《平行线等分线段定理,三角形、梯形的中位线》例题精讲与同步练习
初中数学相似三角形知识库平行线分线段成比例经典例题与变式练习(精选题目)
平行线分线段成比例平行线分线段成比例定理及其推论1. 平行线分线段成比例定理如下图，如果1l ∥2l ∥3l ，则BC EF AC DF =，AB DE AC DF =，AB ACDE DF=. l 3l 2l 1FE D CB A2. 平行线分线段成比例定理的推论：如图，在三角形中，如果DE BC ∥，则AD AE DEAB AC BC==ABCDEEDC B A3. 平行的判定定理：如上图，如果有BCDEAC AE AB AD ==，那么DE ∥ BC 。
专题一、平行线分线段成比例定理及其推论基本应用【例1】 如图，DE BC ∥，且DB AE =,若510AB AC ==，，求AE 的长。
EDCBA【例2】 如图，已知////AB EF CD ，若AB a =，CD b =，EF c =，求证：111c a b=+.FE DCBA【巩固】如图，AB BD ⊥，CD BD ⊥，垂足分别为B 、D ，AC 和BD 相交于点E ，EF BD ⊥，垂足为F .证明：111AB CD EF+=. FEDCBA【巩固】如图，找出ABD S ∆、BED S ∆、BCD S ∆之间的关系，并证明你的结论.FE DCBA【例3】 如图，在梯形ABCD 中，AB CD ∥， 129AB CD ==，，过对角线交点O 作EF CD ∥交AD BC ，于E F ，，求EF 的长。
OFED CBA【巩固】（上海市数学竞赛题）如图，在梯形ABCD 中，AD BC ∥，AD a BC b E F ==，，，分别是AD BC ，的中点，AF 交BE 于P ，CE 交DF 于Q ，求PQ 的长。
QPFED CBA专题二、定理及推论与中点有关的问题 【例4】 （2007年北师大附中期末试题）（1）如图（1），在ABC ∆中，M 是AC 的中点，E 是AB 上一点，且14AE AB =， 连接EM 并延长，交BC 的延长线于D ，则BCCD=_______. （2）如图（2），已知ABC ∆中，:1:3AE EB =，:2:1BD DC =，AD 与CE 相交于F ，则EF AFFC FD+ 的值为（ ）A.52 B.1 C.32D.2(1)MEDC BA(2)F ED CA【例5】 （2001年河北省中考试题）如图，在ABC ∆中，D 为BC 边的中点，E 为 AC 边上的任意一点，BE 交AD 于点O . （1）当1A 2AE C =时，求AOAD的值；E AO（2）当11A 34AE C =、时，求AOAD的值； （3）试猜想1A 1AE C n =+时AOAD的值，并证明你的猜想.【例6】 （2003年湖北恩施中考题）如图，AD 是ABC ∆的中线，点E 在AD 上，F 是BE 延长线与AC 的交点.（1）如果E 是AD 的中点，求证：12AF FC =； （2）由（1）知，当E 是AD 中点时，12AF AEFC ED=⋅成立，若E 是AD 上任意一点（E 与A 、D 不重合），上述结论是否仍然成立，若成立请写出证明，若不成立，请说明理由.F E DCBA【巩固】（天津市竞赛题）如图，已知ABC ∆中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 上的一点，且BE AC =，延长BE 交AC 于F 。
平行线等分线段定理、三角形中位线定、理梯形中位线定理
★★例2:如图,梯形ABCD中，ＡＤ//BＣ,BＣ>AD,Ｅ、F分别是AＤ、BC的中点， C=５４ ,
B=３6 ，求证：EF= （BＣ-AD）
★例1:如图，ＭN分别是平形四边形ABCD中AB、CＤ的中点,CM交ＢD于E,AN交BD于F,求证：ＢE=ＥF＝FD
思路：观察图形,若要证在同一条直线上的三条线段相等,联想相关的定理，显然是需要构成“平行线等分线段定理的”基本图形，由于M． N分别是AB、CD的中点，因此有AM=MＢ，DＮ=NC,若有AN∥ＭＣ,则可构造出一组平行线，从而使问题得证。这样，推证AN∥MC成为解决问题的关键。
[内容]
平行线等分线段定理、三角形中位线定、理梯形中位线定理
【内容综述】
1.三角形中位线性质定理，梯形中位线性质定理，是三角形、梯形的重要性质。特别是三角形中位线，是继三角形的角平分线、中线、高线后的又一条重要线段。因此在研究三角形问题中，三角形中位线是常常需要添加的辅助线。ﻫ２.在复杂图形中,通过观察图形,联系已知条件，联想并构造平行线等分线段定理、三角形中位线定理及梯形中位线定理的基本图形。定理与基本图形的对应关系,是我们正确联想，添加辅助线,将复杂问题转化为简单问题,将不熟悉问题转化为熟悉问题,形成思路的关键环节。ﻫ【例题分析】
由于AＢCD是平行四边形,因此有AB//=CＤ,由于M,Ｎ分别是ＡB、ＣＤ的中点,因此ＮC／/=AM,从而可推证出AＮ//CM。这样我们分别过Ｄ,Ｂ两点作ＡN的平行线，则“平行线等分线段定理”的基本图形构成使思路形成。ﻫ思路二：若我们没有想到“平行线等分线段定理”，而在平行四边形ABＣD中，观察到Ｍ,Ｎ点分别是△DEＣ及△AFB的ＣD、AB边的中点，这时,我们自然联想“平行线等分线段定理推论”的基本图形，只需要推证出F点是DＥ的中点，E点是ＦB的中点，显然,不论是联想“平行线等分线段定理”的基本图形,还是“平行线等分线段定理推论”的基本图形，其共性特点，即解决问题的关键,都需要推证出AN／/ＭC，两种思路但根据已知条件,推证AN//MC的方法是一样的。
[特约]初二数学平行线等分线段定理
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初二数学平行线等分线段定理【教学内容与目的要求】教学内容：1．平行线等分线段定理；2．三角形、梯形的中位线；教学目的与要求：1．理解并掌握平行线等分线段定理，并着重掌握两个推论。
2．会利用平行线等分线段定理将一条线段用直尺和圆规进行若干等分。
3．掌握三角形、梯形的中位线的定义。
4．理解并熟练掌握三角形和梯形的中位线定理，并要求能够灵活运用中位线定理解决一些较为综合性的几何题目。
5．建立起利用中点来构造三角形中位线和梯形中位线的观念，以便顺利地添加出某些中位线。
