北京工业大学实验学院高等数学(工)-1综合测试题一

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北京 2023年历年真题考试：高等数学(一)历年真题汇编(共62题)

北京 2023年历年真题考试：高等数学（一）历年真题汇编（共62题）1、下列函数中在点x=0处导数不存在的是：（单选题）A. y=sinxB. y=tanxC. y=x1/3D. y=2x试题答案：C2、（单选题）A. AB. BC. CD. D试题答案：D3、微分方程sinxdx+cosydy=0的通解为：（单选题）A. cosy+sinx=CB. cosy-sinx=CC. siny+cosx=CD. siny-cosx=C试题答案：D4、函数y=2x+1的反函数是：（单选题）A. y=x/2+1/2B. y=x/2-1/2C. y=x/2+1D. y=x/2-1试题答案：B5、（单选题）A. AB. BC. CD. D试题答案：C6、函数的定义域是：（单选题）A. (-∞,-1]B. [1,+∞)C. [-1,1]D. (-∞,-1]U[1,+∞)试题答案：D7、下列函数中在点x=0处导数不存在的是：（单选题）A. y=sinxB. y=tanxC. y=x1/3D. y=2x试题答案：C8、当x→0时，下列变量中与tan(x2)等价的无穷小量是：（单选题）A. xB. 2xC. x2D. 2x2 试题答案：C9、下列函数中为奇函数的是：（单选题）A. (1+x²)/(1-x²)B. sin(x²)C. (ex-e-x)/2D. |x|试题答案：C10、（单选题）A. AB. BC. CD. D试题答案：D11、（单选题）A. AB. BC. CD. D试题答案：B12、微分方程2ydy-dx=0的通解为：（单选题）A.B.C. y²=-x+CD. y²=x+C试题答案：D13、设∫f(x)dx=sin2x+C,则f(0)=（单选题）A. 2B. 1/2C. -1/2D. -2试题答案：A14、设函数f(x,y)=y1nx+x2,则¶f/¶x|(2,-2)=（单选题）A. 0B. 1C. 2D. 3试题答案：D15、函数y=2x+1的反函数是：（单选题）A. y=x/2+1/2B. y=x/2-1/2C. y=x/2+1D. y=x/2-1试题答案：B16、设函数z=sin(2x+3y)，则全微分dz|(0,0)=（单选题）A. dx+dyB. 2dx+2dyC. 3dx+2dyD. 2dx+3dy试题答案：D17、（单选题）A. AB. BC. CD. D试题答案：B18、设函数f(x)在区间[a,b]上连续，则下列等式正确的是: （单选题）A.B.C.D.试题答案：A19、设函数z=ln(x+y2), 则全微分dz=（单选题）A. 1/(x+y2) (dx+2ydy)B. 1/(x+y2) (2dx+dy)C. 1/(x+y2) (2xdx+dy)D. 1/(x+y2) (dx+2dy)试题答案：A20、设函数z=sin(2x+3y)，则全微分dz|(0,0)=（单选题）A. dx+dyB. 2dx+2dyC. 3dx+2dyD. 2dx+3dy试题答案：D21、设∫f(x)dx=sin2x+C,则f(0)=（单选题）A. 2B. 1/2C. -1/2D. -2试题答案：A22、不定积分∫(x2cosx)＇dx=（单选题）A. 2xcosx-x2sinx+C B. 2xcosx-x2sinx C. x2cosx+C D. x2cosx 试题答案：C23、下列各式中正确的是：（单选题）A.B.C.D.试题答案：D24、已知x=0是函数y=asinx＋1/3sin3x的驻点，则常数a=（单选题）A. -2B. -1C. 0D. 1试题答案：B25、设函数f(x)在区间[a,b]上可导，且f＇(x)<0,>0,则在[a,b]上:（单选题）A. f(x)>0B. f(x)<0C. f(x)=0D. f(x)的值有正有负试题答案：A26、方程x²+x-6=0的根是：（单选题）A. x=-2, x=3B. x=2, x=-3C. x=2, x=3D. x=-2, x=-3试题答案：B27、设函数f(x,y)=y1nx+x2,则¶f/¶x|(2,-2)=（单选题）A. 0B. 1C. 2D. 3试题答案：D28、（单选题）A. cos(ax²+b)B. cos(at²+b)C. sin(ax²+b)D. sin(at²+b)试题答案：C29、若f＇(x)=x1/2，则f(x)=（单选题）A. 2/3x2/3+CB. 3/2x2/3+CC. 2/3x3/2+CD. 3/2x3/2+C试题答案：C30、设函数f(x)=x2，g(x)=tanx，则当x→0时，（单选题）A. f(x)是比g(x)高阶的无穷小量B. f(x)是比g(x)低阶的无穷小量C. f(x)是比g(x)是同阶无穷小量，但不是等价无穷小量D. f(x)是比g(x)是等价无穷小量试题答案：A31、（单选题）A. AB. BC. CD. D试题答案：A32、若极限，则常数k=（单选题）A. 1B. 2C. 3D. 4试题答案：B33、设函数y=x2+e2x,则二阶导数y"=2+2e2x（单选题）A. 2+2e2xB. 2+4e2xC. 2x+2e2xD. 2x+4e2x试题答案：B34、设函数f(x)在区间[a,b]上连续，则下列等式正确的是:（单选题）A.B.C.D.试题答案：A35、下列无穷限反常积分收敛的是:（单选题）A.B.C.D.试题答案：A36、某产品的成本函数C(Q)=20+2Q+1/2Q²，则Q=298时的边际成本为:（单选题）A. 100B. 200C. 300D. 400试题答案：C37、某产品的成本函数C(Q)=20+2Q+1/2Q²，则Q=298时的边际成本为:（单选题）A. 100B. 200C. 300D. 400试题答案：C38、方程x²+x-6=0的根是：（单选题）A. x=-2, x=3B. x=2, x=-3C. x=2, x=3D. x=-2, x=-3试题答案：B39、若曲线y=x-e x在点(x0,y0)处的切线斜率为0,则切点(x0,y0)是：（单选题）A. (1,1-e)B. (-1,-1-e-1) C. (0,1)D. (0,-1)试题答案：D40、函数y=2x2 -4x +1的单调增加区间是:（单选题）A. (-∞,-1]B. (-∞,1]C. [-1,+∞)D. [1,+∞)试题答案：D41、微分方程sinxdx+cosydy=0的通解为：（单选题）A. cosy+sinx=CB. cosy-sinx=CC. siny+cosx=CD. siny-cosx=C试题答案：D42、若f＇(x)=x1/2，则f(x)=（单选题）A. 2/3x2/3+CB. 3/2x2/3+CC. 2/3x3/2+CD. 3/2x3/2+C试题答案：C43、函数y=x5+1在定义域内：（单选题）A. 单调增加B. 单调减少C. 不增不减D. 有增有减试题答案：A44、（单选题）A. AB. BC. CD. D试题答案：C45、函数的定义域是：（单选题）A. (-∞,-1]B. [1,+∞)C. [-1,1]D. (-∞,-1]U[1,+∞)试题答案：D46、曲线y=xe x+1在点(0,1)处的切线方程为（单选题）A. y=1B. y=xC. y=x+1D. y=x-1试题答案：C47、函数y=2x2 -4x +1的单调增加区间是:（单选题）A. (-∞,-1]B. (-∞,1]C. [-1,+∞)D. [1,+∞)试题答案：D48、（单选题）A. cos(ax²+b)B. cos(at²+b)C. sin(ax²+b)D. sin(at²+b)试题答案：C49、函数y=(x-2)/(x2-3x+2)的间断点是:（单选题）A. x=1,x=-2B. x=-1,x=2C. x=-1,x=-2D. x=1,x=2试题答案：D50、极限=（单选题）A. 0B. 1C. eD. +∞试题答案：B51、曲线y=xe x+1在点(0,1)处的切线方程为（单选题）A. y=1B. y=xC. y=x+1D. y=x-1试题答案：C52、若曲线y=x-e x在点(x0,y0)处的切线斜率为0,则切点(x0,y0)是：（单选题）A. (1,1-e)B. (-1,-1-e-1) C. (0,1)D. (0,-1)试题答案：D53、设函数z=ln(x+y2), 则全微分dz=（单选题）A. 1/(x+y2) (dx+2ydy)B. 1/(x+y2) (2dx+dy)C. 1/(x+y2) (2xdx+dy)D. 1/(x+y2) (dx+2dy)试题答案：A54、下列函数中为奇函数的是：（单选题）A. (1+x²)/(1-x²)B. sin(x²)C. (ex-e-x)/2D. |x|试题答案：C55、函数y=x5+1在定义域内：（单选题）A. 单调增加B. 单调减少C. 不增不减D. 有增有减试题答案：A56、（单选题）A. AB. BC. CD. D试题答案：A57、设函数f(x)在区间[a,b]上可导，且f＇(x)<0,>0,则在[a,b]上:（单选题）A. f(x)>0B. f(x)<0C. f(x)=0D. f(x)的值有正有负试题答案：A58、下列各式中正确的是：（单选题）A.B.C.D.试题答案：D59、当x→0时，下列变量中与tan(x2)等价的无穷小量是：（单选题）A. xB. 2xC. x2D. 2x2 试题答案：C60、若极限，则常数k=（单选题）A. 1B. 2C. 3D. 4试题答案：B61、不定积分∫(x2cosx)＇dx=（单选题）A. 2xcosx-x2sinx+C B. 2xcosx-x2sinx C. x2cosx+C D. x2cosx 试题答案：C62、设函数f(x)=x2，g(x)=tanx，则当x→0时，（单选题）A. f(x)是比g(x)高阶的无穷小量B. f(x)是比g(x)低阶的无穷小量C. f(x)是比g(x)是同阶无穷小量，但不是等价无穷小量D. f(x)是比g(x)是等价无穷小量试题答案：A。

