2018届人教A版(文) 变化率与导数、导数的运算 检测卷
人教版数学高二《变化率与导数》 同步测试
高二数学选修1－1《变化率与导数》练习卷知识点：1、 若某个问题中的函数关系用()f x 表示，问题中的变化率用式子()()2121f x f x x x --fx ∆=∆表示，则式子()()2121f x f x x x --称为函数()f x 从1x 到2x 的平均变化率． 2.函数()f x 在0x x =处的瞬时变化率是()()210021lim limx x f x f x fx x x∆→∆→-∆=-∆，则称它为函数()y f x =在0x x =处的导数，记作()0f x '或x xy ='，即()()()0000limx f x x f x f x x∆→+∆-'=∆．3.函数()y f x =在点0x 处的导数的几何意义是曲线()y f x =在点()()00,x f x P 处的切线的斜率．曲线()y f x =在点()()00,x f x P 处的切线的斜率是()0f x '，切线的方程为()()()000y f x f x x x '-=-．若函数在0x 处的导数不存在，则说明斜率不存在，切线的方程为0x x =．4.若当x 变化时，()f x '是x 的函数，则称它为()f x 的导函数（导数），记作()f x '或y '，即()()()limx f x x f x f x y x∆→+∆-''==∆．同步练习：1.在平均变化率的定义中，自变量的增量x ∆是（ ）A ．0x ∆>B ．0x ∆<C ．0x ∆≠D ．0x ∆= 2.设函数()y f x =，当自变量x 由0x 改变到0x x +∆时，函数的改变量y ∆是（ ） A ．()0f x x +∆ B ．()0f x x +∆ C ．()0f x x ⋅∆ D ．()()00f x x f x +∆-3.已知函数()224f x x =-的图象上一点()1,2-及附近一点()1,2x y +∆-+∆，则y x∆∆等于（ ）A ．4B ．4xC ．42x +∆D ．()242x +∆4.自变量0x 变到1x 时，函数值的增量与相应自变量的增量之比是函数（ ） A ．在区间[]01,x x 上的平均变化率 B ．在0x 处的变化率 C ．在1x 处的变化量 D ．在区间[]01,x x 上的导数5.如果质点M 按规律23s t =+运动，则在一小段时间[]2,2.1中相应的平均速度是（ ）A ．4B ．4.1C ．0.41D ．36.如果质点A 按规律32s t =运动，则在3t =s 时的瞬时速度是（ ）A ．6B ．18C ．54D ．817.在()()()0000limx f x x f x f x x∆→+∆-'=∆中，x ∆不可能（ ）A ．大于0B ．小于0C ．等于0D ．大于0或小于0 8.曲线221y x =+在()1,3P -处的切线方程是（ ）A ．41y x =--B ．47y x =--C ．41y x =-D ．47y x =-9.函数1y x =-在1,22⎛⎫- ⎪⎝⎭处的切线方程是（ ） A ．4y x = B ．44y x =- C．()41y x =+D ．24y x =-10.曲线2122y x =-在点31,2⎛⎫- ⎪⎝⎭处切线的倾斜角是（ ）A ．1B ．4π C ．54π D ．4π-11.若曲线4y x =的一条切线l 与直线480x y +-=垂直，则l 的方程是（ ）A ．430x y --=B ．450x y +-=C ．430x y -+=D ．430x y ++=12.一质点运动的方程为253s t =-，则在一段时间[]1,1t +∆内相应的平均速度是（ ）A ．36t ∆+B ．36t -∆+C ．36t ∆-D ．36t -∆-13.设()f x 在x 处可导，则()()lim2h f x h f x h h→+--等于（ ）A ．()2f x 'B ．()12f x ' C ．()f x ' D ．()4f x ' 14.函数()()211y x x =+-在1x =处的导数等于（ ）A ．1B ．2C ．3D ．415.曲线3231y x x =-+在点()1,1-处的切线方程是（ ）A ．34y x =-B ．32y x =-+C ．43y x =-+D ．45y x =- 16.函数()y f x =在0x x =处的导数()0f x '的几何意义是（ ） A ．在点0x 处的斜率B ．在点()()00,x f x 处的切线与x 轴所成夹角的正切值 C ．曲线()y f x =在点()()00,x f x 处切线的斜率 D ．点()()00,x f x 与点()0,0连线的斜率 17.已知曲线31433y x =+，则过点()2,4P 的切线方程是____________________． 18.若函数()f x 在0x 处的切线的斜率为k ，则极限()()0002limx f x x f x x∆→-∆-=∆_______．19.若()f x 在0x 处可导，则()()0002limx f x x f x x∆→-∆-=∆________________．20.若()03f x '=-，则()()0003limh f x h f x h h→+--等于_____________．21.函数1y x x=+在1x =处的导数是___________． 22.已知212s gt =，t 从3秒到3.1秒的平均速度是______________．23.已知函数32y x =-，当2x =时，yx∆=∆__________．。
人教版数学高二变化率及导数、导数的计算测试题 名师测试
摘要：强化练习，提高能力！！ 关键字：同步测试，导数，陈立田同步测试变化率及导数、导数的计算测试题（一）----人教A 版选修2-2第一章（时间：60分钟 满分：90分）一、选择题（本大题共6小题，每小题5分，共30分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
）1. 已知函数f (x ) = a x 2＋c ,且(1)f '=2 , 则a 的值为( )A.1B.2C.－1D. 02. 已知函数()f x 在1x =处的导数为3，则()f x 的解析式可能为( ) A ．(x - 1)3+3(x - 1) B ．2(x - 1)2C ．2(x - 1)D ．x - 1 3．函数)0,4(2cos π在点x y =处的切线方程是( )A ．024=++πy xB ．024=+-πy xC ．024=--πy xD ．024=-+πy x 4.曲线3cos (0)2y x x π=≤≤与坐标轴围成的面积是( ) A. 4 B.52C. 3D. 2 5. 已知自由下落物体的速度为V = g t ，则物体从t = 0到t 0所走过的路程为( )A ．2012gt B ．20gt C ． 2013gt D ．2014gt 6.函数2sin(2)y x x =+导数是( )A..2cos(2)x x + B.22sin(2)x x x + C.2(41)cos(2)x x x ++ D.24cos(2)x x +二、填空题：（每题4分共20分）7．设函数32()2f x x ax x '=++, (1)f '= 9,则a = .8. 物体的运动方程是s = －31t 3＋2t 2－5,则物体在t = 3时的瞬时速度为______. 9.把总长为16 m 的篱笆，要围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是____m 2.10.设0>a ，c bx ax x f ++=2)(，曲线)(x f y =在))(,(00x f x P 处切线的倾斜角的取值范围是]4,0[π，则P 到曲线)(x f y =对称轴距离的取值范围是 .三.解答题（共40分）。
2018届高考数学(文)大一轮复习检测第二章第10讲变化率与导数、导数的计算Word版含答案
第10讲 变化率与导数、导数的计算, [学生用书P47])1．导数的概念(1)函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数称函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率lim Δx →0 f （x 0＋Δx ）－f （x 0）Δx＝lim Δx →0 Δy Δx 为函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数，记作f ′(x 0)或y ′|x ＝x 0，即f ′(x 0)＝lim Δx →0 Δy Δx ＝lim Δx →0 f （x 0＋Δx ）－f （x 0）Δx. (2)导数的几何意义函数f (x )在点x 0处的导数f ′(x 0)的几何意义是在曲线y ＝f (x )上点P (x 0，y 0)处的切线的斜率(瞬时速度就是位移函数s (t )对时间t 的导数)．相应地，切线方程为y －y 0＝f ′(x 0)(x －x 0)．(3)函数f (x )的导函数称函数f ′(x )＝lim Δx →0_f （x ＋Δx ）－f （x ）Δx为f (x )的导函数．2．基本初等函数的导数公式(1)[f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )； (2)[f (x )·g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )；(3)⎣⎢⎡⎦⎥⎤f （x ）g （x ）′＝f ′（x ）g （x ）－f （x ）g ′（x ）[g （x ）](g (x )≠0)．1．辨明三个易误点(1)利用公式求导时要特别注意不要将幂函数的求导公式(x n )′＝nx n －1与指数函数的求导公式(a x )′＝a x ln a 混淆．(2)求曲线切线时，要分清在点P 处的切线与过P 点的切线的区别，前者只有一条，而后者包括了前者．(3)曲线的切线与曲线的交点个数不一定只有一个，这和研究直线与二次曲线相切时有差别．2．导数运算的技巧(1)要准确地把函数分割为基本函数的和、差、积、商的形式，再利用运算法则求导数； (2)对于不具备求导法则结构形式的，要适当恒等变形，转化为较易求导的结构形式，再求导数．但必须注意变形的等价性，避免不必要的运算失误．对数函数的真数是根式或者分式时，可用对数的运算性质将真数转化为有理式或整式，然后再求解比较方便；当函数表达式含有三角函数时，可优先考虑利用三角公式进行化简后再求导．1.教材习题改编 函数y ＝f (x )的图象如图，则导函数f ′(x )的大致图象为( )B [解析] 由导数的几何意义可知，f ′(x )为常数，且f ′(x )＜0. 2.教材习题改编 函数y ＝x cos x －sin x 的导数为( ) A ．x sin x B ．－x sin xC ．x cos xD ．－x cos xB [解析] y ′＝x ′cos x ＋x (cos x )′－(sin x )′＝cos x －x sin x －cos x ＝－x sin x . 3.教材习题改编 已知f (x )＝13－8x ＋2x 2，f ′(x 0)＝4，则x 0＝________．[解析] 因为f ′(x )＝－8＋4x ，所以f ′(x 0)＝－8＋4x 0＝4，解得x 0＝3. [答案] 34.教材习题改编 函数y ＝x ln x 与x 轴的交点为P ，则曲线y ＝x ln x 在点P 处的切线方程为________．[解析] 由y ＝0得x ln x ＝0，即x ＝1， 所以P 点的坐标为(1，0)．又y ′＝ln x ＋1，所以曲线在点P 处的切线斜率为y ′|x ＝1＝ln 1＋1＝1.故切线方程为y ＝x －1.[答案] y ＝x －15．若曲线y ＝e －x 上点P 处的切线平行于直线2x ＋y ＋1＝0，则点P 的坐标是________．[解析] 设P (x 0，y 0)，因为y ＝e －x ，所以y ′＝－e －x ， 所以点P 处的切线斜率为k ＝－e －x 0＝－2， 所以－x 0＝ln 2，所以x 0＝－ln 2，所以y 0＝e ln 2＝2，所以点P 的坐标为(－ln 2，2)． [答案] (－ln 2，2)导数的计算[学生用书P47][典例引领](1)已知函数y ＝f (x )的导函数为f ′(x )且f (x )＝x 2f ′⎝⎛⎭⎫π3＋sin x ，则f ′⎝⎛⎭⎫π3＝________．(2)求下列函数的导数：①y ＝(3x 2－4x )(2x ＋1)；②y ＝x 2sin x ；③y ＝3x e x －2x ＋e ；④y ＝ln xx 2＋1.【解】 (1)因为f (x )＝x 2f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋sin x ，所以f ′(x )＝2xf ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋cos x .所以f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝2×π3f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋cos π3.所以f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝36－4π.故填36－4π.(2)①因为y ＝(3x 2－4x )(2x ＋1) ＝6x 3＋3x 2－8x 2－4x ＝6x 3－5x 2－4x ， 所以y ′＝18x 2－10x －4.②y ′＝(x 2)′sin x ＋x 2(sin x )′＝2x sin x ＋x 2cos x . ③y ′＝(3x e x )′－(2x )′＋e ′＝(3x )′e x ＋3x (e x )′－(2x )′ ＝3x e x ln 3＋3x e x －2x ln 2 ＝(ln 3＋1)·(3e)x －2x ln 2.④y ′＝（ln x ）′（x 2＋1）－ln x （x 2＋1）′（x 2＋1）2＝1x （x 2＋1）－2x ln x （x 2＋1）2＝x 2＋1－2x 2ln xx （x 2＋1）2.[通关练习]1．已知f (x )＝12x 2＋2xf ′(2 017)＋2 017ln x ，则f ′(2 017)＝________．[解析] 由题意得f ′(x )＝x ＋2f ′(2 017)＋2 017x ，所以f ′(2 017)＝2 017＋2f ′(2 017)＋2 0172 017，即f ′(2 017)＝－(2 017＋1)＝－2 018. 故填－2 018. [答案] －2 0182．求下列函数的导数：(1)y ＝x n e x ；(2)y ＝cos xsin x ；(3)y ＝e x ln x .[解] (1)y ′＝nx n －1e x ＋x n e x ＝x n －1e x (n ＋x )． (2)y ′＝－sin 2x －cos 2x sin 2x ＝－1sin 2x. (3)y ′＝e x ln x ＋e x ·1x＝e x ⎝⎛⎭⎫1x ＋ln x .导数的几何意义(高频考点)[学生用书P48]导数的几何意义是每年高考的必考内容，考查题型既有选择题也有填空题，也常出现在解答题的第(1)问中，属中低档题．高考对导数几何意义的考查主要有以下三个命题角度： (1)已知切点求切线方程；(2)已知切线方程(或斜率)求切点坐标； (3)已知切线方程求参数值．[典例引领](1)(2016·高考全国卷丙)已知f (x )为偶函数，当x ≤0时，f (x )＝e －x －1－x ，则曲线y ＝f (x )在点(1，2)处的切线方程是____________．(2)(2015·高考全国卷Ⅰ)已知函数f (x )＝ax 3＋x ＋1的图象在点(1，f (1))处的切线过点(2，7)，则a ＝________．(3)设曲线y ＝e x 在点(0，1)处的切线与曲线y ＝1x(x ＞0)上点P 处的切线垂直，则P 的坐标为________．【解析】 (1)当x ＞0时，－x ＜0，则f (－x )＝e x －1＋x .又f (x )为偶函数，所以f (x )＝f (－x )＝e xe ＋x ，所以当x ＞0时，f ′(x )＝e x －1＋1，则曲线y ＝f (x )在点(1，2)处的切线的斜率为f ′(1)＝2，所以切线方程为y －2＝2(x －1)，即y ＝2x .(2)因为 f ′(x )＝3ax 2＋1， 所以f ′(1)＝3a ＋1. 又f (1)＝a ＋2，所以切线方程为y －(a ＋2)＝(3a ＋1)(x －1)． 因为切线过点(2，7)，所以7－(a ＋2)＝3a ＋1，解得a ＝1.(3)y ′＝e x ，曲线y ＝e x 在点(0，1)处的切线的斜率k 1＝e 0＝1，设P (m ，n )，y ＝1x(x >0)的导数为y ′＝－1x 2(x >0)，曲线y ＝1x (x >0)在点P 处的切线斜率k 2＝－1m 2(m >0)，因为两切线垂直，所以k 1 k 2＝－1，所以m ＝1，n ＝1，则点P 的坐标为(1，1)． 【答案】 (1)y ＝2x (2)1 (3)(1，1)[题点通关]角度一 已知切点求切线方程 1．(2017·威海质检)已知函数f (x )＝x ln x ，若直线l 过点(0，－1)，并且与曲线y ＝f (x )相切，则直线l 的方程为( )A ．x ＋y －1＝0B ．x －y －1＝0C ．x ＋y ＋1＝0D ．x －y ＋1＝0B [解析] 因为点(0，－1)不在曲线f (x )＝x ln x 上，所以设切点为(x 0，y 0)．又因为f ′(x )＝1＋ln x ，所以⎩⎪⎨⎪⎧y 0＝x 0ln x 0，y 0＋1＝（1＋ln x 0）x 0，解得x 0＝1，y 0＝0.