【配套K12】2018数学高考一轮复习刺金四百题：第331—335题(含答案解析)
【配套K12】2018数学高考一轮复习刺金四百题：第116—120题(含答案解析)
感知高考刺金1161．已知ABC ∆中，角,,A B C 的对边,,a b c 满足()cos c a A C =+，则tan C 的最大值是 ．解：()222cos cos 2a c b c a A C a B a ac+-=+=-=-⋅ 即()22213c b a =-，且B 为钝角，C 为锐角 由余弦定理得()2222222221423cos 226a b b a a b c a b C ab ab ab +--+-+===≥= 锐角C 在区间0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭上递减，故当()min cos C =时，则()max tan C = 2．各大学在高考录取时采取专业志愿优先的录取原则．一考生从某大学所给的7个专业中，选择3个作为自己的第一、二、三专业志愿，其中甲、乙两个专业不能同时兼报，则该考生有______种不同的填报专业志愿的方法（用数字作答）．解：32735180A A -⋅=感知高考刺金1171．已知,αβ为锐角，且()sin cos sin ααββ+=，则tan α的最大值是 ． 解法一：()()()()sin sin cos sin cos cos sin sin sin αββαββααβαββββ⎡+-⎤+⎣⎦+===-+ 即()tan 2tan αββ+=()()()2tan tan tan tan tan 1tan tan 12tan αβββααββαβββ+-=⎡+-⎤===⎣⎦+++当且仅当tan β= 解法二：由()sin cos sin ααββ+=得sin cos cos sin sin sin ααβαββ-= 即1cos cos sin sin sin αβαββ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭即222sin cos sin costan1sin2sin cosββββαβββ==≤++cosββ=，即tanβ=2．三位同学参加跳高、跳远、铅球项目的比赛，若每人都选择其中两个项目，则有且仅有两人选择的项目完全相同的概率是。
【配套K12】2018数学高考一轮复习刺金四百题：第46—50题(含答案解析)
感知高考刺金461．已知()()21f x x =-，()()41g x x =-，{}n a 满足12a =，()()()10n n n n a a g a f a +-+=，{}n b 满足()()13n n n b f a g a +=-，那么{}n b 的最小值为 ． 解：()()()214110n n n n a a a a +-⋅-+-= 故()()114310n n n a a a +---=因为n a 不恒等于1，故14310n n a a +--= ()13114n n a a +-=- 1314n n a -⎛⎫=+ ⎪⎝⎭从而2222133333434444n nn n n b ---⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅-=-⎢⎥ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦令134n t -⎛⎫= ⎪⎝⎭，则()22113324n b t t t ⎡⎤⎛⎫=-=--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦当3139416-⎛⎫=⎪⎝⎭离对称轴12t =最近，故()3min 189256n b b ==- 2． 102)1(x -的展开式中2x 的系数是 ，如果展开式中第r 4项和第2+r 项的二项式系数相等，则r 等于 ． 答案：－10，2感知高考刺金471．已知,,a b c 为正整数，关于x 的方程20ax bx c ++=有两个不相等的实根，且两根均大于12-，则a b c ++的最小值为 ． 解法一：204212240a bc b ab ac ⎧-+>⎪⎪⎪->-⎨⎪⎪->⎪⎩，所以b a <，244b ac bc >>，所以4b c > 又240a b c -+>，所以428a c b c +>>，所以4a c >所以有4a b c >>要使a b c ++最小，需使,,a b c 尽可能地小，由于,,a b c 为正整数，所以取1c =，则4a b >>．则2244b b a -<<取5b =，2564a <<，无解 取6b =，89a <<，无解取7b =，49104a <<，取11a =，经检验满足题意，此时19a b c ++= 若取2c ≥，则8a b >>，2119a b c ++≥>，故当11,7a b ==时，()min 19a b c ++=解法二：2042240122440a bc a b c b a b a a c b ac ⎧-+>⎪-+>⎧⎪⎪⎪->-⇒>⎨⎨⎪⎪>⎩⎪->⎪⎩要使a b c ++最小，需使,,a b c 尽可能地小由于,,a b c 为正整数，所以取1c =，则24244a a b a b b a>⎧⎪>⎪⎨>-⎪⎪>⎩，画出可行域（b 为横轴，a 为纵轴），可知当11,7a b ==时，()min 19a b c ++=2．有3辆不同的公交车，3名司机，6名售票员，每辆车配备一名司机，2名售票员，则所有的工作安排方法数有________（用数字作答） 答案：540感知高考刺金481．已知,x y 满足x y +=22x y +的最小值是 ．解法一：x y +=10xy x y ++-=这里出现了两数之积和两数之和，要得到两数的平方和，所以可以用基本不等式．由于222x y xy +≤和2x y +≤ 所以2212x y+≥，解得226x y +≥-解法二：这里介绍一种好方法：出现xy 乘积项，可以用换元法，设,x a b y a b =+=- 所以22210a b a -+-=即()()2222112122a b a b ++-=⇒-=为双曲线 ()22222x y a b +=+可视为双曲线上的点与坐标原点连线距离的平方的2倍．所以当且仅当1a =时，即1x y ==时，22x y +的最小值为6-解法三：由22210a b a -+-=得22210b a a =+-≥，解得1a ≥或1a ≤所以()222222124424362x y a b a a a ⎛⎫+=+=+-=+-≥- ⎪⎝⎭变式题：（2011年浙江省高考）设,x y 为实数，若2241x y xy ++=，则2x y +的最大值为 ．解：本题有多种解法，这里也利用换元来做． 因为有xy 乘积项，所以设2,x a b y a b =+=-则条件变为2253122a b +=，求22x y a +=的取值范围．可以视为椭圆用三角换元做；令a θ=，所以2a θ⎡=∈⎢⎣⎦也可以变成规划问题求切线做；也可以22351022b a =-≥，所以a ≤≤22x y a ⎡+=∈⎢⎣⎦2． 10)2(y x -的展开式中，含46y x 项的系数 ． 答案：840感知高考刺金491．设二次函数()()2(21)2,,0f x ax b x a a b a =++--∈≠R 在[]3,4上至少有一个零点，则22a b +的最小值为 ．解：关于x 的二次方程2(21)20ax b x a ++--=在[]3,4上有实根，设()2220a b r r +=≥ 问题等价于关于,a b 的直线()21220a x bx x -++-=与()2220a b r r +=≥有公共点r ≤在[]3,4上能成立，即221x r x -≥=+在[]3,4上能成立所以令()221x g x x -=+，设[]21,2x t -=∈，则()215454t g t t t t t==++++在[]1,2t ∈上单调递增 所以()110g t ≥所以2221100a b r +=≥，当前仅当3x =时取得等号． 2． 把4名男乒乓球选手和4名女乒乓球选手同时平均分成两组进行混合双打表演赛，不同的比赛分配方法有 种（混合双打是1男1女对1男1女，用数字作答）． 答案：72感知高考刺金501．已知1a b ==，向量c 满足()c a b a b -+=-，则c 的最大值为 ．解法一：()()222a b c a bc a b a b +--+=-⇒-=几何意义可以理解为，设OA a =，OB b =，取AB 中点为D ，所以2c的终点C 在以D 为圆心，以2a bAD -=为半径的圆上运动，所以c 的最大值就是()2OD AD + 又因为221OD AD +=，所以2OD AD +≤当且仅当2OD AD ==a b ⊥时，max 22c =解法二：()c a b c a b a b -+≤-+=-所以2222222222c a b a b a b a b a b ≤-++≤-++=+≤ 当且仅当a b ⊥时，max22c=2． 令n a 为1()(1)n n f x x +=+的展开式中含1n x -项的系数，则数列1{}na 的前n 项和为 ． 答案：21nn +。
配套K122018数学高考一轮复习刺金四百题：第201—205题(含答案解析)
