ch3-1不定积分的概念及其线性法则
数学分析不定积分知识点总结
数学分析不定积分知识点总结不定积分是数学分析中的一个重要概念，它是微积分学的基础内容之一。
理解和掌握不定积分的相关知识对于进一步学习高等数学以及解决实际问题都具有重要意义。
下面我们将对不定积分的知识点进行详细总结。
一、不定积分的定义如果在区间\（I\）上，＼（F'（x) ＝ f(x)＼），则称\（F(x)＼）是\（f(x)＼）在区间\（I\）上的一个原函数。
＼（f(x)＼）的原函数的全体称为\（f(x)＼）在区间\（I\）上的不定积分，记为\（＼int f(x)dx\）。
二、基本积分公式1、＼（＼int kdx ＝ kx ＋ C\）（＼（k\）为常数）2、＼（＼int x^n dx ＝＼frac{1}｛n ＋ 1}x^｛n ＋ 1} ＋ C\）（＼（n ＼neq －1\））3、＼（＼int ＼frac{1}｛x}dx ＝＼ln|x| ＋ C\）4、＼（＼int e^x dx ＝ e^x ＋ C\）5、＼（＼int a^x dx ＝＼frac{1}｛＼ln a}a^x ＋ C\）（＼（a ＞0\），＼（a ＼neq 1\））6、＼（＼int ＼sin x dx ＝＼cos x ＋ C\）7、＼（＼int ＼cos x dx ＝＼sin x ＋ C\）8、＼（＼int ＼sec^2 x dx ＝＼tan x ＋ C\）9、＼（＼int ＼csc^2 x dx ＝＼cot x ＋ C\）10、＼（＼int ＼sec x ＼tan x dx ＝＼sec x ＋ C\）11、＼（＼int ＼csc x ＼cot x dx ＝＼csc x ＋ C\）这些基本积分公式是进行积分运算的基础，必须牢记。
三、不定积分的性质1、函数的和的不定积分等于各个函数不定积分的和，即\（＼int f(x) ＋ g(x)dx ＝＼int f(x)dx ＋＼int g(x)dx\）。
2、常数乘以函数的不定积分等于常数乘以该函数的不定积分，即\（＼int kf(x)dx ＝ k\int f(x)dx\）（＼（k\）为常数）。
不定积分总结范文
不定积分总结范文不定积分是微积分中的重要概念之一，它是定积分的逆运算。
在这篇文章中，我们将对不定积分进行详细总结，包括不定积分的定义、性质、基本公式和常用方法等内容。
一、不定积分的定义不定积分是函数积分的一种形式，也被称为原函数。
设函数f(x)在区间[a,b]上连续，函数F(x)在[a,b]上可导，如果对于[a,b]上任意一点x，都有F'(x) = f(x)，则称F(x)为f(x)在[a,b]上的一个原函数。
记作F(x) = ∫f(x)dx + C，其中C为常数，称为不定积分常数。
不定积分的定义表达了函数F(x)是函数f(x)在[a,b]上的一个原函数的概念，可以理解为对函数f(x)所做的积分运算到一些常数C值时结束。
二、不定积分的性质1. 线性性：对于任意常数a和b，以及两个函数f(x)和g(x)，有∫[a,b](af(x) + bg(x))dx = a∫[a,b]f(x)dx + b∫[a,b]g(x)dx。
2. 积分与极限运算的交换性：如果函数f(x)在[a,b]上连续，F(x)是f(x)在[a,b]上的一个原函数，则∫[a,b]f(x)dx = F(b) - F(a)。
3. 换元积分法：设u = g(x)是一个可导函数，且f(g(x))g'(x)是连续函数，将∫f(g(x))g'(x)dx进行换元，可以得到∫f(g(x))g'(x)dx =∫f(u)du。
三、基本公式1. 幂函数的不定积分：∫x^a dx = (x^(a+1))/(a+1) + C，其中a不等于-12. 三角函数的不定积分：∫sin(x) dx = -cos(x) + C，∫cos(x) dx = sin(x) + C，∫sec^2(x) dx = tan(x) + C。
3. 指数函数的不定积分：∫e^x dx = e^x + C。
4. 对数函数的不定积分：∫(1/x) dx = ln，x， + C。
不定积分概念与基本运算公式
倍，且该曲线过点(1,2)，求此曲线方程。
2 不定积分基本公式
1. 0dx
C
；2.
