创新大课堂2018届高三数学理一轮复习课时活页作业23

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创新大课堂2018届高三数学理一轮复习课时活页作业31

课时活页作业（三十一）[基础训练组]1．(2016·温州质检)设a ，b ∈R ，则“a ＞1且b ＞1”是“ab ＞1”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件[解析] a ＞1且b ＞1⇒ab ＞1；但ab ＞1，则a ＞1且b ＞1不一定成立，如a ＝－2，b ＝－2时，ab ＝4＞1.故选A.[答案] A2．设a 1bB.1a －b >1a C ．|a |>－b D.－a >－b[解析] 由题设得a <a －b <0，所以有1a －b <1a 成立，即1a －b >1a不成立． [答案] B3．已知p ＝a ＋1a －2，q ＝，其中a >2，x ∈R ，则p ，q 的大小关系是( ) A ．p ≥qB ．p >qC ．p <qD ．p ≤q[解析] p ＝a ＋1a －2＝a －2＋1a －2＋2≥2＋2＝4，当且仅当a ＝3时取等号．因为x 2－2≥－2，所以q ＝≤(12)－2＝4，当且仅当x ＝0时取等号．所以p ≥q . [答案] A4．(2016·晋城模拟)已知下列四个条件：①b ＞0＞a ，②0＞a ＞b ，③a ＞0＞b ，④a ＞b＞0，能推出1a ＜1b成立的有( ) A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 [解析] 运用倒数性质，由a ＞b ，ab ＞0可得1a ＜1b，②、④正确．又正数大于负数，①正确，③错误，故选C.[答案] C5．设a ，b 是非零实数，若a 0时，a 20，ab 符号不确定，故B 错．∵1ab 2－1a 2b ＝a －b a 2b 2<0，∴1ab 2<1a 2b ，故C 正确．D 中b a 与a b的大小不能确定．[答案] C6．设x ，y ∈R ，则“x ≥2且y ≥2”是“x 2＋y 2≥4”的________条件．[解析] ∵x ≥2且y ≥2，∴x 2＋y 2≥4，∴“x ≥2且y ≥2”是“x 2＋y 2≥4”的充分条件；而x 2＋y 2≥4不一定得出x ≥2且y ≥2，例如当x ≤－2且y ≤－2时，x 2＋y 2≥4亦成立，故“x ≥2且y ≥2”不是“x 2＋y 2≥4”的必要条件．∴“x ≥2且y ≥2”是“x 2＋y 2≥4”的充分不必要条件．[答案] 充分不必要7．若角α，β满足－π2＜α＜β＜π2，则2α－β的取值范围是________． [解析] ∵－π2＜α＜β＜π2，∴－π＜2α＜π，－π2＜－β＜π2，∴－3π2＜2α－β＜3π2，又∵2α－β＝α＋(α－β)＜α＜π2，∴－3π2＜2α－β＜π2. [答案] ⎝⎛⎭⎫－3π2，π2 8．已知f (n )＝n 2＋1－n ，g (n )＝n －n 2＋1，φ(n )＝12n(n ∈N *，n >2)，则f (n )，g (n )，φ(n )的大小关系是________．[解析] f (n )＝n 2＋1－n ＝1n 2＋1＋n <12n ＝φ(n )， g (n )＝n －n 2－1＝1n ＋n 2－1>12n＝φ(n )， ∴f (n )<φ(n )<g (n )．[答案] f (n )<φ(n )<g (n )9．(1)设x ＜y ＜0，试比较(x 2＋y 2)(x －y )与(x 2－y 2)·(x ＋y )的大小；(2)已知a ，b ，x ，y ∈(0，＋∞)且1a ＞1b ，x ＞y ，求证：x x ＋a ＞y y ＋b. [解析] 法一 (x 2＋y 2)(x －y )－(x 2－y 2)(x ＋y )＝(x －y )[x 2＋y 2－(x ＋y )2]＝－2xy (x －y )，∵x ＜y ＜0，∴xy ＞0，x －y ＜0，∴－2xy (x －y )＞0，∴(x 2＋y 2)(x －y )＞(x 2－y 2)(x ＋y )．法二 ∵x ＜y ＜0，∴x －y ＜0，x 2＞y 2，x ＋y ＜0.∴(x 2＋y 2)(x －y )＜0，(x 2－y 2)(x ＋y )＜0，∴0＜(x 2＋y 2)(x －y )(x 2－y 2)(x ＋y )＝x 2＋y 2x 2＋y 2＋2xy＜1， ∴(x 2＋y 2)(x －y )＞(x 2－y 2)(x ＋y )．(2)证明：x x ＋a －y y ＋b ＝bx －ay (x ＋a )(y ＋b ). ∵1a ＞1b且a ，b ∈(0，＋∞)，∴b ＞a ＞0，又∵x ＞y ＞0，∴bx ＞ay ＞0，∴bx －ay (x ＋a )(y ＋b )＞0，∴x x ＋a ＞y y ＋b. 10．甲、乙两人同时从寝室到教室，甲一半路程步行，一半路程跑步，乙一半时间步行，一半时间跑步，如果两人步行速度、跑步速度均相同，试判断谁先到教室？[解析] 设从寝室到教室的路程为s ，甲、乙两人的步行速度为v 1，跑步速度为v 2，且v 1＜v 2.甲所用的时间t 甲＝s 2v 1＋s 2v 2＝s (v 1＋v 2)2v 1v 2，乙所用的时间t 乙＝2s v 1＋v 2， ∴t 甲t 乙＝s (v 1＋v 2)2v 1v 2×v 1＋v 22s ＝(v 1＋v 2)24v 1v 2 ＝v 21＋v 22＋2v 1v 24v 1v 2＞4v 1v 24v 1v 2＝1. ∵t 甲＞0，t 乙＞0，∴t 甲＞t 乙，即乙先到教室．[能力提升组]11．若m ＜0，n ＞0且m ＋n ＜0，则下列不等式中成立的是( )A ．－n ＜m ＜n ＜－mB ．－n ＜m ＜－m ＜nC ．m ＜－n ＜－m ＜nD ．m ＜－n ＜n ＜－m[解析] 法一：(取特殊值法)令m ＝－3，n ＝2分别代入各选项检验即可．法二：m ＋n ＜0⇒m ＜－n ⇒n ＜－m ，又由于m ＜0＜n ，故m ＜－n ＜n ＜－m 成立．[答案] D12．(2016·黄冈质检)已知x >y >z ，x ＋y ＋z ＝0，则下列不等式中成立的是( )A ．xy >yzB ．xz >yzC ．xy >xzD ．x |y |>z |y |[解析] 因为x >y >z ，x ＋y ＋z ＝0，所以3x >x ＋y ＋z ＝0,3z <x ＋y ＋z ＝0，所以x >0，z <0.所以由⎩⎨⎧x >0y >z 可得xy >xz . [答案] C13．(2016·济南调研)设a >1，且m ＝log a (a 2＋1)，n ＝log a (a －1)，p ＝log a (2a )，则m ，n ，p 的大小关系为( )A ．n >m >pB ．m >p >nC ．m >n >pD ．p >m >n[解析] 因为a >1，所以a 2＋1－2a ＝(a －1)2>0，即a 2＋1>2a ，又2a >a －1，所以由对数函数的单调性可知log a (a 2＋1)>log a (2a )>log a (a －1)，即m >p >n .[答案] B14．(2015·北京东城区统测)某种饮料分两次提价，提价方案有两种，方案甲：第一次提价p %，第二次提价q %；方案乙：每次都提价p ＋q 2%.若p >q >0，则提价多的方案是________． [解析] 设原价为a ，方案甲提价后为a (1＋p %)(1＋q %)，方案乙提价后为a ⎝⎛⎭⎫1＋p ＋q 2%2，∵⎝⎛⎭⎫1＋p ＋q 2%2＝⎝⎛⎭⎫1＋p %＋1＋q %22≥()(1＋p %)(1＋q %)2＝(1＋p %)(1＋q %)，又∵p >q >0，∴等号不成立，则提价多的为方案乙．[答案] 乙15．设f (x )＝ax 2＋bx,1≤f (－1)≤2,2≤f (1)≤4，求f (－2)的取值范围．[解] 法一：设f (－2)＝mf (－1)＋nf (1) (m ，n 为待定系数)，则4a －2b ＝m (a －b )＋n (a ＋b )，即4a －2b ＝(m ＋n )a ＋(n －m )b .于是得⎩⎪⎨⎪⎧ m ＋n ＝4n －m ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝3n ＝1， ∴f (－2)＝3f (－1)＋f (1)．又∵1≤f (－1)≤2,2≤f (1)≤4，∴5≤3f (－1)＋f (1)≤10，故5≤f (－2)≤10.法二：由⎩⎪⎨⎪⎧ f －(1)＝a －b f (1)＝a ＋b ，得⎩⎨⎧ a ＝12[f (－1)＋f (1)]b ＝12[f (1)－f (－1)]，∴f (－2)＝4a －2b ＝3f (－1)＋f (1)．又∵1≤f (－1)≤2,2≤f (1)≤4，∴5≤3f (－1)＋f (1)≤10，故5≤f (－2)≤10.法三：由⎩⎪⎨⎪⎧1≤a －b ≤22≤a ＋b ≤4确定的平面区域如图阴影部分，当f (－2)＝4a －2b 过点A (32，12)时，取得最小值4×32－2×12＝5，当f (－2)＝4a －2b 过点B (3,1)时，取得最大值4×3－2×1＝10，∴5≤f (－2)≤10。

创新大课堂2018届高三数学理一轮复习课件：第二章函数、导数及其应用第3节精品

质疑探究：周期函数 y＝f(x)(x∈R)的周期唯一吗？提示：不唯一．若 T 是函数 y＝f(x)(x∈R)的一个周期，则 nT(n∈Z，且 n≠0)也是 f(x)的周期，即 f(x＋nT)＝f(x)．
[小题查验] 1．给出下列命题： ①函数 f(x)＝0，x∈(0，＋∞)既是奇函数又是偶函数． ②若函数 y＝f(x＋a)是偶函数，则函数 y＝f(x)关于直线 x ＝a 对称． ③若函数 y＝f(x＋b)是奇函数，则函数 y＝f(x)关于点(b,0) 中心对称． ④函数 f(x)为 R 上的奇函数，且 f(x＋2)＝f(x)，则 f(2 016) ＝2016.
＝－fx＋1 2＝
1 1
＝f(x)．
fx
故函数的周期为 4.
∴f(105.5)＝f(4×27－2.5)＝f(－2.5)＝f(2.5)．
∵2≤2.5≤3，由题意，得 f(2.5)＝2.5.
∴f(105.5)＝2.5.
[答案] (1)D (2)2.5
拓展提高 (1)判断函数周期性的两个方法 ①定义法．②图象法．
4．已知 f(x)＝ax2＋bx 是定义在[a－1,2a]上的偶函数，那么 a＋b 的值是________．
[解析] 由 f(x)是偶函数知，f(x)＝f(－x)，
即 ax2＋bx＝a(－x)2－bx，∴2bx＝0，∴b＝0.
又 f(x)的定义域关于原点对称，
即(a－1)＋2a＝0，∴a＝13，故 a＋b＝13.
提醒：应用函数的周期性时，应用利用函数的周期性，可将其他区间上的求值，求零点个数，求解析式等问题，转化为已知区间上的相应问题，进而求解．
即时训练 (1)已知 f(x)是定义在实数集 R 上的奇函数，对
任意的实数 x，f(x－2)＝f(x＋2)，当 x∈(0,2)时，f(x)＝－x2，则

创新大课堂2018届高三数学理一轮复习课时活页作业33

课时活页作业（三十三）[基础训练组]1．(2016·潍坊质检)不等式4x －2≤x －2的解集是( )A ．(－∞，0]∪(2,4]B ．[0,2)∪[4，＋∞)C ．[2,4)D ．(－∞，2]∪(4，＋∞)[解析] 原不等式可化为－x 2＋4xx －2≤0.即⎩⎪⎨⎪⎧x (x －4)(x －2)≥0，x －2≠0.由标根法知，0≤x <2或x ≥4. [答案] B2．已知不等式ax 2－bx －1≥0的解集是[－12，－13]，则不等式x 2－bx －a <0的解集是( )A ．(2,3)B ．(－∞，2)∪(3，＋∞)C ．(13，12)D ．(－∞，13)∪(12，＋∞)[解析] 由题意知－12，－13是方程ax 2－bx －1＝0的根，所以由根与系数的关系得－12＋(－13)＝b a ，－12×(－13)＝－1a .解得a ＝－6，b ＝5，不等式x 2－bx －a <0即为x 2－5x ＋6<0，解集为(2,3)．[答案] A3．(2016·南宁模拟)在R 上定义运算⊗：x ⊗y ＝x (1－y )．若不等式(x －a )⊗(x ＋a )＜1对任意实数x 成立，则( )A ．－1＜a ＜1B ．0＜a ＜2C ．－12＜a ＜32D ．－32＜a ＜12[解析] (x －a )⊗(x ＋a )＜1对任意实数x 成立，即(x －a )·(1－x －a )＜1对任意实数x 成立． ∴x 2－x －a 2＋a ＋1＞0恒成立，∴Δ＝1－4(－a 2＋a ＋1)＜0，∴－12＜a ＜32.[答案] C4．已知函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，不等式f (x )<0的解集为{x |x <－3或x >1}，则函数y ＝f (－x )的图象可以为( )[解析] 由f (x )<0的解集为{x |x <－3或x >1}知a <0，y ＝f (x )的图象与x 轴交点为(－3,0)，(1,0)，∴f (－x )图象开口向下，与x 轴交点为(3,0)，(－1,0)．[答案] B5．(2015·湖北八校联考)“0<a <1”是“ax 2＋2ax ＋1>0的解集是实数集R ”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件[解析] 当a ＝0时，1>0，显然成立；当a ≠0时，⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，Δ＝4a 2－4a ＜0.故ax 2＋2ax ＋1>0的解集是实数集R 等价于0≤a <1.因此，“0<a <1”是“ax 2＋2ax ＋1>0的解集是实数集R ”的充分而不必要条件．[答案] A6．已知关于x 的不等式ax －1x ＋1＜0的解集是(－∞，－1)∪⎝⎛⎭⎫－12，＋∞，则a ＝________. [解析] 由于不等式ax －1x ＋1＜0的解集是(－∞，－1)∪⎝⎛⎭⎫－12，＋∞，故－12应是ax －1＝0的根，∴a ＝－2.[答案] －27．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1(x ＜0)，－x －1(x ≥0)，则不等式x ＋(x ＋1)f (x －1)≤3的解集是________．[解析] ∵f (x －1)＝⎩⎪⎨⎪⎧ x ， x ＜1－x ， x ≥1，∴x ＋(x ＋1)f (x －1)≤3等价于⎩⎪⎨⎪⎧x ＜1x ＋(x ＋1)x ≤3或⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1x ＋(x ＋1)(－x )≤3，解得－3≤x <1或x ≥1，即x ≥－3. [答案] {x |x ≥－3}8．(2016·西安检测)已知函数f (x )＝|x －2|，g (x )＝－|x ＋3|＋m .若函数f (x )的图象恒在函数g (x )图象的上方，则m 的取值范围为________．[解析] 函数f (x )的图象恒在函数g (x )图象的上方，即为|x －2|>－|x ＋3|＋m 对任意实数x 恒成立，即|x －2|＋|x ＋3|>m 恒成立．因为对任意实数x 恒有|x －2|＋|x ＋3|≥|(x －2)－(x ＋3)|＝5，所以m <5，即m 的取值范围是(－∞，5)．[答案] (－∞，5)9．已知函数f (x )＝ax 2＋2ax ＋1的定义域为R . (1)求a 的取值范围； (2)若函数f (x )的最小值为22，解关于x 的不等式x 2－x －a 2－a ＜0. 解：(1)∵函数f (x )＝ax 2＋2ax ＋1的定义域为R ， ∴ax 2＋2ax ＋1≥0恒成立，当a ＝0时，1≥0恒成立．当a ≠0时，则有⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，Δ＝(2a )2－4a ≤0，解得0＜a ≤1，综上可知，a 的取值范围是[0,1]． (2)∵f (x )＝ax 2＋2ax ＋1＝a (x ＋1)2＋1－a ， ∵a ＞0，∴当x ＝－1时，f (x )min ＝1－a ，由题意得，1－a ＝22，∴a ＝12，∴不等式x 2－x －a 2－a ＜0可化为x 2－x －34＜0.解得－12＜x ＜32，所以不等式的解集为⎝⎛⎭⎫－12，32. 10．设二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，函数F (x )＝f (x )－x 的两个零点为m ，n (m ＜n )． (1)若m ＝－1，n ＝2，求不等式F (x )＞0的解集； (2)若a ＞0，且0＜x ＜m ＜n ＜1a，比较f (x )与m 的大小．解：(1)由题意知，F (x )＝f (x )－x ＝a (x －m )(x －n )，当m ＝－1，n ＝2时，不等式F (x )＞0，即a (x ＋1)(x －2)＞0.那么当a ＞0时，不等式F (x )＞0的解集为{x |x ＜－1或x ＞2}；当a ＜0时，不等式F (x )＞0 的解集为{x |－1＜x ＜2}．(2)由函数F (x )＝f (x )－x 的两个零点为m ，n ，得f (x )－m ＝a (x －m )(x －n )＋x －m ＝(x －m )(ax －an ＋1)，∵a ＞0，且0＜x ＜m ＜n ＜1a ，∴x －m ＜0,1－an ＋ax ＞0.∴f (x )－m ＜0，即f (x )＜m .[能力提升组]11．不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集为{x |－1<x <2}，那么不等式a (x 2＋1)＋b (x －1)＋c >2ax 的解集为( )A ．{x |0<x <3}B ．{x |x <0，或x >3}C ．{x |－2<x <1}D ．{x |x <－2，或x >1}[解析] 由题意知a <0且－1,2是方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两根，∴⎩⎨⎧－b a＝1ca ＝－2，∴b ＝－a ，c ＝－2a ，∴不等式a (x 2＋1)＋b (x －1)＋c >2ax ，即为a (x 2＋1)－a (x －1)－2a >2ax ，∴x 2－3x <0，∴0<x <3.[答案] A12．(2016·洛阳诊断)若不等式x 2＋ax －2＞0在区间[1,5]上有解，则a 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫－235，＋∞ B.⎣⎡⎦⎤－235，1 C ．(1，＋∞)D.⎝⎛⎦⎤－∞，－235 [解析] 由Δ＝a 2＋8＞0，知方程恒有两个不等实根，又知两根之积为负，所以方程必有一正根、一负根．于是不等式在区间[1,5]上有解的充要条件是f (5)≥0，f (1)≤0，解得a ≥－235，且a ≤1，故a 的取值范围为⎣⎡⎦⎤－235，1. [答案] B13．(2016·温州模拟)若关于x 的不等式4x －2x ＋1－a ≥0在[1,2]上恒成立，则实数a 的取值范围为________．[解析] ∵4x －2x ＋1－a ≥0在[1,2]上恒成立，∴4x －2x ＋1≥a 在[1,2]上恒成立．令y ＝4x －2x ＋1＝(2x )2－2×2x ＋1－1＝(2x －1)2－1.∵1≤x ≤2，∴2≤2x ≤4.由二次函数的性质可知：当2x ＝2，即x ＝1时，y 有最小值0.∴a 的取值范围为(－∞，0]．[答案] (－∞，0]14．设函数f (x )＝ax 3－3x ＋1，若对于任意x ∈[－1,1]都有f (x )≥0成立，求实数a 的值． [解] (1)若x ＝0，则不论a 取何值，f (x )＝1>0恒成立．(2)若x ∈(0,1]时，f (x )＝ax 3－3x ＋1≥0化为a ≥3x 2－1x 3.设g (x )＝3x 2－1x 3，则g ′(x )＝3(1－2x )x 4.∴g (x )在区间⎝⎛⎦⎤0，12上单调递增，在区间⎣⎡⎦⎤12，1上单调递减． ∴g (x )max ＝g (12)＝4，从而a ≥4.(3)若x ∈[－1,0)时，f (x )＝ax 3－3x ＋1≥0化为a ≤3x 2＝1x 3.设h (x )＝3x 2－1x 3，则h ′(x )＝3(1－2x )x 4，∴h (x )在[－1,0)上单调递增． ∴h (x )min ＝h (－1)＝4，从而a ≤4. 综上所述，实数a 的值为4.15．甲、乙两地相距500千米，一辆货车从甲匀速行驶到乙，规定速度不得超过100千米/时．已知货车每小时的运输成本(以元为单位)由可变部分和固定部分组成：可变部分与速度v (千米/时)的平方成正比，比例系数为0.01；固定部分为a 元(a >0)．(1)把全程运输成本y (元)表示为速度v (千米/时)的函数，并指出这个函数的定义域； (2)为了使全程运输成本最小，汽车应以多大速度行驶？解：(1)依题意知汽车从甲地匀速行驶到乙地所用时间为500v ，则全程运输成本为y ＝a ·500v ＋0.01v 2·500v ＝500a v ＋5v ，则y ＝500av ＋5v ，v ∈(0,100]．(2)依题意知a ，v 都为正数，则500av ＋5v ≥2 500a v ×5v ＝100a ，当且仅当500av ＝5v ，即v ＝10a 时取等号．若10a ≤100，即0<a ≤100时，当v ＝10a 时，全程运输成本y 最小．若10a >100，即a >100时，则当v ∈(0,100]时，可以证明函数y ＝500av ＋5v 是减函数，即此时当v ＝100时，全程运输成本y 最小．综上所得，当0<a ≤100时，行驶速度应为v ＝10a 千米/时，全程运输成本最小；当a >100时，行驶速度应为v ＝100千米/时，全程运输成本最小．。

