正弦函数的画法
5.4.1 正弦函数、余弦函数的图象(解析版)
5.4.1 正弦函数、余弦函数的图象一、正弦函数、余弦函数图象的画法1．描点法：按照列表、描点、连线三步法作出正弦函数、余弦函数图象的方法． 2．几何法：利用三角函数线作出正弦函数和余弦函数在]2,0[π内的图象，再通过平移得到x y sin =和cos y x =的图象．3．五点法：先描出正弦曲线和余弦曲线的波峰、波谷和三个平衡位置这五个点，再利用光滑曲线把这五点连接起来，就得到正弦曲线和余弦曲线在一个周期内的图象．在确定正弦函数x y sin =在]2,0[π上的图象时，关键的五点是：)0,2(),1,23(),0,(),1,2(),0,0(ππππ-【注意】（1）若x R ∈，可先作出正弦函数、余弦函数在]2,0[π上的图象，然后通过左、右平移可得到x y sin =和cos y x =的图象．（2）由诱导公式cos sin()2y x x π==+，故cos y x =的图象也可以将x y sin =的图象上所有点向左平移2π个单位长度得到． 二、正（余）弦函数的图象 函数y ＝sin xy ＝cos x图象图象画法五点法五点法关键五点 (0,0),π(,1)2,(,0)π,3π(,1)2-,(2,0)π (0,1),π(,0)2,(,1)π-,3π(,0)2,(2,1)π正（余）弦曲线正（余）弦函数的图象叫做正（余）弦曲线三、用三角函数图象解三角不等式的方法1、作出相应正弦函数或余弦函数在[0,2π]上的图象；2、写出适合不等式在区间[0,2π]上的解集；3、根据公式一写出不等式的解集．题型一 五点法作三角函数的图象【例1】用“五点法”作y ＝2sin2x 的图象，首先描出的五个点的横坐标是（ ） A ．30,,,,222ππππ B ． 30,,,,424ππππ C ．0,,2,3,4ππππD ．20,,,,6323ππππ【答案】B【解析】由“五点法”作图知：令2x ＝0，2π，π，32π，2π，解得x ＝0，4π，2π，34π，π，即为五个关键点的横坐标，故选：B.【变式1-1】用“五点法”作函数cos 1y x =-，[]0,2x π∈的大致图像，所取的五点是______．【答案】(0,0)，,12π⎛⎫- ⎪⎝⎭，(,2)π-，3,12π⎛⎫- ⎪⎝⎭，(2,0)π【解析】由“五点法”作函数cos 1y x =-，[0x ∈，2]π的图象时的五个点分别是(0,0)，,12π⎛⎫- ⎪⎝⎭，(,2)π-，3,12π⎛⎫- ⎪⎝⎭，(2,0)π．【变式1-2】用“五点法”画出下列函数的简图：（1）cos 1y x =-，[],x ππ∈-； （2）sin y x =，3,22x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦； （3）sin y x =-，[]0,2x π∈．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析 【解析】（1）按五个关键点列表xπ-2π-2ππcos x1-0 11cos 1x -2- 1- 01- 2-（2）按五个关键点列表x2π-0 2ππ32πsin x1- 011-描点并将它们用光滑的曲线连接起来如下图（3）按五个关键点列表x0 2ππ32π2πsin x11-sin x -0 1-0 1 0【变式1-3】用“五点法”作下列函数的简图. （1）2sin ([0,2])y x x π=∈；（2）5sin()([,])222y x x πππ=-∈. （3）2sin(2)3y x π=-(x ∈R ).【答案】（1）图象答案见解析；（2）图象答案见解析；（3）图象答案见解析. 【解析】（1）列表如下：x2ππ 32π2π 2sin x 02 0 -2 0描点连线如图：（2）列表如下：x2ππ 32π2π 52πsin()2x π-0 1 0 -1 0（3）函数π2sin 23y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭在长为一个周期π的区间上的图象，列表如下：x6π512π23π1112π76π23x π-0 2ππ32π2πy 02 0 -2 0再向左右两边扩展，其图象如下：题型二 含绝对值的三角函数【例2】函数y ＝|cos x |的一个单调增区间是（ ）A ．,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．[0，π]C ．3,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．3,2π2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】D【解析】将y ＝cos x 的图像位于x 轴下方的图像关于x 轴对称翻折到x 轴上方，x 轴上方(或x 轴上)的图像不变，即得y ＝|cos x |的图像根据各选项判断只有D 选项正确. 故选：D.【变式2-1】作出函数2sin sin y x x =+，[],x ππ∈-的大致图像． 【答案】图见解析【解析】函数[][]3sin ,0,2sin sin sin ,,0x x y x x x x ππ⎧∈⎪=+=⎨-∈-⎪⎩， 其图如下所示：【变式2-2】作出函数sin ||,[2,2]=∈-y x x ππ的大致图像. 【答案】图象见解析 【解析】列表x0 2ππ32π2πsin ||y x =1 0 -1 0作图：先作出(]0,2π的图像，又原函数是偶函数,图像关于y 轴对称， 即可作出[)2,0π-的图像.【变式2-3】作函数3sin 2y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象.【答案】图象见解析.