1dx
dx
x
C
；3.
x dx
x 1 1
C
， (
1,
x
0)
；
4.
1dx x
ln
x
C
，(x
0)
；5.
e x dx
ex
C
；
6.
a x dx
ax ln a
C
，
(a
0, a
1)
；7.
cos axdx
Hale Waihona Puke 1 asinax
C
，
(a
注：利用基本积分公式时，必须严格按照公式的形式。如
sin xdx cos x C ，但 sin 2xdx cos 2x C 。
例8
分别计算
f
(ln
x)
1 x
dx
和 {
f
(ln
x)dx}
4 小结
不定积分和导数是允许相差一个常数的逆运算，不定积分的结果的形
式可能不一样，用求导的方法检验结果的正确性。
若 F(x) 是 f (x) 的一个原函数，则称 y F(x)
的图
象为 f (x) 的一条积分曲线。于是，f (x) 的不定积分在几何上表示 f (x) 的
某一条积分曲线沿纵轴方向任意平移所得一积分曲线组成的曲线族。
例 1 x2dx
例2
1 x
dx
例 3 已知某曲线上任意一点 P(x,y)处的切线斜率为该点横坐标的 2
定积分。记作 f (x)dx 。其中 为积分号； f (x) 为积分函数； f (x)dx
不定积分公式运算法则
不定积分公式运算法则
不定积分（Indefinite Integral）是指求函数的原函数的过程，也称为积分的逆运算。
不定积分的计算公式有
多种，主要包括：常数反演公式、幂公式、三角函数公
式、对数公式、指数公式以及反三角函数公式。
这些公式
的详细表述如下：
1.常数反演公式：∫cf(x)dx = c∫f(x)dx + C
2.幂公式：∫x^nf(x)dx = x^(n+1)/(n+1)f(x) + C
3.三角函数公式：∫sin(x)f(x)dx = -cos(x)f(x) + C
∫cos(x)f(x)dx = sin(x)f(x) + C
∫tan(x)f(x)dx = ln|sec(x)| + C
4.对数公式：∫ln(x)f(x)dx = xln(x) - x + C
5.指数公式：∫e^xf(x)dx = e^xf(x) + C
6.反三角函数公式：∫arcsin(x)f(x)dx = √(1-x^2) +
C
∫arccos(x)f(x)dx = √(1-x^2) + C
∫arctan(x)f(x)dx = x + C
不定积分运算法则包括线性公式、分部积分公式和常系数线性微分方程的通解公式。
不定积分方法
不定积分方法不定积分是微积分中的一个重要概念，它是求函数原函数的过程。
在实际应用中，不定积分方法被广泛应用于物理、工程、经济等领域。
本文将介绍不定积分的基本概念、常见的不定积分方法以及一些常见的积分技巧。
首先，我们来了解一下不定积分的基本概念。
不定积分是求函数原函数的过程，即给定函数f(x)，求出满足F'(x)=f(x)的函数F(x)。
不定积分的结果通常用∫f(x)dx表示，其中f(x)为被积函数，dx表示自变量为x。
不定积分的结果是一个不定积分常数C，因为不定积分只能求出原函数的一个等价类。
接下来，我们将介绍一些常见的不定积分方法。
首先是换元法，也称为代换法。
当被积函数中含有复杂的函数形式时，可以通过换元法将被积函数化简为简单的形式，然后再进行积分。
其次是分部积分法，也称为乘积法则。
分部积分法是求两个函数的乘积的不定积分的方法，通过分部积分可以将原函数化简为易于求解的形式。
再次是有理函数的积分，有理函数是多项式函数与多项式函数的商，对于有理函数的不定积分可以通过部分分式分解的方法进行求解。
最后是三角函数的积分，对于含有三角函数的不定积分可以通过三角恒等变换或者换元法进行求解。
除了常见的不定积分方法外，我们还可以通过一些技巧来简化积分的计算。
例如，利用函数的对称性来简化积分的计算，利用积分的线性性质将积分化简为多个简单的积分，利用换元积分法将被积函数化简为简单的形式等。
在实际应用中，不定积分方法被广泛应用于各个领域。
在物理学中，不定积分方法可以用来求解物体的运动规律、能量、功率等问题；在工程学中，不定积分方法可以用来求解电路的电流、电压等问题；在经济学中，不定积分方法可以用来求解边际收益、边际成本等问题。
