高考数学一轮复习 第二章 函数概念与基本初等函数I 第6讲 对数与对数函数练习
高三数学一轮复习 第2章 函数、导数及其应用第6课时对数与对数函数精品 理
心尺引州丑巴孔市中潭学校第2章 第6课时(本栏目内容，在学生用书中以活页形式分册装订！)一、选择题1．函数y ＝2－xlg x 的定义域是( )A ．{x |0＜x ＜2}B ．{x |0＜x ＜1或1＜x ＜2}C ．{x |0＜x ≤2}D ．{x |0＜x ＜1或1＜x ≤2}解析： 要使函数有意义只需要⎩⎪⎨⎪⎧ 2－x ≥0x ＞0lg x ≠0解得0＜x ＜1或1＜x ≤2，∴定义域为{x |0＜x ＜1或1＜x ≤2}．答案： D2．设a ＝lg e ，b ＝(lg e)2，c ＝lg e ，那么( )A ．a ＞b ＞cB ．a ＞c ＞bC ．c ＞a ＞bD ．c ＞b ＞a解析： ∵0＜lg e ＜1，∴lg e ＞12lg e ＞(lg e)2.∴a ＞c ＞b .答案： B3．假设函数y ＝f (x )是函数y ＝a x (a ＞0，且a ≠1)的反函数，其图象经过点(a ，a )，那么f (x )＝()A ．log 2x B.12xC ．log 12x D ．x 2解析： 由题意f (x )＝log a x ，∴a ＝log a a 12＝12，∴f (x )＝log 12x .答案： C4．0＜log a 2＜log b 2，那么a 、b 的关系是( )A ．0＜a ＜b ＜1B ．0＜b ＜a ＜1C ．b ＞a ＞1D ．a ＞b ＞1解析： 由得，0＜1log 2a ＜1log 2b⇒log 2a ＞log 2b ＞0.∴a ＞b ＞1.答案： D5．函数y ＝log 22－x2＋x 的图象( )A ．关于原点对称B ．关于直线y ＝－x 对称C ．关于y 轴对称D ．关于直线y ＝x 对称解析： ∵f (x )＝log 22－x2＋x ，∴f (－x )＝log 22＋x 2－x ＝－log 22－x2＋x .∴f (－x )＝－f (x )，∴f (x )是奇函数．应选A.答案： A6．(2021·卷)设函数f (x )＝假设f (a )＞f (－a )，那么实数a 的取值范围是()A ．(－1,0)∪(0,1)B ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)C ．(－1,0)∪(1，＋∞)D ．(－∞，－1)∪(0,1)解析： 假设a ＞0，那么由f (a )＞f (－a )得log 2a ＞log 12a ＝－log 2a ，即log 2a ＞0，∴a ＞1.假设a ＜0，那么由f (a )＞f (－a )得log 12(－a )＞log 2(－a )，即－log 2(－a )＞log 2(－a )，∴log 2(－a )＜0，∴0＜－a ＜1，即－1＜a ＜0.综上可知，－1＜a ＜0或a ＞1.答案： C二、填空题7．设g (x )＝⎩⎨⎧ e x，x ≤0，ln x ，x ＞0，那么g ⎣⎡⎦⎤g ⎝⎛⎭⎫12＝________.解析： g ⎝⎛⎭⎫12＝ln 12＜0，∴g ⎣⎡⎦⎤g ⎝⎛⎭⎫12＝g ⎝⎛⎭⎫ln 12＝e ln 12＝12. 答案： 128．函数y ＝log 3(x 2－2x )的单调减区间是________．解析： 令u ＝x 2－2x ，那么y ＝log 3u . ∵y ＝log 3u 是增函数，u ＝x 2－2x ＞0的减区间是(－∞，0)， ∴y ＝log 3(x 2－2x )的减区间是(－∞，0)． 答案： (－∞，0)9．函数f (x )＝⎩⎨⎧ 3x ＋1 x ≤0log 2x x ＞0，那么使函数f (x )的图象位于直线y ＝1上方的x 的取值范围是________． 解析： 当x ≤0时，由3x ＋1＞1，得x ＋1＞0，即x ＞－1.∴－1＜x ≤0.当x ＞0时，由log 2x ＞1，得x ＞2.∴x 的取值范围是{x |－1＜x ≤0或x ＞2}．答案： {x |－1＜x ≤0或x ＞2}三、解答题10．f (x )＝log a (a x －1)(a ＞0，且a ≠1)． (1)求f (x )的定义域；(2)讨论函数f (x )的单调性．【解析方法代码108001018】解析： (1)由a x －1＞0，得a x＞1.当a ＞1时，x ＞0； 当0＜a ＜1时，x ＜0.∴当a ＞1时，f (x )的定义域为(0，＋∞)；当0＜a ＜1时，f (x )的定义域为(－∞，0)．(2)当a ＞1时，设0＜x 1＜x 2，那么1＜a x 1＜a x 2， 故0＜a x 1－1＜a x 2－1， ∴log a (a x 1－1)＜log a (a x 2－1)，∴f (x 1)＜f (x 2)， 故当a ＞1时，f (x )在(0，＋∞)上是增函数．类似地，当0＜a ＜1时，f (x )在(－∞，0)上为增函数．11．f (x )＝log a x (a ＞0且a ≠1)，如果对于任意的x ∈⎣⎡⎦⎤13，2都有|f (x )|≤1成立，试求a 的取值范围．【解析方法代码108001019】解析： ∵f (x )＝log a x ，那么y ＝|f (x )|的图象如右图．由图示，要使x ∈⎣⎡⎦⎤13，2时恒有|f (x )|≤1，只需⎪⎪⎪⎪f ⎝⎛⎭⎫13≤1， 即－1≤log a 13≤1， 即log a a －1≤log a 13≤log a a ， 亦当a ＞1时，得a －1≤13≤a ，即a ≥3； 当0＜a ＜1时，得a －1≥13≥a ，得0＜a ≤13. 综上所述，a 的取值范围是⎝⎛⎦⎤0，13∪[3，＋∞)． 12．函数f (x )＝log 4(ax 2＋2x ＋3)． (1)假设f (1)＝1，求f (x )的单调区间；(2)是否存在实数a ，使f (x )的最小值为0？假设存在，求出a 的值；假设不存在，说明理由． 解析： (1)∵f (1)＝1，∴log 4(a ＋5)＝1，因此a ＋5＝4，a ＝－1，这时f (x )＝log 4(－x 2＋2x ＋3)． 由－x 2＋2x ＋3＞0得－1＜x ＜3，函数定义域为(－1,3)． 令g (x )＝－x 2＋2x ＋3. 那么g (x )在(－∞，1)上递增，在(1，＋∞)上递减，又y ＝log 4x 在(0，＋∞)上递增，所以f (x )的单调递增区间是(－1,1)，递减区间是(1,3)．(2)假设存在实数a 使f (x )的最小值为0，那么h (x )＝ax 2＋2x ＋3应有最小值1， 因此应有⎩⎪⎨⎪⎧ a ＞0，12a －44a ＝1，解得a ＝12. 故存在实数a ＝12使f (x )的最小值等于0.。
高考数学总复习 第二章 函数概念与基本初等函数 第6讲 对数与对数函数-人教版高三全册数学试题
第6 讲对数与对数函数最新考纲 1.理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用；2.理解对数函数的概念及其单调性，掌握对数函数的图象通过的特殊点；3.知道对数函数是一类重要的函数模型；4.了解指数函数y＝a x(a＞0，且a≠1)与对数函数y＝log a x(a＞0，且a≠1)互为反函数.知识梳理1．对数的概念如果a x＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝log a N，其中a 叫做对数的底数，N叫做真数．2．对数的性质与运算性质(1)对数的性质①a log aN＝__N__；②log a a N＝__N__(a>0且a≠1)；③零和负数没有对数．(2)对数的运算性质(a>0，且a≠1，M>0，N>0)①log a(M·N)＝log a M＋log a N；②log aMN＝log a M－log a N；③log a M n＝n log a M(n∈R)．(3)对数的重要公式①换底公式：log b N＝log a Nlog a b(a，b均大于零且不等于1)；②log a b＝1log b a，推广log a b·log b c·log c d＝log a d.3．对数函数的图象与性质a＞10＜a＜1图象定义域(1)(0，＋∞)值域(2)R性质(3)过点(1,0)，即x＝1时，y＝0(4)当x＞1时，y＞0；当0＜x＜1时，y＜0 (5)当x＞1时，y＜0；当0＜x＜1时，y＞0(6)在(0，＋∞)上是增函数(7)在(0，＋∞)上是减函数1．判断正误(在括号内打“√”或“×”) 精彩PPT 展示(1)log a (b ＋c )＝log a b ＋log a c (×) (2)log 2x 2＝2log 2x (×)(3)函数y ＝log x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12的定义域为{x |x ＞12}(×) (4)对数函数y ＝log a x (a ＞0且a ≠1)的图象过定点(1,0)，且过点(a,1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫1a，－1，函数图象只在第一、四象限．(√)2．(2014·某某卷)已知b ＞0，log 5b ＝a ，lg b ＝c,5d＝10，则下列等式一定成立的是( )A ．d ＝acB ．a ＝cdC ．c ＝adD ．d ＝a ＋c解析 由已知得b ＝5a，b ＝10c,5d＝10，∴5a＝10c,5d＝10，同时取以10为底的对数可得，a lg 5＝c ，d lg 5＝1，∴c a ＝1d，即a ＝cd .答案 B3．(2014·某某卷)⎝ ⎛⎭⎪⎫1681-34 ＋log 354＋log 345＝________. 解析 ⎝ ⎛⎭⎪⎫1681-34 ＋log 354＋log 345＝⎝ ⎛⎭⎪⎫234×⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－34 ＋log 3⎝ ⎛⎭⎪⎫54×45＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23－3＋log 31＝⎝ ⎛⎭⎪⎫323＋0＝278.答案2784．函数f (x )＝log 5(2x ＋1)的单调增区间是________．解析 函数f (x )的定义域为⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，＋∞， 令t ＝2x ＋1(t >0)．因为y ＝log 5t 在t ∈(0，＋∞)上为增函数，t ＝2x ＋1在(－12，＋∞)上为增函数，所以函数y ＝log 5(2x ＋1)的单调增区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，＋∞. 答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，＋∞5．(人教A 必修1P75B2改编)若log a 34＜1(a ＞0，且a ≠1)，则实数a 的取值X 围是________．解析 当0＜a ＜1时，log a 34＜log a a ＝1，∴0＜a ＜34；当a ＞1时，log a 34＜log a a ＝1，∴a ＞1.答案 ⎝⎛⎭⎪⎫0，34∪(1，＋∞)考点一 对数的运算【例1】 (1)(log 29)·(log 34)＝( ) A.14 B ．12 C ．2D ．4(2)lg 25＋lg 2·lg 50＋(lg 2)2＝________.解析 (1)(log 29)·(log 34)＝lg 9lg 2·lg 4lg 3＝2lg 3lg 2·2lg 2lg 3＝4.(2)原式＝(lg 2)2＋(1＋lg 5)lg 2＋lg 52＝(lg 2＋lg 5＋1)lg 2＋2lg 5＝(1＋1)lg 2＋2lg 5 ＝2(lg 2＋lg 5)＝2. 答案 (1)D (2)2规律方法 在对数运算中，要熟练掌握对数式的定义，灵活使用对数的运算性质、换底公式和对数恒等式对式子进行恒等变形，多个对数式要尽量化成同底的形式．【训练1】 (1)设2a ＝5b＝m ，且1a ＋1b＝2，则m 等于( )A.10 B ．10 C ．20D ．100(2)lg 5＋lg 20的值是________．解析 (1)∵2a＝5b＝m ，∴a ＝log 2m ，b ＝log 5m ， ∴1a ＋1b ＝1log 2m ＋1log 5m ＝log m 2＋log m 5＝log m 10＝2. ∴m ＝10.(2)原式＝lg 100＝lg 10＝1.答案 (1)A (2)1考点二 对数函数的图象及其应用【例2】 (1)(2014·某某卷)若函数y ＝log a x (a ＞0，且a ≠1)的图象如图所示，则下列函数图象正确的是( )(2)(2015·某某模拟)设方程10x＝|lg(－x )|的两个根分别为x 1，x 2，则( ) A ．x 1x 2＜0 B ．x 1x 2＝1 C ．x 1x 2＞1D ．0＜x 1x 2＜1解析 (1)由y ＝log a x 的图象可知log a 3＝1，所以a ＝3.对于选项A ：y ＝3－x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 为减函数，A 错误；对于选项B ：y ＝x 3，显然满足条件；对于选项C ：y ＝(－x )3＝－x 3在R 上为减函数，C 错误；对于选项D ：y ＝log 3(－x )，当x ＝－3时，y ＝1，D 错误．故选B.(2)构造函数y ＝10x与y ＝|lg(－x )|，并作出它们的图象，如图所示．因为x 1，x 2是10x＝|lg(－x )|的两个根，则两个函数图象交点的横坐标分别为x 1，x 2，不妨设x 2＜－1，－1＜x 1＜0，则10x 1＝－lg(－x 1)，10x 2＝lg(－x 2)，因此10x 2－10x 1＝lg(x 1x 2)，因为10x 2－10x 1＜0，所以lg(x 1x 2)＜0，即0＜x 1x 2＜1，故选D. 答案 (1)B (2)D规律方法 在解决对数函数图象的相关问题时，要注意：(1)底数a 的值对函数图象的影响；(2)增强数形结合的解题意识，使抽象问题具体化．【训练2】 已知函数f (x )＝log a (2x＋b －1)(a ＞0，a ≠1)的图象如图所示，则a ，b 满足的关系是( )A ．0＜a －1＜b ＜1 B ．0＜b ＜a －1＜1 C ．0＜b －1＜a ＜1 D ．0＜a －1＜b －1＜1解析 由函数图象可知，f (x )在R 上单调递增，故a ＞1.函数图象与y 轴的交点坐标为(0，log a b )，由函数图象可知－1＜log a b ＜0，解得1a ＜b ＜1.综上有0＜1a＜b ＜1.答案 A考点三 对数函数的性质及其应用【例3】 (1)设a ＝log 32，b ＝log 52，c ＝log 23，则( ) A ．a ＞c ＞b B ．b ＞c ＞a C ．c ＞b ＞a D ．c ＞a ＞b(2)若f (x )＝lg(x 2－2ax ＋1＋a )在区间(－∞，1]上递减，则a 的取值X 围为( ) A ．[1,2) B ．[1,2] C ．[1，＋∞)D ．[2，＋∞)解析 (1)∵3＜2＜3,1＜2＜5，3＞2，∴log 33＜log 32＜log 33，log 51＜log 5 2＜log 55，log 23＞log 22，∴12＜a ＜1,0＜b ＜12，c ＞1，∴c ＞a ＞b . (2)令函数g (x )＝x 2－2ax ＋1＋a ＝(x －a )2＋1＋a －a 2，对称轴为x ＝a ，要使函数在(－∞，1]上递减，则有⎩⎪⎨⎪⎧g 1＞0，a ≥1，即⎩⎪⎨⎪⎧2－a ＞0，a ≥1，解得1≤a ＜2，即a ∈[1,2)，故选A.答案 (1)D (2)A规律方法 在解决与对数函数相关的比较大小或解不等式问题时，要优先考虑利用对数函数的单调性来求解．在利用单调性时，一定要明确底数a 的取值对函数增减性的影响，及真数必须为正的限制条件．【训练3】 (1)设a ，b ，c 均为正数，且2a＝log 12a ，⎝ ⎛⎭⎪⎫12b ＝log 12b ，⎝ ⎛⎭⎪⎫12c ＝log 2c ，则( )A ．a ＜b ＜cB ．c ＜b ＜aC ．c ＜a ＜bD ．b ＜a ＜c(2)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x ＞0， log 12－x ，x ＜0.若f (a )＞f (－a )，则实数a 的取值X 围是( )A ．(－1,0)∪(0,1)B ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)C ．(－1,0)∪(1，＋∞)D ．(－∞，－1)∪(0,1)解析 (1)∵a ＞0，∴2a＞1，∴log 12a ＞1，∴0＜a ＜12.又∵b ＞0，∴0＜⎝ ⎛⎭⎪⎫12b＜1，∴0＜log 12b ＜1，∴12＜b ＜1.又∵⎝ ⎛⎭⎪⎫12c＞0，∴log 2c ＞0，∴c ＞1，∴0＜a ＜12＜b ＜1＜c ，故选A.(2)由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，log 2a ＞－log 2a或⎩⎪⎨⎪⎧a ＜0， log 12－a ＞log 2－a ，解得a ＞1或－1＜a ＜0. 答案 (1)A (2)C[思想方法]1．研究对数型函数的图象时，一般从最基本的对数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换得到．特别地，要注意底数a ＞1和0＜a ＜1的两种不同情况．有些复杂的问题，借助于函数图象来解决，就变得简单了，这是数形结合思想的重要体现．2．利用单调性可解决比较大小、解不等式、求最值等问题，其基本方法是“同底法”，即把不同底的对数式化为同底的对数式，然后根据单调性来解决．3．多个对数函数图象比较底数大小的问题，可通过图象与直线y ＝1交点的横坐标进行判定．[易错防X]1．在运算性质log a M n＝n log a M 中，要特别注意条件，在无M ＞0的条件下应为log a M n＝n log a |M |(n ∈N ＋，且n 为偶数)．2．解决与对数函数有关的问题时需注意两点：(1)务必先研究函数的定义域；(2)注意对数底数的取值X 围.基础巩固题组 (建议用时：40分钟)一、选择题1．设a ，b ，c 均为不等于1的正实数，则下列等式中恒成立的是( ) A ．log a b ·log c b ＝log c a B ．log a b ·log c a ＝log c b C ．log a (bc )＝log a b ·log a c D ．log a (b ＋c )＝log a b ＋log a c解析 log a b ·log c a ＝log a b ·1log a c ＝log a blog a c ＝log c b ，故选B.答案 B2．(2014·某某一模)函数y ＝lg|x －1|的图象是( )解析 当x ＝1时，函数无意义，故排除B ，D.