2018版高中数学(理)一轮全程复习(课时作业)第一章集合与常用逻辑用语(三)含解析

A．p∧q B．p∨qC．p∧（綈q）D．綈q解析：令t＝x2－2x，则函数y＝log2（x2－2x）化为y＝log2t，由x2－2x〉0，得x<0或x>2,所以函数y＝log2(x2－2x)的定义域为(－∞，0）∪(2，＋∞）．函数t＝x2－2x的图象是开口向上的抛物线,且对称轴方程为x＝1，所以函数t＝x2－2x在(－∞，0)∪（2，＋∞）上的增区间为(2，＋∞）．又因为函数y＝log2t是增函数，所以复合函数y＝log2（x2－2x）的单调增区间是（2，＋∞)，所以命题p为假命题．由3x>0，得3x＋1〉1，所以0<错误!<1，所以函数y＝错误!的值域为（0，1），故命题q为真命题．所以p∧q为假命题，p∨q为真命题，p∧（綈q）为假命题，綈q为假命题．故选B。

答案:B5．（2017·山东临沂一模，5）下列四个结论中正确的个数是（)①“x2＋x－2>0”是“x〉1”的充分不必要条件；②命题“∀x∈R，sin x≤1”的否定是“∃x0∈R,sin x0>1”;③“若x＝错误!，则tan x＝1”的逆命题为真命题；④若f(x)是R上的奇函数,则f（log32)＋f（log23)＝0.A．1 B．2C．3 D．4解析:对于①,由x2＋x－2>0解得x<－2或x>1,故“x2＋x－2〉0"是“x>1”的必要不充分条件,故①错误，对于②，命题“∀x∈R,sin x≤1”的否定是“∃x0∈R,sin x0〉1"，故②正确，对于③，“若x＝错误!，则tan x＝1”的逆命题为“若tan x＝1，则x＝错误!"，若tan x＝1，则x＝kπ＋错误!(k∈Z)，故命题“若tan x＝1，则x＝错误!”为假命题,故③错误,对于④,f（x）是R上的奇函数,则f(－x)＋f(x)＝0，∵log32＝错误!解析：在①中,命题p是真命题，命题q也是真命题，故“p∧（綈q）"是假命题是正确的．在②中，由l1⊥l2，得a＋3b＝0，所以②不正确．在③中“设a,b∈R，若ab≥2，则a2＋b2>4”的否命题为：“设a,b∈R，若ab<2，则a2＋b2≤4”正确．答案：①③9．已知命题p：“存在a>0,使函数f（x)＝ax2－4x在(－∞，2］上单调递减"，命题q：“存在a∈R，使∀x∈R,16x2－16（a－1)x＋1≠0"．若命题“p∧q"为真命题，则实数a的取值范围________．解析：若p为真，则对称轴x＝－错误!＝错误!在区间(－∞，2]的右侧，即错误!≥2，∴0〈a≤1。

【课标通用】2018届高考数学(理)一轮课件：23-数列的综合问题(含答案)

=10+26+42+…+234=
15× (10+234) =1 2
830.
考点51
考点52
试做真题
高手必备萃取高招对点精练
4.(2016课标Ⅱ,理17)Sn为等差数列{an}的前n项和,且a1=1,S7=28.记 bn=[lg an],其中[x]表示不超过x的最大整数,如[0.9]=0,[lg 99]=1. (1)求b1,b11,b101; (2)求数列{bn}的前1 000项和. 【解】 (1)设{an}的公差为d,据已知有7+21d=28,解得d=1. 所以{an}的通项公式为an=n. b1=[lg 1]=0,b11=[lg 11]=1,b101=[lg 101]=2. 0,1 ≤ �� < 10, 1,10 ≤ �� < 100, (2)因为 bn= 2,100 ≤ �� < 1 000, 3,�� = 1 000,
��a
n+ n+1 1 1+ (a>0,a≠1)
n
裂项方法 1 1 1 1 = n(n + k) k n n + k 1 1 1 1 = 4n2 -1 2 2n-1 2n + 1 1 = n+1− n n+ n+1 1 loga 1 + =loga(n+1)-logan
.
考点51
考点52
试做真题
高手必备萃取高招对点精练
3.(2012课标,理16)数列{an}满足an+1+(-1)nan=2n-1,则{an}的前60项和为 . 【答案】 1 830 【解析】 ∵an+1+(-1)nan=2n-1, ∴a2=1+a1,a3=2-a1,a4=7-a1,a5=a1,a6=9+a1,a7=2-a1,a8=15-a1, a9=a1,a10=17+a1,a11=2-a1,a12=23-a1,…,a57=a1,a58=113+a1, a59=2-a1,a60=119-a1, ∴a1+a2+…+a60=(a1+a2+a3+a4)+(a5+a6+a7+a8)+…+(a57+a58+a5 9+a60)

创新大课堂2018届高三数学理一轮复习课件：第五章数

7．等差数列的最值大值；若在等差数列{an}中，a1>0，d<0，则Sn存在最______ 小值． a1<0，d>0，则Sn存在最____
质疑探究：等差数列通项公式与前 n 项和公式的推导分别用了什么方法？
提示：前者用的是叠加法，后者用的是倒序相加法．
[ 小题查验] 1．给出下列命题： ①若一个数列从第 2 项起每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列． ②数列{an}为等差数列的充要条件是对任意 n∈N*，都有 2an＋1＝an＋an＋2. ③等差数列{an}的单调性是由公差 d 决定的． ④数列{an}为等差数列的充要条件是其通项公式为 n 的一次函数．
③正确．当 d>0 时为递增数列；d＝0 时为常数列；d<0 时为递减数列． ④错误．根据等差数列的通项公式，an＝a1＋(n－1)d＝dn ＋(a1－d)，只有当 d≠0 时，等差数列的通项公式才是 n 的一次函数，否则不是．
nn－1 ⑤错误．根据等差数列的前 n 项和公式，Sn＝na1＋ 2 d 2 d d＝2n ＋(a1－2)n, 显然只有公差 d≠0 时才是关于 n 的常数项为 0 的二次函数，否则不是(甚至也不是 n 的一次函数，即 a1＝d ＝0 时). 故选 B.
[ 答案] B
2．(2016· 海淀质检)等差数列{an}中，a2＝3，a3＋a4＝9，则 a1a6 的值为( A．14 C．2 ) B．18 D．27
a1＋d＝3，依题意得 2a1＋5d＝9，
[ 解析]
由此解得 d＝1，a1＝2，
a6＝a1＋5d＝7，a1a6＝14.
[ 答案] A
1 1 19 a1＝2，所以 a10＝2＋9×1＝ 2 ，故选 B.

创新大课堂2018届高三数学理一轮复习课件：第三章三角函数、解三角形第3节精品

【名师说“法”】
求三角函数单调区间的两种方法] (1)代换法：就是将比较复杂的三角函数处理后的整体当作一个角u(或t)，利用基本三角函数的单调性来求所要求的三角函数的单调区间． (2)图象法：函数的单调性表现在图象上是：从左到右，图象上升趋势的区间为单调递增区间，图象下降趋势的区间为单调递减区间，画出三角函数的图象，结合图象易求它的单调区间．提醒：求解三角函数的单调区间时若x的系数为负应先化为正，同时切莫漏掉考虑函数自身的定义域．
角度一三角函数的周期
1．函数 y＝－2cos2(π4＋x)＋1 是(
)
A．最小正周期为 π 的奇函数
B．最小正周期为 π 的偶函数
画出[0,2π]上 y＝sin x 和 y＝cos x 的图象，
如图所示．
在[0,2π]内，满足 sin x＝cos x 的 x 为π4，54π，再结合正弦、
余弦函数的周期是
2π
，
所
以
原
函
数
的
定
义
域
为
{x|2kπ
＋
π 4
≤x≤2kπ＋54π，k∈Z}．
法二：利用三角函数线，画出满足条件的终边范围(如图阴影部分所示)，
[解析] 将 x＝π3分别代入两个函数，得到 sin(23π＋φ)＝12，
解得23π＋φ＝π6＋2kπ(k∈Z)或23π＋φ＝56π＋2kπ(k∈Z)，化简解得
φ＝－π2＋2kπ(k∈Z)或 φ＝π6＋2kπ(k∈Z)．又 φ∈[0，π)，故 φ＝
π
6.
[答案]
π 6
考点一三角函数的定义域、值域问题(基础型考点——自主练透)
________．
[解析] 由 2x＋π4＝kπ(k∈Z)得，x＝k2π－π8(k∈Z)．

创新大课堂2018届高三数学理一轮复习课时活页作业7 含

课时活页作业（七）[基础训练组]1．已知f (x )＝2x ＋2－x ，若f (a )＝3，则f (2a )等于( )A ．5B ．7C ．9D ．11[解析] 由f (a )＝3得2a ＋2－a ＝3，两边平方得22a ＋2－2a＋2＝9，即22a ＋2－2a＝7，故f (2a )＝7.[答案] B 2．函数的值域是( )A ．RB ．(0，＋∞)C ．(2，＋∞)D.⎝⎛⎭⎫12，＋∞[解析] ∵－x 2＋2x ＝－(x －1)2＋1≤1， ∴≥12，故选D. [答案] D3．函数y ＝xa x|x |(0＜a ＜1)图象的大致形状是( )[解析] 函数定义域为{x |x ∈R ，x ≠0}，且y ＝xa x |x |＝⎩⎪⎨⎪⎧a x，x ＞0，－a x ，x ＜0.当x ＞0时，函数是一个指数函数，因为0＜a ＜1，所以函数在(0，＋∞)上是减函数；当x ＜0时，函数图象与指数函数y ＝a x (x ＜0,0＜a ＜1)的图象关于x 轴对称，在(－∞，0)上是增函数．[答案] D4．若函数f (x )＝a |2x －4|(a ＞0，a ≠1)，满足f (1)＝19，则f (x )的单调递减区间是( )A ．(－∞，2]B ．[2，＋∞)C ．[－2，＋∞)D ．(－∞，－2][解析] 由f (1)＝19，得a 2＝19，∴a ＝13⎝⎛⎭⎫a ＝－13舍去，即f (x )＝⎝⎛⎭⎫13|2x －4|.由于y ＝|2x －4|在(－∞，2]上递减，在[2，＋∞)上递增，所以f (x )在(－∞，2]上递增，在[2，＋∞)上递减．故选B. [答案] B5．若关于x 的方程|a x －1|＝2a (a ＞0，a ≠1)有两个不等实根，则a 的取值范围是( ) A ．(0,1)∪(1，＋∞) B ．(0,1) C ．(1，＋∞)D.⎝⎛⎭⎫0，12 [解析] 方程|a x －1|＝2a (a ＞0且a ≠1)有两个实数根转化为函数y ＝|a x －1|与y ＝2a 有两个交点．①当0＜a ＜1时，如图(1)，∴0＜2a ＜1，即0＜a ＜12.②当a ＞1时，如图(2)，而y ＝2a ＞1不符合要求．综上，0＜a ＜12.[答案] D 6．函数f (x )＝＋m (a ＞1)恒过点(1,10)，则m ＝________.[解析] f (x )＝＋m 在x 2＋2x －3＝0时过定点(1,1＋m )或(－3,1＋m )，∴1＋m ＝10，解得m ＝9.[答案] 97．(2014·新课标高考全国卷Ⅰ)设函数f (x )＝则使得f (x )≤2成立的x 的取值范围是________．[解析] 当x ＜1时，由e x －1≤2，得x ＜1；当x ≥1时，由x 13 ≤2，解得1≤x ≤8，综合可知x 的取值范围为x ≤8.[答案] (－∞，8]8．若函数f (x )＝a x －x －a (a ＞0，且a ≠1)有两个零点，则实数a 的取值范围是________． [解析] 令a x －x －a ＝0即a x ＝x ＋a ，若0＜a ＜1，显然y ＝a x 与y ＝x ＋a 的图象只有一个公共点；若a ＞1，y ＝a x 与y ＝x ＋a 的图象如图所示． [答案] (1，＋∞) 9．(1)计算：10．已知定义在R 上的函数f (x )＝2x －12|x |.(1)若f (x )＝32，求x 的值；(2)若2t f (2t )＋mf (t )≥0对于t ∈[1,2]恒成立，求实数m 的取值范围． [解] (1)当x ＜0时，f (x )＝0，无解；当x ≥0时，f (x )＝2x －12x ，由2x －12x ＝32，得2·22x －3·2x －2＝0，看成关于2x 的一元二次方程，解得2x ＝2或2x ＝－12，∵2x ＞0，∴x ＝1.(2)当t ∈[1,2]时，2t ⎝⎛⎭⎫22t －122t ＋m ⎝⎛⎭⎫2t －12t ≥0，即m (22t －1)≥－(24t －1)，∵22t －1＞0， ∴m ≥－(22t ＋1)，∵t ∈[1,2]，∴－(22t ＋1)∈[－17，－5]，故m 的取值范围是[－5，＋∞)．[能力提升组]11．设函数f (x )＝2x 1＋2x －12，[x ]表示不超过x 的最大整数，则函数y ＝[f (x )]的值域是( )A ．{0,1}B ．{0，－1}C ．{－1,1}D ．{1,1}[解析] f (x )＝1＋2x －11＋2x －12＝12－11＋2x .∵1＋2x ＞1，∴f (x )的值域是⎝⎛⎭⎫－12，12. ∴y ＝[f (x )]的值域是{0，－1}． [答案] B12．偶函数f (x )满足f (x －1)＝f (x ＋1)，且在x ∈[0,1]时，f (x )＝x ，则关于x 的方程f (x )＝⎝⎛⎭⎫110x 在x ∈[0,4]上解的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4[解析] 由f (x －1)＝f (x ＋1)可知T ＝2.∵x ∈[0,1]时，f (x )＝x ，又∵f (x )是偶函数， ∴可得图象如图．∴f (x )＝⎝⎛⎭⎫110x在x ∈[0,4]上解的个数是4个．故选D. [答案] D13．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(1－3a )x ＋10a ，x ≤7，a x －7，x ＞7是定义域上的递减函数，则实数a 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫13，12 B.⎝⎛⎦⎤13，611 C.⎣⎡⎭⎫12，23D.⎝⎛⎦⎤12，611[解析] ∵函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(1－3a )x ＋10a ，x ≤7，a x －7，x ＞7是定义域上的递减函数，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 1－3a ＜0，0＜a ＜1，(1－3a )×7＋10a ≥a 0，即⎩⎪⎨⎪⎧1－3a ＜0，0＜a ＜1，7－11a ≥1，解得13＜a ≤611.[答案] B14．已知函数f (x )＝2x －12x ，函数g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f (x )，x ≥0，f (－x )，x ＜0，则函数g (x )的最小值是________．[解析] 当x ≥0时，g (x )＝f (x )＝2x －12x 为单调增函数，所以g (x )≥g (0)＝0；当x ＜0时，g (x )＝f (－x )＝2－x ＝2－x －12－x为单调减函数，所以g (x )＞g (0)＝0，所以函数g (x )的最小值是0.[答案] 015．已知函数f (x )＝3x －13|x |.(1)若f (x )＝2，求x 的值； (2)判断x ＞0时，f (x )的单调性；(3)若3t f (2t )＋mf (t )≥0对于t ∈⎣⎡⎦⎤12，1恒成立，求m 的取值范围．[解] (1)当x ≤0时，f (x )＝3x －3x ＝0，∴f (x )＝2无解．当x ＞0时，f (x )＝3x －13x ，令3x－13x ＝2. ∵(3x )2－2·3x －1＝0，解得3x ＝1±2. ∵3x ＞0，∴3x ＝1＋ 2.∴x ＝log 3(1＋2)．(2)∵y ＝3x 在(0，＋∞)上单调递增，y ＝13x 在(0，＋∞)上单调递减，∴f (x )＝3x －13x 在(0，＋∞)上单调递增．(3)∵t ∈⎣⎡⎦⎤12，1，∴f (t )＝3t －13t ＞0. ∴3t f (2t )＋mf (t )≥0化为3t ⎝⎛⎭⎫32t －132t ＋m ⎝⎛⎭⎫3t －13t ≥0，即3t ⎝⎛⎭⎫3t ＋13t ＋m ≥0，即m ≥－32t －1.令g (t )＝－32t－1，则g (t )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1上递减，∴g (x )max ＝－4.。

