梯形辅助线的添法

初中数学常见辅助线做法

初中数学常用辅助线一．添辅助线有二种情况：1按定义添辅助线：如证明二直线垂直可延长使它们,相交后证交角为90°；证线段倍半关系可倍线段取中点或半线段加倍；证角的倍半关系也可类似添辅助线;2按基本图形添辅助线：每个几何定理都有与它相对应的几何图形,我们把它叫做基本图形,添辅助线往往是具有基本图形的性质而基本图形不完整时补完整基本图形,因此“添线”应该叫做“补图”这样可防止乱添线,添辅助线也有规律可循;举例如下：1平行线是个基本图形：当几何中出现平行线时添辅助线的关键是添与二条平行线都相交的等第三条直线2等腰三角形是个简单的基本图形：当几何问题中出现一点发出的二条相等线段时往往要补完整等腰三角形;出现角平分线与平行线组合时可延长平行线与角的二边相交得等腰三角形;3等腰三角形中的重要线段是个重要的基本图形：出现等腰三角形底边上的中点添底边上的中线；出现角平分线与垂线组合时可延长垂线与角的二边相交得等腰三角形中的重要线段的基本图形;4直角三角形斜边上中线基本图形出现直角三角形斜边上的中点往往添斜边上的中线;出现线段倍半关系且倍线段是直角三角形的斜边则要添直角三角形斜边上的中线得直角三角形斜边上中线基本图形;5三角形中位线基本图形几何问题中出现多个中点时往往添加三角形中位线基本图形进行证明当有中点没有中位线时则添中位线,当有中位线三角形不完整时则需补完整三角形；当出现线段倍半关系且与倍线段有公共端点的线段带一个中点则可过这中点添倍线段的平行线得三角形中位线基本图形；当出现线段倍半关系且与半线段的端点是某线段的中点,则可过带中点线段的端点添半线段的平行线得三角形中位线基本图形;6全等三角形：全等三角形有轴对称形,中心对称形,旋转形与平移形等；如果出现两条相等线段或两个档相等角关于某一直线成轴对称就可以添加轴对称形全等三角形：或添对称轴,或将三角形沿对称轴翻转;当几何问题中出现一组或两组相等线段位于一组对顶角两边且成一直线时可添加中心对称形全等三角形加以证明,添加方法是将四个端点两两连结或过二端点添平行线7相似三角形：相似三角形有平行线型带平行线的相似三角形,相交线型,旋转型；当出现相比线段重叠在一直线上时中点可看成比为1可添加平行线得平行线型相似三角形;若平行线过端点添则可以分点或另一端点的线段为平行方向,这类题目中往往有多种浅线方法;8特殊角直角三角形当出现30,45,60,135,150度特殊角时可添加特殊角直角三角形,利用45角直角三角形三边比为1：1：√2；30度角直角三角形三边比为1：2：√3进行证明9半圆上的圆周角出现直径与半圆上的点,添90度的圆周角；出现90度的圆周角则添它所对弦---直径；平面几何中总共只有二十多个基本图形就像房子不外有一砧,瓦,水泥,石灰,木等组成一样;二．基本图形的辅助线的画法1.三角形问题添加辅助线方法方法1：有关三角形中线的题目,常将中线加倍;含有中点的题目,常常利用三角形的中位线,通过这种方法,把要证的结论恰当的转移,很容易地解决了问题;方法2：含有平分线的题目,常以角平分线为对称轴,利用角平分线的性质和题中的条件,构造出全等三角形,从而利用全等三角形的知识解决问题;方法3：结论是两线段相等的题目常画辅助线构成全等三角形,或利用关于平分线段的一些定理;方法4：结论是一条线段与另一条线段之和等于第三条线段这类题目,常采用截长法或补短法,所谓截长法就是把第三条线段分成两部分,证其中的一部分等于第一条线段,而另一部分等于第二条线段;2.平行四边形中常用辅助线的添法平行四边形包括矩形、正方形、菱形的两组对边、对角和对角线都具有某些相同性质,所以在添辅助线方法上也有共同之处,目的都是造就线段的平行、垂直,构成三角形的全等、相似,把平行四边形问题转化成常见的三角形、正方形等问题处理,其常用方法有下列几种,举例简解如下：1连对角线或平移对角线：2过顶点作对边的垂线构造直角三角形3连接对角线交点与一边中点,或过对角线交点作一边的平行线,构造线段平行或中位线4连接顶点与对边上一点的线段或延长这条线段,构造三角形相似或等积三角形;5过顶点作对角线的垂线,构成线段平行或三角形全等.3.梯形中常用辅助线的添法梯形是一种特殊的四边形;它是平行四边形、三角形知识的综合,通过添加适当的辅助线将梯形问题化归为平行四边形问题或三角形问题来解决;辅助线的添加成为问题解决的桥梁,梯形中常用到的辅助线有：1在梯形内部平移一腰;2梯形外平移一腰3梯形内平移两腰4延长两腰5过梯形上底的两端点向下底作高6平移对角线7连接梯形一顶点及一腰的中点;8过一腰的中点作另一腰的平行线;9作中位线当然在梯形的有关证明和计算中,添加的辅助线并不一定是固定不变的、单一的;通过辅助线这座桥梁,将梯形问题化归为平行四边形问题或三角形问题来解决,这是解决问题的关键;4.圆中常用辅助线的添法在平面几何中,解决与圆有关的问题时,常常需要添加适当的辅助线,架起题设和结论间的桥梁,从而使问题化难为易,顺其自然地得到解决,因此,灵活掌握作辅助线的一般规律和常见方法,对提高学生分析问题和解决问题的能力是大有帮助的;1见弦作弦心距有关弦的问题,常作其弦心距有时还须作出相应的半径,通过垂径平分定理,来沟通题设与结论间的联系;2见直径作圆周角在题目中若已知圆的直径,一般是作直径所对的圆周角,利用"直径所对的圆周角是直角"这一特征来证明问题;3见切线作半径命题的条件中含有圆的切线,往往是连结过切点的半径,利用"切线与半径垂直"这一性质来证明问题;4两圆相切作公切线对两圆相切的问题,一般是经过切点作两圆的公切线或作它们的连心线,通过公切线可以找到与圆有关的角的关系;5两圆相交作公共弦对两圆相交的问题,通常是作出公共弦,通过公共弦既可把两圆的弦联系起来,又可以把两圆中的圆周角或圆心角联系起来;。

梯形中添加辅助线的六种常用技巧

梯形中添加辅助线的六种常用技巧Prepared on 22 November 2020梯形中添加辅助线的六种常用技巧浙江唐伟锋梯形是不同于平行四边形的一类特殊四边形，解决梯形问题的基本思路是通过添加辅助线，将梯形进行割补、拼接转化为三角形、平行四边形问题进行解决。

一般而言，梯形中添加辅助线的常用技巧主要有以下几种——一、平移一腰从梯形的一个顶点作一腰的平行线，将梯形转化为平行四边形和三角形，从而利用平行四边形的性质，将分散的条件集中到三角形中去，使问题顺利得解。