因此，掌握不定积分方法对于解决实际问题具有重要意义。
综上所述，不定积分是微积分中的一个重要概念，它是求函数原函数的过程。
通过本文的介绍，我们了解了不定积分的基本概念、常见的不定积分方法以及一些常见的积分技巧。
《不定积分概念》课件
欢迎来到本次《不定积分概念》的PPT课件。在本课程中，我们将介绍不定积 分的定义、性质、计算方法、常见公式以及如何使用不定积分解决具体问题。
不定积分的定义
1 概念介绍
不定积分是函数积分的一种形式，表示函数的原函数。它可以用来描述函数与曲线之间 的面积关系。
2 符号表示
不定积分通常使用∫表示，积分变量写在∫号下面。例如，∫f(x) dx表示对函数f(x)进行积分。
1
面积和体积
使用不定积分可以计算曲线与坐标轴之间
速度和位移
2
的面积以及旋转曲线形成的体积。
不定积分可以用于计算运动过程中的速度
和位移，例如计算物体的位移函数或速度
函数。
3
概率和统计
在概率和统计中，不定积分可以用于计算 概率密度函数的面积和期望值。
注意事项与常见错误
积分常数
计算不定积分时，要记住添加积分常数，它表示不定积分的无穷多个解。
不定积分的计算方法
分部积分法
用于计算乘积函数的不定积分， 通过选择合适的两个函数进行积 分运算。
三角函数积分
用于计算三角函数的不定积分， 通过使用特定的三角函数公式进 行简化。
部分分式分解法
用于计算有理函数的不定积分， 将有理函数分解为几个简单的部 分分式进行积分。
常见的不定积分公式
1 基本积分公式
如多项式的积分公式、幂 函数的积分公式等，是计 算不定积分的基础。
2 指数函数和对数函数
的积分
指数函数和对数函数的积 分公式是计算含有指数函 数和对数函数的不定积分 的关键。
3 三角函数和反三角函
数的积分
三角函数和反三角函数的 积分公式是计算含有三角 函数和反三角函数的不定 积分的重要工具。
高中数学知识点归纳不定积分的性质与计算方法
高中数学知识点归纳不定积分的性质与计算方法高中数学知识点归纳：不定积分的性质与计算方法不定积分是高中数学中重要的概念和工具之一，用于求解函数的原函数。
在本文中，我们将对不定积分的性质和计算方法进行归纳总结。
一、不定积分性质1. 基本性质：不定积分是导数的逆运算，即如果函数F(x)的导数是f(x)，则f(x)的不定积分是F(x)加上一个常数C，表示为∫f(x)dx=F(x)+C。
这是不定积分最基本的性质。
2. 线性性质：不定积分具有线性性质，即对于任意常数a和b，有∫(af(x)+bg(x))dx=a∫f(x)dx+b∫g(x)dx。
这一性质对于简化不定积分的计算非常有用。
3. 有界定理：如果函数f(x)在一个闭区间[a, b]上连续，则其不定积分在该区间上也是连续的。
即不定积分函数在闭区间上有界。
4. 区间可加性：对于一个函数在一个区间上的不定积分，可以将区间分成若干小区间，对每个小区间进行不定积分，再将结果相加。
即∫[a, b]f(x)dx=∫[a, c]f(x)dx+∫[c, b]f(x)dx，其中a≤c≤b。
二、不定积分的计算方法1. 函数表法：部分函数的不定积分可以通过查找函数表来直接得到。
例如，常见的幂函数、三角函数和指数函数的不定积分都可以通过函数表找到对应的积分公式。
2. 基本积分法：基本积分法是指根据函数的特点和性质，利用基本的积分公式对不定积分进行计算。
例如，对于幂函数的积分，可以运用指数函数的公式得到结果；对于三角函数的积分，可以利用三角函数的公式进行计算。
3. 替换法：替换法是一种常用的不定积分计算方法，通过对被积函数进行代换，将问题转化为求导数的问题。
常见的代换方法包括利用三角函数代换、指数函数代换和幂函数代换等。
4. 分部积分法：分部积分法是将不定积分中的积分号分解，通过对部分函数进行求导，将复杂的不定积分转化为较简单的不定积分。
分部积分法的公式为∫udv=uv-∫vdu，其中u和v是函数。
不定积分讲义(概念)
B. F x C
C. Fx 1 C
D. F x C
（）
二、不定积分的性质
1.不定积分的性质
性质 1 设函数 f x 及 gx 的原函数存在，则
f x gxdx f xdx gxdx .