所以切点为(1，0)，所以f ′(1)＝1＋ln 1＝1.所以直线l 的方程为y ＝x －1，即x －y －1＝0.角度二 已知切线方程(或斜率)求切点坐标2．设a ∈R ，函数f (x )＝e x＋aex 的导函数是f ′(x )，且f ′(x )是奇函数．若曲线y ＝f (x)的一条切线的斜率是32，则切点的横坐标为________．[解析] 函数f (x )＝e x ＋a e x 的导函数是f ′(x )＝e x －aex .又f ′(x )是奇函数，所以f ′(x )＝－f ′(－x )，即e x －ae x ＝－(e －x －a ·e x )，则e x (1－a )＝e －x (a －1)，所以(e 2x ＋1)(1－a )＝0，解得a ＝1，所以f ′(x )＝e x －1e x .令e x －1e x ＝32，解得e x ＝2或e x ＝－12(舍去)，所以x ＝ln 2.[答案] ln 2角度三 已知切线方程求参数值3．直线y ＝kx ＋1与曲线y ＝x 3＋ax ＋b 相切于点A (1，3)，则2a ＋b 的值等于( ) A ．2 B ．－1 C ．1 D ．－2C [解析] 依题意知，y ′＝3x 2＋a ，则⎩⎪⎨⎪⎧13＋a ＋b ＝3，3×12＋a ＝k ，k ＋1＝3，由此解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝3，k ＝2，所以2a ＋b ＝1，选C., [学生用书P49])——导数与其他知识的交汇抛物线y ＝x 2在x ＝1处的切线与两坐标轴围成的三角形区域为D (包含三角形内部与边界)．若点P (x ，y )是区域D 内的任意一点，则x ＋2y 的取值范围是________．【解析】 由于y ′＝2x ，所以抛物线在x ＝1处的切线方程为y －1＝2(x －1)，即y ＝2x －1.画出可行域(如图)．设x ＋2y ＝z ，则y ＝－12x ＋12z ，可知当直线y ＝－12x ＋12z 经过点A ⎝⎛⎭⎫12，0，B (0，－1)时，z 分别取到最大值和最小值，此时最大值z max ＝12，最小值z min ＝－2，故取值范围是⎣⎡⎦⎤－2，12. 【答案】 ⎣⎡⎦⎤－2，12(1)本题以y ＝x 2在x ＝1处的切线问题为条件，利用导数的几何意义求得切线方程，构造出求x ＋2y 的取值范围的可行域，充分体现了导数与线性规划的交汇．(2)利用导函数的特性，在求解有关奇(偶)函数问题中，发挥出奇妙的作用． (3)导数还可以与数列、向量、解析几何等交汇．(2017·武汉高三月考)已知曲线f (x )＝x n ＋1(n ∈N *)与直线x ＝1交于点P ，设曲线y ＝f (x )在点P 处的切线与x 轴交点的横坐标为x n ，则log 2 017x 1＋log 2 017x 2＋…＋log 2 017x 2 016的值为________．[解析] f ′(x )＝(n ＋1)x n ，k ＝f ′(1)＝n ＋1，点P (1，1)处的切线方程为y －1＝(n ＋1)(x －1)，令y ＝0，得x ＝1－1n ＋1＝n n ＋1，即x n ＝nn ＋1.所以x 1·x 2·…·x 2 016＝12×23×34×…×2 0152 016×2 0162 017＝12 017.则log 2 017x 1＋log 2 017x 2＋…＋log 2 017x 2 016＝log 2 017(x 1·x 2·…·x 2 016)＝log 2 01712 017＝－1.[答案] －1, [学生用书P311(独立成册)])1．(2017·惠州模拟)已知函数f (x )＝1x cos x ，则f (π)＋f ′⎝⎛⎭⎫π2＝( )A ．－3π2B ．－1π2C ．－3πD ．－1πC [解析] 因为f ′(x )＝－1x 2cos x ＋1x (－sin x )，所以f (π)＋f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝－1π＋2π·(－1)＝－3π.2．(2017·大同模拟)已知函数f (x )＝x sin x ＋ax ，且f ′⎝⎛⎭⎫π2＝1，则a ＝( )A ．0B ．1C ．2D ．4A [解析] 因为f ′(x )＝sin x ＋x cos x ＋a ，且f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝1，所以sin π2＋π2cos π2＋a ＝1，即a ＝0.3．(2016·高考山东卷)若函数y ＝f (x )的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称y ＝f (x )具有T 性质．下列函数中具有T 性质的是( )A ．y ＝sin xB ．y ＝ln xC ．y ＝e xD ．y ＝x 3A [解析] 设两切点坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)．选项A 中，y ′＝cos x ，cos x 1cos x 2＝－1，当x 1＝0，x 2＝π时满足，故选项A 中的函数具有T 性质；选项B 、C 、D 中函数的导数均为正值或非负值，故两点处的导数之积不可能为－1，故选A. 4．曲线y ＝sin x ＋e x 在点(0，1)处的切线方程是( ) A ．x －3y ＋3＝0 B ．x －2y ＋2＝0 C ．2x －y ＋1＝0 D ．3x －y ＋1＝0C [解析] 因为y ＝sin x ＋e x ， 所以y ′＝cos x ＋e x ， 所以y ′|x ＝0＝cos 0＋e 0＝2，所以曲线y ＝sin x ＋e x 在点(0，1)处的切线方程为y －1＝2(x －0)，即2x －y ＋1＝0. 5．(2017·上饶模拟)若点P 是曲线y ＝x 2－ln x 上任意一点，则点P 到直线y ＝x －2距离的最小值为( )A ．1B ． 2C ．22D ． 3B [解析] 因为定义域为(0，＋∞)，令y ′＝2x －1x ＝1，解得x ＝1，则在P (1，1)处的切线方程为x －y ＝0，所以两平行线间的距离为d ＝22＝ 2.6．已知f (x )＝ln x ，g (x )＝12x 2＋mx ＋72(m ＜0)，直线l 与函数f (x )，g (x )的图象都相切，且与f (x )图象的切点为(1，f (1))，则m 的值为( )A ．－1B ．－3C ．－4D ．－2D [解析] 因为f ′(x )＝1x，所以直线l 的斜率为k ＝f ′(1)＝1， 又f (1)＝0，所以切线l 的方程为y ＝x －1.g ′(x )＝x ＋m ，设直线l 与g (x )的图象的切点为(x 0，y 0)，则有x 0＋m ＝1，y 0＝x 0－1，y 0＝12x 20＋mx 0＋72，m ＜0，于是解得m ＝－2. 7．设函数f (x )在(0，＋∞)内可导，且f (e x )＝x ＋e x ，则f ′(2 017)＝________．[解析] 令e x ＝t ，则x ＝ln t ，所以f (t )＝ln t ＋t ，故f (x )＝ln x ＋x .求导得f ′(x )＝1x＋1，故f ′(2017)＝12 017＋1＝2 0182 017.[答案] 2 0182 0178．若直线l 与幂函数y ＝x n 的图象相切于点A (2，8)，则直线l 的方程为________． [解析] 由题意知，A (2，8)在y ＝x n 上，所以2n ＝8，所以n ＝3，所以y ′＝3x 2，直线l 的斜率k ＝3×22＝12，又直线l 过点(2，8)．所以y －8＝12(x －2)，即直线l 的方程为12x －y －16＝0.[答案] 12x －y －16＝0 9．(2017·郑州第二次质检)如图，y ＝f (x )是可导函数，直线l ：y ＝kx ＋2是曲线y ＝f (x )在x ＝3处的切线，令g (x )＝xf (x )，其中g ′(x )是g (x )的导函数，则g ′(3)＝________．[解析] 由题图可得曲线y ＝f (x )在x ＝3处切线的斜率等于－13，即f ′(3)＝－13.又因为g (x )＝xf (x )，所以g ′(x )＝f (x )＋xf ′(x )，g ′(3)＝f (3)＋3f ′(3)，由题图可知f (3)＝1，所以g ′(3)＝1＋3×⎝⎛⎭⎫－13＝0. [答案] 0 10．(2017·保定一模)函数f (x )＝ln x ＋ax 的图象上存在与直线2x －y ＝0平行的切线，则实数a 的取值范围是________．[解析] 函数f (x )＝ln x ＋ax 的图象上存在与直线2x －y ＝0平行的切线，即f ′(x )＝2在(0，＋∞)上有解，而f ′(x )＝1x ＋a ，即1x ＋a ＝2在(0，＋∞)上有解，a ＝2－1x，因为x >0，所以2－1x<2，所以a 的取值范围是(－∞，2)． [答案] (－∞，2)11．已知函数f (x )＝13x 3－2x 2＋3x (x ∈R )的图象为曲线C .(1)求过曲线C 上任意一点切线斜率的取值范围；(2)若在曲线C 上存在两条相互垂直的切线，求其中一条切线与曲线C 的切点的横坐标的取值范围．[解] (1)由题意得f ′(x )＝x 2－4x ＋3， 则f ′(x )＝(x －2)2－1≥－1，即过曲线C 上任意一点切线斜率的取值范围是[－1，＋∞)． (2)设曲线C 的其中一条切线的斜率为k ，则由(2)中条件并结合(1)中结论可知，⎩⎪⎨⎪⎧k ≥－1，－1k ≥－1，解得－1≤k ＜0或k ≥1，故由－1≤x 2－4x ＋3＜0或x 2－4x ＋3≥1， 得x ∈(－∞，2－2]∪(1，3)∪[2＋2，＋∞)．12．(2017·安徽安庆二模)给出定义：设f ′(x )是函数y ＝f (x )的导函数，f ″(x )是函数f ′(x )的导函数，若方程f ″(x )＝0有实数解x 0，则称点(x 0，f (x 0))为函数y ＝f (x )的“拐点”．已知函数f (x )＝3x ＋4sin x －cos x 的拐点是M (x 0，f (x 0))，则点M ( )A ．在直线y ＝－3x 上B ．在直线y ＝3x 上C ．在直线y ＝－4x 上D ．在直线y ＝4x 上B [解析] f ′(x )＝3＋4cos x ＋sin x ，f ″(x )＝－4sin x ＋cos x ，令f ″(x )＝0，则有4sin x 0－cos x 0＝0，所以f (x 0)＝3x 0，故M (x 0，f (x 0))在直线y ＝3x 上．故选B. 13．已知函数f (x )＝x 3＋x －16.(1)求曲线y ＝f (x )在点(2，－6)处的切线的方程；(2)直线l 为曲线y ＝f (x )的切线，且经过原点，求直线l 的方程及切点坐标；(3)如果曲线y ＝f (x )的某一切线与直线y ＝－14x ＋3垂直，求切点坐标与切线的方程．[解] (1)可判定点(2，－6)在曲线y ＝f (x )上． 因为f ′(x )＝(x 3＋x －16)′＝3x 2＋1.所以f (x )在点(2，－6)处的切线的斜率为k ＝f ′(2)＝13. 所以切线的方程为y ＝13(x －2)＋(－6)， 即y ＝13x －32. (2)设切点为(x 0，y 0)，则直线l 的斜率为f ′(x 0)＝3x 20＋1， 所以直线l 的方程为y ＝(3x 20＋1)(x －x 0)＋x 30＋x 0－16，又因为直线l 过点(0，0)，所以0＝(3x 20＋1)(－x 0)＋x 30＋x 0－16，整理得，x 30＝－8，所以x 0＝－2， 所以y 0＝(－2)3＋(－2)－16＝－26， k ＝3×(－2)2＋1＝13.所以直线l 的方程为y ＝13x ，切点坐标为(－2，－26)．(3)因为切线与直线y ＝－14x ＋3垂直，所以切线的斜率k ＝4.设切点的坐标为(x 0，y 0)， 则f ′(x 0)＝3x 20＋1＝4，所以x 0＝±1. 所以⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝1，y 0＝－14或⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－1，y 0＝－18，即切点坐标为(1，－14)或(－1，－18)， 切线方程为y ＝4(x －1)－14或y ＝4(x ＋1)－18.即y ＝4x －18或y ＝4x －14. 14．(2017·河北省唐山一中月考)已知函数f (x )＝ax 3＋3x 2－6ax －11，g (x )＝3x 2＋6x ＋12和直线m ：y ＝kx ＋9，且f ′(－1)＝0.(1)求a 的值； (2)是否存在k ，使直线m 既是曲线y ＝f (x )的切线，又是曲线y ＝g (x )的切线？如果存在，求出k 的值；如果不存在，请说明理由．[解] (1)由已知得f ′(x )＝3ax 2＋6x －6a ，因为f ′(－1)＝0，所以3a －6－6a ＝0，所以a ＝－2.(2)存在．由已知得，直线m 恒过定点(0，9)，若直线m 是曲线y ＝g (x )的切线，则设切点为(x0，3x20＋6x0＋12)．因为g′(x0)＝6x0＋6，所以切线方程为y－(3x20＋6x0＋12)＝(6x0＋6)(x－x0)，将(0，9)代入切线方程，解得x0＝±1.当x0＝－1时，切线方程为y＝9；当x0＝1时，切线方程为y＝12x＋9.由(1)知f(x)＝－2x3＋3x2＋12x－11，①由f′(x)＝0得－6x2＋6x＋12＝0，解得x＝－1或x＝2.在x＝－1处，y＝f(x)的切线方程为y＝－18；在x＝2处，y＝f(x)的切线方程为y＝9，所以y＝f(x)与y＝g(x)的公切线是y＝9.②由f′(x)＝12得－6x2＋6x＋12＝12，解得x＝0或x＝1.在x＝0处，y＝f(x)的切线方程为y＝12x－11；在x＝1处，y＝f(x)的切线方程为y＝12x－10，所以y＝f(x)与y＝g(x)的公切线不是y＝12x＋9.综上所述，y＝f(x)与y＝g(x)的公切线是y＝9，此时k＝0.。
2018届人教A版 变化率与导数、导数的计算 单元测试
变化率与导数、导数的计算一、选择题1．已知函数y ＝x ln x ，则这个函数在点x ＝1处的切线方程是( ) A ．y ＝2x －2 B ．y ＝2x ＋2 C ．y ＝x －1D ．y ＝x ＋1解析：∵y ′＝ln x ＋1，∴x ＝1时，y ′|x ＝1＝1， ∵x ＝1时，y ＝0，∴切线方程为y ＝x －1. 答案：C2．(2016·湖北襄阳一模)函数f (x )＝e x cos x 的图象在点(0，f (0))处的切线的倾斜角为( )A.π4 B ．0 C.3π4D ．1解析：由f ′(x )＝e x (cos x －sin x )，则在点(0，f (0))处的切线的斜率k ＝f ′(0)＝1，故倾斜角为π4，选A.答案：A3．若函数f (x )＝ax 4＋bx 2＋c 满足f ′(1)＝2，则f ′(－1)等于( ) A ．－1 B ．－2 C ．2D ．0解析：f ′(x )＝4ax 3＋2bx ，∵f ′(x )为奇函数且f ′(1)＝2，∴f ′(－1)＝－2. 答案：B4．(2016·湖南长沙一模)若曲线f (x )＝x 4－x 在点P 处的切线平行于直线3x －y ＝0，则点P 的坐标为( )A ．(－1,2)B ．(1，－3)C ．(1,0)D ．(1,5)解析：设点P 的坐标为(x 0，y 0)，因为f ′(x )＝4x 3－1，所以f ′(x 0)＝4x 30－1＝3，即x 0＝1.把x 0＝1代入函数f (x )＝x 4－x 得y 0＝0，所以点P 的坐标为(1,0)．答案：C5．(2016·山东烟台模拟)若点P 是函数y ＝e x－e －x－3x (－12≤x ≤12)图象上任意一点，且在点P 处切线的倾斜角为α，则α的最小值是( )A.5π6B.3π4C.π4D.π6解析：由导数的几何意义，k ＝y ′＝e x ＋e －x －3≥2e x ·e －x －3＝－1，当且仅当x ＝0时等号成立．即tan α≥－1，α∈[0，π)．又∵tan α<0，所以α的最小值为3π4，故选B.答案：B6．(2016·四川成都质检)已知函数f (x )＝－13x 3＋2x 2＋2x ，若存在满足0≤x 0≤3的实数x 0，使得曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线与直线x ＋my －10＝0垂直，则实数m 的取值范围是( )A ．[6，＋∞)B ．(－∞，2]C ．[2,6]D ．[5,6]解析：f ′(x )＝－x 2＋4x ＋2＝－(x －2)2＋6，因为x 0∈[0,3]，所以f ′(x 0)∈[2,6]，又因为切线与直线x ＋my －10＝0垂直，所以切线的斜率为m ，所以m 的取值范围是[2,6]．答案：C7．曲线y ＝sin x sin x ＋cos x －12在点M (π4，0)处的切线的斜率为( )A ．－12 B.12 C ．－22D.22解析：∵y ′＝1(sin x ＋cos x )2·[cos x (sin x ＋cos x )－sin x ·(cos x －sin x )]＝1(sin x ＋cos x )2，∴y ′x ＝π4＝12，∴k ＝y ′| x ＝π4＝12.答案：B8．(2016·河南郑州质检)已知y ＝f (x )是可导函数，如图，直线y ＝kx ＋2是曲线y ＝f (x )在x ＝3处的切线，令g (x )＝xf (x )，g ′(x )是g (x )的导函数，则g ′(3)＝( )A ．－1B ．0C ．2D ．