例1、如图①，梯形ABCD中AD∥BC，AD=2cm，BC=7cm，AB=4cm，求CD的取值范围。

解：过点D作DE∥AB交BC于E，∵AD∥BC，DE∥AB∴四边形ABED是平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形）∴DE=AB=4cm，BE=AD=2cm∴EC=BC－BE=7－2=5cm在△DEC中，EC－DE＜CD＜EC＋DE（三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边）∴1cm＜CD＜9cm。

二、延长两腰将梯形的两腰延长，使之交于一点，把梯形转化为大、小两个三角形，从而利用特殊三角形的有关性质解决梯形问题。

例2、如图②，已知梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=∠C，求证：梯形ABCD是等腰梯形。

证明：延长BA、CD，使它们交于E点，∵AD∥BC∴∠EAD=∠B，∠EDA=∠C（两直线平行，同位角相等）又∵B=∠C∴∠EAD=∠EDA∴EA=ED，EB=EC（等角对等边）∴AB=DC∴梯形ABCD是等腰梯形（两腰相等的梯形是等腰梯形）。

三、平移对角线从梯形上底的一个顶点向梯形外作一对角线的平行线，与下底延长线相交构成平行四边形和一特殊三角形（直角三角形、等腰三角形等）。

例3、如图③，已知梯形ABCD中，AD=1.5cm，B C=3.5cm，对角线AC⊥BD，且BD=3cm，AC=4cm，求梯形ABCD的面积。

解：过点D作DE∥AC交BC延长线于E∵AD∥BC，DE∥AC∴四边形ACED是平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形）∴CE=AD=1.5cm，DE=AC=4cm∵AC ⊥BD∴DE ⊥BD∴S 梯形ABCD =111()()222AD BC h CE BC h BE h +⨯=+⨯=⨯（h 为梯形的高） 211346cm 22BD DE =⨯=⨯⨯= 。

初中数学辅助线常用做法

初中数学辅助线常用做法1.三角形问题添加辅助线方法方法1：有关三角形中线的题目，常将中线加倍。

含有中点的题目，常常利用三角形的中位线，通过这种方法，把要证的结论恰当的转移，很容易地解决了问题。

方法2：含有平分线的题目，常以角平分线为对称轴，利用角平分线的性质和题中的条件，构造出全等三角形，从而利用全等三角形的知识解决问题。

方法3：结论是两线段相等的题目常画辅助线构成全等三角形，或利用关于平分线段的一些定理。

方法4：结论是一条线段与另一条线段之和等于第三条线段这类题目，常采用截长法或补短法，所谓截长法就是把第三条线段分成两部分，证其中的一部分等于第一条线段，而另一部分等于第二条线段。

2.平行四边形中常用辅助线的添法平行四边形（包括矩形、正方形、菱形）的两组对边、对角和对角线都具有某些相同性质，所以在添辅助线方法上也有共同之处，目的都是造就线段的平行、垂直，构成三角形的全等、相似，把平行四边形问题转化成常见的三角形、正方形等问题处理，其常用方法有下列几种，举例简解如下：（1）连对角线或平移对角线：（2）过顶点作对边的垂线构造直角三角形（3）连接对角线交点与一边中点，或过对角线交点作一边的平行线，构造线段平行或中位线（4）连接顶点与对边上一点的线段或延长这条线段，构造三角形相似或等积三角形。

（5）过顶点作对角线的垂线，构成线段平行或三角形全等.3.梯形中常用辅助线的添法在题目中若已知圆的直径，一般是作直径所对的圆周角，利用"直径所对的圆周角是直角"这一特征来证明问题。

（3）见切线作半径命题的条件中含有圆的切线，往往是连结过切点的半径，利用"切线与半径垂直"这一性质来证明问题。

（4）两圆相切作公切线对两圆相切的问题，一般是经过切点作两圆的公切线或作它们的连心线，通过公切线可以找到与圆有关的角的关系。

（5）两圆相交作公共弦对两圆相交的问题，通常是作出公共弦，通过公共弦既可把两圆的弦联系起来，又可以把两圆中的圆周角或圆心角联系起来。

解决梯形问题常添加的四种辅助线

的中点，若ＡＤ＝ａ，ＢＣ＝ｂ，Ｂ＋Ｃ＝９０。，求ＥＦ的长。
分析：有些学生看到条件Ｂ＋Ｃ＝９０。，想补成以ＢＣ为斜边的直角三角形，于是延长ＢＡ、ＣＤ交于点Ｇ，再连接ＧＥ，虽然得出的答案是正确的，但没有说明Ｅ、Ｆ、Ｇ三点共线（事实上我
ＡＤ＝ＢＣ．因此需要构造全等三角形．故分别过点Ｃ、Ｄ作ＤＥ上ＡＢ，
ＣＦ上ＡＢ，垂足分别为Ｅ、Ｆ，利用ＳＡＳ证明ＡＡＤＥ￣ａＢＣＦ，问题得以解决。
Ｅ分别作ＥＮ ∥ＤＣ，ＥＭ∥ＡＢ，可得出ＥＭＮ＋ＥＮＭ＝Ｂ＋ｃ＝
差为６ｃｍ，腰长为６ｃｍ．求梯形中较小内角的度数。
例：如图（４）在直角梯形ＡＢＣＤ中，若ＡＤ＝４，ＢＣ＝７，ＤＣ＝５，
则ＡＢ的长为多少？分析：结合图形，很容易想到过点Ａ作ＡＥ上ＢＣ交ＢＣ于点Ｅ．可得矩形ＡＥＣＤ和直角ＡＡＥＢ，利用勾股定理求得ＡＢ＝
形：若对角线垂直，则这个三角形是直角三角形；若对角线相等又垂直．则这个三角形是等腰直角三角形，这些结论的得出，为
梯形是一种特殊的四边形，在解决与之相关的问题时常需要
用特殊的方法来处理。即当根据题目的已知条件无法直接求解或证明结论时．就需要我们添加适当的辅助线把它转化成较熟

中考数学点对点-几何问题辅助线添加技巧(解析版)

专题29 几何问题辅助线添加技巧专题知识点概述全国各地每年的中考试卷里都会出现考查几何的证明和计算问题，在解答试题过程中，我们发现当题设条件不够，必须添加辅助线，把分散条件集中，建立已知和未知的桥梁，结合学过的知识，采用一定的数学方法，把问题转化为自己能解决的问题。

学会添加辅助线技巧，是培养学生科学思维、科学探究的重要途径。

所以希望大家学深学透添加辅助线的技巧和方法。

一、以基本图形为切入点研究添加辅助线的技巧策略1.三角形问题方法1：有关三角形中线的题目，常将中线加倍。

含有中点的题目，常常利用三角形的中位线，通过这种方法，把要证的结论恰当的转移，很容易地解决了问题。

方法2：含有平分线的题目，常以角平分线为对称轴，利用角平分线的性质和题中的条件，构造出全等三角形，从而利用全等三角形的知识解决问题。

方法3：结论是两线段相等的题目常画辅助线构成全等三角形，或利用关于平分线段的一些定理。

方法4：结论是一条线段与另一条线段之和等于第三条线段这类题目，常采用截长法或补短法，所谓截长法就是把第三条线段分成两部分，证其中的一部分等于第一条线段，而另一部分等于第二条线段。

