线性模型与基本假定

【例5-1 】有一水稻施肥的盆栽试验，设 有一水稻施肥的盆栽试验， 盆栽试验 置了5个处理： 置了5个处理：A1和A2分别施用两种不同工艺 流程的氨水， 施碳酸氢铵， 施尿素， 流程的氨水，A3施碳酸氢铵，A4施尿素，A5 不施氮肥。每个处理各4 不施氮肥。每个处理各4盆（施氮处理的施肥 量每盆皆为折合纯氮1.2克），共有5× ＝ 量每盆皆为折合纯氮 克），共有 ×4＝20 共有 盆，随机置于同一盆栽场。其稻谷产量（g/ 随机置于同一盆栽场。其稻谷产量（ 置于同一盆栽场 盆）列于表5-2。 列于表 。
分布。 的F分布。即 分布
MSt ~ F df1,df2 ) ( MSe df1 = k 1, df2 = k(n 1)
若实际计算的F值大于 若实际计算的 值大于
F 0 . 05 ( df
1
, df
2
)
，则
F 值在 值在α=0.05的水平上显著，我们以 的水平上显著， 的水平上显著 我们以95%的可 的可 靠性(即冒 的风险 靠性 即冒5%的风险 推断 MSt 代表的总体方 即冒 的风险)推断 差大于MS 代表的总体方差， 差大于 e代表的总体方差，即
i =1 i =1 j =1 i =1 j =1
k
n
k
n
其中
∑ (x
j =1
n
ij
xi ) = 0
所以
∑∑ ( x
i =1 j =1
k
n
ij
x ) = n∑ ( xi x ) + ∑∑ ( xij xi )
2 2 i =1 i =1 j =1
k
k
n
2
式中， 式中，
n ∑ ( xi x ) 2
若F≥
2
F0.01( df1 , df 2 ) ，即p≤0.01，否定 ： ，否定H0
2
σ α = 0 ，接受 A: σ α ≠ 0 接受H
统计学上，把这一检验结果表述为： 统计学上，把这一检验结果表述为： 各处理间差异极显著或简述为F值极显著， 各处理间差异极显著或简述为F值极显著， 在F值的右上方标记“**”。 值的右上方标记“**”
2
2 SST = ΣΣxij C i =1 j =1 k n
1 k 2 SSt = Σxi C n i =1
SS e = SS T SS t
（二）总自由度的分解 在计算总平方和时，资料中 个 在计算总平方和时，资料中kn个观测值 的离均差 ( xij x ) 要受
∑ ∑ (x
i =1 j =1
这一条件的约束， 这一条件的约束，故处理间自由度为处理数 。 减一，即k-1。处理间自由度记为dft，dft=k-1 减一，
在计算处理内平方和时， 个 在计算处理内平方和时，kn个离均差
( xij xi ) 要受 个条件的约束，即 要受k个条件的约束 个条件的约束，
∑ (x
j =1
n
ij
xi ) = 0 （i=1,2,…,k）
若
F0.05 ( df1 , df 2 ) ≤F＜ ＜
F0.01( df1 , df 2 )
即0.01＜p≤0.05，否定 0： ＜ ，否定H 接受H 接受 A:
2 σα ≠ 0
σα = 0
2
统计学上，把这一检验结果表述为： 统计学上，把这一检验结果表述为：各 处理间差异显著或简述为F值显著， 处理间差异显著或简述为F值显著，在F值的 右上方标记“ 右上方标记“*”；
其中， 其中， i
ε ij
个处理观测值总体平均数； 为第i个处理观测值总体平均数； 为试验误差、相互独立、 为试验误差、相互独立、且 服从正态分布N（0，σ2）。 ，
1 k = ∑ i k i =1
若令
αi = i
则（5-1）式可以改写为 ）
x ij = + α i + ε ij
（5-4） ）
2 i =1 j =1
k
n
2
= ∑∑ ( xi x ) 2 + 2( xi x )( xij xi ) + ( xij xi ) 2
i =1 j =1
k
k
n
= n∑ ( xi x ) 2 + 2∑ [( xi x )∑ ( xij xi )] + ∑∑ ( xij xi ) 2
其中， 为全试验观测值总体平均数 为全试验观测值总体平均数； 其中，为全试验观测值总体平均数；
α i 是第i个处理的效应，表示处理i 处理的效应，
对试验结果产生的影响。 对试验结果产生的影响。 显然有
k
∑α
i =1
i
=0
（5-4）式叫做单因素完全随机设计试验资 ）式叫做单因素完全随机设计试验资 料的数学模型。 料的数学模型。
F 0 .05 ( df 1 , df 2 ) ，
相比较作出统计推断。 相比较作出统计推断。
F0.01( df1 , df 2 )
若F ＜ F0.05 ( df1 , df 2 ) ，即p＞0.05，不能否定 ＞ ，