4解析：由题图可知曲线y ＝f (x )在x ＝3处切线的斜率等于－13，∴f ′(3)＝－13，∵g (x )＝xf (x )，∴g ′(x )＝f (x )＋xf ′(x )，∴g ′(3)＝f (3)＋3f ′(3)，又由题图可知f (3)＝1，所以g ′(3)＝1＋3×⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝0.答案：B9．若P 为曲线y ＝ln x 上一动点，Q 为直线y ＝x ＋1上一动点，则|PQ |min ＝( )A ．0 B.22 C. 2D ．2解析：如图所示，直线l 与y ＝ln x 相切且与y ＝x ＋1平行时，切点P 到直线y ＝x ＋1的距离|PQ |即为所求最小值．(ln x )′＝1x ，令1x ＝1，得x ＝1.故P (1,0)．故|PQ |min ＝22＝2，故选C.答案：C10．(2016·吉林高三月考)过点(1，－1)且与曲线y ＝x 3－2x 相切的切线方程为( )A ．x －y －2＝0或5x ＋4y －1＝0B ．x －y －2＝0C ．x －y ＋2＝0D ．x －y －2＝0或4x ＋5y ＋1＝0解析：令f (x )＝x 3－2x ，当(1，－1)为切点时，切线的斜率为f ′(1)＝1，所以切线方程为y ＝x －2.当(1，－1)不是切点时，设切点为(x 0，x 30－2x 0)，可得切线方程为y －x 30＋2x 0＝(3x 20－2)(x －x 0)，又该切线过点(1，－1)，可得x 0＝－12，故切线方程为5x ＋4y ＝1.答案：A 二、填空题11．(2016·江西上饶一模)已知函数y ＝f (x )的图象在M (1，f (1))处的切线方程是y ＝12x ＋2，则f (1)＋f ′(1)＝________.解析：由题设知，点M (1，f (1))既在函数y ＝f (x )的图象上，又在切线y ＝12x ＋2上，所以f (1)＝12＋2＝52，又f ′(1)＝12，所以f (1)＋f ′(1)＝52＋12＝3.答案：312．若抛物线y ＝x 2－x ＋c 上的一点P 的横坐标是－2，抛物线过点P 的切线恰好过坐标原点，则实数c 的值为________．解析：∵y ′＝2x －1，∴y ′|x ＝－2＝－5. 又P (－2,6＋c )，∴6＋c－2＝－5，∴c ＝4.答案：413．已知函数f (x )＝f ′(π4)cos x ＋sin x ，所以f (π4)的值为________． 解析：因为f ′(x )＝－f ′(π4)sin x ＋cos x ，所以f ′(π4)＝－f ′(π4)sin π4＋cos π4，所以f ′(π4)＝2－1，故f (π4)＝f ′(π4)cos π4＋sin π4＝1.答案：114．(2016·河北石家庄模拟)若对于曲线f (x )＝－e x －x (e 为自然对数的底数)的任意切线l 1，总存在曲线g (x )＝ax ＋2cos x 的切线l 2，使得l 1⊥l 2，则实数a 的取值范围为________．解析：易知函数f (x )＝－e x －x 的导数为f ′(x )＝－e x －1，设l 1与曲线f (x )＝－e x －x 的切点为(x 1，f (x 1))，则l 1的斜率k 1＝－e x 1－1.易知函数g (x )＝ax ＋2cos x 的导数为g ′(x )＝a －2sin x ，设l 2与曲线g (x )＝ax ＋2cos x 的切点为(x 2，g (x 2))，则l 2的斜率k 2＝a －2sin x 2.由题设可知k 1·k 2＝－1，从而有(－e x 1－1)(a －2sin x 2)＝－1，∴a －2sin x 2＝1e 1＋1，故由题意知对任意x 1，总存在x 2使得上述等式成立，则有y 1＝1e x 1＋1的值域是y 2＝a －2sin x 2值域的子集，则(0,1)⊆[a －2，a ＋2]，则⎩⎪⎨⎪⎧a －2≤0，a ＋2≥1，∴－1≤a ≤2. 答案：[－1,2] 三、解答题15．已知函数f (x )＝x 3＋x －16.(1)求曲线y ＝f (x )在点(2，－6)处的切线方程；(2)如果曲线y ＝f (x )的某一切线与直线y ＝－14x ＋3垂直，求切点坐标与切线的方程．解：(1)可判定点(2，－6)在曲线y ＝f (x )上． ∵f ′(x )＝(x 3＋x －16)′＝3x 2＋1.∴在点(2，－6)处的切线的斜率为k ＝f ′(2)＝13. ∴切线的方程为y ＝13(x －2)＋(－6)，即y ＝13x －32. (2)∵切线与直线y ＝－14x ＋3垂直， ∴切线的斜率为k ＝4.设切点的坐标为(x 0，y 0)，则f ′(x 0)＝3x 20＋1＝4.∴x 0＝±1.∴⎩⎪⎨⎪⎧ x 0＝1，y 0＝－14，或⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－1，y 0＝－18.∴切点坐标为(1，－14)或(－1，－18)．切线方程为y＝4(x－1)－14或y＝4(x＋1)－18.即y＝4x－18或y＝4x－14.16．已知函数f(x)＝ax3＋3x2－6ax－11，g(x)＝3x2＋6x＋12和直线m：y＝kx＋9，且f′(－1)＝0.(1)求a的值；(2)是否存在k的值，使直线m既是曲线y＝f(x)的切线，又是曲线y＝g(x)的切线？如果存在，求出k的值；如果不存在，说明理由．解：(1)f′(x)＝3ax2＋6x－6a，f′(－1)＝0.即3a－6－6a＝0，∴a＝－2.(2)存在．∵直线m恒过定点(0,9)，直线m是曲线y＝g(x)的切线，设切点为(x0,3x20＋6x0＋12)，∵g′(x0)＝6x0＋6，∴切线方程为y－(3x20＋6x0＋12)＝(6x0＋6)(x－x0)，将点(0,9)代入，得x0＝±1.当x0＝－1时，切线方程为y＝9；当x0＝1时，切线方程为y＝12x＋9.由f′(x)＝0，得－6x2＋6x＋12＝0.即有x＝－1或x＝2，当x＝－1时，y＝f(x)的切线方程为y＝－18；当x＝2时，y＝f(x)的切线方程为y＝9.∴公切线是y＝9.又令f′(x)＝12，得－6x2＋6x＋12＝12，∴x＝0或x＝1.当x＝0时，y＝f(x)的切线方程为y＝12x－11；当x＝1时，y＝f(x)的切线方程为y＝12x－10，∴公切线不是y＝12x＋9.综上所述公切线是y＝9，此时k＝0.。
2018年人教A版高考一轮复习,变化率与导数,导数的计算
中小学一对一课外辅导专家教师一对一个性化教案学生姓名年级科目数学授课教师日期时间段课时 2 授课类型新课/复习课/作业讲解课教学目标教学内容导数的概念及其计算个性化学习问题解决1.了解导数概念的实际背景.2.理解导数的几何意义.3.能根据导数定义求函数y＝C(C为常数)，y＝x，y＝x2，y＝1x，的导数.4.能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数教学重点、难点及考点分析导数运算及且切线的理解教学过程1．有关导数的基本概念(1)函数y＝f (x)在x＝x0处的导数称函数y＝f (x)在x0点的瞬时变化率为函数y＝f (x)在点x0处的导数，用f ′(x0)表示，记作f ′(x0)＝limΔx→0f (x0＋Δx)－f (x0)Δx.(2)导数的几何意义函数 f (x)在点x0处的导数 f ′(x0)的几何意义是在曲线y＝f (x)上点(x0，f (x0)处的．相应地，切线方程为．(3)函数f (x)的导函数如果一个函数f (x)在区间(a，b)上的每一点x处都有导数，导数值记为f ′(x)：f ′(x)＝limΔx→0f (x0＋Δx)－f (x0)Δx，则f ′(x)是关于x的函数，称f ′(x)为f (x)的导函数，通常也简称为导数．2．导数公式表(其中三角函数的自变量单位是弧度)原函数导函数f(x)＝c (c为常数)f′(x)＝f(x)＝xα (α∈Q*)f′(x)＝f(x)＝sin x f′(x)＝f(x)＝cos x f′(x)＝中小学一对一课外辅导专家教学过程f(x)＝a x (a>0)f′(x)＝f(x)＝e x f′(x)＝f(x)＝log a x (a>0，且a≠1)f′(x)＝f(x)＝ln x f′(x)＝3.导数运算法则(1)[f (x)±g(x)]′＝_________________________________；(2)[f (x)·g(x)]′＝__________________________________；(3)⎣⎢⎡⎦⎥⎤f (x)g(x)′＝______________________________________(g(x)≠0)． 4.复合函数的导数中小学一对一课外辅导专家典型例题：注意“过某一点的切线”和“在某一点的切线”的不同．例3 已知函数f(x)＝x3－4x2＋5x－4.(1)求曲线f(x)在点(2，f(2))处的切线方程；(2)求经过点A(2，－2)的曲线f(x)的切线方程．规律方法：(1)本题在解答过程中常见的错误有：①商的求导中，符号判定错误；②不能正确运用求导公式和求导法则，在第(3)小题中，忘记对内层函数2x＋1进行求导．(2)求函数的导数应注意：①求导之前利用代数或三角变换先进行化简，减少运算量．②根式形式，先化为分数指数幂，再求导．③复合函数求导先确定复合关系，由外向内逐层求导，必要时可换元处理．中小学一对一课外辅导专家规律与方法：f的几何意义就是函数y＝f(x)在点P(x0，y0)处的切线的斜率．第(1)题要能从“切线平(1)导数()0'x行于x轴”提炼出切线的斜率为0，进而构建方程，这是求解的关键，考查了分析问题和解决问题的能力．(2)在求切线方程时，应先判断已知点Q(a，b)是否为切点，若已知点Q(a，b)不是切点，则应求出切点的坐标，利用切点坐标求出切线斜率，进而用切点坐标表示出切线方程．规律方法：(1)准确求切线l的方程是本题求解的关键；第(2)题将曲线与切线l的位置关系转化为函数g(x)＝x －1－f(x)在区间(0，＋∞)上大于0恒成立的问题，进而运用导数研究，体现了函数思想与转化思想的应用．(2)当曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线平行于y轴(此时导数不存在)时，切线方程为x＝x0；当切点坐标不知道时，应首先设出切点坐标，再求解．中小学一对一课外辅导专家课堂练习1．设f(x)＝x ln x，若f′(x0)＝2，则x0的值为()A．e2B．e C.ln 22D．ln 22．已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足f(x)＝2x·f′(1)＋ln x，则f′(1)等于() A．－e B．－1 C．1 D．e3．设函数f(x)＝g(x)＋x2，曲线y＝g(x)在点(1，g(1))处的切线方程为y＝2x＋1，则曲线y ＝f(x)在点(1，f(1))处的切线的斜率为()A．4 B．－14C．2 D．－124．与直线2x－y＋4＝0平行的抛物线y＝x2的切线方程是()A．2x－y＋3＝0 B．2x－y－3＝0C．2x－y＋1＝0 D．2x－y－1＝05．曲线y＝x3在点(1,1)处的切线与x轴及直线x＝1所围成的三角形的面积为()A.112 B.16 C.13 D.126．已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足f(x)＝3x2＋2x·f′(2)，则f′(5)＝________. 7.已知函数y＝f(x)及其导函数y＝f′(x)的图象如图所示，则曲线y＝f(x)在点P处的切线方程是____________________．8．已知函数f(x)＝x，g(x)＝a ln x，a∈R.若曲线y＝f(x)与曲线y＝g(x)相交，且在交点处有共同的切线，则切线方程为_______________________．9．已知曲线y＝x3＋x－2在点P0处的切线l1平行于直线4x－y－1＝0，且点P0在第三象限．(1)求P0的坐标；(2)若直线l⊥l1，且l也过切点P0，求直线l的方程．10．已知函数f(x)＝x3＋x－16.中小学一对一课外辅导专家(1)求曲线y＝f(x)在点(2，－6)处的切线的方程；(2)直线l为曲线y＝f(x)的切线，且经过原点，求直线l的方程及切点坐标．课后作业可附页班主任收回审批签字教学主任课前审批签字（或盖章）中小学一对一课外辅导专家课 外 练 习1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)f ′(x 0)与(f (x 0))′表示的意义相同．( ) (2)求f ′(x 0)时，可先求f (x 0)再求f ′(x 0)．( ) (3)曲线的切线与曲线不一定只有一个公共点．( ) (4)若f (a )＝a 3＋2ax －x 2，则f ′(a )＝3a 2＋2x .( )2．(教材改编)有一机器人的运动方程为s (t )＝t 2＋3t (t 是时间，s 是位移)，则该机器人在时刻t ＝2时的瞬时速度为( )A.194 B ．174 C ．154 D ．1343．(2016·天津高考)已知函数f (x )＝(2x ＋1)e x ，f ′(x )为f (x )的导函数，则f ′(0)的值为________． 4．(2016·豫北名校期末联考)曲线f (x )＝－5e x ＋3在点(0，－2)处的切线方程为________.5．(2015·全国卷Ⅰ)已知函数f (x )＝ax 3＋x ＋1的图像在点(1，f (1))处的切线过点(2,7)，则a ＝________. 6.求下列函数的导数：(1)y ＝e x ln x ； (2)y ＝x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋1x ＋1x 3； (3)y ＝x －sin x 2cos x 2； (4)y ＝cos x e x .[变式训练1] (1)f (x )＝x (2 017＋ln x )，若f ′(x 0)＝2 018，则x 0等于( )A ．e 2B ．1C ．ln 2D ．e(2)(2015·天津高考)已知函数f (x )＝ax ln x ，x ∈(0，＋∞)，其中a 为实数，f ′(x )为f (x )的导函数．若f ′(1)＝3，则a 的值为________．中小学一对一课外辅导专家已知曲线f (x)＝13x3＋43.(1)求曲线在点P(2,4)处的切线方程；(2)求曲线过点P(2,4)的切线方程．若曲线y＝x ln x上点P处的切线平行于直线2x－y＋1＝0，则点P的坐标是________．(1)已知直线y＝12x＋b与曲线y＝－12x＋ln x相切，则b的值为()A．2B．－1 C．－12D．1(2)已知曲线y＝x＋1x－1在点(3,2)处的切线与直线ax＋y＋1＝0垂直，则a＝()A．－2B．2 C．－12D．12。
2017-2018学年高中数学人教A版选修1-1同步试题：3.1变化率与导数课时含答案
3。
1 变化率与导数一、选择题：在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的．1．在平均变化率的定义中,自变量x在0x处的增量x∆应满足A．0>∆x B．0<∆xC．0=∆x∆x D．0≠【答案】D2．某物体的位移公式为()=，从0t到0t t+∆这段时间内，下列理解正s s t确的是A．00∆+-称为函数值增量B．0t称为函数值增量t t t()C．00∆∆=+-称为函数值增量D．s t∆∆称为函数值增量s s t t s t()()【答案】C【解析】由自变量的增量、函数值的增量、平均变化率的概念易得C正确．故选C．3．如图所示，函数()=-+，则y x=的图象在点P处的切线方程是8y f x+'=(5)(5)f fA ．12B ．1C ．2D ．0 【答案】C 【解析】易知(5)583f =-+=．由导数的几何意义知(5)1f '=-．故(5)(5)312f f +'=-=．故选C ．4．已知函数2()21f x x =-的图象上一点(1,1)及邻近一点(1,1)x y +∆+∆，则y x∆∆等于A ．4B ．42x +∆C ．4x +∆D ． 24()x x ∆+∆【答案】B【解析】因为2()21f x x=-,所以22(1)2(1)12()41f x x x x +∆=+∆-=∆+∆+，(1)1f =,则2(1)(1)(1)(1)2()4114211y f x f f x f x x x x x x x∆+∆-+∆-∆+∆+-====+∆∆+∆-∆∆，故选B ．5．甲、乙两厂污水的排放量W 与时间t 的关系如图所示,则治污效果较好的是A ．甲B ．乙C ．相同D ．不确定【答案】B6．已知21lim ()213x ax x x→+∞-+=-,则a = A ．1 B ．2 C ．3 D ．6 【答案】D【解析】原式=2225123(1)(1)(5)1limlim lim233(1)3333x x x a a x ax x ax a x a x x x x x xx→+∞→+∞→+∞-++⨯+--+-+====---，解得6a =．故选D ．7．已知曲线2()y f x x ==在点P 处的切线斜率为k ，则当2k =时，点P 的坐标为A ．(2,8)--B ．(1,1)--C ．(1,1)D ．11(,)28--【答案】C 【解析】设点P的坐标为00()x y ，,则220000000()()()()lim lim x x f x x f x x x x k f x x x∆→∆→+∆-+∆-=='==∆∆000lim 22()x x x x ∆→∆+⋅=，即022x =，则01x =，此时220011y x ===，故点P 的坐标为(1,1)．故选C ．二、填空题：请将答案填在题中横线上． 8．已知函数()21f x x =+,则()f x 在区间[0,2]上的平均变化率为______________．【答案】2【解析】由平均变化率的定义得(2)(0)512202f f --==-．9．