2.平行四边形问题平行四边形（包括矩形、正方形、菱形）的两组对边、对角和对角线都具有某些相同性质，所以在添辅助线方法上也有共同之处，目的都是造就线段的平行、垂直，构成三角形的全等、相似，把平行四边形问题转化成常见的三角形、正方形等问题处理，其常用方法有下列几种，举例简解如下：（1）连对角线或平移对角线：（2）过顶点作对边的垂线构造直角三角形；（3）连接对角线交点与一边中点，或过对角线交点作一边的平行线，构造线段平行或中位线；（4）连接顶点与对边上一点的线段或延长这条线段，构造三角形相似或等积三角形；（5）过顶点作对角线的垂线，构成线段平行或三角形全等。

3.梯形问题梯形是一种特殊的四边形。

它是平行四边形、三角形知识的综合，通过添加适当的辅助线将梯形问题化归为平行四边形问题或三角形问题来解决。

添加辅助线巧化梯形

添加辅助线巧化梯形【关键词】梯形辅助线转化初中数学新课标要求学生能够证明和解答一些几何问题。

但几何图形变化无穷、复杂多变，给学生带来不少的困扰。

有时因为一条辅助线没有作好而功亏一篑；有时也会因为作好一条辅助线而使问题简单化，达到四两拨千斤的效果。

人教版初中数学八年级《梯形》这一节内容，教材内容比较少，图形既空又杂，因此，作好辅助线是学好梯形的关键。

下面笔者从教学实践中谈谈如何在梯形中作辅助线：首先我们来看看梯形常见的几种辅助线的作法（见下表）：一、平移，构平行四边形和三角形1.平移一腰例1 如图1所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝10，AD＝4，BC＝15.求CD的取值范围。

【评注】在梯形当中作平行于一腰的直线可以把梯形转化为学生熟知的平行四边形和三角形，通过平行四边形的性质、三角形三边的关系及直角三角形锐角三角函数和勾股定理就可以求解。

2.平移两腰例3 如图3所示，在梯形ABCD中，AD//BC，∠B＋∠C=90°，AD=1，BC=3，E、F分别是AD、BC的中点，连接EF，求EF的长。

【分析】过点E分别作AB、CD的平行线，交BC于点G、H，得到Rt△GEH，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可求出EF。

解：过点E分别作EG∥AB、EH∥CD，交BC于点G、H，可得∠EGH＋∠EHG=∠B＋∠C=90°∴△GEH是直角三角形∵E、F分别是AD、BC的中点∴AE=DE，BF=CF∵EG∥AB、EH∥CD，AD//BC∴四边形ABGE和四边形EHCD是平行四边形【评注】作平行于两腰的直线可以充分利用梯形两个底角互余的关系，构出直角三角形，利用在直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半则可求解。

3.平移对角线例4 如图4所示，在梯形ABCD中，AD//BC，对角线AC⊥BD，且AC=5cm，BD=12cm，求梯形中位线的长。

【分析】过点C作CF//BD交AB的延长线于点F，可知四边形DBFC 是平行四边形，这样两底的和就等于AF，只需在Rt△ACF中求出斜边AF，梯形的中位线就等于它的一半。

梯形中常用的辅助线

图５
例４在课外活动课上，师让同学们老做～个对角线互相垂直的等腰梯形形状的风
ＡＥＢＦＢＣ。Ｈ？Ｄ。Ｇ｝Ｄ．故Ｅ ∥ ＧＦ ∥ Ｅ即四边形ＥＧＦＨ，ＧＨ，ＦＨ
是平行四边形．
１＇
（）ｏｃ６
（）０Ｄ６√
Ｄ
解：如图４所示，点Ｄ作过
构造全等三角形
Ｄ／Ａ交ＢＥ／ＣＣ的延长线于点Ｅ，则
四边形ＡＥ为ＣＤ
ＣＥ
例６在梯形ＡＣ中，Ｄ／Ｂ，Ｅ＝ＢＤＡ／ＣＡ
ＢＤＥ，Ｆ＝Ｃ求证：Ｆ．
故Ｊ形＝ＡＣ）ｅｓ＾去（Ｂ＋ＤＡ梯黝
＝ ×２５× １２＝１ｏ．５
ＦＧ是三角形的中位线，则
４平移对角线— — 构造平行四边形和以．
两条对角线为边的三角形
Ｆ
Ｃ
ＥＩＣ。Ｉ／ＦＡＦＧ／
因为ＡＢ∥ ＣＡＤ，Ｐ∥ Ｂ，以，Ｃ所四边形
ＡＣＰＢ是平行四边形．因而有
ＡＰＤ＝Ｃ＝３。ＡＰ＝ＢＣ，０，ＡＢ＝ＰＣ．
可得Ｆ＝０，ＦＢ＝Ｆ，Ｄ＝Ｆ．５￣Ａ
则ＢＦ＝Ａ４ＣＢ＝，Ｆ＝ＣＤ＝１．０
１
Ｅ／Ｂ，Ｆ＝１Ａ）Ｆ／ＣＥ（Ｄ＋．
证明：图如６联结Ａ并，Ｆ
ＡＤ
平行四边形，从

辅助线(补形法)

辅助线（补形法）一些几何题的证明或求解，由原图形分析探究，有时显得十分繁难，若通过适当的“补形”来进行，即添置适当的辅助线，将原图形填补成一个完整的、特殊的、简单的新图形，则能使原问题的本质得到充分的显示，通过对新图形的分析，使原问题顺利获解。

这种方法，我们称之为补形法，它能培养思维能力和解题技巧。

我们学过的三角形、特殊四边形、圆等都可以作为“补形”的对象。

现就常见的添补的图形举例如下，以供参考。

一、补成三角形1.补成三角形例1.如图1，已知E为梯形ABCD的腰CD的中点；证明：△ABE的面积等于梯形ABCD面积的一半。

分析：过一顶点和一腰中点作直线，交底的延长线于一点，构造等面积的三角形。

这也是梯形中常用的辅助线添法之一。

证：2.补成等腰三角形例2 如图2.已知∠A＝90°，AB＝AC，∠1＝∠2，CE⊥BD，求证：BD＝2CE分析：因为角是轴对称图形，角平分线是对称轴，故根据对称性作出辅助线，不难发现CF＝2CE，再证BD＝CF即可。

证：3.补成直角三角形例3.如图3，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＋∠C＝90°，F、G分别是AD、BC的中点，若BC＝18，AD＝8，求FG的长。

分析：从∠B、∠C互余，考虑将它们变为直角三角形的角，故延长BA、CD，要求FG，需求PF、PG。

解：图34.补成等边三角形例4.图4，△ABC是等边三角形，延长BC至D，延长BA至E，使AE＝BD，连结CE、ED。

证明：EC＝ED分析：要证明EC＝ED，通常要证∠ECD＝∠EDC，但难以实现。

这样可采用补形法即延长BD到F，使BF＝BE，连结EF。

证：二、补成特殊的四边形1.补成平行四边形例5.如图5，四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、CD、AC、BD的中点，并且E、F、G、H 不在同一条直线上，求证：EF和GH互相平分。