【解析】3sin cos 2y x x π⎛⎫=+= ⎪⎝⎭ cos 22,Z 223cos 22,Z 22x k x k k x k x k k ππππππππ⎧⎛⎫-+≤≤+∈ ⎪⎪⎪⎝⎭=⎨⎛⎫⎪-+<<+∈ ⎪⎪⎝⎭⎩故|cos |y x =的图象是cos y x =的图象在x 轴下方的部分翻折到x 轴上方后得到的图象，如图题型三 三角函数识图问题【例3】函数1sin =+y x x的大致图象是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】函数1sin =+y x x是定义域(,0)(0,)-∞+∞上的奇函数∴其图象关于原点对称，排除选项D ；当(0,)x π∈时，sin 0x >，此时1sin 0x x+>，∴当(0,)x π∈时，()f x 的图象在x 轴上方，排除选项B ； 当32x π=时，322sin 10233πππ+=-+<，()f x 的图象在x 轴下方，排除选项C ；综上所述，函数1sin =+y x x的大致图象为选项A .故选：A .【变式3-1】函数2sin 2xy x =-的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】令0x =，则02sin 01y =-=，排除C 、D ；令1x =-，则()112sin 2sin 202y -=--=+>，排除B.故选：A【变式3-2】已知函数()y f x =的图象如图所示，则此函数可能是（ ）A ．()sin ln ||f x x x =⋅B ．()sin ln ||f x x x =-⋅C ．()sin ln f x x x =⋅D ．()|sin ln |f x x x =⋅ 【答案】A【解析】图象关于原点对称，为奇函数，CD 中定义域是0x >，不合，排除，AB 都是奇函数，当(0,1)x ∈时，A 中函数值为负，B 中函数值为正，排除B ．故选：A ．【变式3-3】已知函数()f x 的部分图象如图所示，则()f x 的解析式可能为（ ）A ．()sin πf x x x =B ．()(1)sin πf x x x =-C ．[]()cos π(1)f x x x =+D ．()(1)cos πf x x x =- 【答案】B【解析】对于A ，()()sin πsin π()f x x x x x f x -=--==，所以函数()sin πf x x x =为偶函数，故排除A ； 对于D ，()010f =-≠，故排除D ；对于C ，[]()cos π(1)cos πf x x x x x =+=-，则()()cos πf x x x f x -==-， 所以函数[]()cos π(1)f x x x =+为奇函数，故排除C.故选：B.题型四 利用图象解三角不等式【例4】不等式2sin ,(0,2)2xx π∈的解集为（ ） A ．,62ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B ．3,44ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ C ．423,ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D ．,64ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】B 【解析】2sin ,(0,2)2xx π∈ sin y x =函数图象如下所示：∴344ππ≤≤x ，∴不等式的解集为：3,44ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦．故选：B ．【变式4-1】在()0,2x π∈上，满足cos sin x x >的x 的取值范围（ ）A ．5,44ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．0,4π⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．50,,244πππ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ D ．5,24ππ⎛⎫⎪⎝⎭【答案】C【解析】作出sin y x =和cos y x =在()0,2x π∈的函数图象，根据函数图象可得满足cos sin x x >的x 的取值范围为50,,244πππ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故选：C.【变式4-2】在[]0,2π内，不等式3sin x < ） A ．(0，π) B ．3,34ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．45,33ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭ D ．5,23ππ⎛⎫⎪⎝⎭【答案】C【解析】画出y ＝sin x ，[]0,2x π∈的草图如下．[]0,2x π∈内，令3sin x =43x π=或53x π=，结合图象可知不等式3sin x <的解集为45,33ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭．故选：C ．【变式4-3】若函数()2sin13f x x π=- ）A ．56,622k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦（k ∈Z ） B ．156,622k k ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦（k ∈Z ）C ．56,644k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦（k ∈Z ） D ．