信号系统-5

时移性： 时移性： f(t−t0 )↔F(s)e−st 其中， 和 可以为负值。 其中，a和t0可以为负值。
0
用延时性求F(s)， f (t) = e U(t − 2) 例1:用延时性求 用延时性求 ，
−2 −(t −2) 解 f (t) = e e U(t − 2)
−t
e−2 −2s e ∴F(s) = s +1
在实际系统中， 在实际系统中，由于激励都是从某一时刻开始作用（如 t=0）， ）， 所以在分析因果系统时，主要应用单边拉氏变换。 因果系统时 单边拉氏变换 所以在分析因果系统时，主要应用单边拉氏变换。
四、常用信号的单边拉氏变换
1. δ ′(t )
s
1
2. δ (t)
3. U (t )
1 s
1 s +a s 2 s2 +ω0
−st 0−
∞
∞
t0−
x=t −t0 ∞
=
∫ f (x)e e
−sx −st0
dx = e
−st0
∞
f (x)e−sxdx = F(s)e−st0 ∫
b
0−
0−
若a>0，b>0， 则 ， ，
s −a s 1 f(at- b)↔ F( )e a a
1 s ↔ F( ) 说明：双边变换， 说明：双边变换，尺度变换 f(at) a a
t→∞ t→∞
-2
0
σ >-2
1 F(s) = s +2
σ
F(s)极点 极点p=-2，收敛域以极点为边界，收敛域内不包含极点。 ，收敛域以极点为边界，收敛域内不包含极点。
例
f (t) = −e2tU(−t)
jω
e 2t e − σt = lim e − ( σ − 2 ) t = 0 lim
t → −∞ t → −∞
f (t)e
∞
±s0t
↔ F(s m s0 )
∫ − [ f (t)e
0
∞
±s0t
]e dt = ∫ − f (t)e−(sms0 )t dt
−st 0
= F(s m s0 )
例 求e−αt cos(ω0t)的单边拉氏变换。
s 解： Q cos(ω0t)U t） s2 + ω 2 （ ⇔ 0
∴ e
−α t
F (s ) =
∞
拉氏逆变换
1 f (t ) = F ( s )e s t ds ∫ 2πj σ − j∞
记作
f (t ) ↔ F ( s )
σ + j∞
−∞
∫
f ( t )e − s t dt 拉氏正变换
F ( s ) 存在的充分条件： 存在的充分条件：
1、f(t)在任意有限区间内可积； 、 在任意有限区间内可积； 在任意有限区间内可积 2、随t→±∞，f(t)比指数函数增长的慢。 、 →±∞ →±∞， 比指数函数增长的慢。 比指数函数增长的慢
0
−st
∞
∞
= lim e
t→ ∞
f (t) − f (0− ) + s∫ − f (t)e−st dt
0
∞
= sF(s) − f (0− )
sω 例：[sinω0tU(t)]′ ⇔ 2 0 2 s +ω0
∴ cosω0tU(t) =
1
ω0
[sinω0tU(t)]′ ⇔
s s2 +ω02
6、时域积分性： 若f(t) ↔ F(s)，则 、时域积分性： ，
F (s ) =
∞
∞ −∞
jω
∫
f ( t )e − s t dt 收敛，s的取值范围 收敛， 的取值范围
0
σ
-∞
∫
f (t)e−st dt < ∞
有终信号（终值有限） 有终信号（终值有限）
f (t)e−σt = 0 s的取值范围 的取值范围 lim
t →−∞
有始信号（起始值有限） 有始信号（起始值有限）
δT (t) = ∑δ (t − nT)
∞
E F1(s)= (1 −e −sτ) s
f (t) = f1(t) + f1(t −T) + f1(t − 2T) +⋅⋅⋅⋅
1 L[δ T ( t )] = 1 − e − sT
抽样信号的单边拉氏变换 抽样信号的单边拉氏变换 单边
n=−∞
F (s) = F1 (s) + F1 (s)e
−2 < σ < −1
-2
-1 0
σ
f (t) = e−tU(t) − e−2tU(−t)
双边拉氏变换不存在
结论：有始信号收敛域为右半平面，有终信号收敛域为左半平面， 结论：有始信号收敛域为右半平面，有终信号收敛域为左半平面，双边
