四川省泸州市2016届高三一诊数学(文)试题 及答案
2016届高三上学期第一次月考数学（文）试题Word版含答案
2016届高三上学期第一次月考数学（文）试题Word版含答案2016届高三上学期第一次月考数学文试卷考试时间120分钟，满分150分一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合M ＝{x |x ≥0，x ∈R }，N ＝{x |x 2<1，x ∈R }，则M ∩N 等于( ) A ．[0,1] B ．[0,1) C ．(0,1]D ．(0,1)2．已知集合A ＝{1,2}，B ＝{1，a ，b }，则“a ＝2”是“A ?B ”的( ) A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．已知命题p ：所有有理数都是实数；命题q ：正数的对数都是负数，则下列命题中为真命题的是( ) A ．﹁p 或q B ．p 且q C ．﹁p 且﹁qD ．﹁p 或﹁q4．设函数f (x )＝x 2＋1，x ≤1，2x ，x >1，则f (f (3))等于( )A.15B ．3C.23D.1395．函数f (x )＝log 12(x 2－4)的单调递增区间是( )A ．(0，＋∞)B ．(－∞，0)C ．(2，＋∞)D ．(－∞，－2)6．已知函数f (x )为奇函数，且当x >0时，f (x )＝x 2＋1x ，则f (－1)等于( )A ．－2B ．0C ．1D ．27. 如果函数f (x )＝x 2－ax －3在区间(－∞，4]上单调递减，则实数a 满足的条件是( ) A ．a ≥8 B ．a ≤8 C ．a ≥4D ．a ≥－48. 函数f (x )＝a x －2＋1(a >0且a ≠1)的图像必经过点( ) A ．(0,1) B ．(1,1) C ．(2,0)D ．(2,2)9. 函数f (x )＝lg(|x |－1)的大致图像是( )10. 函数f (x )＝2x ＋3x 的零点所在的一个区间是( ) A ．(－2，－1) B ．(－1,0) C ．(0,1)D ．(1,2)11. 设f (x )＝x ln x ，若f ′(x 0)＝2，则x 0的值为( ) A ．e 2B ．eC.ln22D ．ln212. 函数f (x )的定义域是R ，f (0)＝2，对任意x ∈R ，f (x )＋f ′(x )>1，则不等式e x ·f (x )>e x ＋1的解集为( )．A ．{x |x >0}B ．{x |x <0}C ．{x |x <－1或x >1}D ．{x |x <－1或0<1}<="" p="">二、填空题：本大题共4小题，每题5分．13. 已知函数y ＝f (x )及其导函数y ＝f ′(x )的图像如图所示，则曲线y ＝f (x )在点P 处的切线方程是__________．14. 若函数f (x )＝x 2＋ax ＋b 的两个零点是－2和3，则不等式af (－2x )>0的解集是________． 15. 函数y ＝12x 2－ln x 的单调递减区间为________．16. 若方程4－x 2＝k (x －2)＋3有两个不等的实根，则k 的取值范围是________．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17.(10分) 化简：(1)3131421413223b a b a ab b a -(a >0，b >0)；(2)(－278)23-＋(0.002)12-－10(5－2)－1＋(2－3)0.18．(12分)已知函数f (x )＝1a －1(a >0，x >0)，(1)求证(用单调性的定义证明)：f (x )在(0，＋∞)上是增函数； (2)若f (x )在[12，2]上的值域是[12，2]，求a 的值．19．（12分）已知定义在R 上的奇函数f (x )有最小正周期2，且当x ∈(0,1)时，f (x )＝2x4x ＋1.(1)求f (1)和f (－1)的值； (2)求f (x )在[－1,1]上的解析式．20．（12分）已知函数f (x )＝x 2＋2ax ＋3，x ∈[－4,6]． (1)当a ＝－2时，求f (x )的最值；(2)求实数a 的取值范围，使y ＝f (x )在区间[－4,6]上是单调函数；(3)当a ＝1时，求f (|x |)的单调区间． 21．（12分）已知函数f (x )＝x 3＋x －16. (1)求曲线y ＝f (x )在点(2，－6)处的切线的方程；(2)直线l 为曲线y ＝f (x )的切线，且经过原点，求直线l 的方程及切点坐标； 22．（12分）已知函数f (x )＝x 3－3ax －1，a ≠0. (1)求f (x )的单调区间；(2)若f (x )在x ＝－1处取得极值，直线y ＝m 与y ＝f (x )的图像有三个不同的交点，求m 的取值范围．2016届高三上学期第一次月考数学答题卡一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分，每小题有一个正确答案）13、 14、15、 16、三、解答题17.(10分) 化简：(1)131421413223b a b a ab b a -(a >0，b >0)；(2)(－278)23-＋(0.002)12-－10(5－2)－1＋(2－3)0.18．(10分)已知函数f (x )＝1a －1x(a >0，x >0)，(1)求证(用单调性的定义证明)：f (x )在(0，＋∞)上是增函数； (2)若f (x )在[12，2]上的值域是[12，2]，求a 的值．19．（12分）已知定义在R 上的奇函数f (x )有最小正周期2，且当x ∈(0,1)时，f (x )＝2x4x ＋1.(1)求f (1)和f (－1)的值； (2)求f (x )在[－1,1]上的解析式．20．（12分）已知函数f(x)＝x3＋x－16.(1)求曲线y＝f(x)在点(2，－6)处的切线的方程；(2)直线l为曲线y＝f(x)的切线，且经过原点，求直线l的方程及切点坐标；21．（13分）已知函数f(x)＝x2＋2ax＋3，x∈[－4,6]．(1)当a＝－2时，求f(x)的最值；(2)求实数a的取值范围，使y＝f(x)在区间[－4,6]上是单调函数；(3)当a＝1时，求f(|x|)的单调区间．22．（13分）已知函数f(x)＝x3－3ax－1，a≠0.(1)求f(x)的单调区间；(2)若f(x)在x＝－1处取得极值，直线y＝m与y＝f(x)的图像有三个不同的交点，求m的取值范围．2016届高三上学期第一次月考数学文试卷参考答案1．B2.A3.D4.D5.D6.A7.A8.D9.B10.B11.B12.A13. x －y －2＝0 14. {x |－32<1}<="" p="">15. (0,1] 16. (512，34]17. 解 (1)原式＝121311113233211212633311233().a b a b abab ab a b+-++----==(2)原式＝(－278)23-＋(1500)12-－105－2＋1＝(－827)23＋50012－10(5＋2)＋1＝49＋105－105－20＋1＝－1679. 18. (1)证明设x 2>x 1>0，则x 2－x 1>0，x 1x 2>0，∵f (x 2)－f (x 1)＝(1a －1x 2)－(1a －1x 1)＝1x 1－1x 2＝x 2－x 1x 1x 2>0，∴f (x 2)>f (x 1)，∴f (x )在(0，＋∞)上是增函数． (2)解∵f (x )在[12，2]上的值域是[12，2]，又f (x )在[12，2]上单调递增，∴f (12)＝12，f (2)＝2.易得a ＝25.19. 解(1)∵f (x )是周期为2的奇函数，∴f (1)＝f (1－2)＝f (－1)＝－f (1)，∴f (1)＝0，f (－1)＝0. (2)由题意知，f (0)＝0. 当x ∈(－1,0)时，－x ∈(0,1)．由f (x )是奇函数，∴f (x )＝－f (－x )＝－2－x4－x ＋1＝－2x4x ＋1，综上，在[－1, 1]上，f (x )＝2x4x ＋1，x ∈(0，1)，－2x 4x＋1，x ∈(－1，0)，0，x ∈{－1，0，1}.20．解 (1)当a ＝－2时，f (x )＝x 2－4x ＋3＝(x －2)2－1，∵x ∈[－4,6]，∴f (x )在[－4,2]上单调递减，在[2,6]上单调递增，∴f (x )的最小值是f (2)＝－1，又f (－4)＝35，f (6)＝15，故f (x )的最大值是35. (2)∵函数f (x )的图像开口向上，对称轴是x ＝－a ，∴要使f (x )在[－4,6]上是单调函数，应有－a ≤－4或－a ≥6，即a ≤－6或a ≥4. (3)当a ＝1时，f (x )＝x 2＋2x ＋3，∴f (|x |)＝x 2＋2|x |＋3，此时定义域为x ∈[－6,6]，且f (x )＝?x 2＋2x ＋3，x ∈(0，6]，x 2－2x ＋3，x ∈[－6，0]，∴f (|x |)的单调递增区间是(0, 6]，单调递减区间是[－6,0]．21.解 (1)可判定点(2，－6)在曲线y ＝f (x )上．∵f ′(x )＝(x 3＋x －16)′＝3x 2＋1.∴f ′(x )在点(2，－6)处的切线的斜率为k ＝f ′(2)＝13. ∴切线的方程为y ＝13(x －2)＋(－6)，即y ＝13x －32.(2)法一设切点为(x 0，y 0)，则直线l 的斜率为f ′(x 0)＝3x 20＋1，∴直线l 的方程为y ＝(3x 20＋1)(x －x 0)＋x 30＋x 0－16，又∵直线l 过点(0,0)，∴0＝(3x 20＋1)(－x 0)＋x 30＋x 0－16，整理得，x 30＝－8，∴x 0＝－2，∴y 0＝(－2)3＋(－2)－16＝－26，k ＝3×(－2)2＋1＝13. ∴直线l 的方程为y ＝13x ，切点坐标为(－2，－26.) 法二设直线l 的方程为y ＝kx ，切点为(x 0，y 0)，则k＝y0－0x0－0＝x30＋x0－16x0又∵k＝f′(x0)＝3x20＋1，∴x30＋x0－16x0＝3x2＋1，解之得x0＝－2，∴y0＝(－2) 3＋(－2)－16＝－26，k＝3×(－2)2＋1＝13.∴直线l的方程为y＝13x，切点坐标为(－2，－26)．22.解(1)f′(x)＝3x2－3a＝3(x2－a)，当a<0时，对x∈R，有f′(x)>0，∴当a<0时，f(x)的单调增区间为(－∞，＋∞)．当a>0时，由f′(x)>0，解得x<－a或x>a.由f′(x)<0，解得－a<x<a，< p="">∴当a>0时，f(x)的单调增区间为(－∞，－a)，(a，＋∞)，单调减区间为(－a，a)．(2)∵f(x)在x＝－1处取得极值，∴f′(－1)＝3×(－1)2－3a＝0，∴a＝1.∴f(x)＝x3－3x－1，f′(x)＝3x2－3，由f′(x)＝0，解得x1＝－1，x2＝1.由(1)中f(x)的单调性可知，f(x)在x＝－1处取得极大值f(－1)＝1，在x＝1处取得极小值f(1)＝－3.∵直线y＝m与函数y＝f(x)的图像有三个不同的交点，结合如图所示f(x)的图像可知：实数m的取值范围是(－3,1)．</x<a，<>。
四川省泸州市2016-2017学年高三数学一诊试卷(文科)Word版含解析
四川省泸州市2016-2017学年高三一诊试卷（文科数学）一、选择题（每小题5分，共50分．每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．设集合A={x|x2﹣x≤0}，B={0，1，2}，则A∩B=（）A．∅B．{0} C．{0，1} D．{0，1，2}2．复数z=（i是虚数单位），则|z|=（）A．1 B．C．D．23．函数f（x）=sin（x+）图象的一条对称轴方程为（）A．x=﹣B．x=C．x=D．x=π4．某程序框图如图所示，若运行该程序后输出S=（）A．B．C．D．5．某校高三年级共1500人，在某次数学测验后分析学生试卷情况，需从中抽取一个容量为500的样本，按分层抽样，120分以上抽取100人，90～120分抽取250人，则该次测验中90分以下的人数是（）A．600 B．450 C．300 D．1506．若某四面体的三视图是全等的等腰直角三角形，且其直角边的长为6，则该四面体的体积是（）A．108 B．72 C．36 D．97．，为单位向量，且|+2|=，则向量，夹角为（）A．30° B．45° C．60° D．90°8．实数x、y满足，这Z=3x+4y，则Z的取值范围是（）A ．[1，25]B ．[4，25]C ．[1，4]D ．[5，24]9．下列命题正确的是（ ）A ．“b 2=ac”是“a，b ，c 成等比数列”的充要条件B ．“∀x ∈R ，x 2＞0”的否定是“∃x 0∈R ，x 02＞0”C ．“若a=﹣4，则函数f （x ）=ax 2+4x ﹣1只有唯一一个零点”的逆命题为真命题D ．“函数f （x ）=lnx 2与函数g （x ）=的图象相同”10．已知关于x 的方程x 2+（1+a ）x+1+a+b=0（a ，b ∈R ）的两根分别为x 1、x 2，且0＜x 1＜1＜x 2，则的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分）11．计算2lg2+lg25+（）0=______．12．设a 、b 为实数，且a+b=1，则2a +2b 的最小值为______．13．在棱长为2的正方体A 1B 1C 1D 1﹣ABCD 中，则点B 到平面A 1B 1CD 的距离是______．14．设向量=（3cosx ，1），=（5sinx+1，cosx ），且∥，则cos2x=______．15．设数列{a n }，{b n }，{a n +b n }都是等比数列，且满足a 1=b 1=1，a 2=2，则数列{a n +b n }的前n 项和S n =______．三、解答题（共6个小题，共75分）16．信息时代，学生广泛使用手机，从某校学生中随机抽取200名，这200名学生中上课时间和不上时间（1）求上表中m 、n 的值；（2）求该校学生上课时间使用手机的概率．17．在三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，面BB 1C 1C 是边长为2的正方形，点A 1在平面BB 1C 1C 上的射影H 是BC 1的中点，且A 1H=，G 是CC 1的中点．（1）求证：BB 1⊥A 1G ；（2）求C 到平面A 1B 1C 1的距离．18．函数f （x ）=x 3+ax 2+bx+c （a ，b ，c ∈R ）的导函数的图象如图所示：（1）求a ，b 的值并写出f （x ）的单调区间；（2）函数y=f （x ）有三个零点，求c 的取值范围．19．在数列{a n }中，满足点P （a n ，a n+1）是函数f （x ）=3x 图象上的点，且a 1=3．（1）求{a n }的通项公式；（2）若b n =na n ，求数列{b n }的前n 项和S n ．20．设函数f （x ）=x 2+alnx+1（x ＞0）．（1）若f （3）=5，求f （）的值；（2）若x ＞0时，f （x ）≥1成立，求a 的取值范围．21．如图，有一段长为18米的屏风ABCD （其中AB=BC=CD=6米），靠墙l 围成一个四边形，设∠DAB=α．（1）当α=60°，且BC ⊥CD 时，求AD 的长；（2）当BC ∥l ，且AD ＞BC 时，求所围成的等腰梯形ABCD 面积的最大值．四川省泸州市2016-2017学年高三一诊试卷（文科数学）参考答案与试题解析一、选择题（每小题5分，共50分．每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．设集合A={x|x 2﹣x ≤0}，B={0，1，2}，则A∩B=（ ）A ．∅B ．{0}C ．{0，1}D ．{0，1，2}【考点】交集及其运算．【分析】先化简集合A ，再求A∩B．【解答】解：集合A={x|x 2﹣x ≤0}={x|x （x ﹣1）≤0}={x|0≤x ≤1}=[0，1]B={0，1，2}，∴A∩B={0，1}．故选：C ．2．复数z=（i 是虚数单位），则|z|=（ ）A ．1B ．C ．D ．2【考点】复数求模．【分析】分别求出分子、分母的模，即可得出结论．【解答】解：∵复数z=，∴|z|=||==， 故选：B ．3．函数f （x ）=sin （x+）图象的一条对称轴方程为（ ）A ．x=﹣B ．x=C ．x=D ．x=π 【考点】正弦函数的对称性．【分析】由条件利用余弦函数的图象的对称性，求得f （x ）的图象的一条对称轴方程．【解答】解：对于函数f （x ）=sin （x+），令x+=k π+，求得 x=k π+，k ∈Z ，可得它的图象的一条对称轴为 x=， 故选：B ．4．某程序框图如图所示，若运行该程序后输出S=（ ）A．B．C．D．【考点】循环结构．【分析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的S，n的值，当n＞5时退出循环，输出S的值．【解答】解：模拟执行程序框图，可得S=1，n=1不满足条件n＞5，S=1+，n=2不满足条件n＞5，S=1++，n=3不满足条件n＞5，S=1+++，n=4不满足条件n＞5，S=1++++，n=5不满足条件n＞5，S=1+++++，n=6满足条件n＞5，退出循环，输出S的值．由于S=1+++++=．故选：D．5．某校高三年级共1500人，在某次数学测验后分析学生试卷情况，需从中抽取一个容量为500的样本，按分层抽样，120分以上抽取100人，90～120分抽取250人，则该次测验中90分以下的人数是（）A．600 B．450 C．300 D．150【考点】分层抽样方法．【分析】根据从中抽取一个容量为500的样本，按分层抽样，120分以上抽取100人，90～120分抽取250人，即可得出结论．【解答】解：∵从中抽取一个容量为500的样本，按分层抽样，120分以上抽取100人，90～120分抽取250人，∴该次测验中90分以下抽取的人数是500﹣100﹣250=150．∴该次测验中90分以下的人数是150．即抽样比k=，则该次测验中90分以下的人数是1500×=450．故选：B．6．若某四面体的三视图是全等的等腰直角三角形，且其直角边的长为6，则该四面体的体积是（）A．108 B．72 C．36 D．