该性质表明，两个函数的和或差的不定积分等于这两个函数的不定积分的和或差.本性 质对有限多个函数的和也是成立的.
C. sin x C
（）
D. cos x C
2.函数 f x ex ex 的一个原函数是 A. F x ex ex C. F x ex ex
B. F x ex ex D. F x ex ex
（）
3.已知 F x是 f x 的一个原函数，则不定积分 f x 1dx =
A. F x 1 C
第四章 一元函数积分学及其应用
第一节 不定积分的概念及性质
一、不定积分的概念
1.原函数
定义 1 设函数 f x 是定义在区间 I 上的连续函数，如果存在可导函数 F x ，在区间
I 上对任意的 x 都有
F 'x f x 或 dFx f xdx ， 则称函数 Fx 为 f x 在区间 I 上的原函数.
A. df x f x C. f xdx f x
（）
B. f xdx f x D. d f xdx f x
5.若 F x f x ，则 dF x
；
三、基本积分公式 ★★★★★
由于求不定积分是求导数的逆运算，所以由导数公式可以得出下列基本积分公式.
（1） kdx kx C ；（ k 是常数）
（14） 1 dx arcsin x C ；
1 x2
（15） 1 dx arccos x C ；
1 x2
高数知识点不定积分的定义和基础考点高数知识点不定积分的定义和基础
高数知识点不定积分的定义和基础考点高数知识点不定积分的
定义和基础
不定积分的定义是**寻找一个函数的导数等于给定函数的过程，即找到一个函数F，使得F'(x) = f(x)**。
不定积分是微积分中的基础概念，它表示函数的原函数。
如果一个函数F在区间I上的导数是f(x)，那么称F为f在区间I上的一个原函数。
不定积分的本质是求解微分方程的过程，其中\( \frac{d}{dx} \left[ \int f(x) dx \right] = f(x) \)。
不定积分的基础考点包括**基本积分公式和积分方法**。
对于基础考点，掌握不定积分的性质和基本积分公式是非常重要的。
这些公式包括但不限于：对常数的积分、幂函数的积分、自然对数函数的积分、三角函数的积分等。
除了基本积分公式外，还需要熟悉并能够应用换元积分法和分部积分法等技巧来解决更复杂的积分问题。
换元积分法通常用于解决积分中含有复合函数的问题，而分部积分法则适用于积分乘积形式的函数。
不定积分的性质
不定积分的性质不定积分是数学中的重要知识点，是微积分中的一项重要工具。
在数学和物理学等学科中，不定积分被广泛地应用。
对于一个函数，不定积分可以表示出其原函数的形式，同时，不定积分也具有一些特殊的性质。
一、不定积分的定义不定积分是对原函数的求解过程，即将一个函数进行“逆运算”，使其得到一个原函数。
通过对于函数的不定积分，可以得到一族与原函数只相差一个常数的函数。
二、不定积分的存在性在数学中，不定积分具有存在性，即对于一个函数，它的不定积分存在且唯一。
这主要是由于积分的线性与微积分基本定理的存在性可以保证的。
这保证了不定积分的正确性与实用性。
三、不定积分的特殊性质在不定积分的求解过程中，可以利用其特殊性质来计算。
下面简单介绍不定积分的特殊性质：1. 线性性质不定积分具有线性性质，即若f(x)和g(x)的不定积分分别为F(x)和G(x)，则f(x)+g(x)的不定积分为F(x)+G(x)。
对于k为任意常数，即kf(x)的不定积分为kF(x)。
2. 积分上下限的性质不定积分与定积分有不同的性质，其中，不定积分不存在积分上下限，即无法计算一个具体区间上的积分值。
这是因为不定积分表示的是一个函数的原函数，而原函数并没有积分上下限的概念。
3. 可加性质不定积分具有可加性质，即如下方程成立：∫(a,b) f(x)dx = ∫(a,c) f(x)dx + ∫(c,b) f(x)dx这里，c是a和b之间的任意常数。
简单来说，不定积分可以通过将函数f(x)分成多个区间来进行求解。
四、不定积分的应用不定积分在数学和物理学等学科中都有着广泛的应用。
其中，一个重要的应用就是求解定积分。
与不定积分不同的是，定积分存在积分上下限，并可以求解一个具体的积分值。
通过将一个函数求出它的不定积分，进而求出在一个区间上的定积分。
此外，不定积分还可用于求解变化率以及其他类型的微积分问题。
在计算中，可以利用泰勒级数展开等方法，将不定积分转换为更容易计算的形式。
3-1不定积分的概念
即 f ( x)是2x 的一个原函数.
