高一数学练习48期中讲评针对性练习卷
2023-2024学年高一(上)期中数学试卷(带解析)
2023-2024学年高一（上）期中数学试卷一、选择题：共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1．（5分）已知集合A＝{1，2，3}，集合B＝{x||x﹣1|＜1}，则A∩B＝（）A．∅B．{1}C．{1，2}D．{1，2，3} 2．（5分）已知x∈R，p：|x﹣2|＜1，q：1＜x＜5，则p是q的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3．（5分）命题“∃x∈（1，+∞），x2+2＜0”的否定是（）A．∃x∈（﹣∞，1]，x2+2＜0B．∃x∈（1，+∞），x2+2≥0C．∀x∈（1，+∞），x2+2＞0D．∀x∈（1，+∞），x2+2≥04．（5分）下列函数中，f（x）和g（x）表示同一个函数的是（）A．B．f（x）＝1，g（x）＝x0C．D．f（x）＝|x+2|，5．（5分）已知不等式ax2+bx+c＞0的解集为{x|x1＜x＜x2}且x1＞0，则不等式cx2+bx+a＞0的解集为（）A．{x|x1＜x＜x2}B．{x|x＞x2或x＜x1}C．D．或6．（5分）已知函数，若函数f（x）＝max{﹣x+1，x2﹣3x+2，x﹣1}，则函数f（x）的最小值为（）A．0B．1C．2D．37．（5分）已知正实数x，y满足2x+y+6＝xy，记xy的最小值为a；若m，n＞0且满足m+n＝1，记的最小值为b．则a+b的值为（）A．30B．32C．34D．368．（5分）已知函数f（x）满足f（x）+f（4﹣x）＝4，f（x+2）﹣f（﹣x）＝0，且f（1）＝a，则f（1）+f（2）+f（3）+⋯+f（51）的值为（）A．96B．98+a C．102D．104﹣a二、选择题（共4小题，每小题5分，满分20分）（多选）9．（5分）下列不等关系一定成立的是（）A．若a＞b，则B．若，则ab＞0C．若，则a＞0＞bD．若a＞b，a2＞b2，则a＞b＞0（多选）10．（5分）已知x∈（1，+∞），下列最小值为4的函数是（）A．y＝x2﹣4x+8B．C．D．（多选）11．（5分）下列说法正确的是（）A．“a＞1，b＞1”是“（a﹣1）（b﹣1）＞0”的充分不必要条件B．“0＜a＜4”是“ax2+ax+1＞0在R上恒成立”的充要条件C．“a＜1”是“f（x）＝x2﹣ax在（1，+∞）上单调递增”的必要不充分条件D．已知a，b∈R，则“ab＞0”是“a3+a2b﹣a2﹣ab+a+b＞0”的既不充分也不必要条件（多选）12．（5分）已知x，y＞0且满足x2+y2+1＝（xy﹣1）2，则下列结论正确的是（）A．xy≥2B．x+y≥4C．x2+y2≥8D．x+4y≥9三、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）已知函数，则函数f（x）的定义域为．14．（5分）已知函数f（x）满足，则函数f（x）的解析式为．15．（5分）已知函数，则f（﹣26）+f（﹣25）+⋯+f（﹣1）+f （1）+⋯+f（26）+f（27）的值为．16．（5分）已知x，y＞0且满足x+y＝1，若不等式恒成立，记的最小值为n，则m+n的最小值为．四、解答题：共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（10分）已知集合A＝{x|x2﹣2x﹣3≤0}，集合B＝{x|m﹣1＜x＜2m+1}．（1）当m＝3时，求A∪B；（2）若“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件，求实数m的取值范围．18．（12分）已知函数f（x）＝（2m2﹣m）x2m+3是幂函数，且函数f（x）的图象关于y轴对称．（1）求实数m的值；（2）若不等式（a﹣1）m＜（2a﹣3）m成立，求实数a的取值范围．19．（12分）已知函数为定义在R上的奇函数．（1）求实数a，b的值；（2）求不等式|f（x）|≥3的解集．20．（12分）某高科技产品投入市场，已知该产品的成本为每件1000元，现通过灵活售价的方式了解市场，通过多日的市场销售数据统计可得，某店单日的销售额与日产量x（件）有关．当1≤x≤3时，单日销售额为（千元）；当3≤x≤6时，单日销售额为（千元）；当x＞6时，单日销售额为21（千元）．（1）求m的值，并求该产品日销售利润P（千元）关于日产量x（件）的函数解析式；（销售利润＝销售额﹣成本）（2）当日产量x为何值时，日销售利润最大？并求出这个最大值．21．（12分）已知a，b，c是实数，且满足a+b+c＝0，证明下列命题：（1）“a＝b＝c＝0”是“ab+bc+ac＝0”的充要条件；（2）“abc＝1，a≥b≥c”是“”的充分条件．22．（12分）已知函数f（x）＝ax2+bx+c（a≠0），满足f（0）＝1，f（1）＝3．（1）若函数f（x）有最小值，且此最小值为，求函数f（x）的解析式；（2）记g（a）为函数f（x）在区间[1，2]上的最大值，求g（a）的表达式．2023-2024学年高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1．（5分）已知集合A＝{1，2，3}，集合B＝{x||x﹣1|＜1}，则A∩B＝（）A．∅B．{1}C．{1，2}D．{1，2，3}【分析】结合交集的定义，即可求解．【解答】解：集合A＝{1，2，3}，集合B＝{x||x﹣1|＜1}＝{x|0＜x＜2}，故A∩B＝{1}．故选：B．【点评】本题主要考查交集及其运算，属于基础题．2．（5分）已知x∈R，p：|x﹣2|＜1，q：1＜x＜5，则p是q的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【分析】根据题意，解绝对值不等式得1＜x＜3，结合充要条件的定义加以判断，即可得到本题的答案．【解答】解：根据题意，|x﹣2|＜1⇒﹣1＜x﹣2＜1⇒1＜x＜3，由|x﹣2|＜1可以推出1＜x＜5，且由1＜x＜5不能推出|x﹣2|＜1．因此，若p：|x﹣2|＜1，q：1＜x＜5，则p是q的充分不必要条件．故选：A．【点评】本题主要考查不等式的性质、充要条件的判断等知识，考查了计算能力、逻辑推理能力，属于基础题．3．（5分）命题“∃x∈（1，+∞），x2+2＜0”的否定是（）A．∃x∈（﹣∞，1]，x2+2＜0B．∃x∈（1，+∞），x2+2≥0C．∀x∈（1，+∞），x2+2＞0D．∀x∈（1，+∞），x2+2≥0【分析】根据命题的否定的定义，即可求解．【解答】解：命题“∃x∈（1，+∞），x2+2＜0”的否定是：∀x∈（1，+∞），x2+2≥0．故选：D．【点评】本题主要考查特称命题的否定，属于基础题．4．（5分）下列函数中，f（x）和g（x）表示同一个函数的是（）A．B．f（x）＝1，g（x）＝x0C．D．f（x）＝|x+2|，【分析】观察函数三要素，逐项判断是否同一函数．【解答】解：由题意得：选项A定义域不同，f（x）的定义域为R，g（x）中，x≠0；选项B定义域不同，f（x）的定义域为R，g（x）中，x≠0；选项C对应法则不同，g（x）＝|x|；D项，三要素相同，为同一函数．故选：D．【点评】本题考查同一函数的判断，属于基础题．5．（5分）已知不等式ax2+bx+c＞0的解集为{x|x1＜x＜x2}且x1＞0，则不等式cx2+bx+a＞0的解集为（）A．{x|x1＜x＜x2}B．{x|x＞x2或x＜x1}C．D．或【分析】由题意可知，a＜0，方程ax2+bx+c＝0的两个根分别为x1，x2，再结合韦达定理求解即可．【解答】解：根据题意：a＜0，方程ax2+bx+c＝0的两个根分别为x1，x2，所以，，，，解得，即不等式的解集为{x|}．故选：C．【点评】本题主要考查了韦达定理的应用，考查了一元二次不等式的解法，属于基础题．6．（5分）已知函数，若函数f（x）＝max{﹣x+1，x2﹣3x+2，x﹣1}，则函数f（x）的最小值为（）A．0B．1C．2D．3【分析】根据函数f（x）的定义可知，在一个坐标系中画出y＝﹣x+1，y＝x2﹣3x+2，y ＝x﹣1的图象，取最上面的部分作为函数f（x）的图象，由图象即可求出函数的最小值．【解答】解：根据题意，在同一个直角坐标系中，由﹣x+1＝x2﹣3x+2，得x2﹣2x+1＝0，解得x＝1；由x2﹣3x+2＝x﹣1，得x2﹣4x+3＝0，解得x＝3或x＝1，所以f（x）＝，同时画出函数y＝﹣x+1，y＝x2﹣3x+2，y＝x﹣1，如图分析：所以函数f（x）的最小值为0．故选：A．【点评】本题考查利用函数的图象求函数的最值，属中档题．7．（5分）已知正实数x，y满足2x+y+6＝xy，记xy的最小值为a；若m，n＞0且满足m+n＝1，记的最小值为b．则a+b的值为（）A．30B．32C．34D．36【分析】由已知结合基本不等式先求出xy的范围，即可求a，然后利用乘1法，结合基本不等式可求b，进而可求a+b．【解答】解：∵xy＝2x+y+6+6，当且仅当2x＝y，即x＝3，y＝6时取等号，∴a＝18．∵m+n＝1，m＞0，n＞0．则＝6，当且仅当n＝3m且m+n＝1，即m＝，n＝时取等号，∴，∴b＝16；∴a+b＝34．故选：C．【点评】本题主要考查了基本不等式在最值求解中的应用，属于基础题．8．（5分）已知函数f（x）满足f（x）+f（4﹣x）＝4，f（x+2）﹣f（﹣x）＝0，且f（1）＝a，则f（1）+f（2）+f（3）+⋯+f（51）的值为（）A．96B．98+a C．102D．104﹣a【分析】由已知结合函数的对称性先求出函数的周期，然后结合对称性及周期性即可求解．【解答】解：根据题意：函数f（x）满足f（x）+f（4﹣x）＝4，可得函数f（x）关于点（2，2）成中心对称，函数f（x）满足f（x+2）﹣f（﹣x）＝0，所以函数f（x）关于x＝1对称，所以函数f（x）既关于x＝1成轴对称，同时关于点（2，2）成中心对称，所以f（2）＝2，T＝4，又因为f（1）＝a，所以f（3）＝4﹣a，f（4）＝f（﹣2）＝f（﹣2+4）＝f（2）＝2，所以f（1）+f（2）+f（3）+f（4）＝a+2+4﹣a+2＝8，所以f（1）+f（2）+f（3）+⋯+f（51）＝12[f（1）+f（2）+f（3）+f（4）]+f（1）+f（2）+f（3）＝12×8+a+2+4﹣a＝102．故选：C．【点评】本题主要考查了函数的奇偶性，对称性及周期性在函数求值中的应用，属于中档题．二、选择题（共4小题，每小题5分，满分20分）（多选）9．（5分）下列不等关系一定成立的是（）A．若a＞b，则B．若，则ab＞0C．若，则a＞0＞bD．若a＞b，a2＞b2，则a＞b＞0【分析】由已知举出反例检验选项A，D；结合不等式的性质检验B，C即可判断．【解答】解：当a＝1，b＝﹣1时，A显然错误；若，则＝＜0，所以ab＞0，B正确；若，即b﹣a＜0，则＝＞0，所以ab＜0，所以b＜0＜a，C正确；当a＝2，b＝﹣1时，D显然错误．故选：BC．【点评】本题主要考查了不等式的性质在不等式大小比较中的应用，属于基础题．（多选）10．（5分）已知x∈（1，+∞），下列最小值为4的函数是（）A．y＝x2﹣4x+8B．C．D．【分析】根据二次函数的性质检验选项A，结合基本不等式检验选项BCD即可判断．【解答】解：根据题意：选项A，y＝x2﹣4x+8，根据二次函数的性质可知，x＝2时取最小值4，故选A；，当且仅当时取最小值，不在x∈（1，+∞）范围内，故选项B错误；选项C，＝，当且仅当，即x＝3时成立，故选项C正确；选项D，，令，原式为，当且仅当t＝，即t＝2时等式成立，不在范围内，故选项D错误．故选：AC．【点评】本题主要考查了基本不等式及二次函数性质在最值求解中的应用，属于中档题．（多选）11．（5分）下列说法正确的是（）A．“a＞1，b＞1”是“（a﹣1）（b﹣1）＞0”的充分不必要条件B．“0＜a＜4”是“ax2+ax+1＞0在R上恒成立”的充要条件C．“a＜1”是“f（x）＝x2﹣ax在（1，+∞）上单调递增”的必要不充分条件D．已知a，b∈R，则“ab＞0”是“a3+a2b﹣a2﹣ab+a+b＞0”的既不充分也不必要条件【分析】根据充分必要条件的定义，对各个选项中的两个条件进行正反推理论证，即可得到本题的答案．【解答】解：对于选项A，a＞1，b＞1⇒a﹣1＞0，b﹣1＞0⇒（a﹣1）（b﹣1）＞0，反之，若（a﹣1）（b﹣1）＞0，则可能a＝b＝0，不能得出a＞1，b＞1．故“a＞1，b＞1”是“（a﹣1）（b﹣1）＞0”的充分不必要条件，A正确；对于选项B，ax2+ax+1＞0在R上恒成立，当a＝0时，可得1＞0恒成立，而区间（0，4）上没有0，故“0＜a＜4”不是“ax2+ax+1＞0在R上恒成立”的充要条件，B不正确；对于选项C，f（x）＝x2﹣ax在（1，+∞）上单调递增，可以推出是a⩽2的子集，故“a＜1”是“f（x）＝x2﹣ax在（1，+∞）上单调递增”的充分不必要条件，C不正确；对于选项D，a3+a2b﹣a2﹣ab+a+b＝a2（a+b）﹣a（a+b）+（a+b）＝（a+b）（a2﹣a+1），，ab＞0⇎（a+b）＞0，因此，“ab＞0”是“a3+a2b﹣a2﹣ab+a+b＞0”的既不充分也不必要条件，D正确．故选：AD．【点评】本题主要考查了充分条件与必要条件的判断、不等式的性质、二次函数的单调性等知识，属于基础题．（多选）12．（5分）已知x，y＞0且满足x2+y2+1＝（xy﹣1）2，则下列结论正确的是（）A．xy≥2B．x+y≥4C．x2+y2≥8D．x+4y≥9【分析】将所给等式化简整理，得到（x+y）2＝x2y2，结合x，y＞0可得x+y＝xy，．由此出发对各个选项逐一加以验证，即可得到本题的答案．【解答】解：根据题意，x2+y2+1＝（xy﹣1）2，即x2+y2＝x2y2﹣2xy，整理得x2+y2+2xy ＝x2y2，所以x2+y2+2xy＝x2y2，即（x+y）2＝x2y2，而x、y均为正数，故x+y＝xy，可得．对于A，，两边平方得x2y2≥4xy，可得xy≥4，故A错误；对于B，由A的计算可知x+y＝xy≥4，当且仅当x＝y＝2时取到等号，故B正确；对于C，x2+y2＝x2y2﹣2xy＝（xy﹣1）2+1≥32﹣1＝8，当且仅当x＝y＝2时取到等号，故C正确；对于D，，当且仅当x＝2y，即时取到等号，故D正确．故选：BCD．【点评】本题主要考查了不等式的性质、基本不等式及其应用等知识，考查了计算能力、逻辑推理能力，属于中档题．三、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）已知函数，则函数f（x）的定义域为[﹣2，1]．【分析】根据函数的解析式，列出使函数解析式有意义的不等式组，求出解集即可．【解答】解：函数∴﹣x2﹣x+2⩾0，解得﹣2⩽x⩽1．∴函数的定义域为[﹣2，1]．故答案为：[﹣2，1]．【点评】本题主要考查函数定义域的求解，属于基础题．14．（5分）已知函数f （x ）满足，则函数f （x ）的解析式为．【分析】利用解方程组的方法求函数解析式即可．【解答】解：根据题意：①，令代替x ，可得②，①﹣②×2得：，∴函数f （x ）的解析式为．故答案为：．【点评】本题考查求函数解析式，属于基础题．15．（5分）已知函数，则f （﹣26）+f （﹣25）+⋯+f （﹣1）+f（1）+⋯+f （26）+f （27）的值为．【分析】根据已知条件，结合偶函数的性质，即可求解．【解答】解：令函数，可得函数f （x ）＝g （x ）+2，∵函数为奇函数，∴g （﹣x ）＝﹣g （x ）⇒g （﹣x ）+g （x ）＝0，f （﹣26）+f （﹣25）+⋯+f （﹣1）+f （1）+⋯+f （26）+f （27）＝g （﹣26）+g （﹣25）+⋯+g （﹣1）+g （1）+⋯+g （26）+g （27）+2×53＝g （27）+2×53＝．故答案为：．【点评】本题主要考查函数值的求解，属于基础题．16．（5分）已知x ，y ＞0且满足x +y ＝1，若不等式恒成立，记的最小值为n ，则m +n 的最小值为．【分析】由恒成立，可知左边的最小值大于等于9，因此求的最小值，结合基本不等式求出m+n的最小值．【解答】解：∵实数x，y＞0满足x+y＝1，∴x+y+1＝2，而＝，当时，等号成立，所以，解得m⩾8．而＝，令，则原式，当时，等号成立，∴实数n的值为，可得实数m+n的最小值为．故答案为：．【点评】本题主要考查基本不等式及其应用，考查了计算能力、逻辑推理能力，属于基础题．四、解答题：共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（10分）已知集合A＝{x|x2﹣2x﹣3≤0}，集合B＝{x|m﹣1＜x＜2m+1}．（1）当m＝3时，求A∪B；（2）若“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件，求实数m的取值范围．【分析】（1）把m＝3代入求得B，再由并集运算求解；（2）“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件，得B⫋A，然后分B＝∅和B≠∅分别求解m 的范围，取并集得答案．【解答】解：（1）∵集合A＝{x|x2﹣2x﹣3⩽0}，由x2﹣2x﹣3⩽0，即（x+1）（x﹣3）⩽0，解得﹣1⩽x⩽3，∵集合B＝{x|m﹣1＜x＜2m+1}，当m＝3时，即B＝{x|2＜x＜7}，∴A∪B＝{x|﹣1⩽x＜7}．（2）“x∈A”足“x∈B”的必要不充分条件，可得集合B是集合A的真子集，当m﹣1⩾2m+1⇒m⩽﹣2时，集合B为空集，满足题意；当m﹣1＜2m+1⇒m＞﹣2时，集合B是集合A的真子集，可得，∴实数m的取值范围为{m|m⩽﹣2或0⩽m⩽1}．【点评】本题考查并集的运算，考查分类讨论思想，是中档题．18．（12分）已知函数f（x）＝（2m2﹣m）x2m+3是幂函数，且函数f（x）的图象关于y轴对称．（1）求实数m的值；（2）若不等式（a﹣1）m＜（2a﹣3）m成立，求实数a的取值范围．【分析】（1）结合幂函数的性质，以及偶函数的性质，即可求解；（2）结合函数的性质，即可求解．【解答】解：（1）由题意可知，2m2﹣m＝1，解得m＝或1，又∵函数f（x）关于y轴对称，当，满足题意；当m＝1⇒f（x）＝x5，此时函数f（x）为奇函数，不满足题意，∴实数m的值为；（2）函数，分析可得该函数在（0，+∞）单调递减，∴由（a﹣1）m＜（2a﹣3）m可得：．∴实数a的取值范围为．【点评】本题主要考查函数的性质，是基础题．19．（12分）已知函数为定义在R上的奇函数．（1）求实数a，b的值；（2）求不等式|f（x）|≥3的解集．【分析】（1）当x＜0时，﹣x＞0，代入已知函数解析式，对比函数解析式即可求解a，b；（2）结合奇函数的对称性及二次不等式的求法即可求解．【解答】解：（1）根据题意：当x＜0时，﹣x＞0，则f（x）＝﹣f（﹣x）＝﹣[（﹣x）2+2（﹣x）]＝﹣x2+2x，故a＝﹣1，b＝2；（2）当x⩾0时，|f（x）|⩾3可得f（x）⩾3，即x2+2x⩾3⇒x2+2x﹣3⩾0，解得x⩾1，根据奇函数可得：|f（x）|⩾3的解集为{x|x⩾1或x⩽﹣1}．【点评】本题主要考查了奇函数的定义在函数解析式求解中的应用，还考查了奇函数的对称性在不等式求解中的应用，属于中档题．20．（12分）某高科技产品投入市场，已知该产品的成本为每件1000元，现通过灵活售价的方式了解市场，通过多日的市场销售数据统计可得，某店单日的销售额与日产量x（件）有关．当1≤x≤3时，单日销售额为（千元）；当3≤x≤6时，单日销售额为（千元）；当x＞6时，单日销售额为21（千元）．（1）求m的值，并求该产品日销售利润P（千元）关于日产量x（件）的函数解析式；（销售利润＝销售额﹣成本）（2）当日产量x为何值时，日销售利润最大？并求出这个最大值．【分析】（1）根据单日销售额函数，列方程求出m的值，再利用利润＝销售额﹣成本，即可得出日销售利润函数的解析式．（2）利用分段函数求出每个区间上的最大值，比较即可得出结论．【解答】解：（1）根据题意知，单日销售额为f（x）＝，因为f（3）＝+6+3＝+9，解得m＝，因为利润＝销售额﹣成本，所以日销售利润为P（x）＝，化简为P （x ）＝．（2）根据题意分析：①日销售利润P （x ）＝+x +3＝+（x +1）+2，令t ＝x +1＝2，3，4，所以函数为，分析可得当t ＝2时，取最大值，其最大值为；②日销售利润P （x ）＝+2x ＝+2x ＝﹣+2x ，该函数单调递增，所以当x ＝6时，P （x ）取最大值，此最大值为15；③日销售利润P （x ）＝21﹣x ，该函数单调递减，所以当x ＝7时，P （x ）取最大值，此最大值为14；综上知，当x ＝6时，日销售利润最大，最大值为15千元．【点评】本题考查了分段函数模型应用问题，也考查了运算求解能力，是中档题．21．（12分）已知a ，b ，c 是实数，且满足a +b +c ＝0，证明下列命题：（1）“a ＝b ＝c ＝0”是“ab +bc +ac ＝0”的充要条件；（2）“abc ＝1，a ≥b ≥c ”是“”的充分条件．【分析】（1）根据完全平方公式，等价变形，可证出结论；（2）利用基本不等式，结合不等式的性质加以证明，即可得到本题的答案．【解答】证明：（1）∵（a +b +c ）2＝a 2+b 2+c 2+2ab +2bc +2ac ，充分性：若a ＝b ＝c ＝0，则ab +bc +ac ＝0，充分性成立；必要性：若ab +bc +ac ＝0，由a +b +c ＝0，得（a +b +c ）2＝a 2+b 2+c 2+2ab +2bc +2ac ，所以a 2+b 2+c 2＝0，可得a ＝b ＝c ＝0，必要性成立．综上所述，a ＝b ＝c ＝0是ab +bc +ac ＝0的充要条件；（2）由a ⩾b ⩾c ，且abc ＝1＞0，可知a ＞0，b ＜0，c ＜0，由a +b +c ＝0，得，当且仅当b ＝c 时等号成立，由，得，a 3⩾4，可知≤a ＝﹣b ﹣c ≤﹣2c ，解得，因此，abc＝1且a⩾b⩾c是的充分条件．【点评】本题主要考查等式的恒等变形、不等式的性质与基本不等式等知识，考查了计算能力、逻辑推理能力，属于基础题．22．（12分）已知函数f（x）＝ax2+bx+c（a≠0），满足f（0）＝1，f（1）＝3．（1）若函数f（x）有最小值，且此最小值为，求函数f（x）的解析式；（2）记g（a）为函数f（x）在区间[1，2]上的最大值，求g（a）的表达式．【分析】（1）根据题意，由f（0）＝1，f（1）＝3分析可得f（x）＝ax2+（2﹣a）x+1，由二次函数的最小值求出a的值，进而计算可得答案；（2）根据题意，由二次函数的性质分a＞0与a＜0两种情况讨论，分析g（a）的解析式，综合可得答案．【解答】解：（1）根据题意，函数f（x）＝ax2+bx+c满足f（0）＝1，f（1）＝3，则有f（0）＝c＝1，f（1）＝a+b+c＝3，变形可得b＝2﹣a，函数f（x）＝ax2+（2﹣a）x+1，∵函数f（x）有最小值，∴a＞0，函数f（x）的最小值为＝，解可得：a＝4或1，∴当a＝4时，b＝﹣2，函数f（x）的解析式为f（x）＝4x2﹣2x+1；当a＝1时，b＝1，函数f（x）的解析式为f（x）＝x2+x+1．（2）根据题意，由（1）的结论，f（x）＝ax2+（2﹣a）x+1，是二次函数，分2种情况讨论：①当a＞0时，i．当对称轴时，函数f（x）在区间[1，2]上的最大值g（a）＝f（2）＝2a+5，ii．当对称轴时，与a＞0矛盾，故当a＞0时，函数f（x）在区间[1，2]上的最大值g（a）＝2a+5；②当a＜0时，i．当对称轴时，函数f（x）在区间[1，2]上的最大值g（a）＝f（1）＝3，ii．当对称轴时，函数f（x）在区间[1，2]上的最大值，iii．当对称轴时，函数f（x）在区间[1，2]上的最大值g（a）＝f（2）＝2a+5．综上所述，【点评】本题考查函数的最值，涉及二次函数的性质，属于中档题．。
