2021届陕西省西安中学高三第一次模拟考试数学(理)试题Word版含解析

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西安市长安区第一中学2021届高三第一学期第一次教学质量检测数学(理)试卷

长安一中2020－2021学年度第一学期第一次教学质量检测高三年级数学(理科)试题一、选择题：（本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的）1.已知集合{}(1)(4)0A x x x =+-≤，{}2log 2B x x =≤，则A ∩B =（） A.[−2,4]B.[)1,+∞ C.(]0,4D.[)2,-+∞2.已知i 为虚数单位，复数z 的共轭复数为z ，且满足i z z 232-=+，则=z () A ．2+iB ．1+2iC ．2-iD.1-2i3.已知等差数列{}n a 中，92832823=++a a a a ,且0<n a ，则数列{}n a 的前10项和为()A ．9-B ．11-C ．13-D ．15-4.已知某批零件的长度误差（单位：毫米）服从正态分布N(0,32)，从中随机取一件，其长度误差落在区间（3,6）内的概率为（）（附：若随机变量X 服从正态分布N(μ,σ2)，则P (μ−σ<X <μ+σ)=68.26%, P (μ−2σ<X <μ+2σ)=95.44%） A.4.56% B.13.59% C.27.18% D.31.74%5.函数1)(3+=x e x x f 的图象大致是（）A. B.C. D.6.我国古代名著《庄子天下篇》中有一句名言“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，其意思为：一尺的木棍，每天截取一半，永远都截不完.现将该木棍依此规律截取，如图所示的程序框图的功能就是计算截取7天后所剩木棍的长度(单位：尺)，则①②③处可分别填入的是() A. 1,1?,7+=-=≤i i is s iB.i i is s i 2,1?,128=-=≤ C.1,21?,7+=-=≤i i is s iD.i i is s i 2,21?,128=-=≤ 7.已知Rt△ABC，点D 为斜边BC 的中点，，，，则等于（） A ．14-B ．9-C ．9D ．148.设01p <<ξξ0 1 2P12 2p 12p- 则当p 在()0,1内增大时（） A ．()E ξ减小，()D ξ减小 B ．()E ξ减小，()D ξ增大 C ．()E ξ增大，()D ξ减小D ．()E ξ增大，()D ξ增大9.太极图是以黑白两个鱼形纹组成的图形图案，它形象化地表达了阴阳轮转，相反相成是万物生成变化根源的哲理，展现了一种互相转化，相对统一的形式美．按照太极图的构图方法，在平面直角坐标系中，圆O 被x y 6sin3π=的图象分割为两个对称的鱼形图案，其中小圆的半径均为1，现在大圆内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率为（） A ．361B ．181C ．121 D ．91 10.已知双曲线()0,01:2222>>=-b a by a x C 的渐近线与抛物线()02:2>=p px y E 的准线分别交于B A ,两点，若抛物线E 的焦点为F ，且0=⋅，则双曲线C 的离心率为()A ．2B ．3C.2D ．511. 已知函数)1,0()(≠>+=a a b a x f x的图象经过点)3,1(P ，)5,2(Q ，当*N n ∈时，)1()(1)(+⋅-=n f n f n f a n ，记数列{n a }的前n 项和为n S ，当3310=n S 时，n 的值为（）A ．4B ．5C ．6D ．712. 已知函数⎪⎩⎪⎨⎧≠==-0,0,1)(x e x m x f x ，若方程有5个解，则m 的取值范围是（） A.(1,)+∞ B.331,,22⎛⎫⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C.31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭D.(0,1)(1,)⋃+∞第II 卷（非选择题共90分）二、填空题（本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在答题卷中相应的横线上） 13.已知),0(πθ∈，且102)4sin(=-πθ，则tan2θ=________． 14.已知()()7280128212x x a a x a x a x +-=+++，则128a a a ++=_____,3a =_____．15.5位同学分成3组，参加3个不同的志愿者活动，每组至少1人，其中甲乙2人不能分在同一组，则不同的分配方案有_____种.（用数字作答）2)()32()(32=++-x f m x mf16. 已知平面向量a ,m ,n ，满足4=→a ，⎪⎩⎪⎨⎧=+⋅-=+⋅-010122n a n m a m ，则当=-→→n m _____，则→m 与→n 的夹角最大．三、解答题：（共7小题,共70分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题.第22、23题为选考题,考生根据要求作答）（一）必考题：共60分.17. (本小题满分12分)ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，设23sin()cos 22B AC +=. （Ⅰ）求sin B ；（Ⅱ）若ABC ∆的周长为8，求ABC ∆的面积的最大值.18. (本小题满分12分)如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是矩形，侧棱PD ⊥底面ABCD ，PD DC =，点E 是PC 的中点. （I ）求证：//PA 平面BDE ；（II ）若直线BD 与平面PBC 所成角为30，求二面角C PB D --的大小. 19. (本小题满分12分)新冠病毒是一种通过飞沫和接触传播的变异病毒，为筛查该病毒，有一种检验方式是检验血液样本相关指标是否为阳性，对于n 份血液样本，有以下两种检验方式：一是逐份检验，则需检验n 次．二是混合检验，将其中k 份血液样本分别取样混合在一起，若检验结果为阴性，那么这k 份血液全为阴性，因而检验一次就够了；如果检验结果为阳性，为了明确这k 份血液究竟哪些为阳性，就需要对它们再逐份检验，此时k 份血液检验的次数总共为1+k 次．某定点医院现取得4份血液样本，考虑以下三种检验方案：方案一，逐个检验；方案二，平均分成两组检验；方案三，四个样本混在一起检验．假设在接受检验的血液样本中，每份样本检验结果是阳性还是阴性都是相互独立的，且每份样本是阴性的概率为322．（Ⅰ）求把2份血液样本混合检验结果为阳性的概率；（Ⅱ）若检验次数的期望值越小，则方案越“优”．方案一、二、三中哪个最“优”？请说明理由．20. （本小题满分12分）已知圆8)1(:22=++y x C ，定点)0,1(A ，M 为圆上一动点，线段MA 的垂直平分线交线段MC 于点N ，设点N 的轨迹为曲线E ；（Ⅰ）求曲线E 的方程；（Ⅱ）若经过)2,0(F 的直线l 交曲线E 于不同的两点H G ,，（点G 在点F ,H 之间），且满足53=，求直线l 的方程. 21. （本小题满分12分）已知函数R a x a x a x e x f x∈+++-=,)ln()()(．（1）当1=a 时，求函数)(x f 的图象在0=x 处的切线方程；（2）若函数)(x f 在定义域上为单调增函数．①求a 最大整数值；②证明:1)1(ln)34(ln )23(ln 2ln 32-<+++++e en n n ．（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分.并请考生务必将答题卡中对所选试题的题号进行涂写. 22. [选修4—4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）已知曲线C ：222812(1)1k x k k y k ⎧=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩（k 为参数）和直线l ：2cos 1sin x t y t θθ=+⎧⎨=+⎩（t 为参数）．（1）将曲线C 的方程化为普通方程；（2）设直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，且P （2，1）为弦AB 的中点，求弦AB 所在的直线方程．23. [选修：不等式选讲]（本小题满分10分）设函数()1f x x x =+-的最大值为m.（1）求m 的值；（2）若正实数a ，b 满足a b m +=，求2211a b b a +++的最小值. 长安一中2020－2021学年度第一学期第一次教学质量检测高三年级数学(理科)答案二、选择题：(本大题共12小题，每小题5分，共60分,在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)45-二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）13.247-14.476,5--15.11416.3四、解答题：（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）17.（本小题共12分）（1）23sin()cos2BA C+=且sin()sinA C B+=2sin2sin cos cos22222B B BB=⋅=，又22Bπ<<，sin0cos222B B B∴>=tan sin2263B BB Bππ∴==∴=∴=（2）由题意知：8()b a c=-+2226416()21cos222a cb ac acBac ac+--++-∴=== 36416()64ac a c∴=-++≥-+，36408)0ac∴-≥∴≥83≤8≥（舍）649ac∴≤1sin2ABCS ac B∆∴==≤（当a c=时取“=”）综上，ABC的面积的最大值为9316.18.（本小题满分12分）（1）连接AC交BD于O，连接OE，由题意可知，,PE EC AO OC ==，//PA EO ∴，又PA 在平面BED 外，EO ⊂平面BED ，所以//PA 平面BED .()2以D 为坐标原点，,,DA DC DP 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系D xyz -，设1PD CD ==，AD a =，则(,0,0)A a ，(,1,0)(0,1,0)B a C ，，1(0)0,P ，， (,1,0)DB a =，(,)1,1PB a =-，()0,1,1PC =-，设平面PBC 的法向量(,)n x y z =，，由·0·0PB n PC n ⎧=⎨=⎩，得0ax y z y z +-=⎧⎨-=⎩，取(0,1,1)n =，又由直线BD 与平面PBC 所成的角为30，得21cos ,212DB n DB n DB na ===+⨯，解得1a =，同理可得平面PBD 的法向量1,)0(1,m =-，由向量的夹角公式，可得1cos ,222n m n m n m===⨯，又因为二面角C PB D --为锐二面角，所以二面角C PB D --的大小为60︒. 19. (本小题满分12分)（Ⅰ）该混合样本阴性的概率为：22289⎛⎫= ⎪⎝⎭，根据对立事件原理，阳性的概率为：81199-=．（Ⅱ）方案一：逐个检验，检验次数为4．方案二：由（Ⅰ）知，每组2个样本检验时，若阴性则检验次数为1，概率为89；若阳性则检验次数为3，概率为19，设方案二的检验次数记为ξ，则ξ的可能取值为2,4,6，()28642981P ξ⎛⎫∴===⎪⎝⎭；()12181649981P C ξ==⨯⨯=；()11169981P ξ==⨯=，则ξ的分布列如下：可求得方案二的期望为()6416119822246818181819E ξ=⨯+⨯+⨯==．方案三：混在一起检验，设方案三的检验次数记为η，η的可能取值为1，5，()4641381P η⎛⎫∴=== ⎪ ⎪⎝⎭，()6417518181P η==-=，则η的分布列如下：可求得方案三的期望为()641714915818181E η=⨯+⨯=．比较可得()()4E E ηξ<<，故选择方案三最“优”．20. （本小题满分12分）解：（Ⅰ）设点N 的坐标为()y x ,，NP 是线段AM 的垂直平分线，NM NA =,又点N 在CM 上，圆()81:22=++y x C ，半径是,22=r .22,22AC NM NC NA NC NM NC >=+=+=+∴∴点N 的轨迹是以C A ,为焦点的椭圆，设其方程为()01:2222>>=+b a b y a x ，则.1,1,2,222222=-====c a b c a a ∴曲线E 方程：.1222=+y x（Ⅱ）设()(),,,,2211y x H y x G当直线GH 斜率存在时，设直线GH 的斜率为k 则直线GH 的方程为2+=kx y ,⎪⎩⎪⎨⎧=++=∴12222y x kx y ,整理得：0342122=++⎪⎭⎫ ⎝⎛+kx x k ,由0>∆，解得：.213,214,232212212k x x k k x x k +=⋅+-=+>------①又()()2,,,2,,2211-=-=y x y x ,由FH FG 53=,得2153x x =，结合①得 22221621553k k k +=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-，即2322>=k , 解得.2±=k ∴直线l 的方程为：22+±=x y , 当直线GH 斜率不存在时，直线l 的方程为x 31,0==与53=矛盾. ∴直线l 的方程为：.22+±=x y21. （本小题满分12分）解：（1）当a=1时，f （x ）=ex ﹣（x+1）ln （x+1）+x ，∴f（0）=1，又f'（x ）=ex ﹣ln （x+1），∴f'（0）=1，则所求切线方程为y ﹣1=x ，即x ﹣y+1=0．（2）由题意知f（x）=ex﹣（x+a）ln（x+a）+x，f′（x）=ex﹣ln（x+a），若函数f（x）在定义域上为单调增函数，则f'（x）≥0恒成立．①先证明ex≥x+1．设g（x）=ex﹣x﹣1，则g'（x）=ex﹣1，则函数g（x）在（﹣∞，0）上单调递减，在（0，+∞）上单调递增，∴g（x）≥g（0）=0，即ex≥x+1．同理可证lnx≤x﹣1，∴ln（x+2）≤x+1，∴ex≥x+1≥ln（x+2）．当a≤2时，f'（x）＞0恒成立．当a≥3时，f'（0）=1﹣lna＜0，即f'（x）=ex﹣ln（x+a）≥0不恒成立．综上所述，a的最大整数值为2．②证明：由①知，ex≥ln（x+2），令，∴，∴．由此可知，当t=1时，e0＞ln2．当t=2时，，当t=3时，，…，当t=n时，．累加得．又，∴．请考生在第22、23题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分，做答时请写清题号．22．（本小题满分10分)选修4—4：坐标系与参数方程22.【解析】（1）由，得，即，又，两式相除得，代入，得，整理得，即为C的普通方程．（2）将代入，整理得（4sin 2θ+cos 2θ）t 2+（4cosθ+8sinθ）t ﹣8＝0．由P 为AB 的中点，则． ∴cosθ+2sinθ＝0，即，故，即，所以所求的直线方程为x+2y ﹣4＝0．23．（本小题满分10分）选修：不等式选讲【解析】（1）f(x)＝|x ＋1|－|x|＝由f(x)的单调性可知，当x≥1时，f(x)有最大值1．所以m ＝1．（2）由（1）可知，a ＋b ＝1，＋＝(＋)[(b ＋1)＋(a ＋1)] ＝[a 2＋b 2＋＋] ≥(a 2＋b 2＋2) ＝(a ＋b)2＝．当且仅当a ＝b ＝时取等号．即＋的最小值为． 45。

