河北省衡水中学2016-2017学年高一下学期期中考试数学(文)试题 Word版含答案
衡水中学高一下学期期中考试数学试题及详细解答
16 ， 3
1 16 •R=2， ∴ •2R2•R= 3 3
12. 【答案】 D 【解析】 因为长为 2 的线段 MN 的一个端点 M 在棱 OA 上运动， 另一个端点 N 在△BCO 内运动（含边界） ，有空间想象能力可知 MN 的中点 P 的轨迹为以 O 为球心，以 1 为半径的球体，则 MN 的中点 P 的轨迹与三棱锥的面所围成的几何体可能为该球体的 则V =
VP − ABCD =
A.4 π
16 ，则球 O 的表面积是（ 3
B.8 π
） C.12 π D.16 π ）
1.已知向量 a = (0,2,1) ， b = ( −1,1,−2) ，则 a与b 的夹角为（
A. 0 B. 45 C. 90 D. 180
）
8. .如果是水平放置的平面图形的斜二测直观图，其原来平面图形面积是（
2 2 2 1 a,且 ka＞ a,∴ka＞ a,即 k＞ . 2 2 2 2
如图， 取 AC 中点为 G， 结合已知可得 GF
2 2 2
AB， 在正四面体中， AB
CD， 又 GE
CD， 所以 GE
GF,所以 EF = GE + GF ，当四面体绕 AB 旋转时，因为 GF
平面 a，GE 与 GF 的垂直性保持不 上的射影 E1 F1
2..如图，正方体 ABCD − A1 B1C1 D1 中，棱长为 1，PB
1 PB′ ，则 P 点坐标为（ 3
）
A.2 2
B.4 2
C.4
D. 8
9. 在长方体 ABCD − A1 B1C1 D1 中，AB=BC=2， AA1 =1，则 BC1 与平面 BB1 D1 D 所成角的正弦值为 （ A. ， ， ） A.
2016-2017年河北省衡水中学高一下学期期中数学试卷(文科)及参考答案
19． （12 分）如图，在直三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中，底面△ABC 是边长为 2 的等边 三角形，D 为 AB 的中点． （Ⅰ）求证：BC1∥平面 A1CD （Ⅱ）若 A1D= ，求直线 A1D 与平面 BCC1B1 所成角的正弦值．
20． （12 分）如图，菱形 ABCD 的对角线 AC 与 BD 交于点 O，点 E、F 分别在 AD， CD 上，AE=CF，EF 交 BD 于点 H，将△DEF 沿 EF 折到△D′EF 的位置． （Ⅰ）证明：AC⊥HD′； （Ⅱ）若 AB=5，AC=6，AE= ，OD′=2 ，求五棱锥 D′﹣ABCFE 体积．
14． （5 分）将边长为 1 的正方形 AA1O1O（及其内部）绕 OO1 旋转一周形成圆柱， 如图，∠AOC=120°，∠A1O1B1=60°，其中 B1 与 C 在平面 AA1O1O 的同侧，则异 面直线 B1C 与 AA1 所成角的大小是 ．
15． （5 分）四棱锥 P﹣ABCD 的底面 ABCD 为正方形，PA⊥底面 ABCD，AB=2，若 该四棱锥的所有顶点都在表面积为 16π 的同一球面上，则 PA= ．
一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个 选项中，只有一项是符合题目要求的. 1． （5 分）已知直线 2x﹣y﹣3=0 的倾斜角为 θ，则 sin2θ 的值是（ A． B． ） C． D． ）
2． （5 分）下列命题正确的是（
A．两两相交的三条直线可确定一个平面 B．两个平面与第三个平面所成的角都相等，则这两个平面一定平行 C．过平面外一点的直线与这个平面只能相交或平行 D．和两条异面直线都相交的两条直线一定是异面直线 3． （5 分） 如图， △A'B'C'是△ABC 用“斜二测画法”画出的直观图， 其中 O'B'=O'C'=1， O'A'= ，那么△ABC 是一个（ ）
河北省衡水中学2015-2016学年高一下学期期中数学试卷(文科)( word版含答案)
2015-2016学年河北省衡水中学高一（下）期中数学试卷（文科）一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知a，b是直线，α、β、γ是不同的平面，有以下四个命题：①a⊥α，b⊥β，a⊥b，则α⊥β；②α⊥γ，β⊥γ，则α∥β；③b⊥α，β⊥α，则b∥β；④α∥β，α∩γ=a，β∩γ=b，则a∥b，其中正确的命题序号是（）A．①④B．①③C．①②④D．③④2．一个长方体共一顶点的三个面的面积分别是，，，这个长方体对角线的长是（）A．2B．3C．6 D．3．直线l过点A（1，2），在x轴上的截距取值范围是（﹣3，3），其斜率取值范围是（）A．﹣1B．k＞1或k C．k或k＜1 D．k或k＜﹣1 4．已知棱锥的顶点为P，P在底面上的射影为O，PO=a，现用平行于底面的平面去截这个棱锥，截面交PO于M，并使截得的两部分侧面积相等，设OM=b，则a，b的关系是（）A．b=（﹣1）a B．b=（+1）a C．b= a D．b= a5．一个与球心距离为1的平面截球所得的圆面面积为π，则球的表面积为（）A．B．8πC．D．4π6．设三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积为V，P、Q分别是侧棱AA1、CC1上的点，且PA=QC1，则四棱锥B﹣APQC的体积为（）A．B．C．D．7．正四棱锥P﹣ABCD的底面积为3，体积为，E为侧棱PC的中点，则PA与BE所成的角为（）A．B．C．D．8．如图，正棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=2AB，则异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为（）A．B．C．D．9．一个四面体的三视图如图所示，则该四面体的表面积是（）A．1+B．2+C．1+2D．210．如图所示的直观图，其平面图形的面积为（）A．3 B．6 C．D．11．已知正方形ABCD的对角线AC与BD相交于E点，将△ACD沿对角线折起，使得平面ABC⊥平面ADC（如图），则下列命题中正确的是（）A．直线AB⊥直线CD，且直线AC⊥直线BDB．直线AB⊥平面BCD，且直线AC⊥平面BDEC．平面ABC⊥平面BDE，且平面ACD⊥BDED．平面ABD⊥平面BCD，且平面ACD⊥平面BDE12．如图，动点P在正方体ABCD﹣A1B1C1D1的对角线BD1上．过点P作垂直于平面BB1D1D 的直线，与正方体表面相交于M，N．设BP=x，MN=y，则函数y=f（x）的图象大致是（）A．B．C．D．二．填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分．）13．已知正四棱锥P﹣ABCD的五个顶点都在同一个球面上，若该正四棱锥的底面边长为4，侧棱长为，则此球的体积为．14．直线xsinα﹣y+1=0的倾角的取值范围．15．若圆锥的侧面展开图是半径为1cm、圆心角为120°的扇形，则这个圆锥的轴截面面积等于．16．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，过对角线BD1的一个平面交AA1于点E，交CC1于F，①四边形BFD1E一定是平行四边形②四边形BFD1E有可能是正方形③四边形BFD1E在底面ABCD内的投影一定是正方形④四边形BFD1E点有可能垂直于平面BB1D以上结论正确的为（写出所有正确结论的编号）三．解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．如图，在棱长都相等的正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D，E分别为AA1，B1C的中点．（1）求证：DE∥平面ABC；（2）求证：B1C⊥平面BDE．18．如图所示，圆柱的高为2，底面半径为，AE，DF是圆柱的两条母线，过AD做圆柱的截面交下底面于BC，四边形ABCD是正方形．（I）求证：BC⊥BE；（Ⅱ）求四棱锥E﹣ABCD的体积．19．如图，四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面ABCD是平行四边形，且AB=1，BC=2，∠ABC=60°，E为BC的中点，AA1⊥平面ABCD．（1）证明：平面A1AE⊥平面A1DE；（2）若DE=A1E，试求异面直线AE与A1D所成角的余弦值．20．已知四棱台ABCD﹣A1B1C1D1的上下底面分别是边长为2和4的正方形，AA1=4且AA1⊥底面ABCD，点P为DD1的中点，Q为BC边上的一点．（I）若PQ∥面A1ABB1，求出PQ的长；（Ⅱ）求证：AB1⊥面PBC．21．在如图的几何体中，平面CDEF为正方形，平面ABCD为等腰梯形，AB∥CD，AB=2BC，∠ABC=60°，AC⊥FB．（1）求证：AC⊥平面FBC；（2）求直线BF与平面ADE所成角的正弦值．22．如图1，矩形ABCD中，AB=12，AD=6，E、F分别为CD、AB边上的点，且DE=3，BF=4，将△BCE沿BE折起至△PBE位置（如图2所示），连结AP、PF，其中．（Ⅰ）求证：PF⊥平面ABED；（Ⅱ）在线段PA上是否存在点Q使得FQ∥平面PBE？若存在，求出点Q的位置；若不存在，请说明理由．（Ⅲ）求点A到平面PBE的距离．2015-2016学年河北省衡水中学高一（下）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知a，b是直线，α、β、γ是不同的平面，有以下四个命题：①a⊥α，b⊥β，a⊥b，则α⊥β；②α⊥γ，β⊥γ，则α∥β；③b⊥α，β⊥α，则b∥β；④α∥β，α∩γ=a，β∩γ=b，则a∥b，其中正确的命题序号是（）A．①④B．①③C．①②④D．③④【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．【分析】由直线的方向向量可判断A正确；由面面平行的判定定理、线面垂直的性质可知B 错误；由线面垂直的性质可知C错误；由面面平行的性质定理可知D正确．【解答】解：①分别求直线a，b的一个方向向量，，∵a⊥b，∴⊥，∵a⊥α，b⊥β，∴⊥α，⊥β，∴α⊥β，正确；②若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β，此命题不正确，因为垂直于同一平面的两个平面可能平行、相交，不能确定两平面之间是平行关系，故不正确；③b⊥α，β⊥α，则b∥β或b⊂β，故不正确；④由面面平行的性质定理：若两平面平行，第三个平面与他们都相交，则交线平行，可判断若α∥β，α∩γ=a，β∩γ=b则a∥b，故正确．故选：A．【点评】本题主要考查了对线面垂直的判定定理、线面平行的判定定理、面面平行的判定定理、面面平行的性质定理内容的理解和它们的字母符号表达形式，熟记公式推理严密是解决本题的关键．2．一个长方体共一顶点的三个面的面积分别是，，，这个长方体对角线的长是（）A．2B．3C．6 D．【考点】棱柱的结构特征．【分析】设出长方体的三度，利用面积公式求出三度，然后求出对角线的长．【解答】解：设长方体三度为x，y，z，则．三式相乘得．故选D．【点评】本题考查棱柱的结构特征，考查计算能力，空间想象能力，是基础题．3．直线l过点A（1，2），在x轴上的截距取值范围是（﹣3，3），其斜率取值范围是（）A．﹣1B．k＞1或k C．k或k＜1 D．k或k＜﹣1 【考点】直线的图象特征与倾斜角、斜率的关系．【分析】直接利用直线斜率公式求出两个端点的斜率，即可得到结果．【解答】解：因为直线l过点A（1，2），在x轴上的截距取值范围是（﹣3，3），所以直线端点的斜率分别为：=﹣1，=，如图：所以k或k＜﹣1．故选D．【点评】本题考查直线方程的应用，直线的斜率范围的求法，考查计算能力．4．已知棱锥的顶点为P，P在底面上的射影为O，PO=a，现用平行于底面的平面去截这个棱锥，截面交PO于M，并使截得的两部分侧面积相等，设OM=b，则a，b的关系是（）A．b=（﹣1）a B．b=（+1）a C．b= a D．b= a【考点】棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积．【分析】利用用平行于底面的平面去截这个棱锥，截面交PO于点M，并使截得的两部分侧面积相等，可得截得棱锥的侧面积是原来侧面积的，即相似比为，即可确定a与b的关系．【解答】解：∵用平行于底面的平面去截这个棱锥，截面交PO于点M，并使截得的两部分侧面积相等，截得棱锥的侧面积是原来侧面积的，即相似比为，∵PO=a，OM=b，∴，∴b=（1﹣）a．故选：C．【点评】本题考查棱锥的侧面积，考查图形的相似，考查学生的计算能力，属于基础题．5．一个与球心距离为1的平面截球所得的圆面面积为π，则球的表面积为（）A．B．8πC．D．4π【考点】球的体积和表面积；球面距离及相关计算．【分析】求出截面圆的半径，利用勾股定理求球的半径，然后求出球的表面积．【解答】解：球的截面圆的半径为：π=πr2，r=1球的半径为：R=所以球的表面积：4πR2=4π×=8π故选B．【点评】本题考查球的体积和表面积，考查计算能力，逻辑思维能力，是基础题．6．设三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积为V，P、Q分别是侧棱AA1、CC1上的点，且PA=QC1，则四棱锥B﹣APQC的体积为（）A．B．C．D．