高一数学下学期期中测试题含解析 试题
2021-2021学年高一数学下学期期中测试题〔含解析〕第一卷〔选择题，一共60分〕一、选择题：〔本大题一一共12小题，每一小题5分，一共60分，在每一小题给出的四个选项里面，只有一个选项是符合题目要求的，请将答案填涂在答题卡上〕 1.{}n a 是等差数列，且25a =-，646a a =+，那么1a =〔 〕 A. -9 B. -8C. -7D. -4【答案】B 【解析】 【分析】由*()(,)n m a a n m d m n N =+-∈，得n ma a d n m-=-，进而求出1a .【详解】解：{}n a 是等差数列，且25a=-，646a a =+64364a a d -∴==- 128a a d =-=-应选B.【点睛】此题考察数列的通项公式.纯熟应用数列的通项公式是解题的关键.2.假设实数a ，b ，c ，d 满足a b >，c d >，那么以下不等式成立的是〔 〕 A. a c b d +>+ B. a c b d ->-C. ac bd >D.a b d c> 【答案】A 【解析】试题分析：根据不等式的性质，同向不等式相加，不等号的方向不变，应选A. 考点：不等式的性质．3.等差数列{}n a 前n 项和为n S ，假设1010S =，2060S =，那么40S =〔 〕 A. 110 B. 150C. 210D. 280【答案】D 【解析】 【分析】由等差数列的性质可得10S ，1200S S -，3020S S -，4030S S -也成等差数列，由此求得40S 的值. 【详解】解：等差数列{}n a 前n 项和为n S∴10S ，1200S S -，3020S S -，4030S S -也成等差数列故1000132020()2()S S S S S -+=- ，30=150S ∴又102040303020)(2()()S S S S S S =---+40=280S ∴应选D.【点睛】此题主要考察了等差数列的定义和性质，等差数列前n 项和公式的应用.4.在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，60A =︒，a =4b =，那么B =〔 〕 A. 30B =︒或者150B =︒ B. 150B =︒ C. 30B =︒ D. 60B =︒【答案】C 【解析】【分析】将代入正弦定理可得1sin 2B =，根据a b >，由三角形中大边对大角可得：60B <︒，即可求得30B =︒.【详解】解：60A =︒，a =4b =由正弦定理得：sin 1sin2b A B a === a b > 60B ∴<︒ 30B ∴=︒应选C.【点睛】此题考察了正弦定理、三角形的边角大小关系，考察了推理才能与计算才能. 5.不等式112x <的解集是〔 〕 A. (,0)(2,)-∞+∞B. (,2)-∞C. (0,2)(,0)-∞D. (2,)+∞【答案】A 【解析】 【分析】由不等式112x <可得0x <或者者2x >，由此解得x 的范围. 【详解】解：由不等式112x <可得0x <或者者2x >∴不等式得解集为(,0)(2,)-∞+∞应选A.【点睛】此题主要考察分式不等式的解法，表达了分类讨论的数学思想.6.在等比数列{}n a 中，2a ，16a 是方程2620x x ++=的两个根，那么2169a a a 的值是〔 〕A.B.或者 【答案】D 【解析】 【分析】利用方程的根与等差数列的性质，求解即可.【详解】解：等比数列{}n a 中，2a ，16a 是方程2620x x ++=的两个根1622a a ∴⋅=216922a a a ⋅==∴9a ∴=应选D.【点睛】此题考察等比数列的性质的应用，考察计算才能.7.在ABC ∆中，假设sin cos cos A B Ca b c==，那么ABC ∆为〔 〕 A. 等边三角形B. 等腰直角三角形C. 有一个内角为30的直角三角形D. 有一个内角为30的等腰三角形【答案】B 【解析】【分析】根据正弦定理及条件等式，求得B 与C 的度数，进而即可判断出三角形的形状。
2024-2025学年河南省郑州市高一上学期期中数学质量检测试卷(含解析)
考生注意：1．本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟.2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚.3．考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效.4．本卷命题范围：人教A 版必修第一册第一章～第三章.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的2024-2025学年河南省郑州市高一上学期期中数学质量检测试卷.1. 已知(){}(){},3,,1A x y x y B x y x y =+==-=∣∣，则A B = （ ）A. 2,1x y ==B. ()2,1 C.(){}2,1 D. {}2,1【答案】C 【解析】【分析】利用交集定义即可求得A B⋂【详解】由31x y x y +=⎧⎨-=⎩，可得21x y =⎧⎨=⎩则A B =(){}(){},3,1x y x y x y x y +=⋂-=∣∣()(){}3=,=2,11x y x y x y ⎧⎫+=⎧⎨⎨⎬-=⎩⎩⎭∣故选：C2. 已知a ，b ，c ，d 均为实数，则下列说法正确的是（ ）A. 若a b >，c d >，则a c b d +>+ B. 若a b >，c d >，则a c b d ->-C. 若a b >，c d >，则ac bd > D. 若ac bc >，则a b>【答案】A 【解析】【分析】根据不等式的性质，结合举反例的方法，可得答案.【详解】对于A ，根据同向不等式具有可加性可知A 正确；对于B ，21a b =>=，24c d =->=-，但45a c b d -=<-=，故B 错误；对于C ，21a b =>=，24c d =->=-，但44ac bd =-==-，故C 错误；对于D ，当0c <时，由ac bc >，得a b <，故D 错误．故选：A ．3. 下列函数中，与函数2y x =+是同一函数的是（ ）A. 22y =+B. 2y =+C. 22x y x=+ D.y =【答案】B 【解析】【分析】通过两个函数三要素的对比可得答案.【详解】2y x =+的定义域为R ．对于A ，22y =+的定义域为[)0,+∞，与2y x =+的定义域不同，不是同一函数；对于B ，22y x =+=+定义域为R ，与2y x =+的定义域相同，对应关系相同，是同一函数；对于C ，22x y x=+的定义域为{}0x x ≠，与2y x =+的定义域不同，不是同一函数；对于D，2,2,22,2x x y x x x +≥-⎧==+=⎨--<-⎩与2y x =+对应关系不同，不是同一函数．故选：B ．4. 已知p ：0a b >> q ：2211a b<，则p 是q 的（ ）A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】根据0a b >>与2211a b <的互相推出情况判断出属于何种条件.【详解】当0a b >>时，220a b >>，所以2211a b<，所以充分性满足，当2211a b<时，取2,1a b =-=，此时0a b >>不满足，所以必要性不满足，所以p 是q 的充分不必要条件，的故选：A.5. 已知函数()f x 为R 上的奇函数，当0x <时，()2f x x =+，则()()03f f +等于（ ）A. 3- B. 1- C. 1D. 3【答案】C 【解析】【分析】根据(3)f (3)f =--以及(0)0f =可求出结果.【详解】因为函数()f x 为R 上的奇函数，当0x <时，()2f x x =+，所以()()()33321f f =--=--+=．而()00f =，∴()()031f f +=．故选：C ．6. 若0x <，则1x x+（ ）A 有最小值―2B. 有最大值―2C. 有最小值2D. 有最大值2【答案】B 【解析】【分析】运用基本不等式求解即可.【详解】因为0x <，则0x ->，所以1()()2x x -+≥=-，当且仅当1x x -=-即：=1x -时取等号.所以12x x+≤-，当且仅当=1x -时取等号.故选：B.7. 已知函数()f x 的图象由如图所示的两条曲线组成，则（ ）A. ()()35ff -= B. ()f x 是单调增函数.C. ()f x 的定义域是(][],02,3∞-⋃D. ()f x 的值域是[]1,5【答案】D 【解析】【分析】根据函数的图象，结合函数求值、函数单调性、定义域与值域，可得答案.【详解】对于选项A ，由图象可得()32f -=，所以()()()321ff f -==，A 错误；对于选项B ，()04f =，()21f =，()()02f f >，故()f x 不是单调增函数，B 错误；对于选项C ，由图象可得()f x 的定义域为[][]3,02,3-⋃，C 错误；对于选项D ，由图象可得()f x 的值域为[]1,5，D 正确．故选：D ．8. 若定义域为R 的奇函数()f x 在(),0-∞上单调递减，且()20f =，则满足20)(x f x x≥的x 的取值范围是（ ）A. [][)2,02,-⋃+∞ B. ][3,10,1⎡⎤--⋃⎣⎦C. [)[)2,02,-⋃+∞ D. [)(]2,00,2-U 【答案】D 【解析】【分析】首先根据函数奇偶性与单调性，得到函数()f x 在相应区间上的符号，再根据两个数的乘积大于等于零，分类转化为对应自变量不等式，最后求并集得结果.【详解】因为定义在R 上的奇函数()f x 在(,0)-∞上单调递减，且(2)0f =，所以()f x 在(0,)+∞上也是单调递减，且(2)0f -=，(0)0f =，所以当(,2)(0,2)x ∈-∞-⋃时，()0f x >，当(2,0)(2,)x ∈-+∞ 时，()0f x <，由20)(x f x x≥可得()0xf x ≥且0x ≠可得020x x <⎧⎨-≤<⎩或002x x >⎧⎨<≤⎩解得20x -≤<或02x <≤，所以满足20)(x f x x≥的x 的取值范围是[)(]2,00,2-U ，故选：D .二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9. 下列函数既是偶函数，又在()0,∞+上单调递增的是（ ）A. y =B. 2y x =C. yD. 1y x=【答案】BC 【解析】【分析】根据函数的单调性和奇偶性逐项分析判断.【详解】对A ：=y =在定义域内为奇函数，又∵y =在R 上单调递增，5u x =在R 上单调递增，则y =在R 上单调递增，A 错误；对B ：∵()22x x -=，则2y x =在定义域内为偶函数，且在()0,∞+内单调递增，B 正确；对C ：y又∵当()0,x ∈+∞，y 在()0,∞+内单调递增，C 正确；对A ：∵11=--x x ，则1y x =在定义域内为奇函数，且1y x=在()0,∞+内单调递减，D 错误；故选：BC.10. 下列关于幂函数y x α=的说法正确的是（ ）A. 幂函数的图象都过点()0,0，()1,1B. 当1,3,1α=-时，幂函数的图象都经过第一、三象限C. 当1,3,1α=-时，幂函数是增函数D. 若0α<，则幂函数的图象不过点()0,0【答案】BD 【解析】【分析】由幂函数的性质逐个判断即可.【详解】对于A ，当0α<时，幂函数的图象不通过点()0,0，A 错误；对于B ，幂指数1,3,1α=-时，幂函数分别为y x =，3y x =，1y x -=，三者皆为奇函数，图象都经过第一、三象限，故B 正确；对于C ，当1α=-时，幂函数1y x -=在(),0∞-，(0,+∞)上皆单调递减，C 错误；对于D ，若0α<，则函数图象不通过点()0,0，D 正确．故选：BD ．11. 下列结论正确的是（ ）A. 函数21x y x+=的最小值是2B. 若0ab >，则2b a a b+≥C. 若x ∈R ，则22122x x +++的最小值为2D. 若0,0a b >>22a b ++≥【答案】BD 【解析】【分析】根据题意，结合基本不等式，逐项判定，即可求解.【详解】对于A 中，当0x <时，可得0y <，所以A 错误；对于B 中，因0ab >，则2b a a b +≥=，当且仅当b a a b =时，即a b =时，等号成立，所以B 正确；对于C中，由221222x x ++≥=+，当且仅当22122x x +=+时，此时方程无解，即等号不成立，所以C 错误；对于D 中，因为0,0a b >>22a b ++≥≥，当且仅当a b =时，等号成立，所以D 正确.故选BD ．12. 已知函数()f x 的定义域为A ，若对任意x A ∈，存在正数M ，使得()f x M ≤成立，则称函数为()f x 是定义在A 上的“有界函数”.则下列函数是“有界函数”的是（ ）A. 3()4x f x x+=- B. ()f x =C. 25()22f x x x =-+ D. ()f x 【答案】BCD 【解析】【分析】“有界函数”值域需要有界，化简各函数，并求出函数的值域，然后进行判断.【详解】对于A ，3(4)77()1444x x f x x x x+--+===-+---，由于704x ≠-，所以()1f x ≠-，所以()[)0,f x ∈+∞，故不存在正数M ，使得()f x M ≤成立.对于B ，令21u x =-，则[]0,1u ∈，()f x =，所以()[]0,1f x ∈，故存在正数1，使得()1f x ≤成立.对于C ，令2222(1)1u x x x =-+=-+，则()5f x u=，易得1u ≥.所以()5051f x <≤=，即()(]0,5∈f x ，故存在正数5，使得()5f x ≤成立.对于D ，令t =[]0,2t ∈，24x t =-，则[]()22117()40,224f x t t t t ⎛⎫=-++=--+∈ ⎪⎝⎭，易得()1724f x ≤≤，所以()172,4f x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，故存在正数174，使得()174f x ≤成立.故选：BCD.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 已知命题p ：x ∀∈Q ，x N ∈，则p ⌝为______．【答案】x ∃∈Q ，x ∉N 【解析】【分析】由全称命题的否定为特称命题即可求解.【详解】因为p ：x ∀∈Q ，x ∈N ，所以p ⌝为x ∃∈Q ，x ∉N ．故答案为：x ∃∈Q ，x ∉N .14. 函数()1f x x=+的定义域为_____________.【答案】()(],00,1-∞⋃【解析】【分析】由题意列不等式组即可求得.【详解】要使函数()1f x x=有意义，只需10,0,x x -≥⎧⎨≠⎩解得：1x ≤且0x ≠，从而()f x 的定义域为()(],00,1-∞⋃.故答案为：()(],00,1-∞⋃15. 已知函数()f x 满足下列3个条件：①函数()f x 的图象关于y 轴对称；②函数()f x 在()0,∞+上单调递增；③函数()f x 无最值．请写出一个满足题意的函数()f x 的解析式：______．【答案】()21f x x=-（答案不唯一）【解析】【分析】结合函数的对称性、单调性及常见函数即可求解.【详解】由()f x 的图象关于y 轴对称知()f x 为偶函数，()f x 在(0,+∞)上单调递增，()f x 无最值，根据幂函数性质可知满足题意的一个函数为()21f x x=-.故答案为：()21f x x =-（答案不唯一）16. 已知函数()21x f x x=+，则不等式()211f x -<的解集是____________.【答案】()0,1【解析】【分析】由题可得()f x 为偶函数，且在()0,∞+上单调递增，后利用()()f x f x =可得答案.【详解】因为()f x 的定义域为R ，且()()f x f x -=，所以()f x 是偶函数.的又当0x >时，()21x f x x =+2222211x x x+-==-++单调递增.因为()f x 是偶函数，所以()f x 在(),1-∞单调递减，又因为()11f =，所以()211f x -<()()211f x f ⇔-<211121101x x x ⇔-<⇒-<-<⇒<<.故答案为：()0,1.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 设全集U =R ，集合{}2680A x x x =-+=，31B x x ⎧⎫=<⎨⎬⎩⎭．（1）求()U A B ⋃ð；（2）设集合(){}233,C x x a a x a =+=+∈Z ，若A C 恰有2个子集，求a 的值．【答案】（1）(){03U A B x x ⋃=≤≤ð或}4x = （2）2或4．【解析】【分析】（1）解方程和不等式求出集合,A B ，再由补集、并集运算即可求解；（2）解方程求出集合C ,再通过a 的讨论即可求解.【小问1详解】2680x x -+=，解得2x =或4，则{}2,4A =；由31x<，解得0x <或3x >，则{0B x x =<或}3x >；所以{}03U B x x =≤≤ð，(){03U A B x x ⋃=≤≤ð或}4x =．【小问2详解】因为A C 恰有2个子集，所以A C 仅有一个元素．()()()23330x a a x x x a +=+⇒--=，当3a =时，{}3C =，A C ⋂=∅，不满足题意；当2a =时，{}2,3C =，{}2A C ⋂=，满足题意；当4a =时，{}4,3C =，{}4A C ⋂=，满足题意．综上，a 的值为2或4．18. 已知函数()1f x x x=+．（1）求证：()f x 在()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增；（2）当1,22x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，求函数()f x 值域．【答案】（1）证明见解析 （2）52,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦．【解析】【分析】（1）根据函数单调性的定义，结合作差法，可得答案；（2）根据（1）的单调性，求得给定区间上的最值，可得答案.【小问1详解】证明：()12,0,1x x ∀∈，且12x x <，有()()()121221212121212121121211111x x x x f x f x x x x x x x x x x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫---=+-+=-+-=-+=-⋅ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭．由()12,0,1x x ∀∈，且12x x <，得210x x ->，1210x x -<，120x x >，所以()12211210x x x x x x --⋅<，即()()21f x f x <．所以()f x 在()0,1上单调递减．同理，当()12,1,x x ∈+∞，且12x x <，有()()()1221211210x x f x f x x x x x --=-⋅>．故()f x 在()1,+∞上单调递增．【小问2详解】由（1）得()f x 在1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减；在[]1,2上单调递增．()12f =，()15222f f ⎛⎫== ⎪⎝⎭，所以()52,2f x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦．故函数()f x 的值域为52,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦．的19. 设函数()223y ax b x =+-+.（1）若关于x 的不等式0y >的解集为{}13x x -<<，求4y ≥的解集；（2）若1x =时，2,0,0y a b =>>，求14a b+的最小值.【答案】（1）{}1（2）9【解析】【分析】（1）根据不等式的解集得到方程的根，代入求出,a b ，从而解不等式求出解集；（2）先得到1a b +=，利用基本不等式“1”的妙用求出最小值.【小问1详解】由题知()2230ax b x +-+=的两个根分别是1-，3，则23093630a b a b +-+=⎧⎨+-+=⎩，解得1,4.a b =-⎧⎨=⎩故()2223234y ax b x x x =+-+=-++≥，2210x x -+≤，解得1x =.所求解集为{}1.【小问2详解】1x =时，2y =，即12++=a b ，所以有1a b +=，那么()1414a b a b a b ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭41459b a a b=+++≥+=，当且仅当41b a a b a b ⎧=⎪⎨⎪+=⎩，即1,323a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩时，取等号.故14a b+的最小值为9.20. 已知集合(){}40A x x x =-≥，{}121B x a x a =+<<-．（1）若x A ∀∈，均有x B ∉，求实数a 的取值范围；（2）若2a >，设p ：x B ∃∈，x A ∉，求证：p 成立的充要条件为23a <<．【答案】（1）5,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦（2）证明见解析【解析】【分析】（1）根据二次不等式，解得集合的元素，利用分类讨论思想，可得答案；（2）根据充要条件的定义，利用集合之间的包含关系，可得答案.【小问1详解】(){}(][)40,04,A x x x ∞∞=-≥=-⋃+．因为x A ∀∈，均有x B ∉，所以A B =∅ ．当2a ≤时，B =∅，满足题意；当2a >时，10214a a +≥⎧⎨-≤⎩，解得512a -≤≤，所以522a <≤．综上，52a ≤，即a 的取值范围是5,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦．【小问2详解】证明：若p ：x B ∃∈，x A ∉为真命题，则p ⌝：x B ∀∈，x A ∈为假命题．先求p ⌝：x B ∀∈，x A ∈为真命题时a 的范围，因为2a >，所以B ≠∅，由p ⌝：x B ∀∈，x A ∈，得B A ⊆．