2xdx x2 C , f ( x) x2 C,
由曲线通过点（1，2） C 1, 所求曲线方程为 y x2 1.
函数 f ( x)的原函数的图形称为 f ( x) 的积分曲线.
显然，求不定积分得到一积分曲线族.
由不定积分的定义，可知
dBiblioteka dxf ( x)dx
f
( x),
d[ f ( x)dx] f ( x)dx,
F ( x)dx F ( x) C, dF ( x) F ( x) C.
结论：微分运算与求不定积分的运算是互逆的.
三、小结
原函数的概念：
F( x) f ( x)
（2）若F ( x) 和 G( x) 都是 f ( x) 的原函数， 则 F ( x) G( x) C （C为任意常数）
证 F ( x) G( x) F( x) G( x)
f (x) f (x) 0 F ( x) G( x) C （C为任意常数）
x5,
6
x5dx x6 C .
6
例2
求
1
1 x2
dx.
解
arctan
x
1
1 x2
,
1
1 x
2
dx
arctan
x
C
.
例3 设曲线通过点（1，2），且其上任一点处的 切线斜率等于这点横坐标的两倍，求此曲线方程.
解 设曲线方程为 y f ( x),
简言之：连续函数一定有原函数.
不定积分的基本公式
不定积分的基本公式不定积分是微积分中的一个重要内容，它是求解函数原函数或积分常数的过程。
对于很多初学者来说，不定积分似乎是一道难以逾越的坎儿，但实际上，只要学会了不定积分的基本公式，就能够轻松地求解一些复杂的不定积分。
1. 不定积分的定义在微积分中，不定积分也被称为原函数或不定积分。
对于函数f(x)，如果它的导数为F(x)，则F(x)被称为f(x)的原函数。
在符号上，我们通常用∫f(x)dx表示函数f(x)的不定积分，其中∫是积分符号，f(x)表示积分的被积函数，dx表示积分变量。
因此，∫f(x)dx表示对于函数f(x)的一个原函数F(x)求解的过程。
需要注意的是，不定积分是一类无穷多个函数的集合，因为函数的任意常数都可以将原函数变换成其他的合法原函数。
2. 基本公式不定积分的基本公式是微积分中最基本的知识点之一。
它是解决不定积分的关键，掌握了基本公式，就能够通过各种变换和运算解决许多不定积分问题。
不定积分的基本公式如下所示：(1) ∫af(x)dx = a∫f(x)dx(2) ∫[f(x)±g(x)]dx = ∫f(x)dx±∫g(x)dx(3) ∫kdx = kx+C，其中k为定数，C为积分常数(4) ∫xndx = xn+1/(n+1)+C（n≠-1），其中C为积分常数(5) ∫1/xdx = ln|x|+C，其中C为积分常数(6) ∫e^xdx = e^x+C，其中C为积分常数(7) ∫a^xdx = a^x/lna+C，其中C为积分常数(8) ∫sinxdx = -cosx+C，其中C为积分常数(9) ∫cosxdx = sinx+C，其中C为积分常数(10) ∫tanxdx = -ln|cosx|+C，其中C为积分常数需要注意的是，这里的a和k都是常数，n为正整数，x为变量，f(x)和g(x)都是函数。