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】由已知中三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积为V，P、Q分别是侧棱AA1、CC1上的点，=，再结合同底等高的且PA=QC1，我们可得S APQC=，即V B﹣APQC棱柱的体积为棱锥体积的3倍，即可求出答案．【解答】解：∵三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积为V，又∵P、Q分别是侧棱AA1、CC1上的点，且PA=QC1，∴四棱锥B﹣APQC的底面积S APQC==又V B﹣ACC1A1===∴V B﹣APQC故选C．【点评】本题考查的知识点是棱柱的体积、棱锥的体积，其中分析出棱锥与原棱柱之间底面积、高之间的比例关系是解答本题的关键．7．正四棱锥P﹣ABCD的底面积为3，体积为，E为侧棱PC的中点，则PA与BE所成的角为（）A．B．C．D．【考点】异面直线及其所成的角．【分析】过顶点作垂线，交底面正方形对角线交点O，连接OE，我们根据正四棱锥P﹣ABCD 的底面积为3，体积为，E为侧棱PC的中点，易求出∠OEB即为PA与BE所成的角，解三角形OEB，即可求出答案．【解答】解：过顶点作垂线，交底面正方形对角线交点O，连接OE，∵正四棱锥P﹣ABCD的底面积为3，体积为，∴PO=，AB=，AC=，PA=，OB=因为OE与PA在同一平面，是三角形PAC的中位线，则∠OEB即为PA与BE所成的角所以OE=，在Rt△OEB中，tan∠OEB==，所以∠OEB=故选B【点评】本题考查的知识点是异面直线及其所成的角，其中根据已知得到∠OEB即为PA与BE所成的角，将异面直线的夹角问题转化为解三角形问题是解答本题的关键．8．如图，正棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=2AB，则异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为（）A．B．C．D．【考点】异面直线及其所成的角．【分析】先通过平移将两条异面直线平移到同一个起点B，得到的锐角∠A1BC1就是异面直线所成的角，在三角形中A1BC1用余弦定理求解即可．【解答】解．如图，连接BC1，A1C1，∠A1BC1是异面直线A1B与AD1所成的角，设AB=a ，AA 1=2a ，∴A 1B=C 1B=a ，A 1C 1=a ，∠A 1BC 1的余弦值为，故选D ．【点评】本题主要考查了异面直线及其所成的角，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于基础题．9．一个四面体的三视图如图所示，则该四面体的表面积是（ ）A ．1+B ．2+C ．1+2D ．2【考点】由三视图求面积、体积．【分析】根据几何体的三视图，得出该几何体是底面为等腰直角三角形的三棱锥，结合题意画出图形，利用图中数据求出它的表面积． 【解答】解：根据几何体的三视图，得；该几何体是底面为等腰直角三角形的三棱锥，如图所示；∴该几何体的表面积为 S 表面积=S △PAC +2S △PAB +S △ABC=×2×1+2××+×2×1=2+．故选：B．【点评】本题考查了空间几何体的三视图的应用问题，解题的关键是由三视图得出几何体的结构特征，是基础题目．10．如图所示的直观图，其平面图形的面积为（）A．3 B．6 C．D．【考点】平面图形的直观图．【分析】由斜二测画法的规则知其对应的平面图形是一个直角三角形，一个直角边为3，另一个直角边为4，故其面积易求【解答】解：由图形知，其平面图形为一个直角三角形，两个直角边的长度分别为3，4故其面积为×3×4=6故选B．【点评】本题考查平面图形的直观图，求解本题的关键是熟练掌握斜二测画法的规则，与x 轴平行的线段长度不变，与y平行的线段其长度变为原来的一半，故还原时，与y轴平行的线段的长度需要变为直观图中的二倍．11．已知正方形ABCD的对角线AC与BD相交于E点，将△ACD沿对角线折起，使得平面ABC⊥平面ADC（如图），则下列命题中正确的是（）A．直线AB⊥直线CD，且直线AC⊥直线BDB．直线AB⊥平面BCD，且直线AC⊥平面BDEC．平面ABC⊥平面BDE，且平面ACD⊥BDED．平面ABD⊥平面BCD，且平面ACD⊥平面BDE【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．【分析】由直线AB⊥直线CD不成立，知A错误；由直线AB⊥平面BCD不成立，知B错误；由平面ABC⊥平面BDE，且平面ACD⊥平面BDE，知C正确；由平面ABD⊥平面BCD不成立，知D错误．【解答】解：由题意知DC⊥BE，AB∩BE=E，∴直线AB⊥直线CD不成立，故A错误；∵AC⊥AB，∴AB与BC不垂直，∴直线AB⊥平面BCD不成立，故B错误；∵BE⊥DE，BE⊥AC，∴AC⊥平面BDE，∴平面ABC⊥平面BDE，且平面ACD⊥平面BDE，故C正确；∵平面ABD⊥平面BCD不成立，故D错误．故选：C．【点评】本题考查命题真假的判断，考查空间直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系，是中档题．12．如图，动点P在正方体ABCD﹣A1B1C1D1的对角线BD1上．过点P作垂直于平面BB1D1D 的直线，与正方体表面相交于M，N．设BP=x，MN=y，则函数y=f（x）的图象大致是（）A．B．C．D．【考点】空间中直线与直线之间的位置关系．【分析】只有当P移动到正方体中心O时，MN有唯一的最大值，则淘汰选项A、C；P点移动时，x与y的关系应该是线性的，则淘汰选项D．【解答】解：设正方体的棱长为1，显然，当P移动到对角线BD1的中点O时，函数取得唯一最大值，所以排除A、C；当P在BO上时，分别过M、N、P作底面的垂线，垂足分别为M1、N1、P1，则y=MN=M1N1=2BP1=2xcos∠D1BD=2是一次函数，所以排除D．故选B．【点评】本题考查直线与截面的位置关系、空间想象力及观察能力，同时考查特殊点法、排除法．二．填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分．）13．已知正四棱锥P﹣ABCD的五个顶点都在同一个球面上，若该正四棱锥的底面边长为4，侧棱长为，则此球的体积为36π．【考点】球的体积和表面积．【分析】利用勾股定理求出正四棱锥的高PM，再用射影定理求出球的半径，代入面积公式计算即可．【解答】解：如图所示，设球的半径为r，正方形的ABCD的对角线的交点为M，则球心在直线PM上，MC=AC=2，由勾股定理得PM===4，再由射影定理得PC2=PM×2r，即24=4×2r，解得r=3，所以此球的表面积为4πr2=36π．故答案为：36π．【点评】本题考查了勾股定理、射影定理的应用以及球的表面积公式问题，是基础题目．14．直线xsinα﹣y+1=0的倾角的取值范围[0，]∪[）．【考点】直线的倾斜角．【分析】由直线方程求出直线斜率的范围，再由正切函数的单调性求得倾角的取值范围．【解答】解：直线xsinα﹣y+1=0的斜率为k=sinα，则﹣1≤k≤1，设直线xsinα﹣y+1=0的倾斜角为θ（0≤θ＜π），则﹣1≤tanθ≤1，∴θ∈[0，]∪[）．故答案为：[0，]∪[）．【点评】本题考查直线的倾斜角，考查了直线倾斜角和斜率的关系，训练了由直线斜率的范围求倾斜角的范围，是基础题．15．若圆锥的侧面展开图是半径为1cm、圆心角为120°的扇形，则这个圆锥的轴截面面积等于．【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．【分析】根据圆锥侧面展开图与圆锥的对应关系列方程解出圆锥的底面半径和母线长，计算出圆锥的高．【解答】解：设圆锥的底面半径为r，母线长为l，则，解得l=1，r=．∴圆锥的高h==．∴圆锥的轴截面面积S==．故答案为：．【点评】本题考查了圆锥的结构特征，弧长公式，属于基础题．16．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，过对角线BD1的一个平面交AA1于点E，交CC1于F，①四边形BFD1E一定是平行四边形②四边形BFD1E有可能是正方形③四边形BFD1E在底面ABCD内的投影一定是正方形④四边形BFD1E点有可能垂直于平面BB1D以上结论正确的为①③④（写出所有正确结论的编号）【考点】棱柱的结构特征．【分析】根据面面平行和正方体的几何特征进行判断，利用一些特殊情况进行说明．【解答】解：如图：①由平面BCB1C1∥平面ADA1D1，并且B、E、F、D1四点共面，∴ED1∥BF，同理可证，FD1∥EB，故四边形BFD1E一定是平行四边形，故①正确；②若BFD1E是正方形，有ED1⊥BE，这个与A1D1⊥BE矛盾，故②错误；③由图得，BFD1E在底面ABCD内的投影一定是正方形ABCD，故③正确；④当点E和F分别是对应边的中点时，平面BFD1E⊥平面BB1D1，故④正确．故答案为：①③④．【点评】本题主要考查了正方体的几何特征，利用面面平行和线线垂直，以及特殊情况进行判断，考查了空间信息能力和逻辑思维能力．三．解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．如图，在棱长都相等的正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D，E分别为AA1，B1C的中点．（1）求证：DE∥平面ABC；（2）求证：B1C⊥平面BDE．【考点】直线与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定．【分析】（1）取BC中点G，连接AG，EG，欲证直线DE∥平面ABC，只需证明DE平行平面ABC中的一条直线即可，由四边形ADEG为平行四边形，可知AG∥DE，AG⊂平面ABC，DE⊄平面ABC，问题得证．（2）取BC的中点G，判断三棱柱ABC﹣A1B1C1为直三棱柱，BB1⊥平面ABC，再证明B1C⊥BE，可证得：B1C⊥平面BDE．【解答】证明：（1），∵G，E分别为CB，CB1的中点，∴EG∥BB1，且，又∵正三棱柱ABC﹣A1B1C1，∴EG∥AD，EG=AD∴四边形ADEG为平行四边形．∴AG∥DE∵AG⊂平面ABC，DE⊄平面ABC，所以DE∥平面ABC．（2）由可得，取BC中点G∵正三棱柱ABC﹣A1B1C1，∴BB1⊥平面ABC．∵AG⊂平面ABC，∴AG⊥BB1，∵G为BC的中点，AB=AC，∴AG⊥BC∴AG⊥平面BB1C1C，∵B1C⊂平面BB1C1C，∴AG⊥B1C，∵AG∥DE∴DE⊥B1C，∵BC=BB1，B1E=EC∴B1C⊥BE，∵BE⊂平面BDE，DE⊂平面BDEBE∩DE=E，∴B1C⊥平面BDE．【点评】本题主要考查了证明线面平行的方法、空间的线面平行，线线垂直的证明，充分考查了学生的逻辑推理能力，空间想象力，以及识图能力．18．如图所示，圆柱的高为2，底面半径为，AE，DF是圆柱的两条母线，过AD做圆柱的截面交下底面于BC，四边形ABCD是正方形．（I）求证：BC⊥BE；（Ⅱ）求四棱锥E﹣ABCD的体积．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；空间中直线与直线之间的位置关系．【分析】（I）由圆柱母线垂直底面得AE⊥BC，又BC⊥AB，得出BC⊥平面ABE，于是BC⊥BE；（II）过E作EO⊥AB，则可证EO⊥平面ABCD，设正方形边长为x，求出BE，在Rt△BCE 中利用勾股定理列方程解出x，代入棱锥的体积公式计算．【解答】证明：（I）∵AE是圆柱的母线，∴AE⊥底面BCFE，∵BC⊂平面BCFE，∴AE⊥BC，∵四边形ABCD是正方形，∴BC⊥AB，又AB⊂平面ABE，AE⊂平面ABE，AB∩AE=A，∴BC⊥平面ABE，∵BE⊂平面ABE，∴BC⊥BE．（II）过E作EO⊥AB于O，由（I）知BC⊥平面ABE，∵EO⊂平面ABE，∴BC⊥EO，又AB⊂平面ABCD，BC⊂平面ABCD，AB∩BC=B，∴EO⊥平面ABCD．设正方形ABCD的边长为x，则AB=BC=x，∴BE==，∵BC⊥BE，∴EC为圆柱底面直径，即EC=2．∵BE2+BC2=EC2，即x2﹣4+x2=28，解得x=4，=16，∴BE=2，EO=，S正方形ABCD===．∴V E﹣ABCD【点评】本题考查了线面垂直的判定与性质，棱锥的体积计算，属于中档题．19．如图，四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面ABCD是平行四边形，且AB=1，BC=2，∠ABC=60°，E为BC的中点，AA1⊥平面ABCD．（1）证明：平面A1AE⊥平面A1DE；（2）若DE=A1E，试求异面直线AE与A1D所成角的余弦值．【考点】平面与平面垂直的判定；异面直线及其所成的角．【分析】（1）根据题意，得△ABE是正三角形，∠AEB=60°，等腰△CDE中∠CED=（180°﹣∠ECD）=30°，所以∠AED=90°，得到DE⊥AE，结合DE⊥AA1，得DE⊥平面A1AE，从而得到平面A1AE⊥平面平面A1DE．（2）取BB1的中点F，连接EF、AF，连接B1C．证出EF∥A1D，可得∠AEF（或其补角）是异面直线AE与A1D所成的角．利用勾股定理和三角形中位线定理，算出△AEF各边的长，再用余弦定理可算出异面直线AE与A1D所成角的余弦值．【解答】解：（1）依题意，BE=EC=BC=AB=CD…，∴△ABE是正三角形，∠AEB=60°…，又∵△CDE中，∠CED=∠CDE=（180°﹣∠ECD）=30°…∴∠AED=180°﹣∠CED﹣∠AEB=90°，即DE⊥AE…，∵AA1⊥平面ABCD，DE⊆平面ABCD，∴DE⊥AA1．