则210a -≤或14a +≥，解得12a ≤或3a ≥，所以3a ≥．因为p ⌝：x B ∀∈，x A ∈为假命题，所以23a <<.综上，若2a >，则p 成立的充要条件为23a <<．21. 某市财政下拨专款100百万元，分别用于植绿护绿和处理污染两个生态维护项目，植绿护绿项目五年内带来的生态收益可表示为投放资金x （单位：百万元）的函数1y （单位：百万元）：12710x y x =+，处理污染项目五年内带来的生态收益可表示为投放资金x （单位：百万元）的函数2y （单位：百万元）：20.3y x =.设分配给植绿护绿项目的资金为x （单位：百万元），两个生态项目五年内带来的生态收益总和为y （单位：百万元）.（1）将y 表示成关于x 的函数；（2）为使生态收益总和y 最大，对两个生态项目的投资分别为多少？【答案】（1）27330(0100)1010x x y x x =-+≤≤+ （2）分配给植绿护绿项目20百万元，处理污染项目80百万元【解析】【分析】（1）由题意列式化简即可；（2）将原式变形构造成对勾函数，利用对勾函数的性质求最值即可.【小问1详解】若分配给植绿护绿项目的资金为x 百万元，则分配给处理污染项目的资金为()100x -百万元，∴272730.3(100)30(0100)101010x x x y x x x x =+-=-+≤≤++.【小问2详解】由（1）得27(10)2703(1010)2703(10)306010101010x x x y x x +-+-+⎡⎤=-+=-+⎢⎥++⎣⎦6042≤-=（当且仅当2703(10)1010x x +=+，即20x =时取等号），∴分配给植绿护绿项目20百万元，处理污染项目80百万元，生态收益总和y 最大.22. 设函数()()2*1488,,N f x mx m mn x m m n =+-++∈ .（1）若()f x 为偶函数，求n 的值；（2）若对*N n ∀∈，关于x 的不等式()0f x ≤有解，求m 的最大值.【答案】（1）2. （2）2.【解析】【分析】（1）根据函数为偶函数可得到14880m mn -+=，变形为714n m=+，结合*,1,N m n m ∈≥，即可确定答案.（2）根据对*N n ∀∈，关于x 的不等式()0f x ≤有解，可得22(1488)40m mn m ∆=-+-≥恒成立，结合二次不等式的解法，讨论n 取值，即可确定答案.【小问1详解】根据题意，函数()()2*1488,R,,N f x mx m mn x m x m n =+-++∈∈为偶函数，即满足()()f x f x -=，即()()22()1488()1488m x m mn x m mx m mn x m -+-+-+=+-++，R x ∈，则14880m mn -+=变形可得：714n m =+ ，又由*,1,N m n m ∈≥ ，则 101m<≤ ， 故77111711,44444n m <+≤<≤∴ ，又N n *∈ ，则2n = ；【小问2详解】根据题意，若对*N n ∀∈，关于x 的不等式()0f x ≤有解，由于*,N 0m m ∈>，则22(1488)416[(32)2][(42)2]0m mn m m n m n ∆=-+-=-+-+≥恒成立 ，当1n = 时，32(2)(1)0m m ∆=++≥ ，对*N m ∀∈都成立， 当2n =时，32(2)0m ∆=-+≥，解得2m ≤ ，又*N m ∈，则12m ≤≤ ，当3n ≥时，21232n n <-- ，则223m n ≤- 或 12m n ≥-,当 223m n ≤- 时，又由1m ≥，则n 只能取2，不符合题意，舍去，当 12m n ≥- 时，又由1m ≥，从3n =开始讨论:令1()2g n n =-,由于1()2g n n =-单调递减，故只需1(3)132m g ≥==-，此时m 的取值范围为[1,2] ；综上所述，m 的最大值为2.。
北京市2023-2024学年高一下学期期中考试数学试题含答案
北京2023—2024学年第二学期期中练习高一数学（答案在最后）2024.04说明：本试卷共4页，共120分.考试时长90分钟.一､选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.sin120︒的值等于（）A.12-B.12C.2D.2【答案】D 【解析】【分析】根据特殊角的三角函数值得到2，从而可求解.【详解】由题意可得sin1202︒=，故D 正确.故选：D.2.若角α的终边过点()4,3，则πsin 2α⎛⎫+= ⎪⎝⎭（）A.45B.45-C.35D.35-【答案】A 【解析】【分析】根据余弦函数定义结合诱导公式计算求解即可.【详解】因为角α的终边过点()4,3，所以4cos 5α==，所以π4sin cos 25αα⎛⎫+== ⎪⎝⎭.故选：A3.已知扇形的弧长为4cm ，圆心角为2rad ，则此扇形的面积是（）A.22cmB.24cm C.26cm D.28cm 【答案】B【解析】【分析】由条件结合弧长公式l R α=求出圆的半径，然后结合扇形的面积公式12S lR =可得答案．【详解】因为扇形的圆心角2rad α=，它所对的弧长4cm l =，所以根据弧长公式l R α=可得，圆的半径2R =，所以扇形的面积211424cm 22S lR ==⨯⨯=；故选：B ．4.向量a ，b ，c在正方形网格中的位置如图所示，若向量c a b λ=+，则实数λ=（）A.2-B.1-C.1D.2【答案】D 【解析】【分析】将3个向量的起点归于原点，根据题设得到它们的坐标，从而可求λ的值.【详解】如图，将,,a b c的起点平移到原点，则()()()1,1,0,1,2,1a b c ==-= ，由c a b λ=+可得()()()2,11,10,1λ=+-，解得2λ=，故选：D.5.下列四个函数中以π为最小正周期且为奇函数的是（）A.()cos2f x x =B.()tan2x f x =C.()()tan f x x =- D.()sin f x x=【答案】C 【解析】【分析】根据三角函数的周期性和奇偶性对选项逐一分析，由此确定正确选项.【详解】对于A ，函数()cos2f x x =的最小正周期为π，因为()()()cos 2cos 2f x x x f x -=-==，所以()cos2f x x =为偶函数，A 错误，对于B ，函数()tan 2xf x =的最小正周期为2π，因为()()tan tan 22x x f x f x ⎛⎫-=-=-=- ⎪⎝⎭，所以函数()tan 2x f x =为奇函数，B 错误，对于C ，函数()()tan f x x =-的最小正周期为π，因为()()()tan tan f x x x f x -==--=-，所以函数()()tan f x x =-为奇函数，C 正确，对于D ，函数()sin f x x =的图象如下：所以函数()sin f x x =不是周期函数，且函数()sin f x x =为偶函数，D 错误，6.在ABC 中，4AB =，3AC =，且AB AC AB AC +=- ，则AB BC ⋅= （）A.16B.16- C.20D.20-【答案】B 【解析】【分析】将AB AC AB AC +=- 两边平方，即可得到0AB AC ⋅=，再由数量积的运算律计算可得.【详解】因为AB AC AB AC +=- ，所以()()22AB ACAB AC +=-，即222222AB AB AC AC AB AB AC AC +⋅+=-⋅+uu u r uu u r uuu r uuu r uu u r uu u r uuu r uuu r ，所以0AB AC ⋅= ，即AB AC ⊥ ，所以()220416AB BC AB AC AB AB AC AB ⋅=⋅-=⋅-=-=- .故选：B7.函数cos tan y x x =⋅在区间3,22ππ⎛⎫⎪⎝⎭上的图像为（）A.B.C.D.【答案】C 【解析】【分析】分别讨论x 在3,,[,)22ππππ⎛⎫⎪⎝⎭上tan x 的符号，然后切化弦将函数化简，作出图像即可.【详解】因为3,22x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以sin ,,23sin ,.2x x y x x πππ⎧-<<⎪⎪=⎨⎪≤<⎪⎩故选：C.8.已知函数()sin 24f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则“()ππ8k k α=+∈Z ”是“()f x α+是偶函数，且()f x α-是奇函数”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【解析】【分析】首先求出()f x α+、()f x α-的解析式，再根据正弦函数的性质求出使()f x α+是偶函数且()f x α-是奇函数时α的取值，再根据充分条件、必要条件的定义判断即可.【详解】因为()sin 24f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，则()sin 224f x x ααπ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭，()sin 224f x x ααπ⎛⎫-=-+ ⎪⎝⎭，若()f x α-是奇函数，则112π,Z 4k k απ-+=∈，解得11π,Z 82k k απ=-∈，若()f x α+是偶函数，则222π,Z 42k k αππ+=+∈，解得22π,Z 82k k απ=+∈，所以若()f x α+是偶函数且()f x α-是奇函数，则π,Z 82k k απ=+∈，所以由()ππ8k k α=+∈Z 推得出()f x α+是偶函数，且()f x α-是奇函数，故充分性成立；由()f x α+是偶函数，且()f x α-是奇函数推不出()ππ8k k α=+∈Z ，故必要性不成立，所以“()ππ8k k α=+∈Z ”是“()f x α+是偶函数，且()f x α-是奇函数”的充分不必要条件.故选：A9.已知向量,,a b c 共面，且均为单位向量，0a b ⋅= ，则a b c ++ 的最大值是（）A.1+ B.C.D.1-【答案】A 【解析】【分析】根据题意，可设出向量,,a b c 的坐标，由于这三个向量都是单位向量，则向量,,a b c的终点都落在以坐标原点为圆心的单位圆上，作出示意图，由向量的性质可知，只有当c 与a b +同向时，a b c ++ 有最大值，求解即可.【详解】因为向量,,a b c 共面，且均为单位向量，0a b ⋅= ，可设()1,0a =，()0,1b = ，(),c x y = ，如图，所以2a b += ，当c 与a b +同向时，此时a b c ++ 有最大值，为21+.故选：A .10.窗花是贴在窗户玻璃上的贴纸，它是中国古老的传统民间艺术之一在2022年虎年新春来临之际，人们设计了一种由外围四个大小相等的半圆和中间正方形所构成的剪纸窗花（如图1）．已知正方形ABCD 的边长为2，中心为O ，四个半圆的圆心均为正方形ABCD 各边的中点（如图2），若P 为 BC 的中点，则()PO PA PB ⋅+=（）A .4B.6C.8D.10【答案】C 【解析】【分析】根据平面向量的线性运算将()PO PA PB ⋅+ 化为OA 、OB 、OP表示，再根据平面向量数量积的运算律可求出结果.【详解】依题意得||||2OA OB ==，||2OP =，3π4AOP =Ð，π4BOP =Ð，所以3π2||||cos 22(242OA OP OA OP ⋅=⋅=⨯-=- ，π2||||cos 22242OB OP OB OP ⋅=⋅=⨯= ，所以()PO PA PB ⋅+= ()OP OA OP OB OP -⋅-+- 22||OA OP OB OP OP =-⋅-⋅+ 222228=-+⨯=.故选：C二､填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分，把答案填在题中横线上）11.写出一个与向量()3,4a =-共线的单位向量_____________.【答案】34,55⎛⎫- ⎪⎝⎭（答案不唯一）【解析】【分析】先求出a r ，则aa±即为所求.【详解】5a ==所以与向量()3,4a =- 共线的单位向量为34,55⎛⎫- ⎪⎝⎭或34,55⎛⎫- ⎪⎝⎭.故答案为：34,55⎛⎫- ⎪⎝⎭（答案不唯一）12.已知函数()()sin 0,0,2πf x A x A ωϕωϕ⎛⎫=+>><⎪⎝⎭的部分图象如图，则π3f ⎛⎫= ⎪⎝⎭__________.【解析】【分析】根据图象可得函数()f x 的最大值，最小值，周期，由此可求,A ω，再由5π212f ⎛⎫=⎪⎝⎭求ϕ，由此求得的解析式，然后求得π3f ⎛⎫⎪⎝⎭.【详解】由图可知，函数()f x 的最大值为2，最小值为2-，35ππ3π41234T =+=，当5π12x =时，函数()f x 取最大值2，又()()sin 0,0,2πf x A x A ωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭所以2A =，32π3π44ω⨯=，所以2ω=，所以()()2sin 2f x x ϕ=+，又5π212f ⎛⎫=⎪⎝⎭，所以5π5π2sin 2126f ϕ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由于πππ5π4π,22363ϕϕ-<<<+<，所以5πππ,623ϕϕ+==-，所以()π2sin 23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，ππ2sin 33f ⎛⎫== ⎪⎝⎭.13.已知函数()()πsin 0,2f x x ωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的图象过点10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，则ϕ=__________.，若将函数()f x 图象仅向左平移π4个单位长度和仅向右平移π2个单位长度都能得到同一个函数的图象，则ω的最小值为__________.【答案】①.π6##1π6②.83##223【解析】【分析】由条件列方程求ϕ，再利用平移变换分别得到变换后的函数解析式，并根据相位差为2π,Z k k ∈求解；【详解】因为函数()()sin f x x ωϕ=+的图象过点10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以1sin 2ϕ=，又π2ϕ<，所以π6ϕ=，函数()πsin 6f x x ω⎛⎫=+⎪⎝⎭（0ω>）的图象仅向左平移π4个单位长度得到函数ππππsin sin 4646y x x ωωω⎡⎛⎫⎤⎛⎫=++=++ ⎪ ⎢⎥⎝⎭⎦⎝⎭⎣的图象，函数()πsin 6f x x ω⎛⎫=+⎪⎝⎭（0ω>）的图象仅向右平移π2个单位长度得到ππππsin sin 2626y x x ωωω⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦的图象，则ππππ2π4626k ωω⎛⎫⎛⎫+--+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（Z k ∈），化简得3π2π4k ω=（Z k ∈），解得83k ω=（Z k ∈），由于0ω>，所以当1k =时，ω取得最小值83，故答案为：π8,63．14.已知边长为2的菱形ABCD 中，π3DAB ∠=，点E 满足3BE EC = ，点F 为线段BD 上一动点，则AF BE ⋅的最大值为______.【答案】3【解析】【分析】建立如图平面直角坐标系，设BF BD λ= ，利用平面向量线性运算与数量积的坐标表示可得AF BE⋅关于λ的表达式，从而得解.【详解】如图，以A为原点建立平面直角坐标系，则(0,0),(2,0),A B C D ，因为3BE EC =，所以(33333,4444BE BC ⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭，由题意，设()01BF BD λλ=≤≤，则(()BF λλ=-=- ，则()()()2,02,AF AB BF λλ=+=+-=-，所以()3333324422AF BE λλ⋅=-+=+，因为01λ≤≤，所以当1λ=时，AF BE ⋅的最大值为3.故答案为：3.15.声音是由物体振动产生的声波.我们听到的每个音都是由纯音合成的，纯音的数学模型是函数sin y A t ω=.音有四要素，音调､响度､音长和音色.它们都与函数sin y A t ω=及其参数有关，比如：响度与振幅有关，振幅越大响度越大，振幅越小响度越小；音调与频率有关，频率低的声音低沉，频率高的声音尖锐.我们平时听到的乐音不只是一个音在响，而是许多音的结合，称为复合音.我们听到的声音对应的函数是111sin sin 2sin 3sin 4234y x x x x =++++⋯..给出下列四个结论：①函数1111sin sin 2sin 3sin 4sin1023410y x x x x x =++++⋯+不具有奇偶性；②函数()111sin sin2sin3sin4234f x x x x x =+++在区间ππ,88⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增；③若某声音甲对应的函数近似为()11sin sin 2sin 323g x x x x =++，则声音甲的响度一定比纯音()1sin22h x x =的响度小；④若某声音乙对应的函数近似为()1sin sin 22x x x ϕ=+，则声音乙一定比纯音()1sin22h x x =更低沉.其中所有正确结论的序号是__________.【答案】②④【解析】【分析】对①，结合奇偶性的定义判断即可；对②，利用正弦型函数的单调性作出判断；对③，分别判断()(),g x h x 的振幅大小可得；对④，求出周期，可得频率，即可得出结论.【详解】对于①，令()1111sin sin2sin3sin4sin1023410F x x x x x x =++++⋯+，所以()()()()()()1111sin sin 2sin 3sin 4sin 1023410F x x x x x x -=-+-+-+-+⋯+-，所以()1111sin sin2sin3sin4sin1023410F x x x x x x -=-----⋅⋅⋅-，所以()()F x F x -=-，所以()F x 是奇函数，①错误；对于②，由ππ88x -≤≤可得，ππ244x -≤≤，3π3π388x -≤≤，ππ422x -≤≤，所以111sin ,sin2,sin3,234x x x x 都在ππ,88⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，所以()111sin sin2sin3sin4234f x x x x x =+++在ππ,88⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，所以函数()f x 在区间ππ,88⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，②正确；对于③．因为()11sin sin 2sin 323g x x x x =++，所以π223g ⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以()max 23g x ≥，即()g x 的振幅比()1sin22h x x =的振幅大，所以声音甲的响度一定比纯音()1sin22h x x =的响度大，所以③错误；对于④，因为()()()()112πsin 2πsin 24πsin sin 222x x x x x x ϕϕ+=+++=+=，所以函数()x ϕ为周期函数，2π为其周期，若存在02πα<<，使()()x x ϕϕα=+恒成立，则必有()()0ϕϕα=，()()110sin 0sin 00sin sin 222ϕϕααα∴=+===+，()sin 1cos 0αα∴+=，因为02πα<<，πα∴=，又()()()11πsin πsin 2πsin sin 222x x x x x ϕ+=+++=-+与()1sin sin 22x x x ϕ=+不恒相等，所以函数()1sin sin22x x x ϕ=+的最小正周期是2π，所以频率1112πf T ==而()h x 的周期为π，频率21πf =，12f f <，所以声音乙一定比纯音()1sin22h x x =更低沉，所以④正确．故答案为：②④.三､解答题（本大题共5小题，共60分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）16.如图，在ABC 中，2BD DC = ，E 是AD 的中点，设AB a = ，AC b = .（1）试用a ，b 表示AD ，BE ；（2）若1a b == ，a 与b 的夹角为60︒，求AD BE ⋅ .【答案】（1）1233AD a b =+ ，5163BE a b =-+ （2）518-【解析】【分析】（1）利用向量加法减法的三角形法则及数乘运算即可求解；（2）根据（1）的结论，利用向量的数量积运算法则即可求解.【小问1详解】因为2BD DC = ，所以23BD BC = ，所以221)212(333333AB AC AB AB AC a b AD AB BD AB BC +-=+=+=+=+= .因为E 是AD 的中点，所以()11211()22323BE BA BD AB BC AB AC AB ⎛⎫=+=-+=-+- ⎪⎝⎭ 51516363AB AC a b =-+=-+ .【小问2详解】因为1a b == ，a 与b 的夹角为60︒，所以11cos ,1122a b a b a b ⋅==⨯⨯= ，由（1）知，1233AD a b =+ ，5163BE a b =-+ ，所以22125154233631899AD BE a b a b a a b b ⎛⎫⎛⎫⋅=+⋅-+=--⋅+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭541251892918=--⨯+=-.17.已知函数()π3sin 24f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭（1）求()f x 的最小正周期；（2）求函数()f x 的单调递增区间；（3）若函数()f x 在区间[]0,a 内只有一个零点，直接写出实数a 的取值范围.【答案】（1）()f x 的最小正周期为π，（2）函数()f x 的单调递增区间是3πππ,π88k k ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦()k ∈Z ；（3）a 的取值范围为3π7π,88⎡⎫⎪⎢⎣⎭.【解析】【分析】（1）根据正弦型函数的周期公式求解即可；（2）利用正弦函数的单调区间结论求解；（3）求出()0f x =的解后可得a 的范围．