设函数()f x 满足0(1)(1)lim1x f f x x→-+=-，则(1)f '=______________．【答案】1【解析】由题意可得0(1)(1)(1)lim1x f x f f x→+-'==．10．已知曲线2()21y f x x==+在点M 处的瞬时变化率为4-，则点M 的坐标为______________．【答案】()1,3-11．曲线2()f x x =在点(2,1)--处的切线方程为______________．【答案】240x y ++=【解析】点(2,1)--在曲线2()f x x=上．因为0002(1)(2)(2)112(2)lim lim lim 22x x x f x f x f x x x ∆→∆→∆→---+∆---+∆'-====-∆∆-+∆， 所以切线方程为11(2)2y x +=-+，即240x y ++=． 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 12．已知21()2s t gt =，其中g ＝10m/s 2．（1）求t 从3秒到3.1秒的平均速度； （2）求t 从3秒到3.01秒的平均速度； （3）求t ＝3秒时的瞬时速度．【答案】（1）30.5(m /s)；（2)30.05(m /s)；（3）30(m /s)． 【解析】（1) 3.130.1(s)t ∆=-=，2211(3.1)(3) 3.13 3.05(m)22s s s g g ∆=-=⋅⋅-⋅⋅=， 则1 3.0530.5(m /s)0.1s vt ∆===∆． （2） 3.0130.01(s)t ∆=-=,2211(3.01)(3) 3.0130.3005(m)22s s s g g ∆=-=⋅⋅-⋅⋅=， 则20.300530.05(m /s)0.01s v t ∆===∆． （3）由瞬时速度的定义,可知222111(3)(3)(3)33()222s s t s g t g g t g t ∆=+∆-=+∆-⋅=∆+∆， 132s g g t t ∆=+⋅∆∆，则0lim 330(m /s)t sv g t ∆→∆===∆瞬时．13．蜥蜴的体温与阳光的照射有关，已知关系式为120()155T t t =++，其中()T t （单位：°C）为蜥蜴的体温，t （单位：min ）为太阳落山后的时间．(1)从0t =到10t =,蜥蜴的体温下降了多少？(2）从0t =到10t =，蜥蜴体温的平均变化率是多少？它代表什么实际意义？(3)求(5)T '，并解释它的实际意义．【答案】(1）16°C ;（2）1.6°C ,它表示从0t =到10t =这段时间内，蜥蜴的体温平均每分钟下降1.6°C；(3）'(5) 1.2T =-，它表示5t =时,蜥蜴体温下降的速度为1.2°C/min．(3）12012015(15)(5Δ)(5)125Δ555ΔΔ10ΔT t T t t t t+-++-+++==-+, 当Δt 趋近于0时，1210Δt-+趋近于 1.2-,即'(5) 1.2T =-，它表示5t =时，蜥蜴体温下降的速度为1.2°C/min． 14．设函数1()(,)f x ax a b x b=+∈+Z ，曲线()y f x =在点(2,)(2)f 处的切线方程为3y =．（1）求函数()f x 在0x x =处的导数；(2)求函数()f x 的解析式；（3)证明:曲线()y f x =上任一点的切线与直线1x =和直线y x =所围三角形的面积为定值，并求出此定值． 【答案】(1)201()a x b -+；（2）1()1f x x x =+-;（3)证明见解析．（2）由曲线()y f x =在点(2,)(2)f 处的切线方程为3y =,得'(2)0(2)3f f =⎧⎨=⎩，又由(1)可知0201()()f x a x b '=-+，于是210(2)1232a b a b ⎧-=⎪+⎪⎨⎪+=⎪+⎩，解得11a b =⎧⎨=-⎩或9483a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩． 因为a ，b ∈Z ，所以1()1f x x x =+-． (3)在曲线上任取一点0001(,)1x x x +-．由0201()1(1)f x x '=--知，过此点的切线方程为200020011[1]()1(1)x x y x x x x -+-=----．令1x =得0011x y x +=-,则切线与直线1x =的交点为001(1,)1x x +-．令x y =得021y x=-，则切线与直线y x =的交点为0021,1(2)x x --．又直线1x =与直线y x =的交点为(1,1)，从而所围三角形的面积为000001112|1||211|2222121x x |||x |x x +-⋅--=⋅-=--． 所以,所围成的三角形的面积为定值2．。
2018届人教A版 概率 检测卷
一、选择题1．若全集U ＝R ，集合A ＝{x |x 2＋x －2≤0}，B ＝{y |y ＝log 2(x ＋3)，x ∈A }，则集合A ∩(∁U B )等于( ) A ．{x |－2≤x <0} B ．{x |0≤x ≤1} C ．{x |－3<x ≤－2}D ．{x |x ≤－3}2.(2016·重庆第一次诊断)已知实数a ，b 满足(a ＋i)(1－i)＝3＋b i ，则复数a ＋b i 的模为( ) A. 2 B ．2 C. 5D ．53．给出下列两个命题，命题p 1：函数y ＝ln[(1－x )(1＋x )]为偶函数；命题p 2：函数y ＝ln 1－x1＋x是奇函数，则下列命题为假命题的是( ) A ．p 1∧p 2B ．p 1∨(綈p 2)C ．p 1∨p 2D ．p 1∧(綈p 2)4．x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≤0，x ＋y －2≥0，3x －y ＋2≥0，目标函数z ＝2x ＋y ，则z 的取值范围是( )A ．[－3,3]B ．[－3,2]C ．[2，＋∞)D ．[3，＋∞)5．将函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4的图象上各点的横坐标缩小为原来的12，再向右平移φ(φ>0)个单位后得到的图象关于直线x ＝π2对称，则φ的最小值是( )A.π4B.π3C.3π4D.3π86．(2016·河南实验中学质检)已知数列{a n }的通项为a n ＝log (n ＋1)(n ＋2) (n ∈N *)，我们把使乘积a 1·a 2·a 3·…·a n 为整数的n 叫做“优数”，则在(0,2 016]内的所有“优数”的和为 ( ) A ．1 024 B ．2 012 C ．2 026D ．2 0367．在[－2,3]上随机取一个数x ，则(x ＋1)(x －3)≤0的概率为( ) A.25 B.14 C.35D.458．(2016·烟台诊断)甲、乙两名同学参加某项技能比赛，7名裁判给两人打出的分数如茎叶图所示，依此判断( )A ．甲成绩稳定且平均成绩较高B ．乙成绩稳定且平均成绩较高C ．甲成绩稳定，乙平均成绩较高D ．乙成绩稳定，甲平均成绩较高9．设m ，n 是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，下列四个命题正确的是( ) A ．m ，n ⊂α，m ∥β，n ∥β，则α∥β B ．m ⊂α，α∥β，则m ∥βC ．若m ⊥α，α⊥β，n ∥β，则m ⊥nD ．若α⊥γ，β⊥γ，则α⊥β10.如图，设F 1，F 2分别为等轴双曲线x 2－y 2＝a 2的左，右焦点，A 为双曲线的左顶点，以F 1F 2为直径的圆交双曲线的一条渐近线于M ，N 两点，则cos ∠MAN 等于( )A.25 B ．－25C.55D ．－5511．被戏称为“最牛违建”的北京“楼顶别墅”已拆除．围绕此事件的种种纷争，某媒体通过随机询问100名性别不同的居民对此的看法，得到下表：附：K 2＝n （ad －bc ）（a ＋b ）（c ＋d ）（a ＋c ）（b ＋d ），n ＝a ＋b ＋c ＋dA ．有90%以上的把握认为“认为拆除太可惜了与性别有关”B ．有90%以上的把握认为“认为拆除太可惜了与性别无关”C ．在犯错误的概率不超过1%的前提下，认为“认为拆除太可惜了与性别有关”D ．在犯错误的概率不超过1%的前提下，认为“认为拆除太可惜了与性别无关” 12．执行如图所示的程序框图，若输出的k ＝5，则输入的整数p 的最大值为( )A ．7B ．15C ．31D ．63二、填空题13．已知函数f (x )对任意的x ∈R ，都有f ⎝⎛⎭⎫12＋x ＝f ⎝⎛⎭⎫12－x ，函数f (x ＋1)是奇函数，当－12≤x ≤12时，f (x )＝2x ，则方程f (x )＝－12在区间[－3,5]内的所有零点之和为________．14．假设你家订了一盒牛奶，送奶人可能在早上6：30～7：30之间把牛奶送到你家，你离开家去学校的时间在早上7：00～8：00之间，则你在离开家前能得到牛奶的概率是________． 15．已知三角形ABC 的三个顶点都在椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1 (a >b >0)上，且AB ⊥x 轴，AC ∥x 轴，则|AC |·|AB ||BC |2的最大值为________．16．已知f (x )是定义在(0，＋∞)上的单调函数，且对任意的x ∈(0，＋∞)，都有f (f (x )－log 2x )＝3，则方程f (x )－f ′(x )＝2的解所在的区间是________．(填序号) ①(0,1)；②(1,2)；③(2,3)；④(3,4)． 三、解答题17．(2016·乌鲁木齐三诊)若函数f (x )＝sin 2ax －3sin ax ·cos ax －12 (a >0)的图象与直线y ＝b 相切，并且切点的横坐标依次成公差为π2的等差数列．(1)求a ，b 的值；(2)若x 0∈⎣⎡⎦⎤0，π2，且x 0是y ＝f (x )的零点，试写出函数y ＝f (x )在⎣⎡⎦⎤x 0，x 0＋π2上的单调增区间．18．先后2次抛掷一枚骰子，将得到的点数分别记为a ，b . (1)求直线ax ＋by ＋5＝0与圆x 2＋y 2＝1相切的概率；(2)将a ，b,5的值分别作为三条线段的长，求这三条线段能围成等腰三角形的概率．19.(2016·辽宁朝阳三校协作体联考)如图所示，在四棱锥P —ABCD 中，PD ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是菱形，∠BAD ＝60°，AB ＝2，PD ＝6，O 为AC 与BD 的交点，E 为棱PB 上一点．(1)证明：平面EAC ⊥平面PBD ；(2)若PD ∥平面EAC ，求三棱锥P —EAD 的体积．20．(2016·晋江第四次联考)在数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝103，a n ＋1－103a n ＋a n －1＝0 (n ≥2，且n ∈N *)，若数列{a n ＋1＋λa n }是等比数列． (1)求实数λ；(2)求数列{a n }的通项公式； (3)设S n ＝∑ni ＝11a i ，求证：S n<32.21.已知函数f(x)＝1－x1＋x2e x.(1)求f(x)的单调区间；(2)证明：当f(x1)＝f(x2)(x1≠x2)时，x1＋x2<0.22．(2016·云南腾冲第一次联考)已知椭圆x2a2＋y2b2＝1 (a>b>0)的离心率e＝63，过点A(0，－b)和B(a,0)的直线与原点的距离为3 2.(1)求椭圆的方程；(2)设F1，F2为椭圆的左，右焦点，过F2作直线交椭圆于P，Q两点，求△PQF1的内切圆半径r的最大值．答案精析1． A [A ＝{x |x 2＋x －2≤0}＝{x |－2≤x ≤1}，B ＝{y |y ＝log 2(x ＋3)，x ∈A }＝{x |0≤x ≤2}，所以∁U B ＝{x |x <0或x >2}，所以A ∩(∁U B )＝{x |－2≤x <0}，故选A.] 2．C [由(a ＋i)(1－i)＝3＋b i ，得a ＋1＋(1－a )i ＝3＋b i ，根据复数相等的条件知⎩⎪⎨⎪⎧a ＋1＝3，1－a ＝b ，解得a ＝2，b ＝－1，所以复数a ＋b i ＝2－i ，故其模为22＋（－1）2＝ 5.] 3．D [函数y ＝ln[(1－x )(1＋x )]的定义域是(－1,1)且是偶函数，命题p 1为真命题； 函数y ＝ln1－x1＋x的定义域是(－1,1)且是奇函数，命题p 2是真命题． 故命题p 1∧p 2、p 1∨(綈p 2)、p 1∨p 2均为真命题，只有命题p 1∧(綈p 2)为假命题．] 4．C [画出满足约束条约的平面区域，如图所示：由z ＝2x ＋y ，得y ＝－2x ＋z ，显然直线y ＝－2x ＋z 过(0,2)时，z 最小，最小值为2，无最大值．故选C.]5．D [将函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4的图象上各点的横坐标缩小为原来的12，得到函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4的图象，再向右平移φ个单位，得到y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －2φ＋π4的图象，此图象关于直线x ＝π2对称，故2×π2－2φ＋π4＝π2＋k π (k ∈Z )，解得φ＝3π8－k π2(k ∈Z )，又φ>0，故φmin ＝3π8，故选D.] 6．C [因为a 1·a 2·a 3·…·a n ＝log 23·log 34·log 45·…·log (n ＋1)(n ＋2)＝log 2(n ＋2)＝k ，k ∈Z ，则0<n ＝2k －2≤2 016，即2<2k ≤2 018，解得1<k ≤10，故所有“优数”之和为(22－2)＋(23－2)＋…＋(210－2)＝22（1－29）1－2－18＝211－22＝2 026，故选C.]7．D [由(x ＋1)(x －3)≤0，解得－1≤x ≤3，在[－2,3]上随机取一个数是等可能的，所以符合几何概型的条件，所以所求事件的概率P ＝3－（－1）3－（－2）＝45，故选D.]8．D [由题意得，x 甲＝2×80＋5×90＋157＝6257，x 乙＝3×80＋4×90＋237＝6237＝89，显然x 甲>x 乙，且从茎叶图来看，甲的成绩比乙的成绩离散程度大，说明乙的成绩较稳定，故选D.]9．B [对于A ，根据面面平行的判断定理可知缺少条件“m 与n 相交”，故A 不正确；对于B ，若α∥β，则α，β无交点，又m ⊂α，所以m ，β无交点，即m ∥β，故B 正确；对于C ，若α⊥β，n ∥β，则n 可以垂直于α，又m ⊥α，所以m 可以平行于n ，故C 不正确；对于D ，α⊥γ，β⊥γ时，α，β也可能平行，故D 不正确．]10．D [等轴双曲线x 2－y 2＝a 2的两条渐近线方程为y ＝±x ，所以M (－a ，－a )，N (a ，a )，则|AN |2＝(a ＋a )2＋a 2＝5a 2，|AM |2＝a 2，|MN |2＝8a 2，则cos ∠MAN ＝5a 2＋a 2－8a 225a 2＝－55.]11．A [因为K 2＝n （ad －bc ）2（a ＋b ）（c ＋d ）（a ＋c ）（b ＋d ）≈3.030>2.706，所以有90%以上的把握认为“认为拆除太可惜了与性别有关”．]12．B [由程序框图可知；①S ＝0，k ＝1；②S ＝1，k ＝2；③S ＝3，k ＝3；④S ＝7，k ＝4；⑤S ＝15，k ＝5.第⑤步后输出k ，此时S ＝15≥p ，则p 的最大值为15，故选B.] 13．4解析 因为函数f (x ＋1)是奇函数，所以函数f (x ＋1)的图象关于点(0,0)对称，把函数f (x ＋1)的图象向右平移1个单位可得函数f (x )的图象，所以函数f (x )的图象关于点(1,0)对称， 可得－f ⎝⎛⎭⎫32＋x ＝f ⎝⎛⎭⎫12－x ，又因为f ⎝⎛⎭⎫12＋x ＝f ⎝⎛⎭⎫12－x ，所以－f ⎝⎛⎭⎫32＋x ＝f ⎝⎛⎭⎫12＋x ， 再令x 取x ＋1可得－f ⎝⎛⎭⎫52＋x ＝f ⎝⎛⎭⎫32＋x ，所以有f ⎝⎛⎭⎫52＋x ＝f ⎝⎛⎭⎫12＋x ，可得f (x )＝f (x ＋2)，所以函数f (x )的周期为2，图象如图所示，故方程f (x )＝－12在区间[－3,5]内的所有零点之和为12×2×4＝4.14.78解析 设牛奶送达的时间为x ，我离开家的时间为y ，则样本空间Ω＝{(x ，y )|⎩⎪⎨⎪⎧6.5≤x ≤7.5，7≤y ≤8，在离开家前能得到牛奶的事件A ＝{(x ，y )|⎩⎪⎨⎪⎧6.5≤x ≤7.5，7≤y ≤8，y ≥x ，作图如下，可得所求概率P ＝1－12×12×121×1＝78.15.12解析 不妨设椭圆上的点A (m ，n ) (m >0，n >0)，由题意得B (m ，－n )，C (－m ，n )，则|AC |＝2m ，|AB |＝2n ，|BC |＝2m 2＋n 2，则|AC |·|AB ||BC |2＝2m ·2n 4 m 2＋n 2＝mn m 2＋n 2≤mn 2mn ＝12(当且仅当m ＝n ，即△ABC 是以A 为直角顶点的等腰直角三角形时等号成立)． 16．②解析 根据题意，f (x )－log 2x >0且是唯一的值，设t ＝f (x )－log 2x ，则f (x )＝t ＋log 2x ，又f (t )＝3，所以3＝t ＋log 2t ，此方程有唯一解t ＝2，所以f (x )＝2＋log 2x .方程f (x )－f ′(x )＝2，即方程log 2x －1x ln 2＝0.