北大数学科学学院期中试题
2023-2024学年北京师大附属实验中学高一(上)期中数学试卷【答案版】
2023-2024学年北京师大附属实验中学高一（上）期中数学试卷一、选择题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1．已知集合A ＝{x |x ＝2k +1，k ∈Z }，B ＝{x |﹣2＜x ＜4}，那么A ∩B ＝（ ） A ．{﹣1，1}B ．{1，3}C ．{﹣1，1，3}D ．{0，2，4}2．函数f （x ）=√1−x 2的定义域是（ ） A ．[﹣1，1]B ．（﹣1，1）C ．（﹣∞，﹣1）∪[1，+∞）D ．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）3．下列函数中，在定义域内既是奇函数，又是增函数的是（ ） A ．y ＝x 2B ．y ＝x +1C ．y =−1xD ．y ＝x 34．已知x ＞0，则x +9x的最小值为（ ） A ．﹣3B ．3C ．6D ．105．已知函数f(x)={x 2−1，x ≥1，x −2，x ＜1．若f （a ）＝3，则a ＝（ ）A ．±2B ．2C ．﹣2D ．56．已知函数f （x ）是定义在[﹣6，6]上的偶函数，且在[0，6]上单调递增．以下结论正确的是（ ） A ．f （﹣5）＞f （π）＞f （﹣2） B ．f （π）＞f （﹣2）＞f （﹣5） C ．f （π）＞f （﹣5）＞f （﹣2）D ．f （﹣5）＞f （﹣2）＞f （π）7．已知函数y ＝f （x ）图象是连续不断的，并且是R 上的增函数，有如下的对应值表以下说法中错误的是（ ） A ．f （0）＜0B ．当x ＞2时，f （x ）＞0C ．函数f （x ）有且仅有一个零点D ．函数g （x ）＝f （x ）+x 可能无零点8．已知f （x ）是定义在R 上的函数，那么“存在实数M ，使得对任意x ∈R 总有f （x ）≤M ”是“函数f （x ）存在最大值”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件9．数学里有一种证明方法为无字证明，是指仅用图形而无需文字解释就能不证自明的数学命题．在同一平面内有形状、大小相同的图1和图2，其中四边形ABCD 为矩形，△BCE 为等腰直角三角形，设AB =√a ，BC =√b(b ≥a ＞0)，则借助这两个图形可以直接无字证明的不等式是（ ）A ．a+b 2≥√abB ．2aba+b ≤√ab C ．a 2+b 2≥2√abD ．a+b 2≤√a 2+b 2210．将5个1，5个2，5个3，5个4，5个5共25个数填入一个5行5列的表格内（每格填入1个数），使得同一行中任何两数之差的绝对值不超过2，设第k 行的所有数的和为r k （k ＝1，2，3，4，5），m 为r 1，r 2，r 3，r 4，r 5中的最小值，则m 的最大值为（ ） A ．8B ．9C ．10D ．11二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。
北京大学高等代数_I+2016+期中考试题+-+答案
北京大学数学学院期中试题一．（16分）（1）叙述向量组线性相关, 线性无关, 向量组极大无关组的定义 ;（2）已知向量组α1 , ... , α s 能线性表出β1 , ... , β r , 且α1 , ... , α s 的秩等于β1 , ... , β r 的秩 . 证明: β1 , ... , β r 也能线性表出α1 , ... , αs .二．（16分）计算n 级行列式 D = nn 2n 1n n 22212n 12111b a n b a n b a n b a b a b a b a b a b a +++++++++222111. 解：n = 1时，D = 1+ a 1b 1 ；n = 2时，D =（2a 1–a 2 ）（b 1–b 2 ）；n>2时，D = n1n 21n 11n n 12212112n 12111b a n a b a n a b a n a b a a b a a b a a b a b a b a )()()()2()2()2(111------+++= 0 .三．（24分）设矩阵 A 的列向量依次为α1 , ... , α5 . 已知齐次方程组A X = 0解空间的一组基为 [ 3 1 1 0 0 ] T , [ 5 6 1 2 -1 ] T .1) 求A 的简化阶梯型矩阵J ;2) 求A 列向量组的一个极大无关组, 并用此极大无关组表出A 的每个列向量;3) 求 A 行空间的一组基, 并判断当a 取何值时，β = [ 1 a 0 3 2a –1 ] 落在A 的行空间里, 写出此时β在 基底下的坐标；4) 将A 写成BC 的形式，B 是列满秩的矩阵，C 是行满秩的矩阵.解: 1) 矩阵A 的行空间与A 的解空间在R 5中互为正交补 , 即向量 [ a 1 a 2 a 3 a 4 a 5 ] 在A 的行空间中当且仅当 3 a 1 + a 2 + a 3 = 0 且 5a 1 + 6a 2 + a 3 +2 a 4 – a 5 = 0 .解此方程组得行空间的一组基⎥⎦⎤⎢⎣⎡---→⎥⎦⎤⎢⎣⎡-12052001131216500113 得 ⎩⎨⎧++=--=42152132523a a a a a a a a 1 , a 2 , a 4为自由变量. ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-+⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡++--=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡21000501102030125234214214212154321a a a a a a a a a a a a a a a a 故A 的简化阶梯形为 ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-- 00000210005*********. 2) A 列向量组的一个极大无关组为α1 , α2 , α4 , 且α3 = –3 α1 – α2 , α5 = 2 α1 + 5α2 + 2α3 ;3) A 行空间的一组基为简化阶梯形的前3个行向量；若 β = [ 1 a 0 3 2a –1 ] 落在A 的行空间里, 则β在此基底下的坐标只能是 [ 1 a 3 ] T ，且有–3–a = 0 , 2 + 5 a + 6 =2a –1 .此条件当且仅当 a = –3 时成立.故当且仅当 a = –3 时β落在A 的行空间里, 此时β的坐标是[ 1 –3 3 ] T .4) A = [ a 1 a 2 a 4 ] ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--210005*********.四．（12分）设A =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡000100010. 记 C( A) = { X ∈ M 3 (R) | A X = X A }.1) 证明: 集合C( A )是线性空间M 3 (R) 的子空间;2) 求子空间C( A ) 的维数和一组基 .解：2) C( A ) 的一组基为 I ，A ，A 2 （ A 3 = 0 ）。
北京大学数学院高代期中考试题
Problem Set 21. Suppose that Natasha’s utility function is given by u(I) = I0.5, where I represents annual income in thousands of dollars.1) Is Natasha risk loving, risk neutral, or risk averse? Explain.2) Suppose that Natasha is currently earning an income of $10,000 (I = 10) and can earn that income next year with certainty. She is offered a chance to take a newjob that offers a 0.5 probability of earning $16,000, and a 0.5 probability of earning $5,000. Should she take the new job?3) In (2), would Natasha be willing to buy insurance to protect against the variable income associated with the new job? If so, how much would she be willing to pay for that insurance? (Hint: What is the risk premium?)1。
假设娜塔莎的效用函数是由u给予（我）= I0.5，在这里我代表以百万美元.1）年收入数千娜塔莎风险爱好者，风险中性，或风险规避？解释.2）假设娜塔莎是当前收入是10,000元（收入我= 10），而且可以肯定地赚取收入明年。
2023-2024学年北京师范大学附属中学高一上学期期中数学试题含答案解析
2023北京北师大二附中高一（上）期中数学一、单选题（共10小题，每题4分，共40分）1. 已知集合{}1,0,2,3A =-，{21,}B xx k k ==-∈N ∣，那么A B = （ ）A. {}1,0- B. {}1,2- C. {}0,3 D. {}1,3-2. 命题“x ∀∈R ，2230x x -+>”的否定为（ ）A. x ∀∈R ，2230x x -+< B. x ∀∈R ，2230x x -+≤C. x ∃∈R ，2230x x -+< D. x ∃∈R ，2230x x -+≤3. 已知0a b <<，则下列不等式中成立的是（ ）A.11a b< B. a b< C. 0ab < D.2ab b >4. 函数1111y x x=-+-的奇偶性是（ ）A. 奇函数 B. 偶函数C. 非奇非偶函数D. 既奇函数，又是偶函数5. 函数()35f x x x =--的零点所在的区间是（ ）A. ()0,1 B. ()1,2C. ()2,3 D. ()3,46. “14m <”是“一元二次方程20x x m ++=”有实数解的A. 充分非必要条件 B. 充分必要条件C. 必要非充分条件D. 非充分非必要条件7. 下图是王老师锻炼时所走的离家距离（S ）与行走时间（t ）之间的函数关系图，若用黑点表示王老师家的位置，则王老师行走的路线可能是（ ）是A. B.C. D.8. 函数()221xf x x =+的图象大致为（ ）A. B.C. D.9. 设f （x ）是R 上的偶函数，且在（0，+∞）上是减函数，若x 1＜0且x 1+x 2＞0，则（ ）A. f （﹣x 1）＞f （﹣x 2）B. f （﹣x 1）＝f （﹣x 2）C. f （﹣x 1）＜f （﹣x 2）D. f （﹣x 1）与f （﹣x 2）大小不确定10. 已知函数()12f x m x x =-+有三个零点，则实数m 的取值范围为（ ）A. 1m > B. 01m <<C 12m << D. 1m <-.二、填空题（共5小题，每题5分，共25分）11. 函数()f x =______.12. 函数2122x x y ++=值域是________．13. 若正实数,x y 满足：31x y +=，则xy 的最大值为________.14. 已知函数()221,111,1x x x f x x x⎧-+≤⎪=⎨->⎪⎩，则()()1f f -=______；若关于x 的方程()f x k =恰有两个不同的解，则实数k 的取值范围是______.15. 若使集合{}2()(6)(4)0,A k x kx k x x Z =---≥∈中元素个数最少，则实数k 的取值范围是 ________.三、解答题（共6小题，共85分）16. 已知全集U =R ，集合{}2230A x x x =--<，{}04B x x =<<.（1）求()U A B ⋂ð；（2）设非空集合{}23,D x a x a a =<<+∈R ，若U D A ⊆ð，求实数a 的取值范围.17. 已知函数()211f x x =+，[]2,5x ∈.（1）判断函数()f x 的单调性，并用定义证明你的结论；（2）求不等式()()121f m f m +<-的解集.18. 已知2y x x =-，且()1,1x ∈-.（1）求实数y 的取值集合M ；（2）设不等式()()20x a x a -+-<的解集为N ，若x ∈N 是x M ∈的必要条件，求a 的取值范围.19. 近年来，中美贸易摩擦不断.特别是美国对我国华为的限制.尽管美国对华为极力封锁，百般刁难，并不断加大对各国的施压，拉拢他们抵制华为5G ，然而这并没有让华为却步.华为在2018年不仅净利润创下记录，海外增长同样强劲.今年，我国华为某一企业为了进一步增加市场竞争力，计划在2020年利用新技术生产某款新手机.通过市场分析，生产此款手机全年需投入固定成本250万，每生产x （千部）手机，需另投入成本()R x 万元，且的210100,040()100007019450,40x x x R x x x x ⎧+<<⎪=⎨+-≥⎪⎩，由市场调研知，每部手机售价0.7万元，且全年生产的手机当年能全部销售完.（1）求出2020年的利润()W x （万元）关于年产量x （千部）的函数关系式，（利润=销售额—成本）；（2）2020年产量为多少（千部）时，企业所获利润最大？最大利润多少？20. 已知函数()f x 为二次函数，()f x 的图象过点()0,2，对称轴为12x =-，函数()f x 在R 上最小值为74.（1）求()f x 的解析式；（2）当[]2,x m m ∈-，R m ∈时，求函数()f x 的最小值（用m 表示）；（3）若函数()()1F x f x ax =--在()0,3上只有一个零点，求a 的取值范围.21. 设整数集合{}12100,,,A a a a =⋯,其中121001···205a a a ≤<<<≤ ，且对于任意(),1100i j i j ≤≤≤，若i j A +∈，则.i j a a A +∈（1）请写出一个满足条件的集合A ;（2）证明:任意{}101,102,,200,x x A ∈⋯∉;（3）若100205a =,求满足条件集合A 的个数.是的2023北京北师大二附中高一（上）期中数学一、单选题（共10小题，每题4分，共40分）1. 已知集合{}1,0,2,3A =-，{21,}B xx k k ==-∈N ∣，那么A B = （ ）A. {}1,0- B. {}1,2- C. {}0,3 D. {}1,3-【答案】D 【解析】【分析】根据交集的定义可求A B ⋂.【详解】因为{21,}B xx k k ==-∈N ∣，故B 中的元素为大于或等于1-的奇数，故{}1,3A B =- ，故选：D.2. 命题“x ∀∈R ，2230x x -+>”的否定为（ ）A. x ∀∈R ，2230x x -+< B. x ∀∈R ，2230x x -+≤C. x ∃∈R ，2230x x -+< D. x ∃∈R ，2230x x -+≤【答案】D 【解析】【分析】根据题意，由全称命题的否定是特称命题，即可得到结果.【详解】因为命题“x ∀∈R ，2230x x -+>”，则其否定为“x ∃∈R ，2230x x -+≤”故选：D3. 已知0a b <<，则下列不等式中成立的是（ ）A.11a b< B. a b< C. 0ab < D.2ab b >【答案】D 【解析】【分析】根据不等式基本性质，逐一分析四个不等式关系是否恒成立，可得答案．【详解】解：0a b <<Q ， 0ab ∴>，故C 错误；的两边同除ab 得：11a b>，故A 错误；a b ∴>，故B 错误；两边同乘b 得：2ab b >，故D 正确；故选D ．【点睛】本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了不等式恒成立，不等式的基本性质等知识点，难度中档．4. 函数1111y x x=-+-奇偶性是（ ）A. 奇函数 B. 偶函数C. 非奇非偶函数D. 既是奇函数，又是偶函数【答案】A 【解析】【分析】利用函数的奇偶性定义判定即可.【详解】由函数解析式可知{}1,R x x x ≠±∈，即定义域关于原点对称，又()()()11111111f x f x f x x x x x=-⇒-=-=-+--+，所以函数1111y x x=-+-是奇函数.故选：A5. 函数()35f x x x =--的零点所在的区间是（ ）A. ()0,1B. ()1,2C. ()2,3D. ()3,4【答案】B 【解析】【分析】利用转化法，结合数形结合思想进行判断即可.【详解】()33505f x x x x x =--=⇒=+函数3y x =和函数5y x =+在同一直角坐标系内图象如下图所示：的一方面()()()()()05,15,21,319,455f f f f f =-=-===，()()120f f <另一方面根据数形结合思想可以判断两个函数图象的交点只有一个，故选：B 6. “14m <”是“一元二次方程20x x m ++=”有实数解的A. 充分非必要条件 B. 充分必要条件C. 必要非充分条件 D. 非充分非必要条件【答案】A 【解析】【详解】试题分析：方程20x x m ++=有解，则11404m m ∆=-≥⇒≤．14m <是14m ≤的充分不必要条件．故A 正确．考点：充分必要条件7. 下图是王老师锻炼时所走的离家距离（S ）与行走时间（t ）之间的函数关系图，若用黑点表示王老师家的位置，则王老师行走的路线可能是（ ）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根据图象中有一段为水平线段（表示离家的距离一直不变），逐项判断此时对应选项是否满足.【详解】图象显示有一段时间吴老师离家距离是个定值，故他所走的路程是一段以家为圆心的圆弧，所以A、B、D三个选项均不符合，只有选项C符合题意.故选：C .8. 函数()221xf x x =+的图象大致为（ ）A. B.C. D.【答案】D 【解析】【分析】根据函数的奇偶性判断所给函数的奇偶性，再通过函数值的正负即可判断.【详解】函数()221x f x x =+，则()()()()222211x x f x f x x x --==-=-+-+，即函数为奇函数，则A 、B 错误，当0x >时，()2201xf x x =>+.故D 正确故选：D9. 设f （x ）是R 上的偶函数，且在（0，+∞）上是减函数，若x 1＜0且x 1+x 2＞0，则（ ）A. f （﹣x 1）＞f （﹣x 2）B. f （﹣x 1）＝f （﹣x 2）C. f （﹣x 1）＜f （﹣x 2）D. f （﹣x 1）与f （﹣x 2）大小不确定【答案】A 【解析】【分析】由条件可得()f x 在(),0∞-上是增函数，根据条件可得120x x >>-，所以()()12f x f x >-，从而得出答案.【详解】()f x 是R 上的偶函数，且在()0,∞+上是减函数故()f x 在(),0∞-上是增函数因为10x <且120x x +>，故120x x >>-；所以有()()12f x f x >-，又因为()()11f x f x ->所以有()()12f x f x ->-故选：A .10. 已知函数()12f x m x x =-+有三个零点，则实数m 的取值范围为（ ）A. 1m > B. 01m <<C 12m << D. 1m <-【答案】A 【解析】【分析】利用常变量分离法，结合数形给思想进行判断即可.【详解】令()11220f x m x m x x x =⇒=-=++，显然有0x ≠且2x ≠-且0m ≠，于是有()()()()()2,0122,,22,0x x x x x x x x m ∞⎧+>⎪=+=⎨-+∈--⋃-⎪⎩，设()()()()()()2,022,,22,0x x x g x x x x x x ∞⎧+>⎪=+=⎨-+∈--⋃-⎪⎩，它的图象如下图所示：因此要想函数()12f x m x x =-+有三个零点，只需0111m m <<⇒>，故选：A【点睛】方法点睛：解决函数零点个数问题一般的方法就是让函数值为零，然后进行常变量分离，利用数形结合思想进行求解.二、填空题（共5小题，每题5分，共25分）11. 函数()f x =______.【答案】(),1-∞.【解析】【分析】利用二次根式的意义计算即可.【详解】由题意可知101x x ->⇒<，即函数的定义域为(),1-∞.故答案为：(),1-∞12. 函数2122x x y ++=的值域是________．【答案】(0,1]【解析】【分析】根据二次函数的性质求解2()22f x x x =++的范围可得函数2122x x y ++=的值域【详解】解：由22()22(1)1f x x x x =++=++，可得()f x 的最小值为1，2122y x x ∴=++的值域为(0，1]．故答案为：(0，1]．【点睛】本题考查了函数值域的求法．高中函数值域求法有：1、观察法，2、配方法，3、反函数法，4、判别式法；5、换元法，6、数形结合法，7、不等式法，8、分离常数法，9、单调性法，1011、最值法，12、构造法，13、比例法．要根据题意选择．13. 若正实数,x y 满足：31x y +=，则xy 的最大值为________.【答案】112【解析】【分析】运用基本不等式得出31x y +=≥，化简求得112xy ≤即可.【详解】 正实数,x y 满足：31x y +=，31x y +=≥∴112xy ≤，当且仅当12x =，16y =时等号成立.故答案为112【点睛】本题考查了运用基本不等式求解二元式子的最值问题，关键是判断、变形得出不等式的条件，属于容易题.14. 已知函数()221,111,1x x x f x x x⎧-+≤⎪=⎨->⎪⎩，则()()1f f -=______；若关于x 的方程()f x k =恰有两个不同的解，则实数k 的取值范围是______.【答案】 ①. 34-②. ()0,1【解析】【分析】利用分段函数代入解析式求函数值即可得第一空，利用函数的单调性结合图象得第二空.【详解】易知()()()()314144f ff f -=⇒-==-，又1x ≤时，()22211y x x x =-+=-单调递减，且min 0y =，110x x >⇒>时，11y x=-单调递减，且10y -<<，作出函数()y f x =的图象如下：所以方程()f x k =有两个不同解即函数()y f x =与y k =有两个不同交点，显然()0,1k ∈.故答案为：34-；()0,115. 若使集合{}2()(6)(4)0,A k x kx k x x Z =---≥∈中元素个数最少，则实数k 的取值范围是 ________.【答案】()3,2--【解析】【分析】首先讨论k 的取值，解不等式；再由集合A 的元素个数最少，推出只有0k <满足，若集合A 的元素个数最少，由0k <，集合A =64x Z k x k ⎧⎫∈+≤≤⎨⎬⎩⎭，只需求6k k +的最大值即可，再由集合A 中x ∈Z ，只需654k k-<+<-即可求解.【详解】由题知集合A 内的不等式为2(6)(4)0,kx k x x Z ---≥∈，故当0k =时，可得{}4A x Z x =∈<；当0k >时， 2(6)(4)0kx k x ---≥可转化为24060x kx k -≥⎧⎨--≥⎩ 或24060x kx k -≤⎧⎨--≤⎩，因为64k k <+，所以不等式的解集为{4x x ≤或6x k k ⎫≥+⎬⎭，所以A ={4x Z x ∈≤或6x k k ⎫≥+⎬⎭当0k <时，由64k k +<，所以不等式的解集为64x k x k ⎧⎫+≤≤⎨⎬⎩⎭，所以A =64x Z k x k ⎧⎫∈+≤≤⎨⎬⎩⎭，此时集合A 的元素个数为有限个.综上所述，当0k ≥时，集合A 的元素个数为无限个，当0k <时，集合A 的元素个数为有限个，故当0k <时，集合A 的元素个数最少，且当6k k+ 的值越大，集合A 的元素个数越少，令6()f k k k =+（0k <），则26()1f k k'=-，令()0f k '= 解得k =，所以()f k 在(,-∞内单调递增，在()内单调递减，所以max ()(f k f ==-又因为x ∈Z ，54-<-<-，所以当654k k-<+<-，即32k -<<-时，集合A =64x Z k x k ⎧⎫∈+≤≤⎨⎬⎩⎭中元素的个数最少，故32k -<<-故答案为:()3,2--【点睛】本题主要考查集合的运算和解不等式，综合性比较强.三、解答题（共6小题，共85分）16. 已知全集U =R ，集合{}2230A x x x =--<，{}04B x x =<<.（1）求()U A B ⋂ð；（2）设非空集合{}23,D x a x a a =<<+∈R ，若U D A ⊆ð，求实数a 的取值范围.【答案】（1）{}34x x ≤< （2）][()3,23,--⋃+∞【解析】【分析】（1）利用一元二次不等式解法化简集合A ，然后利用补集和交集运算求解即可；（2）根据集合关系列不等式组求解即可.【小问1详解】因为{}2230A x x x =--<，所以{}13A x x =-<<，所以{}13U A x x x =≤-≥或ð，因为{}04B x x =<<，所以(){}34U A B x x ⋂=≤<ð.【小问2详解】因为{}13U A x x x =≤-≥或ð，由题意得23231a a a <+⎧⎨+≤-⎩或233a a a <+⎧⎨≥⎩，解得32a -<≤-或3a ≥.所以实数a 的取值范围是][()3,23,--⋃+∞.17. 已知函数()211f x x =+，[]2,5x ∈.（1）判断函数()f x 的单调性，并用定义证明你的结论；（2）求不等式()()121f m f m +<-的解集.【答案】（1）()f x 在[]2,5x ∈单调递减，证明见解析 （2）322mm ⎧⎫≤<⎨⎬⎩⎭【解析】【分析】（1）根据函数单调性的定义即可作差求解，（2）由函数的单调性即可求解.【小问1详解】()f x 在[]2,5x ∈单调递减，证明如下：设1225x x ≤<≤，则()()()()()()21211222221212111111x x x x f x f x x x x x -+-=-=++++，由于1225x x ≤<≤，所以()()222121120,0,110x x x x x x ->+>++>，因此()()120f x f x ->，故()()12f x f x >，所以()f x 在[]2,5x ∈单调递减，【小问2详解】由（1）知()f x 在[]2,5x ∈单调递减，所以由()()121f m f m +<-得51212m m ≥+>-≥，解得322m ≤<，故不等式解集为322mm ⎧⎫≤<⎨⎬⎩⎭18. 已知2y x x =-，且()1,1x ∈-.（1）求实数y 的取值集合M ；（2）设不等式()()20x a x a -+-<的解集为N ，若x ∈N 是x M ∈的必要条件，求a 的取值范围.【答案】18. 124M y y ⎧⎫=-≤<⎨⎬⎩⎭19. 14a <-或94a >【解析】【分析】（1）根据二次函数的性质即可求解集合M ．（2）x ∈N 是x M ∈的必要条件，即M N ⊆，对a 分类讨论，解出不等式()(2)0x a x a -+-<的解集，可得a 的取值范围．【小问1详解】221124y x x x ⎛⎫=-=-- ⎪⎝⎭，的故函数在11,2⎛⎫- ⎪⎝⎭单调递减，在1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭，故当12x =时取最小值min 14y =-，当=1x -时，2y =，当1x =时，0y =，故124y -≤<，所以124M y y ⎧⎫=-≤<⎨⎬⎩⎭，【小问2详解】x ∈N 是x M ∈的必要条件，即M N ⊆．当1a >时，2a a >-，此时(2,)N a a =-,所以1242a a ⎧-<-⎪⎨⎪≥⎩，解得94a >；当1a =时，N 为空集，不适合题意，所以1a =舍去； 当1a <时，2a a <-，此时(,2)N a a =-，所以1422a a ⎧<-⎪⎨⎪-≥⎩，解得14a <-综上可得a 取值范围是14a <-或94a >19. 近年来，中美贸易摩擦不断.特别是美国对我国华为的限制.尽管美国对华为极力封锁，百般刁难，并不断加大对各国的施压，拉拢他们抵制华为5G ，然而这并没有让华为却步.华为在2018年不仅净利润创下记录，海外增长同样强劲.今年，我国华为某一企业为了进一步增加市场竞争力，计划在2020年利用新技术生产某款新手机.通过市场分析，生产此款手机全年需投入固定成本250万，每生产x （千部）手机，需另投入成本()R x 万元，且210100,040()100007019450,40x x x R x x x x ⎧+<<⎪=⎨+-≥⎪⎩，由市场调研知，每部手机售价0.7万元，且全年生产的手机当年能全部销售完.（1）求出2020年的利润()W x （万元）关于年产量x （千部）的函数关系式，（利润=销售额—成本）；的（2）2020年产量为多少（千部）时，企业所获利润最大？最大利润是多少？【答案】（1）210600250,040()10000()9200,40x x x W x x x x ⎧-+-<<⎪=⎨-++≥⎪⎩； （2）2020年产量为100千部时，企业所获利润最大，最大利润是9000万元.【解析】【分析】（1）根据给定的函数模型，直接计算作答.（2）利用（1）中函数，借助二次函数最值及均值不等式求出最大值，再比较大小作答.【小问1详解】依题意，销售收入700x 万元，固定成本250万元，另投入成本210100,040()100007019450,40x x x R x x x x ⎧+<<⎪=⎨+-≥⎪⎩万元，因此210600250,040()700()25010000()9200,40x x x W x x R x x x x ⎧-+-<<⎪=--=⎨-++≥⎪⎩，所以2020年的利润()W x （万元）关于年产量x （千部）的函数关系式是210600250,040()10000(9200,40x x x W x x x x ⎧-+-<<⎪=⎨-++≥⎪⎩.【小问2详解】由（1）知，当040x <<时，2()10(30)87508750W x x =--+≤，当且仅当30x =时取等号，当40x ≥时，10000()(920092009000W x x x =-++≤-+=，当且仅当10000x x=，即100x =时取等号，而87509000<，因此当100x =时，max ()9000W x =，所以2020年产量为100千部时，企业所获利润最大，最大利润是9000万元.20. 已知函数()f x 为二次函数，()f x 的图象过点()0,2，对称轴为12x =-，函数()f x在R 上最小值为74.（1）求()f x 的解析式；（2）当[]2,x m m ∈-，R m ∈时，求函数()f x 的最小值（用m 表示）；（3）若函数()()1F x f x ax =--在()0,3上只有一个零点，求a 的取值范围.【答案】（1）217()()24f x x =++（2）2min2171(),242713(),422373(),242m m f x m m m ⎧++<-⎪⎪⎪=-≤≤⎨⎪⎪-+>⎪⎩（3）13[,3{})3+∞⋃．【解析】【分析】（1）设出函数的解析式，结合函数的对称轴以及函数最值，求出函数的解析式即可；（2）通过讨论m 的范围，求出函数的单调区间，求出函数的最小值即可；（3）根据一元二次方程根的分布，结合零点存在性定理得到关于a 的不等式，解出即可．【小问1详解】设函数2()()f x a x h k =-+，由对称轴为12x =-，函数()f x 在R 上最小值为74可得得217()(24f x a x =++，将(0,2)代入()f x 得：1a =，故217()()24f x x =++；【小问2详解】()f x 的对称轴为12x=-，12m ≤-时，()f x 在[2m -,]m 递减，2min 17()()(24f x f m m ==++，1322m -<<时，()f x 在[2m -,12-递减，在1(2-,]m 递增，故min 17()()24f x f =-=，32m ≥时，()f x 在[2m -,]m 递增，故2min 37()(2)(24f x f m m =-=-+；综上，2min2171(),242713(),422373(),242m m f x m m m ⎧++<-⎪⎪⎪=-≤≤⎨⎪⎪-+>⎪⎩；【小问3详解】2217()()1()1(1)124F x f x ax x ax x a x =--=++--=+-+在(0,3)上只有一个零点，当Δ0=时，即()2140a ∆=--=，解得3a =或1a =-当1a =-时，2210x x ++=，=1x -不满足题意，舍去，当3a =时，2210x x -+=，1x =满足题意，当0∆>时，当()(0)30F F ⋅<，解得133a >，此时()F x 在(0,3)上只有一个零点，由于(0)1F =，当()31330F a =-=时，此时133a =，此时210()103F x x x =+=-，解得13x =或3x =（舍去），满足条件，综上可得133a ≥，综上：a 的取值范围是13[,3{})3+∞⋃．21. 设整数集合{}12100,,,A a a a =⋯,其中121001···205a a a ≤<<<≤ ，且对于任意(),1100i j i j ≤≤≤，若i j A +∈，则.i j a a A +∈（1）请写出一个满足条件的集合A ;（2）证明:任意{}101,102,,200,x x A ∈⋯∉;（3）若100205a =,求满足条件的集合A 的个数.【答案】（1）{1,2,3,,100}A = （2）证明见解析 （3）16个【解析】【分析】（1）根据题目条件，令n a n =，即可写出一个集合{1,2,3,,100}A = ；（2）由反证法即可证明；（3）因为任意的{}101,102,,200,x x A ∈⋯∉，所以集合{201,202,,205}A 中至多5个元素.设100100m a b -=≤，先通过判断集合A 中前100m -个元素的最大值可以推出(1100)i a i i m =-≤≤，故集合A 的个数与集合{201,202,203,204}的子集个数相同，即可求出．【详解】（1）答案不唯一． 如{1,2,3,,100}A = ； （2）假设存在一个0{101,102,,200}x ∈ 使得0x A ∈， 令0100x s =+，其中s ∈N 且100s ≤≤1，由题意，得100s a a A +∈，由s a 为正整数，得100100s a a a +>，这与100a 为集合A 中的最大元素矛盾，所以任意{101,102,,200}x ∈ ，x A ∉．（3）设集合{201,202,,205}A 中有(15)m m ≤≤个元素，100m a b -=，由题意，得12100200m a a a -<<< ≤，10011002100200m m a a a -+-+<<<< ，由（2）知，100100m a b -=≤．假设100b m >-，则1000b m -+>．因为10010010055100b m m -+-+=<-≤，由题设条件，得100100m b m a a A --++∈，因为100100100100200m b m a a --+++=≤，所以由（2）可得100100100m b m a a --++≤，这与100m a -为A 中不超过100的最大元素矛盾，所以100100m a m --≤，第21页/共21页又因为121001m a a a -<<< ≤，i a ∈N ，所以(1100)i a i i m =-≤≤． 任给集合{201,202,203,204}的1m -元子集B ，令0{1,2,,100}{205}A m B =- ， 以下证明集合0A 符合题意：对于任意,i j 00)(1i j ≤≤≤1，则200i j +≤．若0i j A +∈，则有m i j +≤100-，所以i a i =，j a j =，从而0i j a a i j A +=+∈．故集合0A 符合题意，所以满足条件的集合A 的个数与集合{201,202,203,204}的子集个数相同，故满足条件的集合A 有4216=个．【点睛】本题主要考查数列中的推理，以及反证法的应用，解题关键是利用题目中的递进关系，找到破解方法，意在考查学生的逻辑推理能力和分析转化能力，属于难题．。