3. 基本公式的应用了解了不定积分的基本公式之后，我们可以将其应用到实际的问题中。
不定积分的道理
不定积分是微积分中的一个基本概念，它用于计算函数在某个区间上的面积或体积。
不定积分的基本原理是求原函数，即求出一个函数，使其在给定区间上的定积分等于所求的面积或体积。
不定积分的计算方法主要包括基本积分公式、换元法、分部积分法等。
通过不定积分，我们可以解决许多实际问题，如求解物理运动问题、解决几何形状的面积和体积问题等。
总之，不定积分是微积分中的一个重要工具，对于理解和掌握微积分有着至关重要的作用。
3-1不定积分的概念与性质
高等数学
03-01-06
原函数(primitive function) 设函数 f(x) 在某区间内有定义，
若存在函数 F(x)，使得在该区间内 的任何一点都有
F (x)=f(x) 或 dF(x)=f(x)dx 成立，则称 F(x) 为 f(x) 的一个原函 数。
高等数学
03-01-07
dx
03-01-31
高等数学
例
求积分
x4
1 x2
dx
03-01-32
高等数学
03-01-33
注 （1）不定积分与原函数的区别
不定积分表示的是一个集合，
它是一族原函数而不是一个原函数， 故任意常数 C 不可漏掉；
（2）当对原函数加上某种限制条件， 就可以确定这个常数而得到满足限 制条件的一个原函数；
ln x C
4 . e x dx 5 . a x dx
ex C
1 axC (a0,a1) lna
6 . sin x dx coxsC
7 . cos x dx sinxC
高等数学
03-01-21
8 . sec 2 xdx
dx
cos 2 x
高等数学
03-01-19
例 已知示踪药物浓度 y 和时间 t 的 函数变化关系为
y(t) 3t
求示踪药物浓度 y 和时间 t 的函数关 系。
高等数学
03-01-20
1 . kdx
kxC (k为任意常)数
2 . x dx
3
.
1 x
dx
1 1x1C (1)
高等数学
03-01-34
（3）对于分项积分来说，只要最后 写出一个常数就可以了。
不定积分的概念及其线性性质.ppt
(11) csc x cot xdx csc x C;
(12) e xdx e x C;
(13)
a
xdx
ax ln a
C;
(14) sinh xdx cosh x C;
(15) cosh xdx sinh x C;
例4 求积分 x2 xdx.
x
C
;
(5)
1 dx arcsin x C; 1 x2
(6) cos xdx sin x C;
(7) sin xdx cos x C;
(8)
dx cos2
x
sec2
xdx
tan
x
C;
(9)
dx sin 2
x
csc2
xdx
cot
x
C;
(10) sec x tan xdx sec x C;
结论：微分运算与求不定积分的运算是互逆的.
二、 基本积分表
实例
x1 x
1
xdx x1 C . 1
( 1)
启示 能否根据求导公式得出积分公式？
结论 既然积分运算和微分运算是互逆的， 因此可以根据求导公式得出积分公式.
