专题2初等函数图像与性质

专题01 函数、初等函数的图象与性质
【2014高考考纲】
(1)函数的概念和函数的基本性质是B级要求，是重要考点；
(2)指数与对数的运算、指数函数与对数函数的图象和性质都是考查热点，要求都是B级；
(3)幂函数是A级要求，不是热点考点，但要了解幂函数的概念以及简单幂函数的性质。

【命题趋势】
1.集合的概念与运算是历年来必考内容之一，题型主要以选择填空题为主,单纯的集合问题以解答题的形式出现的机率不大，多数与函数的定义域、值域、不等式的解法相联系，解题时要注意利用韦恩图、数轴、函数图象相结合。

另外，集合新定义信息题是近几年命题的热点，注意此种类型。

2.2014年的高考将会继续保持稳定，坚持考查集合运算，命题形式会更加灵活、新颖。

3.试题类型一般是一道填空题，有时与方程、不等式综合考查。

1．函数及其图象
(1)定义域、值域和对应关系是确定函数的三要素，是一个整体，研究函数问题时务必须“定义域优先”．
(2)对于函数的图象要会作图、识图和用图，作函数图象有两种基本方法：一是描点法；二是图象变换法，其中图象变换有平移变换、伸缩变换和对称变换．
2．函数的性质
(1)单调性：单调性是函数在其定义域上的局部性质．证明函数的单调性时，规范步骤为取值、作差、变形、判断符号和下结论．复合函数的单调性遵循“同增异减”的原则；
(2)奇偶性：奇偶性是函数在定义域上的整体性质．偶函数的图象关于y轴对称，在关于坐标原点对称的定义域区间上具有相反的单调性；奇函数的图象关于坐标原点对称，在关于坐标原点对称的定义域区间上具有相同的单调性；
(3)周期性：周期性也是函数在定义域上的整体性质．若函数满足f(a＋x)＝f(x)(a不等
于0)，则其周期T ＝ka (k ∈Z )的绝对值．
3．求函数最值(值域)常用的方法
(1)单调性法：适合于已知或能判断单调性的函数； (2)图象法：适合于已知或易作出图象的函数； (3)基本不等式法：特别适合于分式结构或两元的函数； (4)导数法：适合于可求导数的函数．
4．指数函数、对数函数和幂函数的图象和性质
(1)指数函数y ＝a x
(a >0且a ≠1)与对数函数y ＝log a x (a >0且a ≠1)的图象和性质，分0<a <1和a >1两种情况，着重关注两函数图象中的两种情况的公共性质；
(2)幂函数y ＝x α
的图象和性质，分幂指数α>0和α<0两种情况． 5．函数图象的应用
函数的图象和解析式是函数关系的主要表现形式，它们的实质是相同的，在解题时经常要互相转化．在解决函数问题时，尤其是较为繁琐的(如分类讨论，求参数的取值范围等)问题时，要注意充分发挥图象的直观作用.
考点1、函数的性质及其应用
【例1】 (1)设f (x )是周期为2的奇函数，当0≤x ≤1时，f (x )＝2x (1－x )，则f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫－52＝
________.
(2)(2013·苏州模拟)设奇函数y ＝f (x )(x ∈R )，满足对任意t ∈R 都有f (t )＝f (1－t )，
且x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12时，f (x )＝－x 2
，则f (3)＋f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫－32的值等于________．
【变式探究】 (1)函数f (x )的定义域为R ，f (－1)＝2，对任意x ∈R ，f ′(x )>2，则f (x )>2x ＋4的解集为________．
(2)定义在R 上的函数f (x )满足f (x ＋6)＝f (x )，当－3≤x <－1时，f (x )＝－(x ＋2)2
，当－1≤x <3时，f (x )＝x ，则f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2014)＝________.
【解析】(1)由f ′(x )>2转化为f ′(x )－2>0，构造函数F (x )＝f (x )－2x ，得F (x )在R 上是增函数，又F (－1)＝f (－1)－2×(－1)＝4，f (x )>2x ＋4，即F (x )>4＝F (－1)，所以x >－1.
考点2、函数的图象及其应用
【例2】 设奇函数f (x )在(0，＋∞)上为增函数，且f (2)＝0，则不等式f x －f －x
x
<0的解集为________．
【变式探究】设函数f (x )＝⎩
⎪⎨
⎪
⎧
x 2
＋bx ＋c x ，
