解析几何复习—直线和圆的方程综合

解析几何复习（4）—直线和圆的方程综合

一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）

1．若直线1=x 的倾斜角为α，则α （ ）

A ．等于0

B ．等于4

π C ．等于2π D ．不存在

2．点P(2,3)到直线：ax +(a －1)y+3=0的距离d 为最大时，d 与a 的值依次为

（ ） A ．3,-3 B ．5,1 C ．5,2 D ．7,1 3．圆42

2=+y x 截直线0323=-+y x 所得的弦长是 （ ）

A ．2

B ．1

C ．3

D ．32

4．若直线013=--y x 到直线0=-ay x 的角为6

π，则实数a 的值等于

（ ） A ．0 B ．3 C ．0或3

D ．3

3-

5．若圆)0(02222

2

>=++-+k y kx y x 与两坐标轴无公共点，那么实数k 的取值范围是（ ）

A ．20<

B ．21<

C ． 10<

D ．2>k 6．若直线)2(-=x k y 与曲线21x y -=有交点，则 （ ）

A ．k 有最大值33，最小值33-

B ．k 有最大值21，最小值21-

C ．k 有最大值0，最小值 33-

D ．k 有最大值0，最小值1-

7．如图，设点C(1,0)，长为2的线段AB 在y 轴上滑动，则直线AB 、AC 所成的最大夹角是（A ．30° B ．45°

C ．60°

D ．90° 8．如果直线(2a +5)x +(a －2)y+4=0与直线(2－a )x +(a +3)y －1=0互相垂直，则a 的值等于（ ）

A ． 2

B ．－2

C ．2,－2

D ．2,0,－2 9．已知x ,y 满足约束条件 0

,0424

≥≥≤+≤+y x y x y x ，则y x z +=的最大值是

（ ）

A ．3

4 B ．3

8

C ．2

D ．4

10．直线0323=-+y x 与圆 θ

θsin 23cos 21+=+=y x （θ为参数）的位置关系是 ( )

A ． 相离

B ．相切

C ． 相交但不过圆心

D ． 相交且过圆心

二、填空题（本大题共4小题，每小题6分，共24分）

11．直线l 的倾角α满足4sin α=3cos α，而且它在x 轴上的截距为3，则直线l 的方程是_____________________. 12．若实数x ,y 满足x

y y x 则,3)2(22=+-的最大值是 ．

13．点)3,(a P 到直线0134=+-y x 的距离等于4，且在不等式32<+y x 表示的平面区域内，则点P 的坐标是_______________.

14．已知直线13

4=+y x l ：，M 是l 上一动点，过M 作x 轴、y 轴的垂线，垂足分别为A 、B ，则在A 、B 连线上，且满足2=的点P 的轨迹方程是____________________. 三、解答题（本大题共6小题，共76分）

15．已知直线l 满足下列两个条件：（1）过直线y = –x + 1和y = 2x + 4的交点; （2）与直线x –3y + 2 = 0 垂直，

求直线l 的方程．（12分）

16．求经过点)1,2(-A ，和直线1=+y x 相切，且圆心在直线x y 2-=上的圆方程．（12分）

17．某承包户承包了两块鱼塘，一块准备放养鲫鱼，另一块准备放养鲤鱼，现知放养这两种鱼苗时都需要鱼料A 、B 、C ，每

千克鱼苗所需饲料量如下表：

鱼类 鱼料A 鱼料B 鱼料C 鲫鱼/kg 15g 5g 8g 鲤鱼/kg

8g

5g

18g

如果这两种鱼长到成鱼时，鲫鱼和鲤鱼分别是当时放养鱼苗重量的30倍与50倍，目前这位承包户只有饲料A 、B 、C 分别为 120g 、50g 、144g,问如何放养这两种鱼苗，才能使得成鱼的重量最重．（12分）

18．已知与曲线C ：012222=+--+y x y x 相切的直线l 交y x ,的正半轴与B A 、两点，O 为原点，OA =a ，b OB =，)2,2(>>b a ．

（1）求线段AB 中点的轨迹方程；（2）求ab 的最小值．（12分）

19．已知直线l :y=k(x +22)与圆O ：x 2

+y 2

=4相交于A 、B 两点，O 是坐标原点，三角形ABO 的面积为S ． （1）试将S 表示成k 的函数，并求出它的定义域；（2）求S 的最大值，并求取得最大值时k 的值．（14分）

20．已知a , b 都是正数，△ABC 在平面直角坐标系x Oy 内, 以两点A (a ,0 )和B (0,b )为顶点的正三角形，且它的第三

个顶点C 在第一象限内.

（1）若△ABC 能含于正方形D = { ( x , y ) | 0 ≤ x ≤ 1, 0≤ y ≤ 1}内， 试求变量 a , b 的约束条件，并在直角坐标系a Ob 内画出这个约束条件表示的平面区域；

（2）当(a , b )在（1）所得的约束条件内移动时，求△ABC 面积S 的最大值，并求此时（a , b ）的值.（14分）

参考答案

一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）

11．3x －4y －9=0 12．3 13．)3,3(- 14．3x +2y=4

三、解答题（本大题共6题，共76分） 15．（12分）

[解析]：由⎩⎨

⎧+=+-=4

21x y x y ，得交点 ( –1, 2 )， ∵ k l = – 3, ∴ 所求直线l 的方程为: 3x + y + 1 = 0.

16．（12分）

[解析]： 由题意知：过A （2，－1）且与直线：x +y=1垂直的直线方程为：y=x －3,∵圆心在直线：y=－2x 上， ∴由

3

2-=-=x y x y ⇒

2

1-==y x 即)2,1(1-o ，且半径2)21()12(221=+-+-==AO

r ，

∴所求圆的方程为：2)2()1(2

2=++-y x ．

17．（12分）

[解析]：设放养鲫鱼x kg,鲤鱼ykg,则成鱼重量为)0,(5030≥+=y x y x w ,其限制条件为 144

18850

55120

815≤+≤+≤+y x y x y x

画出其表示的区域（如图），不难找出使30x +50y 最大值为428kg.

答：鲫鱼放养3.6kg,鲤鱼放养6.4kg,此时成鱼的重量最重． 18．（12分）

[解析]：（1）设AB 的中点为P(x ,y) ,圆C 的方程化简为：1),1,1(,1)1()1(2

2=∴-+-r C y x

又直线l 的方程为：

)2,2(0,1>>=-+=+b a ab ay bx b

y

a x 即，相切与圆C l Θ， 0222)(122222222

2=--+⇒-+=+⇒=+-+=

∴→ab b a ab b a ab b a b a b a ab b a d l C 2,2>>b a Θ

2

2

222)2(0222--=

⇒-=-⇒=--+⇒a a b a b a b a ab ①，又∵P 是AB 的中点，2,2b y a x ==∴

y b x a 2,2==⇒，代入①得)1(2212>--=

x x x y ，即线段AB 中点的轨迹方程为；)1(2

21

2>--=x x x y ． （2）62

4

)2(224)2(6)2(22222)1(222+-+-=-+-+-=--=--=

a a a a a a a a a a a a

b Θ，02>-a

242

4

)2(2≥-+

-∴a a ，246+≥∴ab .∴246+的最小值为ab ．