又当x ＝2或0时，y ＝0，所以A 项符合题意．答案 A3．(2014·某某卷)设a ＝log 37，b ＝21.1，c ＝0.83.1，则( ) A ．b ＜a ＜c B ．c ＜a ＜b C ．c ＜b ＜aD ．a ＜c ＜b解析 由3＜7＜9得log 33＜log 37＜log 39，∴1＜a ＜2，由21.1＞21＝2得b ＞2，由0.83.1＜0.80＝1得0＜c ＜1，因此c ＜a ＜b ，故选B.答案 B4．函数f (x )＝log a (ax －3)在[1,3]上单调递增，则a 的取值X 围是( ) A ．(1，＋∞)B ．(0,1)C ．(0，13)D ．(3，＋∞)解析 由于a ＞0，且a ≠1，∴u ＝ax －3为增函数，∴若函数f (x )为增函数，则f (x )＝log a u 必为增函数，因此a ＞1.又y ＝ax －3在[1,3]上恒为正，∴a －3＞0，即a ＞3，故选D.答案 D5．(2014·某某质检)已知函数f (x )＝log a |x |在(0，＋∞)上单调递增，则( ) A ．f (3)＜f (－2)＜f (1) B ．f (1)＜f (－2)＜f (3) C ．f (－2)＜f (1)＜f (3) D ．f (3)＜f (1)＜f (－2)解析 因为f (x )＝log a |x |在(0，＋∞)上单调递增，所以a ＞1，f (1)＜f (2)＜f (3)．又函数f (x )＝log a |x |为偶函数，所以f (2)＝f (－2)，所以f (1)＜f (－2)＜f (3)．答案 B 二、填空题6．(2014·某某卷)已知4a＝2，lg x ＝a ，则x ＝________. 解析 ∵4a＝2，∴a ＝log 42＝12，∴lg x ＝12，∴x ＝1012 ＝10.答案107．函数y ＝log 12(3x －a )的定义域是⎝ ⎛⎭⎪⎫23，＋∞，则a ＝______. 解析 要使函数有意义，则3x －a ＞0，即x ＞a3，∴a 3＝23，∴a ＝2. 答案 28．(2014·某某一模)已知函数f (x )为奇函数，当x ＞0时，f (x )＝log 2x ，则满足不等式f (x )＞0的x 的取值X 围是________．解析 由题意知y ＝f (x )的图象如图所示，则f (x )＞0的x 的取值X 围为(－1,0)∪(1，＋∞)．答案 (－1,0)∪(1，＋∞) 三、解答题9．已知函数f (x )＝lg 1－x1＋x ，(1)求函数f (x )的定义域； (2)判断函数f (x )的奇偶性； (3)判断函数f (x )的单调性．解 (1)要使f (x )有意义，需满足1－x1＋x＞0，即⎩⎪⎨⎪⎧1－x ＞0，1＋x ＞0或⎩⎪⎨⎪⎧1－x ＜0，1＋x ＜0，解得－1＜x ＜1，故函数f (x )的定义域为(－1,1)．(2)由(1)知f (x )的定义域为(－1,1)，关于坐标原点对称，又f (－x )＝lg 1＋x1－x＝－lg 1－x 1＋x＝－f (x )，∴f (x )为奇函数． (3)由(1)知f (x )的定义域为(－1,1)．设－1＜x 1＜x 2＜1，则f (x 1)－f (x 2)＝lg 1－x 11＋x 1－lg 1－x 21＋x 2＝lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 11＋x 1·1＋x 21－x 2＝lg 1－x 1x 2＋x 2－x 11－x 1x 2－x 2－x 1. ∵－1＜x 1＜x 2＜1，∴1－x 1x 2＋x 2－x 1＞1－x 1x 2－(x 2－x 1)＝(1＋x 1)(1－x 2)＞0， ∴1－x 1x 2＋x 2－x 11－x 1x 2－x 2－x 1＞1，∴lg 1－x 1x 2＋x 2－x 11－x 1x 2－x 2－x 1＞0，即f (x 1)－f (x 2)＞0，∴f (x )在(－1,1)上是减函数．10．设x ∈[2,8]时，函数f (x )＝12log a (ax )·log a (a 2x )(a >0，且a ≠1)的最大值是1，最小值是－18，求a 的值．解 由题意知f (x )＝12(log a x ＋1)(log a x ＋2)＝12()log 2a x ＋3log a x ＋2＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫log a x ＋322－18. 当f (x )取最小值－18时，log a x ＝－32.又∵x ∈[2,8]，∴a ∈(0,1)． ∵f (x )是关于log a x 的二次函数，∴函数f (x )的最大值必在x ＝2或x ＝8时取得． 若12⎝ ⎛⎭⎪⎫log a 2＋322－18＝1，则a ＝2－13，此时f (x )取得最小值时，x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2－13－32＝2∉[2,8]，舍去．若12⎝ ⎛⎭⎪⎫log a 8＋322－18＝1，则a ＝12，此时f (x )取得最小值时，x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－32＝22∈[2,8]，符合题意， ∴a ＝12.能力提升题组 (建议用时：25分钟)11．定义在R 上的函数f (x )满足f (－x )＝－f (x )，f (x －2)＝f (x ＋2)，且x ∈(－1,0)时，f (x )＝2x＋15，则f (log 220)＝( )A ．1B ．45C ．－1D ．－45解析 由f (x －2)＝f (x ＋2)，得f (x )＝f (x ＋4)，因为4＜log 220＜5，所以f (log 220)＝f (log 220－4)＝－f (4－log 220)＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 245＝－⎝⎛⎭⎪⎫2log 245＋15＝－1. 答案 C12．当0＜x ≤12时，4x＜log a x ，则a 的取值X 围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，22 B ．⎝⎛⎭⎪⎫22，1 C ．(1，2) D ．(2，2)解析 由题意得，当0＜a ＜1时，要使得4x＜log a x ⎝⎛⎭⎪⎫0＜x ≤12，即当0＜x ≤12时，函数y ＝4x 的图象在函数y ＝log a x 图象的下方．又当x ＝12时，412＝2，即函数y ＝4x的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2，把点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2代入函数y ＝log a x ，得a ＝22，若函数y ＝4x 的图象在函数y ＝log a x 图象的下方，则需22＜a ＜1(如图所示)．当a ＞1时，不符合题意，舍去．所以实数a 的取值X 围是⎝⎛⎭⎪⎫22，1. 答案 B13．(2015·某某模拟)已知函数f (x )＝ln x 1－x，若f (a )＋f (b )＝0，且0＜a ＜b ＜1，则ab 的取值X 围是________．解析 由题意可知ln a 1－a ＋ln b 1－b＝0， 即ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1－a ×b 1－b ＝0，从而a 1－a ×b 1－b ＝1，化简得a ＋b ＝1，故ab ＝a (1－a )＝－a 2＋a ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫a －122＋14， 又0＜a ＜b ＜1，∴0＜a ＜12， 故0＜－⎝ ⎛⎭⎪⎫a －122＋14＜14. 答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14 14．已知函数f (x )＝－x ＋log 21－x 1＋x. (1)求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12 014＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12 014的值； (2)当x ∈(－a ，a ]，其中a ∈(0,1)，a 是常数时，函数f (x )是否存在最小值？若存在，求出f (x )的最小值；若不存在，请说明理由．解 (1)由f (x )＋f (－x )＝log 21－x 1＋x ＋log 21＋x 1－x＝log 21＝0.∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12 014＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12 014＝0. (2)f (x )的定义域为(－1,1)，∵f (x )＝－x ＋log 2(－1＋2x ＋1)， 当x 1<x 2且x 1，x 2∈(－1,1)时，f (x )为减函数， ∴当a ∈(0,1)，x ∈(－a ，a ]时f (x )单调递减，∴当x ＝a 时，f (x )min ＝－a ＋log 21－a 1＋a.。
【2022高考数学一轮复习(步步高)】目录
第一章集合、常用逻辑用语、不等式§1.1集合§1.2 充分条件与必要条件§1.3 全称量词与存在量词§1.4 不等关系与不等式§1.5 一元二次不等式及其解法§1.6 基本不等式强化训练1不等式中的综合问题第二章函数概念与基本初等函数Ⅰ§2.1 函数的概念及其表示第1课时函数的概念及其表示第2课时函数的定义域与值域§2.2 函数的基本性质第1课时单调性与最大(小)值第2课时奇偶性、对称性与周期性第3课时函数性质的综合问题§2.3 幂函数与二次函数§2.4 指数与指数函数§2.5 对数与对数函数§2.6 函数的图象§2.7 函数与方程强化训练2函数与方程中的综合问题§2.8 函数模型及其应用第三章导数及其应用§3.1 导数的概念及运算§3.2 导数与函数的单调性§3.3 导数与函数的极值、最值强化训练3导数中的综合问题高考专题突破一高考中的导数综合问题第1课时利用导数研究恒(能)成立问题第2课时利用导函数研究函数的零点第3课时利用导数证明不等式第四章三角函数、解三角形§4.1任意角和弧度制、三角函数的概念§4.2 同角三角函数基本关系式及诱导公式§4.3 简单的三角恒等变换第1课时两角和与差的正弦、余弦和正切公式第2课时简单的三角恒等变换§4.4 三角函数的图象与性质§4.5 函数y＝A sin(ωx＋φ)的图象及应用强化训练4三角函数中的综合问题§4.6 解三角形高考专题突破二高考中的解三角形问题第五章平面向量、复数§5.1 平面向量的概念及线性运算§5.2 平面向量基本定理及坐标表示§5.3 平面向量的数量积强化训练5平面向量中的综合问题§5.4 复数第六章数列§6.1 数列的概念与简单表示法§6.2 等差数列及其前n项和§6.3 等比数列及其前n项和强化训练6数列中的综合问题高考专题突破三高考中的数列问题第七章立体几何与空间向量§7.1空间几何体及其表面积、体积强化训练7空间几何体中的综合问题§7.2 空间点、直线、平面之间的位置关系§7.3 直线、平面平行的判定与性质§7.4 直线、平面垂直的判定与性质强化训练8空间位置关系中的综合问题§7.5 空间向量及其应用高考专题突破四高考中的立体几何问题第八章解析几何§8.1直线的方程§8.2 两条直线的位置关系§8.3 圆的方程§8.4 直线与圆、圆与圆的位置关系强化训练9直线与圆中的综合问题§8.5 椭圆第1课时椭圆及其性质第2课时直线与椭圆§8.6 双曲线§8.7 抛物线强化训练10圆锥曲线中的综合问题高考专题突破五高考中的圆锥曲线问题第1课时范围与最值问题第2课时定点与定值问题第3课时证明与探索性问题第九章统计与统计案例§9.1 随机抽样、用样本估计总体§9.2 变量间的相关关系、统计案例强化训练11统计中的综合问题第十章计数原理、概率、随机变量及其分布§10.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理§10.2 排列、组合§10.3 二项式定理§10.4 随机事件的概率与古典概型§10.5 离散型随机变量的分布列、均值与方差§10.6 二项分布与正态分布高考专题突破六高考中的概率与统计问题。
数学课标通用(理科)一轮复习配套教师用书：第二章 函数概念与基本初等函数Ⅰ 对数与对数函数
§2.6对数与对数函数考纲展示►1。
理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数;了解对数在简化运算中的作用．2．理解对数函数的概念，和对数函数的单调性，掌握对数函数图象通过的特殊点．3．知道对数函数是一类重要的函数模型．4．了解指数函数y＝a x与对数函数y＝log a x互为反函数（a〉0，且a≠1)．考点1 对数的运算1.对数的概念如果a x＝N(a>0且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作________，其中________叫做对数的底数，________叫做真数．答案:x＝log a N a N2．对数的性质与运算法则（1）对数的运算法则:如果a>0且a≠1,M〉0，N>0,那么①log a（MN）＝____________；②log a错误!＝____________；③log a M n＝________（n∈R）；④log a m M n＝错误!log a M。
（2)对数的性质：①a log a N＝________；②log a a N＝________(a>0且a≠1）．(3）对数的重要公式：①换底公式：log b N＝错误!（a，b均大于0且不等于1)；②log a b＝错误!，推广log a b·log b c·log c d＝________。
答案:（1)①log a M＋log a N②log a M－log a N③n log a M (2）①N②N(3)②log a d（1）[教材习题改编］lg错误!＋lg错误!的值是（)A。
错误!B．1C．10 D．100答案:B(2）［教材习题改编］(log29)·(log34）＝（)A.错误!B．错误!C．2 D．4答案:D(3）[教材习题改编］已知log53＝a，log54＝b，lg 2＝m，求错误!＋lg 4b的值（用m表示）．解:错误!＋错误!＝错误!＋错误!＝2lg 5＝2(1－lg 2)＝2(1－m）．误用对数运算法则．(1）log3错误!－log3错误!＋错误!－1＝________.（2）(log29)·(log34)＝________.答案：(1)2 （2)4解析：（1)原式＝log3错误!＋31＝log3错误!＋3＝－1＋3＝2。
高考数学大一轮复习 第二章 函数概念与基本初等函数 6 第6讲 对数与对数函数课件 理
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4．已知 log23＝a，3b＝7，则 log3 72 21的值为________．
解析：由题意 3b＝7，所以 log37＝b.
所 以 log3
72
21 ＝ log
6384＝来自log284 log263
＝
log2（22×3×7） log2（32×7）
＝
2＋2lolog2g32＋3＋lolgo2g32·3·lolog3g737＝2＋ 2a＋a＋abab.
a>0，且 a≠1， M>0，N>0
logab＝llooggccba(a>0，且 a≠1，c>0，且 c≠1，b>0)
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2.对数函数的图象与性质 a>1
0<a<1
图象
性质
定义域：___(0_，__＋__∞_)__
值域：R 过定点__(1_，__0)_
当 x>1 时，y>0
[迁移探究 2] (变条件)若本例(2)变为：当 0<x≤14时， x<logax， 求实数 a 的取值范围．
解：若 x<logax 在 x∈0，14成立，则 0<a<1，且 y＝ x的图象 在 y＝logax 图象的下方，如图所示，
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由图象知
14<loga14，所以0a<12>a14<，1，
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1．已知函数 y＝loga(x＋c)(a，c 为常数，其中 a>0，a≠1)的图 象如图，则下列结论成立的是( )
高考数学大一轮复习 第二章 函数概念与基本初等函数I 第6讲 对数与对数函数教师用书 文 新人教版(
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对数与对数函数教师用书文新人教版基础巩固题组(建议用时:40分钟）一、选择题1。
(2015·四川卷)设a，b为正实数，则“a〉b〉1”是“log2a>log2b〉0”的（）A。
充分必要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D。
既不充分也不必要条件解析因为y＝log2x在（0，＋∞）上单调递增，所以当a>b>1时，有log2a>log2b〉log21＝0;当log2a〉log2b〉0＝log21时，有a>b〉1。
答案A2.(2017·石家庄模拟）已知a＝log23＋log23，b＝log29－log2错误!，c＝log32，则a,b，c 的大小关系是（）A。
a＝b〈c B。
a＝b>cC.a<b〈cD.a〉b>c解析因为a＝log23＋log23＝log23错误!＝错误!log23〉1，b＝log29－log2错误!＝log23错误!＝a,c＝log32〈log33＝1.答案B3。
若函数y＝log a x（a〉0，且a≠1)的图象如图所示，则下列函数图象正确的是（)解析由题意y＝log a x（a〉0,且a≠1)的图象过（3，1)点，可解得a＝3。
高考数学一轮复习 第2章 函数的概念与基本初等函数 第6讲 对数与对数函数课件 文
(1)确定函数的定义域，研究或利用函数的性质，都要在其定义 域上进行． (2)如果需将函数解析式变形，一定要保证其等价性，否则结论 错误． (3)在解决与对数函数相关的比较大小或解不等式问题时，要优 先考虑利用对数函数的单调性来求解．在利用单调性时，一定 要明确底数 a 的取值对函数增减性的影响，及真数必须为正的 限制条件．
A．3
B．13
C． 3
D．
3 3
解析：选 D.因为 xlog34＝1，即 log34x＝1.所以 4x＝3.即 2x＝ 3，
所以
2－x＝
1＝ 3
3 3.