创新大课堂2018届高三数学理一轮复习课时活页作业26

课时活页作业（二十六）[基础训练组]1．已知向量a ＝(1，－1)，b ＝(2，x )，若a ·b ＝1，则x 等于( ) A ．－1 B ．－12C.12D ．1[解析] a ·b ＝(1，－1)·(2，x )＝2－x ＝1⇒x ＝1. [答案] D2．(2015·高考福建卷)已知非零向量a ，b 满足|a |＝223|b |，且(a －b )⊥(3a ＋2b )，则a 与b 的夹角为( )A.π4B.π2C.3π4D ．π[解析] 设a 和b 的夹角为θ，∵(a －b )⊥(3a ＋2b )， ∴(a －b )·(3a ＋2b )＝0，∴3a 2－3a ·b ＋2a ·b －2b 2＝3|a |2－|a ||b |cos θ－2|b |2＝0 又∵|a |＝322|b |，∴cos θ＝3|a |2－2|b |2|a ||b |＝22.又∵θ∈[0，π]，∴θ＝π4.[答案] A3．设x ，y ∈R ，向量a ＝(x,1)，b ＝(1，y )，c ＝(2，－4)，且a ⊥c ，b ∥c ，则|a ＋b |等于( )A. 5B.10 C ．2 5D ．10[解析] ∵a ＝(x,1)，b ＝(1，y )，c ＝(2，－4)，由a ⊥c 得a ·c ＝0，即2x －4＝0，∴x ＝2. 由b ∥c ，得1×(－4)－2y ＝0，∴y ＝－2. ∴a ＝(2,1)，b ＝(1，－2)．∴a ＋b ＝(3，－1)，∴|a ＋b |＝32＋(－1)2＝10. [答案] B4．(2016·西安质检)在四边形ABCD 中，AC →＝(1,2)，BD →＝(－4,2)，则该四边形的面积为( )A. 5 B ．2 5 C ．5D ．10[解析] 利用向量垂直的条件判定垂直关系，再求解四边形的面积．由题意可得AC →·BD →＝－4＋4＝0，所以AC →⊥BD →，即该四边形ABCD 的对角线互相垂直，所以面积为12|AC →|·|BD →|＝12×5×25＝5，故选C. [答案] C5．△ABC 的外接圆圆心为O ，半径为2，OA →＋AB →＋AC →＝0，且|OA →|＝|AB →|，则CA →在CB →方向上的投影为( )A ．1B ．2 C. 3D ．3[解析] 如图，设D 为BC 的中点，由OA →＋AB →＋AC →＝0得OA →＋2AD →＝0，即AO →＝2AD →.∴A 、O 、D 共线且|AO →|＝2|AD →|，又O 为△ABC 的外心，∴AO 为BC 的中垂线， ∴|AC →|＝|AB →|＝|OA →|＝2，|AD →|＝1，∴|CD →|＝3，∴CA →在CB →方向上的投影为 3. [答案] C6．(2014·四川高考)平面向量a ＝(1,2)，b ＝(4,2)，c ＝m a ＋b (m ∈R )，且c 与a 的夹角等于c 与b 的夹角，则m ＝________.[解析] c ＝m a ＋b ＝(m ＋4,2m ＋2)，由题意知a ·c |a |·|c |＝b ·c |b |·|c |，即(1，2)·(m ＋4，2m ＋2)12＋22＝(4，2)·(m ＋4，2m ＋2)42＋22，即5m ＋8＝8m ＋202，解得m ＝2.[答案] 27．在四边形ABCD 中，AB →＝DC →＝(1,1)，1|BA →|BA →＋1|BC →|BC →＝3|BD →|BD →，则四边形ABCD 的面积为________．[解析] 由AB →＝DC →＝(1,1)，可知四边形ABCD 为平行四边形，且|AB →|＝|DC →|＝2，因为1|AB →|BA →＋1|BC →|BC →＝3|BD →|BD →，所以可知平行四边形ABCD 的角平分线BD 平分∠ABC ，四边形ABCD 为菱形，其边长为2，且对角线BD 长等于边长的3倍，即BD ＝3×2＝6，则CE 2＝(2)2－(62)2＝12，即CE ＝22，所以三角形BCD 的面积为12×6×22＝32，所以四边形ABCD 的面积为2×32＝ 3. [答案]38．(2015·高考天津卷)在等腰梯形ABCD 中，已知AB ∥DC ，AB ＝2，BC ＝1，∠ABC ＝60°.动点E 和F 分别在线段BC 和DC 上，且BE →＝λBC →，DF →＝19λDC →，则AE →·AF →的最小值为________．[解析] 由题意得CD ＝1，由BE →＝λBC →，DF →＝19λDC →，可知AE →＝AB →＋BE →＋AB →＋λBC →，AF→＝AD →＋DF →＝AD →＋19λDC →，∴AE →·AF →＝(AB →＋λBC →)·(AD →＋19λDC →)＝AB →·AD →＋19BC →·DC →＋λBC →·AD →＋19λAB →·DC →＝2×1×cos 60°＋19×1×1×cos120°＋λ×1×1×cos 60°＋19λ×2×1＝λ2＋29λ＋1718≥2λ2·29λ＋1718＝2918当且仅当λ2＝29λ，即λ＝23时，AE →·AF →取得最小值2918.[答案]29189．已知|a |＝4，|b |＝8，a 与b 的夹角是120°. (1)计算：①|a ＋b |，②|4a －2b |； (2)当k 为何值时，(a ＋2b )⊥(k a －b )? [解] 由已知得，a ·b ＝4×8×(－12)＝－16.(1)①∵|a ＋b |2＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝16＋2×(－16)＋64＝48，∴|a ＋b |＝4 3. ②∵|4a －2b |2＝16a 2－16a ·b ＋4b 2＝16×16－16×(－16)＋4×64＝768，∴|4a －2b |＝16 3. (2)∵(a ＋2b )⊥(k a －b )，∴(a ＋2b )·(k a －b )＝0，∴k a 2＋(2k －1)a ·b －2b 2＝0，即16k －16(2k －1)－2×64＝0.∴k ＝－7.即k ＝－7时，a ＋2b 与k a －b 垂直．10．在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知向量a ＝(－1，2)，又点A (8,0)，B (n ，t )，C (k sin θ，t )(0≤θ≤π2)．(1)若AB →⊥a ，且|AB →|＝5|OA →|，求向量OB →；(2)若向量AC →与向量a 共线，当k ＞4，且t sin θ取最大值4时，求OA →·OC →. [解] (1)由题设知AB →＝(n －8，t )，∵AB →⊥a ， ∴8－n ＋2t ＝0.又∵5|OA →|＝|AB →|，∴5×64＝(n －8)2＋t 2＝5t 2，得t ＝±8.当t ＝8时，n ＝24；t ＝－8时，n ＝－8， ∴OB →＝(24,8)或OB →＝(－8，－8)． (2)由题设知AC →＝(k sin θ－8，t )， ∵AC →与a 共线，∴t ＝－2k sin θ＋16，t sin θ＝(－2k sin θ＋16)sin θ＝－2k (sin θ－4k )2＋32k.∵k ＞4，∴0＜4k ＜1，∴当sin θ＝4k 时，t sin θ取得最大值32k .由32k ＝4，得k ＝8，此时θ＝π6，OC →＝(4,8)． ∴OA →·OC →＝(8,0)·(4,8)＝32.[能力提升组]11．在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知向量OA →＝(2,2)，OB →＝(4,1)，在x 轴上取一点P ，使AP →·BP →有最小值，则P 点的坐标是( )A ．(－3,0)B ．(2,0)C ．(3,0)D ．(4,0)[解析] 设P 点坐标为(x,0)，则AP →＝(x －2，－2)，BP →＝(x －4，－1).AP →·BP →＝(x －2)(x －4)＋(－2)×(－1)＝x 2－6x ＋10＝(x －3)2＋1.当x ＝3时，AP →·BP →有最小值1.∴此时点P 坐标为(3,0)，故选C.[答案] C12．(2016·昆明质检)在直角三角形ABC 中，∠C ＝π2，AC ＝3，取点D 使BD →＝2DA →，那么CD →·CA →＝( )A ．3B ．4C ．5D ．6[解析] 如图，CD →＝CB →＋BD →.又∵BD →＝2DA →，∴CD →＝CB →＋23BA →＝CB →＋(23CA →－CB →)，即CD →＝23CA →＋13CB →，∵∠C ＝π2，∴CA →·CB →＝0，∴CD →·CA →＝(23CA →＋13CB →)·CA →＝23CA →2＋13CB →·CA →＝6，故选D.[答案] D13．在边长为1的正方形ABCD 中，M 为BC 的中点，点E 在线段AB 上运动，则EC →·EM →的取值范围是( )A ．[12，2]B ．[0，32]C ．[12，32]D ．[0,1] [解析] 将正方形放入如图所示的平面直角坐标系中，设E (x,0)，0≤x ≤1.又M (1，12)，C (1,1)，所以EM →＝(1－x ，12)，EC →＝(1－x,1)，所以EM →·EC →＝(1－x ，12)·(1－x,1)＝(1－x )2＋12.因为0≤x ≤1，所以12≤(1－x )2＋12≤32，即EM →·EC →的取值范围是[12，32]．[答案] C14．质点受到平面上的三个力F 1，F 2，F 3(单位：牛顿)的作用而处于平衡状态，已知F 1，F 2成60°角，且F 1，F 2的大小分别为2和4，则F 3的大小为________．[解析] 法一：由已知条件F 1＋F 2＋F 3＝0，则F 3＝－F 1－F 2，F 23＝F 21＋F 22＋2|F 1||F 2|cos 60°＝28.因此，|F 3|＝27.法二：如图，|F 1F 2→|2＝|F 1|2＋|F 2|2－2|F 1||F 2|cos 60°＝12，则|OF 1→|2＋|F 1F 2→|2＝|OF 2→|2，即∠OF 1F 2为直角， |F 3|＝2F 21＋(|F 1F 2→|2)2＝27.[答案] 2715．(2016·西城二模)在平面直角坐标系xOy 中，点A (cos θ，2sin θ)，B (sin θ，0)，其中θ∈R .(1)当θ＝2π3时，求向量AB →的坐标；(2)当θ∈[0，π2]时，求|AB →|的最大值．[解] (1)由题意，得AB →＝(sin θ－cos θ，－2sin θ)，当θ＝2π3时，sin θ－cos θ＝sin 2π3－cos 2π3＝1＋32，－2sin θ＝－2sin2π3＝－62，所以AB →＝(1＋32，－62)．(2)因为AB →＝(sin θ－cos θ，－2sin θ)，所以|AB →|2＝(sin θ－cos θ)2＋(－2sin θ)2 ＝1－sin 2θ＋2sin 2θ ＝1－sin 2θ＋1－cos 2θ ＝2－2sin(2θ＋π4)．因为0≤θ≤π2，所以π4≤2θ＋π4≤5π4.所以当2θ＋π4＝5π4时，|AB →|2取到最大值|AB →|2＝2－2×(－22)＝3，即当θ＝π2时，|AB →|取到最大值 3.。

创新大课堂2018届高三数学理一轮复习课时活页作业18 含解析

课时活页作业（十八）[基础训练组]1．已知α和β的终边关于直线y ＝x 对称，且β＝－π3，则sin α等于( )A ．－32B.32C ．－12D.12[解析] 因为α和β的终边关于直线y ＝x 对称，所以α＋β＝2kπ＋π2(k ∈Z )．又β＝－π3，所以α＝2kπ＋5π6(k ∈Z )，即得sin α＝12.[答案] D2．(2016·济南质检)α∈(－π2，π2)，sin α＝－35，则cos(－α)的值为( )A ．－45B.45C.35D ．－35[解析] 因为α∈(－π2，π2)，sin α＝－35，所以cos α＝45，即cos(－α)＝45，故选B.[答案] B3．已知f (α)＝sin (π－α)·cos (2π－α)cos (－π－α)·tan (π－α)，则f (－25π3)的值为( )A.12 B ．－12C.32D ．－32[解析] ∵f (α)＝sin αcos α－cos α·(－tan α)＝cos α，∴f (－25π3)＝cos(－25π3)＝cos(8π＋π3)＝cos π3＝12.[答案] A4．(2016·皖北模拟)若sin(π6＋α)＝35，则cos(π3－α)＝( )A ．－35B.35C.45D ．－45[解析] cos(π3－α)＝cos[π2－(π6＋α)]＝sin(π6＋α)＝35，故选B.[答案] B5．(2016·石家庄模拟)已知α为锐角，且2tan(π－α)－3cos(π2＋β)＋5＝0，tan(π＋α)＋6sin(π＋β)＝1，则sin α的值是( )A.355B.377C.31010D.13[解析] 由已知可得－2tan α＋3sin β＋5＝0，tan α－6sin β＝1，解得tan α＝3，故sin α＝31010.[答案] C6．(2016·成都一模)已知sin(π－α)＝log 814 ，且α∈(－π2，0)，则tan(2π－α)的值为________．[解析] sin(π－α)＝sin α＝log 814 ＝－23，又α∈(－π2，0)，得cos α＝1－sin 2α＝53，tan(2π－α)＝tan(－α)＝－tan α＝－sin αcos α＝255.[答案]2557．(2015·辽宁五校第二次联考)已知sin x ＝m －3m ＋5，cos x ＝4－2m m ＋5，且x ∈(3π2，2π)，则tanx ＝________.[解析] 由sin 2x ＋cos 2x ＝1，即(m －3m ＋5)2＋(4－2m m ＋5)2＝1，得m ＝0或m ＝8.又x ∈(3π2，2π)，∴sin x <0，cos x >0，∴当m ＝0时，sin x ＝－35，cos x ＝45，此时tan x ＝－34；当m ＝8时，sin x ＝513，cos x ＝－1213(舍去)，综上知：tan x ＝－34.[答案] －348．已知cos(π6－θ)＝a (|a |≤1)，则cos(5π6＋θ)＋sin(2π3－θ)的值是________．[解析] cos(5π6＋θ)＝cos[π－(π6－θ)]＝－cos(π6－θ)＝－a .sin(2π3－θ)＝sin[π2＋(π6－θ)]＝cos(π6－θ)＝a ，∴cos(5π6＋θ)＋sin(2π3－θ)＝0.[答案] 09．已知sin(3π＋α)＝2sin(3π2＋α)，求下列各式的值：(1)sin α－4cos α5sin α＋2cos α； (2)sin 2α＋sin 2α.[解] 由已知得sin α＝2cos α. (1)原式＝2cos α－4cos α5×2cos α＋2cos α＝－16.(2)原式＝sin 2α＋2sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝sin 2α＋sin 2αsin 2α＋14sin 2α＝85.10．设0≤θ≤π，P ＝sin 2θ＋sin θ－cos θ. (1)若t ＝sin θ－cos θ，用含t 的式子表示P ； (2)确定t 的取值范围，并求出P 的最大值和最小值． [解] (1)由t ＝sin θ－cos θ，得t 2＝1－2sin θcos θ＝1－sin 2θ.∴sin 2θ＝1－t 2，∴P ＝1－t 2＋t ＝－t 2＋t ＋1. (2)t ＝sin θ－cos θ＝2sin(θ－π4)∵0≤θ≤π，∴－π4≤θ－π4≤3π4.∴－12≤sin(θ－π4)≤1.即t 的取值范围是－1≤t ≤ 2. 令P (t )＝－t 2＋t ＋1＝－(t －12)2＋54，从而P (t )在[－1，12]内是增函数，在(12，2]内是减函数．又P (－1)＝－1，P (12)＝54，P (2)＝2－1，∴P (－1)＜P (2)＜P (12)．∴P 的最大值是54，最小值是－1.[能力提升组]11．(2016·厦门模拟)已知cos 31°＝a ，则sin 239°·tan 149°的值是( ) A.1－a 2aB.1－a 2C.a 2－1aD ．－1－a 2[解析] sin 239°·tan 149°＝sin(270°－31°)·tan(180°－31°)＝(－cos 31°)·(－tan 31°)＝sin31°＝1－a 2.[答案] B12．(2016·太原二模)已知sin α＋cos α＝2，α∈(－π2，π2)，则tan α＝( )A ．－1B ．－22C.22D ．1[解析] 把sin α＋cos α＝2①，两边平方，得(sin α＋cos α)2＝2，即1＋2sin αcos α＝2，∴2sin αcos α＝1，∴(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝0，即sin α－cos α＝0②，①＋②得：2sin α＝2，即sin α＝cos α＝22，∴tan α＝1，故选D. [答案] D13．(2016·海淀模拟)已知sin 2θ＋4cos θ＋1＝2，那么(cos θ＋3)(sin θ＋1)的值为( )A ．6B ．4C ．2D ．0[解析] 因为sin 2θ＋4cos θ＋1＝2，所以sin 2θ＋4＝2cos θ＋2.即cos 2θ＋2cos θ－3＝0，解得cos θ＝1或cos θ＝－3(舍去)，由cos θ＝1得sin θ＝0，故(cos θ＋3)(sin θ＋1)＝4. [答案] B14．(2016·新疆阿勒泰二模)已知α为第二象限角，则cos α1＋tan 2α＋sin α 1＋1tan 2α＝________.[解析] 原式＝cos αsin 2α＋cos 2αcos 2α＋sin αsin 2α＋cos 2αsin 2α＝cos α1|cos α|＋ sin α1|sin α|，因为α是第二象限角，所以sin α＞0，cos α＜0，所以cos α1|cos α|＋sin α1|sin α|＝－1＋1＝0，即原式等于0.[答案] 015．已知A 、B 、C 是三角形的内角，3sin A ，－cos A 是方程x 2－x ＋2a ＝0的两根． (1)求角A ； (2)若1＋2sin B cos Bcos 2B －sin 2B＝－3，求tan B .[解] (1)由已知可得，3sin A －cos A ＝1.①又sin 2A ＋cos 2A ＝1，∴sin 2A ＋(3sin A －1)2＝1，即4sin 2A －23sin A ＝0，得sin A ＝0(舍去)或sin A ＝32. ∴A ＝π3或2π3，将A ＝π3或2π3代入①知A ＝23π时不成立，∴A ＝π3.(2)由1＋2sin B cos Bcos 2B －sin 2B＝－3，得sin 2B －sin B cos B －2cos 2 B ＝0. ∵cos B ≠0，∴tan 2 B －tan B －2＝0， ∴tan B ＝2或tan B ＝－1.∵tan B ＝－1使cos 2 B －sin 2B ＝0，舍去．故tan B ＝2.。