感知高考刺金201题解析几何模块4．已知曲线C 的方程221x y +=，()2,0A -，存在一定点()(),02B b b ≠-和常数λ，对曲线C 上的任意一点(),M x y ，都有MA MB λ=成立，则点(),P b λ到直线()220m n x ny n m ++++=的最大距离为 ． 解法一：由MA MB λ=得()()222222x y x b y λ⎡⎤++=-+⎣⎦即()()()222222211244x y b x b λλλλ-+--+=- 故2222240411b b λλλ⎧+=⎪⎨-=⎪-⎩，将22b λ=-代入22241b λλ-=-得22520b b ++=，得12b =-，2λ= 又直线()220m n x ny n m ++++=恒过定点()2,0-，所以由几何性质知点1,22P ⎛⎫- ⎪⎝⎭到直线()220m n x ny n m ++++=的最大距离为点()2,0-与1,22P ⎛⎫- ⎪⎝⎭的距离为52 解法二：作为小题，由MA MB λ=知是阿氏圆轨迹，故取圆22:1C x y +=直径上的两个点()()1,0,1,0-，即可得1311b b λ==+-，解得12b =-，2λ= 感知高考刺金202题解析几何模块5．已知M 是28x y =的对称轴和准线的交点，点N 是其焦点，点P 在该抛物线上，且满足PM m PN =，当m 取得最大值时，点P 恰在以M 、N 为焦点的双曲线上，则该双曲线的离心率为 ．解：作''PP MP ⊥，由抛物线定义'PP PN ='1cos PN PP PM m PN m PM PMθ=⇒===，其中'MPP NMP θ=∠=∠要使m 取得最小值，即cos θ最小，即NMP θ=∠最大值，即''2PMP MPP π∠=-∠最小，此时MP 是抛物线的切线．设MP 的方程为2y kx =-，与28x y =联立得()2820x kx --=因为相切，故264640k ∆=-=，解得1k = 故()4,2P，24a PM PN =-= 由24c =，得1e =感知高考刺金203题解析几何模块6． 已知斜率为1的直线l 过双曲线()222210,0x y a b a b -=>>的左焦点F ，且与双曲线左、右支分别交于,A B 两点，若A 是线段BF 的中点，则双曲线的离心率为 ．解：由题意知122y y =()222222422120x y b a y b cy b a b x y c ⎧-=⎪⇒--+=⎨⎪=-⎩ 2121224212122232b c y y y b a b y y y b a ⎧+==⎪⎪-⎨⎪==⎪-⎩所以222492c b a =-，所以2218c a e =⇒=感知高考刺金204题解析几何模块7． 已知点P 是双曲线()222210,0x y a b a b -=>>上的动点，12,F F 是其左、右焦点，O 坐标原点，若12PF PF OP +，则此双曲线的离心率是 ．解：设12,PF m PF n ==，则()22222222122422m n OP F F m n OP c +=+⇒+=+ 又2m n a -=，所以22224m mn n a -+= 所以2222224mn OP c a =+- ()222222222222444m n OP c OP c a OP b +=+++-=+ 所以22244m n b OP OP +⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ 所以m n OP +的最大值在OP a =时取到，所以22446b a+=所以222b a =，即e =感知高考刺金205题解析几何模块8．在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为()()22119x y -+-=，直线:3l y kx =+与圆C 相交于,A B 两点，M 为弦AB 上一动点，以M 为圆心，2为半径的圆与圆C 总有公共点，则实数k 的取值范围是 ． 解：两圆有公共点的充要条件是15CM ≤≤，而5CM ≤恒成立，故只要min 1CM ≥时两圆必有公共点．由平面几何知识可知，min CM 为点C 到直线l 的距离d ，所以1d ≥，解得34k ≥-。
教育最新K122018数学高考一轮复习刺金四百题：第91—95题(含答案解析)
感知高考刺金911．若,x y 满足()()22221log 4cos 434cos xy y y xy ⎡⎤+=-+-⎢⎥⎢⎥⎣⎦，则cos4y x = 。
解：()()()222221log 4cos 432114cos xy y y y xy ⎡⎤+=-+-=--+≤⎢⎥⎢⎥⎣⎦又()()22221log 4cos log 214cos xy xy ⎡⎤+≥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦所以()()2221log 4cos 14cos xy xy ⎡⎤+=⎢⎥⎢⎥⎣⎦即()()2214cos 24cos 2xy xy y ⎧+=⎪⎨⎪=⎩解得()1cos 22xy y ⎧=⎪⎨⎪=⎩或()1cos 22xy y ⎧=-⎪⎨⎪=⎩所以()2cos422cos 211y x x =-=-评注：本题是夹逼原理的应用。
2．已知10个产品中有3个次品，现从其中抽出若干个产品，要使这3个次品全部被抽出的概率不小于0.6，则至少应抽出产品 个。
解：33371035n n C C C -≥，即()()12310985n n n --≥⋅⋅，解得9n ≥感知高考刺金921．已知ABC ∆是边长为的正三角形，EF 为ABC ∆的外接圆O 的一条直径，M 为ABC ∆的边上的动点，则ME MF 的取值范围是 。
解：ABC ∆的外接圆O 的半径为2 由极化恒等式可得22244EF ME MF MO MO =-=- 由图易得[]1,2OM ∈，所以[]3,0ME MF ∈-2．已知P 箱中有红球1个，白球9个，Q 箱中有白球7个，（P 、Q 箱中所有的球除颜色外完全相同）．现随意从P 箱中取出3个球放入Q 箱，将Q 箱中的球充分搅匀后，再 从Q 箱中随意取出3个球放入P 箱，则红球从P 箱移到Q 箱，再从Q 箱返回P 箱中的概率等于 。
解：121219************C C C C P C C =⋅=感知高考刺金931．在ABC ∆中，6AC =，7BC =，1cos 5A =，O 是ABC ∆的内心，若OP xOA yOB =+，其中01,01x y ≤≤≤≤，则动点P 的轨迹所覆盖的面积为 。
2018年高考数学一轮复习感知高考刺金四百题：第131—135题(含答案解析)
感知高考刺金1311．函数()()401x f x x x =>+，()()()1,2g x x a x b a b =---<，若对10x ∀>，21x x ∃≤，()()21g x f x =，则2a b +的最大值为 。
解：()()()1,2,21,2b a x b a b g x x a x b a b x a ⎧->⎪⎪+⎪=-≤≤⎨⎪⎪-<⎪⎩，()()444011x f x x x x ==->++若使对10x ∀>，21x x ∃≤，()()21g x f x =成立首先需使()142b a -≥且()102a b -< 且线段,2a b y x a x b +=-≤≤与曲线()()401xf x x x =>+无交点 由241a b y x xy x +⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪+⎩得23022a b a b x x ++⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭无正根 （i ）若3202a b++≥，即6a b +≥-时，要求()23202a b a b +⎛⎫∆=+++≤ ⎪⎝⎭， 解得182a b -≤+≤-，即62a b -≤+≤- （ii ）若6a b +<-时，满足02a b+->，恒成立 综上，2a b +≤-故要使对10x ∀>，21x x ∃≤，()()21g x f x =成立只需82b a a b a b -≥⎧⎪<⎨⎪+≤-⎩，画出可行域可得27a b +≤-2．（1）若复数z 与其共轭复数z满足z =2z z +=，则5z z+= 。
（2）若函数()ln x af x x-=的图象总在()F x =a 的取值集合。
解：（1）2 （2）ln x ax->0x >且1x ≠恒成立，故()min,1a x xx <>或()min,01a x xx ><<令()g x x x =，……，得1a =感知高考刺金1321．已知()22245f x x a a =+-+，若()f x 的最大值是()g a ，则关于a 的不等式()12log 30g a +<的解集是 。
2018年高考数学一轮复习感知高考刺金四百题：第351—355题(含答案解析)
感知高考刺金351题对任意实数11,2x y >>，不等式()()222241211x y a y a x +≥--恒成立，则实数a 的最大值为 ．解：令10,210m x n y =->=-> 则()()2222221142121448211m n x y m m n n m n y x n m n m n m+++++++=+=+≥+≥-- 当且仅当1m n ==，即2,1x y ==时取得等号。
故222min48211x y a y x ⎛⎫≤+= ⎪--⎝⎭，即a -≤点评：本题因为分母比较复杂不整洁，所以将分母进行换元是常见的方法。
感知高考刺金352题若向量,a b 满足2241a a b b ++= ，则2a b + 的最大值为 。