【知识重点与学习难点】1．平行线等分线段定理是三角形、梯形中位线定理的基础，而它本身又是第五章相似形中平行线分线段成比例定理的特殊情况。
所以在学习这一小节内容时要明确此定理在这儿是作为过渡性的工具，起承上启下作用的。
当然平行线等分线段定理自身也有着极其重要的应用，需要大家能够牢固地掌握。
2．三角形的中位线和梯形的中位线可以这么说是三角形和四边形的精华，也是这两章内容的高潮。
它的综合性和灵活性都较强，它较为系统地串联了三角形一章和四边形一章这两章的大部分内容，故而这一小节要作为重中之重，格外重视。
三角形的中位线定理和梯形的中位线定理都告诉了我们两个方面的结论，即位置关系(平行)和数量关系(一半)。
【方法指导与教材延伸】1．平行线等分线段定理实际上是通过平行线将“相等”进行转移。
即“如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么这一组平行线在其他直线上截得的线段也相等”。
它是将一条直线上的线段相等“转移”到另一条直线上的线段相等。
2．作为“平行线等分线段定理”的两个推论是两种特殊情况。
它们特殊在截线与被截线的位置的特殊，从而得到了两个推论：⑴经过梯形一腰中点与底平行的直线，必等分另一腰；⑵经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边。
这两个推论都是由平行和相等这两个条件得出相等。
3．三角形的中位线是连结三角形两边中点的线段。
一个三角形有三条中位线。
中考数学之平面几何最全总结+经典习题
平面几何知识要点（一)【线段、角、直线】1.过两点有且只有一条直线.2.两点之间线段最短。
3.过一点有且只有一条直线和已知直线垂直。
4.直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂直线段最短。
垂直平分线，简称“中垂线”。
定义:经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线,叫做这条线段的垂直平分线（中垂线）。
线段的垂直平分线可看作和线段两端点距离相等的所有点的集合。
中垂线性质：垂直平分线垂直且平分其所在线段。
垂直平分线定理:垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等。
逆定理：到一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上。
三角形三条边的垂直平分线相交于一点，该点叫外心,并且这一点到三个顶点的距离相等。
角1.同角或等角的余角相等。
2.同角或等角的补角相等.3.对顶角相等。
角的平分线性质角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合定理1：角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等.定理2：到一个角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上.三角形各内角平分线的交点,该点叫内心，它到三角形三边距离相等。
【平行线】平行线性质1:两直线平行，同位角相等。
平行线性质2：两直线平行，内错角相等。
平行线性质3:两直线平行，同旁内角互补。
平行线判定1:同位角相等,两直线平行。
平行线判定2：内错角相等，两直线平行。
平行线判定3：同旁内角互补,两直线平行。
平行线判定4：如果两条直线都和第三条直线平行,这两条直线也互相平行.平行公理：经过直线外一点,有且只有一条直线与这条直线平行。
平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例。
推论:平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例。
平面几何知识要点（二)【三角形】面积公式：1． 已知三角形底a ，高h ，12S ah =2． 正三角形面积 S=24(a 为边长正三角形）3．已知三角形三边a ，b,c ，则S =（海伦公式) 其中:()2a b c p ++= （周长的一半） 4．已知三角形两边a ，b 及这两边夹角C ，则1sin 2S ab C =. 5．设三角形三边分别为a 、b 、c,内切圆半径为r ，则()2a b c r S ++= 6．设三角形三边分别为a 、b 、c,外接圆半径为R ，则4abc S R =记住★:已知正三角形边长为a ,其外接圆半径为R ，内切圆半径为r ，则有：R = ,r = ， 2R r = 内角和定理：三角形三个内角的和等于180°推论1 :直角三角形的两个锐角互余推论2 ：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和推论3 ：三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角全等三角形性质：如果两三角形全等，那么其对应边，对应角相等.其中对应边除了三角形的边长外，还包括对应高,对应中线，对角平分线.全等三角形判定定理：边边边公理：有三边对应相等的两个三角形全等.（SSS ）边角边公理：有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。
平行线分线段成比例经典例题与变式练习(精选题目)
平行线分线段成比例平行线分线段成比例定理及其推论1. 平行线分线段成比例定理如下图，如果1l ∥2l ∥3l ，则BC EF AC DF =，AB DE AC DF =，AB ACDE DF=. l 3l 2l 1FE D CB A2. 平行线分线段成比例定理的推论：如图，在三角形中，如果DE BC ∥，则AD AE DEAB AC BC==ABCDEEDC B A3. 平行的判定定理：如上图，如果有BCDEAC AE AB AD ==，那么DE ∥ BC 。
专题一、平行线分线段成比例定理及其推论基本应用【例1】 如图，DE BC ∥，且DB AE =,若510AB AC ==，，求AE 的长。