北京工业大学学年第二学期《高等数学工》期末考试试卷 A卷

展开为以 2 为周期的傅立叶级数，其和函数记为
S ( x ) ，则 S ( )
1/2
.
10.设是 z x 2 y 2 被柱面 x 2 y 2 2ax 所截部分，则该曲面的面积元素 dS
2dxdy
.
二、计算题（本大题共 6 道小题，每题 10 分，共 60 分）
得分 11. 求函数 f ( x, y) (x 4 y 2 y 2 )ex 的极值.
北京工业大学 2017—2018 学年第二学期《高等数学(工)_2 》期末考试试卷
北京工业大学 2017——2018 学年第二学期
《高等数学（工）_2 》期末考试试卷 A 卷
考试说明：考试方式：闭卷。考试时间 95 分钟。考试日期： 2018 年 6 月 21 日。
承诺：本人已学习了《北京工业大学考场规则》和《北京工业大学学生违纪处分
2 .
(n 1)(n 2) n 3
0 (n 1)(n 2)(n 3)
第6页共7页
北京工业大学 2017—2018 学年第二学期《高等数学(工)_2 》期末考试试卷
所以
n 1
an
得敛散性应与
n 1
1 n3
一致，所以原级数收敛.
2
2
2
Sn 2 34 34 5
(n 1)(n 2)(n 3)
y
y 2 zFu Fv
z xy .
x y
y 1Fu x 1Fv
y 1Fu x 1Fv
得分
18.
已知 an
1 x2 (1 x)n dx, (n 1, 2,...) ，证明
0
an x n 的收敛半径为1 .
n 1
证明：

北京工业大学工程数学-实验1-数学建模入门

（4）评判结束后，求出各选手的平均分，按平均分从低到高排序，依次确定本次评比的名次，即平均分最低者获得资助最高，依次类推。
d1100101010011000过河的方式有两种过河次数为奇数时船从此岸划向彼岸过河次数为偶数时船从彼岸划向此岸所以则状态ks随决策kd变化的规律为??kdkksks11????因此设计安全过河方案归结为求决策序列21ddddn??使状态ssk?按状态转移律由初始状态??11111?s经n步达到??00001??ns
我们将人，猫，鸡，米在岸上的情况，依次用四维向量S表示，即S（人,猫,鸡,米），并将这些向量称为状态，则第k次渡河前的状态记为。
当一物在此岸时，相应分量记为1，在彼岸时记为0。例如（1，1，1，1）表示它们都在此岸，（0，1，1，0）表示猫和鸡在此岸，人和米在彼岸。由于问题中的限制条件，有些状态是允许的，有些状态是不允许的。安全渡河条件下的状态称为允许状态。对本问题而言，允许状态集合为：
(1,0,0,0)
(1,0,0,1)
(1,0,1,0)
(1,1,0,0)
(1,0,0,0)
(1,0,1,0)
1
2
3
4
5
6
7
8
(1,1,1,1)
(0,1,0,1)
(1,1,0,1)
(0,0,0,1)
(1,1,0,1)
(0,0,1,0)
(1,0,1,0)
(0,0,0,0)
(1,0,1,0)
(1,0,0,0)
（2）甲乙两站之间有汽车想通，每隔10分钟甲乙两站相互发一趟车，但发车时刻不一定相同。甲乙两站之间有一中间站丙，某人每天在随机时刻到达丙站，并搭乘最先经过丙站的那趟车，结果发现100天中约有90天到达甲站，大约10天到达乙站。问开往甲乙两站的汽车经过两站的时刻表是如何安排的？

高数(工专)试题集锦

全国2007年4月高等教育自学考试高等数学（工专）试题一、单项选择题(本大题共5小题，每小题2分，共10分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。

错选、多选或未选均无分。

1．下列各对函数中，互为反函数的是（） A ．y=sinx,y=cosx B ．y=e x ,y=e -x C ．y=tanx,y=cotxD ．y=2x,y=2x2．当x →+∞时，下列变量中为无穷大量的是（） A ．x1 B ．ln(1+x) C ．sinx D ．e -x3．级数++++43225252525（）A ．收敛B ．的敛散性不能确定C ．发散D ．的和为+∞4．设f(x)可微，则d(e f(x))=（） A ．f’(x)dx B ．e f(x)dx C ．f’(x)e f(x) dx D ．f’(x)de f(x)5．矩阵A=⎥⎦⎤⎢⎣⎡d cb a 为非奇异矩阵的充要条件是（）A ．ad-bc=0B ．ad-bc ≠0C ．ab-cd=0D ．ab-cd ≠0二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 6．曲线y=e x 在点（0，1）处的切线方程为________. 7．设函数f(x)=⎩⎨⎧>≤-0x ,x 0x ,1x 2，则极限)x (f limx →________.8．设y=x(x+1)(x+2),则0x dxdy ==________.9．不定积分⎰=dx x1cosx12________.10．dxd ⎰x20)dt 2t sin(=________.11．设由参数方程x=dxdy ),x (y y t 1y ,2t2则确定的函数为=-==________.12.曲线y=1+2)3x (x 36+的铅直渐近线为________.13．无穷限反常积分⎰+∞-0x5dxe=________.14．矩阵310010011⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=________.15．行列式631321111=________.三、计算题（本大题共8小题，每小题6分，共48分） 16．求极限5x 4x 1lim 5x ---→.17.设y='y ,)3x (x 1x 3求--.18.求由方程y=1+xe y 所确定的隐函数y=y(x)的导数dxdy .19.确定函数f(x)=e x -x-1的单调区间. 20.求不定积分⎰-dx)x cot x (csc x csc.21.求微分方程(1+y)dx-(1-x)dy=0的通解. 22.计算定积分⎰--+1122dx)x1x (.23.λ为何值时，线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++λ=+λ+=λ++1x x x 1x x x 1x x x 321321321有唯一解？四、综合题（本大题共2小题，每小题6分，共12分）24．从一块边长为a 的正方形铁皮的四个角各截去一个大小相等的方块，做成一个无盖的盒子，问截去的方块边长为多少时，所做成的盒子容积最大？25．求由曲线y=x3与直线x=2,y=0所围平面图形绕x 轴旋转一周而成的旋转体的体积.全国2007年7月高等教育自学考试高等数学（工专）试题一、单项选择题（本大题共5小题，每小题2分，共10分） 1．函数1)ln(4)(2-+-=x xx f 的定义域是（）A ．（-∞，+∞）B ．（-2，2）C ．（1，+∞）D ．(]2,12．下列函数中是偶函数的为（） A ．1+=x y B ．xey 2=C ．3ln =yD ．x y sin =3．=+⋯+++∞→)41414141(lim 32nn （）A ．41B ．31C ．21D ．344．设⎪⎩⎪⎨⎧==-,2,3tte y e x 则=dxdy （）A ．te232 B ．te232-C ．yx -D ．-xy5．线性方程组⎩⎨⎧=+-=+23,122121x x x x λ无解，则（）A ．6-≠λB ．6-=λC ．6=λD ．8=λ二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）请在每小题的空格中填上正确答案。

高等数学(工)-1 习题1(含答案)

“高等数学(工)-1”练习1-解答一、单项选择题：（本大题共5小题，每小题4分，共20分）请将正确结果的字母写在括号内。

1．数列极限[]n n n n -+∞→1lim 是【 C 】． ()A ．1 ； ()B ．1-； ()C ．∞； ()D ．不存在但非∞2．若)1ln()(x x x f +=，2sin )(x x g =，则当0→x 时，)(x f 是)(x g 【 C 】（A ）低阶无穷小（B ）高阶无穷小（C ）等价无穷小（D ）同阶，但不是等价无穷小3．)(x f 在点0x 可导，则=-+→xx f x x f x )()(lim 000 【 A 】（A ）)('0x f （B ）)('0x f - （C ）)('20x f （D ）04．=⎰→3020sin lim x dt t x x 【 D 】（A ）1 （B ）1- （C ）13- （D ）135．函数xx x f 1)(-=在区间),1[∞上【 A 】（A ）单调增加（B ）单调减少（C ）非增非减（D ）无极值二、填空题：（本大题共6小题，每题4分，共24分）6．函数 x e y = 在点)1,0(处的切线方程为 1+=x y7．设 =++→x x x sin 10)1(lim (e )，8．设 )1l n (3x y +=，则 3213x x dx dy += 9．⎰dx xx ln 1 （C x +ln ln ） 10．广义积分 dx x ⎰∞+∞-+)1(12= （π） 11．函数2332x x y -=在区间41≤≤-x 上的最大值为（ 80）三、计算下列各题：（本大题共7小题，每题8分，共56分）12．设()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧->+-=-<-=1arccos 1112x x a x bx x x f ，试确定a 、b 之值，使得函数()x f 在点1-=x 处连续．解：()b f =-1，()()01lim lim 0120101=-==----→--→x x f f x x ， ()()()π+=+==+-+-→+-→a x a x f f x x a r c c o s lim lim 010101，所以，由()()101-=--f f ，得0=b ；由()()101-=+-f f ，得π-=a ．因此，当π-=a ，0=b 时，函数()x f 在点1-=x 处连续。