陕西省西安中学2021届高三上学期第一次月考数学(理)试题 Word版含解析

西安中学高2021届高三月考数学(理科)一.选择题(本大题共12小题，共60分)1. 已知集合M x y ⎧⎫==⎨⎩，{}2230N x x x =-->，则MN =（）A. 1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭B. ()3,+∞C. 1,32⎛⎫⎪⎝⎭D. ()1,+∞【答案】B 【解析】【分析】求定义域得集合M ，解一元二次不等式得集合N ，再由交集定义求解．【详解】由210x ，得12x >，所以1,2M ⎛⎫=+∞ ⎪⎝⎭；由{}2230N x x x =-->，即()()130x x +->，得3x >或1x <-，所以()(),13,N =-∞-⋃+∞.故()3,MN =+∞.故选：B ．【点睛】本题考查集合的交集运算，解一元二次不等式，函数的定义域，属于基础题． 2. 已知(12)z i i -=，则下列说法正确的是（） A. 复数z 的虚部为5iB. 复数z 对应的点在复平面的第二象限C. 复数z 的共轭复数255i z =- D. 15z =【答案】B 【解析】【分析】由复数除法求出复数z ，然后可判断各选项．【详解】由已知得1(121)212(12)(12)55i i z i i i +===-+--+，所以复数z 的虚部为15，而不是5i，A 错误；在复平面内，复数z 对应的点为21,55⎛⎫-⎪⎝⎭，在第二象限，B 正确. 255iz =--，C 错误；||5z ==，D 错误；故选：B ．【点睛】本题考查复数的除法，考查复数的几何意义，共轭复数的概念及模的定义，属于基础题．3. 已知m ，n 是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则下列说法中正确的是（）A. 若//m α，//n α，则//m nB. 若//m n ，//m α，则//n αC. 若m α⊥，m β⊥，则//αβD. 若αγ⊥，βγ⊥，则//αβ【答案】C 【解析】【分析】根据线面平行垂直的判定与性质证明或者举出反例即可. 【详解】对A,当m n ⋂时,也可满足//m α,//n α,故A 错误. 对B,当n ⊂α时,//m n ,//m α也能成立,故B 错误.对C,根据线面垂直的性质可知若m α⊥,m β⊥,则//αβ成立.故C 正确. 对D,当,,αβγ为墙角三角形的三个面时,αγ⊥,βγ⊥,αβ⊥.故D 错误. 故选：C【点睛】本题主要考查了线面平行与垂直的命题判定,需要根据线面垂直平行的性质判断或者举出反例即可.属于中档题.4. “中国剩余定理”又称“孙子定理”.1852年，英国来华传教士伟烈亚力将《孙子算经》中“物不知数”问题的解法传至欧洲.1874年，英国数学家马西森指出此法复合1801年由高斯得到的关于同余式解法的一般性定理，因而西方称之为“中国剩余定理”.“中国剩余定理”讲的是一个关于整除的问题，现有这样一个整除问题：将1至2020这2020个数中，能被3除余1且被7除余1的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列{}n a ，则此数列共有（）A. 98项B. 97项C. 96项D. 95项【答案】B 【解析】【分析】由于能被3除余1且被7除余1的数就只能是被21除余1的数，故2120n a n =-，然后由12020n a ≤≤可求出n 的取值范围，从而可得结果【详解】能被3除余1且被7除余1的数就只能是被21除余1的数，故2120n a n =-，由12020n a ≤≤得197n ≤≤，又n ∈+N ，故此数列共有97项. 故选：B【点睛】此题考查数列模型在实际问题中的应用，考查等差数列的通项公式的运用，考查计算能力，属于基础题5. 某几何体的主视图和左视图如图1所示，它的俯视图的直观图是A B C '''，如图2所示，其中O A O B ''=''，3O C ''=，则该几何体的表面积为（）A. 363+B. 2483+C. 243+D.3683+【答案】C 【解析】【分析】由俯视图的直观图，得到几何体的底面是边长为4的正三角形，由主视图和左视图得到该几何体是三棱锥，且有一条长度为6的侧棱与底面垂直，则有2个侧面三角形是直角三角形，另外一个是腰长为213，底边长为4的等腰三角形，分别求得三角形的面积求和即可. 【详解】由俯视图的直观图，可得几何体的底面是边长为4的正三角形，底面积是43，由主视图和左视图知：该几何体是三棱锥，如图所示：其中SA ⊥平面ABC ，6SA =，,SAB SAC 都是直角三角形，且11641222SABSACSSSA AB ==⨯⨯=⨯⨯=， SCB 是是腰长为2134的等腰三角形，面积为224(213)21283⨯-= 所以该三棱锥的表面积为243+ 故选：C.【点睛】本题主要考查三视图、直观图、几何体的表面积，还考查了空间想象和运算求解的能力，属于中档题..6. 设p :431x -≤,q :()()22110x a x a a -+++≤,若p ⌝是q ⌝的必要不充分条件,则实数a 的取值范围是( ) A. 10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦B. 10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭C. (]1,0,2⎡⎫-∞⋃+∞⎪⎢⎣⎭D.()1,0,2⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭【答案】A 【解析】试题分析：由非p 是非q 的必要而不充分条件，可知q 是p 的必要而不充分条件，即p 是q 充分而不必要条件，解不等式431x -≤，得1,12A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，解不等式得[],1B a a =+，由题意知1,12A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦是[],1B a a =+的真子集，所以1{211a a ≤+≥，即102a ≤≤，故选A.考点：1、绝对值不等式；2、一元二次不等式；3、充分条件，必要条件.7. 数列{}n a 满足112,0,2121,1,2n n n n n a a a a a +⎧≤<⎪⎪=⎨⎪-≤<⎪⎩若125a =，则2021a 等于（）A.15B.25C.35D.45【答案】B 【解析】【分析】根据数列定义求出数列的前几项后得出数列是周期数列，从而求值．【详解】因为12152a =<，所以23454312,,,5555a a a a ====，所以数列具有周期性，周期为4，所以2021125a a ==. 故选：B .【点睛】本题考查数列的周期性，此类问题的解法是由定义求出数列的前几项，然后归纳出周期性． 8. 若1a ＜1b ＜0，给出下列不等式：①1a b +＜1ab ；②|a |＋b ＞0；③a －1a ＞b －1b；④ln a 2＞ln b 2.其中正确的不等式是（） A. ①④ B. ②③ C. ①③ D. ②④【答案】C 【解析】【分析】根据不等式的基本性质，结合对数函数的单调性，对每个选项进行逐一分析，即可判断和选择.【详解】由1a＜1b＜0，可知b＜a＜0.①中，因为a＋b＜0，ab＞0，所以1a b+＜0，1ab＞0.故有1a b+＜1ab，即①正确；②中，因为b＜a＜0，所以－b＞－a＞0.故－b＞|a|，即|a|＋b＜0，故②错误；③中，因为b＜a＜0，又1a＜1b＜0，则－1a＞－1b＞0，所以a－1a＞b－1b，故③正确；④中，因为b＜a＜0，根据y＝x2在(－∞，0)上为减函数，可得b2＞a2＞0，而y＝ln x在定义域(0，＋∞)上为增函数，所以ln b2＞ln a2，故④错误.由以上分析，知①③正确.故选：C.【点睛】本题考查利用不等式的基本性质比较代数式的大小，涉及对数函数的单调性，属综合基础题.9. 某单位安排甲乙丙三人在某月1日至12日值班，每人4天.甲说：我在1日和3日都有值班乙说：我在8日和9日都有值班丙说：我们三人各自值班日期之和相等据此可判断丙必定值班的日期是（）A. 10日和12日B. 2日和7日C. 4日和5日D. 6日和11日【答案】D【解析】【分析】确定三人各自值班的日期之和为26，由题可得甲在1、3、10、12日值班，乙在8、9、2、7或8、9、4、5，确定丙必定值班的日期．【详解】由题意，1至12的和为78，因为三人各自值班的日期之和相等，所以三人各自值班的日期之和为26，根据甲说：我在1日和3日都有值班；乙说：我在8日和9日都有值班，可得甲在1、3、10、12日值班，乙在8、9、2、7或8、9、4、5，据此可判断丙必定值班的日期是6日和11日，故选C ．【点睛】本题考查分析法，考查学生分析解决问题的能力，属于基础题． 10. 设00a b >>，，且不等式110k a b a b++≥+恒成立，则实数k 的最小值等于( ) A. 0 B. 4 C. －4 D. －2【答案】C 【解析】【分析】分离参数，求齐次式()2a b ab+-的最大值.【详解】由110k a b a b ++≥+得()2a b k ab +≥-，而()224a b b a ab a b+=++≥ (a b =时取等号)，所以()42a b ab+-≤-，因此要使()2a b k ab+≥-恒成立，应有4k ≥-，即实数k 的最小值等于4-.故选: C.【点睛】多参数不等式，先确定主元，次元唯一转化为函数问题，次元不唯一可以用基本不等式，也可以降元(分式的分子分母为齐次式是降元的主要特征).11. 已知ABC ∆与BCD ∆均为正三角形，且4AB =.若平面ABC 与平面BCD 垂直，且异面直线AB 和CD 所成角为θ，则cos θ=（） A. B.C. 14-D.14【答案】D 【解析】如图：设等边三角形的边长为4．∵等边三角形ABC 和BCD 所在平面互相垂直 ∴取BC 中点O ，则AO ⊥BC ⊥OD 以O 为原点，建立如图空间直角坐标系则A （0，0，23B （0，﹣2，0），C （0，2，0），D （230，0） ∴AB =（0，﹣2，﹣3CD =（32，0）故·1cos ,4||AB CD AB CD AB CD==∴异面直线AB 和CD 所成角的余弦值14故选D ．12. 在直角坐标系中，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线:C 2sin 2cos (0)a a ρθθ=>，过点(2,4)P --的直线22,:24x l y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩(t 为参数)与曲线C 相交于M ，N 两点.若,,PM MN PN 成等比数列，则实数a 的值是（） A. 1 B. 1或4-C. 4D. 1-【答案】A 【解析】【分析】由公式cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩化极坐标方程为直角坐标方程，把直线的参数方程代入曲线的直角坐标方程，利用韦达定理得1212,t t t t +，这里的t 的绝对值表示直线点到P 的距离，把1212,t t t t +代入2MN PM PN =⋅，可求得a ．【详解】把cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩代入22sin acos ρθθ=，即222sin a cos ρθρθ=得22y ax .将2,242x y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩(t 为参数)代入()220y ax a =>，整理得2)8(4)0t a t a -+++=. 设12,t t是该方程的两根，则1212),8(4)t t a t t a +=+=+，因为2MNPM PN =⋅，所以()()22121212124t t t t t t t t -=+-=，所以()()()28448484a a a +-⨯+=+，所以1a =. 故选：A ．【点睛】本题考查极坐标方程与直角坐标方程的互化，考查直线参数方程及其应用，旨在考查运算求解能力．二､填空题：(本大题共4小题，每小题5分)13. 已知圆锥侧面展开图的圆心角为90°，则该圆锥的底面半径与母线长的比为________. 【答案】14【解析】【分析】由题意知圆锥侧面展开图是以母线为半径的14圆，由它的弧对应圆锥底面的周长即可求底面半径与母线长的比；【详解】设圆锥的母线长是R ，则扇形的弧长是901802R R ππ=，设底面半径是r ，则22Rr ππ=，所以4Rr =，所以圆锥的底面半径与母线长的比为1∶4. 故答案为：14【点睛】本题考查了圆锥，利用圆锥侧面展开扇形的弧长等于底面圆的周长求母线与底面半径的比；14. 已知变量x，y满足约束条件2363101x yx yx y+≤⎧⎪-+≥⎨⎪-≤⎩，则2z xy=-的最大值为________.【答案】145【解析】【分析】作出不等式组所表示的可行域，根据z的几何意义得最优解．【详解】作出不等式组所表示的可行域，如图中阴影部分所示，即ABC及其内部区域.易知z的几何意义是直线2y x z=-在y轴上截距的相反数，结合可行域可知，当直线2y x z=-经过点C时z取得最大值.由2360,1,x yx y+-=⎧⎨-=⎩解得9,54,5xy⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩即94,55C⎛⎫⎪⎝⎭，所以z的最大值为94142555⨯-=.故答案为：145．【点睛】本题考查简单的线性规划，解题关键是作出可行域．理解z的几何意义．15. 若存在x(其中0x≠)使得不等式12121x xtx+---≤成立，则t的取值范围是__________.【答案】[]1,2-【解析】【分析】先利用绝对值三角不等式求出121x x x+--的最大值为3，从而得213t -≤，进而可求出t的取值范围【详解】121111112123x x x x x x x +--⎛⎫⎛⎫=+--≤++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当且仅当12x ≥或1x ≤-时取等号，所以右式最大值为3，从而213t -≤，解得12t -≤≤.故t 的取值范围为12t -≤≤，或者[]1,2t ∈-. 故答案为：[]1,2-【点睛】此题考查绝对值三角不等式的应用，考查绝对值不等式的解法，属于中档题 16. 已知底面是正六边形的六棱锥P ABCDEF -的七个顶点均在球O 的表面上，底面正六边形的边长为1，则球O 的体积为________.【答案】12548π 【解析】【分析】六棱锥P ABCDEF -体积最大时为正六棱锥，由体积求得棱锥的高，再利用球截面的性质求得球半径，从而得球体积．【详解】因为六棱锥P ABCDEF -的七个顶点均在球O 的表面上，由对称性和底面正六边形的面积为定值知，当六棱锥P ABCDEF -为正六棱锥时，体积最大.设正六棱锥的高为h ，则11611sin 6032h ︒⎛⎫⨯⨯⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭2h =.记球O 的半径为R ，根据平面截球面的性质，得()22221R R -+=，解得54R =，所以球O 的体积为3344512533448V R πππ⎛⎫==⨯= ⎪⎝⎭. 故答案为：12548π．【点睛】本题考查求球的体积，解题关键是确定六棱锥体积最大时是正六棱锥，这样可利用六棱锥的体积求得棱锥的高，得球半径．三､解答题：(共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤)17. 一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图所示，在正方体中，设BC 的中点为M GH ，的中点为N .（1）请将字母F G H ，，标记在正方体相应的顶点处（不需说明理由）；（2）证明：直线//MN 平面BDH . 【答案】（1）见解析（2）证明见解析【解析】【分析】（1）根据正方体的平面展开图与原图的对应关系，标出,,F G H 点的坐标.（2）通过构造平行四边形，证得MN 与平面BDH 内的一条直线平行，由此证得直线//MN 平面BDH .【详解】（1）解：点F G H ，，的位置如图所示.（2）如图，连接BD ，设O 为BD 的中点，连接OH OM MN BH ，，，. 因为M N ，分别是BC GH ，的中点，所以//OM CD ，且12OM CD =，//HN CD ，且12HN CD =，所以//OM HN ，OM HN =. 所以四边形MNHO是平行四边形，从而//MN OH .又MN ⊄平面BDH ，OH ⊂平面BDH ，所以//MN 平面BDH .【点睛】本小题主要考查线面平行的证明，考查正方体的展开图，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于基础题.18. 设{}n a 是等差数列，{}n b 是各项都为正数的等比数列，且111a b ==，3521a b +=，5313a b +=，且数列{}n b 的前n 项和为n T .（1）求{}n a ､{}n b 的通项公式；（2）数列{}n c 中，11c a =，且1n n n c c T +=-，求{}n c 的通项公式. 【答案】（1）21n a n =-，12n n b -=；（2）2n n c n =-.【解析】【分析】（1）由已知条件结合等差数列和等比数列的通项公式列出方程组421221,1413,d q d q ⎧++=⎨++=⎩求出公差和公比，从而可求出{}n a ､{}n b 的通项公式；（2）先求出21n n T =-，而1n n n c c T +=-，所以121nn n n c c T +-==-，然后利用累加法可求出{}n c 的通项公式【详解】（1）设{}n a 的公差为d ，{}n b 的公比为q ，则依题意有0q >且421221,1413,d q d q ⎧++=⎨++=⎩解得2d =，2q .所以1(1)21n a n d n =+-=-，112n n n b q --==.（2）由（1）知122112nn n nT -==--， ∴12121c c -=-，23221c c -=-，……()11212n n n c c n ---=-≥，以上各式相加得()11212(1)(2)12n n c c n n ---=--≥-.又111c a ==，∴()1212n n c n n -=--≥，∴()22nn c n n =-≥.当1n =时，11c =满足上式，故2n n c n =-.【点睛】此题考查等差数列和等比数列的基本量计算，考查累加法的应用，考查计算能力，属于中档题19. 已知函数()212f x x x =++-，集合(){}3A x f x =<. （1）求集合A ；（2）若实数,s t A ∈，求证：11t t s s-<-. 【答案】（1）203x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭；（2）证明见解析. 【解析】【分析】（1）先将函数化简，然后作出()y f x =与3y =的图像，从而可由图像求出集合A ；（2）利用作差法证明，由()()2222222221111111t t t t t s s s s s s ⎛⎫⎛⎫---=+--=-⋅- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，而2,,03s t ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，从而可判差的正负，进而得以证明【详解】（1）解：函数()131,,212123,2,231, 2.x x f x x x x x x x ⎧-+<-⎪⎪⎪=++-=+-≤<⎨⎪-≥⎪⎪⎩首先画出()y f x =与3y =的图象如图所示.可得不等式()3f x <的解集203A x x ⎧⎫=-<<⎨⎬⎩⎭. （2）证明：∵实数,s t A ∈，∴2,,03s t ⎛⎫∈-⎪⎝⎭. ∴()()22222222*********t t t t t s s s s s s ⎛⎫⎛⎫---=+--=-⋅-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴2211t t s s ⎛⎫⎛⎫-<- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∴11t t s s -<-. 【点睛】此题考查绝对值不等式，考查不等式的证明，考查数形结合的思想，属于中档题20. 在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为sin cos 2sin cos 2x y ϕϕϕϕ+⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩(ϕ为参数).在以平面直角坐标系的原点为极点､x 轴的正半轴为极轴，且与平面直角坐标系xOy 取相同单位长度的极坐标系中，曲线2C 12sin 042πρθ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭.（1）求曲线1C 的普通方程以及曲线2C 的平面直角坐标方程；（2）若曲线1C 上恰好存在三个不同的点到曲线2C 的距离相等，求这三个点的极坐标. 【答案】（1）1C 的普通方程为2212x y +=，曲线2C 的平面直角坐标方程为102x y -+=；（2）35,,,242424πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 【解析】【分析】（1）由平方关系消去参数可得曲线1C 的普通方程，由cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩可化极坐标方程为直角坐标方程；（2）求出圆心到已知直线的距离为半径的一半，从而知题中三点为与直线102x y -+=平行的直线10x y -+=与圆的切点，直线0x y -=与圆的交点，再根据极坐标的定义求出三点为的极坐标．【详解】（1）由sin cos 2sin cos 2x y ϕϕϕϕ+⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩(ϕ为参数)得sin ,cos x y x y ϕϕ=+=-，将两式平方相加得221()()x y x y =++-，化简得2212x y +=. 故曲线1C 的普通方程为2212x y +=.1sin 042πθ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭得1(cos sin )02ρθθ-+=，即为102x y -+=，即曲线2C 的平面直角坐标方程为102x y -+=. （2）∵圆心O 到曲线2C ：102x y -+=的距离142d r ===，如图所示，∴直线10x y -+=与圆的切点A 以及直线0x y -=与圆的两个交点B ，C 即为所求.∵OA BC ⊥，则1OA k =-，直线OA l 的倾斜角为34π，即A 点的极角为34π，∴B 点的极角为3424πππ-=，C 点的极角为35424πππ+=，∴三个点的极坐标为23225,,242424A B C πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.【点睛】本题考查极坐标方程与直角坐标方程的互化，参数方程与普通方程的互化，考查极坐标系，掌握极坐标的定义是解题基础．21. 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1-与1n a +的等差中项是n S ，*1,1n N a ∈=，函数3()log f x x =.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设数列{}n b 满足[]1(3)()2n n b n f a =++，记数列{}n b 的前n 项和为n T ，试比较n T 与52512312n +-的大小. 【答案】（1）13n n a -=；（2）答案见解析.【解析】【分析】（1）由已知得121n n S a +=-，用1n -代换n 得121n n S a -=-，两式相减得数列{}n a 是等比数列，可得通项公式；（2）求出n b ，然后用裂项相消法求得和n T ，然后可得只要比较()()223n n ++与312的大小即可．由此易得大小关系．【详解】（1）∵1-与1n a +的等差中项是n S ，故1-，1,n n S a +成等差数列.∴121n n S a +=-，①当2n ≥时，121n n S a -=-，②，①-②，得()112n n n n S S a a -+-=-， ∴13n n a a +=.∴13n na a +=.当1n =时，由①得1121221,1S a a a ==-=，∴23a =.∴213a a =. ∴{}n a 是以1为首项，3为公比的等比数列.∴13n n a -=.（2）∵()3f x log x =，∴()1331n n f a log n -==-.∴()11111(3)2(1)(3)213n n b n f a n n n n ⎛⎫===- ⎪++++++⎡⎤⎝⎭⎣⎦.∴11111111111111111122435465721322323n T n n n n n n ⎛⎫⎛⎫=-+-+-+-+⋅⋅⋅+-+-=+-- ⎪ ⎪+++++⎝⎭⎝⎭525122(2)(3)n n n +=-++.比较n T 与52512312n +-的大小，只需比较()()223n n ++与312的大小即可.()()()()()()222233122561562515021510n n n n n n n n ++-=++-=+-=+-.∵*n N ∈，∴当19n ≤≤且*n N ∈时，()()223312n n ++<，即52512312n n T +<-；当10n =时，()()223312n n ++=，即52512312n n T +=-；当10n >且*n N ∈时，()()223312n n ++>，即52512312n n T +>-. 【点睛】本题考查求等差数列的通项公式，考查裂项相消法求数列的和，错位相减法、裂项相消法、分组（并项）求和法，倒序相加法是数列的几种重要方法，需掌握． 22. 已知函数()ln (0)f x a x a =>，e 为自然对数的底数.（1）若过点(2,(2))A f 的切线斜率为2，求实数a 的值；（2）当0x >时，求证：1()(1)f x a x≥-；（3）若在区间(1,)e 上10xa a e e x -⋅<恒成立，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）4a =；（2）证明见解析；（3）[)1,e -+∞. 【解析】【分析】（1）根据过点(2,(2))A f 的切线斜率为2，由(2)2f '=求解.（2）令11()()1ln 1g x f x a a x x x ⎛⎫⎛⎫=--=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，利用导数法求得其最小值不小于零即可. （3）根据()1,x e ∈，将10xa a e e x -⋅<，化简转化为1ln ->x a x 恒成立，令1()ln x h x x -=，利用导数法求得其最大值即可. 【详解】（1）因为()af x x'=，所以(2)22af '==，解得4a =.（2）令11()()1ln 1g x f x a a x x x ⎛⎫⎛⎫=--=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则211()g x a x x ⎛⎫'=-⎪⎝⎭. 令()0g x '>，得1x >，令()0g x '<，得01x <<，所以()g x 在()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增. 所以()g x 的最小值为()10g =，即()0g x ≥，所以当0x >时，1()(1)f x a x≥-.（3）由题意可知10x a a e e x -⋅<，化简得1ln x x a -<，又()1,x e ∈，所以1ln ->x a x. 令1()ln x h x x -=，则221ln 1ln (1)1()(ln )(ln )x x x x h x x x x -+--'=⋅=，由（2）知，当()1,x e ∈时，1ln 10x x-+>，所以()0h x '>，即()h x 在()1,e 上单调递增，所以()()1h x h e e <=-，所以1a e ≥-.故实数a 的取值范围为[)1,e -+∞.【点睛】本题主要考查导数的几何意义，导数与不等式的证明以及导数与不等式恒成立，还考查转化化归的思想和运算求解的能力，属于较难题.。