2023北京北大附中高二(下)期中数学(教师版)
2023北京北大附中高二（下）期中数 学2023.04考生须知1.本试卷共4页，共三道大题，21道小题，满分150分，考试时间120分钟.2.在试卷和答题纸上准确填写学校、班级、姓名.3.试题答案一律填涂或书写在答题纸上，在试卷上作答无效.4.考试结束，请将本试卷和答题纸一并交回.第一部分 选择题（共40分）一、选择题.（每小题4分，共40分）1. 已知集合{{},1,A B m ==，且A B A ⋃=，则m 等于（ ）A. 0或3B. 0C. 1D. 1或3或02. 已知0x y >>，则下列不等关系中正确的是（ ） A. cos cos x y >B. 33log log x y <C. 1122x y < D. 11()()33xy<3. 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知13n n S +=，则34a a +=（ ）A. 81B. 243C. 324D. 2164. 已知平面向量1,22a ⎛⎫=− ⎪ ⎪⎝⎭，31,22b ⎛⎫=− ⎪ ⎪⎝⎭，则下列关系正确的是（ ） A. ()a b b +⊥ B. ()a b a +⊥C. ()()a b a b +⊥−D. ()()//a b a b +−5. 已知2()22x f x x =+−，若0()0f x =，则0x 所在区间为（ ） A. 1(0,)4B. 11(,)42C. 1(,1)2D. ()1,26. 某学校需要从3名男生和2名女生中选出4人，到甲、乙、丙三个社区参加活动，其中甲社区需要选派2人，且至少有1名是女生；乙社区和丙社区各需要选派1人．则不同的选派方法的种数是（ ） A. 18B. 21C. 36D. 427. 某地举行一次民歌大奖赛,六个省各有一对歌手参加决赛,现要选出四名优胜者.则选出的四人中恰只有两人来自同一省份的概率为. A.1633B.33128C.3233D.4118. 已知点(1,1)A −−．若曲线T 上存在两点,B C ，使ABC 为正三角形，则称T 为“正三角形”曲线．给定下列三条曲线：①30(03)x y x +−=≤≤；②222(0)x y x +=≤≤；③1(0)y x x=−>． 其中，“正三角形”曲线的个数是（ ） A. 0B. 1C. 2D. 39. 已知命题“R x ∃∈，使212(1)02x a x +−+≤”是假命题，则实数a 的取值范围是（ ） A. (,1)−∞− B. (1,3)− C. (3,)−+∞D. (3,1)−10. 若函数()1sin 2sin 3f x x x a x =−+在R 上单调递增，则a 的取值范围是 A. []1,1−B. 11,3⎡⎤−⎢⎥⎣⎦C. 11,33⎡⎤−⎢⎥⎣⎦D. 11,3⎡⎤−−⎢⎥⎣⎦第二部分 非选择题（共110分）二、填空题.（每小题5分，共25分）11. 61x x ⎛⎫− ⎪⎝⎭的展开式中含2x 的项的系数是______． 12. 数列{}n a 的通项公式是()*730n a n n N =−+∈，那么它的前n 项和最大时的n 的值是____________.13. 设直线()300x y m m −+=≠与双曲线()222210,0x y a b a b−=>>的两条渐近线分别交于点,A B ，若点(),0P m 满足PA PB =，则该双曲线的离心率是_________．14. 已知0a >，函数222,0,()22,0.x ax a x f x x ax a x ⎧++≤=⎨−+−>⎩若关于x 的方程()f x ax =恰有2个互异的实数解，则a 的取值范围是______________.15. 已知圆锥的顶点为S ，母线SA ，SB 所成角的余弦值为78，SA 与圆锥底面所成角为45°，若SAB △的面积为__________． 三、简答题.（共85分）16. 如图，在四棱锥P ABCD −中，底面ABCD 为平行四边形，PCD 为等边三角形，平面PAC ⊥平面PCD ，PA CD ⊥，2,3CD AD ==.（1）设,G H 分别为,PB AC 的中点，求证：//GH 平面PAD ； （2）求证：PA ⊥平面PCD ；（3）求直线AD 与平面PAC 所成角的正弦值.17. 已知函数()()22f x sin x cos x x cos x x R =−−∈（I ）求2f 3π⎛⎫⎪⎝⎭的值 （II ）求()f x 的最小正周期及单调递增区间.18. 下表为某班学生理科综合能力测试成绩（百分制）的频率分布表，已知在[80,90)分数段内的学生人数为21.`（1）求测试成绩在[95,100]分数段内的人数；（2）现欲从[95,100]分数段内的学生中抽出2人参加物理兴趣小组，若其中至少有一名男生的概率为35，求[95,100]分数段内男生的人数； （3）若在[65,70)分数段内的女生为4人，现欲从[65,70)分数段内的学生中抽出3人参加培优小组，ξ为分配到此组的3名学生中男生的人数．求ξ的分布列及期望E ξ19. 已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>过点(2,0)，且椭圆C 的离心率为12 .（1）求椭圆C 的方程；（2）若动点P 在直线=1x −上，过P 作直线交椭圆C 于,M N 两点，且P 为线段MN 的中点，再过P 作直线l MN ⊥，证明：直线l 恒过定点，并求出该定点的坐标.20. 已知函数()ln x af x x−=，a R ∈. （1）当0a =时，求函数()f x 的单调区间；（2）对任意的()1,x ∈+∞，()f x >a 的取值范围.21. 已知{}n a 是由非负整数组成的无穷数列，该数列前n 项的最大值记为n A ，第n 项之后各项1n a +，2n a +…的最小值记为n B ，n n n d A B =−.（1）若{}n a 为2，1，4，3，2，1，4，3…，是一个周期为4的数列(即对任意n ∈N *，4n n a a +=)，写出1234,,,d d d d 的值；（2）设d 为非负整数，证明：n d d =−(n =1,2,3…)的充分必要条件为{}n a 为公差为d 的等差数列； （3）证明：若12a =，1n d =(n =1,2,3…)，则{}n a 的项只能是1或2，且有无穷多项为1.参考答案第一部分 选择题（共40分）一、选择题.（每小题4分，共40分）1. 【答案】A 【解析】【分析】因为A B A ⋃=，可得B A ⊆，列出条件，结合元素的互异性，即可求解.【详解】由题意，集合{{},1,A B m == 因为A B A ⋃=，可得B A ⊆，则满足3m =或m =1m ≠，解得3m =或0m =. 故选：A. 2. 【答案】D 【解析】【分析】利用指函数的单调性得出结论． 【详解】A. cos cos x y >，显然不成立；B. 33log log x y < 错误，因为函数3log y x =在()0,∞+上为增函数，由0x y >>，可得33log log x y >； 同理C. 1122x y <，因为函数12y x =在()0,∞+上为增函数，由0x y >>，可得1122x y >；D. 1133x y ⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，正确，因为函数13x ⎛⎫= ⎪⎝⎭在()0,∞+上为减函数，由0x y >>，可得1133x y⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； 故选D.【点睛】本题考查函数单调性的应用，属基础题. 3. 【答案】D 【解析】【分析】利用项和关系，1n n n a S S −=−代入即得解.【详解】利用项和关系，1332443=54=162n n n a S S a S S a S S −=−∴=−=−，34216a a ∴+=故选：D【点睛】本题考查了数列的项和关系，考查了学生转化与划归，数学运算能力，属于基础题. 4. 【答案】C 【解析】【分析】根据题意，利用向量平行、垂直的坐标表示，依次分析选项是否成立，综合可得答案．【详解】对于A，311,2222a b ⎛⎫=−− ⎪ ⎝+⎪⎭，()23111(102222224a b b ⎛⎫⎛⎫−+⎛⎫=−⨯+−⨯−=≠ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝+⋅⎭⎝⎭⎝⎭，则()a b b+⊥不成立，则A 错误；对于B，31122a b ⎛⎫=−− ⎪⎝+⎪⎭， 因为2111(102222224⎛⎫⎛⎫⎛−+⎛⎫−⨯−+−⨯=≠ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则B 错误； 对于C ，向量1,22a ⎛⎫=−⎪ ⎪⎝⎭，31,22b ⎛⎫=− ⎪ ⎪⎝⎭，则1a b ==， 则有()()220a b a b a b +⋅−=−=，即()()a b a b +⋅−，C正确； 对于D ，311,2222a b ⎛⎫=−− ⎪⎝+⎪⎭，3112222a b −⎛⎫=−−+ ⎪ ⎪⎝⎭， 11−≠()a b +与()a b −平行不成立，D 错误； 故选：C. 5. 【答案】B 【解析】【分析】利用零点存在性定理求解即可. 【详解】由已知得函数()f x 连续且单调递增， 因为11720444f ⎛⎫=−=< ⎪⎝⎭，111220222f ⎛⎫=+−=> ⎪⎝⎭，所以11042f f ⎛⎫⎛⎫<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 由零点存在性定理可知存在011(,)42x ∈使得0()0f x =， 故选：B . 6. 【答案】D 【解析】【分析】根据题意，先分析甲地的安排方法，分“分派2名女生”和“分派1名女生”两种情况讨论，由分类计数原理得到甲地的分派方法数目，再在剩余的3人中，任选2人，安排在乙、丙两地，结合分步计数原理，即可求解.【详解】根据题意，甲地需要选派2人且至少有1名女生， 若甲地派2名女生，有22C 1=种情况； 若甲地分配1名女生，有1123C C 6=种情况， 则甲地的分派方法有167+=种方法；甲地安排好后，在剩余3人中，任选2人，安排在乙、丙两地，有23A 6=种安排方法， 由分步计数原理，可得不同的选派方法共有7642⨯=种. 故选：D. 7. 【答案】A 【解析】【详解】选出的四名选手中恰有且只有两人来自同一省份的概率为12654122216.33C C P C ⨯⨯== 选A. 8. 【答案】C 【解析】【分析】对①，曲线为线段，与坐标轴的交点坐标为03,30M N （,）（,），可算得AM AN MN =＜，可得等腰MAN △顶角大于60︒，即可判断；的圆在第三象限内的四分之一圆弧，A 在曲线上，曲线与坐标轴的交点坐标为0,M N −（）,（， 由圆的性质可得BAC ∠最小值为MAN ∠且MAN ∠为钝角，即可判断；对③， 易知存在半径0r r =的圆A 与曲线相切，当r →+∞时，交曲线于B ，C ，可得60BAC >︒∠，BAC ∠连续变化，则存在r 令60BAC ∠=︒，即可判断.【详解】对①，因为点A 不在直线30x y +−=上，直线与坐标轴的交点坐标为03,30M N （,）（,），此时MN AM AN ===AM MN ＜，即60MAN >︒∠，所以存在两点,B C ，使ABC 为正三角形，如图所示，所以①是“正三角形”型曲线．对②，()2220x y x +=≤≤的圆在第三象限内的四分之一圆弧，A 在曲线上，曲线与坐标轴的交点坐标为00,M N （）,（，此时弧长π2MN =，最长的弦长为2,MN AM AN ===BAC ∠最小值为MAN ∠，由圆的性质可知MAN ∠为钝角，所以②不是“正三角形”型曲线．③如图所示，易知存在半径为0r 的圆A 与曲线相切，当0r r >，圆A 交曲线于B ，C ，连AB 、AC 与y 轴分别交于M ，N ， 则当r →+∞时，Ny →−∞，1M y →−，所以MN AN≈且远大于AM ，则60MAN >︒∠，当()0,r r ∈+∞，MAN ∠连续变化，即存在r 令60MAN ∠=︒，此时ABC 为正三角形，故③是“正三角形”型曲线．故选：C ． 9. 【答案】B 【解析】【分析】由题可得212(1)02x a x +−+>恒成立，由Δ0<即可求出. 【详解】因为命题“R x ∃∈，使212(1)02x a x +−+≤”是假命题，所以212(1)02x a x +−+>恒成立，所以21Δ(1)4202a =−−⨯⨯<，解得13a −<<， 故实数a 的取值范围是(1,3)−． 故选：B ． 10. 【答案】C 【解析】【详解】试题分析：()21cos 2cos 03f x x a x =−+'对x R ∈恒成立， 故()2212cos 1cos 03x a x −−+，即245cos cos 033a x x −+恒成立， 即245033t at −++对[]1,1t ∈−恒成立，构造()24533f t t at =−++，开口向下的二次函数f t 的最小值的可能值为端点值，故只需保证()()1103{1103f a f a −=−=+，解得1133a −．故选C ．【考点】三角变换及导数的应用【名师点睛】本题把导数与三角函数结合在一起进行考查,有所创新,求解的关键是把函数单调性转化为不等式恒成立,再进一步转化为二次函数在闭区间上的最值问题,注意与三角函数值域或最值有关的问题,即注意正、余弦函数的有界性.第二部分 非选择题（共110分）二、填空题.（每小题5分，共25分）11.【答案】15 【解析】【分析】在二项展开式的通项公式中，令x 的幂指数等于2，求出r 的值，即可求得展开式中x 2的系数． 【详解】解：（x 1x−）6的展开式的通项公式为T r +16r C =•（﹣1）r •x 6﹣2r ， 令6﹣2r ＝2，求得r ＝2，故展开式中x 2的系数为26C =15， 故答案为15．【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，二项式系数的性质，属于中档题． 12. 【答案】4 【解析】【分析】先判断数列的单调性，找到符号变号的临界项就能得到结果.【详解】因为()*730n a n n N =−+∈，所以17n n a a −−=−，即数列{}n a 是单调递减的等差数列，令0n a >得307n <，即4n ≤，所以前n 项和最大时的n 的值是4. 故答案为：4.【点睛】本题主要考查等差数列前n 项和的最值问题，一般有两种思路，一是利用通项公式寻求正负项的界限；二是利用二次函数知识求解.侧重考查数学运算的核心素养. 13.【解析】【详解】试题分析：由双曲线的方程可知，渐近线方程为by x a=±，分别与()300x y m m −+=≠联立，解得(,),(,)3333am bm am bm A B a b a b a b a b −−−−−++，所以AB 中点的坐标为2222223(,)99ma mb b a b a−−，因为点(,0)P m 满足PA PB =，所以22222230939mb b a ma m b a−−=−−−，所以2a b =，所以c =，所以2c e a ==． 考点：双曲线的几何性质．【方法点晴】本题主要考查了双曲线的几何性质，其中解答中涉及到双曲线的标准方程及其简单的几何性质的应用，直线与双曲线的位置关系等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力，本题的解得中用双曲线的渐近线与已知直线方程联立，求解点,A B 的坐标是解答的关键，试题有一定的难度，属于中档试题． 14. 【答案】(48)，【解析】【详解】分析：由题意分类讨论0x ≤和0x >两种情况，然后绘制函数图像，数形结合即可求得最终结果. 详解：分类讨论：当0x ≤时，方程()f x ax =即22x ax a ax ++=， 整理可得：()21x a x =−+，很明显=1x −不是方程的实数解，则21x a x =−+，当0x >时，方程()f x ax =即222x ax a ax −+−=， 整理可得：()22x a x =−，很明显2x =不是方程的实数解，则22x a x =−，令()22,01,02x x x g x x x x ⎧−≤⎪⎪+=⎨⎪>⎪−⎩， 其中211211x x x x ⎛⎫−=−++− ⎪++⎝⎭，242422x x x x =−++−− 原问题等价于函数()g x 与函数y a =有两个不同的交点，求a 的取值范围.结合对勾函数和函数图象平移的规律绘制函数()g x 的图象，同时绘制函数y a =的图象如图所示，考查临界条件，结合0a >观察可得，实数a 的取值范围是()4,8.点睛：本题的核心在考查函数的零点问题，函数零点的求解与判断方法包括：(1)直接求零点：令f (x )＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．(2)[a ，b ]上是连续不断的曲线，且f (a )·f (b )＜0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点．(3)利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．15.【答案】【解析】【分析】先根据三角形面积公式求出母线长,再根据母线与底面所成角得底面半径，最后根据圆锥侧面积公式求出结果.【详解】因为母线SA ，SB 所成角的余弦值为78，所以母线SA ，SB所成角的正弦值为8，因为SAB △的面积为，设母线长为,l所以2128l l ⨯⨯== 因为SA 与圆锥底面所成角为45°，所以底面半径为πcos 42l l =，因此圆锥的侧面积为2ππ2rl l ==．【整体点评】根据三角形面积公式先求出母线长，再根据线面角求出底面半径，最后根据圆锥侧面积公式求出侧面积，思路直接自然，是该题的最优解．三、简答题.（共85分）16. 【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析 （3）3 【解析】【分析】（1）连接BD ，证得//GH PD ，结合线面平行的判定定理，即可证得//GH 平面PAD ； （2）取棱PC 的中点N ，连接DN ，利用面面垂直的性质，证得DN⊥平面PAC ，得到DN PA ⊥，结合PA CD ⊥，进而证得PA ⊥平面PCD ；（3）连接AN ，由DN⊥平面PAC ，得到DAN ∠是直线AD 与平面PAC 所成的角，在直角AND △中，结合sin DN DAN DA ∠=，即可求解. 【小问1详解】证明：连接BD ，根据题意可得AC BD H =，可得H 为BD 的中点，又由G 为PB 的中点，所以//GH PD ，因为GH ⊄平面PAD ，BD ⊂平面PAD ，所以//GH 平面PAD .【小问2详解】证明：取棱PC 的中点N ，连接DN ，因为PCD 为等边三角形，所以PC ⊥，又因为平面PAC ⊥平面PCD ，平面PAC平面PCD PC =，且DN ⊂平面PCD ， 所以DN ⊥平面PAC ，因为PA ⊂平面PAC ，所以DN PA ⊥， 又因为PA CD ⊥，CDDN D =且,CD DN ⊂平面PCD ，所以PA ⊥平面PCD . 【小问3详解】解：连接AN ，由DN ⊥平面PAC ，可得DAN ∠是直线AD 与平面PAC 所成的角，因为PCD 为等边三角形，2CD =，且N 为PC 的中点，所以DN =又因为DN AN ⊥，在直角AND △中，sin 3DN DAN DA ∠==，所以直线AD 与平面PAC 所成的角的正弦值为3.17. 【答案】（I ）2；（II ）()f x 的最小正周期是π，2+k +k k 63Z ππππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，. 【解析】【分析】（Ⅰ）直接利用三角函数关系式的恒等变换，把函数的关系式变形成正弦型函数，进一步求出函数的值．（Ⅱ）直接利用函数的关系式，求出函数的周期和单调区间．【详解】（Ⅰ）f （x ）＝sin 2x ﹣cos 2x −x cos x ，＝﹣cos2x sin2x ，＝﹣226sin x π⎛⎫+⎪⎝⎭， 则f （23π）＝﹣2sin （436ππ+）＝2， （Ⅱ）因为()2sin(2)6f x x π=−+． 所以()f x 的最小正周期是π．由正弦函数的性质得 3222,262k x k k Z πππππ+≤+≤+∈， 解得2,63k x k k ππ+π≤≤+π∈Z ， 所以，()f x 的单调递增区间是2[,]63k k k ππ+π+π∈Z ，． 【点睛】本题主要考查了三角函数的化简，以及函数的性质，是高考中的常考知识点，属于基础题，强调基础的重要性；三角函数解答题中，涉及到周期，单调性，单调区间以及最值等考点时，都属于考查三角函数的性质，首先应把它化为三角函数的基本形式即，然后利用三角函数的性质求解． 18. 【答案】（1）6 （2）2（3）分布列见解析，()1E ξ=【解析】【分析】（1）利用在[80,90)分数段内的学生数为21人求出高二年级某班学生总数，再利用频率和为1求出*，两数相乘可得答案；（2）设男生有x 人，根据抽出2人这2人都是男生的概率为12266216C 5C C 3C C x x x −+=，解得x 可得答案； （3）求出在[65,70)分数段内的学生人数及男生人数，可得ξ的取值及对应的概率，可得分布列和期望.【小问1详解】 某班学生共有21600.20.15=+人， 因为0.10.150.20.20.150.11++++++*=，所以0.1*=，所以测试成绩在[95,100]分数段内的人数为600.16⨯=人.【小问2详解】由（1）知在[95,100]分数段内的学生有6人，设男生有x 人，若抽出2人至少有一名男生的概率为35， 则12266216C 5C C 3C C x x x −+=，解得2x =，所以在[]95,100分数段内男生有2人. 【小问3详解】在[65,70)分数段内的学生有600.16⨯=人，所以男生有2人，X 的取值有0,1,2，()3436C 10C 5P ξ===， ()214236C C 31C 5P ξ===， ()124236C C 12C 5P ξ===， X 的分布列为()0121555E ξ=⨯+⨯+⨯=. 19. 【答案】（1）22143x y += （2）证明见解析【解析】【分析】（1）由点(2,0)在椭圆C 上，代入椭圆的方程，再由椭圆C 的离心率为12，求得,a b 的值，即可求解；（2）设0(1,)P y −，当直线MN 的斜率存在时，设直线MN 的方程为0(1)y y k x −=+，联立方程组，根据点P 的横坐标求得k ，结合l MM ⊥，得到043l y k =−，得出直线过定点；当直线MN 的斜率不存在时，得到直线l 为x 轴，进而得到结论.【小问1详解】因为点(2,0)在椭圆C 上，可得22401a b +=，解得24a =， 又因为椭圆C 的离心率为12，所以12c a =，所以2222214c a b a a −==，解得23b =， 所以椭圆C 的标准方程为22143x y +=. 【小问2详解】由题意，可设0(1,)P y −，且033(,)22y ∈−， ①当直线MN 的斜率存在时，设直线MN 的方程为01122(1),(,),(,)y y k x M x y N x y −=+， 联立方程组022(1)143y y k x x y −=+⎧⎪⎨+=⎪⎩， 整理得22222000(34)(88)(48412)0k x ky k x y ky k ++++++−=， 则()222222200000(88)4(34)(48412)48323ky k k y ky k k ky y ∆=+−+++−=−−+， 所以201228834ky k x x k++=−+， 因为P 为MN 的中点，所以1212x x +=−，即20288234ky k k+−=−+， 所以003(0)4MN k k y y ==≠，经检验，此时0∆>， 因为l MM ⊥，所以043l y k =−，所以直线l 的方程为004(1)3y y y x −=−+， 即041()34y y x =−+，所以直线l 恒过定点1(,0)4−. ②当直线MN 的斜率不存在时，直线MN 的方程为=1x −，此时直线l 为x 轴，也过点1(,0)4−.综上所述，直线l 恒过定点1(,0)4−.【点睛】方法点睛：解答圆锥曲线的定点、定值问题的策略：1、参数法：参数解决定点问题的思路：①引进动点的坐标或动直线中的参数表示变化量，即确定题目中核心变量（通常为变量k ）；②利用条件找到k 过定点的曲线0(),F x y =之间的关系，得到关于k 与,x y 的等式，再研究变化量与参数何时没有关系，得出定点的坐标；2、由特殊到一般发：由特殊到一般法求解定点问题时，常根据动点或动直线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关.20. 【答案】（1）见解析；（2）1a ≤【解析】【详解】试题分析：（Ⅰ）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；（Ⅱ）对任意的()1,x ∈+∞，，()f x >恒成立，等价于a x x <−恒成立. 令()g x x x =，所以()g x ='，令()ln 2h x x =−，可证得()g x 在()1,+∞上单调递增. 所以()()1 1.g x g >=，即可求出a 的取值范围.试题解析：（Ⅰ）因为0a =， 所以()ln x f x x =，()()0,11,.x ∈⋃+∞ 所以()()2ln 1.ln x f x x −'=令()0f x '>，即ln 10x −>，所以.x e >令()0f x '<，即ln 10x −<，所以.x e <所以()f x 在(),e +∞上单调递增，在()0,1和()1,e 上单调递减.所以()f x 的单调递增区间是(),e +∞，单调递减区间是()0,1和()1,e .（Ⅱ）因为1x >，所以ln 0.x >因为(),ln x a f x x−=所以对任意的()1,x ∈+∞，()f x >ln x a x−>.等价于a x x <恒成立.令()g x x x =，所以()g x ='令()ln 2h x x =−−，所以()h x =' 所以当1x >时，()0.h x '>所以()h x 在()1,+∞上单调递增. 所以()()10.h x h >=所以当1x >时，()0.g x '>所以()g x 在()1,+∞上单调递增. 所以()()1 1.g x g >=所以 1.a ≤21. 【答案】（1）121d d ==，343d d ==；（2）证明见解析； （3）证明见解析.【解析】【分析】（1）根据给定的数列，结合给定的定义计算作答.（2）利用充要条件的定义，结合等差数列定义和已知推理判断作答.（3）根据给定的定义，利用反证法推导{}n a 中的项不能超过2，并且1不可能为有限个作答.【小问1详解】依题意，112,1A B ==，则11d =，222,1A B ==，则21d =，334,1A B ==，则33d =，444,1A B ==，则43d =，所以121d d ==，343d d ==.【小问2详解】充分性：因为{}n a 是公差为d 的等差数列，且0d ≥，则12n a a a ≤≤⋅⋅⋅≤≤⋅⋅⋅，因此1,n n n n A a B a +==，1(1,2,3)n n n d a a d n +=−=−=⋅⋅⋅，必要性：因为0(1,2,3)n d d n =−≤=⋅⋅⋅，则n n n n A B d B =+≤，又因为1,n n n n a A a B +≤≥，所以1n n a a +≤，于是1,n n n n A a B a +==，因此，1n n n n n a a B A d d +−=−=−=，即{}n a 是公差为d 的等差数列，所以n d d =−(n =1,2,3…)的充分必要条件为{}n a 为公差为d 的等差数列.【小问3详解】因为12a =，1n d =(n =1,2,3…)，则11=2A a =，1111B A d =−=，即对任意1n ≥，11n a B ≥=，假设{}n a (2)n ≥中存在大于2的项，设m 为满足2m a >的最小正整数，则2m ≥，并且对任意1,2k k m a ≤<≤，又因为12a =，则有12m A −=，且2m m A a =>，于是{}1211,min ,2m m m m m m B A d B a B −=−>−==≥，因此111220m m m d A B −−−=−≤−=，与11m d −=矛盾，从而对于任意1n ≥，都有2n a ≤，即非负整数数列{}n a 的各项只能为1或2，因为对任意1n ≥，12n a a ≤=，于是2n A =，211n n n B A d =−=−=，假定p a 是无穷数列{}n a 中最后一个1，则2p B =，而2p A =，于是0p p p d A B =−=，矛盾， 所以数列{}n a 有无穷多项为1.【点睛】关键点睛：涉及数列新定义问题，关键是正确理解给出的定义，由给定的数列结合新定义探求数列的相关性质，并进行合理的计算、分析、推理等方法综合解决.。