EDCBA【例2】 如图，已知////AB EF CD ，若AB a =，CD b =，EF c =，求证：111c a b=+.FE DCBA【巩固】如图，AB BD ⊥，CD BD ⊥，垂足分别为B 、D ，AC 和BD 相交于点E ，EF BD ⊥，垂足为F .证明：111AB CD EF+=. FEDCBA【巩固】如图，找出ABD S ∆、BED S ∆、BCD S ∆之间的关系，并证明你的结论.FE DCBA【例3】 如图，在梯形ABCD 中，AB CD ∥， 129AB CD ==，，过对角线交点O 作EF CD ∥交AD BC ，于E F ，，求EF 的长。
OFED CBA【巩固】（上海市数学竞赛题）如图，在梯形ABCD 中，AD BC ∥，AD a BC b E F ==，，，分别是AD BC ，的中点，AF 交BE 于P ，CE 交DF 于Q ，求PQ 的长。
QPFED CBA专题二、定理及推论与中点有关的问题 【例4】 （2012年北师大附中期末试题）（1）如图（1），在ABC ∆中，M 是AC 的中点，E 是AB 上一点，且14AE AB =， 连接EM 并延长，交BC 的延长线于D ，则BCCD=_______. （2）如图（2），已知ABC ∆中，:1:3AE EB =，:2:1BD DC =，AD 与CE 相交于F ，则EF AFFC FD+ 的值为（ ）A.52B.1C.32D.2(1)MEDC BA(2)F ED CBA【例5】 （2011年河北省中考试题）如图，在ABC ∆中，D 为BC 边的中点，E 为 AC 边上的任意一点，BE 交AD 于点O .（1）当1A 2AE C =时，求AOAD的值；（2）当11A 34AE C =、时，求AOAD的值； （3）试猜想1A 1AE C n =+时AOAD的值，并证明你的猜想.【例6】 （2013年湖北恩施中考题）如图，AD 是ABC ∆的中线，点E 在AD 上，F 是BE 延长线与AC 的交点.（1）如果E 是AD 的中点，求证：12AF FC =； （2）由（1）知，当E 是AD 中点时，12AF AEFC ED=⋅成立，若E 是AD 上任意一点（E 与A 、D E D CBAO不重合），上述结论是否仍然成立，若成立请写出证明，若不成立，请说明理由.F E DCA【巩固】（天津市竞赛题）如图，已知ABC ∆中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 上的一点，且BE AC =，延长BE 交AC 于F 。
三角形梯形中位线
三角形梯形中位线知识点：1．三角形中位线：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。
（1）三角形的中位线有三条，它们把三角形分成四个全等三角形。
（2）三角形的中位线与三角形的中线不同 （3）三角形的中位线性质：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半。
定理符号语言表达：在△ABC 中，点D,E 分别是AB,AC 的中点， ；。
2．梯形中位线：1）定义：连接梯形两腰中点的线段叫做梯形的中位线2）性质定理：梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半。
定理符号语言表达：在梯形ABCD 中，AD ∥BC ∵ ；∴ 。
注：在同一条件下，有两个结论，一个是位置关系，另一个数量关系；3）归纳总结出梯形的又一个面积公式：我们知道：S 梯=21(a+b)h 设中位线长为l ,则l = , 故 S= 梯形面积等于中位线与高的积3、中点四边形：1）顺次连接任意四边形、平行四边形各边中点所得的四边形是 ——— 平行四边形； 2）顺次连接矩形、等腰梯形及对角线相等的四边形各边中点所得的四边形是 —— 菱形； 3）顺次连接菱形、对角线互相垂直的四边形各边中点所得的四边形是 ——— 矩形； 4）顺次连接正方形各边中点所得的四边形是 ————正方形；总结：中点四边形取决与原四边形的对角线；1）当原四边形的对角线相等时，中点四边形是菱形。
2）当原四边形的对角线互相垂直时，中点四边形是矩形。
3）当原四边形的对角线相等且垂直时，中点四边形是正方形。
ED BCAEBD A CF图2试一试：1．三角形的中位线______于第三边，并且等于_______．2．一个三角形的中位线有_________条．3.如图△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，则线段CD是△ABC的＿＿＿，线段DE是△ABC＿＿＿＿＿＿＿4、如图，D、E、F分别是△ABC各边的中点（1）如果EF＝4cm，那么BC＝＿＿cm（2）如果AB＝10cm，那么DF＝＿＿＿cm，中线AD与中位线EF的关系是＿＿＿5．等腰梯形的腰长为8，中位线长为9，则梯形的周长为；6．已知梯形的中位线长为6，上底长为3，则下底长为；7．已知梯形的高为5，中位线长为6，则梯形面积为；8．已知梯形中位线长是5cm，高是4cm，则梯形的面积是。
初中数学专题复习三角形、梯形的中位线
三角形、梯形的中位线一、等分线段定理1.平行线等分线段定理如果一组平行线在一条直线上截得的线段______，那么这组平行线在其它直线上截得的线段也_____.如图1，如果_______________并且___________,那么DE=DF.2.推论1 如果一条直线经过梯形的一条腰的___点，并且平行于底边, 那么这条直线必平分梯形的另一条___。
如图2，在梯形ABCD中，AD∥BC，并且___________,那么DF=FC.3．推论2 如果一条直线经过三角形的一条边的____点并且平行于另一边, 那么这条直线必平分三角形的__________.如图3,若AD=______并且_____________,则AE=EC.4.如图4，要证明AE=EB，DG=GB，必须先证明_____∥_____∥_____, 并且 _____=_____.5. 如图5，在ΔBHC中，要证明BG=GH，必须先证明____∥_____ , 并且 ____=______.在ΔDGA中，要证明DH=HG，必须先证明____∥_____ , 并且 ____=______.6.如图6，在ΔBFC中，要证明BG=GF，必须先证明_____∥_____,并且 _____=_____在ΔAGD中，要证明AF=FG，必须先证明_____∥_____,并且 _____=_____.7．如图，已知：ABCD中，E、F分别是AD、BC的中点。
