静力法与能量法计算步骤(试卷答案)
结构稳定计算习题
《结构的稳定计算》习题一、判断题1、能量法求有限自由度体系的临界荷载所得结果为精确解。
（）2、叠加原理适用于结构的稳定计算。
（）3、结构失稳包括分支点失稳和极值点失稳两种形式，临界荷载就是从稳定平衡状态到不稳定平衡状态的最小荷载。
（）4、能量法求无限自由度体系的临界荷载所得结果为近似解，其结果大于或等于精确解。
（）5、稳定平衡状态的能量特征是结构的势能极小，不稳定平衡状态的能量特征是结构的势能极大。
（）6、在结构的稳定分析中，具有n个稳定自由度的结构具有n个临界荷载和n个失稳形式。
（）二、填空题1、结构的稳定自由度是指。
2、分支点失稳与极限点失稳的主要区别是在临界状态存在着平衡形式的性。
34、图(a)所示体系简化为图(b)所示的弹性支撑压杆，已知各杆EI=常数，则弹性支座的刚度系数为k= 。
5、图示压杆发生的失稳形式如图，试写出其位移边界条件：(1)、；(2)、；(3) 。
6、图(a)所示体系简化为图(b)所示的弹性支撑压杆，则弹性支座的刚度系数为k1= ；k2= ；。
三、分析计算题1、试用静力法与能量法两种方法计算图示刚性链杆体系（各杆的EI 0=∞）的临界荷载P cr ，已知弹性支承的刚度系数k =3EI/l 3。
23、试用两种方法：静力法与能量法求图示结构的临界荷载P cr ，设压杆失稳时弹性部分的曲线y (x )=ax (1－x 2/l 2)。
24、试将图示压杆体系简化为具有弹性支承的单根压杆，并写出弹性支承的的刚度系数。
5、试用能量法求图示等截面直杆在自重作用下的临界荷载(ql)cr。
22)，其中a为常数。
6、已知k=12EI/l，试用静力法求图示压杆的临界荷载P cr。
静力学题参考答案
约束与约束力
约束是对物体运动状态 的限制，而约束力是实 现这种限制的力。在静 力学中，我们学习了不 同类型的约束和相应的 约束力，如柔索约束、
光滑面约束等。
受力分析与受力图
受力分析是解决静力学 问题的关键步骤之一。 通过受力分析，我们可 以确定物体所受的力的 大小、方向和作用点，
并绘制出受力图。
一质量为m的物体在水平面上 受到水平恒力F的作用，由静 止开始运动。经过时间t后撤 去外力F，物体又经过时间2t 后停下。求物体受到的摩擦 力大小。
对物体进行受力分析，受到 重力mg、支持力N、摩擦力 f和水平恒力F四个力的作用 。根据牛顿第二定律和运动 学公式，可以列出方程组求 解摩擦力大小。解得f=F/3 。
摩擦力与约束力问题
03
摩擦力概念及性质
摩擦力是阻碍物体相对运动或相对运动趋势的力，分为静摩擦力和滑动摩 擦力。
静摩擦力的方向与物体相对运动趋势方向相反，大小随外力的增加而增加， 但不超过最大静摩擦力。
滑动摩擦力的方向与物体相对运动方向相反，大小与正压力成正比，即 f=μN，其中μ为动摩擦因数。
约束力类型及特点
柔性约束（如绳索）只能承受拉力，不能承受 压力和弯矩。
固定端约束（如固定铰链）对物体的约束力可以分解 为两个互相垂直的分力，一个与截面垂直，另一个与
截面相切。
约束力是物体受到的限制其自由运动的力，根 据约束性质可分为柔性约束、光滑面约束和固 定端约束等。
光滑面约束（如光滑平面或曲面）对物体的约束 力通过接触点，方向沿接触面的公法线指向物体 。
典型例题解析
例题1
解析
例题2
解析
一质量为m的物体放在水平 地面上，受到一个斜向上的 拉力F的作用，仍保持静止 。求地面对物体的支持力和 摩擦力。
静力学计算题答案
静力学计算题答案(总28页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--静力学和运动学计算题1 如图所示结构中各杆的重力均不计，D ，C 处为光滑接触，已知：P = 50 kN ，试求铰链B ，E 对杆DE 的约束力。
解：取整体为研究对象： 0=∑x F ，F Hx = 00=∑y F ，F D - P - F Hy = 0 ∑=0)(F M D，P · 70 - F Hy · 250 = 0， F Hy = 14 kN ，F D = 64 kN取ECH 为研究对象：∑=0)(F M E，F C · 100 - F Hy · 200 = 0，F C = 28 kN取ABC 为研究对象：∑=0)(F M A，F By · 90 - F C · 220 = 0，F By = kN0=∑y F ，F sin+ F By -F C -P = 0，F = 16 kN 0=∑x F ， F cos α + F Bx = 0，F Bx = kN取DE 为研究对象：0=∑x F ，2Ex F - F'Bx = 0， 2Ex F = F'Bx = F Bx = - kN0=∑y F ，F D - F'By + 2Ey F = 0，2Ey F = kN2 如图所示结构由直杆AB ，CD 及折杆BHE 组成。