…，∵AA1∩AE=A，∴DE⊥平面A1AE…，∵DE⊆平面A1DE，∴平面A1AE⊥平面A1DE．…．（2）取BB1的中点F，连接EF、AF，连接B1C，…∵△BB1C中，EF是中位线，∴EF∥B1C∵A1B1∥AB∥CD，A1B1=AB=CD，∴四边形ABCD是平行四边形，可得B1C∥A1D∴EF∥A1D…，可得∠AEF（或其补角）是异面直线AE与A1D所成的角…．∵△CDE中，DE=CD==A1E=，AE=AB=1∴A1A=，由此可得BF=，AF=EF==…，∴cos∠AEF==，即异面直线AE与A1D所成角的余弦值为…【点评】本题在直平行六面体中，求证面面垂直并求异面直线所成角余弦，着重考查了线面垂直、面面垂直的判定与性质和异面直线所成角的求法等知识，属于中档题．20．已知四棱台ABCD﹣A1B1C1D1的上下底面分别是边长为2和4的正方形，AA1=4且AA1⊥底面ABCD，点P为DD1的中点，Q为BC边上的一点．（I）若PQ∥面A1ABB1，求出PQ的长；（Ⅱ）求证：AB1⊥面PBC．【考点】直线与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定．【分析】（I）取AA1的中点M，连接BM，PM，由P，M分别为D1D，A1A的中点，可得PM∥BC，由PQ∥面A1ABB1，可得PQ∥BM，可得PQ=BM，在Rt△BAM中，利用勾股定理即可解得PQ=BM的值．（Ⅱ）先证明AA1⊥BC，AB⊥BC，即可证明AB1⊥BC，利用△ABM≌△A1B1A，可得：AB1⊥BM，从而可判定AB1⊥面PBC．【解答】（本题满分为12分）解：（I）取AA1的中点M，连接BM，PM，∵P，M分别为D1D，A1A的中点，∴PM∥AD，∴PM∥BC，∴PMBC四点共面，…2分由PQ∥面A1ABB1，可得PQ∥BM，∴PMBQ为平行四边形，PQ=BM，…4分在Rt△BAM中，BM==2．可得：PQ=BM=2．…6分（Ⅱ）AA1⊥面ABCD，BC⊂面ABCD，∴AA1⊥BC，∵ABCD为正方形，∴AB⊥BC，∴BC⊥面AA1BB1，∵AB1⊂面AA1BB1，∴AB1⊥BC，…8分通过△ABM≌△A1B1A，可得：AB1⊥BM，…10分∵BM∩BC=B，∴AB1⊥面PBC．…12分【点评】本题主要考查了直线与平面垂直的判定，直线与平面平行的判定，考查了空间想象能力和推理论证能力，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．属于中档题．21．在如图的几何体中，平面CDEF为正方形，平面ABCD为等腰梯形，AB∥CD，AB=2BC，∠ABC=60°，AC⊥FB．（1）求证：AC⊥平面FBC；（2）求直线BF与平面ADE所成角的正弦值．【考点】用空间向量求直线与平面的夹角；直线与平面垂直的判定；直线与平面所成的角．【分析】（1）证明1：由余弦定理得，所以AC⊥BC，由此能够证明AC⊥平面FBC．证明2：设∠BAC=α，∠ACB=120°﹣α．由正弦定理能推出AC⊥BC，由此能证明AC⊥平面FBC．（2）解法1：由（1）结合已知条件推导出AC⊥FC．由平面CDEF为正方形，得到CD⊥FC，由此入手能求出直线BF与平面ADE所成角的正弦值．解法2：由题设条件推导出CA，CB，CF两两互相垂直，建立空间直角坐标系利用向量法能求出直线BF与平面ADE所成角的正弦值．【解答】（1）证明1：因为AB=2BC，∠ABC=60°，在△ABC中，由余弦定理得：AC2=（2BC）2+BC2﹣2×2BCBCcos60°，即．…所以AC2+BC2=AB2．所以AC⊥BC．…因为AC⊥FB，BF∩BC=B，BF、BC⊂平面FBC，所以AC⊥平面FBC．…证明2：因为∠ABC=60°，设∠BAC=α（0°＜α＜120°），则∠ACB=120°﹣α．在△ABC中，由正弦定理，得．…因为AB=2BC，所以sin（120°﹣α）=2sinα．整理得，所以α=30°．…所以AC⊥BC．…因为AC⊥FB，BF∩BC=B，BF、BC⊂平面FBC，所以AC⊥平面FBC．…（2）解法1：由（1）知，AC⊥平面FBC，FC⊂平面FBC，所以AC⊥FC．因为平面CDEF为正方形，所以CD⊥FC．因为AC∩CD=C，所以FC⊥平面ABCD．…取AB的中点M，连结MD，ME，因为ABCD是等腰梯形，且AB=2BC，∠DAM=60°，所以MD=MA=AD．所以△MAD是等边三角形，且ME∥BF．…取AD的中点N，连结MN，NE，则MN⊥AD．…因为MN⊂平面ABCD，ED∥FC，所以ED⊥MN．因为AD∩ED=D，所以MN⊥平面ADE．…所以∠MEN为直线BF与平面ADE所成角．…因为NE⊂平面ADE，所以MN⊥NE．…因为，，…在Rt△MNE中，．…所以直线BF与平面ADE所成角的正弦值为．…解法2：由（1）知，AC⊥平面FBC，FC⊂平面FBC，所以AC⊥FC．因为平面CDEF为正方形，所以CD⊥FC．因为AC∩CD=C，所以FC⊥平面ABCD．…所以CA，CB，CF两两互相垂直，建立如图的空间直角坐标系C﹣xyz．…因为ABCD是等腰梯形，且AB=2BC，∠ABC=60°所以CB=CD=CF．不妨设BC=1，则B（0，1，0），F（0，0，1），，，，所以，，．…设平面ADE的法向量为=（x，y，z），则有即取x=1，得=是平面ADE的一个法向量．…设直线BF与平面ADE所成的角为θ，则．…所以直线BF与平面ADE所成角的正弦值为．…【点评】本题考查直线与平面垂直的证明，考查直线与平面所成角的正弦值，解题时要注意向量法的合理运用，注意空间思维能力的培养．22．如图1，矩形ABCD中，AB=12，AD=6，E、F分别为CD、AB边上的点，且DE=3，BF=4，将△BCE沿BE折起至△PBE位置（如图2所示），连结AP、PF，其中．（Ⅰ）求证：PF⊥平面ABED；（Ⅱ）在线段PA上是否存在点Q使得FQ∥平面PBE？若存在，求出点Q的位置；若不存在，请说明理由．（Ⅲ）求点A到平面PBE的距离．【考点】直线与平面所成的角；直线与平面垂直的判定．【分析】（Ⅰ）连结EF，由翻折不变性可知，PB=BC=6，PE=CE=9，由已知条件，利用勾股定理推导出PF⊥BF，PF⊥EF，由此能够证明PF⊥平面ABED．（Ⅱ）当Q为PA的三等分点（靠近P）时，FQ∥平面PBE．由已知条件推导出FQ∥BP，即可证明FQ∥平面PBE．（Ⅲ）由PF⊥平面ABED，知PF为三棱锥P﹣ABE的高，利用等积法能求出点A到平面PBE的距离．【解答】（本题满分14分）解：（Ⅰ）连结EF，由翻折不变性可知，PB=BC=6，PE=CE=9，在△PBF中，PF2+BF2=20+16=36=PB2，所以PF⊥BF…在图1中，利用勾股定理，得，在△PEF中，EF2+PF2=61+20=81=PE2，∴PF⊥EF…又∵BF∩EF=F，BF⊂平面ABED，EF⊂平面ABED，∴PF⊥平面ABED．…（Ⅱ）当Q为PA的三等分点（靠近P）时，FQ∥平面PBE．证明如下：∵，，∴FQ∥BP…又∵FQ不包含于平面PBE，PB⊂平面PBE，∴FQ∥平面PBE．…（Ⅲ）由（Ⅰ）知PF⊥平面ABED，∴PF为三棱锥P﹣ABE的高．…设点A到平面PBE的距离为h，由等体积法得V A﹣PBE =V P﹣ABE，…即，又，，∴，即点A到平面PBE的距离为．…【点评】本题考查直线与平面垂直的证明，考查直线与平面平行的判断与证明，考查点到平面距离的求法，解题时要注意空间思维能力的培养，要注意等积法的合理运用．。
河北省衡水中学高一数学下学期期中试题文(扫描版)
河北省衡水中学2016-2017学年高一数学下学期期中试题文（扫描版）
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2016-2017年河北省衡水市武邑中学高一(下)期中数学试卷和答案
2016-2017学年河北省衡水市武邑中学高一（下）期中数学试卷一．选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求，将正确答案填涂在答题卡上．1．（5分）不等式（x+3）（1﹣x）≥0的解集为（）A．{x|x≥3或x≤﹣1}B．{x|﹣1≤x≤3}C．{x|﹣3≤x≤1}D．{x|x≤﹣3或x≥1}2．（5分）在等差数列{a n}中，若a1+a4+a7=39，a2+a5+a8=33，则a3+a6+a9的值为（）A．30B．27C．24D．213．（5分）在△ABC中，A=60°，AB=2，且△ABC的面积S△ABC=，则边BC的长为（）A．B．3C．D．74．（5分）设数列{a n}满足：a n+1=a n+，a20=1，则a1=（）A．B．C．D．5．（5分）已知等差数列{a n}中，S n是它的前n项和，若S16＞0，S17＜0，则当S n最大时n的值为（）A．8B．9C．10D．166．（5分）在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a2=b2+c2+bc，则A的值是（）A．B．C．D．7．（5分）已知数列{a n}的通项a n=2n cos（nπ），则a1+a2+…+a99+a100=（）A．0B．C．2﹣2101D．（2100﹣1）8．（5分）在△ABC中，acosA=bcosB，则△ABC的形状为（）A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰或直角三角形D．等腰直角三角形9．（5分）已知数列{a n}满足，若，则a2008的值为（）A．B．C．D．10．（5分）把函数y=cosx的图象向左平移个单位，然后把，图象上的所有点的横坐标缩小到原来的（纵坐标不变），则所得图形对应的函数解析式为（）A．y=cos（x+）B．y=cos（2x+）C．y=cos（x+）D．y=cos（2x+）11．（5分）若数列{a n}的前n项和S n=n2+3n﹣90，则的值为（）A．18B．﹣2C．2D．﹣12．（5分）已知△ABC的三条边的边长分别为4米、5米、6米，将三边都截掉x米后，剩余的部分组成一个钝角三角形，则x的取值范围是（）A．0＜x＜5B．1＜x＜5C．1＜x＜3D．1＜x＜4二．填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，将答案填在答题卡上相应位置．13．（4分）=．14．（4分）若a n=2n2+λn+3（其中λ为实常数），n∈N*，且数列{a n}为单调递增数列，则实数λ的取值范围为．15．（4分）已知变量x，y满足约束条件，则z=3x+y的最大值为．16．（4分）已知{a n}是等差数列，d为其公差，S n是其前n项和，若只有S4是{S n}中的最小项，则可得出的结论中正确的是．①d＞0 ②a4＜0 ③a5＞0 ④S7＜0 ⑤S8＞0．三．解答题：大本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（10分）已知函数f（x）=ax2+（b﹣8）x﹣a﹣ab，不等式f（x）＞0的解集为{x|﹣3＜x＜2}．（1）求函数y=f（x）的解析式．（2）当关于的x的不等式ax2+bx+c≤0的解集为R时，求c的取值范围．18．（12分）已知，（Ⅰ）求tanx的值；（Ⅱ）求的值．19．（12分）已知等差数列{a n}中，已知等差数列{a n}中，a3=5，S10=100（1）求a n，（2）设b n=，求{b n}的前n项和T n．20．（12分）已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，c=asinC+ccosA．（1）求角A；（2）若a=2，△ABC的面积为，求△ABC的周长．21．（12分）设数列{a n}是等差数列，数列{b n}的前n项和S n满足S n=1﹣b n，（n ∈N+），且a2﹣1=，a5=+1．（Ⅰ）求数列{a n}和{b n}的通项公式：（Ⅱ）设T n为数列{a n•b n}的前n项和，求T n．22．（12分）设数列{a n}的首项a1=1，前n项和S n满足关系式：3tS n﹣（2t+3）S n﹣1=3t（t＞0，n=2，3，4…）（1）求证：数列{a n}是等比数列；（2）设数列{a n}的公比为f（t），作数列{b n}，使，求数列{b n}的通项b n；（3）求和：b1b2﹣b2b3+b3b4﹣b4b5+…+b2n﹣1b2n﹣b2n b2n+1．2016-2017学年河北省衡水市武邑中学高一（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一．选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求，将正确答案填涂在答题卡上．1．（5分）不等式（x+3）（1﹣x）≥0的解集为（）A．{x|x≥3或x≤﹣1}B．{x|﹣1≤x≤3}C．{x|﹣3≤x≤1}D．{x|x≤﹣3或x≥1}【解答】解：不等式（x+3）（1﹣x）≥0化为（x+3）（x﹣1）≤0，∴﹣3≤x≤1．∴不等式的解集为{x|﹣3≤x≤1}．故选：C．2．（5分）在等差数列{a n}中，若a1+a4+a7=39，a2+a5+a8=33，则a3+a6+a9的值为（）A．30B．27C．24D．21【解答】解：设等差数列的公差为d，则∵等差数列{a n}中，a1+a4+a7=39，a2+a5+a8=33，∴两式相减可得3d=﹣6∴d=﹣2∴a3+a6+a9=a2+a5+a8+3d=a2+a5+a8﹣6=33﹣6=27故选：B．3．（5分）在△ABC中，A=60°，AB=2，且△ABC的面积S△ABC=，则边BC的长为（）A．B．3C．D．