福建省届高三普通高中毕业班4月质量检查数学文试题答案解释(word可编辑)
2024福建省福州市高三下学期4月末质量检测数学试题及答案
（在此卷上答题无效）2023～2024 学年福州市高三年级4月份质量检测数 学 试 题（完卷时间 120 分钟； 满分 150 分）友情提示： 请将所有答案填写到答题卡上！请不要错位、越界答题！一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个 选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合101M xx= +…，则M =R ð A. {}1x x <−B. {}1x x −…C. {}1x x >−D. {}1x x −…2. 设,a b ∈R ，则“0ab <”是“0a ba b”的 A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3. 等轴双曲线经过点(3,1)−，则其焦点到渐近线的距离为A ．B ．2C ．4D6. 54(1)(12)x x −+的展开式中2x 的系数为A ．14−B ．6−C ．34D ．747. 数列{}n a 共有5项，前三项成等差数列，且公差为d ，后三项成等比数列，且公比为q .若第2项等于2，第1项与第4项的和等于10，第3项与第5项的和等于30，则d q −= A ．1 B ．2 C ．3 D ．48. 四棱锥E ABCD −的顶点均在球O 的球面上，底面ABCD 为矩形，平面BEC ⊥平面ABCD ，BC =，1CD CE ==，2BE =，则O 到平面ADE 的距离为A ．13B ．14C D二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分， 有选错的得0分.9. 在一次射击比赛中，甲、乙两名选手的射击环数如下表，则下列说法正确的是甲乙87 90 96 91 86 90 86 92 87 95A ．甲选手射击环数的极差大于乙选手射击环数的极差B ．甲选手射击环数的平均数等于乙选手射击环数的平均数C ．甲选手射击环数的方差大于乙选手射击环数的方差D ．甲选手射击环数的第75百分位数大于乙选手射击环数的第75百分位数 10. 已知函数()()sin 2f x x ϕ=+满足ππ33f x f x+=−，且π()(π)2f f >，则A ．1sin 2ϕ=B ．1sin 2ϕ=−C ．()y f x =的图象关于点13(π,0)12对称D ．()f x 在区间π(,π)2单调递减11. 已知函数()(e e )e e x x x x f x ax −−=+−+恰有三个零点123,,x x x ，且123x x x <<，则 A ．1230x x x ++= B ．实数a 的取值范围为(0,1] C ．110ax +>D ．31ax a +>三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.12. 若向量(3,4)=−a 在向量b (2,1)=−上的投影向量为λb ，则λ等于__________.13. 倾斜角为π3的直线经过抛物线C ：212y x =的焦点F ，且与C 交于A ，B 两点，Q 为线段AB 的中点，P 为C 上一点，则PF PQ +的最小值为__________.14. 如图，六面体111ABCDA C D的一个面ABCD 是边长为2的正方形，111,,AA CC DD 均垂直于平面ABCD ，且11AA =，12CC =，则该六面体的体积等于__________，表面积等于_________.1A四、解答题：本大题共5小题，共77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15. （13分）已知数列{}n a 满足12a =，12n n a a n −=+（2n …）. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）记数列1{}na 的前n 项和为n S ，证明：1n S <.16. （15分）甲企业生产线上生产的零件尺寸的误差X 服从正态分布2(0,0.2)N ，规定(0.2,0.2)X ∈−的零件为优等品，(0.6,0.6)X ∈−的零件为合格品．（1）从该生产线上随机抽取100个零件，估计抽到合格品但非优等品的个数（精确到整数）；（2）乙企业拟向甲企业购买这批零件，先对该批零件进行质量抽检，检测的方案是：从这批零件中任取2个作检测，若这2个零件都是优等品，则通过检测；若这2个零件中恰有1个为优等品，1个为合格品但非优等品，则再从这批零件中任取1个作检测，若为优等品，则通过检测；其余情况都不通过检测.求这批零件通过检测时，检测了2个零件的概率（精确到0.01）.（附：若随机变量2~(,)N ξµσ，则()0.6827P µσξµσ−<<+=，(22)0.9545P µσξµσ−<<+=，(33)0.9973P µσξµσ−<<+=）17. （15分）如图，以正方形ABCD 的边AB 所在直线为旋转轴，其余三边旋转120°形成的面围成一个几何体ADF BCE −．设P 是»CE 上的一点，G ，H 分别为线段AP ，EF 的中点.（1）证明：GH ∥平面BCE ；（2）若BP AE ⊥，求平面BPD 与平面BPA 夹角的余弦值.C18. （17分）点P 是椭圆E ：22221(0)x y a b a b+=>>上（左、右端点除外）的一个动点，1(,0)F c −，2(,0)F c 分别是E 的左、右焦点．（1）设点P 到直线2:a l x c =的距离为d ，证明2||PF d为定值，并求出这个定值； （2）12PF F △的重心与内心（内切圆的圆心）分别为G ，I ，已知直线IG 垂直于x 轴． （ⅰ）求椭圆E 的离心率；（ⅱ）若椭圆E 的长轴长为6，求12PF F △被直线IG 分成两个部分的图形面积之比的取值范围．19. （17分）记集合{}(),000()()|,()(),,()()f x x D L l x kx b x x D f x l x x D f x l x ∈==+∈∀∈∃∈=R 且…，集合{}(),000()()|,()(),,()()f x x D T l x kx b x x D f x l x x D f x l x ∈==+∈∀∈∃∈=R 且….若(),()f x x D l x L ∈∈，则称直线()y l x =为函数()f x 在D 上的“最佳上界线”；若(),()f x x D l x T ∈∈，则称直线()y l x =为函数()f x 在D 上的“最佳下界线”.（1）已知函数2()f x x x =−+，0()1l x kx =+.若0(),()f x x l x L ∈∈R ，求k 的值； （2）已知()e 1x g x =+.（ⅰ）证明：直线()y l x =是曲线()y g x =的一条切线的充要条件是直线()y l x =是函数()g x 在R 上的“最佳下界线”；（ⅱ）若()ln(1)h x x =−，直接写出集合(),(1,)(),h x x g x x L T ∈+∞∈R I 中元素的个数（无需证明）.2023～2024 学年福州市高三年级4月份质量检测参考答案与评分细则一、选择题：本大题考查基础知识和基本运算．每小题5分，满分40分.1．D 2．C 3．A 4．C 5．D 6．B 7．B 8．A二、选择题：本大题考查基础知识和基本运算．每小题6分，满分18分．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．ABC 10．BC 11．ACD三、填空题：本大题考查基础知识和基本运算．每小题5分，满分15分．12．2− 13．8 14．6，22四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15. 【考查意图】本小题主要考查递推数列与数列求和等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力等；考查分类与整合、化归与转化等思想方法；考查数学运算、逻辑推理等核心素养；体现基础性和综合性.满分13分.解：（1）因为12,2n n a a n n −=+…，所以12n n a a n −−=，···································1分 当2n …时，112211()()()n n n n n a a a a a a a a −−−=−+−++−+L ，所以22242n a n n =+−+++L ，·························································3分 所以(22),22n n n a n +=…，所以2,2n a n n n =+…，··································4分 又因为12a =，···············································································5分 所以2*,n a n n n =+∈N .······································································6分 （2）由（1）可知2*(1),n a n n n n n =+=+∈N ，·············································7分所以()111111n a n n n n ==−++，····························································9分 所以11111223(1)(1)n S n n n n =++++××−+L 1111111122311n n n n =−+−++−+−−+L ，·····································11分 所以111n S n =−+，·········································································12分 又因为1n …，所以1n S <.·································································································13分16.【考查意图】本小题主要考查正态分布、全概率公式、条件概率等基础知识，考查数学建模能力、逻辑思维能力和运算求解能力等，考查分类与整合思想、概率与统计思想等，考查数学建模、数据分析、数学运算等核心素养，体现基础性、综合性和应用性．满分15分. 解：（1）依题意得，0,0.2µσ==，···························································1分所以零件为合格品的概率为(0.60.6)(33)0.9973P X P X µσµσ−<<=−<<+=， ···································································································2分 零件为优等品的概率为(0.20.2)()0.6827P X P X µσµσ−<<=−<<+=，·····3分 所以零件为合格品但非优等品的概率为0.99730.68270.3146P =−=，···········5分 所以从该生产线上随机抽取100个零件，估计抽到合格品但非优等品的个数为1000.314631×≈.·············································································6分 （2）设从这批零件中任取2个作检测，2个零件中有2个优等品为事件A ，恰有1个优等品，1个为合格品但非优等品为事件B ，从这批零件中任取1个检测是优等品为事件C ，这批产品通过检测为事件D ，····························································8分 则D A BC =+，且A 与BC 互斥，·······················································9分 所以()()()P D P A P BC =+·································································10分()()(|)P A P B P C B =+·························································11分221220.68270.68270.31460.6827C C =×+×××21.62920.6827=×，····························································12分所以这批零件通过检测时，检测了2个零件的概率为 ()(|)()P AD P A D P D =···········································································13分 220.68271.62920.6827=× 11.6292= 0.61≈.············································································· 15分答：这批零件通过检测时，检测了2个零件的概率约为0.61.17.【考查意图】本小题主要考查直线与平面平行的判定定理、直线与平面垂直的判定与性质定理、平面与平面的夹角、空间向量、三角函数的概念等基础知识，考査直观想象能力、逻辑推理能力、运算求解能力等,考查数形结合思想、化归与转化思想等，考査直观想象、逻辑推理、数学运算等核心素养，体现基础性、综合性.满分15分.解法一：（1）在正方形ABEF 中，连接AH 并延长，交BE 的延长线于点K ，连接PK .···································································································2分因为,G H 分别为线段,AP EF 中点， 所以HF HE =，所以Rt AFH △≌Rt KEH △，所以AH KH =，·····························4分 所以GH PK ∥.································5分 又因为,GH BCE PK BCE ⊄⊂面面，所以GH BCE ∥面.···········································································7分 （2）依题意得，AB BCE ⊥面，又因为BP BCE ⊂面，所以AB BP ⊥.又因为BP AE ⊥,AB AE A =I ,,AB AE ABEF ⊂面，所以BP ABEF ⊥面，········································································8分 又BE ABEF ⊂面，所以BP BE ⊥，·····················································9分解法二：（1）证明：取BP 的中点Q ，连接,GQ EQ . ·····1分因为,G H 分别为线段,AP EF 的中点， 所以GQ AB ∥，12GQ AB =，····························2分 又因为,AB EF AB EF =∥，所以,GQ HE GQ HE =∥，·································3分所以四边形GQEH 是平行四边形，······················································4分 所以GH QE ∥，··············································································5分 又因为,GH BCE QE BCE ⊄⊂面面，所以GH BCE ∥面.············································································7分 （2）同解法一.····················································································15分所以GH BCE ∥面.············································································7分 （2）同解法一.····················································································15分18.【考查意图】本小题主要考查圆、椭圆的标准方程及简单几何性质，直线与椭圆的位置关系等基础知识，考査直观想象能力、逻辑推理能力、运算求解能力等,考查数形结合思想、化归与转化思想、分类与整合思想等，考査直观想象、逻辑推理、数学运算等核心素养，体现基础性、综合性与创新性.满分17分.解法一：（1）依题意，222b c a +=．··························································1分设00(,)P x y ，则2200221x y a b +=，0ax a −<<，所以2||PF =，所以20||||cPF x a a==−，············································3分又a c >，所以0c a x a >，20a x c >，所以20||c PF a x a =−，20a d x c =−所以0220||c a x PF c a a d a x c−==−，即2||PF d 为定值，且这个定值为ca．··················4分 （2）（ⅰ）依题意，00(,)33x yG ，设直线IG 与x 轴交于点C ，因为IG ⊥x 轴，所以0(,0)3xC ，·······················5分所以001202||||()()333x x FC F C c c x −=+−−=，··········································6分 因为△PF 1F 2的内切圆与x 轴切于点C ，所以121202||||||||3PF PF F C F C x −=−=，·················································7分又因为12||||2PF PF a +=，解得02||3x PF a =−，··········································8分由（1）得20||cPF a x a =−， 所以003x ca x a a −=−，所以椭圆E 的离心率13c e a ==．·························10分（ⅱ）由26a =，得3a =，又13c a =，所以1c =，2228b a c =−=，所以椭圆E 的方程为22198x y +=．······················································11分根据椭圆对称性，不妨设点P 在第一象限或y 轴正半轴上，即003x <…，00y <…， 又1(1,0)F −，2(1,0)F ，所以直线PF 1的方程为00(1)1yy x x =++，设直线IG 与PF 1交于点D ，因为03D x x =，所以000(3)3(1)D y x y x +=+，△F 1CD 的面积1S 与△PF 1F 2的面积S 之比为00200100(3)1(1)233(1)(3)118(1)22x y x x x S S x y ++×++==+××，················································13分令2(3)()18(1)x f x x +=+（03x <…），则2(3)(1)(1))(18x x x f x −′++=，当[0,1)x ∈，()0f x ′<，当(1,3)x ∈，()0f x ′>， 所以函数()f x 在[0,1)单调递减，在(1,3)单调递增.又因为1(0)2f =，4(1)9f =，1(3)2f =，所以()f x 的值域是41[,]92，所以14192S S ……，··········································································15分所以11415S S S −……，·······································································16分 根据对称性，△PF 1F 2被直线IG 分成两个部分的图形面积之比的取值范围是45[,54．········17分解法二：（1）同解法一···········································································4分（2）（ⅰ）依题意，00(,33x yG ，设直线IG 与x 轴交于点C ，因为IG ⊥x 轴，所以0(,0)3xC ，·······················5分所以001202||||()()333x x FC F C c c x −=+−−=，··········································6分 因为△PF 1F 2的内切圆与x 轴切于点C ，所以121202||||||||3PF PF F C F C x −=−=，·················································7分又因为12||||2PF PF a +=，得0102||,3||.3x PF a x PF a=+ =− ···········································8分所以00,3,3x a x a =+=−两式平方后取差，得00443cx ax =对任意0x 成立， 所以椭圆E 的离心率13c e a ==．························································10分（ⅱ）同解法一···················································································17分 解法三：（1）同解法一···········································································4分（2）（ⅰ）依题意，00(,33x y G ，因为IG ⊥x 轴，设点I 坐标为0(,)3xt .··········5分可求直线1PF 方程为00()yy x c x c=++，则点I 到直线1PF 的||t =，·································6分即()222200000()()()3x y c t x c t y x c +−+=++ ，化简得22000002()()()033x xy t t c x c y c +++−+=，①同理，由点I 到直线2PF 的距离等于||t ，可得22000002()()()033x xy t t c x c y c +−−−−=，②············································7分 将式①−式②，得00084233t cx y cx ⋅=⋅，则04y t =.·····································8分将04yt =代入式①，得2200001()()()016233y xx c x c c +++−+=， 化简得220022198x y c c +=，得229c a =，所以椭圆E 的离心率13c e a ==．························································10分（ⅱ）同解法一···················································································17分19.【考查意图】本小题主要考查集合、导数、不等式等基础知识，考查逻辑推理能力、直观想象能力、运算求解能力和创新能力等，考查函数与方程思想、化归与转化思想、分类与整合思想、数形结合思想等，考查数学抽象、逻辑推理、直观想象、数学运算等核心素养，体现基础性、 综合性与创新性.满分17分. 解：（1）依题意，因为0(),()f x x l x L ∈∈R ，所以2,1x x x kx ∀∈−++R …，且0x R ，20001x x kx −+=+，····················1分 令2()(1)1x x k x φ=−+−−，()214k ∆=−−， 则()0x φ…，且0()0x φ= ，所以0,0,∆ ∆ ……所以0∆= ，···································································3分即()2140k −−=，解得3k =或1−.··············································································4分（2）（ⅰ）先证必要性.若直线()y l x =是曲线()y g x =的切线，设切点为()00,e 1x x +， 因为()e x g x ′=，所以切线方程为()000e 1e ()x x y x x −+=−，即()000e (1)e 1x x l x x x =+−+（*）.························································5分 一方面，()()00g x l x =，所以000,()()x g x l x ∃∈=R ，································6分。