北京工业大学《高等数学》2009-2010学年第一学期期末试卷

北京工业大学 2009-2010 学年第一学期高等数学（经） -1重考试卷一、填空题（每小题2分，共20分）1、无穷小与有界变量的乘积是2、设函数f (x )可导，则lim f (−x ) − f (−2) =x →2 2− x3、函数f (x )在点x 0 处连续是在该点处可微的条件4、设y = ln sin x ，则y ′ =5、设y = f (ln x )且函数f (x )可导，则dy =6、 ∫ cos(ax + b )dx = ___________________7、 ∫dx = ______________________ 8、 ∫ a −ϕ( x ϕ′(x )dx = _____________________9、 ∫ dx = ________________ 10、 lim x sin 1 = x →0 x 二、计算下列极限（每小题 2 分，共 10 分） x →0 ln(1+ x ) x →∞ 2x + 1x →014、 lim =x →0xx →0 x sin x 三、计算下列导数和微分（每小题 3 分，共 21 分）16、（arcsin x + arccos x )′ = 17、 (x tan x − cot x )′ =18、 (x 3 ln x )′ = 19、 (ln (a 2 + x 2 ))′ = 20、 darcsin = 21、设y = x sin x ，求 dy=dx dx sin x − xe x − 1sin x 15、 lim 2 =12、 lim = 13、 lim = 2x + 2x11、 lim =22、设xy = e x +y ，求 dy dx 四、计算下列积分（每小题 4 分，共 40 分） 23、 ∫（2 + 3x )2dx =25、 ∫ cos x sin 2 xdx = 27、 ∫dx = 29、 ∫dx = 31、 ∫cos 2x cos 3xdx =24、 ∫ dx = 26、 ∫ dx = 28、 ∫ dx = 30、 ∫ sin x ⋅ ln tan xdx = 32、 ∫ dx =五、求函数f (x ) 的极值（9 分） 33、设f (x ) = 3x 4 − 8x 3 +6x 2 附表:sin α⋅ sin β= − 1 [cos(α+β) − cos(α− β)] cos α⋅ cos β= [cos(α+β)+cos(α− β)]∫sec xdx = lnsec x + tan x + c∫ csc xdx = lncsc x − cot x + c2 12。

北京工业大学实验学院高等数学(工)—2综合测试题一

北京工业大学实验学院高等数学（工）-2综合测试题一一、填空题（共5个小题，每小题3分，共15分）1、设2()z f x y =，其中()f t 具有二阶导数，则22z x∂∂＝。

2、曲线L ：22291x y z x y z ⎧++=⎨++=⎩在XOY 面上的投影的方程：。

3、曲面22:6()z x y ∑=-+在点M 0(1,3,-4)处的切平面方程为: 。

4、微分方程2x y y e '''-=的特解应设为*y ＝。

5、幂级数212(2)1n n n x n ∞=-+∑收敛开区间为。

二、单项选择题（共5个小题，每小题3分，共15分）6、若(,)z f x y =的全微分为d d d z x x y y =+，则点(0,0)（）。

A 、不是(,)f x y 的连续点B 、不是(,)f x y 的极值点C 、是(,)f x y 的极大值点D 、是(,)f x y 的极小值点7、级数∑∞=1n n u 与1n n v ∞=∑都发散，1()n n n u v ∞=+∑收敛，则下列结论正确的是（）。

A 、1n n n v u∞=∑必发散 B 、1n n n v u ∞=∑必收敛 C 、1()n n n vu ∞=-∑必收敛 D 、1()n n n v u ∞=-∑必发散 8、下列级数中绝对收敛的是（）。

A、1n n ∞= B 、21(1)n n n ∞=-∑ C、1n n ∞=、1(1)ln(1n n ∞=-∑ 9、设{}22(,,)|1,01x y z x y z Ω=+≤≤≤，则2d x v Ω⎰⎰⎰＝（）。

A 、π B 、0 C 、14π D 、12π。

10、如果L 为圆周122=+y x ，则2d L x s ⎰＝（）。

A 、π2 B 、π C 、π31 D 、π32。

三、（本题7分）设222x y z e+=，求22x z ∂∂、22yz ∂∂、2z x y ∂∂∂。

北京工业大学2006~2007学年第二学期高等数学期末试卷

北京工业大学2006-2007学年第二学期《高等数学》期末试卷一、单项选择题：本大题共5小题，每小题4分，共20 分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 请将正确结果的字母写在括号内。

1．假定函数f (x,,y )在点),(00y x 处取得极大值，此时下列结论正确的是【】（A ）0(,)f x y 在0x x =处导数等于零. （B ）0(,)f x y 在0x x =处导数大于零. （C ）0(,)f x y 在0x x =处导数小于零. （D ）0(,)f x y 在0x x =处导数未必存在.2． 222222ln()1z x y z dxdydz x y z Ω+++++⎰⎰⎰(其中Ω为2222x y z ++≤)的值等于【】（A ） 2 （B ） 1 （C ） 0 （D ） -1 3．级数21(1)ln nn n∞=-∑ 的敛散情况是【】（A ）条件收敛（B ）绝对收敛（C ）发散（D ）敛散性不能确定4．将三重积分dv z y xI ⎰⎰⎰Ω++=)(222，其中1:222≤++Ωz y x ，化为球面坐标下的三次积分为【】（A ）⎰⎰⎰120dr d d ππϕθ （B ） ⎰⎰⎰12020rdr d d ππϕθ（C ）⎰⎰⎰104020sin dr r d d ϕϕθππ（D ） ⎰⎰⎰12020sin dr r d d ϕϕθππθϕϕd drd r dv sin 2=注意到体积元素5．定义在[,]ππ-上的函数()||f x x =展开为以2π为周期的傅立叶级数，其和函数记为)(x S ，则=)(πS 【】（A ）0 (B) π （C ）π- （D ）2π二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分，把答案填在题中的横线上.6．曲线32,,t z t y t x ===在点),1,1,1(--P 处的切线方程为___________________ ，法平面方程为 ______________ .7．设∑为球面2222x y z a ++=的表面,则⎰⎰∑++dS z y x)(222=________.8．函数41)(-=x x f 的麦克劳林级数的第5项为 _______ ，收敛域为 _______ . 9．已知函数(,)23a b f x y x y x y =+--（其中,a b 是大于1的实数）,有一个极值点(1,1)，则____________，此时函数(,)f x y 的极大值为 .10．33z xyz x y z -=++确定了隐函数),(y x z z =，则),(y x z z =在点(0,0,1)处的全微分为 _________ .三、计算下列各题：本大题共6小题，每小题9分，共54分. 解答应写出主要过程或演算步骤.11．设函数(),xz f y x ye =-，其中f 具有二阶连续偏导数，求z x ∂∂，yx z∂∂∂2．12．计算二次积分2()a xy aI a dx e dy -=⎰⎰,其中实数0a >，并求极限lim ()a I a →+∞13．利用高斯公式计算曲面积分 ⎰⎰∑+-=,2dxdy z xdzdx ydydz I 其中∑是锥面22y x z +=介于平面0z =与平面3z =之间部分的外侧.14．已知曲线积分 ()[]⎰'+-=),()0,0()()(,y x xdy x ydx x ey x I ϕϕ与积分路径无关，其中()x ϕ是二阶可导函数，且(0)0ϕ=，0)0(='ϕ. 1.求()x ϕ； 2.求)1,1(I .15．求（1）幂级数112n nn nx ∞-=∑的收敛域；（2）幂级数112n nn n x ∞-=∑的和函数；（3）级数1(1)2n n n n∞=-∑的和. 16．函数)(x f 具有连续的导数，满足0()()d 1x axx f x e f at t ae +=+⎰，且(0)2f a =，求a 的值及函数)(x f .12()(2)x xe x e xf x e e e e --+-+=-+四、证明题: 本题共1题，6分. 17. 已知无穷级数2nn u∞=∑满足 22222ln 1x y n x y a nu ndxdy π--+≤=-⎰⎰, 其中实数0a >, 证明:级数2nn u∞=∑ 当1a >时收敛; 当1a ≤时发散, 但2(1)nnn u∞=-∑ 总收敛.北京工业大学2006-2007学年第二学期《高等数学》期末试卷参考答案一、单项选择题1． D 2． C 3．A 4． C （θϕϕd drd r dv sin 2=注意到体积元素）5． B二、填空题6．312111+=--=+z y x 0632=++-z y x7． 44a π8．544x - )4,4(-9．3,2==b a 310．dy dx dz 2121+=三、计算题11．解：设 ,xu y x v ye =-=，则''x u v zf ye f x∂=-+∂ ()()2'''''''''''''''2'''()1x x u v uu uvx x x vu vv v x x x uu uv vv v z f ye f f e f x y yye f e f e f f e y f ye f e f ∂∂=-+=--∂∂∂+++=-+-++12．解：()2222211.2a xaaayy y y a xa y a dx edy dx edy dy edxyedy e -----=-=-=-=-⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰从而1lim ()2a I a →+∞=-。

北京工业大学-线性代数-期末试题

一. 填空题（每小题3分，共30 分. 注意：所有题目需给出计算结果； a a =型答案无效）1. 100121201224680011111⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪-= ⎪⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭2. 记12111323154917827----第二列四个位置的代数余子式分别是12223242,,,A A A A .若23122232420A aA a A a A +++=，且0a >，则a =3. 在行列式223121xx x x x -的完全展开式中，合并同类项后，3x 的系数是4. 3阶实方阵A 和非零向量123,,ααα满足：112233,2,A A A αααααα===-.若记以123,,ααα为列向量组的矩阵为()123P ααα=，则1P AP -⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭（写出具体的矩阵）.5. 若32⨯型、23⨯型实矩阵,A B 满足112211817AB ⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭，则,A B 的秩之和()()R A R B +=6. A 是2阶实方阵. 若齐次线性方程组()0A E X -=和(2)0A E X -=均有非零解，则行列式*12A A E -++=7. 若12,,,m ααα是齐次线性方程组123112301012012700x x x -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪--= ⎪⎪ ⎪⎪⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭的解空间中的线性无关向量组，则m 能取到的最大值是8. 若3阶实方阵123()A ααα=的列向量组123{,,}ααα与线性无关向量组12{,}ββ满足112212312325αββαββαββ=-⎧⎪=+⎨⎪=-⎩ ，则A 的阶梯化矩阵中非零行的行数是 9. 方程12342680111x x x+-+=--的根123,,x x x 之和123x x x ++= 10. 若Q 是n （1n >）阶实方阵，且齐次线性方程组0QX =只有零解，T A Q Q =，则A的特征值 0（填“,,><=”之一）.二（10分）. 计算行列式0152313110183810113132510D ----=------（要求出具体数值）.三（10分）. 用初等变换的方法，解方程101110110011101110X -⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭.四（10分）.a 取何值时，线性方程组12341234123422320574x x x x x x x x x x x x a-++=⎧⎪+-+=⎨⎪-+-=⎩ 有解？有解时，写出其通解.五（12分）. 已知288828882A ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭. 求一个可逆矩阵P ，使得1P AP -是对角矩阵；并求出这一对角矩阵.六（12分）. 给定列向量组12345(0,1,2,1,0),(1,1,1,0,3),(1,0,2,1,2),(5,2,3,7,11),(9,5,5,14,19).T T T Tααααα=-=-=-=--=--1 求该向量组的秩；2 求该向量组的一个极大线性无关组；3 把其余向量用问题2中求出的极大线性无关组线性表出.七（8分）.八（8分）.。