创新大课堂2018届高三数学理一轮复习课时活页作业20

课时活页作业（二十）[基础训练组]1．(2016·深圳二模)如果函数f (x )＝sin(πx ＋θ)(0＜θ＜2π)的最小正周期为T ，且当x ＝2时，f (x )取得最大值，那么( )A ．T ＝2，θ＝π2B ．T ＝1，θ＝πC ．T ＝2，θ＝πD ．T ＝1，θ＝π2[解析] T ＝2ππ＝2，当x ＝2时，由π×2＋θ＝π2＋2k π(k ∈Z )，得θ＝－3π2＋2k π(k ∈Z )，又0＜θ＜2π，∴θ＝π2.[答案] A2．已知ω>0，函数f (x )＝sin(ωx ＋π4)在(π2，π)上单调递减，则ω的取值范围是( )A ．[12，54]B ．[12，34]C ．(0，12]D ．(0,2][解析] 取ω＝54，f (x )＝sin(54x ＋π4)，其减区间为[85k π＋π5，85k π＋π]，k ∈Z ，显然(π2，π)⊆[85k π＋π5，85k π＋π]，k ∈Z ，排除B ，C. 取ω＝2，f (x )＝sin(2x ＋π4)，其减区间为[k π＋π8，k π＋58π]，k ∈Z ，显然(π2，π) [k π＋π8，k π＋58π]，k ∈Z ，排除D. [答案] A3．(2016·长沙一模)定义⎪⎪⎪⎪⎪⎪a 1 a 2a 3 a 4＝a 1a 4－a 2a 3，若函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin2x cos 2x 1 3，则将f (x )的图象向右平移π3个单位所得曲线的一条对称轴的方程是( )A ．x ＝π6B ．x ＝π4C ．x ＝π2D ．x ＝π[解析] 由定义可知，f (x )＝3sin 2x －cos 2x ＝2sin(2x －π6)，将f (x )的图象向右平移π3个单位得到y ＝2sin[2(x －π3)－π6]＝2sin(2x －5π6)，由2x －5π6＝π2＋k π(k ∈Z )，得对称轴为x ＝2π3＋k π2(k ∈Z )，当k ＝－1时，对称轴为x ＝2π3－π2＝π6. [答案] A4．(2016·长春模拟)函数f (x )＝sin(2x ＋φ)(|φ|＜π2)向左平移π6个单位后是奇函数，则函数f (x )在[0，π2]上的最小值为( )A ．－32B ．－12C.12D.32[解析] 函数f (x )＝sin(2x ＋φ)(|φ|＜π2)向左平移π6个单位后得到函数为f (x ＋π6)＝sin[2(x ＋π6)＋φ]＝sin(2x ＋π3＋φ)，因为此时函数为奇函数，所以π3＋φ＝k π(k ∈Z )，所以φ＝－π3＋k π(k ∈Z )．因为|φ|＜π2，所以当k ＝0时，φ＝－π3，所以f (x )＝sin(2x －π3)．当0≤x ≤π2时，－π3≤2x －π3≤2π3，即当2x －π3＝－π3时，函数f (x )＝sin(2x －π3)有最小值为sin(－π3)＝－32.[答案] A5．电流强度I (安)随时间t (秒)变化的函数I ＝A sin(ωt ＋φ)(A >0，ω>0，0<φ<π2)的图象如右图所示，则当t ＝1100秒时，电流强度是( )A ．－5安B ．5安C ．5安D ．10安[解析] 由图象知A ＝10，T 2＝4300－1300＝1100，∴ω＝2πT＝100π.∴I ＝10sin(100πt ＋φ)．(1300，10)为五点中的第二个点，∴100π×1300＋φ＝π2. ∴φ＝π6.∴I ＝10sin(100πt ＋π6)，当t ＝1100秒时，I ＝－5安．[答案] A6．函数f (x )＝tan ωx (ω>0)的图象的相邻两支截直线y ＝π4所得线段长为π4，则f (π4)＝________.[解析] 依题意πω＝π4，∴ω＝4.∴f (x )＝tan 4x .∴f (π4)＝tan π＝0.[答案] 07．函数y ＝A sin(ωx ＋φ) (A ，ω，φ为常数，A >0，ω>0)在闭区间[－π，0]上的图象如图所示，则ω＝________.[解析] 由图象可以看出32T ＝π，∴T ＝23π＝2πω，因此ω＝3.[答案] 38．(2016·银川模拟)若将函数y ＝2sin(3x ＋φ)的图象向右平移π4个单位后得到的图象关于点(π3，0)对称，则|φ|的最小值是________． [解析] 将函数y ＝2sin(3x ＋φ)的图象向右平移π4个单位后得到y ＝2sin[3(x －π4)＋φ]＝2sin(3x －3π4＋φ)的图象．因为该函数的图象关于点(π3，0)对称，所以2sin(3×π3－3π4＋φ)＝2sin(π4＋φ)＝0，故有π4＋φ＝k π(k ∈Z )，解得φ＝k π－π4(k ∈Z )．当k ＝0时，|φ|取得最小值π4.[答案] π49．已知函数f (x )＝12sin 2x sin φ＋cos 2x cos φ－12sin(π2＋φ)(0<φ<π)，其图象过点(π6，12)．(1)求φ 的值；(2)将函数y ＝f (x )的图象上各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，得到函数y ＝g (x )的图象，求函数g (x )在[0，π4]上的最大值和最小值．[解] (1)f (x )＝12sin 2x sin φ＋cos 2x ＋12cos φ－12cos φ＝12(sin 2x sin φ＋cos 2x cos φ)＝12cos (2x －φ)．又∵f (x )过点(π6，12)，∴12＝12cos (π3－φ)，cos (π3－φ)＝1.由0<φ<π知φ＝π3.(2)由(1)知f (x )＝12cos (2x －π3)．将f (x )图象上所有点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，变为g (x )＝12cos (4x －π3)．∵0≤x ≤π4，∴－π3≤4x －π3≤2π3.当4x －π3＝0，即x ＝π12时，g (x )有最大值12；当4x －π3＝2π3，即x ＝π4时，g (x )有最小值－14.10．设函数f (x )＝sin ωx ＋3cos ωx (ω>0)的周期为π. (1)求它的振幅、初相；(2)用五点法作出它在长度为一个周期的闭区间上的图象；(3)说明函数f (x )的图象可由y ＝sin x 的图象经过怎样的变换而得到． [解] (1)f (x )＝sin ωx ＋3cos ωx ＝2(12sin ωx ＋32cos ωx )＝2sin(ωx ＋π3)，又∵T ＝π，∴2πω＝π，即ω＝2.∴f (x )＝2sin(2x ＋π3)．∴函数f (x )＝sin ωx ＋3cos ωx 的振幅为2，初相为π3.(2)令X ＝2x ＋π3，则y ＝2sin(2x ＋π3)＝2sin X .列表，并描点画出图象：(3)法一：把y ＝sin x 的图象上所有的点向左平移π3个单位，得到y ＝sin(x ＋π3)的图象，再把y ＝sin(x ＋π3)的图象上的点的横坐标缩短到原来的12倍(纵坐标不变)，得到y ＝sin(2x ＋π3)的图象，最后把y ＝sin(2x ＋π3)上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)，即可得到y ＝2sin(2x ＋π3)的图象．法二：将y ＝sin x 的图象上每一点的横坐标x 缩短为原来的12倍，纵坐标不变，得到y＝sin 2x 的图象；再将y ＝sin 2x 的图象向左平移π6个单位，得到y ＝sin 2(x ＋π6)＝sin(2x ＋π3)的图象；再将y ＝sin(2x ＋π3)的图象上每一点的横坐标保持不变，纵坐标伸长为原来的2倍，得到y ＝2sin(2x ＋π3)的图象．[能力提升组]11．(2016·青岛一模)函数f (x )＝A sin (ωx ＋φ)A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2的部分图象如图所示，若x 1，x 2∈(－π6，π3)，且f (x 1)＝f (x 2)，则f (x 1＋x 2)＝( )A ．1 B.12 C.22 D.32[解析] 观察图象可知，A ＝1，T ＝π， ∴ω＝2，f (x )＝sin(2x ＋φ)．将(－π6，0)代入上式得sin(－π3＋φ)＝0，由|φ|＜π2，得φ＝π3，则f (x )＝sin(2x ＋π3)．函数图象的对称轴为x ＝－π6＋π32＝π12.又x 1，x 2∈(－π6，π3)，且f (x 1)＝f (x 2)，∴x 1＋x 22＝π12，∴x 1＋x 2＝π6，∴f (x 1＋x 2)＝sin(2×π6＋π3)＝32.故选D. [答案] D12．函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω＞0，|φ|＜π2)的最小正周期是π，若其图象向右平移π6个单位长度后得到的函数为奇函数，则函数f (x )的图象( )A ．关于点(π12，0)对称B ．关于直线x ＝π12对称C ．关于点(π6，0)对称D ．关于直线x ＝π6对称[解析] ∵2πω＝π，∴ω＝2.∴f (x )＝sin(2x ＋φ)向右平移π6个单位长度，得y ＝sin(2x －π3＋φ)为奇函数．∴－π3＋φ＝k π(k ∈Z )．∴φ＝π3＋k π(k ∈Z )．又|φ|<π2，∴φ＝π3.∴f (x )＝sin(2x ＋π3)．∵f (π12)＝sin(2×π12＋π3)＝1，∴直线x ＝π12为对称轴．[答案] B13．(2016·宁德质检)如图是函数y ＝sin(ωx ＋φ)(ω＞0，0＜φ＜π2)在区间[－π6，5π6]上的图象，将该图象向右平移m (m ＞0)个单位后，所得图象关于直线x ＝π4对称，则m 的最小值为( )A.π12B.π6C.π4D.π3[解析] 令f (x )＝y ＝sin(ωx ＋φ)，由三角函数图象知，T ＝56π＋π6＝π，所以2π＝π，所以ω＝2.因为函数f (x )过点(－π6，0)，且0＜φ＜π2，所以－π6×2＋φ＝0，所以φ＝π3，所以f (x )＝sin(2x＋π3)，将该函数图象向右平移m 个单位后，所得图象的解析式是g (x )＝sin(2x ＋π3－2m )，因为函数g (x )的图象关于直线x ＝π4对称，所以2×π4＋π3－2m ＝π2＋k π(k ∈Z )，解得m ＝π6－k π2(k ∈Z )，又m ＞0，所以m 的最小值为π6.[答案] B14．设函数f (x )＝sin(2x ＋π6)，则下列命题：①f (x )的图象关于直线x ＝π3对称；②f (x )的图象关于点(π6，0)对称；③f (x )的最小正周期为π，且在[0，π12]上为增函数；④把f (x )的图象向右平移π12个单位，得到一个奇函数的图象．其中正确的命题为________(把所有正确命题的序号都填上)．[解析] 对于①，f (π3)＝sin(2×π3＋π6)＝sin 5π6＝12，不是最值，所以x ＝π3不是函数f (x )的图象的对称轴，该命题错误；对于②，f (π6)＝sin(2×π6＋π6)＝1≠0，所以点(π6，0)不是函数f (x )的图象的对称中心，故该命题错误；对于③，函数f (x )的周期为T ＝2π2＝π，当x ∈[0，π12]时，令t ＝2x ＋π6∈[π6，π3]，显然函数y ＝sin t 在[π6，π3]上为增函数，故函数f (x )在[0，π12]上为增函数，所以该命题正确；对于④，把f (x )的图象向右平移π12个单位后所对应的函数为g (x )＝sin[2(x －π12)＋π6]＝sin2x ，是奇函数，所以该命题正确．故填③④.[答案] ③④15．(2016·长春调研)函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，－π2<φ<π2x∈R )的部分图象如图所示．(1)求函数y ＝f (x )的解析式；(2)当x ∈[－π，－π6]时，求f (x )的取值范围．[解] (1)由题中图象得A ＝1，T 4＝2π3－π6＝π2，所以T ＝2π，则ω＝1.将点(π6，1)代入得sin(π6＋φ)＝1，而－π2<φ<π2，所以φ＝π3，因此函数f (x )＝sin(x ＋π3)．(2)由于－π≤x ≤－π6，－2π3≤x ＋π3≤π6，所以－1≤sin(x ＋π3)≤12，所以f (x )的取值范围是[－1，12]．。

创新大课堂2018届高三数学理一轮复习课时活页作业50

课时活页作业（五十）[基础训练组]1．方程(x －y )2＋(xy －1)2＝0表示的曲线是( ) A ．一条直线和一条双曲线 B ．两条双曲线 C ．两个点D ．以上答案都不对[解析] (x －y )2＋(xy －1)2＝0⇒⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝0，xy －1＝0.故⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，y ＝1，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝－1. [答案] C2．已知点O (0,0)，A (1,2)，动点P 满足|OP →＋AP →|＝2，则P 点的轨迹方程是( ) A ．4x 2＋4y 2－4x －8y ＋1＝0 B ．4x 2＋4y 2－4x －8y －1＝0 C ．8x 2＋8y 2＋2x ＋4y －5＝0D ．8x 2＋8y 2－2x ＋4y －5＝0[解析] 设P 点的坐标为(x ，y )，则OP →＝(x ，y )，AP →＝(x －1，y －2)，OP →＋AP →＝(2x －1,2y －2)．所以(2x －1)2＋(2y －2)2＝4，整理得4x 2＋4y 2－4x －8y ＋1＝0.[答案] A3．设点A 为圆(x －1)2＋y 2＝1上的动点，P A 是圆的切线，且|P A |＝1，则P 点的轨迹方程为( )A ．y 2＝2xB ．(x －1)2＋y 2＝4C ．y 2＝－2xD ．(x －1)2＋y 2＝2[解析] 如图，设P (x ，y )，圆心为M (1,0)．连接MA ，则MA ⊥P A ，且|MA |＝1.又∵|P A |＝1，∴|PM |＝|MA |2＋|P A |2＝2，即|PM |2＝2，∴(x －1)2＋y 2＝2.[答案] D4．平面直角坐标系中，已知两点A (3,1)，B (－1,3)，若点C 满足OC→＝λ1OA →＋λ2OB →(O 为原点)，其中λ1，λ2∈R ，且λ1＋λ2＝1，则点C 的轨迹是( )A ．直线B ．椭圆C ．圆D ．双曲线[解析] 设C (x ，y )，则OC →＝(x ，y )，OA →＝(3,1)，OB →＝(－1,3)．∵OC →＝λ1OA →＋λ2OB →，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3λ1－λ2y ＝λ1＋3λ2，又λ1＋λ2＝1，∴x ＋2y －5＝0，表示一条直线．[答案] A5．(2016·长春模拟)设圆(x ＋1)2＋y 2＝25的圆心为C ，A (1,0)是圆内一定点，Q 为圆周上任一点．线段AQ 的垂直平分线与CQ 的连线交于点M ，则M 的轨迹方程为( )A.4x 221－4y 225＝1 B.4x 221＋4y 225＝1 C.4x 225－4y 221＝1 D.4x 225＋4y 221＝1[解析] ∵M 为AQ 垂直平分线上一点，则|AM |＝|MQ |，∴|MC |＋|MA |＝|MC |＋|MQ |＝|CQ |＝5，故M 的轨迹是以定点C ，A 为焦点的椭圆．∴a ＝52，c ＝1，则b 2＝a 2－c 2＝214，∴椭圆的标准方程为4x 225＋4y 221＝1.[答案] D6．(2016·东营模拟)如图所示，在平面直角坐标系xOy 中，A (1,0)，B (1,1)，C (0,1)，映射f 将xOy 平面上的点P (x ，y )对应到另一个平面直角坐标系uO ′v 上的点P ′(2xy ，x 2－y 2)，则当点P 沿着折线A -B -C 运动时，在映射f 的作用下，动点P ′的轨迹是( )[解析] 当P 沿AB 运动时，x ＝1，设P ′(x ′，y ′)，则⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2y ，y ′＝1－y 2(0≤y ≤1)，∴y ′＝1－x ′24(0≤x ′≤2，0≤y ′≤1)．当P 沿BC 运动时，y ＝1，则⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2x ，y ′＝x 2－1(0≤x ≤1)，∴y ′＝x ′24－1(0≤x ′≤2，－1≤y ′≤0)，由此可知P ′的轨迹如D 所示，故选D.[答案] D7．(2014·广东阳江质检)已知点A (－2,0)，B (3,0)，动点P (x ，y )，满足P A →·PB →＝x 2－6，则动点P 的轨迹是____________．[解析] ∵动点P (x ，y )满足P A →·PB →＝x 2－6，∴(－2－x ，－y )·(3－x ，－y )＝x 2－6，∴动点P 的轨迹方程是y 2＝x ，轨迹为抛物线．[答案] 抛物线8．直线x a ＋y2－a＝1与x ，y 轴交点的中点的轨迹方程是____________．[解析] 直线x a ＋y2－a ＝1与x ，y 轴的交点为A (a,0)，B (0,2－a )，设AB 的中点为M (x ，y )，则x ＝a 2，y ＝1－a2，消去a ，得x ＋y ＝1.∵a ≠0且a ≠2，∴x ≠0且x ≠1.[答案] x ＋y ＝1(x ≠0且x ≠1)9．△ABC 的顶点A (－5,0)，B (5,0)，△ABC 的内切圆圆心在直线x ＝3上，则顶点C 的轨迹方程是____________．[解析] 如图，|AD |＝|AE |＝8，|BF |＝|BE |＝2，|CD |＝|CF |，所以|CA |－|CB |＝8－2＝6.根据双曲线定义，所求轨迹是以A ，B 为焦点，实轴长为6的双曲线的右支，故方程为x 29－y 216＝1(x >3)．[答案] x 29－y 216＝1(x >3)10．已知点A (－1,0)，B (2,4)，△ABC 的面积为10，求动点C 的轨迹方程．[解析] ∵AB ＝32＋42＝5，∴AB 边上的高h ＝205＝4.故C 的轨迹是与直线AB 距离等于4的两条平行线．∵k AB ＝43，AB 的方程为4x －3y ＋4＝0，可设轨迹方程为4x －3y ＋c ＝0.由|c －4|5＝4，得c ＝24或c ＝－16，故动点C 的轨迹方程为4x －3y －16＝0或4x －3y ＋24＝0.11．一动圆与圆x 2＋y 2＋6x ＋5＝0外切，同时与圆x 2＋y 2－6x －91＝0内切，求动圆圆心M 的轨迹方程，并说明它是什么曲线．[解析] 如图所示，设动圆圆心为M (x ，y )，半径为R ，设已知圆的圆心分别为O 1，O 2，将圆的方程分别配方得(x ＋3)2＋y 2＝4，(x －3)2＋y 2＝100，当动圆与圆O 1相外切时，有|O 1M |＝R ＋2.①当动圆与圆O 2相内切时，有|O 2M |＝10－R .②将①②两式相加，得|O 1M |＋|O 2M |＝12＞|O 1O 2|，∴动圆圆心M (x ，y )到点O 1(－3,0)和O 2(3,0)的距离和是常数12，所以点M 的轨迹是焦点为O 1(－3,0)，O 2(3,0)，长轴长等于12的椭圆．∴2c ＝6,2a ＝12，∴c ＝3，a ＝6，∴b 2＝36－9＝27，∴圆心轨迹方程为x 236＋y 227＝1，轨迹为椭圆．[能力提升组]12．已知两条直线l 1∶2x －3y ＋2＝0和l 2∶3x －2y ＋3＝0，有一动圆(圆心和半径都动)与l 1、l 2都相交，且l 1、l 2被圆截得的弦长分别是定值26和24，则圆心的轨迹方程是( )A ．(x ＋1)2－y 2＝65B ．(x －1)2－y 2＝65C ．(x ＋1)2＋y 2＝65D ．(x －1)2＋y 2＝65[解析] 设动圆的圆心为M (x ，y )，半径为r ，点M 到直线l 1，l 2的距离分别为d 1和d 2.由弦心距、半径、半弦长间的关系得，⎩⎨⎧2r 2－d 21＝26，2r 2－d 22＝24，即⎩⎪⎨⎪⎧r 2－d 21＝169，r 2－d 22＝144，消去r 得动点M 满足的几何关系为d 22－d 21＝25，即(3x －2y ＋3)213－(2x －3y ＋2)213＝25.化简得(x ＋1)2－y 2＝65.此即为所求的动圆圆心M 的轨迹方程．[答案] A13．(2016·青岛模拟)设过点P (x ，y )的直线分别与x 轴的正半轴和y 轴的正半轴交于A 、B 两点，点Q 与点P 关于y 轴对称，O 为坐标原点，若BP →＝2P A →，且OQ →·AB →＝1，则P 点的轨迹方程是( )A.32x 2＋3y 2＝1(x ＞0，y ＞0) B.32x 2－3y 2＝1(x ＞0，y ＞0) C ．3x 2－32y 2＝1(x ＞0，y ＞0)D ．3x 2＋32y 2＝1(x ＞0，y ＞0)[解析] 设P (x ，y )，A (x A,0)，B (0，y B )，则BP →＝(x ，y －y B )，P A →＝(x A －x ，－y )，∵BP →＝2P A →，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2(x A －x )，y －y B ＝－2y ，即⎩⎪⎨⎪⎧x A ＝32x ，y B ＝3y .∴A (32x,0)，B (0,3y )．又Q (－x ，y )，∴OQ →＝(－x ，y )，AB →＝(－32x,3y )，∴OQ →·AB →＝32x2＋3y 2＝1，则点P 的轨迹方程是32x 2＋3y 2＝1(x ＞0，y ＞0)．[答案] A14．已知点M 与双曲线x 216－y 29＝1的左、右焦点的距离之比为23，则点M 的轨迹方程为____________________．[解析] 可得双曲线的左、右焦点分别为F 1(－5,0)，F 2(5,0)，设点M (x ，y )，则有|MF 1||MF 2|＝23，代入整理得x 2＋y 2＋26x ＋25＝0. [答案] x 2＋y 2＋26x ＋25＝015．已知点A ，B 分别是射线l 1∶y ＝x (x ≥0)，l 2∶y ＝－x (x ≥0)上的动点，O 为坐标原点，且△OAB 的面积为定值2，则线段AB 中点M 的轨迹方程为________．[解析] 由题意可设A (x 1，x 1)，B (x 2，－x 2)，M (x ，y )，其中x 1＞0，x 2＞0，则⎩⎨⎧x ＝x 1＋x22，①y ＝x 1－x 22.②∵△OAB 的面积为定值2，∴S △OAB ＝12OA ·OB ＝12(2x 1)(2x 2)＝x 1x 2＝2.①2－②2得x 2－y 2＝x 1x 2，而x 1x 2＝2，∴x 2－y 2＝2.由于x 1＞0，x 2＞0，∴x ＞0，即所求点M 的轨迹方程为x 2－y 2＝2(x ＞0)．[答案] x 2－y 2＝2(x ＞0)16．(2016·长沙一模)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的两个焦点分别为F 1(－1,0)，F 2(1,0)，且椭圆C 经过点P (43，13)．(1)求椭圆C 的离心率；(2)设过点A (0,2)的直线l 与椭圆C 交于M ，N 两点，点Q 是线段MN 上的点，且2|AQ |2＝1|AM |2＋1|AN |2，求点Q 的轨迹方程． [解] (1)因为2a ＝|PF 1|＋|PF 2|＝⎝⎛⎭⎫43＋12＋⎝⎛⎭⎫132＋⎝⎛⎭⎫43－12＋⎝⎛⎭⎫132＝22，所以a ＝2.又由已知得c ＝1，所以椭圆C 的离心率e ＝c a ＝12＝22.(2)由(1)知椭圆C 的方程为x 22＋y 2＝1.设点Q 的坐标为(x ，y )，①当直线l 与x 轴垂直时，直线l 与椭圆C 交于(0,1)，(0，－1)两点，此时Q 点坐标为⎝⎛⎭⎫0，2－355.②当直线l 与x 轴不垂直时，设直线l 的方程为y ＝kx ＋2.因为M ，N 在直线l 上，可设点M ，N 的坐标分别为(x 1，kx 1＋2)，(x 2，kx 2＋2)，则|AM |2 ＝(1＋k 2)x 21，|AN |2＝(1＋k 2)x 22.又|AQ |2＝x 2＋(y －2)2＝(1＋k 2)x 2，由2|AQ |2＝1|AM |2＋1|AN |2，得2(1＋k 2)x 2＝1(1＋k 2)x 21＋1(1＋k 2)x 22，即2x 2＝1x 21＋1x 22＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 2x 21x 22① 将y ＝kx ＋2代入x 22＋y 2＝1中，得(2k 2＋1)x 2＋8kx ＋6＝0②由Δ＝(8k )2－4×(2k 2＋1)×6＞0，得k 2＞32.由②可知x 1＋x 2＝－8k 2k 2＋1，x 1x 2＝62k 2＋1，代入①中并化简，得x 2＝1810k 2－3.③因为点Q 在直线y ＝kx ＋2上，所以k ＝y －2x ，代入③中并化简得10(y －2)2－3x 2＝18.由③及k 2＞32可知0＜x 2＜32，即x ∈⎝⎛⎭⎫－62，0∪⎝⎛⎭⎫0，62.又⎝⎛⎭⎫0，2－355满足10(y －2)2－3x 2＝18，故x ∈⎝⎛⎭⎫－62，62.由题意，Q (x ，y )在椭圆C 内部，所以－1≤y ≤1，又由10(y －2)2＝18＋3x 2，有(y －2)2∈⎣⎡⎭⎫95，94且－1≤y ≤1，则y ∈⎝⎛⎦⎤12，2－355.所以点Q 的轨迹方程是10(y －2)2－3x 2＝18，其中，x ∈⎝⎛⎭⎫－62，62，y ∈⎝⎛⎦⎤12，2－355.。