9【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】四面体为边长为6的正方体沿着共点三面的对角线截出的三棱锥．【解答】解：四面体的底面为直角边为6的等腰直角三角形，高为6．∴四面体的体积V==36．故选C．7．，为单位向量，且|+2|=，则向量，夹角为（）A．30° B．45° C．60° D．90°【考点】数量积表示两个向量的夹角．【分析】对|+2|=两边平方，计算出数量积，代入夹角公式计算．【解答】解：∵|+2|=，∴（+2）2=7，即+4+4=7，∵==1，∴=，∴cos＜＞==，∴向量，夹角为60°．故选：C．8．实数x、y满足，这Z=3x+4y，则Z的取值范围是（）A．[1，25] B．[4，25] C．[1，4] D．[5，24]【考点】简单线性规划．【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得答案．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得A（3，﹣2），联立，解得B（3，4），化目标函数Z=3x+4y为y=．由图可知，当直线y=过A时，直线在y轴上的截距最小，Z有最小值为1；当直线y=过B时，直线在y轴上的截距最大，Z有最小值为25．故选：A．9．下列命题正确的是（）A．“b2=ac”是“a，b，c成等比数列”的充要条件B．“∀x∈R，x2＞0”的否定是“∃x0∈R，x2＞0”C．“若a=﹣4，则函数f（x）=ax2+4x﹣1只有唯一一个零点”的逆命题为真命题D．“函数f（x）=lnx2与函数g（x）=的图象相同”【考点】命题的真假判断与应用．【分析】举例说明A错误；直接写出全称命题的否定判断B；举例说明C错误；写出分段函数说明D正确．【解答】解：A错误，如a=0，b=0，c=1满足b2=ac，但a，b，c不成等比数列；B错误，“∀x∈R，x2＞0”的否定是“∃x0∈R，x2≤0”C错误，“若a=﹣4，则函数f（x）=ax2+4x﹣1只有唯一一个零点”的逆命题是：“若函数f（x）=ax2+4x ﹣1只有唯一一个零点，则a=﹣4”，为假命题，比如a=0，f（x）=0的根是；D 正确，函数f （x ）=lnx 2是分段函数，分x ＞0和x ＜0分段可得函数g （x ）=．故选：D ．10．已知关于x 的方程x 2+（1+a ）x+1+a+b=0（a ，b ∈R ）的两根分别为x 1、x 2，且0＜x 1＜1＜x 2，则的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．【考点】简单线性规划的应用．【分析】由方程x 2+（1+a ）x+1+a+b=0的两根满足0＜x 1＜1＜x 2，结合对应二次函数性质得到，然后在平面直角坐标系中，做出满足条件的可行域，分析的几何意义，然后数形结合即可得到结论．【解答】解：由程x 2+（1+a ）x+1+a+b=0的二次项系数为1＞0故函数f （x ）=x 2+（1+a ）x+1+a+b 图象开口方向朝上又∵方程x 2+（1+a ）x+1+a+b=0的两根满足0＜x 1＜1＜x 2则即即其对应的平面区域如下图阴影示：∵=表示阴影区域上一点与原点边线的斜率由图可知∈故答案：二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分）11．计算2lg2+lg25+（）0= 3 ．【考点】对数的运算性质．【分析】直接利用对数运算法则以及有理指数幂的运算法则化简求解即可．【解答】解：2lg2+lg25+（）0=lg4+lg25+1=lg100+1=2+1=3．故答案为：3．12．设a 、b 为实数，且a+b=1，则2a +2b 的最小值为 2 ．【考点】基本不等式．【分析】因为2a 与2b 均大于0，所以直接运用基本不等式求最小值．【解答】解：∵a+b=1，∴，当且仅当2a =2b ，即时“=”成立．所以2a +2b 的最小值为．故答案为．13．在棱长为2的正方体A 1B 1C 1D 1﹣ABCD 中，则点B 到平面A 1B 1CD 的距离是 ．【考点】棱柱的结构特征．【分析】以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DD 1为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出点B 到平面A 1B 1CD 的距离．【解答】解：以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DD 1为z 轴，建立空间直角坐标系，则B （2，2，0），D （0，0，0），A 1（2，0，2），C （0，2，0），=（2，2，0），=（2，0，2），=（0，2，0），设平面A 1B 1CD 的法向量=（x ，y ，z ），则，取x=1，得，∴点B 到平面A 1B 1CD 的距离是：d===．∴点B 到平面A 1B 1CD 的距离是．故答案为：．14．设向量=（3cosx ，1），=（5sinx+1，cosx ），且∥，则cos2x= ．【考点】二倍角的余弦；平面向量共线（平行）的坐标表示．【分析】由条件利用两个向量平行的条件求得sinx 的值，再利用二倍角的余弦公式求得cos2x 的值．【解答】解：∵向量=（3cosx ，1），=（5sinx+1，cosx ），且∥，∴3cos 2x ﹣5sinx ﹣1=0，即 3sin 2x+5sinx+2=0，求得sinx=﹣2（舍去），或 sinx=，则cos2x=1﹣2sin 2x=1﹣2×=，故答案为：．15．设数列{a n }，{b n }，{a n +b n }都是等比数列，且满足a 1=b 1=1，a 2=2，则数列{a n +b n }的前n 项和S n = 2n+1﹣2 ．【考点】等比数列的性质．【分析】由题意，数列{a n +b n }的首项为2，公比为2，利用等比数列的求和公式，即可得出结论．【解答】解：由题意，数列{a n }a 1=1，a 2=2，公比为2，设数列{b n }的公比为q′，{a n +b n }的公比为q ，则2+q′=2q，4+q′2=2q 2，∴q 2﹣4q+4=0∴q=2，∴数列{a n +b n }的首项为2，公比为2，∴S n ==2n+1﹣2．故答案为：2n+1﹣2．三、解答题（共6个小题，共75分）16．信息时代，学生广泛使用手机，从某校学生中随机抽取200名，这200名学生中上课时间和不上时间（1）求上表中m 、n 的值；（2）求该校学生上课时间使用手机的概率．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【分析】（1）根据表格的合计数据计算，（2）求出上课时间使用手机的学生人数，除以数据总数得出频率，利用频率代替概率．【解答】解：（1）m=98﹣23﹣55=20，n=m+17=37．（2）上课时间使用手机的人数为23+55=78．∴该校学生上课时间使用手机的概率P==0.39．17．在三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，面BB 1C 1C 是边长为2的正方形，点A 1在平面BB 1C 1C 上的射影H 是BC 1的中点，且A 1H=，G 是CC 1的中点．（1）求证：BB 1⊥A 1G ；（2）求C 到平面A 1B 1C 1的距离．【考点】直线与平面垂直的性质；点、线、面间的距离计算．【分析】（1）连接GH ，由已知得A 1H ⊥平面BB 1C 1C ，可得A 1H ⊥BB 1，由中位线和条件得BB 1⊥HG ，由线面垂直的判定定理可证结论成立；（2）取B 1C 1的中点E ，连接HE 、A 1E ，由题意和线面垂直的判定定理、定义得B 1C 1⊥A 1E ，求出△A 1B 1C 1的面积，由等体积法求出C 到平面A 1B 1C 1的距离．【解答】证明：（1）如图连接GH ，∵点A 1在平面BB 1C 1C 上的射影H ，∴A 1H ⊥平面BB 1C 1C ，∵BB 1BC ⊂平面BB 1C 1C ，∴A 1H ⊥BB 1，∵H 是BC 1的中点，G 是CC 1的中点，∴HG ∥BC ，由∠B 1BC =90°知，BB 1⊥B C ，∴BB 1⊥HG∵A 1H∩HG =H ，∴BB 1⊥平面A 1HG ，∴BB 1⊥A 1G ；解：（2）取B 1C 1的中点E ，连接HE 、A 1E ，由∠BB 1C 1=90°得，HE ⊥B 1C 1，∵A 1H ⊥平面BB 1C 1C ，∴A 1H ⊥B 1C 1，∵A 1H∩HE =H ，∴B 1C 1⊥平面A 1HE ，∴B 1C 1⊥A 1E ，∵H 是BC 1的中点，E 是B 1C 1的中点，∴HE ∥BB 1，且HE=1，在△A 1HE 中，A 1E==2，∴=•B 1C 1AB•A 1EBC==2，设C 到平面A 1B 1C 1的距离为h ，由=V A 得，×A 1E ×=×h ×，则2×2=h ×2，解得h=，∴C 到平面A 1B 1C 1的距离是．18．函数f （x ）=x 3+ax 2+bx+c （a ，b ，c ∈R ）的导函数的图象如图所示：（1）求a ，b 的值并写出f （x ）的单调区间；（2）函数y=f （x ）有三个零点，求c 的取值范围．【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）求出原函数的图象可知，f'（x ）=0的两个根为﹣1，2，根据根与系数的关系即可求出a ，b 的值，并由图象得到单调区间；（2）求出函数f （x ）的极大值和极小值，由函数f （x ）恰有三个零点，则函数的极大值大于0，且同时满足极小值小于0，联立可求c 的取值范围．【解答】解：（1）∵f （x ）=x 3+ax 2+bx+c ，∴f′（x ）=x 2+2ax+b ，∵f′（x ）=0的两个根为﹣1，2，∴，解得a=﹣，b=﹣2，由导函数的图象可知，当﹣1＜x ＜2时，f′（x ）＜0，函数单调递减，当x ＜﹣1或x ＞2时，f′（x ）＞0，函数单调递增，故函数f （x ）在（﹣∞，﹣1）和（2，+∞）上单调递增，在（﹣1，2）上单调递减．（2）由（1）得f （x ）=x 3﹣x 2﹣2x+c ，函数f （x ）在（﹣∞，﹣1），（2，+∞）上是增函数，在（﹣1，2）上是减函数，∴函数f （x ）的极大值为f （﹣1）=+c ，极小值为f （2）=c ﹣．而函数f （x ）恰有三个零点，故必有，解得：﹣＜c ＜．∴使函数f （x ）恰有三个零点的实数c 的取值范围是（﹣，）19．在数列{a n }中，满足点P （a n ，a n+1）是函数f （x ）=3x 图象上的点，且a 1=3．（1）求{a n }的通项公式；（2）若b n =na n ，求数列{b n }的前n 项和S n ．【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（1）通过将点P （a n ，a n+1）代入函数方程f （x ）=3x 化简可知a n+1=3a n ，进而可知数列{a n }是首项为3、公比为3的等比数列，进而计算可得结论；（2）通过（1）可知b n =n3n ，进而利用错位相减法计算即得结论．【解答】解：（1）∵点P （a n ，a n+1）是函数f （x ）=3x 图象上的点，∴a n+1=3a n ，又∵a 1=3，∴数列{a n }是首项为3、公比为3的等比数列，∴其通项公式a n =3n ；（2）由（1）可知b n =na n =n3n ，∴S n =1×3+2×32+…+n3n ，3S n =1×32+2×33+…+（n ﹣1）3n +n ×3n+1，错位相减得：﹣2S n =3+32+…+3n ﹣n ×3n+1=3×﹣n ×3n+1=×3n+1﹣，∴S n =×3n+1+．20．设函数f （x ）=x 2+alnx+1（x ＞0）．（1）若f （3）=5，求f （）的值；（2）若x ＞0时，f （x ）≥1成立，求a 的取值范围．【考点】函数的值；函数恒成立问题．【分析】（1）由f （3）=5得出aln3=﹣5，再求出f （）的值．（2）alnx≥﹣x2．然后讨论lnx的符号分离参数，转化为求﹣得最大值或最小值问题．【解答】解：（1）∵f（3）=10+aln3=5，∴aln3=﹣5．∴f（）=+aln=﹣aln3==．（2）∵x2+alnx+1≥1，∴alnx≥﹣x2．①若lnx=0，即x=1时，显然上式恒成立．②若lnx＞0，即x＞1时，a≥﹣．令g（x）=﹣．则g′（x）=，∴当1＜x时，g′（x）＞0，当x时，g′（x）＜0，∴当x=时，g（x）取得最大值g（）=﹣2e．∴a≥﹣2e．③若lnx＜0，即0＜x＜1时，a≤﹣，由②讨论可知g（x）在（0，1）上是增函数，且g（x）＞0，∴a≤0．综上，a的取值范围是[﹣2e，0]．21．如图，有一段长为18米的屏风ABCD（其中AB=BC=CD=6米），靠墙l围成一个四边形，设∠DAB=α．（1）当α=60°，且BC⊥CD时，求AD的长；（2）当BC∥l，且AD＞BC时，求所围成的等腰梯形ABCD面积的最大值．【考点】基本不等式在最值问题中的应用．【分析】（1）连接BD，作BO⊥AD，垂足为O，利用三角函数，结合勾股定理，求AD的长；（2）由题意，梯形的高为6sinα，AD=6+12cosα，所围成的等腰梯形ABCD面积S==36sinα（1+cosα），利用导数确定单调性，即可求出所围成的等腰梯形ABCD 面积的最大值．【解答】解：（1）连接BD，作BO⊥AD，垂足为O，则AO=3，BO=3，BD=6，∴OD==3，∴AD=AO+OD=3+3；（2）由题意，梯形的高为6sinα，AD=6+12cosα，∴所围成的等腰梯形ABCD面积S==36sinα（1+cosα），S′=36（2cosα﹣1）（cosα+1），∴0＜α＜，S′＞0，，＜α＜π，S′＜0，∴α=，S取得最大值27．。
2016级高三一诊数学(文)答案
在 (０, 在 (１, ʑ 函数 f( x) １) 上单调递增 , ＋ ¥ ) 上单调递减������
易知 , 当bɤ０ 时 , 不合题意������ h( x) ＞０, ʑ b＞０ ������ １ x , ) 又h ᶄ( x) ＝ － b x e h ᶄ( １ ＝１－ b e ������ x ① 当bȡ
������������������８ 分 ������������������１ ０分
x x x ( ) (x－１) a x e －e a x－e ( 解: 由题意 , 知f ２ １． Ⅰ) ᶄ( x) ＝－ － ＋ a＝ ������ ２ x x x２ x 有a ȵ 当 a＜０, x＞０ 时 , x－e ＜０ ������
３ a b c． ３
ʑ２ b c c o s A＝ ȵA ＝
( Ⅱ) ȵ a＝ ３,
π , ʑ a＝２ ３ c o s A ＝ ３． ３
３ a b c． ３
������������������２ 分 ������������������４ 分 ������������������６ 分 ������������������８ 分 ������������������９ 分 ������������������１ ０分 ������������������１ ２分
１ x ( , 由题意, 当a＝ 不等式f( 时恒成立������ Ⅱ) １时, x) ＋( b x－ b＋ ) e－ xȡ ０在xɪ( １ ＋¥ ) x
x ) 整理 , 得l 上恒成立������ n x－ b( x－１ e ɤ０ 在 ( １, ＋ ¥) x ) 令 h( x) ＝ l n x－ b( x－１ e ������
－ － ^ ^＝ a b x＝２ １ ������ ５－０ ������ ２ˑ６ ３＝８ ������ ９ ������ y－ ^＝０ 故所求线性回归方程为 y ������ ２ x＋８ ������ ９ ������
四川泸州市届高三第一次教学质量诊断性考试语文试题及答案 人教版高三总复习
四川泸州市届高三第一次教学质量诊断性考试语文试题及答案人教版高三总复习泸州市高2016级第一次教学质量诊断性考试高三语文试题本试卷共22题，共150分，共8页。
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一、现代文阅读（36分）（一）论述类文本阅读（本题共3小题，9分）阅读下面文字，完成1～3题。
经典是说不尽的。
对于经典，人们总要追问，何谓经典？哪些是经典？经典是怎样确立的？又是什么时候被确认的？这些，自然是见仁见智了。
在关于经典的多重含义下，我想是指那些真正进入了文化史、文学史，并在文化发展过程中起过重大作用，具有原创性和划时代意义以及永恒艺术魅力的作品。
它们往往是一个时代、一个民族历史文化完美的体现，按先哲的说法，它们是“不可企及的高峰”。
当然，这不是说它们在社会认识和艺术表现上已经达到了顶峰，只是因为经典名著往往标志着文化艺术发展到了一个时代的最高表现力，而作家又以完美的艺术语言和形式把身处的现实，以其特有的情感体验深深镌刻在文化艺术的纪念碑上，而当这个时代一去不复返，其完美的艺术表达和他的情感意识、体验以至他们对现实认识的独特视角，却永恒存在而不可能被取代、重复和超越。
经典作品是一个民族的“心灵史书”。
我们不妨拿出几部人们再熟悉不过的经典小说文本，说明它们是如何从不同题材和类型共同叙写我们民族心灵史的。
比如，《三国演义》并非如有的学者所说是一部“权谋书”。
相反，它除了给人以阅读的愉悦和历史启迪以外，更是一首宏大的英雄史诗。
它弘扬的是：民心为立国之本，人才为兴邦之本，战略为胜利之本。
2016年普通高等学校招生全国统一考试I卷文科数学(含答案)