陕西省西安市第一中学非凡吉创2021届高三上学期模拟调研考试数学(理)试题参考答案

５．【答案】Ｄ【解析】由题意，得：ｂ＝－２，故ｙ与ｚ正相关，ｙ与ｘ负相关，可得：ｚ与ｘ负相关．
６．【答案】Ｃ【解析】ｆ′（ｘ）＝２槡ａｘ－ｘ１２，则ｋ＝ｆ′（１）＝２ａ－１＝１ａ＝４，ｆ（１）＝５，故切线为ｙ－５＝ｘ－１ｙ＝ｘ＋４，比较ｙ＝ｘ＋ｎ，ｎ＝４．
７．【答案】Ｃ【解析】由图知ｆ（ｘ）的最大值为３，即２＋ａ＝３ａ＝１，又２ｃｏｓφ＋１＝２φ＝±π３，由图可看出ｆ（ｘ）的图像是由ｇ（ｘ）＝ｃｏｓ２ｘ的图像首先向左平移，再向上平移后得来的，则 φ＝π３．
非凡吉创２０２０－２０２１学年高三年级模拟调研考试
１．【答案】Ｂ
理科数学参考答案
【解析】ｚ＝－１－ｉ，ｚ＋ｚ１＝－１－ｉ－ｉ＝ｉ（１２－ｉ）＝１２＋１２ｉ，则
ｚ＋１ｚ
＝槡２２．
２．【答案】Ａ
【解析】由题意，Ａ＝{ｘｘ≤４＋ａ}，Ｂ＝{ｘ０≤ｘ≤３}，又Ａ∩Ｂ＝{ｘ０≤ｘ≤２}，故４＋ａ＝２，得ａ
２Ｔｎ＝２·２３＋３·２４＋… ＋ｎ·２ｎ＋１＋（ｎ＋１）·２ｎ＋２②，
① －②得：－Ｔｎ＝２·２２＋２３＋２４＋… ＋２ｎ＋１－（ｎ＋１）·２ｎ＋２
＝２３（１－２ｎ－１）＋２·２２１－２
－（ｎ＋１）·２ｎ＋２
＝－ｎ·２ｎ＋２，
１０分
得：Ｔｎ＝ｎ·２ｎ＋２．１２分
８．【答案】Ｄ【解析】由题意，ｘ３ｙ２项为ａｙ（－１）１·Ｃ１４ｘ３ｙ＋ｘｙ２·（－１）３·Ｃ３４ｘｙ３＝－４（１＋ａ）ｘｙ３，故－４（１＋ａ）＝４，所以ａ＝－２．
９．【答案】Ｂ【解析】１－２ｓｉｎ２α＋３ｓｉｎα＋１＝０２ｓｉｎ２α－３ｓｉｎα－２＝０，ｓｉｎα＝－１２或ｓｉｎα＝２，由ｓｉｎα ≤１，

2021年高三数学第一次诊断性考试试题理(含解析)

2021年高三数学第一次诊断性考试试题理（含解析）【试卷综析】本套试卷能从学科结构上设计试题，已全面覆盖了中学数学教材中的知识模块，同时，试卷突出了学科的主干内容，集合与函数、不等式、数列、概率统计、解析几何、导数的应用等重点内容在试卷中占有较高的比例，也达到了必要的考查深度．本套试卷没有刻意追求覆盖面，还有调整和扩大的空间，注重了能力的考查，特别是运算能力，逻辑思维能力和空间想象能力的强调比较突出，实践能力和创新意识方面也在努力体现.本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）。

第I卷1至2页，第II 卷2至4页.共4页。

满分150分。

考试时间120分钟.考生作答时，须将答案答在答题卡上，在本试题卷、草稿纸上答题无效。

考试结束后，将答题卡交回。

第Ⅰ卷（选择题，共50分）注意事项：必须使用2B铅笔在答题卡上将所选答案对应的标号涂黑.第I卷共10小题.一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．【题文】1.已知集合A={x∈Z|x2-1≤0}，B={x|x2-x-2=0}，则A∩B=(A) (B) {2} (C) {0} (D) {-1}【知识点】集合运算. A1【答案解析】D 解析：因为A={-1，0，1}, B={-1，2}，所以，故选B.【思路点拨】化简集合A、B,从而求得.【题文】2．下列说法中正确的是(A) 命题“，”的否定是“，≤1”(B) 命题“，”的否定是“，≤1”(C) 命题“若，则”的逆否命题是“若，则”(D) 命题“若，则”的逆否命题是“若≥，则≥”【知识点】四种命题A2【答案解析】B 解析：根据命题之间的关系可知命题的否定是只否定结论，但全称量词要变成特称量词，而逆否命题是即否定条件又否定结论，所以分析四个选项可知应该选B.【思路点拨】根据命题之间的关系可直接判定.【题文】3．设各项均不为0的数列{a n}满足(n≥1)，S n是其前n项和，若，则S4=(A) 4 (B)(C) (D)【知识点】等比数列. D3【答案解析】D 解析：由知数列是以为公比的等比数列，因为，所以，所以，故选D. 【思路点拨】由已知条件确定数列是等比数列，再根据求得，进而求.【题文】4．如图，正六边形ABCDEF的边长为1，则=(A) -3 (B)(C) 3 (D)【知识点】向量的数量积. F3【答案解析】A 解析：因为,所以()2+⋅=⋅+⋅=-=-,故选 A.AB BD DB AB DB BD DB BD03【思路点拨】利用向量加法的三角形法则，将数量积中的向量表示为夹角、模都易求的向量的数量积.【题文】5．已知，那么=(A) (B) (C) (D)【知识点】二倍角公式；诱导公式.C2,C6【答案解析】C 解析：因为，所以27cos 22cos 14425x x ππ⎛⎫⎛⎫-=--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即，故选C. 【思路点拨】利用二倍角公式求得值，再用诱导公式求得sin2x 值.【题文】6．已知x ，y 满足则2x -y 的最大值为(A) 1(B) 2 (C) 3 (D) 4http//【知识点】简单的线性规划.E5 【答案解析】B 解析：画出可行域如图：平移直线z=2x-y 得，当此直线过可行域中的点A （1,0）时 2x-y 有最大值2，故选B.【思路点拨】设目标函数z=2x-y ，画出可行域平移目标函数得点A （1,0）是使目标函数取得最大值的最优解.【题文】7.已知x ∈[，]，则“x ∈”是“sin(sin x )<cos(cos x )成立”的(A) 充要条件 (B) 必要不充分条件(C) 充分不必要条件(D) 既不充分也不必要条件【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断 A2【答案解析】C 解析：解：（1）∵x∈[﹣，]，∴sinx+cosx≤，即＜sinx ＜﹣cosx ， ∴sin（sinx ）＜sin （﹣cosx ），即sin （sinx ）＜cos （cosx ）成立，（2）∵sin（sinx ）＜cos （cosx ）∴s in （sinx ）＜sin （﹣cosx ），sinx ＜﹣cosxsinx+cosx ＜，x ∈[﹣π，π]，∴x∈[，]，不一定成立，根据充分必要条件的定义可判断：“x∈[﹣，]是“sin（sinx ）＜cos （cosx ）成立”的充分不必要条件，故选：C【思路点拨】利用诱导公式，结合三角函数的单调性判断，命题成立，再运用充分必要条件定义判断【题文】8．是定义在非零实数集上的函数，为其导函数，且时，，记，则(A) (B)(C) (D)【知识点】函数的单调性.B3【答案解析】C 解析：因为对任意两个不相等的正数，都有，即对任意两个不相等的正数，都有，所以函数是上的减函数，因为，所以b>a>c,故选C. 【思路点拨】构造函数，根据条件可以判断它是上的减函数，由此可以判断a,b,c的大小关系.【题文】9．已知函数的图象上关于轴对称的点至少有3对，则实数的取值范围是(A) (B) (C) (D)【知识点】分段函数的应用B1【答案解析】D 解析：解：若x＞0，则﹣x＜0，∵x＜0时，f（x）=sin（）﹣1，∴f（﹣x）=sin（﹣）﹣1=﹣sin（）﹣1，则若f（x）=sin（）﹣1，（x＜0）关于y轴对称，则f（﹣x）=﹣sin（）﹣1=f（x），即y=﹣sin（）﹣1，x＞0，设g（x）=﹣sin（）﹣1，x＞0作出函数g（x）的图象，要使y=﹣sin（）﹣1，x＞0与f（x）=log a x，x＞0的图象至少有3个交点，则0＜a＜1且满足g（5）＜f（5），即﹣2＜log a5，即log a5＞，则5，解得0＜a＜，故选：A【思路点拨】求出函数f（x）=sin（）﹣1，（x＜0）关于y轴对称的解析式，利用数形结合即可得到结论【题文】10．已知R，且≥对x∈R恒成立，则的最大值是(A) (B) (C) (D)【知识点】分类讨论 E8【答案解析】A 解析：由≥对x ∈R 恒成立，显然a ≥0，b ≤-ax ．若a =0，则ab =0．若a >0，则ab ≤a -a 2x ．设函数，求导求出f (x )的最小值为．设，求导可以求出g(a )的最大值为，即的最大值是，此时．【思路点拨】利用导数证明不等关系第II 卷（非选择题共100分）注意事项：必须使用0.5毫米黑色墨迹签字笔在答题卡上题目所指的答题区域内作答。