求证：（1）四边形AFCE是平行四边形。
（2）BG=GH=HD。
8．如图，已知：AD 是ΔABC 的中线，E 是AD 的中点。
求证：FB=2AF 。
[提示作DG ∥CF ，交AB 于G]9.如图,AB ⊥BC,OH ⊥BC, DC ⊥BC,AO=OD,OE=OF. 求证:BE=CF.[提示：先证明AB ∥OH ∥DC ，BH=HC ，EH=HF]二、 三角形中位线定理1.连结三角形两边_____点的线段叫做三角形的中位线。
平行线等分线段定理三角形梯形的中位线(含答案)
平行线等分线段定理，三角形、梯形的中位线重点与难点：三角形、梯形中位线的综合运用 一、知识点（1）平行线等分线段定理：如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其它直线上截取的线段也相等。
推论1：经过梯形一腰与底平行的直线，必平分另一腰。
推论2：经过三角形一边的中点与另一边平行的直线平分第三边。
（2）三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半。
（3）梯形中位线定理：梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半。
二、例题：例1、下列图形是不是中心对称图形？若是，请指出对称中心。
（1）线段；（2）直线；（3）平行四边形；（4）圆解： （1）线段是中心对称图形，对称中心是线段的中点；（2）直线是中心对称图形，对称中心是直线上的任意一点；（3）平行四边形（当然也就包括了矩形、菱形、正方形）是中心对称图形，对称中心是两条对角线的交点；（4）圆是中心对称图形，对称中心是圆心。
例2、判断下列说法是否正确：（1）矩形的对边关于对角线交点对称。
（ ） （2）圆上任意两点关于圆心对称。
（ ）（3）两个全等三角形必关于某一点中心对称。
（ ） （4）成中心对称的两个图形中，对应线段平行且相等。
（ ） 解：（1）（4）正确（2）（3）错误例3、在下列图形中既是轴对称图菜，又是中心对称图形的是（ ）①任意平行四边形；②矩形；③菱形；④正方形；⑤正三角形；⑥等腰直角三角形 解：①②③例4、下列图形是中心对称图形而不是轴对称图形的是（ ） ①平行四边形；②一条线段；③一个角；④圆 解：①＊例5、在△ABC 中，∠A≠90°，作既是轴对称又是中心对称的四边形ADEF ，使D 、E 、F 分别在AB 、BC 、CA 上，这样的四边形可以作（ ）个D C FEBDCF B A3DCEB A21DCF B A解：如图：因为四边形ADEF 是中心对称图形， 所以它一定是平行四边形； 因为四边形ADEF 是轴对称图形， 所以它的对角线互相垂直。
八年级数学暑假专题 梯形、梯形中位线、三角形中位线 人教版 知识精讲
八年级数学暑假专题——梯形、梯形中位线、三角形中位线 人教版【本讲教育信息】一. 教学内容：梯形、梯形中位线、三角形中位线、平行线等分线段定理及其2个推论二. 重点、难点：1. 重点：等腰梯形的性质及判定，平行线等分线段定理的2个推论的应用，三角形、梯形中位线定理的应用。
2. 难点：等腰梯形性质的综合应用，平行线等分线段定理的2个推论的应用，三角形、梯形中位线定理的综合应用。
三. 知识结构四边形平行四边形梯形直角梯形等腰梯形⎧⎨⎩⎧⎨⎪⎩⎪ 等腰梯形性质（）两腰相等（）在同一底上的两角相等（）两条对角线相等基本性质（）两个等腰三角形（）延长两腰形成一等腰三角形（）拔高性质对称：等腰梯形为轴对称图形，不是中心对称图形判定（）两腰相等的梯形为等腰梯形（）在同一底上的角相等的梯形为等腰梯形可直接用（）对角线相等的梯形为等腰梯形——简单证明后可用1234561232⎫⎬⎪⎭⎪=-⎫⎬⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎫⎬⎭⎧⎨⎪⎩⎪⎧⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪BE BC AD A D O B D C A D B E平行线等分线段定理定理：如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等。
推论：经过梯形一腰的中点与底平行的直线，必平分另一腰。
推论：经过三角形一边的中点与另一边平行的直线，必平分第三边。
12⎧⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪A DEBAEB三角形的中位线定义：连结三角形两边中点的线段。
定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半。
⎧⎨⎩()梯形的中位线定义：连结梯形两腰··中点的线段。
定理：梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半。
面积：（为中位线）··S a b h l h l=+=⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪12【典型例题】例1. 已知一个等腰梯形的高是2m，它的中位线长是5m，一个底角是45°，求这个梯形的面积和上、下底边的长。
平行线分线段成比例经典例题与变式练习(精选题目)
平行线分线段成比例知识梳理平行线分线段成比例定理及其推论1.平行线分线段成比例定理如下图，如果h // I2 // I3，则BCACABDEACDF2.平行线分线段成比例定理的推论:3.平行的判定定理:AB DEAC12DF，EFDF如图，在三角形中，如果ADDE // BC，贝U --ABAEACDEBC 如上图，如果有ADABAEACDEBC，那么DE // BC专题讲解专题一、平行线分线段成比例定理及其推论基本应用【例1】如图，DE // BC，且DB AE,若AB 5, AC 10，求AE的长。