156,644k k ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦（k ∈Z ） 【答案】B【解析】要使函数有意义，则2sin103x π-≥，即1sin32x π≥， 即522636k x k πππππ+≤≤+，k ∈Z ，得156622k x k +≤≤+，k ∈Z ， 即函数的定义域为156,622k k ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦（k ∈Z ）.故选：B【变式4-4】已知()f x 的定义域是3⎡-⎢⎣⎦，则(sin 2)f x 的定义域为（ ） A ．2,36k k ππππ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦，k Z ∈ B ．,63k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦，k Z ∈C ．22,236k k ππππ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦，k Z ∈ D ．2,263k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦，k Z ∈【答案】A 【解析】()f x 的定义域是3⎡-⎢⎣⎦，故由31sin 2x -≤≤解得()422233k x k k Z ππππ-+≤≤+∈， ()236k x k k Z ππππ∴-+≤≤+∈ 因此，函数(sin 2)f x 的定义域为()22,236k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦.故选：A.【变式4-5】函数y 12log sin x________． 【答案】{}22,x k x k k Z πππ<<+∈ 【解析】由1122log sin 0log 1x ≥=知，0sin 1x <≤，由正弦函数图象特征知，22,k x k k Z πππ<<+∈． 故定义域为{}22,x k x k k Z πππ<<+∈. 故答案为：{}22,x k x k k Z πππ<<+∈.题型五 与正余弦函数有关的零点【例5】函数sin y x =，[]0,2πx ∈的图像与直线23y =-的交点的个数为（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 【答案】C【解析】在同一平面直角坐标系内，先画函数sin y x =，[]0,2πx ∈的图像，再画直线23y =-，可知所求交点的个数为2．故选：C ．【变式5-1】已知函数f (x )=12x⎛⎫⎪⎝⎭-sin x ，则f (x )在区间[0，2π]上的零点个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4 【答案】B【解析】令sin 01()2xf x x ⎛⎫-=⎪⎝⎭= ，则1()sin 2x x =， 在同一坐标系中，作出1(),sin 2xy y x ==，如下图所示：由图知，f (x )在区间[0，2π]上的零点个数为2个.故选：B.【变式5-2】()f x 是定义在R 上的偶函数，且()()11f x f x -=+，[]1,0x ∈-时，()sin 2f x x ππ⎛⎫=+⎪⎝⎭，则函数()()e x g x f x -=-在区间[]2021,2022-上零点的个数为（ ）A ．2021B ．4043C ．2020D ．4044 【答案】B 【解析】(1)(1)f x f x -=+，()(2)f x f x ∴=+，即函数()f x 的周期为2，当[]1,0x ∈-时，()sin()sin()22f x x x πππ=+=-，则当[]0,1x ∈时，()()sin()sin()22f x f x x x ππ=-=--=， 由此可作出函数()f x 与函数e -=xy 的大致图象如下，由图象可知，每个周期内有两个交点， 所以函数((e))xg x f x -=-在区间[]2021,2022-上零点的个数为2021214043⨯+=个．故选：B ．【变式5-3】函数()sin 3|sin |,[0,2]f x x x x π=+∈的图象与直线y k =有且仅有两个不同的交点，则k 的取值范围是（ ）A ．[2,2]-B ．(1,0)(0,3)-C ．(2,4)D ．(1,4) 【答案】C【解析】当[0,]x π∈时，()sin 3sin 4sin f x x x x =+=，当(],2x ππ∈时，()sin 3sin 2sin f x x x x =+=-， 所以函数()f x 的图像如图所示，所以函数()f x 的图象与直线y k =有且仅有两个不同的交点时，(2,4)k ∈.故选：C【变式5-4】已知函数()1sin ,0,21cos ,0,2x x f x x x ⎧+<⎪⎪=⎨⎪+≥⎪⎩若()f x 在区间3,2a π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上至少有5个零点，()f x 在区间[],a π-上至多有5个零点，则正数a 的取值范围是（ ）A ．138,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B ．1310,63ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭ C ．1910,63ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭ D ．819,36ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】B【解析】因为方程1sin 2x =-在[),0π-上的解为56π-，6π-， 所以当()f x 在区间[],a π-上至多有5个零点时，100.3a π<<因为方程1cos 2x =-在30,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的解为23π，43π， 所以当()f x 在区间3,2a π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上至少有5个零点时，136a π-≤-，即136a π≥综上，正数a 的取值范围是1310,63ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭，故选：B。