7【解答】解：∵=sin60°=，∴AC=1，△ABC中，由余弦定理可得BC==，4．（5分）设数列{a n}满足：a n+1=a n+，a20=1，则a1=（）A．B．C．D．=a n+，得：【解答】解：由a n+1，∴a20=（a20﹣a19）+（a19﹣a18）+…+（a2﹣a1）+a1，即，∵a20=1，∴1=1﹣+a1，则．故选：A．5．（5分）已知等差数列{a n}中，S n是它的前n项和，若S16＞0，S17＜0，则当S n最大时n的值为（）A．8B．9C．10D．16【解答】解：∵等差数列{a n}中，S16＞0且S17＜0∴a8+a9＞0，a9＜0，∴a8＞0，∴数列的前8项和最大故选：A．6．（5分）在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a2=b2+c2+bc，则A的值是（）A．B．C．D．【解答】解：∵由余弦定理，得a2=b2+c2﹣2bccosA∴结合题意a2=b2+c2+bc，得cosA=﹣又∵A是三角形的内角，∴A=7．（5分）已知数列{a n}的通项a n=2n cos（nπ），则a1+a2+…+a99+a100=（）A．0B．C．2﹣2101D．（2100﹣1）【解答】解：∵a n=2n cos（nπ），∴a1=2•cosπ=﹣2，a n=2n•cos（nπ）n为奇数时，cos（nπ）=﹣1，a n=﹣2ⁿn为偶数时，cos（nπ）=1，a n=2ⁿ，综上，数列{a n}的通项公式．∴数列{a n}是以﹣2为首项，﹣2为公比的等比数列，∴a1+a2+…+a99+a100==．故选：D．8．（5分）在△ABC中，acosA=bcosB，则△ABC的形状为（）A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰或直角三角形D．等腰直角三角形【解答】解：在△ABC中，∵acosA=bcosB，∴由正弦定理==2R得：a=2RsinA，b=2RsinB，∴sinAcosA=sinBcosB，∴sin2A=sin2B，∴sin2A=sin2B，∴2A=2B或2A=π﹣2B，∴A=B或A+B=，∴△ABC为等腰或直角三角形，故选：C．9．（5分）已知数列{a n}满足，若，则a2008的值为（）A．B．C．D．【解答】解：，a3=2a2﹣1=2×=a4=2a3=a5=2a4﹣1=2×=…数列的项轮流重复出现，周期是3所以a2008=a 3×669+1=a1=故选：A．10．（5分）把函数y=cosx的图象向左平移个单位，然后把，图象上的所有点的横坐标缩小到原来的（纵坐标不变），则所得图形对应的函数解析式为（）A．y=cos（x+）B．y=cos（2x+）C．y=cos（x+）D．y=cos（2x+）【解答】解：把函数y=cosx的图象向左平移个单位，可得函数y=cos（x+）的图象；然后把，图象上的所有点的横坐标缩小到原来的（纵坐标不变），则所得图形对应的函数解析式为y=cos（2x+），故选：B．11．（5分）若数列{a n}的前n项和S n=n2+3n﹣90，则的值为（）A．18B．﹣2C．2D．﹣【解答】解：∵数列{a n}的前n项和S n=n2+3n﹣90，∴a1+a2+a3=S3=32+3×3﹣90=﹣72，a4+a5+a6=S6﹣S3=36，则=，故选：D．12．（5分）已知△ABC的三条边的边长分别为4米、5米、6米，将三边都截掉x米后，剩余的部分组成一个钝角三角形，则x的取值范围是（）A．0＜x＜5B．1＜x＜5C．1＜x＜3D．1＜x＜4【解答】解：根据题意得：截取后三角形的三边长为（4﹣x）米，（5﹣x）米，（6﹣x）米，且长为（6﹣x）米所对的角为α，α为钝角，∴cosα=＜0，整理得：（x﹣1）（x﹣4）＜0，解得：1＜x＜4，∵4﹣x＞0，5﹣x＞0，6﹣x＞0，且4﹣x+5﹣x＞6﹣x，∴0＜x＜3，则x的范围为1＜x＜3．故选：C．二．填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，将答案填在答题卡上相应位置．13．（4分）=．【解答】解：由=（cos2+sin2）（cos2﹣sin2+）=cos （2×）=cos=．故答案为：．14．（4分）若a n=2n2+λn+3（其中λ为实常数），n∈N*，且数列{a n}为单调递增数列，则实数λ的取值范围为（﹣6，+∞）．【解答】解：若数列{a n}为单调递增数列，则a n＞a n，+1即2（n+1）2+λ（n+1）+3＞2n2+λn+3，整理得λ＞﹣（4n+2），∵n≥1，∴﹣（4n+2）≤﹣6，即λ＞﹣6，故答案为：（﹣6，+∞）解法二：＞a n，根据抛物线的单调性的性质得要使数列{a n}为单调递增数列，则a n+1特别的a2＞a1，则对称轴﹣＜⇒λ＞﹣615．（4分）已知变量x，y满足约束条件，则z=3x+y的最大值为11．【解答】解：不等式组对应的平面区域如图由z=3x+y得y=﹣3x+z，平移直线y=﹣3x+z，则由图象可知当直线y=﹣3x+z经过点A时直线y=﹣3x+z的截距最大，此时z最大，由得，即A（3，2），此时z=3×3+2=11，故答案为：11．16．（4分）已知{a n}是等差数列，d为其公差，S n是其前n项和，若只有S4是{S n}中的最小项，则可得出的结论中正确的是①②③④．①d＞0 ②a4＜0 ③a5＞0 ④S7＜0 ⑤S8＞0．【解答】解答：解：由已知条件得到a5＞0，a4＜0∴d＞0故①②③正确∵=7a4＜0④正确，=4（a4+a5）无法判断其正负，故⑤错误∴正确的结论是①②．故答案为：①②③④．三．解答题：大本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（10分）已知函数f（x）=ax2+（b﹣8）x﹣a﹣ab，不等式f（x）＞0的解集为{x|﹣3＜x＜2}．（1）求函数y=f（x）的解析式．（2）当关于的x的不等式ax2+bx+c≤0的解集为R时，求c的取值范围．【解答】解：（1）∵f（x）＞0的解集为{x|﹣3＜x＜2}，∴﹣3，2是方程ax2+（b﹣8）x﹣a﹣ab=0的两根；∴，解得，∴f（x）=﹣3x2﹣3x+18；（2）∵a=﹣3＜0，∴二次函数y=﹣3x2+5x+c的图象开口向下，要使﹣3x2+5x+c≤0的解集为R，只需△≤0，即25+12c≤0，∴c≤﹣；∴当c≤﹣时，﹣3x2+5x+c≤的解集为R．18．（12分）已知，（Ⅰ）求tanx的值；（Ⅱ）求的值．【解答】解：（1）由，，∴．（2）原式==，由（1）知cosx﹣sinx≠0，所以上式==cotx+1==．19．（12分）已知等差数列{a n}中，已知等差数列{a n}中，a3=5，S10=100（1）求a n，（2）设b n=，求{b n}的前n项和T n．【解答】解：（1）由题意知，解得a1=1，d=2，则a n=2n﹣1．（2）b n===（），则T n=（1）=（1）=．20．（12分）已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，c=asinC+ccosA．（1）求角A；（2）若a=2，△ABC的面积为，求△ABC的周长．【解答】解：（1）由c=asinC+ccosA，利用正弦定理化简得：sinC= sinAsinC+sinCcosA，∵sinC≠0，∴sinA+cosA=1，即2sin（A+）=1，∴sin（A+）=，又0＜A＜π，∴＜A+＜，则A+=，即A=；（2）∵△ABC的面积S=bcsinA=，sinA=，∴bc=4，由余弦定理知a2=b2+c2﹣2bccosA=b2+c2+bc，得a2+bc=（b+c）2，代入a=2，bc=4，解得：b+c=4，则△ABC周长为4+2．21．（12分）设数列{a n}是等差数列，数列{b n}的前n项和S n满足S n=1﹣b n，（n ∈N+），且a2﹣1=，a5=+1．（Ⅰ）求数列{a n}和{b n}的通项公式：（Ⅱ）设T n为数列{a n•b n}的前n项和，求T n．【解答】解（Ⅰ）由S n=1﹣b n（1）知当n=1时，b1=1﹣b1，∴b1=．当n≥2时，S n=1﹣b n﹣1，（2）﹣1（1）﹣（2）得2b n=b n﹣1，∴=（n≥2），∴{b n}是以为首项以为公比的等比数列，∴，∴，∴a2=3，a5=9，∴3d=a5﹣a2=6，∴d=2．故a1=1，a n=1+2（n﹣1）=2n﹣1．（Ⅱ）∵a n．b n=，∴T n=①，T n=+②①﹣②得T n=﹣=，∴T n=3﹣．22．（12分）设数列{a n}的首项a1=1，前n项和S n满足关系式：3tS n﹣（2t+3）S n﹣1=3t（t＞0，n=2，3，4…）（1）求证：数列{a n}是等比数列；（2）设数列{a n}的公比为f（t），作数列{b n}，使，求数列{b n}的通项b n；（3）求和：b1b2﹣b2b3+b3b4﹣b4b5+…+b2n﹣1b2n﹣b2n b2n+1．【解答】（1）证明：∵a1=S1=1，S2=1+a2，∴a2=又3tS n﹣（2t+3）S n﹣1=3t ①∴3tS n﹣1﹣（2t+3）S n﹣2=3t ②①﹣②得：3ta n﹣（2t+3）a n﹣1=0，∴，（n=2，3，…）∴{a n}是一个首项为1、公比为的等比数列；（2）解：∵f（t）=，∴b n=f+b n﹣1．∴数列{b n}是一个首项为1、公差为的等差数列．∴b n=1+（n﹣1）=；（3）解：∵b n=，}和{b2n}是首项分别为1和，公差均为的等差数列，∴数列{b2n﹣1于是b1b2﹣b2b3+b3b4﹣b4b5+…+b2n﹣1b2n﹣b2n b2n+1=b2（b1﹣b3）+b4（b3﹣b5）+b6（b5﹣b7）+…+b2n（b2n﹣1+b2n+1）=﹣（b2+b4+…+b2n）=﹣=﹣（2n2+3n）．。
衡水中学高2017届16-17学年(下)七调试题——数学文
河北衡水中学2016～2017学年度第二学期高三七调考试数学（文科）试卷注意事项：1．本卷满分150分，考试时间120分钟，答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题纸上，认真核对条形码上的姓名、准考证号，并将条形码粘在答题纸的指定位置上；2．选择题答案使用2B 铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案的标号；非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体要工整、笔记要清楚； 3．请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效； 4．保持答题卡面清洁，不折叠，不破损；5．做选考题时，考生按照题目要求作答，并用2B 铅笔在答题纸上把所选题目对应的题号涂黑。
第I 卷（选择题 共60分）一、选择题（每小题5分，共60分。
下列每小题所给选项只有一项符合题意，请将正确答案的序号填涂在答题卡上）1．满足{1,2}{1,2,3,4}P ⊆⊄的集合P 的个数是（ ）A ．2B ．3C ．4D ．52．已知11xyi i =-+，其中,x y 是实数，i 是虚数单位，则x yi +的共轭复数为（ ）A ．2i +B ．2i -C ．12i +D ．12i -3．在如下图所示的程序框图中，若124231,log 2,log 3log 216a b c ⎛⎫===⋅ ⎪⎝⎭，则输出的x =（ ）A ．0.25B ．0.5C ．1D ．2 4．数列{}n a 满足*11110,1(2,)11n n a n n N a a -=-=≥∈--，则2017a =（ ） A ．12017B ．12016C ．20162017 D ．201520165．把边长为1的正方形ABCD 沿对角线BD 折起，使得平面ABD ⊥平面CBD ，形成三棱锥C -ABD 的正视图与俯视图如下图所示，则侧视图的面积为（ ）A ．12 BCD ．146．在某地区某高传染性病毒流行期间，为了建立指标显示疫情已受控制，以便向该地区居众显示可以过正常生活，有公共卫生专家建议的指标是“连续7天每天新增感染人数不超过5人”，根据连续7天的新增病例数计算，下列各选项中，一定符合上述指标的是（ ）①平均数3x ≤；②标准差2s ≤；③平均数3x ≤且标准差2s ≤ ④平均数3x ≤且极差小于或等于2；⑤众数等于1且极差小于或等于4A ．①②B ．③④C ．③④⑤D ．④⑤7．将函数()2cos 2f x x =的图象向右平移6π个单位后得到函数()g x 的图象，若函数()g x 在区间0,3a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦和72,6a π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，则实数a 的取值范围是（ ） A ．,32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．,62ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．3,48ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦8．在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且cos 3cos B Cb c=-，则角A 的最大值为（ ） A ．6πB ．4π C ．3π D ．2π 9．函数2()sin ||f x x x =-在[2,2]-上的图象大致为（ ）10．已知椭圆22221(0)x ya b a b +=>>，点(,)Acb ，右焦点(,0)F c ，椭圆上存在一点M ，使得OM OA OF OA ⋅=⋅ 且()OM OF tOA t R +=∈，则该椭圆的离心率为（ ）A B C D ．2311．如图所示，面积为S 的平面凸四边形的第i 条边的边长为(1,2,3,4)i a i =，此四边形内在一点P 到第i 条边的距离记为(1,2,3,4)i h i =，若31241357a a a a k ====，则12342357Sh h h h k+++=。