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(必修 1 P71 例 7(1)改编)函数 y＝log2x2 的大致图象是( )
解析：选 D.法一：f(－x)＝log2(－x)2＝log2x2＝f(x)． 所以 y＝log2x2 的图象关于 y 轴对称，故选 D. 法二：y＝log2x2＝2log2|x|＝22lloogg22x（，－x＞ x）0， ，x＜0. 作出图象可知选 D.
【答案】
(1)D
1 (2)4
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(1)在识别函数图象时，要善于利用已知函数的性质、函数图象 上的特殊点(与坐标轴的交点、最高点、最低点等)排除不符合 要求的选项． (2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问 题，利用数形结合法求解．
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【对点通关】 1．(必修 1 P73 练习 T1 改编)若函数 y＝a|x|(a>0，且 a≠1)的值 域为{y|y≥1}，则函数 y＝loga|x|的图象大致是( )
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【对点通关】
1．(2016·高考全国卷Ⅰ)若 a>b>0，0<c<1，则( )
2019届高考数学 大一轮复习讲义：第二章 函数概念与基本初等函数Ⅰ 第6讲 对数与对数函数.6
§2.6 对数与对数函数最新考纲考情考向分析1.理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用．2.理解对数函数的概念及其单调性，掌握对数函数图象通过的特殊点，会画底数为2,3,10，，的对数函数的1213图象．3.体会对数函数是一类重要的函数模型．4.了解指数函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)与对数函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)互为反函数.以比较对数函数值大小的形式考查函数的单调性；以复合函数的形式考查对数函数的图象与性质，题型一般为选择、填空题，中低档难度.1．对数的概念如果a (a >0，a ≠1)的b 次幂等于N ，即a b ＝N ，那么数b 叫作以a 为底N 的对数，记作log a N ＝b ，其中a 叫作对数的底数，N 叫作真数．2．对数的性质与运算法则(1)对数的运算法则如果a >0，且a ≠1，M >0，N >0，那么：①log a (MN )＝log a M ＋log a N ；②log a ＝log a M －log a N ；MN ③log a M n ＝n log a M (n ∈R )．(2)对数的性质①＝N ；②log a a N ＝N (a >0，且a ≠1)．log a Na(3)对数的换底公式log a b ＝(a >0，且a ≠1；c >0，且c ≠1；b >0)．log cblog ca 3．对数函数的图像与性质y ＝log a xa >10<a <1图像定义域(1)(0，＋∞)值域(2)R(3)过定点(1,0)，即x ＝1时，y ＝0(4)当x >1时，y >0；当0<x <1时，y <0(5)当x >1时，y <0；当0<x <1时，y >0性质(6)在(0，＋∞)上是增函数(7)在(0，＋∞)上是减函数4.反函数指数函数y ＝a x (a >0且a ≠1)与对数函数y ＝log a x (a >0且a ≠1)互为反函数，它们的图像关于直线y ＝x 对称．知识拓展1．换底公式的两个重要结论(1)log a b ＝；1log ba (2)＝log a b .log m na b nm 其中a >0且a ≠1，b >0且b ≠1，m ，n ∈R .2．对数函数的图像与底数大小的比较如图，作直线y ＝1，则该直线与四个函数图像交点的横坐标为相应的底数，故0<c <d <1<a <b .由此我们可得到以下规律：在第一象限内从左到右底数逐渐增大．1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)若MN >0，则log a (MN )＝log a M ＋log a N .( × )(2)对数函数y ＝log a x (a >0且a ≠1)在(0，＋∞)上是增函数．( × )(3)函数y ＝ln 与y ＝ln(1＋x )－ln(1－x )的定义域相同．( √ )1＋x1－x (4)对数函数y ＝log ax (a >0且a ≠1)的图像过定点(1,0)且过点(a,1)，，函数图像只在(1a ，－1)第一、四象限．( √ )题组二 教材改编2．lg －lg ＋lg 7＝________.4272385答案 12解析 原式＝lg 4＋lg 2－lg 7－lg 8＋lg 7＋lg 5122312＝2lg 2＋(lg 2＋lg 5)－2lg 2＝.12123．已知a ＝，b ＝log 2，c ＝，则a ，b ，c 的大小关系为________．132－1312log 13答案 c >a >b解析 ∵0<a <1，b <0，c ＝＝log 23>1.12log 13∴c >a >b .4．函数y ______．答案 (12，1]解析 由log (2x －1)≥0，得0<2x －1≤1.23log 23∴<x ≤1.12∴函数y .(12，1]5．已知b>0，log5b＝a，lg b＝c,5d＝10，则下列等式一定成立的是( ) A．d＝ac B．a＝cdC．c＝ad D．d＝a＋c答案 B6．已知函数y ＝log a (x ＋c )(a ，c 为常数，其中a >0，a ≠1)的图像如图，则下列结论成立的是( )A ．a >1，c >1B ．a >1,0<c <1C ．0<a <1，c >1D ．0<a <1,0<c <1答案 D解析 由该函数的图像通过第一、二、四象限知该函数为减函数，∴0<a <1，∵图像与x 轴的交点在区间(0,1)之间，∴该函数的图像是由函数y ＝log a x 的图像向左平移不到1个单位后得到的，∴0<c <1.7．若log a <1(a >0且a ≠1)，则实数a 的取值范围是____________________．34答案 ∪(1，＋∞)(0，34)解析 当0<a <1时，log a <log a a ＝1，∴0<a <；3434当a >1时，log a <log a a ＝1，∴a >1.34∴实数a 的取值范围是∪(1，＋∞)．(0，34)题型一 对数的运算1．设2a ＝5b ＝m ，且＋＝2，则m 等于( )1a 1b A.B ．1010C ．20 D ．100答案 A解析 由已知，得a ＝log 2m ，b ＝log 5m ，则＋＝＋＝log m 2＋log m 5＝log m 10＝2.1a 1b 1log2m 1log5m 解得m ＝.102．计算：÷100＝________.(lg 14－lg 25)12－答案 －20解析 原式＝(lg 2－2－lg 52)×100＝lg ×1012(122×52)＝lg 10－2×10＝－2×10＝－20.3．计算：＝________.(1－log63)2＋log62·log618log64答案 1解析 原式＝1－2log63＋(log63)2＋log663·log6(6×3)log64＝1－2log63＋(log63)2＋1－(log63)2log64＝＝＝＝1.2(1－log63)2log62log66－log63log62log62log62思维升华对数运算的一般思路(1)拆：首先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后利用对数运算性质化简合并．(2)合：将对数式化为同底数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算性质，转化为同底对数真数的积、商、幂的运算．题型二 对数函数的图像及应用典例 (1)若函数y ＝log a x (a >0且a ≠1)的图像如图所示，则下列函数图像正确的是( )答案 B解析 由题意y ＝log a x (a >0且a ≠1)的图像过(3,1)点，可解得a ＝3.选项A 中，y ＝3－x ＝x ，显然图像错误；选项B 中，y ＝x 3，由幂函数图像性质可知正确；选项C 中，(13)y ＝(－x )3＝－x 3，显然与所画图像不符；选项D 中，y ＝log 3(－x )的图像与y ＝log 3x 的图像关于y 轴对称，显然不符，故选B.(2)当0<x ≤时，4x <log a x ，则a 的取值范围是( )12A.B.(0，22)(22，1)C ．(1，)D ．(，2)22答案 B解析 由题意得，当0<a <1时，要使得4x <log a x，即当0<x ≤时，函数y ＝4x(0<x ≤12)12的图像在函数y ＝log a x 图像的下方．又当x ＝时，＝2，即函数y ＝4x 的图像过点.12124(12，2)把点代入y ＝log ax ，得a ＝.若函数y ＝4x的图像在函数y ＝log ax 图像的下方，则需(12，2)22<a <1(如图所示)．22当a >1时，不符合题意，舍去．所以实数a 的取值范围是.(22，1)引申探究 若本例(2)变为方程4x ＝log a x 在上有解，则实数a 的取值范围为__________．(0，12]答案 (0，22]解析 若方程4x ＝log a x 在上有解，则函数y ＝4x和函数y ＝log ax 在上有交点，(0，12](0，12]由图像知Error!解得0<a ≤.22思维升华 (1)对一些可通过平移、对称变换作出其图像的对数型函数，在求解其单调性(单调区间)、值域(最值)、零点时，常利用数形结合思想求解．(2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图像问题，利用数形结合法求解．跟踪训练(1)函数y＝2log4(1－x)的图像大致是( )答案 C解析 函数y＝2log4(1－x)的定义域为(－∞，1)，排除A，B；又函数y＝2log4(1－x)在定义域内单调递减，排除D.故选C.(2)(2017·衡水调研)已知函数f(x)＝Error!且关于x的方程f(x)＋x－a＝0有且只有一个实根，则实数a的取值范围是________．答案 (1，＋∞)解析 如图，在同一坐标系中分别作出y＝f(x)与y＝－x＋a的图像，其中a表示直线在y 轴上的截距．由图可知，当a>1时，直线y＝－x＋a与y＝log2x只有一个交点．题型三 对数函数的性质及应用命题点1 对数函数的单调性典例(1)若a>b>0,0<c<1，则( )A．log a c<log b c B．log c a<log c bC．a c<b c D．c a>c b答案 B解析 当0<c<1时，y＝log c x是减函数，∴log c a<log c b，故选B.(2)(2017·江西九江七校联考)若函数f(x)＝log2(x2－ax－3a)在区间(－∞，－2]上是减函数，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，4)B ．(－4,4]C ．(－∞，－4)∪[－2，＋∞)D ．[－4,4)答案 D解析 由题意得x 2－ax －3a >0在区间(－∞，－2]上恒成立且函数y ＝x 2－ax －3a 在(－∞，－2]上是减少的，则≥－2且(－2)2－(－2)a －3a >0，解得实数a 的取值范围是[－4,4)，故选D.a2命题点2 和对数函数有关的复合函数典例已知函数f (x )＝log a (3－ax )(a >0且a ≠1)．(1)当x ∈[0,2]时，函数f (x )恒有意义，求实数a 的取值范围；(2)是否存在这样的实数a ，使得函数f (x )在区间[1,2]上为减函数，并且最大值为1？如果存在，试求出a 的值；如果不存在，请说明理由．解 (1)∵a >0且a ≠1，设t (x )＝3－ax ，则t (x )＝3－ax 为减函数，x ∈[0,2]时，t (x )的最小值为3－2a ，当x ∈[0,2]时，f (x )恒有意义，即x ∈[0,2]时，3－ax >0恒成立．∴3－2a >0.∴a <.32又a >0且a ≠1，∴a 的取值范围为(0,1)∪.(1，32)(2)假设存在这样的实数a .t (x )＝3－ax ，∵a >0，∴函数t (x )为减函数．∵f (x )在区间[1,2]上为减函数，∴y ＝log a t 为增函数，∴a >1，x ∈[1,2]时，t (x )的最小值为3－2a ，f (x )的最大值为f (1)＝log a (3－a )，∴Error!即Error!故不存在这样的实数a ，使得函数f (x )在区间[1,2]上为减函数，并且最大值为1.思维升华 (1)利用对数函数单调性时要注意真数必须为正，明确底数对单调性的影响．(2)解决与对数函数有关的复合函数问题，首先要确定函数的定义域，根据“同增异减”原则判断函数的单调性，利用函数的最值解决恒成立问题．跟踪训练 (1)设a ＝log 32，b ＝log 52，c ＝log 23，则( )A ．a >c >b B ．b >c >a C ．c >b >a D ．c >a >b答案 D解析 a ＝log 32<log 33＝1，b ＝log 52<log 55＝1.又c ＝log 23>log 22＝1，所以c 最大．由1<log 23<log 25，得>，即a >b ，1log231log25所以c >a >b .(2)已知函数f (x )＝ln 的定义域是(1，＋∞)，则实数a 的值为________．(1－a2x )答案 2解析 由题意，得不等式1－>0的解集是(1，＋∞)，由1－>0，可得2x >a ，故a 2x a2x x >log 2a ，由log 2a ＝1，得a ＝2.比较指数式、对数式的大小考点分析比较大小问题是每年高考的必考内容之一．(1)比较指数式和对数式的大小，可以利用函数的单调性，引入中间量；有时也可用数形结合的方法．(2)解题时要根据实际情况来构造相应的函数，利用函数单调性进行比较，如果指数相同，而底数不同则构造幂函数，若底数相同而指数不同则构造指数函数，若引入中间量，一般选0或1.典例 (1)设a ＝0.50.5，b ＝0.30.5，c ＝log 0.30.2，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．c <b <a B ．a <b <c C ．b <a <cD ．a <c <b(2)(2017·新乡二模)设a ＝60.4，b ＝log 0.40.5，c ＝log 80.4，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．a <b <c B ．c <b <a C ．c <a <bD ．b <c <a(3)若实数a ，b ，c 满足log a 2<log b 2<log c 2，则下列关系中不可能成立的是( )A ．a <b <c B ．b <a <c C ．c <b <aD ．a <c <b(4)(2017·石家庄一模)已知函数y ＝f (x ＋2)的图像关于直线x ＝－2对称，且当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝|log 2x |，若a ＝f (－3)，b ＝f ，c ＝f (2)，则a ，b ，c 的大小关系是( )(14)A ．a >b >cB ．b >a >cC ．c >a >bD ．a >c >b解析 (1)根据幂函数y ＝x 0.5的单调性，可得0.30.5<0.50.5<10.5＝1，即b <a <1；根据对数函数y ＝log 0.3x 的单调性，可得log 0.30.2>log 0.30.3＝1，即c >1.所以b <a <c .(2)∵a ＝60.4>1，b ＝log 0.40.5∈(0,1)，c ＝log 80.4<0，∴a >b >c .故选B.(3)由log a 2<log b 2<log c 2的大小关系，可知a ，b ，c 有如下四种可能：①1<c <b <a ；②0<a <1<c <b ；③0<b <a <1<c ；④0<c <b <a <1.对照选项可知A 中关系不可能成立．(4)易知y ＝f (x )是偶函数．当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝f ＝|log 2x |，且当x ∈[1，＋∞)时，f (x )(1x )＝log 2x 是增加的，又a ＝f (－3)＝f (3)，b ＝f ＝f (4)，所以b >a >c .(14)答案 (1)C (2)B (3)A (4)B1．设a ＝log 37，b ＝21.1，c ＝0.83.1，则( )A ．b <a <c B ．c <a <b C ．c <b <a D ．a <c <b答案 B解析 ∵a ＝log 37，∴1<a <2.∵b ＝21.1，∴b >2.∵c ＝0.83.1，∴0<c <1.即c <a <b ，故选B.2．(2017·孝义模拟)函数y ＝ln sin x (0<x <π)的大致图像是( )答案 C解析 因为0<x <π，所以0<sin x ≤1，所以ln sin x ≤0，故选C.3．已知偶函数f (x )，当x ∈[0,2)时，f (x )＝2sinx ，当x ∈[2，＋∞)时，f (x )＝log 2x ，则f＋f (4)等于( )(－π3)A ．－＋2B ．13C ．3 D.＋23答案 D解析 因为f＝f ＝2sin ＝，(－π3)(π3)π33f (4)＝log 24＝2，所以f ＋f (4)＝＋2，故选D.(－π3)34．(2017·北京)根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M 约为3361，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N 约为1080.则下列各数中与最接近的是( )MN (参考数据：lg 3≈0.48)A ．1033B ．1053C ．1073D ．1093答案 D解析 由题意，lg ＝lg ＝lg 3361－lg 1080MN 33611080＝361lg 3－80lg 10≈361×0.48－80×1＝93.28.又lg 1033＝33，lg 1053＝53，lg 1073＝73，lg 1093＝93，故与最接近的是1093.MN 故选D.5．(2017·江西红色七校二模)已知函数f (x )＝ln，若e xe －xf ＋f ＋…＋f ＝503(a ＋b )，则a 2＋b 2的最小值为( )(e 2 013)(2e2 013)(2 012e2 013)A ．6B ．8C ．9D ．12答案 B解析 ∵f (x )＋f (e －x )＝2，∴f ＋f ＋…＋f ＝2 012，(e 2 013)(2e2 013)(2 012e2 013)∴503(a ＋b )＝2 012，∴a ＋b ＝4.∴a 2＋b 2≥＝8，(a ＋b )22当且仅当a ＝b ＝2时取等号．6．若f (x )＝lg(x 2－2ax ＋1＋a )在区间(－∞，1]上是减少的，则a 的取值范围为( )A ．[1,2) B ．[1,2] C ．[1，＋∞) D ．[2，＋∞)答案 A解析 令函数g (x )＝x 2－2ax ＋1＋a ＝(x －a )2＋1＋a －a 2，对称轴为x ＝a ，要使函数在(－∞，1]上是减少的，则有Error!即Error!解得1≤a <2，即a ∈[1,2)，故选A.7．若a ＝log 43，则2a ＋2－a ＝________.答案 433解析 ∵a ＝log 43＝3＝log 23＝log 2，22log 123∴2a ＋2－a ＝log 2log 2＝＋33log 2＝＋＝.3334338．设函数f (x )＝Error!则满足f (x )≤2的x 的取值范围是__________．答案 [0，＋∞)解析 当x ≤1时，由21－x ≤2，解得x ≥0，所以0≤x ≤1；当x >1时，1－log 2x ≤2，解得x ≥，所以x >1.12综上可知x ≥0.9．