设h (x )＝log 2x －1x ln 2，则该函数为(0，＋∞)上的增函数．又h (1)＝－1ln 2<0，h (2)＝1－12ln 2>0，所以方程f (x )－f ′(x )＝2的解在区间(1,2)内．17．解 (1)f (x )＝sin 2ax －3sin ax ·cos ax －12＝1－cos 2ax 2－32sin 2ax －12＝－sin ⎝⎛⎭⎫2ax ＋π6， ∵y ＝f (x )的图象与直线y ＝b 相切， ∴b 为f (x )的最大值或最小值， 即b ＝－1或b ＝1.∵切点的横坐标依次成公差为π2的等差数列，∴f (x )的最小正周期为π2，即T ＝2π|2a |＝π2，a >0， ∴a ＝2，即f (x )＝－sin ⎝⎛⎭⎫4x ＋π6. (2)由题意知sin ⎝⎛⎭⎫4x 0＋π6＝0， 则4x 0＋π6＝k π (k ∈Z )，∴x 0＝k π4－π24(k ∈Z )，由0≤k π4－π24≤π2 (k ∈Z )，得k ＝1或k ＝2，因此x 0＝5π24或x 0＝11π24.当x 0＝5π24时，y ＝f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤5π24，π3和⎣⎡⎦⎤7π12，17π24； 当x 0＝11π24时，y ＝f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎤7π12，5π6. 18．解 先后2次抛掷一枚骰子，将得到的点数分别记为a ，b 包含的基本事件有：(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,1)，…，(6,5)，(6,6)，共36个． (1)∵直线ax ＋by ＋5＝0与圆x 2＋y 2＝1相切，∴5a 2＋b2＝1， 整理得a 2＋b 2＝25. 由于a ，b ∈{1,2,3,4,5,6}，∴满足条件的情况只有a ＝3，b ＝4或a ＝4，b ＝3两种情况． ∴直线ax ＋by ＋5＝0与圆x 2＋y 2＝1相切的概率是236＝118.(2)∵三角形的一边长为5，三条线段围成等腰三角形， ∴当a ＝1时，b ＝5，共1个基本事件； 当a ＝2时，b ＝5，共1个基本事件； 当a ＝3时，b ＝3,5，共2个基本事件； 当a ＝4时，b ＝4,5，共2个基本事件； 当a ＝5时，b ＝1,2,3,4,5,6，共6个基本事件； 当a ＝6时，b ＝5,6，共2个基本事件；∴满足条件的基本事件共有1＋1＋2＋2＋6＋2＝14个． ∴三条线段能围成等腰三角形的概率为1436＝718.19．(1)证明 ∵PD ⊥平面ABCD ， AC ⊂平面ABCD ，∴AC ⊥PD .∵四边形ABCD 是菱形，∴AC ⊥BD .又∵PD ∩BD ＝D ，∴AC ⊥平面PBD .∵AC ⊂平面EAC ，∴平面EAC ⊥平面PBD .(2)解 ∵PD ∥平面EAC ，平面EAC ∩平面PBD ＝OE ，PD ⊂平面PBD ，∴PD ∥OE .∵O 是BD 的中点，∴E 是PB 的中点．取AD 的中点H ，连接BH ，如图所示．∵四边形ABCD 是菱形，∠BAD ＝60°，∴BH ⊥AD .又∵BH ⊥PD ，AD ∩PD ＝D ，∴BH ⊥平面P AD .又BH ＝32AB ＝3，∴V P —EAD ＝V E —P AD ＝12V B —P AD ＝12×13×S △P AD ×BH ＝16×12×2×6×3＝22. 20．(1)解 由数列{a n ＋1＋λa n }是等比数列，可设a n ＋1＋λa n ＝μ(a n ＋λa n －1) (n ≥2)． ∴a n ＋1＋(λ－μ)a n －λμa n －1＝0，∵a n ＋1－103a n ＋a n －1＝0， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ λ－μ＝－103，λμ＝－1，∴λ＝－13或λ＝－3. (2)解 由(1)知，n ≥2，λ＝－13时， a n －13a n －1＝3n －1，① n ≥2，λ＝－3时，a n －3a n －1＝13n －1.② 由①②可得a n ＝38⎝⎛⎭⎫3n －13n (n ≥2)， 当n ＝1时，也符合．∴a n ＝38(3n －13n )，n ∈N *. (3)证明 由(2)知，a n ＝38⎝⎛⎭⎫3n －13n >0， ∵a n －3a n －1＝13n －1，∴a n >3a n －1， ∴1a n <13·1a n －1(n ≥2)． ∴S n <1a 1＋13⎝⎛⎭⎫1a 1＋1a 2＋…＋1a n －1 ＝1a 1＋13⎝⎛⎭⎫1a 1＋1a 2＋…＋1a n －1＋1a n －13a n <1a 1＋13S n . ∴S n <32. 21．(1)解 函数f (x )的定义域为(－∞，＋∞)．f ′(x )＝⎝⎛⎭⎪⎫1－x 1＋x 2′e x ＋1－x 1＋x 2e x ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 2－2x －1（1＋x 2）2＋1－x 1＋x 2e x ＝－x [（x －1）2＋2]（1＋x 2）2e x . 当x <0时，f ′(x )>0；当x >0时，f ′(x )<0.所以f (x )的单调递增区间为(－∞，0)，单调递减区间为(0，＋∞)．(2)证明 当x <1时，由于1－x 1＋x 2>0，e x >0，故f (x )>0； 同理，当x >1时，f (x )<0.当f (x 1)＝f (x 2)(x 1≠x 2)时，不妨设x 1<x 2，由(1)知，x 1∈(－∞，0)，x 2∈(0,1)．下面证明：∀x ∈(0,1)，f (x )<f (－x )，即证1－x 1＋x 2e x <1＋x 1＋x 2e －x . 此不等式等价于(1－x )e x －1＋x e x <0. 令g (x )＝(1－x )e x －1＋x e x ， 则g ′(x )＝－x e －x (e 2x －1)． 当x ∈(0,1)时，g ′(x )<0，g (x )单调递减，从而g (x )<g (0)＝0.即(1－x )e x －1＋x e x <0. 所以∀x ∈(0,1)，f (x )<f (－x )．而x 2∈(0,1)，所以f (x 2)<f (－x 2)，从而f (x 1)<f (－x 2)．由于x 1，－x 2∈(－∞，0)，f (x )在(－∞，0)上单调递增，所以x 1<－x 2，即x 1＋x 2<0.22．解 (1)直线AB 的方程为x a ＋y －b＝1， 即bx －ay －ab ＝0.原点到直线AB 的距离为ab a 2＋b2＝32， 即3a 2＋3b 2＝4a 2b 2.①e ＝c a ＝63⇒c 2＝23a 2.② 又a 2＝b 2＋c 2，③由①②③可得a 2＝3，b 2＝1，c 2＝2.故椭圆的方程为x 23＋y 2＝1. (2)F 1(－2，0)，F 2(2，0)，设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)． 当直线PQ 斜率不存在时，易得r ＝23. 由于直线PQ 的斜率不为0，故设其方程为x ＝ky ＋2，联立直线与椭圆的方程，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝ky ＋2，x 23＋y 2＝1⇒(k 2＋3)y 2＋22ky －1＝0， 故⎩⎪⎨⎪⎧ y 1＋y 2＝－22k k 2＋3，y 1y 2＝－1k 2＋3， ④而1F PQ S ∆＝1212F F P F F Q S S ∆∆+＝12|F 1F 2||y 1－y 2|＝2（y 1＋y 2）2－4y 1y 2，⑤ 将④代入⑤，得1F PQ S ∆＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫－22k k 2＋32＋4k 2＋3＝26k 2＋1k 2＋3.又S △F 1PQ ＝12(|PF 1|＋|F 1Q |＋|PQ |)·r ＝2a ·r ＝23r ，所以26k 2＋1k 2＋3＝23r ， 故r ＝2k 2＋1k 2＋3＝2k 2＋1＋2k 2＋1≤12，当且仅当k 2＋1＝2k 2＋1，即k ＝±1时，取得“＝”． 故△PQF 1的内切圆半径r 的最大值为12.。
人教新课标A版选修1-1数学3.1变化率与导数同步检测同步测试
人教新课标A版选修1-1数学3.1变化率与导数同步检测同步测试共 25 题一、选择题1、若f'(x0)=-3 ，则（）A.-3B.-12C.-9D.-62、设 f(x) 是可导函数，且，则f'(x0)= （）A. B.-1C.0D.-23、曲线在点(1，－1)处的切线方程为（）．A.y＝x-2B.y＝xC.y＝x+2D.y＝-x-24、设f(x)为可导函数，且满足条件，则曲线y=f(x) 在点 (1,f(1)) 处的切线的斜率为（）A. B.3C.6D.无法确定5、一物体的运动方程为s＝3＋t2，则在时间段[2,2.1]内相应的平均速度为（）．A. 4.11B. 4.01C. 4.0D. 4.16、已知函数y＝f(x)的图象如图，则f′(x A)与f′(x B)的大小关系是（）．A.f'(xA）>f'(x B)B.f′(x A)<f′(x B)C.f′(x A)＝f′(x B)D.不能确定7、若函数y=f(x) 在区间(a,b) 内可导,且, 则的值为（）A.f'(x0)B.2f'(x0)C.-2f'(x0)D.08、水以匀速注入如图容器中，试找出与容器对应的水的高度 h 与时间 t 的函数关系图象（）A. B.C. D.9、若函数f（x）=2x2﹣1的图象上一点（1，1）及邻近一点（1+△x ， 1+△y），则等于（）A.4B.4xC.4+2△xD.4+2△x210、若当，则f′(x0)等于（）．A. B.C.－D.-11、设函数 y=f(x) 在 R 上可导，则等于（）A. B.C. D.以上都不对12、如图，函数 y=f(x) 在 A ， B 两点间的平均变化率是（）A.1B.-1C.2D.-213、曲线y＝－x3＋3x2在点(1,2)处的切线方程为（）．A.y＝3x-1B.y＝-3x+5C.y＝3x+5D.y＝2x14、已知函数 f(x) 在 x=1 处的导数为1，则（）A.3B.C. D.15、一物体运动的方程是s＝2t2，则从2s到(2＋d)s这段时间内位移的增量为（）．A.8B.8＋2dC.8d＋2d2D.4d＋2d2二、填空题16、如果函数，则的值等于________．17、若函数 y=f(x) 的导函数在区间 [a,b] 上是增函数，则函数 y=f(x) 在区间 [a,b] 上的图像可能是下列中的________.18、曲线y＝x2＋2在点P(1,3)处的切线方程为________．19、设函数 y=f(x) ，当自变量由 x0变到时，函数的改变量________.20、曲线f(x)＝x2＋3x在点A(2,10)处的切线的斜率为________．21、质点运动规律s＝2t2＋1，则从t＝1到t＝1＋d时间段内运动距离对时间的变化率为________．22、抛物线y＝x2＋x＋2上点(1,4)处的切线的斜率是________，该切线方程为________．23、若曲线y＝x2＋ax＋b在点(0，b)处的切线方程为x－y＋1＝0，则a，b的值分别为________，________.24、若曲线y=x2﹣1的一条切线平行于直线y＝4x﹣3，则这条切线方程为________．25、已知函数y=ax2+bx ，则 =________．参考答案一、选择题1、【答案】B【解析】【解答】因为，所以，选B；【分析】本题主要考查了导数的概念，解决问题的关键是根据导数的概念进行分析计算即可.2、【答案】B【解析】【解答】因为所以，故选B.【分析】本题主要考查了导数的概念，解决问题的关键是根据导数的概念进行计算即可.3、【答案】A【解析】【解答】＝＝，当Δx→0时，→1.曲线在点(1，－1)处的切线的斜率为1，切线方程为y＋1＝1(x－1)，即y＝x－2.选A。
高考数学一轮复习 第三章 导数及其应用 3.1 变化率与导数、导数的计算真题演练集训 理 新人教A版
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数的计算真题演练集训理新人教A版1．[2014·大纲全国卷]曲线y＝x e x－1在点(1，1)处切线的斜率等于（）A．2e B．eC．2 D．1答案:C解析：y′＝e x－1＋x e x－1＝(x＋1)e x－1，故曲线在点（1,1）处的切线斜率为y′｜x＝1＝2.2．[2014·新课标全国卷Ⅱ]设曲线y＝ax－ln（x＋1）在点（0,0）处的切线方程为y＝2x,则a＝( ）A．0 B．1C．2 D．3答案：D解析：y′＝a－错误!，由题意得y′｜x＝0＝2，即a－1＝2，所以a＝3.3．[2016·新课标全国卷Ⅲ]已知f（x)为偶函数,当x＜0时，f（x）＝ln（－x)＋3x，则曲线y＝f(x）在点(1，－3)处的切线方程是________．答案：y＝－2x－1解析：由题意可得，当x>0时,f（x）＝ln x－3x，则f′（x）＝错误!－3，f′（1)＝－2，则在点（1，－3）处的切线方程为y＋3＝－2（x－1),即y＝－2x－1.4．[2016·新课标全国卷Ⅱ］若直线y＝kx＋b是曲线y＝ln x＋2的切线,也是曲线y＝ln(x ＋1)的切线,则b＝________。
最新-2018届高考数学 第二章第十一节变化率与导数、导
"【三维设计】2018届高考数学 第二章第十一节变化率与导数、导数的计算课后练习 人教A 版 "一、选择题1．函数f (x )＝(x ＋2a )(x －a )2的导数为( )A ．2(x 2－a 2)B ．2(x 2＋a 2)C ．3(x 2－a 2)D ．3(x 2＋a 2)解析：f ′(x )＝(x －a )2＋(x ＋2a )[2(x －a )]＝3(x 2－a 2)．答案：C2．已知物体的运动方程为s ＝t 2＋3t(t 是时间，s 是位移)，则物体在时刻t ＝2时的速度为( )A.194 B.174 C.154 D.134解析：∵s ′＝2t －3t ，∴s ′|t ＝2＝4－34＝134. 答案：D3．(2018·江南十校联考)已知函数f (x )的导函数为f ′(x )，且满足f (x )＝2xf ′(1)＋x 2，则f ′(1)＝( )A ．－1B ．－2C ．1D ．2解析：f ′(x )＝2f ′(1)＋2x ，令x ＝1，得f ′(1)＝2f ′(1)＋2，∴f ′(1)＝－2. 答案：B4．函数f (x )＝ln x x在点(x 0，f (x 0))处的切线平行于x 轴，则f (x 0)等于( ) A ．－1e B.1eC.1e 2 D ．e 2 解析：与x 轴平行的切线，其斜率为0，所以f ′(x 0)＝1x 0·x 0－ln x 0x 20＝1－ln x 0x 20＝0，故x 0＝e ， ∴f (x 0)＝1e. 答案：B5．f (x )与g (x )是定义在R 上的两个可导函数，若f (x )，g (x )满足f ′(x )＝g ′(x )，则f (x )与g (x )满足( )A ．f (x )＝g (x )B ．f (x )＝g (x )＝0C ．f (x )－g (x )为常数函数D ．f (x )＋g (x )为常数函数解析：由f ′(x )＝g ′(x )，得f ′(x )－g ′(x )＝0，即[f (x )－g (x )]′＝0，所以f (x )－g (x )＝C (C 为常数)．答案：C二、填空题6．与直线2x －6y ＋1＝0垂直，且与曲线f (x )＝x 3＋3x 2－1相切的直线方程是________． 解析：设切点的坐标为(x 0，x 30＋3x 20－1)，则由切线与直线2x －6y ＋1＝0垂直，可得切线的斜率为－3，又f ′(x )＝3x 2＋6x ，故3x 20＋6x 0＝－3，解得x 0＝－1，于是切点坐标为(－1,1)，从而得切线的方程为3x ＋y ＋2＝0.答案：3x ＋y ＋2＝07．已知f 1(x )＝sin x ＋cos x ，记f 2(x )＝f 1′(x )，f 3(x )＝f 2′(x )，…，f n (x )＝f n －1′(x )(n ∈N *，n ≥2)，则f 1⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋f 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋…＋f 2 012⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝________. 解析：f 2(x )＝f 1′(x )＝cos x －sin x ，f 3(x )＝(cos x －sin x )′＝－sin x －cos x ，f 4(x )＝－cos x ＋sin x ，f 5(x )＝sin x ＋cos x ，以此类推，可得出f n (x )＝f n ＋4(x )又∵f 1(x )＋f 2(x )＋f 3(x )＋f 4(x )＝0，∴f 1⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋f 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋…＋f 2018⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝f 1⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋f 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋f 3⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋f 4⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝0. 