2024届福建省部分地市高三下学期4月诊断检测(三模)数学数学答案
绝密★启用前试卷类型：A2023-2024学年福州市高三年级第三质量检测评分参考数学2024.4一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知复数z 满足（i 是虚数单位），则z =A ．1-B ．1C ．i-D ．i解析：∵i i 1i z +=+，∴i 1z =，即i z =-，故选C.2．已知角α的顶点在坐标原点，始边与x 轴非负半轴重合，cos α=，(,2)P m 为其终边上一点，则m =A ．4-B ．4C ．1-D ．1解析：∵cos α=，∴2tan 2m α==，∴1m =，故选D .解析：结合该函数为偶函数，及()03f =可判断应选A.4．在菱形ABCD 中，若||||AB AD AB -= ，且AD 在AB 上的投影向量为AB λ，则λ=A ．12-B ．12C ．22-D ．22解析：由已知AB AD AB -=知该菱形中AB AD BD ==，∴由D 向AB 作垂线，垂足即为AB 中点，∴12λ=，故选B .5．已知5log 2a =，2log b a =，1(2bc =，则A.c b a >>B.c a b>> C.a b c >> D.b c a>>解析：∵55log 2log 51a =<=，∴2log 0b a =<，1(12b c =>，∴c a b >>，故选B.6．棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，点P 为1BD 上的动点，O 为底面ABCD 的中心，则OP 的最小值为 A.33B.63C.66D.32解析：在正方体中，易知AC BD ⊥，1AC DD ⊥，且1BD DD D = ，∴AC ⊥平面1BDD ，易知当OP ⊂平面1BDD ，且1OP BD ⊥时，OP 的长度最小，在1RT BDD △中,不难求得66OP =，故选C.7．若直线y ax b =+与曲线e xy =相切，则a b +的取值范围为A ．(,e]-∞B ．[2,e]C ．[e,)+∞D ．[2,)+∞解析：设切点为00(,e )x x ，则0e ,x a =∴切线方程为000e ()e x x y x x =-+，则00(1)e x b x =-，∴00(2)e x a b x +=-，设00()(2)e x f x x =-，则00()(1)e x f x x '=-，易知函数()(1)e f x f ≤=，又(2)02f =<，故可判断选A.（由图象知当且仅当切线与曲线相切于()1,e 时，11e e a b a b +=⨯+==最大，亦可知选A.）8．已知函数()2sin cos )f x x x x ωωω=+(0)ω>在π(0,)3上单调递增，且对任意的实数a ，()f x 在(,π)a a +上不单调，则ω的取值范围为A ．5(1,]2B ．5(1,]4C ．15(,22D ．15(,]24解析：∵π()2sin cos )2sin(2)3f x x x x x ωωωω=+=-+∵()f x 在π(0,3上单调递增，∴πππ2332ω⋅-≤，∴54ω≤，∵对任意的实数a ，()f x 在区间(,π)a a +上不单调，∴()f x 的周期2πT <，∴2π2π2T ω=<，∴12ω>，∴1524ω<≤，故选D ．二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．题号91011答案ABDACDBC9．双曲线2222:13x y C a a-=(0)a >的左、右焦点分别为1F ，2F ，且C 的两条渐近线的夹角为θ，若12||2F F e =（e 为C 的离心率），则解析：易知该双曲线实半轴为a ，半焦距为2a ，∴离心率22ae a==，∴焦距44a =，即1a =，∴选项A 正确，选项C 错误；易知C 的两条渐近线的斜率为3k a=±=，∴这两条渐近线的倾斜角分别为π3和2π3，∴C 的两条渐近线的夹角为π3，∴选项B ，D 正确；综上所述，应选ABD .10.定义在R 上的函数()f x 的值域为(,0)-∞，且(2)()()0f x f x y f x y ++-=，则A ．(0)1f =-B ．2(4)[(1)]0f f +=C ．()()1f x f x -=D ．()()2f x f x +-≤-解析：令0x y ==，则()()2000f f+=，∵函数()f x 的值域为(,0)-∞，∴(0)1f =-，选项A 正确；令1x =，0y =，则2(2)[(1)]f f =-，令2x =，0y =，则24(4)[(2)][(1)]f f f =-=-，∴选项B 错误；令0x =，则(0)()()0f f y f y +-=，∴()()(0)1f y f y f -=-=，即()()1f x f x -=，∴选项C 正确；∵()0f x ->，()0f x -->，∴[()()]2f x f x -+-≥∴()()2f x f x +-≤-，故选项D 正确；综上所述，应选ACD .11.投掷一枚质地均匀的硬币三次，设随机变量1,1,(1,2,3)n n n X n ⎧==⎨-⎩第次投出正面,第次投出反面,．记A 表示事件“120X X +=”，B 表示事件“21X =”，C 表示事件“1231X X X ++=-”，则A ．B 和C 互为对立事件B ．事件A 和C 不互斥C ．事件A 和B 相互独立D ．事件B 和C 相互独立解析：考查选项A ，事件B 和C 均会出现“反，正，反”的情况，故选项A 错误；考查选项B ，事件A 和C 均会出现“反，正，反”的情况，故选项B 正确；考查选项C ，易知12211()(22P A C ==，1()2P B =，事件AB 为前两次投出的硬币结果为“反，正”，则1()4P AB =，∴1()()()4P AB P A P B ==，故选项C 正确；考查选项D ，由选项AC 可知311()(28P BC ==，1()2P B =，在事件C 中三次投出的硬币有一次正面，两次反面，则23313()(28P C C ==，∴()()()P BC P B P C ≠，故选项D 错误；综上所述，应选BC ．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.160；13.2；14.22mm +；1或2．12.62()x x+的展开式中常数项为．解析：易知该二项展开式通项为662()r r r C x x-，∴当3r =时，得到常数项为160，故应填160．13．某圆锥的体积为π3，其侧面展开图为半圆，则该圆锥的母线长为．解析：设该圆锥的母线长为l ，底面圆半径为r ，根据侧面展开图为半圆得2ππr l =，即2l r =，又根据圆锥体积得1ππ33r =，解得1r =，2l =，故应填2．14.设n T 为数列{}n a 的前n 项积，若n n T a m +=，其中常数0m >．则2a =（结果用m 表示）；若数列1{}nT 为等差数列，则m =．解析：易知112m T a ==，∴12221)(2m a a a a m =+=+，解得222a m m =+，故应填22m m +；（方法一）211111111111111n n n n n n n n T T m a m a m a m ma a m m m a ---------=-=-=-----+(2)n ≥，若数列1{}n T 为等差数列，则2111n n m ma a ----为常数d ，①若0d =，则11n a -=(2)n ≥恒成立，即1n a =(1)n ≥恒成立，∴2m =；②若0d ≠，则1211n n dm dm a a --=--，∴2,,11dm dm ==⎧⎨⎩解得1,1,d m ==⎧⎨⎩综上所述，若数列1{}nT 为等差数列，则1m =，或2m =，故应填1或2．（方法二）∵1{}n T 为等差数列，∴111n n d T T -=+(2)n ≥，易知112T m =，且12(1)n n d T m=+-，当2n ≥时，∵n n T a m +=，∴1n n n T T m T -+=，∴111n n m T T -=+，∴由12(1)n n d T m =+-，可得22(1)1(2)m n d n d m+-=++-，∴2(1)1(2)m dn m d m-=-++-对于任意n 恒成立，∴1,21(2)0,m m d m =⎧⎪⎨-++-=⎪⎩或0,21(2)0,d m d m =⎧⎪⎨-++-=⎪⎩解得1,1,m d =⎧⎨=⎩或0,2,d m =⎧⎨=⎩综上所述，若数列1{}nT 为等差数列，则1m =，或2m =，故应填1或2．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且sin sin a C c B =，2π3C =.（1）求B 的大小；（2）若ABC △的面积为4，求BC 边上中线的长.解：（1）∵sin sin a C c B =，∴由正弦定理，得sin sin sin sin A C C B =，…………2分∵0πC <<，∴sin 0C >，∴sin sin A B =，………………………………………3分∵0πA <<，0πB <<，∴A B =，……………………………………………………5分∵πA B C ++=，且2π3C =，∴π6B =.……………………………………………6分（2）依题意1sin 42ab C =，………………………………………………………………7分∵A B =，∴a b =，………………………………………………………………8分212πsin 23a ==，解得a =，…………………………………………10分设边BC 的中点为D ，∴32CD AC ==∴在ACD △中，由余弦定理知2222cos AD AC CD AC CD C=+-⋅⋅332π2132cos4234=+-⨯=，………………………………………………………12分∴BC 边上中线的长为212.……………………………………………………………13分16．（15分）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，平面11ACC A ⊥平面ABC ，12AB AC BC AA ====，1A B =.（1）设D 为AC 中点，证明：AC ⊥平面1A DB ；（2）求平面11A AB 与平面11ACC A 夹角的余弦值．（第16题图）解：（1）∵D 为AC 中点，且2AB AC BC ===，∴在ABC △中，有BD AC ⊥，且BD =……………………………………………1分∵平面11ACC A ⊥平面ABC ，且平面11ACC A 平面ABC AC =，∴BD ⊥平面11ACC A ，………………………………………………………………………2分∵1A D ⊂平面11ACC A ，∴1BD A D ⊥，……………………………………………………3分∵1A B =，BD =1A D ，……………………………………………………4分∵1AD =，12AA =，1A D =，∴由勾股定理，有1AC A D ⊥，……………………………………………………………6分∵AC BD ⊥，1A D BD D = ，∴AC ⊥平面1A DB ，…………………………………………………………………………7分（2）如图所示，以D 为原点，DA ，DB ，1DA 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系D xyz -，可得(1,0,0)A，1A，B ，………………………………………………9分∴1(AA =-，(AB =-，…………………………………………………10分设平面11A AB 的法向量为(,,)x y z =n ，则由10,0,A A B A ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n得0,0,x x ⎧-+=⎪⎨-+=⎪⎩令x =1y =，1z =，∴=n ，…………………………………………12分由（1）可知，BD ⊥平面11ACC A ，∴平面11ACC A的一个法向量为(0,BD =，…………………………………………13分记平面11A AB 与平面11ACC A 的夹角为α，∴5cos ||5||BD BD α⋅==n |n |，∴平面11A AB 与平面11ACC A 夹角的余弦值为5．………………………………………15分17．（15分）从一副扑克牌中挑出4张Q 和4张K ，将其中2张Q 和2张K 装在一个不透明的袋中，剩余的2张Q 和2张K 放在外面．现从袋中随机抽出一张扑克牌，若抽出Q ，则把它放回袋中；若抽出K ，则该扑克牌不再放回，并将袋外的一张Q 放入袋中.如此操作若干次，直到将袋中的K 全部置换为Q.（1）在操作2次后，袋中K 的张数记为随机变量X ，求X 的分布列及数学期望；（2）记事件“在操作1n +()n *∈N 次后，恰好将袋中的K 全部置换为Q ．”为n A ，记()n n P P A =.（i ）在第1次取到Q 的条件下，求总共4次操作恰好完成置换的概率；（ii ）试探究1n P +与n P 的递推关系，并说明理由.解：（1）由题意X 的取值可能为0，1，2，……………………………………………1分当0X =时，即第一次取出K ，第二次也取出K ，∴211(0)22318P X ==⨯=++，…………………………………………………………2分当1X =时，即第一次取出Q ，第二次取出K ，或第一次取出K ，第二次取出Q ，∴2223135(1)22222231488P X ==⨯+⨯=+=++++，……………………………3分当2X =时，即第一次取出Q ，第二次也取出Q ，∴221(2)22224P X ==⨯=++，…………………………………………………………4分∴X 的概率分布列为…………………………………………………………………5分∴X 的数学期望1519()0128848E X =⨯+⨯+⨯=．……………………………………6分（2）（i ）记事件“第1次取到Q ”为B ，事件“总共4次操作恰好完成置换”为C ，则1()2P B =，………………………………………………………………………………7分依题意，若第1次取出Q ，则剩余的3次操作，须将袋中K 全部置换为Q ，①若第2次亦取出Q ，则第3次和第4次均须取出K ，X 012P185814其概率为1221122+22+23+132⨯⨯⨯=；………………………………………………………8分①若第2次取出K ，则第3次须取出Q ，第4次须取出K ，其概率为1231322+23+13+164⨯⨯⨯=；………………………………………………………9分∴13()53264(|)1()322P CB P C B P B +===，即在第1次取到Q 的条件下，总共4次操作恰好完成置换的概率为532．…………………………………………………………………………10分（ii ）（方法一）由题可知若事件1n A +发生，即操作2n +次后，恰好将袋中的K 全部置换为Q ，①当第1次取出Q ，则剩余的1n +次操作，须将袋中K 全部置换为Q ，概率为212+22n n P P ⨯=；……………………………………………………………………12分②当第1次取出K ，则从第2次起，直到第1n +次均须取出Q ，且第2n +次取出K ，概率为23113(()2+23+13+184n n⨯⨯=⨯；………………………………………………………14分∴1+113(284n n n P P +⨯=．…………………………………………………………………15分（方法二）由题可知若事件1n A +发生，即操作2n +次后，恰好将袋中的K 全部置换为Q ，则一定有第2n +次（最后一次）取出K ，①当第1n +次（倒数第二次）取出Q ，则须在之前的n 次操作中的某一次取出K ，概率为333+14n n P P ⨯=；……………………………………………………………………12分②当第1n +次（倒数第二次）取出K ，则从第1次起，直到第n 次均须取出Q ，概率为3221111()((2+22+23+1822n n n +⨯⨯=⨯=；…………………………………………14分∴133+1(42n n n P P ++=．……………………………………………………………………15分18．（17分）在直角坐标系xOy 中，已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，过F 的直线l 与C 交于M ，N 两点，且当l 的斜率为1时，|8MN =|．（1）求C 的方程；（2）设l 与C 的准线交于点P ，直线PO 与C 交于点Q （异于原点）．记线段MN 的中点为R ，若||3QR ≤，求MNQ △面积的取值范围．解：(1)不妨设l 的方程为2px my =+，11(,)M x y ，22(,)N x y ，联立l 与C 的方程，得2220y mpy p --=，…………………………………………1分∴122y y mp +=，212y y p =-，…………………………………………………………2分则21212||()22(1)MN x x p m y y p p m =++=++=+，…………………………………3分∴由题可知当1m =时，||8MN =，∴2p =，…………………………………………4分∴C 的方程为24y x =．……………………………………………………………………5分(2)由(1)知1222R y y y m +==，将R 的纵坐标2m 代入1x my =+，得2(21,2)R m m +，……………………………6分易知C 的准线方程为1x =-，又l 与C 的准线交于点P ，∴2(1,)P m--，……………7分则直线OP 的方程为2mx y =，………………………………………………………………8分联立OP 与C 的方程，得22y my =，∴2(,2)Q m m ，……………………………………9分∴Q ，R 的纵坐标相等，∴直线QR x ∥轴，……………………………………………11分∴222|||21|1QR m m m =+-=+，…………………………………………………………12分∴MNQ QRM QRN S S S =+△△△121||||2QR y y =-3222(1)2||m QR =+，…………14分∵点Q （异于原点），∴0m ≠，…………………………………………………………15分∵||3QR ≤，∴13||QR <≤，∴3222||QR <≤即MNQ S ∈△．…………………………………………17分19．（17分）若实数集A ，B 对a A ∀∈，b B ∀∈，均有(1)1b a ab +≥+，则称A B →具有Bernoulli 型关系.（1）判断集合{|1}M x x =>，{1,2}N =是否具有Bernoulli 型关系，并说明理由；（2）设集合{|1}S x x =>-，{|}T x x t =>，若S T →具有Bernoulli 型关系，求非负实数t 的取值范围；（3）当*n ∈N时，证明：1158n k k n -=<+∑．解：（1）依题意，M N →是否具有Bernoulli 型关系，等价于判定以下两个不等式对于1x ∀>是否均成立：①1(1)1x x +≥+，②2(1)12x x +≥+，…………………………………2分∵1x ∀>，1(1)1x x +=+，22(1)1212x x x x+=++>+∴M N →具有Bernoulli 型关系．………………………………………………………4分（2）（方法一）令()(1)1b f x x bx =+--，x S ∈，(0,)b ∈+∞，则1()[(1)1]b f x b x -'=+-，…………………………………………………………………5分①当1b =时，显然有(1)1b a ab +=+，∴(1)1b x xb +≥+成立；………………………6分②当1b >时，若10x -<<，则10(1)(1)1b x x -+<+=，即()0f x '<，∴()f x 在区间(1,0)-上单调递减，若0x =，则1(10)10b -+-=，即(0)0f '=，若0x >，则10(1)(1)1b x x -+>+=，即()0f x '>，∴()f x 在区间(0,)+∞上单调递增，∴()f x 的最小值为(0)0f =，∴()(0)0f x f ≥=，∴(1)(1)0b x bx +-+≥，∴(1)1b x xb +≥+成立；………………………………………………………………8分③当01b <<时，若10x -<<，则10(1)(1)1b x x -+>+=，即()0f x '>，∴()f x 在区间(1,0)-上单调递增，若0x =，则1(10)10b -+-=，即(0)0f '=，若0x >，则10(1)(1)1b x x -+<+=，即()0f x '<，∴()f x 在区间(0,)+∞上单调递减，∴()f x 的最大值为(0)0f =，∴()(0)0f x f ≤=，∴(1)(1)0b x bx +-+≤，即(1)1b x bx +≤+，∴当x S ∈，且01b <<时，(1)1b x xb +≥+不能恒成立，…………………………10分综上所述，可知若S T →具有Bernoulli 型关系，则{|1}T x x ⊆≥，∴非负实数t 的取值范围为[1,)+∞．……………………………………………………11分（方法二）当1b =，或01b <<时，与方法一相同；…………………………………8分当1b >时，若10ab +≤，∵(1)01b a ab +>≥+，∴(1)1b a ab +≥+，若10ab +>，则1ab >-，又1b >，∴101b <<，∴由方法一的结论，可知11(1)11b ab ab a b +≤+⋅=+，即1(1)1b ab a +≤+，…………………………………………………………………………9分∵10ab +>，且(1,)a ∈-+∞，∴1[(1)](1)b b b ab a +≤+，即1(1)b ab a +≤+，即(1)1b a ab +≥+；………………………10分∴若集合{|1}S x x =>-，{|}T x x t =>具有Bernoulli 型关系，则{|1}T x x ⊆≥，∴非负实数t 的取值范围为为[1,)+∞．…………………………………………………11分（3）∵1112222211((1)k k k k k k-+==+，…………………………………………12分显然211k >-，且1012k<<，由（2）中的结论：当01b <<时，(1)1b x xb +≤+，可知122231111(1)1+122k k k k k +≤⋅=+，………………………………………………………………………………………13分当2k ≥时，33121(1)111[]24()4(1)(1)4(1)(1)k k k k k k k k k k k k +--≤==---+-+，∴1221111(1)1[4(1)(1)k k k k k k +≤+--+，2k ≥，………………………………………15分当1n =时，1158n k k n -=<+∑显然成立；…………………………………………16分当2n ≥时，11122311[1]24(1)4(1)n n n k k k k k k k k k --====+<++--+∑∑∑211111111515[[24(1)(1)242(1)84(1)8n k n n n n k k k k n n n n ==++-=++⋅-=+-<+-+++∑，综上所述，当*n ∈N时，1158n k k n -=<+∑.……………………………………17分。
2023-2024学年福建省厦门市高三毕业班第四次质量检测数学试题+答案解析
2023-2024学年福建省厦门市高三毕业班第四次质量检测数学试题一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.全集，能表示集合和关系的Venn图是()A. B. C. D.2.等差数列的前n项和为，，，则()A.9B.C.12D.3.平面上的三个力，，作用于同一点，且处于平衡状态.已知，，⟨，，则()A. B.1 C. D.24.如图中阴影部分是一个美丽的螺旋线型图案，其画法是：取正六边形ABCDEF各边的三等分点，，，，，，作第2个正六边形，然后再取正六边形各边的三等分点，、、，，，作第3个正六边形，依此方法，如果这个作图过程可以一直继续下去，由，，…构成如图阴影部分所示的螺旋线型图案，则该螺旋线型图案的面积与正六边形ABCDEF的面积的比值趋近于()A. B. C. D.5.已知，则()A.0B.C.D.6.甲、乙、丙、丁、戊共5名同学进行劳动技能比赛，决出第1名到第5名的名次，甲和乙去询问成绩，回答者对甲说：“很遗憾，你没有得到冠军”，对乙说：“你不是最后一名”，从这两个回答分析，5人名次的不同排列情况共有()A.72种B.78种C.96种D.102种7.函数，定义域均为R，且，若为偶函数，，则()A.10B.13C.14D.398.一封闭圆台上、下底面半径分别为1，4，母线长为该圆台内有一个球，则这个球表面积的最大值是()A. B. C. D.二、多选题：本题共4小题，共20分。