【例2】如图，已知AB//EF//CD，若AB a , CD b , EF c ,求证：111. cab 【巩固】如图，AB BD，CD BD，垂足分别为B、D，AC和【巩固】如图，找出S ABD、S BED、S BCD之间的关系，并证明你的结论BD相交于点E，EF BD，垂足为F .证明:1 1AB CD1EFA连接EM 并延长，交BC 的延长线于D ， 则CC （2）如图（2），已知 ABC 中，AE:EB 1:3，BD :DC 2:1，AD 与CE 相交于F ，则EF FCAF FD的值为（）A.|B.1C.【例5】（2001年河北省中考试题）如图，在 AC 边上的任意一点，BE 交AD 于点O .【例3】如图，在梯形ABCD 中，AB // CD , AB 12 , CD 9，过对角线交点0作EF // CD 交 AD , BC 于 E , F ，求 EF 的长。
【巩固】（上海市数学竞赛题）如图，在梯形 ABCD 中，AD // BC ，AD a ，BC b ，E ，F 分别 是AD ，BC 的中点，AF 交BE 于P ，CE 交DF 于Q ，求PQ 的长。
专题二、定理及推论与中点有关的问题 【例4】（2007年北师大附中期末试题）1（1）如图（1），在 ABC 中，M 是AC 的中点，E 是AB 上一点，且AE - AB ，43 2D.2A(1)当AE-时，求AO的值；AC2AD(2)当AE 1 1 口」、—求A0的值；AC 3 4AD(3)试猜想AE 1AC n 1时A0的值，并证明你的猜想AD【例6】（2003年湖北恩施中考题）如图，AD是ABC的中线，点E在AD上，F 是BE延长线与AC的交点.（1）如果E是AD的中点，求证：圧 -；FC 2（2）由（1）知，当E是AD中点时，圧-成立，若E是AD上任意一点（E与A、DFC 2 ED不重合），上述结论是否仍然成立，若成立请写出证明，若不成立，请说明理由.【巩固】（天津市竞赛题）如图，已知ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD 上的一点，且BE AC，延长BE交AC于F。
三角形、梯形的中位线
H
G
D G
E G F C B
A E
C B F B
E
F
C
结论：中点四边形都是平行四边形； 若原四边形对角线相等，则中点四边形是菱形； 若原四边形对角线垂直，则中点四边形是矩形.
二、例题和练习
例3. 一题多证： 已知：如图，梯形ABCD中，AB∥CD. 以AD、AC为邻边作平 E 行四边形ACED，DC的延长线交BE于F. 求证：EF=FB. C D F 方法一：提示：延长EC交EC交AB于M. AMCD是平行四边形，AD=CM； A B M ACED是平行四边形，AD=CE. 在△EMB中，CE=CM，CF∥AB. ∴EF=FB. （推论2）
第九讲 平行线等分线段定理及三角 梯形中位线（ 形、梯形中位线（二）
主讲 宗老师
一、主要知识点
1 平行线等分线段定理及推论：
A A E D F
B
C
若AE=BE, EF∥AD∥BC, 则DF=CF.
B
E
F
若AE=BE, EF∥BC, 则AF=CF.
C
2 梯形中位线定理和三角形中位线定理：
若EF是梯形中位线， 则EF∥AD∥ BC， 1 且EF = (AD + BC). 2 若EF是△ABC的中位线， 则EF∥BC， 1 且EF = BC. 2
∵M是CD中点，F是CE中点，\ MF = ∴MNBF是平行四边形，MN=BF. ∵∠A+∠B=90°, ∠1=∠B.
1 1 DE, NB = AB. 2 2
∴∠1+∠E=90°. △BCE是直角三角形.
\ ∵ F是斜边BE的中点， BF = 1 1 1 CE= (AB - CD). \ MN = (AB - CD). 2 2 2
八年级数学方程组、平行线等分线段定理、三角形的中位线知识精讲试题
初二数学方程组、平行线等分线段定理、三角形的中位线人教版制卷人：打自企；成别使；而都那。
审核人：众闪壹；春壹阑；各厅……日期：2022年二月八日。
【本讲教育信息】一. 教学内容：代数：〔1〕由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组；〔2〕由一个二元二次方程和一个可以分解为两个二元一次方程的方程组成的方程组。
几何：平行线等分线段定理，三角形的中位线。
二. 重点、难点：重点：代数：代入消元法解由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组。
逆用根与系数关系法解由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组；掌握由一个二元二次方程和一个可以分解为两个二元一次方程的方程组成的方程组的解法。
几何：掌握平行线等分线段定理及两个推论；初步掌握三角形中位线定理。
难点：代数：代入消元法、逆用根与系数关系法解二元一次方程组，以及解由两个二元二次方程组成的方程组。
几何：平行线等分线段定理及两个推论的应用；三角形中位线定理的初步应用。
三. 知识要点代数：1. 二元二次方程的一般形式：ax bxy cy dx ey f 220+++++=ax bxy cy 22，，——二次项〔a 、b 、c 不能同时为零〕dx ey ，——一次项f ——常数项2. 二元二次方程组 ax by cmx mnxy gy dx ey f +=+++++=⎧⎨⎩220或者a x b xy c y d x e y f a x b xy c y d x e y f 121121112222222200+++++=+++++=⎧⎨⎪⎩⎪ 3. 解二元二次方程组根本思想：消元降次根本方法：代入消元，加减消元法几何：1. 平行线段等分线段定理：假如一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等。
推论1：经过梯形一腰的中点与底平行的直线，必平分另一腰。
推论2：经过三角形一边的中点与另一边平行的直线，必平分第三边。
2. 三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半。
平行线等分线段定理及三角形、梯形中位线
A D
l1
A
l1
E
F
E
F
l2
l2
B
C
l3
B
C
l3
m
n
m
n
推论1. 经过梯形一腰的中点与底平行的直线必平分另一腰. 推论2. 经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分 第三边.