【小问1详解】因为()π3sin 24f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，所以函数()f x 的最小正周期2ππ2T ==；【小问2详解】由πππ2π22π242k x k -≤+≤+，Z k ∈，可得3ππππ88k x k -≤≤+，Z k ∈，所以函数()f x 的单调递增区间是3πππ,π88k k ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦()k ∈Z ；【小问3详解】由π()3sin(204f x x =+=可得，π2π4x k +=，Z k ∈所以ππ28k x =-，Z k ∈，因为函数()f x 在区间[]0,a 上有且只有一个零点，所以3π7π88a ≤<，所以实数a 的取值范围为3π7π,88⎡⎫⎪⎢⎣⎭.18.已知()()()4,0,0,4,cos ,sin ,(0π)A B C ααα<<.（1）若OA OC += （O 为坐标原点），求OB 与OC 的夹角；（2）若⊥ AC BC ，求sin cos αα-的值.【答案】（1）OB 与OC 的夹角为π6，（2）sin cos 4αα-=【解析】【分析】（1）根据向量模长以及夹角的坐标公式计算即可；（2）由向量垂直得到数量积为0，进而得到1sin cos 4αα+=，通过平方得到2sin cos αα，进而可得()2sin cos αα-，再根据α的范围确定正负，开方得解.【小问1详解】因为()()()4,0,0,4,cos ,sin A B C αα，所以()()()4,0,0,4,cos ,sin OA OB OC αα=== ，所以()4cos ,sin OA OC αα+=+ ，由OA OC += ()224+cos sin 21αα+=，所以1cos 2α=，又0πα<<，，所以π3α=，13,22C ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，设OB 与OC 的夹角为β()0πβ≤≤，则cos OB OC OB OC β⋅= 23342==,又0πβ≤≤，故OB 与OC 的夹角为π6，【小问2详解】由⊥ AC BC 得0AC BC ⋅= ，又()cos 4,sin AC αα=- ，()cos ,sin 4BC αα=- ，所以()()cos 4cos sin sin 40αααα-+-=，所以1sin cos 4αα+=，所以152sin cos 016αα-=<，又0πα<<，所以ππ2α<<,所以()21531sin cos 11616αα--=-=，所以sin cos 4αα-=.19.已知函数()()πsin 0,0,2f x A x A ωϕωϕ⎛⎫=+>><⎪⎝⎭，且()f x 图像的相邻两条对称轴之间的距离为π2，再从条件①､条件②､条件③中选择两个作为一组已知条件.（1）确定()f x 的解析式；（2）设函数()π24g x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则是否存在实数m ，使得对于任意1π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，存在2π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，()()12m g x f x =-成立？若存在，求实数m 的取值范围：若不存在，请说明理由.条件①：()f x 的最小值为2-；条件②：()f x 图像的一个对称中心为5π,012⎛⎫ ⎪⎝⎭；条件③：()f x 的图像经过点5π,16⎛⎫- ⎪⎝⎭.注：如果选择多组条件分别解答，按第一个解答计分.【答案】（1）选①②，②③，①③答案都为()2sin(2)6f x x π=+，（2）存在m 满足条件，m 的取值范围为2,0⎤⎦.【解析】【分析】（1）先根据已知求出()f x 的最小正周期，即可求解ω，选条件①②：可得()f x 的最小值为A -，可求A ．根据对称中心可求ϕ，即可得解函数解析式；选条件①③：可得()f x 的最小值为A -，可求A ．根据函数()f x 的图象过点5π,16⎛⎫⎪⎝⎭，可求ϕ，可得函数解析式；选条件②③：根据对称中心可求ϕ，再根据函数()f x 的图象过点5π,16⎛⎫⎪⎝⎭，可求A 的值，即可得解函数解析式．（2）求出函数()f x ，()g x 在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域，再结合恒成立、能成立列式求解作答.【小问1详解】由于函数()f x 图像上两相邻对称轴之间的距离为π2，所以()f x 的最小正周期π2π2T =⨯=，所以2π2T ω==，此时()()sin 2f x A x ϕ=+.选条件①②：因为()f x 的最小值为A -，所以2A =．因为()f x 图象的一个对称中心为5π,012⎛⎫⎪⎝⎭，所以5π2π(Z)12k k ϕ⨯+=∈，所以56k ϕπ=π-，()k ∈Z ，因为||2ϕπ<，所以π6ϕ=，此时1k =，所以()2sin(2)6f x x π=+．选条件①③：因为()f x 的最小值为A -，所以2A =．因为函数()f x 的图象过点5π,16⎛⎫-⎪⎝⎭，则5π()16f =-，所以5π2sin()13ϕ+=-，即5π1sin()32ϕ+=-．因为||2ϕπ<，所以7π5π13π636ϕ<+<，所以5π11π36ϕ+=，所以π6ϕ=，所以()2sin(2)6f x x π=+．选条件②③：因为函数()f x 的一个对称中心为5π,012⎛⎫⎪⎝⎭，所以5π2π(Z)12k k ϕ⨯+=∈，所以5ππ(Z)6k k ϕ=-∈．因为||2ϕπ<，所以π6ϕ=，此时1k =．所以π()sin(26f x A x =+．因为函数()f x 的图象过点5π,16⎛⎫-⎪⎝⎭，所以5π(16f =-，所以5ππsin 136A ⎛⎫+=-⎪⎝⎭，11πsin 16A =-，所以2A =，所以()2sin(2)6f x x π=+．综上，不论选哪两个条件，()2sin(2)6f x x π=+.【小问2详解】由（1）知，()2sin(2)6f x x π=+，由20,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦得：2ππ7π2,666x ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，2π1sin 2,162x ⎛⎫⎡⎤+∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，因此[]2()1,2f x ∈-，由10,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦得：1ππ5π2,444x ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，1πsin 2,142x ⎡⎤⎛⎫+∈-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦，因此1()g x ⎡∈-⎣，从而1()1,g x m m m ⎡-∈---+⎣，由()()12m g x f x =-得：()()21f x g x m =-，假定存在实数m ，使得对1π0,2x ⎡⎤∀∈⎢⎥⎣⎦，2π0,2x ⎡⎤∃∈⎢⎥⎣⎦，()()12m g x f x =-成立，即存在实数m ，使得对1π0,2x ⎡⎤∀∈⎢⎥⎣⎦，2π0,2x ⎡⎤∃∈⎢⎥⎣⎦，()()21f x g x m =-成立，则[]1,1,2m m ⎡---+⊆-⎣，于是得112m m --≥-⎧⎪⎨-+≤⎪⎩，解得20m -≤≤，因此存在实数m ，使得对1π0,2x ⎡⎤∀∈⎢⎥⎣⎦，2π0,2x ⎡⎤∃∈⎢⎥⎣⎦，()()12m g x f x =-成立，所以实数m的取值范围是2,0⎤⎦.20.对于定义在R 上的函数()f x 和正实数T 若对任意x ∈R ，有()()f x T f x T +-=，则()f x 为T -阶梯函数.（1）分别判断下列函数是否为1-阶梯函数（直接写出结论）：①()2f x x =；②()1f x x =+.（2）若()sin f x x x =+为T -阶梯函数，求T 的所有可能取值；（3）已知()f x 为T -阶梯函数，满足：()f x 在,2T T ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，且对任意x ∈R ，有()()2f T x f x T x --=-.若函数()()F x f x ax b =--有无穷多个零点，记其中正的零点从小到大依次为123,,,x x x ⋅⋅⋅；若1a =时，证明：存在b ∈R ，使得()F x 在[]0,2023T 上有4046个零点，且213240464045x x x x x x -=-=⋅⋅⋅=-.【答案】（1）①否；②是（2）2πT k =，*k ∈N （3）证明见解析【解析】【分析】（1）利用T -阶梯函数的定义进行检验即可判断；（2）利用T -阶梯函数的定义，结合正弦函数的性质即可得解；（3）根据题意得到()()F x T F x +=，()()F T x F x -=，从而取3344TT b f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，结合零点存在定理可知()F x 在(),1mT m T +⎡⎤⎣⎦上有且仅有两个零点：4T mT +，34T mT +，从而得解.【小问1详解】()2f x x =，则22(1)()(1)211f x f x x x x +-=+-=+≠；()1f x x =+，则(1)()11f x f x x x +-=+-=，故①否；②是.【小问2详解】因为()f x 为T -阶梯函数，所以对任意x ∈R 有：()()()()()sin sin sin sin f x T f x x T x T x x x T x T T +-=+++-+=+-+=⎡⎤⎣⎦.所以对任意x ∈R ，()sin sin x T x +=，因为sin y x =是最小正周期为2π的周期函数，又因为0T >，所以2πT k =，*k ∈N .【小问3详解】因为1a =，所以函数()()F x f x x b =--，则()()()()()()()F x T f x T x T b f x T x T b f x x b F x +=+-+-=+-+-=--=，()()()()()()()2F T x f T x T x b f x T x T x b f x x b F x -=----=+----=--=.取3344TT b f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则有3330444TT T F f b ⎛⎫⎛⎫=--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，30444T T T F F T F ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，由于()f x 在,2T T ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，因此()()F x f x x b =--在,2T T ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，结合()()F T x F x -=，则有()F x 在0,2T ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有唯一零点4T ，在,2T T ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有唯一零点34T .又由于()()F x T F x +=，则对任意k ∈Ζ，有044T T F kT F ⎛⎫⎛⎫+== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，33044T T F kT F ⎛⎫⎛⎫+== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因此，对任意m ∈Z ，()F x 在(),1mT m T +⎡⎤⎣⎦上有且仅有两个零点：4T mT +，34T mT +.综上所述，存在3344TT b f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，使得()F x 在[]0,2023T 上有4046个零点，且14T x =，234T x =，354T x =，474T x =，L ，404580894T x =，404680914T x =，其中，2132404640452T x x x x x x -=-=⋅⋅⋅=-=.【点睛】关键点睛：本题解决的关键是充分理解新定义T -阶梯函数，从而在第3小问推得()()F x T F x +=，()()F T x F x -=，由此得解.。
高一数学下学期期中考试试卷讲评
1问频率分布表、频率分布直方图信息读取，总
计26分
本部分第4题两个班累计错18个，班累计错 2 13个，希望 引起2班同学注意
概率：11、16、17、21，1选择题，1填空题，2大题， 11考查了几何概型、16考查了概率的基本概念，17考 查了古典概型，具有一定综合性，21考查了互斥事件 概率运算、古典概型，总计32分
)
y sin a = ? y r
r sin a
定义域为R的偶函数f ( x) 满足对任意x Î R,有
[ 2, 3] 时，f ( x) p = - 2 sin x - 2, 若函数 y = f ( x) - log ( x +1) 在 2 +¥ ) 上至少有三个零点，则实数a的取值 ( 0， 范围是 ( )
本部分累计失分情况，11题12个，16题15个， 17题15人次，大多数丢6分，21题12人次，失 分较多的题目是17题
三角函数：3、6、7、9、10、12、13、14、15、18、 20、22，6选择题，3填空题，3大题，3考查了弧长 公式、10、14、18考查了三角函数定义、同角三角 函数的基本变换、诱导公式，6、7、9、13、20考查 了三角函数的图像及性质，相对基础，12、22考查 了三角函数性质的综合运用，注意函数中重点问题 最值、恒成立、图像交点个数问题，总计81分
算法：2、5、6、8，均为选择题，2考查了算法语句、 5、6、8考查了程序框图，5考查了递归运算，6、8与 函数结合考查了函数的性质，6与三角函数结合，此 部分总计20分
本部分累计错题个数两个班共计19个，共95分
统计：1、4、19、21第 1问，2选择题，2大题， 1考查了回归直线的性质，4考查了简单随机抽样 中的随机数表法，19考查了分层抽样、频率分布 表、茎叶图、数据的方差、基本数据处理，21第
【20套试卷合集】合肥市第四十八中学2019-2020学年数学高一上期中模拟试卷含答案
2019-2020学年高一上数学期中模拟试卷含答案一、选择题（本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合{}231,,log (1)1,,,A x x B x x x S A S B x ⎧⎫=≥∈=+≤∈⊆⋂≠∅⎨⎬⎩⎭N N ，则集合S 的个数为 A.0B.2C.4D.82. 某班共40人，其中24人喜欢篮球运动，16人喜欢乒乓球运动，6人这二项运动都不喜欢，则喜欢篮球运动但不喜欢乒乓球运动的人数为 A.17B. 18C.19D.203. 已知0.30.22log 0.3,2,0.3a b c ===，则,,a b c 三者的大小关系是A b a c >>.B. b c a >>C.a b c >>D.c b a >>4. 设函数221,1(),1x x f x x ax x ⎧+<⎪=⎨+≥⎪⎩若((0))4f f a =，则实数a 等于A.12B.45C.2D. 95. 化简()()4433log 3log 9log 2log 8++=A.6B.6-C.12D.12-7. 下列函数中在区间()3,4内有零点的是A. 53lg 2y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭B. 335=--+y x x C. 144-=+-x y ex D. ()()()3234=+-++y x x x x8. 已知函数()ln 2xf x x =+，若2(4)2f x -<，则实数x 的取值范围是 A.(2,2)-B.C.(2)-D.(2)(2,-⋃9.设奇函数()x 在[1,1]-上是增函数，且(1)1f -=-，若函数2()21f x t at ≤-+对所有的[1,1],[1,1]x a ∈-∈-都成立，则t 的取值范围是A.22t -≤≤B.1122t -≤≤ C.220t t t ≥≤-=或或 D.11022t t t ≥≤-=或或 10. 设函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且对任意的x ∈R 恒有(1)(1)f x f x +=-，已知当[0,1]x ∈时，11()()2x f x -=，则：①(2)()f x f x +=；②函数()f x 在(1,2)上递减，在(2,3)上递增；③函数()f x 的最大值是1，最小值是0； ④当(3,4)x ∈时，31()()2x f x -=.其中正确结论的个数是 A. 1B. 2C. 3D. 4二、填空题（本大题共5个小题，每小题5分，共25分，请将各题的正确答案直接写在题目中的横线上） 11. 若函数()(21)()xf x x x a =+-为奇函数，则a =____________.12. 已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x >时()2=1++f x x x ，则()1=f - . 13. 已知幂函数3*()m y xm N -=∈的图像关于y 轴对称，且在()0,+∞上单调递减，则m =14. 已知函数()()33(1)log (1)a a x x f x x x ⎧--≤⎪=⎨>⎪⎩在R 上单调递增，则实数a 的取值范围为 .15. 已知x R ∈，符号[]x 表示不超过x 的最大整数，若函数[]()(0)x f x x x=>，则给出以下四个结论： ①函数()f x 的值域为［0，1］；②函数()f x 的图象是一条曲线；③函数()f x 是（0,+∞）上的减函数； ④函数()()g x f x a =-有且仅有3个零点时3445a <≤. 其中正确的序号为_______________.三、解答题（本大题共6个小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16.（本题满分12分）设集合{}{}2,21,4,5,1,9A x x B x x =--=--，若{}9A B ⋂=，求A B ⋃.17.（本题满分12分）若集合{}34M x x =-≤≤，集合{}211P x m x m =-≤≤+.（1）是否存在实数m ，使得M = P. 若存在求出m ，若不存在请说明理由. （2）若两个集合中其中一个集合是另一个集合的真子集，求实数m 的取值范围.18.（本题满分12分）若定义域为R 的函数12()2x x bf x a+-+=+是奇函数.（1）求,a b 的值；（2）若对任意的t ∈R ，不等式22(2)(2)0f t t f t k -+-<恒成立，求k 的取值范围.19.（本题满分12分）某工厂某种产品的年固定成本为250万元，每生产x 千件，需另投入成本为()C x ，当年产量不足80千件时，21()103C x x x =+（万元）. 当年产量不少于80千件时，10000()511450C x x x=+-（万元），每件商品售价为0.05万元. 通过市场分析，该厂生产的商品能全部售完. （1）写出年利润()L x （万元）关于年产量x （千件）的函数解析式； （2）年产量为多少千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？21.（本题满分14分）若定义在R 上的函数()f x 满足：①对任意,x y ∈R ，都有：()()()1f x y f x f y +=+-； ②当0x <时，()1f x >.（Ⅰ）试判断函数()1f x -的奇偶性； （Ⅱ）试判断函数()f x 的单调性； （Ⅲ）若不等式21(27)02f a a --+>的解集为{}24a a -<<，求(5)f 的值.数学 参考答案故{}8,7,4,4,9A B ⋃=---；……………………………………8分当5x =时，{}{}25,9,4,0,4,9,A B =-=-此时{}4,9A B ⋂=-与{}9A B ⋂=矛盾，故舍去.……………………………………10分综上所述，{}8,7,4,4,9A B ⋃=---.……………………………………12分17.解：（1）321m -=-且41m =+ 1m ∴=-且3m =∴不存在.……………………………………4分（2）若P M ，则3211412121m m m m m -≤-⎧⎪+≤⇒-≤≤⎨⎪+≥-⎩或P =∅⇒2m >；……………8分 若M P ，则32141m m m -≥-⎧⇒∈∅⎨≤+⎩，……………………………………10分 综上：1m ≥.……………………………………12分18.解：（1）因为()f x 是R 上的奇函数，所以(0)0f =，即102ba-+=+，解得1b =，从而有121()2x x f x a +-+=+. 又由11212(1)(1)41f f a a-+-+=--=-++知，解得2a =. ……………………6分（2）由（1）知12111()22221x x x f x +-+==-+++，由上式知()f x 在R 上为减函数，又因()f x 是奇函数，从而不等式22(2)(2)0f t t f t k -+-<，等价于22(2)(2)f t t f t k -<--2(2)f t k =-+.因()f x 是R 上的减函数，由上式推得2222,20t t t k x ->-+-≤≤即对一切t ∈R 有2320t t k -->，从而4120k =+<，解得13k <-.……………………12分≠⊂≠⊂2140250,0803()100001200(),80x x x L x x x x ⎧-+-<<⎪⎪∴=⎨⎪-+≥⎪⎩………………………………6分（2）当080x <<时 21()(60)9503L x x =--+ 60x ∴=时，()m a x (60)9L x L == ………………………………8分当80x ≥时.L 10000()1200()12001000x x x=-+≤-= ………………………………10分当100x =时取“=”. max 10000950L => ∴当产量为100千件时，利润最大为1000万元.…………………………12分20.解：（1）设(,)P x y 是函数()y g x =图象上的任意一点，则P 关于原点的对称点Q 的坐标为(,)x y --.