2 σα = 0 H0：
统计学上，把这一检验结果表述为： 统计学上，把这一检验结果表述为：各处 理间差异不显著或简述为F值不显著，在F值的 理间差异不显著或简述为F值不显著， 右上方标记“ns ，或不标记符号； 右上方标记“ns”，或不标记符号；
对于【 对于【例51】，因为 】
MSt 75.30 F= = = 11.19** MSe 6.73
根据 df1=dft=4， df2=dfe=15 查附表 4 ，得 ， F0.01(4，15) =4.89，因为 ＞F0.01(4，15) , 即p＜0.01， ，因为F＞ ＜ ， ， ， 表明五种不同施肥处理的稻谷产量差异极显著， 表明五种不同施肥处理的稻谷产量差异极显著， 五种不同施肥处理的稻谷产量差异极显著 施肥处理不同，产量亦不同。 施肥处理不同，产量亦不同。
所以， 所以，单因素完全随机设计试验资料的 数学模型可归纳为： 数学模型可归纳为： 效应的可加性（ 效应的可加性（additivity） ） 分布的正态性（normality） 分布的正态性（ ） 方差的一致性（ 方差的一致性（homogeneity） ）
二、平方和与自由度的分解
在方差分析中用样本方差即均方来度量 在方差分析中用样本方差即均方来度量 均方 资料的变异程度。 资料的变异程度。 在表5-1中，度量全部观测值总变异的总 在表 中 度量全部观测值总变异的总 均方分解为度量处理间变异的处理间均方和 均方分解为度量处理间变异的处理间均方和 分解为度量处理间变异的处理间均方 度量处理内变异的处理内均方两部分。 度量处理内变异的处理内均方两部分。 处理内均方两部分
k
n
ij
x )=0
这一条件的约束， 这一条件的约束，故总自由度等于资料中观 测值的总个数减一， 测值的总个数减一， 即kn-1。总自由度记为 。 பைடு நூலகம் dfT，dfT=kn-1。
在计算处理间平方和时， 在计算处理间平方和时，k个处理均数的 离均差 (xi x ) 要受
∑(x
i= i=1
k
i
x ) =0
i =1
k
为各处理平均数 xi
与总平均数 x 的离均差平方和与重复数n的 乘积， 次的处理间变异，称为处 乘积，反映了重复n次的处理间变异，称为处 理间平方和，记为SSt，即 理间平方和，记为
SSt = n∑ ( xi x ) 2
i =1 k
∑∑ ( x
i =1 j =1
k
n
ij
xi ) 2
为各处理内离均差平方和之
σα ≠ 0
2
这种用 F 值出现概率的大小推断一个总 体方差是否大于另一个总体方差的方法称为 F检验(F-test)。 检验 。
对于单因素完全随机设计试验资料的方差 分析: 分析 无效假设H0：1=2=…=k 备择假设HA：各i不全相等 或
H0 : σα =
2
α i2 ∑
i =1
k
k 1
=0
H A : σα =
故处理内自由度为资料中观测值的总个数 减 k ，即 kn - k 。 处理内自由度记为 dfe dfe=kn-k=k(n-1)
因为
nk 1 = (k 1) + (nk k) = (k 1) + k(n 1)
所以
dfT = dft + dfe
df T = kn 1 df t = k 1 df e = df T df t
第一节
方差分析的基本原理与步骤
一、线性模型与基本假定
假设某单因素试验有k个处理， 假设某单因素试验有k个处理，n次重 完全随机设计，则共有nk个观察值 个观察值， 复，完全随机设计，则共有nk个观察值， 其数据结构和符号如表 所示。 其数据结构和符号如表5-1所示。 xij可以表示为
xij = i + εij
2 2 2 2 2
xi2 ∑
SSe = SST SSt = 402.2 301.2 =101.0
dfT = nk 1 = 20 1 =19
dft = k 1 = 5 1 = 4
dfe = dfT dft =19 4 =15
SS t 301.2 MS t = = = 75.30 df t 4 SS e 101.0 MS e = = = 6.73 df e 15
统计学上， 统计学上，这种分解是通过将总均方 的分子──称为总离均差平方和 简称为总 的分子 称为总离均差平方和，简称为总 称为总离均差平方和， 平方和，分解为处理间平方和与 平方和，分解为处理间平方和与处理内平 处理间平方和 方和两部分；将总均方的分母──称为总自 称为总自 方和两部分；将总均方的分母 称为 两部分 由度，分解为处理间自由度与 由度，分解为处理间自由度与处理内自由 处理间自由度 度两部分来实现的。 两部分来实现的。