(2017·南昌模拟)设实数a ，b 是关于x 的方程|lg x |＝c 的两个不同实数根，且a <b <10，则abc 的取值范围是________．答案 (0,1)解析 由题意知，在(0,10)上，函数y ＝|lg x |的图像和直线y ＝c 有两个不同交点，∴ab ＝1,0<c <lg 10＝1，∴abc 的取值范围是(0,1)．10．函数f (x )＝log 2·x )的最小值为________．x答案 －14解析 f (x )＝log 2·(2x )＝log 2x ·2log 2(2x )＝log 2x (1＋log 2x )．设t ＝log 2x (t ∈R )，则原x12函数可以化为y ＝t (t ＋1)＝2－(t ∈R )，故该函数的最小值为－.故f (x )的最小值为－.(t ＋12)14141411．已知函数f (x )＝log a(2x －a )在区间上恒有f (x )>0，则实数a 的取值范围是[12，23]________．答案 (13，1)解析 当0<a <1时，函数f (x )在区间上是减函数，所以log a >0，即0<－a <1，[12，23](43－a)43又2×－a >0，解得<a <，且a <1，故<a <1；12134313当a >1时，函数f (x )在区间上是增函数，[12，23]所以log a (1－a )>0，即1－a >1，且2×－a >0，12解得a <0，且a <1，此时无解．综上所述，实数a 的取值范围是.(13，1)12．(2018·长沙模拟)已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，f (0)＝0，当x >0时，f (x )＝log x .12(1)求函数f (x )的解析式；(2)解不等式f (x 2－1)>－2.解 (1)当x <0时，－x >0，则f (－x )＝(－x )．12log 因为函数f (x )是偶函数，所以f (－x )＝f (x )．所以x <0时，f (x )＝log (－x )，12所以函数f (x )的解析式为f (x )＝Error!(2)因为f (4)＝4＝－2，f (x )是偶函数，12log 所以不等式f (x 2－1)>－2可化为f (|x 2－1|)>f (4)．又因为函数f(x)在(0，＋∞)上是减函数，55所以0<|x2－1|<4，解得－<x<且x≠±1，又当x2－1＝0时，f(0)＝0>－2成立，5555所以－<x<.即不等式的解集为(－，)．13．设函数f (x )＝log a |x |在(－∞，0)上是增加的，则f (a ＋1)与f (2)的大小关系是( )A ．f (a ＋1)>f (2) B ．f (a ＋1)<f (2)C ．f (a ＋1)＝f (2) D ．不能确定答案 A解析 由已知得0<a <1，所以1<a ＋1<2，根据函数f (x )为偶函数，可以判断f (x )在(0，＋∞)上是减少的，所以f (a ＋1)>f (2)．14．已知函数f (x )＝ln(x 2＋1)，g (x )＝x －m ，若对任意x 1∈[0,3]，存在x 2∈[1,2]，使得(12)f (x 1)≥g (x 2)，则实数m 的取值范围是( )A. B.[14，＋∞)(－∞，14]C.D.[12，＋∞)(－∞，－12]答案 A解析 当x ∈[0,3]时，f (x )min ＝f (0)＝0，当x ∈[1,2]时，g (x )min ＝g (2)＝－m ，由题意可知原14条件等价于f (x )min ≥g (x )min ，即0≥－m ，所以m ≥，故选A.141415．已知函数f (x )＝ln ，若f (a )＋f (b )＝0，且0<a <b <1，则ab 的取值范围是________．x1－x 答案 (0，14)解析 由题意可知ln ＋ln ＝0，a1－a b 1－b 即ln ＝0，从而×＝1，(a1－a×b1－b )a1－a b1－b 化简得a ＋b ＝1，故ab ＝a (1－a )＝－a 2＋a ＝－2＋，(a －12)14又0<a <b <1，∴0<a <，故0<－2＋<.12(a －12)141416．(2017·厦门月考)已知函数f (x )＝ln .x ＋1x －1(1)求函数f (x )的定义域，并判断函数f (x )的奇偶性；(2)对于x ∈[2,6]，f (x )＝ln >ln 恒成立，求实数m 的取值范围．x ＋1x －1m(x －1)(7－x )解 (1)由>0，解得x <－1或x >1，x ＋1x －1∴函数f (x )的定义域为(－∞，－1)∪(1，＋∞)，当x ∈(－∞，－1)∪(1，＋∞)时，f (－x )＝ln ＝ln －x ＋1－x －1x －1x ＋1＝ln －1＝－ln ＝－f (x )，(x ＋1x －1)x ＋1x －1∴f (x )＝ln 是奇函数．x ＋1x －1(2)∵x ∈[2,6]时，f (x )＝ln >ln 恒成立，∴>>0，x ＋1x －1m(x －1)(7－x )x ＋1x －1m(x －1)(7－x )∵x ∈[2,6]，∴0<m <(x ＋1)(7－x )在[2,6]上恒成立．令g (x )＝(x ＋1)(7－x )＝－(x －3)2＋16，x ∈[2,6]，由二次函数的性质可知，x ∈[2,3]时函数g (x )是增加的，x ∈[3,6]时函数g (x )是减少的，∴当x ∈[2,6]时，g (x )min ＝g (6)＝7，∴0<m <7.。
高考数学一轮复习 第二章 函数概念与基本初等函数 第6课时 对数与对数函数学案(含解析)(1)(20
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对数与对数函数1．对数： (1） 定义：如果Na b =)1,0(≠>a a 且,那么称 为 ，记作 ,其中a 称为对数的底，N 称为真数。
① 以10为底的对数称为常用对数，N 10log 记作___________．② 以无理数)71828.2( =e e 为底的对数称为自然对数，N e log 记作_________． (2） 基本性质：① 真数N 为 (负数和零无对数)；② 01log =a ;③ 1log =a a ; ④ 对数恒等式:N a N a =log ． （3） 运算性质：① log a (MN)＝___________________________； ② log a NM ＝____________________________；③ log a M n＝ （n ∈R).④ 换底公式：log a N ＝ （a >0，a ≠1，m >0，m ≠1,N 〉0）⑤ log m na a nb b m= 。
2．对数函数:① 定义：函数 称为对数函数，1) 函数的定义域为（ ；2） 函数的值域为 ；3） 当______时，函数为减函数，当______时为增函数；4） 函数x y a log =与函数)1,0(≠>=a a a y x且互为反函数。
2025版高考数学一轮总复习第2章函数概念与基本初等函数Ⅰ第6讲对数与对数函数pptx课件
1 (2)log53＋log53＝___0___；
(3)lg
5 2＋2lg
2－12－1＝___－__1___；
(4)(log29)·(log34)＝__4____.
2 [解析] (1)log2 2 ＝
1 ＝－2.
1 (2)log53＋log53＝log51＝0.
(3)lg
5 2＋2lg
2－12－1＝lg
5．(必修1P140T4改编)若b>a>1，则函数y＝loga(x＋b)的图象不经过
(D )
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
[解析] 函数y＝loga(x＋b)的图象是由函数y＝logax的图象向左平移b
个单位长度得到，结合对数函数y＝logax的图象即可求解．∵b>a>1，∴
函数y＝logax在(0，＋∞)上单调递增，图象过第一、四象限，又∵函数y
(3)对数的换底公式
logaN logbN＝____lo_g_a_b____(a，b 均大于零且不等于 1，N>0)． (4)对数的运算法则 如果 a>0 且 a≠1，M>0，N>0，那么 ①loga(MN)＝__l_o_g_aM__＋__l_o_g_a_N___； ②logaMN ＝_l_o_g_a_M_－__l_o_g_a_N__； ③logaMn＝_n__lo_g_a_M__(n∈R)．
对数形式
特点
一般对数
底数为a(a>0，且a≠1)
常用对数
底数为___1_0____
自然对数
底数为___e___
记法 _____lo_g_a_N_____ _____l_g_N______ ______ln__N_____
高考数学一轮复习 第2章 函数、导数及其应用 第6讲 对数与对数函数讲义 理(含解析)-人教版高三全
第6讲对数与对数函数[考纲解读] 1.理解对数的概念及其运算性质，能用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数，熟悉对数在简化运算中的作用．2.理解对数函数的概念及对数函数的相关性质，掌握其图象通过的特殊点．(重点、难点)3.通过具体实例了解对数函数模型所刻画的数量关系，并体会对数函数是一类重要的函数模型．y＝a x(a>0且a≠1)与对数函数y＝log a x(a>0且a≠1)互为反函数．[考向预测] 从近三年高考情况来看，本讲为高考中的一个热点．预测2020年高考主要以考查对数函数的单调性的应用、最值、比较大小为主要命题方向，此外，与对数函数有关的复合函数也是一个重要的考查方向，主要以复合函数的单调性、恒成立问题呈现.1．对数2．对数函数的图象与性质续表3．反函数指数函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)与对数函数□01y ＝log a x (a >0，且a ≠1)互为反函数，它们的图象关于直线□02y ＝x 对称．1．概念辨析(1)log 2x 2＝2log 2x .( )(2)函数y ＝log 2(x ＋1)是对数函数．( )(3)函数y ＝ln 1＋x1－x 与y ＝ln (1＋x )－ln (1－x )的定义域相同．( )(4)当x >1时，若log a x >log b x ，则a <b .( ) 答案 (1)× (2)× (3)√ (4)×2．小题热身(1)已知a >0，a ≠1，函数y ＝a x与y ＝log a (－x )的图象可能是( )答案 B解析 y ＝log a (－x )的定义域是(－∞，0)，所以排除A ，C ；对于选项D ，由y ＝a x的图象知0<a <1，由y ＝log a (－x )的图象知a >1，矛盾，故排除D.故选B.(2)设a ＝log 213，b ＝e －12 ，c ＝ln π，则( )A ．c <a <bB ．a <c <bC ．a <b <cD ．b <a <c 答案 C解析 a ＝log 213<0，b ＝e － 12 ∈(0,1)，c ＝ln π>1，所以a <b <c .(3)有下列结论：①lg (lg 10)＝0；②lg (ln e)＝0；③若lg x ＝1，则x ＝10；④若log 22＝x ，则x ＝1；⑤若log m n ·log 3m ＝2，则n ＝9.其中正确结论的序号是________．答案 ①②③④⑤解析 lg (lg 10)＝lg 1＝0，故①正确；lg (ln e)＝lg 1＝0，故②正确；③④正确；log m n ·log 3m ＝log 3nlog 3m·log 3m ＝log 3n ＝2，故n ＝9，故⑤正确．(4)若函数y ＝f (x )是函数y ＝2x的反函数，则f (2)＝________. 答案 1解析 由已知得f (x )＝log 2x ，所以f (2)＝log 22＝1.题型 一 对数式的化简与求值1．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x >0，3－x＋1，x ≤0，则f [f (1)]＋f ⎝⎛⎭⎪⎫log 312的值是________．答案 5解析 因为f (1)＝log 21＝0，所以f [f (1)]＝f (0)＝2. 因为log 312<0，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 312＝3－log 312 ＋1 ＝3log 32＋1＝2＋1＝3.所以f [f (1)]＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 312＝2＋3＝5.2．计算下列各式： (1)lg 2＋lg 5－lg 8lg 50－lg 40；(2)log 34273log 5[4 12 log 210－(33) 23 －7log 72]．解 (1)原式＝lg 2×58lg 5040＝lg54lg 54＝1.＝⎝ ⎛⎭⎪⎫34log 33－log 33·log 5(10－3－2) ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫34－1log 55＝－14.3．已知log 189＝a,18b＝5，试用a ，b 表示log 3645. 解 因为log 189＝a,18b＝5，所以log 185＝b ，于是log 3645＝log 1845log 1836＝log 189×51＋log 182＝a ＋b 1＋log 18189＝a ＋b2－a.对数运算的一般思路(1)拆：首先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后正用对数运算性质化简合并．(2)合：将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算性质，转化为同底对数真数的积、商、幂的运算．如举例说明2(1)．(3)转化：a b＝N ⇔b ＝log a N (a >0，且a ≠1)是解决有关指数、对数问题的有效方法，在运算中应注意互化．如举例说明3中18b＝5的变形．计算下列各式：(1)计算(lg 2)2＋lg 2·lg 50＋lg 25的结果为________； (2)若lg x ＋lg y ＝2lg (2x －3y )，则log 32 xy 的值为________；(3)计算：(log 32＋log 92)·(log 43＋log 83)＝________. 答案 (1)2 (2)2 (3)54解析 (1)原式＝lg 2(lg 2＋lg 50)＋lg 52＝lg 2×lg 100＋2lg 5＝2(lg 2＋lg 5)＝2lg 10＝2. (2)由已知得lg (xy )＝lg (2x －3y )2，所以xy ＝(2x －3y )2，整理得4x 2－13xy ＋9y 2＝0，即4⎝ ⎛⎭⎪⎫x y 2－13×x y＋9＝0，解得x y ＝1或x y ＝94.由x >0，y >0,2x －3y >0可得xy＝1，不符合题意，舍去，所以log 32 x y ＝log 3294＝2.(3)原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 2lg 3＋lg 2lg 9·⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 3lg 4＋lg 3lg 8＝⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 2lg 3＋lg 22lg 3·⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 32lg 2＋lg 33lg 2＝3lg 22lg 3·5lg 36lg 2＝54. 题型 二 对数函数的图象及应用1．(2019·某某模拟)函数f (x )＝lg (|x |－1)的大致图象是( )答案 B解析 易知f (x )为偶函数，且f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧lg x －1，x >1，lg －x －1，x <－1，当x ＞1时，y ＝lg x 的图象向右平移1个单位，可得y ＝lg (x －1)的图象，结合选项可知，f (x )的大致图象是B.2．当0<x ≤12时，4x<log a x ，则a 的取值X 围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，22 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫22，1 C ．(1，2) D ．(2，2) 答案 B解析 构造函数f (x )＝4x和g (x )＝log a x ，画出两个函数在⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12上的草图(图略)，可知，若g (x )经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2，则a ＝22，所以a 的取值X 围为⎝ ⎛⎭⎪⎫22，1. 条件探究1 若举例说明2变为：若方程4x＝log a x 在⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12上有解，某某数a 的取值X围．解 若方程4x ＝log a x 在⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12上有解，则函数y ＝4x和函数y ＝log a x 在⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12上有交点，由图象知⎩⎪⎨⎪⎧0<a <1，log a 12≤2，解得0<a ≤22. 条件探究2 若举例说明2变为：若不等式x 2－log a x <0对x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12恒成立，某某数a的取值X 围．解 由x 2－log a x <0得x 2<log a x ，设f 1(x )＝x 2，f 2(x )＝log a x ，要使x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12时，不等式x 2<log a x 恒成立，只需f 1(x )＝x 2在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12上的图象在f 2(x )＝log a x 图象的下方即可．当a >1时，显然不成立；当0<a <1时，如图所示，要使x 2<log a x 在x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12上恒成立，需f 1⎝ ⎛⎭⎪⎫12≤f 2⎝ ⎛⎭⎪⎫12， 所以有⎝ ⎛⎭⎪⎫122≤log a 12，解得a ≥116，所以116≤a <1.即实数a 的取值X 围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫116，1.条件探究3 若举例说明2变为：当0<x ≤14时，x <log a x ，某某数a 的取值X 围．解 若x <log a x 在x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，14时成立，则0<a <1，且y ＝x 的图象在y ＝log a x 图象的下方，如图所示，由图象知14<log a 14， 所以⎩⎪⎨⎪⎧0<a <1，a12 >14，解得116<a <1.即实数a 的取值X 围是⎝ ⎛⎭⎪⎫116，1.1．对数函数图象的特征(1)底数与1的大小关系决定了图象的升降，即a >1时，图象上升；0<a <1时，图象下降．(2)对数函数在同一直角坐标系中的图象如图，其中图象的相对位置与底数大小有关，图中0<c <d <1<a <b .在x 轴上侧，图象从左到右相应的底数由小变大； 在x 轴下侧，图象从右到左相应的底数由小变大． (无论在x 轴的上侧还是下侧，底数都按顺时针方向变大) 2．利用对数函数的图象可求解的三类问题(1)对数型函数图象的识别．