创新大课堂2018届高三数学理一轮复习课时活页作业21

课时活页作业（二十一）[基础训练组]1．已知tan α＝2，那么sin 2α的值是( ) A ．－45B.45 C ．－35D.35[解析] sin 2α＝2sin αcos α＝2sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝2tan αtan 2α＋1＝45. [答案] B2．设a ＝⎝⎛⎭⎫12，cos θ与b ＝(－1,2cos θ)垂直，则cos 2θ的值等于( ) A ．－22B ．－12C ．0D ．－1 [解析] 因为a ⊥b ，所以a ·b ＝－12＋2cos 2θ＝0，即2cos 2θ＝12，所以cos 2θ＝2cos 2θ－1＝－12.[答案] B3．已知α，β都是锐角，若sin α＝55，sin β＝1010，则α＋β等于( ) A.π4 B.3π4C.π4和3π4D ．－π4和－3π4[解析] 由于α，β都为锐角，所以cos α＝1－sin 2α＝255，cos β＝1－sin 2β＝31010.所以cos(α＋β)＝cos α·cos β－sin α·sin β＝22，所以α＋β＝π4.[答案] A4．(2016·通化模拟)已知函数f (x )＝1＋cos 2x 4sin (π2＋x )＋a sin x 2cos(π－x2)的最大值为2，则常数a的值为( )A.15 B ．－15 C ．±15D ．±10[解析] 因为f (x )＝2cos 2x 4cos x ＋12a sin x ＝12(cos x ＋a sin x )＝1＋a 22cos(x －φ)(其中tan φ＝a )，所以1＋a 22＝2，解得a ＝±15.[答案] C5．(2016·兰州检测)在斜三角形ABC 中，sin A ＝－2cos B ·cos C ，且tan B ·tan C ＝1－2，则角A 的值为( )A.π4B.π3C.π2D.3π4[解析] 由题意知，sin A ＝－2cos B ·cos C ＝sin(B ＋C )＝sin B ·cos C ＋cos B ·sin C ，在等式－2cos B ·cos C ＝sin B ·cos C ＋cos B ·sin C 两边同除以cos B ·cos C 得tan B ＋tan C ＝－2，又tan(B ＋C )＝tan B ＋tan C 1－tan B tan C＝－1＝－tan A ，即tan A ＝1，所以A ＝π4.[答案] A6．(2014·山东高考)函数y ＝32sin 2x ＋cos 2x 的最小正周期为________． [解析] 因为y ＝32sin 2x ＋1＋cos 2x 2＝sin(2x ＋π6)＋12，所以该函数的最小正周期T ＝2π2＝π.[答案] π7．(2016·广州模拟)已知cos 4 α－sin 4 α＝23，且α∈(0，π2)，则cos (2α＋π3)＝________.[解析] ∵cos 4 α－sin 4α＝(sin 2α＋cos 2α)(cos 2α－sin 2 α)＝23，∴cos 2α＝23，又α∈(0，π2)，∴2α∈(0，π)，∴sin 2α＝1－cos 22α＝53，∴cos(2α＋π3)＝12cos 2α－32sin 2α＝12×23－32×53＝2－156[答案]2－1568．设当x ＝θ时，函数f (x )＝sin x －2cos x 取得最大值，则cos θ＝________. [解析] f (x )＝sin x －2cos x ＝5⎝⎛⎭⎫15sin x －25cos x ＝5sin(x －φ)而sin φ＝25，cos φ＝15，当x －φ＝π2＋2k π(k ∈Z )时，f (x )取最大值5，即θ＝φ＋π2＋2k π时，f (x )取最大值．cos θ＝cos ⎝⎛⎭⎫φ＋π2＋2k π＝－sin φ＝－25＝－255. [答案] －2559．已知在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，且tan A ＋tan B ＝2sin Ccos A .(1)求角B 的大小；(2)若a c ＋ca ＝3，求sin A sin C 的值．[解析] (1)易知tan A ＋tan B ＝sin A cos A ＋sin B cos B ＝sin A cos B ＋cos A sin B cos A cos B ＝sin (A ＋B )cos A cos B＝sin Ccos A cos B.∵tan A ＋tan B ＝2sin C cos A ，∴sin C cos A cos B ＝2sin Ccos A ，∴cos B ＝12.又∵0<B <π，∴B ＝π3.(2)∵a c ＋c a ＝a 2＋c 2ac ＝b 2＋2ac cos B ac，且a c ＋ca ＝3，∴b 2＋2ac cos B ac ＝3，即b 2＋2c cosπ3ac＝3， ∴b 2ac ＝2.又b 2ac ＝sin 2B sin A sinC ＝sin 2π3sin A sin C ＝34sin A sin C， ∴sin A sin C ＝38.10．(2016·蚌埠质检)已知△ABC 是锐角三角形，且sin(B －π6)cos(B －π3)＝12.(1)求角B 的值；(2)若tan A tan C ＝3，求角A ，C 的值． [解] (1)sin(B －π6)cos(B －π3)＝(32sin B －12cos B )(12cos B ＋32sin B ) ＝34sin 2B －14cos 2B ＝sin 2B －14＝12，所以sin 2B ＝34，从而sin B ＝32.又△ABC 是锐角三角形，所以B ＝π3.(2)因为B ＝π3，所以A ＋C ＝2π3.又△ABC 是锐角三角形，所以tan A ＞0，tan C ＞0. 而tan(A ＋C )＝tan A ＋tan C1－tan A tan C ＝－3，所以tan A ＋tan C ＝3tan A tan C －3＝23， ① 又tan A tan C ＝3，②由①②解得tan A ＝tan C ＝3，所以A ＝C ＝π3.[能力提升组]11．在△ABC 中，若cos A ＝45，cos B ＝513，则cos C ＝( )A.365 B.3665 C.1665D.3365[解析] 在△ABC 中，0<A <π，00，cos B ＝513>0，得0<A <π2，0<B <π2，从而sin A ＝35，sin B ＝1213，所以cos C ＝cos[π－(A ＋B )]＝－cos(A ＋B )＝sin A ·sin B －cos A ·cosB ＝35×1213－45×513＝1665.[答案] C12．已知cos α＝13，cos(α＋β)＝－13，且α、β∈(0，π2)，则cos(α－β)的值等于( )A ．－12B.12 C ．－13D.2327[解析] ∵α、β∈(0，π2)，∴α＋β∈(0，π)，∴sin α＝1－cos 2α＝1－(13)2＝223，sin(α＋β)＝1－cos 2(α＋β)＝1－(1－13)2＝223.∴cos β＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α＝(－13)×13＋223×223＝79，∴sin β＝1－cos 2β＝1－(79)2＝429，∴cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝13×79＋223×429＝2327.[答案] D 13．定义运算⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b c d ＝ad －bc .若cos α＝17，⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin α sin βcos α cos β＝3314，0<β<α<π2，则β等于( )A.π12B.π6C.π4D.π3[解析] 依题意有sin αcos β－cos αsin β＝sin(α－β)＝3314，又0<β<α<π2，∴0<α－β<π2，故cos(α－β)＝1－sin 2(α－β)＝1314，而cos α＝17，∴sin α＝437，于是sin β＝sin[α－(α－β)]＝sin αcos(α－β)－cos αsin(α－β)＝437×1314－17×3314＝32.故β＝π3. [答案] D14．(2015·烟台模拟)已知角α，β的顶点在坐标原点，始边与x 轴的正半轴重合，α，β∈(0，π)，角β的终边与单位圆交点的横坐标是－13，角α＋β的终边与单位圆交点的纵坐标是45，则cos α＝________. [解析] 依题设及三角函数的定义得： cos β＝－13，sin(α＋β)＝45.又∵0<β<π，∴π2<β<π，π2<α＋β<π，sin β＝223，cos(α＋β)＝－35.∴cos α＝cos[(α＋β)－β]＝cos(α＋β)cos β＋sin(α＋β)sin β＝－35×(－13)＋45×223＝3＋8215. [答案]3＋821515．已知0<α<π2<β<π，tan α2＝12，cos(β－α)＝210.(1)求sin α的值； (2)求β的值． [解] (1)∵tan α2＝12，∴tan α＝2tanα21－tan 2α2＝2×121－(12)2＝43，由⎩⎪⎨⎪⎧sin αcos α＝43，sin 2α＋cos 2α＝1，解得sin α＝45(sin α＝－45舍去)．(2)由(1)知cos α＝1－sin 2α＝1－(45)2＝35，又0<α<π2<β<π，∴β－α∈(0，π)，而cos(β－α)＝210， ∴sin(β－α)＝1－cos 2(β－α)＝1－(210)2＝7210，于是sin β＝sin[α＋(β－α)]＝sin αcos(β－α)＋cos αsin(β－α)＝45×210＋35×7210＝22.又β∈(π2，π)，∴β＝3π4.。

2018版高考数学人教A版理科一轮复习课时跟踪检测23 含

课时跟踪检测(二十三)1．函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π上的简图是( )A BC D答案：A解析：令x ＝0，得y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝－32，排除B ，D. 由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝0，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝0，排除C.2．将函数y ＝cos 2x ＋1的图象向右平移π4个单位，再向下平移1个单位后得到的函数图象对应的表达式为( )A ．y ＝sin 2xB ．y ＝sin 2x ＋2C ．y ＝cos 2xD ．y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π4答案：A解析：将函数y ＝cos 2x ＋1的图象向右平移π4个单位得到y ＝cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4＋1＝sin 2x＋1，再向下平移1个单位得到y ＝sin 2x ，故选A.3．函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0，－π2<φ<π2的部分图象如图所示，则ω，φ的值分别是( )A.12和π6 B ．12和－π3 C ．2和π6D ．2和－π3答案：D解析：由图可知T ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫11π12－5π12＝π，∴ω＝2，将⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12，2代入解析式可得，2＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×5π12＋φ，∴5π6＋φ＝2k π＋π2(k ∈Z )，∴φ＝2k π－π3， ∵－π2＜φ＜π2，∴φ＝－π3.4. 函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0，－π2<φ<π2的部分图象如图所示，将f (x )的图象向左平移π6个单位后的解析式为( )A ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6 B ．y ＝2sin 2xC ．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6D ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3答案：B解析：由题意得，最小正周期为T ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12＋π3×43＝π，∴ω＝2ππ＝2，由五点法，2×5π12＋φ＝π2，得φ＝－π3，符合题意，∴f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3，将f (x )的图象向左平移π6个单位后得y ＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6－π3＝2sin 2x .故选B.5．设函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)在x ＝π2时，取最大值A ，在x ＝3π2时，取最小值－A ，则当x ＝π时，函数y 的值( )A ．仅与ω有关B ．仅与φ有关C ．等于零D ．与φ，ω均有关答案：C解析：由题意，π2＋3π22＝π，根据函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象可知，当x ＝π时，函数y 的值为0.故选C.6．如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6x ＋φ＋k .据此函数可知，这段时间水深(单位：m)的最大值为()A ．5B ．6C ．8D ．10答案：C解析：根据图象得，函数的最小值为2，有－3＋k ＝2，则k ＝5，故最大值为3＋k ＝8.7．已知函数f (x )＝2sin ωx 在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π4上的最小值为－2，则ω的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，92∪∪∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞ 答案：D解析：当ω>0时，－π3ω≤ωx ≤π4ω，由题意知－π3ω≤－π2，即ω≥32；当ω<0时，π4ω≤ωx ≤－π3ω，由题意知π4ω≤－π2，∴ω≤－2.综上可知，ω的取值范围是(－∞，－2]∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞.8．已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0，|φ|<π2的最小正周期是π，若将f (x )的图象向右平移π3个单位后得到的图象关于原点对称，则函数f (x )的图象( )A ．关于直线x ＝π12对称B ．关于直线x ＝5π12对称C ．关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π12，0对称D ．关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12，0对称答案：B解析：∵f (x )的最小正周期为π，∴2πω＝π，ω＝2，∴f (x )的图象向右平移π3个单位后得到g (x )＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3＋φ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －2π3＋φ的图象，又g (x )的图象关于原点对称，∴－2π3＋φ＝k π，k ∈Z ，∴φ＝2π3＋k π，k ∈Z ，又|φ|<π2，∴φ＝－π3，∴f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3.当x ＝π12时，2x －π3＝－π6，∴A ，C 错误；当x ＝5π12时，2x －π3＝π2，∴B 正确，D 错误．9．将函数f (x )＝sin(ωx ＋φ) ⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0，－π2≤φ≤π2图象上每一点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再向右平移π6个单位长度得到y ＝sin x 的图象，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝________. 答案：22解析：y ＝sin x ――→向左平移π6个单位长度y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6――→纵坐标不变横坐标变为原来的2倍y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋π6，即f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋π6，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12＋π6＝sin π4＝22.10.已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ) ⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0，－π2≤φ≤π2的图象上的两个相邻的最高点和最低点的距离为22，且过点⎝⎛⎭⎪⎫2，－12，则函数解析式f (x )＝________.答案：sin ⎝⎛⎭⎪⎫πx 2＋π6解析：据已知两个相邻最高和最低点距离为22，可得⎝ ⎛⎭⎪⎫T 22＋＋2＝22，解得T ＝4，故ω＝2πT ＝π2，即f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx 2＋φ.又函数图象过点⎝⎛⎭⎪⎫2，－12，故f (2)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2×2＋φ＝－sin φ＝－12，又－π2≤φ≤π2，解得φ＝π6，故f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫πx 2＋π6.11．已知ω>0，在函数y ＝2sin ωx 与y ＝2cos ωx 的图象的交点中，距离最短的两个交点的距离为23，则ω＝________.答案：π2解析：由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2sin ωx ，y ＝2cos ωx得sin ωx ＝cos ωx ，∴tan ωx ＝1，ωx ＝k π＋π4(k ∈Z )． ∵ω>0，∴x ＝k πω＋π4ω(k ∈Z )．设距离最短的两个交点分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，不妨取x 1＝π4ω，x 2＝5π4ω，则|x 2－x 1|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪5π4ω－π4ω＝πω.又结合图形知|y 2－y 1|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－22－2×22＝22，且(x 1，y 1)与(x 2，y 2)间的距离为23， ∴(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2＝(23)2，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫πω2＋(22)2＝12， ∴ω＝π2.12．已知函数f (x )＝sin x ＋3cos x ，则下列命题正确的是________．(写出所有正确命题的序号)①f (x )的最大值为2；②f (x )的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，0对称； ③f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－5π6，π6上单调递增； ④若实数m 使得方程f (x )＝m 在上恰好有三个实数解x 1，x 2，x 3，则x 1＋x 2＋x 3＝7π3；⑤f (x )的图象与g (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －2π3的图象关于x 轴对称．答案：①③④解析：f (x )＝sin x ＋3cos x＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin x ＋32cos x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3.所以①正确；因为将x ＝－π6代入f (x )，得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫－π6＋π3＝1≠0，所以②不正确；由2k π－π2≤x ＋π3≤2k π＋π2，k ∈Z ，得2k π－5π6≤x ≤2k π＋π6，k ∈Z ，所以f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－5π6，π6上单调递增，③正确；若实数m 使得方程f (x )＝m 在上恰好有三个实数解，结合函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3及y ＝m的图象可知，必有x ＝0，x ＝2π，此时f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＝3，另一解为x ＝π3，即x 1，x 2，x 3满足x 1＋x 2＋x 3＝7π3，④正确；因为f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π－2π3＝－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2π3不与g (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2π3关于x 轴对称．⑤不正确．1．设函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，则下列结论正确的是( )A ．f (x )的图象关于直线x ＝π3对称 B ．f (x )的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，0对称 C ．f (x )的最小正周期为π，且在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π12上为增函数D ．把f (x )的图象向右平移π12个单位，得到一个偶函数的图象答案：C解析：对于函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，当x ＝π3时，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝sin 5π6＝12，故A 错；当x ＝π6时，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝sin π2＝1，故⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，0不是函数的对称点，故B 错；函数的最小正周期为T ＝2π2＝π，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π12时，2x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π3，此时函数为增函数，故C 正确；把f (x )的图象向右平移π12个单位，得到g (x )＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12＋π6＝sin 2x ，函数是奇函数，故D 错． 2．已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ，ω，φ均为正的常数)的最小正周期为π，当x ＝2π3时，函数f (x )取得最小值，则下列结论正确的是( ) A ．f (2)<f (－2)<f (0) B ．f (0)<f (2)<f (－2) C ．f (－2)<f (0)<f (2) D ．f (2)<f (0)<f (－2)答案：A解析：∵由于f (x )的最小正周期为π， ∴ω＝2，即f (x )＝A sin(2x ＋φ)，又当x ＝2π3时，2x ＋φ＝4π3＋φ＝2k π－π2(k ∈Z )，∴φ＝2k π－11π6(k ∈Z )，又φ>0，∴φmin ＝π6，故f (x )＝A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6. 于是f (0)＝12A ，f (2)＝A sin ⎝⎛⎭⎪⎫4＋π6，f (－2)＝A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－4＋π6＝A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫13π6－4.又∵－π2<5π6－4<4－7π6<π6<π2，其中f (2)＝A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4＋π6＝A sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π－⎝ ⎛⎭⎪⎫4＋π6＝A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6－4，f (－2)＝A sin ⎝⎛⎭⎪⎫13π6－4＝A sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π－⎝ ⎛⎭⎪⎫13π6－4＝A sin ⎝⎛⎭⎪⎫4－7π6. 又f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2上单调递增，∴f (2)<f (－2)<f (0)，故选A.3．函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)，A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2的部分图象如图所示，若x 1，x 2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，π3，且f (x 1)＝f (x 2)，则f (x 1＋x 2)＝( )A ．1B ．12C ．22D ．32答案：D解析：观察图象可知，A ＝1，T ＝π， ∴ω＝2，f (x )＝sin(2x ＋φ)．将⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，0代入上式得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＋φ＝0，由|φ|＜π2，得φ＝π3，则f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3.函数图象的对称轴为x ＝－π6＋π32＝π12.又x 1，x 2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，π3，且f (x 1)＝f (x 2)，∴x 1＋x 22＝π12，∴x 1＋x 2＝π6， ∴f (x 1＋x 2)＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2×π6＋π3＝32.故选D.4．已知f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3(ω>0)，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，且f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π3上有最小值，无最大值，则ω＝________.答案：143解析：依题意，x ＝π6＋π32＝π4时，y 有最小值，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4·ω＋π3＝－1，∴π4ω＋π3＝2k π＋3π2(k ∈Z )． ∴ω＝8k ＋143(k ∈Z )，因为f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π3上有最小值，无最大值，所以π3－π4≤πω，即ω≤12，令k ＝0，得ω＝143.5．已知函数f (x )＝23sin x cos x ＋2sin 2x －1，x ∈R . (1)求函数f (x )的最小正周期和单调递增区间；(2)将函数y ＝f (x )的图象上各点的纵坐标保持不变，横坐标缩短到原来的12，再把所得到的图象向左平移π6个单位长度，得到函数y ＝g (x )的图象，求函数y ＝g (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π12上的值域．解：(1)因为f (x )＝23sin x cos x ＋2sin 2x －1 ＝3sin 2x －cos 2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6，∴函数f (x )的最小正周期为T ＝π，由－π2＋2k π≤2x －π6≤π2＋2k π，k ∈Z ，∴－π6＋k π≤x ≤π3＋k π，k ∈Z ，∴f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6＋k π，π3＋k π，k ∈Z .(2)函数y ＝f (x )的图象上各点的纵坐标保持不变，横坐标缩短到原来的12，得到y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫4x －π6；再把所得到的图象向左平移π6个单位长度，得到g (x )＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤4⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6－π6＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋π2＝2cos 4x . 当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π12时，4x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2π3，π3，所以当x ＝0时，g (x )max ＝2，当x ＝－π6时，g (x )min ＝－1. ∴y ＝g (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π12上的值域为． 6．为迎接夏季旅游旺季的到来，少林寺单独设置了一个专门安排游客住宿的客栈，寺庙的工作人员发现为游客准备的一些食物有些月份剩余不少，浪费很严重，为了控制经营成本，减少浪费，就想适时调整投入．为此他们统计每个月入住的游客人数，发现每年各个月份来客栈入住的游客人数会发生周期性的变化，并且有以下规律：①每年相同的月份，入住客栈的游客人数基本相同；②入住客栈的游客人数在2月份最少，在8月份最多，相差约400人；③2月份入住客栈的游客约为100人，随后逐月递增直到8月份达到最多．(1)试用一个正弦型三角函数描述一年中入住客栈的游客人数与月份之间的关系；(2)请问哪几个月份要准备400份以上的食物？解：(1)设该函数为f (x )＝A sin(ωx ＋φ)＋B (A >0，ω>0,0<|φ|<π)，根据条件①，可知这个函数的周期是12；由②可知，f (2)最小，f (8)最大，且f (8)－f (2)＝400，故该函数的振幅为200；由③可知，f (x )在上单调递增，且f (2)＝100，所以f (8)＝500.根据上述分析可得，2πω＝12，故ω＝π6，且⎩⎪⎨⎪⎧ －A ＋B ＝100，A ＋B ＝500，解得⎩⎪⎨⎪⎧ A ＝200，B ＝300.根据分析可知，当x ＝2时f (x )最小，当x ＝8时f (x )最大．故sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π6＋φ＝－1，且sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫8×π6＋φ＝1. 又因为0<|φ|<π，故φ＝－5π6. 所以入住客栈的游客人数与月份之间的关系式为f (x )＝200sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6x －5π6＋300. (2)由条件可知，200sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6x －5π6＋300≥400，化简得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6x －5π6≥12，即2k π＋π6≤π6x －5π6≤2k π＋5π6，k ∈Z ，解得12k ＋6≤x ≤12k ＋10，k ∈Z .因为x ∈N *，且1≤x ≤12，故x ＝6,7,8,9,10. 即只有6,7,8,9,10.。