已知：P = 48 kN ，L 1 = 2 m ， L 2 =3 m ，r = m ，各杆及滑轮绳索重量均不计。
求A ，D ，E 处的约束力。
解：取整体为研究对象：∑=0)(F M A，3F E - P + = 0，F E = 32 kN 0=∑x F ，F Ax = 0，0=∑y F ，F Ay = P - F E = 16 kN ，取COD 为研究对象：∑=0)(F M C，F Dy L 2 + Pr - P (21L 2 + r ) = 0，F Dy = 24 kN取BHE 为研究对象：∑=0)(F M B，- F'Dx L 1 - F'Dy L 2 + F E L 2 = 0，D y D y F F =' F'Dx = 12 kN3 不计重力的三直杆用铰连接如图所示，重物M的重力为P ，由系在销钉D并绕过GC杆C端不计直径的小滑轮，再绕过定滑轮O 的绳系住。
结构力学 结构稳定计算
EI
M
A
0
l
k Fp l sin 0
小挠度、小位移情况下：
k
A
sin
k
1
(k Fp l ) 0
k F p l 0
0
k
----稳定方程（特征方程） ---临界荷载
抗转弹簧
F pcr k / l
2.N个自由度体系
12
0
2 EI k 3 12 EI / l l/2 FP
原结构的临界荷载为:
l 1.45
FPcr 2 EI 2.10 EI / l 2
2 2 FPcr 2.10 EI / l 2 FPcr EI 14.67 EI / l
§15-4 能量法
4.1 势能原理
1
dEP EA ( 1 ) 0 d l
4.2 能量法确定临界荷载举例
例一:求图示结构的临界荷载. 解: 应变能 FP k
EI
y
FP
1 Ve k y y 2
外力势能
l
2 2 1 y 2 y2 2 Fp y 2l ( ) l ( ) 2 2 l 2l 2l lk FP 2 * y EP Ve VP 结构势能 2l dEP lk FP 由势能驻值原理 y0 dy l
FP1 FP 2 F P3
V Fpi i
(3)结构势能
V q( x) y( x)dx
* p 0
* EP Ve VP
l
1
2
q(x) y(x)
3
例:求图示桁架在平衡状态下的结构势能.EA=常数. 解: 杆件轴力
结构的稳定计算
图所示为一等截面压杆,下端固定,上端有水平支杆, 现采用静力法求其临界荷载。
柱顶有未知水平反力FR,弹性曲线的微分方程为 将上式展开,得到如下的超越方程式:
或改写为 由于
=4.493,故得
上式的解为
常数A、B和未知力FR可由边界条件确定。
本节作业
1试用能量法求图示变截面 杆的临界荷载FPcr。
2试用能量法求图示排架的 临界荷载FPcr。
I
I0
1 sin
x l
y
1
cos
x 2H
其中
当x=0时,y =0,由此求得A=0。 当x=l时,y=0和y=0,由此得
例题 试求图所示排架的临界荷载和柱AB的计算长度。
弹性支座的刚度系数 在柱顶处有未知的水平力FR,弹性曲线的微分方程为
得到如下的超越方程
为了求解这个超越方程,需要事先给定k值(即给出I1/I2的比值)。下面讨论三种情形的解:
根据小挠度理论,其平衡方程为
由于弹性支座的反力矩MA=
,即得
为了得到非零解，齐次方程的系数应为零,即
上式称为特征方程,或者稳定方程 分支点相应的荷载即为作重量, 体系的势能EP为弹簧应变能 与荷载势能VP之和。弹簧应变能为
由此可见,能量法与静力法都导出同样的方程。换句话说, 势能驻值条件等价于用位移表示的平衡方程。
得
设压杆有任意可能位移,变形曲线为
令 弯曲应变能
体系的势能为
其中
荷载势能
例题 如图所示两端简支的中心受压柱,试用能量法求其临界荷载。
解 简支压杆的位移边界条件为 当x=0和x=l时, y=0 在满足上述边界条件的情况下,我们选取三种不同的 变形形式进行计算。 (1)假设挠曲线为抛物线
工程力学(静力学与材料力学)习题及答案 -材料力学中的能量法
工程力学（静力学与材料力学）习题第14章 材料力学中的能量法14－1 线弹性材料悬臂梁承受载荷如图所示，εV 为梁的总应变能，B w 、C w 分别为点B 、C 的挠度。
关于偏导数P ε/F V ∂∂的含义，有下列四种论述，试判断哪一个是正确的。
（A ）C w ；（B ）C w 2；（C ）B w +C w ；（D ）C w 21。
正确答案是 。
14－2 线弹性材料悬臂梁承受载荷如图所示，其中P P F F ='，εV 为梁的总应变能，AB V ε和BC V ε分别为AB 和BC 段梁的应变能，B w 、C w 分别为点B 、C 的挠度。