2023-2024学年北京西城区北师大实验中学高一(上)期中数学试题及答案
北师大实验中学2023-2024学年第一学期期中测验高一数学2023年11月本试卷共4页，共150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
ljĂˌœ(选择题，共40分)Ă뺮˞Պʚդ10Ňʚ뻟ƲŇʚ4œ뻟դ40œ뻟ćƲŇʚԉŜĀ˗ċ˞ֻġ뻟˞Ŝʸʚϝđ̂ĀĂֻ뺯1.已知集合A={x∣x=2k+1,k∈Z},B={x∣−2<x<4},那么A B=(A){−1,1}(B){1,3}(C){−1,1,3}(D){0,2,4}2.函数f(x)=√1−x2的定义域为(A)(−1,1)(B)[−1,1](C)(−∞,−1)(1,+∞)(D)(−∞,−1][1,+∞)3.下列函数中，在定义域内既是奇函数,又是增函数的是(A)y=x2(B)y=x+1(C)y=−1x(D)y=x34.已知x>0,则x+9x的最小值为(A)−3(B)3(C)6(D)105.已知函数f(x)={x2−1,x⩾1,x−2,x<1.若f(a)=3，则a=(A)±2(B)2(C)−2(D)56.已知函数f(x)是定义在[−6,6]上的偶函数，且在[0,6]上单调递增.以下结论正确的是(A)f(−5)>f(π)>f(−2)(B)f(π)>f(−2)>f(−5)(C)f(π)>f(−5)>f(−2)(D)f(−5)>f(−2)>f(π)7.已知函数y=f(x)图象是连续不断的，并且是R上的增函数，有如下的对应值表x1234y−0.24 1.21 3.7910.28以下说法中错误的是(A)f(0)<0(B)当x>2时，f(x)>0(C)函数f(x)有且仅有一个零点(D)函数g(x)=f(x)+x可能无零点8.已知f(x)是定义在R 上的函数，那么“存在实数M ，使得对任意x ∈R 总有f(x)⩽M ”是“函数f(x)存在最大值”的(A)充分不必要条件(B)必要不充分条件(C)充要条件(D)既不充分也不必要条件9.数学里有一种证明方法为无字证明，是指仅用图形而无需文字解释就能不证自明的数学命题.在同一平面内有形状、大小相同的图1和图2，其中四边形ABCD 为矩形，△BCE 为等腰直角三角形，设AB =√a,BC =√b(b ⩾a >0)，则借助这两个图形可以直接无字证明的不等式是(A)a +b 2⩾√ab(B)2aba +b⩽√ab (C)a 2+b 2⩾2√ab(D)a +b 2⩽√a 2+b 2210.将5个1，5个2，5个3，5个4，5个5共25个数填入一个5行5列的表格内(每格填入1个数)，使得同一行中任何两数之差的绝对值不超过2，设第k 行的所有数的和为r k (k =1,2,3,4,5),m 为r 1,r 2,r 3,r 4,r 5中的最小值，则m 的最大值为(A)8(B)9(C)10(D)11ljȕˌœ(非选择题，共110分)ȕ뺮ฒ˭ʚդ5Ňʚ뻟ƲŇʚ5œ뻟դ25œ뺯11.已知命题p ∶∃x ∈R ，x 2−x +1<0,则¬p :.12.已知a,b,c 为实数，能说明“若a >b >c ，则a 2>bc ”为假命题的一组a,b,c 的值是.13.函数f(x)=x +1x −1的图象的对称中心是，不等式f(x)⩾−1的解集是.14.已知函数f(x)=⎧{⎨{⎩x 2+4x +3,x ∈(−∞,0],|1x−1|,x ∈(0,+∞).若关于x 的方程f(x)=t 有4个不同的实数根x 1,x 2,x 3,x 4(x 1<x 2<x 3<x 4)，则t 的取值范围是,若x 1+x 2+x 3x 4=0，则t =.15.已知函数f(x)的定义域为[0,1],且满足下列条件:(1)对任意的x ∈[0,1],总有f(x)⩾3,且f(1)=4;(2)若x 1⩾0,x 2⩾0,x 1+x 2⩽1,则有f (x 1+x 2)⩾f (x 1)+f (x 2)−3.给出下列四个结论：①f (12)⩽72;②f(0)可能为区间[3,4]中的任意值；③函数f(x)的最大值是4；④当x ∈(132,13]时,f(x)<3x +3.其中所有正确结论的序号是.Ɓ뺮̛٫ʚդ6Ňʚ뻟դ85œ뺯̛٫ʚˆϷŜNJϹĸdž뻟ԥΚϳͱըdžĿԙ뺯16.（15分）已知f(x)是R 上的奇函数，当x >0时，f(x)=x 2−3x +2.现已作出函数f(x)在y 轴右侧的图象，如图所示.（I ）请根据条件，将函数f(x)的图象补充完整，并直接写出函数f(x)的表达式；（II ）写出函数f(x)的单调区间，并利用单调性的定义证明函数f(x)在(0,1)上单调递减；（III ）直接写出不等式(x −1)f(x)>0的解集.17.（15分）已知集合A ={x||x −1|<2}，B ={x|x 2−6ax +5a 2<0}.（I ）若a =1，求AB ；（II ）请在条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得至少存在一个实数a 满足该条件，并求出a 的范围.①AB =B ；②AB =B ；③∁R A∁R B .注：如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分.18.（14分）已知关于x,y 的方程组{2x 2+y 2=2,y =kx +1,其中k ∈R .（I ）当k =1时，求该方程组的解；（II ）证明：无论k 为何值，该方程组总有两组不同的解；（III ）记该方程组的两组不同的解分别为{x =x 1,y =y 1和{x =x 2,y =y 2,判断3(y 1+y 2)−2y 1y 2是否为定值.若为定值，请求出该值；若不是定值，请说明理由.19.（13分）某厂家为开拓市场,拟对广告宣传方面的投入进行调整.经调查测算,产品的年订购量t(万件)与广告费用x(万元)之间的关系为t=25−kx+2.已知当广告费用投入为6万元时,产品订购量为19万件.该厂家每生产1万件该产品,需投入12万元.另外，厂家每年还需投入30万元用于生产线的维护.规定年总成本为生产投入费用、维护投入费用、广告费用的总和.（I）求k的值;（II）试求该厂家的年总成本y(万元)与广告费用x(万元)之间的函数关系式;（III）假定年生产成本为生产投入费用、维护投入费用的和.若每件产品的售价定为产品的年平均生产成本的2倍,当广告费用为多少万元时,厂家的年利润最高?20.（14分）已知函数f(x)=x|x−a|+2x，a⩾0.（I）证明：当a=0时，f(x)是奇函数;（II）若函数f(x)在(0,+∞)上单调递增，求a的取值范围；（III）若对任意x∈[1,2],关于x的不等式f(x)<2x+1恒成立,求a的取值范围.21.（14分）对任意非空数集A,定义Ω(A)={π(X)∣X A且X≠ϕ},其中π(X)表示非空数集X中所有元素的积.特别地,如果X={x},规定π(X)=x.（I）若A1={12,1,4},A2={2,3,5},请直接写出集合Ω(A1)和Ω(A2)中元素的个数；（II）若A={a1,a2,a3,a4,a5},其中a i是正整数（i=1,2,3,4,5）,求集合Ω(A)中元素个数的最大值和最小值,并说明理由；（III）若A={a1,a2,a3,a4,a5,a6,a7},其中a i是正实数(i=1,2,3,4,5,6,7),求集合Ω(A)中元素个数的最小值,并说明理由.٫ޯĂ뺮˞Պʚդ10Ňʚ뻟ƲŇʚ4œ뻟դ40œ뻟ćƲŇʚԉŜĀ˗ċ˞ֻġ뻟˞Ŝʸʚϝđ̂ĀĂֻ뺯题号12345678910答案C B D C B A DB A Cȕ뺮ฒ˭ʚդ5Ňʚ뻟ƲŇʚ5œ뻟դ25œ뺯11.∀x∈R,x2−x+1⩾0.12.答案不唯一，如a=1,b=−1,c=−2.13.(1,1)，(−∞,0](1,+∞).14.(0,1)，√3 2.15.①③④.13,14题第一个空3分，第二个空2分，15题的采分点为0,2,3,5分，有错误不给分.Ɓ뺮̛٫ʚդ6Ňʚ뻟դ85œ뺯̛٫ʚˆϷŜNJϹĸdž뻟ԥΚϳͱըdžĿԙ뺯16.解：(I)图象如图，⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅2分f(x)=⎧{⎨{⎩x2−3x+2,x>0,0,x=0,−x2−3x−2,x<0.⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅3分(II)单调增区间是(−∞,−32)，(32,+∞)，单调减区间是(−32,0)，(0,32)，⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅4分证：∀x1,x2∈(0,1)，不妨设x1<x2，f(x1)−f(x2)=x21−3x1+2−(x22−3x2+2)=(x1−x2)(x1+x2−3)，因为x1+x2−3<0，x1−x2<0，所以，f(x1)−f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)，因此,f(x)在(0,1)上单调递减.⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅3分解集为(−∞,−2)(−1,0)(2,+∞).⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅3分17.解：(I)A=(−1,3),⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅2分当a=1时，B=(1,5)，⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅2分因此，A B=(−1,5).⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅2分(II)选择条件①或③，⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅1分由条件可得B A，⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅1分当a=0时，B=∅，满足题意；⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅2分当a>0时，B=(a,5a)，所以，5a⩽3，即a⩽35，所以，0<a⩽35⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅2分当a<0时，B=(5a,a)，所以，5a⩾−1，即a⩾−15，所以，−15⩽a<0⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅2分综上所述，a的取值范围是[−15,35].⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅1分18.解：(I)当k=1时，消去y，得3x2+2x−1=0，⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅2分解得x1=−1,x2=13，因此，方程组的解为{x=−1,y=0和⎧{⎨{⎩x=13,y=43.⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅2分(II)消去y，得(k2+2)x2+2kx−1=0，⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅1分Δ=8k2+8>0，⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅2分因此，该方程有两个不同的解，该方程组也对应有两组不同的解.⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅1分(II)由韦达定理得x1+x2=−2kk2+2,x1x2=−1k2+2，⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅2分y1+y2=k(x1+x2)+2=4k2+2,⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅1分y1y2=k2x1x2+k(x1+x2)+1=−2k2+2k2+2,⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅1分所以，3(y1+y2)−2y1y2=12k2+2−−4k2+4k2+2=4,⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅1分因此，是定值，且定值为4.⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅1分19.解:(I)当x=6时，t=25−k6+2=19，解得k=48,⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅2分(II)y=30+x+12(25−48x+2),x⩾0.⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅3分(III)设年利润为W万元，则W=y−xt⋅2t−y=y−2x=30−x+300−576x+2=332−(x+2+576x+2),⋅⋅⋅⋅⋅6分当且仅当x+2=24,x=22时,W取最大值284.⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅2分20.解：(I)当a=0时，f(x)=x|x|+2x，f(−x)=−x|−x|−2x=−f(x)，因此，f(x)是R上的奇函数.⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅3分(II)f(x)={x2+(2−a)x,x⩾a,−x2+(2+a)x,x<a.⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅2分当x⩾a时，a−22⩽a，解得a⩾−2；⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅2分当x<a时，a+22⩾a，解得a⩽2；⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅2分所以，a的取值范围是[0,2].(III)因为f(x)<2x+1在x∈[1,2]恒成立,即x|x−a|<1,x∈[1,2],所以，x−1x<a<x+1x恒成立,⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅2分考虑x−1x∈[0,32]，x+1x∈[2,103]，⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅2分所以，a的取值范围是(32,2).⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅1分21.解：(I)Ω(A1)中有4个元素,Ω(A2)中有7个元素.⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅4分(II)Ω(A)中元素个数的最大值是31，最小值是11.⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅2分集合A的非空子集有25−1=31个,因此,Ω(A)中最多有31个元素.集合A={2,3,5,7,11},A中任意两个不同子集元素的乘积不同，此时，Ω(A)中有31个元素.⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅1分不妨设1⩽a1<a2<a3<a4<a5,则a1<a2<a3<a4<a5<a2⋅a5<a3⋅a5<a4⋅a5<a2⋅a4⋅a5<a3⋅a4⋅a5<a2⋅a3⋅a4⋅a5,所以,Ω(A)中至少11个元素.A={1,2,4,8,16},Ω(A1)={1,2,4,8,16,32,64,128,256,512,1024},此时，Ω(A)中有11个元素.⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅2分(III)Ω(A)中最少有13个元素.⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅1分如A={18,14,12,1,2,4,8)，Ω(A)={164,132,116,18,14,12,1,2,4,8,16,32,64},此时，Ω(A)中有13个元素.⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅1分证明如下:记|A|表示集合A中的元素个数，对集合A按照如下分类：A1={a∣a∈A,a<1},A2={a∣a∈A,a=1},A3={a∣a∈A,a>1},设|A1|=x,|A2|=y,|A3|=z,则x+y+z=7,y⩽1,x+z⩾6.设B=Ω(A),再对集合B按照如下分类:B1={b∣b∈B,b<1},B2={b∣b∈B,b=1},B3={b∣b∈BA,b>1},设|B1|=p,|B2|=q,|B3|=r,设A1={a1,a2,⋯,a x},其中，a1<a2<⋯<a x<1,则a1a2⋯a x<a1a2a3<⋯<a1a2a x<a1a2<a1a3<a1a x<a1<a2<⋯<a x<1,故p⩾x+(x−1)+(x−2)+⋯+1=12x(x+1),⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅1分同理可证，r⩾z+(z−1)+(z−2)+⋯+1=12z(z+1),而q⩾y,因此，p+q+r⩾12x(x+1)+12z(z+1)+y=12(x2+x+z2+z+2y)=12(x2−x+z2−z+14)=12[(x+z)2−(x+z)−2xz]+7,⩾12[(x+z)2−(x+z)−(x+z)22]+7=14[(x+z)2−2(x+z)]+7,⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅1分注意到6⩽x+z⩽7,所以，p+q+r⩾14(62−2×6)+7=13，当且仅当x=z=3,y=1时，等号成立,⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅1分因此，Ω(A)中最少有13个元素.。
北京市2023-2024学年高一下学期期中考试数学试题含答案
北京2023—2024学年第二学期期中练习高一数学（答案在最后）2024.04说明：本试卷共4页，共120分.考试时长90分钟.一､选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.sin120︒的值等于（）A.12-B.12C.2D.2【答案】D 【解析】【分析】根据特殊角的三角函数值得到2，从而可求解.【详解】由题意可得sin1202︒=，故D 正确.故选：D.2.若角α的终边过点()4,3，则πsin 2α⎛⎫+= ⎪⎝⎭（）A.45B.45-C.35D.35-【答案】A 【解析】【分析】根据余弦函数定义结合诱导公式计算求解即可.【详解】因为角α的终边过点()4,3，所以4cos 5α==，所以π4sin cos 25αα⎛⎫+== ⎪⎝⎭.故选：A3.已知扇形的弧长为4cm ，圆心角为2rad ，则此扇形的面积是（）A.22cmB.24cm C.26cm D.28cm 【答案】B【解析】【分析】由条件结合弧长公式l R α=求出圆的半径，然后结合扇形的面积公式12S lR =可得答案．【详解】因为扇形的圆心角2rad α=，它所对的弧长4cm l =，所以根据弧长公式l R α=可得，圆的半径2R =，所以扇形的面积211424cm 22S lR ==⨯⨯=；故选：B ．4.向量a ，b ，c在正方形网格中的位置如图所示，若向量c a b λ=+，则实数λ=（）A.2-B.1-C.1D.2【答案】D 【解析】【分析】将3个向量的起点归于原点，根据题设得到它们的坐标，从而可求λ的值.【详解】如图，将,,a b c的起点平移到原点，则()()()1,1,0,1,2,1a b c ==-= ，由c a b λ=+可得()()()2,11,10,1λ=+-，解得2λ=，故选：D.5.下列四个函数中以π为最小正周期且为奇函数的是（）A.()cos2f x x =B.()tan2x f x =C.()()tan f x x =- D.()sin f x x=【答案】C 【解析】【分析】根据三角函数的周期性和奇偶性对选项逐一分析，由此确定正确选项.【详解】对于A ，函数()cos2f x x =的最小正周期为π，因为()()()cos 2cos 2f x x x f x -=-==，所以()cos2f x x =为偶函数，A 错误，对于B ，函数()tan 2xf x =的最小正周期为2π，因为()()tan tan 22x x f x f x ⎛⎫-=-=-=- ⎪⎝⎭，所以函数()tan 2x f x =为奇函数，B 错误，对于C ，函数()()tan f x x =-的最小正周期为π，因为()()()tan tan f x x x f x -==--=-，所以函数()()tan f x x =-为奇函数，C 正确，对于D ，函数()sin f x x =的图象如下：所以函数()sin f x x =不是周期函数，且函数()sin f x x =为偶函数，D 错误，6.在ABC 中，4AB =，3AC =，且AB AC AB AC +=- ，则AB BC ⋅= （）A.16B.16- C.20D.20-【答案】B 【解析】【分析】将AB AC AB AC +=- 两边平方，即可得到0AB AC ⋅=，再由数量积的运算律计算可得.【详解】因为AB AC AB AC +=- ，所以()()22AB ACAB AC +=-，即222222AB AB AC AC AB AB AC AC +⋅+=-⋅+uu u r uu u r uuu r uuu r uu u r uu u r uuu r uuu r ，所以0AB AC ⋅= ，即AB AC ⊥ ，所以()220416AB BC AB AC AB AB AC AB ⋅=⋅-=⋅-=-=- .故选：B7.函数cos tan y x x =⋅在区间3,22ππ⎛⎫⎪⎝⎭上的图像为（）A.B.C.D.【答案】C 【解析】【分析】分别讨论x 在3,,[,)22ππππ⎛⎫⎪⎝⎭上tan x 的符号，然后切化弦将函数化简，作出图像即可.【详解】因为3,22x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以sin ,,23sin ,.2x x y x x πππ⎧-<<⎪⎪=⎨⎪≤<⎪⎩故选：C.8.已知函数()sin 24f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则“()ππ8k k α=+∈Z ”是“()f x α+是偶函数，且()f x α-是奇函数”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【解析】【分析】首先求出()f x α+、()f x α-的解析式，再根据正弦函数的性质求出使()f x α+是偶函数且()f x α-是奇函数时α的取值，再根据充分条件、必要条件的定义判断即可.【详解】因为()sin 24f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，则()sin 224f x x ααπ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭，()sin 224f x x ααπ⎛⎫-=-+ ⎪⎝⎭，若()f x α-是奇函数，则112π,Z 4k k απ-+=∈，解得11π,Z 82k k απ=-∈，若()f x α+是偶函数，则222π,Z 42k k αππ+=+∈，解得22π,Z 82k k απ=+∈，所以若()f x α+是偶函数且()f x α-是奇函数，则π,Z 82k k απ=+∈，所以由()ππ8k k α=+∈Z 推得出()f x α+是偶函数，且()f x α-是奇函数，故充分性成立；由()f x α+是偶函数，且()f x α-是奇函数推不出()ππ8k k α=+∈Z ，故必要性不成立，所以“()ππ8k k α=+∈Z ”是“()f x α+是偶函数，且()f x α-是奇函数”的充分不必要条件.故选：A9.已知向量,,a b c 共面，且均为单位向量，0a b ⋅= ，则a b c ++ 的最大值是（）A.1+ B.C.D.1-【答案】A 【解析】【分析】根据题意，可设出向量,,a b c 的坐标，由于这三个向量都是单位向量，则向量,,a b c的终点都落在以坐标原点为圆心的单位圆上，作出示意图，由向量的性质可知，只有当c 与a b +同向时，a b c ++ 有最大值，求解即可.【详解】因为向量,,a b c 共面，且均为单位向量，0a b ⋅= ，可设()1,0a =，()0,1b = ，(),c x y = ，如图，所以2a b += ，当c 与a b +同向时，此时a b c ++ 有最大值，为21+.故选：A .10.窗花是贴在窗户玻璃上的贴纸，它是中国古老的传统民间艺术之一在2022年虎年新春来临之际，人们设计了一种由外围四个大小相等的半圆和中间正方形所构成的剪纸窗花（如图1）．已知正方形ABCD 的边长为2，中心为O ，四个半圆的圆心均为正方形ABCD 各边的中点（如图2），若P 为 BC 的中点，则()PO PA PB ⋅+=（）A .4B.6C.8D.10【答案】C 【解析】【分析】根据平面向量的线性运算将()PO PA PB ⋅+ 化为OA 、OB 、OP表示，再根据平面向量数量积的运算律可求出结果.【详解】依题意得||||2OA OB ==，||2OP =，3π4AOP =Ð，π4BOP =Ð，所以3π2||||cos 22(242OA OP OA OP ⋅=⋅=⨯-=- ，π2||||cos 22242OB OP OB OP ⋅=⋅=⨯= ，所以()PO PA PB ⋅+= ()OP OA OP OB OP -⋅-+- 22||OA OP OB OP OP =-⋅-⋅+ 222228=-+⨯=.故选：C二､填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分，把答案填在题中横线上）11.写出一个与向量()3,4a =-共线的单位向量_____________.【答案】34,55⎛⎫- ⎪⎝⎭（答案不唯一）【解析】【分析】先求出a r ，则aa±即为所求.【详解】5a ==所以与向量()3,4a =- 共线的单位向量为34,55⎛⎫- ⎪⎝⎭或34,55⎛⎫- ⎪⎝⎭.故答案为：34,55⎛⎫- ⎪⎝⎭（答案不唯一）12.已知函数()()sin 0,0,2πf x A x A ωϕωϕ⎛⎫=+>><⎪⎝⎭的部分图象如图，则π3f ⎛⎫= ⎪⎝⎭__________.【解析】【分析】根据图象可得函数()f x 的最大值，最小值，周期，由此可求,A ω，再由5π212f ⎛⎫=⎪⎝⎭求ϕ，由此求得的解析式，然后求得π3f ⎛⎫⎪⎝⎭.【详解】由图可知，函数()f x 的最大值为2，最小值为2-，35ππ3π41234T =+=，当5π12x =时，函数()f x 取最大值2，又()()sin 0,0,2πf x A x A ωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭所以2A =，32π3π44ω⨯=，所以2ω=，所以()()2sin 2f x x ϕ=+，又5π212f ⎛⎫=⎪⎝⎭，所以5π5π2sin 2126f ϕ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由于πππ5π4π,22363ϕϕ-<<<+<，所以5πππ,623ϕϕ+==-，所以()π2sin 23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，ππ2sin 33f ⎛⎫== ⎪⎝⎭.13.已知函数()()πsin 0,2f x x ωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的图象过点10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，则ϕ=__________.，若将函数()f x 图象仅向左平移π4个单位长度和仅向右平移π2个单位长度都能得到同一个函数的图象，则ω的最小值为__________.【答案】①.π6##1π6②.83##223【解析】【分析】由条件列方程求ϕ，再利用平移变换分别得到变换后的函数解析式，并根据相位差为2π,Z k k ∈求解；【详解】因为函数()()sin f x x ωϕ=+的图象过点10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以1sin 2ϕ=，又π2ϕ<，所以π6ϕ=，函数()πsin 6f x x ω⎛⎫=+⎪⎝⎭（0ω>）的图象仅向左平移π4个单位长度得到函数ππππsin sin 4646y x x ωωω⎡⎛⎫⎤⎛⎫=++=++ ⎪ ⎢⎥⎝⎭⎦⎝⎭⎣的图象，函数()πsin 6f x x ω⎛⎫=+⎪⎝⎭（0ω>）的图象仅向右平移π2个单位长度得到ππππsin sin 2626y x x ωωω⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦的图象，则ππππ2π4626k ωω⎛⎫⎛⎫+--+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（Z k ∈），化简得3π2π4k ω=（Z k ∈），解得83k ω=（Z k ∈），由于0ω>，所以当1k =时，ω取得最小值83，故答案为：π8,63．14.已知边长为2的菱形ABCD 中，π3DAB ∠=，点E 满足3BE EC = ，点F 为线段BD 上一动点，则AF BE ⋅的最大值为______.【答案】3【解析】【分析】建立如图平面直角坐标系，设BF BD λ= ，利用平面向量线性运算与数量积的坐标表示可得AF BE⋅关于λ的表达式，从而得解.