2021年陕西西安莲湖区西安市第一中学高三三模理科数学试卷-学生用卷

2021年陕西西安莲湖区西安市第一中学高三三模理科数学试卷-学生用卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1、【来源】在△ABC 中，角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c ，则“a ⩽b ”是“sin⁡A ⩽sin⁡B ”的（）A. 充分必要条件B. 充分非必要条件C. 必要非充分条件D. 非充分非必要条件2、【来源】 2021年陕西西安莲湖区西安市第一中学高三三模理科第2题5分2017~2018学年河南郑州金水区郑州市第七中学高一下学期期中第9题5分2018~2019学年天津和平区高一上学期期末第6题2016~2017学年辽宁沈阳和平区沈阳铁路实验中学高一下学期期中理科第2题5分2020~2021学年陕西西安雁塔区西安市曲江第一中学高一下学期期中第4题已知sin⁡α−cos⁡α=√2，α∈(0,π)，则tan⁡α=（）．A. −1B. −√22C. √22D. 13、【来源】 2021年陕西西安莲湖区西安市第一中学高三三模理科第3题5分2017~2018学年广西南宁兴宁区广西南宁市第三中学高二上学期期中2017~2018学年广西南宁兴宁区广西南宁市第三中学高三上学期期中2018~2019学年贵州贵阳南明区贵阳市第一中学高一月考在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，若3a =2b ，则2sin 2B−sin 2Asin 2A 的值为()A. −19B. 13C. 1D. 724、【来源】 2021年陕西西安莲湖区西安市第一中学高三三模理科第4题5分2018~2019学年江苏南京南京外国语学校高一期中2018~2019学年江苏南京南京外国语学校高三期中若tan⁡α=2tan⁡π5，则cos(α−3π10)sin(α−π5)=( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 45、【来源】 2021年陕西西安莲湖区西安市第一中学高三三模理科第5题5分2017年湖南长沙岳麓区湖南师范大学附属中学高三三模文科第6题5分在△ABC 中，AC =√7，BC =2，B =60°，则BC 边上的高等于（）．A. √32B. 3√32C. √3+√62D. √3+√3946、【来源】 2021年陕西西安莲湖区西安市第一中学高三三模理科第6题5分2017~2018学年江西南昌青山湖区南昌第三中学高一上学期期末第7题5分2017~2018学年浙江杭州拱墅区杭州第十四中学康桥校区高一上学期期末第12题3分2016~2017学年北京高三上学期单元测试《函数的图像》第11题已知a 是实数，则函数f (x )=1+asin⁡ax 的图象不可能是（）．A.B.C.D.7、【来源】 2021年陕西西安莲湖区西安市第一中学高三三模理科第7题5分2016~2017学年3月陕西西安长安区西安市长安区第一中学高一下学期月考第11题5分2012年高考真题新课标卷理科第9题2012年北京高考2016~2017学年4月陕西西安莲湖区西安市第一中学高一下学期月考第11题3分已知ω>0，函数f(x)=sin⁡(ωx+π4)在(π2,π)上单调递减，则ω的取值范围是（）．A. [12,5 4 ]B. [12,3 4 ]C. (0,12]D. (0,2]8、【来源】 2021年陕西西安莲湖区西安市第一中学高三三模理科第8题5分2019~2020学年福建福州台江区福州第八中学高一上学期期末第18题4分设函数f (x )=cos⁡ωx (ω>0)，将y =f (x )的图象向右平移π3个单位长度后，所得的图象与原图象重合，则ω的最小值等于( )A. 13B. 3C. 6D. 99、【来源】 2021年陕西西安莲湖区西安市第一中学高三三模理科第9题5分2017~2018学年山东济宁兖州区高二上学期期中第2题5分2014年高考真题浙江卷文科第4题2019~2020学年安徽合肥蜀山区合肥市第八中学高一下学期段考（二）第6题5分2018~2019学年江苏南京建邺区中华中学高一下学期期中第9题5分为了得到函数y =sin⁡3x +cos⁡3x 的图像，可以将函数y =√2cos⁡3x 的图像（）．A. 向右平移π12个单位B. 向右平移π4个单位C. 向左平移π12个单位D. 向左平移π4个单位10、【来源】 2021年陕西西安莲湖区西安市第一中学高三三模理科第10题5分2014年高考真题天津卷文科第8题已知函数f(x)=√3sin⁡ωx +cos⁡ωx(ω>0),x ∈R ，在曲线y =f(x)与直线y =1的交点中，若相邻交点距离的最小值为π3，则f(x)的最小正周期为（）．A. π2B. 2π3C. πD. 2π11、【来源】 2021年陕西西安莲湖区西安市第一中学高三三模理科第11题5分2016~2017学年北京西城区北京市第四中学高三上学期期中文科第8题5分2013年高考真题四川卷理科第5题2013年高考真题四川卷文科第5题2017~2018学年4月广东广州海珠区广州市南武中学高一下学期月考第6题5分函数f(x)=2sin⁡(ωx+φ)(ω>0,−π2<φ<π2)的部分图象如图所示，则ω,φ的值分别是（）．A. 2,−π3B. 2,−π6C. 4,−π6D. 4,π312、【来源】 2021年陕西西安莲湖区西安市第一中学高三三模理科第12题5分2018~2019学年重庆九龙坡区重庆市杨家坪中学高一下学期单元测试《解三角形》第8题4分如图，E，F是等腰直角△ABC斜边AB的三等分点，则tan⁡∠ECF=（）．A. 1627B. 23C. √33D. 34二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13、【来源】 2021年陕西西安莲湖区西安市第一中学高三三模理科第13题5分2020~2021学年4月陕西西安雁塔区西北大学附属中学高三下学期月考理科（十模）第14题5分2015~2016学年北京西城区北京市第四中学高一下学期期中2015~2016学年北京西城区北京市第四中学高一下学期期中=．在△ABC中，a=4,b=5,c=6，则sin⁡2Asin C14、【来源】 2021年陕西西安莲湖区西安市第一中学高三三模理科第14题5分2018~2019学年广东广州天河区广州市第一一三中学高一下学期期中第16题5分2016~2017学年北京海淀区北京市十一学校高一下学期期中第15题4分2017~2018学年福建厦门思明区福建省厦门第一中学高二上学期期中理科第15题5分2017~2018学年9月贵州贵阳云岩区贵阳市第六中学高三上学期月考理科第16题5分在△ABC中，B=60∘,AC=√3，则AB+2BC的最大值为．15、【来源】 2021年陕西西安莲湖区西安市第一中学高三三模理科第15题5分2019~2020学年11月天津南开区天津市南开中学高三上学期月考第14题5分2018~2019学年天津南开区天津市南开中学高三下学期开学考试理科第13题5分2018~2019学年2月天津南开区天津市南开中学高三下学期月考理科第13题5分2018~2019学年河南郑州金水区郑州市第七中学高一下学期期中第16题5分已知函数f(x)=sin⁡ωx+√3cos⁡ωx(ω>0)，x∈R，若函数f(x)在区间(−ω,ω)内单调递增，且函数f(x)的图象关于直线x=ω对称，则ω的值为．16、【来源】 2021年陕西西安莲湖区西安市第一中学高三三模理科第16题5分设函数f(x)=sin⁡x−cos⁡x+x+1(0<x<2π)，函数f(x)的极大值为．三、解答题（本大题共5小题，每小题12分，共60分）17、【来源】 2021年陕西西安莲湖区西安市第一中学高三三模理科第17题12分解答下列各题：(1) 化简：sin (540°−x )tan (900°−x )⋅1tan⁡(450°−x )tan⁡(810°−x )⋅cos (360°−x )sin (−x )． (2) 求函数y =2cos 2x +sin⁡2x 的最小值．18、【来源】 2021年陕西西安莲湖区西安市第一中学高三三模理科第18题12分回答下列问题：(1) 叙述并证明两角和的余弦公式．(2) 已知cos⁡α=−45，α∈(π,32π)，tan⁡β=−13，β=(π2,π)，求cos⁡(α+β)．19、【来源】 2021年陕西西安莲湖区西安市第一中学高三三模理科第19题12分设f (x )=sin⁡xcos⁡x −cos 2(x +π4)．(1) 求f (x )的单调区间；(2) 在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若f (A 2)=0，a =1，求△ABC 面积的最大值．20、【来源】 2021年陕西西安莲湖区西安市第一中学高三三模理科第20题12分2012年高考真题重庆卷理科第18题设f(x)=4cos⁡(ωx −π6)sin⁡ωx −cos⁡(2ωx +π)，其中ω>0． (1) 求函数y =f(x)的值域；(2) 若f(x)在区间[−3π2,π2]上为增函数，求ω的最大值．21、【来源】 2021年陕西西安莲湖区西安市第一中学高三三模理科第21题12分2009年高考真题辽宁卷文科第21题12分设f (x )=e x (ax 2+x +1)，且曲线y =f (x )在x =1处的切线与x 轴平行．(1) 求a 的值，并讨论f (x )的单调性．(2) 证明：当θ∈[0,π2]时，|f (cos θ)−f (sin θ)|<2．四、选做题（本大题共2小题，每小题10分，选做1小题）22、【来源】 2021年陕西西安莲湖区西安市第一中学高三三模理科第22题10分在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为{x =3+12ty =√32t（t 为参数）．以原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，⊙C 的极坐标方程为ρ=2√3sin⁡θ．(1) 写出⊙C 的直角坐标方程．(2) P 为直线l 上一动点，当P 到圆心C 的距离最小时，求P 的直角坐标．23、【来源】 2021年陕西西安莲湖区西安市第一中学高三三模理科第23题10分2016~2017学年2月湖南长沙开福区长沙市第一中学高三下学期月考文科第23题10分 2018~2019学年5月陕西西安新城区西安市第八十九中学高二下学期月考第23题10分已知a >0，b >0，c >0，函数f(x)=|x +a|+|x −b|+c 的最小值为4．(1) 求a +b +c 的值．(2) 求14a 2+19b 2+c 2的最小值．1 、【答案】 A;2 、【答案】 A;3 、【答案】 D;4 、【答案】 C;5 、【答案】 B;6 、【答案】 D;7 、【答案】 A;8 、【答案】 C;9 、【答案】 A;10 、【答案】 C;11 、【答案】 A;12 、【答案】 D;13 、【答案】 1;14 、【答案】2√7;15 、【答案】√6π6;16 、【答案】π+2;17 、【答案】 (1) sin⁡x．;(2) 1−√2．;18 、【答案】 (1) cos⁡(α+β)=cos⁡αcos⁡β−sin⁡αsin⁡β，证明见解析．;(2) 3√1010．;19 、【答案】 (1) f(x)的单调递增区间是[−π4+kπ,π4+kπ](k∈Z)；单调递减区间是[π4+kπ,3π4+kπ](k∈Z)．;(2) △ABC面积的最大值为2+√34．;20 、【答案】 (1) [1−√3,1+√3]．;(2) 16．;21 、【答案】 (1) f(x)在(−∞,−2)，(1,+∞)单调减少，在(−2,1)单调增加．;(2) 证明见解析．;22 、【答案】 (1) x2+(y−√3)2=3．;(2) (3,0)．;23 、【答案】 (1) 4．;(2) 8．7;。

2021届陕西省西安中学高三上学期第一次月考数学(理)试题Word版含解析

2021届陕西省西安中学高三上学期第一次月考数学（理）试题一、单选题1．已知集合{|1}A x x =≥-，则正确的是（） A.0⊆A B. {0}A ∈ C.A φ∈ D.{0}A ⊆【答案】D【解析】由元素与集合以及集合与集合的关系即可求解. 【详解】对A ，0A ∈,故A 错误；对B ，{0}A ⊆，故B 错误；对C ，空集φ是任何集合的子集，即A φ⊆，故C 错误；对D ，由于集合{0}是集合A 的子集，故D 正确. 故选：D 【点睛】本题主要考查了元素与集合以及集合与集合之间的关系，要注意区分，属于基础题. 2．已知函数()f x 的导函数()f x ',且满足()()21ln f x xf x '=+，则()1f '＝( ) A ．e - B ．1- C ．1D ．e【答案】B【解析】对函数进行求导，然后把1x =代入到导函数中，得到一个方程，进行求解。

【详解】对函数进行求导，得''1()2(1)f x f x=+把1x =代入得， ''(1)2(1)1f f =+直接可求得'(1)1f =-。

【点睛】本题主要是考查求一个函数的导数，属于容易题。

本题值得注意的是()1f '是一个实数。

3．若a b >，则下列不等式中一定成立的是（）A.1ba< B.11a b< C.22a b >D.lg()0a b ->【答案】C【解析】结合不等式，指数函数以及对数函数的性质判断即可得出答案. 【详解】对A ，当1,2a b =-=-时，2211b a -==>-，故A 错误；对B ，当1,1a b ==-时，,1111a b==-，则11a b >，故B 错误;对C ，因为2x y =在R 上是增函数，a b >，所以22a b >，故C 正确；对D ，当11,22a b ==-时，lg()lg10a b -==，故D 错误；故选C. 【点睛】本题主要考查了不等式的性质，判断不等式的恒成立问题，可以通过举反例，从而得到不等式成立或不成立.4．设[](]2,0,1,(){1,1,e x x f x x x∈=∈（其中为自然对数的底数），则0()ef x dx ⎰的值为（）A ．43B ．54C ．65D ．【答案】A 【解析】0()ef x dx⎰.5．2018年9月24日，阿贝尔奖和菲尔兹奖双料得主、英国著名数学家阿蒂亚爵士宣布自己证明了黎曼猜想，这一事件引起了数学届的震动。

陕西省西安市2021届高三一模数学试卷及答案(理科)