已知点Q 在函数()f x 的图象上，()y f x ∴-=-，而()l o g (1a f x x =+，l o g (1)a y x ∴-=-+ l o g (1)a y x ∴=--+ 而(,)P x y 是函数()y g x =图象上的点，1()log (1)log .1a ay g x x x∴==--+=- ……………………5分（2）当[0,1)x ∈时，11()()log (1)log log .11a aa x f x g x x x x++=++=-- ……………………7分下面求当[0,1)x ∈时()()f x g x +的最小值. 令11x t x +=-，则11t x t -=+.[0,1)x ∈，即1011t t -≤<+，解得1t ≥， 111xx+∴≥-.……………………………………10分 又11,log log 101aa xa x+>∴≥=-，……………………………………11分()()0f x g x ∴+≥，[01)x ∴∈，时，()()f x g x +的最小值为0.当[01)x ∈，时，总有()()f x g x m +≥成立，0m ∴≤，即所求m 的取值范围为(,0]-∞.……………………………………13分（Ⅱ）任取12,(,)x x ∈-∞+∞且12x x <，则212111()()[()]()f x f x f x x x f x -=-+-21112112()()1()()1[()1]f x x f x f x f x x f x x =-+--=-----由（2）知120x x -<. 则121221()1,()10()()0f x x f x x f x f x ->∴-->∴-< 即：21()()f x f x <. ()f x ∴在(,)-∞∞上单调递减. …………9分（Ⅲ）21(27)()2f a f m -->-=由（Ⅱ）知：227a a m --<的解集为(2,4)- 1m ∴=. 即：1(1)2f =-. (2)2f ∴=- (4)5f =-13(5)(4)(1)12f f f =+-=-……………………………………14分数学 参考答案1-5 CBBCA6-10 DADCC11.1212.3-13. 114. 36a <≤15.④16.解：由9A ∈，可得29x =，或219x -=，解得3x =±，或5x =.……………………………………4分当3x =时，{}{}9,5,4,2,2,9A B =-=--，B 中元素重复，故舍去； ……6分当3x =-时，{}{}{}9,7,4,8,4,9,9A B A B =--=-⋂=满足题意， 故{}8,7,4,4,9A B ⋃=---；……………………………………8分当5x =时，{}{}25,9,4,0,4,9,A B =-=-此时{}4,9A B ⋂=-与{}9A B ⋂=矛盾，故舍去.……………………………………10分综上所述，{}8,7,4,4,9A B ⋃=---.……………………………………12分17.解：（1）321m -=-且41m =+ 1m ∴=-且3m =∴不存在.……………………………………4分（2）若P M ，则3211412121m m m m m -≤-⎧⎪+≤⇒-≤≤⎨⎪+≥-⎩或P =∅⇒2m >；……………8分 若M P ，则32141m m m -≥-⎧⇒∈∅⎨≤+⎩，……………………………………10分 综上：1m ≥.……………………………………12分18.解：（1）因为()f x 是R 上的奇函数，所以(0)0f =，即102b a -+=+，解得1b =，从而有121()2x x f x a +-+=+.又由11212(1)(1)41f f a a-+-+=--=-++知，解得2a =. ……………………6分（2）由（1）知12111()22221x x x f x +-+==-+++，由上式知()f x 在R 上为减函数，又因()f x 是奇函数，从而不等式22(2)(2)0f t t f t k -+-<，等价于22(2)(2)f t t f t k -<--2(2)f t k =-+.因()f x 是R 上的减函数，由上式推得2222,20t t t k x ->-+-≤≤即对一切t ∈R 有2320t t k -->，从而4120k =+<，解得13k <-.……………………12分19.解：（1）依题意当080x <<时，21()(0.051000)(10250)3L x x x x =⨯+--- 21402503x x =-+-. 当80x ≥时，10000()(0.051000)(511450250)L x x x x=⨯+--+- ≠⊂≠⊂100001200()x x=-+. 2140250,0803()100001200(),80x x x L x x x x ⎧-+-<<⎪⎪∴=⎨⎪-+≥⎪⎩………………………………6分（2）当080x <<时 21()(60)9503L x x =--+ 60x ∴=时，()m a x (60)9L x L == ………………………………8分当80x ≥时.L 10000()1200()12001000x x x=-+≤-= ………………………………10分当100x =时取“=”. max 10000950L => ∴当产量为100千件时，利润最大为1000万元.…………………………12分20.解：（1）设(,)P x y 是函数()y g x =图象上的任意一点，则P 关于原点的对称点Q 的坐标为(,)x y --.已知点Q 在函数()f x 的图象上，()y f x ∴-=-，而()l o g (1a f x x =+，l o g (1)a y x ∴-=-+ l o g (1)a y x ∴=--+ 而(,)P x y 是函数()y g x =图象上的点，1()log (1)log .1a ay g x x x∴==--+=- ……………………5分（2）当[0,1)x ∈时，11()()log (1)log log .11a aa x f x g x x x x++=++=-- ……………………7分下面求当[0,1)x ∈时()()f x g x +的最小值.令11x t x +=-，则11t x t -=+. [0,1)x ∈，即1011t t -≤<+，解得1t ≥， 111x x+∴≥-. ……………………………………10分 又11,log log 101a a xa x+>∴≥=-， ……………………………………11分()()0f x g x ∴+≥，[01)x ∴∈，时，()()f x g x +的最小值为0. 当[01)x ∈，时，总有()()f x g x m +≥成立， 0m ∴≤，即所求m 的取值范围为(,0]-∞.……………………………………13分21.解：（Ⅰ）令,(0)()()1y x f f x f x =-=+-- 0(0)1x y f ===得 即()1[()1f x f x --=-- ()1f x ∴-是奇函数.…………………………………………4分（Ⅱ）任取12,(,)x x ∈-∞+∞且12x x <，则212111()()[()]()f x f x f x x x f x -=-+- 21112112()()1()()1[()1]f x x f x f x f x x f x x =-+--=-----由（2）知120x x -<. 则121221()1,()10()()0f x x f x x f x f x ->∴-->∴-< 即：21()()f x f x <. ()f x ∴在(,)-∞∞上单调递减. …………9分（Ⅲ）21(27)()2f a f m -->-=由（Ⅱ）知：227a a m --<的解集为(2,4)- 1m ∴=. 即：1(1)2f =-. (2)2f ∴=- (4)5f =-13(5)(4)(1)12f f f =+-=- ……………………………………14分2019-2020学年高一上数学期中模拟试卷含答案一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分． 1．()+∞,2 2．[0,)+∞ 3．34 4．215．36．(1x7．(－3,－1) 8．22 9．()()4554--,, 10．0 11．(0，－3，4，－1)12．113．(－11, 4)14．－1二、解答题：本大题共6小题，共90分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．解：(1)设x ＜0，则－x ＞0，于是f (－x )＝－x ＋x 2，又f (x )是奇函数，即x ＜0时，f (x )＝x －x 2(2)假设存在这样的数a ，b ，因为a ≥0，且f (x )＝x ＋x 2在x ≥0时为增函数， 所以x ∈[a ，b ]时，f (x )∈[f (a )，f (b )]＝ [4a －2，6b －6]所以⎩⎨⎧+==-+==-b b b f b a a a f a 22)(66)(24⎩⎨⎧=+-=+-⇒06502322b b a a 考虑到0≤a ＜b 且4a －2＜6b －6 可得符合条件a ，b 的值分别为⎩⎨⎧==21b a 或⎩⎨⎧==31b a 或⎩⎨⎧==32b a16．解：(1)设f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，由f (0)＝1得c ＝1，故f (x )＝ax 2＋bx ＋1． ∵f (x ＋1)－f (x )＝2x ，∴a (x ＋1)2＋b (x ＋1)＋1－(ax 2＋bx ＋1)＝2x ．即2ax ＋a ＋b ＝2x ，所以221,01a a ab b ==⎧⎧∴⎨⎨+==-⎩⎩，∴f (x )＝x 2－x ＋1． (2)由题意x 2－x ＋1＞2x ＋m 在[－1，1]上恒成立．即x 2－3x ＋1－m ＞0在[－1，1]上恒成立． 设g (x )＝ x 2－3x ＋1－m ，其图象的对称轴为直线x ＝32 ，所以g (x )在[－1，1]上递减．故只需g (1)＞0，即12－3×1＋1－m ＞0，解得m ＜－1．17．(1)解 ∵f (x )是R 上的偶函数，∴f (－x )＝f (x )，∴,e e ee x x x x aa a a +=+--∴(a －)e 1e )(1xx a -＝0对一切x 均成立，∴a －a1＝0，而a ＞0,∴a ＝1．(2)证明 在(0，＋∞)上任取x 1、x 2，且x 1＜x 2, 则f (x 1)－f (x 2)＝1e x＋1e 1x －2e x －2e1x ＝)e e(12x x -().1e121-+x x∵x 1＜x 2,∴,e e21x x <有.0e e 12>-xx∵x 1＞0,x 2＞0,∴x 1＋x 2＞0,∴21ex x +＞1,21e1x x +－1＜0．∴f (x 1)－f (x 2)＜0,即f (x 1)＜f (x 2故f (x )在(0,＋∞)上是增函数．18．解：(1)对任意x a R x ,,21∈＞0, ∴［f (x 1)＋ f (x 2)］－2 f (2)222212121-+++=+x ax x ax x x ［a (2)221221x x x x +++)］＝ a x 2212122212221)(21)2(21x x a x x x x a ax -=++-+≥0．∴f ()221x x +≤21［f )()(21x f x +］．∴函数f (x )是凹函数; (2)由| f (x )|≤1⇔－1≤f (x )≤1⇔－1≤2ax ＋x ≤1．(*)当x ＝0时，a ∈R ;当x ∈(0,1］时，(*)即⎪⎩⎪⎨⎧+-≤--≥,1,122恒成立x ax x ax即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--=-≤++-=--≥.41)211(1141)211(112222恒成立x x x a x x x a∵x ∈(0,1］,∴x1≥1． ∴当x 1＝1时，－(x 1＋21)2－41取得最大值是－2；当x 1＝1时，(x 1－21)2－41取得最小值是0．∴－2 ≤a ≤0 ,结合a ≠0，得－2≤a ＜0．综上，a 的范围是［－2,0)．19．解：(1)f (0)＝1表示没有用水时，蔬菜上的农药量将保持原样； (2)函数f (x )应满足的条件和具有的性质是：f (0)＝1， f (1)＝21，在[0，＋∞)上 f (x )单调递减，且0＜f (x )≤1； (3)设仅清洗一次，残留的农药量为：f 1＝211a+， 清洗两次后残留的农药量为：f 2＝22211⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+a ＝22)4(16a +则由f 1－f 2可得：①当a ＞22时，f 1＞f 2；②当a ＝22时， f 1＝f 2；③当0＜a ＜22时，f 1＜f 2．20．解：(1)由a ＜0, aa x a x f 163)4()(2-++= 当a163-＞5，即08<<-a 时，要使|()f x |≤5，在∈x [0，)(a M ]上恒成立，要使得)(a M 最大，)(a M 只能是5382=++x ax 的较小的根，即)(a M ＝aa 4162-+；当a163-≤＞5，即8-≤a 时，要使|()f x |≤5，在∈x [0，)(a M ]上恒成立，要使得)(a M 最大，)(a M 只能是5382-=++x ax 的较大的根，即)(a M ＝aa 4242---；所以)(a M ＝⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-≤---<<--+)8(4242)08(4162a a a a a a(2)当 08<<-a 时， )(a M ＝a a 4162-+＝41622++a ＜21；当 8-≤a 时， )(a M ＝a a 4242---＝2244--a ≤2204-＝215+； 所以)(a M 的最大值为M (－8)＝215+ 命题：唐一良 校对：侯绪兵2019-2020学年高一上数学期中模拟试卷含答案一、选择题：(5*12=60分)1．设集合U={1，2，3，4，5}，A={2,4}，B={1,2,3}，则 图中阴影部分所表示的集合是（ ）A ．{1,3,4}B ．{4}C ．{4,5}D ．{2,4}2．若函数y=1-x 的定义域为集合A ，函数y=x 2+2的值域为集合B ，则A B ⋂=（ ） A ．[1,)+∞ B ．(1,)+∞C ．[2,)+∞D ．(0,)+∞3．如下图，可表示函数y=f(x)的图象的可能是( )4．已知：f （x1）=11+x ，则f （2）的值为（ ）A ．31 B ．32C ．3D ．235．下列函数中表示相同函数的是( ) A ．y=2log 2x 与y=log 2x 2 B ．y=2x 与y=(x )2 C ．y=x 与y=log 22x D ．42-=x y 与22+∙-=x x y6．若二次函数f(x)=(m-1)x 2+2mx+1是偶函数，则f(x)在区间(-∞,0]上是( ) A ．增函数 B ．先增后减函数 C ．减函数D ．先减后增函数7．如图：曲线C 1与C 2分别是y=x m ，y=x n 在第一象限的图象，则( ) A ．n<m<0 B ．m<n<0 C ．n>m>0 D ．8．已知f(x)=⎪⎩⎪⎨⎧<≥)0()0(2x x x x 则f(f(-2))的值是( )A ．2B ．-2C ．4D ．-4 9．设y 1=log 0.70.8,y 2=log 1.10.9,y 3=1.10.9则有( )A ．y 3>y 1>y 2B ．y 2>y 1>y 3C ．y 1>y 2>y 3D ．y 1>y 3>y 210．函数1)(2-+=ax ax x f ，若f (x)<0在R 上恒成立，则a 的取值范围为（ ）A ．0≤aB ．4-<aC ．04<<-aD ．04≤<-a11．函数 f(x)=x 2-4x+5在区间 [0,m]上的最大值为5，最小值为1，则m 的取值范围是（ ）A. ),2[+∞B.[2,4]C.(]2,∞- D ．[0,2]12．已知函数()f x 的定义域为D ，若对任意12,x x D ∈，当12x x <时，都有12()()f x f x ≤，则称函数()f x 在D 上为非减函数．设函数()f x 在[0,1]上为非减函数，且满足以下三个条件：①(0)0f =；②1()()32x f f x =；③(1)2()f x f x -=-．则11()()38f f +=( )A.32B. 1C. 2D.52二．填空题(5*4=20分)13．如果指数函数xa x f )1()(-=是R 上的减函数，则a 的取值范围是 ___________. 14．设函数()()()xa x x x f ++=1为奇函数，则实数=a .15．定义在[3-a,5]上的函数f(x)为奇函数，则log a (a+8)=____________. 16．二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象如图所示，有下列4个结论①0abc >;②b a c <+;③420a b c ++>；④240b ac ->; 其中正确的结论是_________. 三、解答题：17．计算 (本题满分10分)（1）25lg 50lg 2lg )2(lg 2+⋅+ ； （2）03122322711.0412π+⎪⎭⎫⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛--。
2024-2025学年高一上学期期中模拟考试数学试题(北师大版2019必修第一册第一-三章)含解析
2024-2025学年高一数学上学期期中试卷注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
4．测试范围：北师大版2019必修第一册第一章~第三章。
5．难度系数：0.65。
第一部分（选择题共58分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
．B．C．D．【答案】D二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．第二部分（非选择题共92分）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
四、解答题：本题共5小题，共77分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。
15．（13分）16．（15分）设集合{}|(3)()0,R A x x x a a =--=∈，{}2|540B x x x =-+=.(1)当4a =时，求A B ⋂，A B ；(2)记C A B = ，若集合C 的真子集有7个，求：所有实数a 的取值所构成的集合.【解析】（1）当4a =时，{}}|(3)(4)R {30,4,x x x a A ==∈=--，2540x x -+=，即(4)(1)0x x --=，解得4x =或1，{1,4}B ∴=，{4}A B ∴= ，{1,3,4}A B ⋃=.（7分）（2）若集合C 的真子集有7个，则217n -=，可得3n =，即C A B = 中的元素只有3个，而(3)()0x x a +-=，解得3x =或a ，则{3,}A a =，由（1）知{1,4}B =，则当1,3,4a =时，{1,3,4}C A B == ，故所有实数a 的取值所构成的集合为{1,3,4}.（15分）17．（15分）18．（17分）19．（17分）。
北京市2023-2024学年高一下学期期中测验数学试卷含答案
2023-2024学年第二学期期中测验高一数学高一数学（答案在最后）本试卷共4页，共150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.第一部分（选择题，共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.240︒是（）A.第一象限角B.第二象限角C.第三象限角D.第四象限角【答案】C 【解析】【分析】根据240︒所在区域及象限角的定义判断得解.【详解】显然180240270<︒°°<，所以240︒是第三象限角.故选：C2.已知向量a ，b 在正方形网格中的位置如图所示.若网格中每个小正方形的边长均为1，则a b ⋅=（）A.4-B.2- C.2 D.4【答案】A 【解析】【分析】根据给定的图形，求出||,||,,a b a b 〈〉，再利用数量积的定义求解即得.【详解】观察图形知，3π|||2,,4a b a b ==〈〉= ，所以2()42a b ⋅=⨯-=- .故选：A3.下列函数中，最小正周期为π且是奇函数的是（）A.sin y x =B.cos y x= C.tan2y x= D.sin cos y x x=【答案】D【解析】【分析】由题意，利用三角函数的奇偶性和周期性，得出结论.【详解】由于sin y x =是最小正周期为2π的奇函数，则A 错误；由于cos y x =为偶函数，则B 错误；由于tan2y x =是最小正周期为π2的奇函数，则C 错误；由于1sin cos sin22y x x x ==，则sin cos y x x =是最小正周期为π的奇函数；即D 正确；故选：D4.已知向量a ，b满足()0,1a = ，1b = ，a b -=r r ，则,a b 〈〉= （）A.π6B.π3C.π2 D.2π3【答案】D 【解析】【分析】利用数量积的运算律结合已知求出a b ⋅，再利用夹角公式计算即得.【详解】由()0,1a = ，得||1a =r，由a b -=r r ，1b = ，得2()3a b -= ，即2223a b a b +-⋅=，即1123a b +-⋅= ，解得12a b ⋅=- ，于是1cos ,2||||a b a b a b ⋅〈〉==-，而,[0,π]a b 〈〉∈ ，所以2π,3a b 〈〉= .故选：D5.已知函数()()sin 0f x x x ωωω=+>的图象与直线2y =的相邻两个交点间的距离等于π，则()f x 的图象的一条对称轴是（）A.π12x =B.π6x =C.5π12x =D.5π6x =【答案】A 【解析】【分析】先求出()y f x =的图象和直线2y =的全部交点，然后根据已知条件得到2ω=，再确定()f x 的表达式，最后确定()f x 图象的全部对称轴，即可选出答案.【详解】由于()πsin 2sin 3f x x x x ωωω⎛⎫=+=+⎪⎝⎭，故方程()2f x =等价于()ππ2π32x k k ω+=+∈Z ，即()π2π6k x k ωω=+∈Z .故()y f x =的图象和直线2y =的全部交点为()π2π,26k k ωω⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭Z ，由于相邻两个交点间的距离等于π，故2ππω=，即2ω=.所以()π2sin 23f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭，其图象的全部最值点x 满足()ππ2π32x k k +=+∈Z ，即()ππ122k x k =+∈Z .所以()f x 的图象的全部对称轴为()ππ122k x k =+∈Z ，取0k =即知A 正确.而ππ5πππ5ππ2π126121226122<<<+<<+，故B ，C ，D 错误.故选：A.6.