15届北工大高数期中(题+答案)

15届北京工业大学《高等数学》期中试卷一、单项选择题：本大题共5小题，每小题4分，共20分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的，请将正确结果的字母写在括号内。

1、下列关于多元函数连续性、偏导数与全微分存在性之间的关系命题中不正确的是（）（A ）若偏导数连续则必可微分（B ）若可微分则必连续（C ）若可微分则偏导数必存在（D ）若偏导数存在则必连续2、函数y x y x z 4222--+=在点（1，2）处（）（A ）取极大值（B ）取极小值（C ）无极值（D ）无法判定3、设dy e yxdx e x yx y x )1()2(-++是函数),(y x u 的全微分，则其中一个),(y x u 为（）（A ）yx ye xy ++2（B ）12++yx e x（C ）12-+yx ye x （D ）yxe x yx -+24、设区域}1|),{(22≤+=y x y x D ，则二重积分⎰⎰=++-Ddxdy y x y x )(22（）（A ）3π （B ）2π（C ）π2 （D ）π5、设L 是圆周422=+y x 的正向，则曲线积分=++⎰L yx dydx 222 （）（A ）0 （B ）1 （C ）π （D ）π2二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分，把答案填在题中横线上。

6、设),(y x z z =是方程333a xyz z =-所确定的二元函数，则=dz __________________________________7、由22y x z +=与22y x z +=所围成立体的体积为_____________8、将二次积分⎰⎰+-=2111),(y ydx y x f dy I改变积分次序后为__________________________________________ 9、曲线t u e z t t y udu e x 311,cos sin 2,cos :+=+==Γ⎰在点（1，2，3）处的切线方程为____________________________________________ 10、设曲线221:y x z ---=∑，则曲线积分⎰⎰∑=++dS z y x )(222______________ 三、计算下列各题：本大题共6小题，每小题8分，共48分，解答应写出主要过程或演算步骤 11、设),(2x ye x y f z -=其中函数f具有二阶连续偏导数，求x z∂∂，yx z ∂∂∂212、计算二次积分dy y x dx dy y x dx a x a aa x⎰⎰⎰⎰-+++2222222213、计算曲线积分dx y x I L⎰+=22，其中L 是圆周x y x 222=+14、将三重积分⎰⎰⎰Ω=dv z y x f I ),,(分别化为直角坐标、柱面坐标、球面坐标下的三重积分，其中2,:22222≤+++≥Ωz y x y x z15、计算曲面积分zdxdy y x zdzdx x dydz yz )(2222+++⎰⎰，其中∑是曲面)21(222≤≤--=z y x z 部分的上侧16、计算曲面积分⎰++-++Ldy y x x dx y x y )](cos [)](sin [2222，其中L 是沿曲线122=+y x 从点)0,1(A 到点)1,0(B 的最短一段弧四、解答题：本题12分，要求写出详细解答过程 17、（1）试求函数z y x z y x f ln 3ln ln ),,(++=在球面)0,0,0(52222>>>=++z y x r z y x 上的最大值（2）证明对任意的正实数c b a ,,不等式33)3(27c b a abc ++≤成立15届北京工业大学《高等数学》期中试卷参考答案一、选择题1、D2、B3、C4、B5、A二、填空题 6、dy xyz xzdx xy z yz dz -+-=227、6π 8、⎰⎰--=1121),(x xdy y x f dx I9、32211-===z y x 10、π三、计算题11、xx ye f f ye f f xz ⋅+-=⋅+-⋅=∂∂''')1('2121 xx x ye f e y f e f y f yx z yx z22222112122''2''''2'')(+⋅+⋅-⋅-=∂∂∂∂=∂∂∂12、令⎰⎰+=222ax dy y x dx M dy y x dx N aa x a ⎰⎰-+=22222M ，N 合积分区域，利用极坐标 3024012a dr r d aπθπ==⎰⎰原式13、θcos 2:=r L θθθθd d r r dS 2)'()(22=+=θθcos cos 2=x θθsin cos 2=yθcos 222=+y x⎰-==228cos 4ππθθd I14、⎩⎨⎧=+=⇒⎪⎩⎪⎨⎧=+++=1122222222y x z z y x yx z 直角坐标：⎰⎰⎰--+----=22222221111),,(y x y x x x dz z y x f dy dx I柱面坐标：⎰⎰⎰-=22120),,(r rdz z y x f rdr d I πθ球面坐标：⎰⎰⎰=2243420),,(sin dp z y x f p d Iπππϕθ15、2yz P = z x Q2= z y x R )(22+=22y x zR y Q x P +=∂∂+∂∂+∂∂ 1=z 时，122=+y x122212120πθπ==⎰⎰⎰-r dz r rdr d 原式16、)(sin 22y x y P ++= )(cos 22y x x Q +--=)cos()sin(22y x y x x xQ+++-=∂∂ )cos()sin(22y x y x y y P +++=∂∂ y x yPx Q 22--=∂∂-∂∂ ⎰⎰⎰⎰----=OABODxydxdy y x )22(原式⎰⎰⎰⎰-----=120121020sin cos )sin 2cos 2(xdx ydy dr r r r d θθθπ37134-=--=四、17、（1）22225r z y x F -++=构造)ln 3ln (ln 52222z y x r z y x G +++-++=λ27152000''''⋅-=⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧====λλG z G y G x G 此时1),,(=z y x f 最大值为1。

北京工业大学线性代数考试题

北京工业大学2007-2008学年第二学期期末线性代数(工) 课程试卷（A ）考试方式：闭卷考试时间：2008年06月25日学号姓名成绩注：本试卷共8大题，满分100分. 得分登记（由阅卷教师填写）一. 填空题（每小题3分，共30 分）.1. 矩阵乘积100123401056783019101112⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪= ⎪⎪ ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭2. 设n 阶方阵A B 、满足AB A B =+，则A E -可逆，且1()A E --= 3. 如果2阶方阵A 的特征值是1,1-，*A 为其伴随矩阵，则行列式*2A E -=4. 设3维列向量组321,,ααα和21,ββ满足122123123αβαββαββ=⎧⎪=-+⎨⎪=-⎩，则由向量组321,,ααα构成的矩阵123()ααα的行列式等于（写出具体数值）5. 如果211110139p p =-，而且0p >，则p = 6.如果实系数方程组112233100b xc y b x c y b x c y +=-⎧⎪+=⎨⎪+=⎩有实数解，则行列式2233b c b c =7. 设121,0λλ=-=是实对称矩阵A 的特征值，(2,2,1),(1,1,2)T Tt t αβ=+=+--8. 如果(1,1,1)T α=-是实方阵A 的一个特征向量，则223A E -必有一个特征向量等于9.如果1313a ⎛⎫ ⎪⎪⎪-⎪⎭是正交矩阵，则a = 10. 二次型112323233(,,)112341x x x x x x ⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪- ⎪⎪ ⎪⎪--⎝⎭⎝⎭的正惯性指数与负惯性指数之和是二. 单项选择题（每小题3分，共15分）。

将正确答案的字母填入括号内。

1. 如果n 阶实矩阵A 满足30A =，E 是n 阶单位矩阵，则【】（A ）A E +可逆，但A E -不可逆（B ）A E +不可逆，但A E -可逆（C ）A E +、A E -都可逆（D ）A E +、A E -都不可逆2. 如果向量组1234,,,αααα线性无关，而且其中的每一个向量都与向量β正交，则向量组1234,,,,ααααβ 【】 (A) 一定线性相关（B ）一定线性无关（C ）可能线性相关，也可能线性无关（D ）前三个选项都不正确 3. 设A 是n 阶方阵，则下列选项中不正确的是【】（A ）当线性方程组b AX =无解时，行列式0A =。

资料：学年第一学期答案

北京工业大学2006-2007学年第一学期“高等数学(工)-1”课程期末试卷答案本试卷共6页，16道题。

考试时间95分钟。

考试日期：2007年1月10 日一．单项选择题：本大题共5小题，每小题5分，共25 分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

(1) 极限20300limx x tdt x→+=⎰【 A 】（A ）23（B ）13（C ）2 （D ）16(2) 函数31()3f x x x =+在【 A 】（A ）(,)-∞+∞内单调增加（B ）(,)-∞+∞内单调减少（C ）0>x 时单调增加，0<x 时单调减少（D ）非单调函数(3) )(x f 在点0x 可导，则000(2)(3)lim 5h f x h f x h h→+--= 【 A 】（A ）)('0x f （B ）)('0x f - （C ）05'()f x （D ）0 (4) 广义积分⎰+∞∞-dx x f )(收敛是指【 D 】（A ）⎰-+∞→aaa dx x f )(lim存在（B ）⎰+∞→bc b dx x f )(lim 与⎰+∞→c a a dx x f )(lim都存在（C ）⎰--∞→aa a dx x f )(lim 存在（D ）⎰+∞→bc b dx x f )(lim 与⎰-∞→ca a dx x f )(lim 都存在(5) 若224lim 2x ax x →+-有极限A ，则【 A 】（A ）1,4a A =-=- （B ）1,4a A =-= （C ）1,4a A ==- （D ）1,4a A ==二．填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。