在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.已知函数，则()A.曲线关于y轴对称B.曲线关于原点对称C.在上单调递减D.在上单调递增10.为了有针对性地提高学生体育锻炼的积极性，某中学需要了解性别因素是否对本校学生体育锻的经常性有影响，随机抽取了300名学生，对他们是否经常锻炼的情况进行了调查，调查发现经常锻炼人数是不经常锻炼人数的2倍，绘制其等高堆积条形图，如图所示，则()附：，A.参与调查的男生中经常锻炼的人数比不经常锻炼的人数多B.从参与调查的学生中任取一人，已知该生为女生，则该生经常锻炼的概率为C.依据的独立性检验，认为性别因素影响学生体育锻炼的经常性，该推断犯错误的概率不超过D.假设调查人数为600人，经常锻炼人数与不经常锻炼人数的比例不变，统计得到的等高堆积条形图也不变，依据的独立性检验，认为性别因素影响学生体育锻炼的经常性，该推断犯错误的概率不超过11.在四面体ABCD中，，，，同时平行于AD，BC的平面分别与棱AB，BD，CD，CA交于E，F，G，H四点，则()A. B.C.四边形EFGH的周长为定值D.四边形EFGH的面积最大值是312.抛物线：：，P是上的点，直线l：与交于A，B两点，过的焦点F作l的垂线，垂足为Q，则()A.的最小值为1B.的最小值为1C.为钝角D.若，直线PF与l的斜率之积为三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
福建省福州市2023-2024学年高三下学期4月末质量检测数学试卷(解析版)
2023—2024学年福州市高三年级4月末质量检测数学试题（完卷时间120分钟；满分150分）友情提示：请将所有答案填写到答题卡上！请不要错位、越界答题！一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合101M x x ⎧⎫=≤⎨⎬+⎩⎭，则R M =ð（）A.{}1x x <- B.{}1x x ≤- C.{}1x x >- D.{}1x x ≥-【答案】D 【解析】【分析】先解不等式再利用补集运算即可求解.【详解】由101x ≤+得10x +<，即1x <-，所以{}1M x x =<-，于是{}R 1M x x =≥-ð.故选：D.2.设a ，b ∈R ，则“0ab <”是“0a ba b+=”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】【分析】根据充要条件的概念即可求解.【详解】当0ab <时，00a b >⎧⎨<⎩或0a b <⎧⎨>⎩，则0a b a b +=，即充分性成立；当0a b a b +=时，0b ba a =->，则0ab <，即必要性成立；综上可知，“0ab <”是“0a ba b+=”的充要条件.故选：C.3.等轴双曲线经过点()3,1-，则其焦点到渐近线的距离为（）A. B.2C.4D.【答案】A 【解析】【分析】由题意，先求出等轴双曲线的方程，得到焦点坐标和渐近线方程，再利用点到直线的距离公式进行求解即可．【详解】因为该曲线为等轴双曲线，不妨设该双曲线的方程为22221(0)x y a a a-=>，因为等轴双曲线经过点(3,1)-，所以22911a a-=，解得28a =，则22216c a a =+=，所以该双曲线的一个焦点坐标为(4,0)F ，易知该双曲线的一条渐近线方程为y x =，则点(4,0)F 到直线y x =的距离d ==．故选：A ．4.已知1sin 44πα⎛⎫+=⎪⎝⎭，则sin 2α的值为（） A.78B.158C.158-D.78-【答案】D【解析】【分析】先利用和角公式展开1sin 44πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，平方可求sin 2α.【详解】1sin cos 4224πααα⎛⎫+=+=⎪⎝⎭平方可得11(1sin 2)216α+=，所以7sin 28α=-,故选D.【点睛】本题主要考查倍角公式，熟记公式是求解关键，题目较为简单,侧重考查数学运算的核心素养.5.已知非零复数z 满足1i z z -=-，则zz=（）A.1 B.1- C.iD.i-【答案】D 【解析】【分析】设()i ,z a b a b =+∈R ，利用条件证明a b =，再代入zz化简即可.【详解】设()i ,z a b a b =+∈R ，则由1i z z -=-知()1i 1i a b a b -+=+-.从而()()222211a b a b -+=+-，展开即得a b =.由z 非零，知0a b =≠，故()()()2i 1i i 1i 2i i i 1i 1i 1i 2i a z a b b a z a b b-----======-+++-+.故选：D.6.()()54112x x -+的展开式中2x 的系数为（）A.14- B.6- C.34D.74【答案】B 【解析】【分析】直接利用二项式的展开式以及组合数的应用求出结果．【详解】5(1)x -的展开式为15C (1)(0rrrr T x r +=⋅-⋅=，1，2，3，4，5)，4(12)x +的展开式14C 2(0k k k k T x k +=⋅⋅=，1，2，3，4)，当0r =，2k =时，2x 的系数为224C 224⋅=；当1r =，1k =时，2x 的系数为54240-⨯⨯=-；当2r =，0k =时，2x 的系数为25C 10=，故2x 的系数为2410406+-=-．故选：B ．7.数列{}n a 共有5项，前三项成等差数列，且公差为d ，后三项成等比数列，且公比为q ．若第2项等于2，第1项与第4项的和等于10，第3项与第5项的和等于30，则d q -=（）A.1 B.2 C.3D.4【答案】B 【解析】【分析】结合等差、等比数列的概念利用第二项写出剩下四个项，进而列方程组即可求解.【详解】由根据题意得，该数列的项为()()22,2,2,2,2d d d q d q -+++，又()()222102230d d q d d q ⎧-++=⎪⎨+++=⎪⎩，即26213021d q d q ⎧+=⎪-⎪⎨⎪+=⎪+⎩，解得24q d =⎧⎨=⎩或31q d =⎧⎨=⎩.于是2d q -=.故选：B.8.四棱锥E ABCD -的顶点均在球O 的球面上，底面ABCD 为矩形，平面BEC ⊥平面ABCD，BC =，1CD CE ==，2BE =，则O 到平面ADE 的距离为（）A.13B.14C.24D.58【答案】A 【解析】【分析】根据线面关系可证得AB ⊥平面BEC ，BE CE ⊥，将四棱锥E ABCD -补成长方体111AD DA BECB -，确定球心的位置，再建立空间直角坐标系，求解平面ADE 的法向量，利用空间向量的坐标运算计算O 到平面ADE 的距离即可.【详解】因为平面BEC ⊥平面ABCD ，交线为BC ，又底面ABCD 为矩形，则AB BC ⊥，因为AB ⊂平面ABCD ，所以AB ⊥平面BEC ，则,AB CE AB EB ⊥⊥，又BC =，1CD CE ==，2BE =，所以222BE CE BC +=，则BE CE ⊥,如图，将四棱锥E ABCD -补成长方体111AD DA BECB -，若四棱锥E ABCD -的顶点均在球O 的球面上，则长方体111AD DA BECB -的顶点均在球O 的球面上，O 为体对角线11D B 中点，如图，以E 为原点，1,,EC EB ED 所在直线为,,x y z轴建立空间直角坐标系，则()()()()()110,2,1,1,0,1,0,0,0,0,0,1,1,2,0A D E D B ，故11,1,22O ⎛⎫⎪⎝⎭，设平面ADE 的法向量为(),,n x y z =，又()()0,2,1,1,0,1EA ED == ，12020n EA y z y z n ED x z x z⎧⎧⋅=+==-⎪⎪⇒⎨⎨⋅=+=⎪⎪⎩=-⎩ ，令2z =，所以()2,1,2n =-- ，又11,1,22EO ⎛⎫= ⎪⎝⎭ ，则O 到平面ADE的距离为13EO n n ⋅==.故选：A.【点睛】方法点睛：解决与球相关的切、接问题，其通法是作出截面，将空间几何问题转化为平面几何问题求解，其解题思维流程如下：（1）定球心：如果是内切球，球心到切点的距离相等且为球的半径；如果是外接球，球心到接点的距离相等且为半径；（2）作截面：选准最佳角度做出截面（要使这个截面尽可能多的包含球、几何体的各种元素以及体现这些元素的关系），达到空间问题平面化的目的；（3）求半径下结论：根据作出截面中的几何元素，建立关于球的半径的方程，并求解.或者采用补形法，利用规则图形的外接球位置确定所求外接球球心的位置.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.在一次射击比赛中，甲、乙两名选手的射击环数如下表，则下列说法正确的是（）甲乙87909691869086928795A.甲选手射击环数的极差大于乙选手射击环数的极差B.甲选手射击环数的平均数等于乙选手射击环数的平均数C.甲选手射击环数的方差大于乙选手射击环数的方差D.甲选手射击环数的第75百分位数大于乙选手射击环数的第75百分位数【答案】ABC 【解析】【分析】通过极差、平均数、方差、第75百分位数的计算即可求解.【详解】甲选手射击环数从小到大排列：86，87，90，91，96，则甲选手射击环数的：极差等于968610-=；平均数等于()18687909196905⨯++++=；方差等于()()()()()2222218690879090909190969012.45⎡⎤⨯-+-+-+-+-=⎣⎦；第75百分位数等于91.乙选手射击环数从小到大排列：86，87，90，92，95，则乙选手射击环数的：极差等于95869-=；平均数等于()18687909295905⨯++++=；方差等于()()()()()2222218690879090909290959010.85⎡⎤⨯-+-+-+-+-=⎣⎦；第75百分位数等于92.综上可知，ABC 选项正确，D 选项错误.故选：ABC.10.已知函数()()sin 2f x x ϕ=+满足()()33ππ+=-f x f x，且()ππ2f f ⎛⎫> ⎪⎝⎭，则（）A.1sin 2ϕ=B.1sin 2ϕ=-C.()y f x =的图象关于点13π,012⎛⎫⎪⎝⎭对称 D.()f x 在区间π,π2⎛⎫⎪⎝⎭单调递减【答案】BC 【解析】【分析】由已知结合正弦函数的对称性可先求出ϕ，即可判断A ，B ；然后结合正弦函数的对称性及单调性检验选项C ，D 即可判断．【详解】因为函数()sin(2)f x x ϕ=+满足()()33ππ+=-f x f x，所以()f x 的图象关于π3x =对称，则2πππ32k ϕ+=+，Z k ∈，则6πkπϕ=-，Z k ∈，所以π()sin(2)6f x x =-或5π()sin(2)6f x x =+，因为π((π)2f f >，所以π2π6n ϕ=-，Z n ∈，1sin 2ϕ=-，A 错误，B 正确；则π()sin(2)6f x x =-，13π(sin 2π012f ==，即()f x 的图象关于点13(π,0)12对称，C 正确；当ππ2x <<时，5ππ11π2666x <-<，因为sin y t =在5π(6,11π6上不单调，D 错误．故选：BC ．11.已知函数()()e eee xxxx f x ax --=+-+恰有三个零点1x ，2x ，3x ，且123x x x <<，则（）A.1230x x x ++=B.实数a 的取值范围为(]0,1C.110ax +>D.31ax a +>【答案】ACD 【解析】【分析】利用()f x 的奇偶性可判断A 选项；将函数的零点问题转化为函数图像的交点问题，再利用导数和基本不等式确定切线斜率的取值范围，进而得实数a 的取值范围，即可判断B 选项；由112122e1e 1x xax +=+来可判断C 选项；由32321e 1x ax =-+得323121e 1x a x ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭，进而31ax a +>等价于323e 210x x -->，令()()2=e210xh x x x -->，用导数证明()0h x >，即可判断D 选项.【详解】函数()()e eee xxxx f x ax --=+-+定义域为R ，()()()()()e e e e e e e e x x x x x x x xf x a x ax f x ----⎡⎤-=-+-+=-+-+=-⎣⎦，所以()f x 是奇函数，则()00f =，又因为()f x 有三个零点且123x x x <<，()()()1230f x f x f x ===，所以13x x =-，20x =，即1230x x x ++=，故A 选项正确；()()e eee0xxxxf x ax --=+-+=，得222e e e 121e e e 1e 1x x x x x x xax --=--==-+++，令()221e 1xg x =-+，则()()2224e 0e 1xxg x =>+'，所以()f x 在R 上增函数，要使函数()f x 有3个零点，y ax =与()y g x =的图象有3个交点，如图：又()()()2222222224e 4e 411e 1e 2e 1e 2e xxx xx x x g x ===≤=+++++'，当且仅当0x =时取等号，即()01g x <'≤，所以01a <<，故B 错误；111212222e 1110e 1e 1x x x ax ⎛⎫+=-+=> ⎪++⎝⎭，故C 选项正确；由32321e 1x ax =-+得323121e 1x a x ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭，又30x >，要使333223212111e 1e 1x x ax a x ⎛⎫+=-+-> ⎪++⎝⎭成立，则323e 210x x -->成立，令()()2=e210xh x x x -->，()()()2=2e 100x h x x -'>>，所以()h x 在()0,∞+单调递增，则()()0=0h x h >，于是323e210x x -->，则31ax a +>，故D 正确.故选：ACD.【点睛】方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.若向量()3,4a =- 在向量()2,1b =- 上的投影向量为b λ，则λ等于______．【答案】2-【解析】【分析】根据投影向量的公式运算即可得答案.【详解】向量a 在向量b上的投影向量为2a b b b⋅ ，所以()()()223,42,164252,1a b b λ-⋅-⋅--====--.故答案为：2-.13.倾斜角为π3的直线经过抛物线C ：212y x =的焦点F ，且与C 交于A ，B 两点，Q 为线段AB 的中点，P 为C 上一点，则PF PQ +的最小值为______．【答案】8【解析】【分析】由题意，根据给定条件，求出点Q 的横坐标，再借助抛物线的定义求解作答．【详解】易知抛物线2:12C y x =的焦点(3,0)F ，准线3x =-，直线AB的方程为3)y x =-，联立23)12y x y x⎧=-⎪⎨=⎪⎩，消去y 并整理得21090x x -+=，不妨设1(A x ,1)y ，2(B x ,2)y ，由韦达定理得1210x x +=，此时线段AB 的中点Q 的横坐标5Q x =，过P 作准线3x =-的垂线，垂足为D '，过Q 作准线3x =-的垂线，垂足为D ，由抛物线的定义可得5382Q pPF PQ PD PQ QD QD x +=+≥≥+='+'==||||PF PQ +取得的最小值为8．故答案为：8．14.如图，六面体111ABCDA C D 的一个面ABCD 是边长为2的正方形，1AA ，1CC ，1DD 均垂直于平面ABCD ，且11AA =，12CC =，则该六面体的体积等于________，表面积等于______．【答案】①.6②.22【解析】【分析】根据1AA ，1CC ，1DD 均垂直于平面ABCD ，所以111////AA CC DD ，在1DD 上取1DM AA =，连接1,A M MC ，从而根据线线平行可得故1ABA DCM -为三棱柱，111BCC A MD -为三棱柱，根据柱体体积公式即可得该六面体的体积，根据几何体外表面的线线关系结合勾股定理、余弦定理、三角形面积公式、梯形面积公式、正方形面积公式，即可得几何体的表面积.【详解】如图，在1DD 上取1DM AA =，连接1,A M MC ，因为1AA ，1CC ，1DD 均垂直于平面ABCD ，所以111////AA CC DD ，则11,AA AD AA DC ⊥⊥，因为正方形ABCD ，所以AD DC ⊥，又,,AD DC D AD DC =⊂ 平面11A ADD ，所以DC ⊥平面11A ADD ，由1DM AA =可得四边形1AA MD 为平行四边形，所以11//,AD A M AD A M =，因为面ABCD 为正方形，则//,AD BC AD BC =，所以11//,BC A M BC A M =，则四边形1A MCB 为平行四边形，所以11//,A B MC A B MC =，又1A B ⊄平面11DCC D ，MC ⊂平面11DCC D ，所以1//A B 平面11DCC D ，因为平面11DCC D 平面11111A BC D C D =，则111//A B C D ，所以四边形11MD C C 为平行四边形，所以112MD C C ==，故1ABA DCM -为三棱柱，111BCC A MD -为三棱柱，则该六面体的体积1111ABA CDM BCC A MD V V V --=+=1111212222622ABA BCC S BC S DC ⋅+⋅=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯= ；如图，连接1,BD D B ，又1A B ===，11A D ===，BD ==所以1BD ==，则在四边形111A BC D中，由余弦定理得22211111111110cos 210A B A D BD D A B A B A D +-∠===-⋅，所以11sin 10D A B ∠==，则11111111sin 610A BC D S AB A D D A B =⋅⋅∠== ，该六面体的表面积111111111ABA BCC A BCD ABCDA ADD DCC D S S S S S S S =+++++ 四边形四边形()()11112122132232622222222=⨯⨯+⨯⨯+⨯+⨯+⨯+⨯++⨯=.故答案为：6；22.【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是确定六面体的线线关系.关于求几何体的体积，要注意分割与补形．将不规则的几何体通过分割或补形将其转化为规则的几何体求解．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知数列{}n a 满足12a =，12n n a a n -=+（2n ≥）．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）记数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n S ，证明：1n S <．【答案】（1）2n a n n =+，*n ∈N ；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）根据给定条件，利用累加法，结合等差数列前n 项和公式求解即得.（2）利用裂项相消法求和即可得证.【小问1详解】数列{}n a 中，当2n ≥时，12n n a a n -=+，即12n n a a n --=，则12112312()()()()n n n n n a a a a a a a a a a ---=--⋅⋅⋅+--++++()()2222462222n n n a n n n n +=+++⋅⋅⋅+-+==+，而12a =满足上式，所以数列{}n a 的通项公式是2n a n n =+，*n ∈N ．【小问2详解】由（1）知()21n a n n n n =+=+，*n ∈N ，则()111111n a n n n n ==-++，因此()()1111122311n S n n n n =++⋅⋅⋅++⨯⨯-+1111111111223111n n n n n =-+-+⋅⋅⋅+-+-=--++，而1n ≥，则1111n -<+，所以1n S <．16.甲企业生产线上生产的零件尺寸的误差X 服从正态分布()20,0.2N ，规定()0.2,0.2X ∈-的零件为优等品，()0.6,0.6X ∈-的零件为合格品．（1）从该生产线上随机抽取100个零件，估计抽到合格品但非优等品的个数（精确到整数）；（2）乙企业拟向甲企业购买这批零件，先对该批零件进行质量抽检，检测的方案是：从这批零件中任取2个作检测，若这2个零件都是优等品，则通过检测；若这2个零件中恰有1个为优等品，1个为合格品但非优等品，则再从这批零件中任取1个作检测，若为优等品，则通过检测；其余情况都不通过检测．求这批零件通过检测时，检测了2个零件的概率（精确到0.01）．（附：若随机变量()2,N ξμσ，则()0.6827P μσξμσ-<<+=，()220.9545P μσξμσ-<<+=，()330.9973P μσξμσ-<<+=）【答案】（1）约31个（2）约为0.61【解析】【分析】（1）利用正态分布的对称性即可求解；（2）利用条件概率求解即可．【小问1详解】依题意得，0μ=，0.2σ=，所以零件为合格品的概率为()()0.60.6330.9973P X P X μσμσ-<<=-<<+=，零件为优等品的概率为()()0.20.20.6827P X P X μσμσ-<<=-<<+=，所以零件为合格品但非优等品的概率为0.99730.68270.3146P =-=，所以从该生产线上随机抽取100个零件，估计抽到合格品但非优等品的个数为1000.314631⨯≈．【小问2详解】设从这批零件中任取2个作检测，2个零件中有2个优等品为事件A ，恰有1个优等品，1个为合格品但非优等品为事件B ，从这批零件中任取1个检测是优等品为事件C ，这批产品通过检测为事件D ，则D A BC =+，且A 与BC 互斥，所以()()()()()()P D P A P BC P A P B P C B=+=+221222C 0.6827C 0.68270.31460.6827 1.62920.6827=⨯+⨯⨯⨯=⨯，所以这批零件通过检测时，检测了2个零件的概率为22()0.68271(|)0.61() 1.62920.6827 1.6292P AD P A D P D ===≈⨯．答：这批零件通过检测时，检测了2个零件的概率约为0.61．17.如图，以正方形ABCD 的边AB 所在直线为旋转轴，其余三边旋转120°形成的面围成一个几何体ADF BCE -．设P 是CE 上的一点，G ，H 分别为线段AP ，EF 的中点．（1）证明：//GH 平面BCE ；（2）若BP AE ⊥，求平面BPD 与平面BPA 夹角的余弦值．【答案】（1）证明见解析（2【解析】【分析】（1）证法一：在正方形ABEF 中，连接AH 并延长，交BE 的延长线于点K ，连接PK ，通过证明Rt Rt AFH KEH ≌△△可得GH PK ∥，进而利用线面平行的判定定理即可证明；证法二：取BP 的中点Q ，连接GQ ，EQ ，通过证明四边形GQEH 是平行四边形可得GH QE ∥，进而利用线面平行的判定定理即可证明；证法三：取AB 的中点I ，连接G I ，HI ，利用面面平行的判定定理证明平面//GIH 平面BCE ，从而即可得证//GH 平面BCE .（2）首先通过线面垂直的判定定理证明BP ⊥平面ABEF 可得BP BE ⊥，然后建立空间直角坐标系，利用向量法可求平面BPD 与平面BPA 夹角的余弦值.【小问1详解】证法一：在正方形ABEF 中，连接AH 并延长，交BE 的延长线于点K ，连接PK ．因为G ，H 分别为线段AP ，EF 中点，所以HF HE =，所以Rt Rt AFH KEH ≌△△，所以AH KH =，所以GH PK ∥．又因为GH ⊄平面BCE ，PK ⊂平面BCE ，所以//GH 平面BCE ．证法二：取BP 的中点Q ，连接GQ ，EQ ，因为G ，H 分别为线段AP ，EF 的中点，所以//GQ AB ，12GQ AB =，又因为//AB EF ，AB EF =，所以GQ HE ∥，GQ HE =，所以四边形GQEH 是平行四边形，所以GH QE ∥，又因为GH ⊄平面BCE ，QE ⊂平面BCE ，所以//GH 平面BCE ．证法三：取AB 的中点I ，连接G I ，HI ．因为G ，H 分别为线段AP ，EF 的中点，所以GI BP ∥，HI EB ∥，又因为GI ⊄平面BCE ，BP ⊂平面BCE ，所以//GI 平面BCE ．因为HI ⊄平面BCE ，BE ⊂平面BCE ，所以//HI 平面BCE ．又因为GI HI I ⋂=，GI ⊂平面GIH ，HI ⊂平面GIH ，所以平面//GIH 平面BCE ，又因为GH Ì平面GIH ，所以//GH 平面BCE ．【小问2详解】依题意得，AB ⊥平面BCE ，又因为BP ⊂平面BCE ，所以AB BP ⊥．又因为BP AE ⊥，AB AE A = ，AB ，AE ⊂平面ABEF ，所以BP ⊥平面ABEF ，又BE ⊂平面ABEF ，所以BP BE ⊥，所以BP ，BE ，BA 两两垂直．以B 为原点，BP ，BE ，BA 所在直线分别为x ，y ，z轴建立空间直角坐标系，如图所示．