已知ABC 满足AB AC =，tan 2B =，则tan A =（）A.43B.43-C.45 D.45-【答案】A 【解析】【分析】利用诱导公式及二倍角的正切公式计算即得.【详解】在ABC 中，AB AC =，tan 2B =，则π2A B =-，所以222tan 224tan tan 21tan 123B A B B ⨯=-=-=-=--.故选：A7.已知函数()()sin f x A x ωϕ=+（其中0A >，0ω>，π2ϕ<）的部分图象如图所示，要得到函数2sin 2y x =的图象，只需将函数()f x 的图象（）A.向左平移π3个单位 B.向左平移π6个单位C.向右平移π3个单位 D.向右平移π6个单位【答案】D 【解析】【分析】根据图象求出函数()()sin f x A x =+ωϕ的解析式，由()()sin f x A x =+ωϕ的图象变换规律，得出结论.【详解】根据函数()()sin f x A x =+ωϕ（其中0A >，0ω>，π2ϕ<）的部分图象，可得2A =，12π7ππ44123T ω=⋅=-，解得2ω=，再根据五点法作图可得π2π3ϕ⨯+=，解得π3ϕ=，故()π2sin 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，故将函数()f x 的图象向右平移π6个单位，可得ππ2sin 2()2sin263y x x ⎡⎤=-+=⎢⎥⎣⎦的图象，经检验，其他选项都不正确.故选：D8.若π3cos 45α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则sin2α=（）A.725B.725-C.925D.925-【答案】B 【解析】【分析】由2ππ224αα⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，结合诱导公式和二倍角的余弦公式，计算即可得到所求值.【详解】由于2ππ224αα⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，所以2ππππ97sin2sin 2cos22cos 12144425252αααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+=-=--=⨯-=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，故选：B9.已知函数()()cos f x x ϕ=+．则“()()11f f -=-”是“()f x 为奇函数”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】【分析】若()()11f f -=-，利用和差角公式求出ϕ，即可判断()f x 的奇偶性，从而判断充分性，再由奇函数的定义判断必要性.【详解】因为()()cos f x x ϕ=+，若()()11f f -=-，即()()cos 1cos 1ϕϕ-+=-+，即cos cos1sin sin1cos cos1sin sin1ϕϕϕϕ+=-+，所以cos cos10ϕ=，又cos10≠，所以cos 0ϕ=，所以ππ,Z 2k k ϕ=+∈，当k 为偶数时()()s s 2i πco n s co f x x x x ϕ=++⎛⎫==- ⎪⎝⎭，则()f x 为奇函数；当k 为奇数时()()s s πcos co πi 2n x f x x x ϕ⎛⎫== ⎪⎝⎭=+++，则()f x 为奇函数；综上可得由()()11f f -=-可得()f x 为奇函数，故充分性成立；由()f x 为奇函数，则()()f x f x -=-，显然满足()()11f f -=-，故必要性成立；所以“()()11f f -=-”是“()f x 为奇函数”的充要条件.故选：C10.如图，A 是轮子外边沿上的一点，轮子半径为0.3m.若轮子从图中位置向右无滑动滚动，则当滚动的水平距离为22m 时，下列选项中，关于点A 的描述正确的是（参考数据：7π21.991≈）（）A.点A 在轮子的右上位置，距离地面约为0.56mB.点A 在轮子的右上位置，距离地面约为0.45mC.点A 在轮子的左下位置，距离地面约为0.15mD.点A 在轮子的左下位置，距离地面约为0.04m 【答案】B 【解析】【分析】计算出车轮转动的周期数即可得确定位置和距地面的距离.【详解】车轮的周长为2π0.30.6π m ⨯=，当滚动的水平距离为7π22m ≈时，7π2110.6π3=+，即车轮转动2113+个周期，即点A在轮子的右上位置，如图所示，距离地面约为π0.30.3cos 0.45m 3+⨯=，故选：B.第二部分（非选择题，共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.11.函数tan()4y x π=+的定义域为__________________.【答案】|,4x x k k Z ππ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭【解析】【详解】试题分析：由,42x k k Z πππ+≠+∈，解得,4x k k Z ππ≠+∈，所以定义域为|,4x x k k Z ππ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭考点：本题考查定义域点评：解决本题的关键熟练掌握正切函数的定义域12.已知向量(a = ，()cos ,sin b θθ= ，使a 和b 的夹角为钝角的θ的一个取值为________.【答案】π2-（答案不唯一）【解析】【分析】根据给定条件，利用0a b ⋅<且a 和b不共线，求出θ的值的范围即可.【详解】由a 和b 的夹角为钝角，得0a b ⋅< 且a 和b不共线，则cos 0sin θθθθ⎧+<⎪⎨≠⎪⎩，由cos 0θθ+<，得π2sin()06θ+<，解得ππ2π2π,Z 6k k k θ-+<+<∈，整理得7ππ2π2π,Z 66k k k θ-+<<-+∈，当sin θθ=时，tan θ=，ππ,Z 3k k θ=+∈，而sin θθ≠，则ππ,Z 3k k θ≠+∈，因此当a 和b 的夹角为钝角时，7ππ2π2π,Z 66k k k θ-+<<-+∈且ππ,Z 3k k θ≠+∈，所以a 和b 的夹角为钝角的θ的一个取值为π2-.故答案为：π2-（答案不唯一）.13.若函数π()sin()6f x x ω=+（0ω>）和22()cos ()sin ()g x x x ϕϕ=+-+的图象的对称轴完全重合，则ω=_________，π()6g =__________.【答案】①.2②.1-或1【解析】【分析】化简函数()g x 并求出其周期，由两个函数周期相同求出ω，再求出对称轴进而确定ϕ即可求出π()6g .【详解】依题意，()cos(22)g x x ϕ=+，函数()g x 的周期为π，由函数()f x 和()g x 的图象对称轴完全重合，得()f x 的周期2ππT ω==，所以2ω=；函数π()sin(26f x x =+，由11ππ2π,Z 62x k k +=+∈，得11ππ,Z 62k x k =+∈，函数()g x 中，由2222π,Z x k k ϕ+=∈，得22π,Z 2k x k ϕ=-+∈，依题意，1221π,Z ππ,Z 622k k k k ϕ-++∈∈=，1212Z ),(ππZ 62,k k k k ϕ-∈-=∈+则当12Z,Z k k ∈∈时，12π()cos[2(])3πg x x k k =-+-，当21k k -为奇数时，π()cos(2)3g x x =--，π(16g =-，当21k k -为偶数时，π()cos(23g x x =-，π()16g =，所以π(16g =-或π()16g =.故答案为：2；1-或114.在矩形ABCD 中，若1AB =，13BE BC = ，且AB AE AD AE ⋅=⋅，则AD 的值为______，AE AC⋅ 的值为______.【答案】①.②.2【解析】【分析】建立平面直角坐标系，设AD a =，利用坐标法求出AB AE ⋅ 、AD AE ⋅，即可求出a 的值，最后利用坐标法求出平面向量数量积.【详解】如图建立平面直角坐标系，设AD a =，则()0,0A ，()10B ,，()0,D a ，()1,C a ，因为13BE BC = ，所以1,3a E ⎛⎫⎪⎝⎭，所以()1,0AB =，1,3a AE ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()0,AD a = ，所以1AB AE ⋅=，23a AE AD ⋅= ，因为AB AE AD AE ⋅=⋅ ，所以213a =，解得a =a =，所以(AC =，1,3AE ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，所以1123AC AE ⋅=⨯= .215.已知()2cos f x x m =+，给出下列四个结论：①对任意的m ∈R ，函数()f x 是偶函数；②存在m ∈R ，函数()f x 的最大值与最小值的差为4；③当0m ≠时，对任意的非零实数x ，22f x f x ππ⎛⎫⎛⎫-≠+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；④当0m =时，存在实数()0,T π∈，0x ∈R ，使得对任意的n ∈Z ，都有()()00f x f x nT =+.其中所有正确结论的序号是_________.【答案】①②④【解析】【分析】对于①，使用奇偶函数的定义判断即可；对于②，取m 的值，求出函数最大值、最小值，即可；对于③，先化解方程，再取πx =即可；对于④，取0ππ,24T x ==即可判断.【详解】对于①，函数()f x 的定义域为R ，且()|2cos()||2cos |()f x x m x m f x -=-+=+=，所以函数()f x 为偶函数，故①正确；对于②，取3m =，则()2cos 32cos 3f x x x =+=+所以()()max min 5,1f x f x ==，即最大值与最小值的差为4，故②正确.对于③，ππ()|2cos()||2sin |22f x x m x m -=-+=+，ππ()|2cos()||2sin |22f x x m x m +=++=-+，当πx =时，ππ()()||22f x f x m -=+=，故③错误；对于④，当0m =时，()|2cos |f x x =，取0ππ,24T x ==，使得对任意的n ∈Z ，都有00()()f x f x nT =+，故④正确；故答案为：①②④.三、解答题共6小题，共85分.解答题应写出文字说明，验算步骤或证明过程.16.在平面直角坐标系中，锐角α，β均以Ox 为始边，终边分别与单位圆交于点A ，B ，已知点A 的纵坐标为35，点B 的横坐标为513.（1）直接写出tan α和sin β的值，并求tan()αβ-的值；（2）求π2sin(π)sin()23πcos()cos(3π)2αααα-++--+的值；（3）将点A 绕点O 逆时针旋转π4得到点C ，求点C 的坐标.【答案】（1）312tan ,sin 413αβ==，33tan )6(5αβ-=-；（2）10；（3）1010.【解析】【分析】（1）利用三角函数定义求出tan α和sin β，再利用差角的正切计算得解.（2）利用诱导公式及正余弦的齐次式法计算即得.（3）求出点C 所在终边的角，再利用三角函数定义及和角的正余弦计算即可.【小问1详解】由锐角α，β，得点A ，B 都在第一象限，而点A 的纵坐标为35，点B 的横坐标为513，则点A 的横坐标为45，点B 的纵坐标为1213，因此31212tan ,tan ,sin 4513αββ===；312tan tan 3345tan )3121tan tan 565(14αβαβαβ---===-++⋅.【小问2详解】由（1）知3tan 4α=，π32sin(π)sin()212sin cos 2tan 124103π3sin cos 1tan cos()cos(3π)124αααααααααα-++⨯+++====-+---+-.【小问3详解】依题意，点C 在角π4α+的终边上，且||1OC =，由（1）知34sin ,cos 55αα==，则点C的横坐标为πππ43cos()cos cos sin sin (44425510ααα+=-=-=，点C的纵坐标为πππ43sin()sin cos cos sin ()44425510ααα+=+=+=，所以点C的坐标为,)1010.17.已知函数()π4sin 3f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭.（1）求()f x 的单调区间；（2）若函数()()cos g x f x x =，求()g x 的图象的对称中心.【答案】（1）单调增区间为π5π2π,2π66k k ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦()Z k ∈；单调减区间为5π11π2π,2π66k k ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦()Z k ∈（2）ππ,26k ⎛+⎝()Z k ∈【解析】【分析】（1）由正弦函数的单调区间即可得到答案；（2）化简π()2sin(2)3g x x =--，由正弦函数的对称中心可得答案.【小问1详解】由于函数()π4sin 3f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，令πππ2π2223πk x k -+≤-≤+()Z k ∈，解得π5π2π2π66k x k -+≤≤+()Z k ∈，所以()f x 的单调增区间为π5π2π,2π66k k ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦()Z k ∈，令ππ3π2π2π232k x k +≤-≤+()Z k ∈，解得5π11π2π2π66k x k +≤≤+()Z k ∈，所以()f x 的单调减区间为5π11π2π,2π66k k ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦()Z k ∈，【小问2详解】由()π4sin 2sin 3f x x x x ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，可得()()()cos 2sin cos g x f x x x x x ==-，即2π()2sin cos sin 222sin(2)3g x x x x x x x =-==--，令π2π3x k -=，解得：ππ26k x =+()Z k ∈，所以()g x 的图象的对称中心为ππ,26k ⎛+⎝()Z k ∈.18.在平面直角坐标系中，O 为原点，()2,2A ，()3,B m ，(),4C n ，AB AC ⊥ ，//BC OA ，P 为线段BC 上一点，且PC BC λ= .（1）求m ，n 的值；（2）当35λ=时，求cos APC ∠；（3）求PA PC ⋅ 的取值范围.【答案】（1）1,8m n =-=；（2）5-；（3）[8,10]-.【解析】【分析】（1）利用向量的坐标表示，再结合向量垂直的坐标表示、向量共线的坐标表示，列出方程组求解即得.（2）由（1）求出,PA PC的坐标，利用向量夹角公式计算即得.（3）用λ表示,PA PC 的坐标，利用数量积的坐标表示建立函数关系，求出函数值域即得.【小问1详解】依题意，(1,2),(2,2),(3,4)AB m AC n BC n m =-=-=-- ，(2,2)OA = ，由AB AC ⊥ ，得22(2)0n m -+-=，即26m n +=，由//BC OA，得2(3)2(4)n m -=-，即7m n +=，联立解得1,8m n =-=，所以1,8m n =-=.【小问2详解】由（1）知，(3,1),(8,4),(5,5)B C BC -= ，由PC BC λ= ，35λ=，得(3,3)PC = ，(6,2)CA =-- ，(3,3)(6,2)(3,1)PA PC CA =+=+--=- ，所以cos cos ,||||PA PC APC PA PC PA PC ⋅∠=〈〉==- 【小问3详解】由（2）知，(5,5)PC BC λλλ== ，(5,5)(6,2)(56,52)PA PC CA λλλλ=+=+--=-- ，则225(56)5(52)2(5)852(52)8PA PC λλλλλλλ⋅=-+-=-⋅=-- ，由P 为线段BC 上一点，且PC BC λ=，得01λ≤≤，当2=5λ时，min ()8PA PC ⋅=- ，当1λ=时，max ()10PA PC ⋅= ，所以PA PC ⋅ 的取值范围[8,10]-.19.已知函数()sin(2)cos 2f x x x ϕ=++，其中π||2ϕ<.再从条件①、条件②、条件③中选择一个作为已知，使()f x 存在，并完成下列两个问题.（1）求ϕ的值；（2）若函数()f x 在区间[]0,m 上的取值范围是1[,1]2，求m 的取值范围.条件①π(16f =-；条件②π12-是()f x 的一个零点；条件③(0)3π(f f =.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.【答案】（1）条件选择见解析，π6ϕ=-；（2）ππ63m ≤≤.【解析】【分析】（1）根据选择的条件代入计算，结合角的范围即可利用特殊角的三角函数值求解π6ϕ=-.（2）由（1）求出并化简函数()f x ，再求出相位的取值范围，结合已知及正弦函数的性质，列出不等式求解即得.【小问1详解】选条件①，ππππ3(sin()cos 1sin()63332f ϕϕ=++=-⇒+=-无意义，即此时()f x 不存在，则不能选①.选条件②，πππ()sin()cos()01266f ϕ-=-++-=，则πsin()62ϕ-=-，而ππ22ϕ-<<，即2πππ363ϕ-<-<，则ππ63ϕ-=-，所以π6ϕ=-.选条件③，2π2πsin cos0sin()cos 33ϕϕ+=++，即11sin 1sin 22ϕϕϕ+=--，整理得33sin cos 222ϕϕ-=-，即πsin()62ϕ-=-，而ππ22ϕ-<<，即2πππ363ϕ-<-<，则ππ63ϕ-=-，所以π6ϕ=-.【小问2详解】由（1）知，1()sin(2cos 2sin 2cos 2sin(2π622π6f x x x x x x =-+=+=+，当[0,]x m ∈时，πππ2[,2666x m +∈+，由()f x 在[]0,m 上的取值范围是1[,1]2，得ππ5π2662m +≤≤，解得ππ63m ≤≤，所以m 的取值范围是ππ63m ≤≤.20.如图是两个齿轮传动的示意图，已知上、下两个齿轮的半径分别为1和2，两齿轮中心2O ，1O 在同一竖直线上，且125O O =，标记初始位置A 点为下齿轮的最右端，B 点为上齿轮的最下端，以下齿轮中心1O 为坐标原点，如图建立平面直角坐标系xOy ，已知下齿轮以每秒1弧度的速度逆时针旋转，并同时带动上齿轮转动，转动过程中A ，B 两点的纵坐标分别为1y ，2y 、转动时间为t 秒（0t ≥）.（1）当1t =时，求点B 绕2O 转动的弧度数；（2）分别写出1y ，2y 关于转动时间t 的函数表达式，并求当t 满足什么条件时，2 5.5y ≥；（3）求21y y -的最小值.【答案】（1）2（2）12sin y t =，2π5sin 22y t ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，t 满足π2πππ,N 33t k t k k ⎧⎫+≤≤+∈⎨⎬⎩⎭（3）72【解析】【分析】（1）由点A 与点B 处转过的弧长相等，求点B 绕2O 转动的弧度数；（2）由分别点A 与点B 处转过的圆心角，结合正弦函数，写出1y ，2y 关于转动时间t 的函数表达式，并解不等式2 5.5y ≥；（3）利用诱导公式和倍角公式化简21y y -，结合二次函数的性质求最小值.【小问1详解】当1t =时，点A 绕1O 转动1弧度，点A 与点B 处转过的弧长相等，则点B 绕2O 转动的弧度数为1221⨯=.【小问2详解】转动时间为t 秒，点A 绕1O 转动t 弧度，点B 绕2O 转动2t 弧度，12sin y t =，2π5sin 22y t ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，当2π5sin 2 5.52y t ⎛⎫=+-≥ ⎪⎝⎭，ππ5π2π22π626k t k +≤-≤+，由0t ≥解得π2πππ33k t k +≤≤+，N k ∈.则满足条件的t 的集合为π2πππ,N 33t k t k k ⎧⎫+≤≤+∈⎨⎬⎩⎭.【小问3详解】2221π175sin 22sin 5cos 22sin 2sin 2sin 42sin 222y y t t t t t t t ⎛⎫⎛⎫-=+--=--=-+=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当1sin 2t =时，21y y -有最小值72.21.对于定义在R 上的函数()y f x =，如果存在一组常数1t ，2t ，…，k t （k 为正整数，且120k t t t =<<< ），使得x ∀∈R ，12((0))()k f x t f x t f x t ++++++= ，则称函数()f x 为“k 阶零和函数”.（1）若函数11()x f x =+，2()sin f x x =，请直接写出1()f x ，2()f x 是否为“2阶零和函数”；（2）判断“()f x 为2阶零和函数”是“()f x 为周期函数”的什么条件（用“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”或“既不充分也不必要”回答），并证明你的结论；（3）判断下列函数是否为“3阶零和函数”，并说明理由.3cos 2cos5cos8()f x x x x =++，4cos 2cos3cos 4()f x x x x =++.【答案】（1）1()f x 不是，2()f x 是；（2）充分不必要条件，证明见解析；（3）3()f x 是，4()f x 不是，理由见解析.【解析】【分析】（1）利用恒等式判断1()f x ，取120,πt t ==计算，结合定义判断2()f x .（2）利用定义求出周期说明充分性，举例说明必要性不成立推理即得.（3）取1232π4π0,,33t t t ===计算，结合定义判断3()f x ；利用反证法推理导出矛盾判断4()f x .【小问1详解】函数11()x f x =+，()()1112121211220f x t f x t x t x t x t t +++=+++++=+++=对一切实数不成立，所以函数11()x f x =+不是“2阶零和函数”；取120,πt t ==，x ∀∈R ，2212sin sin(π)sin sin 0()()x x f t x t x x x f ++=-++=+=，所以2()sin f x x =是“2阶零和函数”.【小问2详解】“()f x 为2阶零和函数”是“()f x 为周期函数”的充分不必要条件.