把答案填在题中的横线上。

(6) 若2,0(),0a x e a x f x x xb x -⎧+≤=⎨++>⎩在0=x 可导，则=a -1 ，=b 0 .(7) 121(cos 1)3x x x dx -++=⎰ 8/3 .(8) 设1t >-时，有2ln(1)x ty t =⎧⎨=+⎩，则 =xy d d )1(21t +=22d d ,xy 2)1(41t +-.(9) 2ln(1),'y x x y =+=211x+-,='')0(y 0 .(10) 设)(x y y =是由y e xy e -=确定的隐函数，则)0('y =e1，)0(''y =21e .三．简答题：本大题共4小题，每小题8分，共32分。

北京工商大学高等数学题及答案(1)

北京工商大学高等数学试题及答案（一）
一、选择题：。 1．极限 lim A．0 sin 2 x 等于 x →∞ x B． 1 2 C．1 d f ( x)dx 等于 dx ∫ C． f ( x ) k 为 n2 B．绝对收敛 D．收敛性与 k 有关（ C．圆锥面 D．抛物面） D． f ′( x) （） D．2 （）（）
四．综合题：． 26．求函数 f ( x) = ∫1 ln tdt 的极值点与极值．
2 x
27．设曲线 y = f ( x) 上任一点 ( x, y ) 处的切线斜率为（1）求函数 y = f ( x) ；
y 1 + x 2 ，且该曲线经过点 1, ． x 2
（2）求由曲线 y = f ( x), y = 0, x = 1 所围图形绕 x 轴旋转一周所得旋转体的体积 V．
21．计算
ex ∫ 1 + e x dx ．
22．计算 ∫
4
1 x (1 + x)
1
dx ．
23．设函数 z = arctan( xy ) + 2 x 2 + y ，求 dz ．
∂2z 24．设函数 z = ln(1 − x + y ) + x y, 求． ∂x∂y
2
25．将函数 f ( x) = x 2 e 2 x 展开成 x 的幂级数．
21．计算
ex 1 解： ∫ dx = ∫ de x x x 1+ e 1+ e = ln(1 + e x ) + C
22．计算解法一
∫
4
1 x (1 + x)
1
dx ．
设t = x ，则 x = t 2 , dx = 2tdt ，

北京工业大学数学建模-实验1答案

他妻子驾车至火车站接他回家。一日他提前下班，乘早一班火车于 17:30 抵达 A 市火车站，随即步行回家，他妻子像往常一样驾车前来，在半路相遇将他接回家。到家时张先生发现比往常提前了 10 分钟，问张先生步行了多长时间？解：假设他的妻子和他在半路相遇后仍载着他开往车站并返回家中，则他并不会比平时早到 10 分钟，早到的这 10 分钟是由于他和妻子没有从半路相遇点到车站之间往返产生的，即从相遇点到车站车行时间为 5 分钟，即他和妻子相遇时刻为 18:00 前 5 分钟即 17:55，他 17:30 到达车站，则其步行时间为 25 分钟。（4）一男孩和一女孩分别在距家 2 公里和 1 公里且方向相反的两所学校上学，每天同时放学后分别以每小时 4 公里和每小时 2 公里的速度步行回家。一小狗以每小时 6 公里的速度由男孩处奔向女孩，又从女孩处奔向男孩，如此往返直至回到家中。问小狗奔波了多少路程。如果男孩和女孩上学时，小狗也往返奔波在他们中间，问当他们到达学校时小狗在何处？解：男孩女孩从各自学校回家的时间都是 0.5 小时，所以小狗奔跑的时间也是 0.5 小时，这个过程中，小狗的奔跑路程为 3km。如果男孩女孩上学时，小狗也往返在他们之间，那小狗出现的位置可能有两种情况，因为最初的跑动方向可能是男孩方向也可能是女孩方向。
dT (t ) k (T (t ) T0 ) （1） dt
式（1）的通解为： T (t ) T0 Cekt 。早上 6 点时 t=0， T(0)=26℃，早上 8 点时 t=2， T(2)=18℃.假设死者死亡时体温正常 T(t0)=37℃，由通解表达式可知：
T (0) 10 C 26
加分实验
基本投票问题
某部门推出一专项基金目的在于培养优秀人才，根据评比结果来确定资助的额度。许多单位的优秀者都申请了该基金，于是该基金的委员会聘请了数名专家，按照如下规则讲行评比。

北京工业大学《高等数学》2008-2009学年第一学期期末试卷A卷

北京工业大学2008-2009学年第一学期“高等数学(工)-1”课程期末试卷答案(A)一．单项选择题： (5*5=25)(1) 设 f (x ) 是区间 [a , b ]上连续函数，则在开区间 (a , b ) 内 f (x ) 必有（A ）导函数（B ）原函数（C ）驻点（D ）极值 (2) 设 f (x ) 在 x 0 处可导，则lim 0 0 = x →x 0 x − x 0【】（A ） 2f ′(x 0 ) （B ） x 0f ′(x 0 ) （C ） x 0f ′(x 0 ) − f (x 0 ) (3）当 x →0 时，下列无穷小中与 x 2 等价的是（A ） tan x − sin x （B ） sin（C ） ln(1 − x 2 ) （D ） 1 −(4) 下列广义积分收敛者是（A ）∫e dx （B ）∫e dx （C ）∫edx (5) 设 I n = +πx sin dx ，则I n =（D ） f ′(x 0 ) − x 0f (x 0 )【】【】（D ）∫dx【】（A ） −π （B ） π （C ） − 1 （D ） 1二．填空题： (5*5=25)x + c x(7) lim 2 = _____________.(8) ∫1x dx = _______________.x = 2 arctan t dydx 2 _____________+∞ln x +∞ +∞d 2y =x(9) 2 ，则 = _______， y = 1+ ln(1+ t ) dx x →0 x(6) 已知x − c= 4 ，则常数 C = _____________ .∫ c 1os x e − t2dt】x f (x ) − xf (x ) 【(15)设函数 f (x ) =+∫f (x )dx .(10)设 y = y (x ) 是由 e y + xy = e x 确定，则 y ′(0) = _____三．简答题： 4*8=322 sin x1+ 3x1）求 f (x ) 的间断点并判断类型 2）能否使 f (x ) 在间断点处连续.(12) 求不定积分 ∫dx .e 2x+ bx ≤ 0, x > 0,问： a , b 为何值时， f (x ）在x = 0处可导并求f ′(0）.(14) 直线 x = 0, x = 2, y = 0 与抛物线 y = −x 2 +1围成的一平面图形 D 。

数学分析试题与解析-高等数学-北京工业大学-02

数学分析-1样题(二)一. (10分)设数列{}n a 满足: 1a =1()n a n N +=∈, 其中a 是一给定的正常数, 证明{}n a 收敛,并求其极限.二. (10分)设0lim ()0x x f x b →=≠, 用εδ-定义证明011lim()x x f x b→=. 三. (10分)设0n a >,且1lim1nn n a l a →∞+=>, 证明lim 0n n a →∞=.四. (10分)证明函数()f x 在开区间(,)a b 一致连续⇔()f x 在(,)a b 连续,且lim ()x a f x +→,lim ()x bf x -→存在有限. 五. (12分)叙述确界定理并以此证明闭区间连续函数的零点定理.六. (12分)证明:若函数在连续,且()0f a ≠,而函数2[()]f x 在a 可导,则函数()f x 在a 可导.七. (12分)求函数()1f x x x ααα=-+-在的最大值,其中01α<<.八. (12分)设f 在上是凸函数,且在(,)a b 可微,则对任意1x ,2x (,)a b ∈, 12x x <,都有12()()f x f x ''≤.九. (12分)设(),0()0,0g x x f x x x ⎧ ≠⎪=⎨⎪ =⎩ 且(0)(0)0g g '==, (0)3g ''=, 求(0)f '.数学分析-1样题(二)参考答案一. 证显然21.a a > 设1n n a a +>，则21.n n a a ++=>= (4分)于是{}n a 严格增加. 下面用归纳法证明{}n a有上界1.显然11a <，设1n a <，则11n a +=<<， (7分)即{}n a 有界. 综上{}n a 收敛，设极限为s .在1n a +=n →∞得:s =0s ≥得：1(12s =+. (10分) 二. 证由0lim ()x x f x b →=知，0 0, 0, : 0x x x εδδ∀>∃>∀<-<，有于是0 : 0x x x δ∀<-<，有211()2()()b f x f x b bf x bε--=<. (10分) 即011lim()x x f x b→=. 三. 由 1lim1n n n a l a →∞+=>，存在1N , n , 1n n aN N a ++∈∀>>，因而1n n a a >+，(4分).又0n a >，故{}0n a >单调递减有下界，因而收敛. (6分) 令lim n n a a →∞=. 在11nn n n a a a a ++=中令n →∞得a la =，于是0a =. (10分) 四．证 ""⇒ 设f 在(, )a b 一致连续，则 0, 0εδ∀>∃>，12 , (, ):x x a b ∀∈12x x δ-<，有12()()f x f x ε-<. (2分)特别地，当1212, (, ), , x x a b a x x a δ∈<<+时，有12x x δ-<，于是12()()f x f x ε-<. 据柯西收敛准则，lim ()x af x +→存在有限. 同理，lim ()x bf x -→也存在有限. (5分)""⇐ 定义(), ,()lim (), , (8)lim (), .x a x b f x a x b F x f x x a f x x b +-→→⎧<<⎪⎪==⎨⎪=⎪⎩分则F 在[, ]a b 连续，从而一致连续. 注意到()() ((, )).f x F x x a b =∈ 故f 在(, )a b 一致连续. (10分)五. 确界定理: 非空有上界(下界)的数集必存在唯一的上确界(下确界).设f 在[, ]a b 连续，()()0.f a f b < 下面证明存在(, )c a b ∈，使()0.f c = 不妨设()0, ()0.f a f b >< 定义{()0, [, ]},A x f x x a b =>∈则,a A ∈ 从而A 非空有上界. 由此知sup A 存在，记sup c A =. (8分)结合f 的连续性及()0, ()0f a f b ><知：(, ),c a b ∈且()0.f c ≥ (9分) 若()0f c >，则存在'x c >，使'()0f x >，与sup A c =矛盾，于是()0.f c = 六. 证由f 在a 连续，且()0f a ≠知： 0, 0, x δδ∃>∀<< 有()()0, f a x f a +∆>从而()()0f a x f a +∆+≠. (4分)设2[()] f x 在a 的导数为A . 当0x δ<∆<时,22()()[()][()]1.()()f a x f a f a x f a x x f a x f a +∆-+∆-=⋅∆∆+∆+ (8分)于是22000()()[()][()]1lim lim lim . (11)()()2()x x x f a x f a f a x f a Ax x f a x f a f a ∆→∆→∆→+∆-+∆-=⋅=∆∆+∆+分故'(). (12)2()Af a f a =分七. 解 '1()(1)f x x αα-=-. (2分)由'()0f x =得唯一稳定点1x =. (4分) 当(0, 1)x ∈时，'()0f x <，而当1x >时，'()0f x <. (8分) 由此得极大点1x =就是()f x 的最大点，于是最大值为(1)f ，而(1)0f =，故函数f 在(0, )+∞的最大值为0. (12分)八. 证设1212, (, ), x x a b x x ∈<. 对任意12(, )x x x ∈，有21122121. (2)x x x x x x x x x x x --=+--分由f 的凸性，21122121()()(), (4)x x x x f x f x f x x x x x --≤+--分于是1212()()()(). (6)f x f x f x f x x x x x≤--－－分分别令12, x x x x +-→→，则有 '21121()()(), (8)f x f x f x x x ≤-－分'21221()()(). (10)f x f x f x x x ≤-－分于是''12()(). (12)f x f x ≤分.九. 解 2()()(0)(). (4)00g x f x f g x x x x x-==--－分由洛比塔法则，''2000()()1()lim lim lim . 22x x x g x g x g x x x x→→→== (8分) 再由导数定义得'''''00()()(0)limlim (0) 3. 0x x g x g x g g x x →→===－－ (10分) 综上，'0()(0)3(0)lim.02x f x f f x →==-－ (12分).。