基 (1) kdx kx C (k是常数);
第一节 不定积分的概念及其性质 一、原函数和不定积分的概念
定义1： 如果在区间I 内，可导函数F ( x)的 导函数为 f ( x)，即x I ，都有F ( x) f ( x)
或dF ( x) f ( x)dx，那么函数F ( x)称为 f ( x)
不定积分的概念和性质教案13
因此所求曲线方程为y=x2+1。
二、不定积分的性质
性质1不定积分与求导或微分互为逆运算。
（1）［∫f（x）dx］′=f（x）或d［∫f（x）dx］=f（x）dx
（2）∫F′（x）dx=F（x）+C或∫dF（x）=F（x）+C
性质2被积分式中的非零常数因子可以移到积分号前。
∫kf（x）dx=k∫f（x）dx（k≠0，k为常数）
性质3两个函数代数和的不定积分等于两个函数积分的代数和。
∫［f（x）±g（x）］dx=∫f（x）dx±∫g（x）dx
三、基本积分表
（1）∫kdx=kx＋C (k是常数);
（2）∫xαdx=＋C (α∈R，α≠-1）;
（3）∫dx=ln|x|＋C；
（4）∫axdx=＋C（a>0，a≠1）;
（5）∫exdx =ex＋C;
3.不定积分的几何意义
通常我们把一个原函数F(x)的图象称为f(x)的一条积分曲线，其方程为y=F(x)，因此，不定积分∫f(x)dx在几何上就表示全体积分曲线所组成的积分曲线族，它们的方程是y=F(x)+C。
例2设曲线过点（１，２），且斜率为2x，求曲线方程。
解设所求曲线方程为y=y(x)。
依题意，有=2x，故y=∫2xdx=x2+C.又因为曲线过点（1，2），故点（1，2）适合此方程，于是
2.不定积分
Байду номын сангаас定义2
若F(x)是f(x)在区间I上的一个原函数，则F(x)+C（C为任意常数）称为f(x)在该区间上的不定积分，记为∫f(x)dx，即∫f(x)dx=F(x)+C。
其中符号“∫”称为不定积分号，f(x)称为被积函数，f(x)dx称为被积表达式，或称被积分式，x称为积分变量，C称为积分常数。
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dy 根据题意知 f ( x ) 2 x , dx
回顾
2 x 的一个原函数 即 f ( x ), 是 . 两边求积分 得 f ( x )dx 2 xdx
2f x ) 2 xdx x 2 又x2也是 x( 的一个原函数
fC ( x) x C ,
4x 2 6x 9x C ln 4 ln 6 ln 9
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例4 求积分
1 1 cos 2 x dx .
1 1 1 解 原式= 2 cos2 x dx 2 cos2 x dx 1 tan x C . 2
例5 求积分 解
2
x sin 2 dx .
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1 x x 2 dx . 例2 求积分 3 x x
解
1 x x2 x (1 x 2 ) x(1 x 2 ) dx x(1 x 2 ) dx
1 1 1 1 dx dx dx 2 2 x 1 x x 1 x
第三章 一元函数积分学
积分学 不定积分
定积分
微分法: F ( x) ( ? )
积分法: ( ? ) f ( x) 互逆运算
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第一节 不定积分的概念及其线性法则
一、原函数与不定积分的概念
第三章
二、基本积分表
三、不定积分的线性运算法则 四、小结
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sec x C ;
csc x cot x dx csc x C ;
(12 ) (13 )
ax a dx C （a 0, a 1 ） ln a
x
15
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例4 求积分
解
2 x x dx .
2 x x d x x dx
5 2
arctan x ln | x | C
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x x 2 ( 2 3 ) dx . 例3 求积分
解
x x 2 ( 2 3 ) dx
( 22 x 2 2 x 3 x 32 x ) dx ( 4 x 2 6 x 9 x ) dx
2
x sin x x 1 cos x sin 2 dx 2 dx 2 C .
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cos 2 x dx . 例6 求积分 cos x sin x
y F ( x ) 为平面上的 一条曲线. y F ( x ) C 为平面上的 一族曲线.
不定积分称为积分曲线族 , 且在 横坐标相同的点处每条曲线上的 切线斜率相等都为f (x) , 即在横 坐标相同的点处各切线相互平行.
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在求 f (x) 的所有原函数中,有时需要确定一 个满足条件 y (x0 ) = y0 的积分曲线 .即求通 过点(x0 , y0)的积分曲线 .这个条件一般称为 初始条件,它可以唯一确定积分常数 C 的值.
7
1 例 2 求函数 f ( x) 的不定积分. x 1 1 错解：∵(ln x) ，( x 0) ∴ dx ln x c x x
这是错的！ ∵求不定积分是求全体原函数
1 1 解：若 x 0，(ln x) ，则 dx ln x c x x
1 而 ln x 只是 在区间(0, )内的原函数. x
例 1 求函数 f ( x) cos x 的不定积分.
解：因为(sin x) cos x
所以 cos xdx sin x c = sin t c cos tdt
cos xdx cos tdt
注： 不定积分与积分变量符号有关.
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f ( x) x C ,
2
由曲线通过点（1，3） C 2, 所求曲线方程为 y x 2.
