弹性力学主要内容

1、弹性力学的研究对象、内容及范围

弹性力学是研究在外界因素（外力、温度变化）的影响下，处于弹性阶段的物体所产生的应力、应变及位移。

弹性力学的研究对象为一般及复杂形状的构件、实体结构、板、壳等。

2、弹性力学的基本假设（即满足什么样条件的物体是我们在弹性力学中要研究的）

（1）均匀性假设即物体是由同一种材料所组成的，在物体内任何部分的材料性质都是相同的。（用处：物体的弹性参数，如弹性模量E，不会随

位置坐标的变化而变化）

（2）连续性假设即物体的内部被连续的介质所充满，没有任何孔隙存在。

（用处：弹性体的所用物理量均可用连续的函数去表示）

（3）完全弹性假设即当我们撤掉作用于物体的外力后，物体可以恢复到原状，没有任何的残余变形；应力（激励）与应变（响应）之间呈正比关

系。（用处：可以使用线性虎克定律来表示应力与应变的关系）

（4）各向同性假设即物体内任意一点处，在各个方向都表现出相同的材料性质。（用处：物体的弹性参数可以取为常数）

（5）小变形假设即在外力的作用下，物体所产生的位移和形变都是微小的。（用处：可以在某些方程的推导中略去位移和形变的高阶微量）3、弹性力学的基本量

表1 直角坐标表示的各种基本量情况

4、两类平面问题的概念

（1）平面应力问题（应力是平面的；变形是空间的）

如图所示薄板，其z 方向的尺寸比其他两个方向上的尺寸小得多；外力和体力都平行于板面，并且沿着板的厚度没有变化，这样的问题称为平面应力问题。 （2）平面应变问题

若物体在z 方向的尺寸比在其他两个方向上的尺寸大得多，如图所示很长的坝体，外力及体力沿着z 方向没有变化，则这类问题称为平面应变问题。 （3）两类平面问题的一些特征

空间问题的基本未知量共有8个，每个基本未知量仅仅是坐标(),x y 的函数。

表2 两类平面问题的一些特征

5、平面问题的基本方程

平面问题的基本方程包括：（1）平衡方程；（2）几何方程；（3）物理方程 平面问题的基本量有8个，分别是：

3个应力分量：x σ、y σ、xy τ； 3个形变分量：x ε、y ε、xy γ； 2个位移分量：u 、v

（1）平衡方程

平衡方程描述的是体力分量与应力分量之间的关系

0yx

x x f x y τσ∂∂++=∂∂； 0xy y y f x y

τσ∂∂++=∂∂ 上述平衡方程对于平面应力问题和平面应变问题均适用 （2）几何方程

几何方程描述的是形变分量与位移分量之间的关系

x u

x

ε∂=∂；y v y ε∂=∂；xy v u x y γ∂∂=+∂∂

（3）物理方程

物理方程描述的是形变分量与位移分量之间的关系

平面应力问题的物理方程为： 平面应变问题的物理方程为：

()1x x y E εσμσ=- 211x x y E μμεσσμ⎛⎫-=- ⎪-⎝⎭ ()1y y x E εσμσ=- 211y y x E μμεσσμ⎛⎫-=- ⎪-⎝⎭

xy xy γτ= xy xy γτ=

6、平面问题的边界条件

弹性力学问题的边界条件，简单的说就是用来描述弹性体边界上所受的外部作用。这个外部作用可以是面力的作用，也可以是对位移的约束，也可以是两者的综合作用。因此对于弹性体的每一条边而言，其边界条件为如下三种类型的其中一种：

（1）位移边界条件

若在弹性体的全部边界s 上给定了位移分量u 和v ，则位移边界条件为：

u u = ； v v =

（2）应力边界条件

若在弹性体的全部边界s 上给定了面力分布x f 、y f ，则应力边界条件为：

()()x xy x s s

l m f στ⋅+⋅=

()()xy y y s

s

l m f τσ⋅+⋅=

（3）混合边界条件

若在弹性体的部分边界上1s 给定了位移分量u 和v ，另外一部分边界2s 上给定了面力分量x f 、y f ，则混合边界条件为：

在1s 上： u u =；v v =

在2s 上： ()()x xy x s s l m f στ⋅+⋅=；()()xy y y s s l m f τσ⋅+⋅=

（4）圣维南原理及其对边界条件的简化

对于弹性体的边界而言，如果能在所有的边界上都可以找到精确满足以上三种类型之一的边界条件是最好不过的情况了。因为这个时候我们就可以通过求解基本方程来了解弹性体中任意位置处的应力、应变和位移。但是对于具体的问题来说，要想使得每条边上的边界条件得到完全满足是非常困难的。

边界条件得不到完全的满足，就意味着我们得不到弹性体内任意位置处的精确解。既然得不到任意位置处的精确解，那么就要考虑是否能在弹性体内部的大部分区域获得精确的结果。

为实现这一目的，人们需要找到一种方法去处理不能完全满足边界条件的弹性体边界。而法国学者圣维南，就是成功找到了处理方法之一的牛人。

圣维南所提出的处理方法，是针对应力边界条件的。他于1855年提出了这样一种说法：如果将分布在物体的某个小部分边界上的面力，替换为与原来的面力分布方式不同但是静力等效的另外一种面力，那么，由于进行了这种替换而在弹性体内部所产生的影响，只局限于这一小部分边界附近的局部区域，对于远离这一小部分边界的区域，替换所产生的影响可以忽略不计。 7、平面问题中的应力分析

（1）过弹性体中某点的任一斜截面（该斜截面的法线方向与x 轴夹角的余弦为l ；与y 轴夹角的余弦为m ）上的正应力N σ、剪应力N τ的计算公式：

222N x y xy l m l m σσστ=⋅+⋅+⋅⋅⋅ ()()22N y x xy l m l m τσστ=⋅⋅-+-⋅

（2）弹性体中任一点处的主应力1σ和2σ可由下式求得：