关于这些量之间的关系有下列四个等式，试判断哪一个是正确的。
（A ）C B w w F V +=∂∂P ε； （B ）C B w w F V -=∂∂Pε； （C ）B AB w F V =∂∂P ε，C BC w F V =∂∂P ε； （D ）B AB w F V =∂∂P ε，C w F V =∂∂Pε。
正确答案是 。
14－3 线弹性材料悬臂梁承受载荷如图所示，εV 为梁的总应变能。
关于偏导数P ε/F V ∂∂的含义有下列四种答案，试判断哪一种是正确的。
（A ）C w F V 2Pε=∂∂； （B ）C w F V 21P ε=∂∂； （C ）C w F V 4P ε=∂∂； （D ）C w F V 41P ε=∂∂。
正确答案是 。
14－4 线弹性材料平面架承受载荷如图所示，εV 为刚架的总应变能。
关于偏导数P ε/F V ∂∂的含义，有下列四种答案，试判断哪一种是正确的。
（A ）点B 铅垂位移与水平位移的矢量和；（B ）无意义；（C ）点B 沿两载荷合力方向的位移；（D ）点B 铅垂位移与水平位移的代数和。
正确答案是 。
习题14-1图 习题14-2图习题14-3图习题14-7图14－5 线弹性材料简支梁承受均布载荷q 如图所示，设εV 为梁的总应变能。
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非完善体系的失稳形式是极值失稳。
（2）小扰度理论
设
，
，得平衡条件
解得
图 15-9 不大扰度相比，对于非完善体系，小扰度理论未能得出临界荷载会逐渐减小的结论。
3．几点认识 （1）一般来说，完善体系是分支点失稳，非完善体系是极值点失稳； （2）分支点特征是在交叉点出现平衡形式的二重性； （3）极值点失稳特征是只存在一个平衡路径，但平衡路径上出现极值点； （4）结构稳定问题只有根据大扰度理论才能得出精确的结论； （5）小扰度理论在分支点失稳问题中通常能得出临界荷载的正确值。
路径Ⅱ的平衡是丌稳定平衡，分支点 A 处的临界平衡状态也是丌稳定的。对于这类具
有丌稳定分支点的完善体系，在进行稳定验算时，按非完善体系进行。
（2）小扰度理论
若
，则倾斜位置的平衡条件为：
得
图 15-5 路径Ⅱ的平衡是随遇平衡。 小扰度理论能够得出临界荷载的正确结果，但丌能反映倾角较大时平衡路径Ⅱ的下降趋 势。
新平衡为的平衡条件
由
，得
图 15-10
2．能量法
在原始平衡路径之外寻找新的平衡路径，应用新平衡状态的势能驻值原理，求出临界荷
载。
弹簧应变能
，荷载势能
体系的势能为：
应用驻值条件
，得
取非零解，得 临界状态的能量特征：势能为驻值，且位秱有非零解。
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讨论势能
15-2 试用两种方法求图示结构的临界荷载 qcr。假定弹性支座的刚度系数为 k。
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题 15-2 图 解：（1）解法一，按大挠度理论计算 体系变形图，如图所示。
静力学习题带详解答案
2012-2013学年度???学校7月月考卷1．如图所示，轻绳AB 能承受的最大拉力为100N ，在它下面悬挂一重为50N 的重物，分两种情况缓慢地拉起重物。
第一次，施加一水平方向的力F 作用于轻绳AB 的O 点；第二次用拴有光滑小环的绳子，且绳子所能承受的最大拉力也为50N 。
绳子刚好断裂时，绳AB 上部分与竖直方向的夹角分别为1θ和2θ，关于两者大小关系的说法中正确的是（ ）A ．21θθ>B ． 21θθ=C ．21θθ<D ．无法确定 【答案】B 【解析】 试题分析：在缓慢向右拉动的过程中，OB 段绳承受的拉力等于物重G ＝50N ，不会断裂；当OA 段绳与竖直方向的夹角增大到θ时，承受的拉力达到最大F m ＝100N 时断裂。
断裂前有F 与F m 的合力大小等于G ，如右图。
则F m cos θ＝G解得：cos θ＝0.5，θ＝60°，当用拴有光滑小环的绳子，两端绳子拉力总是相等，所以OA 和OB 不会断裂，拉力大小总等于50N ，但当OA 段与竖直方向夹角为60°时，水平向右的绳子拉力增大到50N ，开始断裂，所以B 选项正确考点：考查力的合成与分解点评：难度较大，本题的关键是要明确绳子的连接方式的不同，引起绳子拉力的不同，分为系死扣和用环连接两种情况 2．一个截面是直角三角形的木块放在水平地面上，在斜面上放一个光滑球，球的一侧靠在竖直墙上，木块处于静止，如图所示, 若在光滑球的最高点再施加一个竖直向下的力，木块仍处于静止，则木块对地面的压力F N 和摩擦力F f 的变化情况是 ()A F N 增大，F f 增大B F N 增大，F f 不变C F N 不变，F f 增大D F N 不变，F f 不变 【答案】A 【解析】试题分析：受力分析须严密，外部作用看整体，互相作用要隔离．找施力物体防“添力”，顺序分析防“漏力”；分力和合力避免重复，性质力、效果力避免重复。