正余弦函数的图象
-4 -3
-2
(0,11)
3
( 2 ,1)
-
(-o12 ,0)
( 2 ,0)
2
( ,-1)
3
线
4
5 6 x
正弦、余弦函数的图象
练习：在同一坐标系内，用五点法分别画出函数
y= sinx，x[0, 2] 和 y= cosx，x[ , 3 ]的简图：
22
x
02
20
csionsx
10
01
向左平y 移 个单位长度 22
2 ,0) x
2 ,0)
( 2 ,0) ( 2 ,0) ( 2 ,0) ( 2 ,0) ( 2 ,0) ( 2 ,0)
正弦、余弦函数的图象
y
1
-4 -3
-2
- o
-1
2
3
4
5 6 x
正弦函数的图象 y=cosx=sin(x+ ), xR
2
正弦曲 线
形状完全一样 只是位置不同
余弦函数的图象
y
余弦曲
1.列表 2.描点 3.连线
3
2
x
2
2 y=sinx，x[0, 2]
正弦、余弦函数的图象
例2 画出函数y= - cosx，x[0, 2]的简图：
x
0
2
3
2
2
cosx
1
0
-1
0
1
- cosx -1
0
1
0
-1
y 1
o
2
2
-1
y=cosx，x[0, 2]
3
2
2
x
y= - cosx，x[0, 2]
正弦函数的图象与函数(一)
2
)的图象
小结：
1.正弦函数图象的画法 （1）几何法 （平移三角函数线）
（2）描点法
（换
3.数形结合应用
2011.3.29
三角函数的图象及性质
正弦函数和余弦函数，正切函数
省实验：中华
正弦函数的图象及性质
y sin x
你想怎么画正弦函数的图象？
1.正弦函数图象的画法
（1）几何法
（平移三角函数线）
（五点法）
（2）描点法
3 (0,0), ( ,1), ( ,0), ( ,1), (2 ,0) 2 2
3.巩固提高
3 （ ）y sin x ( x 1 )与y 1的图象 2 2 围成一个封闭图形，求 其面积 （2） 判断 sin x x的解的个数 (3) y sin x 2 | sin x |, x [0,2 ]的图象 与y k有且只有两个不同的交 点， 求k的取值范围 (4) 用五点法画 y sin( x
注意：左右延伸
练习：用五点法画下列函数图象
(1) y sin x 1 ( 2) y sin 2 x
x 0 2x 0 sinx 0 x Sinx+10 1 sin2x
1
0
-1
0
2.图象变换 （翻折）
画出以下函数图象： （ ） 1 cos x 1 y
2
（2） sin | x | y
正弦函数的图像(五点法)
1
0
x -1
0
x
1
-1
二、新知
在研究三角函数的图象和性质时，我们常用弧度制来度量角， 记为χ，表示自变量，用y表示函数值，于是正弦函数表示为
y=sinχ, χ∈Ｒ
y
1
0
p
2
π
3p
2π
x
2
-1
y=sinχ,x ∈[ 0, 2π ]
五点法作图 (0,0) (p,0) (2p,0)
y
( p ,1) 2
6
3
因此，换种思考路径，即采用平移线段的方法。
回忆三角函数线：
A'(-1,0)
B(0,1) y
P(cos,sin) N1
x
O M A(1,0)
B'(0,-1)
把单位圆12等分，可以得到对应于
2p 5p π 7p 4 p 3p 5 p
36
6323
y
0
11 p
6y
p pp
6 32 2π 的正弦线
小结：
作正弦函数图象的简图的 方法是：
“五点法”
正弦函数y=sinx的图象 （五点法）
正弦函数：我们常用弧度制来度量角，记为χ， 表示自变量，用y表示函数值，于是正弦函数 表示为y=sinχ, χ∈Ｒ
如何来作 正弦函数 的图象呢？
平移正弦线
思考：
时（都，Ⅱ有作）唯出做一相函的对数y值应图和的象它y的值对方，应法，s是i因n1此、p我列们表=1想2、/到2描,当点x而取3、si连n0线p。=任p60意..8给66p ,1) 2
1
x
0p
π
3p
2π
2
2
-1
三角函数图像得画法 PPT
y
1 sin x
2
y= 2s in x
y=1 sinx
2
y=1 sinx 2
O
0
2
01
3
2
2
0 -1 0
0 2 0 -2 0
01
2
0
1 2
0
y=2sinx图象由y=sinx图象（横标不变）， 纵标伸长2倍而得。
2π
x
1 y=
sinx图象由y=sinx图象（横标不变），纵标伸长
倍而得。
2
水平伸缩变换
2图像向左平移源自63横坐标不变 y 3sin( 2x )
纵坐标变为3倍
3
例4. 画出函数
y3sin2(x) xR
3
的简图.
x
y3si2xn 3 ()3si 2 (xn 6)
y sin x
5 2
3
3
6
12
3
7 12
5 6
y
ysin2(x)
y
sin(
x
3
)
3
由 y = s i n x 到 y = A s i n ( ω x + ) 的 图 象 变 换 步 骤
步骤1 步骤2
画 出 y = s i n x 在 0 ， 2 π 上 的 简 图
横坐标向左 (>0) 或向右(<0) 平移 || 个单位
得 到 y = s i n ( x + ) 在 某 周 期 内 的 简 图
步骤3 步骤4
将各点的横坐标变为原来的 1/ω 倍(纵坐标不变).