创新大课堂2018届高三数学理一轮复习课件：第二章函

(2)数形结合法：通过画函数图象，观察图象与 x 轴在给定区间上是否有交点来判断．提醒：在一个区间上单调的函数在该区间内至多只有一个零点，在确定函数零点的唯一性时往往要利用函数的单调性．
[ 题组集训] 1 1．(2016· 河南十所名校三联)设函数 f(x)＝3x－ln x，则函数 y＝f(x)( )
1 x∈e ，e时，函数图象是连续的，且
f′(x)
1 1 1 1 x－3 ＝3－x ＝ 3x ＜0，所以函数 f(x)在e ，e上单调递减．又 fe ＝
1 1 1 1 3e－lne ＞0，f(1)＝3＞0，f(e)＝3e－ln e＜0，所以函数有唯一的零点在区间(1，e)内．故选 D.
[ 小题查验] 1．给出下列命题： ①函数 f(x)＝x2－1 的零点是(－1,0)和(1,0)． ②函数 y＝f(x)在区间(a，b)内有零点(函数图象连续不断)，则一定有 f(a)· f(b)＜0. ③二次函数 y＝ax2＋bx＋c(a≠0)在 b2－4ac＜0 时没有零点．
④若函数 f(x)在(a，b)上单调且 f(a)· f(b)＜0，则函数 f(x)在 [ a，b]上有且只有一个零点．其中正确的是( A．①② C．③④ ) B．②③ D．①④
方程的根与函方程 f(x)＝0 有实数根⇔函数 y＝f(x)的图数零点的关系象与 x 轴有交点⇔函数 y＝f(x)有零点．
函数零点的存图象在[a，b]上连续不断，若 f(a)f(b)＜0，在定理函数存在零点的判断方法则 y＝f(x)在(a，b)内存在零点．解方程 f(x)＝0 利用零点存在性定理数形结合
第二章
函数、导数及其应用
第8节函数与方程
◆考纲·了然于胸◆ 1．结合二次函数的图象，了解函数的零点与方程根的联系，判断一元二次方程根的存在性及根的个数．

创新大课堂2018届高三数学理一轮复习课时活页作业60

课时活页作业（六十）[基础训练组]1．若在同等条件下进行n 次重复试验得到某个事件A 发生的频率f (n )，则随着n 的逐渐增加，有( )A ．f (n )与某个常数相等B ．f (n )与某个常数的差逐渐减小C ．f (n )与某个常数差的绝对值逐渐减小D ．f (n )在某个常数附近摆动并趋于稳定[解析] 随着n 的增大，频率f (n )会在概率附近摆动并趋于稳定，这也是频率与概率的关系．[答案] D2．围棋盒子中有多粒黑子和白子，已知从中取出2粒都是黑子的概率为17，都是白子的概率是1235.则从中任意取出2粒恰好是同一色的概率是( )A.17 B.1235 C.1735D ．1[解析] 设“从中取出2粒都是黑子”为事件A ，“从中取出2粒都是白子”为事件B ，“任意取出2粒恰好是同一色”为事件C ，则C ＝A ∪B ，且事件A 与B 互斥．所以P (C )＝P (A )＋P (B )＝17＋1235＝1735.即任意取出2粒恰好是同一色的概率为1735.[答案] C3．从3个红球、2个白球中随机取出2个球，则取出的2个球不全是红球的概率是( ) A.110 B.310 C.710D.35[解析] “取出的2个球全是红球”记为事件A ，则P (A )＝310.因为“取出的2个球不全是红球”为事件A 的对立事件，所以其概率为P (A )＝1－P (A )＝1－310＝710.[答案] C4．一个均匀的正方体玩具的各个面上分别标以数字1,2,3,4,5,6.将这个玩具向上抛掷1次，设事件A 表示向上的一面出现奇数点，事件B 表示向上的一面出现的点数不超过3，事件C 表示向上的一面出现的点数不小于4，则( )A ．A 与B 是互斥而非对立事件B ．A 与B 是对立事件C ．B 与C 是互斥而非对立事件D ．B 与C 是对立事件[解析] 根据互斥与对立的意义作答，A ∩B ＝{出现点数1或3}，事件A ，B 不互斥更不对立；B ∩C ＝∅，B ∪C ＝Ω(Ω为基本事件的集合)，故事件B ，C 是对立事件．[答案] D5．从一篮子鸡蛋中任取1个，如果其重量小于30克的概率为0.3，重量在[30,40]克的概率为0.5，那么重量不小于30克的概率为( )A ．0.3B ．0.5C ．0.8D ．0.7[解析] 由互斥事件概率加法公式知：重量在(40，＋∞)的概率为1－0.3－0.5＝0.2，又∵0.5＋0.2＝0.7，∴重量不小于30克的概率为0.7.[答案] D6．抛掷一粒骰子，观察掷出的点数，设事件A 为出现奇数点，事件B 为出现2点，已知P (A )＝12，P (B )＝16，则出现奇数点或2点的概率为________．[解析] 由题意知“出现奇数点”的概率是事件A 的概率，“出现2点”的概率是事件B 的概率，事件A ，B 互斥，则“出现奇数点或2点”的概率为P (A )＋P (B )＝12＋16＝23.[答案] 237．若随机事件A 、B 互斥，A 、B 发生的概率均不等于0，且分别为P (A )＝2－a ，P (B )＝3a －4，则实数a 的取值范围为________．[解析] ∵由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧0＜P (A )＜10＜P (B )＜1P (A )＋P (B )≤1，∴⎩⎪⎨⎪⎧0＜2－a ＜10＜3a －4＜12a －2≤1解得43＜a ≤32.[答案] ⎝⎛⎦⎤43，328．口袋内装有一些大小相同的红球、白球和黑球，从中摸出1个球，摸出红球的概率为0.42，摸出白球的概率为0.28，若红球有21个，则黑球有________个．[解析] 1－0.42－0.28＝0.30,21÷0.42＝50,50×0.30＝15. [答案] 159．有编号为1,2,3的三个白球，编号为4,5,6的三个黑球，这六个球除编号和颜色外完全相同，现从中任意取出两个球．(1)求取得的两个球颜色相同的概率； (2)求取得的两个球颜色不相同的概率． [解] 从六个球中取出两个球的基本事件是：(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,5)，(4,6)，(5,6)，共计15个．(1)记事件A 为“取出的两个球都是白球”，则这个事件包含的基本事件是(1,2)，(1,3)，(2,3)，共计3个，故P (A )＝315＝15；记“取出的两个球都是黑球”为事件B ，同理可得P (B )＝15. 记事件C 为“取出的两个球的颜色相同”，A ，B 互斥，根据互斥事件的概率加法公式，得P (C )＝P (A ∪B )＝P (A )＋P (B )＝25.(2)记事件D 为“取出的两个球的颜色不相同”，则事件C ，D 对立，根据对立事件概率之间的关系，得P (D )＝1－P (C )＝1－25＝35.10．(2016·潍坊模拟)甲、乙两人玩一种游戏，每次由甲、乙各出1到5根手指头，若和为偶数算甲赢，否则算乙赢．(1)若以A 表示和为6的事件，求P (A )．(2)现连玩三次，若以B 表示甲至少赢一次的事件，C 表示乙至少赢两次的事件，试问B 与C 是否为互斥事件？为什么？(3)这种游戏规则公平吗？说明理由．[解] (1)甲、乙各出1到5根手指头，共有5×5＝25种可能结果，和为6有5种可能结果，∴P (A )＝525＝15.(2)B 与C 不是互斥事件，理由如下：B 与C 都包含“甲赢一次，乙赢二次”，事件B 与事件C 可能同时发生，故不是互斥事件．(3)和为偶数有13种可能结果，其概率为P ＝1325＞12，故这种游戏规则不公平．[能力提升组]11．在一次随机试验中，彼此互斥的事件A 、B 、C 、D 的概率分别是0.2、0.2、0.3、0.3，则下列说法正确的是( )A ．A ∪B 与C 是互斥事件，也是对立事件 B ．B ∪C 与D 是互斥事件，也是对立事件 C ．A ∪C 与B ∪D 是互斥事件，但不是对立事件D ．A 与B ∪C ∪D 是互斥事件，也是对立事件[解析] 由于A ，B ，C ，D 彼此互斥，且A ∪B ∪C ∪D 是一个必然事件，故其事件的关系可由如图所示的Venn 图表示，由图可知，任何一个事件与其余3个事件的和事件必然是对立事件，任何两个事件的和事件与其余两个事件的和事件也是对立事件．[答案] D12．某产品分甲、乙、丙三级，其中乙、丙两级均属次品，在正常生产情况下，出现乙级品和丙级品的概率分别是5%和3%，则抽验一只是正品(甲级)的概率为( )A ．0.95B ．0.97C ．0.92D ．0.08[解析] 记抽验的产品是甲级品为事件A ，是乙级品为事件B ，是丙级品为事件C ，这三个事件彼此互斥，因而抽验的产品是正品(甲级)的概率为P (A )＝1－P (B )－P (C )＝1－5%－3%＝92%＝0.92.[答案] C13．某城市2014年的空气质量状况如下表所示：100＜T ≤150时，空气质量为轻微污染，则该城市2014年空气质量达到良或优的概率为( )A.15B.25C.35D.45[解析] 由题意可知2013年空气质量达到良或优的概率为P ＝110＋16＋13＝35.[答案] C14．若A ，B 互为对立事件，其概率分别为P (A )＝4x ，P (B )＝1y ，且x >0，y >0，则x ＋y的最小值为________．[解析] 由题意可知4x ＋1y ＝1，则x ＋y ＝(x ＋y )⎝⎛⎭⎫4x ＋1y ＝5＋⎝⎛⎭⎫4y x ＋x y ≥9，当且仅当4y x ＝x y ，即x ＝2y 时等号成立．[答案] 915．袋中有12个小球，分别为红球、黑球、黄球、绿球，从中任取一球，得到红球的概率是13，黑球或黄球的概率是512，绿球或黄球的概率也是512.求从中任取一球，得到黑球、黄球和绿球的概率分别是多少？[解] 从袋中任取一球，记事件“得到红球”“得到黑球”“得到黄球”“得到绿球”分别为A ，B ，C ，D ，则事件A ，B ，C ，D 彼此互斥，所以有P (B ＋C )＝P (B )＋P (C )＝512，P (D ＋C )＝P (D )＋P (C )＝512，P (B ＋C ＋D )＝P (B )＋P (C )＋P (D )＝1－P (A )＝1－13＝23，解得P (B )＝14，P (C )＝16，P (D )＝14. 故从中任取一球，得到黑球、黄球和绿球的概率分别是14，16，14.。

创新大课堂2018届高三数学理一轮复习课时活页作业43

课时活页作业（四十三）[基础训练组]1．若直线斜率的绝对值等于1，则直线的倾斜角为( ) A ．45° B ．135° C ．45°或135°D ．60°或120°[解析] 由|k |＝|tan α|＝1，知：k ＝tan α＝1或k ＝tan α＝－1.又倾斜角α∈[0°，180°)，∴α＝45°或135°.[答案] C2．(2016·绥化一模)直线x sin α＋y ＋2＝0的倾斜角的取值范围是( ) A ．[0，π) B ．[0，π4]∪[3π4，π)C ．[0，π4]D ．[0，π4]∪(π2，π)[解析] 直线x sin α＋y ＋2＝0的斜率为k ＝－sin α，又|sin α|≤1，∴|k |≤1，∴倾斜角的取值范围是[0，π4]∪[34π，π)．故选B.[答案] B3．已知直线l ∶ax ＋y －2－a ＝0在x 轴和y 轴上的截距相等，则a 的值是( ) A ．1 B ．－1 C ．－2或－1D ．－2或1[解析] 由题意可知a ≠0.当x ＝0时，y ＝a ＋2.当y ＝0时，x ＝a ＋2a ，∴a ＋2a ＝a ＋2，解得a ＝－2或a ＝1.[答案] D4．(2015·高考福建卷)若直线x a ＋yb ＝1(a >0，b >0)过点(1,1)，则a ＋b 的最小值等于( )A ．2B ．3C ．4D ．5[解析] 由题意1a ＋1b ＝1，∴a ＋b ＝(a ＋b )⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ＝2＋b a ＋ab ≥4，故选C. [答案] C5．(2016·浙江诸暨质检)已知两点M (2，－3)，N (－3，－2)，直线l 过点P (1,1)且与线段MN 相交，则直线l 的斜率k 的取值范围是( )A ．k ≥34或k ≤－4B ．－4≤k ≤34C.34≤k ≤4 D ．－34≤k ≤4[解析] 如图所示，∵k PN ＝1－(－2)1－(－3)＝34，k PM ＝1－(－3)1－2＝－4，∴要使直线l 与线段MN 相交，当l 的倾斜角小于90°时，k ≥k PN ；当l 的倾斜角大于90°时，k ≤k PM ，由已知得k ≥34或k ≤－4，故选A.[答案] A6．已知m ≠0，则过点(1，－1)的直线ax ＋3my ＋2a ＝0的斜率为________．[解析] ∵点(1，－1)在直线ax ＋3my ＋2a ＝0上，∴a －3m ＋2a ＝0，∴m ＝a ≠0，∴k ＝－a 3m ＝－13.[答案] －137．(2016·温州模拟)直线3x －4y ＋k ＝0在两坐标轴上的截距之和为2，则实数k ＝________.[解析] 令x ＝0，得y ＝k 4；令y ＝0，得x ＝－k 3.则有k 4－k3＝2，所以k ＝－24.[答案] －248．已知线段PQ 两端点的坐标分别为P (－1,1)和Q (2,2)，若直线l ∶x ＋my ＋m ＝0与线段PQ 有交点，则实数m 的取值范围是________．[解析] 直线l 过定点M (0，－1)，如图所示：k QM ＝2＋12＝32，k PM ＝1＋1－1＝－2，∴当k l ≥32或k l ≤－2时，直线l 与线段PQ 有交点．①当m ＝0时，直线l 的方程为x ＝0，直线l 与线段PQ 有交点；②当m ≠0时，由－1m ≥32或－1m ≤－2得－23≤m ＜0或0＜m ≤12.综上知，－23≤m ≤12.[答案] －23≤m ≤129．已知直线过点P 1(2,3)和点P 2(1，m )，且m 满足方程m 2－4m ＋3＝0，求该直线方程． [解析] 由题意，因为m 满足方程m 2－4m ＋3＝0，则m ＝1或m ＝3.若m ＝1，则直线方程可写为y －31－3＝x －21－2，即2x －y －1＝0；若m ＝3，则直线方程的斜率为0，直线方程可写为y ＝3.因此符合条件的直线方程为2x －y －1＝0或y ＝3.10．设直线l 的方程为x ＋my －2m ＋6＝0，根据下列条件分别确定m 的值： (1)直线l 的斜率为1； (2)直线l 在x 轴上的截距为－3.[解析] (1)因为直线l 的斜率存在，所以m ≠0，于是直线l 的方程可化为y ＝－1m x ＋2m －6m .由题意得－1m＝1，解得m ＝－1. (2)法一：令y ＝0，得x ＝2m －6.由题意得2m －6＝－3，解得m ＝32.法二：直线l 的方程可化为x ＝－my ＋2m －6.由题意得2m －6＝－3，解得m ＝32.[能力提升组]11．在同一平面直角坐标系中，直线l 1∶ax ＋y ＋b ＝0和直线l 2∶bx ＋y ＋a ＝0有可能是( )[解析] 直线l 1∶ax ＋y ＋b ＝0的斜率k 1＝－a ，在y 轴上的截距为－b ；直线l 2∶bx ＋y ＋a ＝0的斜率k 2＝－b ，在y 轴上的截距为－a .在选项A 中l 2的斜率－b ＜0，而l 1在y 轴上截距－b ＞0，所以A 不正确．同理可排除C 、D.[答案] B12．(2016·江门模拟)如果A ·C ＜0，且B ·C ＜0，那么直线Ax ＋By ＋C ＝0不通过( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限[解析] 由题意知A ·B ·C ≠0，直线方程变为y ＝－A B x －C B .∵A ·C ＜0，B ·C ＜0，∴A ·B ＞0，∴其斜率k ＝－A B ＜0.又y 轴上的截距b ＝－CB＞0，∴直线过第一、二、四象限．[答案] C13．已知点A (－1,0)，B (cos α，sin α)，且|AB |＝3，则直线AB 的方程为( ) A ．y ＝3x ＋3或y ＝－3x － 3 B ．y ＝33x ＋33或y ＝－33x －33C ．y ＝x ＋1或y ＝－x －1D ．y ＝2x ＋2或y ＝－2x － 2[解析] |AB |＝(cos α＋1)2＋sin 2α＝2＋2cos α＝3，所以cos α＝12，sin α＝±32，所以k AB ＝±33，即直线AB 的方程为y ＝±33(x ＋1)，所以直线AB 的方程为y ＝33x ＋33或y ＝－33x －33. [答案] B14．一条直线经过点A (－2,2)，并且与两坐标轴围成的三角形的面积为1，则此直线的方程为__________．[解析] 设所求直线的方程为x a ＋y b ＝1，∵A (－2,2)在直线上，∴－2a ＋2b ＝1.①又因直线与坐标轴围成的三角形面积为1， ∴12|a |·|b |＝1.② 由①②可得(1)⎩⎪⎨⎪⎧ a －b ＝1，ab ＝2，或(2)⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＝－1ab ＝－2.由(1)解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2，b ＝1，或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝－2.方程组(2)无解．故所求的直线方程为x 2＋y 1＝1或x －1＋y－2＝1，即x ＋2y －2＝0或2x ＋y ＋2＝0为所求直线的方程．[答案] x ＋2y －2＝0或2x ＋y ＋2＝0 15．已知直线l ∶kx －y ＋1＋2k ＝0(k ∈R )． (1)证明：直线l 过定点；(2)若直线l 不经过第四象限，求k 的取值范围；(3)若直线l 交x 轴负半轴于点A ，交y 轴正半轴于点B ，O 为坐标原点，设△AOB 的面积为S ，求S 的最小值及此时直线l 的方程．[解] (1)证明：证法一：直线l 的方程可化为y ＝k (x ＋2)＋1，故无论k 取何值，直线l 总过定点(－2,1)．证法二：设直线l 过定点(x 0，y 0)，则kx 0－y 0＋1＋2k ＝0对任意k ∈R 恒成立，即(x 0＋2)k －y 0＋1＝0恒成立，∴x 0＋2＝0，－y 0＋1＝0，解得x 0＝－2，y 0＝1，故直线l 总过定点(－2,1)．(2)直线l 的方程为y ＝kx ＋2k ＋1，则直线l 在y 轴上的截距为2k ＋1，要使直线l 不经过第四象限，则⎩⎪⎨⎪⎧k ≥0，1＋2k ≥0，解得k 的取值范围是[0，＋∞)．(3)依题意，直线l 在x 轴上的截距为－1＋2k k ，在y 轴上的截距为1＋2k ，∴A ⎝⎛⎭⎫－1＋2k k ，0，B (0,1＋2k )．又－1＋2k k ＜0且1＋2k ＞0，∴k ＞0.故S ＝12|OA ||OB |＝12×1＋2k k (1＋2k )＝12⎝⎛⎭⎫4k ＋1k ＋4≥12(4＋4)＝4，当且仅当4k ＝1k ，即k ＝12时，取等号．故S 的最小值为4，此时直线l 的方程为x －2y ＋4＝0.。