证明如下：若()f x 为2阶零和函数，则存在常数20t >，使得x ∀∈R ，2()()0x f x t f ++=，即2()()f x t x f +=-，因此22(2)()()f x t x t f x f +=-+=，即函数()f x 为周期函数；反之函数()f x 为周期函数，如()|sin |1f x x =+，对x ∀∈R ，(π)|sin(π)|1|sin |1()x f x x f x +=++=+=，()f x 为周期函数，对任意正常数2t ，222()()|sin |1|sin()|1|sin ||sin()|22x f x t x x t f x x t ++=++++=+++≥，因此函数()f x 不是2阶零和函数，所以“()f x 为2阶零和函数”是“()f x 为周期函数”的充分不必要条件.【小问3详解】函数3()f x 是“3阶零和函数”，取1232π4π0,,33t t t ===，x ∀∈R ，313233cos 2c )os5cos ()()(8f xx t f x t x f x t x +++++++=2π2π2π4π4π4π)))c 333333x x x x x x ++++++++++++2π2π2πcos 2cos5cos8cos(2)cos(5)cos(8)333x x x x x x =+++-+-+-2π2π2πcos(2)cos(5)cos(80333x x x ++++++=，所以函数3()f x 是“3阶零和函数”；函数4()f x 不是“3阶零和函数”，假定函数4()f x 是“3阶零和函数”，则存在常数1230t t t =<<，x ∀∈R ，414243()()()0f x t f x t f x t +++++=，即222)c (22)(33)(4os 2cos3cos 44cos cos cos x x t x x t x t x ++++++++333(22)(33)(44)0cos cos cos x t x t x t +++++=+对x ∀∈R 成立，则232323cos 2cos(22)cos(22)0cos3cos(33)cos(33)0cos 4cos(44)cos(44)0x x t x t x x t x t x x t x t ++++=⎧⎪++++=⎨⎪++++=⎩恒成立，由23(22)(22)0cos 2cos cos x t x t x +++=+，得2323(cos 2cos 21)cos 2(sin 2sin 2)sin 20t t x t t x ++-+=，因此2323cos 2cos 21sin 2sin 20t t t t +=-⎧⎨+=⎩，平方相加整理得321cos 2()2t t -=-，则3211ππ,N 3t t k k -=+∈或32112ππ,N 3t t k k -=+∈，由23(33)(33)0cos3cos cos x t x t x ++++=，同理得321cos3()2t t -=-，于是23222π2π,N 93k t t k -=+∈或23222π4π,N 93k t t k -=+∈，则12,N k k ∈，212ππ2ππ393k k +=+或212π2π2ππ393k k +=+或212ππ4ππ393k k +=+或212π2π4ππ393k k +=+，即12,N k k ∈，211233k k -=或214233k k -=或121323k k -=或212233k k -=，显然不成立，因此不存在常数1230t t t =<<，使得x ∀∈R ，414243()()()0f x t f x t f x t +++++=，所以函数4()f x 不是“3阶零和函数”.【点睛】思路点睛：“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.。
2019-2020学年高一数学下学期期中阶段性评价考试试题
2019-2020学年高一数学下学期期中阶段性评价考试试题卷首语：因疫情影响无法开学，本次考试采取网络阅卷方式，每科试卷与答题卡都提前两小时通过班级群发送，请下载打印，考试中，自觉遵守纪律，做到家校统一，考试结束后，请将答题卡拍照上传。
注意：考试时间120分，试卷总分100分，本卷由高二数学教研组命题，考试范围为必修+选修全部内容，试卷格式与高考一致。
第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．在中，一定成立的等式是（）A．B．C．D．2．在中，，，，则最短的边的长度是（）A．B．C．D．3．数列，，，，的一个通项公式是（）A．B．C．D．4．已知数列对任意的，满足且，那么等于（）A．B．C．D．5．设的内角，，的对边分别为，，．若，，且，则（）A．B．C．D．6．在等差数列中，，，则等于（）A．B．C．D．7．在中，三边，，与面积的关系式为，则角为（）A．B．C．D．8．设是等差数列的前项和，若，则（）A．B．C．D．9．在中，，，，则的面积为（）A．B．C．D．10．在由正数组成的等比数列中，若，则的值为（）A．B．C．D．11．已知是等比数列，，，则（）A．B．C．D．12．已知数列是以为首项，为公差的等差数列，是以为首项，为公比的等比数列，设，，当时，的最小值为（）A．B．C．D．第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．在中，，，，则．14．等比数列的前项和为，已知，，成等比数列，则数列的公比为．15．在中，，，是边上的一点，，的面积为，则的长为．16．设是等比数列，公比，为的前项和．记，．设为数列的最大项，则．三、解答题：本大题共6大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）在中，，为锐角，角，，所对的边分别为，，，且，．（1）求的值；（2）若，求，，的值．18．（12分）在数列中，，．（1）求证：数列为等差数列；（2）设数列满足，求的通项公式．19．（12分）已知，，分别为的内角，，的对边，且满足，函数在区间上单调递增，在区间上单调递减．（1）证明：；（2）若，证明：为等边三角形．20．（12分）设数列，满足，，，且数列是等差数列，数列是等比数列．（1）求数列和的通项公式；（2）是否存在，使得？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由．21．（12分）某城市有一块不规则的绿地如图所示，城建部门欲在该地上建造一个底座为三角形的环境标志，小李、小王设计的底座形状分别为，，测得，，，．（1）求的长度；（2）若建造环境标志的费用与用地面积成正比，不考虑其他因素，小李、小王谁的设计建造费用较低？请说明理由．22．（12分）定义：若数列满足，则称数列为“平方数列”．已知在数列中，，点在函数的图象上，其中为正整数．（1）证明：数列是“平方数列”，且数列为等比数列；（2）设（1）中“平方数列”的前项之积为，则，求数列的通项及关于的表达式．2019-2020学年高一数学下学期期中阶段性评价考试试题卷首语：因疫情影响无法开学，本次考试采取网络阅卷方式，每科试卷与答题卡都提前两小时通过班级群发送，请下载打印，考试中，自觉遵守纪律，做到家校统一，考试结束后，请将答题卡拍照上传。
高一数学下学期期中调研测试试题含解析 试题
2021-2021学年高一数学下学期期中调研测试试题〔含解析〕制卷人：打自企；成别使；而都那。
审核人：众闪壹；春壹阑；各厅……日期：2022年二月八日。
一、选择题：本大题一一共12小题，每一小题5分，一共60分.在每一小题给出的四个选项里面，只有一项是哪一项符合题目要求的.1.〔〕A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】运用诱导公式,结合特殊角的三角函数求解即可。
【详解】，故此题选B。
【点睛】此题考察了诱导公式，特殊角的三角函数，属于根底题.，，向量与一共线，那么实数的值是〔〕A. B. C. -3 D. 3【答案】C【解析】【分析】利用向量一共线的充要条件，可直接求解。
【详解】因为向量与一共线，所以有，故此题选C。
【点睛】此题考察了一共线向量的坐标表示，意在考察学生的计算才能，较为根底。
是〔〕A. 最小正周期为的偶函数B. 最小正周期为的偶函数C. 最小正周期为的奇函数D. 最小正周期为的奇函数【答案】A【解析】【分析】运用公式，直接求出周期，判断之间的关系，结合函数奇偶性的定义进展判断即可。
【详解】，，所以函数最小正周期为，是偶函数，因此此题选A。
【点睛】此题考察了余弦型函数的最小正周期以及奇偶性，利用函数奇偶性的定义进展判断是解题的关键。
中，〔〕A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用向量加法的几何意义及一共线向量的概念进展化简。
【详解】，故此题选B。
【点睛】此题考察了向量加法的几何意义及一共线向量的概念，意在考察学生的计算、推理才能。
的图象关于点对称，那么可以是〔〕A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】把点代入解析式，求出的表达式，结合选项，选出答案。
【详解】因为函数的图象关于点对称，所以有，令，故此题选C。
【点睛】此题考察了正弦型函数的对称性，解题的关键是利用整体代入，考察学生分析、解决问题的才能。
，，那么与垂直的向量是〔〕A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】计算出的坐标表示，然后分别与四个选项里面的向量作数量积运算，结果为零，就符合题意。
高一数学下学期期中阶段性评价考试试题
卜人入州八九几市潮王学校濂溪一中二零二零—二零二壹高一数学下学期期中阶段性评价考试试题卷首语：因疫情影响无法开学，本次考试采取网络阅卷方式，每科试卷与答题卡都提早两小时通过班级群发送，请下载打印，考试中，自觉遵守纪律，做到家校统一，在在考试完毕之后以后，请将答题卡拍照上传。
注意：考试时间是是120分，试卷总分100分，本卷由高二数学第一卷一、选择题：本大题一一共12小题，每一小题5分，一共60分．在每一小题给出的四个选项里面，只有一项为哪一项哪一项符合题目要求的． 1．在ABC △中，一定成立的等式是〔〕 A ．sinsin a A b B = B ．cos cos a A b B = C ．sin sin a B b A =D ．cos cos a Bb A =2．在ABC △中，45B =︒，75A =︒，1c =，那么最短的边的长度是〔〕ABC ．12D3．数列1-，85，157-，249，的一个通项公式是〔〕A ．2(1)1(1)21n n n a n +-=--B ．2(1)21nn n na n +=-+C ．(3)(1)21nnn n a n +=-+D ．(2)(1)21nnn n a n +=-+4．数列{}n a 对任意的p ，*q ∈N 满足p q p q a a a +=+且26a =-，那么10a 等于〔〕A ．165-B ．33-C ．30-D ．21-5．设ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．假设2a =，c =，cos A =b c <，那么b =〔〕A ．3B．C ．2D6．在等差数列{}n a 中，13a =，10036a =，那么3656a a +等于〔〕A ．36B ．38C ．39D ．427．在ABC △中，三边a ，b ，c 与面积S 的关系式为2224a S b c +=+，那么角A 为〔〕A ．45︒B ．60︒C ．120︒D ．150︒8．设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，假设5359a a =，那么95SS =〔〕 A ．1B ．1-C ．2D ．129．在ABC △中，a=，b =，1cos 3C =，那么ABC △的面积为〔〕 A．B．C．D10．在由正数组成的等比数列{}n a 中，假设π3453a a a =，那么313237sin(log log log )a a a +++的值是〔〕A ．12BC ．1D．11．{}n a 是等比数列，22a =，514a =，那么12231n n a a a a a a ++++=〔〕A ．16(14)n-- B ．16(12)n--C ．32(14)3n -- D ．32(12)3n -- 12．数列{}n a 是以1为首项，2为公差的等差数列，{}n b 是以1为首项，2为公比的等比数列，设n nb c a =，12n n T c c c =+++，当2013n T >时，n 的最小值为〔〕A ．7B ．9C ．10D ．11第二卷二、填空题：本大题一一共4小题，每一小题5分，一共20分．13．在ABC △中，3b=，c =，30B =︒，那么a =．14．等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，1S ，22S ，33S 成等比数列，那么数列{}n a 的公比为． 15．在ABC △中，30A =︒，BC=D 是AB 边上的一点，2CD =，BCD △的面积为4，那么AC的长为．16．设{}n a是等比数列，公比q=n S 为{}n a 的前n 项和．记2117n nnn S S T a +-=，*n ∈N ．设0n T 为数列{}n T 的最大项，那么0n =．三、解答题：本大题一一共6大题，一共70分，解容许写出文字说明、证明过程或者演算步骤．17．〔10分〕在ABC △中，A ，B 为锐角，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且3cos 25A =，sin B = 〔1〕求A B +的值；〔2〕假设1a b-=，求a ，b ，c 的值．18．〔12分〕在数列{}n a 中，12a =，121nn n a a +=++．〔1〕求证：数列{2}nna -为等差数列；〔2〕设数列{}n b 满足22log (1)n n b a n =+-，求{}n b 的通项公式．19．〔12分〕a ，b ，c 分别为ABC △的内角A ，B ，C 的对边，且满足sin sin 2cos cos sin cos B C B CA A+--=，函数()sin (0)f x x ωω=>在区间π[0,]3上单调递增，在区间π2π[,]33上单调递减． 〔1〕证明：2b ca +=；〔2〕假设π()cos 9f A =，证明：ABC △为等边三角形． 20．〔12分〕设数列{}n a ，{}n b 满足116a b ==，224a b ==，333a b ==，且数列*1{}()n n a a n +-∈N 是等差数列，数列*{2}()nb n -∈N 是等比数列．〔1〕求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；〔2〕是否存在*k ∈N ，使得1(0,)2kk a b -∈？假设存在，求出k 的值，假设不存在，请说明理由．21．〔12分〕某城有一块不规那么的绿地如下列图，城建部门欲在该地上建造一个底座为三角形的环境标志，小李、小王设计的底座形状分别为ABC △，ABD △，测得14AD BD ==，10BC =，16AC =，C D ∠=∠．〔1〕求AB 的长度；〔2〕假设建造环境标志的费用与用地面积成正比，不考虑其他因素，小李、小王谁的设计建造费用 较低？请说明理由．22．〔12分〕定义：假设数列{}n A 满足21n n A A +=，那么称数列{}n A 为“平方数列〞．在数列{}n a 中，12a =，点1(,)n n a a +在函数2()22f x x x =+的图象上，其中n 为正整数．〔1〕证明：数列{21}na +是“平方数列〞，且数列{lg(21)}n a +为等比数列；〔2〕设〔1〕中“平方数列〞的前n 项之积为n T ，那么12(21)(21)(21)n n T a a a =++⋅⋅+，求数列{}n a 的通项及n T 关于n 的表达式．数学答案与解析第一卷一、选择题：本大题一一共12小题，每一小题5分，一共60分．在每一小题给出的四个选项里面，只有一项为哪一项哪一项符合题目要求的． 1．【答案】C 【解析】由sin sin a bA B=，得sin sin a B b A =． 2．【答案】A【解析】由三角形内角和定理知180()60C A B =︒-+=︒， 根据“大角对大边〞以及角B 最小，可知最短的边是b ，由正弦定理sin sin b c B C =，解得b = 3．【答案】D【解析】将首项1-改写为33-后，观察发现：分式前的符号规律为(1)n -，分母3，5，7，9，的规律为21n +，分子3，8，15，24，的规律为2(1)1(2)n n n +-=+． 4．【答案】C【解析】1082a a a =+，842a a =，422a a =，故102224530a a a a =+==-． 5．【答案】C【解析】由余弦定理2222cos a b c bc A =+-，得24126b b =+-， ∴2680b b -+=，∴(2)(4)0b b --=， 由b c <，得2b =． 6．【答案】A 【解析】1001110013a a d -==-，3656191129036a a a a a d +=+=+=．7．【答案】A【解析】因为2222cos a b c bc A =+-且2224a S b c +=+， 所以11cos sin 22S bc A bc A ==，所以sin cos A A =，所以tan 1A =，所以45A =︒． 8．【答案】A【解析】919551539()99515()559S a a a S a a a +===⨯=+． 9．【答案】C【解析】∵1cos 3C =，0πC <<，∴sin C =，∴11sin 22ABC S ab C ==⨯=△． 10．【答案】B 【解析】因为π334543a a a a ==，所以π343a =，π7331323731273437πlog log log log ()log 7log 33a a a a a a a +++====，所以313237sin(log log log )a a a +++=． 11．【答案】C【解析】设等比数列的首项为1a ，公比为q ，那么35218a q a ==，12q =，所以14a =， 由等比数列的性质知数列1{}n n a a +仍是等比数列，其首项为128a a =，公比为214q =， 故由等比数列前n 项和公式，得1223118[1()]324(14)1314n n n n a a a a a a -+⨯-+++==--． 12．【答案】C【解析】由21n a n =-，12n n b -=，∴122121n n n n b c a -==⨯-=-，∴1211212(222)22212nnn n n T c c c n n n +-=+++=+++-=⨯-=---．∵2013n T >，∴1222013n n +-->，解得10n ≥， ∴n 的最小值为10．第二卷二、填空题：本大题一一共4小题，每一小题5分，一共20分． 13．【答案】3或者6【解析】将3b =，33c =，30B =︒代入2222cos b a c ac B =+-，即229(33)233cos30a a =+-⋅︒，整理得29180a a -+=，∴3a =或者6． 14．【答案】13【解析】由题意可得21343S S S =+，①当1q =时，1114233a a a ⨯=+⨯，即11810a a =，10a =不符合题意，所以1q ≠；②当1q ≠时，应有23111(1)(1)(1)43111a q a q a q q q q---⨯=+⨯---，化简得1(31)(1)01a q q q q⋅⋅--=-，得13q =或者0〔舍去〕或者1〔舍去〕．15．【答案】4或者22 【解析】如图，设BCD θ∠=，由14sin 2BCD S CD CB θ==⋅△，得sin θ=，∴cos θ=． 在BCD △中，由余弦定理得2222cos BD CD CB CD CB θ=+-⋅，解的BD =或者4，当BD =时，由sin sin BD CD B θ=，得sin sin CD B BDθ===， 又由sin sin AC BC B A =，得sin sin BC AC B A ===；当4BD =时，同理得4AC =． 16．【答案】4【解析】根据等比数列的求和公式1(1)1n n a q S q-=-，故21121(1)(1)17171611611(17)(1)1n n n n nn n n na q a q q q q q T q a q q q q q--⨯--+--===+---，令n n q t ==，那么函数16()g t t t=+， 当4t =时，函数()g t 获得最小值，此时4n =，而101q =<-，故此时n T 最大，所以04n =．三、解答题：本大题一一共6大题，一共70分，解容许写出文字说明、证明过程或者演算步骤．17．【答案】〔1〕π4A B +=；〔2〕a =1b =，c =．【解析】〔1〕∵A ，B 为锐角，sin B =cos B ==．又23cos 212sin 5A A =-=，∴sin A =，cos A ==，∴cos()cos cos sin sin A B A B A B +=-==， ∵0πA B <+<，∴π4A B +=．〔2〕由〔1〕知3π4C =，∴sin C =．由正弦定理sin sin sin a b c A B C====，即a =，c =，∵1a b -=-1b -=，∴1b =，∴a =，c =．18．【答案】〔1〕证明见解析；〔2〕2n b n =． 【解析】〔1〕111(2)(2)21n n n n n n n a a a a +++---=--=〔与n 无关〕，故数列{2}nn a -为等差数列，且公差1d =．〔2〕由〔1〕可知，12(2)(1)1nn a a n d n -=-+-=-，故21nn a n =+-，所以22log (1)2n n b a n n =+-=．19．【答案】〔1〕证明见解析；〔2〕证明见解析．【解析】〔1〕∵sin sin 2cos cos sin cos B C B CA A+--=，∴sin cos sin cos 2sin sin cos sin cos B A C A A A B A C +=--， ∴sin()sin()2sin A B A C A +++=，∴sin sin 2sin C B A +=．又∵2sin sin sin a b cR A B C===〔R 为ABC △的外接圆半径〕，∴sin 2c C R =，sin 2b B R =，sin 2a A R=， ∴2222c b a R R R+=，∴2b c a +=． 〔2〕由题意知2π4π3ω=，∴32ω=，∴ππ1()sin cos 962f A ===， 又∵0πA <<，∴π3A =， 由余弦定理知2221cos 22b c a A bc +-==，∴222b c a bc +-=．∵2b c a +=，∴222()2b c b c bc ++-=，即2220b c bc +-=，∴b c =， 又∵π3A =，∴ABC △为等边三角形． 20．【答案】〔1〕27182n n n a -+=，128()2n n b =+⨯；〔2〕不存在，详见解析．【解析】〔1〕由题意得121(1)3n n a a n n +-=-+⨯-=-， ∴121321()()()6(2)(1)0(4)n n n a a a a a a a a n -=+-+-++-=+-+-+++-2[(2)(4)](1)718622n n n n -+---+=+=． 由得124b -=，222b -=，故数列{2}n b -的公比12q =， 所以111112(2)()4()22n n n b b ---=-=⨯，所以128()2n n b =+⨯．〔2〕设()k k f k a b =-， 因为2217117491()(9)[28()][()]8()72222242k k k k f k a b k k k =-=-+-+⨯=---⨯+， 所以当4k ≥时，()f k 是增函数．因为1(4)2f =，所以当4k ≥时，1()2f k ≥， 又(1)(2)(3)0f f f ===，所以不存在k ，使得1()(0,)2f k ∈．21．【答案】〔1〕14AB =；〔2〕小李的设计建造费用较低，详见解析． 【解析】〔1〕在ABC △中，由余弦定理得222222cos 161021610cos AB AC BC AC BC C C =+-⋅=+-⨯⨯，①在ABD △中，由余弦定理及C D∠=∠整理得2222222cos 1414214cos AB AD BD AD BD D C =+-⋅=+-⨯，②由①②得222221414214cos 161021610cos C C +-⨯=+-⨯⨯，解得1cos 2C =， 又C ∠为三角形的内角，即0πC <<，所以60C ∠=︒，又C D ∠=∠，AD BD =，所以ABD △是等边三角形，故14AB =． 〔2〕小李的设计建造费用较低．理由如下：1sin 2ABD S AD BD D =⋅△，1sin 2ABC S AC BC C =⋅△， 因为AD BD AC BC ⋅>⋅，C D ∠=∠，所以ABD ABC S S >△△， 由题知建造标志费用与用地面积成正比，应选择ABC △建造环境标志费用较低，即小李的设计建造费用较低．22．【答案】〔1〕证明见解析；〔2〕121(51)2n n a -=-，215nn T -=．【解析】〔1〕由条件，得2122n n n a a a +=+，22121441(21)n n n n a a a a ++=++=+， ∴{21}n a +是“平方数列〞．∵21lg(21)lg(21)2lg(21)n n n a a a ++=+=+，且1lg(21)lg 50a +=≠，∴1lg(21)2lg(21)n n a a ++=+，∴{lg(21)}n a +是首项为lg 5，公比为2的等比数列． 〔2〕∵1lg(21)lg 5a +=，∴1lg(21)2lg 5n n a -+=，∴12215n n a -+=，∴121(51)2n n a -=-． ∵12(12)lg 5lg lg(21)lg(21)lg(21)(21)lg 512n n n n T a a a -=++++++==--，∴215nn T -=．。