2021年陕西省西安市高考数学第一次质检试卷（理科）（一模）一、选择题（共12小题）.1．已知集合M＝{x|x2﹣3x﹣10＜0}，，则（∁R N）∩M为（）A．{x|3＜x＜5}B．{x|x＜﹣3或x＞5}C．{x|﹣3≤x≤﹣2}D．{x|﹣3＜x＜5} 2．i（2+3i）＝（）A．3﹣2i B．3+2i C．﹣3﹣2i D．﹣3+2i3．已知点A（﹣2，3）在抛物线y2＝2px的准线上，则p＝（）A．1B．2C．4D．84．已知首项为最小正整数，公差不为零的等差数列{a n}中，a2，a8，a12依次成等比数列，则a4的值是（）A．B．C．﹣26D．585．从点P（m，3）向圆（x﹣2）2+y2＝1引切线，则切线长的最小值（）A．B．5C．D．6．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积是（）A．6B．8C．12D．247．已知函数f（x）＝sin（2x+φ）其中φ∈（0，2π），若对于一切x∈R恒成立，则f（x）的单调递增区间是（）A．B．C．D．8．已知定义域为R的函数f（x）满足f（x+2）＝f（x），且当0≤x≤1时，f（x）＝lg（x2+2），则f（﹣2021）＝（）A．﹣lg3B．lg9C．lg3D．09．直线y＝kx+1与曲线f（x）＝alnx+b相切于点P（1，2），则2a+b＝（）A．4B．3C．2D．110．设图F1、F2分别为双曲线的左、右焦点，双曲线上存在一点P使得|PF1|+|PF2|＝3b，|PF1|•|PF2|＝ab，则该双曲线的离心率为（）A ．B ．C ．D．311．天干地支纪年法（简称干支纪年法）是中国历法上自古以来就一直使用的纪年方法．天干有十，即：甲、乙，丙、丁、戊、己、庚，辛，壬、癸；地支有十二，即：子、丑、寅、卯、辰，巳、午，未、申、酉、戌、亥．干支纪年法中，天干地支对应的规律如表：天干甲乙丙丁戊己庚辛壬癸甲乙丙…地支子丑寅卯辰巳午未申酉戌亥子…干支纪年甲子年乙丑年丙寅年丁卯年戊辰年己巳年庚午年辛未年壬申年癸酉年甲戌年乙亥年丙子年…2049年是新中国成立100周年．这一百年，中国逐步实现中华民族的伟大复兴．使用干支纪年法，2049年是己巳年，则2058年是（）年．A．己巳B．甲申C．戊寅D．丙戌12．已知正方体的外接球与内切球上各有一个动点M、N，若线段MN 的最小值为，则下列结论不正确的是（）A．正方体的外接球的表面积为12πB ．正方体的内切球的体积为C．正方体的棱长为2D．线段MN 的最大值为二、填空题（共4小题）.13．已知向量，，若，则k ＝．14．在（x﹣）6展开式中，常数项为．（用数值表示）15．已知实数x，y满足约束条件，则z＝3x+2y的最大值．16．已知数列{a n}的前n项和为S n，满足a1＝+1，则数列{a n}的前16项和S16＝．三、解答题（第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22，23题为选考题，考生根据要求作答．）（一）必考题：共60分．17．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，a＝2．（1）若，求角B；（2）若c＝2b，当角B最大时，求△ABC的面积．18．为了推进分级诊疗，实现“基层首诊，双向转诊，急慢分治、上下联动”的诊疗模式，某地区自2016年起全面推行家庭医生签约服务．已知该地区居民约为2000万．从1岁到101岁的居民年龄结构的频率分布直方图如图甲所示．为了解各年龄段居民签约家庭医生的情况，现调查了1000名年满18周岁以上的居民，各年龄段被访者签约率如图乙所示．（1）估计该地区年龄在71～80岁且已签约家庭医生的居民人数；（2）若以图中年龄在71～80岁居民签约率作为此地区该年龄段每个居民签约家庭医生的概率，则从该地区年龄在71～80岁居民中随机抽取三人，以已签约家庭医生的居民为变量X，求这三人中恰有二人已签约家庭医生的概率；并求变量X的数学期望和方差．19．如图，AB是半圆O的直径，C是半圆O上除A，B外的一个动点，DC垂直于半圆O 所在的平面，DC∥EB，DC＝EB＝1，AB＝4．（1）证明：平面ADE⊥平面ACD；（2）当C点为半圆的中点时，求二面角D﹣AE﹣B的余弦值．20．已知椭圆离心率为，点A，B，D，E分别是C的左，右，上，下顶点，且四边形ADBE的面积为．（1）求椭圆C的标准方程；（2）已知F是C的右焦点，过F的直线交椭圆C于P，Q两点，记直线AP，BQ的交点为T，求证：点T横坐标为定值．21．已知函数f（x）＝e x（x+a），其中e是自然对数的底数，a∈R．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）设g（x）＝f（x﹣a）﹣x2，讨论函数g（x）零点的个数，并说明理由．（二）选考题：共10．请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知圆C 的极坐标方程为ρ2+12ρcosθ+11＝0．（1）求圆心C的直角坐标；（2）若直线l的参数方程是（t为参数），l与C交于A，B两点，，求l的斜率．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝x2+1，g（x）＝|x﹣a|﹣|2x﹣1|，a≥．（1）当a＝时，解不等式g（x2）＜﹣；（2）对任意x1，x2∈R．若不等式f（x1）≥g（x2）恒成立，求实数a的取值范围．参考答案一、选择题（共12小题）.1．已知集合M＝{x|x2﹣3x﹣10＜0}，，则（∁R N）∩M为（）A．{x|3＜x＜5}B．{x|x＜﹣3或x＞5}C．{x|﹣3≤x≤﹣2}D．{x|﹣3＜x＜5}解：∵集合M＝{x|x2﹣3x﹣10＜0}＝{x|﹣2＜x＜5}，＝{x|﹣3≤x≤3}，∴∁R N＝{x|x＜﹣3或x＞3}，∴（∁R N）∩M＝{x|3＜x＜5}．故选：A．2．i（2+3i）＝（）A．3﹣2i B．3+2i C．﹣3﹣2i D．﹣3+2i解：i（2+3i）＝2i+3i2＝﹣3+2i．故选：D．3．已知点A（﹣2，3）在抛物线y2＝2px的准线上，则p＝（）A．1B．2C．4D．8解：由已知得，抛物线y2＝2px的准线方程为，且过点A（﹣2，3），故，p＝4．故选：C．4．已知首项为最小正整数，公差不为零的等差数列{a n}中，a2，a8，a12依次成等比数列，则a4的值是（）A．B．C．﹣26D．58解：设公差不为零的等差数列{a n}的公差为d（d≠0），∵a2，a8，a12依次成等比数列，∴a82＝a2a12，即（a1+7d）2＝（a1+d）（a1+11d），可得19d2＝﹣a1d，∵d≠0，∴a1＝﹣19d，又由已知可得a1＝1，在，因此，，故选：A．5．从点P（m，3）向圆（x﹣2）2+y2＝1引切线，则切线长的最小值（）A．B．5C．D．解：设切线长为d，由题设条件可得：d2＝（m﹣2）2+（3﹣0）2﹣1＝（m﹣2）2+8≥8，∴，当且仅当m＝2时取“＝“，故选：D．6．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积是（）A．6B．8C．12D．24解：根据几何体的三视图转换为几何体为：如图所示：所以，由于锥体的高为4，故．故选：B．7．已知函数f（x）＝sin（2x+φ）其中φ∈（0，2π），若对于一切x∈R恒成立，则f（x）的单调递增区间是（）A．B．C．D．解：函数f（x）＝sin（2x+φ），其中φ∈（0，2π），若对于一切x∈R 恒成立，则2×+φ＝2kπ+，k∈Z，所以φ＝2kπ+，k∈Z，由于φ∈（0，2π），所以φ＝，即f（x）＝sin（2x+），令2kπ﹣≤2x+≤2kπ+，k∈Z，解得kπ﹣≤x≤kπ+，k∈Z，即f（x）的单调递增区间是．故选：B．8．已知定义域为R的函数f（x）满足f（x+2）＝f（x），且当0≤x≤1时，f（x）＝lg（x2+2），则f（﹣2021）＝（）A．﹣lg3B．lg9C．lg3D．0解：根据题意，定义域为R的函数f（x）满足f（x+2）＝f（x），则f（x）是周期为2的周期函数，则有f（﹣2021）＝f（1﹣2×1011）＝f（1），又由当0≤x≤1时，f（x）＝lg（x2+2），则f（1）＝lg3，则f（﹣2021）＝f（1）＝lg3，故选：C．9．直线y＝kx+1与曲线f（x）＝alnx+b相切于点P（1，2），则2a+b＝（）A．4B．3C．2D．1解：直线y＝kx+1与曲线f（x）＝alnx+b相切于点P（1，2），可得k+1＝2，即k＝1，f（1）＝b＝2，f（x）的导数为f′（x ）＝，即有a＝1，则2a+b＝2+2＝4．故选：A．10．设图F1、F2分别为双曲线的左、右焦点，双曲线上存在一点P使得|PF1|+|PF2|＝3b，|PF1|•|PF2|＝ab，则该双曲线的离心率为（）A ．B ．C ．D．3解：由双曲线的定义得：|PF1|﹣|PF2|＝2a，（不妨设该点在右支上）又|PF1|+|PF2|＝3b ，所以，两式相乘得．结合c2＝a2+b2得．故e ＝．故选：B．11．天干地支纪年法（简称干支纪年法）是中国历法上自古以来就一直使用的纪年方法．天干有十，即：甲、乙，丙、丁、戊、己、庚，辛，壬、癸；地支有十二，即：子、丑、寅、卯、辰，巳、午，未、申、酉、戌、亥．干支纪年法中，天干地支对应的规律如表：天干甲乙丙丁戊己庚辛壬癸甲乙丙…地支子丑寅卯辰巳午未申酉戌亥子…干支纪年甲子年乙丑年丙寅年丁卯年戊辰年己巳年庚午年辛未年壬申年癸酉年甲戌年乙亥年丙子年…2049年是新中国成立100周年．这一百年，中国逐步实现中华民族的伟大复兴．使用干支纪年法，2049年是己巳年，则2058年是（）年．A．己巳B．甲申C．戊寅D．丙戌解：根据题意，列表如下：2049年是己巳年，往后数9年，可得2058年是戊寅．故选：C．12．已知正方体的外接球与内切球上各有一个动点M、N，若线段MN的最小值为，则下列结论不正确的是（）A．正方体的外接球的表面积为12πB．正方体的内切球的体积为C．正方体的棱长为2D．线段MN的最大值为解：设正方体的棱长为a，则正方体外接球半径为体对角线长的一半，即，内切球半径为棱长的一半，即．∵M、N分别为外接球和内切球上动点，∴，解得：a＝2．即正方体惨长为2，C正确；∴正方体外接球表面积为，A正确；内切球体积为，B正确；线段MN的最大值为，D错误．故选：D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知向量，，若，则k＝12．解：根据题意，向量，，则，若，则有，解得k＝12，故答案为：12．14．在（x﹣）6展开式中，常数项为﹣20．（用数值表示）解：二项式（x﹣）6＝[x+（﹣x﹣1）]6，其展开式的通项公式为：T r+1＝•x6﹣r•（﹣x﹣1）r＝（﹣1）r••x6﹣2r，当6﹣2r＝0时，得r＝3，所以展开式的常数项为：T4＝（﹣1）3•＝﹣20．故答案为：﹣20．15．已知实数x，y满足约束条件，则z＝3x+2y的最大值9．解：由约束条件直线可行域如图，令t＝x+2y，由图可知，当直线t＝x+2y过A时，t有最大值为t＝2，此时z＝3x+2y的最大值为9．故答案为：9．16．已知数列{a n}的前n项和为S n，满足a1＝+1，则数列{a n}的前16项和S16＝84．解：2（S n+2+S n）＝4S n+1+1，化为，即，∵，∴{a n}为等差数列，公差，∴．故答案为：84．三、解答题（共7．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22，23题为选考题，考生根据要求作答．）（一）必考题：共60分．17．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，a＝2．（1）若，求角B；（2）若c＝2b，当角B最大时，求△ABC的面积．解：（1）因为，所以＝＝，整理可得a2+c2﹣b2＝ac，可得cos B＝＝＝，因为B∈（0，π），可得B＝．（2）在△ABC中，b2＝a2+c2﹣2ac cos B，c＝2b，所以cos B＝≥，当且仅当b＝时取等号，此时B＝，C＝，所以△ABC的面积S＝ab＝＝．18．为了推进分级诊疗，实现“基层首诊，双向转诊，急慢分治、上下联动”的诊疗模式，某地区自2016年起全面推行家庭医生签约服务．已知该地区居民约为2000万．从1岁到101岁的居民年龄结构的频率分布直方图如图甲所示．为了解各年龄段居民签约家庭医生的情况，现调查了1000名年满18周岁以上的居民，各年龄段被访者签约率如图乙所示．（1）估计该地区年龄在71～80岁且已签约家庭医生的居民人数；（2）若以图中年龄在71～80岁居民签约率作为此地区该年龄段每个居民签约家庭医生的概率，则从该地区年龄在71～80岁居民中随机抽取三人，以已签约家庭医生的居民为变量X，求这三人中恰有二人已签约家庭医生的概率；并求变量X的数学期望和方差．解：（1）由题知该地区居民约为2000万，由图1知，该地区年龄在71～80岁的居民人数为0.004×10×2000＝80万．由图2知．年龄在71～80岁的居民签概率为0.7．所以该地区年龄在71～80岁且已签约家庭医生的居民人数为80×0.7＝56万．（2）由题知此地区年龄段在71～80的每个居民签约家庭医生的概率为P＝0.7，且每个居民之间是否签约是独立的，所以设“从该地区年龄在71～80岁居民中随机抽取三人”为事件B，随机变量为X，这三人中恰有二人已签约庭医生的概率为：．数学期望E（X）＝3×0.7＝2.1，方差D（X）＝3×0.7×0.3＝0.63．19．如图，AB是半圆O的直径，C是半圆O上除A，B外的一个动点，DC垂直于半圆O 所在的平面，DC∥EB，DC＝EB＝1，AB＝4．（1）证明：平面ADE⊥平面ACD；（2）当C点为半圆的中点时，求二面角D﹣AE﹣B的余弦值．【解答】（1）证明：∵AB是圆O的直径，∴AC⊥BC，∵DC⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，∴DC⊥BC，又DC∩AC＝C，∴BC⊥平面ACD，∵DC∥EB，DC＝EB，∴四边形DCBE是平行四边形，∴DE∥BC，∴DE⊥平面ACD，又DE⊂平面ADE，∴平面ACD⊥平面ADE．（2）当C点为半圆的中点时，AC＝BC＝2，以C为原点，以CA，CB，CD为坐标轴建立空间坐标系如图所示：则D（0，0，1），E（0，2，1），A（2，0，0），B（0，2，0），∴＝（﹣2，2，0），＝（0，0，1），＝（0，2，0），＝（2，0，﹣1），设平面DAE的法向量为＝（x1，y1，z1），平面ABE的法向量为＝（x2，y2，z2），则，，即，，令x1＝1得＝（1，0，2），令x2＝1得＝（1，1，0）．∴cos＜＞＝＝＝．∵二面角D﹣AE﹣B是钝二面角，∴二面角D﹣AE﹣B的余弦值为﹣．20．已知椭圆离心率为，点A，B，D，E分别是C的左，右，上，下顶点，且四边形ADBE的面积为．（1）求椭圆C的标准方程；（2）已知F是C的右焦点，过F的直线交椭圆C于P，Q两点，记直线AP，BQ的交点为T，求证：点T横坐标为定值．解：（1）设椭圆C的半焦距为c，根据题意，，解得，所以椭圆的方程为+＝1．（2）证明：由（1）知A（﹣3，0），B（3，0），F（2，0），设T（x0，y0），P（x1，y1），Q（x2，y2），由k TA＝k PA，得＝，k TB＝k QB，得＝，两式相除得＝•，又+＝1，故﹣1＝﹣•＝﹣，故＝﹣，于是＝•＝﹣•，由于直线PQ经过点F，故设直线PQ的方程为x＝my+2，联立椭圆的方程可得（5m2+9）y2+20my﹣25＝0，所以，所以＝﹣•＝﹣•＝﹣•＝﹣•＝，解得x0＝，所以点T横坐标为定值．21．已知函数f（x）＝e x（x+a），其中e是自然对数的底数，a∈R．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）设g（x）＝f（x﹣a）﹣x2，讨论函数g（x）零点的个数，并说明理由．解：（1）因为f（x）＝e x（x+a），所以f'（x）＝e x（x+a+1）．………………………………………………………………（1分）由f'（x）＞0，得x＞﹣a﹣1；由f'（x）＜0，得x＜﹣a﹣1．………………………………………………………………所以f（x）的增区间是（﹣a﹣1，+∞），减区间是（﹣∞，﹣a﹣1）．………………………（2）因为g（x）＝f（x﹣a）﹣x2＝xe x﹣a﹣x2＝x（e x﹣a﹣x）．由g（x）＝0，得x＝0或e x﹣a﹣x＝0．………………………………………………………………………设h（x）＝e x﹣a﹣x，又h（0）＝e﹣a≠0，即x＝0不是h（x）的零点，故只需再讨论函数h（x）零点的个数．因为h'（x）＝e x﹣a﹣1，所以当x∈（﹣∞，a）时，h'（x）＜0，h（x）单调递减；当x∈（a，+∞）时，h'（x）＞0，h（x）单调递增．…………………………………………所以当x＝a时，h（x）取得最小值h（a）＝1﹣a．………………………………………①当h（a）＞0，即a＜1时，h（x）＞0，h（x）无零点；…………………………………②当h（a）＝0，即a＝1时，h（x）有唯一零点；…………………………………………③当h（a）＜0，即a＞1时，因为h（0）＝e﹣a＞0，所以h（x）在（﹣∞，a）上有且只有一个零点．……………………………………………令x＝2a，则h（2a）＝e a﹣2a．设φ（a）＝h（2a）＝e a﹣2a（a＞1），则φ'（a）＝e a﹣2＞0，所以φ（a）在（1，+∞）上单调递增，所以，∀a∈（1，+∞），都有φ（a）≥φ（1）＝e﹣2＞0．所以h（2a）＝φ（a）＝e a﹣2a＞0．………………………………………………………所以h（x）在（a，+∞）上有且只有一个零点．所以当a＞1时，h（x）有两个零点．………………………………………………………综上所述，当a＜1时，g（x）有一个零点；当a＝1时，g（x）有两个零点；当a＞1时，g（x）有三个零点．……………………………………………………………（二）选考题：共10．请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知圆C 的极坐标方程为ρ2+12ρcosθ+11＝0．（1）求圆心C的直角坐标；（2）若直线l的参数方程是（t为参数），l与C交于A，B两点，，求l的斜率．解：（1）将x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，x2+y2＝ρ2代入ρ2+12ρcosθ+11＝0，得x2+y2+12x+11＝0，即（x+6）2+y2＝25，所以圆C的圆心坐标为（﹣6，0）；（2）在极坐标系中，直线l的极坐标方程为θ＝α（ρ∈R）．设A，B所对应的极径分别为ρ1，ρ2，将l的极坐标方程代入C的极坐标方程得ρ2+12ρcosα+11＝0．于是ρ1+ρ2＝﹣12cosα，ρ1ρ2＝11，，由，得，，tanα＝＝±＝，所以l的斜率为或．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝x2+1，g（x）＝|x﹣a|﹣|2x﹣1|，a≥．（1）当a＝时，解不等式g（x2）＜﹣；（2）对任意x1，x2∈R．若不等式f（x1）≥g（x2）恒成立，求实数a的取值范围．解：（1）当时，，不等式g（x2）＜﹣，即，即，解得x2＞4或x2＜﹣3（舍去），由x2＞4，解得x＜﹣2或x＞2，所以不等式的解集是（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）．（2）由题意知，只需满足f（x）mix≥g（x）max即可，因为f（x）＝x2+1，所以f（x）min＝1，依题意，当时，g（x）＝，得f（x）min≥g（x）max，得，即，所以，即a的取值范围是[，]．。

2020-2021学年高三数学（理科）第一次高考模拟考试试题及答案解析

2020-2021学年⾼三数学（理科）第⼀次⾼考模拟考试试题及答案解析@学⽆⽌境！@绝密★启⽤前试卷类型：A 最新第⼀次⾼考模拟考试数学试卷（理科）本试卷分选择题和⾮选择题两部分，共4页，满分150分，考试时间120分钟。

注意事项：1．答卷前，考⽣要务必填写答题卷上的有关项⽬。

2．选择题每⼩题选出答案后，⽤2B 铅笔把答案填在答题卡相应的位置上。

3．⾮选择题必须⽤⿊⾊字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷各题⽬指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使⽤铅笔和涂改液. 不按以上要求作答的答案⽆效。

4．考⽣必须保持答题卷的整洁，考试结束后，将答题卷交回。

第Ⅰ卷（选择题，共60分）⼀.选择题：本⼤题共12⼩题，每⼩题5分，共60分.在每⼩题给出的四个选项中，只有⼀项是符合题⽬要求的. 1.复数i215-（i为虚数单位）的虚部是（）A. 2iB. 2i -C. 2-D. 22. 下列函数在其定义域上既是奇函数⼜是减函数的是（）A ．()2x f x =B ．()sin f x x x =C ．1()f x x =D ．()||f x x x =- 3.已知()=-παcos 12，πα-<<，则tan α=（）A.B.C. D.4.设双曲线2214y x -=上的点P到点的距离为6，则P点到(0,的距离是（）@学⽆⽌境！@A ．2或10 B.10 C.2 D.4或85. 下列有关命题说法正确的是（）A. 命题p ：“sin +cos =2x x x ?∈R ，”，则?p 是真命题 B ．21560x x x =---=“”是“”的必要不充分条件 C ．命题2,10x x x ?∈++的否定是：“210x x x ?∈++D ．“1>a ”是“()log (01)(0)a f x x a a =>≠+∞，在，上为增函数”的充要条件6. 将函数-=32sin )(πx x f 的图像向右平移3π个单位得到函数)(x g 的图像,则)(x g 的⼀条对称轴⽅程可以为（） A. 43π=x B. 76x π= C. 127π=x D. 12π=x 7．2015年⾼中⽣技能⼤赛中三所学校分别有3名、2名、1名学⽣获奖，这6名学⽣要排成⼀排合影，则同校学⽣排在⼀起的概率是（）A ．130 B ．115 C ．110 D ．158．执⾏如图8的程序框图，若输出S 的值是12，则a 的值可以为（）A ．2014B ．2015C ．2016D ．20179．若某⼏何体的三视图(单位：cm )如图所⽰，则该⼏何体的体积（）A.310cmB.320cmC.330cmD.340cm10．若nx x ??? ?-321的展开式中存在常数项，则n 可以为（） A ．8 9 C ．10 D. 11 11．=∠=?==?C CA A B CA BC ABC 则中在,60,6,8, （）A ．?60B ．C ．?150D ．?120 12. 形如)0,0(||>>-=b c cx by 的函数因其图像类似于汉字中的“囧”字，故我们把其⽣动地称为“囧函数”．若函数()()2log 1a f x x x =++)1,0(≠>a a 有最⼩值，则当,c b 的值分别为⽅程222220x y x y +--+=中的,x y 时的“囧函数”与函数||log x y a =的图像交点个数为（）．A ．1B ．2C ．4D ．6第Ⅱ卷（⾮选择题，共90分）⼆.填空题：本⼤题共4⼩题，每⼩题 5分，共20分.13．⼀个长⽅体⾼为5，底⾯长⽅形对⾓线长为12，则它外接球的表⾯积为@学⽆⽌境！@14．如图，探照灯反射镜的纵截⾯是抛物线的⼀部分，光源在抛物线的焦点F 处，灯⼝直径AB 为60cm ，灯深（顶点O 到反射镜距离）40cm ，则光源F 到反射镜顶点O 的距离为15.已知点()y x P ,的坐标满⾜条件>-+≤≤02221y x y x ，那么()221y x ++的取值范围为 16．CD CB AD AC AD AB ，AB D ABC 3,,3,===?且的⼀个三等分点为中在，则B cos =三.解答题：本⼤题共5⼩题，每题12分共60分.解答应写出⽂字说明，证明过程或演算步骤.17．（本⼩题满分12分）已知{}n b 为单调递增的等差数列，168,266583==+b b b b ,设数列{}n a 满⾜n b n n a a a a 2222233221=++++(1)求数列{}n b 的通项； (2)求数列{}n a 的前n 项和n S 。