高考数学一轮复习课时作业二十三理试题

课时(kèshí)作业(二十三)1．在△ABC 中，a 2＝b 2＋c 2＋bc ，那么(nà me)∠A ＝( ) A ．60° B ．45° C ．120° D ．30°答案(dá àn) C解析(jiě xī) cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝－bc 2bc ＝－12，∴∠A ＝120°.2．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，A ＝π3，a ＝3，b ＝1，那么c等于( )A ．1B ．2 C.3－1 D. 3答案 B解析由正弦定理a sin A ＝b sin B ，可得3sinπ3＝1sin B，∴sin B ＝12，故∠B ＝30°或者150°.由a >b ，得∠A >∠B ，∴∠B ＝30°. 故∠C ＝90°，由勾股定理得c ＝2.3．在△ABC 中，假设sin A ·sin B <cos A ·cos B ，那么此三角形的外心位于它的( ) A ．内部 B ．外部 C ．一边上 D ．以上都有可能答案 B解析 sin A sin B <cos A cos B ，即cos A cos B －sin A sin B >0，∴cos(A ＋B )>0， ∴A ＋B 为锐角，∴C 为钝角，∴△ABC 为钝角三角形，外心位于它的外部．4．在△ABC 中，三内角(nèi jiǎo)A 、B 、C 分别(fēnbié)对三边a 、b 、c ，tan C ＝43，c ＝8，那么(nà me)△ABC 外接圆半径(bànjìng)R 为( ) A ．10 B ．8 C ．6 D ．5答案 D解析此题考察解三角形．由题可知应用正弦定理，由tan C ＝43⇒sin C ＝45，那么2R ＝c sin C ＝845＝10，故外接圆半径为5.5．(2021·模拟)△ABC 中，a ，b ，c 分别为∠A 、∠B 、∠C 的对边，假如a ，b ，c 成等差数列，∠B ＝30°，△ABC 的面积为0.5，那么b 为( )A ．1＋ 3B ．3＋ 3 C.3＋33D ．2＋ 3答案 C解析 2b ＝a ＋c ，12ac ·12＝12⇒ac ＝2，a 2＋c 2＝4b 2－4，b 2＝a 2＋c 2－2ac ·32⇒b 2＝4＋233⇒b ＝3＋33. 6．在△ABC 中，AB ＝3，AC ＝1，B ＝30°，那么△ABC 的面积为( ) A.32B.34C.32或者 3 D.34或者32答案 D解析(jiě xī) 如图，由正弦定理得 sin C ＝c ·sin B b ＝32，而c >b ， ∴C ＝60°或者(huòzhě)C ＝120°， ∴A ＝90°或者(huòzhě)A ＝30°， ∴S △ABC ＝12bc sin A ＝32或者(huòzhě)34.7．(2021·理)如图，在△ABC 中，D 是边AC 上的点，且AB ＝AD,2AB ＝3BD ，BC ＝2BD ，那么sin C 的值是( )A.33B.36C.63D.66答案 D解析设AB ＝c ，那么AD ＝c ，BD ＝2c 3，BC ＝4c3，在△ABD 中，由余弦定理得cos A ＝c 2＋c 2－43c22c 2＝13，那么sin A ＝223.在△ABC 中，由正弦定理得c sin C ＝BC sin A ＝4c 3223，解得sin C ＝66，应选择D. 8．在△ABC 中，假设(jiǎshè)(a ＋b ＋c )(a ＋b －c )＝3ab 且sin C ＝2sin A cos B ，那么(nà me)△ABC 是( )A ．等边三角形B ．等腰三角形，但不是(bù shi)等边三角形C ．等腰直角三角形D ．直角三角形，但不是(bù shi)等腰三角形答案 A解析 ∵(a ＋b ＋c )(a ＋b －c )＝3ab ，即a 2＋b 2－c 2＝ab ，∴cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝12，∴C ＝60°.又sin C ＝2sin A cos B ，由sin C ＝2sin A ·cos B 得c ＝2a ·a 2＋c 2－b 22ac，∴a 2＝b 2，∴a ＝b .∴△ABC 为等边三角形．9．(2021·)在△ABC 中，假设b ＝5，∠B ＝π4，tan A ＝2，那么sin A ＝________；a ＝________.答案255210 解析因为△ABC 中，tan A ＝2，所以A 是锐角，且sin A cos A＝2，sin 2A ＋cos 2A ＝1，联立解得sin A ＝255，再由正弦定理得a sin A ＝bsin B，代入数据解得a ＝210.10．(2021·调研)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，假设a 2－b 2＝3bc ，sin C ＝23sin B ，那么角A 的大小为________．答案(dá àn)π6解析(jiě xī) 因为sin C ＝23sin B ，所以(suǒyǐ)c ＝23b ，于是(yúshì)cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝c 2－3bc 2bc ＝32，又A 是三角形的内角，所以A ＝π6.11．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .假设1＋tan A tan B ＝2cb ，那么角A的大小为________．答案π3解析 ∵2c b ＝2sin C sin B ，1＋tan A tan B ＝1＋sin A cos Bcos A sin B＝sin A cos B ＋cos A sin B cos A sin B ＝sin A ＋B cos A sin B ＝sin Ccos A sin B ，∴2sin C sin B ＝sin Ccos A sin B. 在△ABC 中，sin B ≠0，sin C ≠0， ∴cos A ＝12，A ＝π3，故填π3.12．对于△ABC ，有如下命题：①假设sin2A ＝sin2B ，那么△ABC 为等腰三角形；②假设sin A ＝cos B ，那么△ABC 为直角三角形；③假设sin 2A ＋sin 2B ＋cos 2C <1，那么△ABC 为钝角三角形．其中正确命题的序号是________．(把你认为所有正确的都填上)答案 ③解析 ①sin2A ＝sin2B ，∴⎩⎪⎨⎪⎧A ＝B ⇒△ABC 是等腰三角形，或者2A ＋2B ＝π⇒A ＋B ＝π2，即△ABC 是直角三角形.故①不对．②sin A ＝cos B ，∴A －B ＝π2或者A ＋B ＝π2.∴△ABC 不一定(yīdìng)是直角三角形． ③sin 2A ＋sin 2B <1－cos 2C ＝sin 2C ， ∴a 2＋b 2<c 2.∴△ABC 为钝角(dùnjiǎo)三角形．13．△ABC 中，∠B ＝45°，AC ＝10，cos C ＝255.(1)求BC 边的长；(2)记AB 的中点(zhōnɡ diǎn)为D ，求中线(zhōngxiàn)CD 的长．答案 (1)3 2 (2)13解析 (1)由cos C ＝255得sin C ＝55，sin A ＝sin(180°－45°－C ) ＝22(cos C ＋sin C )＝31010. 由正弦定理知BC ＝ACsin B·sin A ＝1022·31010＝3 2.(2)AB ＝AC sin B·sin C ＝1022·55＝2. BD ＝12ABCD ＝BD 2＋BC 2－2BD ·BC ·cos B＝1＋18－2·1·32·22＝13.讲评解斜三角形的关键在于灵敏地运用正弦定理和余弦定理，纯熟掌握用正弦定理和余弦定理解决问题，要注意由正弦定理asin A＝bsin B求B 时，应对解的个数进展讨论；a ，b ，A ，求c 时，除用正弦定理a sin A ＝csin C外，也可用余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2ab cos A 求解．14．在△ABC 中，a ，b ，c 分别(fēnbié)是三内角A ，B ，C 所对的三边(sān biān)，b 2＋c 2＝a 2＋bc .(1)求角A 的大小(dàxiǎo)；(2)假设(jiǎshè)2sin 2B2＋2sin 2C2＝1，试判断△ABC 的形状．答案 (1)π3(2)等边三角形解 (1)在△ABC 中，∵b 2＋c 2＝a 2＋bc ，∴cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝bc 2bc ＝12.∵A ∈(0，π)，∴A ＝π3.(2)∵2sin 2B2＋2sin 2C2＝1，∴1－cos B ＋1－cos C ＝1.∴cos B ＋cos C ＝1，即cos B ＋cos(2π3－B )＝1，即cos B ＋cos 2π3cos B ＋sin 2π3sin B ＝1，即32sin B ＋12cos B ＝1，∴sin(B ＋π6)＝1. ∵0<B <π，∴π6<B ＋π6<7π6.∴B ＋π6＝π2.∴B ＝π3，C ＝π3.∴△ABC 为等边三角形．15．在△ABC 中，内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，向量m ＝(2sin B ，－3)，n ＝(cos2B,2cos 2B2－1)，且m ∥n .(1)求锐角B 的大小；(2)假如b ＝2，求△ABC 的面积S △ABC 的最大值．答案(dá àn) (1)π3(2) 3解析(jiě xī) (1)m ∥n ⇒2sin B (2cos 2B2－1)＝－3cos2B ⇒2sin B cos B ＝－3cos2B⇒tan2B ＝－ 3.∵0<2B <π，∴2B ＝2π3，∴B ＝π3.(2)b ＝2，由余弦定理(yú xián dìnɡ lǐ)，得：4＝a 2＋c 2－ac ≥2ac －ac ＝ac (当且仅当a ＝c ＝2时等号成立(chénglì))． ∵△ABC 的面积S △ABC ＝12ac sin B ＝34ac ≤3，∴△ABC 的面积S △ABC 的最大值为 3.1．(2021·西城期末)△ABC 中，a ＝1，b ＝2，B ＝45°，那么A 等于( ) A ．150° B ．90° C ．60° D ．30°答案 D解析由正弦定理得1sin A ＝2sin45°，得sin A ＝12. 又a <b ，∴A <B ＝45°.∴A ＝30°，应选D.2．(2021·质测)△ABC 中，sin A ∶sin B ∶sin C ＝1∶1∶3，那么此三角形的最大内角的度数是( )A ．60°B ．90°C ．120°D ．135°答案 C解析 ∵在△ABC 中，sin A ∶sin B ∶sin C ＝a ∶b ∶c ， ∴a ∶b ∶c ＝1∶1∶ 3.设a ＝b ＝k ，c ＝3k ，那么(nà me)cos C ＝k 2＋k 2－3k22×k ×k＝－12，∴C ＝120°，应选(yīnɡ xuǎn)C.3．在△ABC 中，a ，b ，c 分别(fēnbié)为角A ，B ，C 所对的边，假设(jiǎshè)a ＝2b cos C ，那么此三角形一定是( )A ．等腰直角三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形D ．等腰三角形或者直角三角形答案 C解析因为a ＝2b cos C ，所以由余弦定理得：a ＝2b ×a 2＋b 2－c 22ab，整理得b 2＝c 2，那么此三角形一定是等腰三角形．4．(2021·)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，sin C ＋cos C ＝1－sin C2. (1)求sin C 的值；(2)假设a 2＋b 2＝4(a ＋b )－8，求边c 的值．答案 (1)34(2)7＋1解析 (1)由得sin C ＋sin C 2＝1－cos C ，即sin C 2(2cos C2＋1)＝2sin 2C2，由sin C 2≠0得2cos C 2＋1＝2sin C 2，即sin C 2－cos C 2＝12，两边平方整理得：sin C ＝34.(2)由sin C 2－cos C 2＝12>0得π4<C 2<π2，即π2<C <π，那么由sin C ＝34得cos C ＝－74，由a 2＋b 2＝4(a ＋b )－8得：(a －2)2＋(b －2)2＝0，那么a ＝2，b ＝2，由余弦定理(yú xián dìnɡ lǐ)得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝8＋27，所以(suǒyǐ)c ＝7＋1.5．(2021·)设△ABC 的内角(nèi jiǎo)A 、B 、C 所对的边分别(fēnbié)为a 、b 、c ，a ＝1，b ＝2，cos C ＝14.(1)求△ABC 的周长； (2)求cos(A －C )的值．答案 (1)5 (2)1116解析 (1)∵c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝1＋4－4×14＝4.∴c ＝2.∴△ABC 的周长为a ＋b ＋c ＝1＋2＋2＝5.(2)∵cos C ＝14，∴sin C ＝1－cos 2C ＝1－142＝154.∴sin A ＝a sin Cc ＝1542＝158. ∵a <c ，∴A <C ，故A 为锐角，∴cos A ＝1－sin 2A ＝1－1582＝78， ∴cos(A －C )＝cos A cos C ＋sin A sin C ＝78×14＋158×154＝1116.1．(2021·五校联考)在△ABC 中，三边a 、b 、c 所对的角分别为A 、B 、C ，假设a 2＋b 2－c 2＋2ab ＝0，那么角C 的大小为________．答案3π4(或者135°) 解析在△ABC 中，由余弦定理得：cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab，而a 2＋b 2－c 2＝－2ab ，∴cos C ＝－2ab 2ab ＝－22.∴角C 的大小(dàxiǎo)为3π4.2．A 、B 、C 为△ABC 的三个内角(nèi jiǎo)，且其对边分别为a 、b 、c ，且2cos 2A2＋cos A ＝0.(1)求角A 的值；(2)假设(jiǎshè)a ＝23，b ＋c ＝4，求△ABC 的面积(miàn jī)．解 (1)由2cos 2A 2＋cos A ＝0，得1＋cos A ＋cos A ＝0，即cos A ＝－12，∵角A 为△ABC的内角，∴A ＝2π3.(2)由余弦定理得，a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，A ＝2π3，那么a 2＝(a ＋c )2－bc ，又a ＝23，b ＋c ＝4，有12＝42－bc ，那么bc ＝4. 故S △ABC ＝12bc sin A ＝ 3.3．有一解三角形的题，因纸张破损有一个条件不清，详细如下：在△ABC 中，a ＝3，2cos2A ＋C2＝(2－1)cos B ，________，求角A .经推断破损处的条件为三角形一边的长度，且答案提示A ＝60°，试将条件补充完好，并写出详细的推导过程．思路此题容易产生的错误是无视验证结果而填写上b ＝ 2.利用正余弦定理解题，注意利用三角形内角和定理与大边对大角定理进展验证结果是否正确．解析将A ＝60°看作条件，由2cos2A ＋C2＝(2－1)cos B ，得cos B ＝22，∴B ＝45°. 由a sin A ＝bsin B，得b ＝ 2. 又C ＝75°，得sin C ＝sin(30°＋45°)＝2＋64. 由a sin A ＝csin C，得c ＝2＋62. 假设(jiǎshè)条件为b ＝2，且由得B ＝45°，那么(nà me)由a sin A ＝b sin B ，得sin A ＝32，∴A ＝60°或者120°不合(bùhé)题意．假设(jiǎshè)条件为c ＝2＋62，那么b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ， ∴b ＝2，cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12，∴A ＝60°.综上所述，破损处的条件为c ＝2＋62. 4．函数f (x )＝32sin2x －cos 2x －12，x ∈R . (1)求函数f (x )的最小值和最小正周期；(2)设△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且c ＝3，f (C )＝0，假设向量m ＝(1，sin A )与向量n ＝(2，sin B )一共线，求a ，b 的值．解 (1)∵f (x )＝32sin2x －1＋cos2x 2－12＝sin(2x －π6)－1，∴函数f (x )的最小值是－2，最小正周期是T ＝2π2＝π.(2)由题意得f (C )＝sin(2C －π6)－1＝0，那么sin(2C －π6)＝1，∵0<C <π，∴0<2C <2π，∴－π6<2C －π6<116π，∴2C －π6＝π2，C ＝π3，∵向量m ＝(1，sin A )与向量n ＝(2，sin B )一共线，∴12＝sin Asin B，由正弦(zhèngxián)定理得，a b ＝12，①由余弦定理(yú xián dìnɡ lǐ)得，c 2＝a 2＋b 2－2ab cos π3，即3＝a 2＋b 2－ab ，②由①②解得a ＝1，b ＝2.5．(2021·大纲(dàgāng)全国文)△ABC 的内角(nèi jiǎo)A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，a sin A ＋c sin C －2a sin C ＝b sin B .(1)求B ；(2)假设A ＝75°，b ＝2，求a ，c . 解析 (1)由正弦定理得a 2＋c 2－2ac ＝b 2. 由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B . 故cos B ＝22，因此B ＝45°. (2)sin A ＝sin(30°＋45°)＝sin 30°cos 45°＋cos 30°sin 45°＝2＋64. 故a ＝b ×sin A sin B ＝2＋62＝1＋3，c ＝b ×sin C sin B ＝2×sin 60°sin 45°＝ 6. 6．(2021·文)△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，a sin A sin B ＋b cos 2 A ＝2a .(1)求b a；(2)假设c 2＝b 2＋3a 2，求B .解析 (1)由正弦定理得，sin 2A sinB ＋sin B cos 2A ＝2sin A ，即sinB (sin 2A ＋cos 2A )＝2sin A .故sin B ＝2sin A ，所以b a＝ 2.(2)由余弦定理(yú xián dìnɡ lǐ)和c 2＝b 2＋3a 2，得cos B ＝1＋3a2c.由(1)知b 2＝2a 2，故c 2＝(2＋3)a 2.可得cos 2B ＝12，又cos B >0，故cos B ＝22，所以(suǒyǐ)B ＝45°.7．(2021·文)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别(fēnbié)是a ，b ，c ，3a cos A ＝c cos B ＋b cos C .(1)求cos A 的值；(2)假设(jiǎshè)a ＝1，cos B ＋cos C ＝233，求边c 的值．解析 (1)由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，有c cos B ＋b cos C ＝a ，代入条件得3a cos A ＝a ，即cos A ＝13.(2)由cos A ＝13得sin A ＝223，那么cos B ＝－cos(A ＋C )＝－13cos C ＋223sin C ，代入cos B ＋cos C ＝233，得cos C ＋2sin C ＝3，从而得sin(C ＋φ)＝1，其中sin φ＝33，cos φ＝63，0<φ<π2，那么C ＋φ＝π2，于是sin C＝63，由正弦定理得c＝a sin Csin A＝32.内容总结。