信号收敛域为带状区域，有限持续信号且绝对可积，收敛域为整个 平面 平面。 信号收敛域为带状区域，有限持续信号且绝对可积，收敛域为整个s平面。 有理F(s)收敛域以极点为边界，收敛域内不包含极点。 收敛域以极点为边界， 有理 收敛域以极点为边界 收敛域内不包含极点。
f ′′(t) ↔s2F(s) −sf (0− ) − f ′(0− )
f
(n)
(t) ↔ s F(s) − ∑sn−1−m f (m) (0− )
n m=0
n−1
证明： 证明： f ′(t) ⇔
∫
−
∞
0−
∞ df (t) −st e dt = ∫ − e−st df (t) 0 dt
=e
−st
f (t) 0 + s∫ − f (t)e−st dt
2、尺度变换性：若f(t)U(t) ↔ F(s)，且a>0，则 、尺度变换性： ， ， 3、时移性： 、时移性：
若f(t)U(t)↔ F(s)， t0>0，则 ↔ ， ，
s 1 f(at)↔ F( ) a a
f(t−t0 )U(t−t0 ) ↔ F(s)e−st0
证
f (t −t0 )U(t −t0 ) → ∫ f (t −t0 )U(t −t0 )e dt = ∫ f (t − t0 )e−stdt
cos(ω0t )U (t ) →
s +α 2 ( s + α ) 2 + ω0
e 对于 −αt sin( ω0t),同样
ω0 ω0 −αt Q sin(ω0t)U(t) ⇔ 2 ∴ e sin(ω0t)U(t) ⇔ 2 s +ω0 (s +α)2 +ω02
5、时域微分性： 若f(t) ↔ F(s)，则 f ′(t) ↔ sF(s) − f (0− ) 、时域微分性： ，
0−
∞
e-at
s 1 1 1 = 2 F(s) = + 2 2 s − jω0 s + jω0 s + ω0
1 f(t)=sin(ωot ) = ω e jω 0 t − e − jω 0 t 2j
(
1 1 1 = ω0 F(s) = − 2 j s − jω0 s + jω0 s2 + ω 2 0
f (t) = e−atU(t)
∞
1 −( s + a )t − at − st −( s + a ) t F ( s ) = ∫ e U (t )e dt = ∫ e dt = − e s+a 0 −∞
∞
∞
0
1 = s +a
σ > −a σ < −a
例
f (t) = −e−atU(−t)
∞ 0
1 −( s + a )t − at − st −( s + a ) t F ( s ) = ∫ - e U ( −t )e dt = − ∫ e dt = e s+a −∞ -∞
F(s) = F (s) 1
∴
1 1− e−sT
E 1− e−sτ F(s) = ⋅ S 1− e−sT
练习： 练习： 【解】设
E f1(t) = 0
(0 < t <τ ) (τ < t <T)
求单位冲激序列的单边拉氏变换 求单位冲激序列的单边拉氏变换 单边
= E[U (t ) − U (t − τ)]
= F1 ( s )(1 + e
− sT
+ F1 (s)e
− 2 sT
−2 sT
+ ⋅⋅⋅
f s(t) =
− sT
+e
+ ⋅⋅⋅ )
Fs (s) = ∑ f (nT)e−nsT
n=0
n = −∞ ∞
∑ f(nT)δ(t − nT)
∞
4、频移性：若f(t) ↔ F(s)，则 、频移) = ∫
则
C 1 f 1 ( t ) + C 2 f 2 (t ) ← → C1 F1 ( s ) + C 2 F2 ( s ) 其中：C1,C2为任意常数 其中： 例： f (t ) = cos(ω0t ) = 1 e jω 0 t + e − jω 0 t 2
1 ⇔ s +a
(
)
)
F(s) = ∫ f (t)e−s t dt
∞ -∞
∫
f (t)e−σ t dt < ∞
条件2的含义： 条件 的含义： 的含义 对于有始信号： 对于有始信号：
1 1 U(t), U(t − 2) t t −2
f (t)e−σt = 0 lim
t→∞
不满足1 不满足
对于有终信号： 对于有终信号：
f (t)e−σt = 0 lim