陕西长安一中2021届高三4月模拟考试数学(理)

陕西长安一中2021届高三4月模拟考试数学 (理 )试题第I 卷 (选择题 ,共50分 )一、选择题 (此题共10小题 ,每题5分 ,总分值50分． )1．1,()(1),x x R f x i x x R +∈⎧=⎨-∉⎩,那么((1))f f i += A ．3 +1 B ．3 C ． -3D ．0 2． "非空集合M 不是P 的子集〞的充要条件是 ( )A ．,x M x P ∀∈∉B ．,x P x M ∀∈∈C ．,o o x M x P ∃∈∉D ．,o o x M x P ∃∈∈3．以下函数中 ,在区间 ( -l ,1 )内有零点且单调递增的是 ( )A ．y = sinxB ．y = -x 3C ．y = (12 )x －1D ．y =log 2 (x +3 )4．某三棱锥的三视图如下列图 ,该三棱锥的体积是 ( )A ．10B ．40C ．403D ．8035．,()min(,),()a ab a b b a b ≤⎧=⎨>⎩ ,设f (x ) = min{x 3 ,1x } ,那么由函数f (x )的图像与x 轴、直线x =e 所围成的封闭图形的面积为 ( )A ．10B ．40C ．403 D ．8036．函数f (x ) =3sin 2πx －log 2x －12的零点个数为 ( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．57．过抛物线y 2 =2px (p>0 )的焦点F 且倾斜角为60o 的直l 与抛物线在第|一、四象限分别交于A 、B 两点 ,那么AF BF = ( )A ．5B ．4C ．3D ．28．f (x ) = sin (x +2π ) ,g (x ) = cos (x －2π ) ,那么以下结论中正确的选项是 ( )A ．函数y =f (x )·g (x )的周期为2；B ．函数y =f (x )·g (x )的最||大值为l ；C ．将f (x )的图象向左平移2π个单位后得到g (x )的图象； D ．将f (x )的图象向右平移2π个单位后得到g (x )的图象； 9．过双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的一个焦点F 作一条渐近线的垂线 ,垂足为点A ,与另一条渐近线交于点B ,假设FA FB 2= ,那么此双曲线的离心率为 ( ) ,A ．2B ．3C ．2D ．510．f (x ) =x 2－2x ,g (x ) = ax +2 (a>0 )．对∀x 1∈[ -l ,2] ,o x ∃∈[ -l ,2] ,使g (x 1 ) =f (x o ),那么a 的取值范围是 ( )A ．⎥⎦⎤ ⎝⎛21,0B ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡3,21C ．[)+∞,3D ．(]3,0第二卷 (非选择题 ,共100分 )二、填空题 (此题共5小题 ,每小置5分 ,总分值25分 )．11． (1 +x +x 2 ) (x －x1 )6的展开式中的常数项为____ ． 12．设向量a ,b 满足：|a| =1 ,|b| =2 ,a· (a +b =0 ,那么a 与b 的夹角是____ ． 13．等差数列{a n }中 ,有11122012301030a a a a a a ++++++=成立 ,类似地 ,在等比数列{b n }中 ,有成立．14．定义在R 上的偶函数f (x )满足f (x +1 ) =－f (x )且f (x )在[ -1 ,0]上是增函数 ,给出以下四个命题：①f (x )是周期函数：②f (x )的图像关于x =l 对称： ③f (x )在[l ,2l 上是减函数；④f (2 ) =f (0 ) ,其中正确命题的序号是． (请把正确命题的序号全部写出来 )l5．注意：请在以下三题中任选一题作答 ,如果多做 ,那么按所做的第|一题评阅计分 )A ． (选修4－4坐标系与参数方程 )圆C 的圆心为 (6 ,2π ) ,半径为 5 ,直线),2(R ∈<≤=ρπθπαθ被圆截得的弦长为8 ,那么α = .B ． (选修4－5不等式选讲 )如果关于x 的不等式|x -3|－|x -4|<a 的解集不是空集 ,那么实数a 的取值范围是____C ． (选修4－1几何证明选讲 ) ,AB 为圆O 的直径 ,弦AC 、BD 交于点P ,假设AB =3 ,CD =l ,那么sin ∠APD = .三、解答题 (此题共6小题．75分．解容许写出文字说明 ,证明过程或演算步骤 )．16． (12分 )在△ABC 中 ,∠A ,∠B ,∠C 所对的边分别是a 、b 、c ,且满足cos 2A =552 ,b +c =6 ,AB ·AC =3．(I )求a 的值；(Ⅱ )求A C B A 2cos 1)4sin()4sin(2-+++ππ17． (12分 )数列{a n }的前n 项和为S n 且S n =n 2 + 2n ．(I )求数列{a n }的通项公式：(Ⅱ )数列{b n }中 ,b 1 =1 ,b n =a b －1 (n≥2 ) ,求{b n }的通项公式．18． (12分 )在如下列图的三个游戏盘中 (图 (1 )是正方形 ,E 、F 分别是所在边中点 ,图 (2 )是半径分别为2和4的两个同心圆 ,图 (3 )是正三角形 ,点P 为其中|心 )各有一个玻璃小球 ,依次摇动三个游戏盘后 ,将它们水平放置 ,就完成了一局游戏．(1 )一局游戏后 ,这三个盘中的小球都停在阴影局部的概率是多少 ?(Ⅱ )用随机变量ξ表示一局游戏后 ,小球停在阴影局部的事件数与小球没有停在阴影局部的事件数之差的绝||对值 ,求随机变量f 的分布列及数学期望．19．(12分)如图,四棱锥E－ABCD的底面为菱形,且∠ABC =60o,AB = EC =2 ,AE = BE =2．(I )求证；平面EAB⊥平面ABCD .(Ⅱ )求二面角E－AD－C的余弦值．20．(13分)在平面直角坐标系中,点P到两点(0 , -3, (0 ,3)的距离之和等于4 ,设点P的轨迹为C．(I )求曲线C的方程；(Ⅱ )过点(0 ,3)作两条互相垂直的直线l1 ,l2分别与曲线C交于A ,B和C．D．求四边形ABCD 面积的取值范围．21．(14分)函数f (x ) =lnx－px +l．(I )求函数f (x )的极值点；(Ⅱ )假设对任意的x>0 ,恒有(x ) 0．求p的取值范围；(Ⅲ )证明：)2,()1(21213312212222≥∈+--<+++n N n n n n nnn n n .。

2021届陕西省西安中学高三高考模拟数学(理)试题(三)(解析版)