一、主要知识点
2. 三角形的中位线定理： 三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半. 3. 梯形的中位线定理： 梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半. S梯形=中位线· 高. 4. 定理的推广： 若l1∥l2∥l3∥l4, AB=BC=CD. 则A`B`=B`C`=C`D`.
二、例题和练习
例3：已知：如图，在矩形ABCD中，AC、BD交于O，E、 A D F分别是OA、OD的中点. E F 求证：四边形EBCF是等腰梯形. 1 O 2 证明：∵ABCD是矩形， C B ∴AD∥BC, AC=BD, OA=OC=OB=OD. ∵ E、F分别是OA、OD的中点， ∴ EF∥AD（三角形中位线定理） ∴ EF∥BC.且BC>EF, BE与CF不平行. ∴四边形EBCF是梯形. ∵ OE=OF，∠1=∠2，OB=OC. ∴ △BEO≌△CFO. ∴ BE=CF. ∴梯形EBCF是等腰梯形.
又BD＝DC，
∴△BDG≌△CDE. 故DG＝DE，即GE＝2DE， 因此AG＝2DE.
[例9] 已知，如图，梯形ABCD中，
AD∥BC，∠ABC＝90°，M是CD的中点， 求证：AM＝BM. [思路点拨] 解答本题应先通过作辅 助线构造推论2的应用条件．
[证明]
过点M作ME∥BC交AB于点E，
∵AD∥BC， ∴AD∥EM∥BC. 又∵M是CD的中点， ∴E是AB的中点． ∵∠ABC＝90°， ∴ME垂直平分AB. ∴AM＝BM.
八年级数学解一元二次方程,平行线等分线段定理及中位线定理人教版知识精讲
初二数学解一元二次方程，平行线等分线段定理及中位线定理人教版【同步教育信息】一. 本周教学内容：代数：解一元二次方程几何：平行线等分线段定理及中位线定理［教学目标］1. 用配方法解一元二次方程。
2. 掌握平行线等分线段定理，三角形、梯形中位线定理。
二. 重点、难点：1. 重点：代数：用配方法解一元二次方程。
几何：应用平行线等分线段定理，中位线定理解题。
2. 难点：代数：配方法。
几何：应用平行线等分线段定理添加辅助线。
三. 内容概要：1. 配方法2. 平行线等分线段定理，三角形、梯形中位线定理。
【典型例题】代数比较下列方程并试着解出方程（2）：方程：()x x x +=+=-32167222()()对比！ 解：（1）x x x =-±∴=-+=--32323212，， （2）x x 26979++=-+()∴+=∴=-+=--x x x 323232212，配方法：步骤（1）把方程中二次项系数变为“1”常数项移到右边。
（2）“＝”两边同时加上“一次项系数一半的平方”。
（3）用直接开平方法解出方程。
例1. 用配方法解下列方程：（1）x x 2450--=（2）3830x x 2--=解：（1）x x 245-=()x x x x x x 222212442542292351-+-⎛⎝ ⎫⎭⎪=+-⎛⎝ ⎫⎭⎪∴-=-=±==-，（2）3832x x -= x x x x x x x x 22222128318343143432594353313-=-+-⎛⎝ ⎫⎭⎪=+-⎛⎝ ⎫⎭⎪-⎛⎝ ⎫⎭⎪=-=±==-，例2. 解下列方程：（1）25202x x ++=（2）x x 210-+=（3）x px q p q 22040++=-≥()解：（1）x x 2521+=- x x x x x 222212525415454916122++⎛⎝ ⎫⎭⎪=-+⎛⎝ ⎫⎭⎪+⎛⎝ ⎫⎭⎪=∴=-=-， （2）x x 21-=-x x 22212112-+-⎛⎝ ⎫⎭⎪=-+-⎛⎝ ⎫⎭⎪ x -⎛⎝ ⎫⎭⎪=-12342，由于任何数平方是非负数。
初二数学平行线等分线段定理知识精讲精练 人教义务几何
初二数学平行线等分线段定理知识精讲精练人教义务几何【学习目标】1．能说出平行线等分线段定理及两个推论，并会运用它们进行有关的证明．2．会根据平行线等分线段定理，按要求等分一条已知线段．【主体知识归纳】1．平行线等分线段定理如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等．2．推论1:经过梯形一腰的中点与底平行的直线必平分另一腰．3．推论2:经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边．【基础知识精讲】1．学习时，为了能灵活地掌握和运用定理，可多见识一些定理的变式图形，如图4－85，若已知l1∥l2∥l3，AB＝BC，则由定理就可以直接得到A1B1＝B1C1，应认识到：被平行线组所截两条直线的相对位置，不影响定理的结论．2．平行线等分线段定理及推论，是证明线段相等的重要定理，因此在三角形或梯形中，要注意观察是否符合定理条件．若题目中只给出了三角形一边（或梯形一腰）的中点这个条件，常常过该点作三角形（或梯形）其他边（或底）的平行线，从而构造出推论1、2中的基本图形，这是常用的一种辅助线．【例题精讲】［例1］如图4－86，已知∠1＝∠2，BE⊥AE，AB＝3AC，求证：AD＝DE．剖析：由已知∠1＝∠2，AE⊥BE，易想到延长AC、BE相交于F，构成全等三角形得到BE＝FE，即E是BF的中点，再由推论2想到过E作EG∥BC交AF于G，利用推论2即可得证．证明：延长AC、BE相交于点F，过E作EG∥BC，交AF于G．∵∠1＝∠2，AE＝AE，∠AEB＝∠AEF＝90°，∴△ABE≌△AFE．∴AB＝AF，BE＝FE．∵AB＝3AC，∴AF＝3A C．∴FC＝2A C．∵BC ∥EG ，∴CG ＝FG ．∴AC ＝CG ＝GF ．∴AD ＝DE ．说明：有效地结合条件，进行补形，并通过添加平行线，利用平行线等分线段定理来证明问题，对于证题思路及证明过程要认真体会．