不妨设1AB =，30BCP ∠= ，则()1,0,0P ，31,,122D ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，()1,0,0BP =，31,,122BD ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，设平面BPD 的法向量为(),,m x y z = ，则0,0,BP m BD m ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即031022x x y z =⎧-+=⎩，取2y =，得0x =，1z =，所以平面BPD 的一个法向量是()0,2,1m =，又平面BPA 的一个法向量为()0,1,0n =．设平面BPD 与平面BPA 的夹角为θ，则25cos cos ,5m n m n m n θ⋅====．所以平面DBP 与平面BPA．18.点P 是椭圆E ：22221x y a b+=（0a b >>）上（左、右端点除外）的一个动点，()1,0F c -，()2,0F c 分别是E 的左、右焦点.（1）设点P 到直线l ：2a x c =的距离为d ，证明2PF 为定值，并求出这个定值；（2）12PF F △的重心与内心（内切圆的圆心）分别为G ，I ，已知直线IG 垂直于x 轴.（ⅰ）求椭圆E 的离心率；（ⅱ）若椭圆E 的长轴长为6，求12PF F △被直线IG 分成两个部分的图形面积之比的取值范围.【答案】（1）证明见解析，定值为ca（2）（ⅰ）13；（ⅱ）45,54⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】【分析】（1）由两点间距离公式（结合点P 在椭圆上）、点到直线距离公式表示出2,PF d ，两式相比即可得解；（2）（ⅰ）解法一：一方面由（1）得20cPF a x a =-，另一方面结合已知以及椭圆定义得023x PF a =-，对比两式即可得解；解法二：利用已知以及椭圆定义得12,PF PF 的一种表达式，另外结合两点间距离公式也可以分别表示12,PF PF ，从而平方后作差即可得解；解法三：表示出12,PF PF 方程，根据题意设出内心坐标，结合点到直线距离公式以及内切圆性质即可得解；（ⅱ）先求出椭圆方程，然后求得1FCD 的面积1S 与12PF F △的面积S 之比的表达式结合导数即可求出其范围，进一步即可得解.【小问1详解】依题意，222b c a +=.设()00,P x y ，则2200221x y a b+=，0a x a -<<，所以2PF =所以20c PF x a a==-，又a c >，所以0c a x a >，20ax c >，所以20c PF a x a =-，20a d x c=-所以0220ca x PF c a a d a x c-==-，即2PF 为定值，且这个定值为c a .【小问2详解】（ⅰ）解法一：依题意，00,33x y G ⎛⎫ ⎪⎝⎭，设直线IG 与x 轴交于点C ，因为IG x ⊥轴，所以0,03x C ⎛⎫⎪⎝⎭，所以001202333x x F C F C c c x ⎛⎫⎛⎫-=+--=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因为12PF F △的内切圆与x 轴切于点C ，所以1212023PF PF F C F C x -=-=，又因为122PF PF a +=，解得023x PF a =-由（1）得20cPF a x a =-，所以003x c a x a a -=-，所以椭圆E 的离心率13c e a ==.解法二：依题意，00,33x y G ⎛⎫⎪⎝⎭，设直线IG 与x 轴交于点C ，因为IG x ⊥轴，所以0,03x C ⎛⎫⎪⎝⎭，所以001202333x x F C F C c c x ⎛⎫⎛⎫-=+--=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因为12PF F △的内切圆与x 轴切于点C ，所以1212023PF PF F C F C x -=-=，又因为122PF PF a +=，得0102,3,3x PF a x PF a ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩所以0,3,3x a x a =+=-两式平方后作差，得00443cx ax =对任意0x 成立，所以椭圆E 的离心率13c e a ==.解法三：依题意，00,33x y G ⎛⎫ ⎪⎝⎭，因为IG x ⊥轴，设点I 坐标为0,3x t ⎛⎫ ⎪⎝⎭，可求直线1PF 方程为()00y y x c x c=++，则点I 到直线1PFt =，即()()()2222000003x y c t x c t y x c ⎛⎫⎛⎫+-+=++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，化简得()22000002033x x y t t c x c y c ⎛⎫⎛⎫+++-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，①同理，由点I 到直线2PF 的距离等于t ，可得()22000002033x x y t t c x c y c ⎛⎫⎛⎫+----= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，②将式①－②，得00084233t cx y cx ⋅=⋅，则04y t =.将04y t =代入式①，得()2200001016233y x x c x c c ⎛⎫⎛⎫+++-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，化简得220022198x y c c+=，得229c a =，所以椭圆E 的离心率13c e a ==.（ⅱ）由26a =，得3a =，又13c a =，所以1c =，2228b a c =-=，所以椭圆E的方程为221 98x y+=.根楛椭圆对称性，不妨设点P在第一象限或y轴正半轴上，即0003,0x y≤<<≤又()11,0F-，()21,0F，所以直线1PF的方程为()11yy xx=++，设直线IG与1PF交于点D，因为03Dxx=，所以()()00331Dy xyx+=+，1FCD的面积1S与12PF F△的面积S之比为()()()()00200131123313118122y xxx xSS xy+⎛⎫+⨯⎪++⎝⎭==+⨯⨯，令()()()23181xf xx+=+（03x≤<），则()()()()231181x xf xx+-+'=，当[)0,1x∈，()0f x'<，当()1,3x∈，()0f x'>，所以函数()f x在[)0,1单调递减，在()1,3单调递增.又因为()12f=，()419f=，()132f=，所以()f x的值域是41,92⎡⎤⎢⎥⎣⎦，所以14192SS≤≤，所以11415SS S≤≤-，根据对称性，12PF F△被直线IG分成两个部分的图形面积之比的取值范围是45,54⎡⎤⎢⎥⎣⎦.【点睛】关键点点睛：第二问（ⅱ）的关键在于求得1FCD 的面积1S 与12PF F △的面积S 之比的表达式，由此即可顺利得解.19.记集合()()()()()()(){}000,R ,,,f x x D L l x kx b x x D f x l x x D f x l x ∈==+∈∀∈≤∃∈=且，集合()()()()()()(){}000,R ,,,f x x D T l x kx b x x D f x l x x D f x l x ∈==+∈∀∈≥∃∈=且，若()(),f x x D l x L ∈∈，则称直线()y l x =为函数()f x 在D 上的“最佳上界线”；若()(),f x x D l x T ∈∈，则称直线()y l x =为函数()f x 在D 上的“最佳下界线”．（1）已知函数()2f x x x =-+，()01l x kx =+．若()()0,R f x x l x L ∈∈，求k 的值；（2）已知()e 1xg x =+．（ⅰ）证明：直线()y l x =是曲线()y g x =的一条切线的充要条件是直线()y l x =是函数()g x 在R 上的“最佳下界线”；（ⅱ）若()()ln 1h x x =-，直接写出集合()()(),1,,R h x x g x x L T ∞∈+∈⋂中元素的个数（无需证明）．【答案】（1）3k =或1-（2）（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）2个【解析】【分析】（1）由题意可得R x ∀∈，21x x kx -+≤+，且0R x ∃∈，20001x x kx -+=+，再由△0=求解即可；（2）（ⅰ）结合“最佳下界线”及充要条件的定义证明即可；（ⅱ）由定义直接写出结果即可．【小问1详解】依题意，()()0,R f x x l x L ∈∈ ，R x ∴∀∈，21x x kx -+≤+，且0R x ∃∈，20001x x kx -+=+，令2()(1)1x x k x ϕ=-+--，2Δ(1)4k =--，则()0x ϕ≤，且0()0x ϕ=，∴Δ0,Δ0,≤⎧⎨≥⎩，∴Δ0=，即2(1)40k --=，12k -=或12k -=-，解得3k =或1-；【小问2详解】（ⅰ）先证必要性．若直线()y l x =是曲线()y g x =的切线，设切点为()00,e 1x x +，因为()e x g x '=，所以切线方程为()()000e 1e x x y x x -+=-，即()()000e 1e 1x xl x x x =+-+（*）一方面，()()00g x l x =，所以0x ∃∈R ，()()00g x l x =，另一方面，令()()()()000e e 1e x xx G x g x l x x x =-=---，则()00G x =，因为()0e e xx G x '=-，所以当0x x <时，()0G x '<，()G x 在()0,x ∞-单调递减，当0x x >时，()0G x '>，()G x 在()0,x ∞+单调递增，所以()()00G x G x ≥=，所以()()g x l x ≥．即x ∀∈R ，()()g x l x ≥，所以()(),R g x x l x T ∈∈，即()l x 是函数()g x 在R 上的“最佳下界线”．再证充分性．若()l x 是函数()g x 在R 上的“最佳下界线”，不妨设()l x kx b =+，由“最佳下界线”的定义，x ∀∈R ，()()g x l x ≥，且0x ∃∈R ，()()00g x l x =，令()()()e 1xH x g x l x kx b =-=+--，则()0H x ≥且()00H x =，所以()min 0H x =．因为()e xH x k '=-，①若0k ≤，则()0H x '≥，所以()H x 在R 上单调递增，所以10x x ∃<，使得()()100H x H x <=，故0k ≤不符合题意．②若0k >，令()0H x '=，得ln x k =，当(),ln x k ∞∈-时，()0H x '<，得()H x 在(),ln k ∞-单调递减，当()ln ,x k ∞∈+时，()0H x >，得()H x 在()ln ,k ∞+单调递增，所以，当且仅当ln x k =时，()H x 取得最小值()ln H k ．又由()H x 在0x 处取得最小值，()min 0H x =，所以()0,ln 0,x lnk H k =⎧⎨=⎩即000e ,e 10,x x k kx b ⎧=⎪⎨+--=⎪⎩解得0e x k =，()001e 1x b x =-+，所以()()000e 1e 1x xl x x x =+-+，由（*）式知直线()y l x =是曲线()y g x =在点()00,e 1x x +处的切线．综上所述，直线()y l x =是曲线()y g x =的一条切线的充要条件是直线()y l x =是函数()g x 在R 上的“最佳下界线”．（ⅱ）集合()()(),1,,R h x x g x x L T ∞∈+∈⋂元素个数为2个．【点睛】方法点睛：新定义题型的特点是：通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的：遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决．。
福建省届普通高中毕业班4月质量检查数学(文)试题.pdf
2012年福建省普通高中毕业班质量检查 文 科 数 学 本试卷分第1卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)．本试卷共5页．满分150分．考试时间120分钟．注意事项： 1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．考生作答时，将答案答在答题卡上．请按照题号在各题的答题区域(黑色线框)内作答，超出答题区域书写的答案无效．在草稿纸、试题卷上答题无效． 3．选择题答案使用2B铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；非选择5毫米的黑色中性(签字)笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚． 4．保持答题卡卡面清洁，不折叠、不破损．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．参考公式： 样本数据x1，x2， …，xn的标准差 锥体体积公式 s=V=Sh 其中为样本平均数其中S为底面面积，h为高 柱体体积公式 球的表面积、体积公式 V=Sh ， 其中S为底面面积，h为高其中R为球的半径选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．的共轭复数的对应点所在的象限是 A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限 2．若是第四象限角,且，则等于 A． B． C． D． 3．若，则的大小顺序是 A． B． C． D． 4．在空间中，下列命题正确的是 A． 平行于同一平面的两条直线平行 B． 垂直于同一平面的两条直线平行 C． 平行于同一直线的两个平面平行 D． 垂直于同一平面的两个平面平行 5．甲、乙两位运动员在5场比赛的得分情况如茎叶图所示，记甲、乙两人的平均得分分别为，则下列判断正确的是 A．；甲比乙成绩稳定 B．；乙比甲成绩稳定 C．；甲比乙成绩稳定 D．；乙比甲成绩稳定 6．已知函数则的值是 A．10 B． C．-2 D． -5 7．已知,,若,则实数的取值范围是 A． B． C． D． 8．如图给出的是计算的值的程序框图，其中判断框内应填入的是 A． B． C． D．． 9．函数()．若将函数向右平移个单位，得到的解析式为 A． B． C． D． , 点是圆上的动点，则点M到直线AB的最大距离是 A． B． C． D． 11． 一只蚂蚁从正方体的顶点处出发，经正方体的表面，按最短路线爬行到达顶点位置，则下列图形中可以表示正方体及蚂蚁最短爬行路线的正视图是 A． ①② B．①③ C． ②④ D．③④ 12． 设函数及其导函数都是定义在R上的函数，则“ ”是“”的 A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 第Ⅱ卷（非选择题 共90分） 二、填空题:本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在答题卡相应位置． 13．已知向量，，若，则_____________． 14．若双曲线方程为，则其离心率等于_______________． 15．若变量满足约束条件则的最大值为，记．设非空实数集合，满足． 给出以下结论： ①； ②； ③． 其中正确的结论是 ．（写出所有正确结论的序号） 三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．(本小题满分12分) 等差数列公差为，且成等比． （）求数列的通项公式（）设，求数列的前项和．ABCD中，AD((BC，,,如图（1）．把沿翻折，使得平面，如图（2）． （Ⅰ）求证：； （Ⅱ）求三棱锥的体积； （Ⅲ）在线段上是否存在点N，使得？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 19． (本小题满分12分) 阅读下面材料： 根据两角和与差的正弦公式，有 ------① ------② 由①+② 得------③ 令 有 代入③得 ． (Ⅰ)类比上述推证方法，根据两角和与差的余弦公式，证明: ; (Ⅱ)若的三个内角满足,试判断的形状． (提示:如果需要，也可以直接利用阅读材料及(Ⅰ)中的结论) 20． (本小题满分12分) 2012年3月2日，国家环保部发布新修订的环境空气质量标准》居民区PM2．5年平均浓度不得超过35微克/立方米，PM2．5平均浓度不得超过5微克/立方米PM2．5PM2．5浓度微克/立方米PM2．5浓度微克/立方米PM2．5浓度微克/立方米PM2．5年平均浓度．到点的距离等于它到直线的距离，记点的轨迹为曲线． （Ⅰ）求曲线的方程； （Ⅱ）若点，，是上的不同三点，且满足．证明： 不可能为直角三角形． 22． (本小题满分14分) 已知函数的图象在点处的切线斜率为． （Ⅰ）求实数的值； （Ⅱ）判断方程根的个数，证明你的结论； （Ⅲ）探究：是否存在这样的点，使得曲线在该点附近的左、右的两部分分别位于曲线在该点处切线的两侧？若存在，求出点A的坐标；若不存在，说明理由． 2012年福建省普通高中毕业班质量检查文科数学试题参考解答及评分标准 说明： 一、本解答指出了每题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则． 二、对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的 三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 四、只给整数分数．选择题和填空题不给中间分． 一、选择题：本大题考查基础知识和基本运算．每小题5分，满分60分． 1． 2． 3． 4． 5． 6． 7． 8． 9． 10． 11． 12． 二、填空题：本大题考查基础知识和基本运算．每小题4分，满分16分． 13．14． 15． 16． 三、解答题：本大题共6小题，共74分i解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． (Ⅰ)解：由已知得，又成等数列，， 解得，所以(Ⅱ)由(Ⅰ)可得，……………………………8分 所以 ． ……………12分 18．本小题主要考查直线与直线、直线与平面的位置关系、棱锥体积公式等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力及运算求解能力，考查化归与转化思想、数形结合思想．满分12分． 解：（Ⅰ）∵平面，， ∴， ……………………………2分 又∵，∴． ……………………………4分 （Ⅱ）如图（1）在. . 在． ∴. ……………………………6分 如图（2），在，过点做于，∴． ， ……………………………7分 ∴. ……………………………8分 （Ⅲ）在线段上存在点N，使得，理由如下： 如图（2）在中，， ∴， ………………………………………9分 过点E做交于点N，则， ∵， ……………………………10分 又，，， 又，∴． ∴在线段上存在点N，使得，此时．…………………12分 19．本小题主要考查三角公式、二倍角公式、三角函数的等等基础知识，考查运算求解能力考查．满分12分． ， ① ， ②………………………2分 ①-② 得. ③……………3分 令有， 代入③得. …………………6分 (Ⅱ)由二倍角公式,可化为 ,……………………………8分 即.……………………………………………9分 设的三个内角A,B,C所对的边分别为， 由正弦定理可得.…………………………………………11分 根据勾股定理的逆定理知为直角三角形.…………………………12分 解法二：(Ⅰ)同解法一. (Ⅱ)利用(Ⅰ)中的结论和二倍角公式, 可化为 ，………………………8分 因为A,B,C为的内角，所以， 所以. 又因为，所以, 所以. 从而.……………………………………………10分 又因为,所以，即. 所以为直角三角形. ……………………………………………12分 20．本小题主要考查频率分布表、古典概型、统计等基础知识，考查数据处理能力、运算求解能力以及应用意识，考查必然与或然思想等．满分1分．PM2.5的24小时平均浓度，PM2.5的24小时平均浓度．，，，，，，，，共10种．，，，，，共6种．．PM2.5年平均浓度（微克/立方米．，所以去年该居民区PM2.5年平均浓度环境空气质量标准．到点的距离与到直线的距离相等， 所以点的轨迹是以为焦点，为准线的抛物线，其方程为．………4分 （Ⅱ）假设是直角三角形，不失一般性，设， ，，，则由， ，， 所以．…………………………6分 因为，，， 所以．……………………………8分 又因为，所以，， 所以． ① 又， 所以，即． ②………10分 由①，②得，所以． ③ 因为． 所以方程③无解，从而不可能是直角三角形．…………………12分 解法二：（Ⅰ）同解法一 （Ⅱ）设，，，由， 得，．……………………………6分 由条件的对称性，欲证不是直角三角形，只需证明． 当轴时，，，从而，， 即点的坐标为． 由于点在上，所以，即， 此时，，，则．…………8分 当与轴不垂直时， 设直线的方程为：，代入， 整理得：，则． 若，则直线的斜率为，同理可得：． 由，得，，． 由，可得． 从而， 整理得：，即，① ． 所以方程①无解，从而．……………………………11分 综合，， 不可能是直角三角形．………………………12分 22． 本题主要考查函数、导数等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，函数与方程思想、数形结合思想、考查化归与转化思想．满分12分．解法一：（Ⅰ）因为，所以， 函数的图象在点处的切线斜率． 由得：． …………………4分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知，，令． 因为，，所以在至少有一个 根． 又因为，所以在上递增， 所以函数在上有且只有一个零点，即方程有且只有一 个实根． ………………… 7分 （Ⅲ）证明如下： 由，，可求得曲线在点处的切 线方程为， 即． ………………… 8分 记 ， 则． ………………… 11分 （1）当，即时，对一切成立， 所以在上递增． 又，所以当时，当时， 即存在点，使得曲线在点A附近的左、右两部分分别位于曲线 在该点处切线的两侧． ………………… 12分 （2）当，即时， 时，；时，； 时，． 故在上单调递减，在上单调递增． 又，所以当时，；当时，， 即曲线在点附近的左、右两部分都位于曲线在该点处切线的 同侧． ………………… 13分 （3）当，即时， 时，；时，；时，． 故在上单调递增，在上单调递减． 又，所以当时，；当时，， 即曲线在点附近的左、右两部分都位于曲线在该点处切线的同侧． 综上，存在唯一点使得曲线在点附近的左、右两部分分别 位于曲线在该点处切线的两侧． ………………… 14分 解法二：（Ⅰ）（Ⅱ）同解法一； （Ⅲ）证明如下： 由，，可求得曲线在点处的切 线方程为， 即． ……………… 8分 记 ， 则． ………………… 11分 若存在这样的点，使得曲线在该点附近的左、右两部分都 位于曲线在该点处切线的两侧，则问题等价于t不是极值点， 由二次函数的性质知，当且仅当，即时， t不是极值点，即． 所以在上递增． 又，所以当时，；当时，， 即存在唯一点，使得曲线在点附近的左、右两部分分别 位于曲线在该点处切线的两侧． ………………… 14分。
2023-2024学年福建省厦门高三下学期4月期中考试数学质量检测模拟试题(含答案)