2021届陕西省西安中学高三高考模拟数学（理）试题（三）一、单选题1．已知集合2{|60}A x x x =--≤，{|10}B x x =-<，则A B =（）A ．(,3]-∞B ．(,2]-∞C ．(,1)-∞D ．[2,1)-【答案】A【分析】先求出集合A 中260x x --≤的解,再求出集合B 中10x -<的解,然后求交集即可.【详解】解：2{|60}{|23}A x x x x x =--≤=-≤≤{10}{1|}|B x x x x =-<=<{}|3A B x x ∴=≤,答案为：(,3]-∞故选：A【点睛】本题考查集合的并集运算,是基础题. 2．若复数z 满足()12z i i ⋅+=-，则z =A ．BC ．2D 【答案】A【分析】根据()12z i i ⋅+=-，求出z ，然后根据复数模的公式求出||z ．【详解】解：因为复数z 满足()12z i i ⋅+=- 所以()()()()2i 2i 1i 2i 2z 1i 1i 1i 1i 2-----====--++-所以||z =A ．【点睛】本题考查了复数的四则运算和复数模的运算，求解复数模的前提是将复数表示为a bi +的标准形式，然后根据模的公式求解．3．若干年前，某教师刚退休的月退休金为6000元，月退休金各种用途占比统计图如下面的条形图.该教师退休后加强了体育锻炼，目前月退休金的各种用途占比统计图如下面的折线图.已知目前的月就医费比刚退休时少100元，则目前该教师的月退休金为.A ．6500元B ．7000元C ．7500元D ．8000元【答案】D【分析】设目前该教师的退休金为x 元，利用条形图和折线图列出方程，求出结果即可．【详解】设目前该教师的退休金为x 元，则由题意得：6000×15%﹣x×10%＝100．解得x ＝8000．故选D ．【点睛】本题考查由条形图和折线图等基础知识解决实际问题，属于基础题．4．过椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的上顶点与右顶点的直线方程为240x y +-=，则椭圆C 的标准方程为A ．221164x y +=B ．221204x y +=C ．221248x y +=D ．221328x y +=【答案】A【分析】求出直线与坐标轴的交点坐标，得椭圆的,a b ，从而得椭圆方程．【详解】在直线方程240x y +-=中，令x =0，得y =2，得到椭圆的上顶点坐标为（0,2），即b =2，令y =0，得x =4，得到椭圆的右顶点坐标为（4,0），即a =4，从而得到椭圆方程为：221164x y +=.故选：A.【点睛】本题考查求椭圆标准方程，考查椭圆的几何性质．属于基础题． 5．将函数sin 23y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭图象上所有的点向左平移6π个单位长度，再将所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），则所得图象对应的函数解析式为（） A ．cos 6y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭B ．2sin 43y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭C ．cos y x =D ．sin 4y x =【答案】A【分析】将πsin 23y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭图象上所有的点向左平行移动π6个单位长度得2sin(2)3x π+，再将所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍得2sin()3x π+，再利用诱导公式得出结果.【详解】先将函数πsin 23y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭图象上所有的点向左平行移动π6个单位长度得2sin[2()]sin(2)633y x x πππ=++=+再将所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）得2sin()sin()cos()3266y x x x ππππ=+=++=+ 故选A【点睛】本题考查了正弦函数的图像变化和诱导公式，正确的掌握图像的平移变化和伸缩变化是解题的关键.6．在四边形ABCD 中，//AB CD ，设AC AB AD λμ=+(λ，R μ∈).若43λμ+=，则CDAB=（）A ．23B ．12C ．13D ．14【答案】C【分析】根据共线向量的性质，结合平面向量加法的运算法则进行求解即可. 【详解】解：∵//AB CD ， ∴设CD k AB=，则DC k AB =，0k >，∵AC AD DC k AB AD AB AD λμ=+=+=+，∴1kλμ=⎧⎨=⎩，∵43λμ+=， ∴413k +=，即13k =，即13CDAB =，故选：C.7．已知三个村庄A ，B ，C 构成一个三角形，且AB=5千米，BC=12千米，AC=13千米．为了方便市民生活，现在△ABC 内任取一点M 建一大型生活超市，则M 到A ，B ，C 的距离都不小于2千米的概率为 A ．25B ．35C ．115π-D ．15π 【答案】C【分析】根据条件作出对应的图象，求出对应的面积，根据几何概型的概率公式进行计算即可．【详解】解：在△ABC 中，AB ＝5，BC ＝12，AC ＝13，则△ABC 为直角三角形，且∠B 为直角．则△ABC 的面积S ＝1512302⨯⨯=，若在三角形ABC 内任取一点，则该点到三个定点A ，B ，C 的距离不小于2，则该点位于阴影部分，则三个小扇形的圆心角转化为180°，半径为2，则对应的面积之和为S ＝2222ππ⨯=，则阴影部分的面积S ＝302π- ，则对应的概率P ＝ABC S S 阴影＝30-230π＝1-15π，故选C ．【点睛】本题主要考查几何概型的概率的计算，根据条件求出对应区域的面积是解决本题的关键． 8．若3sin()6πα-=，则sin(2)6πα+=A ．6B 22C 3D ．13【答案】D【分析】由题意，根据诱导公式，化简得sin(2)cos(2)63ππαα+=-，再由余弦的倍角公式，得到2cos(2)12sin ()36ππαα-=--，代入即可求解.【详解】由题意，根据诱导公式可得sin(2)cos[(2)]cos(2)6263ππππααα+=-+=-，又由余弦的倍角公式，可得2231cos(2)12sin ()12(363ππαα-=--=-⨯=，即1sin(2)63πα+=，故选D. 【点睛】本题主要考查了三角函数的化简求值问题，其中解答中合理应用三角函数的诱导公式，熟记余弦的倍角公式，合理准确运算是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.9．设正项等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足6322S S -=，则2823a a 的最小值为A ．8B ．16C ．24D ．36【答案】B【详解】方法一：由题意得636332()2S S S S S -=--=，根据等差数列的性质，得96633,,S S S S S --成等差数列，设3(0)S x x =>，则632S S x -=+，964S S x -=+，则222288789962212333(3)()()=3a a a a a S S a a a a a S ++-==++2(4)x x +=161682816x x x x =++≥⋅=，当且仅当4x =时等号成立，从而2823a a 的最小值为16，故选B ．方法二：设正项等差数列{}n a 的公差为d ，由等差数列的前n 项和公式及6322S S -=，化简可得11653262(3)222a d a d ⨯⨯+-+=，即29d =，则2222822222243()33(6)163383a a a d a a a a a ++===++≥816=，当且仅当221633a a =，即243a =时等号成立，从而2823a a 的最小值为16，故选B ．10．已知椭圆22221x y a b +=(0a b >>)的右焦点为F ，过点F 的直线l 交椭圆于A ，B 两点，若AB 的中点为()1,1，则直线l 的斜率为（） A ．14-B ．34-C ．12-D ．1【答案】A【分析】根据中点坐标公式、椭圆离心率公式，结合点差法进行求解即可.【详解】解：设()11,A x y ，()22,B x y ，则AB 的中点坐标为1212,22x x y y ++⎛⎫⎪⎝⎭，由题意可得122x x +=，122y y +=，将A ，B 的坐标的代入椭圆的方程：22112222222211x y a b x y a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，作差可得22221212220x x y y a b--+=，所以221212221212y y x x b b x x a y y a-+=-⋅=--+，又因为离心率2c e a ==，222c a b =-，所以22234a b a -=，所以2214b a -=-，即直线AB 的斜率为14-，故选：A.11．已知实数0a >，1a ≠，函数2,1()4ln ,1x a x f x x a x x x ⎧<⎪=⎨++≥⎪⎩在R 上单调递增，则实数a 的取值范围是（） A ．25a ≤≤ B ．5a < C ．35a << D ．12a <≤【答案】A【分析】根据指数函数的单调性，结合导数与单调性的关系，通过构造函数进行求解即可.【详解】解：∵函数()f x 在R 上单调递增， ∴当1x <时，有1a >；当1≥x 时，()32242420a x axf x x x x x -+'=-+=≥恒成立，令()324g x x ax =+-，[)1,x ∈+∞，则()26g x x a '=+，∵0a >，∴()0g x '>，即()g x 在[)1,+∞上单调递增，∴()()1242g x g a a ≥=+-=-，要使当1≥x 时()0f x '≥恒成立，则20a -≥，解得2a ≥. ∵函数()f x 在R 上单调递增，∴还需要满足141ln11a a ≤++，即5a ≤，综上，a 的取值范围是25a ≤≤. 故选：A.【点睛】关键点睛：本题的关键是除了考虑每段函数是单调递增，还要考虑不等式141ln11a a ≤++成立这一条件.12．如图所示，在直角梯形BCEF 中，90CBF BCE ∠=∠=︒，A ，D 分别是BF ，CE 上的点，//AD BC ，且22AB DE BC AF ===（如图①）将四边形ADEF 沿AD 折起，连接BE ，BF ，CE （如图②），有折起的过程中，下列说法中错误的个数是（）①//AC 平面BEF ；②B ，C ，E ，F 四点不可能共面；③若EF CF ⊥，则平面ADEF ⊥平面ABCD ；④平面BCE 与平面BEF 可能垂直． A ．0 B ．1C ．2D ．3【答案】C【分析】连接AC 、BD 交于点M ，取BE 的中点N ，证明四边形AFNM 为平行四边形，可判断命题①的正误；利用线面平行的性质定理和空间平行线的传递性可判断命题②的正误；连接DF ，证明出DFEF ，结合线面垂直和面面垂直的判定定理可判断命题③的正误；假设平面BCE 与平面BEF 垂直，利用面面垂直的性质定理可判断命题④的正误.综合可得出结论.【详解】对于命题①，连接AC 、BD 交于点M ，取BE 的中点M 、N ，连接MN 、FN ，如下图所示：则12AF DE =且//AF DE ，四边形ABCD 是矩形，且AC BD M =，M ∴为BD 的中点，N 为BE 的中点，//MN DE ∴且12MN DE =，//MN AF ∴且MN AF =， ∴四边形AFNM 为平行四边形，//AM FN ∴，即//AC FN ，AC ⊄平面BEF ，FN ⊂平面BEF ，//AC ∴平面BEF ，命题①正确；对于命题②，//BC AD ，BC ⊄平面ADEF ，AD ⊂平面ADEF ，//BC ∴平面ADEF ，若四点B 、C 、E 、F 共面，则这四点可确定平面α，则BC α⊂，平面α平面ADEF EF =，由线面平行的性质定理可得//BC EF ，则//EF AD ，但四边形ADEF 为梯形且AD 、EF 为两腰，AD 与EF 相交，矛盾. 所以，命题②错误；对于命题③，连接DF 、CF ，设AD AF a ==，则2DE a =，在Rt ADF ∆中，AD AF a ==，2DAF π∠=，则ADF ∆为等腰直角三角形，且4AFD ADF π∠=∠=，2DF a =，4EDF π∴∠=，且2DE a =，由余弦定理得22222cos 2EF DE DF DE DF EDF a =+-⋅∠=，222DF EF DE ∴+=， DF EF ∴⊥，又EF CF ⊥，DF CF F =，EF ∴⊥平面CDF ，CD ⊂平面CDF ，CD EF ∴⊥，CD AD ⊥，AD 、EF 为平面ADEF 内的两条相交直线，所以，CD ⊥平面ADEF ， CD ⊂平面ABCD ，∴平面ADEF ⊥平面ABCD ，命题③正确；对于命题④，假设平面BCE 与平面BEF 垂直，过点F 在平面BEF 内作FG BE ⊥，平面BCE ⊥平面BEF ，平面BCE平面BEF BE =，FG BE ⊥，FG ⊂平面BEF ，FG ∴⊥平面BCE ，BC ⊂平面BCE ，BC FG ∴⊥，AD AB ⊥，AD AF ⊥，//BC AD ，BC AB ∴⊥，BC AF ⊥，又AB AF A =，BC ∴⊥平面ABF ，BF ⊂平面ABF ，BC BF ∴⊥. FGBF F =，BC ∴⊥平面BEF ，EF ⊂平面BEF ，BC EF ∴⊥.//AD BC ，EF AD ∴⊥，显然EF 与AD 不垂直，命题④错误.故选C .【点睛】本题考查立体几何综合问题，涉及线面平行、面面垂直的证明、以及点共面的判断，考查推理能力，属于中等题.二、填空题13．在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为,,a b c ，若3C π=，b =c =则A =__________．【答案】512π【分析】利用正弦定理和大边对大角求出角B 的值,进而可得角A . 【详解】因为3C π=，b =c =由正弦定理sin sin c b C B =sin 3=sin 2B ⇒=又b c <，所以B C <4B π⇒=所以53412A ππππ=--=故答案为：512π 【点睛】本题考查正余弦定理在三角形中的应用,考查学生的逻辑推理能力和计算能力,属于基础题.14．若二项式621x ⎫+⎪⎪⎝⎭的展开式中的常数项为m ，则213mx dx =⎰______.【答案】124【分析】本题先由二项式的展开式的通项公式求出m ，再根据定积分求解即可.【详解】解：由题意：662123+1661rrrrrr r T C x C x x ---⎫⎛⎫==⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，令1230r -=，解得：4r =，则24653m C ⎛== ⎝⎭，因此5223311533|51=1241mx dx x dx x ===-⎰⎰.【点睛】本题考查二项式的展开式的通项公式，定积分的计算，是基础题.15．已知直线l 、m 与平面α、β，l α⊂，m β⊂，则下列命题中正确的是_______（填写正确命题对应的序号）.①若l m ，则αβ∥ ②若l m ⊥，则αβ⊥③若l β⊥，则αβ⊥ ④若αβ⊥，则m α⊥ 【答案】③【分析】①②列举反例，③利用面面垂直的判定定理，④利用面面垂直的性质定理，即可判断．【详解】①如图所示，设α∩β＝c ，l ∥c ，m ∥c 满足条件，但是α与β不平行，故①不正确；②假设α∥β，l′⊂β，l ′∥l ，l′⊥m ，则满足条件，但是α与β不垂直，故②不正确； ③由面面垂直的判定定理，若l ⊥β，则α⊥β，故③正确；④若α⊥β，α∩β＝n ，由面面垂直的性质定理知，m ⊥n 时，m ⊥α，故④不正确．综上可知：只有③正确．故答案为③．【点睛】熟练掌握线面、面面垂直与平行的判定与性质定理是解题的关键．否定一个命题，只要举出一个反例即可，属于中档题．16．已知若函数()20,01,93,1x f x x x <≤⎧⎪=⎨-->⎪⎩，()ln g x x =，若函数()()(0y f x g x m x =+->)恰有两个不相等的零点，则实数m 的取值范围为______.【答案】(ln33,0)[5,)-+∞【分析】根据函数与方程的关系转化为()()g x m f x -=-，构造函数()()h x f x =-和()()m x g x m =-，利用数形结合转化两个函数有两个不同的交点即可得到结论．【详解】由()()0y f x g x m =+-=得()()g x m f x -=-，设22016()()13123x x h x f x x x x <≤⎧⎪-⎪⎪=-=<≤⎨⎪-⎪>⎪⎩设()()|ln |m x g x m x m =-=-作出()h x 和()m x 的图象如图：(1)m m =-当0m -=时，即0m =时，(3)ln3m =，此时(3)3(3)h m =>，即此时两个函数有3个交点，不满足条件．当0m ->时，即0m <时，要使两个函数有两个交点，则此时只需要满足(3)ln3(3)3m m h =-<=，即ln 33m >- 此时ln 330m -<<当0m -<时，即0m >时，此时01x <≤当时，两个函数一定有一个交点，则此时只要在1x >时有一个交点即可，此时当1,(1)5,(1)x f m m →→-=-此时只要满足(1)5m m =-≤-，即5m ≥即可，综上所述，实数m 的取值范围是5m ≥或ln 330m -<< 故答案为：(ln33,0)[5,)-+∞.【点睛】本题主要考查了根据零点求参数范围，解题关键是掌握零点定义和根据零点求参的方法，数形结合，考查了分析能力和计算能力，属于难题.三、解答题17．已知ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，1a =，设F 为线段AC 上一点，2CF BF ，有下列条件：①1c =；②3b =2223a b ab c +=.请从以上三个条件中任选两个，求:ABF CBF S S △△的值.【答案】【分析】不管选哪两个条件，首先都可求出23ABC π∠=，6A C π==，然后可求出4CBF π∠=，然后算出sin ABF ∠的值，然后利用:sin :sin ABF CBF S S ABF CBF =∠∠△△可得答案.【详解】法一：选①②，则1a c ==，b =由余弦定理可得：2221cos 22a c b ABC ac +-∠==-，又(0,)ABC π∠∈，所以23ABC π∠=，所以6A C π==. 在BCF △中，由正弦定理得sin sin CF BFCBF C=∠，因为CF =，所以sin CBF ∠=又23CBF ABC π∠<∠=，所以4CBF π∠=，所以512ABF π∠=. 所以5sin sinsin 1264ABF πππ⎛⎫∠==+ ⎪⎝⎭sincoscos sin 6464ππππ=+=. 于是:sin :sin ABF CBF S S ABF CBF =∠∠△△5sin:sin 124ππ==.法二：选②③，因为1a =，b =222a b c +=，所以1c =.由余弦定理可得222cos 2a b c C ab +-==，又(0,)C π∈，所以6C π=，所以6A C π==，所以23ABC A C ππ∠=--=.在BCF △中，由正弦定理可得sin sin CF BFCBF C=∠，因为CF =，所以sin 2CBF ∠=. 又23CBF ABC π∠<∠=，所以4CBF π∠=，所以512ABF π∠=. 所以5sin sinsin 1264ABF πππ⎛⎫∠==+ ⎪⎝⎭sincoscos sin 6464ππππ=+=.于是5:sin :sin sin:sin 124ABF CBF S S ABF CBF ππ=∠∠==△△法三：选①③，则1a c ==，222a b c +=，则222a b c +-=，由余弦定理可得222cos 2a b c C ab +-==，又(0,)C π∈，所以6C π=，因为a c =，所以6A C π==，所以23ABC A C ππ∠=--=. 在BCF △中，由正弦定理可得sin sin CF BFCBF C=∠，因为CF =，所以sin CBF ∠=又23CBF ABC π∠<∠=，所以4CBF π∠=，所以512ABF π∠=. 所以5sin sinsin 1264ABF πππ⎛⎫∠==+ ⎪⎝⎭sincoscos sin 6464ππππ=+=.于是513:sin :sin sin:sin 124ABF CBF S S ABF CBF ππ+=∠∠==△△.18．在如图所示的几何体中，平面ACE ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 为平行四边形，90CAD ∠=︒，//EF BC ，12EF BC =，2AC =，2AE EC ==.（1）求证：A ，D ，E ，F 四点共面，且平面ADEF ⊥平面CDE ；（2）若二面角E AC F --的大小为45°，求点D 到平面ACF 的距离. 【答案】（1）证明见解析；（22【分析】（1）根据平行四边形的性质、平行线的性质，结合面面垂直的性质定理、判定定理进行证明即可；（2）建立空间直角坐标系，根据空间向量夹角公式，结合二面角的定义、点到面距离公式进行求解即可.【详解】解：（1）证明：∵四边形ABCD 为平行四边形，∴//AD BC ， ∵//EF BC ，∴//EF AD ， ∴A ，D ，E ，F 四点共面， ∵90CAD ∠=︒，∴AC AD ⊥， ∵平面ACE ⊥平面ABCD ，平面ACE 平面ABCD AC =，∴AD ⊥平面ACE ，∵CE ⊂平面ACE ，∴CE AD ⊥，∵2AC =，2AE EC ==，∴222CE AE AC +=，∴CE AE ⊥， ∵AEAD A =，AD ，AE ⊂平面ADEF ，∴CE ⊥平面ADEF ，∵CE ⊂平面CDE ，∴平面ADEF ⊥平面CDE . （2）∵平面ACE ⊥平面ABCD ，90CAD ∠=︒， ∴如图以A 为原点建立空间直角坐标系O xyz -，设2AD a =，则()0,0,0A ，()2,0,0C ，()1,0,1E ，()1,,1F a -，()2,0,0AC =，()1,,1AF a =-，设平面ACF 的法向量(),,m x y z =，则200m AC x m AF ay z ⎧⋅==⎨⋅=-+=⎩，取1y =，得()0,1,0m =，平面ACE 的一个法向量()0,1,0n =， ∵二面角E AC F --的大小为45°， ∴22cos 451m n m na ⋅︒===⋅+，解得1a =，∴2AD =，()0,2,0AD =， ∴()0,2,0D ，平面ACF 的法向量()0,1,1m =， ∴点D 到平面ACF 的距离为22AD m d m⋅===.19．“公平正义”是社会主义和谐社会的重要特征，是社会主义法治理念的价值追求.“考试”作为一种公平公正选拔人才的有效途径，正被广泛采用.某单位准备通过考试(按照高分优先录取的原则)录用300名职员，其中275个高薪职位和25个普薪职位.实际报名人数为2000名，考试满分为400分.本次招聘考试的命题和组考非常科学，是一次成功的考试，考试成绩服从正态分布.考试后考生成绩的部分统计结果如下：考试平均成绩是180分，360分及其以上的高分考生30名. （1）求最低录取分数(结果保留为整数)；（2）考生甲的成绩为286分，若甲被录取，能否获得高薪职位？请说明理由. 参考资料：（1）当()2,XN μσ时，令X Y μσ-=，则()0,1YN .（2）当()0,1Y N 时，()2.170.985P Y ≤≈，()1.280.900P Y ≤≈，()1.090.863P Y ≤≈，()1.040.85P Y ≤≈.【答案】（1）266；（2）能被录取为高薪职位，理由见解析.【分析】（1）根据正态分布的性质，结合题中所给的变换公式、概率值进行求解即可；（2）根据（1）中的数据，结合题中所给的概率值进行求解即可. 【详解】解：（1）设考生的成绩为X ，则由题意可得X 应服从正态分布，即()2,XN μσ，令180X Y σ-=，则()0,1YN .由360分及以上高分考生30名可得()303602000P X ≥=，即()3036010.9852000P X <=-=，即有3601800.985P X σ-⎛⎫<= ⎪⎝⎭，则360180 2.17σ-≈，可得83σ≈，可得()2180,83XN ，设最低录取分数线为0x ，则()00180300832000x P X x P Y -⎛⎫≥=≥=⎪⎝⎭，即有018030010.85832000x P Y -⎛⎫<=-= ⎪⎝⎭，即有01801.0483x -=，可得0266.32x =，即最低录取分数线为266；（2）考生甲的成绩286267>，所以能被录取，()()286180286 1.280.9083P X P Y P Y -⎛⎫<=<=<≈ ⎪⎝⎭，表明不低于考生甲的成绩的人数大约为总人数的10.900.10-=，20000.10200⨯=，即考生甲大约排在第200名，排在前275名之前，所以能被录取为高薪职位.20．已知椭圆C ：2212x y +=，点11,2A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，(1,2)B . （Ⅰ）若直线1l 与椭圆C 交于M ，N 两点，且A 为线段MN 的中点，求直线MN 的斜率；（Ⅱ）若直线2l ：2(0)y x t t =+≠与椭圆C 交于P ，Q 两点，求BPQ ∆的面积的最大值.【答案】（Ⅰ）-1；（Ⅱ【分析】（I ）因为,M N 在椭圆上，设()()1122,,,M x y N x y ，且A 为线段MN 的中点，得，12122,1x x y y +=+=，由点差法即可计算直线MN 的斜率；（II ）联立22212y x tx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得()2298220x tx t ++-=，由0∆>可得209t <<，()()3344,,,P x y Q x y ,由弦长公式可得PQ ∴=点B 到直线2l的距离d =由12BPQSPQ d =⨯⨯计算即可. 【详解】（I ）设()()1122,,,M x y N x y ，故221112x y +=，2222 1.2x y +=将两式相减，可得22221212022x x y y ⎛⎫+-+= ⎪⎝⎭，即()()()()121212120,2x x x x y y y y +-++-=因为A 为线段MN 的中点，所以12122, 1.x x y y +=+=得()()()()121212120,2x x y y y y x x +-+=+-即20,2MN k +=故直线MN 的斜率 1.MN k =- （II ）联立222,1,2y x t x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩可得()2298220x tx t ++-=，由0∆>可得()226436220t t -->，解得209t <<.设()()3344,,,P x y Q x y由根与系数的关系可得342348,922.9t x x t x x ⎧+=-⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩PQ ∴=== 又点B 到直线2l的距离d ==1122BPQSPQ d ∴=⨯⨯=()222990,99922BPQt t t St -+->∴===当且仅当292t =，即2t =±时取等号.故BPQ 的面积的最大值为2. 【点睛】本题考查了直线与椭圆的位置关系，弦长公式和点到直线的距离，也考查了点差法在弦中点的应用，计算能力和均值不等式，属于中档题. 21．已知函数2213()ln 224f x x ax x ax x ⎛⎫=-+-⎪⎝⎭，其中0a e <<.（1）求函数()f x 的单调区间；（2）讨论函数()f x 零点的个数；（3）若()f x 存在两个不同的零点12,x x ，求证：212x x e <.【答案】（1）增区间为()0,a ，(),e +∞，减区间为(),a e （2）见解析（3）证明见解析【分析】（1）先求出()f x 的定义域,求得导函数()()()ln 1f x x a x '=--,令()0f x '=可解得x a =或x e =,分类讨论判断()0f x '>或()0f x '<,进而解得单调区间；（2）整理函数为()13ln 224f x x x a x x a x ⎛⎫⎛⎫=-+-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,则令{}=min 1,2a δ,当()0,x δ∈时,()0f x >,则分别讨论0x a <≤和x a >两种情况,利用零点存在性定理判断零点个数；（3）由（2）可知12a x e x <<<,构造函数()()2e F x f x f x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭,利用导数可得()F x 在(,)a e 单调递增,则()2e f x f x ⎛⎫< ⎪⎝⎭,整理即可得证【详解】解：（1）函数()f x 的定义域为{}|0x x >,()()()211313ln 2ln 22222f x x a x x ax a x x a x x a a xx⎛⎫'=-+-⋅+-=-+-+- ⎪⎝⎭()()ln ()(ln 1)x a x x a x a x =---=--,令()0f x '=,得x a =或x e =,因为0a e <<,当0x a <<或x e >时,()0f x '>,()f x 单调递增；当a x e <<时,()0f x '<,()f x 单调递减,所以()f x 的增区间为()0,a ,(),e +∞；减区间为(),a e （2）取{}=min 1,2a δ,则当()0,x δ∈时,102x a -<,ln 0x <,3204a x -> 所以()13ln 2024f x x x a x x a x ⎛⎫⎛⎫=-+->⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；又因为0a e <<,由（1）可知()f x 在(0,)a 上单调递增,因此,当(]0,x a ∈,()0f x >恒成立,即()f x 在(]0,a 上无零点.；下面讨论x a >的情况： ①当04ea <<时,因为()f x 在(,)a e 单调递减,(,)e +∞单调递增,且()0f a >,()1320244e f e e e a e a e e a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-=-< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,()222224*********f e e e a e a e e ⎛⎫⎛⎫=-+-=> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,根据零点存在定理,()f x 有两个不同的零点； ②当4ea =时,由()f x 在(,)a e 单调递减,(,)e +∞单调递增,且()0f e =，此时()f x 有唯一零点e ； ③若4ea e <<,由()f x 在(),a e 单调递减,(),e +∞单调递增,()()04e f x f e e a ⎛⎫≥=-> ⎪⎝⎭, 此时()f x 无零点；综上,若04ea <<,()f x 有两个不同的零点；若4e a =,()f x 有唯一零点e ；若4ea e <<,()f x 无零点（3）证明：由（2）知,04ea <<,且12a x e x <<<,构造函数()()2e F x f x f x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭,(,)x a e ∈, 则()()()()4232ln 1ln 1e e F x x a x a x xx ⎛⎫'=----- ⎪⎝⎭()43243ln 1x ax e ax e x x -+-=-, 令4324()g x x ax e ax e =-+-,(,)x a e ∈,因为当(,)x a e ∈时,220x e ax +->,220x e -<,所以43242222()=()()<0g x x ax e ax e x e ax x e =-+-+--又ln 1ln 10x e -<-=,所以()0F x '>恒成立,即()F x 在(,)a e 单调递增,于是当a x e <<时,()()0F x F e <=,即 ()2e f x f x ⎛⎫< ⎪⎝⎭, 因为1(,)x a e ∈,所()211e f x f x ⎛⎫< ⎪⎝⎭, 又12()()f x f x =,所以()221e f x f x ⎛⎫< ⎪⎝⎭, 因为2x e >,221e e e x e>=,且()f x 在(),e +∞单调递增, 所以由()221e f x f x ⎛⎫< ⎪⎝⎭,可得221e x x <,即212x x e < 【点睛】本题考查利用导数求单调区间,考查利用导数判断函数的零点个数,考查零点存在性定理的应用,考查分类讨论思想和转化思想22．在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的圆心为()0,1，半径为1，现以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.（1）求圆C 的极坐标方程；（2）设M ，N 是圆C 上两个动点，满足2π3MON ∠=，求OM ON +的取值范围. 【答案】（1）2sin ρθ=；（2）⎤⎥⎣⎦. 【分析】（1）根据圆的标准方程，结合极坐标方程与直角坐标方程互化公式进行求解即可；（2）利用辅助角公式进行求解即可.【详解】解：（1）圆C 的圆心为()0,1，半径为1，所以圆的方程为()2211x y +-=，根据222cos sin x y x y ρθρθρ=⎧⎪=⎨⎪+=⎩，转换为极坐标方程为2sin ρθ=.（2）设()1,M ρθ，22,3N πρθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，故122π1sin sin sin sin 23π32OM ON ρρθθθθθ⎛⎫⎛⎫=+=++=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝=⎭+，由于2π0π3θ≤+≤，故0π3θ≤≤，所以ππ2π333θ≤+≤，故sin 3πθ⎤⎛⎫+∈⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦. 23．已知函数()121f x x x =++-.（1）求不等式()2f x ≥的解集；（2）若[]1,0x ∃∈-，使得不等式()3f x a x ≥-成立，求实数a 的最大值.【答案】（1）(]2,0,3⎡⎫-∞+∞⎪⎢⎣⎭；（2）34. 【分析】（1）根据绝对值的性质，分类讨论求解即可；（2）根据已知不等式()3f x a x ≥-成立转化为23x a x-≤-成立，构造函数，利用分式型函数的性质进行求解即可. 【详解】解：（1）()2f x ≥即为1212x x ++-≥，等价为11122x x x ≤-⎧⎨--+-≥⎩或1121122x x x ⎧-<<⎪⎨⎪++-≥⎩或121212x x x ⎧≥⎪⎨⎪++-≥⎩，解得1x ≤-或10-<≤x 或23x ≥，则原不等式的解集为(]2,0,3⎡⎫-∞+∞⎪⎢⎣⎭；（2）[]1,0x ∃∈-，使得不等式()3f x a x ≥-成立，等价为[]1,0x ∃∈-，()1123x x a x ++-≥-即23x a x-≤-成立，设()23x g x x-=-，10x -≤≤，则()113g x x =+-，由433x -≤-≤-，可得2131+334x ≤≤-，即()g x 的最大值为34，所以34a ≤，即a 的取值范围是3,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦.。