2022-2023学年北京市朝阳区北京工业大学附属中学数学高一上期末综合测试模拟试题含解析

由知函数周期为8，作出函数图像如下：
在上的所有根等价于函数与图像的交点，交点横坐标按如图所示顺序排列，因为，，所以两图像在y轴左侧有504个交点，在y轴右侧有506个交点，
故选：D
【点睛】本题考查函数的图像与性质，根据函数的解析式推出周期性与对称性，考查函数的交点与方程的根的关系，属于中档题.
其中，AD⊥BC，BD＞DC，
∴AB＞AC＞AD，
∴△ABC的AB、AD、AC三条线段中最长的是AB，最短的是AD
故选C
【点睛】本题考查了斜二测画法，考查三角形中三条线段长的大小的比较，属于基础题
3、C
【解析】∵f(x)＝ax2＋bx是定义在[a－1,2a]上偶函数，∴a－1＋2a＝0，∴a＝ .
【详解】解：观察在上的图象，
当时，或，
当时，，
∴ 的最小值为：，
的最大值为：，
∴ 的取值范围是
故选：B
【点睛】本题考查余弦函数的定义域和值域，余弦函数的图象，考查数形结合思想，属基础题
2、C
【解析】由斜二测的平面图为：
15．已知，，且，则的最小值为______
16．若，则 ____________.
三、解答题（本大题共6个小题，共70分。解答时要求写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。）
17．已知定义在上的函数，其中，且
（1）试判断函数的奇偶性，并证明你的结论；
（2）解关于的不等式
18．已知二次函数 )满足，且 .
13．函数在[1，3]上的值域为[1，3]，则实数a的值是___________.
14．某班有39名同学参加数学、物理、化学课外研究小组，每名同学至多参加两个小组.已知参加数学、物理、化学小组的人数分别为26，15，13，同时参加数学和物理小组的有6人，同时参加物理和化学小组的有4人，则同时参见数学和化学小组有多少人__________.