2023-2024学年福建省厦门高三下学期4月期中考试数学模拟试题一、单选题1．集合{}24A x x =<，{}31B x x =-<≤，则A B = （）A ．{}2x x <B ．{}31x x -<≤C ．{}21x x -<≤D ．{}32x x -<<【正确答案】C【分析】首先解一元二次不等式求出集合A ，再根据交集的定义计算可得.【详解】由24x <，即()()220x x -+<，解得22x -<<，所以{}{}2422A x x x x =<=-<<，又{}31B x x =-<≤，所以{}21A B x x ⋂=-<≤.故选：C2．若()1i 2i z +=，其中i 为虚数单位，则zz=（）A ．iB ．i-C ．1D ．1-【正确答案】A【分析】根据复数的除法求出z ，再由22z z z z=代入计算即可．【详解】因为()1i 2i z +=，所以2i 2i(1i)i 11i 2z -===++，所以222ii 2z z z z===，故选：A ．3．在52)-的展开式中，2x 的系数为（）．A ．5-B ．5C ．10-D ．10【正确答案】C【分析】首先写出展开式的通项公式，然后结合通项公式确定2x 的系数即可.【详解】)52展开式的通项公式为：()()55215522r rrrrr r T CC x --+=-=-，令522r -=可得：1r =，则2x 的系数为.()()11522510C -=-⨯=-故选：C.二项式定理的核心是通项公式，求解此类问题可以分两步完成：第一步根据所给出的条件(特定项)和通项公式，建立方程来确定指数(求解时要注意二项式系数中n 和r 的隐含条件，即n ，r 均为非负整数，且n ≥r ，如常数项指数为零、有理项指数为整数等)；第二步是根据所求的指数，再求所求解的项．4．三星堆古遗址作为“长江文明之源"，被誉为人类最伟大的考古发现之一.3号坑发现的神树纹玉琮，为今人研究古蜀社会中神树的意义提供了重要依据.玉琮是古人用于祭祀的礼器，有学者认为其外方内圆的构造，契合了古代“天圆地方”观念，是天地合一的体现，如图，假定某玉琮形状对称，由一个空心圆柱及正方体构成，且圆柱的外侧面内切于正方体的侧面，圆柱的高为12cm ，圆柱底面外圆周和正方体的各个顶点均在球O 上，则球O 的表面积为（）A ．272πcmB ．2162πcmC ．2216πcmD ．2288πcm 【正确答案】C【分析】根据题意可知正方体的体对角线即是外接球的直径，又因圆柱的外侧面内切于正方体的侧面，可利用勾股定理得出正方体边长，继而求出球的表面积.【详解】不妨设正方体的边长为2a ，球О的半径为R ，则圆柱的底面半径为a ，因为正方体的体对角线即为球О直径，故2R =，利用勾股定理得：222263a R a +==，解得18a =，球的表面积为2ππ44318216πS R ==⨯⨯=，故选：C.5．已知圆22:4C x y +=，直线:l y kx m =+，当k 变化时，l 截得圆C 弦长的最小值为2，则m =（）A ．2±B ．C ．D ．【正确答案】C【分析】先求得圆心到直线距离，即可表示出弦长，根据弦长最小值得出m .【详解】由题可得圆心为()0,0，半径为2，则圆心到直线的距离d =，则弦长为则当0k =时，弦长取得最小值为2，解得m =故选：C.6．已知平面向量OA ，OB 满足2OA OB == ，2OA OB ⋅=-，点D 满足 2DA OD = ，E 为AOB的外心，则OB ED ⋅的值为（）A ．163-B ．83-C ．83D ．163【正确答案】B【分析】求出OA ，OB的夹角，作出平面直角坐标系，表达出各点的坐标，即可求出OB ED ⋅ 的值.【详解】由题意，2OA OB == ，∵2c cos 2os 2OA OB OA OB θθ⋅=⋅==-，解得：1cos 2θ=-，∴两向量夹角2π3θ=，∵2DA OD =，以O 为坐标原点,OA ,垂直于OA 所在直线为x ,y 轴建立平面直角坐标系,如图所示,则()()(0,0,2,0,O A B -,设(),0D x ,由2DA OD =,知()(),022,0x x =-,解得23x =,∴2,03D ⎛⎫ ⎪⎝⎭又E 为AOB 的外心，∴1π,,23AOE AOB OE EA ∠=∠==π3AOE EAO OEA ∠=∠=∠=，∴AOE △为等边三角形,∴(E ，∴1,3ED ⎛=- ⎝ ,∴83OB ED ⋅=- .故选：B.7．设椭圆C ：22221x y a b+=(0)a b >>的左、右焦点分别为1F ，2F ，直线l 过点1F .若点2F 关于l 的对称点P 恰好在椭圆C 上，且211212F F F P a =⋅ ，则C 的离心率为（）A ．13B ．23C ．12D ．25【正确答案】C【分析】根据已知结合椭圆的定义可推得12PF c =，222PF a c =-.然后根据211212F F F P a =⋅ ，可推得2214cos 2c a θ=.最后根据余弦定理，即可得到关于,a c 的齐次方程，即可得出离心率.【详解】设12PF F θ∠=，由已知可得，1122PF F F c ==，根据椭圆的定义有21222PF a PF a c =-=-.又211212F F F P a =⋅ ，所以2214cos 2c a θ=.在12PF F △中，由余弦定理可得，22221121122cos PF PF F F PF F F θ=+-⋅，即()222222288cos 8a c c c c a θ-=-=-，整理可得224850c ac a +-=，等式两边同时除以2a 可得，24850e e +-=，解得，12e =或52e =-（舍去），所以12e =.故选：C.8．已知0ε>，ππ,,44x y ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，且e sin e sin x y y x ε+=，则下列关系式恒成立的为（）A ．cos cos x y ≤B ．cos cos x y ≥C ．sin sin x y ≤D ．sin sin x y≥【正确答案】A 【分析】构造()sin e xx f x =，ππ,44x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，求导研究其单调性，分类讨论得到正确选项.【详解】构造()sin e x x f x =，ππ,44x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，则()cos sin e xx x f x -'=，当ππ,44x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，cosx sinx >，()cos sin 0e x x x f x -'=>，所以()sin e x x f x =在ππ,44⎛⎫- ⎪⎝⎭单调递增，因为0e 0e x y <<，，当sin sin 0e e x yx y ε+=>，e 1ε>时，则0sin sin x y <<,所以sin sin 0,e e x y x y >>所以π04x y >>>πcos 0,4y x x ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭，单调递增，所以cos cos x y <;当sin sin 0e e x y x y ε+=<，e 1ε>时sin sin 0x y <<,所以sin sin 0,e e x y x y <<所以π04x y -<<<,πcos ,,04y x x ⎛⎫=∈- ⎪⎝⎭单调递减，所以cos cos x y <.故选：A关键点点睛，构造函数，本题中构造()sin e xxf x =进行求解，利用函数单调性比较函数值的大小，.二、多选题9．已知一组样本数据1215,,,x x x ，其中2i x i =（1i =，2，…，15），由这组数据得到另一组新的样本数据1y ，2y ，…，15y ，其中20i i y x =-，则（）A ．两组样本数据的样本方差相同B ．两组样本数据的样本平均数相同C ．1y ，2y ，…，15y 样本数据的第30百分位数为10-D ．将两组数据合成一个样本容量为30的新的样本数据，该样本数据的平均数为5【正确答案】AC【分析】根据一组数据加减一个数以及乘以一个数时，平均数以及方差的性质可判断ABD ；根据百分位数的计算可判断C ；【详解】由题意可得：2(1215)1615x +++== ，∵20i i y x =-，则204y x =-=-，22y x s s =，故A 正确，B 错误；由于求i y 第30百分位数：15×0.3=4.5，故为第5个数，i y 的排列为：18,16,14,12,10,,10----- ，因此，第30百分位数为10-，C 正确；将两组数据合成一个样本容量为30的新的样本数据，新样本的平均数为15151116463022x y +=⨯-⨯=，D 错误，故选：AC ．10．如图，在矩形AEFC 中，AE =EF =4，B 为EF 中点，现分别沿AB 、BC 将△ABE 、△BCF翻折，使点E 、F 重合，记为点P ，翻折后得到三棱锥P -ABC ，则（）A ．三棱锥-P ABC 的体积为3B ．直线PA 与直线BCC ．直线PA 与平面PBC 所成角的正弦值为13D ．三棱锥-P ABC 【正确答案】BD【分析】证明BP ⊥平面PAC ，再根据P ABC B PAC V V --=即可判断A ；先利用余弦定理求出cos APC ∠，将BC 用,PC PB表示，利用向量法求解即可判断B ；利用等体积法求出点A 到平面PBC 的距离d ，再根据直线PA 与平面PBC 所成角的正弦值为dPA即可判断C ；利用正弦定理求出PAC △的外接圆的半径，再利用勾股定理求出外接球的半径即可判断D.【详解】由题意可得,BP AP BP CP ⊥⊥，又,,,,AP CP P AP CP P AP CP ⋂==⊂平面PAC ，所以BP ⊥平面PAC ，在PAC △中，PA PC ==，AC=，所以114232P ABC B PAC V V --==⨯⨯⨯=A 错误；对于B ，在PAC △中，1cos 3APC ∠=，4BC ==cos ,PA PC PB PA BC PA BC PA BC⋅-⋅==136，所以直线PA与直线BC 所成角的余弦值为6，故B 正确；对于C ，12PBC S PB PC =⋅= ，设点A 到平面PBC 的距离为d ，由B PAC A PBC V V --=，得133⨯=，解得d =，所以直线PA 与平面PBC所成角的正弦值为3dPA =，故C 错误；由B 选项知，1cos 3APC∠=，则sin 3APC ∠=，所以PAC △的外接圆的半径12sin AC r APC =⋅=∠设三棱锥-P ABC 外接球的半径为R ，又因为BP ⊥平面PAC ，则22219111222R r PB ⎛⎫=+=+= ⎪⎝⎭，所以2R =，即三棱锥-P ABC 外接球的半径为2，故D 正确.故选：BD.三、单选题11．筒车是我国古代发明的一种灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中得到使用.明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理（如图）.现有一个半径为3米的简车按逆时针方向每分钟旋转1圈，筒车的轴心距离水面的高度为2米.设筒车上的某个盛水筒P 到水面的距离为d （单位：米）（在水面下则为负数），若以盛水筒刚浮出水面开始计算时间，设时间为t （单位：秒），已知2cos483≈︒，则（）A ．π23cos 30d t θ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，其中2cos 3θ=，且π0,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭B ．π3sin 230d t θ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，其中2sin 3θ=-，且π,02θ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭C ．大约经过38秒，盛水筒P 再次进入水中D ．大约经过22秒，盛水筒P 到达最高点【正确答案】ABD【分析】若O 为筒车的轴心的位置，AC 为水面，P 为筒车经过t 秒后的位置，由题设知筒车的角速度π30ω=，令AOB θ∠=，易得π30t POB θ∠=+，而cos OBPOB OP∠=、2d OB =-，即可求d 的解析式判断A 、B 的正误，38t ≈、22t ≈代入函数解析式求d ，即可判断C 、D 的正误.【详解】由题意知，如图，若O 为筒车的轴心的位置，AC 为水面，P 为筒车经过t 秒后的位置，筒车的角速度2ππ6030ω==，令2cos cos 3AOB θ∠==且π0,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴πcos cos()30t OB POB OP θ∠=+=，故πcos()30t OB OP θ=⋅+，而2d OB =-，∴π23cos 30d t θ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，其中2cos 3θ=，且π0,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，又πππ23cos 23cos cos 3sin sin 303030d t t t θθθ⎛⎫=-+=-+ ⎪⎝⎭ππ22cos 3030t t =-，若π,02θ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，且2sin 3θ=-，所以cos θ=此时πππ3sin 23sin cos 3cos sin 2303030d t t t θθθ⎛⎫=++=++ ⎪⎝⎭ππ2cos 23030t t =-+，故π3sin 230d t θ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，其中2sin 3θ=-，且π,02θ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，故A 、B 正确；当38t ≈时，38π1804830=︒+︒，且sin 48≈ ，2cos 3θ=，∴523cos(48)23(cos 48cos sin 48sin )3d θθθ=+︒+=+︒-︒=，故盛水筒P 没有进入水中，C 错误；当22t ≈时，22904230p =°+°，且cos 2sin 42483=≈，22cos(9042)42)22sin 42425d =-︒+︒+︒+︒=+︒+︒=，故盛水筒P 到达最高点，D 正确.故选：ABD 四、多选题12．已知抛物线C 的顶点为O ，焦点为F ，圆F 的圆心为F ，半径为OF .平面内一点P 满足OP OF ⊥，过P 分别作C 和圆F 的切线，切点分别为M ，N （均异于点O ），则下列说法正确的是（）A ． PM ON ∥B ．PM PF ⊥C ．M ，N ，F 三点共线D ．PF ON OP OF⋅=⋅【正确答案】ABC【分析】设抛物线方程，可得圆的标准方程，设()()1122,,,M x y N x y ，切线PM 的方程，利用直线与抛物线、直线与圆的位置关系分别求出两条切线方程，进而求出点P 的坐标，结合2112y px =、2112y x p=、22222y px x =-、1y =22px y 、2222122p x y y =，利用平面向量的坐标表示化简计算，依次求解即可.【详解】设抛物线方程为22(0)y px p =>，则(,0)2pF ，所以圆F 的方程为222()24p p x y -+=，即220x y px +-=.设切点分别为()()1122,,,M x y N x y ，则2112y px =，222220x y px +-=，有2112y x p=，22222y px x =-.易知两条切线的斜率存在，设切线PM 的方程为11()y y k x x -=-，则112()2y y k x x y px -=-⎧⎨=⎩，消去x ，得2112220p p y y y px k k -+-=，21122()4(2)0p py px k k∆=--⋅⋅-=，整理得222114840p pky k y -+=，即21(22)0p ky -=，得1220p ky -=，即pk k=，所以切线PM 的方程为111()py y x x y -=-，即11()yy p x x =+.同理可得切线PN 的方程为222()(224p p p x x yy --+=，令0x =，分别得12y y =，222px y y =，由OP OF ⊥，知点P 在y 轴上，为1(0,2y P ，由12y =222px y ，得1y =22px y ，有2222122p x y y =.又22111222112222222(,)(,)(,)(,)222222y y y px px px PM x y x y p y y y =-=== ，22(,)ON x y = ，所以PM 与ON共线，即//PM ON ，故A 正确；又11111(,)(,)22y y PM x y x =-= ，11(,)22p PF y =- ，所以21111111202424p PM PF x y px px ⋅=-=-⋅= ，即PM PF ⊥，故B 正确；又2222212222222222112222222222()2(,)(,)(,)(,)(,)222222y px px py px px p px x px px x p pp FM x y y p y y y y y y ----=-=-=== ，22222(,)(,)22x p pFN x y y -=-= ，所以FM 与FN共线，所以,,M N F 三点共线，故C 正确；因为FN PN ⊥，,,M N F 三点共线，所以122p x x ==，得12,2p y p y ==，所以(,),(,),(0,)2222p p p pM p N P ，得2pON PF OP OF ===，有22,24p p ON PF OP OF ==，所以PF ON OP OF ⋅=⋅不成立，故D 错误.故选：ABC.求解圆锥曲线在某点出的切线方程时，考虑切线斜率存在与否，若存在，设切线方程，利用直线与圆锥曲线的位置关系令Δ0=，求出参数，解出切线方程，结合题意即可解决有关空间中位置关系或距离关系的问题.五、填空题13．写出曲线e 1x y =-与曲线()ln 1y x =+的公切线的一个方向向量______.【正确答案】()1,1（与()1,1共线的非零向量均可）【分析】先利用导数求得曲线e 1x y =-与曲线()ln 1y x =+的公切线方程，进而求得该公切线的一个方向向量.【详解】设曲线e 1x y =-上的切点为11(,e 1)xx -，e xy '=曲线()ln 1y x =+上的切点为22(,ln(1))x x +，11y x '=+则11122211e 1ln(1)(e 1)e x x x x x x x ⎧=⎪+⎪⎨+--⎪=⎪-⎩，两式相减整理得122(1)ln(1)x x x =-++，代入上式得2(1)122(1)(1)x x x -+-+=+，解之得20x =，则10x =，则曲线e 1x y =-与曲线()ln 1y x =+的公切线的公切点为(0,0)，则切线斜率为1，切线方程为0x y -=，则公切线的一个方向向量为()1,1故()1,114．已知函数()f x 的定义域为R ，若()12f x +-为奇函数，且()()13f x f x -=+，则()2023f =_________.【正确答案】2【分析】推导出函数()f x 为周期函数，确定该函数的周期，计算出()1f 的值，结合()()134f f +=以及周期性可求得()2023f 的值.【详解】因为()12f x +-为奇函数，则()()1212f x f x -+-=-+-⎡⎤⎣⎦，所以，()()114f x f x ++-=，在等式()()114f x f x ++-=中，令0x =，可得()214f =，解得()12f =，又因为()()13f x f x -=+，则()()134f x f x +++=，①所以，()()354f x f x +++=，②由①②可得()()51f x f x +=+，即()()4f x f x +=，所以，函数()f x 为周期函数，且该函数的周期为4，所以，()()()()2023450533412f f f f =⨯+==-=.故答案为.215．已知甲、乙两人三分球投篮命中率分别为0.4和0.5，则他们各投两个三分球，至少有一人两球都投中的概率为______．【正确答案】0.37/37100【分析】采取正难则反的原则，求出其对立事件，即二人两球都没有投中的概率，再根据对立事件的概率公式求解即可．【详解】设甲两个三分球都投中的事件为A ，乙两个三分球都投中的事件为B ，至少有一人两球都投中的事件为C ，则()0.16P A =，(0.84P A =，()0.25P B =，()0.75P B =，()()1P C P AB=-由题可知事件A 与事件B 互相独立，所以()()1P C P AB =-10.840.75=-⨯0.37=,所以至少有一人两球都投中的概率为0.37，故0.3716．足球是一项很受欢迎的体育运动．如图，某标准足球场的B 底线宽72AB =码，球门宽8EF =码，球门位于底线的正中位置．在比赛过程中，攻方球员带球运动时，往往需要找到一点P ，使得EPF ∠最大，这时候点P 就是最佳射门位置．当攻方球员甲位于边线上的点O 处(,)OA AB OA AB =⊥时，根据场上形势判断，有OA 、OB 两条进攻线路可供选择．若选择线路OB ，则甲带球______码时，到达最佳射门位置．【正确答案】-【分析】过点P 作PM AD ⊥于点M ，PN AB ⊥于点N ，设OM x =(072)m <<，分别表示出FN ，EN ，NP ，OP ，根据两角差的正切公式表示出tan EPF ∠，求出tan EPF ∠的最大值，结合tan y x=在π(0,)2的单调性得出此时EPF ∠最大，即可求得答案．【详解】过点P 作PM AD ⊥于点M ，PN AB ⊥于点N ，如图所示，设OM x =(072)m <<，则OP =，由题可知，32AE =，OM MP x ==，易得四边形AMPN 为矩形，所以72NP AM x ==-，AN PM x ==，32EN x =-，所以40FN EF EN x =+=-，则32tan 72EN x EPN PN x -∠==-，40tan 72FN xFPN PN x-∠==-，所以tan tan()EPF FPN EPN ∠=∠-∠tan tan 1tan tan FPN EPN FPN EPN∠-∠=+∠⋅∠40327272403217272x xx x x x x x -----=--+⋅--287212807272x x x x=-+-+-，设72(0,72)x m -=∈，则72x m =-，所以8tan 1280272EPF m m∠=+-，因为128027272m m+-≥，当且仅当12802m m =时等号成立，即m =，所以当m =时，即72x =-tan EPF ∠最大，由题可知，(0,2πEPF ∠∈，因为tan y x =在π(0,)2上单调递增，所以tan EPF ∠最大时，EPF ∠最大，所以(7216OP =-=时，到达最佳射门位置，故-．六、解答题17．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，且4n S ，13n S +，()*22N n S n +∈成等差数列．(1)求{}n a 的通项公式；(2)若数列{}n b 满足,1,n n a n b n n ⎧=⎨-⎩为奇数为偶数，求{}n b 的前2n 项和2n T ．.【正确答案】(1)()1*2N n n a n -=∈(2)()2*2431N 3n n n T n +-=∈【分析】（1）由4n S ，13n S +，()*22N n S n +∈成等差数列得出()2112n n n n S S S S +++-=-，再根据n S 与n a 的关系得出112n n a a ++=，即可求出{}n a 的通项公式；（2）结合（1）的结论及条件，得出1214k k b --=，()221N k b k k *=-∈，再根据分组求和即可求出{}n b 的前2n 项和2n T ．【详解】（1）由4n S ，13n S +，()22N n S n *+∈成等差数列知21426n n n S S S +++=，即2123n n n S S S +++=，所以()2112n n n n S S S S +++-=-，即212n n a a ++=，因为{}n a 是首项为1，公比为2的等比数列，所以12n n a -=，所以{}n a 的通项公式()1*2N n n a n -=∈．（2）由（1）知，12n n a -=，所以221212124k k k k b a ----===，()221N k b k k *=-∈，所以2122n nT b b b =++⋅⋅⋅+()()1321242n n b b b b b b -=++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+011(444)[13(21)]n n -=++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+-1(14)(121)142n n n ⨯-+-=+-224143133n n n n -+-=+=，所以{}n b 的前2n 项和()2*2431N 3n n n T n +-=∈．18．ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a、b 、c ，已知c ，且ABC 的面积2224b c a S +-=.(1)求C ；(2)若ABC 内一点P 满足 AP AC =， BP CP =，求PAC ∠.【正确答案】(1)π2C =(2)π6PAC ∠=【分析】（1）利用三角形的面积公式以及余弦定理可求得tan A 的值，可求得角A 的值，由c =结合正弦定理求出sin C 的值，结合角C 的取值范围可求得角C 的值；（2）设PAC θ∠=，可得出π2ACP APC θ-∠=∠=，2BCP θ∠=，在APC △、BPC △分别利用正弦定理可求得sin θ的值，结合θ的取值范围可求得角θ的值.【详解】（1）解：由余弦定理得2221cos 42b c a S bc A +-==，因为1sin 2S bc A =，所以sin cos A A =，因为()0,πA ∈，则cos sin 0A A =>，所以tan 1A =，所以π4A =，因为c，所以πsin 14C A ===，因为()0,πC ∈，所以π2C =.（2）解：由（1）知π4A =，π2C =，所以ππ4B AC A =--==，所以b a =，设PAC θ∠=，因为AP AC =，所以π2ACP APC θ-∠=∠=，因为π2C =，所以π22BCP ACP θ∠=-∠=，因为在APC △中AP AC =，由正弦定理πsin sin2PC ACθθ=-可得2sincossin 222sin 2sin 22coscos22AC AC PC b a θθθθθθθ====，在APC △中，BP CP =，则2PBC PCB θ∠=∠=，则π2π2BPC θθ∠=-⨯=-，由正弦定理()sin πsin 2PCBC θθ=-，即2sin2sin sin 2a a θθθ=，所以，1sin 2θ=，因为π0,4PAC θ⎛⎫∠=∈ ⎪⎝⎭，所以π6PAC θ∠==.19．