解：由极化恒等变形得 22222282a b a b a b ++-=+ ，22228a b a b a b +--= 故22222222128a b a b a b a b ++-+--+= 即225232188a b a b +-+= 即223288255a b a b -+=-≤ 故2a b +≤感知高考刺金353题已知函数()()20f x ax bx c a =++≠，且a b <。
()0f x ≥对x ∀∈R 恒成立，则24a b c M b a++=-的最小值为。
解法一：齐次化思想根据条件有0,0a >∆≤，则1b a <≤因此443324221c c a b c a b b a a ++++=+≥--12t >，则()()224434242182121a b c t t b a t t +++≥+=+-+≥--- 解法二：由题意可知240b ac ∆=-≤，即24ac b ≥()()222222424242a a b c a b c a ab ac a ab b M b a a b a ab a ab a ++++++++===≥---- 此时已经转成齐次式了，所以分子分母同除2a 则2222221414811a ab b t t M t ab a t t ++++≥==-++≥--- 当且仅当3b t a==及24ac b =时，即93,4a b a c ==时取得。
【配套K12】2018数学高考一轮复习刺金四百题：第21—25题(含答案解析)
感知高考刺金211． 已知函数是定义在R 上的偶函数，当0x ≥时，()()()2502161122xx x f x x ⎧≤≤⎪⎪=⎨⎛⎫⎪+> ⎪⎪⎝⎭⎩．若关于x 的方程()()20,,f x af x b a b ++=∈⎡⎤⎣⎦R ，有且仅有6个不同实数根，则实数a 的取值范围是 ．解：设()t f x =，问题等价于()20g t t at b =++=有两个实根12,t t ，12501,14t t <≤<<或1255,144t t =<<所以()()0091014504g g h a g ⎧⎪>⎪⎪≤⇒-<<-⎨⎪⎛⎫⎪> ⎪⎪⎝⎭⎩或()5124591024504a g h a g ⎧<-<⎪⎪⎪>⇒-<<-⎨⎪⎛⎫⎪= ⎪⎪⎝⎭⎩综上， 5924a -<<-或914a -<<-2．在24的展开式中，x 的幂的指数是整数的项共有 项．答案：5感知高考刺金221． 已知椭圆221:132x y C +=的左、右焦点为12,F F ，直线1l 过点1F 且垂直于椭圆的长轴，动直线2l 垂直于1l 于点P ，线段2PF 的垂直平分线与2l 的交点的轨迹为曲线2C ，若()()()11221,2,,,,A B x y C x y 是2C 上不同的点，且AB BC ⊥，则2y 的取值范围是 ． 解：由题意22:4C y x =设:(2)1AB l x m y =-+代入22:4C y x =，得()24840y my m -+-= 所以142y m =-，()()2144121x m m m =-+=- 设()21:(42)21BC l x y m m m =--++-代入22:4C y x =，得()2248164210y y m m m ⎡⎤+++--=⎢⎥⎣⎦所以122442y y m y m+=-+=-所以(][)2442,610,y m m=--+∈-∞-+∞2． 5人排成一排照相，要求甲不排在两端，不同的排法共有________种．(用数字作答) 答案：72感知高考刺金231． 数列{}n a 是公比为23-的等比数列，{}n b 是首项为12的等差数列．现已知99a b >且1010a b >，则以下结论中一定成立的是 ．（请填上所有正确选项的序号）①9100a a <；②100b >；③910b b >；④910a a >解：因为数列{}n a 是公比为23-的等比数列，所以该数列的奇数项与偶数项异号，即： 当10a >时，2120,0k k a a -><；当10a <时，2120,0k k a a -<>；所以9100a a <是正确的； 当10a >时，100a <，又1010a b >，所以100b <结合数列{}n b 是首项为12的等差数列，此时数列的公差0d <，数列{}n b 是递减的． 故知：910b b >当10a <时，90a <，又99a b >，所以90b <结合数列{}n b 是首项为12的等差数列，此时数列的公差0d <，数列{}n b 是递减的． 故知：910b b >综上可知，①③一定是成立的．2． 设5nx （的展开式的各项系数之和为M , 二项式系数之和为N ，若M -N ＝240, 则展开式中x 3的系数为 ． 答案：150感知高考刺金241． 已知集合(){}2,|21A x y y x b x ==++，()(){},|2B x y y a x b ==+，其中0,0a b <<，且AB 是单元素集合，则集合()()(){}22,|1x y x a y b -+-≤对应的图形的面积为 ．解：()()()2221221202y x bx x b a x ab y a x b ⎧=++⎪⇒+-+-=⎨=+⎪⎩ ()()2222241201b a ab a b ∆=---=⇒+=所以由2210,0a b a b ⎧+=⎪⎨<<⎪⎩得知，圆心(),a b 对应的是四分之一单位圆弧MPN （红色）．此时()()(){}22,|1x y x a y b -+-≤所对应的图形是以这四分之一圆弧MPN 上的点为圆心，以1为半径的圆面．从上到下运动的结果如图所示：是两个半圆（ABO 与ODE ）加上一个四分之一圆（AOEF ），即图中被绿实线包裹的部分。
【配套K12】2018数学高考一轮复习刺金四百题：第81—85题(含答案解析)
感知高考刺金811．在平面直角坐标系xoy 中，直线2y x =-+与圆()2220x y r r +=>交于,A B 两点，O 为坐标原点，若圆上有一个C 满足5344OC OA OB =+，则r = 。
解法一：将5344OC OA OB =+两边平方，得222225915cos 16168r r r r AOB =++∠， 3cos 5AOB ∠=-又圆心到直线2y x =-+的距离为d =所以cos2AOB ∠= 所以223215r ⋅-=-，所以r =解法二：由5344OC OA OB =+得53288OC OA OB =+ 设OC 与AB 交于点M ，则,,A M B 三点共线。
,22CO r AO BO r OM ====，且35AM BM = 所以利用cos cos AMO BMO ∠=-∠得,AM BM ==所以AB =过O 作AB 的垂线交AB 于D，根据圆心到直线的距离为OD =222r +=⎝⎭解得r 2．从1，2，3，4，5五个数中随机地依次选取三个不同的数，则所取的三个数按照挑选的顺序排列恰能构成等差数列的概率是 ． 解：358215A =感知高考刺金821．已知()y f x =是定义在[]2,2-上的奇函数，当(]0,2x ∈时，()21x f x =-，函数()22g x x x m =-+，如果对于[][]122,2,2,2x x ∀∈-∃∈-，使得()()21g x f x =，则实数m 的取值范围是 。
解：()[]3,3f x ∈-，()[]1,8g x m m ∈-+若对于[][]122,2,2,2x x ∀∈-∃∈-，使得()()21g x f x =，只需()f x 的值域包含于()g x 的值域即可。
即8313m m +≥⎧⎨-≤-⎩，解得52m -≤≤-2．在同一层楼有一排8间会议室，现要安排4个不同学科的研讨会在这8间研讨室，要求任意两个研讨会不相邻的安排方法有 种．解：45120A =感知高考刺金831．在平行四边形ABCD 中，BH CD ⊥于H ，BH 交AC 于点E ，若3BE =，215AB AC AE AC BE CB AE -+-=，则AE EC= 。
推荐学习K122018数学高考一轮复习刺金四百题：第31—35题(含答案解析)
感知高考刺金311． 设函数()22f x x x a =++，若函数()()()f f x f x =有且只有3个实根，则实数a 的取值范围是 ．解：令()f x t =，则20t t a ++=有两个不等实根12,t t ，则12121401a t t t t a ->⎧⎪+=-⎨⎪=⎩令()22g x x x =+，若使函数()()()f f x f x =有且只有3个实根，只需使()22g x x x =+的图象与直线12,y t a y t a =-=-恰有三个公共点，所以必有一条直线经过()22g x x x =+的顶点．不妨设11t a -=-而21t a ->-故有11t a =-，2t a =-所以()()121t t a a a =--=，所以0a =2．某市春节晚会原定10个节目，导演最后决定添加3个新节目，但是新节目不排在第一个也不排在最后一个，并且已经排好的10个节目的相对顺序不变，则该晚会的节目单的编排总数为 种．答案：990感知高考刺金321． 若函数()21f x x ax a =--在区间12,2⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上单调递增，那么实数a 的取值范围是 ． 解：这是1y u=，2u x ax a =--函数复合， 2u x ax a =--在12,2⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上递减且恒正（或恒负） 212211211022a a a a ⎧≥-⎪⎪⇒-≤<⎨⎛⎫⎛⎫⎪--⋅--> ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎩或()()2122220a a a ⎧≥-⎪⇒∅⎨⎪--⋅--<⎩ 2． 