2016年普通高等学校招生全国统一考试(课标全国卷Ⅰ)文 数本卷满分150分,考试时间120分钟.第Ⅰ卷(选择题,共60分)一、选择题:本题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.设集合A={1,3,5,7},B={x|2≤x≤5},则A∩B=( ) A.{1,3}B.{3,5}C.{5,7}D.{1,7}2.设(1+2i)(a+i)的实部与虚部相等,其中a 为实数,则a=( ) A.-3B.-2C.2D.33.为美化环境,从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中,余下的2种花种在另一个花坛中,则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是( ) A.13 B.12C.23D.564.△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c.已知a=√5,c=2,cos A=23,则b=( )A.√2B.√3C.2D.35.直线l 经过椭圆的一个顶点和一个焦点,若椭圆中心到l 的距离为其短轴长的14,则该椭圆的离心率为( ) A.13 B.12C.23D.346.将函数y=2sin (2x +π6)的图象向右平移14个周期后,所得图象对应的函数为( ) A.y=2sin (2x +π4)B.y=2sin (2x +π3)C.y=2sin (2x -π4)D.y=2sin (2x -π3)7.如图,某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径.若该几何体的体积是28π3,则它的表面积是( )A.17πB.18πC.20πD.28π8.若a>b>0,0<c<1,则( ) A.log a c<log b cB.log c a<log c bC.a c <b cD.c a >c b9.函数y=2x 2-e |x|在[-2,2]的图象大致为( )10.执行下面的程序框图,如果输入的x=0,y=1,n=1,则输出x,y 的值满足( )A.y=2xB.y=3xC.y=4xD.y=5x11.平面α过正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的顶点A,α∥平面CB 1D 1,α∩平面ABCD=m,α∩平面ABB 1A 1=n,则m,n 所成角的正弦值为( ) A.√32B.√22C.√33D.1312.若函数f(x)=x-13sin 2x+asin x 在(-∞,+∞)单调递增,则a 的取值范围是( ) A.[-1,1]B.[-1,13]C.[-13,13]D.[-1,-13]第Ⅱ卷(非选择题,共90分)本卷包括必考题和选考题两部分.第13~21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22~24题为选考题,考生根据要求作答.二、填空题:本题共4小题,每小题5分.13.设向量a=(x,x+1),b=(1,2),且a⊥b,则x= .14.已知θ是第四象限角,且sin(θ+π4)=35,则tan(θ-π4)= .15.设直线y=x+2a与圆C:x2+y2-2ay-2=0相交于A,B两点,若|AB|=2√3,则圆C的面积为.16.某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料.生产一件产品A需要甲材料1.5 kg,乙材料1 kg,用5个工时;生产一件产品B需要甲材料0.5 kg,乙材料0.3 kg,用3个工时.生产一件产品A的利润为2 100元,生产一件产品B的利润为900元.该企业现有甲材料150 kg,乙材料90 kg,则在不超过600个工时的条件下,生产产品A、产品B的利润之和的最大值为元.三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(本小题满分12分)已知{a n}是公差为3的等差数列,数列{b n}满足b1=1,b2=13,a n b n+1+b n+1=nb n.(Ⅰ)求{a n}的通项公式;(Ⅱ)求{b n}的前n项和.18.(本小题满分12分)如图,已知正三棱锥P-ABC的侧面是直角三角形,PA=6.顶点P在平面ABC内的正投影为点D,D 在平面PAB内的正投影为点E,连结PE并延长交AB于点G.(Ⅰ)证明:G是AB的中点;(Ⅱ)在图中作出点E在平面PAC内的正投影F(说明作法及理由),并求四面体PDEF的体积.19.(本小题满分12分)某公司计划购买1台机器,该种机器使用三年后即被淘汰.机器有一易损零件,在购进机器时,可以额外购买这种零件作为备件,每个200元.在机器使用期间,如果备件不足再购买,则每个500元.现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件,为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数,得下面柱状图:记x表示1台机器在三年使用期内需更换的易损零件数,y表示1台机器在购买易损零件上所需的费用(单位:元),n表示购机的同时购买的易损零件数.(Ⅰ)若n=19,求y与x的函数解析式;(Ⅱ)若要求“需更换的易损零件数不大于n”的频率不小于0.5,求n的最小值;(Ⅲ)假设这100台机器在购机的同时每台都购买19个易损零件,或每台都购买20个易损零件,分别计算这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数,以此作为决策依据,购买1台机器的同时应购买19个还是20个易损零件?20.(本小题满分12分)在直角坐标系xOy中,直线l:y=t(t≠0)交y轴于点M,交抛物线C:y2=2px(p>0)于点P,M关于点P的对称点为N,连结ON并延长交C于点H.;(Ⅰ)求|OH||ON|(Ⅱ)除H以外,直线MH与C是否有其他公共点?说明理由.21.(本小题满分12分)已知函数f(x)=(x-2)e x+a(x-1)2.(Ⅰ)讨论f(x)的单调性;(Ⅱ)若f(x)有两个零点,求a的取值范围.请考生在第22~24题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分. 22.(本小题满分10分)选修4—1:几何证明选讲如图,△OAB 是等腰三角形,∠AOB=120°.以O 为圆心,12OA 为半径作圆. (Ⅰ)证明:直线AB 与☉O 相切;(Ⅱ)点C,D 在☉O 上,且A,B,C,D 四点共圆,证明:AB ∥CD.23.(本小题满分10分)选修4—4:坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中,曲线C 1的参数方程为{x =acost ,y =1+asint (t 为参数,a>0).在以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C 2:ρ=4cos θ. (Ⅰ)说明C 1是哪一种曲线,并将C 1的方程化为极坐标方程;(Ⅱ)直线C 3的极坐标方程为θ=α0,其中α0满足tan α0=2,若曲线C 1与C 2的公共点都在C 3上,求a.24.(本小题满分10分)选修4—5:不等式选讲 已知函数f(x)=|x+1|-|2x-3|. (Ⅰ)画出y=f(x)的图象; (Ⅱ)求不等式|f(x)|>1的解集.2016年普通高等学校招生全国统一考试(课标全国卷Ⅰ)一、选择题1.B ∵A={1,3,5,7},B={x|2≤x≤5},∴A∩B={3,5},故选B.2.A ∵(1+2i)(a+i)=(a -2)+(2a+1)i, ∴a -2=2a+1,解得a=-3,故选A.3.C 从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种有以下选法:(红黄)、(红白)、(红紫)、(黄白)、(黄紫)、(白紫),共6种,其中红色和紫色的花不在同一花坛(亦即黄色和白色的花不在同一花坛)的选法有4种,所以所求事件的概率P=46=23,故选C.4.D 由余弦定理得5=22+b 2-2×2bcos A,∵cos A=23,∴3b 2-8b-3=0,∴b=3(b =-13舍去).故选5.B 如图,|OB|为椭圆中心到l 的距离,则|OA|·|OF|=|AF|·|OB|,即bc=a·b2,所以e=c a =12.故选B.6.D 该函数的周期为π,将其图象向右平移π4个单位后,得到的图象对应的函数为y=2sin [2(x -π4)+π6]=2sin (2x -π3),故选D.7.A 由三视图知该几何体为球去掉了18所剩的几何体(如图),设球的半径为R,则78×43πR 3=28π3,故R=2,从而它的表面积S=78×4πR 2+34×πR 2=17π.故选A.8.B ∵0<c<1,∴当a>b>1时,log a c>log b c,A 项错误; ∵0<c<1,∴y=log c x 在(0,+∞)上单调递减,又a>b>0, ∴log c a<log c b,B 项正确;∵0<c<1,∴函数y=x c在(0,+∞)上单调递增, 又∵a>b>0,∴a c>b c,C 项错误;∵0<c<1,∴y=c x 在(0,+∞)上单调递减, 又∵a>b>0,∴c a<c b ,D 项错误.故选B.9.D 当x=2时,y=8-e 2∈(0,1),排除A,B;易知函数y=2x 2-e |x|为偶函数,当x∈[0,2]时,y=2x 2-e x ,求导得y'=4x-e x,当x=0时,y'<0,当x=2时,y'>0,所以存在x 0∈(0,2),使得y'=0,故选D.10.C 执行程序框图:当n=1时,x=0,y=1,此时02+12≥36不成立;当n=2时,x=12,y=2,此时(12)2+22≥36不成立;当n=3时,x=32,y=6,此时(32)2+62≥36成立,结束循环,输出x 的值为32,y 的值为6,满足y=4x,故选C.11.A 设正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的棱长为a.将正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1补成棱长为2a 的正方体,如图所示.正六边形EFGPQR 所在的平面即为平面α.点A 为这个大正方体的中心,直线GR 为m,直线EP 为n.显然m 与n 所成的角为60°.所以m,n 所成角的正弦值为√32.故选A.12.C f '(x)=1-23cos 2x+acos x=1-23(2cos 2x-1)+acos x=-43cos 2x+acos x+53, f(x)在R 上单调递增,则f '(x)≥0在R 上恒成立,令cos x=t,t∈[-1,1],则-43t 2+at+53≥0在[-1,1]上恒成立,即4t 2-3at-5≤0在[-1,1]上恒成立,令g(t)=4t 2-3at-5,则{g (1)=4-3a -5≤0,g (-1)=4+3a -5≤0,解得-13≤a≤13,故选C.二、填空题 13.答案 -23解析 因为a ⊥b,所以x+2(x+1)=0,解得x=-23.14.答案-43 解析 解法一:∵sin (θ+π4)=√22×(sin θ+cos θ)=35, ∴sin θ+cos θ=3√25①, ∴2sin θcos θ=-725. ∵θ是第四象限角,∴sin θ<0,cos θ>0,∴sin θ-cos θ=-√1-2sinθcosθ=-4√25②, 由①②得sin θ=-√210,cos θ=7√210,∴tan θ=-17, ∴tan (θ-π4)=tanθ-11+tanθ=-43.解法二:∵(θ+π4)+(π4-θ)=π2,∴sin (θ+π4)=cos (π4-θ)=35,又2kπ-π2<θ<2kπ,k∈Z,∴2kπ-π4<θ+π4<2kπ+π4,k ∈Z, ∴cos (θ+π4)=45,∴sin (π4-θ)=45, ∴tan (π4-θ)=sin(π4-θ)cos(π4-θ)=43, ∴tan (θ-π4)=-tan (π4-θ)=-43. 15.答案 4π解析 把圆C 的方程化为x 2+(y-a)2=2+a 2,则圆心为(0,a),半径r=√a 2+2.圆心到直线x-y+2a=0的距离d=√2.由r 2=d 2+(|AB |2)2,得a 2+2=a 22+3,解得a 2=2,则r 2=4,所以圆的面积S=πr 2=4π. 16.答案 216 000解析 设生产产品A x 件,生产产品B y 件,利润之和为z 元,则z=2 100x+900y.根据题意得{ 1.5x +0.5y ≤150,x +0.3y ≤90,5x +3y ≤600,x ,y ∈N ,即{ 3x +y ≤300,10x +3y ≤900,5x +3y ≤600,x ,y ∈N ,作出可行域(如图).由{10x +3y =900,5x +3y =600得{x =60,y =100. 当直线2 100x+900y-z=0过点A(60,100)时,z 取得最大值,z max =2 100×60+900×100=216 000. 故所求的最大值为216 000元.三、解答题17.解析 (Ⅰ)由已知,a 1b 2+b 2=b 1,b 1=1,b 2=13,得a 1=2,(3分) 所以数列{a n }是首项为2,公差为3的等差数列,通项公式为a n =3n-1.(5分)(Ⅱ)由(Ⅰ)和a n b n+1+b n+1=nb n 得b n+1=bn 3,(7分) 因此{b n }是首项为1,公比为13的等比数列.(9分)记{b n }的前n 项和为S n ,则S n =1-(13)n1-13=32-12×3n -1.(12分)18.解析 (Ⅰ)证明:因为P 在平面ABC 内的正投影为D,所以AB ⊥PD.因为D 在平面PAB 内的正投影为E,所以AB ⊥DE.(2分)又PD∩DE=D,所以AB ⊥平面PED,故AB ⊥PG.又由已知可得,PA=PB,从而G 是AB 的中点.(4分)(Ⅱ)在平面PAB 内,过点E 作PB 的平行线交PA 于点F,F 即为E 在平面PAC 内的正投影.(5分)理由如下:由已知可得PB ⊥PA,PB ⊥PC,又EF ∥PB,所以EF ⊥PA,EF ⊥PC,又PA∩PC=P,因此EF ⊥平面PAC,即点F 为E 在平面PAC 内的正投影.(7分)连结CG,因为P 在平面ABC 内的正投影为D,所以D 是正三角形ABC 的中心,由(Ⅰ)知,G 是AB的中点,所以D 在CG 上,故CD=23CG.(9分)由题设可得PC ⊥平面PAB,DE ⊥平面PAB,所以DE ∥PC,因此PE=23PG,DE=13PC. 由已知,正三棱锥的侧面是直角三角形且PA=6,可得DE=2,PE=2√2.在等腰直角三角形EFP 中,可得EF=PF=2,(11分)所以四面体PDEF 的体积V=13×12×2×2×2=43.(12分)19.解析 (Ⅰ)当x≤19时,y=3 800;当x>19时,y=3 800+500(x-19)=500x-5 700,所以y 与x 的函数解析式为y={3 800, x ≤19,500x -5 700,x >19(x ∈N).(4分) (Ⅱ)由柱状图知,需更换的零件数不大于18的频率为0.46,不大于19的频率为0.7,故n 的最小值为19.(5分)(Ⅲ)若每台机器在购机同时都购买19个易损零件,则这100台机器中有70台在购买易损零件上的费用为3 800元,20台的费用为4 300元,10台的费用为4 800元,因此这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数为1100(3 800×70+4 300×20+4 800×10)=4 000(元).(7分)若每台机器在购机同时都购买20个易损零件,则这100台机器中有90台在购买易损零件上的费用为4 000元,10台的费用为4 500元,因此这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数为1100(4 000×90+4 500×10)=4 050(元).(10分)比较两个平均数可知,购买1台机器的同时应购买19个易损零件.(12分)20.解析 (Ⅰ)由已知得M(0,t),P (t 22p ,t).(1分)又N 为M 关于点P 的对称点,故N (t 2p ,t),ON 的方程为y=p t x,代入y 2=2px 整理得px 2-2t 2x=0,解得x1=0,x2=2t 2p.因此H(2t 2p,2t).(4分)所以N为OH的中点,即|OH||ON|=2.(6分)(Ⅱ)直线MH与C除H以外没有其他公共点.(7分) 理由如下:直线MH的方程为y-t=p2t x,即x=2tp(y-t).(9分)代入y2=2px得y2-4ty+4t2=0,解得y1=y2=2t,即直线MH与C只有一个公共点,所以除H以外直线MH与C没有其他公共点.(12分)21.解析(Ⅰ)f '(x)=(x-1)e x+2a(x-1)=(x-1)(e x+2a).(i)设a≥0,则当x∈(-∞,1)时, f '(x)<0;当x∈(1,+∞)时, f '(x)>0.所以f(x)在(-∞,1)单调递减,在(1,+∞)单调递增.(2分)(ii)设a<0,由f '(x)=0得x=1或x=ln(-2a).①若a=-e2,则f '(x)=(x-1)(e x-e),所以f(x)在(-∞,+∞)单调递增.②若a>-e2,则ln(-2a)<1,故当x∈(-∞,ln(-2a))∪(1,+∞)时, f '(x)>0;当x∈(ln(-2a),1)时, f '(x)<0.所以f(x)在(-∞,ln(-2a)),(1,+∞)单调递增,在(ln(-2a),1)单调递减.(4分)③若a<-e2,则ln(-2a)>1,故当x∈(-∞,1)∪(ln(-2a),+∞)时, f '(x)>0;当x∈(1,ln(-2a))时, f '(x)<0.所以f(x)在(-∞,1),(ln(-2a),+∞)单调递增,在(1,ln(-2a))单调递减.(6分)(Ⅱ)(i)设a>0,则由(Ⅰ)知, f(x)在(-∞,1)单调递减,在(1,+∞)单调递增.又f(1)=-e, f(2)=a,取b满足b<0且b<ln a2,则f(b)>a2(b-2)+a(b-1)2=a(b2-32b)>0,所以f(x)有两个零点.(8分)(ii)设a=0,则f(x)=(x-2)e x,所以f(x)只有一个零点.(9分)(iii)设a<0,若a≥-e 2,则由(Ⅰ)知, f(x)在(1,+∞)单调递增,又当x≤1时f(x)<0,故f(x)不存在两个零点;(10分)若a<-e 2,则由(Ⅰ)知, f(x)在(1,ln(-2a))单调递减,在(ln(-2a),+∞)单调递增,又当x≤1时f(x)<0,故f(x)不存在两个零点.(11分)综上,a 的取值范围为(0,+∞).(12分)22.证明 (Ⅰ)设E 是AB 的中点,连结OE.因为OA=OB,∠AOB=120°,所以OE ⊥AB,∠AOE=60°.(2分)在Rt △AOE 中,OE=12AO,即O 到直线AB 的距离等于☉O 半径,所以直线AB 与☉O 相切.(5分)(Ⅱ)因为OA=2OD,所以O 不是A,B,C,D 四点所在圆的圆心.设O'是A,B,C,D 四点所在圆的圆心,作直线OO'.(7分)由已知得O 在线段AB 的垂直平分线上,又O'在线段AB 的垂直平分线上,所以OO'⊥AB. 同理可证,OO'⊥CD.所以AB ∥CD.(10分)23.解析 (Ⅰ)消去参数t 得到C 1的普通方程:x 2+(y-1)2=a 2.C 1是以(0,1)为圆心,a 为半径的圆.(2分)将x=ρcos θ,y=ρsin θ代入C 1的普通方程中,得到C 1的极坐标方程为ρ2-2ρsin θ+1-a 2=0.(4分)(Ⅱ)曲线C 1,C 2的公共点的极坐标满足方程组{ρ2-2ρsinθ+1-a 2=0,ρ=4cosθ.(6分) 若ρ≠0,由方程组得16cos 2θ-8sin θcos θ+1-a 2=0,(8分)由已知tan θ=2,可得16cos 2θ-8sin θcos θ=0,从而1-a 2=0,解得a=-1(舍去)或a=1.a=1时,极点也为C 1,C 2的公共点,在C 3上.所以a=1.(10分)24.解析(Ⅰ)f(x)={x-4,x≤-1,3x-2,-1<x≤32,-x+4,x>32,(4分)y=f(x)的图象如图所示.(6分)(Ⅱ)由f(x)的表达式及图象知,当f(x)=1时,可得x=1或x=3;当f(x)=-1时,可得x=13或x=5,(8分)故f(x)>1的解集为{x|1<x<3}; f(x)<-1的解集为{x|x<13或x>5}.(9分)所以|f(x)|>1的解集为{x|x<13或1<x<3或x>5}.(10分)。