答案：0三、解答题8．求下列函数的导数．(1)y ＝x 2sin x ；(2)y ＝e x＋1e x －1； (3)[理]y ＝log 2(2x 2＋3x ＋1)．解：(1)y ′＝(x 2)′sin x ＋x 2(sin x )′＝2x sin x ＋x 2cos x .(2)法一：y ′＝ e x ＋1 ′ e x －1 － e x ＋1 e x －1 ′ e x －1 2 ＝e x e x －1 － e x ＋1 e x e x －1 2 ＝－2e x e x －1 2. 法二：∵y ＝e x －1＋2e x －1＝1＋2e x －1， ∴y ′＝1′＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2e x －1′，即y ′＝－2e x e x －1 2. (3)[理]法一：设y ＝log 2u ，u ＝2x 2＋3x ＋1，则y ′x ＝y ′u ·u ′x ＝1u ·ln 2(4x ＋3)＝4x ＋3 2x 2＋3x ＋1 ln 2. 法二：y ′＝[log 2(2x 2＋3x ＋1)]′＝1 2x 2＋3x ＋1 ln 2·(2x 2＋3x ＋1)′ ＝4x ＋3 2x 2＋3x ＋1 ln 2. 9．设函数f (x )＝x 3＋ax 2－9x －1，当曲线y ＝f (x )斜率最小的切线与直线12x ＋y ＝6平行时，求a 的值．解：f ′(x )＝3x 2＋2ax －9＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋a 32－9－a 23，即当x ＝－a 3时，函数f ′(x )取得最小值－9－a 23，因斜率最小的切线与12x ＋y ＝6平行， 即该切线的斜率为－12，所以－9－a 23＝－12， 即a 2＝9，即a ＝±3.10．已知函数f (x )＝x 3－3x 及y ＝f (x )上一点P (1，－2)，过点P 作直线l .(1)求使直线l 和y ＝f (x )相切且以P 为切点的直线方程；(2)求使直线l 和y ＝f (x )相切且切点异于P 的直线方程．解：(1)由f (x )＝x 3－3x 得f ′(x )＝3x 2－3，过点P 且以P (1，－2)为切点的直线的斜率f ′(1)＝0，∴所求的直线方程为y ＝－2.(2)设过P (1，－2)的直线l 与y ＝f (x )切于另一点(x 0，y 0)，则f ′(x 0)＝3x 20－3.又直线过(x 0，y 0)，P (1，－2)，故其斜率可表示为y 0－ －2 x 0－1＝x 30－3x 0＋2x 0－1， 又x 30－3x 0＋2x 0－1＝3x 20－3，即x 30－3x 0＋2＝3(x 20－1)(x 0－1)，解得x 0＝1(舍去)或x 0＝－12， 故所求直线的斜率为k ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫14－1＝－94， ∴y －(－2)＝－94(x －1)，即9x ＋4y －1＝0.。
2018届高三数学理高考总复习课时跟踪检测 十三 变化率
课时跟踪检测(十三)变化率与导数、导数的运算一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．函数f(x)＝(x＋2a)(x－a)2的导数为()A．2(x2－a2)B．2(x2＋a2)C．3(x2－a2) D．3(x2＋a2)解析：选C∵f(x)＝(x＋2a)(x－a)2＝x3－3a2x＋2a3，∴f′(x)＝3(x2－a2)．2．曲线f(x)＝2x－e x与y轴的交点为P，则曲线在点P处的切线方程为() A．x－y＋1＝0 B．x＋y＋1＝0C．x－y－1＝0 D．x＋y－1＝0解析：选C曲线f(x)＝2x－e x与y轴的交点为(0，－1)．且f′(x)＝2－e x，∴f′(0)＝1.所以所求切线方程为y＋1＝x，即x－y－1＝0.3．f(x)＝x(2 016＋ln x)，若f′(x0)＝2 017，则x0等于()A．e2B．1C．ln 2 D．e解析：选B f′(x)＝2 016＋ln x＋x×1x＝2 017＋ln x，由f′(x0)＝2 017，得2 017＋lnx0＝2 017，则ln x0＝0，解得x0＝1.4．已知函数f(x)＝1x cos x，则f(π)＋f′⎝⎛⎭⎫π2＝________.解析：∵f′(x)＝－1x2cos x＋1x(－sin x)，∴f(π)＋f′⎝⎛⎭⎫π2＝－1π＋2π·(－1)＝－3π.答案：－3π5．(2016·湖南衡阳八中一模)已知函数f(x)＝a x ln x，x∈(0，＋∞)，其中a＞0且a≠1，f′(x)为f(x)的导函数，若f′(1)＝3，则a的值为________．解析：因为f(x)＝a x ln x，所以f′(x)＝ln a·a x ln x＋a xx，又f′(1)＝3，所以a＝3.答案：3二保高考，全练题型做到高考达标1．曲线y＝e x－ln x在点(1，e)处的切线方程为() A．(1－e)x－y＋1＝0 B．(1－e)x－y－1＝0 C．(e－1)x－y＋1＝0 D．(e－1)x－y－1＝0解析：选C 由于y ′＝e －1x，所以y ′| x ＝1＝e －1，故曲线y ＝e x —ln x 在点(1，e)处的切线方程为y －e ＝(e －1)(x －1)，即(e －1)x －y ＋1＝0.2．(2017·开封模拟)已知直线y ＝kx ＋1与曲线y ＝x 3＋mx ＋n 相切于点A (1,3)，则n ＝( )A ．－1B ．1C ．3D ．4解析：选C 对于y ＝x 3＋mx ＋n ，y ′＝3x 2＋m ，∴k ＝3＋m ，又k ＋1＝3,1＋m ＋n ＝3，可解得n ＝3.3．已知f (x )＝ax 4＋b cos x ＋7x －2.若f ′(2 017)＝6，则f ′(－2 017)为( ) A ．－6 B ．－8 C ．6D ．8解析：选D ∵f ′(x )＝4ax 3－b sin x ＋7. ∴f ′(－x )＝4a (－x )3－b sin(－x )＋7 ＝－4ax 3＋b sin x ＋7. ∴f ′(x )＋f ′(－x )＝14. 又f ′(2 017)＝6，∴f ′(－2 017)＝14－6＝8，故选D.4．(2017·衡水调研)曲线y ＝1－2x ＋2在点(－1，－1)处的切线方程为( )A ．y ＝2x ＋1B ．y ＝2x －1C ．y ＝－2x －3D ．y ＝－2x －2解析：选A ∵y ＝1－2x ＋2＝x x ＋2， ∴y ′＝x ＋2－x (x ＋2)2＝2(x ＋2)2，y ′| x ＝－1＝2， ∴曲线在点(－1，－1)处的切线斜率为2， ∴所求切线方程为y ＋1＝2(x ＋1)，即y ＝2x ＋1.5．已知f (x )＝ln x ，g (x )＝12x 2＋mx ＋72(m <0)，直线l 与函数f (x )，g (x )的图象都相切，且与f (x )图象的切点为(1，f (1))，则m 的值为( )A ．－1B ．－3C ．－4D ．－2解析：选D ∵f ′(x )＝1x ， ∴直线l 的斜率为k ＝f ′(1)＝1，又f (1)＝0，∴切线l 的方程为y ＝x －1.g ′(x )＝x ＋m ，设直线l 与g (x )的图象的切点为(x 0，y 0)， 则有x 0＋m ＝1，y 0＝x 0－1，y 0＝12x 20＋mx 0＋72，m <0， 解得m ＝－2.6．(2017·武汉调研)曲线f (x )＝x ln x 在点M (1，f (1))处的切线方程为________． 解析：由题意，得f ′(x )＝ln x ＋1，所以f ′(1)＝ln 1＋1＝1，即切线的斜率为1.因为f (1)＝0，所以所求切线方程为y －0＝x －1，即x －y －1＝0.答案：x －y －1＝07．曲线f (x )＝e x 在x ＝0处的切线与曲线g (x )＝ax 2－a (a ≠0)相切，则a ＝________，切点坐标为________．解析：曲线f (x )在x ＝0处的切线方程为y ＝x ＋1. 设其与曲线g (x )＝ax 2－a 相切于点(x 0，ax 20－a )．则g ′(x 0)＝2ax 0＝1，且ax 20－a ＝x 0＋1.解得x 0＝－1，a ＝－12，切点坐标为(－1,0)．答案：－12(－1,0)8.如图，y ＝f (x )是可导函数，直线l ：y ＝kx ＋2是曲线y ＝f (x )在x ＝3处的切线，令g (x )＝xf (x )，其中g ′(x )是g (x )的导函数，则g ′(3)＝________.解析：由题图可得曲线y ＝f (x )在x ＝3处切线的斜率等于－13，即f ′(3)＝－13，因为g (x )＝xf (x )，所以g ′(x )＝f (x )＋xf ′(x )，g ′(3)＝f (3)＋3f ′(3)，由图可知f (3)＝1，所以g ′(3)＝1＋3×⎝⎛⎭⎫－13＝0. 答案：09．求下列函数的导数． (1)y ＝x ·t a n x ；(2)y ＝(x ＋1)(x ＋2)(x ＋3)； (3)y ＝ln (2x ＋1)x. 解：(1)y ′＝(x ·t a n x )′＝x ′t a n x ＋x (t a n x )′ ＝t a n x ＋x ·⎝⎛⎭⎫sin x cos x ′＝t a n x ＋x ·cos 2x ＋sin 2x cos 2x＝t a n x ＋x cos 2x. (2)y ′＝(x ＋1)′[(x ＋2)(x ＋3)]＋(x ＋1)[(x ＋2)(x ＋3)]′＝(x ＋2)(x ＋3)＋(x ＋1)(x ＋2)＋(x ＋1)(x ＋3)＝3x 2＋12x ＋11.(3)y ′＝⎣⎡⎦⎤ln (2x ＋1)x ′＝[ln (2x ＋1)]′x －x ′ln (2x ＋1)x 2＝(2x ＋1)′2x ＋1·x －ln (2x ＋1)x 2＝2x2x ＋1－ln (2x ＋1)x 2＝2x －(2x ＋1)ln (2x ＋1)(2x ＋1)x 2.10．已知函数f (x )＝x 3－4x 2＋5x －4. (1)求曲线f (x )在点(2，f (2))处的切线方程； (2)求经过点A (2，－2)的曲线f (x )的切线方程．解：(1)∵f ′(x )＝3x 2－8x ＋5，∴f ′(2)＝1，又f (2)＝－2，∴曲线在点(2，f (2))处的切线方程为y ＋2＝x －2，即x －y －4＝0.(2)设曲线与经过点A (2，－2)的切线相切于点P (x 0，x 30－4x 20＋5x 0－4)，∵f ′(x 0)＝3x 20－8x 0＋5，∴切线方程为y －(－2)＝(3x 20－8x 0＋5)(x －2)，又切线过点P (x 0，x 30－4x 20＋5x 0－4)， ∴x 30－4x 20＋5x 0－2＝(3x 20－8x 0＋5)(x 0－2)，整理得(x 0－2)2(x 0－1)＝0，解得x 0＝2或1，∴经过点A (2，－2)的曲线f (x )的切线方程为x －y －4＝0，或y ＋2＝0. 三上台阶，自主选做志在冲刺名校1．已知曲线f (x )＝x 3＋ax ＋14在x ＝0处的切线与曲线g (x )＝－ln x 相切，则a 的值为________．解析：由f (x )＝x 3＋ax ＋14得，f ′(x )＝3x 2＋a ，f ′(0)＝a ，f (0)＝14，∴曲线y ＝f (x )在x ＝0处的切线方程为y －14＝ax .设直线y －14＝ax 与曲线g (x )＝－ln x 相切于点(x 0，－ln x 0)，g ′(x )＝－1x ，∴⎩⎨⎧－ln x 0－14＝ax 0， ①a ＝－1x 0. ②将②代入①得ln x 0＝34，∴x 0＝e 34， ∴a ＝－1e34＝－e-34.答案：－e-342．已知函数f (x )＝13x 3－2x 2＋3x (x ∈R)的图象为曲线C .(1)求过曲线C 上任意一点切线斜率的取值范围；(2)若在曲线C 上存在两条相互垂直的切线，求其中一条切线与曲线C 的切点的横坐标的取值范围．解：(1)由题意得f ′(x )＝x 2－4x ＋3， 则f ′(x )＝(x －2)2－1≥－1，即过曲线C 上任意一点切线斜率的取值范围是[－1，＋∞)． (2)设曲线C 的其中一条切线的斜率为k ，则由(2)中条件并结合(1)中结论可知，⎩⎪⎨⎪⎧k ≥－1，－1k ≥－1，解得－1≤k ＜0或k ≥1，故由－1≤x 2－4x ＋3<0或x 2－4x ＋3≥1， 得x ∈(－∞，2－ 2 ]∪(1,3)∪[2＋2，＋∞)．。
人教A版高中数学选修变化率与导数平均变化率同步练习
平均变化率一、填空题1．函数关系h (t )＝－4.9t 2＋6.5t ＋10，从t ＝0到t ＝0.5变化过程中，自变量增量是________．2．在x ＝1附近，取Δx ＝0.3，在四个函数①y ＝x ；②y ＝x 2；③y ＝x 3；④y ＝1x中，平均变化率最大的是________(填序号)．3．已知曲线y ＝14x 2和这条曲线上的一点P (1，14)，Q 是曲线上点P 附近的一点，则点Q的坐标为________．4．函数y ＝f (x )的平均变化率的几何意义是指函数y ＝f (x )图象上两点，P 1(x 1，f (x 1))，P 2(x 2，f (x 2))连线的________．5．已知函数y ＝2x 3＋1，当x ＝2时，Δy Δx＝________.6．已知函数f (x )＝2x 2－4的图象上一点(1，－2)及邻近一点(1＋Δx ，－2＋Δy )，则ΔyΔx等于________． 7．已知f (x )＝x 2＋2，则f (x )在区间[1,1.1]上的平均变化率为________．8．一棵树2009年1月1日高度为4.5米，2010年1月1日高度为4.98米，则这棵树2009年高度的月平均变化率是________．9．函数y ＝x 3在x 0＝1，Δx ＝12时平均变化率的值是________．二、解答题10．求y ＝x 2－2x ＋1在x ＝－2附近的平均变化率．11．一条水管中流过的水量y (单位：m 3)是时间x (单位：s)的函数y ＝f (x )＝3x ，计算x ∈[2,2＋Δx ]内y 的平均变化率．12．已知自由下落物体的运动的方程为S ＝12gt 2(S 单位：m ，t 单位：s)．求：(1)自由下落物体在t 0到t 0＋Δt 这段时间内的平均速度v ； (2)自由下落物体在t ＝10 s 到t ＝10.1 s 这段时间内的平均速度．答案1 解析：自变量增量是0.5－0＝0.5. 答案：0.52 解析：先求出各个函数在Δx ＝0.3时的平均变化率，再比较大小． 答案：③3 解析：曲线上在点P (1，14)附近的Q 的横坐标为1＋Δx ，则其纵坐标为14＋Δy ＝14(1＋Δx )2.答案：(1＋Δx ，14(Δx ＋1)2)4 解析：由平均变化率定义及直线斜率定义可得结果． 答案： 斜率5 解析：Δy ＝2(2＋Δx )3＋1－(2×23＋1) ＝2(Δx )3＋12(Δx )2＋24Δx ， ∴Δy Δx＝2(Δx )2＋12Δx ＋24. 答案：2(Δx )2＋12Δx ＋246 解析：由于Δy ＝f (1＋Δx )－f (1)＝2(1＋Δx )2－4－(2－4)＝2(1＋Δx )2－2＝4Δx ＋2(Δx )2，∴Δy Δx ＝4Δx ＋2Δx 2Δx ＝4＋2Δx .答案：4＋2Δx 7 解析：由定义知f 1.1－f 11.1－1＝1.12＋2－12＋20.1＝2.1.答案：2.18解析：月平均变化率为4.98－4.512＝0.04(米/月)．答案：0.04米/月9解析：f x 0＋Δx －f x 0Δx ＝x 0＋Δx 3－x 30Δx＝3x 20＋3x 0Δx ＋Δx 2，∴当x 0＝1，Δx ＝12时，平均变化率的值为3×12＋3×1×12＋(12)2＝194.答案：19410解：当自变量从－2变化到－2＋Δx 时，函数的平均变化率为y 2－y 1Δx＝－2＋Δx2－2－2＋Δx ＋1－[－22＋4＋1]Δx＝Δx －6.11 解：当x 从2变到2＋Δx 时，函数值从3×2变到3(2＋Δx )，函数值y 关于x 的平均变化率为f 2＋Δx －f 22＋Δx －2＝32＋Δx －3×2Δx ＝3ΔxΔx＝3(m 3/s)．即x ∈[2,2＋Δx ]时水管中流过的水量y 的平均变化率为3 m 3/s.12 解：(1)当t 由t 0取得一个改变量Δt 时，S 取得相应改变量为ΔS ＝12g (t 0＋Δt )2－12gt 20＝gt 0(Δt )＋12g (Δt )2，因此，在t 0到t 0＋Δt 这段时间内，自由下落物体的平均速度为：v ＝ΔS Δt＝gt 0Δt ＋12g Δt2Δt＝g (t 0＋12Δt )．(2)当t 0＝10 s ，Δt ＝0.1 s 时，由(1)得平均速度为v ＝g (10＋12×0.1)＝10.05 g (m/s)．。
2018版数学新导学同步选修2-2人教A版作业及测试：课时作业1变化率问题 导数的概念
即 3≤t≤3＋Δt(Δt>0)，
∴Δs＝s(3＋Δt)－s(3)＝5×(3＋Δt)2－5×32
＝5·Δt·(6＋Δt)，
Δs 5Δt6＋Δt
∴Δt＝ Δt ＝30＋5Δt. Δs
当 Δt 趋于 0 时，Δt趋于 30. ∴在 t＝3 时的瞬时速度为 30 m/s. 14．建造一栋面积为 x m2 的房屋需要成本 y 万元，y 是 x 的函数，y＝f(x) xx
m
解析：liΔx→0
Δx
[ ] fx0＋2Δx－fx0
m
×2
＝liΔx→0
2Δx
fx0＋2Δx－fx0
m
＝2liΔx→0
2Δx
＝2f′(x0)＝2×4＝8.
