教案正弦型函数的图像和性质

教案 正弦型函数的图像和性质

1．,,A ωϕ的物理意义

当sin()y A x ωϕ=+，[0,)x ∈+∞（其中0A >，0ω>）表示一个振动量时，A 表示这个量振动时离开平衡位置的最大距离，通常称为这个振动的振幅，往复振动一次需要的时间2T π

ω

=

称为这个振动的周期，单位时间内往复振动的次数12f T ω

π

=

=

，称为振动的频率。x ωϕ+称为相位，0x =时的相位ϕ称为初相。

2．图象的变换

例 ： 画出函数3sin(2)3

y x π

=+的简图。

解：函数的周期为22

T π

π=

=，先画出它在长度为一个周期内的闭区间上的简图，再左右拓展即可，先用五点法画图：

x

6

π-

12π 3π 712π 56

π 23

x π

+

0 2

π

π 32

π 2π 3sin(2)3

x π

+

3 0

3-

函数3sin(2)3

y x π

=+

的图象可看作由下面的方法得到的：

①sin y x =图象上所有点向左平移

3

π

个单位，得到sin()3y x π=+的图象上；②再把

图象上所点的横坐标缩短到原来的12，得到sin(2)3

y x π

=+的图象；③再把图象上所有点

的纵坐标伸长到原来的3倍，得到3sin(2)3

y x π

=+的图象。

x y

O π

3

π-

6

π- 53

π

2π

sin()3

y x π

=+

sin(2)3

y x π

=+

sin y x = 3sin(2)3

y x π

=+

一般地，函数sin()y A x ωϕ=+，x R ∈的图象（其中0A >，0ω>）的图象，可看作由下面的方法得到：

①把正弦曲线上所有点向左（当0ϕ>时）或向右（当0ϕ<时）平行移动||ϕ个单位长度；

②再把所得各点横坐标缩短（当1ω>时）或伸长（当01ω<<时）到原来的

1

ω

倍（纵坐标不变）； ③再把所得各点的纵坐标伸长（当1A >时）或缩短（当01A <<时）到原来的A 倍（横坐标不变）。 即先作相位变换，再作周期变换，再作振幅变换。 问题：以上步骤能否变换次序？

∵3sin(2)3sin 2()36y x x π

π=+

=+，所以，函数3sin(2)3

y x π

=+的图象还可看作

由下面的方法得到的： ①sin y x =图象上所点的横坐标缩短到原来的

1

2

，得到函数sin 2y x =的图象；

②再把函数sin 2y x =图象上所有点向左平移6

π

个单位，得到函数sin 2()6y x π=+的

图象；

③再把函数sin 2()6y x π

=+的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的3倍，得到3sin 2()

6

y x π=+的图象。

3.实际应用

例1：已知函数sin()y A x ωϕ=+（0A >，0ω>）一个周期内的函数图象，如下图 所示，求函数的一个解析式。

解：由图知：函数最大值为3，最小值为3-，

又∵0A >，∴3A =， 由图知

52632

T πππ=-= ∴2T π

πω

==，∴2ω=，

又∵157()23612

πππ+=， ∴图象上最高点为7(

,3)12

π

， ∴733sin(2)12πϕ=⨯+，即7sin()16πϕ+=，可取23

πϕ=-， 所以，函数的一个解析式为23sin(2)3

y x π

=-．

2．由已知条件求解析式 例2： 已知函数cos()y A x ωϕ=+（0A >，0ω>，0ϕπ<<）

的最小值是5-， 图x 3 3

π

56

π 3

O

象上相邻两个最高点与最低点的横坐标相差4

π

，且图象经过点5(0,)2-，求这个函数的解析

式。

解：由题意：5A =，

24T π=， ∴22T ππ

ω

==

， ∴4ω=， ∴5cos(4)y x ϕ=+，

又∵图象经过点5(0,)2-， ∴55cos 2ϕ-=， 即1

cos 2

ϕ=-，

又∵0ϕπ<<， ∴23

π

ϕ=，

所以，函数的解析式为25cos(4)3

y x π

=+．

例3：已知函数sin()y A x B ωϕ=++（0A >，0ω>，||ϕπ<

）的最大值为，

最小值为，周期为23

π

，且图象过点(0,)4-，求这个函数的解析式。

解：A B A B ⎧+=⎪⎨-+=⎪

⎩22

A B ⎧=⎪⎪⇒⎨

⎪=⎪⎩，

又∵223T ππ

==

， ∴

3ω=， ∴

)22

y x ϕ=++，

又∵图象过点

(0,4

-，

∴422ϕ-=+， ∴1sin 2

ϕ=-， 又∵||ϕπ<，∴6πϕ

=-或56

π

ϕ=-，

所以，函数解析式为

sin(3)262

y x π=

-+或5)262

y x π=-+． 五、小结：

1．函数sin()y A x ωϕ=+与sin y x =的图象间的关系。 2．由已知函数图象求解析式； 3．由已知条件求解析式。

六、作业：

（1）函数sin(2)2y x π

=+

的图象可由函数sin y x =的图象经过怎样的变换得到？ （2）函数3cos(2)4

y x π

=+的图象可由函数cos y x =的图象经过怎样的变换得到？