2016-2017学年河北省衡水中学高三下学期期中数学试卷试卷(文科)【解析版】
2016-2017学年河北省衡水中学高三（下）期中数学试卷试卷（文科）一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）设全集U＝R，集合A＝{x|﹣1＜x＜2}，A∩（∁U B）＝{x|1＜x＜2}，则集合B可以是（）A．{x|﹣2＜x＜2}B．{x|﹣1＜x＜1}C．{x|x≤1}D．{x|x＞2} 2．（5分）若复数z＝+（1﹣i）2，则|z|等于（）A．B．C．2D．3．（5分）已知tanα＝2，α∈（0，π），则cos（+2α）等于（）A．B．C．﹣D．﹣4．（5分）为了加强某站的安全检查，从甲乙丙等5名候选民警中选2名作为安保人员，则甲乙丙中有2人被选中的概率为（）A．B．C．D．5．（5分）已知a＝log2，b＝0.33.2，c＝3.20.3，则实数a，b，c的大小关系是（）A．a＜c＜b B．a＜b＜c C．b＜a＜c D．b＜c＜a 6．（5分）某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为扇形，则该几何体的体积为（）A．B．C．D．7．（5分）《孙子算经》是中国公元四世纪的数学著作，其中接受了求解依次同余式的方法，他是数论中一个重要的定理，又称《中国剩余定理》，如图所示的程序框图的算法就是源于《中国剩余定理》，执行该程序框图，若正整数N 除以正整数m后的余数为n，则记为N≡n（modm），例如11≡3（mod4），则输出的等于（）A．8B．16C．32D．648．（5分）已知点F是双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）的右焦点，过F点作双曲线的一条渐近线垂线，垂足为A，交另一条渐近线于B，若A点恰好为BF的中点，则双曲线的离心率为（）A．B．C．2D．39．（5分）已知函数f（x）＝A sin（wx+φ）（其中A＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示，将函数的图象向左平移个单位长度得到函数g（x）的图象，则函数g（x）的解析式为（）A．g（x）＝2sin（2x﹣）B．g（x）＝2sin（2x+）C．g（x）＝﹣2sin（2x﹣）D．g（x）＝﹣2sin（2x+）10．（5分）已知函数f（x）＝，且f（e）＝f（1），f（e2）＝f（0）+，则函数f（x）的值域为（）A．（，]∪（，+∞）B．（，）C．（﹣∞，]∪[，+∞）D．（，]∪[，+∞）11．（5分）直线2x﹣y+a＝0与3x+y﹣3＝0交于第一象限，当点P（x，y）在不等式组表示的区域上运动时，m＝4x+3y的最大值为8，此时n＝的最大值是（）A．B．C．D．12．（5分）已知函数f（x）＝1g（x+），若对于任意的x∈（1，2]时，f（）+f[]＞0恒成立，则实数m的取值范围是（）A．[4，+∞）B．（12，+∞）C．（﹣∞，0）D．（﹣∞，0]二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上..13．（5分）已知向量＝（x，y）（x，y∈R），＝（1，2），若x2+y2＝1，则|﹣|的最小值为．14．（5分）已知矩形ABCD的顶点都在半径为5的球O的表面上，且AB＝6，BC＝2，则棱锥O﹣ABCD的侧面积为．15．（5分）如图，已知四边形ABCD中，AB＝CD＝1，AD＝BC＝2，∠A+∠C＝．则BD的长为．16．（5分）已知过点M（，0）的直线l与抛物线y2＝2px（p＞0）交于A，B两点，O为坐标原点，且满足•＝﹣3，则当|AM|+4|BM|最小时，|AB|＝．三、解答题：本大题共5小题，满分60分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17．（12分）已知数列{a n}，a1＝0，a n＝a n+1+．（1）证明数列{a n+1}是等比数列，并求出数列{a n}的通项公式；（2）令b n＝na n+n，数列{b n}的前n项和为S n，求证：S n≥1．18．（12分）十八届五中全会公报指出：努力促进人口均衡发展，坚持计划生育的基本政策，完善人口发展战略，全面实施一对夫妇可生育两个孩子的政策．一时间“放开生育二胎”的消息引起社会的广泛关注．为了解某地区社会人士对“放开生育二胎政策”的看法，某计生局在该地区选择了4000 人进行调查（若所选择的已婚的人数低于被调查总人数的78%，则认为本次调查“失效”），就“是否放开生育二胎政策”的问题，调查统计的结果如下表：已知在被调查人群中随机抽取1人，抽到持“不放开”态度的人的概率为0.08．（1）现用分层抽样的方法在所有参与调查的人中抽取400人进行深入访谈，问应在持“无所谓”态度的人中抽取多少人？（2）已知y≥710，z≥78，求本次调查“失效”的概率．19．（12分）如图所示，在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E、F分别为DD1、DB的中点．（1）求证：EF∥平面ABC1D1；（2）求证：EF⊥B1C；（3）求三棱锥的体积．20．（12分）已知离心率为的椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的左右焦点分别为F1，F2，A是椭圆C的左顶点，且满足|AF1|+|AF2|＝4．（1）求椭圆C的标准方程；（2）若M，N是椭圆C上异于A点的两个动点，且满足AM⊥AN，问直线MN 是否恒过定点？说明理由．21．（12分）已知函数f（x）＝ax2﹣1+lnx，其中a为实数．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）当a＝﹣（e为自然对数的底数）时，若函数g（x）＝|f（x）|﹣﹣b存在零点，求实数b的取值范围．请考生在第（22）、（23）题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑，把答案填在答题卡上．[选修4-4坐标系与参数方程]22．（10分）在直角坐标系xOy，以O为极点，x轴的正半轴建立直角坐标系，直线l的极坐标方程＝2，而曲线C的参数方程为（其中φ为参数）；（1）若直线l与曲线C恰好有一个公共点，求实数m的值；（2）当m＝﹣，求直线l被曲线C截得的弦长．[选修4-5不等式选讲]23．设函数f（x）＝|x﹣a|+|x﹣2|．（1）若a＝1，解不等式f（x）≤2；（2）若存在x∈R，使得不等式f（x）≤对任意t＞0恒成立，求实数a的取值范围．2016-2017学年河北省衡水中学高三（下）期中数学试卷试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）设全集U＝R，集合A＝{x|﹣1＜x＜2}，A∩（∁U B）＝{x|1＜x＜2}，则集合B可以是（）A．{x|﹣2＜x＜2}B．{x|﹣1＜x＜1}C．{x|x≤1}D．{x|x＞2}【考点】1H：交、并、补集的混合运算．【解答】解：设全集U＝R，集合A＝{x|﹣1＜x＜2}，A∩（∁U B）＝{x|1＜x＜2}，可知集合B＝{x|x≤1}．故选：C．2．（5分）若复数z＝+（1﹣i）2，则|z|等于（）A．B．C．2D．【考点】A8：复数的模．【解答】解：因为z＝z＝+（1﹣i）2＝﹣2i＝1﹣i﹣2i＝1﹣3i，所以|z|＝＝，故选：A．3．（5分）已知tanα＝2，α∈（0，π），则cos（+2α）等于（）A．B．C．﹣D．﹣【考点】GF：三角函数的恒等变换及化简求值．【解答】解：∵tanα＝2，α∈（0，π），∴cos（+2α）＝﹣sin2α＝﹣2sinαcosα＝﹣＝﹣＝﹣＝﹣．故选：D．4．（5分）为了加强某站的安全检查，从甲乙丙等5名候选民警中选2名作为安保人员，则甲乙丙中有2人被选中的概率为（）A．B．C．D．【考点】CB：古典概型及其概率计算公式．【解答】解：从甲、乙、丙等5名候选民警中选2名作为阅兵安保人员，共有10种情况，甲、乙、丙中有2个被选中，有3种，故所求事件的概率P＝．故选：A．5．（5分）已知a＝log2，b＝0.33.2，c＝3.20.3，则实数a，b，c的大小关系是（）A．a＜c＜b B．a＜b＜c C．b＜a＜c D．b＜c＜a【考点】4M：对数值大小的比较．【解答】解：∵a＝log2＝﹣3＜1，0＜b＝0.33.2＜0.30＝1，c＝3.20.3＞3.20＝1，∴实数a，b，c的大小关系为a＜b＜c．故选：B．6．（5分）某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为扇形，则该几何体的体积为（）A．B．C．D．【考点】L!：由三视图求面积、体积．【解答】解：由三视图知几何体是圆锥的一部分，由俯视图与左视图可得：底面扇形的圆心角为120°，又由侧视图知几何体的高为4，底面圆的半径为2，∴几何体的体积V＝××π×22×4＝．故选：D．7．（5分）《孙子算经》是中国公元四世纪的数学著作，其中接受了求解依次同余式的方法，他是数论中一个重要的定理，又称《中国剩余定理》，如图所示的程序框图的算法就是源于《中国剩余定理》，执行该程序框图，若正整数N 除以正整数m后的余数为n，则记为N≡n（modm），例如11≡3（mod4），则输出的等于（）A．8B．16C．32D．64【考点】EF：程序框图．【解答】解：模拟程序的运行，可得n＝11，i＝1i＝2，n＝13不满足条件“n＝2（mod 3）“，i＝4，n＝17，满足条件“n＝2（mod 3）“，不满足条件“n＝1（mod 5）“，i＝8，n＝25，不满足条件“n＝2（mod 3）“，i＝16，n＝41，满足条件“n＝2（mod3）“，满足条件“n＝1（mod5）”，退出循环，输出i的值为16．故选：B．8．（5分）已知点F是双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）的右焦点，过F点作双曲线的一条渐近线垂线，垂足为A，交另一条渐近线于B，若A点恰好为BF的中点，则双曲线的离心率为（）A．B．C．2D．3【考点】KC：双曲线的性质．【解答】解：不妨设双曲线的一条渐近线方程为：y＝，则另一条渐近线方程为：y＝﹣，设A（m，），B（n，﹣），因为F（c，0），A为BF的中点，所以m＝，，解得m＝c，A（，），由F A⊥OA，可得：k F A•k OA＝﹣1，即：•＝﹣1，即b2＝3a2，解得e＝＝＝2．故选：C．9．（5分）已知函数f（x）＝A sin（wx+φ）（其中A＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示，将函数的图象向左平移个单位长度得到函数g（x）的图象，则函数g（x）的解析式为（）A．g（x）＝2sin（2x﹣）B．g（x）＝2sin（2x+）C．g（x）＝﹣2sin（2x﹣）D．g（x）＝﹣2sin（2x+）【考点】HK：由y＝Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【解答】解：由函数f（x）＝A sin（ωx+φ）（其中A＞0，|φ|＜）的图象，可得A＝1，＝﹣＝，即＝π求得ω＝2，∵f（）＝2sin（2×+φ）＝﹣2，即sin（+φ）＝1，∴+φ＝+2kπ，k∈Z，即φ＝+2kπ，k∈Z，∵|φ|＜，∴φ＝，∴f（x）＝2sin（2x+）．将函数f（x）的图象向左平移个单位长度得到函数g（x）＝2sin[2（x+）+]＝2sin（2x+π﹣）＝﹣2sin（2x﹣）的图象，故选：C．10．（5分）已知函数f（x）＝，且f（e）＝f（1），f（e2）＝f（0）+，则函数f（x）的值域为（）A．（，]∪（，+∞）B．（，）C．（﹣∞，]∪[，+∞）D．（，]∪[，+∞）【考点】5B：分段函数的应用．【解答】解：函数f（x）＝，且f（e）＝f（1），f（e2）＝f（0）+，可得：，解得a＝﹣1，b＝2，所以当x＞0时，f（x）＝（lnx）2﹣lnx+2＝（lnx﹣）2+，当x≤0时，可得＝，则函数f（x）的值域为（，]∪[，+∞）．故选：D．11．（5分）直线2x﹣y+a＝0与3x+y﹣3＝0交于第一象限，当点P（x，y）在不等式组表示的区域上运动时，m＝4x+3y的最大值为8，此时n＝的最大值是（）A．B．C．D．【考点】7C：简单线性规划．【解答】解：由直线2x﹣y+a＝0与3x+y﹣3＝0交于点A，解方程组，得A（），将直线4x+3y＝0平移经过A点时，m取最大值，∴，得a＝2．于是，点A的坐标为（），∵n＝表示点B（﹣3，0）与P（x，y）连线的斜率，由图可知，当P与点A重合时，n取最大值，∴n的最大值为．故选：D．12．（5分）已知函数f（x）＝1g（x+），若对于任意的x∈（1，2]时，f（）+f[]＞0恒成立，则实数m的取值范围是（）A．[4，+∞）B．（12，+∞）C．（﹣∞，0）D．（﹣∞，0]【考点】3R：函数恒成立问题．