四川省泸州市高2016级（2019届）高三年级第三次教学质量诊断性考试数学（文科）试卷（解析版）
四川省泸州市⾼2016级（2019届）⾼三年级第三次教学质量诊断性考试数学（⽂科）试卷（解析版）2019年四川省泸州市⾼考数学三诊试卷（⽂科）⼀、选择题（本⼤题共12⼩题，共60.0分）1.设集合A={x|x-1＞0}，B={y|y=2x}，则A∩B=（）A. B. C. D.2.已知复数z满⾜，则|z|的值为（）A. B. C. D. 23.若m，n∈R，则“m-n=0”是“”成⽴的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件4.等差数列{a n}的前n项和为S n，若a1=3，S5=35，则数列{a n}的公差为（）A. B. 2 C. 4 D. 75.双曲线=1（a＞0，b＞0）的离⼼率为，则其渐近线⽅程为（）A. B. C. D.6.已知某⾼中的⼀次测验中，甲⼄两个班的九科平均分的雷达图如图所⽰，则下列判断错误的是（）A. 甲班的政治、历史、地理平均分强于⼄班B. 甲班的物理、化学、⽣物平均分低于⼄班C. 学科平均分分差最⼩的是语⽂学科D. 学科平均分分差最⼤的是英语学科7.已知等⽐数列{a n}的前n项和为S n，若a1=1，且公⽐为2，则S n与a n的关系正确的是（）A. B. C. D.8.某⼏何体的三视图如图所⽰，则该⼏何体的体积是（）A. B. C. D.9.将函数的图象向左平移m（m＞0）个单位长度后，得到的图象关于坐标原点对称，则m的最⼩值为（）A. B. C. D.10.已知F是抛物线C：y2=4x的焦点，过C上⼀点M作其准线的垂线，垂⾜为N，若∠NMF=120°，则|MF|=（）A. B. C. D.11.已知函数f（x）=x-[x]，其中[x]表⽰不超过x的最⼤正整数，则下列结论正确的是（）A. 的值域是B. 是奇函数C. 是周期函数D. 是增函数12.已知圆锥SO1的顶点和底⾯圆周均在球O的球⾯上，且该圆锥的⾼为8，母线SA=12，点B在SA上，且SB=3BA，则过点B的平⾯被该球O截得的截⾯⾯积的最⼩值为（）A. B. C. D.⼆、填空题（本⼤题共4⼩题，共20.0分）13.已知向量=（1，2），=（2，k），若⊥，则k=______．14.已知实数x，y满⾜约束条件，则的最⼩值为______．15.设函数f（x）=，则f（-2）+f（log212）=______．16.已知圆x2+y2=1的圆⼼为O，点P是直线l：mx-3y+3m-2=0上的动点，若该圆上存在点Q使得∠QPO=30°，则实数m的最⼤值为______三、解答题（本⼤题共7⼩题，共70.0分）17.在三⾓形ABC中，⾓A，B，C的对边分别为a，b，c，若．（Ⅰ）求⾓A（Ⅱ）若，，求b．18.如表是某公司2018年5～12⽉份研发费⽤（百万元）和产品销量（万台）的具体数据：间的相关性强弱程度（Ⅱ）求出y与x的线性回归⽅程（系数精确到0.01），并估计当研发费⽤为20（百万元）时该产品的销量参考数据：，，，参照公式：相关系数r=，其回归直线=x中的=19.如图，四棱锥E-ABCD中，平⾯ABCD⊥平⾯BCE，若∠，四边形ABCD是平⾏四边形，且AE⊥BD．（Ⅰ）求证：四边形ABCD是菱形；（Ⅱ）若点F在线段AE上，且EC∥平⾯BDF，∠BCD=60°，BC=CE=2，求三棱锥F-BDE的体积．20.已知定圆M：（x+1）2+y2=8，动圆N过点F（1，0）且与圆M相切，记动圆圆⼼N的轨迹为C．（Ⅰ）求轨迹C的⽅程（Ⅱ）若轨迹C上存在两个不同点A，B关于直线对称，求△AOB⾯积的最⼤值（O为坐标原点）．21.已知函数f（x）=（2-x）e x+ax．（Ⅰ）已知x=2是f（x）的⼀个极值点，求曲线f（x）在（0，f（0））处的切线⽅程；（Ⅱ）讨论关于x的⽅程f（x）=a ln x只有⼀个实数根，求a的取值范围．22.在平⾯直⾓坐标系xOy中，已知点，，曲线：为参数．以原点为极点，x轴正半轴建⽴极坐标系，直线l的极坐标⽅程为．（Ⅰ）判断点P与直线l的位置关系并说明理由；（Ⅱ）设直线与曲线C的两个交点分别为A，B，求的值．23.已知a＞0，b＞0，函数f（x）=|x+a|+|2x-b|的最⼩值为1．（1）求证：2a+b=2；（2）若a+2b≥tab恒成⽴，求实数t的最⼤值．答案和解析1.【答案】D【解析】解：A={x|x＞1}，B={y|y＞0}；故选：D．可求出集合A，B，然后进⾏交集的运算即可．考查描述法、区间的定义，指数函数的值域，以及交集的运算．2.【答案】C【解析】解：由，得z=，则|z|=||=．故选：C．把已知等式变形，再由商的模等于模的商求解．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础题．3.【答案】B【解析】解：由得n=m，即m-n=0，即必要性成⽴，反之当m=0时，满⾜m-n=0但不成⽴，即“m-n=0”是“”成⽴的必要不充分条件，故选：B．根据充分条件和必要条件的定义进⾏判断即可．本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合充分条件和必要条件的定义是解决本题的关键．⽐较基础．4.【答案】B【解析】解：∵a1=3，S5=35，∴5×3+=35，解得d=2．故选：B．利⽤等差数列的求和公式即可得出．本题考查了等差数列的求和公式，考查了推理能⼒与计算能⼒，属于中档题．5.【答案】A【解析】解：∵双曲线的离⼼率为e==，即双曲线的渐近线⽅程为y=±x=±x，故选：A．根据双曲线离⼼率的定义求出a，c的关系，结合双曲线a，b，c的关系进⾏求解即可．本题主要考查双曲线渐近线的求解，结合双曲线离⼼率的定义以及渐近线的⽅程是解决本题的关键．6.【答案】C【解析】解：由雷达图可知：选项A、B、D均正确，⼜由图可知学科平均分分差最⼩的是地理学科，即C错误，故选：C．先对图表信息的分析、处理，再结合简单的合情推理逐⼀检验即可得解．本题考查了对图表信息的分析及简单的合情推理，属中档题．7.【答案】D【解析】解：因为数列{a n}是等⽐数列，且a1=1，公⽐为2，所以S n===2n-1=2×2n-1-1=2a n-1．故选：D．根据等⽐数列的前n项和公式将S n表⽰成a n的算式即可．本题考查了等⽐数列的前n 项和以及等⽐数列的通项公式，属于基础题．8.【答案】A【解析】解：由已知中的三视图可得该⼏何体为⼀个圆柱挖去⼀个四棱柱所得的组合体，圆柱的底⾯半径为2，棱柱的底⾯棱长为2，两个柱体的⾼均为4，故组合体的体积V=（π?22-2×2）×4=16π-16，故选：A．由已知中的三视图可得该⼏何体为⼀个圆柱挖去⼀个四棱柱所得的组合体，代⼊柱体体积公式，可得答案．本题考查的知识点是棱柱的体积和表⾯积，圆柱的体积和表⾯积，简单⼏何体的三视图，难度中档．9.【答案】B【解析】解：将函数=cos（x+）的图象向左平移m（m＞0）个单位长度后，可得y=cos（x+m+）的图象，根据到的图象关于坐标原点对称，可得m+=kπ+，求得m=kπ+，k∈Z，则m的最⼩值为，利⽤函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，三⾓函数的图象的对称性，求得m 的最⼩值．本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，三⾓函数的图象的对称性，属于基础题．10.【答案】C【解析】解：∵F是抛物线C：y2=4x的焦点（1，0），过C上⼀点M作其准线的垂线，垂⾜为N，若∠NMF=120°，|MF|=|MN|，∠NFO=30°，∴DF=2，∴|NF|=，解得|MF|==．故选：C．利⽤抛物线定义，结合已知条件，求出NF，然后求解|MF|即可．本题考查了抛物线的定义标准⽅程及其性质、三⾓形的解法，考查了推理能⼒与计算能⼒，属于中档题．11.【答案】C【解析】解：由[x]表⽰不超过x的最⼤整数，对于A，函数f（x）=x-[x]∈[0，1），A错误；对于B，函数f（x）=x-[x]为⾮奇⾮偶的函数，B错误；对于C，函数f（x）=x-[x]是周期为1的周期函数，C正确；对于D，函数f（x）=x-[x]在区间[0，1）上为增函数，但整个定义域为不具备单调性，D错误．故选：C．根据[x]表⽰不超过x的最⼤整数，分别判断函数f（x）=x-[x]的值域、奇偶性、周期性、单调性，即可得出结论．本题考查了函数的值域、单调性、奇偶性和周期性应⽤问题，正确理解新定义是解题的关键．12.【答案】A【解析】解：设球半径为R，如图，SO交AM于点M，则SM=8，OA=R，AM==4，由勾股定理得：OA2=OM2+AM2，∴R2=（R-8）2+（4）2，解得R=9．取AS中点N，则BN=3，ON==3，∴OB==3，∴当截⾯圆最⼩时，OC=R=9，截⾯圆半径r=BC==3，∴过点B的平⾯被该球O截得的截⾯⾯积的最⼩值为：S min=π×r2=27π．故选：A．设球半径为R，SO交AM于点M，则SM=8，OA=R，AM=4，由勾股定理得R=9．取AS中点N，则BN=3，ON=3，从⽽OB=3，当截⾯圆最⼩时，OC=R=9，截⾯圆半径r=BC==3，由此能求出过点B的平⾯被该球O截得的截⾯⾯积的最⼩值．本题考查截⾯⾯积的最⼩值的求法，考查空间中线线、线⾯、⾯⾯间的位置关系等基础知识，考查运算求解能⼒，是中档题．13.【答案】-1【解析】解：∵=（1，2），=（2，k），且，故=2+2k=0，解得k=-1，故答案为：-1本题考查向量垂直的充要条件，属基础题．14.【答案】【解析】解：，则k得⼏何意义为过原点得直线得斜率，作出不等式组对应得平⾯区域如图：则由图象可知OA的斜率最⼩，由，解得A（2，1），则OA得斜率k=，故答案为：．作出不等式组对应得平⾯区域，利⽤的⼏何意义即可得到结论．本题主要考查直线斜率的计算，以及线性规划得应⽤，根据z的⼏何意义，利⽤数形结合是解决本题的关键．15.【答案】9【解析】解：由函数f（x）=，可得f（-2）+f（log 212）=（1+log24 ）+=（1+2）+=3+6=9，故答案为：9．由条件利⽤指数函数、对数函数的运算性质，求得f（-2）+f（log212）的值．本题主要考查分段函数的应⽤，指数函数、对数函数的运算性质，求函数的值，属于基础题．16.【答案】4【解析】解：直线l的⽅程可化为（x+3）m-（y+2）=0，令，得，即直线l过定点（-3，-2），因为该圆上存在点Q使得∠QPO=30°，故，即OP≥2，所以OP=≤2，解得，故填：4若该圆上存在点Q使得∠QPO=30°，则sin∠QPO≥sin30°，根据圆⼼到直线的距离公式得，O到直线的距离d≤2，即可得到m 的范围．本题考查了点到直线的距离公式，直线与圆的位置关系，圆和直线上的动点问题等，属于基础题．17.【答案】解：（Ⅰ）在三⾓形ABC中，由余弦定理可得a2=b2+c2-2bc cos A，∵，∴2bc cos A=bc sin A，∴tan A=，∵0＜A＜π，∴A=，（Ⅱ）∵cos B=，∴sin B=，∵sin C=sin（A+B）=sin A cos B+cos A sin B=，由正弦定理可得b=?sin B=8．（Ⅰ）由余弦定理可得a2=b2+c2-2bccosA，即可求出A，（Ⅱ）根据同⾓的三⾓函数的关系和两⾓和的正弦公式和正弦定理即可求出．本题考查了正弦余弦定理的应⽤，考查了运算能⼒和转化能⼒，属于基础题．18.【答案】解：（Ⅰ）∵，，∴r===，∴y与x之间具有较强的相关关系；（Ⅱ）∵==，∴，∴．当x=20时，．∴当研发费⽤为20（百万元）时该产品的销量为5.12万台．【解析】（Ⅰ）由已知求得与，代⼊相关系数公式求r值，则答案可求；（Ⅱ）求出与的值，得到线性回归⽅程，取x=20求得y值，则答案可求．本题考查线性回归⽅程与相关系数的求法，考查计算能⼒，是中档题．19.【答案】（Ⅰ）证明：连接AC，∵∠，∴BC⊥CE，∵平⾯ABCD⊥平⾯BCE，∴EC⊥平⾯ABCD，则EC⊥BD，∵AE⊥BD，且AE∩EC=E，∴BD⊥平⾯AEC，∴BD⊥AC，∵四边形ABCD为平⾏四边形，∴四边形ABCD是菱形；（Ⅱ）解：设AC与BD的交点为O，∵EC∥平⾯BDF，平⾯AEC∩平⾯BDF=OF，∴FO∥EC，∵O是AC的中点，∴F是AE的中点，∴FO⊥平⾯ABCD，∵∠BCD=60°，BC=CE=2，∴三棱锥F-BDE的体积为：V F-BDE=V E-ABCD-V E-BCD-V F-ABD=．【解析】（Ⅰ）连接AC，由已知得BC⊥CE，再由平⾯ABCD⊥平⾯BCE结合⾯⾯垂直的性质可得EC⊥平⾯ABCD，得到EC⊥BD，⼜AE⊥BD，可得BD⊥平⾯AEC，从⽽得到BD⊥AC，结合四边形ABCD为平⾏四边形，可得四边形ABCD是菱形；（Ⅱ）设AC与BD的交点为O，证明F是AE的中点，再证明FO⊥平⾯ABCD，然后利⽤V F-BDE=V E-ABCD-V E-BCD-V F-ABD求解．本题考查空间中直线与直线、直线与平⾯位置关系的判定及应⽤，考查空间想象能⼒与思维能⼒，训练了利⽤等积法求多⾯体的体积，是中档题．20.【答案】解：（I）由题意可得：|NM|+|NF|=2＞|MF|=2，∴动圆圆⼼N的轨迹C是以点M（-1，0）和F（1，0）为焦点，长轴长为2的椭圆．设椭圆的标准⽅程为：+=1，（a＞b＞0）．∴2=2a，c=1，b2=a2-c2．解得a=，c=1，b2=1．∴椭圆的标准⽅程为：+y2=1．（II）由题意可知m≠0，可设直线AB的⽅程为：y=-x+n，A（x1，y1），B（x2，y2）．联⽴，化为：（+）x2-x+n2-1=0．由直线与椭圆相交于不同的两点，∴△=-4（+）（n2-1）＞0．∴x1+x2=，∴线段AB的中点（，），代⼊直线的⽅程可得：n=-，代⼊△＞0，可得：m＜-，或m＞．两t=∈（-，0）∪（0，）．则|AB|=?，点O到直线AB的距离d=．则△AOB的⾯积S（t）=d|AB|=≤，当且仅当t2=时取等号．∴S（t）的最⼤值为：．【解析】（I）由题意可得：|NM|+|NF|=2＞|MF|=2，∴动圆圆⼼N的轨迹C是以点M （-1，0）和F（1，0）为焦点，长轴长为2的椭圆．（II）由题意可知m≠0，可设直线AB的⽅程为：y=-x+n，A（x1，y1），B（x2，y2）．与椭圆⽅程联⽴化为：（+）x2-x+n2-1=0．由直线与椭圆相交于不同的两点，可得△＞0．利⽤根与系数的关系、弦长公式、点到直线的距离公式即可得出三⾓形⾯积计算公式，再利⽤⼆次函数的单调性即可得出．本题考查了椭圆的标准⽅程及其性质、⼀元⼆次⽅程的根与系数的关系弦长公式、点到直线的距离公式、三⾓形⾯积计算公式、⼆次函数的单调性，考查了推理能⼒与计算能⼒，属于难题．21.【答案】解：（Ⅰ）函数的导数f′（x）=-e x+（2-x）e x+a=（1-x）e x+a．∵x=2是f（x）的⼀个极值点，∴f′（2）=0，得-e2+a=0得a=e2，∵f（0）=2，f′（0）=1+e2，∴线f（x）在（0，2）处的切线⽅程⽅程为y-2=（1+e2）x，即y=（1+e2）x+2．（Ⅱ）∵f（x）=a ln x得（2-x）e x+ax=a ln x，即（x-2）e x+a ln x-ax=0，则（x-2）e x=-a（ln x-x），设g（x）=ln x-x，x＞0，则g′（x）=-1，（x＞0），则g（x）在（0，1）上是增函数，则（1，+∞）上是减函数，则g（x）＜g（1）=-1＜0，∴a=h（x）=，则h′（x）=，设m（x）=x+-ln x-1，则m′（x）=1--=，则m（x）在（0，2）上是减函数，在（2，+∞）上是增函数，∴m（x）＞m（2）=2-ln2＞0，∴当0＜x＜1时，h′（x）＜0，h（x）在（0，1）上是减函数，当x＞1时，h′（x）＞0，函数h（x）在（1，+∞）上是增函数，∵0＜x＜1时，h（x）＜0，h（1）=-e，h（2）=0，∴当a=-e或a≥0时，⽅程有1个实根，【解析】（Ⅰ）求函数的导数，利⽤x=2是f（x）的⼀个极值点，得f′（2）=0建⽴⽅程求出a的值，结合导数的⼏何意义进⾏求解即可．（Ⅱ）利⽤参数法分离法得到a=h（x）=，构造函数求出函数的导数研究函数的单调性和最值，利⽤数形结合转化为图象交点个数进⾏求解即可．本题主要考查导数的综合应⽤，结合导数的⼏何意义以及利⽤参数分离法转化为两个函数交点个数问题是解决本题的关键．综合性较强，运算量较⼤，有⼀定的难度．22.【答案】解：（Ⅰ）直线l：2ρcos（θ-）=，即ρcosθ+ρsinθ=，所以直线l的直⾓坐标⽅程为+y-=0，因为，所以点P在直线l上．（Ⅱ）直线l的参数⽅程为（t为参数）曲线C的普通⽅程为+=1，将直线l的参数⽅程代⼊曲线C的普通⽅程得5t2+12t-4=0，设A，B对应的参数为t1，t2，所以t1+t2=-，t1t2=-＜0，故t1与t2异号．所以|PA|+|PB|=|t1-t2|==，|PA|?|PB|=|t1||t2|=-t1t2=，∴+==．【解析】（Ⅰ）直线l：2ρcos（θ-）=，即ρcosθ+ρsinθ=，所以直线l的直⾓坐标⽅程为+y-=0，因为，所以点P在直线l上．（Ⅱ）根据参数的⼏何意义可得．本题考查了简单曲线的极坐标⽅程，属中档题．23.【答案】（1）证明：，∵且，∴，当时取等号，即f（x）的最⼩值为，∴，．（2）解：∵a+2b≥tab恒成⽴，∴恒成⽴，，当时，取得最⼩值，∴，即实数t的最⼤值为．【解析】（1）根据不等式的性质求出f（x）的最⼩值，证明结论即可；（2）求出恒成⽴，根据不等式的性质求出t的最⼤值即可．本题考查了绝对值不等式问题，考查不等式的性质以及转化思想，是⼀道中档题．。