得 到 y = s i n ( ω x + ) 在 某 周 期 内 的 简 图
各点的纵坐标变为原来的A倍(横坐标不变)；
正弦函数的图像课件
通过掌握正弦函数的性质和图像， 可以解决许多实际问题，提高解决 实际问题的能力和素养。
未来研究方向和挑战
深入研究和探索
随着科学技术的发展，正弦函数的应用领域也在 不断扩大和深化，需要进一步研究和探索其性质 和应用。
数值分析和计算物理
随着计算机技术的发展，如何利用正弦函数进行 数值分析和计算物理的研究也是未来的一个重要 方向。
数学建模和算法设计
如何利用正弦函数建立数学模型和设计算法，是 未来研究的一个重要方向。
跨学科应用
正弦函数作为数学中的基础函数，可以与其他学 科进行交叉融合，例如与物理学、工程学、经济 学等学科的结合，需要进一步探索其跨学科应用 的价值和可能性。
THANKS
感谢观看
图像形状
正弦函数和对数函数的图像形状也不同。正弦函数的图像呈现波形，而对数函数的图像 呈现向上或向下凸出的趋势。
05
总结与展望
正弦函数的重要性和应用价值
数学基础
正弦函数是数学中的基本函数之 一，是学习三角函数、复数、微
积分等数学领域的基础。
应用广泛
正弦函数在物理学、工程学、经济 学等多个领域都有广泛的应用，例 如振动分析、交流电、信号处理等 。
振幅和相位
通过调整正弦函数中的振幅和相位参 数，可以改变图像的高度和位置。了 解这些参数对理解正弦函数图像的影 响非常重要。
03
正弦函数的应用
在物理中的应用
简谐振动
正弦函数描述了许多物理现象， 如简谐振动。在物理中，简谐振 动是一种基本的振动类型，其位 移与时间的关系通常可以用正弦
函数表示。
交流电
操作步骤
在软件中选择相应的函数图像绘制工具，输入正弦函数公式（例如y=sin(x)）， 然后选择x的取值范围（例如-π到π），最后点击“绘制”按钮即可生成正弦函数 的图像。
正弦函数、余弦函数的图像 课件
解 (1)y＝sin|x|＝－ sinsxi，nx， 0<－x≤2π2≤π.x≤0， (2)y＝|sinx|＝s－insxi，nx，－2－π≤ π<xx≤<0－，π或，π或<x0≤≤2xπ≤. π，
所以y＝sin|x|及y＝|sinx|的图像如下图所示．
规律技巧 1.首先将函数解析式化简，化去绝对值，然 后根据图像的性质画图.要注意特殊点，如最高点及坐标轴 的交点关系.,2.也可以根据图像变换作图，如y＝sin|x|的图像 关于y轴对称.只要作出y＝sinx，x∈[0，2π]的图像，利用对 称性，可以作出y＝sin|x|， x∈[－2π，2π]的图像.)
正弦函数、余弦函数的图像
1.正弦曲线的画法 (1)几何法 利用单位圆中的正弦线画y＝sinx图像的方法称为几何 法．其核心首先是等分圆周及等分区间[0,2π]和正弦线的平 移；其次是利用终边相同的角的正弦值相等，推知y＝sinx在 区间[2kπ，(2k＋2)π](k∈Z，k≠0)上的图像与y＝sinx在区间 [0,2π]上的图像形状完全一样，从而通过左右平移(每次2π个 单位长度)得函数y＝sinx(x∈R)的图像． 正弦函数的图像叫做正弦曲线．
描点作图，如下图所示．
(2)列表：
x
0
π 2
π
3π 2
2π
cosx
1
0
－1
0
1
1＋cosx 21012描点作图，如下图所示．
规律技巧 “五点”即为正弦、余弦曲线的最高点、最 低点，与x轴的三个交点，“五点法”是作图的基本方法， 应掌握．
类型二 与正弦函数、余弦函数相关函数的图像 例2 画出下列函数的图像． (1)y＝sin|x|，x∈[－2π，2π]； (2)y＝|sinx|，x∈[－2π，2π]． 分析 将函数式中的绝对值符号去掉，进行等价变形， 然后作图．
正弦函数、余弦函数的图像及五点法作图
正弦函数、余弦函数的图像及五点法作图
【余弦函数y=cosx的图象】
用几何法作余弦函数的图象，可以用“反射法”将
角 与 终xx点的轴A余的作弦 正x轴线 半的“ 轴垂竖 成线立4，”角它[的把与直坐前线标面，轴所又向作过下的余平直弦移线线，交O过于1OAA1的′作，
那么 O1 A与AA′长度相等且方向同时为正，我们就 把余弦线 O1 A“竖立”起来成为AA′，用同样的方 法，将其它的余弦线也都“竖立”起来．再将它们 平移，使起点与x轴上相应的点x重合，则终点就是 余弦函数图象上的点．]
解：按五个关键点列表
利用正弦函数的特征描点画图：
正弦函数、余弦函数的图像及五点法作图
【变形训练】
1、作出 y cos x, x 0, 2 的简图
解：按五个关键点列表
x
0
2
π
3
2π
2
cosx 1
0
-1
0
1
-cosx -1
0
1曲线连接起来.