建筑结构静力计算实用手册_第3版(3篇)
第1篇第一章绪论1.1 编写目的本手册旨在为从事建筑结构设计、施工和监理的专业技术人员提供一本实用性强的静力计算工具书。
通过本手册，读者可以快速掌握建筑结构静力计算的基本原理、方法和技巧，提高设计、施工和监理水平。
1.2 适用范围本手册适用于各类建筑结构的静力计算，包括但不限于住宅、办公楼、厂房、桥梁、隧道等。
1.3 内容结构本手册共分为九章，分别为：第一章绪论第二章基本理论第三章材料力学性质第四章建筑结构受力分析第五章静力计算方法第六章常用结构构件静力计算第七章结构稳定性分析第八章计算实例第九章附录第二章基本理论2.1 建筑结构力学基本概念建筑结构力学是研究建筑结构在荷载作用下的受力、变形和破坏规律的一门学科。
其主要内容包括：（1）荷载：作用于结构上的各种力，如重力、风荷载、地震荷载等。
（2）结构：由各种构件组成的整体，具有一定的几何形状和尺寸。
（3）受力：结构在外力作用下的内力、剪力、弯矩等。
（4）变形：结构在受力过程中产生的形状和尺寸的改变。
（5）破坏：结构在受力过程中达到极限状态，失去承载能力。
2.2 建筑结构力学基本原理（1）静力平衡原理：结构在受力过程中，必须满足静力平衡条件，即结构的内力、剪力、弯矩等在任意截面上必须满足平衡方程。
（2）变形协调原理：结构在受力过程中，各部分必须保持变形协调，即各部分的变形必须满足几何关系。
（3）连续性原理：结构在受力过程中，必须保持连续性，即结构的几何形状和尺寸必须保持不变。
第三章材料力学性质3.1 材料力学性质概述材料力学性质是指材料在受力过程中表现出的各种特性，主要包括：（1）弹性性质：材料在受力过程中，当应力小于弹性极限时，材料可以恢复原状。
（2）塑性性质：材料在受力过程中，当应力达到一定值时，材料发生永久变形。
（3）强度性质：材料在受力过程中，当应力达到一定值时，材料发生破坏。
3.2 常用材料力学性质（1）钢材：弹性模量E=200GPa，屈服强度f_s=235MPa，抗拉强度f_t=345MPa。
静力学和动力学练习题(含答案)
静力学和动力学练习题(含答案)静力学和动力学练题 (含答案)静力学练题1. 一个质量为10kg的物体置于水平面上。
一个力F = 50N施加在物体上，使其保持静止。
求摩擦力的大小。
解答：根据静力学的条件，物体保持静止时，合力为零。
我们可以设置以下方程：ΣF = F - F_f = 0其中，ΣF为合力，F为施加在物体上的力，F_f为摩擦力。
代入已知数据，得到：50N - F_f = 0解方程得到 F_f = 50N，因此摩擦力的大小为50N。
2. 一个质量为5kg的物体沿斜面下滑，斜面的倾角为30度。
在不考虑摩擦的情况下，求物体的加速度。
解答：根据静力学的条件，物体在斜面上保持平衡时，合力沿着斜面的方向为零。
我们可以设置以下方程：ΣF = m * g * sinθ - m * g * cosθ = 0其中，ΣF为合力，m为物体的质量，g为重力加速度，θ为斜面的倾角。
代入已知数据，得到：5kg * 9.8m/s^2 * sin30° - 5kg * 9.8m/s^2 * cos30° = 0解方程得到加速度 a = 4.9m/s^2，因此物体的加速度为4.9m/s^2。
动力学练题1. 一个质量为2kg的物体以速度4m/s沿着水平方向运动。
一个恒力F = 6N施加在物体上，与运动方向垂直。
求物体在3秒后的速度。
解答：根据动力学的条件，物体在受到恒力作用时，速度的变化可以通过牛顿第二定律来计算。
我们可以使用以下公式：F = m * a其中，F为力的大小，m为物体的质量，a为物体的加速度。
根据题目已提供的数据，可以计算出物体的加速度：6N = 2kg * a解方程得到 a = 3m/s^2。
然后，我们可以使用以下公式来计算物体的速度变化：v = u + a * t其中，v为物体的最终速度，u为物体的初始速度，a为物体的加速度，t为时间间隔。
代入已知数据，计算得到：v = 4m/s + 3m/s^2 * 3s = 4m/s + 9m/s = 13m/s因此，物体在3秒后的速度为13m/s。
大学生力学竞赛知识02 能量法与静不定
M F
F
上下、左右对称，
FA
R
剩余一个多余内力——弯矩
BF
两反对称轴
可以仅用平衡条件求解!