四川省泸州市高2016级第二次教学质量诊断性考试数学文科试题(精品解析)
a四川省泸州市高2016级第二次教学质量诊断性考试数学文科试题（解析版）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合2，，，则 A ={1,3}B ={x||x|≤2}A ∩B =()A. B. C. D. 2，{1}{1,2}{1,3}{1,3}【答案】B【解析】解：集合2，，，∵A ={1,3}B ={x||x|≤2}．∴A ∩B ={1,2}故选：B ．直接利用交集的运算性质求解得答案．本题考查了交集及其运算，是基础题．2.i 为虚数单位，若复数是纯虚数，则实数 (1+mi)(1+i)m =()A. B. 0 C. 1 D. 0或1‒1【答案】C【解析】解：是纯虚数，∵(1+mi)(1+i)=(1‒m)+(1+m)i ，即．∴{1‒m =01+m ≠0m =1故选：C ．直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．3.某体校甲、乙两个运动队各有6名编号为1，2，3，4，5，6的队员进行实弹射击比赛，每人射击1次，击中的环数如表：学生1号2号3号4号5号6号甲队677877乙队676797则以上两组数据的方差中较小的一个为 s 2=()A. B. C. D. 1161312第2页，共15页【答案】B【解析】解：甲组数据为：6，7，7，8，7，7；乙组数据为：6，7，6，7，9，7；所以甲组数据波动较小，方差也较小；计算它的平均数为，x =7方差为．s 2=16×[(‒1)2+0+0+12+0+0]=13故选：B ．根据两组数据的波动性大小判断方差大小，再计算平均数与方差的值．本题考查了平均数与方差的计算问题，是基础题．4.某班共有50名学生，其数学科学业水平考试成绩记作2，3，，，若成绩不低于60分为合格，a i (i =1,…50)则如图所示的程序框图的功能是 ()A. 求该班学生数学科学业水平考试的不合格人数B. 求该班学生数学科学业水平考试的不合格率C. 求该班学生数学科学业水平考试的合格人数D. 求该班学生数学科学业水平考试的合格率【答案】D【解析】解：执行程序框图，可知其功能为输入50个学生成绩，a i (1≤k ≤60)k 表示该班学生数学科成绩合格的人数，i 表示全班总人数，输出的为该班学生数学科学业水平考试的合格率．ki 故选：D ．执行程序框图，可知其功能为用k 表示成绩合格的人数，i 表示全班总人数，即可得解．本题主要考察了程序框图和算法，属于基础题．5.已知一个几何体的正视图和侧视图是两个全等的等腰三角形，腰长为3，底边长为2，俯视图是一个半径为1的圆如图，则这个几何体的内切球的()体积为 ()A. 2π3B. 3π3C.4π3D. 2π【答案】A【解析】解：由三视图知该几何体是圆锥，且底面圆的半径为1，母线长为3；其正视图为等腰三角形，且内切圆的半径满足，12r(3+3+2)=12⋅2⋅32‒12解得；r =22几何体的内切球体积为∴V =4π3×(22)3=2π3故选：A ．由三视图知该几何体是圆锥，结合图中数据求出圆锥内切球的半径，再计算内切球的体积．本题考查了由三视图求几何体的内切球体积的应用问题，是基础题．6.若函数的图象向左平移个单位长度后关于y 轴对称，则函数在区间f(x)=2sin(2x +φ)(|φ|<π2)π12f(x)上的最小值为 [0,π2]()A. B. C. 1D. ‒3‒13【答案】A 【解析】解：函数的图象向左平移个单位长度后f(x)=2sin(2x +φ)(|φ|<π2)π12图象所对应解析式为：，g(x)=2sin[2(x +π12)+φ]=2sin(2x +π6+φ)由关于y 轴对称，则，，，g(x)π6+φ=kπ+π2φ=kπ+π3k ∈Z 又，|φ|<π2第4页，共15页所以，φ=π3即，f(x)=2sin(2x +π3)当时，x ∈[0,π2]所以，2x +π3∈[π3,4π3]，f(x )min =f(4π3)=‒3故选：A ．由三角函数图象的性质、平移变换得：，由关于y 轴对称，g(x)=2sin[2(x +π12)+φ]=2sin(2x +π6+φ)g(x)则，，，又，所以，π6+φ=kπ+π2φ=kπ+π3k ∈Z |φ|<π2φ=π3由三角函数在区间上的最值得：当时，所以，，得解x ∈[0,π2]2x +π3∈[π3,4π3]f(x )min =f(4π3)=‒3本题考查了三角函数图象的性质、平移变换及三角函数在区间上的最值，属中档题．7.若函数的定义域和值域都是，则 f(x)=a ‒a x (a >0,a ≠1)[0,1]log a 711+log a 1114=()A. B. C. 0 D. 1‒2‒1【答案】B【解析】解：因为为上的递减函数，f(x)[0,1]所以，，f(0)=1f(1)=0即，解得{a ‒1=1a ‒a =0a =2∴log 2711+log 21114=log 2(711×1114)=‒1故选：B ．根据函数的单调性得，，解得，再代入原式可得．f(x)f(0)=1f(1)=0a =1本题考查了函数的值域，属中档题．8.在中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若，则的外接圆面积为△ABC acosB +bcosA =4sinC △ABC ()A. B. C. D. 16π8π4π2π【答案】C【解析】解：设的外接圆半径为R ，△ABC ，∵acosB +bcosA =4sinC 由余弦定理可得：，∴a ×a 2+c 2‒b 22ac+b ×b 2+c 2‒a 22bc=2c 22c=c =4sinC，解得：，∴2R =csinC =4R =2的外接圆面积为．∴△ABC S =πR 2=4π故选：C ．设的外接圆半径为R ，由余弦定理化简已知可得，利用正弦定理可求，解得，△ABC c =4sinC 2R =csinC =4R =2即可得解的外接圆面积．△ABC 本题主要考查了正弦定理，余弦定理在解三角形中的应用，属于基础题．9.若正实数x ，y 满足，则的最小值为 x +y =14x +1+1y()A.B.C.D.44727514392【答案】D【解析】解：，，，∵x >0y >0x +y =1，∴x +1+y =2当接仅当，取等号，4x +1+1y =x +1+y2⋅(4x +1+1y )=12(1+4+4yx +1+x +1y)≥12(5+24)=92(x =13y =23)故选：D ．将变成，将原式后，用基本不等式可x +y =1x +1+y =24x +1+1y =x +1+y2⋅(4x +1+1y )=12(1+4+4yx +1+x +1y )得．本题考查了基本不等式及其应用，属基础题．10.在正方体中，点M ，N 分别是线段和上不重合的两个动点，ABCD ‒A 1B 1C 1D 1DB 1A 1C 则下列结论正确的是 ()A. BC 1⊥MNB. B 1N//CMC. 平面平面ABN//C 1MD 1D. 平面平面CDM ⊥A 1B 1C 1D 1【答案】A【解析】解：在正方体中，易证平面，BC 1⊥B 1CDA 1又平面，MN ⊂B 1CDA 1，∴BC 1⊥MN 故选：A ．第6页，共15页利用线面垂直的判定方法易证平面，在用线面垂直的性质定理可得．BC 1⊥B 1CDA 1BC 1⊥MN 此题考查了线面垂直的判定和性质，属容易题．11.已知，若点P 是抛物线上任意一点，点Q 是圆上任意一点，则A(3,2)y 2=8x (x ‒2)2+y 2=1的最小值为 |PA|+|PQ|()A. 3B. 4C. 5D. 6【答案】B【解析】解：抛物线的焦点，准线l ：，y 2=8x F(2,0)x =‒2圆的圆心为，半径，(x ‒2)2+y 2=1F(2,0)r =1过点P 作PB 垂直准线l ，垂足为B ，由抛物线的定义可知，|PB|=PF|则，|PA|+|PQ|≥|PA|+|PF|‒r =|PA|+|PB|‒1当A 、P 、B 三点共线时取最小值，∴|PA|+|PB|．∴|PA|+|PQ|≥|PA|+|PB|‒1≥(3+2)‒1=4即有取得最小值4．|PA|+|PQ|故选：B ．求得抛物线的准线方程和焦点坐标，过点P 作PB 垂直准线l ，垂足为B ，由抛物线的定义和当A 、P 、B 三点共线时取最小值，结合图象即可求出．|PA|+|PQ|本题考查抛物线上的动点和圆上的动点间的距离的最小值，注意运用抛物线的定义和圆的性质，考查转化能力，计算能力，属于中档题．12.设函数是定义在上的函数，是函数的导函数，若，，为自f(x)(0,π2)f(x)f(π6)=1(e 然对数的底数，则不等式的解集是 )f(x)<2sinx ()A.B.C.D.(0,π6)(0,12)(π6,π2)(12,π2)【答案】A 【解析】解：令，，g(x)=f(x)sinxx ∈(0,π2)则，g'(x)=f'(x)sinx ‒f(x)cosxsin 2x >0故在递增，g(x)(0,π2)而，g(π6)=f(π6)sin π=2故，即，f(x)<2sinx g(x)<g(π6)故，0<x <π6故选：A ．令，，求出函数的导数，根据函数的单调性求出x 的范围即可．g(x)=f(x)sinxx ∈(0,π2)本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用，是一道常规题．二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.若，则______．sinθ=45cos2θ=【答案】‒725【解析】解：，则，∵sinθ=45cos2θ=1‒2sin 2θ=1‒2×1625=‒725故答案为：．‒725直接利用利用二倍角的余弦公式，把代入运算求得结果．cos2θ=1‒2sin 2θsinθ=45本题主要考查利用二倍角的余弦公式化简求值，属于基础题．14.已知，向量，，且，则______．λ∈R ⃗a =(λ‒1,1)⃗b =(λ,‒2)⃗a ⊥⃗b λ=【答案】或2‒1【解析】解：向量，，且，∵⃗a =(λ‒1,1)⃗b =(λ,‒2)⃗a ⊥⃗b 则或2∴⃗a ⋅⃗b=λ(λ‒1)‒2=0λ=‒1故答案为：或2．‒1由已知及向量的数量积的性质可知，从而可求．⃗a ⋅⃗b=0本题主要考查了向量的数量积的运算性质的简单应用，属于基础试题．15.若关于x 的方程只有一个实数解，则实数k 的值为______．3|x ‒2|+kcos (2‒x)=0【答案】‒1【解析】解：由可得，3|x ‒2|+kcos (2‒x)=03|x ‒2|=‒kcos (2‒x)函数与的函数图象只有一个交点．∴y =3|x ‒2|y =‒kcos (2‒x)又两函数的对称轴均为直线，x =2两函数的交点必在对称轴上，即为，∴(2,1)，即．∴‒k =1k =‒1故答案为：．‒1根据函数与的对称性和交点个数得出交点坐标，从而得出k 的值．y =3|x ‒2|y =‒kcos (2‒x)本题考查了函数零点与函数图象的关系，属于中档题．第8页，共15页16.已知双曲线右支上有一点A ，它关于原点的对称点为B ，双曲线的右焦点为F ，满足x 2a 2‒y 2b 2=1(a >0,b >0)，且，则双曲线的离心率e 的值是______．⃗AF ⋅⃗BF=0∠ABF =π6【答案】1+3【解析】解：，可得，⃗AF ⋅⃗BF=0AF ⊥BF 在中，，Rt △ABF |OF|=c ，∴|AB|=2c 在直角三角形ABF 中，，可得，，取∠ABF =π6|AF|=2csin π6=c|BF|=2ccos π6=3c左焦点，连接，，可得四边形为矩形，，．∴e =c a =23‒1=3+1故答案为：．3+1运用三角函数的定义可得，，取左焦点，连接，，可得四边|AF|=2csin π6=c|BF|=2ccos π6=3c形为矩形，由双曲线的定义和矩形的性质，可得，由离心率公式，即可得到所求值．3c ‒c =2a 本题考查双曲线的离心率的求法，注意运用双曲线的定义和锐角三角函数的定义，考查化简整理的运算能力，属于中档题．三、解答题（本大题共7小题，共80.0分）17.已知等差数列是递增数列，且，．{a n }a 1a 5=9a 2+a 4=10求数列的通项公式；(1){a n }若，求数列的前n 项和．(2)b n =1an ⋅a n +1(n ∈N ∗){b n }S n 【答案】解：设首项为，公差为d 的等差数列是递增数列，(1)a 1{a n }且，．a 1a 5=9a 2+a 4=10则：，{a 1(a 1+4d)=9a 1+d +a 1+3d =10解得：或9，或1，a 1=1a 5=9由于数列为递增数列，则：，．a 1=1a 5=9故：d =2则：．a n =1+2(n ‒1)=2n ‒1由于，(2)a n =2n ‒1则：，b n =1an ⋅a n +1=1(2n ‒1)(2n +1)，=14n 2‒1=1(2n +1)(2n ‒1)．=12(12n ‒1‒12n +1)所以：，S n =b 1+b 2+…+b n ，=12[1‒13+13‒15+…+12n ‒1‒12n +1]，=12(1‒12n +1)．=n 2n +1【解析】直接利用递推关系式求出数列的通项公式．(1)利用的结论，进一步利用裂项相消法求出数列的和．(2)(1)本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，裂项相消法在数列求和中的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．18.今年年初，习近平在告台湾同胞书发表40周年纪念会上的讲话中说道：“我们要积极推进两岸经济《》合作制度化打造两岸共同市场，为发展增动力，为合作添活力，壮大中华民族经济两岸要应通尽通，提升经贸合作畅通、基础设施联通、能源资源互通、行业标准共通，可以率先实现金门、马祖同福建沿海地区通水、通电、通气、通桥要推动两岸文化教育、医疗卫生合作，社会保障和公共资源共享，支持两岸邻近.或条件相当地区基本公共服务均等化、普惠化、便捷化”某外贸企业积极响应习主席的号召，在春节前夕特地从台湾进口优质大米向国内100家大型农贸市场提供货源，据统计，每家大型农贸市场的年平均销售量单位：吨，以，，，，，，分组()[160,180)[180,200)[200,220)[220,240)[240,260)[260,280)[280,300)的频率分布直方图如图．求直方图中x 的值和年平均销售量的众数和中位数；(1)在年平均销售量为，，，的四组大型农贸市场中，用分层抽样(2)[220,240)[240,260)[260,280)[280,300)的方法抽取11家大型农贸市场，求年平均销售量在，，的农贸市场中应各抽[240,260)[260,280)[280300)取多少家？在的条件下，再从这三组中抽取的农贸市场中随机抽取2家参加国台办的宣传交流活动，求恰有1(3)(2)家在组的概率．[240,260)第10页，共15页【答案】解：由直方图的性质得：(1)，(0.002+0.0095+0.011+0.0125+x +0.005+0.0025)×20=1解方程得，x =0.0075直方图中．∴x =0.0075年平均销售量的众数是，220+2402=230，∵(0.002+0.0095+0.011)×20=0.45<0.5年平均销售量的中位数在内，∴[220,240)设中位数为a ，则：，(0.002+0.0095+0.011)×20+0.0125×(220)=0.5解得，a =224年平均销售量的中位数为224．∴年平均销售量为的农贸市场有：，(2)[220,240)0.0125×20×100=25年平均销售量为的农贸市场有：，[240,260)0.0075×20×100=15年平均销售量为的农贸市场有：，[260,280)0.0025×20×100=5抽取比例为：，∴1125+15+10+5=15年平均销售量在的农贸市场中应抽取家，∴[240,260)15×15=3年平均销售量在的农贸市场中应抽取家，[260,280)10×15=2年平均销售量在的农贸市场中应抽取家，[280,300)5×15=1故年平均销售量在，，的农贸市场中应各抽取3家，2家，1家．[240,260)[260,280)[280300)由知年平均销售量在，，的农贸市场中应各抽取3家，2家，1家．(3)(2)[240,260)[260,280)[280300)设从这三组中抽取的农贸市场中随机抽取2家参加国台办的宣传交流活动，基本事件总数，n =C 26=15恰有1家在组包含的基本事件的个数，[240,260)m =C 13C 13=9恰有1家在组的概率．∴[240,260)p =m n=915=35【解析】由直方图的性质能求出直方图中x 的值和年平均销售量的众数和中位数．(1)年平均销售量为的农贸市场有25，年平均销售量为的农贸市场有15，年平均销售量为(2)[220,240)[240,260)的农贸市场有5，由此利用分层抽样能求出年平均销售量在，，的农贸[260,280)[240,260)[260,280)[280300)市场中应各抽取多少家．年平均销售量在，，的农贸市场中应各抽取3家，2家，1家设从这三组中抽(3)[240,260)[260,280)[280300).取的农贸市场中随机抽取2家参加国台办的宣传交流活动，基本事件总数，恰有1家在组n =C 26=15[240,260)包含的基本事件的个数，由此能求出恰有1家在组的概率．m =C 13C 13=9[240,260)本题考查频率、众数、中位数、概率的求法，考查频率分布直方图、分层抽样、古典概型等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．19.如图，在三棱柱中，四边形是长方形，，ABC ‒A 1B 1C 1BB 1C 1C A 1B 1⊥BC ，，，连接EF ．AA 1=AB AB 1∩A 1B =E AC 1∩A 1C =F 证明：平面平面；(1)A 1BC ⊥AB 1C 1若，，，D是线段上的一点，且，(2)BC =3A 11B =43∠A 1AB =2πA 1C A 1C =4CD 试求的值．