答案：8
13．已知 s(t)＝5t2.
(1)求 t 从 3 秒到 3.1 秒的平均速度；
(2)求 t 从 3 秒到 3.01 秒的平均速度； (3)求 t＝3 秒时的瞬时速度． 解析：(1)当 3≤t≤3.1 时，Δt＝0.1，Δs＝s(3.1)－s(3) ＝5×(3.1)2－5×32 ＝5×(3.1－3)×(3.1＋3)，
Δs 5 × 0.1 × 6.1
∴Δt＝
0.1
＝30.5(m/s)．
(2)当 3≤t≤3.01 时，Δt＝0.01，
Δs＝s(3.01)－s(3)＝5×(3.01)2－5×32
＝5×(3.01－3)×(3.01＋3)，
Δs 5 × 0.01 × 6.01
∴Δt＝
0.01
＝30.05 (m/s)．
(3)在 t＝3 附近取一个小时间段 Δt，
课时作业 1 变化率问题 导数的概念|基础巩固|(25 分钟，60 分)
一、选择题(每小题 5 分，共 25 分) 1．若函数 y＝f(x)＝x2－1，图象上点 P(2,3)及其邻近点 Q(2＋Δx,3＋Δy)， Δy
2018版高考数学(文理通用新课标)一轮复习课时达标检测：第三章 导数及其应用 (十四) 变化率与导数、导
课时达标检测（十四） 变化率与导数、导数的计算练基础小题——强化运算能力]1．函数f (x )＝(x ＋2a )(x －a )2的导数为( )A ．2(x 2－a 2)B ．2(x 2＋a 2)C ．3(x 2－a 2)D ．3(x 2＋a 2)解析：选C ∵f (x )＝(x ＋2a )(x －a )2＝x 3－3a 2x ＋2a 3，∴f ′(x )＝3(x 2－a 2)．2．曲线y ＝sin x ＋e x 在点(0,1)处的切线方程是( )A ．x －3y ＋3＝0B ．x －2y ＋2＝0C ．2x －y ＋1＝0D ．3x －y ＋1＝0 解析：选C ∵y ＝sin x ＋e x ，∴y ′＝cos x ＋e x ，∴y ′| x ＝0＝cos 0＋e 0＝2， ∴曲线y ＝sin x ＋e x 在点(0,1)处的切线方程为y －1＝2(x －0)，即2x －y ＋1＝0.3．(2016·安庆二模)给出定义：设f ′(x )是函数y ＝f (x )的导函数，f ″(x )是函数f ′(x )的导函数，若方程f ″(x )＝0有实数解x 0，则称点(x 0，f (x 0))为函数y ＝f (x )的“拐点”．已知函数f (x )＝3x ＋4sin x －cos x 的拐点是M (x 0，f (x 0))，则点M ( )A ．在直线y ＝－3x 上B ．在直线y ＝3x 上C ．在直线y ＝－4x 上D ．在直线y ＝4x 上解析：选B f ′(x )＝3＋4cos x ＋sin x ，f ″(x )＝－4sin x ＋cos x ，由题可知f ″(x 0)＝0，即4sin x 0－cos x 0＝0，所以f (x 0)＝3x 0，故M (x 0，f (x 0))在直线y ＝3x 上．故选B.4．(2016·贵阳一模)曲线y ＝x e x 在点(1，e)处的切线与直线ax ＋by ＋c ＝0垂直，则a b的值为( )A ．－12eB ．－2e C.2e D.12e解析：选D y ′＝e x ＋x e x ，则y ′|x ＝1＝2e.∵曲线在点(1，e)处的切线与直线ax ＋by ＋c＝0垂直，∴－a b ＝－12e ，∴a b ＝12e，故选D. 5．已知直线y ＝－x ＋1是函数f (x )＝－1a e x 图象的切线，则实数a ＝________.解析：设切点为(x 0，y 0)．f ′(x )＝－1a e x ，则f ′(x 0)＝－1a ·e x 0＝－1，∴e x 0＝a ，又－1a ·e x 0＝－x 0＋1，∴x 0＝2，∴a ＝e 2.答案：e 2练常考题点——检验高考能力]一、选择题1．(2017·惠州模拟)已知函数f (x )＝1x cos x ，则f (π)＋f ′⎝⎛⎭⎫π2＝( )A ．－3π2B ．－1π2C ．－3πD ．－1π解析：选C 由题可知，f (π)＝－1π，f ′(x )＝－1x 2cos x ＋1x (－sin x )，则f (π)＋f ′⎝⎛⎭⎫π2＝－1π＋2π×(－1)＝－3π. 2．设曲线y ＝1＋cos x sin x在点⎝⎛⎭⎫π2，1处的切线与直线x －ay ＋1＝0平行，则实数a 等于( )A ．－1 B.12 C ．－2 D ．2 解析：选A ∵y ′＝－1－cos x sin 2x ，∴y ′x ＝π2＝－1，由条件知1a ＝－1，∴a ＝－1. 3．(2017·上饶模拟)若点P 是曲线y ＝x 2－ln x 上任意一点，则点P 到直线y ＝x －2距离的最小值为( )A ．1 B.2 C.22D. 3 解析：选B 由题可得，y ′＝2x －1x .因为y ＝x 2－ln x 的定义域为(0，＋∞)，所以由2x －1x ＝1，得x ＝1，则P 点坐标为(1,1)，所以曲线在点P 处的切线方程为x －y ＝0，所以两平行线间的距离为d ＝22＝2，即点P 到直线y ＝x －2距离的最小值为 2. 4．(2016·南昌二中模拟)设点P 是曲线y ＝x 3－3x ＋23上的任意一点，P 点处切线倾斜角α的取值范围为( )A.⎣⎡⎭⎫0，π2∪⎣⎡⎭⎫5π6，πB.⎣⎡⎭⎫2π3，πC.⎣⎡⎭⎫0，π2∪⎣⎡⎭⎫2π3，πD.⎝⎛⎦⎤π2，5π6 解析：选C 因为y ′＝3x 2－3≥－3，故切线斜率k ≥－3，所以切线倾斜角α的取值范围是⎣⎡⎭⎫0，π2∪⎣⎡⎭⎫2π3，π. 5．(2017·重庆诊断)已知函数f (x )＝2e x＋1＋sin x ，其导函数为f ′(x )，则f (2 017)＋f (－2 017)＋f ′(2 017)－f ′(－2 017)的值为( )A ．0B ．2C ．2 017D ．－2 017解析：选B ∵f (x )＝2e x ＋1＋sin x ，∴f ′(x )＝－2e x(e x ＋1)2＋cos x ，f (x )＋f (－x )＝2e x ＋1＋sin x ＋2e －x ＋1＋sin(－x )＝2，f ′(x )－f ′(－x )＝－2e x (e x ＋1)2＋cos x ＋2e －x (e －x ＋1)2－cos(－x )＝0，∴f (2 017)＋f (－2 017)＋f ′(2 017)－f ′(－2 017)＝2.6．已知f (x )＝ln x ，g (x )＝12x 2＋mx ＋72(m <0)，直线l 与函数f (x )，g (x )的图象都相切，且与f (x )图象的切点为(1，f (1))，则m 的值为( )A ．－1B ．－3C ．－4D ．－2 解析：选D ∵f ′(x )＝1x，∴直线l 的斜率为k ＝f ′(1)＝1，又f (1)＝0，∴切线l 的方程为y ＝x －1.g ′(x )＝x ＋m ，设直线l 与g (x )的图象的切点为(x 0，y 0)，则有x 0＋m ＝1，y 0＝x 0－1，y 0＝12x 20＋mx 0＋72，m <0，于是解得m ＝－2. 二、填空题7．已知函数f (x )在R 上可导，且f (x )＝x 2＋2x ·f ′(2)，则函数f (x )的解析式为________． 解析：由题意得f ′(x )＝2x ＋2f ′(2)，则f ′(2)＝4＋2f ′(2)，所以f ′(2)＝－4，所以f (x )＝x 2－8x .答案：f (x )＝x 2－8x8．若直线l 与幂函数y ＝x n 的图象相切于点A (2,8)，则直线l 的方程为________． 解析：由题意知，A (2,8)在y ＝x n 上，∴2n ＝8，∴n ＝3，∴y ′＝3x 2，直线l 的斜率k ＝3×22＝12，又直线l 过点(2,8)．∴y －8＝12(x －2)，即直线l 的方程为12x －y －16＝0.答案：12x －y －16＝09．若曲线f (x )＝ax 3＋ln x 存在垂直于y 轴的切线，则实数a 的取值范围是________．解析：由题意，可知f ′(x )＝3ax 2＋1x ，又存在垂直于y 轴的切线，所以3ax 2＋1x＝0，即a ＝－13x 3(x >0)，故a ∈(－∞，0)． 答案：(－∞，0)10.已知f ′(x )，g ′(x )分别是二次函数f (x )和三次函数g (x )的导函数，且它们在同一平面直角坐标系内的图象如图所示．(1)若f (1)＝1，则f (－1)＝________；(2)设函数h (x )＝f (x )－g (x )，则h (－1)，h (0)，h (1)的大小关系为________．(用“<”连接)解析：(1)依题意，f ′(x )＝x ，g ′(x )＝x 2，设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，g (x )＝dx 3＋ex 2＋mx ＋n (d ≠0)，则f ′(x )＝2ax ＋b ＝x ，g ′(x )＝3dx 2＋2ex ＋m ＝x 2，故a ＝12，b ＝0，d ＝13，e ＝m ＝0，f (x )＝12x 2＋c ， g (x )＝13x 3＋n ，由f (1)＝1得c ＝12， 则f (x )＝12x 2＋12，故f (－1)＝1. (2)h (x )＝f (x )－g (x )＝12x 2－13x 3＋c －n ， 则有h (－1)＝56＋c －n ，h (0)＝c －n ，h (1)＝16＋c －n ， 故h (0)<h (1)<h (－1)．答案：(1)1 (2)h (0)<h (1)<h (－1)三、解答题11．已知函数f (x )＝13x 3－2x 2＋3x (x ∈R)的图象为曲线C . (1)求过曲线C 上任意一点切线斜率的取值范围；(2)若在曲线C 上存在两条相互垂直的切线，求其中一条切线与曲线C 的切点的横坐标的取值范围．解：(1)由题意得f ′(x )＝x 2－4x ＋3，则f ′(x )＝(x －2)2－1≥－1，即过曲线C 上任意一点切线斜率的取值范围是－1，＋∞)．(2)设曲线C 的其中一条切线的斜率为k ，则由(2)中条件并结合(1)中结论可知，⎩⎪⎨⎪⎧ k ≥－1，－1k ≥－1， 解得－1≤k ＜0或k ≥1，故由－1≤x 2－4x ＋3＜0或x 2－4x ＋3≥1，得x ∈(－∞，2－2]∪(1,3)∪2＋2，＋∞)．12．设函数y ＝x 2－2x ＋2的图象为C 1，函数y ＝－x 2＋ax ＋b 的图象为C 2，已知过C 1与C 2的一个交点的两切线互相垂直，求a ＋b 的值．解：对于C 1：y ＝x 2－2x ＋2，有y ′＝2x －2，对于C 2：y ＝－x 2＋ax ＋b ，有y ′＝－2x ＋a ，设C 1与C 2的一个交点为(x 0，y 0)，由题意知过交点(x 0，y 0)的两条切线互相垂直．∴(2x 0－2)(－2x 0＋a )＝－1，即4x 20－2(a ＋2)x 0＋2a －1＝0，①又点(x 0，y 0)在C 1与C 2上，故有⎩⎪⎨⎪⎧y 0＝x 20－2x 0＋2，y 0＝－x 20＋ax 0＋b ， 即2x 20－(a ＋2)x 0＋2－b ＝0.②由①②消去x 0，可得a ＋b ＝52.。
2018版高考数学(人教A版理)一轮复习教师用书 第2章 第10节 变化率与导数、导数的计算 Word版含解析
第十节变化率与导数、导数的计算[考纲传真] 1.了解导数概念的实际背景.2.通过函数图象直观理解导数的几何意义.3.能根据导数的定义求函数y＝C(C为常数)，y＝x，y＝1x，y＝x2，y＝x3，y＝x的导数.4.能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数，并了解复合函数求导法则，能求简单复合函数(仅限于形如f(ax＋b)的复合函数)的导数．1．导数的概念(1)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数：①定义：称函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率lim Δx→0f(x0＋Δx)－f(x0)Δx＝limΔx→0ΔyΔx为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)或y′|x＝x0，即f′(x0)＝limΔx→0ΔyΔx＝limΔx→0f(x0＋Δx)－f(x0)Δx.②几何意义：函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线斜率．相应地，切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)．(2)函数f(x)的导函数：称函数f′(x)＝limΔx→0f(x＋Δx)－f(x)Δx为f(x)的导函数．2．基本初等函数的导数公式原函数导函数f(x)＝x n(n∈Q*)f′(x)＝n·x n－1 f(x)＝sin x f′(x)＝cos_xf(x)＝cos x f′(x)＝－sin_xf(x)＝a x f′(x)＝a x ln_a(a＞0)f (x )＝e x f ′(x )＝e x f (x )＝log a x f ′(x )＝1x ln a f (x )＝ln xf ′(x )＝1x(1)[f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )； (2)[f (x )·g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )； (3)⎣⎢⎡⎦⎥⎤f (x )g (x )′＝f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )[g (x )]2(g (x )≠0)．4．复合函数的导数复合函数y ＝f (g (x ))的导数和函数y ＝f (u )，u ＝g (x )的导数间的关系为y x ′＝y u ′·u x ′，即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积．1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)f ′(x 0)与(f (x 0))′表示的意义相同．( ) (2)求f ′(x 0)时，可先求f (x 0)再求f ′(x 0)．( ) (3)曲线的切线与曲线不一定只有一个公共点．( ) (4)若f (x )＝e 2x ，则f ′(x )＝e 2x .( ) [答案] (1)× (2)× (3)√ (4)×2．(教材改编)有一机器人的运动方程为s (t )＝t 2＋3t (t 是时间，s 是位移)，则该机器人在时刻t ＝2时的瞬时速度为( )【导学号：01772075】A.194B.174C.154 D.134D [由题意知，机器人的速度方程为v (t )＝s ′(t )＝2t －3t 2，故当t ＝2时，机器人的瞬时速度为v (2)＝2×2－322＝134.]3．(2016·天津高考)已知函数f (x )＝(2x ＋1)e x ，f ′(x )为f (x )的导函数，则f ′(0)的值为________．3 [因为f (x )＝(2x ＋1)e x ，所以f ′(x )＝2e x ＋(2x ＋1)e x ＝(2x ＋3)e x ， 所以f ′(0)＝3e 0＝3.]4．(2016·豫北名校期末联考)曲线y ＝－5e x ＋3在点(0，－2)处的切线方程为________．5x ＋y ＋2＝0 [∵y ′＝－5e x ，∴所求曲线的切线斜率k ＝y ′| x ＝0＝－5e 0＝－5，∴切线方程为y －(－2)＝－5(x －0)，即5x ＋y ＋2＝0.]4．(2015·全国卷Ⅰ)已知函数f (x )＝ax 3＋x ＋1的图象在点(1，f (1))处的切线过点(2,7)，则a ＝________.1 [∵f ′(x )＝3ax 2＋1， ∴f ′(1)＝3a ＋1. 又f (1)＝a ＋2，∴切线方程为y －(a ＋2)＝(3a ＋1)(x －1)． ∵切线过点(2,7)，∴7－(a ＋2)＝3a ＋1，解得a ＝1.]导数的计算(1)y ＝e x ln x ； (2)y ＝x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋1x ＋1x 3；(3)y ＝x －sin x 2cos x2； (4)y ＝ln(2x －9)．[解] (1)y ′＝(e x )′ln x ＋e x (ln x )′＝e x ln x ＋e x ·1x ＝e x ⎝ ⎛⎭⎪⎫ln x ＋1x . (2)∵y ＝x 3＋1＋1x 2，∴y ′＝3x 2－2x 3. (3)∵y ＝x －12sin x ，∴y ′＝1－12cos x . (4)令u ＝2x －9，y ＝ln u ， 则y ′x ＝y ′u ·u ′x . 因此y ′＝12x －9·(2x －9)′＝22x －9.