【解答】解：∵f（x）＝1g（x+），∴f（﹣x）＝1g（﹣x+）＝﹣f（x），∴函数为奇函数，由表达式显然知函数为增函数，∵f（）+f[]＞0恒成立，∴＞﹣，∴（x+1）（x﹣1）（x﹣6）＜﹣m恒成立，令h（x）＝（x+1）（x﹣1）（x﹣6），可知函数h（x）在x∈（1，2]时，单调递减，∴h（x）的最大值大于h（1）＝0，∴0≤﹣m，∴m≤0，故选：D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上..13．（5分）已知向量＝（x，y）（x，y∈R），＝（1，2），若x2+y2＝1，则|﹣|的最小值为﹣1．【考点】91：向量的概念与向量的模．【解答】解：设O（0，0），P（1，2），∴|﹣|＝≥||﹣1＝﹣1＝﹣1，∴|﹣|的最小值为﹣114．（5分）已知矩形ABCD的顶点都在半径为5的球O的表面上，且AB＝6，BC＝2，则棱锥O﹣ABCD的侧面积为44．【考点】LE：棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积．【解答】解：设点O到矩形ABCD所在平面的距离为h，则h＝＝．∴棱锥O﹣ABCD的侧面积＝2×＝44．故答案为：44．15．（5分）如图，已知四边形ABCD中，AB＝CD＝1，AD＝BC＝2，∠A+∠C＝．则BD的长为．【考点】HT：三角形中的几何计算．【解答】解：在△ABD中由余弦定理可知：BD2＝AB2+AD2﹣2AB•AD•cos A，在△CDB中与余弦定理可知：BD2＝DC2+BC2﹣2AB•AD•cos C，将AB＝CD＝1，AD＝BC＝2代入，整理得：2cos A﹣cos C＝1，∠A+∠C ＝，2cos A﹣cos（﹣A）＝1，整理得：3cos A+sin A＝1，两边平方（3cos A+sin A）2＝9cos2A+6cos A sin A+sin2A＝cos2A+sin2A，整理得：sin A＝﹣，cos A＝，BD＝，BD＝，故答案为：．16．（5分）已知过点M（，0）的直线l与抛物线y2＝2px（p＞0）交于A，B两点，O为坐标原点，且满足•＝﹣3，则当|AM|+4|BM|最小时，|AB|＝．【考点】KN：直线与抛物线的综合．【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），设直线l的方程为：x＝my+，将直线l的方程代入抛物线方程y2＝2px，消去x，得，y2﹣2pmy﹣p2＝0，∴y1+y2＝2pm，y1y2＝﹣p2，∵•＝﹣3，即x1x2+y1y2＝﹣3，x1x2＝•＝，∴有﹣p2＝﹣3，解得，p＝2；（舍去负值），∴x1x2＝＝1，由抛物线的定义，可得，|AM|＝x1+1，|BM|＝x2+1，则|AM|+4|BM|＝x 1+4x2+5≥2+5＝9，当且仅当x1＝4x2时取得等号．由于x1x2＝1，可以解得，x2＝2（舍去负值），∴x1＝，代入抛物线方程y2＝4x，解得，y1＝，y2＝±2，即有A（，±）B （2，±2），∴|AB|＝＝＝．三、解答题：本大题共5小题，满分60分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17．（12分）已知数列{a n}，a1＝0，a n＝a n+1+．（1）证明数列{a n+1}是等比数列，并求出数列{a n}的通项公式；（2）令b n＝na n+n，数列{b n}的前n项和为S n，求证：S n≥1．【考点】8E：数列的求和．【解答】证明：（1）由a n＝a n+1+，则a n+1＝a n﹣，即（a n+1+1）＝（a n+1），∴{a n+1}是以a1+1＝1为首项，以为公比的等比数列，∴a n+1＝（）n﹣1，即a n＝（）n﹣1﹣1，∴数列{a n}的通项公式a n＝（）n﹣1﹣1；（2）由（1）b n＝na n+n＝n（）n﹣1，则S n＝1×（）0+2×（）1+3×（）3+…+（n﹣1）×（）n﹣2+n（）n﹣1，①∴S n＝1×（）1+2×（）2+3×（）4+…+（n﹣1）×（）n﹣1+n（）n，②①﹣②得：S n＝（）0+（）1+（）2+…+（）n﹣1﹣n（）n，＝2﹣，S n＝4﹣，∴＝＝，由n+3＜2n+4，则2n+2﹣（n+3）＞2n+2﹣（2n+4），由2n+2﹣（n+3）＞0，2n+2﹣（2n+4）＞0，则＞1，数列{S n}单调递增，故当n＝1时，数列{S n}取得最小值，即S n≥S1＝1．S n≥1．18．（12分）十八届五中全会公报指出：努力促进人口均衡发展，坚持计划生育的基本政策，完善人口发展战略，全面实施一对夫妇可生育两个孩子的政策．一时间“放开生育二胎”的消息引起社会的广泛关注．为了解某地区社会人士对“放开生育二胎政策”的看法，某计生局在该地区选择了4000 人进行调查（若所选择的已婚的人数低于被调查总人数的78%，则认为本次调查“失效”），就“是否放开生育二胎政策”的问题，调查统计的结果如下表：已知在被调查人群中随机抽取1人，抽到持“不放开”态度的人的概率为0.08．（1）现用分层抽样的方法在所有参与调查的人中抽取400人进行深入访谈，问应在持“无所谓”态度的人中抽取多少人？（2）已知y≥710，z≥78，求本次调查“失效”的概率．【考点】B3：分层抽样方法；CC：列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【解答】解：（1）∵抽到持“不放开”态度的人的概率为0.08，∴＝0.08，解得x＝120．∴持“无所谓”态度的人数共有4000﹣2200﹣680﹣200﹣120＝800．∴应在“无所谓”态度抽取800×＝80人．（2）∵y+z＝800，y≥710，z≥78，故满足条件的（y，z）有：（710，90），（711，89），（712，88），（713，87），（714，86），（715，85），（716，84），（717，83），（718，82），（719，81），（720，80），（721，79），（722，78），共13种．记本次调查“失效”为事件A，若调查失效，则2200+200+y＜4000×0.78，解得y＜720．∴事件A包含（710，90），（711，89），（712，88），（713，87），（714，86），（715，85），（716，84），（717，83），（718，82），（719，81）共10种．∴P（A）＝19．（12分）如图所示，在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E、F分别为DD1、DB的中点．（1）求证：EF∥平面ABC1D1；（2）求证：EF⊥B1C；（3）求三棱锥的体积．【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积；LS：直线与平面平行；LW：直线与平面垂直．【解答】解：（1）证明：连接BD1，如图，在△DD1B中，E、F分别为D1D，DB的中点，则⇒EF∥平面ABC1D1．（2）⇒⇒⇒EF⊥B1C（3）∵CF⊥平面BDD1B1，∴CF⊥平面EFB1且，∵，，∴EF2+B1F2＝B1E2即∠EFB1＝90°，∴＝＝20．（12分）已知离心率为的椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的左右焦点分别为F1，F2，A是椭圆C的左顶点，且满足|AF1|+|AF2|＝4．（1）求椭圆C的标准方程；（2）若M，N是椭圆C上异于A点的两个动点，且满足AM⊥AN，问直线MN 是否恒过定点？说明理由．【考点】K3：椭圆的标准方程；KL：直线与椭圆的综合．【解答】解：（1）由椭圆的定义可得，|AF1|+|AF2|＝2a＝4，解得a＝2，∵离心率为e＝＝，∴c＝1，∴b2＝a2﹣c2＝3，∴椭圆C的标准方程为；（2）由题意知A（﹣2，0）．设M（x1，y1），N（x2，y2）．若直线MN斜率不存在，则N（x1，﹣y1），由AM⊥AN，•＝0，得•＝﹣1，又M和N在椭圆上，代入解得x＝﹣，则直线MN方程为x＝﹣．若直线MN斜率存在，设方程为y＝kx+m，椭圆方程联立，消去y可得（4k2+3）x2+8kmx+4m2﹣12＝0．∴x1+x2＝﹣，x1x2＝．由AM⊥AN，得×＝﹣1，整理得（k2+1）x1x2+（km+2）（x1+x2）+m2+4＝0∴（k2+1）×+（km+2）×（）+m2+4＝0．解得m＝2k或m＝k．若m＝2k，此时直线过定点（﹣2，0）不合题意舍去．故m＝k，即直线MN过定点（﹣，0）．综上可知：直线l过定点（﹣，0）．21．（12分）已知函数f（x）＝ax2﹣1+lnx，其中a为实数．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）当a＝﹣（e为自然对数的底数）时，若函数g（x）＝|f（x）|﹣﹣b存在零点，求实数b的取值范围．【考点】53：函数的零点与方程根的关系；6B：利用导数研究函数的单调性．【解答】解：（1）f（x）＝2ax+＝，当a≥0时，f'（x）＞0，f（x）在（0，+∞）上单调递增；当a＜0时，令f'（x）＝0得x＝，∴f（x）在（，+∞）上递减，在（0，）上递增；（2）g（x）＝|f（x）|﹣﹣b存在零点，∴|f（x）|＝+b有实数根，当a＝﹣时，f（x）＝﹣x2﹣1+lnx，f'（x）＝﹣m当0＜x＜时，f'（x）＞0，当x＞时，f'（x）＜0，∴f（x）在区间（0，）上递增，在（，+∞）上递减，函数的最大值为f（）＝﹣1，∴|f（x）|≥1，令h（x）＝+b，h'（x）＝，当0＜x＜时，h'（x）＞0，当x＞时，h'（x）＜0，∴h（x）的最大值为h（）＝+b，要使|f（x）|＝+b有实数根，∴h（）＝+b，≥1，∴b≥1﹣＝1﹣．请考生在第（22）、（23）题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑，把答案填在答题卡上．[选修4-4坐标系与参数方程]22．（10分）在直角坐标系xOy，以O为极点，x轴的正半轴建立直角坐标系，直线l的极坐标方程＝2，而曲线C的参数方程为（其中φ为参数）；（1）若直线l与曲线C恰好有一个公共点，求实数m的值；（2）当m＝﹣，求直线l被曲线C截得的弦长．【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程；QH：参数方程化成普通方程．【解答】解：（1）直线l的极坐标方程＝2，展开化为（ρsinθ+ρcosθ）＝2（m+1），即x+y﹣4（m+1）＝0．而曲线C的参数方程为（其中φ为参数），消去参数可得：x2+y2＝2．∵直线l与曲线C恰好有一个公共点，∴＝．∴m+1＝，解得m＝，或．（2）m＝﹣时，圆心到直线l的距离d＝＝．∴直线l被曲线C截得的弦长＝2＝2＝．[选修4-5不等式选讲]23．设函数f（x）＝|x﹣a|+|x﹣2|．（1）若a＝1，解不等式f（x）≤2；（2）若存在x∈R，使得不等式f（x）≤对任意t＞0恒成立，求实数a的取值范围．【考点】36：函数解析式的求解及常用方法；R5：绝对值不等式的解法．【解答】解：（1）当a＝1，f（x）＝|x﹣1|+|x﹣2|．不等式f（x）＞2化为|x﹣1|+|x﹣2|≤2．x＜1时，不等式可化为3﹣2x≤2，∴x≥，∴≤x＜1；1≤x≤2时，不等式可化为1≤2，成立；x＞2时，不等式可化为2x﹣3≤2，∴x≤，∴2＜x≤；综上所述，不等式的解集为[，]；（2）f（x）＝|x﹣a|+|x﹣2|≥|x﹣a﹣x+2|＝|a﹣2|，即f（x）的最小值为|a﹣2|．∵t＞0，＝t+≥4，当且仅当t＝2时，取得最小值4，由题意，|a﹣2|≤4，∴﹣2≤a≤6．。
2016-2017年河北省衡水市冀州中学高一(下)期中数学试卷(文科)和答案
2016-2017学年河北省衡水市冀州中学高一（下）期中数学试卷（文科）（A卷）一、选择题：（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．（5分）2cos275°﹣1的值为（）A．B．﹣C．﹣D．2．（5分）如图，正六边形ABCDEF中，++=（）A．B．C．D．3．（5分）直线kx﹣y+1=3k，当k变动时，所有直线都通过定点（）A．（0，0）B．（0，1）C．（3，1）D．（2，1）4．（5分）已知点A（1，3），B（4，﹣1），则与向量同方向的单位向量为（）A．B．C．D．5．（5分）圆x2+y2﹣2x﹣8y+13=0的圆心到直线ax+y﹣1=0的距离为1，则a=（）A．﹣B．﹣C．D．26．（5分）在平面直角坐标系中，角α的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边过点P（﹣，﹣1），sin（﹣2α）=（）A．B．﹣C．D．﹣7．（5分）将函数y=cos2x的图象上的所有点向左平移个单位长度，再把所得图象向上平移1个单位长度，所得图象的函数解析式是（）A．B．C．D．8．（5分）已知||=，||=2，（﹣）•=0，则向量与的夹角为（ ） A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°9．（5分）已知某几何的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．B ．8C ．D ．410．（5分）在△ABC 中，若sin （A ﹣B ）=1+2cos （B +C ）sin （A +C ），则△ABC 的形状一定是（ ） A ．等边三角形 B ．不含60°的等腰三角形 C ．钝角三角形D ．直角三角形11．（5分）函数y=﹣sin 2x ﹣3cosx +3的最小值是（ ） A ．2B ．0C ．D ．612．（5分）已知直线x +y ﹣k=0（k ＞0）与圆x 2+y 2=4交于不同的两点A 、B ，O 是坐标原点，且有，那么k 的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．