2023-2024学年北京工业大学附中高一(上)期中数学试卷【答案版】

2023-2024学年北京工业大学附中高一（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的）1．已知集合A ＝{x |x 2＜4}，B ＝{﹣1，0，1，2，3}，则A ∩B ＝（） A ．{0，1，2} B ．{0，1}C ．{﹣1，0，1}D ．{﹣2，﹣1，0，1，2}2．命题“∃x ∈R ，使得x 2≥1”的否定是（） A ．∀x ∈R ，都有x 2＜1 B ．∃x ∈R ，使得x 2＜1C ．∀x ∈R ，都有x 2≥1D ．∃x ∈R ，使得x 2≤13．下列每组函数是同一函数的是（） A ．f(x)=x −1，g(x)=(√x −1)2 B ．f(x)=|x −3|，g(x)=√(x −3)2C ．f(x)=x 2−4x−2，g(x)=x +2D ．f(x)=√(x −1)(x −3)，g(x)=√x −1⋅√x −34．下列函数中，值域为R 且为奇函数的是（） A ．y ＝x 2B ．y ＝2x ﹣1C ．y ＝x 3D ．y =1x5．如果a ＞b ，那么下列不等式中正确的是（） A ．1a＜1bB ．a 2＞b 2C ．a |c |＞b |c |D ．a c 2+1＞bc 2+16．已知a =2−13，b=log 213，c =log 1213，则下列关系式中正确的（）A ．c ＞a ＞bB ．a ＞c ＞bC ．a ＞b ＞cD ．c ＞b ＞a7．函数f （x ）＝2|x |的单调递减区间是（） A ．（0，+∞）B ．（﹣∞，0）C ．（﹣∞，1）D ．（1，+∞）8．已知函数f （x ）的图象如图所示，则不等式f(x)x＞0的解集是（）A ．（﹣∞，﹣1）∪（0，1）B ．（﹣1，0）∪（1，+∞）C ．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）D ．（﹣1，0）∪（0，1）9．如图，矩形ABCD 的三个顶点A ，B ，C 分别在函数y =log √22x ，y =x 12，y ＝（√22）x 的图象上，且矩形的边分别平行于两坐标轴，若点A 的纵坐标为2，则的D 的坐标为（）A ．（12，14）B ．（13，14）C ．（12，13）D ．（13，12）10．设f （x ）与g （x ）是定义在同一区间[a ，b ]上的两个函数，若对任意x ∈[a ，b ]，都有|f （x ）﹣g （x ）|≤1成立，则称f （x ）和g （x ）在[a ，b ]上是“密切函数”，区间[a ，b ]称为“密切区间”．若f （x ）＝x 2﹣3x +4与g （x ）＝2x ﹣3在[a ，b ]上是“密切函数”，则其“密切区间”可以是（） A ．[1，4]B ．[2，4]C ．[3，4]D ．[2，3]二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分，将答案填写在答案卷上） 11．函数f （x ）=√x+3x的定义域是．12．已知a ＞0，则a −1+4a的最小值为．13．已知函数f （x ﹣1）＝x 2+1，那么f （2）等于． 14．计算：1.10+√2163−0.5−2+lg 25+2lg 2＝．15．若函数f(x)={−2x 2+ax −2，x ≤1，x −1，x ＞1的值域为R ，则实数a 的取值范围是．三、解答题（本大题共6个小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16．（12分）设全集U ＝R ，A ＝{x ∈R |3a ＜x ＜2a +5}，B ＝{x ∈R |x 2+x ﹣2≤0}．（1）求∁U B ；（2）若A ∩B ＝∅，求实数a 的取值范围． 17．（12分）求下列关于x 的不等式的解集：（1）x+12x−1≥0；（2）x 2﹣2ax ＜3a 2．18．（12分）已知y ＝f （x ）是定义在R 上的偶函数，当x ≥0时，f （x ）＝x 2﹣2x ．（1）求f （1），f （﹣2）的值；（2）求f （x ）的解析式；（3）画出y＝f（x）简图；写出y＝f（x）的单调递增区间（只需写出结果，不要解答过程）．19．（13分）已知函数f（x）=2x−3x+1．（Ⅰ）判断函数f（x）是否具有奇偶性？并说明理由；（Ⅱ）试用函数单调性的定义证明：f（x）在（﹣1，+∞）上是增函数；（Ⅲ）求函数f（x）在区间[1，4]上的值域．20．（13分）已知函数f（x）＝2x|x﹣a|+x．（1）若f（x）为奇函数，求a的值；（2）当a＝1时，求函数f（x）在区间[0，4]上的最大值；（3）若∀x∈[12，1]，函数f（x）的图象恒在g（x）＝2x图象下方，求实数a的取值范围．21．（13分）对定义在[0，1]上，并且同时满足以下两个条件的函数f（x）称为G函数．①对任意的x∈[0，1]，总有f（x）≥0；②当x1≥0，x2≥0，x1+x2≤1时，总有f（x1+x2）≥f（x1）+f（x2）成立．已知函数g（x）＝x2与h（x）＝2x﹣b是定义在[0，1]上的函数．（1）试问函数g（x）是否为G函数？并说明理由；（2）若函数h（x）是G函数，求实数b组成的集合．2023-2024学年北京工业大学附中高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的）1．已知集合A ＝{x |x 2＜4}，B ＝{﹣1，0，1，2，3}，则A ∩B ＝（） A ．{0，1，2} B ．{0，1}C ．{﹣1，0，1}D ．{﹣2，﹣1，0，1，2}解：A ＝{x |x 2＜4}＝{x |﹣2＜x ＜2}，B ＝{﹣1，0，1，2，3}，则A ∩B ＝{﹣1，0，1}，故选：C ．2．命题“∃x ∈R ，使得x 2≥1”的否定是（） A ．∀x ∈R ，都有x 2＜1 B ．∃x ∈R ，使得x 2＜1C ．∀x ∈R ，都有x 2≥1D ．∃x ∈R ，使得x 2≤1解：“∃x ∈R ，使得x 2≥1”的否定是：∀x ∈R ，都有x 2＜1．故选：A ．3．下列每组函数是同一函数的是（） A ．f(x)=x −1，g(x)=(√x −1)2 B ．f(x)=|x −3|，g(x)=√(x −3)2C ．f(x)=x 2−4x−2，g(x)=x +2D ．f(x)=√(x −1)(x −3)，g(x)=√x −1⋅√x −3解：A 选项中，f （x ）的定义域是R ，g （x ）的定义域是[1，+∞），定义域不同，它们的对应法则也不同；故不是同一函数；B 选项中两个函数的定义域相同，f （x ）的定义域是R ，g （x ）的定义域是R ，g(x)=√(x −3)2=|x −3|，两个函数的对应法则相同，是同一函数；C 选项中两个函数的定义域不同，f （x ）的定义域是（﹣∞，2）∪（2，+∞），g （x ）的定义域是R ；故不是同一函数；D 选项的定义域不同，f （x ）的定义域是（﹣∞，1]∪[3，+∞），g （x ）的定义域是[3，+∞），故不是同一函数；只有B 选项符合同一函数的要求，故选：B ．4．下列函数中，值域为R 且为奇函数的是（） A ．y ＝x 2B ．y ＝2x ﹣1C ．y ＝x 3D ．y =1x解：对于A ，f （x ）＝x 2定义域为R ，但是f （﹣x ）＝（﹣x ）2＝f （x ），∴f（x）是偶函数，故A错误，对于B，f（x）＝2x﹣1，f（2）＝3，f（﹣2）＝﹣5，所以f（x）是非奇非偶函数，B错误，对于C，f（x）＝x3定义域为R，但是f（﹣x）＝（﹣x）3＝﹣f（x），∴f（x）是奇函数，且值域为R，故C正确，对于D，y=1x中，由于y≠0，故值域不为R，故D错误．故选：C．5．如果a＞b，那么下列不等式中正确的是（）A．1a ＜1bB．a2＞b2C．a|c|＞b|c|D．ac2+1＞bc2+1解：若a＞0＞b，则1a ＞1b，故A错误；取a＝﹣1，b＝﹣2，满足a＞b，但a2＜b2，故B错误；若c＝0，a|c|＝b|c|，故C错误，因为c2+1＞0，a＞b，∴ac2+1＞bc2+1，故D正确．故选：D．6．已知a=2−13，b=log213，c=log1213，则下列关系式中正确的（）A．c＞a＞b B．a＞c＞b C．a＞b＞c D．c＞b＞a解：a=2−13＜20=1，所以0＜a＜1，c=log1213＞log1212=1，所以c＞1，b=log213＜log21=0，所以b＜0，故c＞a＞b．故选：A．7．函数f（x）＝2|x|的单调递减区间是（）A．（0，+∞）B．（﹣∞，0）C．（﹣∞，1）D．（1，+∞）解：由于f（﹣x）＝2|﹣x|＝f（x），故f（x）为定义域R上的偶函数，当x≥0，f（x）＝2x，故f（x）在（0，+∞）单调递增，故f（x）在（﹣∞，0）单调递减．故选：B．8．已知函数f （x ）的图象如图所示，则不等式f(x)x＞0的解集是（）A ．（﹣∞，﹣1）∪（0，1）B ．（﹣1，0）∪（1，+∞）C ．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）D ．（﹣1，0）∪（0，1）解：由f(x)x＞0，得{x ＞0f(x)＞0①，或{x ＜0f(x)＜0②，由图，解①可得x ＞1；解②可得﹣1＜x ＜0；综上所述，不等式f(x)x＞0的解集是（﹣1，0）∪（1，+∞）．故选：B ．9．如图，矩形ABCD 的三个顶点A ，B ，C 分别在函数y =log √22x ，y =x 12，y ＝（√22）x 的图象上，且矩形的边分别平行于两坐标轴，若点A 的纵坐标为2，则的D 的坐标为（）A ．（12，14）B ．（13，14）C ．（12，13）D ．（13，12）解：由题意得，A ，B ，C 分别在函数y =log √22x ，y =x 12，y ＝（√22）x 的图象上，把y ＝2代入y =log √22x 得，2=log √22x ，即x =(√22)2=12，所以A （12，2），由四边形ABCD 是矩形得，B 点的纵坐标也是2，把y ＝2代入y =x 12得，2=x 12，即x ＝4，所以B （4，2），则点C 的横坐标是4，把x ＝4代入y ＝（√22）x 得，y =14，所以点D 的坐标是（12，14），故选：A ．10．设f （x ）与g （x ）是定义在同一区间[a ，b ]上的两个函数，若对任意x ∈[a ，b ]，都有|f （x ）﹣g （x ）|≤1成立，则称f （x ）和g （x ）在[a ，b ]上是“密切函数”，区间[a ，b ]称为“密切区间”．若f （x ）＝x 2﹣3x +4与g （x ）＝2x ﹣3在[a ，b ]上是“密切函数”，则其“密切区间”可以是（） A ．[1，4]B ．[2，4]C ．[3，4]D ．[2，3]解：若f （x ）＝x 2﹣3x +4与g （x ）＝2x ﹣3在[a ，b ]上是“密切函数”，可得|f （x ）﹣g （x ）|＝|x 2﹣3x +4﹣（2x ﹣3）|＝|x 2﹣5x +7|≤1，即为﹣1≤x 2﹣5x +7≤1，由x 2﹣5x +7＞0恒成立，可得上式等价为x 2﹣5x +7≤1，解得2≤x ≤3，则其“密切区间”可以是[2，3]．故选：D ．二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分，将答案填写在答案卷上） 11．函数f （x ）=√x+3x的定义域是 {x |x ≥﹣3且x ≠0} ．解：要使函数有意义，则{x +3≥0x ≠0，得{x ≥−3x ≠0，即x ≥﹣3且x ≠0，即函数的定义域为{x |x ≥﹣3且x ≠0}．故答案为：{x |x ≥﹣3且x ≠0}．12．已知a ＞0，则a −1+4a的最小值为 3 ．解：由a ＞0，得4a ＞0，故a +4a−1≥2√a ⋅4a−1=3，当且仅当a =4a，即a ＝2时，等号成立．故答案为：3．13．已知函数f （x ﹣1）＝x 2+1，那么f （2）等于 10 ．解：在f （x ﹣1）＝x 2+1中取x ＝3，则f （2）＝32+1＝10．故答案为：10．14．计算：1.10+√2163−0.5−2+lg 25+2lg 2＝ 5 ．解：1.10+√2163−0.5−2+lg 25+2lg 2＝1+6﹣4+2＝5，故答案为：5．15．若函数f(x)={−2x 2+ax −2，x ≤1，x −1，x ＞1的值域为R ，则实数a 的取值范围是（﹣∞，﹣4]∪[4，+∞）．解：当x ＞1时，f （x ）＞0，因为函数f(x)={−2x 2+ax −2，x ≤1x −1，x ＞1的值域为R ，所以当x ≤1时，f （x ）＝﹣2x 2+ax ﹣2≤0的值域为（﹣∞，0]，所以Δ＝a 2﹣16≥0，解得a ≤﹣4或a ≥4，所以实数a 的取值范围是（﹣∞，﹣4]∪[4，+∞）．故答案为：（﹣∞，﹣4]∪[4，+∞）．三、解答题（本大题共6个小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16．（12分）设全集U ＝R ，A ＝{x ∈R |3a ＜x ＜2a +5}，B ＝{x ∈R |x 2+x ﹣2≤0}．（1）求∁U B ；（2）若A ∩B ＝∅，求实数a 的取值范围．解：（1）全集U ＝R ，B ＝{x ∈R |x 2+x ﹣2≤0}＝{x |﹣2≤x ≤1}，故∁U B ＝{x |x ＜﹣2或x ＞1}．（2）∵A ∩B ＝∅，当A ＝∅时，3a ≥2a +5，解得a ≥5．当A ≠∅时，{3a ＜2a +52a +5≤−2或{3a ＜2a +53a ≥1，解得a ≤−72或13≤a ＜5，综上，实数a 的取值范围是(−∞，−72]∪[13，+∞)． 17．（12分）求下列关于x 的不等式的解集：（1）x+12x−1≥0；（2）x 2﹣2ax ＜3a 2．解：（1）原不等式等价于{(x +1)(2x −1)≥02x −1≠0，所以x ≤﹣1或x ＞12，故不等式的解集为{x |x ≤﹣1或x ＞12}．（2）原不等式可化为（x ﹣3a ）（x +a ）＜0，当a ＝0时，不等式为x 2＜0，显然不成立，所以无解；当a ＞0时，3a ＞﹣a ，所以﹣a ＜x ＜3a ；当a ＜0时，3a ＜﹣a ，所以3a ＜x ＜﹣a ，综上所述，当a ＝0时，不等式的解集为∅；当a ＞0时，不等式的解集为{x |﹣a ＜x ＜3a }；当a ＜0时，不等式的解集为{x |3a ＜x ＜﹣a }．18．（12分）已知y ＝f （x ）是定义在R 上的偶函数，当x ≥0时，f （x ）＝x 2﹣2x ．（1）求f （1），f （﹣2）的值；（2）求f （x ）的解析式；（3）画出y ＝f （x ）简图；写出y ＝f （x ）的单调递增区间（只需写出结果，不要解答过程）．解：（1）当x ≥0时，f （x ）＝x 2﹣2x ，f （﹣x ）＝f （x ）， ∴f （1）＝﹣1，f （﹣2）＝f （2）＝0；（2）∵y ＝f （x ）是定义在R 上的偶函数，当x ≥0时，f （x ）＝x 2﹣2x ，当x ＜0时，﹣x ＞0，f （﹣x ）＝（﹣x ）2﹣2（﹣x ）＝x 2+2x ， ∴f （x ）＝f （﹣x ）＝x 2+2x ， ∴f （x ）={x 2−2x ，x ≥0x 2+2x ，x ＜0．（2）∵f （x ）={x 2−2x ，x ≥0x 2+2x ，x ＜0，∴当x ≥0时，y ＝x 2﹣2x ，抛物线开口向上，对称轴方程为x ＝1，顶点坐标（1，﹣1），当y ＝0时，x 1＝0，x 2＝2；当x ＝0时，y ＝0．当x ＜0时，y ＝x 2+2x ，抛物线开口向上，对称轴方程为x ＝﹣1，顶点坐标（﹣1，﹣1），当y ＝0时，x ＝﹣2．由此能作出函数f （x ）的图象如下：结合图象，知f（x）的增区间是（﹣1，0），（1，+∞）．19．（13分）已知函数f（x）=2x−3x+1．（Ⅰ）判断函数f（x）是否具有奇偶性？并说明理由；（Ⅱ）试用函数单调性的定义证明：f（x）在（﹣1，+∞）上是增函数；（Ⅲ）求函数f（x）在区间[1，4]上的值域．解：（I）函数f（x）不具有奇偶性，理由如下：定义域：{x|x≠﹣1}，因为定义域不关于原点对称，（或者因为f（2）=13，f（﹣2）＝7，所以f（﹣2）≠f（2），且f（﹣2）≠﹣f（2））所以函数f（x）不具有奇偶性；（Ⅱ）证明：f（x）=2x−3x+1=2(x+1)−5x+1=2−5x+1，任取x1，x2∈（﹣1，+∞），且x1＜x2f（x1）﹣f（x2）＝（2−5x1+1）﹣（2−5x2+1）=5x2+1−5x1+1=5(x1+1)−5(x2+1)(x1+1)(x2+1)=5(x1−x2)(x1+1)(x2+1)，又由﹣1＜x1＜x2，则x1﹣x2＜0，x1+1＞0，x2+1＞0，故f（x1）﹣f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2），所以f（x）在（﹣1，+∞）是增函数；（III）由（Ⅱ）知，f（x）在[1，4]单调递增，所以f（x）min＝f（1）=−12，f（x）max＝f（4）＝1，故f（x）在[1，4]上的值域是[−12，1]．20．（13分）已知函数f（x）＝2x|x﹣a|+x．（1）若f（x）为奇函数，求a的值；（2）当a＝1时，求函数f（x）在区间[0，4]上的最大值；（3）若∀x∈[12，1]，函数f（x）的图象恒在g（x）＝2x图象下方，求实数a的取值范围．解：（1）由于f （x ）为奇函数，则f （1）＝﹣f （﹣1），∴2|1﹣a |+1＝﹣（﹣2|﹣1﹣a |﹣1），解得a ＝0，经检验，a ＝0符合题意，故实数a 的值为0；（2）当a ＝1时，f(x)=2x|x −1|+x ={2x 2−x ，x ≥1−2x 2+3x ，x ＜1，当x ∈[0，1）时，f （x ）＝﹣2x 2+3x ，此时的最大值为f(34)=98，当x ∈[1，4]时，f （x ）＝2x 2﹣x 在[1，4]上单调递增，此时的最大值为f （4）＝2×42﹣4＝28，综上，函数f （x ）在区间[0，4]上的最大值为28；（3）依题意，对∀x ∈[12，1]，2x |x ﹣a |+x ≤2x 恒成立，即|x −a|≤12恒成立，由|x −a|≤12得a −12≤x ≤a +12， ∴{a −12≤12a +12≥1，解得12≤a ≤1， ∴实数a 的取值范围为[12，1]．21．（13分）对定义在[0，1]上，并且同时满足以下两个条件的函数f （x ）称为G 函数． ①对任意的x ∈[0，1]，总有f （x ）≥0；②当x 1≥0，x 2≥0，x 1+x 2≤1时，总有f （x 1+x 2）≥f （x 1）+f （x 2）成立．已知函数g （x ）＝x 2与h （x ）＝2x ﹣b 是定义在[0，1]上的函数．（1）试问函数g （x ）是否为G 函数？并说明理由；（2）若函数h （x ）是G 函数，求实数b 组成的集合．解：（1）是，理由如下：当x ∈[0，1]时，总有g （x ）＝x 2≥0，满足①，当x 1≥0，x 2≥0，x 1+x 2≤1时，g （x 1+x 2）＝（x 1+x 2）2＝x 12+x 22+2x 1x 2≥x 12+x 22＝g （x 1）+g （x 2），满足②（2）h （x ）＝2x ﹣b 为增函数，h （x ）≥h （0）＝1﹣b ≥0，∴b ≤1，由h （x 1+x 2）≥h （x 1）+h （x 2），2x 1+x 2−b ≥2x 1−b +2x 2−b ，即b ≥1﹣（2x 1−1）（2x 2−1），∵x 1≥0，x 2≥0，x 1+x 2≤1，∴0≤2x 1−1≤1，0≤2x 2−1≤1，x 1，x 2不同时等于1∴0≤（2x1−1）（2x2−1）＜1；∴0＜1﹣（2x1−1）（2x2−1）≤1，当x1＝x2＝0时，1﹣（2x1−1）（2x2−1）的最大值为1；∴b≥1，则b＝1，综合上述：b∈{1}。