V A1‒AEFV A ‒BCD【答案】证明：在三棱柱中，，，(1)∵ABC ‒A 1B 1C 1BC//B 1C 1A 1B 1⊥BC ，∴A 1B 1⊥B 1C 1又在长方形中，，，BCC 1B 1B 1C 1⊥BB 1A 1B 1∩BB 1=B 1平面，∴B 1C 1⊥AA 1B 1B 四边形与四边形均是平行四边形，∵AA 1B 1B AA 1C 1C 且，，连结EF ，AB 1∩A 1B =E AC 1∩A 1C =F 为的中点，F 为的中点，EF 为的中位线，∴E A 1B A 1C △A 1BC ，∴EF//BC 又，，BC//B 1C 1∴EF//B 1C 1又平面，平面，平面，B 1C 1⊥AA 1B 1B ∴EF ⊥AA 1B 1B AB 1⊂AA 1B 1B ，∴EF ⊥AB 1又在平行四边形中，，A 1ABB 1AA 1=A 1B 1平行四边形是菱形，∴A 1ABB 1由菱形的性质得对角线，，A 1B ⊥AB 1EF ∩A 1B =F 平面，∴AB 1⊥A 1BC 又平面，平面平面．AB 1⊂AB 1C 1∴A 1BC ⊥AB 1C 1解：由知平面，平面，(2)(1)AB 1⊥A 1BC A 1B ⊥AB 1C 1的长为三棱锥的高，的长为三棱锥的高，∴AE A ‒BCD A 1E A 1‒AEF 在菱形中，，，∵ABB 1A 1A 1B =43∠A 1AB =2π3在中，由余弦定理得，∴△A 1AB AB =AB 1=AA 1=4，，∴A 1E =12A 1B =23AE =12AB 1=12AB =2又在中，，Rt △A 1BC S △A1BC=1×43×3=63，，∵A 1C =4CD ∴S △BCD =14S △A1DC =332，∴V A ‒BCD =13×332×2=3第12页，共15页又在中，，Rt △AB 1C 1S △AB1C1=1×4×3=6又，F 分别为，中点，∵E AB 1AC 1，∴S △AEF =14S △AB 1C 1=32，∴V A 1‒AEF=13×32×23=3．∴V A1‒AEFV A ‒BCD=33=1【解析】推导出，，从而平面，连结EF ，推导出，从而(1)A 1B 1⊥B 1C 1B 1C 1⊥BB 1B 1C 1⊥AA 1B 1B EF//BC ，推导出平面，从而，进而平行四边形是菱形，由菱形的性质得对角EF//B 1C 1EF ⊥AA 1B 1B EF ⊥AB 1A 1ABB 1线，从而平面，由此能证明平面平面．A 1B ⊥AB 1AB 1⊥A 1BC A 1BC ⊥AB 1C 1平面，平面，得AE 的长为三棱锥的高，的长为三棱锥的高，(2)AB 1⊥A 1BC A 1B ⊥AB 1C 1A ‒BCD A 1E A 1‒AEF 由余弦定理得，从而，，推导出AB =AB 1=AA 1=4A 1E =12A 1B =23AE =12AB 1=12AB =2，由此能求出的值．S △BCD =14S △A 1DC=332V A1‒AEFV A ‒BCD 本题考查空间位置关系、锥体的体积公式及其应用，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．20.已知，椭圆C 过点，两个焦点为，，E ，F 是椭圆C 上的两个动点，直线AE 的斜率与A(32,52)(0,2)(0,‒2)AF 的斜率互为相反数．求椭圆C 的方程；(1)求证：直线EF 的斜率为定值．(2)【答案】解：由题意，可设椭圆方程为，(1)c =2y 2a 2+x 2b 2=1，解得，，∴{254a2+94b 2=1a 2=b 2+4a 2=10b 2=6椭圆的方程为，∴y 210+x 26=1证明设，，设直线AE 的方程为，代入得(2)E(x 1,y 1)F(x 2,y 2)y =k(x ‒32)+52y 210+x 26=1，(3k 2+5)x 2+3k(5‒3k)x +3(‒32k +32)2‒30=0，∴x 1=3k(3k ‒5)3k 2+5‒32，∴y 1=kx 1‒32k +52又直线AE 的斜率与AF 的斜率互为相反数，再上式中以代k ，可得‒k ，x 2=9k 2+30k ‒156k 2+10‒32，∴y 2=kx 2‒32k +52直线EF 的斜率∴k =y 2‒y 1x2‒x 1=‒k(x 1+x 2)+3kx 2‒x 1=1【解析】由题意，可设椭圆方程为，可得，解得即可，(1)c =2y 2a 2+x 2b 2=1{254a2+94b 2=1a 2=b 2+4设，，设直线AE 的方程为，代入，求出点E 的坐标，再将k 换为(2)E(x 1,y 1)F(x 2,y 2)y =k(x ‒32)+52y 210+x 26=1，求出F 的坐标，即可求出直线的斜率‒k 本题考查了椭圆的方程，直线与椭圆的关系，弦的斜率问题等基础知识，考查了运算求解能力，推理论证能力，化归与转化思想，应用意识．21.已知．f(x)=a(lnx )2+lnxx 求在处的切线方程；(1)f(x)(1,0)求证：当时，．(2)a ≥1f(x)+1≥0【答案】解：，(1)f'(x)=(2alnx +1)‒[a(lnx )2+lnx]x 2故，f'(1)=1故切线方程是：；x ‒y ‒1=0令，，(2)g(x)=x ‒lnx ‒1g'(x)=1‒1x 令，解得：，g'(x)>0x >1令，解得：，g'(x)<00<x <1故在递减，在，g(x)(0,1)(1,+∞)故，g(x )极小值=g(1)=0故，x ≥lnx +1，∵a ≥1∴f(x)+1=a(lnx )2+lnx +xx≥(lnx )2+lnx +xx ，≥(lnx )2+lnx +lnx +1x≥(lnx +1)2x≥0故时，．a ≥1f(x)+1≥0【解析】求出函数的导数，计算的值，求出切线方程即可；(1)f'(1)求出，由放缩法求出即可．(2)x ≥lnx +1f(x)+1≥0本题考查了切线方程问题，考查函数的单调性，极值问题，考查导数的应用以及不等式的证明，是一道综合题．22.在平面直角坐标系xOy 中曲线的参数方程为其中t 为参数以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为C 1{x =2t 2y =2t ()极轴建立极坐标系并取相同的单位长度，曲线的极坐标方程为．C 2ρsin(θ‒π4)=‒22第14页，共15页把曲线的方程化为普通方程，的方程化为直角坐标方程；(1)C 1C 2若曲线，相交于A ，B 两点，AB 的中点为P ，过点P 作曲线的垂线交曲线于E ，F 两点，求(2)C 1C 2C 2C 1．|EF||PE|⋅|PF|【答案】解：曲线的参数方程为其中t 为参数，(1)C 1{x =2t 2y =2t ()转换为直角坐标方程为：．y 2=2x 曲线的极坐标方程为C 2ρsin(θ‒π4)=‒22转换为直角坐标方程为：．x ‒y ‒1=0设，，且中点，(2)A(x 1,y 1)B(x 2,y 2)P(x 0,y 0)联立方程为：，{y 2=2xx ‒y ‒1=0整理得：x 2‒4x +1=0所以：，，x 1+x 2=4x 1x 2=1由于：，．x 0=x 1+x 2=2y 0=1所以线段AB 的中垂线参数方程为为参数，{x =2‒22t y =1+22t(t)代入，y 2=2x 得到：，t 2+42t ‒6=0故：，，t 1+t 2=‒42t 1⋅t 2=‒6所以：，EF =|t 1‒t 2|=(t 1+t 2)2‒4t 1t 2=214故：|PE||PF|=|t 1⋅t 2|=6|EF||PE|⋅|PF|=2146=143【解析】直接利用参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间的转换求出结果．(1)利用的结论，进一步利用点到直线的距离公式和一元二次方程根和系数关系的应用求出结果．(2)(1)本题考查的知识要点：参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间的转换，点到直线的距离公式的应用，一元二次方程根和系数关系的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．23.已知函数，，其中，．ℎ(x)=|x ‒m|g(x)=|x +n|m >0n >0若函数的图象关于直线对称，且，求不等式的解集．(1)ℎ(x)x =1f(x)=ℎ(x)+|2x ‒3|f(x)>2若函数的最小值为2，求的最小值及其相应的m 和n 的值．(2)φ(x)=ℎ(x)+g(x)1m+1n【答案】解：函数的图象关于直线对称，，(1)ℎ(x)x =1∴m =1，∴f(x)=ℎ(x)+|2x ‒3|=|x ‒1|+|2x ‒3|当时，，解得，①x ≤1(x)=3‒2x +1‒x =4‒3x >2x <23当时，，此时不等式无解，②1<x <32f(x)=3‒2x +x ‒1=2‒x >2当时，，解得，②x ≥32f(x)=2x ‒3+x ‒1=3x ‒4>2x >2综上所述不等式的解集为．f(x)>2(‒∞,23)∪(2,+∞)，(2)∵φ(x)=ℎ(x)+g(x)=|x ‒m|+|x +n|≥|x ‒m ‒(x +n)|=|m +n|=m +n 又的最小值为2，φ(x)=ℎ(x)+g(x)，∴m +n =2，当且仅当时取等号，∴1m +1n =12(1m +1n )(m +n)=12(2+nm +mn )≥12(2+2m n⋅nm )=2m =n =1故的最小值为2，其相应的．1m+1nm =n =1【解析】先求出，再分类讨论，即可求出不等式的解集，(1)m =1根据绝对值三角形不等式即可求出，再根据基本不等式即可求出(2)m +n =2本题考查了绝对值函数的对称轴，简单绝对值不等式的解法绝对值不等式的性质和基本不等式的应用，考察了运算求解能力，推理论证能力，转化与化归思想．。
高考四川文科数学试题及答案(word解析版)
2016年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷）数学（文科）第Ⅰ卷（共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． （1）【2016年四川，文1，5分】设i 为虚数单位，则复数()21i +=（ ）（A ）{}13x x -<< （B ）{}|11x x -<< （C ）{}|12x x << （D ）{}|23x x << 【答案】C【解析】试题分析：由题意，22(1i)12i i 2i +=++=，故选C ．【点评】本题考查了复数的运算法则，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． （2）【2016年四川，文2，5分】设集合{}15A x x =≤≤，Z 为整数集，则集合A Z 中元素的个数是（ ） （A ）6 （B ）5 （C ）4 （D ）3 【答案】B【解析】由题意，{}1,2,3,4,5A Z =，故其中的元素个数为5，故选B ．【点评】本题考查了集合的运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． （3）【2016年四川，文3，5分】抛物线24y x =的焦点坐标是（ ）（A ）()0,2 （B ）()0,1 （C ）()2,0（D ）()1,0【答案】D【解析】由题意，24y x =的焦点坐标为()1,0，故选D ．【点评】本题考查的知识点是抛物线的简单性质，难度不大，属于基础题．（4）【2016年四川，文4，5分】为了得到函数sin 3y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，只需把函数sin y x =的图象上所有的点（ ）（A ）向左平行移动3π个单位长度 （B ）向右平行移动3π个单位长度 （C ）向上平行移动3π个单位长度（D ）向下平行移动3π个单位长度【答案】A【解析】由题意，为得到函数sin 3y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，只需把函数sin y x =的图像上所有点向左移3π个单位，故选A ．【点评】本题考查的知识点是函数图象的平移变换法则，熟练掌握图象平移“左加右减“的原则，是解答的关键． （5）【2016年四川，文5，5分】设:p 实数x ，y 满足1x >且1y >，:q 实数x ，y 满足2x y +>，则p 是q 的（ ） （A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件 （C ）充要条件 （D ）既不充分也不必要条件 【答案】A【解析】由题意，1x >且1y >，则2x y +>，而当2x y +>时不能得出，1x >且1y >．故p 是q 的充分不必要条件，故选A ．【点评】本题考查了不等式的性质、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． （6）【2016年四川卷，文6，5分】已知a 函数()312f x x x =-的极小值点，则a =（ ）（A ）4-（B ）2- （C ）4 （D ）2【答案】D 【解析】()()()2312322f x x x x '=-=+-，令()0f x '=得2x =-或2x =，易得()f x 在()2,2-上单调递减，在()2,+∞上单调递增，故()f x 极小值为()2f ，由已知得2a =，故选D ．【点评】考查函数极小值点的定义，以及根据导数符号判断函数极值点的方法及过程，要熟悉二次函数的图象． （7）【2016年四川，文7，5分】某公司为激励创新，计划逐年加大研发奖金投入。
四川省泸州市高三数学上学期第一次教学质量诊断性考试试题文(含解析)
数学（文科）第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用指数函数的性质化简集合，由交集的定义可得结果.【详解】由指数函数的性质化简集合=，又，，故选B.【点睛】研究集合问题，一定要抓住元素，看元素应满足的属性.研究两集合的关系时，关键是将两集合的关系转化为元素间的关系，本题实质求满足属于集合且属于集合的元素的集合.2.命题“，”的否定是A. 不存在，使B. ，使C. ，使D. ，使【答案】D【解析】【分析】利用全称命题“”的否定为特称命题“”可得结果.【详解】全称命题的否定是特称命题，否定全称命题要改全称量词为存在量词,“，”的否定是，使，故选D.【点睛】本题主要考查全称命题的否定，属于简单题.全称命题与特称命题的否定与命题的否定有一定的区别，否定全称命题和特称命题时，一是要改写量词，全称量词改写为存在量词、存在量词改写为全称量词;二是要否定结论，而一般命题的否定只需直接否定结论即可.3.设，，，则下列关系正确的是A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据指数函数的单调性以及对数函数的单调性分别判断出的取值范围，从而可得结果. 【详解】由指数函数的性质可得由对数函数的性质可得，，故选C.【点睛】本题主要考查对数函数的性质、指数函数的单调性及比较大小问题，属于难题.解答比较大小问题，常见思路有两个：一是判断出各个数值所在区间（一般是看三个区间）；二是利用函数的单调性直接解答；数值比较多的比大小问题也可以两种方法综合应用.4.已知函数，则函数的最小正周期为A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用同角三角函数之间的关系，结合二倍角的正弦公式与二倍角的余弦公式，将化为，从而可得结果.【详解】，的最小正周期为，故选C.【点睛】本题主要考查二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式的应用，以及正切函数的周期性，属于中档题.三角函数式的化简，应熟悉公式的逆用和变形应用，公式的正用是常见的，但逆用和变形应用则往往容易被忽视，公式的逆用和变形应用更能开拓思路，培养从正向思维向逆向思维转化的能力，只有熟悉了公式的逆用和变形应用后，才能真正掌握公式的应用．5.函数的图像大致为A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用，可排除；可排除，从而可得结果.【详解】，，排除；，排除，故选D.【点睛】本题通过对多个图象的选择考查函数的图象与性质，属于中档题.这类题型也是近年高考常见的命题方向，该题型的特点是综合性较强、考查知识点较多，但是并不是无路可循.解答这类题型可以从多方面入手，根据函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、特殊点以及时函数图象的变化趋势，利用排除法，将不合题意的选项一一排除.6.若是两条不同的直线，垂直于平面，则“”是“”的（）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】若，因为垂直于平面，则或；若，又垂直于平面，则，所以“”是“的必要不充分条件，故选B．考点：空间直线和平面、直线和直线的位置关系．【此处有视频，请去附件查看】7.实数，满足，则下列关系正确的是A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由，可得，，根据对数的运算法则可得结果.【详解】，，，，故选B.【点睛】本题主要考查对数的性质与对数的运算法则，以及换底公式的应用，意在考查对基础知识掌握的熟练程度，考查综合应用所学知识解答问题的能力，属于中档题.8.在中，，，，将绕所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的表面积为A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】将绕所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体为两个共同底面的圆锥，底面半径为，母线长分别为3和4，由圆锥侧面积公式可得结果.【详解】设边上高为，，，，，将绕所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体为两个共同底面的圆锥，底面半径为，母线长分别为3和4，表面积为两个圆锥侧面积的和，，故选A.