2
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四、不定积分与微分(导数)的关系
求导法: ( x ) ( ? )
2
积分法: ( ? ) 2 x
结论：
互逆运算
求不定积分的运算与微分(求导)运算是互逆的. 由此根据求导公式可得积分公式 实例
则 F ( x ) G( x ) C （C 为任意常数） 若 F(x) 是f (x)的一个原函数 ,则 f (x)的全体 原函数可表示为F (x) +C. (C为任意常数）
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二. 不定积分的定义：
若 F(x) 是 f (x) 在区间 I 内的一个原函数 ,
则 f (x) 在区间 I 内的全体原函数称为 f (x) 在
性质 2 求不定积分时， 被积函数中不 为零的常数因子可以提到积分号外面.
即 kf ( x)dx k f ( x) dx ( k 0 , k 为常数)
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若F’(x)=f(x), 则 f (x )dx F (x ) C
性质3
[ f ( x )dx ] f ( x ), 或 d[ f ( x )dx ] f ( x )dx;
( 1) ;
1 1 x 2 dx x c
.
1 dx 2 x c x
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.
13
2 xdx x c 3
3 2
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1 ( 4) dx arctan x C arccot x C 2 1 x 1 arccos x C arcsin x C ( 5) d x 1 x2
1 x x C 根据积分公式（2） dx 1
5 1 2
x 2 7 C x2 C. 5 7 1 2
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五、不定积分的性质 性质 1 两个函数代数和的不定积分， 等于函数不定积分的代数和.
即 [ f ( x) g ( x)]dx f ( x)dx g ( x)dx
区间 I 内的不定积分, 记为 f ( x )dx .
不定积分本 身含有常数
积 被 分 积 号 函 数
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x F ( x) C f ( x )d被
积 表 达 式
积 分 变 量
任 意 常 数
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由定义可知 ,求已知函数的不定积 分 , 就归结为求出它的一个原函数 , 再 加上任意常数c .
1 若 ln x ( x 0) x 1 则 ln x 是 在区间 ( , ))内的原函数. 对吗？ (0 , x 2 ( x ) 2x . 问： 若f(x)的一个原函数为x2 ,则f(x) =
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关于原函数有以下三个问题：
1) f(x) 满足什么条件 , 其原函数一定存在？
4
x 11 dx dx 2 2 1 x 1 x
2
4
1 3 2 arcsin x arctan x x x C . 3
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注：逐项积分后，每个积分结果 中均含有一个任意常数， 由于任意常 数的和还是任意常数， 因此不必每个 积分结果都“ c ” ，只要在总的结果 中加一个任意常数c 就行了.
( 6) (7)
cos x dx sin x C ; sin x dx cos x C ;
dx 2 ( 8) sec x dx tan x C ; 2 cos x dx (9) 2 csc 2 x dx cot x C ; sin x
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例 3 设已知曲线上任意一点切 线斜率为 2 x ，又知曲线过点(1,3) ，求 曲线方程.
解 设曲线方程为 y f ( x ),
dy 根据题意知 f ( x ) 2 x , dx
即 f ( 也是2x的一个原函数
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一、原函数与不定积分的概念 1.原函数
定义：
如果在区间I 内，x I
都有 F ( x ) f ( x )
或dF ( x ) f ( x )dx ，
则称F( x)为f ( x)在I内的一个原函数 .
+1 cos x 的一个原函数 例 sin xx 1 cos cos x, x , sin 是是 . . sinx x cos x 的一个原函数 sin
3
例、 下列等式正确的是 (
d A、 f ( x )dx f ( x )dx dx
C )
B、 df ( x ) f ( x )
C、 f ( x )dx f ( x ) C
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d ( f ( x )dx ) f ( x ) D、
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例 3 设已知曲线上任意一点切 线斜率为 2 x ，又知曲线过点(1,3) ，求 曲线方程.
若 f(x) 在区间 I 内连续 , 原函数存在定理：
则在区间 I 内一定存在 f(x) 的原函数.
简言之：连续函数一定有原函数.
2) 若 f(x) 有原函数 ,原函数是否唯一？ 例 (sin x ) cos x , sin x 是 cos x 的一个原函数, sin x C 也是 cos x 的一个原函数, 若 f (x)有原函数 ,则 f (x)的原函数有无穷多个.