北京工业大学高等数学期末考试复习期末四

1
dy
1
0
y
1 x3dx 交换积分顺序后，得 ( B
)
( A)
1
1
dx
1 x3 dy;
0
x2
(C)
1
y
dx
1 x3 dy;
0
0
1
x2
(B) 0 dx0
1
1
(D) 0 dx x
1 x3 dy; 1 x3dy
5. 设 L为圆 x2 y2 1 的一周，
则
x2dS L
L
y2dS
(
D
)
fx 0
令
fy fz
0 0
,
f 0
x
得方程组的解（第一卦限内的切点） y
a
3 b
3
z
c 3
将上述切点代入前面的切平面方程，得所求切平面
X Y Z 1 a3 b3 c3
15. 已知 f (0) 1, 试确定函数 f ( x)使曲线积分
（1,1）
[tan x f ( x)]
x 2 y 4 z 8 ，法平面方程为：x 4 y 12z 114
1
4 12
9. 函数 f ( x) 1 在 x 1处的泰勒级数 2 x
及收敛域为：
( x 1)n , (0, 2)
n0
解：本题也可以叙述为：
将 f ( x) 展成 x 1 的幂级数.
要求的级数形如 an ( x 1)n
的 p 的范围分别是 ( D )
( A) p 0，p 0 (C) p 1，0 p 1
(B) p 1，p 0 (D) p 1，0 p 1
0
3.
f
(x)
x
2

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北京工业大学实验学院
高等数学（工）－1综合测试题一
一、填空题（共5个小题，每小题3 分，共15分） 1、2401lim sin
3x x x →＝。

2
、2
0x ⎰＝。

3
、若112,n x x +==
lim →∞n n x ＝。

4、若22()22<⎧+=⎨
≥⎩x x b f x x a x
，则当(,)=a b 时，()f x 在R 上可导。

5、函数3()41=-+f x x x 在点(2,1)处的法线方程为。

二、单项选择题（共5个小题，每小题3 分，共15分）
1、如果⎰+=c x F x x f )(d )(，则⎰=--x e f e
x x d )(（）。

A 、C e F x +)( B 、C e F x +-)( C 、C e
F x +-)( D 、C e F x +--)( 2、已知()f x 满足120()()d f x x x f x x =+⎰，则1
0()d f x x ⎰＝（）。

A 、0
B 、2/3
C 、1
D 、3/2
3
、11lim
→∞=∑n n i n ）。

A 、π/4 B 、π/2 C 、π D 、0
4、若()=f x x x ，则在=0x 点处()f x （）。

○
1 连续 ○
2 可导 ○3可微 ○4导函数连续 A 、○1○2○3○4 B 、○1○2○
3 C 、○2○3 D 、○2○3○4
5、已知函数()f x 在[1,1]-连续，在(1,1)-上二阶可导，()()g x f x x =-， (0)(0)1f f '''==，则(0)g 一定是()g x 在[1,1]-上的（）。

A 、极大值
B 、最大值，
C 、极小值
D 、最小值
三、解答题（共70分，要求写出必要的计算或证明过程）
1、（满分6分）求极限220
2co s 1lim
sin x x e x x →-+。

2、（满分6分）求极限2110lim (1sin )x e
x x -→+。

3、（满分6分）设函数()=y f x 由参数方程2 (1)⎧=⎨=+⎩t
t x e y t e 所确定，求22d d y x 。

4、（满分6分）函数()=y f x 由方程224xy x y e +=所确定，求d y
5、（满分6分）若0x >，证明：4
22ln (1)2x x x +>-
6、（满分6分）若()f x 在区间[0,1]上连续，在（0,1）内可导且有(1)(0)=0f f =。

证明：存在(0,1)ξ∈，使得()()0f f ξξ'+=。

7、（满分6分）若()d arctan2
=+
⎰f x x x C，求()d
⎰xf x x。

8、（满分6分）计算积分
0x
π⎰
9、（满分6分）已知曲线段
1
()(02)
2
-
=+≤≤
x x
y e e x，
（1）求这曲线段的长度；（2）求由曲线与0,0,2
===
y x x所围绕的平面图形绕x 轴旋转一周所得的立体的体积。

10、（满分8分）求()ln(12)=+f x x 在0=x 处的n 次泰勒多项式()n L x 及余项()n R x 。

11、（满分8分）设20()(4)d x
t
f x t e t =-⎰，求()f x 的极值。