【详解】如图，以A为原点建立平面直角坐标系，则(0,0),(2,0),A B C D ，因为3BE EC =，所以(33333,4444BE BC ⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭，由题意，设()01BF BD λλ=≤≤，则(()BF λλ=-=- ，则()()()2,02,AF AB BF λλ=+=+-=-，所以()3333324422AF BE λλ⋅=-+=+，因为01λ≤≤，所以当1λ=时，AF BE ⋅的最大值为3.故答案为：3.15.声音是由物体振动产生的声波.我们听到的每个音都是由纯音合成的，纯音的数学模型是函数sin y A t ω=.音有四要素，音调､响度､音长和音色.它们都与函数sin y A t ω=及其参数有关，比如：响度与振幅有关，振幅越大响度越大，振幅越小响度越小；音调与频率有关，频率低的声音低沉，频率高的声音尖锐.我们平时听到的乐音不只是一个音在响，而是许多音的结合，称为复合音.我们听到的声音对应的函数是111sin sin 2sin 3sin 4234y x x x x =++++⋯..给出下列四个结论：①函数1111sin sin 2sin 3sin 4sin1023410y x x x x x =++++⋯+不具有奇偶性；②函数()111sin sin2sin3sin4234f x x x x x =+++在区间ππ,88⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增；③若某声音甲对应的函数近似为()11sin sin 2sin 323g x x x x =++，则声音甲的响度一定比纯音()1sin22h x x =的响度小；④若某声音乙对应的函数近似为()1sin sin 22x x x ϕ=+，则声音乙一定比纯音()1sin22h x x =更低沉.其中所有正确结论的序号是__________.【答案】②④【解析】【分析】对①，结合奇偶性的定义判断即可；对②，利用正弦型函数的单调性作出判断；对③，分别判断()(),g x h x 的振幅大小可得；对④，求出周期，可得频率，即可得出结论.【详解】对于①，令()1111sin sin2sin3sin4sin1023410F x x x x x x =++++⋯+，所以()()()()()()1111sin sin 2sin 3sin 4sin 1023410F x x x x x x -=-+-+-+-+⋯+-，所以()1111sin sin2sin3sin4sin1023410F x x x x x x -=-----⋅⋅⋅-，所以()()F x F x -=-，所以()F x 是奇函数，①错误；对于②，由ππ88x -≤≤可得，ππ244x -≤≤，3π3π388x -≤≤，ππ422x -≤≤，所以111sin ,sin2,sin3,234x x x x 都在ππ,88⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，所以()111sin sin2sin3sin4234f x x x x x =+++在ππ,88⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，所以函数()f x 在区间ππ,88⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，②正确；对于③．因为()11sin sin 2sin 323g x x x x =++，所以π223g ⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以()max 23g x ≥，即()g x 的振幅比()1sin22h x x =的振幅大，所以声音甲的响度一定比纯音()1sin22h x x =的响度大，所以③错误；对于④，因为()()()()112πsin 2πsin 24πsin sin 222x x x x x x ϕϕ+=+++=+=，所以函数()x ϕ为周期函数，2π为其周期，若存在02πα<<，使()()x x ϕϕα=+恒成立，则必有()()0ϕϕα=，()()110sin 0sin 00sin sin 222ϕϕααα∴=+===+，()sin 1cos 0αα∴+=，因为02πα<<，πα∴=，又()()()11πsin πsin 2πsin sin 222x x x x x ϕ+=+++=-+与()1sin sin 22x x x ϕ=+不恒相等，所以函数()1sin sin22x x x ϕ=+的最小正周期是2π，所以频率1112πf T ==而()h x 的周期为π，频率21πf =，12f f <，所以声音乙一定比纯音()1sin22h x x =更低沉，所以④正确．故答案为：②④.三､解答题（本大题共5小题，共60分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）16.如图，在ABC 中，2BD DC = ，E 是AD 的中点，设AB a = ，AC b = .（1）试用a ，b 表示AD ，BE ；（2）若1a b == ，a 与b 的夹角为60︒，求AD BE ⋅ .【答案】（1）1233AD a b =+ ，5163BE a b =-+ （2）518-【解析】【分析】（1）利用向量加法减法的三角形法则及数乘运算即可求解；（2）根据（1）的结论，利用向量的数量积运算法则即可求解.【小问1详解】因为2BD DC = ，所以23BD BC = ，所以221)212(333333AB AC AB AB AC a b AD AB BD AB BC +-=+=+=+=+= .因为E 是AD 的中点，所以()11211()22323BE BA BD AB BC AB AC AB ⎛⎫=+=-+=-+- ⎪⎝⎭ 51516363AB AC a b =-+=-+ .【小问2详解】因为1a b == ，a 与b 的夹角为60︒，所以11cos ,1122a b a b a b ⋅==⨯⨯= ，由（1）知，1233AD a b =+ ，5163BE a b =-+ ，所以22125154233631899AD BE a b a b a a b b ⎛⎫⎛⎫⋅=+⋅-+=--⋅+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭541251892918=--⨯+=-.17.已知函数()π3sin 24f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭（1）求()f x 的最小正周期；（2）求函数()f x 的单调递增区间；（3）若函数()f x 在区间[]0,a 内只有一个零点，直接写出实数a 的取值范围.【答案】（1）()f x 的最小正周期为π，（2）函数()f x 的单调递增区间是3πππ,π88k k ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦()k ∈Z ；（3）a 的取值范围为3π7π,88⎡⎫⎪⎢⎣⎭.【解析】【分析】（1）根据正弦型函数的周期公式求解即可；（2）利用正弦函数的单调区间结论求解；（3）求出()0f x =的解后可得a 的范围．【小问1详解】因为()π3sin 24f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，所以函数()f x 的最小正周期2ππ2T ==；【小问2详解】由πππ2π22π242k x k -≤+≤+，Z k ∈，可得3ππππ88k x k -≤≤+，Z k ∈，所以函数()f x 的单调递增区间是3πππ,π88k k ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦()k ∈Z ；【小问3详解】由π()3sin(204f x x =+=可得，π2π4x k +=，Z k ∈所以ππ28k x =-，Z k ∈，因为函数()f x 在区间[]0,a 上有且只有一个零点，所以3π7π88a ≤<，所以实数a 的取值范围为3π7π,88⎡⎫⎪⎢⎣⎭.18.已知()()()4,0,0,4,cos ,sin ,(0π)A B C ααα<<.（1）若OA OC += （O 为坐标原点），求OB 与OC 的夹角；（2）若⊥ AC BC ，求sin cos αα-的值.【答案】（1）OB 与OC 的夹角为π6，（2）sin cos 4αα-=【解析】【分析】（1）根据向量模长以及夹角的坐标公式计算即可；（2）由向量垂直得到数量积为0，进而得到1sin cos 4αα+=，通过平方得到2sin cos αα，进而可得()2sin cos αα-，再根据α的范围确定正负，开方得解.【小问1详解】因为()()()4,0,0,4,cos ,sin A B C αα，所以()()()4,0,0,4,cos ,sin OA OB OC αα=== ，所以()4cos ,sin OA OC αα+=+ ，由OA OC += ()224+cos sin 21αα+=，所以1cos 2α=，又0πα<<，，所以π3α=，13,22C ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，设OB 与OC 的夹角为β()0πβ≤≤，则cos OB OC OB OC β⋅= 23342==,又0πβ≤≤，故OB 与OC 的夹角为π6，【小问2详解】由⊥ AC BC 得0AC BC ⋅= ，又()cos 4,sin AC αα=- ，()cos ,sin 4BC αα=- ，所以()()cos 4cos sin sin 40αααα-+-=，所以1sin cos 4αα+=，所以152sin cos 016αα-=<，又0πα<<，所以ππ2α<<,所以()21531sin cos 11616αα--=-=，所以sin cos 4αα-=.19.已知函数()()πsin 0,0,2f x A x A ωϕωϕ⎛⎫=+>><⎪⎝⎭，且()f x 图像的相邻两条对称轴之间的距离为π2，再从条件①､条件②､条件③中选择两个作为一组已知条件.（1）确定()f x 的解析式；（2）设函数()π24g x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则是否存在实数m ，使得对于任意1π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，存在2π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，()()12m g x f x =-成立？若存在，求实数m 的取值范围：若不存在，请说明理由.条件①：()f x 的最小值为2-；条件②：()f x 图像的一个对称中心为5π,012⎛⎫ ⎪⎝⎭；条件③：()f x 的图像经过点5π,16⎛⎫- ⎪⎝⎭.注：如果选择多组条件分别解答，按第一个解答计分.【答案】（1）选①②，②③，①③答案都为()2sin(2)6f x x π=+，（2）存在m 满足条件，m 的取值范围为2,0⎤⎦.【解析】【分析】（1）先根据已知求出()f x 的最小正周期，即可求解ω，选条件①②：可得()f x 的最小值为A -，可求A ．根据对称中心可求ϕ，即可得解函数解析式；选条件①③：可得()f x 的最小值为A -，可求A ．根据函数()f x 的图象过点5π,16⎛⎫⎪⎝⎭，可求ϕ，可得函数解析式；选条件②③：根据对称中心可求ϕ，再根据函数()f x 的图象过点5π,16⎛⎫⎪⎝⎭，可求A 的值，即可得解函数解析式．（2）求出函数()f x ，()g x 在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域，再结合恒成立、能成立列式求解作答.【小问1详解】由于函数()f x 图像上两相邻对称轴之间的距离为π2，所以()f x 的最小正周期π2π2T =⨯=，所以2π2T ω==，此时()()sin 2f x A x ϕ=+.选条件①②：因为()f x 的最小值为A -，所以2A =．因为()f x 图象的一个对称中心为5π,012⎛⎫⎪⎝⎭，所以5π2π(Z)12k k ϕ⨯+=∈，所以56k ϕπ=π-，()k ∈Z ，因为||2ϕπ<，所以π6ϕ=，此时1k =，所以()2sin(2)6f x x π=+．选条件①③：因为()f x 的最小值为A -，所以2A =．因为函数()f x 的图象过点5π,16⎛⎫-⎪⎝⎭，则5π()16f =-，所以5π2sin()13ϕ+=-，即5π1sin()32ϕ+=-．因为||2ϕπ<，所以7π5π13π636ϕ<+<，所以5π11π36ϕ+=，所以π6ϕ=，所以()2sin(2)6f x x π=+．选条件②③：因为函数()f x 的一个对称中心为5π,012⎛⎫⎪⎝⎭，所以5π2π(Z)12k k ϕ⨯+=∈，所以5ππ(Z)6k k ϕ=-∈．因为||2ϕπ<，所以π6ϕ=，此时1k =．所以π()sin(26f x A x =+．因为函数()f x 的图象过点5π,16⎛⎫-⎪⎝⎭，所以5π(16f =-，所以5ππsin 136A ⎛⎫+=-⎪⎝⎭，11πsin 16A =-，所以2A =，所以()2sin(2)6f x x π=+．综上，不论选哪两个条件，()2sin(2)6f x x π=+.【小问2详解】由（1）知，()2sin(2)6f x x π=+，由20,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦得：2ππ7π2,666x ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，2π1sin 2,162x ⎛⎫⎡⎤+∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，因此[]2()1,2f x ∈-，由10,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦得：1ππ5π2,444x ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，1πsin 2,142x ⎡⎤⎛⎫+∈-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦，因此1()g x ⎡∈-⎣，从而1()1,g x m m m ⎡-∈---+⎣，由()()12m g x f x =-得：()()21f x g x m =-，假定存在实数m ，使得对1π0,2x ⎡⎤∀∈⎢⎥⎣⎦，2π0,2x ⎡⎤∃∈⎢⎥⎣⎦，()()12m g x f x =-成立，即存在实数m ，使得对1π0,2x ⎡⎤∀∈⎢⎥⎣⎦，2π0,2x ⎡⎤∃∈⎢⎥⎣⎦，()()21f x g x m =-成立，则[]1,1,2m m ⎡---+⊆-⎣，于是得112m m --≥-⎧⎪⎨-+≤⎪⎩，解得20m -≤≤，因此存在实数m ，使得对1π0,2x ⎡⎤∀∈⎢⎥⎣⎦，2π0,2x ⎡⎤∃∈⎢⎥⎣⎦，()()12m g x f x =-成立，所以实数m的取值范围是2,0⎤⎦.20.对于定义在R 上的函数()f x 和正实数T 若对任意x ∈R ，有()()f x T f x T +-=，则()f x 为T -阶梯函数.（1）分别判断下列函数是否为1-阶梯函数（直接写出结论）：①()2f x x =；②()1f x x =+.（2）若()sin f x x x =+为T -阶梯函数，求T 的所有可能取值；（3）已知()f x 为T -阶梯函数，满足：()f x 在,2T T ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，且对任意x ∈R ，有()()2f T x f x T x --=-.若函数()()F x f x ax b =--有无穷多个零点，记其中正的零点从小到大依次为123,,,x x x ⋅⋅⋅；若1a =时，证明：存在b ∈R ，使得()F x 在[]0,2023T 上有4046个零点，且213240464045x x x x x x -=-=⋅⋅⋅=-.【答案】（1）①否；②是（2）2πT k =，*k ∈N （3）证明见解析【解析】【分析】（1）利用T -阶梯函数的定义进行检验即可判断；（2）利用T -阶梯函数的定义，结合正弦函数的性质即可得解；（3）根据题意得到()()F x T F x +=，()()F T x F x -=，从而取3344TT b f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，结合零点存在定理可知()F x 在(),1mT m T +⎡⎤⎣⎦上有且仅有两个零点：4T mT +，34T mT +，从而得解.【小问1详解】()2f x x =，则22(1)()(1)211f x f x x x x +-=+-=+≠；()1f x x =+，则(1)()11f x f x x x +-=+-=，故①否；②是.【小问2详解】因为()f x 为T -阶梯函数，所以对任意x ∈R 有：()()()()()sin sin sin sin f x T f x x T x T x x x T x T T +-=+++-+=+-+=⎡⎤⎣⎦.所以对任意x ∈R ，()sin sin x T x +=，因为sin y x =是最小正周期为2π的周期函数，又因为0T >，所以2πT k =，*k ∈N .【小问3详解】因为1a =，所以函数()()F x f x x b =--，则()()()()()()()F x T f x T x T b f x T x T b f x x b F x +=+-+-=+-+-=--=，()()()()()()()2F T x f T x T x b f x T x T x b f x x b F x -=----=+----=--=.取3344TT b f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则有3330444TT T F f b ⎛⎫⎛⎫=--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，30444T T T F F T F ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，由于()f x 在,2T T ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，因此()()F x f x x b =--在,2T T ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，结合()()F T x F x -=，则有()F x 在0,2T ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有唯一零点4T ，在,2T T ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有唯一零点34T .又由于()()F x T F x +=，则对任意k ∈Ζ，有044T T F kT F ⎛⎫⎛⎫+== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，33044T T F kT F ⎛⎫⎛⎫+== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因此，对任意m ∈Z ，()F x 在(),1mT m T +⎡⎤⎣⎦上有且仅有两个零点：4T mT +，34T mT +.综上所述，存在3344TT b f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，使得()F x 在[]0,2023T 上有4046个零点，且14T x =，234T x =，354T x =，474T x =，L ，404580894T x =，404680914T x =，其中，2132404640452T x x x x x x -=-=⋅⋅⋅=-=.【点睛】关键点睛：本题解决的关键是充分理解新定义T -阶梯函数，从而在第3小问推得()()F x T F x +=，()()F T x F x -=，由此得解.。
北京大学概率期中考试题
1.二项分布，P=0.2，求频率介于0.18至0.22的概率不小于0.95最小试验次数。
2.求证非负连续随机变量E(X)=从0到正无穷积分(1-F(x))。
3.X1，X2的母函数分别为G1，G2，a介于0和1之间。
求证G1G2和(1-a)G1+aG2也是母函数。
4.求证X依分布收敛到常数C时，也依概率收敛到C。
并举一个非常数时的反例。
5.Yn服从p=r/n的几何分布，求证Yn/n收敛到参数r的指数分布。
6.Xj服从N(Mj,1)，求证从1到n求和(Xj)^2的特征函数是(1/1-2it)exp(....)（记不清了
）
7.Xj是(0,1)上的均匀分布，求顺序统计量X(1)和X(n)的协方差。
8.掷硬币连续出现n个正面的最早时刻的母函数。
9.X,Y,U相互独立，U是(0,1)上均匀分布，问是否可能X,Y和U(X+Y)同分布。
10.（没怎么看）大概是求两个分布复合的特征函数并且求证收敛到正态分布。
北京市2023-2024学年高一上学期期中考试 数学含解析
北京2023-2024学年第一学期期中练习（答案在最后）高一数学2023.10说明：本试卷共4页，共120分.考试时长90分钟.一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知集合{}2,1,0,1M =--，{}30N x x =-≤<，则M N ⋂=（）A.{}2,1,0,1-- B.{}0,1 C.{}2- D.{}2,1--2.命题“0(0,)x ∃∈+∞，20012x x +≤”的否定为A.(0,)x ∀∈+∞，21x x +>2 B.(0,)x ∀∈+∞，212x x +≤C.(,0)x ∀∈-∞，212x x+≤ D.(],0x ∀∈-∞，21x x+>23.已知关于x 的方程220x x m -+=的两根同号，则m 的取值范围是（）A.1m ≤B.0m ≤C.01m <≤D.01m ≤≤4.已知函数()()()22111x x x f x x x ⎧-<⎪=⎨-+≥⎪⎩，则()()1f f -的值为（）A.3B.0C.1- D.2-5.已知R a ∈，则“1a >”是“11a<”的（）．A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件6.下列函数中，在区间()0,∞+上单调递增且是奇函数的是（）A.1y x =+B.1y x x=-C.y x= D.2y x =7.已知实数a ，b ，c 在数轴上对应的点如图所示，则下列式子中正确的是（）A.b a c a-<+ B.2c ab< C.c c b a> D.b c a c<8.设()f x 为R 上的奇函数，且当0x <时，()31f x x =-，则(0)(4)f f +=（）A.12B.12- C.13D.13-9.已知当0x >时，不等式2160x mx -+>恒成立，则实数m 的取值范围是（）A.(),8∞- B.(],8∞- C.[)8,+∞ D.()6,+∞10.对于全集U 的子集A 定义函数()()()1A U x A f x x A ⎧∈⎪=⎨∈⎪⎩ð为A 的特征函数,设,A B 为全集U 的子集,下列结论中错误的是()A.若,A B ⊆则()()A B f x f x ≤B.()()1R A A f x f x =-ðC.()()()A B A B f x f x f x =⋅ D.()()()A B A B f x f x f x =+ 二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分，把答案填在题中横线上）11.函数()f x =__________．12.如图，函数()f x 的图象是折线段ABC ，其中,,A B C 的坐标分别为()()0,4,2,0,()6,4，则()2f x ≤的解集为________.13.定义在R 上的函数()f x ，给出下列三个论断：①()f x 在R 上单调递增；②1x >；③()()1f x f >.以其中的两个论断为条件，余下的一个论断为结论，写出一个正确的命题：__________，_________推出___________.（把序号写在横线上）14.为了保护水资源，提倡节约用水，某城市对居民生活用水，实行“阶梯水价”.计算方法如下表：每户每月用水量水价不超过312m 的部分3元/3m 超过312m 但不超过318m 的部分6元/3m 超过318m 的部分9元/3m 若某户居民本月交纳的水费为90元，则此户居民本月用水量为___________.15.设函数()243,01,0x x x f x x x⎧++≤⎪=⎨->⎪⎩.给出下列四个结论：①函数()f x 的值域是R ；②()1212,(2,)x x x x ∀∈-+∞≠，有()()12120f x f x x x ->-；③00x ∃>，使得()()00f x f x -=；④若互不相等的实数123,,x x x 满足()()()123f x f x f x ==，则123x x x ++的取值范围是()3,-+∞.其中所有正确结论的序号是_________.三、解答题（本大题共5小题，共60分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）16.设关于x 的不等式2x a -<的解集为A ，不等式260x x --<的解集为B .（1）求集合A ，B ；（2）若A B ⊆，求实数a 的取值范围.17.已知函数()231x f x x -=+.（1）用函数单调性的定义证明：()f x 在()1,-+∞上是增函数；（2）求函数()f x 在区间[]1,4上的值域.18.已知二次函数()f x 的最小值为1，且()()023f f ==.（1）求()f x 的解析式；（2）在区间[]3,1--上，()y f x =的图象恒在221y x m =++的图象上方，确定实数m 的取值范围.19.为了减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙通常需要建造隔热层，某地正在建设一座购物中心，现在计划对其建筑物建造可使用40年的隔热层，已知每厘米厚的隔热层建造成本为8万元．该建筑物每年的能源消耗费用P （单位：万元）与隔热层厚度x （单位：cm ）满足关系：()3R,0845mP x x x =∈≤≤+．若不建隔热层，每年能源消耗费用为9万元．设S 为隔热层建造费用与40年的能源消耗费用之和．（1）求m 的值及用x 表示S ；（2）当隔热层的厚度为多少时，总费用S 达到最小，并求最小值．20.已知()f x 是定义域为R 的函数，若对任意12,x x ∈R ，12x x S -∈，均有()()12f x f x S -∈，则称()f x 是S 关联.（1）判断和证明函数()21f x x =+是否是[)0,∞+关联?是否是[]0,1关联?（2）若()f x 是{}3关联，当[)0,3x ∈时，()22f x x x =-，解不等式：()23f x ≤≤.北京2023-2024学年第一学期期中练习高一数学2023.10说明：本试卷共4页，共120分.考试时长90分钟.一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知集合{}2,1,0,1M =--，{}30N x x =-≤<，则M N ⋂=（）A.{}2,1,0,1-- B.{}0,1 C.{}2- D.{}2,1--【答案】D 【解析】【分析】利用交集的定义可求得集合M N ⋂.【详解】因为集合{}2,1,0,1M =--，{}30N x x =-≤<，则{}2,1M N ⋂=--.故选：D.2.命题“0(0,)x ∃∈+∞，20012x x +≤”的否定为A.(0,)x ∀∈+∞，21x x +>2B.(0,)x ∀∈+∞，212x x +≤C.(,0)x ∀∈-∞，212x x +≤D.(],0x ∀∈-∞，21x x+>2【答案】A 【解析】【分析】特称命题的否定是全称命题，并将结论否定，即可得答案.【详解】命题“0(0,)x ∃∈+∞，20012x x +≤”的否定为“(0,)x ∀∈+∞，21x x +>2”.故选：A.【点睛】本题考查特称命题的否定的书写，是基础题.3.已知关于x 的方程220x x m -+=的两根同号，则m 的取值范围是（）A.1m ≤B.0m ≤C.01m <≤D.01m ≤≤【答案】C【解析】【分析】利用判别式和韦达定理解决.【详解】关于x 的方程220x x m -+=的两根同号，则判别式大于等于0且两根之积大于零，则有Δ4400m m =-≥⎧⎨>⎩，解得01m <≤.故选：C4.已知函数()()()22111x x x f x x x ⎧-<⎪=⎨-+≥⎪⎩，则()()1f f -的值为（）A.3B.0C.1- D.2-【答案】D 【解析】【分析】先求()1f -，进而求出()()1ff -.【详解】由题意得，()()()211213f -=--⨯-=，则()()()13312f f f -==-+=-.故选：D.5.已知R a ∈，则“1a >”是“11a<”的（）．A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件【答案】A 【解析】【分析】先求11a <的解集，再利用充分必要条件的概念即可判断.【详解】由11a <得10a a->，此不等式与不等式(1)0a a ->同解，解得a<0或1a >.所以，当1a >时，11a<一定成立，故充分性成立；当11a<即a<0或1a >时，1a >不一定成立，故必要性不成立.综上所述，“1a >”是“11a<”的充分不必要条件.故选：A.6.下列函数中，在区间()0,∞+上单调递增且是奇函数的是（）A.1y x =+ B.1y x x=-C.y x =D.2y x =【答案】B 【解析】【分析】根据函数的单调性和奇偶性的定义即可得到答案.【详解】对于A ，当0x =时，10y =≠，所以1y x =+不是奇函数，故A 错误；对于B ，因为()1y f x x x==-的定义域为{}|0x x ≠，又()()11f x x x f x x x ⎛⎫-=-+=--=- ⎪⎝⎭，所以1y x x =-为奇函数，因为1,y x y x==-在区间()0,∞+上单调递增，所以1y x x=-在区间()0,∞+上单调递增，故B 正确；对于C ，因为()y f x x ==的定义域为R ，又()()f x x f x -=-=，所以y x =为偶函数，故C 错误.对于D ，因为()2y f x x ==的定义域为R ，又()()()2f x x f x -=-=，所以2y x =为偶函数，故D 错误.故选：B.7.已知实数a ，b ，c 在数轴上对应的点如图所示，则下列式子中正确的是（）A.b a c a -<+B.2c ab< C.c c b a> D.b c a c<【答案】D 【解析】【分析】由数轴知0c b a <<<，不妨取=3,2,1c b a -=-=-检验选项得解.【详解】由数轴知0c b a <<<，不妨取=3,2,1c b a -=-=-，对于A ，2121-+>-- ，∴不成立.对于B ，2(3)(2)(1)->-- ，∴不成立.对于C ，3231-<---，∴不成立.对于D ，(3)1(3) 2-<´--´-，因此成立.故选：D ．【点睛】利用不等式性质比较大小．要注意不等式性质成立的前提条件．解决此类问题除根据不等式的性质求解外，还经常采用特殊值验证的方法．8.设()f x 为R 上的奇函数，且当0x <时，()31f x x =-，则(0)(4)f f +=（）A.12B.12- C.13D.13-【答案】C 【解析】【分析】根据()f x 为R 上的奇函数，求出()()0,4f f .【详解】因为()f x 为R 上的奇函数，所以()00f =，()()4413f f =--=，所以()()0413f f +=.故选：C9.