y=cosx的图象. 正弦函数y=sinx的图象和余弦函数y=cosx的图象 分别叫做正弦曲线和余弦曲线．
正弦函数、余弦函数的图像及五点法作图
【余弦函数y=cosx的图象】
-6 -5 -6 -5
-4 -3 -4 -3
-2 -
-2
-
y y=sinx
1
o
-1
y y=cosx
1
正弦函数、余弦函数的图像及五点法作图
【余弦函数y=cosx的图象】
也可以用“旋转法”把角 的余弦线“竖立”（把
角置诱x=x，导si的n则公x余的式O弦1图cM线o象s1与Ox向1OM左1sM按i平n长(逆移x度时 2相2针)单等方,还位，向可即方旋以得向转把余相2正弦同到弦函.O）函数1M根数1据位
正弦函数的图像
目录
• 正弦函数的定义与性质 • 正弦函数的图像绘制 • 正弦函数的应用 • 正弦函数与其他函数的对比 • 正弦函数的扩展
01
正弦函数的定义与性质
定义
总结词
正弦函数是三角函数的一种，定义为 直角三角形中锐角的对边长度与斜边 长度的比值。
详细描述
正弦函数通常表示为sin(x)，其中x是角 度（以弧度为单位）。在直角三角形中， 锐角的对边长度为y，斜边长度为r，则 正弦函数的定义为y/r。
工程中的应用
机械工程
在机械振动和稳定性分析 中，正弦函数用于模拟和 预测结构的振动和稳定性。
航空航天
在航空航天领域，正弦函 数用于计算飞行器的姿态 角、角速度等参数。
电子工程
在信号处理和通信中，正 弦函数用于调制和解调信 号，实现信息的传输和接 收。
数学其他领域中的应用
三角恒等式
01
正弦函数与其他三角函数（余弦、正切等）之间存在许多重要
总结词
描述正弦函数积化和差公式的应用和意义。
详细描述
正弦函数的积化和差公式是三角函数中另一个重要的公式，它描述了正弦函数乘积与和差之间的关系。通过这个 公式，我们可以将两个正弦函数的乘积转化为一个正弦函数和另一个正弦函数之和或差的乘积，从而进一步简化 计算。
正弦函数的倍角公式
总结词
描述正弦函数倍角公式的应用和意义。
相位
相位决定了正弦函数图像在x轴上的位置，通过调 整相位参数，可以改变图像起始点的位置。
03
正弦函数的应用
物理中的应用
振动和波动
正弦函数是描述简谐振动和波动的基本函数，如弹簧振荡器、声 波等。
交流电
正弦函数用于描述交流电的电压和电流，广泛应用于电力系统和 电子设备。
正弦函数的性质和图像
π 2
1
3π 2
O
π
x
-1
（5）单调性
增 区 间：[
-
π 2
，π 2
减 区 间： [π
，3 π
2
2
](k∈Z ) ](k∈Z )
2.正弦函数 y sin x 的性质
yπ
2
-
π 2
1
3π 2
O
π
x
-1
（5）单调性
增 区间 ：[
-
π 2
+
2
kπ
，π 2
+
2 kπ ]( k ∈ Z
)
减 区间 ： [π 2
6. 对称性：
正弦函数的图像和性质 y
1. 定 义 域 ：R
-
π 2
1
3π 2
-
3π 2
-π
O
π 2
π
2π 5π
x
2
2. 值域：[ -1,1]
-1
3.奇偶性：奇函数s，in（- x）= - sinx
4. 周期性：T = 2 kπ，最小正周期为2 π
5. 单 调 性 ：
6. 对称性：
正弦函数的图像和性质 y
y
P
α
O
x
1.正弦函数 y sin x 的图像
y
P（cos α, sin α）
α
O
x
1.正弦函数 y sin x 的图像
y
y
P（cos α, sin α）
（α，sinα）
α
O M x Oα
x
1.正弦函数 y sin x 的图像
y
y
P
O
xO
正弦函数图像画法ppt课件
2
1
． ． ．π
0
2
-1y=sin x -1 x∈[0,2π]
． ． 3
2
2π
x
y=sin 3x x∈[0,2π]
9
小结：
作正弦函数图象的简图的 方法是：
“五点法”
作业：P27 2, 3
10
O
(O1)
2
3
2
2
x
-1
4
如何画出正弦函数 y=sin x(x∈R) 的图象呢？
因为正弦函数是周期为2kπ(k∈Z,k≠0)的函数,所以函数y=sin x在
区间[2kπ, 2(k+1)π] (k∈Z,k≠0)上与在区间[0,2π]上的函数图象形状完全 一样,只是位置不同.于是我们只要将函数y=sin x(x∈ [0,2π])的图象向左, 右平行移动(每次平行移动2π个单位长度),就可以得到正弦函数y=sin x(x∈R)的图象,如下图所示.