创新大课堂高三人教版数学理科一轮复习课时作业2.3函数的单调性与最值(含答案详析)

课时作业一、选择题1．(2013 ·宣城月考 )以下四个函数中，在区间 (0，1)上是减函数的是()2B ． y ＝ x A ．y ＝log x1x1C ．y ＝－ 2D ．y ＝ x D [y ＝ log 2x 在(0，＋∞ )上为增函数；y ＝x 在(0，＋∞ )上是增函数；1xy ＝ 2 在 (0，＋∞ )上是减函数，1xy ＝－ 2 在(0，＋∞ )上是增函数；1y ＝ x 在(0，＋∞ )上是减函数，1故 y ＝ x 在 (0，1)上是减函数．应选 D.]2．若函数 f(x)＝4x 2－mx ＋5 在 [－2，＋∞ )上递加，在 (－∞，－2]上递减，则 f(1)＝()A ．－ 7B ．1C ．17D ．25－m mD [ 依题意，知函数图象的对称轴为 x ＝－ 8 ＝ 8 ＝－ 2，即 m ＝－ 16，从而 f(x)＝4x 2＋16x ＋5，f(1)＝4＋16＋5＝25.]． ·佛山月考若函数＝－ b在 (0，＋∞ )上都是减函数，则 y ＝ax 2 3 (2014 )y ＝ ax 与 y x＋ bx 在(0，＋∞ )上是( )A ．增函数B ．减函数C ．先增后减D ．先减后增bB [ ∵y ＝ax 与 y ＝－ x 在(0，＋∞ )上都是减函数， ∴ a<0，b<0，2∴y ＝ax ＋bx 的对称轴方程bx ＝－ 2a<0，∴ y ＝ax 2＋bx 在(0，＋∞ )上为减函数． ]4．“函数 f(x)在[a ，b] 上为单一函数”是“函数 f(x)在[a ，b]上有最大值和最小值”的()A ．充足不用要条件B ．必需不充足条件C ．充要条件D ．既不充足也不用要条件A [ 若函数 f(x)在[a ，b]上为单一递加 (减)函数，则在 [a ，b]上必定存在最小 (大)值 f(a)，最大 (小) 值 f(b)．因此充足性知足；反之，不必定建立，如二次函数f(x)＝x 2－ 2x ＋3 在 [0，2] 存在最大值和最小值，但该函数在 [0，2]不拥有单一性，因此必需性不知足，即 “函数 f(x)在[a ， b] 上单一 ”是“ 函数 f(x)在[a ， b] 上有最大值和最小值 ”的充足不用要条件． ]5．设函数 f(x)定义在实数集上， f(2－ x)＝f(x)，且当 x ≥1 时， f(x)＝ ln x ，则有()11A ．f(3)<f(2)<f( 2)1 1 B ．f(2)<f(2)<f( 3)1 1C ．f(2)<f( 3)<f(2)1 1 D ．f(2)<f(2)<f(3)C [ 由 f(2－x)＝ f(x)可知 f(x)的图象对于直线 x ＝ 1 对称，当 x ≥1 时， f(x)＝ln x ，可知当x ≥ 1 时 f(x)为增函数，因此当x<1时f(x)为减函数， 1 1 1 1由于 |2－1|<|3－1|<|2－1|，因此 f(2)<f(3)<f(2)．应选C.]6．定义在 R 上的函数 f(x)知足 f(x ＋ y)＝f(x)＋f(y)，当 x<0 时，f(x)>0，则函数 f(x)在 [a ，b] 上有( )A ．最小值 f(a)B．最大值 f(b)C．最小值 f(b)D．最大值 f a＋b2C[ ∵f(x)是定义在R上的函数，且f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，∴f(0)＝ 0，令 y＝－ x，则有 f(x)＋ f(－ x)＝f(0)＝0.∴f(－ x)＝－ f(x)．∴ f(x)是R上的奇函数．设 x1<x2，则 x1－x2<0，∴f(x1)－f(x2)＝ f(x1)＋f(－x2)＝f(x1－x2)>0.∴f(x)在R上是减函数．∴f(x)在 [a，b]有最小值 f(b)．]7．设函数 f(x)定义在实数集上， f(2－ x)＝f(x)，且当 x≥1 时， f(x)＝ ln x，则有() 11A ．f 3 <f(2)<f 211B．f2<f(2)<f 311C．f2<f 3<f(2)1 1D．f(2)<f 2 <f 3C[ 由 f(2－x)＝ f(x)可知， f(x)的图象对于直线 x＝ 1 对称，当 x≥1 时， f(x)＝1 ln x，可知当 x≥ 1 时 f(x)为增函数，因此当 x<1 时 f(x)为减函数，由于2－1 111<3－ 1<|2－1|，因此 f 2<f 3<f(2)． ]8．(2014 ·黄冈模拟 )已知函数 y＝1－ x＋ x＋ 3的最大值为 M，最小值为 m，则mM的值为() 11A. 4B.223C. 2D. 2C[ 明显函数的定义域是 [ －3，1] 且 y≥0，故y2＝ 4 ＋ 2（1－x）（x＋3）＝4＋2－x2－2x＋3＝4＋2－（ x＋1）2＋4，依据根式内的二次函数，可得 4≤ y2≤8，m 2故 2≤y≤ 2 2，即 m＝2，M＝ 2 2，因此M＝2 .]二、填空题9．函数 y＝－ (x－ 3)|x|的递加区间是 ________．分析y＝－ (x－ 3)|x|－x2＋3x，x>0，＝x2－ 3x，x≤0.作出该函数的图象，3察看图象知递加区间为0，2 .3答案0，2ax＋110．若 f(x)＝x＋2在区间 (－2，＋∞ )上是增函数，则 a 的取值范围是 ________．分析设 x1>x2>－ 2，则 f(x1)>f(x2)，ax1＋1 ax2＋1而 f(x1)－f(x2)＝x1＋2－x2＋22ax1＋x2－ 2ax2－x1＝（x1＋2）（ x2＋2）（x1－x2）（ 2a－1）＝>0，（x1＋ 2）（ x2＋2）1则 2a－ 1>0.得 a>2.1，＋∞答案2三、解答题x11．已知 f(x)＝x－a(x≠ a)．(1)若 a＝－ 2，试证 f(x)在 (－∞，－ 2)内单一递加；(2)若 a>0 且 f(x)在 (1，＋∞ )内单一递减，求 a 的取值范围．分析(1)证明：设 x1<x2<－2，则 f(x1)－ 2 ＝x1－x2＝2（x1－x2）f(x )x1＋2x2＋ 2（x1＋2）（ x2＋2）.∵(x1＋2)(x2＋2)>0，x1－x2<0，∴f(x1)<f(x2)，∴ f(x)在 (－∞，－ 2)内单一递加．(2)设 1<x1<x2，则x1x2a（x2－ x1）f(x1)－ f(x2)＝－＝.x1－ a x2－a（x1－a）（x2－a）∵a>0，x2－x1>0，∴要使 f(x1)－f(x2)>0，只要 (x1－ a)(x2－a)>0 恒建立，∴a≤1.综上所述， a 的取值范围为 (0，1]．12．已知 f(x)是定义在 [－ 1， 1]上的奇函数，且f(1)＝1，若 a，b∈[－ 1， 1]，f（ a）＋ f（ b）a＋b≠0 时，有＞0建立．a＋b(1)判断 f(x)在[－ 1， 1]上的单一性，并证明；11(2)解不等式： f(x＋2)＜f(x－1)；(3)若 f(x)≤ m2－2am＋1 对全部的 a∈[ －1，1]恒建立，务实数 m 的取值范围．分析(1)任取 x1，x2∈[ －1，1]，且 x1＜x2，则－ x2∈[ －1，1]，∵ f(x)为奇函数，∴f(x1)－f(x2)＝ f(x1)＋f(－x2)f（x1）＋ f（－ x2）＝·(x1－x2)，x1＋（－ x2）由已知得f（x1）＋f（－x2）＞0，x1－ x2＜0，∴f(x1)－f(x2)＜ 0，即 f(x1)＜f(x2)．∴f(x)在 [－1，1]上单一递加．x1＋（－ x2）(2)∵f(x)在[ －1，1]上单一递加，11x＋＜，2 x－ 11∴－1≤x＋2≤1，1－1≤x－1≤1.3解得－2≤x＜－ 1.(3)∵f(1)＝1，f(x)在[ －1，1]上单一递加．∴在 [－ 1， 1] 上，f(x)≤1.问题转变为 m2－2am＋1≥1，即 m2－ 2am≥0，对 a∈ [ － 1，1] 建立．设 g(a)＝－ 2m·a＋ m2≥0.①若 m＝0，则 g(a)＝ 0≥0，对 a∈[ －1， 1]恒建立．②若 m≠0，则 g(a)为 a 的一次函数，若 g(a)≥ 0，对 a∈[ －1，1]恒建立，必须 g(－1)≥ 0 且 g(1)≥0，∴ m≤ －2，或 m≥2.∴ m 的取值范围是 m＝0 或 m≥2 或 m≤－2.。

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课时活页作业（二十三）[基础训练组]1．在△ABC 中，a ＝15，b ＝10，A ＝60°，则cos B ＝( ) A ．－223B.223 C ．－63D.63[解析] 由正弦定理得15sin 60°＝10sin B， ∴sin B ＝10·sin 60°15＝10×3215＝33. ∵a >b ，A ＝60°，∴B 为锐角，∴cos B ＝1－sin 2B ＝1－(33)2＝63. [答案] D2．(2016·辽宁五校协作联考)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，S 表示△ABC 的面积，若a cos B ＋b cos A ＝c sin C ，S ＝14(b 2＋c 2－a 2)，则B 等于( )A ．90°B ．60°C ．45°D ．30°[解析] 由正弦定理得sin A cos B ＋sin B cos A ＝sin C sin C ，即sin(B ＋A )＝sin 2C ，所以sin C ＝1，C ＝90°.根据三角形面积公式和余弦定理得S ＝12bc sin A ，b 2＋c 2－a 2＝2bc cos A ，代入已知得12bc sin A ＝14·2bc cos A ，所以tan A ＝1，A ＝45°，因此B ＝45°. [答案] C3．(2016·合肥模拟)在△ABC 中，A ＝60°，AB ＝2，且△ABC 的面积为32，则BC 的长为( )A.32B. 3 C ．2 3D ．2[解析] S ＝12×|AB |·|AC |sin 60°＝12×2×32|AC |＝32，所以|AC |＝1，所以|BC |2＝|AB |2＋|AC |2－2|AB |·|AC |cos 60°＝3，所以|BC |＝ 3.[答案] B4．(2016·莆田模拟)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b ＝2c cos A ，c ＝2b cos A ，则△ABC 的形状为( )A ．直角三角形B ．锐角三角形C ．等边三角形D ．等腰直角三角形[解析] 由正弦定理，得sin B ＝2sin C cos A ，sin C ＝2sin B cos A ，即sin(A ＋C )＝2sin C cos A ＝sin A cos C ＋cos A sin C ，即sin A cos C －cos A sin C ＝0，所以sin(A －C )＝0，A ＝C ，同理可得A ＝B ，所以三角形为等边三角形. 故选C.[答案] C5．(2016·宁波模拟)某大学的大门蔚为壮观，有个学生想搞清楚门洞拱顶D 到其正上方A 点的距离，他站在地面C 处，利用皮尺量得BC ＝9米，利用测角仪器得仰角∠ACB ＝45°，测得仰角∠BCD 后通过计算得到sin ∠ACD ＝2626，则AD 的距离为( ) A ．2米 B ．2.5米 C ．3米D ．4米[解析] 设AD ＝x ，则BD ＝9－x ， CD ＝92＋(9－x )2，在△ACD 中，应用正弦定理得CD sin ∠DAC ＝ADsin ∠ACD ，即92＋(9－x )222＝x 2626，所以2[92＋(9－x )2]＝26x 2，即81＋81－18x ＋x 2＝13x 2，所以2x 2＋3x －27＝0，即(2x ＋9)(x －3)＝0，所以x ＝3(米)． [答案] C6．(2016·惠州模拟)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若(a 2＋c 2－b 2)tan B ＝3ac ，则角B 的值为________．[解析] 由余弦定理，得a 2＋c 2－b 22ac ＝cos B ，结合已知等式得cos B ·tan B ＝32， ∴sin B ＝32，∴B ＝π3或2π3.[答案] π3或2π37．在△ABC 中，B ＝60°，AC ＝3，则△ABC 周长的最大值为________． [解析] 在△ABC 中，设a ，b ，c 分别是△ABC 的三个角A ，B ，C 的对边．由余弦定理得(3)2＝a 2＋c 2－2ac cos 60°＝a 2＋c 2－ac ≥(a ＋c )2－3(a ＋c 2)2，则14(a ＋c )2≤3，解得a ＋c ≤23，故△ABC 周长的最大值为3 3. [答案] 3 38．(2015·高考北京卷)在△ABC 中，a ＝4，b ＝5，c ＝6，则sin 2A sin C ＝________.[解析] ∵cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝25＋36－162×5×6＝34∴sin 2A sin C ＝2sin A cos A sin C ＝2ac ·cos A ＝2×46×34＝1 [答案] 19．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c .已知(b －2a )cos C ＋c cos B ＝0. (1)求C ；(2)若c ＝7，b ＝3a ，求△ABC 的面积．[解] (1)由已知及正弦定理得：(sin B －2sin A )cos C ＋sin C cos B ＝0，sin B cos C ＋cos B sin C ＝2sin A cos C ，sin(B ＋C )＝2sin A cos C ，∴sin A ＝2sin A cos C . 又sin A ≠0，得cos C ＝12.又C ∈(0，π)，∴C ＝π3.(2)由余弦定理得：c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2－ab ＝7，b ＝3a ，解得a ＝1，b ＝3. 故△ABC 的面积S ＝12ab sin C＝12×1×3×32＝334. 10．(2016·江西七校联考)已知在△ABC 中，C ＝2A ，cos A ＝34，且2BA →·CB →＝－27.(1)求cos B 的值； (2)求AC 的长度．[解] (1)∵C ＝2A ，∴cos C ＝cos 2A ＝2cos 2A －1＝18，∴sin C ＝378，sin A ＝74.∴cos B ＝－cos(A ＋C )＝sin A ·sin C －cos A ·cos C ＝916. (2)∵AB sin C ＝BC sin A ，∴AB ＝32BC . ∵2BA →·CB →＝－27，cos B ＝916，∴|BA →||CB →|＝24，∴BC ＝4，AB ＝6， ∴AC ＝ BC 2＋AB 2－2BC ·AB ·cos B＝ 16＋36－2×4×6×916＝5.[能力提升组]11．△ABC 中，AC ＝7，BC ＝2，B ＝60°，则BC 边上的高等于( ) A.32 B.332 C.3＋62D.3＋394[解析] 设AB ＝a ，则由AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC cos B 知7＝a 2＋4－2a ，即a 2－2a －3＝0，∴a ＝3(负值舍去)．∴BC 边上的高为AB ·sin B ＝3×32＝332. [答案] B12．(2016·厦门模拟)在不等边三角形ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a ，b ，c ，其中a 为最大边，如果sin 2(B ＋C )<sin 2B ＋sin 2C ，则角A 的取值范围为( )A.⎝⎛⎭⎫0，π2B.⎝⎛⎭⎫π4，π2 C.⎝⎛⎭⎫π6，π3D.⎝⎛⎭⎫π3，π2 [解析] 由题意得sin 2A <sin 2B ＋sin 2C ，再由正弦定理得a 20. 则cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc >0，∵0<A <π，∴0<A <π2.又a 为最大边，∴A >π3.因此得角A 的取值范围是⎝⎛⎭⎫π3，π2.[答案] D13．(2016·哈尔滨模拟)如图，两座相距60 m 的建筑物AB ，CD 的高度分别为20 m,50 m ，BD 为水平面，则从建筑物AB 的顶端A 看建筑物CD 的张角为( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．75°[解析] 依题意可得AD ＝2010 m ，AC ＝30 5 m ，又CD ＝50 m ，所以在△ACD 中，由余弦定理，得cos ∠CAD ＝AC 2＋AD 2－CD 22AC ·AD＝(305)2＋(2010)2－5022×305×2010＝600060002＝22，又0°＜∠CAD ＜180°，所以∠CAD ＝45°，所以从顶端A 看建筑物CD 的张角为45°. [答案] B14．(2016·咸阳模拟)有一解三角形的题目因纸张破损有一个条件不清，具体如下：在△ABC 中，已知a ＝3，2cos 2A ＋C2＝(2－1)cos B ，c ＝________，求角A .(答案提示：A ＝60°，请将条件补充完整)[解析] 由题知1＋cos(A ＋C )＝(2－1)cos B ，所以1－cos B ＝(2－1)cos B ，解得cos B ＝22，所以B ＝45°，又A ＝60°，所以C ＝75°. 根据正弦定理，得3sin 60°＝csin 75°，解得c ＝6＋22.故应填6＋22. [答案]6＋2215．(2016·衡水模拟)如图，在△ABC 中，sin 12∠ABC ＝33，AB ＝2，点D 在线段AC 上，且AD ＝2DC ，BD ＝433.(1)求BC 的长． (2)求△DBC 的面积．[解] (1)因为sin 12∠ABC ＝33，所以cos ∠ABC ＝1－2×13＝13.在△ABC 中，设BC ＝a ，AC ＝3b ，则由余弦定理可得9b 2＝a 2＋4－43a ，①在△ABD 和△DBC 中，由余弦定理可得 cos ∠ADB ＝4b 2＋163－41633b ，cos ∠BDC ＝b 2＋163－a 2833b .因为cos ∠ADB ＝－cos ∠BDC ，所以有4b 2＋163－41633b ＝－b 2＋163－a 2833b ，所以3b 2－a 2＝－6.②由①②可得a ＝3，b ＝1，即BC ＝3.(2)由(1)得△ABC 的面积为12×2×3×223＝22，所以△DBC 的面积为223.。