[规律方法] 1.熟记基本初等函数的导数公式及运算法则是导数计算的前提，求导之前，应利用代数、三角恒等式等变形对函数进行化简，然后求导，这样可以减少运算量提高运算速度，减少差错．2．如函数为根式形式，可先化为分数指数幂，再求导．3．复合函数求导，应先确定复合关系，由外向内逐层求导，必要时可换元处理．[变式训练1] (1)f (x )＝x (2 017＋ln x )，若f ′(x 0)＝2 018，则x 0等于( ) A ．e 2 B.1 C.ln 2D.e(2)(2015·天津高考)已知函数f (x )＝ax ln x ，x ∈(0，＋∞)，其中a 为实数，f ′(x )为f (x )的导函数．若f ′(1)＝3，则a 的值为________．(1)B (2)3 [(1)f ′(x )＝2 017＋ln x ＋x ×1x ＝2 018＋ln x ，故由f ′(x 0)＝2 018，得2 018＋ln x 0＝2 018，则ln x 0＝0，解得x 0＝1.(2)f ′(x )＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫ln x ＋x ·1x ＝a (1＋ln x )． 由于f ′(1)＝a (1＋ln 1)＝a ，又f ′(1)＝3，所以a ＝3.]导数的几何意义☞角度1 求切线方程已知曲线y ＝13x 3＋43.(1)求曲线在点P (2,4)处的切线方程； (2)求曲线过点P (2,4)的切线方程．[思路点拨] (1)点P (2,4)是切点，先利用导数求切线斜率，再利用点斜式写出切线方程；(2)点P (2,4)不一定是切点，先设切点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0，13x 30＋43，由此求出切线方程，再把点P (2,4)代入切线方程求x 0.[解] (1)根据已知得点P (2,4)是切点且y ′＝x 2， ∴在点P (2,4)处的切线的斜率为y ′| x ＝2＝4，3分∴曲线在点P (2,4)处的切线方程为y －4＝4(x －2)， 即4x －y －4＝0.5分(2)设曲线y ＝13x 3＋43与过点P (2,4)的切线相切于点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0，13x 30＋43， 则切线的斜率为y ′|x ＝x 0＝x 20， ∴切线方程为y －⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 30＋43＝x 20(x －x 0)， 即y ＝x 20·x －23x 30＋43.7分 ∵点P (2,4)在切线上， ∴4＝2x 20－23x 30＋43， 即x 30－3x 20＋4＝0，9分 ∴x 30＋x 20－4x 20＋4＝0，∴x 20(x 0＋1)－4(x 0＋1)(x 0－1)＝0，∴(x 0＋1)(x 0－2)2＝0，解得x 0＝－1或x 0＝2，故所求的切线方程为x －y ＋2＝0或4x －y －4＝0.12分 ☞角度2 求切点坐标若曲线y ＝x ln x 上点P 处的切线平行于直线2x －y ＋1＝0，则点P的坐标是________．【导学号：01772076】(e ，e) [由题意得y ′＝ln x ＋x ·1x ＝1＋ln x ，直线2x －y ＋1＝0的斜率为2.设P (m ，n )，则1＋ln m ＝2，解得m ＝e ，所以n ＝eln e ＝e ，即点P 的坐标为(e ，e)．]☞角度3 求参数的值(1)已知直线y ＝x ＋1与曲线y ＝ln(x ＋a )相切，则a 的值为( )A ．1 B.2 C.－1D.－2(2)(2017·西宁复习检测(一))已知曲线y ＝x ＋1x －1在点(3,2)处的切线与直线ax ＋y ＋1＝0垂直，则a ＝( )A ．－2 B.2 C.－12D.12(1)B (2)A [(1)设直线y ＝x ＋1与曲线y ＝ln(x ＋a )的切点为(x 0，y 0)，则y 0＝1＋x 0，y 0＝ln(x 0＋a )．又y ′＝1x ＋a，所以y ′|x ＝x 0＝1x 0＋a＝1，即x 0＋a ＝1.又y 0＝ln(x 0＋a )，所以y 0＝0，则x 0＝－1，所以a ＝2. (2)由y ′＝－2(x －1)2得曲线在点(3,2)处的切线斜率为－12，又切线与直线ax ＋y ＋1＝0垂直，则a ＝－2，故选A.][规律方法] 1.导数f′(x0)的几何意义就是函数y＝f(x)在点P(x0，y0)处的切线的斜率，切点既在曲线上，又在切线上，切线有可能和曲线还有其他的公共点．2．曲线在点P处的切线是以点P为切点，曲线过点P的切线则点P不一定是切点，此时应先设出切点坐标．易错警示：当曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线垂直于x轴时，函数在该点处的导数不存在，切线方程是x＝x0.[思想与方法]1．f′(x0)是函数f(x)在x＝x0处的导数值；(f(x0))′是函数值f(x0)的导数，而函数值f(x0)是一个常数，其导数一定为0，即(f(x0))′＝0.2．对于函数求导，一般要遵循先化简再求导的基本原则．在实施化简时，必须注意变换的等价性．[易错与防范]1．利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号，防止与乘法公式混淆．复合函数的导数要正确分解函数的结构，由外向内逐层求导．2．曲线y＝f(x)“在点P(x0，y0)处的切线”与“过点P(x0，y0)的切线”的区别：前者P(x0，y0)为切点，而后者P(x0，y0)不一定为切点．3．曲线的切线与二次曲线的切线的区别：曲线的切线与曲线的公共点的个数不一定只有一个，而直线与二次曲线相切只有一个公共点．。
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第三章导数及其应用第1讲变化率与导数、导数的运算一、选择题1．设函数f(x)是R上以5为周期的可导偶函数，则曲线y＝f(x)在x＝5处的切线的斜率为( )A．－15B．0 C.15D．5解析因为f(x)是R上的可导偶函数，所以f(x)的图象关于y轴对称，所以f(x)在x＝0处取得极值，即f′(0)＝0，又f(x)的周期为5，所以f′(5)＝0，即曲线y＝f(x)在x＝5处的切线的斜率为0，选B.答案B2．函数f(x)是定义在(0，＋∞)上的可导函数，且满足f(x)>0，xf′(x)＋f(x)<0，则对任意正数a，b，若a>b，则必有()．A．af(b)<bf(a) B．bf(a)<af(b)C．af(a)<f(b) D．bf(b)<f(a)解析构造函数F(x)＝f(x)x(x>0)，F′(x)＝xf′(x)－f(x)x2，由条件知F′(x)<0，∴函数F(x)＝f(x)x在(0，＋∞)上单调递减，又a>b>0，∴f(a)a<f(b)b，即bf(a)<af(b)．答案 B3．已知函数f(x)＝x3＋2ax2＋1a x(a>0)，则f(2)的最小值为()．A．1232 B．12＋8a＋1aC．8＋8a＋2a D．16解析 f (2)＝8＋8a ＋2a ，令g (a )＝8＋8a ＋2a ，则g ′(a )＝8－2a 2，由g ′(a )>0得a >12，由g ′(a )<0得0<a <12，∴a ＝12时f (2)有最小值．f (2)的最小值为8＋8×12＋212＝16.故选D.答案 D4．已知函数f (x )的导函数为f ′(x )，且满足f (x )＝2xf ′(1)＋ln x ，则f ′(1)＝( )．A ．－eB ．－1C ．1D ．e解析 由f (x )＝2xf ′(1)＋ln x ，得f ′(x )＝2f ′(1)＋1x，∴f ′(1)＝2f ′(1)＋1，则f ′(1)＝－1. 答案 B5．等比数列{a n }中，a 1＝2，a 8＝4，函数f (x )＝x (x －a 1)(x －a 2)…(x －a 8)，则f ′(0)＝( )． A ．26B ．29C ．212D ．215解析 函数f (x )的展开式含x 项的系数为a 1·a 2·…·a 8＝(a 1·a 8)4＝84＝212，而f ′(0)＝a 1·a 2·…·a 8＝212，故选C. 答案C6．已知函数f ′(x )，g ′(x )分别是二次函数f (x )和三次函数g (x )的导函数，它们在同一坐标系下的图象如图所示，设函数h (x )＝f (x )－g (x )，则( )． A ．h (1)<h (0)<h (－1) B ．h (1)<h (－1)<h (0) C ．h (0)<h (－1)<h (1) D ．h (0)<h (1)<h (－1)解析 由图象可知f ′(x )＝x ，g ′(x )＝x 2，则f (x )＝12x 2＋m ，其中m 为常数，g (x )＝13x 3＋n ，其中n 为常数，则h (x )＝12x 2－13x 3＋m －n ，得h (0)<h (1)<h (－1)． 答案 D 二、填空题7．曲线y ＝x (3ln x ＋1)在点(1,1)处的切线方程为________．解析 ∵y ＝x (3ln x ＋1)，∴y ′＝3ln x ＋1＋x ·3x ＝3ln x ＋4，∴k ＝y ′|x ＝1＝4，∴所求切线的方程为y －1＝4(x －1)，即y ＝4x －3. 答案 y ＝4x －38．若过原点作曲线y ＝e x 的切线，则切点的坐标为________，切线的斜率为________．解析 y ′＝e x ，设切点的坐标为(x 0，y 0)则y 0x 0＝e x 0，即e x 0x 0＝e x 0，∴x 0＝1.因此切点的坐标为(1，e)，切线的斜率为e. 答案 (1，e) e9．已知函数f (x )在R 上满足f (x )＝2f (2－x )－x 2＋8x －8，则曲线y ＝f (x )在x ＝1处的导数f ′(1)＝________. 解析 ∵f (x )＝2f (2－x )－x 2＋8x －8， ∴x ＝1时，f (1)＝2f (1)－1＋8－8， ∴f (1)＝1，即点(1,1)，在曲线y ＝f (x )上． 又∵f ′(x )＝－2f ′(2－x )－2x ＋8，x ＝1时，f ′(1)＝－2f ′(1)－2＋8， ∴f ′(1)＝2. 答案 210．同学们经过市场调查，得出了某种商品在2011年的价格y (单位：元)与时间t (单位：月)的函数关系为：y ＝2＋t 220－t (1≤t ≤12)，则10月份该商品价格上涨的速度是______元/月．解析 ∵y ＝2＋t 220－t(1≤t ≤12)，∴y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋t 220－t ′＝2′＋⎝ ⎛⎭⎪⎫t 220－t ′＝(t 2)′(20－t )－t 2(20－t )′(20－t )2＝40t －t 2(20－t )2.由导数的几何意义可知10月份该商品的价格的上涨速度应为y ′|t ＝10＝40×10－102(20－10)2＝3.因此10月份该商品价格上涨的速度为3元/月． 答案 3 三、解答题11．求下列函数的导数：(1)y ＝(2x ＋1)n ，(n ∈N *)； (2)y ＝ln (x ＋1＋x 2)； (3)y ＝e x ＋1e x －1； (4)y ＝2x sin(2x ＋5)．解 (1)y ′＝n (2x ＋1)n －1·(2x ＋1)′＝2n (2x ＋1)n －1. (2)y ′＝1x ＋1＋x 2·⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋2x 21＋x 2＝11＋x 2. (3)∵y ＝e x ＋1e x －1＝1＋2e x －1∴y ′＝－2e x (e x －1)2.(4)y ′＝2sin(2x ＋5)＋4x cos(2x ＋5)．12．设函数f (x )＝x 3＋2ax 2＋bx ＋a ，g (x )＝x 2－3x ＋2，其中x ∈R ，a 、b 为常数，已知曲线y ＝f (x )与y ＝g (x )在点(2,0)处有相同的切线l . (1)求a 、b 的值，并写出切线l 的方程；(2)若方程f (x )＋g (x )＝mx 有三个互不相同的实根0、x 1、x 2，其中x 1<x 2，且对任意的x ∈[x 1，x 2]，f (x )＋g (x )<m (x －1)恒成立，求实数m 的取值范围． 解析(1)f ′(x )＝3x 2＋4ax ＋b ，g ′(x )＝2x －3，由于曲线y ＝f (x )与y ＝g (x )在点(2,0)处有相同的切线，故有f (2)＝g (2)＝0，f ′(2)＝g ′(2)＝1，由此解得a ＝－2，b ＝5； 切线l 的方程为：x －y －2＝0.(2)由(1)得f (x )＋g (x )＝x 3－3x 2＋2x ，依题意得：方程x (x 2－3x ＋2－m )＝0有三个互不相等的根0，x 1，x 2，故x 1，x 2是方程x 2－3x ＋2－m ＝0的两个相异实根，所以Δ＝9－4(2－m )>0⇒m >－14；又对任意的x ∈[x 1，x 2]，f (x )＋g (x )<m (x －1)恒成立，特别地，取x ＝x 1时，f (x 1)＋g (x 1)－mx 1<－m 成立，即0<－m ⇒m <0，由韦达定理知：x 1＋x 2＝3>0，x 1x 2＝2－m >0，故0<x 1<x 2，对任意的x ∈[x 1，x 2]，有x －x 2≤0，x －x 1≥0，x >0，则f (x )＋g (x )－mx ＝x (x －x 1)(x －x 2)≤0； 又f (x 1)＋g (x 1)－mx 1＝0，所以函数在x ∈[x 1，x 2]上的最大值为0，于是当m <0时对任意的x ∈[x 1，x 2]，f (x )＋g (x )<m (x －1)恒成立．综上：m 的取值范围是⎝⎛⎭⎪⎫－14，0 13．设函数f (x )＝ax －bx ，曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为7x －4y －12＝0.(1)求f (x )的解析式；(2)证明：曲线y ＝f (x )上任一点处的切线与直线x ＝0和直线y ＝x 所围成的三角形面积为定值，并求此定值．(1)解 方程7x －4y －12＝0可化为y ＝74x －3， 当x ＝2时，y ＝12.又f ′(x )＝a ＋bx 2， 于是⎩⎪⎨⎪⎧2a －b 2＝12，a ＋b 4＝74，解得⎩⎨⎧a ＝1，b ＝3.故f (x )＝x －3x .(2)证明 设P (x 0，y 0)为曲线上任一点，由f ′(x )＝1＋3x 2知，曲线在点P (x 0，y 0)处的切线方程为y －y 0＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋3x 20·(x －x 0)，即y －⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0－3x 0＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋3x 20(x －x 0)．令x ＝0得，y ＝－6x 0，从而得切线与直线x ＝0交点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－6x 0.令y ＝x ，得y ＝x ＝2x 0，从而得切线与直线y ＝x 的交点坐标为(2x 0,2x 0)．所以点P(x0，y0)处的切线与直线x＝0，y＝x所围成的三角形面积为12⎪⎪⎪⎪⎪⎪－6x0|2x0|＝6.故曲线y＝f(x)上任一点处的切线与直线x＝0和直线y＝x所围成的三角形面积为定值，此定值为6.14．设f(x)＝ln(x＋1)＋x＋1＋ax＋b(a，b∈R，a，b，为常数)，曲线y＝f(x)与直线y＝32x在(0,0)点相切．(1)求a，b的值；(2)证明：当0<x<2时，f(x)<9xx＋6. (1)解由y＝f(x)过(0,0)点，得b＝－1.由y＝f(x)在(0,0)点的切线斜率为3 2，又y′|x＝0＝⎪⎪⎪⎝⎛⎭⎪⎫1x＋1＋12x＋1＋ax＝0＝32＋a，得a＝0.(2)证明当x>0时，2(x＋1)·1<x＋1＋1＝x＋2，故x＋1<x2＋1.记h(x)＝f(x)－9xx＋6，则h′(x)＝1x＋1＋12x＋1－54(x＋6)2＝2＋x＋12(x＋1)－54(x＋6)2<x＋64(x＋1)－54(x＋6)2＝(x＋6)3－216(x＋1)4(x＋1)(x＋6)2.令g(x)＝(x＋6)3－216(x＋1)，则当0<x<2时，g′(x)＝3(x＋6)2－216<0.因此g(x)在(0,2)内是递减函数，又由g(0)＝0，得g(x)<0，所以h′(x)<0.因此h(x)在(0,2)内是递减函数，又h(0)＝0，得h(x)<0.于是当0<x<2时，f(x)<9x x＋6.。