分析：因为平行四边形的对角线互相平分，故要证结论，需考虑四边形GEHF是平行四边形。

巧添辅助线妙解梯形题

１１１
ＳＭ÷ｓ￣ｓ＝
÷ Ｓ梯ＡＤ÷ ｘ＝．形脱＝４２：
点评：梯形腰的中点可延长梯形顶点与见腰中点间的线段．样可将梯形进行割补变形．这进Ｗ将梯形问题化归成三角形问题解决．ｉ三、一鼹中点作另一腰的平行线过
ＣＢ的平分线交于Ａ
图４
责嗍２０ｏＩ６年３月号 “ 学潜能知识竞赛 ” 考答案数参１如图１连接ＭＣ．．．ＡＡＭ与ＡＡＭＣ同底等高．． △ＡＭ与Ｄ・．Ｄ △ 们等面积．
・・．
．
（）过左面和上面或经过下面和右面，时蚂蚁爬行的最短路线是长为４３经这＋比较（）（）（）结果，知蚂蚁爬行的最短路线的长为１、２、３的可．３（）图３所示，知Ｄ．１如易Ｆ是Ｂ的垂直平分线，以ＤＬＣＤ＝．以Ｃ所Ｆ＿Ｂ，ＢＤＣ所
长的２倍可联想
到作中位线
（也
可由Ｅ为ｃＤ的
中点联想到）于．是在ＡＢ上取中点Ｆ，接Ｆ则连Ｅ．
路口山东牟建坤
方法
图１
刘云娜
宫国强
Ｆ／ＢＣ．Ｅ／
２＝
Ｌ３因ｌ．＝Ｌ２．ｌ３故膪＝故＝．
坫＝Ａｃ＝Ｏ．Ｆ９ｏＤ ∥Ａｃ所以Ｅ为Ｒ △Ａｔｃ的斜边

梯形常用辅助线的添加方法

梯形常用辅助线的添加方法一、平移（1）平移一腰：从梯形的一个顶点作一腰的平行线，把梯形转化为一个三角形和一个平行四边形。

1、如图1，梯形ABCD 的上底AB=3，下底CD=8，腰AD=4，求另一腰BC 的取值范围。

分析：在图1、图2中分别作腰的平行线，把梯形问题转换为三角形问题解决.（2）平移两腰：利用梯形中的某个特殊点，过此点作两腰的平行线，把两腰转化到同一个三角形中。

2、如图2，在梯形ABCD 中，AD//BC ，∠B ＋∠C=90°，AD=1，BC=3，E 、F 分别是AD 、BC 的中点，连接EF ，求EF 的长。

（3）平移对角线：过梯形的一个顶点作对角线的平行线，将已知条件转化到一个三角形中。

分析：如图3，作对角线AC 的平行线DE ，出现平行四边形ACED,把梯形问题转换为△DBE 的问题解决.在图4中，也平移对角线即可.3、如图3，在等腰梯形ABCD 中，AD//BC ，AD=3，BC=7，BD=25，求证：AC ⊥BD 。

4、如图4，在梯形ABCD 中，AD//BC ，AC=15cm ，BD=20cm ，高DH=12cm ，求梯形ABCD 的面积。

二、延长即延长两腰相交于一点，可使梯形转化为三角形。

5、如图5，在梯形ABCD 中，AD//BC ，∠B=50°，∠C=80°，AD=2，BC=5，求CD 的长。

分析：如图，延长两腰交于点E ,△EAD 为等腰三角形，△EAD ∽△EBC 列出比例式计算即4)(图2) A B C D E FA BC D H 图4 D C B A E图6 (图7) D C BA F E GH (图1) A BC (图3) A B CD EA B C D 图5 E可.三、作对角线即通过作对角线，使梯形转化为三角形。

6、如图6，在直角梯形ABCD 中，AD//BC ，AB ⊥AD ，BC=CD ，BE ⊥CD 于点E ，求证：AD=DE 。

梯形常用的辅助线

Ａ，ＭＥＢ
ＭＮ：Ｉ
＿＿
ＥＦ：３．２
图２
温馨小提示：移腰把条件集中，取平移点是关键，用的平选常平移点有：个顶点、腰中点、边上的中点等．四一底二、移对角线平
分析：目中有 “ Ｅ分ＢＤ” “ Ｅ上Ａ结合等腰三角题Ｃ平Ｃ和ＣＢ”
，
形 “ 线合一 ” 三，可想到延长ＢＣＡ、Ｄ相交于，，易知ＡＢ为等腰三角形（Ｂ＝Ｆ）且ＣＦＣＣ，
ＢＥＡＣＥＡＣＥＥ＝Ｆ，ＢＦ．设Ａ口则ＢＥ＝，Ｅ＝Ｅ２，Ｆ＝ａＡＦ＝设ＡＣＥ的面积为．，Ｂｓ则ＡＦＤ的面积为Ｓ，ＣＦ面积为２．由Ａ一１ＡＢ的ＳＢ
故梯形ＡＣ面积的最大值为２．ＢＤ５
温馨小提示：当两腰或两条对角线在数量或位置上有特殊关
系时，过平移，将分散的条件集中起来．定要选择好集中的通可一位置，角线通常集中到梯形的四个顶点处．对
易知四边形ＡＥＤＣ是平行四边形，且ＳＡＢＳＥ，而有Ｓ形ＢＤＪＢ．ＡＤ－ＡＣ进￣Ｄ梯Ａｃ＝ △ ＥｓＤ
１
Ｂ
ｊ
Ｃ
图３
ＡＢＤ是直角三角形，＝＋＝＋Ｅ船Ｃ叩ＣＤ＝＋＝１，７３０

梯形问题中如何添加辅助线

＝
、（／ｘ３／Ｘ＋／－Ｖ￣－６－
＋１．
）：，：
、（一／）：一／，／４、了４、了
１＝２１１
所以１ｂ３、了．，＝一／
所以
一
所以６、百一．＝／２
所以一１一
一
１．８
四、算值法估
解：因分是。／１、，小数部分是ｂ那，
、／（
一
亍一／、
），：
么求
＋
舱
所以０、一．＝／１
又因为、／
：
解：因为ｘ２一／＝／ｚ、了＋、了）／１、、４８／（／一
２２年６月０１
关于整数部分＼小数部分求
⑧黑龙江省肇源县三站中学张生
求无理式的整数部分、数部分是经常出现的问题，人通小本
过多年的教学感到此类问题可以从以下几方面进行．
一
所以ＡＢＭ为等腰三角形．因为ＭＥＣ所以ＢＣ又＝Ｅ，Ｅ上Ｃ，Ｍ
即ＣＥ上ＢＥ．
例５在梯形ＡＣＢＤ中，／ＡＢ，Ｂ，若ＡＤ５Ｃ２ＤＣｌＡＤ＝Ｃ＝，Ｄ＝，
ＡＢ８求梯形ＡＢＤ面积．＝，Ｃ的
小结：在梯形中，只要有腰上的中点，采用过中点构造全等
解：通过作高ＤＣ把这个梯形分割成两个全等的直角三Ｅ、Ｆ，
三角形，从而把上下底之和与另一条腰集中在一个三角形中，而

辅助线的常见做法

一．添辅助线有二种情况：1按定义添辅助线：如证明二直线垂直可延长使它们,相交后证交角为90°；证线段倍半关系可倍线段取中点或半线段加倍；证角的倍半关系也可类似添辅助线。