6
的正弦线向右平移，使M点与x轴上表示数
6
的点M1重合，得到线段M1P1，
显然点P和的点P1的纵坐标相同，都等于sin
6
，因此，点P1的坐标是(
6
, sin
6
)，
P1是图象上的一个点。类似地,当x=
4
3
时，也可以得到P2点，P2点也是图象上的点。
y
1
4 3
M′
P′
P
P1
6
M1
M
O
6
2
-1
4 3
32
M2
正弦函数y=sinx的图
象
1
一、课题导入
设任意角α的终边与单位圆交于点Ｐ，过点Ｐ做x轴的垂线，垂足为M， 我们称线段MP为角α的正弦线
正弦函数的图像(五点法)
6
3
因此，换种思考路径，即采用平移线段的方法。
回忆三角函数线：
A'(-1,0)
B(0,1) y
P(cos,sin) N1
x
O M A(1,0)
B'(0,-1)
把单位圆12等分，可以得到对应于
2p 5p π 7p 4 p 3p 5 p
36
6323
y
0
11 p
6y
p pp
6 32 2π 的正弦线
如下图所示. y
1
0 p π 3p 2π
x
2
2
-1
例1 用五点法作函数y=sinx+1, x ∈ (0,2p) 上的图象
x
0
p
2
p
3p 2p
2
Sinx 0 1 0 －1 0
Sinx+1 1 2 1 0 1
y
2
1
x
0
p
p
3p
2p
2
2
－1
例题分析
例 用“五点法”画出下列函数在区间[0，2π]的简图。
正弦函数y=sinx的图象 （五点法）
正弦函数：我们常用弧度制来度量角，记为χ， 表示自变量，用y表示函数值，于是正弦函数 表示为y=sinχ, χ∈Ｒ
如何来作 正弦函数 的图象呢？
平移正弦线
思考：
时（都，Ⅱ有作）唯出做一相函的对数y值应图和的象它y的值对方，应法，s是i因n1此、p我列们表=1想2、/到2描,当点x而取3、si连n0线p。=任p60意..8给66p3出不一p易个2描x的点值，，
( 3p ,1) 2
1
x
0p
π
3p
正弦函数的图像ppt课件
信号处理
在信号处理领域，正弦函数常被用 于信号的滤波、调制和解调等操作。
机械工程
在机械振动和噪音控制中，正弦函 数被用于描述和分析振动模式和频 率。
在日常生活中的应用
音乐
正弦函数在音乐领域的应 用非常广泛，如音高和音 长的计算等。
通信
无线电和电视信号的传输 过程中，正弦函数用于调 制和解调信号。
医学成像
正弦函数的周期性
总结词
正弦函数具有周期性，即函数图像每 隔一定周期重复出现。
详细描述
正弦函数的周期为360度或2π弧度，这 意味着每经过360度或2π弧度，函数值 会重复之前的值，形成周期性的波形。
正弦函数的奇偶性
总结词
正弦函数是奇函数，具有奇函数的性质。
详细描述
奇函数满足性质f(-x)=-f(x)，对于正弦函数，当取相反角度时，函数值也取相反 数。例如，sin(-π/2) = -1，与sin(π/2)的值相反。
03
正弦函数的应用
在物理中的应用
01
02
03
简谐振动
正弦函数是描述简谐振动 的基本函数，如弹簧振荡 器、单摆等。
交流电
正弦函数被广泛用于描述 交流电的电压、电流和频 率，是电力系统的基本模 型。
声学
声音的传播和波动可以用 正弦函数来描述，如声波 的振幅和频率。
在工程中的应用
控制系统
正弦函数在控制系统分析中有着 广泛应用，如PID控制器等。
03
奇偶性
正弦函数是奇函数，而正切函数是奇函数。这意味着它们在对称性上有
相同的表现。
与其他三角函数的比较
定义域
除了正弦函数、余弦函数和正切函数外，还有其他一些三角函数，如反正弦函数、反余弦 函数、反正切函数等。它们的定义域各不相同，但都与正弦函数、余弦函数和正切函数的 定义域有交集。
三角函数图像的画法
2π
x
y=1sinx图象由y=sinx图象（横标不变），纵标伸长 倍而得。 2
水平伸缩变换
例3：如何由函数f(x)=sinx的图象得到下列函数 的图象？
(1)y=sin2x
(2)y=sin
1 2
x
例3：如何由函数f(x)=sinx的图象得到下列函数 的图象？
(1)y=sin2x
(2)y=sin 21x
思路2
纵坐标不变
y sin x横坐标变为原来的 1 y sin 2x
y sin( 2x )
2
图像向左平移
6
3
横坐标不变 纵坐标变为3倍
y 3sin( 2x )
3
例4. 画出函数
y 3sin(2x ) x R
3
的简图.