二、填空题：（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上） 13．（5分）若tanα=，则tan （﹣α）= ．14．（5分）已知圆x 2+y 2=m 与圆x 2+y 2+6x ﹣8y ﹣11=0相内切，则实数m 的值为 ．15．（5分）梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB=4，AD=DC=1，若⊥，则•= ．16．（5分）设常数a 使方程sinx +cosx=a 在闭区间[0，2π]上恰有三个解x 1，x 2，x 3，则x 1+x 2+x 3= ．三、解答题：（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（10分）设=（﹣1，1），=（x，3），=（5，y），=（8，6），且∥，（4+）⊥．（1）求和；（2）求在方向上的投影．18．（12分）（1）已知α∈（，π），且sin+cos=，求cosα的值；（2）已知sin（θ+）=，求cos（﹣θ）．19．（12分）在平面直角坐标系xOy中，直线l：y=2x﹣4．设圆C的半径为1，圆心在l上．（1）若圆心C也在直线y=x﹣1上，求圆C的方程（2）若过原点的直线m与圆C有公共点，求直线m的斜率k的取值范围．20．（12分）如图，已知正四棱柱（底面为正方形，侧棱与底面垂直）ABCD﹣A1B1C1D1的底面边长为3，侧棱长为4，连结A1B，过A作AF⊥A1B垂足为F，且AF的延长线交B1B于E．（Ⅰ）求证：AE⊥D1B；（Ⅱ）求三棱锥B﹣AEC的体积．21．（12分）已知函数f（x）=cos2（x﹣x．（Ⅰ）求f（）的值；（Ⅱ）若对于任意的x∈[0，]，都有f（x）≤c，求实数c的取值范围．22．（12分）如图，在△ABC中，BC边上的中线AD长为3，且cosB=，cos ∠ADC=﹣．（1）求sin∠BAD的值；（2）求AC边的长．2016-2017学年河北省衡水市冀州中学高一（下）期中数学试卷（文科）（A卷）参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．（5分）2cos275°﹣1的值为（）A．B．﹣C．﹣D．【解答】解：2cos275°﹣1=cos150°=﹣cos30°=﹣，故选：B．2．（5分）如图，正六边形ABCDEF中，++=（）A．B．C．D．【解答】解：正六边形ABCDEF中，∵=，=；∴++=++=++=．故选：D．3．（5分）直线kx﹣y+1=3k，当k变动时，所有直线都通过定点（）A．（0，0）B．（0，1）C．（3，1）D．（2，1）【解答】解：由kx﹣y+1=3k得k（x﹣3）=y﹣1对于任何k∈R都成立，则，解得x=3，y=1，故选：C．4．（5分）已知点A（1，3），B（4，﹣1），则与向量同方向的单位向量为（）A．B．C．D．【解答】解：∵已知点A（1，3），B（4，﹣1），∴=（4，﹣1）﹣（1，3）=（3，﹣4），||==5，则与向量同方向的单位向量为=，故选：A．5．（5分）圆x2+y2﹣2x﹣8y+13=0的圆心到直线ax+y﹣1=0的距离为1，则a=（）A．﹣B．﹣C．D．2【解答】解：圆x2+y2﹣2x﹣8y+13=0的圆心坐标为：（1，4），故圆心到直线ax+y﹣1=0的距离d==1，解得：a=，故选：A．6．（5分）在平面直角坐标系中，角α的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边过点P（﹣，﹣1），sin（﹣2α）=（）A．B．﹣C．D．﹣【解答】解：∵角α的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边过点P（﹣，﹣1），∴r=|OP|=2，x=﹣，∴cosα===﹣，sin（﹣2α）=cos2α=2cos2α﹣1=，故选：C．7．（5分）将函数y=cos2x的图象上的所有点向左平移个单位长度，再把所得图象向上平移1个单位长度，所得图象的函数解析式是（）A．B．C．D．【解答】解：将函数y=cos2x的图象上的所有点向左平移个单位长度得函数的图象，即的图象；再向上平移1个单位长度得得图象；故选：C．8．（5分）已知||=，||=2，（﹣）•=0，则向量与的夹角为（）A．30°B．60°C．120°D．150°【解答】解：∵，∴=0，∴=0．解得，∵．∴．故选：D．9．（5分）已知某几何的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．B．8C．D．4【解答】解：由三视图知：几何体是四棱锥，且四棱锥的一个侧面与底面垂直，如图：由侧视图得棱锥的高为=2，四棱锥的底面是边长为2的正方形，∴几何体的体积V=×22×2=．故选：A．10．（5分）在△ABC中，若sin（A﹣B）=1+2cos（B+C）sin（A+C），则△ABC的形状一定是（）A．等边三角形B．不含60°的等腰三角形C．钝角三角形D．直角三角形【解答】解：∵sin（A﹣B）=1+2cos（B+C）sin（A+C），∴sinAcosB﹣cosAsinB=1﹣2cosAsinB，∴sinAcosB+cosAsinB=1，∴sin（A+B）=1，∴sinC=1．∵C∈（0，π），∴．∴△ABC的形状一定是直角三角形．故选：D．11．（5分）函数y=﹣sin2x﹣3cosx+3的最小值是（）A．2B．0C．D．6【解答】解：y=﹣sin2x﹣3cosx+3=cos2x﹣1﹣3cosx+3=（cosx﹣）2﹣，∵﹣1≤cosx≤1，令cosx=t，则﹣1≤t≤1，f（t）=（t﹣）2﹣，在[﹣1，1]上单调减，∴f（t）min=f（1）=0故选：B．12．（5分）已知直线x+y﹣k=0（k＞0）与圆x2+y2=4交于不同的两点A、B，O 是坐标原点，且有，那么k的取值范围是（）A．B．C．D．【解答】解：设AB中点为D，则OD⊥AB∵，∴∴∵∴∵直线x+y﹣k=0（k＞0）与圆x2+y2=4交于不同的两点A、B，∴∴4＞∴4＞∵k＞0，∴故选：C．二、填空题：（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）若tanα=，则tan（﹣α）=．【解答】解：∵tanα=，则tan（﹣α）===，故答案为：．14．（5分）已知圆x2+y2=m与圆x2+y2+6x﹣8y﹣11=0相内切，则实数m的值为1或121．【解答】解：圆x2+y2+6x﹣8y﹣11=0 即（x+3）2+（y﹣4）2=36，表示以（﹣3，4）为圆心，半径等于6的圆．再根据两个圆相内切，两圆的圆心距等于半径之差，可得=|6﹣|，解得m=1，或m=121，故答案为1或121．15．（5分）梯形ABCD中，AB∥CD，AB=4，AD=DC=1，若⊥，则•=﹣3．【解答】解：如图，由题意可知，，，．，，∴•=（）•（）==1﹣4=﹣3．故答案为：﹣3．16．（5分）设常数a使方程sinx+cosx=a在闭区间[0，2π]上恰有三个解x1，x2，x3，则x1+x2+x3=．【解答】解：常数a使方程sinx+cosx=a，即2sin（x+）=a，即方程sin（x+）=在闭区间[0，2π]上恰有三个解x1，x2，x3，根据x+∈[，]，sin（x+）∈[﹣1，1]，∴=，∴a=1．则根据正弦函数的图象的对称性可得x1++x2+=2•=π，x3+=，∴x1+x2=，x3=2π，∴x1+x2+x3=，故答案为：．三、解答题：（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（10分）设=（﹣1，1），=（x，3），=（5，y），=（8，6），且∥，（4+）⊥．（1）求和；（2）求在方向上的投影．【解答】解：（1）∵∥，∴6x﹣24=0，得x=4，∵4+=（4，10），（4+）⊥．∴（4+）•=4×5+10y=0，得y=﹣2，即=（4，3），=（5，﹣2）．（2）∵cos＜，＞=，∴在方向上的投影为||cos＜，＞===﹣．18．（12分）（1）已知α∈（，π），且sin+cos=，求cosα的值；（2）已知sin（θ+）=，求cos（﹣θ）．【解答】解：（1）由sin+cos=，可得：（sin+cos）2=1+sinα=，∴sinα=，α∈（，π），∴cosα=．（2）由sin（θ+）=cos[﹣（）]=，∴cos（﹣θ）=．19．（12分）在平面直角坐标系xOy中，直线l：y=2x﹣4．设圆C的半径为1，圆心在l上．（1）若圆心C也在直线y=x﹣1上，求圆C的方程（2）若过原点的直线m与圆C有公共点，求直线m的斜率k的取值范围．【解答】解：（1）联立，解得．∴圆心坐标为（3，2），由半径r=1，∴圆C的方程为（x﹣3）2+（y﹣2）2=1；（2）如图，设直线m的方程为y=kx，由圆心（3，2）到直线kx﹣y=0的距离d=，解得k=．∴过原点的直线m与圆C有公共点，直线m的斜率k的取值范围是[]．20．（12分）如图，已知正四棱柱（底面为正方形，侧棱与底面垂直）ABCD﹣A1B1C1D1的底面边长为3，侧棱长为4，连结A1B，过A作AF⊥A1B垂足为F，且AF的延长线交B1B于E．（Ⅰ）求证：AE⊥D1B；（Ⅱ）求三棱锥B﹣AEC的体积．【解答】证明：（Ⅰ）∵正四棱柱（底面为正方形，侧棱与底面垂直）ABCD﹣A1B1C1D1中，A1D1⊥平面ABB1A1，AE⊂平面ABB1A1，∴A1D1⊥AE，∵过A作AF⊥A1B垂足为F，且AF的延长线交B1B于E，∴AE⊥A1B，∵A1D1∩A1B=A1，∴AE⊥平面A1D1B，∵D1B⊂平面A1D1B，∴AE⊥D1B．解：（Ⅱ）以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，则A（3，0，0），B（3，3，0），A1（3，0，4），设E（3，3，t），=（0，3，t），=（0，3，﹣4），∵AE⊥A1B，∴=9﹣4t=0，解得t=，∴BE=，∴三棱锥B﹣AEC的体积：V B﹣AEC=V E﹣ABC====．21．（12分）已知函数f（x）=cos2（x﹣x．（Ⅰ）求f（）的值；（Ⅱ）若对于任意的x∈[0，]，都有f（x）≤c，求实数c的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）∵函数，∴．…（5分）（Ⅱ）∵…（7分）=…（8分）=．…（9分）因为，所以，…（10分）所以当，即时，f（x）取得最大值．…（11分）所以，f（x）≤c等价于．故当，f（x）≤c时，c的取值范围是．…（13分）22．（12分）如图，在△ABC中，BC边上的中线AD长为3，且cosB=，cos ∠ADC=﹣．（1）求sin∠BAD的值；（2）求AC边的长．【解答】解：（1）因为cosB=，所以sinB=．又cos∠ADC=﹣，所以sin∠ADC=，所以sin∠BAD=sin（∠ADC﹣∠B）=sin∠ADCcosB﹣cos∠ADCsinB=×﹣（﹣）×=．（2）在△ABD中，由=得=，解得BD=2．故DC=2，从而在△ADC中，由AC2=AD2+DC2﹣2AD•DC•cos∠ADC=32+22﹣2×3×2×（﹣）=16，得AC=4．。
优质金卷：河北省衡水中学2016-2017学年高一下学期期末考试文数试题(解析版)
1．C 【解析】由题意可得：210,a ++=∴= 10y ++=，据此可得，直线l 的倾斜角为60︒．本题选择C 选项．2．C 【解析】由题设()111,3,1C r --=， ()223,1,3C r -=，而两圆相离，应选答案C.5．A 【解析】由等比数列的性质得：S n ,S 2n −S n ,S 3n −S 2n 成等比数列， ∵等比数列的前n 项和为45，前2n 项和为60， ∴45,60−45,S 3n −60成等比数列，∴(60−15)2=45(S 3n −60)，解得S 3n =65．本题选择A 选项．点睛： 熟练掌握等比数列的一些性质可提高解题速度，历年高考对等比数列的性质考查较多，主要是考查“等积性”，题目“小而巧”且背景不断更新．解题时要善于类比并且要能正确区分等差、等比数列的性质，不要把两者的性质搞混．6．C 【解析】取BC 中点O ,连结AO 、SO ,∵在正三棱锥S −ABC 中，SB =SC ，AB =A C ， ∴SO ⊥BC ，AO ⊥BC ，∵SO ∩AO =O ，∴BC ⊥平面SOA ，∵SA ⊂平面SAO ， ∴BC ⊥SA ，∴异面直线SA 与BC 所成角的大小为2π． 本题选择C 选项．点睛：平移线段法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面问题化归为共面问题来解决，具体步骤如下：①平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角； ②认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角； ③计算：求该角的值，常利用解三角形； ④取舍：由异面直线所成的角的取值范围是0,2π⎛⎤⎥⎝⎦，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直线所成的角．本题选择C 选项．8．D 【解析】由三视图可知几何体为长方体与半圆柱的组合体，作出几何体的直观图如图所示： 其中半圆柱的底面半径为2，高为4，长方体的棱长分别为4，2，2， ∴几何体的表面积21122442424224222124022S πππ=⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯+⨯⨯+⨯+⨯⨯=+． 