若二项式23n x ⎛ ⎝*()n N ∈展开式中含有常数项，则n 的最小取值是 ．答案：7感知高考刺金331．已知函数y =的定义域为A ，函数()2lg 43y kx x k =+++的定义域为B ，当B A ⊆时，实数k 的取值范围是 ． 解：[]2,3A =-2430kx x k +++>的解集为B ，又B A ⊆，所以必有()2443035504210150k k k k k ⎧-+>⎪⎪-≤⇒-<≤-⎨⎪+≤⎪⎩这里要注意函数的定义域不能为空．2．（2011年浙江高考9）有5本不同的书，其中语文书2本，数学书2本，物理书1本，将其随机地并排摆放到书架的同一层上，则同一科目的书都不相邻的情况有_________种（用数字作答）．解法一：设书为1212A A B B C ，位置为12345位若C 在最左1号位或最右5号位，则剩下四本书有ABAB or BABA 形式，共有22222216A A ⨯⨯⨯=若C 在2号位或4号位，则剩下四本书有ABAB or BABA 形式，共有22222216A A ⨯⨯⨯= 若C 在3号位，则有2222416A A ⨯⨯= 所以共有48种．解法二：分步完成，第一步先11A B C 三本书全排列，共33A 种第二步，将22,A B 插入，分两类．一类为无ABA 型，则有236⨯=种插法一类为有ABA 型，则有212⨯=种插法所以共有()332648A +=种解法三：52222235223223248A A A A A A A -⨯-=感知高考刺金341． 已知O 以AB 为直径，半径为2，点,O M 都在线段AB 上，2,1AO BM ==，过M 作互相垂直的弦GE 和FD ，则GE FD ⋅的取值范围是 ．解法一：如图所示，设0,2EMA παα⎛⎫⎡⎤∠=∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭，则2DMA πα∠=- sin ON α=，cos OP α=所以GE FD ⋅=令[]2sin 0,1t α=∈，则GE FD ⎡⎤⋅==⎣⎦解法二：GE FD ⋅=2221ON OP OM +==所以GE FD ⋅=又[]0,1ON ∈，所以GE FD ⎡⎤⋅∈⎣⎦2．已知展开式()()33222120121266x x x x a a x a x a x --+-=++++，则159a a a ++= ． 解：()()()3332242661336x x x x x x --+-=-+ 打开后没有奇次项，所以159a a a ++=0感知高考刺金351． 已知函数()224,04,0x x x f x x x x ⎧+≥⎪=⎨-+<⎪⎩，且0,0,0a b b c c a +>+>+>，则()()()f a f b f c ++的值（） A ． 恒为正 B ．恒为负 C ．恒为0D ．无法确定解：易判断()f x 是奇函数，且在R 上单调递增的函数由0,0,0a b b c c a +>+>+>可得,,a b b c c a >->->-所以()(),()(),()()f a f b f b f c f c f a >->->-所以()()0,()()0,()()0f a f b f b f c f c f a +>+>+>所以()()()0f a f b f c ++>2．如图所示是2008年北京奥运会的会徽，其中的“中国印”主体由四个互不连通的色块构成，可以用线段在不穿越其他色块的条件下将其中任意两个色块连接起来（如同架桥），如果用三条线段将这四个色块连接起来，不同的连接方法共有 种．解法一：考虑A、B、C、D四块区域，三条线连结共有两类第一类，一块区域和三块区域连结，共有144C=种第二类，四块区域依次连结，即ABCD全排列，但注意ABCD与DCBA是同一种情况，所以共有44122A=种综上，共有16种．解法二：把问题抽象为正方形四个顶点之间连线共有6条任取其中的三条将四个点连结，只需除去构成三角形的三条连线即可．故有36416C-=。
配套K122018数学高考一轮复习刺金四百题：第51—55题(含答案解析)
感知高考刺金511． 已知点()(),00F c c ->是双曲线22221x y a b-=的左焦点，过F 且平行于双曲线渐近线的直线与圆222x y c +=交于点P ，且点P 在抛物线24y cx =上，则该双曲线的离心率是（ ）ABCD解：由()222b y x c a x y c⎧=+⎪⎨⎪+=⎩得222a b x c ab y c ⎧-=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或0x c y =-⎧⎨=⎩ 所以222,a b ab cc ⎛⎫- ⎪⎝⎭在24y cx =上，所以4210e e --=，解得e =2．5名同学去听同时进行的4个课外知识讲座，每名同学可自由选择听其中的1个讲座，不同选法的种数是 ． 答案：54（或1024）感知高考刺金521． 过椭圆22194x y +=上一点M 作圆222x y +=的两条切线，点,A B 为切点，过,A B 的直线l 与x 轴，y 轴分别交于,P Q 两点，则POQ ∆的面积的最小值为 ．解：设()00,M x y ，则直线l 的方程为0020x x y y +-=，所以直线l 与x 轴，y 轴分别交于点,P Q 的坐标为0022,0,0,x y ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭而2200001943x y x y +=≥，所以003x y ≤ 所以00223POQ S x y ∆=≥2．已知等式232421401214(1)(12)x x x a a x a x a x +-⋅-=++++成立，则123a a a +++1314a a ++的值等于 ．答案：0感知高考刺金531．已知两定点()2,0A -和()2,0B ，动点(),P x y 在直线:3l y x =+上移动，椭圆C 以,A B 为焦点且经过点P ，则椭圆C 的离心率的最大值为 ． 解：由于2c =确定，所以离心率最大就是a 最小．所以问题等价于在直线:3l y x =+上确定点P ，使PA PB +取得最小值． 结合对称性可得，点A 关于直线l 的对称点为()3,1M - 所以()min PA PB BM +==所以max e ==2．正五边形ABCDE 中，若把顶点A 、B 、C 、D 、E 染上红、黄、绿、三种颜色中的一种，使得相邻顶点所染颜色不相同，则不同的染色方法共有 种 ． 答案：30感知高考刺金541．已知数列{}n a 和{}n b 中，1a a =，{}n b 是公比为23的等比数列．记()2*1n n n a b n a -=∈-N ，若不等式1n n a a +>对一切*n ∈N 恒成立，则实数a 的取值范围是 ．解：因为()2*1n n n a b n a -=∈-N ，所以21n n n b a b -=-，所以()()()11111112211302111111113n n n n n n n n n n n n n n n b b b b b a a b b b b b b b b ++++++-----=-=-==<------⎛⎫-- ⎪⎝⎭解得3012n n b or b ><< 若32n b >，则112332n b -⎛⎫> ⎪⎝⎭，即12312na b a -⎛⎫=> ⎪-⎝⎭对一切正整数n 成立，显然不成立 若01n b <<，则112013n b -⎛⎫<< ⎪⎝⎭对一切正整数n 成立，只要101b <<即可，即2011a a -<<- 解得2a >2． 已知2223401234(1)x x a a x a x a x a x -+=++++，则1234a a a a +++＝_____；1a =______． 答案：0，－2感知高考刺金551．方程1169x x y y +=-的曲线即为函数()y f x =的图象，对于函数()y f x =，有如下结论：①()f x 在R 上单调递减；②函数()4()3F x f x x =+不存在零点；③函数()y f x =的值域是R ；④()f x 的图象不经过第一象限，其中正确的个数是 ． 解：由1169x x y y +=-知，,x y 不能同时大于0，分类讨论：当0,0x y <≥时，221169x y -=表示双曲线的一部分当0,0x y <<时，221169x y +=表示椭圆的一部分当0,0x y ≥<时，221916y x -=表示双曲线的一部分作出图象可知①③④正确对于②的判断：由于34y x =-是双曲线221169x y -=和221916y x -=的渐近线，所以结合图象可知曲线()y f x =与直线34y x =-没有交点，则()()430F x f x x =+=不存在零点．2．若x ∈A 则1x ∈A ，就称A 是伙伴关系集合，集合M={－1，0，13，12，1，2，3，4}的所有非空子集中，具有伙伴关系的集合的个数为 ．答案：A 具有伙伴关系的元素组有－1，1，12、2，13、3共四组，它们中任一组、二组、三组、四组均可组成非空伙伴关系集合，个数为C 14+ C 24+ C 34+ C 44=15．。
2018年高考数学一轮复习感知高考刺金四百题：第301—305题(含答案解析)