［例2］已知如图4－87，△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 的中点，BE 的延长线交AC 于F ，求证：AF ＝31AC ．剖析：要证AF ＝31AC ，只要证AF ＝21F C ．考虑到D 是BC 的中点，故可过点D 作DG ∥BF ，交AC 于点G ，构造出“过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边”的基本图形，从而可得CG ＝GF ＝21FC ，同时还可兼得AF ＝FG ，问题得证． 证明：过点D 作DG ∥BF 交AC 于G ．在△BCF 中，BD ＝CD ，DG ∥BF ，∴CG ＝GF ． 在△ADG 中，AE ＝DE ，EF ∥DG ，∴AF ＝FG ， ∴AF ＝FG ＝GC ，即AF ＝31A C ． ［例3］如图4－88，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ADC ＝∠BCD ＝90°，AE ＝EB ．求证：CE ＝DE剖析：欲证CE ＝DE ，可构造以CE 、DE 为对应边的两个全等三角形，由已知得E 是梯形一腰的中点，因此由推论1可想到过E 作底的平行线EF ，这样就构造了两个全等三角形．证明：过E 作EF ∥BC 交CD 于F ， ∵AE ＝BE ，EF ∥BC ， ∴DF ＝CF∵∠BCD ＝90°，∴∠DFE ＝∠CFE ＝90° 又∵EF ＝EF ， ∴△ECF ≌△EDF ，∴CE ＝DE ．【同步达纲练习】 1．选择题（1）如图4－89，l 1∥l 2∥l 3，则下列结论中错误的是（ ）A ．由AB ＝BC 可得FG ＝GH B ．由AB ＝BC 可得OB ＝OG C ．由CE ＝2CD 可得CA ＝2BCD ．由GH ＝21FH 可得CD ＝DE （2）如图4－90，AD ∥EF ∥BC ，AE ∶EB ＝2∶3，且DF ＝4 cm ，则DC 等于（ ）A ．5 cmB ．6 cmC ．8 cmD ．10 cm（3）如图4－91，AD 是△ABC 的高，E 为AB 的中点，EF ⊥BC ，如果DC ＝31BD ，那么FC 是BF 的（ ）A ．35倍 B ．34倍 C ．23倍 D ．32倍 2．填空题（1）如图4－92，已知AB ∥CD ∥EF ，AF 、BE 相交于点O ，若AO ＝OD ＝DF ，BE ＝10 cm ，则BO ＝_____．（2）已知：D为△ABC的边AB的中点，DE∥BC交AC于E，若AE＝3，则AC＝_____．（3）已知：在△ABC中，AB＝AC，F为BC的三等分点，EF⊥BC交AB于E，若BE＝2，则AB＝_____．（4）如图4－93，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝45°，AC＝10 cm，D是AB的中点，DE⊥BC于E，则CE＝_____cm．3．作图题：在已知线段AB上求作一点C，使AC∶CB＝3∶2（不写作法，保留作图痕迹）．4．已知△ABC中，AB＝AC，E是AC中点，EF⊥BC于点F，求证：BC＝4CF．5．如图4－94，已知在△ABC中，AD、BF为中线，AD、BF相交于点G，CE∥FB交AD 的延长线于E．求证：AG＝2DE．6．如图4－95，已知△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD中点，BE延长线交AC于F．求证：CF＝2AF．7．如图4－96，四边形ABCD 是平行四边形，AE ∥DB ，DB 的延长线交CE 于F ． 求证：CF ＝EF ．【思路拓展题】 做一做现要把一块如图4－97所示的直角三角形果园，承包给甲、乙、丙三家村民，已知甲、乙、丙三家人口分别为2人、3人、5人，果园的分配办法按人口比例，并要求每家果园地均有一部分紧靠水渠的一边AB ，C 点处是三家合用的肥料库，所以C 点必须是三家果园地的交界处．用尺规在图中作出各家果园地的分界线（不写作法，保留作图痕迹，并标出户名）．参考答案【同步达纲练习】 1．（1）B （2）D （3）A2．（1）310cm （2）6 （3）3 （4）53．略4．提示：过点A 作AD ⊥BC 于D ．5．提示：先证AG ＝EG ，再证GD ＝ED ． 6．提示：过点D 作DG ∥BF 交AC 于G ．7．提示：连结AC 交BD 于点O ，得O 是AC 的中点，再由AE ∥DB ，即可证之．【思路拓展题】 做一做提示：分AB 为2∶3∶5三部分．。
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《平行线等分线段定理，三角形、梯形的中位线》例题精讲
与同步练习
本周内容：平行线等分线段定理，三角形、梯形的中位线
本周重点与难点：三角形、梯形中位线的综合运用
一、知识点
（1）平行线等分线段定理：如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其它直线上截取的线段也相等。
推论1：经过梯形一腰与底平行的直线，必平分另一腰。
推论2：经过三角形一边的中点与另一边平行的直线平分第三边。
（2）三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半。
（3）
二、例题：
例1、下列图形是不是中心对称图形？若是，请指出对称中心。
（1）线段；（2）直线；（3）平行四边形；（4）圆
解：（1）线段是中心对称图形，对称中心是线段的中点；
（2）直线是中心对称图形，对称中心是直线上的任意一点；
（3）平行四边形（当然也就包括了矩形、菱形、正方形）是中心对称图形，对称中心是两条对角线的交点；
（4）圆是中心对称图形，对称中心是圆心。
例2、判断下列说法是否正确：
（1）矩形的对边关于对角线交点对称。
（）
（2）圆上任意两点关于圆心对称。
