到相同的施肥效果，应购买硝酸铵多少千克？
10、取Mg和MgCO3组成的混合物7.80g，与足量稀硫酸反应所生成的气体通入足量的石灰水中，可得5.0g沉淀。
若用组成相同的此混合物39.0g与足量的稀硫酸反应，生成的氢气至多能还原多少克氧化铜？
11、由硫酸镁和硫化镁（MgS）组成的混合物中氧元素的质量分数为37%，则混合物中硫元素的质量分数为。
12、Na2O和NaOH混合物20.4g，加入17.96g水，完全溶解后，向所得溶液中加入221.4g 一定溶质质量分数的FeCl3溶液，恰好完全反应，生成21.4g沉淀，求（1）混合物中钠元素的质量分数。
（2）所得溶液中溶质的质量分数。
13、炭和碳酸钙的混合物在空气中受强热后，CaCO3完全分解，炭完全氧化，结果生成CO
2
14、铜和炭粉的混合物在空气中充分灼烧，生成的黑色物质跟原混合物质量相等，则铜
15、在稀硫酸和硫酸铜的混合液中加入足量的铁粉，完全反应后，剩余固体的质量与所加铁粉的质量相等，求混合液中硫酸和硫酸铜的质量比。
16、用氢气还原14ｇCuO，反应一般时间后会反应停止，生成6.4ｇCu，剩余CuO恰好跟100ｇ稀H
2SO4
(1)被还原的CuO
(2)原稀H
2SO4
(3)已知18℃时，CuSO4的溶解度为20ｇ，欲将反应后的溶液变为18℃时饱和溶液，至
少需要蒸发掉水多少克?
17、甲、乙、丙三同学用下列试剂分别进行实验，均恰好完全反应，所用试剂及质
量如下表：
已知:a1+a2+a3=23.04g, b1+b2+b3=189.3g, C1+C2+C3=206.16g 试求所得溶液混合后的溶质质量分数。