感知高考刺金301已知正数,x y 满足()()11124x y y x y x+=++，则xy 的最大值为 ．解：()()112424x yxy xy x y y x y x x y x y⎡⎤=+=+⎢⎥++++⎣⎦ 解法一：令2,4x y u x y v +=+=，得42,77u v v ux y --== 则426142477777x y u v v u v u x y x y u v u v --⎛⎫+=+=-+≤ ⎪++⎝⎭当且仅当u v =，即3x y =时取得等号。
解法二：112424x y y x x y x y x y+=+++++令y t x =，则()2222115149211161442122414924924t t t t t t t t t t t t t t+++++++=+==++++++++ 令15142t m +=，则4215m t -=原式2211444242424249249215151515m mm m m m =+=+----⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭2122512251941964644761964428764476m m m m m=+=+≤+=++++ 当且仅当74m =，即13t =时取得等号感知高考刺金302设函数()()()()()010111(),222xnn n f x f x f x f x f x n n N -==-=-≥∈，则方程()()12n f x n n =+有 个实数根．解：令1()()2n g n n =+，问题化为观察)(x f n 与)(n g 图像的交点有几个．由于)(0x f 是偶函数，故)(x f n 是偶函数，只要考虑 0x ≥时的交点个数．n =1时，)(1x f 的图像是把)(0x f 的图像下移12， 再把x 轴下的图像往上翻而得，1max 1()2f x =，有1个零点， 以零点为界，)(1x f 呈“减增”状态，最后趋于12，如图1，有2个交点；n =2时，)(2x f 的图像是把)(1x f 的图像下移212⎛⎫⎪⎝⎭，再把x 轴下的图像往上翻而得，2max 21()2f x =，有2个零点，以2个零点为界，)(2x f 呈“减增减增”状态，最后趋于212⎛⎫⎪⎝⎭，如图2，有22个交点；……n = n ≥2时，max 11()()()()22n n n f x g n n =>=+，且有12n -个零点以12n -个零点为界，)(x f n 呈“减增减增…减增”状态，最后趋于12n⎛⎫⎪⎝⎭，故)(x f n 的每1个零点都对应产生2个两函数图像的交点，∴有1222n n -⋅=个交点，再由对称性知x <0时，也有2n 个交点，故共有12n +个交点，从而原方程有12n +个实根感知高考刺金303已知数列{}n a 满足1234n n n a a a ++=+*()n ∈N ．设*( n n n a b n a λλμμ-=∈-N , , 为均不等于2的且互不相等的常数，若数列{}n b 为等比数列，则λμ的值为 ．解：1112334222323424n n n n n n n n n a a a b a a a a λλλλλμμμμμ++++⎡⎤--+⎢⎥---===⎢⎥-+--⎢⎥+--⎢⎥+⎣⎦因为数列{}n b 为等比数列，所以342λλλ--=-，342μμμ--=-，且公比为22λμ--，故λμ,为方程342x x x--=-的两不等实根，从而3λμ=-．感知高考刺金304已知22()9,f x x x kx =-++若关于x 的方程()0f x =在()0,4上有两个实数解，则k 的取值范围是 .解：()0f x =可以转化为22|9|x x kx -+=-，记22()|9|g x x x =-+，则()0f x =在()0,4上有两个实数解，可以转化为函数2229,03()929,34x g x x x x x <≤⎧=-+=⎨-<<⎩与()h x kx =-的图象，结合图像和特殊点(3,9),(4,23)A B 可知23(,3)4k ∈--感知高考刺金305已知向量a ，b ，c 满足++=0a b c ，且a 与b 的夹角的正切为12-，b 与c 的夹角的正切为13-，2=b ，则⋅a c 的值为 ． 解：易得1123tan tan()1 11123C A B +=-+==-⨯-，sin sin sin A B C ===从而2 ===由得，a c ac 45⋅=则 a c 评注：这个题要注意向量的夹角是共起点的，所以要特别留意取本身还是补角。
2018年高考数学一轮复习感知高考刺金四百题：第1—5题(含答案解析)
感知高考刺金11．已知P 是ABC ∆内任一点,且满足AP xAB y AC =+,x 、y R ∈,则2y x +的取值范围是 ___ ． 解法一：令1x y AQ AP AB AC x y x y x y ==++++,由系数和1x y x y x y+=++,知点Q 在线段BC 上．从而1APx y AQ +=<．由x 、y 满足条件0,0,1,x y x y >>⎧⎨+<⎩易知2(0,2)y x +∈． 解法二：因为题目没有特别说明ABC ∆是什么三角形,所以不妨设为等腰直角三角形,则立刻变为线性规划问题了．2．在平面直角坐标系中,x 轴正半轴上有5个点, y 轴正半轴有3个点,将x 轴上这5个点和y 轴上这3个点连成15条线段,这15条线段在第一象限内的交点最多有 个．答案：30个感知高考刺金21．定义函数()[[]]f x x x =,其中[]x 表示不超过x 的最大整数,如:[1.5]1[ 1.3]2=-=-，,当*[0)()x n n N ∈∈，时,设函数()f x 的值域为A ,记集合A 中的元素个数为n a ,则式子90n a n+的最小值为 ． 【答案】13．【解析】当[)0,1n ∈时,[]0x x ⎡⎤=⎣⎦,其间有1个整数； 当[),1n i i ∈+,1,2,,1i n =-时,[]2(1)i x x i i ⎡⎤≤<+⎣⎦,其间有i 个正整数,故 (1)112(1)12n n n a n -=++++-=+,9091122na n n n +=+-, 由912n n=得,当13n =或14时,取得最小值13． 2． 有七名同学站成一排照毕业纪念照,其中甲必须站在正中间,并且乙、丙两倍同学要站在一起,则不同的站法有 种．答案：192种感知高考刺金31．已知直线l ⊥平面α,垂足为O ．在矩形ABCD 中,1AD =,2AB =,若点A 在l 上移动,点B 在平面α上移动,则O ,D 两点间的最大距离为 ．解：设AB 的中点为E ,则E 点的轨迹是球面的一部分,1OE =,DE所以1OD OE ED ≤+=当且仅当,,O E D 三点共线时等号成立．2． 将Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ四个球放入编号为1,2,3的三个盒子中,每个盒子中至少放一个球且Ａ、Ｂ两个球不能放在同一盒子中,则不同的放法有 种．答案：30种感知高考刺金41． 在平面直角坐标系xOy 中,设定点(),A a a ,P 是函数()10y x x=>图象上一动点．若点,P A之间的最短距离为则满足条件的实数a 的所有值为 ． 解：函数解析式（含参数）求最值问题()222222211112222AP x a a x a x a x a a x x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-=+-++-=+-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 因为0x >,则12x x+≥,分两种情况： （1）当2a ≥时,min AP =,则a（2）当2a <时,min AP =则1a =-2． 将5名实习教师分配到高一年级的3个班实习,每班至少1名,最多2名,则不同的分配方案有 种．答案：90种感知高考刺金51．已知,x y ∈R ,则()222x y x y ⎛⎫++- ⎪⎝⎭的最小值为 ．解： 构造函数1y x =,22y x=-,则(),x x 与2,y y ⎛⎫- ⎪⎝⎭两点分别在两个函数图象上,故所求看成两点(),x x 与2,y y ⎛⎫- ⎪⎝⎭之间的距离平方, 令222080222y x m x mx m m y x =+⎧⎪⇒++=⇒∆=-=⇒=⎨=-⎪⎩,所以y x =+1y x =平行的22y x =-的切线,故最小距离为2d =所以()222x y x y ⎛⎫++- ⎪⎝⎭的最小值为4 2． 某单位要邀请10位教师中的6人参加一个研讨会,其中甲、乙两位教师不能同时参加,则邀请的不同方法有 种．答案：140种。
2018年高考数学复习感知高考刺金四百题：第356—360题(含答案解析)高考
感知高考刺金356题已知实数,x y 满足关系式1xy x y --=，则22x y +的最小值是 ． 解法一：题干中出现的全是两数的和、平方和与乘积，所以考虑用均值不等式链条。
()()()2222221223x y x y xy xy xy xy +=+-=--=--由()()()2224146103x y xy xy xy xy xy xy +≥⇒-≥⇒-+≥⇒≥+或3xy ≤-所以()()2222233236x y xy +=--≥--=-点评：这里注意因为题干中没有告诉我们,x y 的正负性，所以不能直接用1x y xy +=-≥xy 的取值范围，所以改为用重要不等式来222a b ab +≥来做。
虽然答案正好一样，但做法要注意。
解法二：遇到xy 结构，所以用代数的极化恒等式变形。
令,x a b y a b =+=-，则问题转变为已知22210a b a ---=，求()222a b +的最小值。