chatGPT 是由OpenAI 开发的一款人工智能机器人程序，一经推出就火遍全球，chatGPT 的开发主要采用RLHF （人类反馈强化学习）技术，训练分为以下三个阶段.第一阶段：训练监督策略模型.对抽取的prompt 数据，人工进行高质量的回答，获取<prompl ，answer>数据对，帮助数学模型GPT-4更好地理解指令.第二阶段：训练奖励模型，用上一阶段训练好的数学模型，生成k 个不同的回答，人工标注排名，通过奖励模型给出不同的数值，奖励数值越高越好.奖励数值可以通过最小化下面的交叉损失函数得到： 1Loss ln ni i i y y ==-∑，，其中{}0,1i y ∈， ()0,1i y ∈，且1ni iy =∑.第一阶段：实验与强化模型和算法.通过调整模型的参数，使模型得到最大奖以符合人工的选择取向.(1)若已知某单个样本，共真实分布[][]1210,,,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0y y y y =⋅⋅⋅=，共预测近似分布 [][]1210,,,0,0.2,0,0,0.7,0,0,0.1,0,0y y y y =⋅⋅⋅=，计算该单个样本的交叉损失函数Loss 的值；(2)某次测试输入的问题中出现语法错误的概率为5%，如果输入问题没有语法错误，chatGPT 的回答被采纳的概率为90%，如果出现语法错误，chatGPT 的回答被采纳的概率为50%.①求chatGPT 的回答被采纳的概率；②已知chatGPT 的回答被采纳，求该测试输入的问题没有语法错误的概率.参考数据.ln 0.69Z =ln 5 1.609≈，ln 7 1.946≈【正确答案】(1)0.356(2)①0.88；②171176.【分析】（1）利用交叉损失函数公式即可求得该单个样本的交叉损失函数Loss 的值；（2）利用全概率概率公式即可求得chatGPT 的回答被采纳的概率；利用条件概率公式即可求得该测试输入的问题没有语法错误的概率.【详解】（1）由题意，该单个样本的交叉损失函数：11710ln 1ln 0.7ln ln ln 2ln 5ln 70.356107nii Loss y y ==-=-⨯=-==+-≈∑（2）记事件A ：charGPT 中输入的语法无错误：事件B ：charGPT 中输入的语法有错误；事件C ：chatGPT 的回答被纳依题意：()0.95P A =，()0.05P B =，()0.9P C A =，()0.5P C B =.①由全概率公式得，chatGPT 的回答被采纳的概率为()()()()()0.950.90.050.50.88P C P A P C A P B P C B =+=⨯+⨯=，②依题意，()()()()()()0.950.91710.88176P A P C A P AC P A C P C P C ⨯====.所以该测试输入的问题没有语法错误的概率为171176.20．如图，在四棱锥 P ABCD -中， AB CD ∥， AB AP ⊥，3AB =，4=AD ，5BC =，6CD =，过AB 的平面α分别交线段PD ，PC 于E ，F .(1)求证：PD EF⊥(2)若直线PC 与平面PAD 所成角为π3， PA PD =，EF AB =，求平面ABD 和平面BDF 夹角的余弦值.【正确答案】(1)证明见解析(2)131【分析】（1）先由线面垂直判定定理证出EF ⊥平面PAD ，再由线面垂直证明线线垂直即可；（2）建立空间直角坐标系，设点P 坐标，由已知线面角求得点P 坐标，再由空间向量求解平面与平面夹角即可.【详解】（1）由已知，∵ AB CD ∥，AB ⊄平面PCD ，CD ⊂平面PCD ，∴ AB 平面PCD ，又∵AB ⊂平面α，平面α 平面PCD EF =，∴AB EF ∥，∴EF CD .取CD 中点Q ，连接AQ ，∵ AB CD ∥，3AB =，132DQ CQ CD ===，∴AB CQ ，AB CQ =，∴四边形ABCQ 是平行四边形，∴5AQ BC ==，∴在ADQ △中，4=AD ，3DQ =，5AQ =，222AD DQ AQ +=，∴AD DQ ⊥，即AD CD ⊥，又∵EF CD ，∴AD EF ⊥，又∵ AB AP ⊥，AB EF ∥，∴EF AP ⊥，∵AP AD A ⋂=，AP ⊂平面PAD ，AD ⊂平面PAD ，∴EF ⊥平面PAD ，又∵PD ⊂平面PAD ，∴EF PD ⊥，即PD EF ⊥.（2）如图，取AD 中点为O ，连接OP ，∵AP PD =，∴OP AD ⊥，由第（1）问知EF ⊥平面PAD ，∴以O 为原点，OA ，OP 所在直线为x 轴，z 轴，过O 与EF 平行的直线为y 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则由已知，()2,0,0A ，()2,3,0B ，()2,6,0C -，()2,0,0D -，设()0,0,P a ，（0a >）则()2,6,PC a =-- ，易知平面PAD 的一个法向量为()0,1,0m =，∵直线PC 与平面PAD 所成角为π3，∴πcos ,sin32PC m PC m PC m⋅====，解得a =∴(0,0,P ，又∵EF CD ，132EF ==，∴E ，F 分别为PD ，PC中点，∴(F -，∴(BF =- ，()4,3,0DB = ，设平面BDF 的一个法向量为()1,,n x y z =由1100n BF n DB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，得30430x x y ⎧-=⎪⎨+=⎪⎩，令6x =，则8y =-，z =，∴平面BDF的一个法向量为(16,n =-，易知，平面ABD 的一个法向量为()20,0,1n =，设平面ABD 和平面BDF 的夹角为θ，则121212cos cos ,n n n n n n θ⋅===⋅∴平面ABD 和平面BDF21．已知双曲线：221x y -=，点M 为双曲线C 右支上一点，A 、B 为双曲线C 的左、右顶点，直线AM 与y 轴交于点D ，点Q 在x 轴正半轴上，点E 在y 轴上.(1)若点(M ，()2,0Q ，过点Q 作BM 的垂线l 交该双曲线C 于S ，T 两点，求OST 的面积；(2)若点M 不与B 重合，从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立.①OD DE =；②BM EQ ⊥；③2OQ =.注:若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分.【正确答案】(2)证明见解析【分析】（1）先根据已知，得出l 的方程，然后联立l 与双曲线的方程，根据韦达定理得出坐标的关系，表示出弦长，最后根据面积公式，即可得出答案；（2）①②为条件，③为结论：易得001D y y x =+.又OD DE =，0020,1y E x ⎛⎫ ⎪+⎝⎭.然后根据直线BM 的斜率可得出0011EQ BMx k k y -=-=.设点(),0Q Q x ，则0000211EQQy x x k y x -+==-，即可得出Q 坐标；①③为条件，②为结论：易得001D y y x =+，0020,1y E x ⎛⎫⎪+⎝⎭.又()2,0Q ，即可的得出EQ k ，BM k ，求解EQ BM k k ⋅，整理即可得出证明；②③为条件，①为结论：易得0001D y y x =>+，平方整理可得20011Dx y x -=+.根据BM EQ ⊥，得0011EQ BMx k k y -=-=.进而根据002E EQ y k -=-，即可求出()00210Ex y y -=>，平方整理，即可得出证明.【详解】（1）由已知可得，()1,0A -，()10B ,.因为点(M ，直线BM的斜率为MB k =，所以直线BM 的垂线l的方程为)02y x -=-，整理可得，2x =+.设点()11,S x y ，()22,T x y ，联立直线l与双曲线的方程2221x x y ⎧=+⎪⎨-=⎪⎩可得，2230y -+=，则(242324∆=--⨯⨯=，且121232y y y y ⎧+=⎪⎨=⎪⎩，所以，ST ===.原点O 到直线l 的距离为1d =，所以，OST的面积为11122ST d ⨯⨯=⨯=（2）①②为条件，③为结论令点()0,D D y ，()()000,1M x y x >，且22001x y -=，因为,,A D M 三点共线，所以001D y y x =+.又OD DE = ，所以点E 的坐标为0020,1y E x ⎛⎫ ⎪+⎝⎭，所以直线BM 的斜率为001BM y k x =-.又BM EQ ⊥，所以0011EQ BM x k k y -=-=.设点(),0Q Q x ，因为直线EQ 的斜率0000211EQ Qy x x k y x -+==-，所以220022002221Q y y x x y ===-，所以2OQ =；①③为条件，②为结论令点()0,D D y ，()()000,1M x y x >，且22001x y -=，因为,,A D M 三点共线，所以001D y y x =+.又OD DE = ，所以点E 的坐标为0020,1y E x ⎛⎫ ⎪+⎝⎭，又2OQ =，点Q 在x 轴正半轴上，所以()2,0Q ，所以00002112EQ y x x k y +-==-.又001BM y k x =-，所以000011BM EQy y k k x x ⋅=-⋅-+220022001111y x x x -=-=-=---，所以，BM EQ ⊥；②③为条件，①为结论令点()0,D D y ，()()000,1M x y x >，且22001x y -=，不妨设00y >.因为,,A D M 三点共线，所以0001D y y x =>+，且()()2220002200011111D y x x y x x x --===+++.因为2OQ =，点Q 在x 轴正半轴上，所以()2,0Q .因为BM EQ ⊥，所以0011EQ BM x k k y -=-=.又002E EQ y k -=-，所以，()00210E x y y -=>，且()()()0022000222041414111E x x x y y x x ---===-+，所以，2E D y y =，即OD DE = .思路点睛：①②为条件，③为结论：先得出BM 的斜率，根据BM EQ ⊥，得出0011EQ BM x k k y -=-=..然后根据,E Q 两点坐标，表示出斜率，即可推出Q 点的坐标.22．已知函数()1e mx f x x -=-.(1)讨论函数()f x 的单调性；(2)当0m >时，函数()()ln 1x g x f x x m +=-+恰有两个零点.（i ）求m 的取值范围；（ii ）证明:()11m m g x m m ->-.【正确答案】(1)答案见解析(2)（i ）()0,1；（ii ）证明见解析【分析】（1）求导，再分0m ≤和0m >，根据导数的符号即可得出答案；（2）（i ）求导()()2111e 1e 0mx mx m x g x m x mx mx---=-'=>，()21e 1mx h x m x -=-，利用导数判断函数的单调性，再结合（1）分m 1≥和01m <<两种情况讨论，利用零点的存在性定理即可得出答案；（ii ）由（i ）可得要证()11m m g x m m->-，即证()111m m g x m m ->-，先证明()12ln m g x m >，再构造函数()()12ln 0H x x x x x=-+>，利用导数判断出函数的单调性，从而可得出结论.【详解】（1）()1e1mx f x m -'=-，当0m ≤时，()1e10mx m f x -'=-<，所以函数()f x 在R 上递减，当0m >时，设()1e1mx F x m -=-，则()21e 0mx F x m -'=>，所以函数()1e 1mx F x m -=-在R 上递增，即()1e 1mx f x m -'=-在R 上递增，令()1e10mx f x m -'=-=，得1ln m x m -=，当1ln ,m x m -⎛⎫∈-∞ ⎪⎝⎭时，()0f x '<，函数()f x 为减函数，当1ln ,m x m -⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()0f x ¢>，函数()f x 为增函数，综上可得，当0m ≤时，函数()f x 在R 上递减；当0m >时，函数()f x 在1ln ,m m -⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭上递减，在1ln ,m m -⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上递增；（2）（i ）()()()1ln 1ln 1e 0mx x x g x f x x m m m-++=-+=->，函数()g x 的定义域为()0,∞+，()()2111e 1e 0mx mx m x g x m x mx mx---=-'=>，设()21e1mx h x m x -=-，则()()()211e 00mx h x m mx x -=+>>'，所以函数()h x 在()0,∞+上递增，由（1）可知，当1m =时，()()1ln 1110m f x f f m -⎛⎫≥==-= ⎪⎝⎭，即1e x x -≥，所以3211333322222211e 1111m m h m m m m m m m -⎛⎫ ⎪+----- ⎪⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+-≥+⋅+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以3332222110h m m m m m ---⎛⎫+>⋅⋅⋅-= ⎪⎝⎭，又因()01h =-，由零点的存在性定理可得，存在3210,1x m -⎛⎫∈+ ⎪⎝⎭，使得()10h x =，即1111e mx mx m -=，（*）当()10,x x ∈时，()0h x <，即()0g x '<，()g x 为减函数，当()1,x x ∈+∞时，()0h x '>，即()0g x '>，()g x 为增函数，当m 1≥时，由（*）可知()()111111122111ln 1ln 1ln 11e mx mx x x x g x m m x m m x --+++=-=-=，且11110e 1mx mx m-<=≤，设()1e x x x ϕ-=，则()()()11e00x x x x ϕ-=+>>'，所以函数()1e x x x ϕ-=在()0,∞+上递增，因为()11φ=，结合11110e 1mx mx m-<=≤，得11mx ≤，又m 1≥，所以111x m≤≤，所以()1111ln 110mx x mx -+≥-≥，即()()10g x g x ≥≥，所以当m 1≥时，函数()g x 最多一个零点，与题意矛盾，当01m <<时，()111e m g m-=-，设()()11e 01x G x x x-=-<<，则()()121e 001x G x x x -'=+><<，所以函数()G x 在()0,1上递增，所以()()10G x G <=，即()111e 0m g m-=-<，因为()1e 0x x x -≥>，所以1ln x x -≥1ln ≥2ln x ≥，则()21g x mx mx m m +≥->-，所以44440g m m m ⎛⎫>⋅= ⎪⎝⎭，且241m >，当01m <<时，1111e 1mx mx m-=>，所以由()x ϕ的单调性可知11mx >，且111x m >>，所以当()11,x x ∈时，()0g x '<，()g x 为减函数，当()1,x x ∈+∞时，()0g x '>，()g x 为增函数，所以由零点的存在性定理可知，()g x 在区间441,m ⎛⎫ ⎪⎝⎭上存在唯一的零点，11e e 1ln 11e e e 0e m m g m--+⎛⎫=-=> ⎪⎝⎭，且11e <，所以由零点的存在性定理可知，()g x 在区间1,1e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上存在唯一的零点，所以当01m <<时，函数()g x 恰有两个零点，综上所述，m 的取值范围为()0,1；（ii ）因为1111e mx mx m-=，即112ln ln 10m x mx ++-=，则11ln 12ln 2x m mx +=--+，所以()1111121ln 112ln 2e mx x m g x x m m x m m-+=-=++-，有基本不等式可得()112112ln 22ln 22ln m m m g x x m x m m m m m=++-≥-=，当且仅当1211x m x =，即11x m=时，取等号，由1111e mx mx m -=，由11x m=可得1m =，这与01m <<矛盾，所以11x m ≠，所以()()12ln m g x g x m≥>，要证()11m m g x m m ->-，即证()111m m g x m m ->-，设()()12ln 0H x x x x x=-+>，则()22211110H x x x x ⎛⎫=--=--≤ ⎪⎝⎭'所以函数()H x 在()0,∞+上递减，所以当01x <<时，()()10H x H >=，因为01m <<，所以101m m <<，所以1112ln 2ln m m m m m m m m-=>-，又()()12ln m g x g x m ≥>，所以()11m m g x m m ->-.方法点睛：用导数求函数零点个数问题方法：（1）分离参数法：一般命题情境为给出区间，求满足函数零点个数的参数范围，通常解法为从函数中分离出参数，然后利用求导的方法求出构造的新函数的最值，最后根据题设条件构建关于参数的不等式，确定参数范围；。
福建省福州市20232024学年高三下学期4月末质量检测数学试卷
2023～2024 学年福州市高三年级4月份质量检测参考答案与评分细则一、选择题：本大题考查基础知识和基本运算．每小题5分，满分40分.1．D 2．C 3．A 4．C 5．D 6．B 7．B 8．A二、选择题：本大题考查基础知识和基本运算．每小题6分，满分18分．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．ABC 10．BC 11．ACD三、填空题：本大题考查基础知识和基本运算．每小题5分，满分15分．12．2− 13．8 14．6，22四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15. 【考查意图】本小题主要考查递推数列与数列求和等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力等；考查分类与整合、化归与转化等思想方法；考查数学运算、逻辑推理等核心素养；体现基础性和综合性.满分13分.解：（1）因为12,2n n a a n n −=+…，所以12n n a a n −−=，···································1分当2n …时，112211()()()n n n n n a a a a a a a a −−−=−+−++−+L ，所以22242n a n n =+−+++L ，·························································3分 所以(22),22n n n a n +=…，所以2,2n a n n n =+…，··································4分 又因为12a =，···············································································5分所以2*,n a n n n =+∈N .······································································6分（2）由（1）可知2*(1),n a n n n n n =+=+∈N ，·············································7分 所以()111111n a n n n n ==−++，····························································9分 所以11111223(1)(1)n S n n n n =++++××−+L 1111111122311n n n n =−+−++−+−−+L ，·····································11分 所以111n S n =−+，·········································································12分 又因为1n …，所以1n S <.·································································································13分16.【考查意图】本小题主要考查正态分布、全概率公式、条件概率等基础知识，考查数学建模能力、逻辑思维能力和运算求解能力等，考查分类与整合思想、概率与统计思想等，考查数学建模、数据分析、数学运算等核心素养，体现基础性、综合性和应用性．满分15分. 解：（1）依题意得，0,0.2µσ==，···························································1分所以零件为合格品的概率为(0.60.6)(33)0.9973P X P X µσµσ−<<=−<<+=， ···································································································2分 零件为优等品的概率为(0.20.2)()0.6827P X P X µσµσ−<<=−<<+=，·····3分 所以零件为合格品但非优等品的概率为0.99730.68270.3146P =−=，···········5分 所以从该生产线上随机抽取100个零件，估计抽到合格品但非优等品的个数为1000.314631×≈.·············································································6分（2）设从这批零件中任取2个作检测，2个零件中有2个优等品为事件A ，恰有1个优等品，1个为合格品但非优等品为事件B ，从这批零件中任取1个检测是优等品为事件C ，这批产品通过检测为事件D ，····························································8分 则D A BC =+，且A 与BC 互斥，·······················································9分 所以()()()P D P A P BC =+·································································10分()()(|)P A P B P C B =+·························································11分221220.68270.68270.31460.6827C C =×+×××21.62920.6827=×，····························································12分所以这批零件通过检测时，检测了2个零件的概率为()(|)()P AD P A D P D =···········································································13分 220.68271.62920.6827=× 11.6292= 0.61≈.············································································· 15分答：这批零件通过检测时，检测了2个零件的概率约为0.61.17.【考查意图】本小题主要考查直线与平面平行的判定定理、直线与平面垂直的判定与性质定理、平面与平面的夹角、空间向量、三角函数的概念等基础知识，考査直观想象能力、逻辑推理能力、运算求解能力等,考查数形结合思想、化归与转化思想等，考査直观想象、逻辑推理、数学运算等核心素养，体现基础性、综合性.满分15分.解法一：（1）在正方形ABEF 中，连接AH 并延长，交BE 的延长线于点K ，连接PK .···································································································2分因为,G H 分别为线段,AP EF 中点，所以HF HE =，所以Rt AFH △≌Rt KEH △，所以AH KH =，·····························4分所以GH PK ∥.································5分又因为,GH BCE PK BCE ⊄⊂面面， 所以GH BCE ∥面.···········································································7分 （2）依题意得，AB BCE ⊥面，又因为BP BCE ⊂面，所以AB BP ⊥.