【点睛】求几何体的表面积的方法:(1)求表面积问题的思路是将立体几何问题转化为平面问题，即将空间图形平面化，这是解决立体几何的主要出发点；求不规则几何体的表面积时，通常将所给几何体分割成基本的柱、锥、台体，先求这些柱、锥、台体的表面积，再通过求和或求差求得几何体的表面积.9.如图，网格纸是边长为1的小正方形，在其上用粗线画出了某多面体的三视图，则该多面体的体积为A. 16B. 8C. 4D. 20【答案】A【解析】【分析】由三视图可知，该几何体是底面边长为2与6的矩形，一个侧面与底面垂直的四棱锥，棱锥的高为4，由棱锥的体积公式可得结果.【详解】由三视图可知，该几何体是底面边长为2与6的矩形，一个侧面与底面垂直的四棱锥，棱锥的高为4，该几何体体积为，故选A.【点睛】本题利用空间几何体的三视图重点考查学生的空间想象能力和抽象思维能力，属于难题.三视图问题是考查学生空间想象能力最常见题型，也是高考热点.观察三视图并将其“翻译”成直观图是解题的关键，不但要注意三视图的三要素“高平齐，长对正，宽相等”，还要特别注意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影响.10.《周髀算经》中给出了弦图，所谓弦图是由四个全等的直角三角形和中间一个小正方形拼成一个大的正方形，若图中直角三角形的一个锐角为，且小正方形与大正方形面积之比为，则的值为A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】设大正方形边长为1，可得小正方形边长为，由图可知，两边平方，利用二倍角的正弦公式可得结果.【详解】设大正方形边长为1，小正方形与大正方形面积之比为，小正方形边长为，结合图形及三角函数的定义可得，两边平方得，，，故选D.【点睛】本题主要考查三角函数的定义、同角三角函数的关系以及二倍角的正弦公式，意在考查数形结合思想的应用，以及灵活运用所学知识解答问题的能力，属于中档题.11.已知函数的部分图象如图所示，将函数的图象上所有点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，再将所得图象上所有点向右平移个单位长度，得到的函数图象关于直线对称，则的最小值为A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由图象求得函数的的解析式，经过周期变换与相位变换可得，由可得结果.【详解】由最大值为，得，由，得，，，，，将函数的图象上所有点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，再将所得图象上所有点向右平移个单位长度，得到，图象关于对称，，，时，最小为，故选A.【点睛】本题考查了三角函数的图象与性质，重点考查学生对三角函数图象变换规律的理解与掌握，能否正确处理先周期变换后相位变换这种情况下图象的平移问题，反映学生对所学知识理解的深度.12.已知函数的值域与函数的值域相同，则的取值范围为A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用导数研究函数的单调性，由单调性求得函数的值域为，设，则，要使的值域为，则，从而可得结果.【详解】，，时，；时，，在上递增，在上递减，，即的值域为，，则，在上递增，在上递减，要使的值域为，则，，又，的范围是，故选C.【点睛】利用导数求函数最值的步骤：（1）求出在定义域内，分别令求得的范围，可得函数增区间，求得的范围，可得函数的减区间；（2）根据单调性可得函数的极值，如果只有一个极值点，则在该处即是极值也是最值；（3）如果求闭区间上的最值还需要比较端点值的函数值与极值的大小.第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在答题纸上）13.已知函数，若，则__________．【答案】3【解析】【分析】由，利用对数的运算求解即可.【详解】，，，故答案为3.【点睛】本题主要考查对数的基本性质，意在考查对基础知识的理解与运用，属于简单题.14.在中，角，，所对的边分别为，，，若，则角的大小为______.【答案】【解析】【分析】由，利用正弦定理可得，再根据余弦定理可得结果.【详解】，由正弦定理可得，化为，，，故答案为.【点睛】解三角形时，有时可用正弦定理，有时也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷．如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．15.已知函数，则的解集为______.【答案】【解析】【分析】原不等式等价于或，分别求解不等式组，再求并集即可.【详解】，当时，，解得；当时，，解得，综上，，即的解集为，故答案为.【点睛】本题主要考查分段函数的解析式、分段函数解不等式，属于中档题.对于分段函数解析式的考查是命题的动向之一，这类问题的特点是综合性强，对抽象思维能力要求高，因此解决这类题一定要层次清楚，思路清晰.16.已知三棱锥的所有顶点都在同一球面上，底面是正三角形且和球心在同一平面内，若此三棱锥的最大体积为，则球的表面积等于__________．【答案】【解析】【分析】先根据球体的性质判断当到所在面的距离为球的半径时，体积最大，再将最大体积用球半径表示，由棱锥的体积公式列方程求解即可.【详解】与球心在同一平面内，是的外心，设球半径为，则的边长，，当到所在面的距离为球的半径时，体积最大，，，球表面积为，故答案为.【点睛】本题主要考查球体的性质、棱锥的体积公式及立体几何求最值问题，属于难题.解决立体几何中的最值问题一般有两种方法：一是几何意义，特别是用立体几何和平面几何的有关结论来解决，非常巧妙；二是将立体几何中最值问题转化为函数问题，然后根据函数的特征选用参数法、配方法、判别式法、三角函数有界法、函数单调性法以及均值不等式法求解.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17.在中，角，，所对的边分别是，，，已知，.（1）若，求的值；（2）的面积为，求的值.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）由，可得，由正弦定理可得，求得，利用诱导公式及两角和的正弦公式可得结果；（2）由，可得，再利用余弦定理，配方后化简可得.【详解】（1）由，则，且，由正弦定理，因为，所以，所以，（2），∴，，∴，，∴.【点睛】本题主要考查正弦定理、余弦定理在解三角形中的应用，属于中档题.正弦定理是解三角形的有力工具，其常见用法有以下三种：（1）知道两边和一边的对角，求另一边的对角（一定要注意讨论钝角与锐角）；（2）知道两角与一个角的对边，求另一个角的对边；（3）证明化简过程中边角互化；（4）求三角形外接圆半径．18.已知函数.（1）当时，求曲线在处的切线方程；（2）若函数在区间上是增函数，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）。
四川省泸州市高三数学第一次教学质量诊断性考试试题 文 新人教A版
数学（文史类）一、选择题：本大题共有10个小题，每小题5分，共50分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的． 1．已知全集U ={1，2，3，4，5，6，7，8}，M ={1，3，5，7}，N ={5，6，7}，则()UM N =A ．{5，7}B ．{2，4}C ．{1，3，5，6，7}D ．{2，4，8}2. 下列命题中的假命题是A ．x ∀∈R ，120x ->B ．x *∀∈N ，2(1)0x ->C ．x ∃∈R ，lg 1x <D ．x ∃∈R ，tan 2x =3. 12lg 2lg25-的值为 A ．1 B ．2 C ．3 D ．44.下列函数与y x =相等的是A．3y = B ．2x y x=C．2y =D．y =5．△ABC 中，若 2AD DB =，13CD CA CB λ=+，则λ=A ．13B ．23C ．23-D ．13-6．若曲线2()(0)f x x x =>在点(,())a f a 处的切线与两条坐标轴围成的三角形的面积为54，则a = A ．3 B ．6 C ．9 D ．187．如图为函数()sin()f x A x ωϕ=+（其中0,02πωϕ>≤≤）的部分图象，其中A B ，两点之间的距离为5，那么(1)=f -A． B ．12-C ．1-D ． 18．设数列{}n a 是首项大于零的等比数列，则“12a a <”是“数列{}n a 是递增数列”的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件9．一支人数是5的倍数且不少于1000人的游行队伍，若按每横排4人编队，最后差3人；若按每横排3人编队，最后差2人；若按每横排2人编队，最后差1人．则这只游行队伍的最少人数是 A ．1025B ．1035C ．1045D ．105510．定义在R 上的函数()f x 满足21,11(4)(),()|2|1,1 3.x x f x f x f x x x ⎧-+-+==⎨--+<⎩≤≤≤，若关于x的方程()0f x ax -=有5个不同实根，则正实数a 的取值范围是A ．11(,)43B ．11(,)64C ．1(1667,)6-D ．1(,8215)6-二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共25分．11．复数22(32)(4)i m m m -++-（i 是虚数单位）是纯虚数，则实数m 的值为 ． 12．等比数列{}n a 中，若公比4q =，且前3项之和等于21，则该数列的通项公式n a = ．13．使不等式3log 14a<（其中01a <<）成立的a 的取值范围是 ． 14. 设函数()f x 是定义在(,0)(0,)-∞+∞上的奇函数，且当0x >时，1()12f x x =+，则不等式()f x x >的解集用区间表示为_________.15．定义：如果函数()y f x =在定义域内给定区间[,]a b 上存在00()x a x b <<，满足0()()()f b f a f x b a-=-，则称函数()y f x =是[,]a b 上的“平均值函数”，0x 是它的一个均值点，如4y x =是[1,1]-上的平均值函数，0就是它的均值点．现有函数2()1f x x mx =-++是[1,1]-上的平均值函数，则实数m 的取值范围是 ．三、解答题：本大题共6小题，共75分． 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．（本小满分12分）在一次数学统考后，某班随机抽取10名同学的成绩进行样本分析，获得成绩数据的茎叶图如下．（Ⅰ）计算样本的平均成绩及方差；（Ⅱ）现从80分以上的样本中随机抽出2名学生，求抽出的2名学生的成绩分别在[80,90)、[90,100]上的概率． 17．（本小满分12分）（本小题满分12分）设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且36a =，10110S =．设数列{}n b 前n 项和为n T ，且21()na n T =-，求数列{}n a 、{}nb 的前n 项和公式.18. 在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，满足2220a b c ab +--= ．(Ⅰ)求角C 的大小； (Ⅱ)若sin 2cos sin C cA B b=，且8AB BC =-，求△ABC 的面积．19．（本小满分12分）已知函数321()43sin 32f x x x θ=-+，其中x ∈R ，(0,)θπ∈．(Ⅰ)若()f x '的最小值为34-，试判断函数()f x 的零点个数，并说明理由； (Ⅱ)若函数()f x 的极小值大于零，求θ的取值范围．20．（本小满分12分）设平面向量),2cos )x x π=+a ，(2cos ,cos )x x =-b ，已知函数()f x m =⋅+a b 在[0,]2π上的最大值为6．（Ⅰ）求实数m 的值；（Ⅱ）若026()5f x =，0[,]42x ππ∈．求0cos 2x 的值．21. （本小满分14分）已知函数()(1)ln 15af x x a x a x=++-+，32()23(23)12(1)122F x x a x a x a =-+++++，其中0a <且1a ≠-．(Ⅰ) 当2a =-，求函数()f x 的单调递增区间；(Ⅱ) 若1x =-时，函数()F x 有极值，求函数()F x 图象的对称中心的坐标； （Ⅲ）设函数(),1,()(), 1.F x x g x f x x ⎧=⎨>⎩≤ （e 是自然对数的底数），是否存在a 使()g x 在[,]a a -上为减函数，若存在，求实数a 的范围；若不存在，请说明理由．一、选择题二、填空题 11．1； 12. 14n n a -=； 13. 3(0,)4； 14. (,2)(0,2)-∞-；15. (0,2)．三、解答题2分 4分 6分 （Ⅱ）从80分以上的样本中随机抽出2名学生，共有10种不同的抽取方法， · 8分而抽出的2名学生的分数分别在[80,90)，[90,100]上共有6中不同的抽取方法，因此所求的概率为63105=． ·····················12分 17．解：设等差数列{}n a 的公差为d ， ∵126a d +=，12922a d +=， ······················ 2分∴12a =,2d =， ··························· 4分 所以数列{}n a 的通项公式()2122n a n n =+-⋅=； ·············· 6分因为21222()2n a n n n T =-=-=-，················· 7分 当1n =时，211322b T ==-=， ···················· 8分当2n ≥时，111112()2()()222n n n n n n b T T --=-=--+=， ············ 10分且1n =时不满足1()2n n b =， ······················· 11分所以数列{}n b 的通项公式为3121()2n n n b n ⎧=⎪⎪=⎨⎪⎪⎩≥2. ··············· 12分18．解：(Ⅰ) (Ⅰ)因为2220a b c ab +--=，题号12 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 Ｄ ＢＢＡＢＢCＡCD所以222a b c ab +-=， ······················· 1分 所以2221cos 222a b c ab C ab ab +-===， ··················3分 因为0C π<<， ·························· 5分 所以π3C =； ··························· 6分 （Ⅱ）由sin 2cos sin C cA B b =正弦定理得：2cos c cb A b=， ···························7分 1cos 2A =， ···························· 8分∴60A =，∴△ABC 是等边三角形， ······················ 10分 ∴cos1208AB BC c c =⨯⨯=-， ∴4c =， ····························· 11分所以△ABC 的面积21sin 60432S c ==················ 12分19．解：（I ）2()126sin f x x x θ'=-， ······················· 1分当sin 4x θ=时，()f x '有最小值为23()sin 4f x θ'=-， 所以233sin 44θ-=-，即2sin 1θ=， ·················· 2分因为(0,)θπ∈，所以sin 1θ=， ···················· 3分所以2()126f x x x '=-，所以()f x 在1(0,)2上是减函数，在1(,0),(,)2-∞+∞上是增函数， ······ 4分 而1(0)032f =>，17()0232f =-<， ··················5分 故函数()f x 的零点个数有3个； ··················· 6分(Ⅱ) 2()126sin f x x x θ'=-令()0f x '=，得12sin 0,2x x θ==， ········· 7分 由(0,)θπ∈知sin 0θ>，根据（I ），当x 变化时，()f x '的符号及()f x 的变化情况如下表：因此，函数()f x 在sin 2x θ=处取得极小值3sin 11()sin 2432f θθ=-+， ···· 9分 要使sin ()02f θ>，必有311sin 0432θ-+>可得10sin 2θ<<， ········ 10分所以θ的取值范围是5(0,)(,)66ππθπ∈． ··············· 12分20．解：（Ⅰ）2())(2cos )2cos f x x x x m π+⋅-++，2cos21x x m +++，······················ 2分 2sin(2)16x m π=+++， ·······················3分 ∵7[0,],2[,]2666x x ππππ∈+∈， ···················· 4分∴12sin(2)[,1]62x π+∈-∴()216max f x m =++=， ······················ 5分∴3m =； ···························· 6分（Ⅱ）因为()2sin(2)46f x x π=++，由()0265f x =得：0262sin(2)465x π++=，则03sin(2)65x π+=，······· 7分因为0[,]42x ππ∈，则0272[,]636x πππ+∈， ················ 8分因此0cos(2)06x π+<，所以04cos(2)65x π+=-， ······················· 9分于是00cos2cos[(2)]66x x ππ=+-， ··················· 10分00cos(2)cos sin(2)sin 6666x x ππππ=+++431552=-⨯=． ····················· 12分 21．解：(Ⅰ) (Ⅰ) 当2a =-，2222332()1x x f x x x x -+'=+-=， ···················· 1分 设()0f x '>，即2320x x -+>， 所以1x <，或2x >， ························ 2分()f x 单调增区间是(0,1)，(2,)+∞；·················· 4分 (Ⅱ) 当1x =-时，函数()F x 有极值，所以2()66(23)12(1)F x x a x a '=-+++， ················ 5分且(1)0F '-=，即32a =-， ······················ 6分所以3()2616F x x x =--，3()2616F x x x =--的图象可由31()26F x x x =-的图象向下平移16个单位长度得到，而31()26F x x x =-的图象关于（0，0）对称， ··········· 7分所以函数3()2616F x x x =--的图象的对称中心坐标为(0,16)-； ······ 8分 （Ⅲ）假设存在a 使()g x 在[,]a a -上为减函数，2()66(23)12(1)F x x a x a '=-+++，6(1)(22)x x a =---， ························ 9分当()g x 在[,]a a -上为减函数，则()F x 在[,1]a 上为减函数，()f x 在[1,]a -上为减函数，且(1)(1)F f ≥，则3a -≥． ················· 10分 由（Ⅰ）知当1a <-时，()f x 的单调减区间是(1,)a -，(1)当12a =-时，2()6(1)0F x x '=-≥，()F x 在定义域上为增函数，不合题意； ···························· 11分 (2)当12a >-时，由()0F x '<得：122x a <<+，()F x 在(,1]-∞上为增函数，则在[,1]a 上也为增函数，也不合题意； ················ 12分(3)当12a <-时，由()0F x '<得：221a x +<<，()F x 在[22,1]a +上为减函数，如果()g x 在[,]a a -上为减函数，则()F x 在[,1]a 上为减函数，则：22a a +≤，所以2a -≤．······················ 13分 综上所述，符合条件的a 满足[3,2]--． ················ 14分。