因为()2222442a b a a +=-- 所以还需要计算定义域，即2221011b a a a a =--≥⇒≤≥所以()(2min 44216a a f --==-解法三：设,1x y a xy a +==+，则,x y 视为210z az a -++=的两根所以2440a a ∆=--≥所以2a ≥+或2a ≤-()()22222222136x y x y xy a a a +=+-=--=--≥-当且仅当2a =-时取得最小值。
感知高考刺金357题已知点P 为圆1O 与圆2O 的公共点，圆()()2221:1O x a y b b -+-=+，圆()()2222:1O x c y d d -+-=+，若8ac =，a c b d =，则点P 与直线:34250l x y --=上任意一点M 之间的距离的最小值为 ．解：设(),P m n ，1ac bd k==，则b ak =，d ck = 所以()()22221m a n ka k a -+-=+，即()2222210a m kn a m n -+++-=同理()2222210c m kn c m n -+++-=所以,a c 是方程()2222210x m kn x m n -+++-=的两个实根所以2218ac m n =+-=所以点P 的轨迹方程为229x y +=所以点P 到直线:34250l x y --=的最短距离为min 532PM =-=感知高考刺金358题已知向量,a b 满足23a b += ，22a b -= ，则a b 的取值范围是 ．解：（一）几何角度由()223a b a b +=--= 和12b a -= 可以画图，找到向量模长的几何意义。
2018年高考数学一轮复习感知高考刺金四百题：第311315
感知高考刺金311已知共有()*k k ∈N 项的数列{}n a ，12a =，定义向量1(,)n n n c a a += 、(,1)n d n n =+ ()1,2,,1n k =- ，若n n c d = ，则满足条件的数列}{n a 的个数有（ ）个A. 2B. kC. 12-kD. ()122k k -解： n n c d = ⇒22221(1)n n a a n n ++=++⇒22221(1)()n n a n a n +-+=--，∵031221≠=-a , ∴22122(1)1n n a n a n +-+=--⇒22{}n a n -为等比数列， ∴122)1(3--=-n n n a ⇒122)1(3--+=n n n a∵2n ≥时，24n ≥，∴0)1(312>-+-n n ，故当2n ≥时，n n n a )1(32-+±=，即始终有两种选择，∴{}n a 有12-k 个感知高考刺金312 若方程[][]22221,1,5,2,4x y a b a b+=∈∈表示焦点在x 轴上且离心的椭圆，则z a b =+的最小值为 ． 解：方程22221x y a b +=表示焦点在x时，有22a b c e a ⎧>⎪⎨==<⎪⎩，即22224a b a b ⎧>⎨<⎩，化简得2a b a b >⎧⎨<⎩， 又[1,5]a ∈，[2,4]b ∈，画出满足不等式组的平面区域，如右图阴影部分所示，令z a b =+，平移直线b a z =-+，当过(2,2)时，min 4Z =感知高考刺金313已知四数a 1，a 2，a 3，a 4依次成等比数列，且公比q 不为1．将此数列删去一个数后得到的数列（按原来的顺序）是等差数列， 则正数q 的取值集合是 ．解：因为公比q 不为1，所以不能删去a 1，a 4．设{}n a 的公差为d ，则① 若删去a 2，则由2a 3＝a 1＋a 4得2a 1q 2＝a 1＋a 1q 3，即2321q q =+，整理得q 2(q －1)＝(q －1)(q ＋1)．又q ≠1，则可得21q q =+，又q ＞0解得q = ② 若删去a 3，则由2a 2＝a 1＋a 4得2a 1q ＝a 1＋a 1q 3，即2q ＝1＋q 3，整理得q (q －1)(q ＋1)＝q －1．又q ≠1，则可得q (q ＋1)＝1，又q ＞0解得q =．综上所述，q = 感知高考刺金314如图，梯形ABCD 中，AB //CD ，AB ＝6，AD ＝DC ＝2，若12AC BD =- ，则AD BC = ．解：转基底，以,AB AD 为基底，则13AC AD AB =+ ，BD AD AB =- 则222148cos 121233AC BD AD AB AD AB BAD =--=-∠-=- 所以1cos 2BAD ∠=，则∠BAD ＝60o ， 则()()222440AD BC AD AC AB AD AD AB AD AB AD =-=-=-=-= 点评：本题主要考查平面向量的数量积，体现化归转化思想．另本题还可通过建立平面直角坐标系将向量“坐标化”来解决．向量问题突出基底法和坐标法，但要关注基底的选择与坐标系位置选择的合理性，两种方法之间的选择．感知高考刺金315数列{}n a 是等差数列，数列{}n b 满足()12*n n n n b a a a n ++=∈N ，设n S 为{}n b 的前n 项和．若125308a a =>，则当n S 取得最大值时n 的值等于___________． 解：设{}n a 的公差为d ，由125308a a =>得 176,05a d d =->，所以815n a n d ⎛⎫=- ⎪⎝⎭， 从而可知1≤n ≤16时，0n a >， n ≥17时，0n a <．从而b1＞b2＞…＞b14＞0＞b17＞b18＞…，b15＝a15a16a17＜0，b16＝a16a17a18＞0，故S14＞S13＞……＞S1，S14＞S15，S15＜S16．因为1560 5a d=->，1890 5a d=<，所以15186930 555a a d d d+=-+=<，所以b15＋b16＝a16a17(a15＋a18)＞0，所以S16＞S14，故S n中S16最大．点评：利用等差数列及等差数列的基本性质是解题基本策略．此题借助了求等差数列前n项和最值的方法，所以在关注方法时，也要关注形成方法的过程和数学思想．。
【配套K12】2018数学高考一轮复习刺金四百题：第326—330题(含答案解析)
感知高考刺金326在△ABC 中，已知BC = 4，AC = 3，cos (A - B ) =34，则△ABC 的面积为 ． 解：在角A 中作出A - B ，即在BC 上取一点D ，使DB = DA ，设DB = x ，则DC = 4 - x ．在△ACD 中，cos ∠CAD = cos (A - B ) = 34， ∴223(4)9234x x x -=+-⨯⨯⨯，得x = 2．则DA = DC = DB ，∠BAC = 90︒，AB = △ABC． 感知高考刺金327若ABC ∆的外接圆是半径为1的圆O ，且120AOB ∠=，则AC CB 的取值范围是 。
解法一：AC CB CA CB =-是同一个C点出发的两个向量作点积，且终点连线AB =222344AB AC CB CA CB CD CD =-=-+=-（其中D 为AB 中点）点C 在圆上运动，故R OD CD R OD -≤≤+，即1322CD ≤≤故31,22AC CB ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦ 又C 不与,A B 重合，所以0AC CB ≠，所以31,00,22AC CB ⎡⎫⎛⎤∈-⎪⎢⎥⎣⎭⎝⎦ 解法二：如图建系设点。
()1,0A ，12B ⎛-⎝⎭，()cos ,sin C θθ ()1cos 1cos sin sin 2111cos sin 2262AC CB θθθθπθθθ⎫⎛⎫=---+⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫=+-=+- ⎪⎝⎭因为202,0,3πθπθ≤≤≠，所以31,00,22AC CB ⎡⎫⎛⎤∈-⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦ 解法三：基底角度，一问三不知转基底()()()111cos 222AC CB OC OA OB OC OC OA OB OC OD θ=--=+-=-=-由于C 不与,A B 重合，所以31,00,22AC CB ⎡⎫⎛⎤∈-⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦感知高考刺金328如图，点,,A B C 是以O 为圆心，1为半径的圆O 上任意三点，则AC BC 的最小值是 。
【配套K12】2018数学高考一轮复习刺金四百题：第366—370题(含答案解析)
感知高考刺金366题已知点,A B 是双曲线22122x y -=右支上两个不同的动点，O 为坐标原点，则OA OB 的最小值为 ． 解法一：韦达定理当AB k 存在时，设:AB l y kx b =+()222221122022x y k x kbx b y kx b⎧-=⎪⇒----=⎨⎪=+⎩212122222,11kb b x x x x k k ++==-- ()()()()221212*********OA OB x x y y x x kx b kx b k x x kb x x b =+=+++=++++()2222222222222241221111b k b k k b k k k k ++=+++==+>----当AB k 不存在是，222x y x m⎧-=⎨=⎩，则22121222OA OB x x y y m m =+=+-=综上，2OA OB ≥解法二：由于,A B 两点运动，故采取“一定一动”的原则，不妨先在B 点确定的情况下，让A 点运动到最小值，然后再让B 点运动，即取最小值的最小值。