x
y
3 sin(2x
3
得到y = sin(x +)在某周期内的简图
横坐标向左 (>0) 或向右(<0) 平移 | | 个单位
得到y = sin(ωx +)在某周期内的简图
步骤4
各点的纵坐标变为原来的A倍(横坐标不变)；
得到y = Asin(ωx +)在某周期内的简图
步骤5
沿x轴扩展
得到y = Asin(ωx +)在R上的图象
y
y横=s标in2缩x图短21象由而y得=s。inx图象（纵标不变），
1 3 4
2
3
4
o
3
x
42
2
1
y
sin
2x
y=sin
1 2
y sin x
x图象由y=sinx图象（纵标不变），
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第一章三角计算及其应用
——1.2.2正弦型函数的图像
教材：高等教育出版社《数学》职业模块工科类
教学理念：一切为了学生，高度尊重学生，全面依靠学生。
具体体现为：先做后学，先学后教，少教多学，以学定教。
一、教材分析
1．教材的地位和作用：
本课为第二课时，主要是利用单位圆画出的图象，考察图象的特点，用“五点作图法”画正弦函数图象简图，并掌握与正弦函数有关的简单的图象平移变换和对称变换；再利用图象研究正弦函数的部分性质（定义域、值域等）。
2．教学目标：
知识目标：学会用单位圆中的正弦线画出正弦函数的图象，通过对正弦线的复习，来发现几何作图与描点作图之间的本质区别，以培养运用已
有数学知识解决新问题的能力。
能力目标：
1. 会用单位圆中的正弦线画出正弦函数图象；
2. 掌握正弦函数图象的“五点作图法”；
3. 掌握与正弦函数有关的简单图象平移变换和对称变换；
4. 培养观察能力、分析能力、归纳能力和表达能力；
5. 培养数形结合和化归转化的数学思想方法。
情感目标： 1. 培养学生合作学习和数学交流的能力；
2. 培养学生勇于探索、勤于思考的科学素养；
3. 渗透由抽象到具体的思想，使学生理解动与静的辩证关
系，培养辩证唯物主义观点。
3．教学重点和难点：
教学重点：“五点法”画长度为一个周期的闭区间上的正弦函数图象。
教学难点：运用几何法画正弦函数图象。
二、教法设计：
在生本教育理念下，以教学课件为辅，采用“启发讨论”和“互教互学”的教学方法，各教学环节流程为：
提出问题独立思考小组讨论教师点评
教师通过活动导入，小组讨论，学生作图，观察比较，交流展示，使学生由具体到抽象，从特殊到一般认识正弦函数的图像的画法，从而讲清重点突破难点。
三、学法设计：
1．通过旧知回顾导入，动画展示，调动学生的学习兴趣，激发求知欲望。
2．在教学课件的引导下，通过独立思考，交流展示，使学生在合作中主动学习新知，同时，提高了互教互学的合作意识。
3．通过从旧知的二次函数研究新知的正弦函数，使学生体验从旧到新的学习规律，使学生体验形数结合的思想方法，达到“举一反三”的效果。
四、教学流程
五、教学过程
引导他们自然地想到的正
弦值是
的方法，作
图象，
是周期函数，且最
小正周期是
的
逐步掌握“五点法”作图。
的图像变换
六、设计点评
突破点：采用“启发讨论式”的教学方法，在教师的启发引导下，通过学生讨论交流，合作完成、教师点评的形式，从抽象到具体，逐步引导学生探究新知，使学生在合作学习的乐趣中主动获得新知。
通过“观察法”和“点评法”及时进行课堂反馈，积极肯定学生思维的闪光点和探索精神，在和谐、愉悦的教学氛围中达到了良好的教学效果。
特点：通过动画演示、数学软件操作等，引导学生从特殊到一般认识正弦函数函数的图像的画法，从而讲清重点突破难点。