已知当0x >时，不等式2160x mx -+>恒成立，则实数m 的取值范围是（）A.(),8∞- B.(],8∞- C.[)8,+∞ D.()6,+∞【答案】A 【解析】【分析】将参数m 与自变量分离，利用基本不等式求得最值即可得出实数m 的取值范围.【详解】根据题意当0x >时，不等式2160x mx -+>恒成立，则2,01616m x x x xx +=+<>恒成立，只需min 16m x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭<即可；易知当0x >时，由基本不等式可得168x x +≥=，当且仅当4x =时取等号；所以min816x x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，即8m <，所以实数m 的取值范围是(),8∞-.故选：A10.对于全集U 的子集A 定义函数()()()1A Ux A f x x A ⎧∈⎪=⎨∈⎪⎩ð为A 的特征函数,设,A B 为全集U 的子集,下列结论中错误的是()A.若,A B ⊆则()()A B f x f x ≤B.()()1R A A f x f x =-ðC.()()()A B A B f x f x f x =⋅D.()()()A B A B f x f x f x =+ 【答案】D 【解析】【分析】根据()()()1A Ux A f x x A ⎧∈⎪=⎨∈⎪⎩ð,逐项分析,即可求得答案.【详解】 ()()()1A Ux A f x x A ⎧∈⎪=⎨∈⎪⎩ð对于A, A B ⊆,分类讨论：①当x A ∈,则,x B ∈此时()()1A B f x f x ==②当x A ∉且x B ∉,即U x B ∈ð,此时()()0A B f x f x ==，③当x A ∉且x B ∈,即()U x A B ∈⋂ð时,()0,()1A B f x f x ==,此时()()A B f x f x ≤综合所述,有()()A B f x f x ≤,故A 正确;对于B ,1, ()1()0,A UU A x A f x f x x A∈⎧==-⎨∈⎩ðð,故(2)正确；对于C ,1,()0,()A B U x A Bf x x C A B ⋂∈⋂⎧=⎨∈⋂⎩()1,0,U U x A B x C A C B ∈⋂⎧=⎨∈⋃⎩1,1,0,0,U U x A x B x C A x C B ⎧∈∈⎧⎪=⋅⎨⎨∈∈⎪⎩⎩()()A B f x f x =⋅,故C 正确;对于D ,0,()()()1,()A B A B U x A Bf x f x f x x C A B ⋃∈⋃⎧=≠+⎨∈⋃⎩,故D 错误.故选:D.【点睛】本题主要考查了函数新定义和集合运算,解题关键是充分理解新定义和掌握函数,集合基础知识,考查了分析能力和计算能力,属于难题.二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分，把答案填在题中横线上）11.函数()f x =__________．【答案】1[,)2+∞【解析】【详解】依题意，1210,2x x -≥≥.12.如图，函数()f x 的图象是折线段ABC ，其中,,A B C 的坐标分别为()()0,4,2,0,()6,4，则()2f x ≤的解集为________.【答案】{|14}x x ≤≤【解析】【分析】根据函数的图象，观察即可得出答案.【详解】当()2f x ≤时，由图象可知14x ≤≤，即()2f x ≤的解集为{|14}x x ≤≤.【点睛】本题主要考查了函数的图象，属于中档题.13.定义在R 上的函数()f x ，给出下列三个论断：①()f x 在R 上单调递增；②1x >；③()()1f x f >.以其中的两个论断为条件，余下的一个论断为结论，写出一个正确的命题：__________，_________推出___________.（把序号写在横线上）【答案】①.①（答案不唯一）②.②（答案不唯一）③.③（答案不唯一）【解析】【分析】根据单调性和范围即可推出不等式.【详解】①②推出③；证明：当()f x 在R 单调递增且当1x >时，有()(1)f x f >，得证.①③推出②；证明：当()f x 在R 单调递增且当()(1)f x f >时，有1x >，得证.①②无法推出③；取()()21f x x =-，此时满足1x >且()(1)f x f >，但不满足()f x 在R 单调递增.故答案为：①；②；③.（答案不唯一）14.为了保护水资源，提倡节约用水，某城市对居民生活用水，实行“阶梯水价”.计算方法如下表：每户每月用水量水价不超过312m 的部分3元/3m 超过312m 但不超过318m 的部分6元/3m 超过318m 的部分9元/3m 若某户居民本月交纳的水费为90元，则此户居民本月用水量为___________.【答案】320m ##20立方米【解析】【分析】根据题设条件可得水费与水价的关系式，根据该关系式可求用水量.【详解】设用水量为x 立方米，水价为y 元，则()3,01236612,1218729(18),18x x y x x x x ≤≤⎧⎪=+-<≤⎨⎪+->⎩，整理得到：3,012636,1218990,18x x y x x x x ≤≤⎧⎪=-<≤⎨⎪->⎩，当012x ≤≤时，036y ≤≤；1218x <≤时，3672y <≤；故某户居民本月交纳的水费为90元，则用水量大于18立方米，令99090x -=，则20x =（立方米），故答案为：320m .15.设函数()243,01,0x x x f x x x⎧++≤⎪=⎨->⎪⎩.给出下列四个结论：①函数()f x 的值域是R ；②()1212,(2,)x x x x ∀∈-+∞≠，有()()12120f x f x x x ->-；③00x ∃>，使得()()00f x f x -=；④若互不相等的实数123,,x x x 满足()()()123f x f x f x ==，则123x x x ++的取值范围是()3,-+∞.其中所有正确结论的序号是_________.【答案】①③④【解析】【分析】对于①，利用二次函数与反比例函数的图像性质画出函数图1，结合图像即可判断；对于②，举反例排除即可；对于③，将问题转化为243y xx =-+与1y x=-有交点，作出图2即可判断；对于④，结合图1对123,,x x x 进行分析即可.【详解】对于①，因为()243,01,0x x x f x x x⎧++≤⎪=⎨->⎪⎩，所以由二次函数与反比例函数的图像性质可画出函数图象，如图1，由()f x 的图像易知()f x 的值域是R ，故①正确；对于②，易得()03f =，()11f =-，显然()f x 在()2,-+∞上并不单调递增，所以②说法不成立，故②错误；对于③，假设存在00x ∃>，()()00f x f x -=，则()()2000143x x x -+-+=-，即200143x x x -+=-，即243y xx =-+与1y x=-有交点，作出图像，如图2，显然假设成立，故③正确；对于④，由图1易知1222+=-x x ，则124x x +=-，因为()21f -=-，所以()310f x -<<，即3110x -<-<，解得31x >，所以12334413x x x x ++=-+>-+=-，即123x x x ++的取值范围是()3,-+∞，故④正确；综上：①③④正确.故答案为：①③④.三、解答题（本大题共5小题，共60分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）16.设关于x 的不等式2x a -<的解集为A ，不等式260x x --<的解集为B .（1）求集合A ，B ；（2）若A B ⊆，求实数a 的取值范围.【答案】（1）{|22}A x a x a =-<<+，{|23}B x x =-<<（2）[0,1]【解析】【分析】（1）解绝对值不等式和二次不等式即可得解；（2）利用集合的包含关系得到关于a 的不等式组，解之即可得解.【小问1详解】因为||2x a -<，所以22x a -<-<，则22a x a -<<+，所以{|22}A x a x a =-<<+，因为260x x --<，所以(2)(3)0x x +-<，解得23x -<<，所以{|23}B x x =-<<【小问2详解】因为A B ⊆，因为22a a -<+恒成立，所以A ≠∅，所以2223a a -≥-⎧⎨+≤⎩，解得01a ≤≤，故a 取值范围为[0,1].17.已知函数()231x f x x -=+.（1）用函数单调性的定义证明：()f x 在()1,-+∞上是增函数；（2）求函数()f x 在区间[]1,4上的值域.【答案】（1）证明见解析（2）1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【解析】【分析】（1）任取()12,1,x x ∈-+∞，且12x x <，通过计算()()12f x f x -的正负来判断单调性；（2）由函数()f x 在区间[]1,4上单调性求出最值即可.【小问1详解】任取()12,1,x x ∈-+∞，且12x x <，则()()()()()()()()()()()122112121212121223123152323111111x x x x x x x x f x f x x x x x x x -+--+----=-==++++++，因为()12,1,x x ∈-+∞，12x x <，所以120x x -<，110x +>，210x +>，所以()()120f x f x -<，即()()12f x f x <，所以()f x 在()1,-+∞上是增函数.【小问2详解】由（1）知()f x 在区间[]1,4上单调递增，所以()()min 112f x f ==-，()()max 41f x f ==，所以函数()f x 在区间[]1,4上的值域为1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.18.已知二次函数()f x 的最小值为1，且()()023f f ==.（1）求()f x 的解析式；（2）在区间[]3,1--上，()y f x =的图象恒在221y x m =++的图象上方，确定实数m 的取值范围.【答案】（1）()2243f x x x =-+，x ∈R（2）5m <【解析】【分析】（1）利用二次函数解析式的顶点式、待定系数法分析运算即可得解.（2）由题意将图象的位置关系转化为不等式，利用分离参数法、二次函数的图象与性质分析运算即可得解.【小问1详解】解：由题意，设二次函数()()21=-+f x a x m ，0a >，∵()()023f f ==，∴()()22013213a m a m ⎧-+=⎪⎨-+=⎪⎩，解得：21a m =⎧⎨=⎩，∴()()22211243f x x x x =-+=-+，x ∈R .【小问2详解】解：∵在区间[]3,1--上，()y f x =的图象恒在221y x m =++的图象上方，∴2243221x x x m -+>++在区间[]3,1--上恒成立，即231m x x <-+在区间[]3,1--上恒成立，令()231g x x x =-+，则在区间[]3,1--上()m g x <恒成立，∴()min m g x <，∵函数()231g x x x =-+图象的对称轴为32x =，开口向上，∴函数()231g x x x =-+在区间[]3,1--上单调递减，∴()()min 15=-=g x g ，则5m <，∴实数m 的取值范围是(),5-∞.19.为了减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙通常需要建造隔热层，某地正在建设一座购物中心，现在计划对其建筑物建造可使用40年的隔热层，已知每厘米厚的隔热层建造成本为8万元．该建筑物每年的能源消耗费用P （单位：万元）与隔热层厚度x （单位：cm ）满足关系：()3R,0845mP x x x =∈≤≤+．若不建隔热层，每年能源消耗费用为9万元．设S 为隔热层建造费用与40年的能源消耗费用之和．（1）求m 的值及用x 表示S ；（2）当隔热层的厚度为多少时，总费用S 达到最小，并求最小值．【答案】（1）15m =，1800845S x x =++（08x ≤≤）；（2）当隔热层的厚度为6.25cm 时，总费用S 取得最小值110万元.【解析】【分析】（1）利用给定条件，求出m 的值，进而可得能源消耗费用与隔热层建造成本之和.（2）利用基本不等式即可求最值，根据等号成立的条件可得隔热层厚度.【小问1详解】设隔热层厚度x ，依题意，每年的能源消耗费用为：345mP x =+，而当0x =时，9P =，则395m=，解得15m =，显然建造费用为8x ，所以隔热层建造费用与40年的能源消耗费用之和为：45180040840884545S P x x x x x =+=⨯+=+++（08x ≤≤）.【小问2详解】由（1）知()180018008245104545S x x x x =+=++-++1026010110≥=⨯-=，当且仅当()180024545x x =++，即 6.25x =时取等号，所以当隔热层的厚度为6.25cm 时，总费用S 取得最小值110万元．20.已知()f x 是定义域为R 的函数，若对任意12,x x ∈R ，12x x S -∈，均有()()12f x f x S -∈，则称()f x 是S 关联.（1）判断和证明函数()21f x x =+是否是[)0,∞+关联?是否是[]0,1关联?（2）若()f x 是{}3关联，当[)0,3x ∈时，()22f x x x =-，解不等式：()23f x ≤≤.【答案】（1）()f x 是[)0,∞+关联，不是[]0,1关联（2）{}15x x +≤≤【解析】【分析】（1）根据关联定义直接判断即可；（2）先根据关联定义确定函数()f x 满足的性质，再结合[)0,3x ∈时的解析式画出函数图像，结合图像即可求解.【小问1详解】任取12,x x ∈R ，若[)120,x x -∈+∞，则()()()[)121220,f x f x x x -=-∈+∞所以()f x 是[)0,∞+关联；若[]120,1x x -∈，则()()()[]121220,2f x f x x x -=-∈，所以()f x 不是[]0,1关联.【小问2详解】由题意知，当123x x -=时，()()123f x f x -=，即()()33f x f x +-=，由于当[)0,3x ∈时，()22f x x x =-，所以画出()f x 的图像如图，当[)0,3x ∈时，令()222f x x x =-=得1x =，令()220f x x x =-=得0x =或2x =，结合图像求出点()12A +，()5,3B ，所以当()23f x ≤≤时，15x +≤≤，。
北京市2023-2024学年高一下学期期中考试数学试卷含答案
北京市2023-2024学年高一（下）期中数学试卷一、选择题（每题5分，共50分）（答案在最后）1.若复数2i z =-+，则复数z 在复平面内对应的点位于（）A .第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】B 【解析】【分析】运用复数的几何意义求解即可.【详解】复数2i z =-+，则复数z 在复平面内对应的点(2,1)-位于第二象限．故选：B .2.已知向量(2,1)a = ，(4,)b x = ，且a b∥，则x 的值为（）A.-2B.2C.-8D.8【答案】B 【解析】【分析】运用平面向量共线的坐标公式计算即可.【详解】(2,1)a =rQ ，(4,)b x =，且a b∥，240x ∴-=，即2x =．故选：B ．3.在三角形ABC 中，角,,A B C 对应的边分别为,,a b c ，若0120A ∠=，2a =，3b =，则B ＝（）A.3πB.56π C.566ππ或 D.6π【答案】D 【解析】【详解】试题分析：由于0120A ∠=为钝角，所以只有一解.由正弦定理得：21sin sin1203sin 2B B =⇒=，选D.考点：解三角形.4.已知圆锥的轴截面是一个边长为2的等边三角形，则该圆锥的体积为（）A.B.πC.D.2π【答案】A 【解析】【分析】根据圆锥轴截面的定义结合正三角形的性质，可得圆锥底面半径长和高的大小，由此结合圆锥的体积公式，即可求解.【详解】由题知，如图，PAB 为圆锥的轴截面，边长均为2，则圆锥的高322PO =⨯=底面半径1212r =⨯=，故圆锥体积2211ππ1π333V r PO =⋅=⨯=.故选：A5.已知P 为ABC 所在平面内一点，2BC CP =uu u r uur，则（）A.1322AP AB AC =-+uu u r uu u r uuu r B.1233AP AB AC=+C.3122AP AB AC=-uu u r uu u r uuu r D.2133AP AB AC=+uu u r uu u r uuu r【答案】A 【解析】【分析】根据题意作出图形，利用向量线性运算即可得到答案.【详解】由题意作出图形,如图,则11()22AP AC CP AC BC AC AC AB =+=+=+- 1322AB AC =-+，故选：A.6.已知非零向量a ，b，则“a b b -= ”是“20a b -= ”成立的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】【分析】根据充分条件和必要条件的定义，结合向量的模的定义，数量积的性质和运算律判断.【详解】若20a b -= ，则a b b -=，a b b -= ，所以“a b b -= ”是“20a b -=”成立的必要条件，若a b b -= ，则220a a b -⋅=，()20a a b ⋅-= ，当()1,0a = ，11,22b ⎛⎫=- ⎪⎝⎭时，()20,1a b -= ，()20a a b ⋅-= 成立，但20a b -≠.所以，“a b b -= ”不是“20a b -=”成立的充分条件，所以“a b b -= ”是“20a b -= ”成立的必要不充分条件，故选：B.7.在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且2cos a B c =，则ABC 的形状一定是（）A.等边三角形B.等腰三角形C.等腰直角三角形D.直角三角形【答案】B 【解析】【分析】由正弦定理可得2sin cos sin A B C =，再由()C A B π=-+，可得2sin cos sin()sin cos cos sin A B A B A B A B =+=+，从而可得in 0()s A B -=，进而可得结论【详解】解：因为2cos a B c =，所以由正弦定理可得2sin cos sin A B C =，因为A B C π++=，所以()C A B π=-+，所以()()sin sin sin C A B A B π⎡⎤=-+=+⎣⎦，所以2sin cos sin()sin cos cos sin A B A B A B A B =+=+，所以sin cos cos sin 0A B A B -=，所以in 0()s A B -=，因为A B ππ-<-<，所以0A B -=，所以A B =，所以ABC 为等腰三角形，故选：B8.对于非零向量,m n ，定义运算“⨯”：sin m n m n θ⨯=，其中θ为,m n 的夹角.设,,a b c 为非零向量，则下列说法错误．．的是A.a b b a⨯=⨯ B.()a b c a c b c+⨯=⨯+⨯C.若0a b ⨯=，则//a bD.()a b a b⨯=-⨯【答案】B 【解析】【详解】由运算定义，sin ,sin a b a b b a b a θθ⨯=⨯=，所以a b b a⨯=⨯正确；()sin ,sin sin a b c a b c a c b c a c b c θαβ+⨯=+⨯+⨯=+ ，所以()a b c a c b c +⨯≠⨯+⨯，故B错误；C 、sin 0a b a b θ⨯== ，则0,θπ=，所以//a b 正确；D 、()()sin ,sin sin a b a b a b a b a b θπθθ⨯=-⨯=--= ，所以()a b a b ⨯=-⨯正确．故选B ．点睛：本题考查向量的新定义运算，关键就是理解新定义．本题采取排除法，通过逐个验证，我们可以发现A 、C 、D 都是正确的，所以错误的就是B ．9.如图，直三棱柱111ABC A B C -中，1,,AB BC AA AB P ⊥=为棱11A B 的中点，Q 为线段1AC 上的动点．以下结论中正确的是（）A.存在点Q ，使BQ AC ∥B.不存在点Q ，使11BQ B C ⊥C.对任意点Q ，都有1BQ AB ⊥D.存在点Q ，使BQ 平面1PCC 【答案】C 【解析】【分析】A 选项，根据异面直线的定义可以判断；B 选项，容易发现1,A Q 重合时符合题意；C 选项，利用线面垂直得到线面垂直；D 选项，先找出平面1PCC 的一条垂线，问题转化为判断这条垂线是否和BQ 垂直的问题.【详解】A 选项，由于BQ ⋂平面ABCB =，B AC ∉，AC ⊂平面ABC ，则,BQ AC 一定异面，A 选项错误；B 选项，根据直三棱柱性质，1BB ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，故1BB BC ⊥，又AB BC ⊥，1AB BB B Ç=，1,AB BB ⊂平面11ABB A ，故BC ⊥平面11ABB A ，又1BA ⊂平面11ABB A ，故1BC BA ⊥，显然11BC B C ∥，即111B C BA ⊥，故1,A Q 重合时，11BQ B C ⊥，B 选项错误；C 选项，直棱柱的侧面11ABB A 必是矩形，而1AA AB =，故矩形11ABB A 成为正方形，则11AB BA ⊥，B 选项已经分析过，BC ⊥平面11ABB A ，由1AB ⊂平面11ABB A ，故1AB BC ⊥，又1BC BA B ⋂=，1,BC BA ⊂平面1BCA ，故1AB ⊥平面1BCA ，又BQ ⊂平面1BCA ，则1BQ AB ⊥必然成立，C 选项正确；D 选项，取AB 中点M ，连接,CM PM ，根据棱柱性质可知，CM 和1C P 平行且相等，故平面1PCC 可扩展成平面1CMPC ，过B 作BN CM ⊥，垂足为N ，根据1BB ⊥平面ABC ，BN ⊂平面ABC ，故1BB BN ⊥，显然11BB CC ∥，故1BN CC ⊥，由BN CM ⊥，1CC CM C = ，1,CC CM ⊂平面1CMPC ，故BN ⊥平面1CMPC ，若BQ 平面1PCC ，则BQ BN ⊥，过Q 作QO //1BB ，交11A C 于O ，连接1B O ，于是1BQOB 共面，又1BQ BB B = ，1,BQ BB ⊂平面1BQOB ，故BN ⊥平面1BQOB ，由于1B O ⊂平面1BQOB ，故1BN B O ⊥，延长OQ 交AC 于J ，易得1B O //BJ ，则BJ BN ⊥，而J 在线段AC 上，这是不可能的，D 选项错误.故选：C10.圭表（如图1）是我国古代一种通过测量正午日影长度来推定节气的天文仪器，它包括一根直立的标竿（称为“表”）和一把呈南北方向水平固定摆放的与标竿垂直的长尺（称为“圭”）．当正午太阳照射在表上时，日影便会投影在圭面上，圭面上日影长度最长的那一天定为冬至，日影长度最短的那一天定为夏至．图2是一个根据北京的地理位置设计的圭表的示意图，已知北京冬至正午太阳高度角（即ABC ∠）为26.5 ，夏至正午太阳高度角（即ADC ∠）为73.5 ，圭面上冬至线与夏至线之间的距离（即DB 的长）为a ，则表高（即AC 的长）为（）A.sin532sin 47a ︒︒B.2sin 47sin53a ︒︒C.tan 26.5tan 73.5tan 47a ︒︒︒D.sin 26.5sin 73.5sin 47a ︒︒︒【答案】D 【解析】【分析】先求BAD ∠，在BAD 中利用正弦定理求AD ，在Rt ACD 中即可求AC .【详解】73.526.547BAD ∠=-= ，在BAD 中由正弦定理得：sin sin BD AD BAD ABD=∠∠，即sin 47sin 26.5a AD= ，所以sin 26.5sin 47a AD =，又因为在Rt ACD 中，sin sin 73.5ACADC AD=∠= ，所以sin 26.5sin 73.5sin 73.5sin 47a AC AD =⨯=,故选：D【点睛】本题主要考查了解三角形应用举例，考查了正弦定理，属于中档题.二、填空题（每题5分，共30分）11.已知复数i(1i)z =+，则z =________；||z =________．【答案】①.1i--②.【解析】【分析】运用共轭复数、复数乘法及复数的模的公式计算即可.【详解】因为i(1i)1i z =+=-+，则1i z =--，||z ==.故答案为：1i --.12.已知向量(1,1)a =-r ，(2,1)b =- ，则2a b += ________；向量a 在b上的投影向量的坐标为________．【答案】①.(0,1)-②.63(,)55-【解析】【分析】运用平面向量加法、向量数量积、向量的模、投影向量公式计算即可.【详解】解：(1,1)a =-r，(2,1)b =-，则2(2,2)(2,1)(0,1)a b +=-+-=-；()()12113a b ⋅=⨯-+-⨯=-，||b == 故向量a 在b上的投影向量的坐标为：363,555a b b b b b⋅⎛⎫⨯=-=- ⎪⎝⎭ .故答案为：(0,1)-；63(,55-.13.在正四面体A -BCD 中，二面角A -BC -D 的余弦值是_______.【答案】13【解析】【分析】根据二面角平面角的定义，结合正四面体的性质，找出该角，由余弦定理，可得答案.【详解】如图，取BC 的中点F ，连接AF，DF，则AF BC ⊥，DF BC ⊥，即AFD ∠为二面角A BC D --的平面角，设正四面体D ABC -的棱长为6，在正ABC中，sin 60AF AB ==sin 60DF BD ==由余弦定理2221cos 23FD FA AD AFD FD FA +-∠===⋅⋅.故答案为：13.14.已知点(0,0)O ，(1,2)A ，(,0)(0)B m m >，则cos ,OA OB <>=___________；若B 是以OA 为边的矩形的顶点，则m =___________.【答案】①.②.5【解析】【分析】①根据向量的夹角公式，直接求解即可；②根据已知可得0OA AB ⋅=，求出相应的坐标代入即可求出m 的值.【详解】①因为(0,0)O ，(1,2)A ，(,0)(0)B m m >，所以(1,2)OA = ，(,0)OB m =，所以5cos ,5||||OA OB OA OB OA OB ⋅<>===；②(1,2)AB m =-- ，若B 是以OA 为边的矩形的顶点，则0OA AB ⋅=,即140OA AB m ⋅=--=，所以5m =.故答案为：5；515.若ABC 的面积为2223()4a cb +-,且∠C 为钝角，则∠B =_________；c a 的取值范围是_________.【答案】①.60②.(2,)+∞【解析】【分析】根据题干结合三角形面积公式及余弦定理可得tan B =，可求得3B π∠=；再利用()sin sin C A B =+，将问题转化为求函数()f A 的取值范围问题.【详解】()2221sin 42ABC S a c b ac B ∆=+-=，2222a c b ac +-∴=，即cos B =，sin cos 3B B B π∴=∠=，则21sin cos sin sin 11322sin sin sin 2tan 2A A Ac C a A A A A π⎛⎫⎛⎫-⋅--⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭====⋅+，C ∴∠为钝角，,036B A ππ∠=∴<∠<，)1tan 0,,3tan A A ⎛∴∈∈+∞ ⎝⎭，故()2,ca∈+∞.故答案为3π，()2,∞+.【点睛】此题考查解三角形的综合应用，能够根据题干给出的信息选用合适的余弦定理公式是解题的第一个关键；根据三角形内角A B C π++=的隐含条件，结合诱导公式及正弦定理，将问题转化为求解含A ∠的表达式的最值问题是解题的第二个关键.16.如图矩形ABCD 中，22AB BC ==，E 为边AB 的中点，将ADE V 沿直线DE 翻转成1A DE △．若M 为线段1AC 的中点，则在ADE V 翻转过程中，下列叙述正确的有________（写出所有序号）．①BM 是定值；②一定存在某个位置，使1CE DA ⊥；③一定存在某个位置，使1DE A C ⊥；④一定存在某个位置，使1MB A DE 平面∥．【答案】①②④【解析】【分析】运用等角定理及余弦定理可判断①；运用勾股定理证得1A E CE ⊥、DE EC ⊥，结合线面垂直的判定定理及性质可判断②；运用反证法证及线面垂直判定定理证得DE ⊥平面1A EC ，结合线面垂直性质可得1DE A E ⊥得出矛盾可判断③；运用面面平行判定定理证得平面//MBF 平面1A DE ，结合面面平行性质可判断④.【详解】对于①，取CD 中点F ，连接MF ，BF ，如图所示，则1MF DA ∥，BF DE ，11122MF A D ==，FB DE ==由等角定理知，1π4A DE MFB ∠=∠=，所以由余弦定理可得22252cos 4MB MF FB MF FB MFB =+-⋅⋅∠=，所以52MB =是定值，故①正确；对于④，由①知，1MF DA ∥，BF DE ，又FB 、MF ⊄平面1A DE ，1DA 、DE ⊂平面1A DE ，所以//FB 平面1A DE ，//MF 平面1A DE ，又FB MF F = ，FB 、MF ⊂平面MBF ，所以平面//MBF 平面1A DE ，又因为MB ⊂平面MBF ，所以//MB 平面1A DE ，故④正确，对于②，连接EC ，如图所示，当1A C =时，因为11A E =，CE =22211A C A E CE =+，所以1A E CE ⊥，因为矩形ABCD 中，D E C E ==，2DC =，所以222DE CE DC +=，即DE EC ⊥，又因为1A E DE E ⋂=，1A E 、DE ⊂平面1A DE ，所以CE ⊥平面1A DE ，又1A D ⊂平面1A DE ，所以1CE DA ⊥，故②正确；对于③，假设③正确，即在某个位置，使1DE A C ⊥，又因为矩形ABCD 中，D E C E ==2DC =，所以222DE CE DC +=，即DE EC ⊥，又因为1A C EC C ⋂=，1AC 、EC ⊂平面1A EC ，所以DE ⊥平面1A EC ，又1A E ⊂平面1A EC ，所以1DE A E ⊥，这与1π4DEA ∠=矛盾，所以不存在某个位置，使1DE A C ⊥，故③错误．故答案为：①②④.三、解答题（每题14分，共70分）17.如图，在四棱锥P ABCD -中，PD ⊥平面ABCD ，底面ABCD 为正方形，E ，F 分别是AB ，PB 的中点．（1）求证：//EF 平面PAD ；（2）求证：EF CD ⊥．【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析【解析】【分析】（1）由三角形中位线证得EF PA ∥，结合线面平行的判定定理证明即可.（2）由线面垂直性质可得PD CD ⊥，结合线面垂直判定定理可得CD ⊥平面PAD ，再结合线面垂直性质、线线垂直性质证明即可.【小问1详解】因为E ，F 分别是AB ，PB 的中点，所以EF PA ∥，又EF ⊄平面PAD ，PA ⊂平面PAD ，所以//EF 平面PAD ；【小问2详解】因为PD ⊥平面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ，所以PD CD ⊥，又因为底面ABCD 为正方形，CD AD ⊥，=PD AD D ⋂，PD 、AD ⊂平面PAD ，所以CD ⊥平面PAD ，又PA ⊂平面PAD ，所以CD PA ⊥，由（1）知，EF PA ∥，所以EF CD ⊥．18.已知2()22cos f x x x =+．（1）求()f x 的最小正周期及单调递减区间；（2）求函数()f x 在区间π[0,]2上的最大值和最小值．