第8章部分例题

e = xyz
z
87
∂2 z x2 y 2 z =− z ∂x∂y (e − xy )3
例 ： 设 z = z ( x, y ) 由 x 3 + y 3 + z 3 − 3 xyz = 0 所 确 定 ，
f ( x, y, z ) = x y z ，求 f x′(−1,0,1) .
3 3 2
∂z 解： f x′ = 3 x y z + x y ⋅ 2 z ⋅ ∂x 3 3 3 设 F ( x, y, z ) = x + y + z − 3 xyz
82
2
∂z ∂z ∂ 2 z 例. 设 x + y + z − 4 z = 0 , 求 , , 2 . ∂x ∂y ∂ x 解法1 利用公式
2 2 2
解：设 F ( x, y, z ) = x 2 + y 2 + z 2 − 4z Fy′ = 2 y , Fx′ = 2x , Fz′ = 2z − 4 则
88
x y 例. 设F( x , y)具有连续偏导数, 已知方程 F ( , ) = 0, z z 求 dz .
解法1 利用偏导数公式. 设 z = f ( x, y ) 是由方程 x y F ( , ) = 0 确定的隐函数, 则 z z F1′ ⋅ 1 z F1′ ∂z z = =− y x) ′ x F1′ + y F2 ∂x ′ F1′ ⋅ (− 2 + F2 ⋅ (− 2 )
∂z x = ∂ x 2− z
两边对 x 求偏导 ∂z y = ∂ y 2− z ∂z (2 − z ) + x 2 ∂ z ∂ x ∂ x (2 − z ) 2 + x 2 = = ( )= 2 2 ∂x 2 − z (2 − z )3 ∂x (2 − z ) 86
∂z ∂z ∂ 2 z 例：设 e z − xyz = 0 ，求 , , . ∂x ∂y ∂x∂y
75
例. 验证方程 sin y + e x − x y − 1 = 0 在点(0,0)某邻域 可确定一个单值可导隐函数 y = f (x) , 并求
dy d2 y , dx x = 0 dx 2 x = 0
解: 令 F ( x, y ) = sin y + e x − x y − 1, 则 ① Fx = e x − y, Fy = cos y − x 连续 , ② F (0,0) = 0 , ③ Fy (0,0) = 1 ≠ 0 由 定理1 可知, 在 x = 0 的某邻域内方程存在单值可 导的隐函数 y = f (x) , 且
2 3 2
3 3
3 x 2 − 3 yz x 2 − yz Fx′ ∂z =− 2 =− 2 =− z − xy 3 z − 3 xy ∂x Fz′ ⎛ x 2 − yz ⎞ f x′ = 3 x 2 y 3 z 2 + x3 y 3 ⋅ 2 z ⋅ ⎜ − 2 ⎟ ⎝ z − xy ⎠
f x′(−1,0,1) = 0
x
两边再对 x 求导
e −y =− cos y − x (0,0) = −1
− sin y ⋅ ( y ′) 2 + cos y ⋅ y ′′ + e x − y ′ − y ′ − x y ′′ = 0
令 x = 0 , 注意此时 y = 0 , y ′ = −1
d y = −3 2 x=0 dx
z
z
∂z =− y ∂y ′ F1′ ⋅ (− x2 ) + F2 ⋅ (− 2 )
z z
′ z F2 ⋅ 1
∂ z F2′ Fx z =− = ′ x ∂ 1′ + y FFz Fx 2
∂ 1 z d x′+ ∂ z′ d 1 故Fx′ =dF1′= z ⋅ z Fy = F2 ⋅ z y ∂x ∂y
解： 设 F ( x, y, z ) = e − xyz
z
Fx′ ∂z − yz =− =− z Fz′ e − xy ∂x
Fy′ ∂z − xz =− =− z ∂y Fz′ e − xy
∂ z = ∂x∂y
2
( z + y ⋅ z′ ) (e z − xy ) − yz (e z ⋅ z′ − x) y y (e z − xy ) 2
x y z x y z
例 . 利用全微分形式不变性再解前例. u 解: d z = d( e sin v )
e u cos v dv = e sin v du +
u