2按基本图形添辅助线：每个几何定理都有与它相对应的几何图形，我们把它叫做基本图形，添辅助线往往是具有基本图形的性质而基本图形不完整时补完整基本图形，因此“添线”应该叫做“补图”！这样可防止乱添线，添辅助线也有规律可循。

举例如下：（1）平行线是个基本图形：当几何中出现平行线时添辅助线的关键是添与二条平行线都相交的等第三条直线（2）等腰三角形是个简单的基本图形：当几何问题中出现一点发出的二条相等线段时往往要补完整等腰三角形。

出现角平分线与平行线组合时可延长平行线与角的二边相交得等腰三角形。

（3）等腰三角形中的重要线段是个重要的基本图形：出现等腰三角形底边上的中点添底边上的中线；出现角平分线与垂线组合时可延长垂线与角的二边相交得等腰三角形中的重要线段的基本图形。

（4）直角三角形斜边上中线基本图形出现直角三角形斜边上的中点往往添斜边上的中线。

出现线段倍半关系且倍线段是直角三角形的斜边则要添直角三角形斜边上的中线得直角三角形斜边上中线基本图形。

（5）三角形中位线基本图形几何问题中出现多个中点时往往添加三角形中位线基本图形进行证明当有中点没有中位线时则添中位线，当有中位线三角形不完整时则需补完整三角形；当出现线段倍半关系且与倍线段有公共端点的线段带一个中点则可过这中点添倍线段的平行线得三角形中位线基本图形；当出现线段倍半关系且与半线段的端点是某线段的中点，则可过带中点线段的端点添半线段的平行线得三角形中位线基本图形。

（6）全等三角形：全等三角形有轴对称形，中心对称形，旋转形与平移形等；如果出现两条相等线段或两个档相等角关于某一直线成轴对称就可以添加轴对称形全等三角形：或添对称轴，或将三角形沿对称轴翻转。

当几何问题中出现一组或两组相等线段位于一组对顶角两边且成一直线时可添加中心对称形全等三角形加以证明，添加方法是将四个端点两两连结或过二端点添平行线（7）相似三角形：相似三角形有平行线型（带平行线的相似三角形），相交线型，旋转型；当出现相比线段重叠在一直线上时（中点可看成比为1）可添加平行线得平行线型相似三角形。

上海市八年级第二学期数学专题07 梯形(考点串讲)(解析版)