又因为BP AE ⊥,AB AE A =I ,,AB AE ABEF ⊂面，所以BP ABEF ⊥面，········································································8分 又BE ABEF ⊂面，所以BP BE ⊥，·····················································9分解法二：（1）证明：取BP 的中点Q ，连接,GQ EQ . ·····1分因为,G H 分别为线段,AP EF 的中点，所以GQ AB ∥，12GQ AB =，····························2分 又因为,AB EF AB EF =∥，所以,GQ HE GQ HE =∥，·································3分所以四边形GQEH 是平行四边形，······················································4分 所以GH QE ∥，··············································································5分又因为,GH BCE QE BCE ⊄⊂面面，所以GH BCE ∥面.············································································7分（2）同解法一.····················································································15分所以GH BCE ∥面.············································································7分（2）同解法一.····················································································15分18.【考查意图】本小题主要考查圆、椭圆的标准方程及简单几何性质，直线与椭圆的位置关系等基础知识，考査直观想象能力、逻辑推理能力、运算求解能力等,考查数形结合思想、化归与转化思想、分类与整合思想等，考査直观想象、逻辑推理、数学运算等核心素养，体现基础性、综合性与创新性.满分17分.解法一：（1）依题意，222b c a +=．··························································1分设00(,)P x y ，则2200221x y a b+=，0ax a −<<，所以2||PF =， 所以20||||c PF x a a==−，············································3分 又a c >，所以0c a x a >，20a x c >，所以20||c PF a x a =−，20a d x c=− 所以0220||c a x PF c a a d a x c−==−，即2||PF d 为定值，且这个定值为c a ．··················4分 （2）（ⅰ）依题意，00(,)33x y G ， 设直线IG 与x 轴交于点C ，因为IG ⊥x 轴，所以0(,0)3x C ，·······················5分 所以001202||||()()333x x FC F C c c x −=+−−=，··········································6分 因为△PF 1F 2的内切圆与x 轴切于点C ，所以121202||||||||3PF PF F C F C x −=−=，·················································7分 又因为12||||2PF PF a +=，解得02||3x PF a =−，··········································8分 由（1）得20||c PF a x a =−， 所以003x c a x a a −=−， 所以椭圆E 的离心率13c e a ==．·························10分 （ⅱ）由26a =，得3a =，又13c a =，所以1c =，2228b a c =−=， 所以椭圆E 的方程为22198x y +=．······················································11分 根据椭圆对称性，不妨设点P 在第一象限或y 轴正半轴上，即003x <…，00y <…， 又1(1,0)F −，2(1,0)F ，所以直线PF 1的方程为00(1)1y y x x =++， 设直线IG 与PF 1交于点D ，因为03D x x =，所以000(3)3(1)D y x y x +=+， △F 1CD 的面积1S 与△PF 1F 2的面积S 之比为000200100(3)1(1)233(1)(3)118(1)22x y x x x S S x y ++×++==+××，················································13分 令2(3)()18(1)x f x x +=+（03x <…），则2(3)(1)(1))(18x x x f x −′++=，当[0,1)x ∈，()0f x ′<，当(1,3)x ∈，()0f x ′>，所以函数()f x 在[0,1)单调递减，在(1,3)单调递增. 又因为1(0)2f =，4(1)9f =，1(3)2f =， 所以()f x 的值域是41[,]92， 所以14192S S ……，··········································································15分 所以11415S S S −……，·······································································16分 根据对称性，△PF 1F 2被直线IG 分成两个部分的图形面积之比的取值范围是45[,54．········17分 解法二：（1）同解法一···········································································4分（2）（ⅰ）依题意，00(,33x y G ， 设直线IG 与x 轴交于点C ，因为IG ⊥x 轴，所以0(,0)3x C ，·······················5分 所以001202||||()()333x x FC F C c c x −=+−−=，··········································6分 因为△PF 1F 2的内切圆与x 轴切于点C ， 所以121202||||||||3PF PF F C F C x −=−=，·················································7分 又因为12||||2PF PF a +=，得0102||,3||.3x PF a x PF a =+ =−···········································8分所以00,3,3x a x a =+=−两式平方后取差，得00443cx ax =对任意0x 成立， 所以椭圆E 的离心率13c e a ==．························································10分 （ⅱ）同解法一···················································································17分 解法三：（1）同解法一···········································································4分（2）（ⅰ）依题意，00(,33x y G ，因为IG ⊥x 轴，设点I 坐标为0(,)3x t .··········5分 可求直线1PF 方程为00()y y x c x c=++， 则点I 到直线1PF 的||t =，·································6分 即()222200000()()()3x y c t x c t y x c +−+=++，化简得 22000002()()()033x x y t t c x c y c +++−+=，① 同理，由点I 到直线2PF 的距离等于||t ，可得22000002()()()033x xy t t c x c y c +−−−−=，②············································7分 将式①−式②，得00084233t cx y cx ⋅=⋅，则04y t =.·····································8分将04yt =代入式①，得2200001()()()016233y xx c x c c +++−+=， 化简得220022198x y c c +=，得229c a =，所以椭圆E 的离心率13c e a ==．························································10分（ⅱ）同解法一···················································································17分19.【考查意图】本小题主要考查集合、导数、不等式等基础知识，考查逻辑推理能力、直观想象能力、运算求解能力和创新能力等，考查函数与方程思想、化归与转化思想、分类与整合思想、数形结合思想等，考查数学抽象、逻辑推理、直观想象、数学运算等核心素养，体现基础性、 综合性与创新性.满分17分. 解：（1）依题意，因为0(),()f x x l x L ∈∈R ，所以2,1x x x kx ∀∈−++R …，且0x R ，20001x x kx −+=+，····················1分 令2()(1)1x x k x φ=−+−−，()214k ∆=−−， 则()0x φ…，且0()0x φ= ，所以0,0,∆ ∆ ……所以0∆= ，···································································3分即()2140k −−=，解得3k =或1−.··············································································4分（2）（ⅰ）先证必要性.若直线()y l x =是曲线()y g x =的切线，设切点为()00,e 1x x +， 因为()e x g x ′=，所以切线方程为()000e 1e ()x x y x x −+=−，即()000e (1)e 1x x l x x x =+−+（*）.························································5分 一方面，()()00g x l x =，所以000,()()x g x l x ∃∈=R ，································6分另一方面，令()()()000e e (1)e x x x G x g x l x x x =−=−−−，则()00G x =， 因为()0e e x x G x ′=−，所以当0x x <时，()0G x ′<，()G x 在()0,x −∞单调递减， 当0x x >时，()0G x ′>，()G x 在()0,x +∞单调递增，所以()()00G x G x =…，所以()()g x l x ….··············································7分 即,()()x g x l x ∀∈R …，所以()(),g x x l x T ∈∈R ，即()l x 是函数()g x 在R 上的“最佳下界线”.···············8分 再证充分性.若()l x 是函数()g x 在R 上的“最佳下界线”，不妨设()l x kx b =+，由“最佳下界线”的定义，()(),x g x l x ∀∈R …，且()()000,x g x l x ∃∈=R ，····9分 令()()()e 1x H x g x l x kx b =−=+−−，则()0H x …且()00H x =，所以()min 0H x =.·········································10分 因为()e x H x k ′=−，①若0k …，则()0H x ′…，所以()H x 在R 上单调递增，所以10x x ∃<，使得()()100H x H x <=，故0k …不符合题意.·····················11分 ②若0k >，令()0H x ′=，得ln x k =，当(),ln x k ∈−∞时，()0H x ′<，得()H x 在(),ln k −∞单调递减， 当()ln ,x k ∈+∞时，()0H x >，得()H x 在()ln ,k +∞单调递增，所以，当且仅当ln x k =时，()H x 取得最小值()ln H k .····························12分 又由()H x 在0x 处取得最小值，()min 0H x =，所以0ln ,(ln )0,x k H k = = ···········································································13分即000e ,e 10,x xk kx b =+−−= 解得0e x k =，()001e 1x b x =−+，····························14分 所以()000e (1)e 1x x l x x x =+−+，。
福建省2023届高中毕业班4月质检数学试题及参考答案
你若盛开，蝴蝶自来。
福建省2023届高中毕业班4月质检数学试题及参考答案福建省2023届高中毕业班4月质检数学试题及参考答案福建省2023届高中毕业班4月质检实行全省统考。
语文、数学、英语三科试卷由省教育厅普教室统一命制,称为“语文、数学、英语三科诊断性测试。
以下是关于2023届福建省高中毕业班4月质检数学试题及答案的相关内容，供大家参考!2023年福建高三省质检数学试题2023年福建高三省质检数学试题答案2023福建省质检成果查询时间依据往年状况，估计周末各地就间续能查到成果啦!不同地市和学校的阅卷进度、查分方式不一样，大家急躁等待学校老师通知哦。
而此前有消息称，本次“省质检”漳州的阅卷时间自4月6日下午开头，至10日中午结束。
也就是说目前已考完科目正在阅卷中，最快的话这两天就会有部分学校可以领先查到部分科目的成果了，10日晚上估计全部科目可查。
第1页/共3页千里之行，始于足下。
2023高考一模二模三模的区分是什么高三一模考试一模侧重学问的全面性，也是分数可能最低的一次模拟考试。
高三一轮复习后大约在一二月份进行一模考试，有的省份也会在三月进行。
一模考得最为全面，目的是检验一轮复习的成果，查看同学们是否有学问漏洞，觉得自己学得不错但实际有欠缺的孩子有可能会在一模受到打击。
所以提示同学们，在一模前的一轮复习中务必稳下心来，注意教材和学问基础，各科错题务必反复连做三遍，不要遗留问题到高三下半学期。
一模考试假如没有考好也不要气馁，正好利用这次考试查缺补漏，奋起直追。
高三二模考试二模最难，综合性最强。
考试时间大约在三月末或四月份，各省支配不一样。
一模后同学开头进入学问综合训练了，所以二模会把一轮复习的内容进行综合出题，题目也是最难的一次，难度要高于高考。
给大家的复习建议，综合试卷不要等到高三后半学期再刷，最好提前到一轮复习时，甚至高二就可以开头刷高考综合卷。
假如是英语，高一就可以开刷综合试卷了。
高三三模考试三模最简洁，也最接近高考难度。
福建省2021届高三普通高中毕业班4月质量检查数学文试题答案解释(word可编辑)
2021年福建省普通高中毕业班质量检查文科数学第一卷一、选择题〔本大题共12个小题，每题5分，共60分，在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的〕一、集合2{1,0,1},{|,}U B x x m m U =-==∈，那么U C A =A ．{}0,1B ．{}1,0,1-C ．φD ．{}1-二、正方形ABCD 的边长为1，,,AB a BC b CD c ===，那么a b c ++等于 A ．1 B ．2 C ．22 D ．33、某网店出售一种饼干，共有草莓味、巧克力味、香蕉味、香芋味四种口味，一名顾客在该店购买了两袋这种饼干，“口味〞选择“随机派送〞，那么这位顾客买到的两袋饼干是同一种口味的概率是A ．116B ．14C ．25D ．234、假设,x y 知足约束条件0230260x y x y x y -≥⎧⎪+-≥⎨⎪+-≤⎩，那么2z x y =-的最小值为A ．-6B ．-2C ．-1D ．3五、ABC ∆中，角,,A B C 的对边别离为,,a b c ，假设6,22a b A B ==，那么cos B 等于 A ．66 B ．65 C ．64 D ．63六、递增等比数列{}n a 的公比为q ，其前n 项和为0n S <，那么A ．10,01a q <<<B ．10,1a q <>C ．10,01a q ><<D ．10,1a q >>7、右图中，小方格是边长为1的正方形，图中粗线画出的是某几何体的三视图，那么该几何体的体积为A ．483π-B ．8π-C ．283π-D ．183π- 八、函数32ln(1)y x x x =++-的图象大致为九、执行如下图的程序框图，假设输入a 的值为2，那么输出bA ．-2B ．1C ．2D ．410、函数()22cos f x x x =+，以下结论正确的选项是A ．函数()f x 的最小正周期为2πB ．函数()f x 在区间(,)124ππ上单调递增 C ．函数()f x 的图象关于直线6x π=对称 D ．函数()f x 的图象关于(,0)12π-对称1一、正三棱柱111ABC A B C -的极点111,,A B C 在同一球面上，且平面ABC 通过球心，假设此球的外表积为4π，那么该三棱柱的侧面积的最大值为A ．2BC ．2D ．1二、设F 是椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的一个核心，P 是C 上的点，圆2229a x y +=与线段PF 交于A 、B 两点，假设A 、B 三等分线段PF ，那么C 的离心率为A B 第二卷本卷包括必考题和选考题两个局部，第13题—第21题为必考题，每一个考生都必需作答，第22题—第23题为选考题，考生按照要求作答二、填空题：本大题共4小题，每题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上。
福建省高三普通高中毕业班4月质量检查数学文试题(小题解析) Word版含解析
2017年福建省普通高中毕业班质量检查文科数学第Ⅰ卷一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1、已知集合2{1,0,1},{|,}U B x x m m U =-==∈，则U C A = A ．{}0,1 B ．{}1,0,1- C ．φ D ．{}1-2、已知正方形ABCD 的边长为1，,,AB a BC b CD c ===，则a b c ++等于 A ．1 BC．．33、某网店出售一种饼干，共有草莓味、巧克力味、香蕉味、香芋味四种口味，一位顾客在该店购买了两袋这种饼干，“口味”选择“随机派送”，则这位顾客买到的两袋饼干是同一种口味的概率是 A ．116 B ．14 C ．25 D ．234、若,x y 满足约束条件0230260x y x y x y -≥⎧⎪+-≥⎨⎪+-≤⎩，则2z x y =-的最小值为A ．-6B ．-2C ．-1D ．35、ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c，若,22a A B ==，则cos B 等于 A6、已知递增等比数列{}n a 的公比为q ，其前n 项和为0n S <，则 A ．10,01a q <<< B ．10,1a q <> C ．10,01a q ><< D ．10,1a q >>7、右图中，小方格是边长为1的正方形，图中粗线画出的是 某几何体的三视图，则该几何体的体积为A ．483π-B ．8π-C ．283π-D ．183π-8、函数3)y x x =+的图象大致为9、执行如图所示的程序框图，若输入a 的值为2，则输出b A ．-2 B ．1 C ．2 D ．410、已知函数()22cos f x x x =+，下列结论正确的是 A ．函数()f x 的最小正周期为2π B ．函数()f x 在区间(,)124ππ上单调递增C ．函数()f x 的图象关于直线6x π=对称 D ．函数()f x 的图象关于(,0)12π-对称11、已知正三棱柱111ABC A B C -的顶点111,,A B C 在同一球面上，且平面ABC 经过球心，若此球的表面积为4π，则该三棱柱的侧面积的最大值为A ．12、设F 是椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的一个焦点，P 是C 上的点，圆2229a x y +=与线段PF 交于A 、B 两点，若A 、B 三等分线段PF ，则C 的离心率为A ．3 B ．3 C ．5第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两个部分，第13题—第21题为必考题，每个考生都必须作答，第22题—第23题为选考题，考生根据要求作答二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上。
福建省普通高中毕业班质量检查文科数学试题答案及评分参考
202X年X省一般高中毕业班质量检查文科数学真题答案及评分参考202X.4评分说明：1．本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可依据真题的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则．2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继局部的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继局部的给分，但不得超过该局部正确解容许给分数的一半；如果后继局部的解答有较严峻的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．4．只给整数分数．选择题和填空题不给中间分．一、选择题：本大题考查根底知识和根本运算．每题5分，总分值60分．〔1〕C 〔2〕D 〔3〕A 〔4〕C 〔5〕D 〔6〕A〔7〕B 〔8〕D 〔9〕C 〔10〕B 〔11〕A 〔12〕D二、填空题：本大题考查根底知识和根本运算．每题5分，总分值20分．〔13〕〔14〕〔15〕〔16〕三、解答题：本大题共6小题，共70分．解容许写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．本小题主要考查等比数列的通项公式、数列求和等根底知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想、化归与转化思想等．总分值12分．解：〔Ⅰ〕设的公比为，依题意，得 3分解得 5分所以．6分〔Ⅱ〕由〔Ⅰ〕得，，所以，①7分所以，②8分①－②得， 10分．11分所以．12分18．本小题主要考查频率分布直方图、平均数、众数、古典概率等根底知识，考查数据处理能力、运算求解能力以及应用意识，考查必定与或然思想等．总分值12分．解：〔Ⅰ〕依题意可得，使用A款订餐软件的50个商家的“平均送达时间〞的众数为55〔分钟〕．2分使用A款订餐软件的50个商家的“平均送达时间〞的平均数：〔分钟〕．6分〔Ⅱ〕〔ⅰ〕使用B款订餐软件“平均送达时间〞不超过40分钟的商家的比例估量值为0.04+0.20+0.56=0.80=80%>75%. 8分故可认为使用B款订餐软件“平均送达时间〞不超过40分钟的商家到达75%.9分〔ⅱ〕使用B款订餐软件的50个商家的“平均送达时间〞的平均数：，所以选B款订餐软件．12分注：本小题答案放开，只要能够按照统计知识合理作答，即给总分值。
福建省普通高中高三数学毕业班4月质量检查试题 文(扫描版)(2021年整理)
福建省普通高中2017届高三数学毕业班4月质量检查试题文（扫描版）编辑整理：
尊敬的读者朋友们：
这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（福建省普通高中2017届高三数学毕业班4月质量检查试题文（扫描版））的内容能够给您的工作和学习带来便利。
同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。
本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为福建省普通高中2017届高三数学毕业班4月质量检查试题文（扫描版）的全部内容。