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2021届陕西省西安中学高三第一次模拟考试数学（理）试题一、单选题1．设集合{}290A x x =-<，{}B x x N =∈，则A B =( )A ．{}0,1,2,3B ．{}1,2C ．{}0,1,2D ．{}2,1,0,1,2--【答案】C【解析】求出集合A ，与集合B 取交集即得. 【详解】解不等式290x -<，得33x -<<，{}33A x x ∴=-<<.{}B x x N =∈，{}0,1,2A B ∴⋂=.故选：C . 【点睛】本题考查集合的运算，属于基础题.2．已知命题P ：x R ∀∈，sin 1x ≤，则p ⌝为( ) A ．0x R ∃∈，0sin 1x ≥ B ．x R ∀∈，sin 1x ≥ C ．0x R ∃∈，0sin 1x > D ．x R ∀∈，sin 1x >【答案】C【解析】根据全称量词命题的否定是存在量词命题，即得答案. 【详解】全称量词命题的否定是存在量词命题，且命题P ：x R ∀∈，sin 1x ≤，00:,sin 1p x R x ∴⌝∃∈>.故选：C . 【点睛】本题考查含有一个量词的命题的否定，属于基础题.3．已知(,)a bi a b R +∈是11ii +-的共轭复数,则a b +=（） A ．1- B ．12- C ．12 D ．1【答案】A【解析】先利用复数的除法运算法则求出11ii+-的值，再利用共轭复数的定义求出a +bi ，从而确定a ，b 的值，求出a +b ．【详解】()()21(1)21112i i ii i i ++===-+-i ， ∴a +bi ＝﹣i ， ∴a ＝0，b ＝﹣1， ∴a +b ＝﹣1，故选：A ．【点睛】本题主要考查了复数代数形式的乘除运算，考查了共轭复数的概念，是基础题．4．已知双曲线22221x y C a b-=：的一条渐近线与直线350x y -+=垂直，则双曲线C 的离心率等于( )ABCD．【答案】B【解析】由于直线的斜率k 3=,所以一条渐近线的斜率为13k '=-，即13b a =，所以e ==，选B.5．下列函数中，既是奇函数，又是R 上的单调函数的是( ) A ．()()ln 1f x x =+B ．()1f x x -=C ．()()()222,02,0x x x f x x x x ⎧+≥⎪=⎨-+<⎪⎩D ．()()()()2,00,01,02x xx f x x x ⎧<⎪⎪⎪==⎨⎪⎛⎫⎪-> ⎪⎪⎝⎭⎩【答案】C【解析】对选项逐个验证即得答案. 【详解】对于A ，()()()()ln 1ln 1f x x x f x -=-+=+=，()f x ∴是偶函数，故选项A 错误；对于B ，()11x xf x-==，定义域为{}0x x ≠，在R 上不是单调函数，故选项B 错误；对于C ，当0x >时，()()()()()2220,222x f x x x x x x x f x -<∴-=--+-=--=-+=-；当0x <时，()()()()()2220,222x f x x x x x x x f x ->∴-=-+-=-=--+=-；又0x =时，()()000f f -=-=.综上，对x ∈R ，都有()()f x f x -=-，()f x ∴是奇函数.又0x ≥时，()()22211f x x x x =+=+-是开口向上的抛物线，对称轴1x =-，()f x ∴在[)0,+∞上单调递增，()f x 是奇函数，()f x ∴在R 上是单调递增函数，故选项C 正确；对于D ，()f x 在(),0-∞上单调递增，在()0,∞+上单调递增，但()()111122f f -=>=-，()f x ∴在R 上不是单调函数，故选项D 错误. 故选：C . 【点睛】本题考查函数的基本性质，属于基础题.6．若()cos cos2f x x =，则()sin15f ︒=（）A ．12B ．12-C ．D ．【答案】C【解析】由于sin15cos75=，所以()()3sin15cos 75cos150f f ===-，故选C. 7．某调查机构对全国互联网行业进行调查统计，得到整个互联网行业从业者年龄分布饼状图，90后从事互联网行业岗位分布条形图，则下列结论中不正确的是（）注：90后指1990年及以后出生，80后指1980-1989年之间出生，80前指1979年及以前出生.A．互联网行业从业人员中90后占一半以上B．互联网行业中从事技术岗位的人数超过总人数的20%C．互联网行业中从事运营岗位的人数90后比80前多D．互联网行业中从事技术岗位的人数90后比80后多【答案】D【解析】利用整个互联网行业从业者年龄分布饼状图，90后从事互联网行业岗位分布条形图得到，互联网行业中从事技术岗位的人数90后不一定不80后多，即可求解.【详解】在A中，由整个互联网行业从业者年龄分别饼状图得到互联网行业从业人员中90后占56%，所以是正确的；在B中，由整个互联网行业从业者年龄分别饼状图，90后从事互联网行业岗位分布条形图得到：⨯=>，互联网行业从业技术岗位的人数超过总人数的20%，所以是正确的；56%39.6%22.176%20%在C中，由整个互联网行业从业者年龄分别饼状图，90后从事互联网行业岗位分别条形图得到：⨯=，互联网行业从事运营岗位的人数90后比80后多，所以是正确的；13.7%39.6%9.52%在D中，由整个互联网行业从业者年龄分别饼状图，90后从事互联网行业岗位分别条形图得到：互联网行业中从事技术岗位的人数90后不一定不80后多，所以是错误的.故选：D.【点睛】本题主要考查了命题的真假判定，以及统计图表中饼状图和条形图的性质等基础知识的应用，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.8．将4名大学生分配到3个乡镇去当村官，每个乡镇至少一名，则不同的分配方案种数是( )A．18种B．36种C．54种D．72种【答案】B【解析】把4名大学生按人数分成3组，为1人、1人、2人，再把这三组分配到3个乡镇即得.【详解】把4名大学生按人数分成3组，为1人、1人、2人，再把这三组分配到3个乡镇，则不同的分配方案有234336C A =种.故选：B . 【点睛】本题考查排列组合，属于基础题.9．赵爽是我国古代数学家、天文学家，大约在公元222年，赵爽为《周髀算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”（以弦为边长得到的正方形是由4个全等的直角三角形再加上中间的一个小正方形组成的）.类比“赵爽弦图”.可类似地构造如下图所示的图形，它是由3个全等的三角形与中间的一个小等边三角形拼成一个大等边三角形.设22DF AF ==，若在大等边三角形中随机取一点，则此点取自小等边三角形（阴影部分）的概率是（）A ．413B ．1313C ．926D ．31326【答案】A【解析】根据几何概率计算公式，求出中间小三角形区域的面积与大三角形面积的比值即可．【详解】在ABD ∆中，3AD =，1BD =，120ADB ∠=︒，由余弦定理，得222cos12013AB AD BD AD BD =+-⋅︒所以13DF AB =. 所以所求概率为24=1313DEF ABC S S ∆∆=. 故选A. 【点睛】本题考查了几何概型的概率计算问题，是基础题．10．已知椭圆C 的中心为原点O ，(25,0)F -为C 的左焦点，P 为C 上一点，满足||||OP OF =且||4PF =，则椭圆C 的方程为（） A ．221255x y +=B ．2213616x y +=C ．2213010x y += D ．2214525x y += 【答案】B【解析】由题意可得c=25，设右焦点为F ′，由|OP|=|OF|=|OF ′|知， ∠PFF ′=∠FPO ，∠OF ′P=∠OPF ′，所以∠PFF ′+∠OF ′P=∠FPO+∠OPF ′，由∠PFF ′+∠OF ′P+∠FPO+∠OPF ′=180°知， ∠FPO+∠OPF ′=90°，即PF ⊥PF ′．在Rt △PFF ′中，由勾股定理，得|PF ′|=()2222PF 4548FF -=-='，由椭圆定义，得|PF|+|PF ′|=2a=4+8=12，从而a=6，得a 2=36，于是 b 2=a 2﹣c 2=36﹣=16，所以椭圆的方程为2213616x y +=．故选B ．点睛：椭圆的定义：到两定点距离之和为常数的点的轨迹，当和大于两定点间的距离时，轨迹是椭圆，当和等于两定点间的距离时，轨迹是线段（两定点间的连线段），当和小于两定点间的距离时，轨迹不存在． 11．在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，D 是AB 的中点，若1CD =，且1sin 2a b A ⎛⎫-⎪⎝⎭()()sin sin c b C B =+-，则ABC 面积的最大值是( ) A 15 B ．15C 15D 215【答案】A【解析】根据正弦定理可得()()12a b a c b c b ⎛⎫-=+- ⎪⎝⎭，求出cos C ，根据平方关系求出sin C .由2CD CA CB =+两端平方，求ab 的最大值，根据三角形面积公式in 12s S ab C =，求出ABC 面积的最大值. 【详解】ABC 中，()()1sin sin sin 2a b A c b C B ⎛⎫-=+- ⎪⎝⎭，由正弦定理可得()()12a b a c b c b ⎛⎫-=+-⎪⎝⎭，整理得22212c a b ab =+-，由余弦定理2222cos c a b ab C =+-，得()1cos ,0,,sin 44C C C π=∈=. D 是AB 的中点，且1CD =，()()222,2CD CA CB CDCA CB ∴=+∴=+，即22242CD CA CB CA CB =++，即222211542cos 2222b a ba C a b ab ab ab ab =++=++≥+=， 85ab ∴≤，当且仅当a b =时，等号成立.ABC ∴的面积118sin 225S ab C =≤⨯所以ABC . 故选：A . 【点睛】本题考查正、余弦定理、不等式、三角形面积公式和向量的数量积运算，属于中档题.12．已知函数()e x f x x =,关于x 的方程()()()2140(f x m f x m m ++++=∈R)有四个相异的实数根,则m 的取值范围是( )A ．44,e e 1⎛⎫--- ⎪+⎝⎭B ．()4,3--C ．4e ,3e 1⎛⎫--- ⎪+⎝⎭ D ．4e ,e 1∞⎛⎫--- ⎪+⎝⎭【答案】A【解析】()e x f x x ==e ,0e ,0xx x x x x⎧>⎪⎪⎨⎪-<⎪⎩,当0x >时()()()‘2e 10,1,0,1x x f x x x x-===∈时,()f x 单调递减，()1,x ∞∈+时,()f x 单调递增,且当()()()0,1,e,x f x ∞∈∈+时,当()()()1,,e,x f x ∞∞∈+∈+时, 当0x <时，()()2e 10x xf x x-'-=>恒成立，(),0x ∞∈-时,()f x 单调递增且()()0,f x ∞∈+,方程()()()2140(f x m f x m m ++++=∈R)有四个相异的实数根.令()()2,14f x t t m t m =++++=0则()2120,,e 1e 40t e t e m m <<>∴++++<,()201040m m ++++>且,即44,e e 1m ⎛⎫∈---⎪+⎝⎭.二、填空题13．已知2=a ，3b =，a ，b 的夹角为30°，()()2//2a b a b λ++，则()()a b a b λ+⋅-=_________. 【答案】1【解析】由()()2//2a b a b λ++求出λ，代入()()a b a b λ+⋅-，进行数量积的运算即得. 【详解】()()2//2a b a b λ++，∴存在实数k ，使得()22a b k a b λ+=+.,a b 不共线，2,42k kλλ=⎧∴∴=⎨=⎩. 2=a ，3b =，a ，b 的夹角为30°，()()()()22434a b a b a b a b a a b b λ∴+⋅-=+⋅-=+-432cos30431︒=+⨯-⨯=.故答案为：1. 【点睛】本题考查向量共线定理和平面向量数量积的运算，属于基础题.14．我国古代数学名著《九章算术》对立体几何有深入的研究，从其中一些数学用语可见，譬如“憋臑”意指四个面都是直角三角形的三棱锥.某“憋臑”的三视图（图中网格纸上每个小正方形的边长为1）如图所示，已知几何体高为22，则该几何体外接球的表面积为__________．【答案】12π【解析】三视图还原如下图：22,2,2AB BD CD BC ====，由于每个面是直角，显然外接球球心O在AC 的中点.所以3R =，2412S R ππ==，填12π。