【答案】（1）π，π2π[π,π]63k k ++，Z k ∈（2）max ()3f x =，min ()0f x =【解析】【分析】（1）结合二倍角公式及辅助角公式化简函数()f x ，结合sin y t =图象与性质求解即可.（2）先求出π26x +的范围，结合sin y t =图象与性质即可求得最值.【小问1详解】因为2π()22cos 2cos 212sin(216f x x x x x x =+=++=++，所以()f x 的最小正周期2ππ2T ==，令ππ3π2π22π262k x k +≤+≤，Z k ∈，解得π2πππ63k x k +≤≤+，Z k ∈，所以()f x 单调递减区间为π2π[π,π]63k k ++，Z k ∈．【小问2详解】因为π[0,]2x ∈，所以ππ7π2[,]666x +∈，所以由函数图象性质知，当ππ262x +=，即π6x =时，max ()3f x =；当π7π266x +=，即π2x =时，min ()0f x =．19.如图，四边形ABCD 是菱形，DE ⊥平面ABCD ，//AF DE ，3DE AF =．（1）求证：平面//BAF 平面CDE ；（2）求证：平面EAC ⊥平面EBD ；（3）设点M 是线段BD 上一个动点，试确定点M 的位置，使得//AM 平面BEF ，并证明你的结论．【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析（3）13BM BD =，证明见解析【解析】【分析】（1）利用线面平行的判定定理得到//AF 平面CDE ，//AB 平面CDE ，再利用面面平行的判定定理，即可证明结果；（2）根据条件得到AC ⊥平面EBD ，再由面面垂直的判定定理，即可证明结果；（3）构造平行四边形，利用线面平行的判定定理，即可证明结果.【小问1详解】因为//AF DE ，AF ⊄面CDE ，DE ⊂面CDE ，所以//AF 平面CDE ，同理，//AB 平面CDE ，又AF AB A ⋂=，,AF AB ⊂面BAF ,所以平面//BAF 平面CDE .【小问2详解】因为四边形ABCD 是菱形，所以AC BD ⊥，DE ⊥ 平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，AC DE ∴⊥，BD DE D = ，,BD DE ⊂平面EBD ，AC ∴⊥平面EBD ，AC ⊂ 平面EAC ，所以平面EAC ⊥平面EBD .【小问3详解】当13BM BD =时，//AM 平面BEF ，理由如下：作MN ED ∥，则MN 平行且等于13BD ，//AF DE ，3DE AF =，∴AF 平行且等于MN ，∴AMNF 是平行四边形，//AM FN ∴，AM ⊄ 平面BEF ，FN ⊂平面BEF ，//AM ∴平面BEF .20.在ABC ∆中，2sin sin sin A B C =.（Ⅰ）若π3A ∠=，求B ∠的大小；（Ⅱ）若1bc =，求ABC ∆的面积的最大值.【答案】（1）π3B ∠=，（2）．【解析】【详解】【分析】试题分析：（Ⅰ）因为2sin sin sin ,A B C =由正弦定理可得2a bc =，再利用余弦定理得所以22222122a b c bc b c bc =+-⨯=+-即b c =，所以为等边三角形．所以π3B ∠=（注：当然也可用化角来处理）；（Ⅱ）由已知可得21a bc ==．所以222221cos 22b c a b c A bc +-+-==21122bc -≥=，又sin (0,]2A ∈．所以11sin sin 224ABC S bc A A ∆==≤11sin sin 224ABC S bc A A ∆==≤试题解析：（Ⅰ）方法一：因为2sin sin sin ,A B C =且，所以2a bc =．又因为π3A ∠=，所以22222122a b c bc b c bc =+-⨯=+-．所以2()0b c -=．所以b c =．因为π3A ∠=，所以为等边三角形．所以π3B ∠=．方法二：因为πA BC ++=，所以sin sin()C A B =+．因为2sin sin sin B C A =，π3A ∠=，所以2ππsin sin()sin 33B B +=．所以13sin cos sin )224B B B +=．所以11cos 23sin 24224B B -+⨯=．所以12cos 2122B B -=．所以πsin(2)16B -=．因为(0,π)B ∈，所以ππ112(,π)666B -∈-．所以ππ262B -=，即π3B ∠=．（Ⅱ）因为2sin sin sin ,A B C =1bc =，且，所以21a bc ==．所以222221cos 22b c a b c A bc +-+-==21122bc -≥=（当且仅当时，等号成立）．因为(0,π)A ∈，所以π(0,]3A ∈．所以sin (0,]2A ∈．所以11sin sin 224ABC S bc A A ∆==≤．所以当是边长为1的等边三角形时，其面积取得最大值．考点：三角函数的性质与解三角形21.对于数集{}12,,1,n X x x x =- ，其中120n x x x <<<⋅⋅⋅<，2n ≥，定义向量集(){},,,Y a a s t s X t X ==∈∈ ，若对任意1a Y ∈ ，存在2a Y ∈ 使得120a a ⋅= ，则称X 具有性质P ．（1）判断{}1,1,2-是否具有性质P ；（2）若2x >，且{}1,1,2,X x =-具有性质P ，求x 的值；（3）若X 具有性质P ，求证：1X ∈且当1n x >时，11x =．【答案】（1）具有性质P（2）4（3）证明见解析【解析】【分析】（1）根据集合新定义判断即可；（2）在Y 中取()1,2a x = ，根据数量积的坐标表示，求出可能的2a ，再根据2x >求出符合条件的值即可；（3）取()111,a x x Y =∈ ，()2,a s t Y =∈ ，由120a a ⋅= ，化简可得0s t +=，所以,s t 异号，而1-是X 中的唯一的负数，所以,s t 中之一为1-，另一个为1，从而得到1X ∈，最后通过反证法得出1n x >时，11x =.【小问1详解】{}1,1,2-具有性质P .因为{}1,1,2X =-，所以()()()()()()()()(){}1,1,1,1,1,2,1,1,1,1,1,2,2,1,2,1,2,2Y =------，若对任意1a Y ∈ ，存在2a Y ∈ 使得120a a ⋅= ，所以X 具有性质P .【小问2详解】因为2x >，且{}1,1,2,X x =-具有性质P ，所以可取()1,2a x = ，又Y 中与()1,2a x = 垂直的元素必有形式()()()1,1,1,2,1,x ---中的一个，当()21,1a =- 时，由120a a ⋅= ，可得202x x -+=Þ=，不符合题意；当()21,2a =- 时，由120a a ⋅= ，可得404x x -+=Þ=，符合题意；当()21,a x =- 时，由120a a ⋅= ，可得200x x x -+=Þ=，不符合题意；所以4x =.【小问3详解】证明：取()111,a x x Y =∈ ，设()2,a s t Y =∈ ，满足120a a ⋅= ，所以()100s t x s t +=⇒+=，所以,s t 异号，因为1-是X 中的唯一的负数，所以,s t 中之一为1-，另一个为1，所以1X ∈，假设1k x =，其中1k n <<，则101n x x <<<，选取()11,n b x x = ，并设()2,b p q = ，满足120b b ⋅= ，所以10n px qx +=，则,p q 异号，从而,p q 之中恰有一个为1-，若1p =-，则1n x qx =，显然矛盾；若1q =-，则1n n x px p x =<<，矛盾，所以当1n x >时，11x =，综上，得证.【点睛】关键点点睛：本题的关键在于理解集合的新定义，并用向量的数量积为零时坐标表示出所求的参数值.。
北京市2023-2024学年高一下学期期中考试数学试题含答案
2023—2024学年度第二学期北京市高一数学期中考试试卷（答案在最后）一､选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）1.11πsin3的值为（）A.2B.2-C.2D.2【答案】A 【解析】【分析】利用诱导公式及特殊角的三角函数值计算可得.【详解】11πππsin sin 4πsin 3332⎛⎫=-=-=-⎪⎝⎭.故选：A2.下列函数中，最小正周期为π且是偶函数的是（）A.πsin 4y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭B.tan y x =C.cos 2y x =D.sin 2y x=【答案】C 【解析】【分析】由三角函数的最小正周期公式和函数奇偶性对选项一一判断即可得出答案.【详解】对于A ，πsin 4y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭的最小正周期为：2π2π1T ==，故A 不正确；对于B ，tan y x =的最小正周期为：ππ1T ==，tan y x =的定义域为ππ,Z 2x x k k ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭，关于原点对称，令()tan f x x =，则()()()tan tan f x x x f x -=-=-=-，所以tan y x =为奇函数，故B 不正确；对于C ，cos 2y x =的最小正周期为：2ππ2T ==，令()cos 2g x x =的定义域为R 关于原点对称，则()()()cos 2cos 2g x x x g x -=-==，所以cos 2y x =为偶函数，故C 正确；对于D ，sin 2y x =的最小正周期为：2ππ2T ==，sin 2y x =的定义域为R ，关于原点对称，令()sin 2h x x =，则()()()sin 2sin 2h x x x h x -=-=-=-，所以sin 2y x =为奇函数，故D 不正确.故选：C .3.设向量()()3,4,1,2a b ==- ，则cos ,a b 〈〉=（）A.5-B.5C.5-D.5【答案】D 【解析】【分析】根据给定条件，利用向量夹角的坐标表示求解即得.【详解】向量()()3,4,1,2a b ==-，则cos ,5||||a b a b a b ⋅〈〉==.故选：D4.在△ABC 中，已知1cos 3A =，a =，3b =，则c =（）A.1B.C.2D.3【答案】D 【解析】【分析】直接利用余弦定理求解即可【详解】因为在△ABC 中，1cos 3A =，a =，3b =，所以由余弦定理得2222cos a b c bc A =+-，2112963c c =+-⨯，得2230c c --=，解得3c =，或1c =-（舍去），故选：D5.函数()()sin f x A x =+ωϕ(其中0A >，0ω>，0ϕπ<<)的图像的一部分如图所示，则此函数的解析式是（）A.()3sin 42f x x ππ⎛⎫=+⎪⎝⎭ B.3()3sin 44f x x ππ⎛⎫=+⎪⎝⎭C.()3sin 84f x x ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ D.3()3sin 84f x x ππ⎛⎫=+⎪⎝⎭【答案】C 【解析】【分析】根据图象可以求出最大值，结合函数的零点，根据正弦型函数的最小正周期公式，结合特殊值法进行求解即可.【详解】由函数图象可知函数的最大值为3，所以3A =，由函数图象可知函数的最小正周期为4(62)16⨯-=，因为0ω>，所以24(62)168ππωω⨯-==⇒=，所以()3sin 8f x x πϕ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，由图象可知：(2)3f =，即3sin 32()2()4424k k Z k k Z ππππϕϕπϕπ⎛⎫+=⇒+=+∈⇒=+∈ ⎪⎝⎭，因为0ϕπ<<，所以令0k =，所以4πϕ=，因此()3sin 84f x x ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，故选：C6.函数ππ()sin(2),[0,]62f x x x =+∈的最大值和最小值分别为（）A.11,2-B.31,2-C.1,12- D.1,1-【答案】A 【解析】【分析】根据给定条件，求出相位的范围，再利用正弦函数的性质求解即得.【详解】由π[0,2x ∈，得ππ7π2[,666x +∈，则当ππ262x +=，即π6x =时，max ()1f x =，当π7π266x +=，即π2x =时，min 1()2f x =-，所以所求最大值、最小值分别为11,2-.故选：A7.已知向量,,a b c在正方形网格中的位置如图所示.若网格纸上小正方形的边长为1，则()a b c +⋅= （）A.2B.2- C.1 D.1-【答案】B 【解析】【分析】根据给定信息，利用向量数量的运算律，结合数量积的定义计算得解.【详解】依题意，π3π|||2,||2,,,,,44a b c a b b c a c ===〈〉=⊥〈〉= ，因此3π||||cos2(242a c a c ⋅==⨯-=-，0b c ⋅= ，所以()2a b c a c b c +⋅=⋅+⋅=-.故选：B8.在ABC 中，已知cos cos 2cos a B b A c A +=，则A =（）A.π6B.π4C.π3 D.π2【答案】C 【解析】【分析】根据给定条件，利用正弦定理边化角，再逆用和角的正弦求出即得.【详解】在ABC 中，由cos cos 2cos a B b A c A +=及正弦定理，得sin cos sin cos 2sin cos A B B A C A +=，则sin()2sin cos A B C A +=，即sin 2sin cos C C A =，而sin 0C >，因此1cos 2A =，而0πA <<，所以π3A =.故选：C9.已知函数()()π2sin 03⎛⎫=+> ⎪⎝⎭f x x ωω，则“()f x 在π0,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦上既不是增函数也不是减函数”是“1ω>”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】【分析】以π3x ω+为整体结合正弦函数的性质可得12ω>，进而根据充分、必要条件分析判断.【详解】因为π0,3x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦且0ω>，则ππππ,3333x ωω⎡⎤+∈+⎢⎥⎣⎦，若()f x 在π0,3⎡⎤⎢⎣⎦上既不是增函数也不是减函数，则2πππ33ω+>，解得12ω>，又因为()1,+∞1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，所以“()f x 在π0,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦上既不是增函数也不是减函数”是“1ω>”的必要不充分条件.故选：B.10.如图，正方形ABCD 的边长为2，P 为正方形ABCD 四条边上的一个动点，则PA PB ⋅的取值范围是（）A.[]1,2-B.[]0,2 C.[]0,4 D.[]1,4-【答案】D 【解析】【分析】建立平面直角坐标系，分点P 在CD 上，点P 在BC 上，点P 在AB 上，点P 在AD 上，利用数量积的坐标运算求解.【详解】解：建立如图所示平面直角坐标系：则()()0,2,2,2A B ，当点P 在CD 上时，设()(),002Px x ≤≤，则()(),2,2,2PA x PB x =-=--，所以()()224133,4PA PB x x x ⎡⎤⋅=-+=-+∈⎣⎦ ；当点P 在BC 上时，设()()2,02P yy ≤≤，则()()2,2,0,2PA y PB y =-=-，所以()220,4PA PB y ⎡⎤⋅=-∈⎣⎦ ；当点P 在AB 上时，设()(),202Px x ≤≤，则()(),0,2,0PA x PB x ==-，所以()()22111,0PA PB x x x ⎡⎤⋅=-=--∈-⎣⎦ ；当点P 在AD 上时，设()()0,02P y y ≤≤，则()()0,2,2,2PA y PB y=-=--，所以()220,4PA PB y ⎡⎤⋅=-∈⎣⎦ ；综上：PA PB ⋅的取值范围是[]1,4-.故选：D二､填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）11.已知圆的半径为2，则60 的圆心角的弧度数为__________；所对的弧长为__________.【答案】①.π3##1π3②.2π3##2π3【解析】【分析】利用度与弧度的互化关系，弧长计算公式求解即可.【详解】60 的圆心角的弧度数为ππ601803⨯=；所对的弧长为π2π233⨯=.故答案为：π3；2π312.已知向量()2,3a =- ，(),6b x =- .若//a b ，则a =r __________，x =__________.【答案】①.②.4【解析】【分析】利用坐标法求出向量的模，再根据向量共线的坐标表示求出x .【详解】因为向量()2,3a =- ，所以a == ，又(),6b x =- 且//a b ，所以()326x =-⨯-，解得4x =.；4.13.若函数()sin f x A x x =的一个零点为π3，则A =__________；将函数()f x 的图象向左至少平移__________个单位，得到函数2sin y x =的图象.【答案】①.1②.π3##1π3【解析】【分析】利用零点的意义求出A ；利用辅助角公式化简函数()f x ，再借助平移变换求解即得.【详解】函数()sin f x A x x =的一个零点为π3，得ππsin 033A =，解得1A =；则π()sin 2sin()3f x x x x =-=-，显然πππ(2sin[()]2sin 333f x x x +=+-=，所以()f x 的图象向左至少平移π3个单位，得到函数2sin y x =的图象.故答案为：1；π314.设平面向量,,a b c 为非零向量，且(1,0)a = .能够说明“若a b a c ⋅=⋅ ，则b c = ”是假命题的一组向量,b c的坐标依次为__________.【答案】(0,1),(0,1)-（答案不唯一）【解析】【分析】令向量,b c 与向量a 都垂直，且b c ≠即可得解.【详解】令(0,1),(0,1)b c ==- ，显然0a b a c ⋅==⋅，而b c ≠ ，因此(0,1),(0,1)b c ==- 能说明“若a b a c ⋅=⋅ ，则b c = ”是假命题，所以向量,b c的坐标依次为(0,1),(0,1)-.故答案为：(0,1),(0,1)-15.已知函数()2cosπ1xf x x =+，给出下列四个结论：①函数()f x 是奇函数；②函数()f x 有无数个零点；③函数()f x 的最大值为1；④函数()f x 没有最小值.其中，所有正确结论的序号为__________.【答案】②③【解析】【分析】根据偶函数的定义判断①，令()0f x =求出函数的零点，即可判断②，求出函数的最大值即可判断③，根据函数值的特征判断④.【详解】函数()2cosπ1xf x x =+的定义域为R ，又22cos(π)cos π()()()11x x f x f x x x --===-++，所以()2cosπ1xf x x =+为偶函数，故①错误；令2cos ππ1()0cos π0ππ(Z)(Z)122x f x x x k k x k k x ==⇒=⇒=+∈⇒=+∈+，所以函数()f x 有无数个零点，故②正确；因为cos π1x ≤，当ππ(Z)x k k =∈，即(Z)x k k =∈时取等号，又因为211x +≥，当且仅当0x =时取等号，所以有21011x <≤+，当且仅当0x =时取等号，所以有2cos π11x x ≤+，当且仅当0x =时取等号，因此有()2cos π11xf x x =≤+，即()()max 01f x f ==，故③正确；因为()2cosπ1xf x x =+为偶函数，函数图象关于y 轴对称，只需研究函数在()0,∞+上的情况即可，当x →+∞时2101x →+，又1cosπ1x -≤≤，所以当x →+∞时()0f x →，又()()max 01f x f ==，当102x <<时cos π0x >，210x +>，所以()0f x >，当1322x <<时1cos π0x -≤<，210x +>，所以()0f x <，当1x >时212x +>，0cos π1x ≤≤，所以()12f x <，又()112f =-，102f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，302f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，且()f x 为连续函数，所以()f x 存在最小值，事实上()f x 的图象如下所示：由图可知()f x 存在最小值，故④错误.故答案为：②③三､解答题（本大题共6小题，共85分）16.在平面直角坐标系xOy 中，角θ以Ox 为始边，终边经过点()1,2--.（1）求tan θ，tan2θ的值；（2）求πsin ,cos ,cos 4θθθ⎛⎫+⎪⎝⎭的值.【答案】（1）tan 2θ=，4tan 23θ=-（2）sin 5θ-=，cos 5θ=，π10cos 410θ⎛⎫+=⎪⎝⎭【解析】【分析】（1）由三角函数的定义求出tan θ，再由二倍角正切公式求出tan 2θ；（2）由三角函数的定义求出sin θ，cos θ，再由两角和的余弦公式计算可得.【小问1详解】因为角θ以Ox 为始边，终边经过点()1,2--，所以2tan 21θ-==-，则222tan 224tan 21tan 123θθθ⨯===---.【小问2详解】因为角θ以Ox 为始边，终边经过点()1,2--，所以sin 5θ-==，cos 5θ==，所以πππcos cos cos sin sin 444θθθ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭2520555210221⎛⎫- =⨯-⨯=⎪ ⎪⎝⎭.17.已知平面向量,,2,3,a b a b a == 与b的夹角为60 ，（1）求22,,a b a b ⋅；（2）求(2)(3)a b a b -⋅+的值：（3）当x 为何值时，xa b -与3a b +rr 垂直.【答案】（1）4，9，3；（2）4-；（3）3013x =.【解析】【分析】（1）利用数量积的定义计算即得.（2）利用数量积的运算律计算即得.（3）利用垂直关系的向量表示，数量积的运算律求解即得.【小问1详解】向量,,2,3,a b a b a == 与b 的夹角为60 ，所以2222|4,|9,3||||c |os 0|6a a b b a b a b ===⋅=== .【小问2详解】依题意，2222(2)(3)2352233534a b a b a b a b -⋅+=-+⋅=⨯-⨯+⨯=- .【小问3详解】由()(3)0xa b a b -⋅+= ，得223(31)4273(31)13300xa b x a b x x x -+-⋅=-+-=-= ，解得3013x =，所以当3013x =时，xa b - 与3a b +r r 垂直.18.已知函数()sin2cos2f x x x =+.（1）求(0)f ；（2）求函数()f x 的最小正周期及对称轴方程；（3）求函数()f x 的单调递增区间.【答案】（1）1；（2）π，ππ,Z 82k x k =+∈；（3）()3πππ,πZ 88k k k ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦.【解析】【分析】（1）代入计算求出函数值.（2）（3）利用辅助角公式化简函数()f x ，再结合正弦函数的图象与性质求解即得.【小问1详解】函数()sin2cos2f x x x =+，所以(0)sin0cos01f =+=.【小问2详解】函数π())4f x x =+，所以函数()f x 的最小正周期2ππ2T ==；由ππ2π,Z 42x k k +=+∈，解得ππ,Z 82k x k =+∈，所以函数()f x 图象的对称轴方程为ππ,Z 82k x k =+∈.【小问3详解】由πππ2π22π,Z 242k x k k -+≤+≤+∈，得3ππππ,Z 88k x k k -+≤≤+∈，所以函数()f x 的单调递增区间是()3πππ,πZ 88k k k ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦.19.在△ABC 中，7a =，8b =，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知．（1）求A ∠；（2）求ABC 的面积．条件①：3c =；条件②：1cos 7B =-．注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．【答案】（1）选①②答案相同，3A π∠=；（2）选①②答案相同，ABC 的面积为【解析】【分析】（1）选①，用余弦定理得到cos A ，从而得到答案；选②：先用余弦定理求出3c =，再用余弦定理求出cos A ，得到答案；（2）选①，先求出sin 2A =，使用面积公式即可；选②：先用sin sin()C A B =+求出sin C ，再使用面积公式即可.【小问1详解】选条件①：3c =．在△ABC 中，因为7a =，8b =，3c =，由余弦定理，得222cos 2b c a A bc+-=64949283+-=⨯⨯12=．因为()0,πA ∈，所以π3A ∠=；选条件②：1cos 7B =-由余弦定理得：222249641cos 2147a cbc B ac c +-+-===-，解得：3c =或5-（舍去）由余弦定理，得222cos 2b c a A bc+-=64949283+-=⨯⨯12=．因为()0,πA ∈，所以π3A ∠=；【小问2详解】选条件①：3c =由（1）可得sin 2A =．所以ABC 的面积11sin 8322S bc A ==⨯⨯=选条件②：1cos 7B =-．由（1）可得1cos 2A =．因为sin sin[()]C A B =π-+sin()A B =+sin cos cos sin A B A B=+11()72=-+⨯3314=，所以ABC 的面积11sin 7822S ab C ==⨯⨯=．．20.已知函数()2π2cos cos 213f x x x ⎛⎫=+-- ⎪⎝⎭.（1）求π6f ⎛⎫ ⎪⎝⎭的值；（2）求函数()f x 的在[]0,π上单调递减区间；（3）若函数()f x 在区间[]0,m 上有且只有两个零点，求m 的取值范围.【答案】（1）32（2）π7π,1212⎡⎤⎢⎥⎣⎦（3）3564π,π⎡⎫⎪⎢⎣⎭【解析】【分析】（1）利用二倍角公式及和差角公式化简函数解析式，再代入计算可得；（2）由x 的取值范围求出π23x +的范围，再根据正弦函数的性质得到ππ3π2232x ≤+≤，解得即可；（3）由x 的取值范围求出π23x +的范围，再根据正弦函数的性质得到不等式组，解得即可.【小问1详解】因为()2π2cos cos 213f x x x ⎛⎫=+-- ⎪⎝⎭ππcos2cos2cossin 2sin 33x x x =++3cos2sin 222x x =+1cos2sin 222x x ⎫=+⎪⎪⎭π23x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，所以πππ2π3266332f ⎛⎫⎛⎫=⨯+== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.【小问2详解】当[]0,πx ∈时ππ7π2,333x ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，令ππ3π2232x ≤+≤，解得π7π1212x ≤≤，所以函数()f x 的在[]0,π上的单调递减区间为π7π,1212⎡⎤⎢⎥⎣⎦.【小问3详解】当[]0,x m ∈时，πππ2,2333x m ⎡⎤+∈+⎢⎥⎣⎦，又函数()f x 在区间[]0,m 上有且只有两个零点，所以π2π23π3m ≤<+，解得5π4π63m ≤<，即m 的取值范围为3564π,π⎡⎫⎪⎢⎣⎭.21.某地进行老旧小区改造，有半径为60米，圆心角为π3的一块扇形空置地（如图），现欲从中规划出一块三角形绿地PQR ，其中P 在 BC 上，PQ AB ⊥，垂足为Q ，PR AC ⊥，垂足为R ，设π0,3PAB α⎛⎫∠=∈ ⎪⎝⎭；（1）求PQ ，PR （用α表示）；（2）当P 在BC 上运动时，这块三角形绿地的最大面积，以及取到最大面积时α的值.【答案】（1）60sin PQ α=，π60sin 3PR α⎛⎫=- ⎪⎝⎭（2）三角形绿地的最大面积是平方米，此时π6α=【解析】【分析】（1）利用锐角三角函数表示出PQ 、PR ；（2）依题意可得2π3QPR ∠=，则1sin 2PQR S PQ PR QPR =⋅⋅⋅∠ ，利用三角恒等变换公式化简，再结合正弦函数的性质求出最大值.【小问1详解】在Rt PAQ 中，π0,3PAB ∠α⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭，60AP =，∴sin 60sin PQ AP αα==（米），又π3BAC ∠=，所以π3PAR α∠=-，在Rt PAR 中，可得πsin 60sin 3PR PAR AP α⎛⎫==-⎪⎝⎭∠（米）.【小问2详解】由题可知2π3QPR ∠=，∴PQR 的面积1sin 2PQR S PQ PR QPR =⋅⋅⋅∠1π2π60sin 60sin sin 233αα⎛⎫=⨯⨯-⨯ ⎪⎝⎭πsin3αα⎛⎫=- ⎪⎝⎭ππsin cos cos sin 33ααα⎛⎫=- ⎪⎝⎭112cos 222αα⎫=+-⎪⎪⎭π1sin 262α⎡⎤⎛⎫=+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，又π0,3α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，526πππ,66α⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，∴当ππ262α+=，即π6α=时，PQR 的面积有最大值即三角形绿地的最大面积是π6α=.。
2022北京北师大附中高二(下)期中数学试卷及答案
令 解得： ，
所以展开式的常数项为： .
故选：C.
2022北京北师大附中高二（下）期中
数学
一、选择题（每小题4分，共40分，每题均只有一个正确答案）
1.若函数 ，则 =（）
A.- B. C.1D.0
2. 的展开式中，常数项是（）
A.1B.4C.6D.12
3.某高中政治组准备组织学生进行一场辩论赛，需要从6位老师中选出3位组成评审委员会，则组成该评审委员会不同方式的种数为（）
18.已知函数
（1）求 单调区间；
（2）若 在 处取得极值.
（i）求k；
（ii） 是否存在最值？说明理由.
19.某学校随机抽取部分学生调查其上学ห้องสมุดไป่ตู้需时间（单位：分钟），并将所得数据绘制成频率分布直方图（如图），其中，上学所需时间的范围是［0，100］，样本数据分组为［0，20），［20，40），［40，60），［60，80），［80，100］.
（1）已知｛an｝是项数为4的数列：1，4，6，9.则
（i）｛an｝的“分隔数列”可以为________.
①2，5，8，10②0，5，8③1，7，5
（ii）设｛cn｝是｛an｝的项数为3的“分隔数列”，且｛cn｝各项均为整数，则所有满足条件的｛cn｝的个数为_________.