福建省普通高中2017届高三数学毕业班4月质量检查试题文(扫描版）。
福建普通高中毕业班2019年高三4月质量检查数学(文)试题
福建普通高中毕业班2019年高三4月质量检查数学（文）试题文 科 数 学一、选择题：本大题共12小题，每题5分，共60分、在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的、1、全集U =R ，集合{}31|<≤-=x x A ，{}0,2,4,6B =，那么A B ⋂等于A 、{}0,2 B 、{}1,0,2- C 、{}|02x x ≤≤ D 、{}|12x x -≤≤2、执行如下图的程序框图，假设输入的x 的值为3，那么输出的y 的值为 A 、4 B 、5 C 、8 D 、103、某几何体的俯视图是正方形，那么该几何体不可能是 A 、圆柱 B 、圆锥 C 、三棱柱 D 、四棱柱4、函数()f x =的定义域是 A 、()0,2 B 、[]0,2 C 、()()0,11,2⋃ D 、[)(]0,11,2⋃5、“1a =”是“方程22220x y x y a +-++=表示圆”的 A 、充分而不必要条件 B 、必要而不充分条件C 、充要条件D 、既不充分也不必要条件 6、向圆内随机投掷一点，此点落在该圆的内接正n()3,n n N ≥∈边形内的概率为n P ，以下论断正确的选项是A 、随着n 的增大，n P 减小 B 、随着n 的增大，n P 增大C 、随着n 的增大，n P 先增大后减小D 、随着n 的增大，n P 先减小后增大7、0ω>，2π<ϕ，函数()sin()f x x =+ωϕ的部分图象如下图、为了得到函数()sin g x x =ω的图象，只要将()f x 的图象A 、向右平移4π个单位长度B 、向右平移8π个单位长度C 、向左平移4π个单位长度D 、向左平移8π个单位长度8、)(x f 是定义在R 上的奇函数，且在),0[+∞单调递增，假设(lg )0f x <，那么x 的取值范围是A 、(0,1)B 、(1,10)C 、(1,)+∞D 、(10,)+∞9、假设直线ax by ab +=〔0,0a b >>〕过点()1,1，那么该直线在x 轴，y 轴上的截距之和的最小值为A 、 1B 、2C 、4D 、 810、假设ABC ∆满足2A π∠=，2AB =，那么以下三个式子：①AB AC ，②BA BC ，③CA CB 中为定值的式子的个数为A 、0B 、1C 、2D 、311、双曲线()22122:10,0x y C a b a b -=>>l ，抛物线2C ：24y x =的焦点为F ，点P 为直线l 与抛物线2C 异于原点的交点，那么PF =A 、2B 、 3C 、4D 、5A 、假设()f x 是奇函数，那么()g x 必是偶函数B 、假设()f x 是偶函数，那么()g x 必是奇函数C 、假设()f x 是周期函数，那么()g x 必是周期函数D 、假设()f x 是单调函数，那么()g x 必是单调函数第二卷〔非选择题 共90分〕【二】填空题：本大题共4小题，每题4分，共16分、把答案填在答题卡相应位置、13、复数()1i i +=＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿、14、1sin 3α=，那么cos 2α=＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿、15、y x ,满足4000x y x y y +-≤⎧⎪-≥⎨⎪≥⎩，那么2z x y =-的最大值是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿、16、在平面直角坐标系xOy 中， Ω是一个平面点集，如果存在非零平面向量a ，对于任意P ∈Ω，均有Q ∈Ω，使得OQ OP a =+，那么称a 为平面点集Ω的一个向量周期、现有以下四个命题：①假设平面点集Ω存在向量周期a ，那么ka(),0k k ∈≠Z 也是Ω的向量周期；②假设平面点集Ω形成的平面图形的面积是一个非零常数，那么Ω不存在向量周期；③假设平面点集(){},0,0x y x y Ω=>>，那么()1,2b =为Ω的一个向量周期；④假设平面点集()[][]{},0x y y x Ω=-=〔[]m 表示不大于m 的最大整数〕，那么()1,1c =为Ω的一个向量周期、其中真命题是＿＿＿＿〔写出所有真命题的序号〕、【三】解答题：本大题共6小题，共74分、解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤、17、（本小题总分值12分）等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，432a a =，26S =。
4月福建省高三数学(文科)有详细答案(WORD版)
2017年4月福建省高三数学（文科）质量检测试题一、选择题：( 共12题每小题5分)1、已知集合U=，，，A=,则（）A、{0,1} B{-1,0,1} C、∅ D、{-1}2、已知正方形ABCD边长为1，向量=a ,=b ,=c则( )A、1B、C、D、33、某网店出售一种饼干，有草莓味，巧克力味、香蕉味，香芋味共四种口味。
一个顾客在该店购买了两袋这种饼干，口味选择，随机派送。
则这位顾客买到的饼干是同一种口味的概率为（）A、B、C、D、4、若x,y满足约束条件则Z=x-2y的最小值为（）A、-6 B-2 C、-1 D、35、△ABC中，角A，B，C，所对的边分别为a,b,c,若,A =2B则CosB=（）A、 B、 C、 D、6、已知递增的等比数列{an }的公比为q,其前n项和Sn＜0，则（）A、a1<0,0<q<1 B、a1<0，q>1 C、a1>0, 0<q<1 D、a1>0，q>17、右图是某几何体的三视图，正视图、侧视图、俯视图都是边长为2正方形.则该几何体的体积为（）A、8-B、8-πC、8-πD、8-8、函数y=+ln(的图像大致为（）9、执行如图所示的程序框图，若输入的a的值为2，则输出的b的值为（）A-2 B 1 C 2 D 410、已知函数f(x)=下列结论正确的是（）A、函数f(x)的最小正周期为2π；B、函数f(x)在（，）上是增函数C、函数f(x)的图像关于对称D、函数f(x)的图像关于（,0）对称11、已知正三棱柱ABC-A1B1C1的顶点A1，B1，C1在同一个球面上，且平面ABC经过球心。
若此球的表面积为4π，则此三棱柱的侧面积最大值为（）A、 B、 C、 D、12、设F是椭圆C：=1（a>b>0）的焦点，P是C上的点。
圆=与线段PF交与A，B两点，若A，B三等分PF，则C的离心率为（）A、 B、 C、 D、二、填空题：（共四小题，每小题5分）13、已知复数Z= ,则=14、已知α是第一象限角，sin(π-α)=，则tanα=15、过双曲线：-=1的焦点且垂直x轴的直线交双曲线于A，B两点.则16、函数f(x)=alnx+x2+（a-6）x在（0，3）上不是单调函数。
【新结构】福建省部分地市2024届高中毕业班4月诊断性质量检测数学试题+答案解析
【新结构】福建省部分地市2024届高中毕业班4月诊断性质量检测数学试题❖一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知复数z满足，则()A. B.1 C. D.i2.已知角的顶点在坐标原点，始边与x轴非负半轴重合，，为其终边上一点，则()A. B.4 C. D.13.函数的图象大致为()A. B.C. D.4.在菱形ABCD中，若，且在上的投影向量为，则()A. B. C. D.5.已知，，，则()A. B. C. D.6.棱长为1的正方体中，点P为上的动点，O为底面ABCD的中心，则OP的最小值为()A. B. C. D.7.若直线与曲线相切，则的取值范围为()A. B. C. D.8.函数在上单调递增，且对任意的实数a，在上不单调，则的取值范围为()A. B. C. D.二、多选题：本题共3小题，共18分。
在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.双曲线的左、右焦点分别为，，且C的两条渐近线的夹角为，若为C的离心率，则()A. B.C. D.C的一条渐近线的斜率为10.定义在R上的函数的值域为，且，则()A. B.C. D.11.投掷一枚质地均匀的硬币三次，设随机变量记A表示事件“”，B表示事件“”，C表示事件“”，则()A.B和C互为对立事件B.事件A和C不互斥C.事件A和B相互独立D.事件B和C 相互独立三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.的展开式中的常数项为__________.13.某圆锥的体积为，其侧面展开图为半圆，则该圆锥的母线长为__________.14.设为数列的前n项积，若，其中常数，则__________结果用m表示若数列为等差数列，则__________.四、解答题：本题共5小题，共77分。
解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题13分中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且，求若面积为，求BC边上中线的长.16.本小题15分如图，在三棱柱中，平面平面ABC，，设D为AC中点，证明：平面求平面与平面夹角的余弦值.17.本小题15分从一副扑克牌中挑出4张Q和4张K，将其中2张Q和2张K装在一个不透明的袋中，剩余的2张Q和2张K放在外面.现从袋中随机抽出一张扑克牌，若抽出Q，则把它放回袋中;若抽出K，则该扑克牌不再放回，并将袋外的一张Q放入袋中.如此操作若干次，直到将袋中的K全部置换为在操作2次后，袋中K的张数记为随机变量X，求X的分布列及数学期望;记事件“在操作次后，恰好将袋中的K全部置换为Q”为，记ⅰ在第1次取到Q的条件下，求总共4次操作恰好完成置换的概率;ⅱ试探究与的递推关系，并说明理由.18.本小题17分在直角坐标系xOy中，已知抛物线的焦点为F，过F的直线l与C交于M，N两点，且当l的斜率为1时，求C的方程;设l与C的准线交于点P，直线PO与C交于点异于原点，线段MN的中点为R，若，求面积的取值范围.19.本小题17分若实数集A，B对，，均有，则称具有Bernoulli型关系.若集合，，判断是否具有Bernoulli型关系，并说明理由;设集合，，若具有Bernoulli型关系，求非负实数t的取值范围;当时，证明：答案和解析1.【答案】C【解析】【分析】本题考查复数乘法，属于基础题．设，由条件列方程组得，，从而求出【解答】解：设，为虚数单位，复数z满足，，，解得，，故选：C2.【答案】D【解析】【分析】本题考查任意角的三角函数的定义，属于基础题．利用任意角的三角函数的定义列出方程，求解即可．【解答】解：角的终边经过点，，故选：3.【答案】A【解析】【分析】本题考查函数的图象的选择，涉及到函数的定义域和奇偶性，属于基础题.利用函数定义域和奇偶性，用排除法可得结果.解：函数的定义域为R，排除C，D，，函数为偶函数，图像关于y轴对称，排除B，故选：A4.【答案】B【解析】【分析】本题考查了投影向量，是基础题.先由该菱形中，再由D向AB作垂线，可得的值.【解答】解：由已知知该菱形中，由D向AB作垂线，垂足即为AB中点，，故选5.【答案】B【解析】【分析】本题考查利用指、对数函数的性质比较大小，属于基础题.直接根据指对数函数的性质比较大小即可.【解答】解：，，，，故选6.【答案】C【解析】【分析】本题考查线面垂直的判定及空间线段长，属于中档题.在正方体中，易知，，可得平面，易知当平面，且时，OP的长度最小，计算即可.解：在正方体中，易知，，且，BD、平面，平面，易知当平面，且时，OP的长度最小，在中，不难求得，故选7.【答案】A【解析】【分析】本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，训练了利用导数求最值，是中档题.设切点坐标，由直线是曲线的一条切线，把a与b用含有的代数式表示，求得，令，再由导数求其最小值得答案.【解答】解：设切点为，由，得，，，令，则当时，，单调递增;当时，，单调递减，又，所以有最大值e，取值范围是8.【答案】D【解析】【分析】本题考查了利用三角函数的单调性求参的问题，属中档题．化简解析式，得到的形式，进一步结合题干条件求出的范围．【解答】解，在上单调递增，，，对任意的实数a，在区间上不单调，的周期，，，，故选9.【答案】ABD【解析】【分析】本题考查了双曲线的几何性质的应用，是基础题，结合双曲线和双曲线的简单几何性质分析各选项可得答案【解答】解：易知该双曲线实半轴为a，虚半轴为，半焦距为2a，离心率，焦距为，即，选项A正确，选项C错误;易知C的两条渐近线的斜率为，这两条渐近线的倾斜角分别为和，的两条渐近线的夹角为，选项B，D正确;综上所述，应选10.【答案】ACD【解析】【分析】本题考查抽象函数的性质，考查函数的值域，属于中档题.取特殊值代入计算，结合各选项判断即可.【解答】解：令，则，函数的值域为，，选项A正确;令，，则，令，，则，选项B错误;令，则，，即，选项C正确;，，，故选项D正确;综上所述，应选11.【答案】BC【解析】【分析】本题考查互斥事件、对立事件、相互独立事件的概念判断.属于中档题.根据选项要求的事件依次判断即可.【解答】选项A，事件B和C均会出现“反，正，反”的情况，故选项A错误;选项B，事件A和C均会出现“反，正，反”的情况，故选项B正确;选项C，易知，，事件AB为前两次投出的硬币结果为“反，正”，则，，故选项C正确;选项D，由选项AC可知，，在事件C中三次投出的硬币有一次正面，两次反面，则，，故选项D错误;综上所述，应选12.【答案】160【解析】【分析】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，属于基础题．在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于0，求出r的值，即可求得常数项．【解答】解：在的展开式中的通项公式为，令，求得，可得常数项为，故答案为：13.【答案】2【解析】【分析】本题考查了圆锥的结构特征、体积公式应用问题，是基础题．设圆锥的底面圆半径为r，圆锥的母线为l，根据侧面展开图得到，再利用圆锥的体积公式求得圆锥的母线长．【解答】解：设圆锥的底面圆半径为r，圆锥的母线为l，则由得，则圆锥高，又圆锥的体积为，，解得，故答案为14.【答案】；1或2【解析】【分析】本题主要考查递推关系，等差数列定义，属于中档题.由，求得解法一，由为常数d，讨论，，可得m的值；解法二，由等差数列定义得，恒成立，讨论可得m的值.【解答】解：易知，，解得，故应填方法一若数列为等差数列，则为常数d，①若，则恒成立，即a n恒成立，②若，则，解得综上所述，若数列为等差数列，则，或，故应填1或方法二为等差数列，，易知，且，当时，，，，由，可得，对于任意n恒成立，或解得或综上所述，若数列为等差数列，则，或，故应填1或15.【答案】解：，由正弦定理，得，，，，又，，，，且，依题意，，，，解得，设边BC的中点为D，，，在中，由余弦定理知，边上中线的长为【解析】本题主要考查了正余弦定理和三角形的面积公式的应用，属于中档题.由正弦定理可得，再结合三角形的内角和，可解；由三角形的面积可得a的值，在中，由余弦定理可求结果.16.【答案】解：为AC中点，且，在中，有，且，平面平面ABC，且平面平面，平面，平面，，，，，，，，由勾股定理，有，，，、平面，平面如图所示，以D为原点，DA，DB，所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，可得，，，，，设平面的法向量为，则由得令，则，，，由可知，平面，平面的一个法向量为，记平面与平面的夹角为，，平面与平面夹角的余弦值为【解析】本题考查了线面垂直的判定和平面与平面所成角的向量求法，是中档题.由勾股定理可得，由得，由线面垂直的判定即可；建立空间直角坐标系，得出平面的法向量和平面的一个法向量，利用空间向量求解即可.17.【答案】解：由题意X的取值可能为0，1，2，当时，即第一次取出K，第二次也取出，当时，即第一次取出Q，第二次取出K，或第一次取出K，第二次取出Q，，当时，即第一次取出Q，第二次也取出，的概率分布列为X012P的数学期组ⅰ记事件“第1次取到Q“为B，事件“总共4次操作恰好完成置换”为C，则，依题意，若第1次取出Q，则剩余的3次操作，须将袋中K全部置换为Q，①若第2次亦取出Q，则第3次和第4次均须取出其概率为，①若第2次取出K，则第3次须取出Q，第4次须取出K，其概率为，，即在第1次取到Q的条件下，总共4次操作恰好完成置换的概率为ⅱ方法一由题可知若事件发生，即操作次后，恰好将袋中的K全部置换为Q，①当第1次取出Q，则剩余的次操作，须将袋中K全部置换为Q，概率为②当第1次取出K，则从第2次起，直到第次均须取出Q，且第次取出K，概率为，n，方法二由题可知若事件发生，即操作次后，恰好将袋中的K全部置换为Q，则一定有第次最后一次取出K，①当第次倒数第二次取出Q，则须在之前的n次操作中的某一次取出K，概率为n②当第次倒数第二次取出K，则从第1次起，直到第n次均须取出Q，概率为，n【解析】本题考查离散型随机变量的期望，考查概率的计算，属于难题.由题意X的取值可能为0，1，2，求出相应的概率，可得X的分布列与期望；ⅰ利用条件概率计算得出结论；利用递推方法得出结论.18.【答案】解：不妨设l的方程为，，，联立l与C的方程，得，，，则，由题可知当时，，，的方程为由知，将R的纵坐标2m代入，得，易知C的准线方程为，又l与C的准线交于点P，，则直线OP的方程为，联立OP与C的方程，得，，，R的纵坐标相等，直线轴，，，点异于原点，，，，，即【解析】本题考查抛物线的标准方程及直线和抛物线的位置关系，考查了抛物线中三角形的面积问题，属于较难题.不妨设l的方程为，，，联立l与C的方程，得，则，由题可知当时，求得p，从而可得C的方程；由知，结合条件计算可得，则，结合可得面积的取值范围.19.【答案】解：依题意，是否具有Bernoulli型关系，等价于判定以下两个不等式对于是否均成立：①，②，，，具有Bernoulli型关系.方法一令，，，则，①当时，显然有，成立;②当时，若，则，即，在区间上单调递减，若，则，即，若，则，即，在区间上单调递增，的最小值为，，，成立;③当时，若，则，即，在区间上单调递增，若，则，即，若，则，即，在区间上单调递减，的最大值为，，，即，当，且时，不能恒成立，综上所述，可知若具有Bemouli型关系，则，非负实数t的取值范围为方法二当，或时，与方法一相同;当时，若，，，若，则，又，，由方法一的结论，可知，即，，且，，即，即若集合，具有Bernoulli型关系，则，非负实数t的取值范围为为，显然，且，由中的结论：当时，，可知，当时，，，当时，显然成立;当时，，综上所述，当时，【解析】本题主要考查新定义问题，属于难题.由Bernoulli型关系判断即可；令，，，利用导数研究函数，单调性，利用单调性求的非负实数t的取值范围;由，放缩法证明不等式即可.。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
2017年福建省普通高中毕业班质量检查
文科数学
第Ⅰ卷
一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1、已知集合2{1,0,1},{|,}U B x x m m U =-==∈，则U C A = A ．{}0,1 B ．{}1,0,1- C ．φ D ．{}1-
2、已知正方形ABCD 的边长为1，,,AB a BC b CD c ===，则a b c ++等于 A ．1 B
C
． D ．3
3、某网店出售一种饼干，共有草莓味、巧克力味、香蕉味、香芋味四种口味，一位顾客在该店购买了两袋这种饼干，“口味”选择“随机派送”，则这位顾客买到的两袋饼干是同一种口味的概率是 A ．
116 B ．14 C ．25 D ．2
3
4、若,x y 满足约束条件0
230260x y x y x y -≥⎧⎪
+-≥⎨⎪+-≤⎩
，则2z x y =-的最小值为
A ．-6
B ．-2
C ．-1
D ．3
5、ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c
，若,2a A B =
=，则cos B 等于
A ．
66 B ．65 C ．64 D ．63
6、已知递增等比数列{}n a 的公比为q ，其前n 项和为0n S <，则 A ．10,01a q <<< B ．10,1a q <> C ．10,01a q ><< D ．10,1a q >>
7、右图中，小方格是边长为1的正方形，图中粗线画
出的是
某几何体的三视图，则该几何体的体积为
A ．483
π- B ．8π- C ．283
π- D ．183
π- 8、函数32ln(1)y x x x =++-的图象大致为
9、执行如图所示的程序框图，若输入a 的值为2，则输
出b
A ．-2
B ．1
C ．2
D ．4
10、已知函数()
22cos f x x x =+，下列结论正确的是
A ．函数()f x 的最小正周期为2π
B ．函数()f x 在区间(,)124
ππ
上
单调递增
C ．函数()f x 的图象关于直线6
x π
=
对称 D ．函数()f x 的图象关于
(,0)12
π
-
对称
11、已知正三棱柱111ABC A B C -的顶点111,,A B C 在同一球面上，且平面ABC 经过球心，若此球的表面积为4π，则该三棱柱的侧面积的最大值为
A ．12、设F 是椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的一个焦点，P 是C 上的点，圆222
9
a x y +=
与线段PF 交于A 、B 两点，若A 、B 三等分线段PF ，则C 的离心率为
A
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两个部分，第13题—第21题为必考题，每个考生都必须作答，第22题—第23题为选考题，考生根据要求作答
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷
的横线上。
. 13、已知复数132i
z i
+=
+，则z = 14、已知α是第一象限角，且3sin()5
πα-=，则tan α=
15、过双曲线221x y -=焦点的直线垂直于x 轴，交双曲线于A 、B 两点，则AB = 16、已知函数()2ln (6)f x a x x a x =++-在(0,3)上不是单调函数，则实数a 的取值范围是
三、解答题：本大题共6小题，满分70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
17、（本小题满分12分）
已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且251,15a S ==，数列{}n b 的前n 项和n T 满足(5)n n T n a =+。
（1）求n a ； （2）求数列1
{
}n n
a b 的前n 项和。
18、（本小题满分12分）
偶通讯商推出两款流量套餐，详情如下：
这两款套餐都有如下的附加条款：套餐费月初一次性收取，手机使用一旦超出套餐流量，系统就自动帮用户充值200M流量，资费20元；如果又超出充值流量，系统就再次自动帮用户充值200M流量，资费20元/次，依次类推，如果当流量有剩余，系统将自动清零，无法转入次月使用。
小王过去50个月的手机月使用流量（单位:M）频率分布表如下：
（1）若小王订购A套餐，假设其手机月实际使用流量为x（单位：≤≤）月流量费用y（单位：元），将y表示为x的函数；
M x
100700
（2）小王拟从A套餐或B套餐中选订一款，若以月平均费用作为决策依据，他应订购哪一种套餐并说明理由。
19、（本小题满分12分）
在如图所示的多面体中，面ABCD是平行四边形，四边形BDEF是矩形。
（1）求证：//AE 平面BFC ；
（2）若0,1,2,60AD DE AD DE AB BDA ⊥===∠=， 求三棱锥F AEC -的体积。
20、（本小题满分12分）
以抛物线Γ的顶点为圆心，为半径的圆交Γ于A 、B 两点，且2AB =。
（1）建立适当的坐标系，求Γ的方程；
（2）若过点A 且与Γ只有一个公共点的直线交Γ的对称轴于点C ，点D 在线段AB 上，直线CD 与Γ交于P 、Q 两点，求证:PC QD PD QC ⋅=⋅。
21、（本小题满分12分） 已知函数()()x f x e ax a R -=+∈。
（1）讨论()f x 的最值；
（2）若0a =，求证：()21
528
f x x >-+。
请考生在第（22）、（23）（24）三题中任选一题作答，如果多做，则按所做
的第一题记分，作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑，把答案填在答题卡上．
22、（本小题满分10分）选修4-4 坐标系与参数方程方程
在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为22cos (2sin x t
t y t
=+⎧⎨
=⎩为参数）
，在以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线2:2sin C ρθ=，曲线3:(0),(2,0)6
C A π
θρ=>。
（1）把1C 的参数方程化为极坐标方程；
（2）设3C 分别交12,C C 于点,P Q ，求APQ ∆的面积。
23、（本小题满分10分）选修4-5 不等式选讲 已知函数()212f x x x =++-，集合(){|3}A x f x =<。
（1）求A ；
（2）若,s t A ∈，求证11t
t s
s
-<-。