F
F
F
2
F
F
2
2
F
2
平面刚架空间受力
忽略不计 轴线平面内的内力分量、面内变形、 支反力
空间结构的对称与反对称问题
Mz My
Mz My
FN FN
具有对称性质的内力分量
对称结构：
z x y
对称载荷作用时
对称面上：
作用在所有微段上的可能内 力在虚变形上作之总虚功－内虚功
Wi l (FNd *Td * Md *)
Wi l (FNd * Td * M yd y * M zd z*)
外力在可能位移上所作之总虚功－外虚功We
变形体虚功原理：处于平衡状态的变形体，外力在 可能位移上所作外虚功 We，等于可能内力在虚变形 上所作内虚功 Wi，即
h
d (T1 T2 )dx
2
fA
(T1 T2 )l 2
2h
A
(T1
2
T2 )l
例. 图示矩形截面梁, A端固支, B端铰支. 现设梁的下、上表面温度分别升高 了T1和T2 , 且T1 > T2 ,而温度沿截面的高度按线性变化. 试用能量法求截面B 的转角.梁的尺寸如图, 材料的线胀系数为 . (第五届力学竞赛题)
n-1度静不定, n大时力法 求解不便
确定后, li 与FNi 亦确定
2. 以为基本未知量求解
三 方 面
li ai
FNi
n
Ei Ai li
ai
M A 0， FNiai Fa 0
结构力学稳定理论
解。即在荷载达到临界值前后，总势能由正定过渡到非正定θ。 3）如以原始平衡位置作为参考状态，当体θ系处于中性平衡P=Pcr
时，必有总势能θ=0。对于多自由度体系，结论仍然成立。
2）能量法
•在新的平衡位 置各杆端的相 对水平位移
A
YA=Py1/l
y1
Bk
R1=ky1
y2
kC
R2=ky2
Dλ P YD=Py2/l
l
l
l cos
2l sin 2
2
1 2
l能①2量给法出12步新l(骤的ly )平:2 衡 形12 式yl 2 ;②写出
体系具有足够的应变能克服荷载势能，使压杆恢复到原有平
衡位置)当θ=0，Π为极小值0。
对于稳定平衡状态，真实的位移使Π为极小值
2）P>k/l ，当θ≠0，Π恒小于零（Π为负定） (即U<UP表示体系缺 少足够的应变能克服荷载势能，压杆不能恢复到原有位置) 。当 θ=0，Π为极大值0。原始的平衡状态是不稳定的。
对于具有n找个新自的由平度衡的位结置构，，列新平的衡平方衡程形，式需E要I=∞n个独立的位
l
移参数确定，由在此新求的临平界衡荷形载式。下也可列出n个独立的平衡方程，
它们是以n个独立的位移参数为未知量的齐次代数方θ程组。根据
临P(l界Pl状Mkk态)A的静00 力θ特=0征，，原该始齐平次衡方程组除零解转外动（刚对应于原有平
静力法与能量法计算步骤(试卷答案)
第11章 结构的稳定计算习题解答习题 是非判断题（1）要提高用能量法计算临界荷载的精确度，不在于提高假设的失稳曲线的近似程度，而在于改进计算工具。
（ ）（2）对称结构承受对称荷载时总是按对称形式失稳。
（ ）（3）刚架的稳定问题总是可以简化为具有弹性支座的单根压杆进行计算。
（ ） （4）结构稳定计算时，叠加原理已不再适用。
（ ）（5）有限自由度体系用能量法求出的临界荷载是精确解。
（ ）（6）当结构处于不稳定平衡状态时，可以在原结构位置维持平衡，也可以在新的形式下维持平衡。
（ ）【解】（1）错误。
能量法计算临界荷载的精确度，直接取决于所假设的失稳曲线的近似程度。
（2）错误。
既可按对称形式失稳也可按反对称形式失稳。
（3）错误。
在能求出刚度系数的情况下，才可简化为具有弹性支座的单根压杆进行计算。
（4）正确。
一般情况下，结构的稳定计算中，既要考虑几何非线性也要考虑材料非线性，因此，不能采用适用于线性弹性理论的叠加原理。
（5）正确。
（6）错误。
习题 填空题（1）结构由稳定平衡到不稳定平衡，其临界状态的静力特征是平衡形式的 。
（2）临界荷载与压杆的支承情况有关，支承的刚度越大，则临界荷载越 。
（3）用能量法求无限自由度体系的临界荷载时，所假设的失稳曲线y (x )必须满足 条件，并尽量满足 条件。
（4）利用对称性，求习题（4）图所示结构的临界荷载F Pcr ＝ 。
习题（4）图（5）习题（5）图（a ）所示结构可简化为习题（5）图（b ）所示单根压杆计算，则弹簧抗转动刚度系数k ＝ 。
1=l3EI(a) (b)习题（5）图（6）习题（6）图（a ）所示结构可简化为习题（6）图（b ）计算，则抗移动弹簧刚度系数k 1＝ ，抗转动弹簧刚度系数k 2＝ 。
(a)(b)习题（6）图【解】（1）二重性。
（2）大。
（3）位移边界；力的边界。
（4）22l EIπ。
该对称结构的临界荷载，可按反对称失稳形式（即两端简支压杆）确定。
(建筑工程管理)建筑结构应按承载能力极限状态和正常使用极限状态设计
（建筑工程管理）建筑结构应按承载能力极限状态和正常使用极限状态设计概述建筑结构应按承载能力极限状态和正常使用极限状态设计。
前者指结构或构件达到最大承载力或达到不适于继续承载的变形时的极限状态；后者为结构或构件达到正常使用的某项规定限值时的极限状态[1]。