上海市八年级第二学期数学专题07 梯形【考点剖析】1.梯形(1)(2)(3)⎧⎪⎨⎪⎩平行不平行直角等定义：一组对边而另一组对边的四边形；特殊的梯形：梯形、梯形；梯形的面腰它的两底和与高乘积的一半积公式：梯形的面积等于；2.等腰梯形1212⎧⎧⎪⎨⎪⎩⎨⎧⎪⎨⎪⎩⎩定理：等腰梯形在的两个内角；性质定理：等腰梯形的两条对角线；定理：在两个内角的；判定同一底上相等相等同一底边上相等梯形相等定理：对角线的；梯形 3.三角形、梯形的中位线⎧⎧⎪⎨⎪⎩⎨⎧⎪⎨⎪⎩⎩定义：联结三角形的；三角形的中位线定理：三角形的中位线且等于；定义：联结梯形的；梯形的中位线定理：梯形的中位线，且两边中点线段平行于第三边第三边的一半两腰的中点等线段平行于两底两底和于.的一半 4.梯形常用辅助线的添法梯形添辅助线目的：将梯形问题转化为三角形和平行四边形的问题来解决.EFEOF AB DCABD C AB DCABCDEABCDE AB CDE ABC DEGFFEDC BA【典例分析】例题1 （静安2018期末17）如图，四边形ABCD 是梯形，AD ∥BC ，AC ＝BD ，且AC ⊥BD ，如果梯形ABCD 的中位线长是5，那么这个梯形的高AH ＝．【答案】5；【解答】解：如图，过点D作DF∥AC交BC的延长线于F，则四边形ACFD是平行四边形，∴AD＝CF，∴AD+BC＝BF，∵AC＝BD，AC⊥BD，∴△BDF是等腰直角三角形，∴AH＝12BF＝5，故答案为：5．例题2 （长宁2019期末14）如图，菱形ABCD由6个腰长为2，且全等的等腰梯形镶嵌而成，则菱形的对角线AC的长为．【答案】63；【解析】解：根据图形可知∠ADC＝2∠A，又∠ADC+∠A＝180°，∴∠A＝60°，∵AB＝AD，∴梯形的上底边长＝腰长＝2，∴梯形的下底边长＝4（可以利用过上底顶点作腰的平行线得出），∴AB＝2+4＝6，∴AC＝2AB sin60°＝2×6×3＝63．故答案为：63．例题3 （长宁2019期末22）已知：如图，AM是△ABC的中线，D是线段AM的中点，AM＝AC，AE∥BC．求证：四边形EBCA是等腰梯形．【答案与解析】证明：∵AE∥BC，∴∠AED＝∠MCD，∵D是线段AM的中点，∴AD＝MD，在△ADE和△MDC中，AED MCDADE MDCAD MD∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ADE≌△MDC（AAS），∴AE＝MC，∵AM是△ABC的中线，∴MB＝MC，∴AE＝MB，∵AE∥MB，∴四边形AEBM是平行四边形，∴BE＝AM，∵AM＝AC，∴BE＝AC，∵AE∥BC，BE与AC不平行，∴四边形EBCA是梯形，∴梯形EBCA是等腰梯形．例题4 （浦东2018期末23）已知：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，CD平分∠ACB，AD⊥CD，垂足为点D，M是边AB的中点，AB=20，AC=10，求线段DM的长．【答案】535-；【解析】解：延长AD交BC于E，∵∠C=90°，∴BC==10，∵CD平分∠ACB，AD⊥CD，∴∠ACD=∠ECD，∠ADC=∠EDC=90°，∴∠CAD=∠CED，∴CA=CE=10，∴AD=DE，∵M是边AB的中点，∴DM=12BE=12×（10-10）=535-．例题5（杨浦2017期末25）已知直线113y x=+与x轴、y轴分别相交于点A、B．点C的坐标为（2，0）．（1）求△ABC的面积；（2）点D在y轴上，若A、B、C、D四点为梯形的四个顶点，求所有满足条件的D点的坐标．【答案】（1）52；（2）2(0,)3-，3(0,)2-；【解析】（1）A （-3,0）B(0，1) ，∵C （2，0），∴△ABC 的面积=115122AC OB ⨯⨯=⨯⨯52=.（2）设D 点坐标为（0，b ），1゜当CD ∥AB 时，将C (2，0) 代入13y x b =+得23b =-，∴12(0,)3D -，2゜当AD ∥BC 时，设直线BC 的函数解析式为1y kx =+，将C (2，0) 代入1y kx =+，得12k =-. ∴直线BC 的函数解析式为112y x =-+，将A (-3，0) 代入12y x b =-+得32b =-，∴23(0,)2D - ，综上所述满足条件的坐标有2(0,)3-，3(0,)2- .【真题训练】一、选择题1.（普陀2018期中6）顺次联结等腰梯形各边中点所得到的四边形一定是（）A. 等腰梯形B. 菱形C. 矩形D. 正方形【答案】B ；【解析】解：如图所示，根据三角形中位线定理，EF=GH=12BD ，FG=EH=12AC ，∵ABCD 为等腰梯形，∴AC=BD ，∴EF=GH=FG=EH ，∴EFGH 为菱形．故选：B ．2．（金山2017期末6）如图，已知在梯形ABCD 中，AD // BC ，过点A 作AE ∥CD 交BC 于点E ，下列各式中正确的是 ( )A.AB AD AE +=u u u r u u u r u u u r ；B. BC CE BE -=u u u r u u u r u u u r ；C.AB CD BE +=-u u u r u u u r u u u r ；D. 0AE CD +=u u u r u u u r．【答案】C ；【解析】依题可知四边形ADCE 为平行四边形. A 、AB AE EB DA -=≠u u u r u u u r u u u r u u u rQ ，故A 错误；B 、BC CE BE +=u u u r u u u r u u u r Q ，故B 错误；C 、0AB BE CD AE EA ++=+=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r rQ ，AB CD BE ∴+=-u u u r u u u r u u u r ，故C 正确；D 、0AE CD +=u u u r u u u r r Q ，故D 错误；因此答案选C. 二、填空题3.（嘉定2019期末16）写出一个是轴对称图形但不是中心对称图形的四边形： . 【答案】等腰梯形（答案不唯一）；【解析】是轴对称图形但不是中心对称图形的四边形是等腰梯形或满足AB=AD ，CB=CD ，且AB ≠BC 的四边形ABCD.4. (长宁2018期末14)若梯形的一条底边长8cm ，中位线长10cm ，则它的另一条底边长是______cm ．【答案】12【解析】解：设另一条底边为x ，则8+x=2×10，解得x=12．即另一条底边的长为12． 5. （金山2019期末17）梯形ABCD 中，,6,===⊥P AD BC AB AD DC BD DC ，那么BD=_________ 【答案】3；【解析】如图所示：取BC 中点E ，联结DE ，因为BD DC ⊥，所以DE=BE=CE ，所以12∠=∠，因为AB=AD ，所以34∠=∠，又AD//BC ，所以41∠=∠，所以1324∠=∠=∠=∠，又BD=BD ，故ABD EBD ∆∆≌，故DE=BE=CE=AB=6，在Rt BDC ∆中，222212663BD BC CD =--=（另：过D 作DE//AB ，然后再证明四边形ABED 为菱形也可）4321EABCD6．（杨浦2017期末17）在梯形ABCD 中，AD //BC ，AD =3，BC =7，点E 、F 分别是AC 、BD 的中点，那么EF 的长为．【答案】2；【解析】联结DE 并延长交BC 于G ，易证明ADE CGE ∆∆≌，则GC=AD=3，DE=GE ，又DF=BF ，所以11(73)222EF BG ==-=. GFEA BCD7．（嘉定2017期末10）在等腰梯形ABCD 中，已知AD ∥BC ， ︒=∠50A ，那么∠C 的度数是．【答案】130︒；【解析】因为AD//BC ，所以180A D ∠+∠=︒，又因为是等腰梯形ABCD ，所以C D ∠=∠180130A =︒-∠=︒.8．（杨浦2017期末18）如图，DE 是△ABC 的中位线，将△ABC 沿线段DE 折叠，使点A 落在点F 处，若∠B =α，∠BDF =β，那么α与β的数量关系为．【答案】2180αβ+=︒；【解析】因为DE 是△ABC 的中位线，所以DE//BC ，ADE B α∴∠=∠=，因为折叠，ADE EDF α∴∠=∠=，因为180ADE EDF BDF ∴∠+∠+∠=︒，所以2180αβ+=︒.9.（浦东四署2019期末16）已知，在梯形ABCD 中，AD//BC ，AD=5，AB=CD=6，60B ∠=︒，那么下底BC 的长为 . 【答案】11；【解析】依题可知，梯形ABCD 是为等腰梯形，分别过A 、D 作AE BC ⊥于E ，DF BC ⊥于点F ，在Rt ABE ∆中，60B ∠=︒，所以30BAE ∠=︒，所以132BE AB ==，同理CF=3；又可知四边形AEFD 为矩形，故EF=AD=5，故BC=BE+EF+CF=3+5+3=11.10. （浦东2018期末15）已知在等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB =13厘米，AD =4厘米，高AH =12厘米，那么这个梯形的中位线长等于厘米．【答案】9；（第18题图）【解析】解：过D作DM⊥BC于M，∵AH⊥BC，∴AH∥DM，∠AHM=90°，∵AD∥BC，∴四边形AHDM是矩形，∴AH=DM=12厘米，AD=HM=4厘米，由勾股定理得：BH=22AB AH-=2213125-=（厘米），同理CM=5（厘米），∴BC=BH+HM+CM=14厘米，∴梯形ABCD的中位线长是41492+=（厘米），故答案为：9．11.