如图，不妨设直线():0OB y kx k =<由22122x y y kx⎧-=⎪⎨⎪=⎩，可得2221B x k =-，22221B k y k =-故OB =显然点A 运动到，在点A 处的双曲线的切线（即AC ）与OB 垂直时，此时OA 在OB 上的投影达到最小值 此时切线AC的方程为0x ky +=故OA 在OB 上的投影等于点O 到直线AC故22OA OB OC OB=⋅=解法三：设()()1122,,,A x y B x y121212*********OA OB x x yy x x x xx x x x x x =+≥≤--又因为1x ≥2x ≥122x x ≥ 所以()121222OA OB x x x x ≥--= 解法四：设()()1122,,,A x y B x y22112x y -=，22222x y -=两式相乘得()()222211224x y xy --=即22222222121212124x x y y x y x y +=++ 等式两边同时加上12122x x y y ，得()()221212121244x x y y x y y x +=++≥ 故12122OA OB x x y y =+≥ 解法五：三角换元 设)Aαα，)Bββ所以22sin sin 1sin sin 2cos cos cos cos cos cos OA OB αβαβαβαβαβ+=+=⋅()22221sin sin 1sin sin 1sin sin 1sin sin 24442cos cos cos cos 22sin sin 2sin sin OA OB αβαβαβαβαβαβαβαβ++++=⋅≥⋅=⋅≥⋅=++-+解法六：前同解法五，令1sin sin cos cos y αβαβ+=，则cos cos sin sin 1y βαβα-=()1αϕ+= 1即222cos sin 1y ββ+≥故21y ≥，又因为0y ≥，所以1y ≥，22OA OB y =≥感知高考刺金367题设关于x 的方程210x ax --=和220x x a --=的实根分别为12,x x 和34,x x ，若1324x x x x <<<，则a 的取值范围是 ．解：2110x ax a x x--=⇒=- 22202x xx x a a ---=⇒=在同一个坐标系中画出1y x x=-和22x x y -=的图象如图所示由212x x x x --=，化简得32320x x -+=显然有根1x =，故可因式分解为()()3221331220x x x x x --+=---=解得1x =或1x =或1x =当1x =y =；当1x =y =由图可知，0a <<感知高考刺金368题设,a b ∈R ，关于x 的方程()()22110x ax x bx -+-+=的四个实根构成以q 为公比的等比数列，若1,23q ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则ab 的取值范围是 ．解：设等比数列为23,,,m mq mq mq ，从而有231m q =由题意知()()()()3223221111ab m mq mq mq m q q q q q qq =++=++=+++2112q q q q ⎛⎫⎛⎫=+++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭令1102,3q t q ⎡⎤+=∈⎢⎥⎣⎦，故22ab t t =+-在102,3t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上单调递增，故1124,9ab ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦感知高考刺金369题已知12,F F 是椭圆与双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且123F PF π∠=，则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为 ．解法一：设椭圆的半长轴长，半短轴长，离心率为111,,a b e ，双曲线的半长轴长，半短轴长，离心率为222,,a b e ，共同的半焦距为c则12112222PF PF a PF PF a ⎧+=⎪⎨-=⎪⎩，则112212PF a a PF a a ⎧=+⎪⎨=-⎪⎩在12PF F ∆中应用余弦定理得()()()()222121212124122a a a a ca a a a ++--=+-化简得2221234a a c +=，即2212134e e +=，问题要求1211e e +的取值范围。
【配套K12】2018数学高考一轮复习刺金四百题：第86—90题(含答案解析)
感知高考刺金861．若对任意的[]0,5x ∈，不等式1145m n x x +≤+恒成立，则m 的最大值为 ，n 的最小值为 。
解：当0x =时，1145m nx x +≤≤+恒成立，此时,m n ∈R 当(]0,5x ∈时，1114545m n m nx x x +≤≤+⇔≤≤45m n ⇔≤≤45m n⇔≤ 令()f x =，则()f x 在(]0,5x ∈时单调递增，所以()11,815f x ⎛⎤∈-- ⎥⎝⎦所以11,48515m n ≤-≥-，即11,23m n ≤-≥- 2．某商场开展促销抽奖活动，摇出的中奖号码是8，2，5，3，7，1，参加抽奖的每位顾 客从0～9这10个号码中任意抽出六个组成一组，若顾客抽出的六个号码中至少有5 个与摇出的号码相同（不计顺序）即可得奖，则中奖的概率是 。
解：542感知高考刺金871．若I 是椭圆()222210x y a b a b+=>>焦点三角形12PF F ∆的内心，12PF F ∆的角平分线交12F F 于M ，则PI IM= 。
解法一：设12,PF m PF n ==，则2m n a += 又12PF F ∆的角平分线交12F F 于M ，所以1212PF PF F MF M=所以11211222PF PF PF a aF MF M F Mc c+===+因为1F I 也是12PF F ∠的角平分线，所以11PI PF a IMF Mc==解法二：特殊情况法：因为题干里没有说是哪个焦点三角形，但却要求求定值，所以选取上顶点作为P ，则内心在y 轴上，设()0,I r ，则由()1122222S c b a c r ∆=⋅⋅=+ 得bcr a c=+，所以1PI b r a c a IM r c c -+==-=2．某中学的一个研究性学习小组共有10名同学，其中男生x 名（3≤x ≤9），现从中选出 3人参加一项调查活动，若至少有一名女生去参加的概率为()f x ，则()max f x = 。
配套K122018数学高考一轮复习刺金四百题：第256—260题(含答案解析)
感知高考刺金256题已知非零向量a 和b 互相垂直，则a b +和2a b +的夹角余弦值的最小值是 ．解：()()2222222cos24a b a ba b a b ab a b θ++==+⋅+++令22,a x b y ==，则cos θ=感知高考刺金257题已知正数,a b 满足1910a b a b +++=，则a b +的取值范围是 ． 解：设a b t +=，则1910t a b +=-又因为()1991916b a a b a b a b ⎛⎫++=+++≥ ⎪⎝⎭即()1016tt -≥，解得28t ≤≤当且仅当13,22a b ==时，2a b +=；当且仅当2,6a b ==时，8a b +=感知高考刺金258题已知实数,0x y >，若22x y +，则3x y +的最小值是 ． 解法一：待定系数法1,02y x λλλ⎛⎫+> ⎪⎝⎭ 1122212222y x y x y x x y λλλλ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++=+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭待定系数法，令11:21:322λλ⎛⎫⎛⎫++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得13λ= 故1237x y +≥，当且仅当91,77x y ==时取得解法二：()()()(32321321x y x y x y x y λλλλλ+-=+---+-令10=，即76λ=时，1237x y +≥，当且仅当91,77x y ==时取得 解法三：三角换元设a b =2222a ab b ++=，求223a b +的最小值令cos a r θ=，b θ=，0,2πθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，0r >，2223a b r += 故问题又转化为已知222222cos sin sin cos 23r r θθθθ+=，求2r 的最小值 于是2222261cos sin cos sin 23536r πθθθθθ⎛⎫=+=++ ⎪⎝⎭ 因为0,2πθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，故2212,37r ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦评注：这里又遇到)22a +的结构，故可三角换元设cos a r θ=，b θ=，10月1日每日征解有相同的处理方法。