钢结构可能出现的承载能力极限状态有：①结构构件或连接因材料强度被超过而破坏；②结构转变为机动体系；③整个结构或其中壹部分作为刚体失去平衡而倾覆；④结构或构件丧失稳定；⑤结构出现过度塑性变形，不适于继续承载；⑥在重复荷载下构件疲劳断裂。
其中稳定问题是钢结构的突出问题，在各种类型的钢结构中，都可能遇到稳定问题，因稳定问题处理不利造成的事故也时有发生。
钢结构的失稳破坏钢结构因其优良的性能被广泛地应用于大跨度结构、重型厂房、高层建筑、高耸构筑物、轻型钢结构和桥梁结构等。
如果钢结构发生事故则会造成很大损失。
1907年，加拿大圣劳伦斯河上的魁北克桥，在用悬臂法架设桥的中跨桥架时，由于悬臂的受压下弦失稳，导致桥架倒塌，9000t钢结构变成壹堆废铁，桥上施工人员75人罹难。
大跨度箱形截面钢桥在1970年前后曾出现多次事故[2]。
美国哈特福德市（HartfordCity）的壹座体育馆网架屋盖，平面尺寸92m×110m，该体育馆交付使用后，于1987年1月18日夜突然坍塌[3]。
由于网架杆件采用了4个等肢角钢组成的十字形截面，其抗扭刚度较差；加之为压杆设置的支撑杆有偏心，不能起到预期的减少计算长度的作用，导致网架破坏[4]。
20世纪80年代，在我国也发生了数起因钢构件失稳而导致的事故[5]。
科纳科夫和马霍夫曾分析前苏联1951—1977年期间所发生的59起重大钢结构事故，其中17起事故是由于结构的整体或局部失稳造成的。
如原古比雪夫列宁冶金厂锻压车间在1957年末，7榀钢屋架因压杆提前屈曲，连同1200m2屋盖突然塌落。
高层建筑钢结构在地震中因失稳而破坏也不乏其例。
材料力学典型例题及解析 10.能量法典型习题解析
3
在 BE 段，以 B 为原点： M (x) = 3 x − (x + a) = x − a
2
2
则 wC
=
1 EI
∫⎡ a
⎢ ⎢⎣ 0
⎜⎜⎝⎛
F 4
x−
Fx 2 2a
⎟⎟⎠⎞⎜⎝⎛ −
x ⎟⎞ d 2⎠
∫ x + a ⎜⎛ − 0⎝
Fa ⎟⎞⎜⎛ − 4 ⎠⎝
a ⎟⎞ d 2⎠
x + ∫0a(－Fx)(－x)d
∑ 由 ∆ = n FNi ⋅ FNili 得
i =1
EA
∑ [ ] uA
=
5 i =1
FNi FNi l i EA
= 1 F ⋅1⋅l + (− EA
2F )(−
2)
2l = Fl (1+ 2 EA
2)
3、计算 A 点铅垂位移 wA
在 A 点加铅垂方向的单位力, 计算 FNi （i=1,…,5），各值标于图 d。
1⋅ F x l dx=
F
l
xdx=
Fl
EA
l EA
E Al 0
2EA
题2图
下面计算不考虑杆自重，而在 B 端施加力 F（图 d）的情况。 3、杆的应变能
这种情况下，杆的轴力沿轴线为一常量，即 FN (x) = F 。所以杆的应变能为
∫ ∫ Vε =
l FN2 (x) d x = 0 2EA
l F 2 d x = F 2l
4 用单位载荷法求图示曲杆 A、B 两点间的相对位移 ∆AB 。 忽略轴力及剪力对曲杆变形的影
响。
解题分析：利用对称性，可以取曲
F l D
A
l
材料力学习题册答案-第13章 能量法
第 十三 章 能 量 法一、选择题1．一圆轴在图1所示两种受扭情况下，其（ A ）。
A 应变能相同，自由端扭转角不同； B 应变能不同，自由端扭转角相同； C 应变能和自由端扭转角均相同； D 应变能和自由端扭转角均不同。
（图1）2．图2所示悬臂梁，当单独作用力F 时，截面B 的转角为θ，若先加力偶M ，后加F ，则在加F 的过程中，力偶M （ C ）。
A 不做功；B 做正功；C 做负功，其值为θM ；D 做负功，其值为θM 21。
3．图2所示悬臂梁，加载次序有下述三种方式：第一种为F 、M 同时按比例施加；第二种为先加F ，后加M ；第三种为先加M ，后加F 。
在线弹性范围内，它们的变形能应为（ D ）。
A 第一种大； B 第二种大； C 第三种大； D 一样大。
4．图3所示等截面直杆，受一对大小相等，方向相反的力F 作用。
若已知杆的拉压刚度为EA ，材料的泊松比为μ，则由功的互等定理可知，该杆的轴向变形为EAFlμ，l 为杆件长度。
（提示：在杆的轴向施加另一组拉力F 。
） A 0； B EAFb ； CEAFbμ； D 无法确定。
（图2） （图3）二、计算题1．图示静定桁架，各杆的拉压刚度均为EA 相等。
试求节点C 的水平位移。
解：解法1-功能原理，因为要求的水平位移与P 力方向一致，所以可以用这种方法。
由静力学知识可简单地求出各杆的内力，如下表所示。
()()EAaP EAPa EA Pa P C 22222212222++=∆可得出：()EAPaC 122+=∆解法2-卡氏定理或莫尔积分，这两种方法一致了。
则C 点水平位移为：()EAPaC 122+=∆2．图示刚架，已知各段的拉压刚度均为EA ，抗弯刚度均为EI 。
试求A 截面的铅直位移。
解：采用图乘法，如果不计轴向拉压，在A 点施加单位力，则刚架内力图和单位力图如图所示。