解此类问题应从对数函数y ＝log a x 的图象入手，抓住图象上的三个关键点(a,1)，(1,0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫1a，－1，特别地要注意a >1和0<a <1的两种不同情况．(2)对一些可通过平移、对称变换作出其图象的对数型函数，在求解其单调性(单调区间)、值域(最值)、零点时，常利用数形结合思想求解．(3)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解．如举例说明2.1．已知lg a ＋lg b ＝0(a >0且a ≠1，b >0且b ≠1)，则函数f (x )＝a x与g (x )＝－log b x 的图象可能是( )答案 B解析 因为lg a ＋lg b ＝0，所以lg (ab )＝0，所以ab ＝1，即b ＝1a，故g (x )＝－log b x＝－log 1ax ＝log a x ，则f (x )与g (x )互为反函数，其图象关于直线y ＝x 对称，结合图象知，B 正确．2．设实数a ，b 是关于x 的方程|lg x |＝c 的两个不同实数根，且a <b <10，则abc 的取值X 围是________．答案 (0,1)解析 由图象可知0<a <1<b <10，又因为|lg a |＝|lg b |＝c ，所以lg a ＝－c ，lg b ＝c ， 即lg a ＝－lg b ，lg a ＋lg b ＝0， 所以ab ＝1，于是abc ＝c ，而0<c <1. 故abc 的取值X 围是(0,1)． 题型 三 对数函数的性质及应用角度1 比较对数值的大小1．(2018·某某高考)已知a ＝log 2e ，b ＝ln 2，c ＝log 1213，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．a >b >cB ．b >a >cC ．c >b >aD ．c >a >b 答案 D解析 因为e ＝2.71828…>2，所以a ＝log 2e>log 22＝1；b ＝ln 2<ln e ＝1；又因为c ＝log 1213＝log 23>log 22＝1，又因为a ＝log 2e<log 23＝c ，所以c >a >b .角度2 解对数不等式2．(2018·某某模拟)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x >0，log 12 －x ，x <0，若f (a )>f (－a )，则实数a 的取值X 围是( ) A ．(－1,0)∪(0,1) B ．(－∞，－1)∪(1，＋∞) C ．(－1,0)∪(1，＋∞) D ．(－∞，－1)∪(0,1) 答案 C解析 若a >0，则log 2a >log 12 a ，即2log 2a >0，所以a >1.若a <0，则log 12 (－a )>log 2(－a )，即2log 2(－a )<0，所以0<－a <1，－1<a <0.综上知，实数a 的取值X 围是(－1,0)∪(1，＋∞)． 角度3 与对数函数有关的综合问题 3．已知函数f (x －3)＝log ax6－x(a >0，且a ≠1)． (1)判断f (x )的奇偶性，并说明理由； (2)当0<a <1时，求函数f (x )的单调区间．解 令x －3＝u ，则x ＝u ＋3，于是f (u )＝log a 3＋u3－u (a >0，且a ≠1，－3<u <3)，所以f (x )＝log a 3＋x 3－x(a >0，且a ≠1，－3<x <3)．(1)因为f (－x )＋f (x )＝log a 3－x 3＋x ＋log a 3＋x3－x ＝log a 1＝0，所以f (－x )＝－f (x )．又定义域(－3,3)关于原点对称．所以f (x )是奇函数．(2)令t ＝3＋x 3－x ＝－1－6x －3，则t 在(－3,3)上是增函数，当0<a <1时，函数y ＝log a t是减函数，所以f (x )＝log a3＋x3－x(0<a <1)在(－3,3)上是减函数， 即函数f (x )的单调递减区间是(－3,3)．1．比较对数值大小的方法若底数为同一常数可由对数函数的单调性直接进行判断；若底数为同一字母，则需对底数进行分类讨论若底数不同，真数相同 可以先用换底公式化为同底后，再进行比较 若底数与真数都不同 常借助1,0等中间量进行比较，如举例说明12．求解对数不等式的两种类型及方法 类型 方法形如 log a x >log a b 借助y ＝log a x 的单调性求解，如果a 的取值不确定，需分a >1与0<a <1两种情况讨论形如 log a x >b 需先将b 化为以a 为底的对数式的形式，再借助y ＝log a x 的单调性求解3．解决与对数函数有关的综合问题单调性的步骤 一求求出函数的定义域二判判断对数函数的底数与1的关系，分a >1与0<a <1两种情况判断内层函数和外层函数的单调性，运用复合函数“同增异减”的原则判断函数的单调性，如举例说明3(2)1．(2016·全国卷Ⅰ)若a >b >1,0<c <1，则( ) A ．a c<b cB ．ab c<ba cC ．a log b c <b log a cD ．log a c <log b c 答案 C解析 解法一：由a >b >1,0<c <1，知a c>b c，A 错误； ∵0<c <1，∴－1<c －1<0，∴y ＝x c －1在x ∈(0，＋∞)上是减函数，∴bc －1>ac －1，又ab >0，∴ab ·bc －1>ab ·ac －1，即ab c >ba c，B 错误；易知y ＝log c x 是减函数，∴0>log c b >log c a ，∴log b c <log a c ，D 错误；由log b c <log a c <0，得－log b c >－log a c >0，又a >b >1>0，∴－a log b c >－b log a c >0，∴a log b c <b log a c ，故C 正确．解法二：依题意，不妨取a ＝10，b ＝2，c ＝12.易验证A ，B ，D 错误，只有C 正确．2．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x，x ≤0log 2x ，x >0，若f [f (x )]≥－2，则x 的取值X 围为( )A ．[－2,1]B ．[42，＋∞)C ．[－2,1]∪[42，＋∞) D．[0,1]∪[42，＋∞) 答案 C解析 解法一：①若x ≤0，则f [f (x )]＝log 22x＝x ≥－2，所以－2≤x ≤0.②若x >1，则f [f (x )]＝log 2(log 2x )≥－2，log 2x ≥2－2，x ≥2 14 ＝42，所以x ≥42. ③若0<x ≤1，则f [f (x )]＝2log 2x＝x ≥－2， 所以0<x ≤1.综上知，x 的取值X 围是[－2,1]∪[42，＋∞)． 解法二：作出函数f (x )的图象如下：由图象可知，若f [f (x )]≥－2，则f (x )≥14或f (x )≤0.再次利用图象可知x 的取值X 围是[－2,1]∪[42，＋∞)． 3．函数f (x )＝log 2x ·log 2(2x )的最小值为________．答案 －14解析 f (x )＝12log 2x ·2log 2(2x )＝log 2x (log 22＋log 2x ) ＝log 2x ＋(log 2x )2＝⎝⎛⎭⎪⎫log 2x ＋122－14， 所以当log 2x ＝－12，即x ＝22时，f (x )取得最小值－14.。
2021届高考数学一轮复习第二章函数的概念及基本初等函数I第六节对数与对数函数学案理含解析.doc
第六节对数与对数函数[最新考纲][考情分析][核心素养] 1.理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用.2.理解对数函数的概念，理解对数函数的单调性，掌握对数函数图象通过的特殊点.3.知道对数函数是一类重要的函数模型.4.了解指数函数y＝a x与对数函数y＝log a x互为反函数(a>0，且a≠1).对数函数中利用性质比较对数值大小，求对数型函数的定义域、值域、最值等仍是2021年高考考查的热点，题型多以选择题、填空题为主，属中档题，分值为5分.1.逻辑推理2.数学抽象3.数学运算4.直观想象‖知识梳理‖1．对数的概念如果a x＝N(a>0且a≠1)，那么数x叫做以a为底N1x＝log a N，其中2a 3N叫做真数．2．对数的性质与运算法则(1)对数的性质①alog a N4N；②log a a N5N(a>0且a≠1)；③零和负数没有对数．(2)对数的运算法则(a>0且a≠1，M>0，N>0)①log a(MN)6log a M＋log a N；②log aMN＝7log a M－log a N；③log a M n8n log a M(n∈R)．(3)对数的重要公式9log b N＝log a Nlog a b(a，b均大于零且不等于1，N>0)；②log a b＝1log b a(a，b均大于零且不等于1，N>0)．►常用结论(1)指数式与对数式互化：a x ＝N ⇔x ＝log a N . (2)对数运算的一些结论：①log a m b n ＝nm log a b ；②log a b ·log b a ＝1；③log a b ·log b c ·log c d ＝log a d .3．对数函数及其性质(1)概念：函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)叫做对数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是(0，＋∞)．(2)对数函数的图象与性质a >10<a <1图象定义域 10(0，＋∞)值域11R性质过点12(1，0)，即x ＝131时，y ＝140当x >1时，15y >0；当0<x <1时，16y <0 当x >1时，17y <0；当0<x <1时，18y >0 在(0，＋∞)上是19增函数在(0，＋∞)上是20减函数 ►常用结论(1)底数的大小决定了图象相对位置的高低；不论是a >1还是0<a <1，在第一象限内，自左向右，图象对应的对数函数的底数逐渐变大．(2)对数函数y ＝log a x (a >0且a ≠1)的图象过定点(1，0)，且过点(a ，1)，⎝⎛⎭⎫1a ，－1，函数图象只在第一、四象限．‖基础自测‖一、疑误辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)． (1)若MN >0，则log a (MN )＝log a M ＋log a N .( ) (2)log a x ·log a y ＝log a (x ＋y )．( )(3)函数y ＝log 2x 及y ＝log 13(3x )都是对数函数．( )(4)对数函数y ＝log a x (a >0且a ≠1)在(0，＋∞)上是增函数．( )(5)对数函数y ＝log a x (a >0且a ≠1)的图象过定点(1，0)，且过点(a ，1)，⎝⎛⎭⎫1a ，－1，函数图象只在第一、四象限．( )答案：(1)× (2)× (3)× (4)× (5)√ 二、走进教材2．(必修1P 73T 3改编)已知a ＝2－13，b ＝log 213，c ＝log 1213，则( )A ．a >b >cB ．a >c >bC ．c >b >aD ．c >a >b答案：D3．(必修1P 74A 7改编)函数y ＝log 23（2x －1）的定义域是________．答案：⎝⎛⎦⎤12，1 三、易错自纠4．如果log 12x <log 12y <0，那么( )A ．y <x <1B ．x <y <1C ．1<x <yD ．1<y <x解析：选D 由log 12x <log 12y <0，得log 12x <log 12y <log 121，所以x >y >1. 5．函数y ＝log 0.5（4x －3）的定义域为________．解析：要使函数有意义，须满足⎩⎪⎨⎪⎧4x －3>0，log 0.5（4x －3）≥0，解得34<x ≤1.答案：⎝⎛⎦⎤34，16．若log a 34<1(a >0且a ≠1)，则实数a 的取值范围是____________．解析：当0<a <1时，log a 34<log a a ＝1，所以0<a <34；当a >1时，log a 34<log a a ＝1，所以a >1.答案：⎝⎛⎭⎫0，34∪(1，＋∞)考点 对数式的化简与求值|题组突破|1.（log 23）2－4log 23＋4＋log 213＝( )A ．2B ．2－2log 23C ．－2D ．2log 23－2解析：选B （log 23）2－4log 23＋4＝（log 23－2）2＝2－log 23，又log 213＝－log 23，两者相加即为B ．2．计算⎝⎛⎭⎫lg 14－lg 25÷100－12＝________． 解析：原式＝(lg 2－2－lg 52)×10012＝10lg 122·52＝10lg 10－2＝－2×10＝－20. 答案：－203.12lg 3249－43lg 8＋lg 245＝________． 解析：12lg 3249－43lg 8＋lg 245＝12(5lg 2－2lg 7)－43×12×3lg 2＋12(lg 5＋2lg 7) ＝12(lg 2＋lg 5)＝12. 答案：124．设2a ＝5b ＝m ，且1a ＋1b＝2，则m ＝________．解析：因为2a ＝5b ＝m >0，所以a ＝log 2m ，b ＝log 5m ，所以1a ＋1b ＝1log 2m ＋1log 5m ＝log m 2＋log m 5＝log m 10＝2，所以m 2＝10，所以m ＝10(负值舍去)．答案：10 ►名师点津对数运算的一般思路(1)将真数化为底数的指数幂的形式进行化简； (2)将同底对数的和、差、倍合并；(3)利用换底公式将不同底的对数式转化成同底的对数式，要注意换底公式的正用、逆用及变形应用．考点一 对数函数的图象及应用【例1】 (1)(2019届合肥质检)函数y ＝ln(2－|x |)的大致图象为( )(2)当0<x ≤12时，4x <log a x ，则a 的取值范围是( )A ．⎝⎛⎭⎫0，22 B ．⎝⎛⎭⎫22，1C ．(1，2)D ．(2，2)[解析] (1)令f (x )＝ln(2－|x |)，易知函数f (x )的定义域为{x |－2<x <2}，且f (－x )＝ln(2－|x |)＝f (x )，所以函数f (x )为偶函数，排除选项C 、D ；由对数函数的单调性及函数y ＝2－|x |的单调性知A 正确．(2)易知0<a <1，函数y ＝4x 与y ＝log a x 的大致图象如图，则由题意可知，只需满足log a 12>412，解得a >22，∴22<a <1，故选B ． [答案] (1)A (2)B ►名师点津(1)识别对数函数图象时，要注意底数a 以1为分界；当a >1时，是增函数；当0<a <1时，是减函数．注意对数函数图象恒过定点(1，0)，且以y 轴为渐近线．(2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解．|跟踪训练|1．函数f (x )＝log a |x |＋1(0<a <1)的图象大致为( )解析：选A 由函数f (x )的解析式可确定该函数为偶函数，图象关于y 轴对称．设g (x )＝log a |x |，先画出当x >0时g (x )的图象，然后根据g (x )的图象关于y 轴对称画出当x <0时g (x )的图象，最后由函数g (x )的图象向上整体平移一个单位长度，即得f (x )的图象，结合图象知选A ．2．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|lg x |，0<x ≤10，－12x ＋6，x >10，若a ，b ，c 互不相等，且f (a )＝f (b )＝f (c )，则abc 的取值范围是( )A ．(1，10)B ．(5，6)C ．(10，12)D ．(20，24)解析：选C 作出f (x )的大致图象，不妨设a <b <c ，因为a ，b ，c 互不相等，且f (a )＝f (b )＝f (c )，由函数的图象可知，10<c <12，且|lg a |＝|lg b |，因为a ≠b ，所以lg a ＝－lg b ，可得ab ＝1，所以abc ＝c ∈(10，12)．考点二 对数函数的性质及应用——多维探究 常见的考查对数函数的性质的命题角度有：(1)对数值大小的比较；(2)对数函数单调性的应用；(3)与对数函数有关的不等式问题． ●命题角度一 对数值大小的比较【例2】 (2019年天津卷)已知a ＝log 52，b ＝log 0.50.2，c ＝0.50.2，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．a <c <bB ．a <b <cC ．b <c <aD ．c <a <b[解析] 由题意，可知a ＝log 52<1，b ＝log 0.50.2＝log 1215＝log 2－15－1＝log 25>log 24＝2，c ＝0.50.2<1，∴b 最大，a ，c 都小于1.∵a ＝log 52＝1log 25，c ＝0.50.2＝⎝⎛⎭⎫1215＝512＝152，而log 25>log 24＝2>52，∴1log 25<152，∴a <c ，∴a <c <b ，故选A ． [答案] A ►名师点津比较对数值的大小，常有以下题型及求法：对数值—⎪⎪⎪⎪—同底数→利用对数函数的单调性比较—同真数→利用图象法或转化为同底数进行比较—底数、真数均不同→引入中间量（如－1，0，1等） ●命题角度二 对数函数单调性的应用【例3】 若函数f (x )＝log 12(－x 2＋4x ＋5)在区间(3m －2，m ＋2)内单调递增，则实数m 的取值范围为( )A ．⎣⎡⎦⎤43，3B ．⎣⎡⎦⎤43，2 C ．⎣⎡⎭⎫43，2D ．⎣⎡⎭⎫43，＋∞[解析] 由－x 2＋4x ＋5>0，解得－1<x <5.二次函数y ＝－x 2＋4x ＋5的对称轴为x ＝2.由复合函数单调性可得，函数f (x )＝log 12(－x 2＋4x ＋5)的单调递增区间为(2，5)．要使函数f (x )＝log 12(－x 2＋4x ＋5)在区间(3m －2，m ＋2)内单调递增，只需⎩⎪⎨⎪⎧3m －2≥2，m ＋2≤5，3m －2<m ＋2，解得43≤m <2.[答案] C ►名师点津与对数函数有关的复合函数的单调性，解决此类问题有以下三个步骤： (1)求出函数的定义域；(2)判断对数函数的底数与1的大小关系，当底数是含字母的代数式(包含单独一个字母)时，若涉及其单调性，就必须对底数进行分类讨论；(3)判断内层函数和外层函数的单调性，运用复合函数“同增异减”原则判断函数的单调性．●命题角度三 与对数函数有关的不等式问题【例4】 设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x >0，log 12（－x ），x <0.若f (a )>f (－a )，则实数a 的取值范围是( )A ．(－1，0)∪(0，1)B ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)C ．(－1，0)∪(1，＋∞)D ．(－∞，－1)∪(0，1)[解析] 由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧a >0，log 2a >－log 2a或⎩⎪⎨⎪⎧a <0，－log 2（－a ）>log 2（－a ），解得a >1或－1<a <0.故选C ． [答案] C ►名师点津处理这类问题的方法是：一般模式都是给出一个含有参数而且与对数有关的函数，通过求导和单调性得到参数的取值范围，然后在参数中选定一个参数，得到一个与对数函数有关的不等式，最后对变量x 相应地赋值证得结论．|跟踪训练|3．(2019年全国卷Ⅰ)已知a ＝log 20.2，b ＝20.2，c ＝0.20.3，则( ) A ．a <b <c B ．a <c <b C ．c <a <bD ．b <c <a解析：选B a ＝log 20.2<log 21＝0，b ＝20.2>20＝1， ∵0<0.20.3<0.20＝1， ∴c ＝0.20.3∈(0，1)，∴a <c <b ，故选B ．4．若函数f (x )＝log a (x 2－ax ＋5)(a >0且a ≠1)满足对任意的x 1，x 2，当x 1<x 2≤a2时，f (x 2)－f (x 1)<0，则实数a 的取值范围为________．解析：当x 1<x 2≤a2时，f (x 2)－f (x 1)<0，即函数f (x )在区间⎝⎛⎦⎤－∞，a 2上为减函数，设g (x )＝x 2－ax ＋5，则⎩⎪⎨⎪⎧a >1，g ⎝⎛⎭⎫a 2>0，解得1<a <2 5.答案：(1，25)考点 对数函数性质的创新应用【例】 (2019届江西赣州模拟)已知函数f (x )＝|log 3x |，实数m ，n 满足0<m <n ，且f (m )＝f (n )，若f (x )在[m 2，n ]上的最大值为2，则nm＝________．[解析] ∵f (x )＝|log 3x |，正实数m ，n 满足m <n ，且f (m )＝f (n )，∴0<m <1<n ，且－log 3m ＝log 3n ，∴mn ＝1.∵f (x )在区间[m 2，n ]上的最大值为2，函数f (x )在[m 2，1)上是减函数，在(1，n ]上是增函数，∴－log 3m 2＝2或log 3n ＝2.若－log 3m 2＝2，则m ＝13，此时n ＝3，则log 3n ＝1，满足题意，那么n m ＝3÷13＝9；若log 3n ＝2，则n ＝9，此时m ＝19，则－log 3m 2＝4，不满足题意．综合可得nm＝9.[答案] 9 ►名师点津由f (x )＝|log 3x |，正实数m ，n 满足m <n ，且f (m )＝f (n )，得0<m <1<n ，且－log 3m ＝log 3n ，可得mn ＝1.对范围[m 2，n ]内f (x )取最大值的情况进行讨论，可求m ，n 的值．|跟踪训练|(2019届江西一模)若函数f (x )＝log a ⎝⎛⎭⎫x ＋ax －4(a >0且a ≠1)的值域为R ，则实数a 的取值范围是________．解析：∵函数f (x )＝log a ⎝⎛⎭⎫x ＋a x －4(a >0且a ≠1)的值域为R ，∴x ＋ax －4能取遍所有的正数， 又当x >0时，x ＋a x －4≥2a －4，当x <0时，x ＋ax－4≤－2a －4<0(舍去)，∴要满足题意，需2a－4≤0，解得a≤4.故实数a的取值范围是(0，1)∪(1，4]．答案：(0，1)∪(1，4]。