= e x y [sin( x + y ) d (x y) + cos(x + y) d ( x + y ) ] = e x y [sin( x + y ) ( yd x + xd y) + cos(x + y) (d x + d y ) ] = e [ y sin( x + y ) + cos(x + y)]d x
85
两边对 x 求偏导
∂z ∂z ∂ 2 z 例. 设 x + y + z − 4 z = 0 , 求 , , 2 . ∂x ∂y ∂ x 解法2 利用隐函数求导
2 2 2
方程两边对x求偏导 ∂z ∂z 2x + 2z − 4 = 0 ∂x ∂x 方程两边对y求偏导 ∂z ∂z 2 y + 2z − 4 = 0 ∂y ∂y
∴ ∂z Fx′ x x =− =− = ∂x Fz′ z−2 2− z Fy′ y ∂z = =− Fz′ 2 − z ∂y
∂z (2 − z ) + x 2 2 2 x ∂ z ∂ ∂ x (2 − z ) + x = )= = ( 2 2 ∂x 2 − z (2 − z )3 (2 − z ) ∂x
x
2
= −3
x=0 y=0 y ′ = −1
81
F ( x, y ) = sin y + e − x y − 1,
导数的另一求法 — 利用隐函数求导
sin y + e x − x y − 1 = 0, y = y ( x)
两边对 x 求导
y′
x=0
x
cos y ⋅ y ′ + e − y − x y ′ = 0
′ = z 1′ ⋅ ( − (x2 1′d xF2 F2′d yy2 ) F) + +′ ⋅ (− ) = Fz F z x F1′ + y F2′ z
89
解法2 微分法. 对方程两边求微分:
x y F( , ) = 0 z z x y ′ F1′ ⋅ d( ) + F2 ⋅ d( ) = 0 z z z d x − xd z zd y − y d z ′ F1′⋅ ( ) + F2 ⋅ ( ) =0 z2 z2 ′ ′ F1′d x + F2 d y xF1′+ y F2 dz = 2 z z z ′ dz = (F1′d x + F2 d y) ′ x F1′ + y F2
90
例. 设 w = f ( x + y + z , x y z ) , f 具有二阶连续偏导数, ∂w ∂ 2 w w , f1′ , f 2′ , . 求 ∂ x ∂ x∂ z u v 解: 令 u = x + y + z , v = x y z , 则 w = f (u , v)
∂w = f1′ ⋅1 + f 2′ ⋅ y z ∂x ′ = f1′ ( x + y + z , x y z ) + y z f 2 ( x + y + z , x y z ) 2 ∂ w ′′ ′′ ′′ = f11 ⋅1 + f12 ⋅ x y + y f 2′ + y z [ f 21 ⋅1 + f 22 ⋅ x y ] ′′ ∂ x∂ z ∂ f f ′′ + y f ′2 f ′′ ′ = f11 +, y( x + z ) f12 +′ x y 2 z , 2212 = ∂2 , L f ′′ 为简便起见 引入记号′ f1 = ∂u ∂u ∂v 73
80
x dy ′ e −y Fx =− =− cos y − x dx x = 0 Fy′ x = 0
x = 0, y = 0
= −1
d2 y dx 2 x = 0 d e −y ) =− ( d x cos y − x x = 0, y = 0, y ′ = −1
xห้องสมุดไป่ตู้
=−
( e x − y ′) (cos y − x) − (e x − y ) (− sin y ⋅ y ′ − 1) ( cos y − x )
xy
+ e x y [ xsin( x + y ) + cos(x + y) ] d y ∂z 所以 = e x y [ y ⋅ sin( x + y ) + cos( x + y )] ∂x ∂e xy , 例1 . z = z u=sin v[ xu sin( y,+vy= + cos( x + ∂ z , ∂ z . e ⋅ = xx ) x + y, 求 y )] ∂x ∂ y ∂y