（）
（3）两个全等三角形必关于某一点中心对称。
（）
（4）成中心对称的两个图形中，对应线段平行且相等。
（）
解：（1）（4）正确（2）（3）错误
例3、在下列图形中既是轴对称图菜，又是中心对称图形的是（）
①任意平行四边形；②矩形；③菱形；④正方形；⑤正三角形；⑥等腰直角三角形
解：①②③
例4、下列图形是中心对称图形而不是轴对称图形的是（）
①平行四边形；②一条线段；③一个角；④圆
解：①
＊例5、在△ABC中，∠A≠90°，作既是轴对称又是中
心对称的四边形ADEF，使D、E、F分别在AB、BC、CA
上，这样的四边形可以作（）个
解：如图：因为四边形ADEF是中心对称图形，所以它
一定是平行四边形；因为四边形ADEF是轴对称图形，所以它的对角线互相垂直。
于是它
是菱形。
这样的菱形只能作一个。
例6、如图：在四边形ABCD中，有AB=DC，∠B=∠C，AD<BC。
求证：四边形ABCD 是等腰梯形。
法一：延长BA、CA，它们交于点E。
∵∠B=∠C
∴EB=EC（等角对等边）
又∵AB=CD
∴AE=DE
∴∠1=∠2（等边对等角）
∵∠1+∠2+∠E=180°，∠B+∠C+∠E=180°
∴∠1=∠B
∴AD∥BC（同位角相等，两直线平行）
又∵AD≠BC,AB=CD
∴四边形ABCD是等腰梯形（等腰梯形定义）
法二：作AF∥CD交BC于F，则
∠3=∠C（两直线平行，同位角相等）
又∵∠B=∠C
∴∠B=∠3
∴AB=AF（等角对等边）
∴AF=CD
∴四边形AFCD是平行四边形（有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）
∴AD∥BC（平行四边形的对边互相平行0
又∵AD≠BC,AB=CD
∴四边形ABCD是等腰梯形（等腰梯形定义）
例7：梯形ABCD中，AD∥BC，AD=3，AB=4，BC=5，则腰CD的取值范围是__________。
要求一条线段的取值范围，通常应当把这条线段放到一个三角形中，利用三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边来求得取值范围。
如图，作DF∥AB交BC于F，则得到平行四边形ABFD
从而求得DF=4，BF=3，CF=2
在△CDF中，4－2<CD<4+2
即：2<CD<6
例8：已知，梯形ABCD中，AD∥BC，AD=1cm，BC=5cm，∠B=60°，∠C=30°。
求：（1）AB、CD的长；（2）梯形ABCD的面积。
解：（1）如图，作AE⊥BC于E，DF⊥BC于F，则∠AEB=∠AEF=90°，∠DFC=90°∴AE∥DF（垂直于同一直线的两条直线平行）
又∵AD∥BC
∴四边形AEFD是平行四边形（平行四边形的
定义）
∴四边形AEFD是矩形（有一个角是90°的平行
四边形是矩形）
∴AE=DF ，EF=AD=1cm
设BE=x
在R t △ABE 中，∵∠B=60°
∴∠BAE=90°－∠B=30°（直角三角形两锐角互余）
∴AB=2BE=2x （直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半）
又∵AB 2=AE 2+BE 2（勾股定理）
∴AE=3x
∴DF=3x
在Rt △DFC 中，同理可得CD=23x ，CF=3x
∴BE+EF+CF=x +1+3x =5
∴x =1
∴AB=2cm ，CD=23，AE=3
（2）S ABCD =2
)(AE BC AD +=3323)51(=+ 当然，这个题目也可这样作辅助线：
如图，作AG ∥CD 交BC 于G ，从而得到一个平
行四边形和一个直角三角形。
三、训练题：
1、下面图形中，即是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
（A ）平行四边形 （B ）菱形 （C ）等边三角形 （D ）等腰梯形
2、下列命题中的真命题是（ ）
A 、 等腰梯形底角相等；
B 、等腰梯形对角线互相垂直；
C 、平行四边形也是梯形；
D 、等腰梯形是轴对称图形。
3、梯形的两底分别长16cm 和8cm ，两底角分别为60°和30°，则较短的腰长为( )
（A ）8cm （B ）10cm （C ）12cm （D ）4cm
4、梯形高为12，两对角线长为15和20，则梯形面积是( )
（A ）150 （B ）42 （C ）150 或42 （D ）无法确定
5、梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AD=DC=BC ，AC ⊥BC ，则∠ACD=( )
（A ）45° （B ）30° （C ）60° （D ）40°
6、如图，O 为梯形ABCD 的对角线的交点，图中面积相等的三
角形共有( ).
（A ）一对 （B ）两对 （C ）三对 （D ）四对
7、直角梯形两腰的比为2:1，则它的锐角是（ ）
（A ）45° （B ）30° （C ）60° （D ）40°
8、如图，直角梯形ABCD 中，AB ∥CD ，∠C=90°，若AB=AD=a ，∠A=60°，求梯形的周长和面积。
9、已知：如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，E 是下底BC 的中点，且∠EAD=∠EDA ，
求证：梯形ABCD 是等腰梯形。
10、如图，梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB=2BC ，BD 平分∠ABC ，且∠ABD=30°。
求证：四边形ABCD 是等腰梯形。
四、解答：
1、B
2、D
3、D
4、C
5、B
6、C
7、A
8、连结BD ，a 235 ，a 8
33 9、提示：证明△ABE ≌△DCE
10、提示：作DE ∥BC 交AB 于E ，证明AD=DE=BC
A
B C D E。