高考数学大一轮复习 第二章 函数概念与基本初等函数 第6讲 对数与对数函数课件
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1．已知函数 y＝loga(x＋c)(a，c 常数，其中 a>0，a≠1)的图象 如图所示，则下列结论成立的是( )
A．a>1，c>1 C．0<a<1，c>1
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B．a>1，0<c<1 D．0<a<1，0<c<1
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解析：选 D.由对数函数的性质得 0<a<1，因为函数 y＝loga(x ＋c)的图象在 c>0 时是由函数 y＝logax 的图象向左平移 c 个单 位得到的，所以根据题中图象可知 0<c<1.
质 当 x>1 时，y>0 当 0<x<1 当 x>1 时，y<0 当 0<x<1
时，y<0
时，y>0
在(0，＋∞)上是 _增__函__数__
在(0，＋∞)上是_减__函__数__
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3.对数函数的变化特征 在同一平面直角坐标系中，分别作出对数函数 y＝logax，y＝ logbx，y＝logcx，y＝logdx(a＞1，b＞1，0＜c＜1，0＜d＜1)的 图象，如图所示．
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底数的限制：a>0，且 a≠1
对数式与指数式的互化：ax＝N⇒_lo_g__aN__＝__x_
负数和零没有对数 性质
1 的对数是_零__：loga1＝_0_ 底数的对数是_1_：logaa＝_1_ 对数恒等式：alogaN＝_N_
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2025版新教材高考数学全程一轮总复习第二章函数与基本初等函数第六节对数与对数函数学生用书
第六节对数与对数函数【课标标准】 1.理解对数的概念和运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数.2.了解对数函数的概念，会画出详细对数函数的图象，探究并了解对数函数的单调性与特别点.3.知道对数函数y＝log a x与指数函数y＝a x(a>0，a≠1)互为反函数．必备学问·夯实双基学问梳理1.对数(1)对数的概念：一般地，假如a x＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作________，其中a叫做对数的底数，N叫做真数．(2)对数恒等式①＝________(a>0，且a≠1，N>0)．②log a a b＝________(a>0，且a≠1，b∈R)．(3)对数的运算性质假如a>0，且a≠1.M>0，N>0，那么：①log a(MN)＝________________；②log a＝________________；③log a M n＝________(n∈R)．(4)换底公式log b N ＝(a>0，且a≠1，b>0，且b≠1，N>0)2．对数函数(1)一般地，函数y＝log a x(a>0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，定义域是(0，＋∞)．(2)对数函数的图象与性质0<a<1a>1 图象定义域________值域________性质过定点________，即x＝1时，y＝0当x>1时，________；当0<x<1时，________当x>1时，________；当0<x<1时，________ 在(0，＋∞)上是________在(0，＋∞)上是________a们的图象关于直线________对称．[常用结论]1．换底公式的三个重要结论(1)log a b＝.＝log a b.(3)log a b·log b c·log c d＝log a d.其中a>0，且a≠1，b>0，且b≠1，c>0，且c≠1，m，n∈R.2．对数函数的图象与底数大小的比较如图，作直线y＝1，则该直线与四个函数图象交点的横坐标为相应的底数，故0＜c＜d ＜1＜a＜b.由此我们可得到以下规律：在第一象限内从左到右底数渐渐增大．夯实双基1.思索辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数y＝log2x及y＝都是对数函数．( )(2)若MN>0，则log a(MN)＝log a M＋log a N.( )(3)对数函数y＝log a x(a>0，且a≠1)在(0，＋∞)上是增函数．( )(4)函数y＝log a x2与函数y＝2log a x是相等函数.( )2．(教材改编)(log29)·(log34)＝( )A． B．C．2 D．43．(教材改编)函数y＝log a(x－2)＋1(a>0且a≠1)的图象恒过定点________．4.(易错)使式子log(2x－1)(2－x)有意义的x的取值范围是( )A．x>2 B．x<2C．<x<2 D．<x<2，且x≠15．若log a<1(a>0，且a≠1)，则实数a的取值范围是________．关键实力·题型突破题型一对数式的运算例 1 (1)[2024·山东青岛模拟](log23－log83)(log32＋log92)＝________.(用数字作答)(2)[2024·河北廊坊模拟]已知3a＝5b＝A，则＝2，则A＝________．(3)计算：log23·log34＋(lg 5)2＋lg 5·lg 20＋lg 16－.题后师说对数运算的策略巩固训练1(1)已知log212＝m，则log312＝( )A． B．C． D．(2)[2024·河北沧州模拟]生物入侵是指生物由原生存地侵入到另一个新的环境，从而对入侵地的生态系统造成危害的现象．若某入侵物种的个体平均繁殖数量为Q，一年四季均可繁殖，繁殖间隔T为相邻两代间繁殖所需的平均时间．在物种入侵初期，可用对数模型K(n)＝λln n(λ为常数)来描述该物种累计繁殖数量n与入侵时间K(单位：天)之间的对应关系，且Q＝＋1，在物种入侵初期，基于现有数据得出Q＝6，T＝50.据此估计该物种累计繁殖数量比初始累计繁殖数量增加11倍所须要的时间为(ln 2≈0.69，ln 3≈1.10)________天．题型二对数函数的图象及应用例 2 (1)[2024·广东汕头模拟]函数y＝|lg (x＋1)|的图象是( )(2)已知函数f(x)＝|ln x|，若0<a<b，且f(a)＝f(b)，则a＋2b的取值范围是________.题后师说与对数函数图象有关的问题的解题策略巩固训练2(1)[2024·山东潍坊模拟]若函数f(x)＝(k－1)a x－a－x(a>0，且a≠1)在R上既是奇函数，又是减函数，则g(x)＝log a(x＋k)的图象是( )(2)已知函数f(x)＝，且方程f(x)＝a有两个不相等的实数根，则实数a 的取值范围为________．题型三对数函数的性质及应用角度一比较大小例 3 (1)[2024·辽宁大连模拟]已知a＝，b＝log32，c＝log2，则a，b，c的大小关系为( )A．a<b<c B．b<a<cC．a<c<b D．c<b<a(2)已知a＝log32，b＝，c＝log97，则( )A．a<c<b B．a<b<cC．b<a<c D．b<c<a题后师说比较对数值大小的方法巩固训练3(1)下列选项正确的是( )A．log25.3<log24.7B．log0.27<log0.29C．log3π>logπ3D．log a3.1<log a5.2(a>0且a≠1)(2)[2024·河北保定模拟]已知a＝0.91.5，b＝log20.9，c＝log0.30.2，则( )A．a>c>b B．a>b>cC．c>a>b D．c>b>a角度二解简洁的对数不等式例 4 已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且在[0，＋∞)上为增函数，若f(1)＝0，则不等式f(log2x)>0的解集为( )A．C.(0，2)题后师说与对数函数有关的不等式的求解策略巩固训练4若log a(a＋1)<log a(2)<0(a>0，且a≠1)，则实数a的取值范围是________．角度三对数函数性质的综合应用例 5[2024·河北石家庄一中月考]已知函数y＝在区间(－∞，)上是增函数，求实数a的取值范围________.题后师说求与对数函数有关的复合函数的值域、最值和单调性问题时，必需弄清三方面的问题：一是定义域，全部问题都必需在定义域内探讨；二是底数与1的大小关系；三是复合函数的构成，即它是由哪些基本初等函数复合而成的．巩固训练5若函数f(x)＝的最大值为0，则实数a的值为________．1.[2024·新高考Ⅱ卷]已知a＝log52，b＝log83，c＝，则下列推断正确的是( )A．c<b<a B．b<a<cC．a<c<b D．a<b<c2．[2024·天津卷]化简(2log43＋log83)(log32＋log92)的值为( )A．1 B．2C．4 D．63．[2024·新高考Ⅱ卷]已知函数f(x)＝lg (x2－4x－5)在(a，＋∞)上单调递增，则a 的取值范围是( )A．(2，＋∞) B．[2，＋∞)C．(5，＋∞) D．[5，＋∞)第六节对数与对数函数必备学问·夯实双基学问梳理1．(1)x＝log a N(2)N b(3)log a M＋log a N log a M－log a N n log a M2．(0，＋∞)R(1，0) y<0 y>0 y>0 y<0 减函数增函数(3)y＝x夯实双基1．(1)×(2)×(3)×(4)×2．解析：(log29)·(log34)＝2log23×(2log32)＝4.故选D.答案：D3．解析：当x－2＝1，即x＝3时，log a(x－2)＝log a1＝0，此时y＝1，∴函数y＝log a(x－2)＋1的图象恒过定点(3，1)．答案：(3，1)4．解析：要使log(2x－1)(2－x)有意义，则，解得<x<2，且x≠1.故选D.答案：D5．解析：∵log a<1＝log a a，当a>1时，函数y＝log a x在(0，＋∞)上是增函数，不等式成立；当0<a<1时，函数y＝log a x在(0，＋∞)上是减函数，∴0<a<.综上所述，a的取值范围是答案：关键实力·题型突破例1 解析：(1)(log23－log83)(log32＋log92)＝(log23－)(log32＋)＝(log23－log23)(log32＋log32)＝log23×log32＝1.(2)∵3a＝5b＝A，∴a＝log3A，b＝log5A，A>0.∴＝log A3，＝log A5.又∵＝2，∴log A3＋2log A5＝2⇒log A3＋log A25＝2，即log A75＝2，∴A2＝75，∵A>0，∴A＝5.(3)log23·log34＋(lg 5)2＋lg 5·lg 20＋lg 16－2log23＝·＋lg 5(lg 5＋lg 20)＋lg 24－3＝＋lg 5·lg (5×20)＋2lg 2－3＝2＋2lg 5＋2lg 2－3＝2lg 10－1＝1.答案：(1)1 (2)5(3)见解析巩固训练1 解析：(1)因为log212＝m，所以＝＝＝m，即lg 3＝(m－2)lg 2，所以log312＝＝＝＝，故选B.(2)∵Q＝＋1，Q＝6，T＝50，∴6＝＋1，解得λ＝10.设初始时间为K1，初始累计繁殖数量为n，累计繁殖数量增加11倍后的时间为K2，则K2－K1＝λln (12n)－λln n＝λln 12＝10(2ln 2＋ln 3)≈24.8(天)．答案：(1)B (2)24.8例2 解析：(1)由于函数y＝lg (x＋1)的图象可由函数y＝lg x的图象向左平移一个单位而得到，函数y＝lg x的图象与x轴的交点是(1，0)，故函数y＝lg (x＋1)的图象与x轴的交点是(0，0)，即函数y＝|lg (x＋1)|的图象与x轴的公共点是(0，0)，明显四个选项只有A选项满意．故选A.(2)f(x)＝|ln x|的图象如图，因为f(a)＝f(b)，所以|ln a|＝|ln b|，因为0<a<b，所以ln a<0，ln b>0，所以0<a<1，b>1，所以|ln a|＝－ln a，|ln b|＝ln b，所以－ln a＝ln b，所以ln a＋ln b＝ln (ab)＝0，所以ab＝1，则b＝，所以a＋2b＝a＋，令g(x)＝x＋(0<x<1)，则g′(x)＝1－＝，当0<x<1时，g′(x)<0，所以g(x)在(0，1)上递减，所以g(x)>g(1)＝1＋2＝3，所以a＋2b>3，所以a＋2b的取值范围为(3，＋∞)．答案：(1)A (2)(3，＋∞)巩固训练2 解析：(1)由于f(x)是R上的奇函数，所以f(0)＝k－1－1＝0，k＝2，所以f(x)＝a x－为减函数，所以0<a<1，所以g(x)＝log a(x＋2)，x>－2，g(x)为(－2，＋∞)上的减函数，g(－1)＝0，所以BCD选项错误，A选项正确．故选A.(2)作出函数f(x)的图象，再作出直线y＝a，方程f(x)＝a有两个不相等的实数根，则实数a的取值范围为1<a≤2.答案：(1)A (2)1<a≤2例 3 解析：(1)∵a＝>30＝1，b＝log32∈(log31，log33)＝(0，1)，c＝log2<log21＝0，∴c<b<a.故选D.(2)由a＝log32＝＝log3>c＝log97＝log3>0>b＝，所以b<c<a.故选D.答案：(1)D (2)D巩固训练 3 解析：(1)对于A，因为y＝log2x在(0，＋∞)是单调递增函数，所以log25.3>log24.7，故A错误；对于B，因为y＝log0.2x在(0，＋∞)是单调递减函数，所以log0.27>log0.29，故B错误；对于C，因为log3π>log33＝1，logπ3<logππ＝1，所以log3π>logπ3，故C正确；对于D，当0<a<1时，y＝log a x在(0，＋∞)是单调递减函数，当a>1时，y＝log a x在(0，＋∞)是单调递增函数，所以当0<a<1时，log a3.1>log a5.2，当a>1时，log a3.1<log a5.2，故D错误．故选C.(2)因为0<0.9<1，所以函数y＝0.9x在(0，＋∞)单调递减，所以0<0.91.5<0.90＝1，即0<a<1；因为2>1，所以函数y＝log2x在(0，＋∞)单调递增，所以log20.9<log21＝0，即b<0；因为0<0.3<1，所以函数y＝log0.3x在(0，＋∞)单调递减，所以log0.30.2>log0.30.3＝1，即c>1.所以c>a>b，故A、B、D错误．故选C.答案：(1)C (2)C例4 解析：由题意知函数f(x)的大致图象如图所示，则不等式f(log2x)>0⇔log2x<－1或log2x>1，解得0<x<或x>2.故选A.答案：A巩固训练4 解析：由题意，a>0，a≠1，∴(－1)2＝a－2＋1>0，∴a＋1>2，∴要使log a(a＋1)<log a(2)，则令函数y＝log a x在(0，＋∞)上单调递减，∴0<a<1，∴log a(a＋1)<log a(2)<0＝log a1，∴，解得<a<1.∴实数a 的取值范围是.答案：例5 解析：令u＝x2－ax＋a，因为外层函数y ＝在(0，＋∞)为减函数，则内层函数u＝x2－ax＋a在区间(－∞，)上是减函数，所以，解得2≤a ≤2＋2.答案：[2，2＋2]巩固训练5 解析：因为f(x)的最大值为0，所以h(x)＝ax2＋x＋2应有最小值1，因此应有解得a ＝.答案：真题展台——知道高考考什么？1．解析：a＝log52<log 5＝＝log82<log83＝b，即a<c<b.故选C.答案：C2．解析：原式＝＝log23×log32＝2.故选B.答案：B3．解析：由x2－4x－5>0得x>5或x<－1，所以f(x)的定义域为(－∞，－1)因为y＝x2－4x－5在(5，＋∞)上单调递增，所以f(x)＝lg (x2－4x－5)在(5，＋∞)上单调递增，所以a≥5.故选D.答案：D。
高考数学一轮复习第二章函数的概念与基本初等函数Ⅰ第六节对数与对数函数实用市赛课公开课一等奖省名师优质
依据图象观察得出大小关系
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全国卷5年真题集中演练——明规律
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第六节 对数与对数函数
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突破点(一) 对数运算
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突破点(二) 对数函数图象及应用
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全国卷5年真题集中演练——明规律
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突破点(三) 对数函数性质及应用
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突破点(一) 对数运算
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研
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突破点(二) 对数函数图象及应用
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高考数学一轮复习 第二章 函数概念与基本初等函数I 2.