（2）已知｛an｝为递增的无穷等比数列，a1＝1，Tn是｛an｝的前n项和，若数列｛Tn｝是｛an｝的分隔数列，求｛an｝的公比q的取值范围：
14.已知曲线y＝ 存在两条互相平行的切线，请写出一个满足条件的函数：_______.
15.函数 （其中 ， 为自然常数）
① ，使得直线 为曲线 的一条切线；
2023-2024学年北京北师大附中高三(上)期中数学试题和答案
2023北京北师大附中高三（上）期中数 学一、单选题（共10小题；共40分）1．已知集合A＝{x|﹣2≤x≤3}，B＝{x|x＞0}，则A∪B＝（ ）A．[﹣2，3]B．[0，3]C．（0，+∞）D．[﹣2，+∞）2．复数的共轭复数＝（ ）A．1﹣i B．1+i C．D．3．已知向量＝（m，1），＝（﹣1，2）．若∥，则m＝（ ）A．2B．1C．﹣1D．﹣4．下列函数中，是奇函数且在定义域内单调递减的是（ ）A．f（x）＝sin x B．f（x）＝2|x|C．f（x）＝x3+x D．5．记cos（﹣80°）＝k，那么tan100°＝（ ）A．B．﹣C．D．﹣6．已知两点A（﹣2，0），B（0，2），点C是圆x2+y2﹣4x+4y+6＝0上任意一点，则△ABC面积的最小值是（ ）A．8B．6C．D．47．函数f（x）＝cos（ωx+φ）的部分图象如图所示，则f（x）的单调递减区间为（ ）A．（kπ﹣，kπ），k∈ZB．（2kπ﹣，2kπ），k∈ZC．（2k﹣，2k），k∈ZD．（k﹣，k），k∈Z8．若x＞0，y＞0，则“”的一个充分不必要条件是（ ）A．x＝y B．x＝2y C．x＝2，且y＝1D．x＝y或y＝19．已知函数，f′（x）是f（x）的导函数，则下列结论正确的是（ ）A．f（﹣x）﹣f（x）＝0B．f′（x）＜0C．若0＜x1＜x2，则x1f（x2）＞x2f（x1）D．若0＜x1＜x2，则f（x1）+f（x2）＞f（x1+x2）10．设数列{a n}的前n项和为S n，若对任意的正整数n，总存在正整数m．使得S n＝a m，下列正确命题的个数是（ ）①{a n}可能为等差数列；②{a n}可能为等比数列；③a i（i≥2）均能写成{a n}的两项之差；④对任意n∈N，n≥1，总存在m∈N，m≥1，使得a n＝S m．A．0B．1C．2D．3二、填空题（共5小题：共25分）11．（5分）函数的定义域是 ．12．（5分）已知＝，＝．若||＝5，||＝12，且∠AOB＝90°，则|﹣|＝ ．13．（5分）能够说明“e x＞x+1恒成立”是假命题的一个x的值为 ．14．（5分）《九章算术》是中国古代张苍、耿寿昌所抓写的一部数学专著，被誉为人类科学史上应用数学的最早期峰．全书分为九章，卷第六“均输”有一问题：“今有竹九节，下三节容量四升，上四节容量三升，问中间二节欲均容各多少？”其意思为：“今有竹9节，下3节容量4升，上4节容量3升，且竹节容积从下到上均匀变化，每节容量是多少？”这一问题中，从下部算起第5节容量是 升（结果保留分数），15．（5分）设a＞0，函数给出下列四个结论：①f（x）在区间（a﹣1，+∞）上单调递减；②当a≥1时，f（x）存在最大值；③设M（x1，f（x1））（x1≤a），N（x2，f（x2））（x2＞a），则|MN|＞1；④设P（x3，f（x3））（x3＜﹣a），Q（x4，f（x4））（x4≥﹣a）．若|PQ|存在最小值，则a的取值范围是．其中所有正确结论的序号是 ．三、解答题（共6小题：共85分）16．（14分）在△ABC中，．（1）求A；（2）若，从下列三个条件中选出一个条件作为已知，使得△ABC存在且唯一确定，求△ABC的面积．条件①：；条件②：a＝2；条件③：．17．（14分）已知以点A（﹣1，2）为圆心的圆与直线l1：x+2y+7＝0相切，过点B（﹣2，0）的动直线l与圆A相交于M，N两点．（1）求圆A的方程；（2）当MN＝2时，求直线l的方程．18．（14分）某校设计了一个实验学科的实验考查方案；考生从6道备选题中一次性随机抽取3题，按照题目要求独立完成全部实验操作，规定：至少正确完成其中2题便可通过．已知6道备选题中考生甲有4题能正确完成，2题不能完成；考生乙每题正确完成的概率都是，且每题正确完成与否互不影响，求：（1）分别写出甲、乙两考生正确完成题数的概率分布列，并计算数学期望；（2）试用统计知识分析比较两考生的实验操作能力．19．（14分）小王大学毕业后，决定利用所学专业进行自主创业．经过市场调查，生产某小型电子产品需投入年固定成本为3万元，每生产x万件，需另投入流动成本为W（x）万元，在年产量不足8万件时，（万元）．在年产量不小于8万件时，（万元）．每件产品售价为5元．通过市场分析，小王生产的商品能当年全部售完．（Ⅰ）写出年利润L（x）（万元）关于年产量x（万件）的函数解析式；（注：年利润＝年销售收入﹣固定成本﹣流动成本）（Ⅱ）年产量为多少万件时，小王在这一商品的生产中所获利润最大？最大利润是多少？20．（14分）已知函数f（x）＝x﹣alnx，g（x）＝﹣（a＞0）．（Ⅰ）若a＝1，求函数f（x）的极值；（Ⅱ）设函数h（x）＝f（x）﹣g（x），求函数h（x）的单调区间；（Ⅲ）若存在x0∈[1，e]，使得f（x0）＜g（x0）成立，求a的取值范围．21．（15分）已知{a n}为无穷递增数列，且对于给定的正整数k，总存在i，j．使得a i≤k，a j≤k，其中i≤j．令b k为满足a i≤k的所有i中的最大值，c k为满足a j≥k的所有j中的最小值．（1）若无穷递增数列{a n}的前四项是1，2，3，5，求b4和c4的值；（2）若{a n}是无穷等比数列，a1＝1，公比q为大于1的整数，b3＜b4＝b5，c3＝c4，求q的值；（3）若{a n}是无穷等差数列，a1＝1，公差为，其中m为常数，且m＞1，m∈N*，求证：b1，b2，⋯，b k，⋯和c1，c2，⋯，c k，⋯都是等差数列，并写出这两个数列的通项公式．参考答案一、单选题（共10小题；共40分）1．【分析】根据并集的定义解答即可．【解答】解：∵A＝{x|﹣2≤x≤3}，B＝{x|x＞0}，∴A∪B＝{x|﹣2≤x}＝[﹣2，+∞），故选：D．【点评】本题考查了并集运算，熟练掌握并集的定义是解题的关键．2．【分析】根据已知条件，结合共轭复数的概念，以及复数代数形式的乘除法运算，即可求解．【解答】解：∵＝，∴．故选：B．【点评】本题考查了共轭复数的概念，以及复数代数形式的乘除法运算，需要学生熟练掌握公式，属于基础题．3．【分析】根据已知条件，结合向量共线的性质，即可求解．【解答】解：向量＝（m，1），＝（﹣1，2），∥，则2m＝1×（﹣1），解得m＝﹣．故选：D．【点评】本题主要考查向量共线的性质，属于基础题．4．【分析】利用定义判断函数的奇偶性，利用图象和函数的性质判断单调性即可．【解答】解：A项，f（﹣x）＝﹣f（x），则f（x）是奇函数，f（x）在定义域内没有单调性，不符合；B项，f（﹣x）＝f（x），则f（x）是偶函数，不符合；C项，f（﹣x）＝（﹣x）3+（﹣x）＝﹣（x3+x）＝﹣f（x），则f（x）是奇函数，f'（x）＝3x2+1＞0，则f（x）＝x3+x在R上单调增，不符合；D项，f（﹣x）＝﹣f（x），则f（x）是奇函数，y＝e﹣x在R上单调减，y＝e x在R上单调增，则函数f（x）在定义域上单调减，符合．故选：D．【点评】本题考查函数的奇偶性，单调性，属于基础题．5．【分析】法一：先求sin80°，然后化切为弦，求解即可．法二：先利用诱导公式化切为弦，求出结果．【解答】解：法一：，所以tan100°＝﹣tan80°＝．法二：cos（﹣80°）＝k⇒cos（80°）＝k，＝．故选：B．【点评】本小题主要考查诱导公式、同角三角函数关系式等三角函数知识，并突出了弦切互化这一转化思想的应用．6．【分析】由题意可得AB＝，要求△ABC的面积的最小值，只要求C到直线AB距离d的最小值，把圆的方程化为标准方程，求出圆心和半径，判断直线和圆的位置关系是相离，求出圆心到直线的距离，点C到直线AB距离的最小值是圆心到直线的距离减去圆的半径．【解答】解：圆x2+y2﹣4x+4y+6＝0 即（x﹣2）2+（y+2）2＝2，∴圆心（2，﹣2），半径是r＝．直线AB的方程为x﹣y+2＝0，圆心到直线AB的距离为＝3 ，直线AB和圆相离，点C到直线AB距离的最小值是 3 ﹣r＝3 ﹣＝2 ，△ABC的面积的最小值为＝4故选：D．【点评】本题考查圆的标准方程，圆和直线的位置关系，点到直线的距离公式的应用．7．【分析】由图象可得函数正确，进一步求出离y轴最近的两对称轴的横坐标，数形结合可得f（x）的单调递减区间．【解答】解：由图可知，，则T＝2，∴y轴左侧第一个最高点的横坐标为，y轴右侧第一个最底点的横坐标为．∴f（x）的单调递减区间为（2k﹣，2k），k∈Z．故选：C．【点评】本题考查由y＝A sin（ωx+φ）型的部分图象求函数解析式，考查三角函数的性质，是基础题．8．【分析】根据充分必要条件的定义以及不等式的性质求出答案即可．【解答】解：∵x＞0，y＞0，∴x+2y≥2，当且仅当x＝2y时取等号，故“x＝2且y＝1”是“x+2y＝2”的充分不必要条件，故选：C．【点评】本题考查了充分必要条件，考查不等式的性质，是一道基础题．9．【分析】根据函数的奇偶性概念判断A，根据导函数值域判断B，利用特例法排除选项C，利用指数运算及指数函数的单调性结合不等式的性质即可判断D．【解答】解：对于选项A，易知x∈R，，∴，∴f（﹣x）＝﹣f（x），故A选项错误；对于选项B，∵，∴，由ln2＞0知f′（x）＞0，故B选项错误；对于选项C，，，虽然0＜1＜2，但是1×f（2）＜2×f（1），故对0＜x1＜x2，x1f（x2）＞x2f（x1）不恒成立，故C选项错误；对于选项D，函数，则，，∵x2＞x1＞0，∴，∴，∴，∴，即，∴，∴，又，∴，∴，即，∴f（x1）+f（x2）＞f（x1+x2），故D选项正确．故选：D．【点评】本题主要考查利用导数的运算，函数的单调性，考查逻辑推理能力，属于中档题．10．【分析】根据题设条件，逐项判断即可：取a n＝0，则S n＝0，满足题设，即可判断①；对q是否等于1进行讨论，结合有理数性质即可判断②；对任意的正整数n，总存在正整数m，使得S n＝a m，则存在正整数P使得S n﹣1＝a p，即可判断③；取数列a n＝2﹣n，当n≥3时，由于n，3﹣n必有一个为偶数，则S n是非正整数，一定等于{a n}中某一项，但a3＝﹣1，不是{S n}中的项，从而可以判断④．【解答】解：对于①：取a n＝0，则S n＝0，满足题设，故①正确；对于②：假设存在，a1＝a，公比为q，若q＝1，a n＝a，a n＝an，当n≥2时，不存在正整数m，使得S n＝a m，若q≠1，，，要使S n＝a m，则需即1＝q n+q m﹣1﹣q m，q 为有理数．由于q≠1，我们有：1+q+…+q n﹣1＝q m﹣1，由高次方程有理数根的判别法，此方程无有理数根．故②错误；对于③：由题意，对任意的正整数n，总存在正整数m，使得S n＝a m，则存在正整数P使得S n﹣1＝a p（n≥2），则a n＝S n﹣S n﹣1＝a m﹣a p（n≥2），故③正确．对于④：令a n＝2﹣n，则，S1＝S2＝1＝a1，当n≥3时，由于n，3﹣n必有一个为偶数，则S n是非正整数，一定等于{a n}中某一项．但a3＝﹣1，不是{S n} 中的项，故④错误．故选：C．【点评】本题以命题的真假判断为载体，考查了等差，等比数列的基本概念，推论，属于难题．二、填空题（共5小题：共25分）11．【分析】根据开偶次方根被开方数大于等于0，对数函数的真数大于0，列出不等式求出定义域．【解答】解：根据题意可得，，解得0≤x＜1．故答案为：[0，1）．【点评】本题考查求函数的定义域的求法，属于基础题．12．【分析】由已知可得，再由求解．【解答】解：已知＝，＝，∠AOB＝90°，∴，又||＝5，||＝12，即，∴||＝＝．故答案为：13．【点评】本题考查平面向量数量积的性质及运算，考查两向量垂直与数量积的关系，是基础题．13．【分析】利用反例判断命题的真假即可．【解答】解：当x＝0时，e x＞x+1，不成立，故答案为：0．【点评】本题考查命题的真假的判断与应用，是基本知识的考查．14．【分析】根据题意，设从下部算起，第n节的容量为a n，易得数列{a n}为等差数列，结合等差数列的通项公式求出a1和d，进而计算可得答案．【解答】解：根据题意，设从下部算起，第n节的容量为a n，易得数列{a n}为等差数列，则a1+a2+a3＝3a1+3d＝4，a6+a7+a8+a9＝4a1+26d＝3，解得a1＝，d＝﹣，则a5＝a1+4d＝．故答案为：．【点评】本题考查数列的应用，涉及等差数列的通项公式的应用，属于基础题．15．【分析】先分析f（x）的图像，再逐一分析各结论；对于①，取，结合图像即可判断；对于②，分段讨论f（x）的取值范围，从而得以判断；对于③，结合图像可知|MN|的范围；对于④，取，结合图像可知此时|PQ|存在最小值，从而得以判断．【解答】解：依题意，a＞0，当x＜﹣a时，f（x）＝x+2，易知其图像为一条端点取不到的单调递增的射线；当﹣a≤x≤a时，，易知其图像是，圆心为（0，0），半径为a的圆在x轴上方的图像（即半圆）；当x＞a时，，易知其图像是一条端点取不到的单调递减的曲线；对于①，取，则f（x）的图像如下，显然，当x∈（a﹣1，+∞），即时，f（x）在上单调递增，故①错误；对于②，当a≥1时，当x＜﹣a时，f（x）＝x+2＜﹣a+2≤1；当﹣a≤x≤a时，显然取得最大值a；当x＞a时，，综上：f（x）取得最大值a，故②正确；对于③，结合图像，易知在x1＝a，x2＞a且接近于x＝a处，M（x1，f（x1））（x1≤a），N（x2，f（x2））（x2＞a）的距离最小，当x 1＝a时，y＝f（x1）＝0，当x2＞a且接近于x＝a处，，此时，，故③正确；对于④，取，则f（x）的图像如下，因为P（x3，f（x3））（x3＜﹣a），Q（x4，f（x4））（x4≥﹣a），结合图像可知，要使|PQ|取得最小值，则点P在上，点Q在，同时|PQ|的最小值为点O到的距离减去半圆的半径a，此时，因为的斜率为1，则k OP＝﹣1，故直线OP的方程为y＝﹣x，联立，解得，则P（﹣1，1），显然P（﹣1，1）在上，满足|PQ|取得最小值，即也满足|PQ|存在最小值，故a的取值范围不仅仅是，故④错误．故答案为：②③．【点评】本题考查函数f（x）的图像，特别是当﹣a≤x≤a时，的图像为半圆；考查分析问题解决问题的能力，是中档题．三、解答题（共6小题：共85分）16．【分析】（1）根据已知条件，利用正弦定理即可得解；（2）选择①，先求得sin C，进而可得sin B，由此求得a，再由三角形的面积公式即可得解；选择②，先求得sin B，判断△ABC为等腰直角三角形，进而得解；选择③，求得a，再由余弦定理可知此时△ABC不唯一．【解答】解：（1）因为2a sin B＝b，则由正弦定理可得，，又因为sin B≠0，所以，又因为A为△ABC的内角，所以或；（2）若选择①：因为cos C＝﹣，且C∈[0，π]，所以，所以，又因为b＝2，2a sin B＝b，所以，所以；若选择②：因为b＝2，2a sin B＝b，a＝2，所以，则，所以，则△ABC为等腰直角三角形，所以；若选择③：因为b＝2，2a sin B＝b，sin B＝，所以，由余弦定理可得，a2＝b2+c2﹣2bc cos A，当时，，即c2﹣4c﹣12＝0，解得c＝6；当时，，即c2+4c﹣12＝0，解得c＝2；此时△ABC不唯一，不合题意．【点评】本题考查利用正余弦定理和三角形的面积公式解三角形，属于中档题．17．【分析】（1）利用圆心到直线的距离公式求圆的半径，从而求解圆的方程；（2）根据相交弦长公式，求出圆心到直线的距离，设出直线方程，再根据点到直线的距离公式确定直线方程．【解答】解：（1）易知A（﹣1，2）到直线x+2y+7＝0的距离为圆A半径r，∴，∴圆A方程为（x+1）2+（y﹣2）2＝20（5分）（2）垂径定理可知∠MQA＝90°．且，在Rt△AMQ中由勾股定理易知设动直线l方程为：y＝k（x+2）或x＝﹣2，显然x＝﹣2合题意．由A（﹣1，2）到l距离为1知．∴3x﹣4y+6＝0或x＝﹣2为所求l方程．（7分）【点评】本题考查圆的标准方程及直线与圆的相交弦长问题，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．18．【分析】（1）由题意可知，甲、乙两位考生正确完成实验操作的题数分别服从超几何和二项分布，分别列出分布列，计算均值即可；（2）结合分布列中的数据，分别计算对应的均值、方差及至少正确完成2题的概率比较即可．【解答】解：（1）设考生甲正确完成实验操作的题数为ξ，则ξ的可能取值是1，2，3，，，，所以ξ的分布列为：ξ123P则；设考生乙正确完成实验操作的题数为η，易知，所以，，，，所以η的分布列为：η0123P所以．（2）由（1），知E（ξ）＝E（η）＝2，，，，，所以D（ξ）＜D（η），P（ξ≥2）＞P（η≥2），故从正确完成实验操作的题数的均值方面分析，两人水平相当；从正确完成实验操作的题数的方差方面分析，甲的水平更稳定；从至少正确完成2题的概率方面分析，甲通过的可能性更大．因此甲的实验操作能力较强．【点评】本题考查离散型随机变量的分布列和期望，是中档题．19．【分析】（I）根据年利润＝销售额﹣投入的总成本﹣固定成本，分0＜x＜8和当x≥8两种情况得到L与x的分段函数关系式；（II）当0＜x＜8时根据二次函数求最大值的方法来求L的最大值，当x≥8时，利用基本不等式来求L 的最大值，最后综合即可．【解答】解：（I）因为每件产品售价为5元，则x（万件）商品销售收入为5x万元，依题意得：当0＜x＜8时，L（x）＝5x﹣（）﹣3＝﹣x2+4x﹣3，当x≥8时，L（x）＝5x﹣（6x+﹣38）﹣3＝35﹣（x+），∴L（x）＝．（II）当0＜x＜8时，L（x）＝﹣（x﹣6）2+9，此时，当x＝6时，L（x）取得最大值9；当x≥8时，L（x）＝35﹣（x+）≤35﹣2＝15，此时，当x＝即x＝10时，L（x）取得最大值15；∵9＜15，∴年产量为10万件时，小王在这一商品的生产中所获利润最大，最大利润是15万元．【点评】考查学生根据实际问题选择合适的函数类型的能力，以及运用基本不等式求最值的能力．20．【分析】（Ⅰ）求出导数，求得单调区间，进而得到极小值；（Ⅱ）求出h（x）的导数，注意分解因式，结合a＞0，即可求得单调区间；（III）若在[1，e]上存在一点x0，使得f（x0）＜g（x0）成立，即在[1，e]上存在一点x0，使得h（x0）＜0．即h（x）在[1，e]上的最小值小于零．对a讨论，①当1+a≥e，②当1＜1+a＜e，求得单调区间和最小值即可．【解答】解：（Ⅰ）f（x）＝x﹣alnx的定义域为（0，+∞）．当a＝1时，f′（x）＝．由f′（x）＝0，解得x＝1．当0＜x＜1时，f′（x）＜0，f（x）单调递减；当x＞1时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，所以当x＝1时，函数f（x）取得极小值，极小值为f（1）＝1﹣ln1＝1；（Ⅱ）h（x）＝f（x）﹣g（x）＝x﹣alnx+，其定义域为（0，+∞）．又h′（x）＝＝．由a＞0可得1+a＞0，在0＜x＜1+a上，h′（x）＜0，在x＞1+a上，h′（x）＞0，所以h（x）的递减区间为（0，1+a）；递增区间为（1+a，+∞）．（III）若在[1，e]上存在一点x0，使得f（x0）＜g（x0）成立，即在[1，e]上存在一点x0，使得h（x0）＜0．即h（x）在[1，e]上的最小值小于零．①当1+a≥e，即a≥e﹣1时，由（II）可知h（x）在[1，e]上单调递减．故h（x）在[1，e]上的最小值为h（e），由h（e）＝e+﹣a＜0，可得a＞．因为＞e﹣1．所以a＞．②当1＜1+a＜e，即0＜a＜e﹣1时，由（II）可知h（x）在（1，1+a）上单调递减，在（1+a，e）上单调递增．h（x）在[1，e]上最小值为h（1+a）＝2+a﹣aln（1+a）．因为0＜ln（1+a）＜1，所以0＜aln（1+a）＜a．则2+a﹣aln（1+a）＞2，即h（1+a）＞2不满足题意，舍去．综上所述：a∈（，+∞）．【点评】本题考查导数的运用：求单调区间和极值、最值，同时考查不等式成立的问题转化为求函数的最值，运用分类讨论的思想方法是解题的关键．21．【分析】（1）根据题意，直接求解即可；（2）由等比数列的通项公式写出{a n}的通项，由题意列式后解指数型方程可得结果；（3）由等差数列的通项公式写出{a n}的通项，用定义法证明等差数列即可．【解答】解：（1）∵a1＝1，a2＝2，a3＝3，a4＝5，又∵a i≤4，a j≥4，∴i≤3且i∈N*，j≥4且j∈N*，∴b4＝3，c4＝4，（2）由题意知，a1＝1，∴，q＞1且q∈Z，∵a i≤3，∴q i﹣1≤3，∴i≤1+log q3，∴b3＝[1+log q3]，q＞1且q∈Z，同理，b4＝[1+log q4]，q＞1且q∈Z，b5＝[1+log q5]，q＞1且q∈Z，又∵b3＜b4＝b5，∴[1+log q3]＜[1+log q4]＝[1+log q5]，即[log q3]＜[log q4]＝[log q5]，q＞1且q∈Z，∵a j≥3，∴q j﹣1≥3，∴j≥1+log q3，∴当时，c3＝1+log q3，当时，c3＝[2+log q3]，同理，当时，c4＝1+log q4，当时，c4＝[2+log q4]，又∵c3＝c4，[log q3]＜[log q4]＝[log q5]，q＞1且q∈Z，∴，，[2+log q3]＝1+log q4，解得q＝2或q＝4．（3）证明：由题意知，，m为常数，且m＞1且m∈N*，∴{a n}为单调递增数列，又∵a i≤1，a j≥1，a1＝1，∴i＝1，j＝1，∴b1＝1，c1＝1，∵a i≤k，a j≥k，∴，，∴i≤mk﹣m+1，j≥mk﹣m+1，m＞1且m∈N*且k∈N*，∴mk﹣m+1∈N*，∴b k＝mk﹣m+1，c k＝mk﹣m+1，∴b k+1＝m（k+1）﹣m+1＝mk+1，c k+1＝m（k+1）﹣m+1＝mk+1，∴b k+1﹣b k＝（mk+1）﹣（mk﹣m+1）＝m，c k+1﹣c k＝（mk+1）﹣（mk﹣m+1）＝m，又∵m为常数，m＞1且m∈N*，∴{b k}为等差数列，{c k}为等差数列，又∵b k＝mk﹣m+1，c k＝mk﹣m+1，∴b n＝mn﹣m+1，c n＝mn﹣m+1．【点评】本题考查了等差数列的定义，数列的应用和数列新定义问题，考查了方程思想和转化思想，属难题．。
北师大版-高中数学高一年级下册期中测试试卷03(含答案在前)
加油！有志者事竟成答卷时应注意事项１、拿到试卷，要认真仔细的先填好自己的考生信息。
２、拿到试卷不要提笔就写，先大致的浏览一遍，有多少大题，每个大题里有几个小题，有什么题型，哪些容易，哪些难，做到心里有底；３、审题，每个题目都要多读几遍，不仅要读大题，还要读小题，不放过每一个字，遇到暂时弄不懂题意的题目，手指点读，多读几遍题目，就能理解题意了；容易混乱的地方也应该多读几遍，比如从小到大，从左到右这样的题；４、每个题目做完了以后，把自己的手从试卷上完全移开，好好的看看有没有被自己的手臂挡住而遗漏的题；试卷第１页和第２页上下衔接的地方一定要注意，仔细看看有没有遗漏的小题；５、中途遇到真的解决不了的难题，注意安排好时间，先把后面会做的做完，再来重新读题，结合平时课堂上所学的知识，解答难题；一定要镇定，不能因此慌了手脚，影响下面的答题；６、卷面要清洁，字迹要清工整，非常重要；７、做完的试卷要检查，这样可以发现刚才可能留下的错误或是可以检查是否有漏题，检查的时候，用手指点读题目，不要管自己的答案，重新分析题意，所有计算题重新计算，判断题重新判断，填空题重新填空，之后把检查的结果与先前做的结果进行对比分析。
亲爱的小朋友，你们好! 经过两个月的学习，你们一定有不小的收获吧，用你的自信和智慧，认真答题，相信你一定会闯关成功。
相信你是最棒的！期中测试 答案解析一、 1.【答案】B【解析】在空间直角坐标系O xyz -中，点()2,1,3A -关于yOz 平面对称的点的坐标是()2,1,3--． 故选：B ．【考点】空间坐标中求对称点的问题 2.【答案】D【解析】设所求直线方程为：20x y C -+= 代入()1,2得：140C -+=，解得：3C =∴所求直线方程为：230x y -+=故选：D ．【考点】根据直线平行关系求解直线方程的问题 3.【答案】C【解析】解：两条平行直线20x y -=与420x y -+=间，即两条平行直线420x y --=与420x y -+=，52=， 故选：C ．【考点】两条平行直线间的距离公式应用 4.【答案】C【解析】连接1AD ，1CD ．因为1111ABCD A B C D -为正方体，所以11AD BC ，则1D AC ∠是异面直线AC 和1BC 所成角．又11AD CD AC ==，可得1ACD △为等边三角形，则160D AC ∠=︒，所以异面直线AC 与1BC 所成角为60°， 故选：C ．【考点】异面直线所成的角 5.【答案】B【解析】设圆锥底面圆的半径为r ，高为h ，如图所示：由题知：12222r ππ=⨯⨯，解得1r =所以h =．故圆锥的体积21133V π=⨯⨯． 故选：B ．【考点】圆锥体积的计算 6.【答案】C【解析】∵在ABC △中，2cos sin sin B A C =，()2cos sin sin sin B A C A B ==+∴，2cos sin sin cos cos sin B A A B A B =+∴， sin cos cos sin 0A B A B -=∴， ()sin 0A B -=∴，A B ππ--∵＜＜， 0A B -=∴，即A B =， ABC ∴△为等腰三角形，故选：C ．【考点】两角和与差的三角函数 7.【答案】D【解析】若a b αβαβ⊂⊂⊥，，，则a ，b 有可能垂直，也有可能平行， 也可能异面但不垂直，也可能相交不垂直，故A 错误，B 也错误； 若a b b α⊥⊥，，则a 有可能在α内，故C 错；由a ααβ，可得a β或a 在β内，又b β⊥所以a b ⊥，故D 正确. 本题选择D 选项．【考点】空间几何体的线面位置关系判定与证明 8.【答案】C10y +-=的斜率=k[)tan 0,180k θθ==∈︒︒∴，120θ︒=∴．故选：C ．【考点】直线的一般式方程，直线的斜率，直线的倾斜角的关系 9.【答案】C【解析】因为912S S =，1290S S -=，所以1011120a a a ++=，即1130a =， 所以1130a =，又10a ＞，即{}n a 为递减等差数列，故1011S S =为最大． 故选：C ．【考点】等差数列的前n 项和n S 的最值问题 10.【答案】B【解析】该几何体是一个正三棱柱和一个三棱锥的组合体，如图所示，故体积131122sin 6022sin 6022232V =⨯⨯⨯︒⨯+⨯⨯⨯⨯︒⨯=． 故选：B ．【考点】三视图找几何体原图，几何体体积的计算 11.【答案】A【解析】正四棱锥P ABCD -的外接球的球心在它的高1PO 上， 记为O ，PO AO R ==，14PO =，14OO R =-，在1Rt AOO △中，1AO = 由勾股定理()2224R R =+-得94R =， ∴球的表面积814S π=，故选A ．【考点】球的体积和表面积 12.【答案】C【解析】因为圆2244100C x y x y +---=：，所以()()222218x y -+-=，因为圆C 上至少有三个不同点到直线:0l x y m -+=的距离为，所以圆心到直线距离不大于-=22m -≤≤∴，选C ．【考点】直线与圆的位置关系 二、13.【答案】350x y +-=【解析】线段BC 的中点()1,2D -．BC 边上的中线所在的直线的方程：()211212y x --=---， 化简为一般式方程：350x y +-=． 故答案为：350x y +-=．【考点】中点坐标公式、点斜式与一般式 14.【答案】132-【解析】记数列{}n a 的前11项和为11S ，因为3a ，9a 是方程224120x x ++=的两根，所以可得3911124a a a a +=+=-，所以()()1111111112413222a a S +⨯-===-．故答案为：132-．【考点】等差数列的性质，等差数列的前n 项和公式 15.【解析】设长方体的棱长为a ，b ，c ，球的半径为r ，根据题意，ab ac bc ⎧=⎪⎪=⎨⎪=⎪⎩，解得222132a cb ⎧=⎪⎪=⎨⎪=⎪⎩，所以r ==，所以外接球的体积为334433V r ππ===⎝⎭．． 【考点】球的组合体问题 16.