四川省泸州市2016届高三第三次教学质量诊断性考试文数试题 含答案
数学（文科）第Ⅰ卷（共60分)一、选择题:本大题共12个小题，每小题5分,共60分。
在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.设集合{|(3)(2)0}M x x x =-+<，{|10}N x x =->，则M N =（ ）A ．(1,2）B ．（1，3）C ．（—1,2)D ．（—1，3）2.命题0:x R ρ∃∈，002lg x x ->,则ρ-是( )A ．0xR ∃∈，002lg x x -≤ B ．0xR ∃∈，002lg x x -<C ．x R ∀∈，2lg x x -<D ．x R ∀∈，2lg x x -≤ 3。
已知3cos 25θ=,则44sincos θθ-的值是（）A ．45B ．35C ．45- D ．35-4.某几何体的三视图如图所示，则其表面积为（ ） A ．3π B ．2π C ．π D ．4π5.圆2240x y x +-=的圆心到双曲线2213x y -=渐近线的距离为（ ）A 3B ．2C ．1D ．236。
执行如图所示的程序框图，若输入的,x y R ∈，则输出t 的最大值为（ ）A ．1B ．3C ．2D ．07。
设,a b R ∈,那么“ln 0a b>"是“0a b >>”的（ ）A ．充分不必要条件B ．充要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件8。
下表给出的是某港口在某季节每天几个时刻的水深关系。
若该港口的水深()y m 和时刻(024)t t ≤≤的关系可用函数sin()y A t h =ω+(其中0A >，0ω>,0h >）来近似描述,则该港口在11：00的水深为( ）A ．4mB ．5mC ．6mD ．7m 9。
若直线10()ax y a a R +-+=∈与圆224xy +=交于A B 、两点（其中O 为坐标原点），则AO AB 的最小值为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．410.已知函数,0,()ln ,0xxx e f x x x x ⎧-≤⎪⎪=⎨⎪>⎪⎩，12()421()x x g x a a a a R +=-+++-∈，若(())f g x e >对x R∈恒成立(e 是自然对数的底数)，则a 的取值范围是（ )A 。
泸州市二〇一六年高中阶段招生统一考试数学
泸州市二〇一六年高中阶段招生统一考试数学试题（考试时间：120分钟，试卷满分120分）一、选择题：本大题共12小题，每小题3分，共36分 1．6的相反数为A ．6-B ．6C ．16-D ．162．计算223a a -的结果是A ．24aB ．23aC ．22aD ．33．下列图形中不是轴对称图形的是A ．B ．C ．D ．4．将5570000用科学记数法表示正确的是A ．5.57×105B ．5.57×106C ．5.57×107D ．5.57×1085．下列立体图形中，主视图是三角形的是A ．B ．C ．D ．6．数据4，8，4，6，3的众数和平均数分别是A ．5，4B ．8，5C ．6，5D ．4，5 7．在一个布口袋里装有白、红、黑三种颜色的小球，它们除颜色外没有任何区别，其中白球2只，红球6只，黑球4只，将袋中的球搅匀，闭上眼睛随机从袋中取出1只球，则取出黑球的概率是A ．12B ．14C ．13D ．168．如图，ABCD W 的对角线AC 、BD 相交于点O ，且16AC BD +=，6CD =，则ABO△的周长是 A ．10 B ．14 C ．20 D ．22 9．若关于x 的一元二次方程222(1)10x k x k +-+-=有实数根，则k 的取值范围是 A ．1k ≥ B ．1k > C ．1k < D ．1k ≤ 10．以半径为1的圆的内接正三角形、正方形、正六边形的边心距为三边作三角形，则该三角形的面积是A ．3 B ．3C ．2D ．211．如图，矩形ABCD 的边长3AD =，2AB =，E 为AB 的中点，F 在边BC 上，且2BF FC =，AF 分别与DE 、DB 相交于点M ，N ，则MN 的长为A ．2B ．92C ．22D ．3212．已知二次函数22(0)y ax bx a =--≠的图象的顶点在第四象限，且过点(1,0)-，当a b -为整数时，ab 的值为 A ．34或1 B ．14或1 C ．34或12D ．14或34二、填空题：本大题共4小题，每小题3分，共12分 13．分式方程4103x x-=-的根是 ． 14．分解因式：2242a a ++= ．15．若二次函数2241y x x =--的图象与x 轴交于1(,0)A x 、2(,0)B x 两点，则1211x x +的值为 ．16．如图，在平面直角坐标系中，已知点(1,0)A ，(1,0)B a -，(1,0)(0)C a a +>，点P 在以(4,4)D 为圆心，1为半径的圆上运动，且始终满足90BPC ∠=o ，则a 的最大值是 ． 三、本大题共3小题，每小题6分，共18分 17．计算：02(21)12sin 60(2)--⨯+-o ．18．如图，C 是线段AB 的中点，CD BE =，//CD BE ．求证：D E ∠=∠．19．化简：322(1)12a a a a -+-⋅-+． 四．本大题共2小题，每小题7分，共14分20．为了解某地区七年级学生对新闻、体育、动画、娱乐、戏曲五类电视节目的喜爱情况，从该地区随机抽取部分七年级学生作为样本，采用问卷调查的方法收集数据（参与问卷调查的每名同学只能选择其中一类节目），并调查得到的数据用下面的表和扇形图来表示（表、图都没制作完成）节目类型 新闻 体育 动画 娱乐 戏曲人数36 90 a b 27 根据表、图提供的信息，解决以下问题： （1）计算出表中a 、b 的值；（2）求扇形统计图中表示“动画”部分所对应的扇形的圆心角度数；（3）若该地区七年级学生共有47500人，试估计该地区七年级学生中喜爱“新闻”类电视节目的学生有多少人？21．某商店购买60件A 商品和30件B 商品共用了1080元，购买50件A 商品和20件B 商品共用了880元．（1）A 、B 两种商品的单价分别是多少元？（2）已知该商店购买B 商品的件数比购买A 商品的件数的2倍少4件，如果需要购买A 、B 两种商品的总件数不少于32件，且该商店购买的A 、B 两种商品的总费用不超过296元，那么该商店有哪几种购买方案？五．本大题共2小题，每小题8分，共16分22．如图，为了测量出楼房AC 的高度，从距离楼底C 处603米的点D （点D 与楼底C 在同一水平面上）出发，沿斜面坡度为i 1:3=的斜坡DB 前进30米到达点B ，在点B 处测得楼顶A 的仰角为53°，求楼房AC 的高度（参考数据：sin530.8≈o ，cos530.6≈o ，4tan533≈o ，计算结果用根号表示，不取近似值）．23．如图，一次函数(0)y kx b k =+<与反比例函数my x=的图象相交于A 、B 两点，一次函数的图象与y 轴相交于点C ，已知点(4,1)A ．（1）求反比例函数的解析式； （2）连接OB （O 是坐标原点），若BOC △的面积为3，求该一次函数的解析式．六．本大题共2小题，每小题12分，共24分24．如图，ABC △内接于⊙O ，BD 为⊙O 的直径，BD 与AC相交于点H ，AC 的延长线与过点B 的直线相交于点E ，且A EBC ∠=∠．（1）求证：BE 是⊙O 的切线；（2）已知//CG EB ，且CG 与BD 、BA 分别相交于点F 、G ，若48BG BA ⋅=，2FG =，2DE BF =，求AH 的值．25．如图，在平面直角坐标系中，点O 为坐标原点，直线l与抛物线2y mx nx =+相交于(1,33)A ，(4,0)B 两点．（1）求出抛物线的解析式；（2）在坐标轴上是否存在点D ，使得ABD △是以线段AB 为斜边的直角三角形？若存在，求出点D 的坐标；若不存在，说明理由；（3）点P 是线段AB 上一动点，（点P 不与点A 、B 重合），过点P 作//PM OA ，交第一象限内的抛物线于点M ，过点M 作MC ⊥x轴于点C ，交AB 于点N ，若BCN △、PMN △的面积BCN S △、PMN S △满足BCN PMN S S =△△，求出MNNC的值，并求出此时点M 的坐标．泸州市二〇一七年高中阶段招生统一考试数学参考试题答案一．选择题（本题共12小题，每小题3分，共36分）： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案ACCBADCBDDBA二．填空题（本题共4小题，每小题3分，共12分）． 13．1x =-；14．22(1)a +；15．32-；16．6．三、本大题共3小题，每小题6分，共18分 17．解：02(21)12sin 60(2)--⨯+-o31234=-⨯+ 134=-+ =2．18．证明：∵C 是线段AB 的中点，∴AC =CB ， ∵CD ∥BE ， ∴∠ACD =∠B ，在ACD △和CBE △中，AC CB ACD B CD BE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴ACD △≌CBE △（SAS ）， ∴D E ∠=∠．19．解：322(1)12a a a a -+-⋅-+ (1)(1)32(1)12a a a a a +---=⋅-+242(1)12a a a a --=⋅-+ (2)(2)2(1)12a a a a a +--=⋅-+24a =-.四．本大题共2小题，每小题7分，共14分20．解：（1）∵喜欢体育的人数是90人，占总人数的20%，∴总人数=9045020%=（人）, ∵娱乐人数占36%， ∴45036%=162a =⨯，∴450162369027135b =----=（人）；（2）∵喜欢动画的人数是135人，∴135360108450⨯=o o ； （3）∵喜爱新闻类人数的百分比36100%8%450=⨯=， ∴47500×8%=3800（人）．答：该地区七年级学生中喜爱“新闻”类电视节目的学生有3800人． 21．解：（1）设A 种商品的单价为x 元、B 种商品的单价为y 元，由题意得：603010805020880x y x y +=⎧⎨+=⎩， 解得164x y =⎧⎨=⎩．答：A 种商品的单价为16元、B 种商品的单价为4元．（2）设购买A 商品的件数为m 件，则购买B 商品的件数为(24)m -件，由题意得：24164(24)m m m m +-⎧⎨+-⎩≥32≤296， 解得：1213m ≤≤， ∵m 是整数， ∴12m =或13，故有如下两种方案： 方案（1）：12m =，2420m -=即购买A 商品的件数为12件，则购买B 商品的件数为20件； 方案（2）： 13m =，2422m -= 即购买A 商品的件数为13件，则购买B 商品的件数为22件．五．本大题共2小题，每小题8分，共16分 22．解：如图作BN ⊥CD 于N ，BM ⊥AC 于M ．在BDN Rt △中，30BD =，:1:3BN BD =， ∴15BN =，153DN =，∵90C CMB CNB ∠=∠=∠=o ，∴四边形CMBN 是矩形，∴15CM BM ==，603153453BM CN ==-=，在ABM Rt △中，3tan 5AM ABM BM ∠==， ∴273AM =，∴15273AC AM CM =+=+．23．解：（1）∵点(4,1)A 在反比例函数my x=的图象上，∴414m =⨯=，∴反比例函数的解析式为4y x=； （2）∵点B 在反比例函数4y x=的图象上， ∴设点B 的坐标为4(,)n n．将(0)y kx b k =+<代入4y x=中，得： 4kx b x+=，整理得：240kx bx +-=， ∴44n k=-，即1nk =-， ①令(0)y kx b k =+<中0x =，则y b =， 即点C 的坐标为(0,)b ，∴132BOC S bn ==△，∴6bn =， ②∵点(4,1)A 在一次函数y kx b =+的图象上，∴14k b =+， ③联立①②③成方程组，即1614nk bn k b =-⎧⎪=⎨⎪=+⎩，解得：1232k b n ⎧=-⎪⎪=⎨⎪=⎪⎩，∴该一次函数的解析式为132y x =-+．六．本大题共2小题，每小题12分，共24分 24．（1）证明：连接CD ，∵BD 是直径， ∴∠BCD =90°，即∠D +∠CBD =90°， ∵∠A =∠D ，∠A =∠EBC ， ∴∠CBD +∠EBC =90°， ∴BE ⊥BD ，∴BE 是⊙O 切线；（2）解：∵CG ∥EB ，∴∠BCG =∠EBC ， ∴∠A =∠BCG ， ∵∠CBG =∠ABC ， ∴△ABC ∽△CBG ，∴BC ABBG BC=，即BC 2=BG •BA =48， ∴43BC =， ∵CG ∥EB ， ∴CF ⊥BD ，∴△BFC ∽△BCD ， ∴BC 2=BF •BD ， ∵DF =2BF ， ∴BF =4，在BCF Rt △中，2242CF BC FB =-=， ∴52CG CF FG =+=，在BFG Rt △中，2232BG BF FG =+=，∵BG •BA =48，∴82BA =即52AG =， ∴CG AG =，∴∠A =∠ACG =∠BCG ，∠CFH =∠CFB =90°， ∴∠CHF =∠CBF ， ∴CH =CB =4， ∵ABC △∽CBG △， ∴AC BCCG BG=， ∴203CB CG AC CG ⋅==， ∴83AH AC CH =-=． 25．解：（1）∵(1,33)A ，(4,0)B 在抛物线2y mx nx =+的图象上，∴331640m n m n ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩，解得343m n ⎧=-⎪⎨=⎪⎩， ∴抛物线解析式为2343y x x =-+；（2）存在三个点满足题意，理由如下：当点D 在x 轴上时，如图1，过点A 作AD ⊥x 轴于点D ， ∵(1,33)A ，∴D 坐标为(1,0)；当点D 在y 轴上时，设(0,)D d ，则221(33)AD d =+-，224BD d =+，且222(41)(33)36AB =-+=，∵ABD △是以AB 为斜边的直角三角形，∴222AD BD AB +=，即2221(33)436d d +-++=，解得3311d ±=，∴D 点坐标为3311(0,)+或3311(0,)-； 综上可知存在满足条件的D 点，其坐标为(1,0)或3311(0,)+或3311(0,)-； （3）如图2，过P 作PF ⊥CM 于点F ， ∵//PM OA ，∴ADO Rt △∽MEP Rt △， ∴33MF ADPF OD ==， ∴33MF PF =，在ABD Rt △中，3BD =，33AD =，∴tan 3ABD ∠=，∴60ABD ∠=o ，设BC a =，则3CN a =， 在PFN Rt △中，30PNF BNC ∠=∠=o ，∴3tan PF PNF FN ∠==， ∴3FN PF =，∴43MN MF FN PF =+=， ∵2BCN PMN S =△△S ， ∴22312432a PF =⨯⨯， ∴22a PF =，∴326NC a PF ==， ∴43226MN PFNC PF==， ∴2236MN NC a a ==⨯=， ∴(63)MC MN NC a =+=+∴M 点坐标为(4,(63))a a -+，又M 点在抛物线上，代入可得:23(4)43(4)(63)a a a --+-=+,解得32a =-或0a =（舍去）， 421OC a =-=+，263MC =+， ∴点M 的坐标为(21,263)++．。