【步步高】（江苏专用）2017版高考数学一轮复习 第二章 函数概念与基本初等函数I 2.6 对数与对数函数 文1．对数的概念一般地，如果a (a >0，a ≠1)的b 次幂等于N ，即a b＝N ，那么就称b 是以a 为底N 的对数，记作log a N ＝b ，N 叫做真数． 2．对数的性质与运算法则 (1)对数的运算法则如果a >0且a ≠1，M >0，N >0，那么 ①log a (MN )＝log a M ＋log a N ； ②log a M N＝log a M －log a N ； ③log a M n＝n log a M (n ∈R )；④log am M n ＝n mlog a M (m ，n ∈R ，且m ≠0)． (2)对数的性质①a log a N ＝__N __；②log a a N＝__N __(a >0且a ≠1)． (3)对数的重要公式①换底公式：log b N ＝log a N log a b (a ，b 均大于零且不等于1)；②log a b ＝1log b a ，推广log a b ·log b c ·log c d ＝log a d .3．对数函数的图象与性质a >10<a <1图象性 质(1)定义域：(0，＋∞)(2)值域：R(3)过定点(1,0)，即x ＝1时，y ＝0当0<x <1时，y <0 (4)当x >1时，y >0 当0<x <1时，y >0 (6)在(0，＋∞)上是增函数(7)在(0，＋∞)上是减函数4.指数函数y ＝a x与对数函数y ＝log a x 互为反函数，它们的图象关于直线__y ＝x __对称． 【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)若MN >0，则log a (MN )＝log a M ＋log a N .( × ) (2)log a x ·log a y ＝log a (x ＋y )．( × )(3)函数y ＝log 2x 及y ＝log 133x 都是对数函数．( × )(4)对数函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)在(0，＋∞)上是增函数．( × ) (5)函数y ＝ln 1＋x1－x与y ＝ln(1＋x )－ln(1－x )的定义域相同．( √ )(6)对数函数y ＝log a x (a >0且a ≠1)的图象过定点(1,0)，且过点(a,1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫1a，－1，函数图象只在第一、四象限．( √ )1．(2015·湖南改编)设函数f (x )＝ln(1＋x )－ln(1－x )，则有关f (x )的性质判断正确的是________(填序号)．①奇函数，且在(0,1)上是增函数； ②奇函数，且在(0,1)上是减函数； ③偶函数，且在(0,1)上是增函数； ④偶函数，且在(0,1)上是减函数． 答案 ①解析 易知函数定义域为(－1，1)，f (－x )＝ln(1－x )－ln(1＋x )＝－f (x )，故函数f (x )为奇函数，又f (x )＝ln 1＋x 1－x ＝ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1－2x －1，由复合函数单调性判断方法知，f (x )在(0,1)上是增函数．2．设a ＝log 1312，b ＝log 1323，c ＝log 343，则a ，b ，c 的大小关系是________．答案 c <b <a解析∵a＝log1312＝log32，b＝log1323＝log332，c＝log343.log3x是定义域上的增函数，2>32>43，∴c<b<a.3．函数f(x)＝lg(|x|－1)的大致图象是________．(填图象序号)答案②解析由函数f(x)＝lg(|x|－1)的定义域为(－∞，－1)∪(1，＋∞)，值域为R.又当x>1时，函数单调递增，所以只有②正确．4．(2015·浙江)若a＝log43，则2a＋2－a＝________.答案4 33解析2a＋2－a＝4log32＋4log32－＝3loglog322＋＝3＋33＝4 33.5．(教材改编)若log a34<1(a>0，且a≠1)，则实数a的取值范围是________________．答案⎝⎛⎭⎪⎫0，34∪(1，＋∞)解析当0<a<1时，log a34<log a a＝1，∴0<a<34；当a>1时，log a34<log a a＝1，∴a>1.∴实数a的取值范围是⎝⎛⎭⎪⎫0，34∪(1，＋∞).题型一 对数式的运算例1 (1)设2a ＝5b＝m ，且1a ＋1b＝2，则m ＝________.(2)lg 5＋lg 20的值是________． 答案 (1)10 (2)1解析 (1)∵2a ＝5b＝m ，∴a ＝log 2m ，b ＝log 5m ， ∴1a ＋1b ＝1log 2m ＋1log 5m ＝log m 2＋log m 5＝log m 10＝2. ∴m ＝10.(2)原式＝lg 100＝lg 10＝1.思维升华 在对数运算中，要熟练掌握对数的定义，灵活使用对数的运算性质、换底公式和对数恒等式对式子进行恒等变形，多个对数式要尽量先化成同底的形式再进行运算．(1)计算：1－log 632＋log 62·log 618log 64＝________.(2)已知log a 2＝m ，log a 3＝n ，则a 2m ＋n＝________.答案 (1)1 (2)12 解析 (1)原式 ＝1－2log 63＋log 632＋log 663·log 66×3log 64＝1－2log 63＋log 632＋1－log 631＋log 63log 64＝1－2log 63＋log 632＋1－log 632log 64＝21－log 632log 62＝log 66－log 63log 62＝log 62log 62＝1.(2)∵log a 2＝m ，log a 3＝n ，∴a m＝2，a n＝3， ∴a2m ＋n＝(a m )2·a n ＝22×3＝12.题型二 对数函数的图象及应用例2 (1)函数y ＝2log 4(1－x )的图象大致是________．(填序号)(2)当0<x ≤12时，4x<log a x ，则a 的取值范围是____________．答案 (1)③ (2)(22，1) 解析 (1)函数y ＝2log 4(1－x )的定义域为(－∞，1)，排除①、②； 又函数y ＝2log 4(1－x )在定义域内单调递减，排除④.故③正确．(2)构造函数f (x )＝4x和g (x )＝log a x ，当a >1时不满足条件，当0<a <1时，画出两个函数在⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12上的图象， 可知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12<g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，即2<log a 12，则a >22，所以a 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫22，1. 思维升华 应用对数型函数的图象可求解的问题(1)对一些可通过平移、对称变换作出其图象的对数型函数，在求解其单调性(单调区间)、值域(最值)、零点时，常利用数形结合思想．(2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解．(1)已知lg a ＋lg b ＝0，则函数f (x )＝a x与函数g (x )＝－log b x 的图象可能是________．(2)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|lg x |，0<x ≤10，－12x ＋6，x >10，若a ，b ，c 互不相等，且f (a )＝f (b )＝f (c )，则abc 的取值范围是____________． 答案 (1)② (2)(10,12)解析 (1)∵lg a ＋lg b ＝0，∴ab ＝1，∵g (x )＝－log b x 的定义域是(0，＋∞)，故排除①. 若a >1，则0<b <1，此时f (x )＝a x是增函数，g (x )＝－log b x 是增函数，②符合，排除④.若0<a <1，则b >1，g (x )＝－log b x 是减函数，排除③，故填②.(2)作出f (x )的大致图象(图略)．由图象知，要使f (a )＝f (b )＝f (c )，不妨设a <b <c ，则－lg a ＝lg b ＝－12c ＋6，∴lg a ＋lg b ＝0，∴ab ＝1，∴abc ＝c .由图知10<c <12，∴abc ∈(10,12)．题型三 对数函数的性质及应用 命题点1 比较对数值的大小例3 设a ＝log 36，b ＝log 510，c ＝log 714，则a ，b ，c 的大小关系为__________． 答案 a >b >c解析 由对数运算法则得a ＝log 36＝1＋log 32，b ＝1＋log 52，c ＝1＋log 72，由对数函数图象得log 32>log 52>log 72，所以a >b >c . 命题点2 解对数不等式例4 若log a (a 2＋1)<log a 2a <0，则a 的取值范围是__________． 答案 (12，1)解析 由题意得a >0，故必有a 2＋1>2a ， 又log a (a 2＋1)<log a 2a <0，所以0<a <1， 同时2a >1，所以a >12.综上，a ∈(12，1)．命题点3 和对数函数有关的复合函数 例5 已知函数f (x )＝log a (3－ax )．(1)当x ∈[0,2]时，函数f (x )恒有意义，求实数a 的取值范围；(2)是否存在这样的实数a ，使得函数f (x )在区间[1,2]上为减函数，并且最大值为1？如果存在，试求出a 的值；如果不存在，请说明理由．解 (1)∵a >0且a ≠1，设t (x )＝3－ax ， 则t (x )＝3－ax 为减函数，x ∈[0,2]时，t (x )的最小值为3－2a ，当x ∈[0,2]时，f (x )恒有意义， 即x ∈[0,2]时，3－ax >0恒成立． ∴3－2a >0.∴a <32.又a >0且a ≠1，∴a ∈(0,1)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32. (2)t (x )＝3－ax ，∵a >0，∴函数t (x )为减函数． ∵f (x )在区间[1,2]上为减函数，∴y ＝log a t 为增函数，∴a >1，x ∈[1,2]时，t (x )最小值为3－2a ，f (x )最大值为f (1)＝log a (3－a )，∴⎩⎪⎨⎪⎧3－2a >0，log a 3－a ＝1，即⎩⎪⎨⎪⎧a <32，a ＝32.故不存在这样的实数a ，使得函数f (x )在区间[1,2]上为减函数，并且最大值为1. 思维升华 在解决与对数函数相关的比较大小或解不等式问题时，要优先考虑利用对数函数的单调性来求解．在利用单调性时，一定要明确底数a 的取值对函数增减性的影响，及真数必须为正的限制条件．(1)设a ＝log 32，b ＝log 52，c ＝log 23，则a ，b ，c 的大小关系为____________．(2)若f (x )＝lg(x 2－2ax ＋1＋a )在区间(－∞，1]上递减，则a 的取值范围为__________． (3)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x >0，log 12－x ，x <0，若f (a )>f (－a )，则实数a 的取值范围是__________________．答案 (1)c >a >b (2)[1,2) (3)(－1,0)∪(1，＋∞) 解析 (1)∵3<2<3,1<2<5，3>2， ∴log 33<log 32<log 33，log 51<log 52<log 55，log 23>log 22， ∴12<a <1,0<b <12，c >1，∴c >a >b . (2)令函数g (x )＝x 2－2ax ＋1＋a ＝(x －a )2＋1＋a －a 2，对称轴为x ＝a ，要使函数在(－∞，1]上递减，则有⎩⎪⎨⎪⎧g 1>0，a ≥1，即⎩⎪⎨⎪⎧2－a >0，a ≥1，解得1≤a <2，即a ∈[1,2)．(3)由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧a >0，log 2a >log 12a或⎩⎪⎨⎪⎧a <0，log 12－a >log 2－a ，解得a >1或－1<a <0.2．比较指数式、对数式的大小典例 (1)设a ＝0.50.5，b ＝0.30.5，c ＝log 0.30.2，则a ，b ，c 的大小关系是__________． (2)设a ＝log 2π，b ＝log 12π，c ＝π－2，则a ，b ，c 的大小关系为____________．(3)已知324log 0.3log 3.4log 3.6155()5，＝，＝，＝a b c 则a ，b ，c 大小关系为__________． 思维点拨 (1)可根据幂函数y ＝x 0.5的单调性或比商法确定a ，b 的大小关系，然后利用中间值比较a ，c 大小．(2)a ，b 均为对数式，可化为同底，再利用中间变量和c 比较．(3)化为同底的指数式．解析 (1)根据幂函数y ＝x 0.5的单调性， 可得0.30.5<0.50.5<10.5＝1，即b <a <1；根据对数函数y ＝log 0.3x 的单调性，可得log 0.30.2>log 0.30.3＝1，即c >1.所以b <a <c . (2)∵a ＝log 2π>log 22＝1，b ＝log 12π＝log 21π<log 21＝0,0<c ＝1π2<1，∴b <c <a .(3)c ＝(15)3log 0.3＝53log 0.3－＝5310log 3.方法一 在同一坐标系中分别作出函数y ＝log 2x ，y ＝log 3x ，y ＝log 4x 的图象，如图所示．由图象知：log 23.4>log 3103>log 43.6.方法二 ∵log 3103>log 33＝1，且103<3.4，∴log 3103<log 33.4<log 23.4.∵log 43.6<log 44＝1，log 3103>1，∴log 43.6<log 3103.∴log 23.4>log 3103>log 43.6.由于y ＝5x为增函数， ∴52log 3.4>5310log 3>54log 3.6.即52log 3.4>(15)3log 0.3 >54log 3.6，故a >c >b . 答案 (1)b <a <c (2)a >c >b (3)a >c >b温馨提醒 (1)比较指数式和对数式的大小，可以利用函数的单调性，引入中间量；有时也可用数形结合的方法．(2)解题时要根据实际情况来构造相应的函数，利用函数单调性进行比较，如果指数相同，而底数不同则构造幂函数，若底数相同而指数不同则构造指数函数，若引入中间量，一般选0或1.[方法与技巧]1．对数值取正、负值的规律当a >1且b >1或0<a <1且0<b <1时，log a b >0； 当a >1且0<b <1或0<a <1且b >1时，log a b <0. 2．对数函数的定义域及单调性在对数式中，真数必须是大于0的，所以对数函数y ＝log a x 的定义域应为(0，＋∞)．对数函数的单调性和a 的值有关，因而，在研究对数函数的单调性时，要按0<a <1和a >1进行分类讨论．3．比较幂、对数大小有两种常用方法：(1)数形结合；(2)找中间量结合函数单调性． 4．多个对数函数图象比较底数大小的问题，可通过比较图象与直线y ＝1交点的横坐标进行判定． [失误与防范]1．在运算性质log a M α＝αlog a M 中，要特别注意条件，在无M ＞0的条件下应为log a M α＝αlog a |M |(α∈N *，且α为偶数)．2．解决与对数函数有关的问题时需注意两点：(1)务必先研究函数的定义域；(2)注意对数底数的取值范围．A 组 专项基础训练 (时间：40分钟)1．已知log 7[log 3(log 2x )]＝0，那么x 12-＝________.答案24解析 由条件知，log 3(log 2x )＝1，∴log 2x ＝3， ∴x ＝8，∴x12-＝24. 2．已知x ＝ln π，y ＝log 52，z ＝e 12-，则x ，y ，z 的大小关系为____________．答案 y <z <x解析 ∵x ＝ln π>ln e，∴x >1. ∵y ＝log 52<log 55，∴0<y <12.∵z ＝e12-＝1e >14＝12，∴12<z <1.综上可得，y <z <x .3．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋1， x ≤0，log 2x ， x >0，则使函数f (x )的图象位于直线y ＝1上方的x 的取值范围是__________． 答案 (－1,0]∪(2，＋∞) 解析 当x ≤0时，3x ＋1>1⇒x ＋1>0，∴－1<x ≤0；当x >0时，log 2x >1⇒x >2，综上所述：－1<x ≤0或x >2. 4．设f (x )＝lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫21－x ＋a 是奇函数，则使f (x )<0的x 的取值范围是__________．答案 (－1,0)解析 由f (x )是奇函数可得a ＝－1， ∴f (x )＝lg 1＋x1－x ，定义域为(－1,1)．由f (x )<0，可得0<1＋x1－x<1，∴－1<x <0.5．定义在R 上的函数f (x )满足f (－x )＝－f (x )，f (x －2)＝f (x ＋2)，且x ∈(－1,0)时，f (x )＝2x＋15，则f (log 220)＝________.答案 －1解析 由f (x －2)＝f (x ＋2)，得f (x )＝f (x ＋4)，因为4＜log 220＜5，所以f (log 220)＝f (log 220－4)＝－f (4－log 220)＝－f (log 245)＝－(224log 5＋15)＝－1.6．