[推荐学习]2018数学高考一轮复习刺金四百题：第331—335题(含答案解析)
![[推荐学习]2018数学高考一轮复习刺金四百题：第331—335题(含答案解析)](https://img.taocdn.com/s3/m/19371432c5da50e2524d7f88.png)
感知高考刺金331设1OM e =，2ON e =是夹角为60的两个单位向量，若(),OP xOM yON x y =+∈R ，PM N ∆是以M 为直角顶点的直角三角形，则x y -= 。
解法一：12OP xe ye =+，()121MP x e ye =-+，12MN e e =-+ 因为0MN MP =，()()()()()()221212121211111111022x e ye e e x e ye x y e e x y x y x y ⎡⎤-+-+=-++--=-++--=-+=⎣⎦即1x y -=解法二：反向延长ON 到OQ ，使1OQ = ()(),OP xOM yON xOM y OQ x y =+=+-∈R因为1ON OM OQ ===，故由中线等于斜边的一半可得NMQ ∆是直角三角形，即90NMQ ∠=，因为90NMP ∠=，所以,,P M Q 三点共线，故1x y -=感知高考刺金332已知224x y +=，则x y xy +-的最大值是_______。
解法一：令x y m +=，xy n =，则(2122n m m =--≤，目标函数为x y xy m n +-=-画出(),m n 点所在的可行域如图为抛物线一部分上的点，如图，目标函数n m z =-与2122n m =-相切时max 502z ∆=⇒=当且仅当31,2m n ==-，即x y ==时取得 解法二：令x y m +=，xy n =，则224n m =-，所以()22415512222m x y xy m n m m -+-=-=-=--+≤ 解法三：三角换元，2cos ,2sin x y θθ==，则2sin 2cos 4sin cos x y xy θθθθ+-=+-，令sin cos t θθ⎡+=∈⎣，21sin cos 2t θθ-= 故()221552212222x y xy t t t ⎛⎫+-=--=--+≤ ⎪⎝⎭解法四：令x u v =+， y u v =-，则222u v +=则()()222155222222x y xy u u v u v u u v u ⎛⎫+-=-+-=-+=--+≤ ⎪⎝⎭，点评：本方法用的是不等式中的“极化恒等式”思想，即()()224x y x y xy +--=。
【配套K12】2018数学高考一轮复习刺金四百题：第376—380题(含答案解析)
感知高考刺金376题设函数()3,f x x a a a x=--+∈R ，若关于x 的方程()2f x =有且仅有三个不同的实数根，且它们成等差数列，则实数a 的取值构成的集合是 ． 解：3322x a a x a a x x--+=⇒-+=+ 方程的根有且仅有三个，即左右两个函数的交点有且仅有三个， 故考查函数1,2,x x a y x a a a x x a≥⎧=-+=⎨-<⎩与232y x =+的图象 这里要注意1y x a a =-+的图象虽然随着a 的变化在移动，但是有规律的移动，“V ”型图的尖底(),a a 是沿着y x =移动的，而232y x =+的图象是确定不变的。
由322a x x+=-解得()11x a =- ()21x a =-+ 由32x x+=解得31x =-，43x = 故画出图象只有两种情况（两个交点在第三象限，一个在第一象限（此时0a <）或三个交点都在第一象限（此时0a >））即1312x +=-⋅（如左图）或1232x x +=（如右图）即()9155a a -=-⇒=-或()()1321a a -=-+24810340a a a a ⇒=-⇒--=⇒=又因为此时0a >，故a =舍去综上，95a ⎧⎪∈-⎨⎪⎪⎩⎭感知高考刺金377题已知锐角ABC ∆的内角3A π=，点O 为三角形外接圆的圆心，若OA xOB yOC =+，则2x y -的取值范围是 ．解法一：这是典型的求平面向量基本定理系数和问题，常用“作三点共线”的办法来解决。
由3A π=，得23BOC π∠=，不妨如图固定,,O B C 三点，因为ABC ∆是锐角三角形，所以点A 在'DC 上运动，取OB 的中点为'B()2''OA xOB yOC xOB y OC =+=+-这样就构造出了系数和2x y -作直线OA 与直线''B C 交于E ，于是作出了',',B C E 三点共线。
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感知高考刺金331
设1OM e =，2ON e =是夹角为60的两个单位向量，若(),OP xOM yON x y =+∈R ，PM N ∆是以M 为直角顶点的直角三角形，则x y -= 。
解法一：12OP xe ye =+，()121MP x e ye =-+，12MN e e =-+ 因为0MN MP =，
()()
()()()()221212121211
111111022
x e ye e e x e ye x y e e x y x y x y ⎡⎤-+-+=-++--=-++--=-+=⎣⎦即1x y -=
解法二：反向延长ON 到OQ ，使1OQ = ()(),OP xOM yON xOM y OQ x y =+=+-∈R
因为1ON OM OQ ===，故由中线等于斜边的一半可得
NMQ ∆是直角三角形，
即90NMQ ∠=，因为90NMP ∠=，所以,,P M Q 三点共线，故1x y -=
感知高考刺金332
已知22
4x y +=，则x y xy +-的最大值是_______。
解法一：令x y m +=，xy n =，则(21
22
n m m =--≤，目标函数为
x y xy m n +-=-
画出(),m n 点所在的可行域如图为抛物线一部分上的点，
如图，目标函数n m z =-与2122
n m =-相切时
max 5
02
z ∆=⇒=
当且仅当31,2
m n ==-，即x y =
=
时取得 解法二：令x y m +=，xy n =，则2
24n m =-，
所以()22
415512222
m x y xy m n m m -+-=-=-=--+≤ 解法三：三角换元，2cos ,2sin x y θθ==，则
2sin 2cos 4sin cos x y xy θθθθ+-=+-，
令sin cos t θθ⎡+=∈⎣，21sin cos 2
t θθ-= 故()2
2
155
2212222
x y xy t t t ⎛⎫+-=--=--+≤ ⎪⎝⎭
解法四：令x u v =+， y u v =-，则222u v +=
则()()2
2
2
155222222x y xy u u v u v u u v u ⎛
⎫+-=-+-=-+=--+≤ ⎪⎝
⎭，
点评：本方法用的是不等式中的“极化恒等式”思想，即()()22
4
x y x y xy +--=。
感知高考刺金333
已知函数)(x f 是定义在正实数集上的单调函数，且满足对任意x ＞0，都有
[()ln ]1f f x x e -=+，则(1)f = ．
解：()ln f x x -必为常数函数，否则存在两个不同数，其对应值均为1e +，与单调函数矛盾．所以可设()ln f x x c -=．则()ln f x x c =+． 将c 代入，得()1f c e =+，即ln 1c c e +=+．
∵ln y x x =+是单调增函数，当c e =时，ln c c +1e =+成立， ∴()ln f x x e =+．则(1)f e =．
感知高考刺金334
设直角ABC ∆的三个顶点都在单位圆221x y +=上，点11,22M ⎛⎫
⎪⎝⎭
，则MA MB MC ++的最
大值是 ．
解：设ABC ∆是以C 为直角顶点的直角三角形，则2MA MB MO += 所以23MA MB MC MO MO OC OC OM ++=++=-
所以331MA MB MC OC OM OC OM ++=-≤+=（这里可以理解为三角形两边之和大于第三边，也可以理解为圆外一点E （3OM OE =）
到圆上一点C 1也可以求出）
当且仅当,,O M C 三点共线且点C 在第三象限时，max
1MA MB MC
++=+
感知高考刺金335
★函数()2,f x ax bx c x R =++∈，(),0g x ax b a =+>，当11x -≤≤时，()1f x ≤，且()g x 的最大值为2，则a b -= ． 解：因为()g x 的最大值为2，所以2a b += 由()0111f c ≤⇒-≤≤
由()111131f a b c c ≤⇒-≤++≤⇒-≤≤-
所以1c =-
故题目变为()()221211022ax a x ax a x -≤+--≤⇒≤+-≤对11x -≤≤恒成立。
此时注意到()()()222h x ax a x x ax a =+-=+-，0x =是一个零点
由于对11x -≤≤，()0h x ≥，故0x =是个偶重零点，故0x =也是20ax a +-=的根， 所以2a =，0b =
点评：这又是一个二次函数的好题，解法中用到的零点奇穿偶回法很值得回味。
“零点是个守门员，负责正负分界线，奇次零点穿过去，偶次零点弹回来”。