【答案】1【解析】由圆222210x y x y +--+=可得圆心坐标()1,1，半径r 为1， 所以圆心到直线40x y --=的距离为d r ==，所以直线与圆相离，所以圆上的点到直线的最小距离为1d r -=．故答案为：1．【考点】圆的一般方程化为标准方程，直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式 三、17.【答案】（1）当0a =时，直线110l y +=：与2230l x y -+=：，联立10230y x y +=⎧⎨-+=⎩，解得21x y =-⎧⎨=-⎩，故直线1l 与2l 的交点坐标为()2,1--．（2）因为12l l ，所以()()()1203110a a a a ⎧--=⎪⎨--+≠⎪⎩，即()()221040a a a ⎧-+=⎪⎨-≠⎪⎩解得1a =-．【考点】直线斜率，两直线平行表示斜率相等且截距不同 18.【答案】解：（1）设所求圆的方程是()222x y b r +-=．∵点P 、Q 在所求圆上，依题意有()()22222145162453622r b r b r b ⎧=⎧⎪+-=⎪⎪⇒⎨⎨++=⎪⎪⎩=-⎪⎩．∴所求圆的方程是22514524x y ⎛⎫++= ⎪⎝⎭．（2）∵圆2220x y x y +-+=转化为标准方程为()2215124x y ⎛⎫-++= ⎪⎝⎭，∴其圆心为：1,12⎛⎫- ⎪⎝⎭，2r =设1,12⎛⎫- ⎪⎝⎭关于直线10x y -+=对称点为：(),a b ， 则有11210221112a b b a ⎧+⎪--+=⎪⎪⎨+⎪=-⎪-⎪⎩，232a b =-⎧⎪⇒⎨=⎪⎩．故所求圆的圆心为：32,2⎛⎫- ⎪⎝⎭，半径为2．所以所求圆的方程为：()2235224x y ⎛⎫++-= ⎪⎝⎭．【考点】求圆的方程的待定系数法，圆关于直线对称的理解与应用 19.【答案】解：（Ⅰ）数列{}n a 是等差数列，由已知得11125514a d a d a d +=⎧⎨+++=⎩，112a d ==∴，，()11221n a n n =+-⨯=-∴．（Ⅱ）由（Ⅰ）得()211nn b n n =---，()()()()()()()()21123211132534121 1354112342121141 110212452T b b b b =++++=++-+++++=+++++-+-+++=+-⨯+=∴．20.【答案】（1）设AC BD O ⋂=，连接OE ，因为O ，E 分别为AC ，1AA 中点，所以1OE A C ，1A C BDE ∴平面（2）1AA ABCD ⊥∵平面，1AA BD ⊥∴，AC BD ⊥∵，1BD A AC ⊥∴平面，BD ⊆∵平面BDE ，所以平面1A AC ⊥平面BDE ．【考点】线面平行垂直的判定21.【答案】（1）由圆1O 方程知：圆心()11,2O ，半径2r1O ∴到直线40ax y -+=的距离d==∵，1d =∴1=，解得：34a =-（2）当直线斜率不存在时，其方程为：3x =，为圆的切线当切线斜率存在时，设其方程为：()13y k x -=-，即310kx y k --+=1O ∴到它的距离2d ==，解得：34k =，即切线方程为：3450x y --= ∴过点M 的圆的切线方程为3x =或3450x y --=．【考点】直线被圆截得弦长问题、过圆外一点圆的切线方程的求解 22.【答案】（I ）根据正弦定理sin sin a cA C=，可得sin sin c A a C =，sin cos c A C =∵，sin cos a C C =∴，可得sin C C =，得sin tan cos CC C=，()0C π∈∵，，3C π=∴；（II ）()sin sin B A 5sin 2A C 3C π+-==∵，，()sin sin C A B =+∴()()sin sin 5sin 2A B B A A ++-=∴，2sin cosA 25sin cos B A A =⨯∴ ABC ∵△为斜三角形，cos 0A ≠∴，sin 5sin B A =∴，由正弦定理可知5b a = (1)由余弦定理2222cos c a b ab C =+-，2212122a b ab∴ (2)由（1）（2）解得15a b ==，，11sin 1522ABC S ab C ==⨯⨯=△∴． 【考点】正弦定理的运用，余弦定理的运用，面积公式的运用.期中测试第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．1.在空间直角坐标系O xyz 中，点 2,1,3A 关于yOz 平面对称的点的坐标是（ ） A . 2,1,3B . 2,1,3C . 2,1,3D . 2,1,32.过点 1,2且与直线220x y 平行的直线方程是（ ） A .210x yB .210x yC .240x yD .230x y3.两条平行直线20x y 与420x y 间的距离等于（ ） A .12B .2C .52D .44.在正方体1111ABCD A B C D 中，异面直线AC 与1BC 所成的角为（ ） A .30°B .45°C .60°D .90°5.若圆锥的侧面展开图为一个半径为2的半圆，则圆锥的体积是（ ）A .3B .3C .23D .436.若在ABC △中，2cos sin sin B A C ，则ABC △的形状一定是（ ） A .等腰直角三角形B .直角三角形C .等腰三角形D .等边三角形7.已知a ，b 为不同的直线， ， 为不同的平面，则下列说法正确的是（ ）A .若a b ，，，则a bB .若a b ，， ， 不平行，则a ，b 为异面直线C .若a b b ，，则aD .若a b ，，，则a b810y 的倾斜角为（ ） A .30°B .60°C .120°D .150°9.等差数列 n a 中，10a ＞，912S S ，则前________项的和最大．（ ） A .10B .11C .10或11D .1210.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ）A .2B .6C .3D .6 11.正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为（ ） A .814 B .16 C .9 D .27412.若圆C ：2244100x y x y 上至少有三个不同的点到直线l ：0x y m 的距离为m 的取值范围是（ ）A .B .C . 2,2D . 2,2第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上）．13.ABC △中，已知 2,1A ， 2,3B ， 0,1C ，则BC 边上的中线所在的直线的一般式方程为________．14.在等差数列 n a 中，3a ，9a 是方程224120x x 的两根，则数列 n a 的前11项和等于________．15的体积为________．16.圆222210x y x y 的点到直线4x y 距离的最小值是________．三、解答题（本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.已知直线110l ax y a ：与 22130l x a y ：．（1）当0a 时，求直线1l 与2l 的交点坐标；（2）若12l l ，求a 的值．18.求满足下列条件的圆的方程：（1）经过点 4,2P ， 6,2Q ，且圆心在y 轴上；（2）求与圆2220C x y x y ：关于直线10l x y ：对称的圆的方程．19.已知等差数列 n a 中，35a ，2614a a ，（1）求数列 n a 的通项公式；（2）若数列 n b 满足 1nn n b a n ，数列 n b 的前n 项和为n T ，求21T ．20.如图，在正方体1111ABCD A B C D 中，E 是1AA 的中点．（1）求证：1A C 平面BDE ；（2）求证：平面1A AC 平面BDE ．21.已知点 3,1M ，圆 221124Q x y ：．（1）若直线40ax y 与圆1Q 相交于A ，B 两点，且弦AB 的长为，求a 的值；（2）求过点M 的圆1Q 的切线方程．22.已知ABC △是斜三角形，内角A ，B ，C 所对的边的长分别为a ，b ，c ．己知sin cos c A C ．（1）求角C ；（2）若c ，且 sin sin 5sin 2C B A A ，求ABC △的面积．。
2022-2023学年北京北师大实验高一(上)期中数学试题及答案
2022北京北师大实验中学高一（上）期中数 学班级_________ 姓名_________ 学号_________ 成绩第I 卷(共100分)一、单项选择题(本题共8小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项最符合题意。
每小题5分，共40分) 1．若集合02{|}A x x =≤≤，{}2|1B x x =>，则A B ⋂= A ．2|}{1x x <≤B ．1|}0{x x ≤≤C ．2|}0{x x <≤D ．0{}1|x x x ><−或2．命题“00()x ∃∈+∞，，2002x x <”的否定为 A ．0()x ∀∈+∞，，22x x < B ．0()x ∀∈+∞，，22x x > C ．0()x ∀∈+∞，，22x x ≥ D ．0()x ∃∈+∞，，22x x ≥ 3．下列命题是真命题的是 A ．若0a b >>，则22ac bc > B ．若a b >，则22a b > C ．若0a b <<，则22a ab b << D ．若0a b <<，则11a b> 4．设x ∈R ，则“015x x +−<”是“11x −<”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．已知函数()y f x =的图像是连续不断的，有如下的对应值表：则函数y f x =在区间1,6上的零点至少有 A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个6．下列函数中，在定义域内既是奇函数又是增函数的是A ．1y x =+B ．2y x =−C ．3y x =D ．1y x=−7．设函数11,0,2()1,0,x x f x x x⎧−⎪⎪=⎨⎪<⎪⎩若()f a a =，则实数a 的值为A ．1±B ．1−C ．2−或1−D ．1±或2−8．已知函数2()1xf x x =+．关于()f x 的性质，有以下四个结论： ①()f x 的定义域是()−∞+∞,；②()f x 是奇函数； ③()f x 在区间()0,1上单调递增；④()f x 的值域是11,22⎡⎤−⎢⎥⎣⎦． 其中正确结论的个数是 A ．1 B ．2C ．3D ．4二、填空题(本题共6小题，每小题5分，共30分) 9．函数2()1f x x =+−的定义域为__________． 10．已知函数()f x 为奇函数，且当0x >时，()21f x x x=+−，则()1f −=__________． 11．欲用一段长为20米的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长18米，则这个菜园的最大面积为_______平方米。
北京北大附中初二上册期中考试数学(含解析).docx
北京北大附中初二（上）期中数学试卷一、选择题（每小题3分，共30分）1计算3-的结果是（ ）•11 A . -6B . —9C . ~D .992•剪纸艺术是我国文化宝库中的优秀遗产，在民间广泛流传，下面四幅剪纸作品中，属于轴对称图形4.如图是某商场一楼与二楼之间的手扶电梯示意图，其中线，.ABC =150， BC 的长是8m ，则乘电梯从点2b 25.化简-^―的结果为().a —b b —a2 2A . a - b 6.下列各式从左到右的变形正确的是( ).m 丄 m x +1 x —1x + y 丄 2 + yx(a 一 b) x A ---------- 1 …一B ■- -C1 ------ Dm+3 3 x-y x-yx —2 x —2y(b_a) y7.如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点.已知A 、B 是两格点，如果C 也是图中的格 点，且使得△ ABC 为等腰三角形，则点 C 的个数是（ ）.A3 B4 C5 D6 3.下列各分式中，最简分式是（ ）. x yB . y -xA 34(x-y).85(x y)2丄 2x +y C .x y +xy2 2x - y D . 2(x y) AB ，CD 分别表示一楼、二楼地面的水平ZAOB=130°，则 N ACB 为().的是（）. A .B .C . B. D .&如图，O是厶ABC的边AC、BC的垂直平分线的交点,A . 65B . 57.545 32.5以BA 为轴继续翻折，使得点 C 恰好落在BE 上，若.CDB =82，则原三角形的.ABC 为( ).12. 在平面直角坐标系中，点 ____________________ A(1,2)关于y 轴对称点的坐标是13. 一种细菌半径是 0.000 0121米，贝V 0.000 0121用科学记数法表示为 ____________b a 14. _______________________________________________________________ 已知a 2 +3ab +b 2 =0 （ a 式0 , b 式0 ）则代数式一 +—的值等于 __________________________________________a b2 ax 2 16 .关于x 的方程 ------ =—有解为x=1，贝V a= ____________a —x 317.在△ ABC 中，AB=AC ，• B = ■- •，线段AB 的垂直平分线交直线 AC 于点D ， 则 N DBC = .18 .如图，-POQ =30，■ POQ 内有一点 A ，AO =12，在 PO 、QO 上分别有点 B 、C ( B 、C 与O 不重合)则 ZBAC= ____________ 。
2023-2024学年北京西城区北师大实验中学高二(上)期中数学试题及答案
2023北京北师大实验中学高二（上）期中数 学班级______姓名______学号______成绩______一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）1．如图，,E F 分别是长方体ABCD A B C D '−'''的棱,AB CD 的中点，则AB CF +等于（ ）（A ）AD ' （B ）AC ' （C ）DE（D ）AE2．直线10x +−=的倾斜角是（ ） （A ）30︒（B ）60︒（C ）120︒ （D ）150︒3．若抛物线2x ay =的焦点坐标为()0,1，则其准线方程为（ ） （A ）1x =− （B ）1x = （C ）1y =− （D ）1y =4．如图，已知四面体ABCD 的所有棱长都等于,,,a E F G 分别是棱,,AB AD DC 的中点．则GF AC ⋅与EF BC ⋅分别等于（ ）（A ）22a −和24a （B ）22a 和24a − （C ）22a 和24a （D ）22a −和22a5．设椭圆221259x y +=的两个焦点为12,F F ，过点1F 的直线交椭圆于,A B 两点，如果8AB =，那么22AF BF +的值为（ ）（A ）2 （B ）10 （C ）12 （D ）146．抛物线24y x =上的点到其焦点的距离的最小值为（ ） （A ）12（B ）1 （C ）2 （D ）47．若双曲线22221x y a b −=的焦点()3,0F ）（A ）22145x y −=（B ）22154x y −=（C ）22136x y −=（D ）22163x y −=8．如图，在正方体1111ABCD A B C D −中，点P 为棱1DD 的中点，点Q 为面11ADD A 内一点，1B Q AP ⊥，则（ ）（A ）1112A D Q A AQ S S =△△（B ）1112A D Q A AQ S S =△△（C ）11123A D Q A AQ S S =△△ （D ）11132A D Q A AQ S S =△△二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）9．若经过点()()3,,2,0a −的直线与直线230x y −+=垂直，则a =______．10．已知平面α的法向量为()2,4,2−−，平面β的法向量为()1,2,k −，若//αβ，则k =______．11．已知两圆221:2310C x y x y ++++=和222:4320C x y x y ++++=相交，则圆1C 与圆2C 的公共弦所在直线的方程为______．12．设121,2,2,2,3,2v v =−=−分别是空间两直线12,l l 的方向向量，则直线12,l l 所成角的大小为______． 13．已知()2,3P 是直线l 上一点，且()1,2n =−是直线l 的一个法向量，则直线l 的方程为______．14．设点12,F F 分别为椭圆22:14x C y +=的左、右焦点，点P 是椭圆C 上任意一点，若使得12PF PF m ⋅=成立的点恰好是4个，则实数m 的一个取值可以为______． 三、解答题（本大题共3小题，共30分）15．（本小题满分10分）已知ABC △的三个顶点()()()8,5,4,2,6,3A B C −−，求经过两边AB 和AC 的中点的直线的方程． 16．（本小题满分10分）已知直线:30l x my +−=与圆()()22:239C x y −++=． （Ⅰ）若直线l 与圆C 相切，求实数m 的值；（П）当2m =−时，直线l 与圆C 交于点,E F ，设O 为原点，求EOF △的面积． 17．（本小题满分10分）如图，四棱锥P ABCD −的底面是矩形，PD ⊥底面ABCD ，1,2,PD DC AD M ===为BC 的中点．（Ⅰ）求证：//AD 平面PBC ；（П）求平面PAM 与平面PCD 所成的角的余弦值．第П卷（共50分）四、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）18．在空间直角坐标系中，已知点()()()()1,,1,1,1,2,3,2,1,1,3,2A m B C D −−−，若,,,A B C D 四点共面，则m =______．19．已知双曲线()222210,0x y a b a b−=>>的右焦点为F ，过点F 作x 轴的垂线,l l 在第一象限与双曲线及其渐近线分别交于,A B 两点．若点A 是线段FB 的中点，则双曲线的离心率为______．20．如图，在长方体1111ABCD A B C D −中，12,1AA AB BC ===，点P 在侧面11A ABB 上．若点P 到直线1AA 和CD 的距离相等，则1A P 的最小值是______．21．在平面直角坐标系中，到两个点()2,0A −和()2,0B 的距离之积等于4的轨迹记作曲线Ω，对于曲线Ω及其上一点P ，有下列四个结论：①曲线Ω关于x 轴对称；②曲线上有且仅有一点P ，满足PA PB =；③曲线Ω上所有的点的横坐标x ⎡∈−⎣，纵坐标[]1,1y ∈−；④PA PB +的取值范围是⎡⎤⎣⎦．其中，所有正确结论的序号是______．五、解答题（本大题共3小题，共34分）22．（本小题满分12分）如图，直四棱柱1111ABCD A B C D −中，底面ABCD 是边长为1的正方形，点E 在棱1BB 上（Ⅰ）求证：111AC DB ⊥；（П）从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个作为已知，使得1DB ⊥平面11EA C ，并给出证明． 条件①：E 为1BB 的中点； 条件②：1//BD 平面11EA C ； 条件③：11DB BD ⊥．（Ⅲ）若E 为1BB 的中点，且点D 到平面11EA C 的距离为1，求1BB 的长度． 23．（本小题满分12分）已知椭圆()2222Γ:10x y a b a b+=>>的左、右顶点分别为12,A A，上、下顶点分别为2112,,B B B B =，四边形1122A B A B的周长为 （Ⅰ）求椭圆Γ的方程；（П）设点F 为椭圆Γ的左焦点，点()3,T m −，过点F 作TF 的垂线交椭圆Γ于点,P Q ，连接OT 与PQ 交于点H ．试判断PH HQ是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，说明理由．24．（本小题满分10分）n 个有次序的实数12,,,n a a a ⋅⋅⋅所组成的有序数组()12,,,n a a a ⋅⋅⋅称为一个n 维向量，其中()1,2,i a i n =⋅⋅⋅称为该向量的第i 个分量．特别地，对一个n 维向量()12,,,n a a a a =⋅⋅⋅，若1,i 1,2i a n ==⋅⋅⋅，称a 为n 维信号向量．设()()1212,,,,,,,n n a a a a b b b b =⋅⋅⋅=⋅⋅⋅，则a 和b 的内积定义为1ni ii a b a b=⋅=∑，且0a b a b ⊥⇔⋅=．（Ⅰ）直接写出4个两两垂直的4维信号向量． （П）证明：不存在14个两两垂直的14维信号向量．（Ⅲ）已知k 个两两垂直的2024维信号向量12,,,k x x x ⋅⋅⋅满足它们的前m 个分量都是相同的，求证：45<．参考答案第Ⅰ卷（共100分）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）1．D 2．D 3．C 4．A 5．C6．B7．A8．A二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）9．10− 10．111．210x +=12．2π13．240x y −+=三、解答题（本大题共3小题，共35分）15．（本小题满分13分）解：设AB 和AC 的中点分别为,D E ， 因为()()()8,5,4,2,6,3A B C −−，所以()36,,1,42D E ⎛⎫⎪⎝⎭（或求一点，BC 斜率）所以直线DE 的方程为：3442161y x −−=−−， 整理得：290x y +−=，经过两边AB 和AC 的中点的直线的方程为290x y +−=． 16．（本小题满分12分） 解：（Ⅰ）43m =． （П）当2m =−时直线:230l x y −−=， 点C 到直线l．求得4EF =， 原点O 到直线l的距离为5h =，EOF △的面积为125S EF h =⋅=．17．（本小题满分10分）解：（Ⅰ）证明：因为四棱锥P ABCD −的底面是矩形， 所以//AD BC ，又因为AD ⊄平面,PBC BC ⊂平面PBC ， 所以//AD 平面PBC（П）解：以点D 为坐标原点，DA DC DP 、、所在直线分别为x y z 、、轴建立如图所示的空间直角坐标系D xyz −，1,2,PD DC AD M ===为BC 的中点． ()()()()0,0,0,2,0,0,1,1,0,0,0,1D A M P ∴，()()2,0,1,1,1,1PA PM ∴=−=−，设平面PAM 的法向量为(),,n x y z =，0,0,n PA n PM ⎧⋅=⎪∴⎨⋅=⎪⎩即20,0,x z x y z −=⎧⎨+−=⎩ 令2z =，则1,1x y ==()1,1,2n ∴= 平面PCD 的法向量为()1,0,0m =，21cos,1m n m n m n ⋅∴==⋅+， ∴平面PAM 与平面PCD所成的角的余弦值6． 第П卷（共50分）四、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）18．219．320五、解答题（本大题共3小题，共35分）22．（本小题满分13分） 解：（Ⅰ）连结11,BD B D ．由直四棱柱1111ABCD A B C D −知，1BB ⊥平面1111A B C D ， 又11A C ⊂平面1111A B C D ，所以111BB AC ⊥． 因为1111A B C D 为正方形，所以1111AC B D ⊥．又1111B D BB B =，所以11A C ⊥平面11D DBB ．又1DB ⊂平面11D DBB ，所以111AC DB ⊥．（П）选条件①、条件③，可使1DB ⊥平面11EA C ．证明如下：设1111A C B D O =，连结1,OE BD ．又,E O 分别是111,BB B D 的中点，所以1//OE BD ． 因为11DB BD ⊥，所以1DB OE ⊥．由（Ⅰ）知11A C ⊥平面11D DBB ，所以111AC DB ⊥． 又11A C OE O =，所以1DB ⊥平面11EAC ．（П）选条件②、条件③，可使1DB ⊥平面11EA C ．证明如下： 设1111A C B D O =，连结OE ．因为1//BD 平面111,EA C BD ⊂平面11D DBB ，平面11D DBB 平面11EAC OE =，所以1//BD OE ．因为11DB BD ⊥，所以1DB OE ⊥．由（Ⅰ）知11A C ⊥平面11D DBB ，所以111AC DB ⊥． 又11A C OE O =，所以1DB ⊥平面11EAC ．（Ⅲ）设()120BB t t =>． 因为1,,DA DC DD 两两垂直，如图，以D 为原点，建立空间直角坐标系D xyz −，则()()()()110,0,0,1,0,2,0,1,2,1,1,D A t C t E t ，所以()()1111,1,0,0,1,AC EA t =−=−．设平面11DA C 的法向量为(),,n x y z =，则1110,0,n A C n EA ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即0,0.x y y tz −+=⎧⎨−+=⎩令1z =，则x y t ==，于是()(),,1,1,1,n t t DE t ==． 点D 到平面11EA C 的距离为 则312n DEd nt ⋅===，解得7t =，所以17BB =．23．（本小题满分12分）解：依题意可得：2b ⎧=⎪⎨=⎪⎩．解得226,2a b ==．所以椭圆Γ的方程为22162x y +=．（П）PH HQ为定值1，理由如下：由()()3,,2,0T m F −−，显然斜率存在，TF k m =−， 当0m =时，1PH HQ=．当0m ≠时，直线PQ 过点F 且与直线TF 垂直，则直线PQ 方程为()12y x m=+． 由()2212,162y x m x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩得()2223121260m x x m +++−=． 显然Δ0>．设()()1122,,,P x y Q x y ，则212122212126,33m x x x x m m −+=−=++． 则,P Q 中点122623x x x m +==−+．直线OT 的方程为3m y x =−， 由()12,3y x m m y x⎧=+⎪⎪⎨⎪=−⎪⎩得263H x m =−+，所以H 为线段PQ 的中点，所以1PH HQ =．综上PH HQ 为定值1． 24．（本小题满分10分）解：（Ⅰ）()()()()1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1−−−−−−．（П）假设存在14个两两垂直的14维信号向量1214,,,y y y ⋅⋅⋅，将这14个向量的某个分量同时变号或将某两个位置的分量同时互换位置，任意两个向量的内积不变，∴不妨设()()121,1,,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1y y =⋅⋅⋅=−−−−−−−， 130y y ⋅=3y ∴有7个分量为1−设3y 的前7个分量中有r 个-1，则后7个分量中有7r −个1−()()()()2317710y y r r r r ∴⋅=⋅−+−+−+⋅−=72r ∴=，矛盾 ∴不存在14个两两垂直的14维信号向量．（Ⅲ）任取{}i,1,2,,j k ∈⋯，计算内积i j x x ⋅，将所有这些内积求和得到S ，则222122024k S x x x k =++⋅⋅⋅+=设12,,,k x x x 的第k 个分量之和为i c ，则从每个分量的角度考虑，每个分量为S 的贡献为2i c222122024S c c c ∴=++⋅⋅⋅+22212m c c c ≥++⋅⋅⋅+2k m =22024k k m ∴≥20242025km ∴≤<45<．。