(2015·安徽)lg 52＋2lg 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1＝________.答案 －1解析 lg 52＋2lg 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1＝lg 52＋lg 22－2＝lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫52×4－2＝1－2＝－1. 7．设函数f (x )满足f (x )＝1＋f (12)log 2x ，则f (2)＝_____________________.答案 32解析 由已知得f (12)＝1－f (12)·log 22，则f (12)＝12，则f (x )＝1＋12·log 2x ，故f (2)＝1＋12·log 22＝32. 8．(2015·福建)若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋6，x ≤2，3＋log a x ，x ＞2(a ＞0，且a ≠1)的值域是[4，＋∞)，则实数a 的取值范围是_____________________________________． 答案 (1,2]解析 由题意f (x )的图象如右图，则⎩⎪⎨⎪⎧a ＞1，3＋log a 2≥4，∴1＜a ≤2.9．已知函数y ＝log 12(x 2－ax ＋a )在区间(－∞，2)上是增函数，求a 的取值范围．解 函数y ＝log 12(x 2－ax ＋a )是由函数y ＝log 12t 和t ＝x 2－ax ＋a 复合而成．因为函数y ＝log 12t 在区间(0，＋∞)上单调递减，而函数t ＝x 2－ax ＋a 在区间(－∞，a2)上单调递减， 又因为函数y ＝log 12(x 2－ax ＋a )在区间(－∞，2)上是增函数，所以⎩⎪⎨⎪⎧2≤a 2，22－2a ＋a ≥0，解得⎩⎨⎧a ≥22，a ≤22＋1，即22≤a ≤2(2＋1)．10．设f (x )＝log a (1＋x )＋log a (3－x )(a >0，a ≠1)，且f (1)＝2. (1)求a 的值及f (x )的定义域； (2)求f (x )在区间[0，32]上的最大值．解 (1)∵f (1)＝2， ∴log a 4＝2(a >0，a ≠1)， ∴a ＝2.由⎩⎪⎨⎪⎧1＋x >0，3－x >0，得x ∈(－1,3)，∴函数f (x )的定义域为(－1,3)． (2)f (x )＝log 2(1＋x )＋log 2(3－x )＝log 2(1＋x )(3－x )＝log 2[－(x －1)2＋4]， ∴当x ∈(－1,1]时，f (x )是增函数； 当x ∈(1,3)时，f (x )是减函数，故函数f (x )在[0，32]上的最大值是f (1)＝log 24＝2.B 组 专项能力提升 (时间：20分钟)11．(2015·陕西改编)设f (x )＝ln x,0＜a ＜b ，若p ＝f (ab )，q ＝f ⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 2，r ＝12(f (a )＋f (b ))，则p 、q 、r 的大小关系是____________．答案 p ＝r <q 解析 ∵0＜a ＜b ，∴a ＋b2＞ab ，又∵f (x )＝ln x 在(0，＋∞)上为增函数， ∴f ⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 2＞f (ab )，即q ＞p .又r ＝12(f (a )＋f (b ))＝12(ln a ＋ln b )＝ln ab ＝p ，故p ＝r ＜q .12．设函数f (x )定义在实数集上，f (2－x )＝f (x )，且当x ≥1时，f (x )＝ln x ，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，f (2)的大小关系是______________．答案 f (12)<f (13)<f (2)解析 由f (2－x )＝f (x )知f (x )的图象关于直线x ＝2－x ＋x2＝1对称，又当x ≥1时，f (x )＝ln x ，所以离对称轴x ＝1距离大的x 的函数值大， ∵|2－1|>|13－1|>|12－1|，∴f (12)<f (13)<f (2)．13．若函数f (x )＝lg(－x 2＋8x －7)在区间(m ，m ＋1)上是增函数，则m 的取值范围是__________． 答案 [1,3]解析 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1≤4，－m 2＋8m －7≥0，解得1≤m ≤3，所以答案应填[1,3]．14．已知函数f (x )＝ln x1－x，若f (a )＋f (b )＝0，且0<a <b <1，则ab 的取值范围是________．答案 ⎝⎛⎭⎪⎫0，14解析 由题意可知ln a 1－a ＋ln b1－b ＝0，即ln ⎝⎛⎭⎪⎫a 1－a ×b 1－b ＝0，从而a 1－a ×b 1－b ＝1，化简得a ＋b ＝1，故ab ＝a (1－a )＝－a 2＋a ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫a －122＋14， 又0<a <b <1，∴0<a <12，故0<－⎝ ⎛⎭⎪⎫a －122＋14<14.15．设x ∈[2,8]时，函数f (x )＝12log a (ax )·log a (a 2x )(a >0，且a ≠1)的最大值是1，最小值是－18，求a 的值．解 由题意知f (x )＝12(log a x ＋1)(log a x ＋2)＝12(log 2a x ＋3log a x ＋2)＝12(log a x ＋32)2－18.当f (x )取最小值－18时，log a x ＝－32.又∵x ∈[2,8]，∴a ∈(0,1)． ∵f (x )是关于log a x 的二次函数，∴函数f (x )的最大值必在x ＝2或x ＝8时取得． 若12(log a 2＋32)2－18＝1，则a ＝2－13， 此时f (x )取得最小值时，x ＝1332(2)＝--2∉[2,8]，舍去．若12(log a 8＋32)2－18＝1，则a ＝12， 此时f (x )取得最小值时，x ＝(12)32-＝22∈[2,8]，符合题意，∴a ＝12.。
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第二章 函数概念与基本初等函数I 第6讲 对数与对数函数练习基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、选择题1.(2015·四川卷)设a ，b 为正实数，则“a >b >1”是“log 2a >log 2b >0”的( )A.充分必要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件解析 因为y ＝log 2x 在(0，＋∞)上单调递增，所以当a >b >1时，有log 2a >log 2b >log 21＝0；当log 2a >log 2b >0＝log 21时，有a >b >1.答案 A2.(2017·石家庄模拟)已知a ＝log 23＋log 23，b ＝log 29－log 23，c ＝log 32，则a ，b ，c 的大小关系是( )A.a ＝b <cB.a ＝b >cC.a <b <cD.a >b >c解析 因为a ＝log 23＋log 23＝log 233＝32log 23>1，b ＝log 29－log 23＝log 233＝a ，c ＝log 32<log 33＝1.答案 B3.若函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)的图象如图所示，则下列函数图象正确的是( )解析 由题意y ＝log a x (a >0，且a ≠1)的图象过(3，1)点，可解得a ＝3.选项A 中，y ＝3－x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x，显然图象错误；选项B 中，y ＝x 3，由幂函数图象可知正确；选项C 中，y ＝(－x )3＝－x 3，显然与所画图象不符；选项D 中，y ＝log 3(－x )的图象与y ＝log 3x 的图象关于y 轴对称，显然不符.故选B.答案 B4.已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x >0，3－x ＋1，x ≤0，则f (f (1))＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 312的值是( ) A.5 B.3 C.－1 D.72解析 由题意可知f (1)＝log 21＝0，f (f (1))＝f (0)＝30＋1＝2，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 312＝3－log 312＋1＝3log 32＋1＝2＋1＝3， 所以f (f (1))＋f ⎝⎛⎭⎪⎫log 312＝5. 答案 A5.(2016·浙江卷)已知a ，b >0且a ≠1，b ≠1，若log a b >1，则( )A.(a －1)(b －1)<0B.(a －1)(a －b )>0C.(b －1)(b －a )<0D.(b －1)(b －a )>0 解析 ∵a >0，b >0且a ≠1，b ≠1.由log a b >1得log a b a >0.∴a >1，且b a >1或0<a <1且0<b a <1，则b >a >1或0<b <a <1.故(b －a )(b －1)>0.答案 D二、填空题6.设f (x )＝log ⎝ ⎛⎭⎪⎫21－x ＋a 是奇函数，则使f (x )<0的x 的取值范围是________. 解析 由f (x )是奇函数可得a ＝－1，∴f (x )＝lg 1＋x 1－x，定义域为(－1，1). 由f (x )<0，可得0<1＋x 1－x<1，∴－1<x <0. 答案 (－1，0)7.(2017·绍兴调研)已知5lg x＝25，则x ＝________；已知函数f (x )＝lg x ，若f (ab )＝1，则f (a 2)＋f (b 2)＝________.解析 因为5lg x ＝25，所以lg x ＝log 525＝2，所以x ＝102＝100；又因为f (ab )＝1，所以lg(ab )＝1，即ab ＝10，所以f (a 2)＋f (b 2)＝lg a 2＋lg b 2＝lg(a 2b 2)＝2lg(ab )＝2.答案 100 28.(2015·福建卷)若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋6，x ≤2，3＋log a x ，x >2(a >0，且a ≠1)的值域是[4，＋∞)，则实数a 的取值范围是________.解析 当x ≤2时，f (x )≥4；又函数f (x )的值域为[4，＋∞)，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＞1，3＋log a 2≥4，解1＜a ≤2，所以实数a 的取值范围为(1，2].答案 (1，2]三、解答题9.设f (x )＝log a (1＋x )＋log a (3－x )(a >0，a ≠1)，且f (1)＝2.(1)求a 的值及f (x )的定义域；(2)求f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，32上的最大值. 解 (1)∵f (1)＝2，∴log a 4＝2(a >0，a ≠1)，∴a ＝2.由⎩⎪⎨⎪⎧1＋x >0，3－x >0，得－1＜x ＜3， ∴函数f (x )的定义域为(－1，3).(2)f (x )＝log 2(1＋x )＋log 2(3－x )＝log 2(1＋x )(3－x )＝log 2[－(x －1)2＋4]，∴当x ∈(－1，1]时，f (x )是增函数；当x ∈(1，3)时，f (x )是减函数， 故函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，32上的最大值是f (1)＝log 24＝2. 10.(2016·衡阳月考)已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且f (0)＝0，当x >0时，f (x )＝log 12x .(1)求函数f (x )的解析式；(2)解不等式f (x 2－1)>－2.解 (1)当x <0时，－x >0，则f (－x )＝log 12(－x ).因为函数f (x )是偶函数，所以f (－x )＝f (x )＝log 12(－x )，所以函数f (x )的解析式为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 12x ，x >0，0，x ＝0，log 12（－x ），x <0.(2)因为f (4)＝log 124＝－2，f (x )是偶函数，所以不等式f (x 2－1)>－2转化为f (|x 2－1|)>f (4).又因为函数f (x )在(0，＋∞)上是减函数，所以|x 2－1|<4，解得－5<x <5，即不等式的解集为(－5，5).能力提升题组(建议用时：25分钟)11.(2017·长沙质检)设f (x )＝ln x ，0<a <b ，若p ＝f (ab )，q ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2，r ＝12(f (a )＋f (b ))，则下列关系式中正确的是( )A.q ＝r <pB.p ＝r <qC.q ＝r >pD.p ＝r >q 解析 ∵0<a <b ，∴a ＋b 2>ab ， 又∵f (x )＝ln x 在(0，＋∞)上为增函数，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2>f (ab )，即q >p . 又r ＝12(f (a )＋f (b ))＝12(ln a ＋ln b )＝ln ab ＝p ， 故p ＝r <q .答案 B12.已知函数f (x )＝lnx 1－x ，若f (a )＋f (b )＝0，且0＜a ＜b ＜1，则ab 的取值范围是________.解析 由题意可知ln a 1－a ＋ln b1－b ＝0， 即ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1－a ×b 1－b ＝0，从而a 1－a ×b 1－b ＝1，化简得a ＋b ＝1，故ab ＝a (1－a )＝－a 2＋a ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫a －122＋14， 又0＜a ＜b ＜1，∴0＜a ＜12，故0＜－⎝ ⎛⎭⎪⎫a －122＋14＜14. 答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14 13.(2016·浙江卷)已知a >b >1，若log a b ＋log b a ＝52，a b ＝b a ，则a ＝________，b ＝________. 解析 ∵log a b ＋log b a ＝log a b ＋1log a b ＝52， ∴log a b ＝2或12. ∵a >b >1，∴log a b <log a a ＝1，∴log a b ＝12，∴a ＝b 2. ∵a b ＝b a ，∴(b 2)b ＝bb 2，∴b 2b ＝bb 2，∴2b ＝b 2，∴b ＝2，∴a ＝4.答案 4 214.设x ∈[2，8]时，函数f (x )＝12log a (ax )·log a (a 2x )(a >0，且a ≠1)的最大值是1，最小值是－18，求a 的值. 解 由题意知f (x )＝12(log a x ＋1)(log a x ＋2) ＝12(log 2a x ＋3log a x ＋2) ＝12⎝⎛⎭⎪⎫log a x ＋322－18. 当f (x )取最小值－18时，log a x ＝－32. 又∵x ∈[2，8]，∴a ∈(0，1).∵f (x )是关于log a x 的二次函数，∴函数f (x )的最大值必在x ＝2或x ＝8时取得.若12⎝ ⎛⎭⎪⎫log a 2＋322－18＝1，则a ＝2－13， 此时f (x )取得最小值时，x ＝(2－13)－32＝2∉[2，8]，舍去. 若12⎝ ⎛⎭⎪⎫log a 8＋322－18＝1，则a ＝12，此时f (x )取得最小值时，x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－32＝22∈[2，8]， 符合题意，∴a ＝12. 15.已知函数f (x )＝lg 1＋x 1＋ax(a ≠1)是奇函数. (1)求a 的值；(2)若g (x )＝f (x )＋21＋2x ，x ∈(－1，1)，求g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋g ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12的值. 解 (1)因为f (x )为奇函数，所以对定义域内任意x ，都有f (－x )＋f (x )＝0，即lg 1－x 1－ax ＋lg 1＋x 1＋ax ＝lg 1－x 21－a 2x 2＝0，a ＝±1， 由条件知a ≠1，所以a ＝－1. (2)因为f (x )为奇函数，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝0. 令h (x )＝21＋2x ，则h ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋h ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝21＋2＋21＋12＝2，所以g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋g ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝2.。