（浦东2018期末18）已知在平面直角坐标系xOy中，直线142y x=-+与x轴交于点A、与y轴交于点B，四边形AOBC是梯形，且对角线AB平分∠CAO，那么点C的坐标为．【答案】（5，4）；【解析】解：∵142y x=-+，∴y=0时，1402x-+=，解得x=8，∴A（8，0），x=0时，y=4，∴B（0，4）．如图，四边形AOBC是梯形，且对角线AB平分∠CAO，∴BC∥OA，∠OAB=∠CAB，∴∠ABC=∠OAB，∴∠ABC=∠CAB，∴AC=BC．设点C的坐标为（x，4），则（x-8）2+42=x2，解得x=5，∴点C的坐标为（5，4）．12．（长宁2019期末13）如图，梯形ABCD中，AB∥CD，点E、F、G分别是BD、AC、DC的中点．已知两底差是6，两腰和是12，则△EFG的周长是．【答案】9；【解析】解：连接AE，并延长交CD于K，∵AB∥CD，∴∠BAE＝∠DKE，∠ABD＝∠EDK，∵点E、F、G分别是BD、AC、DC的中点．∴BE＝DE，在△AEB和△KED中，BAE DKEABD EDKBE DE∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△AEB≌△KED（AAS），∴DK＝AB，AE＝EK，EF为△ACK的中位线，∴EF＝12CK＝12（DC﹣DK）＝12（DC﹣AB），∵EG为△BCD的中位线，∴EG＝12BC，又FG为△ACD的中位线，∴FG＝12AD，∴EG+GF＝12（AD+BC），∵两腰和是12，即AD+BC＝12，两底差是6，即DC﹣AB＝6，∴EG+GF＝6，FE＝3，∴△EFG的周长是6+3＝9．故答案为：9．三、解答题13. （普陀2018期中20）如图，在等腰梯形ABCD中，DC∥AB，AD=BC=2，BD平分∠ABC．∠A=60°，求对角线BD的长和梯形ABCD的面积．【答案与解析】解：∵DC∥AB，AD=BC，∴∠A=∠ABC．∵BD平分∠ABC，∠A=60°，∴∠ABD =1 2∠ABC=30°．∴∠ADB=90°．∵AD=2，∴AB=2AD=4．∴BD=．过点D、C分别作DH⊥AB，CG⊥AB，垂足为点H、G．∵DC∥AB，BD平分∠ABC，∴∠CDB=∠ABD=∠CBD．∵BC=2，∴DC=BC=2．在Rt△ADH和Rt△BCG中，，∴Rt△ADH≌Rt△BCG．∴AH=BG．∵∠A=60°，∴∠ADH=30°．∴AH=12AD=1，DH=．∵DC=HG=2，∴AB=4．∴梯形ABCD的面积=1(24)3332⨯+⨯=．14.（静安2019期末23）如图，在四边形ABCD中，AD//BC，BC=2AD，90BAC∠=︒，点E为BC的中点.（1）求证：四边形AECD是菱形；（2）联结BD，如果BD平分ABC∠，AD=2，求BD的长.EDCBA【答案与解析】（1）证明：90BAC ∠=︒Q ，点E 为BC 的中点，12AE EC BC ∴==，122BC AD AD BC =∴=Q ，AD EC ∴=，又AD//BC ，∴四边形AECD 是平行四边形，又,AE EC AECD =∴Q 四边形是菱形. （2）//,AD BC AD BC <Q ，所以四边形ABCD 是梯形，因为BD 平分ABC ∠，所以12ABD DBC ABC ∠=∠=∠，//,AD BC ADB DBC ∴∠=∠Q ，AD AB ∴=，因为四边形AECD 是菱形，所以AD=DC ＝2，所以AB=DC=2，所以四边形ABCD 是等腰梯形，所以BD=AC ，因为BC=2AD=4，所以BD=AC=22224223BC AB -=-=.EDCBA15．（闵行2017期末6）已知：如图，直角梯形ABCD 中，AD // BC ，∠B = 90º，AD = 2，AB = 3，BC = 4，DE ⊥AC ，垂足为点E ，求DE 的长．【答案】65；【解析】解：在Rt △ABC 中，∵ ∠B = 90º，AD = 2，AB = 3，225AC AB BC =+=．∵ AD // BC ， ∠B = 90º， ∴ ∠BAD = 180º－∠B = 90º．又∵ DE ⊥AC ， ∴ 1122BOC S AD AB AC DE ∆=⨯⨯=⨯⨯．又∵ AD = 2，AB = 3，AC = 5，∴ DE =65．∴ DE 的长为65． 16．（静安2018期末24）如图，Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，D 是边BC 上一点，点E 、F 分别是线段AB 、AD 中点，联结CE 、CF 、EF ．（1）求证：△CEF ≌△AEF ；（2）联结DE ，当BD ＝2CD 时，求证：AD ＝2DE ．【答案与解析】解：证明：（1）∵∠ACB＝90°，且E线段AB中点，∴CE＝12AB＝AE，∵∠ACD＝90°，F为线段AD中点，∴AF＝CF＝12AD，在△CEF和△AEF中，CF AFEF EFCE AE=⎧⎪=⎨⎪=⎩，∴△CEF≌△AEF（SSS）；（2）连接DE，∵点E、F分别是线段AB、AD中点，∴EF＝12BD，EF∥BC，∵BD＝2CD，∴EF＝CD．又∵EF∥BC，∴四边形CFEDD是平行四边形，∴DE＝CF，∵CF＝AF＝FD，∴AD＝2DE．17. （浦东2018期末26）如图，已知在梯形ABCD中，AD∥BC，P是下底BC上一动点（点P与点B不重合），AB=AD=10，BC=24，∠C=45°，45°＜∠B＜90°，设BP=x，四边形APCD的面积为y．（1）求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；（2）联结PD，当△APD是以AD为腰的等腰三角形时，求四边形APCD的面积．【答案】（1）y=-4x+136（0＜x＜24）；（2）88或96或48；【解析】（1）解：作AH⊥BC于H．设AH=h．由题意：+10+h=24，整理得：h2-14h+48=0，解得h=8或6（舍弃），∴y=12（10+24-x）×8，即y=-4x+136（0＜x＜24）（2）解：①当AP=AD=10时，∵AB=AD=10，∴AP=AB=10，∵BH=6，∴BP=2BH=12，即x=12，∴y=88．②当PD=AD=10时，四边形ABPD是平行四边形或等腰梯形，∴BP=AD=10或BP=2BH+AD=22，即x=10或22，∴y=96或48，综上所述，四边形APCD的面积为88或96或48．18. (奉贤2018期末25)已知，梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，AB=3，BC=10，AD=5，M是BC边上的任意一点，联结DM，联结AM．（1）若AM 平分∠BMD ，求BM 的长；（2）过点A 作AE ⊥DM ，交DM 所在直线于点E ．①设BM =x ，AE =y 求y 关于x 的函数关系式；②联结BE ，当△ABE 是以AE 为腰的等腰三角形时，请直接写出BM 的长． A B M C D E【答案与解析】解：（1）如图1中，作DH ⊥BC 于H ．则四边形ABHD 是矩形，AD =BH =5，AB =DH =3．当MA 平分∠DMB 时，易证∠AMB =∠AMD =∠DAM ，可得DA =DM =5，在Rt △DMH 中，DM =AD =5，DH =3，∴MH ===4，∴BM =BH -MH =1，当AM ′平分∠BM ′D 时，同法可证：DA =DM ′，HM ′=4，∴BM ′=BH +HM ′=9．综上所述，满足条件的BM 的值为1或9．（2）①如图2中，作MH ⊥AD 于H ．在Rt △DMH 中， DM 2223(5)1034x x x +-=-+，∵S △ADM =12•AD •MH =12•DM •AE ，∴5×3=y •，∴2151034x x y -+=．②如图3中，当AB =AE 时，y =3，此时5×3=3，解得x =1或9．如图4中，当EA =EB 时，DE =EM ，∵AE ⊥DM ，∴DA =AM =5，在Rt △ABM 中，BM ==4．综上所述，满足条件的BM 的值为1或9或4．A B MCDEM A B MHD C H M'M 图4图3图2图1B EC D A A B C D E19.（静安2019期末25）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知点A （0，4），点C （5，0），点B 在第一象限内，BA y ⊥轴，且32AB OA =. （1）求直线BC 的表达式；（2）如果四边形ABCD 是等腰梯形，求点D 的坐标.【答案】（1）420y x =-；（2）548(1,0)(,)1717-或；【解析】解：（1）3,(0,4)2AB OA A =Q ，6BA ∴=；BA y ⊥Q 轴，(6,4)B ∴；设直线BC 的表达式为(0)y kx b k =+≠，由题意可得6450k b k b +=⎧⎨+=⎩，解得420k b =⎧⎨=-⎩，所以直线BC 的表达式为420y x =-.（2）①当CD//AB 时，点D 在 x 轴上，设(,0)D m ，因为AD=BC ，所以1m =±，经检验1m =±都是原方程的根，但当1m =-时，四边形ABCD 是平行四边形，不合题意，舍去，(1,0)D ∴；②AD//BC 时，则直线AD 的表达式为44y x =+，设(,44)D n n +，6,AB CD ==Q 6CD ∴，解得125,117n n =-=-，经检验125,117n n =-=-是原方程的根，21n =-时，四边形ABCD 是平行四边形，合题意，舍去，548(,)1717D ∴-；综上所述，点D 的坐标为548(1,0)(,)1717-或.。