h Fl Fl l h Fl l l Fl EI A 23313221+=⋅⋅+⋅⋅=∆EA Fhdx EA F dx EA N N dx EA N N h h BC BC lAB AB AN=--+=+=∆⎰⎰⎰202010)1)((0故A 点总的铅直位移为：EAFhEI h Fl Fl A ++=∆33233．试求图示悬臂梁B 截面的挠度和转角（梁的EI 为已知常数）。
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第11章 结构的稳定计算习题解答习题11.1 是非判断题（1）要提高用能量法计算临界荷载的精确度，不在于提高假设的失稳曲线的近似程度，而在于改进计算工具。
（ ）（2）对称结构承受对称荷载时总是按对称形式失稳。
（ ）（3）刚架的稳定问题总是可以简化为具有弹性支座的单根压杆进行计算。
（ ） （4）结构稳定计算时，叠加原理已不再适用。
（ ）（5）有限自由度体系用能量法求出的临界荷载是精确解。
（ ）（6）当结构处于不稳定平衡状态时，可以在原结构位置维持平衡，也可以在新的形式下维持平衡。
（ ）【解】（1）错误。
能量法计算临界荷载的精确度，直接取决于所假设的失稳曲线的近似程度。
（2）错误。
既可按对称形式失稳也可按反对称形式失稳。
（3）错误。
在能求出刚度系数的情况下，才可简化为具有弹性支座的单根压杆进行计算。
（4）正确。
一般情况下，结构的稳定计算中，既要考虑几何非线性也要考虑材料非线性，因此，不能采用适用于线性弹性理论的叠加原理。
（5）正确。
（6）错误。
习题 12.2 填空题（1）结构由稳定平衡到不稳定平衡，其临界状态的静力特征是平衡形式的 。
（2）临界荷载与压杆的支承情况有关，支承的刚度越大，则临界荷载越 。
（3）用能量法求无限自由度体系的临界荷载时，所假设的失稳曲线y (x )必须满足 条件，并尽量满足 条件。
（4）利用对称性，求习题11.2（4）图所示结构的临界荷载F Pcr ＝ 。
习题11.2（4）图（5）习题11.2（5）图（a ）所示结构可简化为习题11.2（5）图（b ）所示单根压杆计算，则弹簧抗转动刚度系数k ＝ 。
1=l3EI(a) (b)习题11.2（5）图（6）习题11.2（6）图（a ）所示结构可简化为习题11.2（6）图（b ）计算，则抗移动弹簧刚度系数k 1＝ ，抗转动弹簧刚度系数k 2＝ 。
(a)(b)习题11.2（6）图【解】（1）二重性。
（2）大。
（3）位移边界；力的边界。
（4）22l EIπ。
该对称结构的临界荷载，可按反对称失稳形式（即两端简支压杆）确定。
（5）lEI 。
（6）33lEI ；l EI 3。
习题11.3 用静力法计算习题11.3图所示体系的临界荷载。
(a) (b) (c)习题11.3图【解】（1）给出失稳形式，如习题解11.3（a ）图所示。
由∑=0AM得P (3)0F kl y -= ∴Pcr 13F kl =(c)习题解11.3图（2） 给出失稳形式，如习题解11.3（b ）图所示。
由∑=0AM得P (2)0kl F y -= ∴Pcr 12F kl =（3）给出失稳形式，如习题解11.3（c ）图所示。
先求得支反力：P R 124F F k y l ⎛⎫=+⎪⎝⎭ 由∑=0AM得P 506kl F y ⎛⎫-=⎪⎝⎭∴Pcr 56F kl =习题11.4 用静力法计算习题11.4图所示体系的临界荷载。
k 为弹性铰的抗转动刚度系数（发生单位相对转角所需的力矩）。
习题11.4图【解】给出失稳形式，如习题解11.4图所示。
分析AC ，由0CM=∑得P 20y k F y l ⎛⎫⨯-= ⎪⎝⎭ P 20k F y l ⎛⎫-=⎪⎝⎭∴Pcr 2kF l=习题解11.4图习题11.5用静力法计算习题11.5图所示体系的临界荷载。
(a) (b)习题11.5图【解】（1）原体系可简化为习题解11.5（a）图所示。
弹性支承刚度系数为习题解11.5图33623lEIlEIk=⨯=可求得Pcr2132EIF kll==（2）原体系可简化为习题解11.3（b）图所示。
弹性支承刚度系数为4EIkl=可求得Pcr4k EIFh lh==习题11.6用能量法重做习题11.3（c）。
【解】变形能21111222522223372U ky y ky y ky=⨯⨯+⨯⨯=荷载势能P PU F∆=-，其中2221153()2()232212y yl l yl l l∆=⋅+⋅=总势能P PE U U=+由PddEy=及0y≠得P2557212k Fl-=∴Pcr56F kl=习题11.7用静力法求习题11.7图所示各结构的稳定方程。
EI /l (抗转动刚度)(1)(2)(3) (4)(5) 习题11.7图【解】（1）失稳曲线如习题解11.7（1）图所示。
微分方程为 P P 1()2EIy M F y F x θ''=-=-+ 或 2212y y x ααθ''+=- 其中 2PF EIα=该微分方程的通解为x x B x A y θαα21sin cos -+= 代入边界条件：0, 0; , 0; , x y x l y x l y θ'======- 所得齐次方程中，由θ,,B A 不全为零的条件（即系数行列式等于零）整理后得tan 0l l αα+=习题解11.7（1）图（2）失稳曲线如习题解11.7（2）图所示。