x ，若f (－4)＝f (0)，f (－2)＝－2，则
关于x 的方程f (x )＝x 的解的个数为________．
方程f (x )＝x 解的个数即y ＝f (x )与y ＝x 图象的交点个数．由图知两图象有A ，B ，C 三个交点，故方程有3个解．
【答案】3
【例1】设函数f (x )＝lg ∑n －1
i ＝1
i x ＋n x
a n
，其中a ∈R ，对于任意的正整数n (n ≥2)，如果不等
式f (x )＞(x －1)lg n 在区间[1，＋∞)上有解，则实数a 的取值范围为______．
【变式探究】 已知函数f (x )＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫x a －12＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫b x
－12
的定义域是[a ，b ]，其中0＜a ＜b .
(1)求f (x )的最小值； (2)讨论f (x )的单调性．
(2)由t ＝x a ＋b x ≥2
b a ，当且仅当x a ＝b x
， 即x ＝ab 时等号成立，
且t ＝x a ＋b
x
在[a ，ab ]上单调递减， 在[ab ，b ]上单调递增， 且y ＝t 2
－2t ＋2－2
b a 是⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
2 b a ，1＋b a 上单调递增函数，所以f (x )在区间[a ，ab ]
上单调递减，区间[ab ，b ]上单调递增.
1．函数f (x )＝1－2log 6x 的定义域为______．
【解析】由题意⎩⎪⎨
⎪⎧
x ＞0，
1－2log 6x ≥0，
所以x ∈(0，6]．
【答案】(0，6]
2．设函数f (x )＝⎩⎨
⎧
x ，x ≥0，
－x ，x <0，
若f (a )＋f (－1)＝2，则a 等于________．
3．已知定义域为R 的函数f (x )＝－2x
＋1
2x ＋1＋a
是奇函数，则a ＝________.
4．已知f (x )＝ln(1＋x )的定义域为集合M ，g (x )＝2x
＋1的值域为集合N ，则M ∩N ＝________.
【解析】由对数与指数函数的知识，得M ＝(－1，＋∞)，N ＝(1，＋∞)，故M ∩N ＝(1，＋∞)．
【答案】(1，＋∞)
5．已知函数y ＝log 2(ax －1)在(1,2)上单调递增，则a 的取值范围为________．
6．已知a ＝20.5，b ＝2.10.5
，c ＝log 21.5，则a ，b ，c 的大小关系是________．
7．已知函数f (x )＝x 3
＋x ，对任意的m ∈[－2,2]，f (mx －2)＋f (x )<0恒成立，则x 的取值范围是________．
8．已知函数y ＝f (x )是R 上的偶函数，对∀x ∈R 都有f (x ＋4)＝f (x )＋f (2)成立．当x 1，
x 2∈[0,2]，且x 1≠x 2时，都有f x 1－f x 2
x 1－x 2
<0，给出下列命题：
①f (2)＝0；
②直线x ＝－4是函数y ＝f (x )图象的一条对称轴； ③函数y ＝f (x )在[－4,4]上有四个零点； ④f (2 014)＝0.
其中所有正确命题的序号为________．
9．已知函数f (x )＝log a (x ＋1)(a >1)，若函数y ＝g (x )的图象上任意一点P 关于原点对称的点
Q 的轨迹恰好是函数f (x )的图象．
(1)写出函数g (x )的解析式；
(2)当x ∈[0,1)时总有f (x )＋g (x )≥m 成立，求m 的取值范围．
10．已知二次函数f (x )＝ax 2
＋bx ＋1(a ＞0)，F (x )＝⎩⎪⎨⎪
⎧
f x ，x ＞0，
－f
x ，x ＜0.
若f (－1)＝0，且
对任意实数x 均有f (x )≥0成立．
(1)求F (x )的表达式；
(2)当x ∈[－2,2]时，g (x )＝f (x )－kx 是单调函数，求k 的取值范围．
(2)由(1)知，g(x)＝x2＋2x＋1－kx＝x2＋(2－k)x＋1. ∵g(x)在[－2,2]上是单调函数，
∴k－2
2
≤－2或
k－2
2
≥2，
解得k≤－2或k≥6.
所以k的取值范围是(－∞，－2]∪[6，＋∞)．
11．已知函数f(x)＝e x－e－x(x∈R且e为自然对数的底数)．
(1)判断函数f(x)的奇偶性与单调性；
(2)是否存在实数t，使不等式f(x－t)＋f(x2－t2)≥0对一切x都成立？若存在，求出t；若不存在，请说明理由．。