初中数学压轴题大题技巧,只需要这几条辅助线!

初中数学压轴题大题技巧，只需要这几条辅助线！一、添辅助线有二种情况如证明二直线垂直可延长使它们，相交后证交角为90°；证线段倍半关系可倍线段取中点或半线段加倍；证角的倍半关系也可类似添辅助线。

2、按基本图形添辅助线：每个几何定理都有与它相对应的几何图形，我们把它叫做基本图形，添辅助线往往是具有基本图形的性质而基本图形不完整时补完整基本图形，因此“添线”应该叫做“补图”！这样可防止乱添线，添辅助线也有规律可循。

举例如下：（1）平行线是个基本图形：当几何中出现平行线时添辅助线的关键是添与二条平行线都相交的等第三条直线（2）等腰三角形是个简单的基本图形：当几何问题中出现一点发出的二条相等线段时往往要补完整等腰三角形。

出现角平分线与平行线组合时可延长平行线与角的二边相交得等腰三角形。

（3）等腰三角形中的重要线段是个重要的基本图形：出现等腰三角形底边上的中点添底边上的中线；出现角平分线与垂线组合时可延长垂线与角的二边相交得等腰三角形中的重要线段的基本图形。

（4）直角三角形斜边上中线基本图形：出现直角三角形斜边上的中点往往添斜边上的中线。

出现线段倍半关系且倍线段是直角三角形的斜边则要添直角三角形斜边上的中线得直角三角形斜边上中线基本图形。

（5）三角形中位线基本图形：几何问题中出现多个中点时往往添加三角形中位线基本图形进行证明当有中点没有中位线时则添中位线，当有中位线三角形不完整时则需补完整三角形；当出现线段倍半关系且与倍线段有公共端点的线段带一个中点则可过这中点添倍线段的平行线得三角形中位线基本图形；当出现线段倍半关系且与半线段的端点是某线段的中点，则可过带中点线段的端点添半线段的平行线得三角形中位线基本图形。

（6）全等三角形：全等三角形有轴对称形，中心对称形，旋转形与平移形等；如果出现两条相等线段或两个档相等角关于某一直线成轴对称就可以添加轴对称形全等三角形：或添对称轴，或将三角形沿对称轴翻转。

梯形中添加辅助线的六种常用技巧

梯形中添加辅助线的六种常用技巧在几何学中，梯形是一种具有两条平行边的四边形。

为了解决梯形问题，往往需要在梯形中添加辅助线。

下面介绍六种常用的技巧。

1.连接两个对角线：首先，连接梯形的两个非平行边的中点，形成一条对角线。

然后，连接梯形的两个对角线中点，即可形成两个等腰三角形。

这样，可以通过等腰三角形性质来得到有关角度和边长的信息。

2.连接平行边的中点：将梯形的两条平行边的中点相连，可以形成一条平行于两条平行边的线段。

这条线段将梯形分成两个平行四边形，从而可以根据平行四边形的性质来解决问题。

3.连接一条平行边的中点和另一条边的中点：将梯形的一条平行边的中点和与之相对的边的中点连接，可以形成一条平行于梯形的底边的中线。

这样，可以通过中线分割线段的性质来得到有关线段和平行边的信息。

4.连接底边的中点和非平行边的中点：将梯形的底边的中点和非平行边的中点连接，可以形成一条平行于两条平行边的线段。

这样，可以根据平行四边形的性质来推导出梯形内部各部分的关系。

5.连接两个顶点和底边上的中点：将梯形的两个顶点和底边上的中点相连，可以得到两个等腰三角形。

利用等腰三角形的性质，可以推导出梯形的各个部分的角度和边长关系。

6.连接梯形的顶点和对角线交点：将梯形的两个顶点和另一条对角线的交点相连，可以形成一个三角形。

根据三角形的性质，可以得到角度和边长的关系，进而解决梯形问题。

这些添加辅助线的技巧可以帮助我们更好地理解和解决梯形问题。

通过巧妙地添加辅助线，可以将原来复杂的问题转化为简单的几何形状，从而更容易得到解答。

在解决梯形问题时，我们可以根据具体情况选择适合的添加辅助线的技巧，以便更加高效地解决问题。

例说梯形辅助线的作法

例说梯形辅助线的作法作者：孙传俊来源：《知识力量·教育理论与教学研究》2011年第04期解梯形题目时，常需要添加适当的辅助线，把梯形转化为三角形、平行四边形、其他图形的组合图形，再运用三角形、平行四边形的有关知识去解决梯形的有关问题，常用的辅助线有：一、平移一腰或两腰就是过梯形上底的一个端点作一腰或两腰的平行线，构造三角形和平行四边形来解决问题。

例一：如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,E、F分别是AD、BC的中点,若∠B+∠C=900.AD=7,BC=15,求EF．分析：由条件∠D+∠C-900,我们通过平移AB、DC；构造直角三角形MEN,使EF 恰好是△MEN的中线．解：过E作EM∥AB,EN∥DC,分别交BC于M、N,∵∠B+∠C=900,∴∠EMN+∠ENM=900∴△MEN是直角三角形,∵AD=7,BC=15,∴MN=8.∵E、F分别是AD、BC的中点,∴F为MN的中点,∴ .二、平移对角线就是过梯形上底的一个端点作某一条对角线的平行线，构造三角形、平行四边形从而引出证明思路。

例二：已知：如图,在梯形ABCD中,AB∥CD.求证：梯形ABCD是等腰梯形.证明：过D作DE∥CA,交BA延长线于E.则四边形DEAC是平行四边形.∴DE=AC=DB.∴∠E=∠DBA又∠CAD-∠E,∴∠DBA=∠CAB于是,可得△DAB≌△CBA∴AD=BC∴梯形ABCD是等腰梯形.三、延长两腰相交于一点延长两腰相交于一点，可得到两个相似三角形，再利用相似知识解题。

例三：如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,EF∥BC,梯形AEFD的面积与梯形EBCF的面积相等．求证：AD2+BC2=2EF2.分析：条件是两个梯形的面积相等,而结论是三线段长的平方关系,如果延长两腰交于一点,就可得到三个相似的三角形,再利用相似三角形的面积比与相似比的关系变形就可得出结论．证明：延长BA、CD使它们相交于0点,∵AD∥EF,∴∴S梯形AEFD-S△DEF-S△OAD.同理,∵S梯形AEFD=S梯形EBCF故得EF2-AD2=BC2-EF2∴AD2+BC2=2EF2四、作梯形的高就是过梯形上底的两个端点作梯形的高，构造两个直角三角形和一个矩形，可使证明思路明朗化。

初中数学常见辅助线做法

梯形中添加辅助线的六种常用技巧

初中数学辅助线常用做法

解决梯形问题常添加的四种辅助线

中考数学点对点-几何问题辅助线添加技巧(解析版)

添加辅助线巧化梯形

梯形中常用的辅助线

辅助线(补形法)

巧添辅助线 妙解梯形题

梯形常用辅助线的添加方法

梯形常用的辅助线

梯形问题中如何添加辅助线

辅助线的常见做法

上海市八年级第二学期数学专题07 梯形(考点串讲)(解析版)

初中数学压轴题大题技巧,只需要这几条辅助线!

梯形中添加辅助线的六种常用技巧

例说梯形辅助线的作法

巧添辅助线妙解梯形题