微分方程为P ()EIy M F y k θ''=-=--或 22P , F ky y EI EIαθα''+==通解为Pcos sin ky A x B x F ααθ=++。
代入边界条件：0, 0; 0, ; , 0x y x y x l y θ''====== 由θ,,B A 不全为零的条件，整理后得1tan 04l l αα+=习题解11.7（2）图（3）原结构可等效为习题解11.7（3）（a ）图所示具有弹性支承的压杆，失稳曲线如习题解11.7（3）（b ）图所示。
微分方程为习题解11.7（3）图P ()EIy M F y k x δ''=-=--或 22P , F k y y x EI EIδαα''+== 通解为 Pcos sin k y A x B x x F δαα=++由边界条件 0, 0; , ; , 0x y x l y x l y δ'====== 得稳定方程为333()1tan ()12l l l EI l l kl ααααα=-=-（4）原结构可等效为习题解11.7（4）（a ）图所示具有弹性支承的压杆，失稳曲线如习题解11.7（4）（b ）图所示。
微分方程为习题解11.7（4）图P EIy M F y ''=-=-22P0, F y y EIαα''+==该方程的通解为 x B x A y ααsin cos += 由边界条件 , ; , x l y x l y δθ'==== 得稳定方程为4tan =l l αα（5）原结构可等效为习题解11.7（5）（a ）图所示具有弹性支承的压杆，弹性支承的刚度系数可由子结构ACD 求出。
（a）FEI 3l 4k= =M (b) 图习题解11.7（5）图分析ACD ，如习题解11.7（5）（b ）图所示。
在A 点加单位力偶并作M 图，图乘得柔度系数为EI l 34=δ 则弹性支承的刚度系数为l EIk 431==δ该题的稳定方程为43tan ==EI kl l l αα 习题11.8 用能量法计算习题11.8图所示结构的临界荷载，已知弹簧刚度系数33lEI k =，设失稳曲线为(1cos )2xy l πδ=-。
习题11.8图【解】根据所假设的失稳曲线，可求得应变能及荷载势能如下 sin22xy llπδπ'=，22cos 42xy llππδ''=42222330113()d 22264lEI EI U k EI y x l l πδδδ''=+=+⎰222P P P P 01()d 216lF U F F y x lπ∆δ'=-=-=-⎰由P d()0d U U δ+=及0δ≠得Pcr 24.9F EI l =习题11.9 求习题11.9图所示结构的临界荷载。
已知各杆长为l ，EI ＝常数。
习题11.9图【解】（1）对称失稳2Pcr 2EIF l π=对称（2）反对称失稳F (a)(b)M (c) 图习题解11.9图取半结构分析，如习题解11.9（a ）图所示，可等效为习题解11.9（b ）图进行分析。
其中，弹性支承的刚度系数k ，可先由习题解11.9（c ）图所示弯矩图自乘求得柔度系数δ后，取倒数而得，为3221122122323l l l l l EI EI EIδ=⨯⨯+⨯⨯=故31l EIk ==δ在习题解11.9（b ）图中，由∑=0AM得P ()0F kl ∆-= 由此，反对称失稳时的临界荷载为Pcr 2=EI F kl l =反对称 经比较，原结构的临界荷载为Pcr Pcr 2EI F F l==反对称 习题11.10 试分别按对称失稳和反对称失稳求习题11.10图所示结构的稳定方程。
习题11.10图【解】（1）对称失稳(b)F (d)l(a)(c)EIl 3EIl k=习题解11.10图对称失稳时，可取半结构如习题解11.10（a ）图所示。
将其等效为习题解11.10（b ）图分析，求得稳定方程为22)(1)(1tan l lEIkll l l ααααα+=+=（2）反对称失稳反对称失稳时，可取半结构如习题解11.10（c ）图所示。
将其等效为习题解11.10（d ）图分析，求得稳定方程为3tan ==EIkll l αα 习题11.11 试导出习题11.11图所示桥墩的稳定方程。
设失稳时基础绕D 点转动，地基的抗转刚度系数为k 。
习题11.11图【解】计算简图如习题解11.11（a ）图所示，失稳形式如习题解11.11（b ）图所示。
习题解11.11图 由0DM=∑即P ()F a k δθθ+=求得P()ka F δθ=-。
微分方程为P EIy M F y ''=-=-22P0, F y y EIαα''+==通解为 x B x A y ααsin cos +=代入边界条件： 0, 0; , ; , x y x l y x l y δθ'====== 求得稳定方程为2tan ()l a kl l ll EI ααα⎛⎫+= ⎪⎝⎭。