高一数学上学期期中试题 48
卜人入州八九几市潮王学校镇原县镇原二零二零—二零二壹高一数学上学期期中试题一、选择题(本大题一一共12小题，每一小题5分，一共60分)1.设U={1,2,3,4,5},A={1,2,3},B={2,3,4}，那么以下结论中正确的选项是()A.B A ⊆B.}2{B A =C.}5,4,3,2,1{B A =D.}1{)B C (A =⎩⎨⎧≥-<=-2x )12(log 2x e 2)x (f x 31x 那么))2(f (f 等于() 3.当a>0且a ≠1时，函数f(x)=a x+1-1的图象一定过点() A.(0,1)B.(0,-1)C.(-1,0)D.(1,0)2b1a 1m 52b a =+==，且，那么m=() A.105.假设lg(2x-4)≤1，那么x 的取值范围是()A.(]7，∞-B.(]72，C.[)∞+，7D.），（∞+2 )1x (log a )x (f a x ++=在[0，1]上的最大值与最小值之和为a ，那么a 的值是() A.41B.21 525352)53(c ,)52(b ,)52(a ===，那么a 、b 、c 的大小关系是() A.a<b<cB.b<a<cC.c<a<bD.b<c<a8.函数f(x)=x 3+x ，那么关于x 的不等式f(3x-1)+f(-x+3)>0的解集为() A.），（021- B.），（∞+2 C.），（∞+-1 D.），（2∞- x2)1x ln()x (f -+=的零点所在大致区间是() A.(1,2)B.(0,1)C.(2,e)D.(3,4)x 21)21(x )x (f -=的零点个数为() A.0B.1C.2D.3 )5x 1(1x x 2)x (f ≤≤-+=的值域是()A.(]12,∞-B.(-∞，2)C.[2，12]D.[)+∞,212.⎩⎨⎧>≤=0x x ln 0x e )x (f x g(x)=x+a+f(x)，假设g(x)存在两个零点，那么a 的取值范围是() A.[)0,1- B.[)+∞,0 C.[)+∞-,1 D.[)+∞,1二、填空题(本大题一一共四小节，每小节5分，一共20分)x )1x1(f =-,那么f(x)=__________. )1x 2(log )x (f 5+=的单调递增区间是___________.15.f(x)=3x-1且[f(a)+1][f(b)+1]=27，那么f(a+b)=___________. 16.假设函数f(x)=lg(10x+1)+ax 是偶函数，x x 2b 4)x (g -=是奇函数，那么a+b=________. 三、解答题(17小题10分，其余各小题12分，一共70分)17.设A={x|2x 2+ax+2=0}，B={x|x 2+3x+2a=0}且A ∩B={2}. (1)求a 的值及集合A,B ；(2)设)B C ()A C (B A U 求=；(3)写出)B C ()A C ( 的所有子集.)2x (log )x 4(log )x (f 33-+-=.(12分)(1)求函数y=f(x)的单调区间；(2)求函数y=f(x)的值域.19.解答以下各题(12分)(1)91log .81log .251log 8lg 3136.0lg 2113lg 2lg 2532++++ (2)解方程：)2x (log )3x 2(log )4x 4(log a a a ++-=-(a>0且a ≠1)20.函数f(x)的定义域为D={x|x ≠0}且满足对任意x 1,x 2∈D ，都有f(x 1·x 2)=f(x 1)+f(x 2).(1)求f(1)f(-1)的值;(2)假设f(4)=1，f(x-1)<2，且f(x)在(0,+∞)上是增函数，求x 的取值范围.21.函数f(x)=x 2+mx+3(m ∈R). (1)假设f(x)=0的一根大于，另一根小于2，务实数m 的取值范围；(2)假设g(m)=f(x)-x 2在[1，2]内恒大于0，务实数m 的取值范围. 22.函数f(x)=log a (2x+1),g(x)=log a (1-2x)(a>0且a ≠1).(1)求函数F(x)=f(x)-g(x)的定义域；(2)判断F(x)=f(x)-g(x)的奇偶性并证明；(3)当f(x)-g(x)>0时，求x 的取值范围.高一数学参考答案一、 选择题(5×12=60)1.D2.C3.C4.A5.B6.B二、填空题(5×4=20) 13.1x 1)x (f +=(x>-1)1),21(+∞-616.21 三、解答题17.(1)5a-=,}2,21{A =}2,5{B -= (2){-5,21} (3)φ}21{}5{-}21,5{- 18.(1)函数y=f(x)在(1,4)上是减函数；在(-2，1)上是单调递增函数；(2)函数y=f(x)的值域为(]2，∞-19.(1)-11(2)x=220.(1)f(-1)=f(1)=0(2)-15<x<17且x ≠1 21.(1)27m-< (2)23m -> 22.(1)(21,21-) (2)奇函数(3)当0<a<1时)0,21(x -∈ 当a>1时)21,0(x ∈。
北京市第八中学2023~2024学年高一下学期期中练习数学试卷
北京市第八中学2023~2024学年高一下学期期中练习数学试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．在0~2π范围内，与角43π-终边相同的角是 A ．23π B ．3π C ．6π D ．43π 2．在三角形ABC 中，“6A π∠=”是“1sin 2A =”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 3．已知4sin 5α=，则7cos 2πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ） A ．35B ．35-C ．45D ．－454．函数cos 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭图像的一个对称中心是A ．,03π⎛⎫⎪⎝⎭B ．,06π⎛⎫⎪⎝⎭ C ．,012π⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．,012π⎛⎫ ⎪⎝⎭5．设函数f (x )＝2sin(2πx ＋5x)．若对任意x ∈R ，都有f (x 1)≤f (x )≤f (x 2)成立，则|x 1－x 2|的最小值为（ ） A ．4B ．2C ．1D ．126．已知平面向量a r 与b r的夹角为60︒，()2,0a =r ，1=r b ，则2a b +=r r （ ）AB ．C ．4D ．127．下列函数中，以2π为周期且在区间(4π，2π)单调递增的是 A ．f (x )=│cos 2x │ B ．f (x )=│sin 2x │ C ．f (x )=cos│x │D ．f (x )= sin│x │8．若()cos sin f x x x =-在[],a a -是减函数，则a 的最大值是 A ．4πB ．2π C ．34π D ．π9．如图，已知等腰ABC V 中，3AB AC ==，4BC =，点P 是边BC 上的动点，则()AP AB AC ⋅+u u u r u u u r u u u r（ ）A ．为定值10B ．为定值6C ．为变量且有最大值为10D ．为变量且有最小值为610．如图，扇形的半径为1，圆心角150BAC ∠=︒，点P 在弧BC 上运动，AP AB AC λμ=+u u u r u u u r u u u r，μ-的最小值是（ ）A．0 B C ．2 D ．1-二、填空题11．半径为2cm ，圆心角为2π3的弧长为 cm . 12．若函数()2π2cos 06y x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的最小正周期为π，则ω= ．13．ABC V 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知b sin A +a cos B =0，则B = . 14．ABC V 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c .若π6,2,3b ac B ===，则ABC V 的面积为 .15．声音是由于物体的振动产生的能引起听觉的波，我们听到的声音多为复合音．若一个复合音的数学模型是函数()()1sin 2R 2sin f x x x x =+∈，则下列结论错误的序号是 ；①()f x 的一个周期为π； ②()f x 的最大值为32；③()f x 的图象关于直线πx =对称； ④()f x 在区间[]0,2π上有3个零点．三、解答题16．已知角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，它的终边过点34,55P ⎛⎫- ⎪⎝⎭(1)求sin cos αα+的值； (2)求sin(π)cos(π)πtan(2π)sin()2αααα--+++的值.17．如图所示，在△ABC 中，D 是BC 边上的一点，且AB=14，BD=6，∠ADC=3π，cos C =． （Ⅰ）求sin ∠DAC ；（Ⅱ）求AD 的长和△ABC 的面积．18．已知函数()2sin()(0,0π)f x x ωϕωϕ=+><<的部分图象如图所示．(1)求()f x 的解析式；(2)若函数()()sin g x f x x =，求()g x 在区间π0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值．19．已知函数()4sincos()(0)223xxf x m ωωωπ=-+>.在下列条件①、条件②、条件③这三个条件中，选择可以确定ω和m 值的两个条件作为已知. (1)求()3f π的值；(2)若函数()f x 在区间[0,]a 上是增函数，求实数a 的最大值.条件①：()f x 最小正周期为π；条件②：()f x 最大值与最小值之和为0；条件③：(0)2f =. 注：如果选择多组条件分别解答，按第一个解答计分.20．设ABC V 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且sin cos a B A =. (1)求角A 的大小；(2)再从以下三组条件中选择一组条件作为已知条件，使三角形存在且唯一确定，并求ABC V 的面积.第①组条件：5a c ==；第②组条件：1cos ,3C c ==③组条件：AB 边上的高3h a =.注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分.21．设函数()f x 的定义域为R .若存在常数T ，()0,0A T A >>，使得对于任意x R ∈，()()f x T Af x +=成立，则称函数()f x 具有性质P .（1）判断函数y x =和cos y x =具有性质P ？(结论不要求证明)（2）若函数()f x 具有性质P ，且其对应的T π=，2A =.已知当(]0,x π∈时，()sin f x x =，求函数()f x 在区间[],0π-上的最大值；（3）若函数()g x 具有性质P ，且直线x m =为其图像的一条对称轴，证明：()g x 为周期函数.。
2023~2024学年第一学期高一期中考试数学试题[含答案]
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在
上单调递增，
f x f 1 1
min
，C 正确；
D
选项，令
2x2
3x
0
，解得
x
3 2
或
0（舍去），
f x
故
的图象与 x 轴只有 1 个交点，D 错误．
故选：ABC
11.
已知关于 x 的不等式
ax²
2bx
3c
0
x
的解集为
|
3
x
1 ，则下列结论正确的是（
A. 充要条件
B. 充分不必要条件
C. 必要不充分条件
D. 既不充分又不必要条件
【答案】C
【解析】
【分析】利用充分、必要条件的定义即可判断.
【详解】由 a b 得不到 ac2 bc2 ，如 c 0 ，故充分性不成立，
反之，由 ac2 bc2 可以得到 a b ，故必要性成立，
则“ a b ”是“ ac2 bc2 ”的必要不充分条件.
若 m 2 ，则 f (x) x2 ，函数 f (x) 在 (0, ) 上为增函数，不符合题意，舍去；
若m
1 ，则
f
(x)
1 x
，函数
f
(x) 在 (0, ) 上为减函数，符合题意；
所以实数 m 的值是 1.
故选：B.
4. 已知 a, b, c 是实数，则“ a b ”是“ ac2 bc2 ”的（ ）
，
2
x
5
0
【答案】C
【解析】
【分析】“存在一个符合”的否定为“任一个都不符合”
【详解】命题
p： x R
3x2
，使得
2
x
5
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高一数学下学期期中试题 48
高一下学期期中考试数学试题一、知识点分值分布(满分是：100分)： 1.解三角形：25±5 2.数列：40±53.不等式：35±5 二、题型分布表：一、选择题(本大题一一共10小题，每一小题4分，一共40分．在每一小题给出的四个选项里面，只有一项是哪一项符合题目要求的) 1、假设b a>，那么以下各式正确的选项是〔 〕A. 22a b > B. ac bc > C. 22ac bc > D. a c b c ->-2、集合2{40},{0}M x x N x x =->=<，那么M N 等于〔 〕A.{}2x x > B.{}2x x <- C.N D.M3、在△ABC 中，假设∠A ∶∠B ∶∠C =1∶2∶3,那么a ∶b ∶c 等于〔 〕∶2∶3∶2∶1 C.1∶3∶2∶3∶14、等比数列{a n }中，a 5a 14＝5，那么a 8a 9a 10a 11＝( )A ．10B ．25C ．50D ．755、等差数列一共有10项，其中奇数项之和为15，偶数项之和为30，那么其公差是( )A ．5B ．4C ．3D ．26、函数)0(1<+=x xx y 有〔 〕 A ．最大值是2B ．最小值是2C ．最大值是－2D ．最小值是27、公差不为零的等差数列{a n }的前n 项和为S n .假设a 4是a 3与a 7的等比中项，S 8＝32，那么S 10等于( )A ．60B ．24C ．18D ．908、在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，假设a 2＋b 2＝c 2＋ab ，那么C ＝( )A ．60°B ．120°C ．45°D ．30° 9、在ABC 中，sin b a C =且sin(90)c a B =︒-，试判断ABC 的形状A ．锐角三角形B ．等边三角形C ．直角三角形D ．等腰直角三角形 10、数列1,2＋12，3＋12＋14，…，n ＋12＋14＋…＋12n －1的前n 项和为( )A ．1)21(1--+n n B.12n 2＋32n ＋12n －1－3 C.12n 2＋32n ＋12n －1－2D ．n ＋12n －1－1二、填空题(本大题一一共5小题，每一小题4分，一共20分．请把正确答案填在题中横线上)11、等比数列{}n a 中，467,21a a ==，那么8a =_____________．12、关于x 的不等式a x 2+b x +2>0的解集是}3121|{<<-x x ，那么a +b=_____________．13、一船以每小时15 km 的速度向东航行，船在A 处看到一个B 在北偏东60°的方向上，行驶 4 h 后，船到达C 处，看到这个在北偏东15°的方向上，这时船与的间隔 为_______km.14、 数列{}n a 的前n 项和为231n S n n =++，那么它的通项公式为 .15、 y x ,是正数，且191=+y x ，那么y x +的值域是____________．三、解答题(本大题一一共5小题，每一小题8分，一共40分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或者演算步骤)16、在ABC 中，33a =，2,150c B ==︒，求边b 的长及ABC 的面积S .17、解不等式.1(1).32x x +≤-22(2).230x ax a --<,(0)a <18、设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，31124,0a S ==(1)求数列{}n a 的通项公式； (2)求数列{}n a 的前n 项和n S ；(3)当n 为何值时，n S 最大？并求n S 的最大值.19、某工厂用7万元钱购置了一台新机器，运输安装费用2千元，每年投保、动力消耗的费用也为2千元，每年的保养、维修、更换易损零件的费用逐年增加，第一年为2千元，第二年为3千元，第三年为4千元，依此类推，即每年增加1千元．问这台机器最正确使用年限是多少年？并求出年平均费用的最小值．20、设数列{a n }的前n 项和为n S ，a 1=a, a n+1=n S +3n,*n N ∈.(1) 当a=2时，写出a 1，a 2，a 3.(2) 设3nn n b S =-，求数列{}n b 的通项公式.励志赠言经典语录精选句；挥动**，放飞梦想。
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高一数学练习48 期中讲评针对性练习卷 姓名 班级 2010/11/16
1．函数y=x log 2
1的定义域为 （ ）
A ．()0,1
B ．(]0,1
C ．(],1-∞
D ．[)1,+∞ 2．函数23y ax bx =++在(],1-∞-上是增函数，在[)1,-+∞上是减函数，则 ( )
（A ）0b >且0a < （B ）20b a =<（C ）20b a => （D ）a ，b 的符号不确定.
3．已知函数()y f x =是R 上的偶函数，且()f x 在[)0,+∞上是减函数，若()()2f a f ≥-，则a 的取值范围是 ( )
（A ）2a ≤ （B ）2a ≥ （C ）22a a ≤-≥或 （D ）22a -≤≤
4．已知函数f(x)＝log 2(x 2－ax ＋3a)在区间[2，＋∞)上递增，则实数a 的取值范围是 （ ）
A.(－∞，4)
B.(－4，4]
C.(－∞，－4)∪[2，＋∞)
D.[－4，2)
5．函数()x f 是R 上的偶函数，且()()x f x f -=2，若()x f 在区间[]2,1是减函数，则函数()x f
（A ）在区间[]1,2--上是增函数，区间[]4,3上是增函数 （ ）
（B ）在区间[]1,2--上是增函数，区间[]4,3上是减函数
（C ）在区间[]1,2--上是减函数，区间[]4,3上是增函数
（D ）在区间[]1,2--上是减函数，区间[]4,3上是减函数
6．已知函数2log (1)2(0)()(1)(0)
a x x f x a x a x ++≥⎧=⎨-⋅+<⎩(0a >且1a ≠）在R 上是增函数，则a 的取值范围是 。
7．如下图所示，向高为H 的水瓶A ，B ，C ，D 同时以等速注水，注满为止．
(1)若水深h 与注水时间t 的函数图象是下图中的A ，则水瓶的形状是 ；
(2)若水量V 与水深h 的函数图象是下图中的B ，则水瓶的形状是 ；
(3)若水深h 与注水时间t 的函数图象是下图中的C ，则水瓶的形状是 ；
(4)若注水时间t 与水深h 的函数图象是下图中的D ，则水瓶的形状是 ．
A B C
D
A B C D
8．若奇函数()()f x x R ∈满足()31f =，()()()33f x f x f +=+，则()32
f =________． 9.已知函数()21x f x =-的图象与直线y a =有两个公共点，则a 的取值范围是_________．
10.已知函数()()log 2a f x ax =-在[]0,1上减函数，则a 的取值范围是_________．
11.已知函数0()()0ax x f x x x a x ≤⎧=⎨->⎩
(1) 当1a =-时，求函数()2y f x =-的零点；
(2) 若()2f x a ≤对任意[]1,1x ∈-恒成立，求a 的取值范围.。