本题选择D 选项．点睛： 空间几何体的三视图是分别从空间几何体的正面、左面、上面用平行投影的方法得到的三个平面投影图，因此在分析空间几何体的三视图时，先根据俯视图确定几何体的底面，然后根据正视图或侧视图确定几何体的侧棱与侧面的特征，调整实线和虚线所对应的棱、面的位置，再确定几何体的形状，即可得到结果．11．D 【解析】2016年存款的本息和为()1m q + ，2015年存款的本息和为()21m q + ，2014年存款的本息和为()31m q + ，2013年存款的本息和为()41m q + ，三年存款的本息和为()()()()()()()()()4523411111111111m q q m q q m q m q m q m q q q ⎡⎤⎡⎤++-+-+⎣⎦⎣⎦+++++++==+-，选D ．12．C 【解析】令2x y ==可得： ()02f =，令y x =-可得： ()()4f x f x +-=， 则： ()()220f x f x -+--=，据此可得：函数()()2g x f x =-是单调奇函数， 有函数的单调性可得： 13nn n a a a +=+，整理可得： 11111322n n a a +⎛⎫⎛⎫+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即数列112n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是首项为1，公比为3的等比数列，则： 12231n n a -=⨯-，据此可得： 2017a 的值为20162231⨯- ． 本题选择C 选项．点睛：数列的递推关系是给出数列的一种方法，根据给出的初始值和递推关系可以依次写出这个数列的各项，由递推关系求数列的通项公式，常用的方法有：①求出数列的前几项，再归纳猜想出数列的一个通项公式；②将已知递推关系式整理、变形，变成等差、等比数列，或用累加法、累乘法、迭代法求通项．13．4【解析】由题意可得：992134,2b b =+==，则221694b b b ==．14由题意可得：1145a b a b -=∴-=--，由两点之间距离公式可得：AB=点睛：与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径．16．()1,-+∞【解析】递推公式中，令1n =可得： 1111312,5a a a λλ+=+-∴=，且由递推公式有： 11312,312n n n n S a S a λλ++=+-=+-，两式做差可得： 1112322,5n n n n n a a a a a +++=-∴=，据此可得： 11255n n a λ-+⎛⎫=⨯ ⎪⎝⎭，由题意可得： 11n n n n a a a a +-->-，即：1121212121255555555n n n n λλλλ---++++⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⨯-⨯>⨯-⨯ ⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，整理可得： 10,1λλ+>∴>-，即λ的取值范围是()1,-+∞． 17．【解析】试题分析：(1)利用题意求得 数列的首项和公差整理可得n a n =（*n N ∈），22n n nS +=（*n N ∈）．(2)将数列的通项公式裂项后可得n T =21nn +．（Ⅱ）由（Ⅰ）得， ()121n n b S n n ==+ 1121n n ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭． 则123111111121223341n n T b b b b n n ⎛⎫=+++⋯+=-+-+-+⋯+- ⎪+⎝⎭ 122111n n n ⎛⎫=-=⎪++⎝⎭． 18．【解析】试题分析：（Ⅰ）要证明线面平行，根据判断定理，可知平面外的线与平面内的线平行，则线面平行，所有连接AC 交BD 于点F ，连接EF ， SAC ∆中，根据中位线的性质， //SC EF ；（Ⅱ）要证明面面垂直，即证明线面垂直，根据所给的条件，可证明,BC AB BC BS ⊥⊥，即BC ⊥平面ABS ． 试题解析：（Ⅰ）连接AC 交BD 于F ，则F 为AC 中点，连接EF ， ∵E 为SA 的中点， F 为AC 中点， ∴//EF SC ，又EF ⊂面BDE ， SC ⊄面BDE ， ∴//SC 平面BDE ．（Ⅱ）∵2SB =， 3BC =，∴222SB BC SC +=，∴BC SB ⊥，又四边形ABCD 为矩形，∴BC AB ⊥，又AB 、SB 在平面SAB 内且相交， ∴BC ⊥平面SAB ， 又BC ⊂平面ABCD ， ∴平面ABCD ⊥平面SAB ．19．【解析】试题分析：(1)由递推关系可得数列{}n a 是以1为首项，2为公差的等差数列， 21n a n =-（*n N ∈）． (2)错位相减求得数列的前n 项和123662n n n T -+=-<．（Ⅱ）由（Ⅰ）知， 1212n n n b --=， 则0121135212222n n n T --=+++⋯+，①121113232122222n n n n n T ---=++⋯++，② ①-②，得01211122221222222n n n n T --=+++⋯+- 2112111222n n n --=+++⋯+-111212321312212n n n n n ---+=+-=--．所以123662n n n T -+=-<． 点睛： (1)一般地，如果数列{a n }是等差数列，{b n }是等比数列，求数列{a n ·b n }的前n 项和时，可采用错位相减法求和，一般是和式两边同乘以等比数列{b n }的公比，然后作差求解．(2)在写出“S n ”与“qS n ”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“S n －qS n ”的表达式． 20．【解析】试题分析：(1)利用线面垂直的判断定理可证得BD ⊥平面SAC ，则BD AF ⊥． (2)利用体积的比值结合体积公式可得点E 到平面ABCD 的距离为12．又90DAC BAC ∠+∠=︒， 所以90ABD BAC ∠+∠=︒， 即AC BD ⊥， 又AC SA A ⋂=， 所以BD ⊥平面SAC ．因为AF ⊂平面SAC ，所以BD AF ⊥． （Ⅱ）设点E 到平面ABCD 的距离为h ， 因为B AEC E ABC V V --=，且25E ABC S ABCD V V --=，所11511532222132ABCD S ABCD E ABCABC S SA V V S h h --∆⋅⨯⨯⨯===⋅⨯⨯⨯梯形， 即12h =，故点E 到平面ABCD 的距离为12．21．【解析】试题分析：（1）由点到直线距离公式可得圆心()0,0O 到直线的距离1d =，设直线2l 的方程为 ()21y k x -=+，又过点P 且与x 轴垂直的直线1x =-显然符合要求，故满足题意的直线2l 应为两条；方法3：设点Q 的坐标为()11,x y , 则22119x y +=，则由三点A 、Q 、C 三点共线及直线l 的方程得点，表示出,BC BQ k k ，可证BQ BC k k ⋅为定值试题解析：（1）因直线与圆O 相交所得弦长等于，所以圆心()0,0O 到直线的距离设直线的方程为()21y k x -=+，即20kx y k -++=又过点P 且与x 轴垂直的直线1x =-显然符合要求 所以直线的方程是或3450x y +-=（2）方法1：设点C 的坐标为()6,h ，则直线AC 的方程为所以3BQ BC k k ⋅=-方法3：设点Q 的坐标为()11,x y , 则22119x y +=则三点A 、Q 、C 三点共线及直线l 的方程得点点睛：本题考查直线方程的求法，考查直线与圆的位置关系，注意等价的条件，同时考查联立方程，消去变量的运算能力，属于中档题． 22．【解析】试题分析：(1)利用题中的递推关系计算可得后项与前项的比值为定值1-，计算首项为13即可证得数列为等比数列；(2)原问题转化为()()211111221220932nn n n t ++⎡⎤--⎤⎡------>⎢⎥⎥⎢⎦⎣⎢⎥⎣⎦对任意的*n N ∈都成立，分类讨论可得：实数t 的取值范围是(),1-∞． 试题解析：（Ⅰ）因为12n n n a a ++=， 11a =， 123nn n b a =-⨯，所以11112233n n n n a a ++⎛⎫-⨯=--⨯ ⎪⎝⎭，所以111231123n n nn a a ++-⨯=--⨯， 又121033a -=≠，所以数列{}n b 是首项为13，公比为1-的等比数列．要使10n n n a a tS +->对任意的*n N ∈都成立，即()()211111221220932nn n n t ++⎡⎤--⎤⎡------>⎢⎥⎥⎢⎦⎣⎢⎥⎣⎦（*）对任意的*n N ∈都成立．①当n 为正奇数时，由（*）得， ()()211122121093n n n t+++--->， 即()()()111212121093n nn t ++-+-->， 因为1210n +->，所以()1213nt <+对任意的正奇数n 都成立， 当且仅当1n =时， ()1213n+有最小值1， 所以1t <．②当n 为正偶数时，由（*）得，()()211122122093n n n t ++---->， 即()()()112212121093n nn t ++--->， 因为210n->，所以()11216n t +<+对任意的正偶数n 都成立．当且仅当2n =时， ()11216n ++有最小值32，所以32t <． 综上所述，存在实数t ，使得10n n n a a tS +->对任意的*n N ∈都成立， 故实数t 的取值范围是(),1-∞．。
河北省衡水中学2016-2017学年高一下学期期中考试数学(文)试题-32f70a7271074eaeaadd3a937056ee72
…外……………内…………绝密★启用前 河北省衡水中学2016-2017学年高一下学期期中考试数学（文)试题 试卷副标题 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第I 卷（选择题) 请点击修改第I 卷的文字说明 一、单选题 1．已知直线230x y --=的倾斜角为θ，则sin2θ的值是（ ） A ．45 B ．34 C ．25 D ．14 2．下列命题正确的是（ ） A ．两两相交的三条直线可确定一个平面 B ．两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行 C ．过平面外一点的直线与这个平面只能相交或平行 D ．和两条异面直线都相交的两条直线一定是异面直线 3．如下图， 是 用“斜二测画法”画出的直观图，其中 ，那么 是一个（ ） A ．等边三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．三边互不相等的三角形 4．如图是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ）……○…………装…………订…………○………线…………○……※※请※※不※※要※※在※※※※内※※答※※题※※……○…………装…………订…………○………线…………○……A．6B．9C．12D．185．一锥体的三视图如图所示,则该棱锥的最长棱的棱长为()A．B．C．D．6．已知一个棱长为2的正方体，被一个平面截后所得几何体的三视图如图所示，则该截面的面积为（）A．2B．4C．92D．57．如图，将绘有函数()()2sinf x xωθ=+ (0ω>，2πθπ<<)部分图象的纸片沿x轴折成平面α⊥平面β，若,A B()1f-=（）装…………○………………○……姓名：___________班级：_装…………○………………○…… A ．-2 B ．2 C ． D 8．如图，正方体1111ABCD A B C D -A 为球心，2为半径作一个球，则图中球面与正方体的表面积相交所得到的两段弧之和等于（ ） A ．56π B ．23π C ．π D ．76π 9．如图，网格纸的小正方形的边长是1，粗线画出的是一个几何体的三视图，则这个几何体的体积为（ ） A ．52 B ．72 C ．2+ D ．3+ 10．在四棱锥 P ABCD -中，底面ABCD 是菱形，PA ⊥底面,ABCD M 是棱PC 上一点.若 PA AC a ==，则当MBD ∆的面积为最小值时，直线AC 与平面MBD 所成的角为（ ） A.6π B.4π C.3π D.2π 11．如图，在ABC ∆中， AB BC == ， 90ABC ∠=︒，点D 为AC 的中点，将ABD ∆沿BD 折起到PBD ∆的位置，使PC PD =，连接PC ，得到三棱锥P BCD -，若该三棱锥的所有顶点都在同一球面，则该球的表面积是（ ）……○…………○…… A ．π B ．3π C ．5π D ．7π…………装…校:___________姓名…………装…第II 卷（非选择题) 请点击修改第II 卷的文字说明 二、填空题 12．直线sin 10x y θ-+=（R θ∈）的倾斜角范围是 . 13．将边长为1的正方形11AAO O （及其内部）绕1OO 旋转一周形成圆柱，如图，120AOC ∠=，11160A O B ∠=，其中1B 与C 在平面11AAO O 的同侧．则异面直线1B C 与1AA 所成的角的大小是 ． 14．四棱锥P ABCD -的底面ABCD 为正方形， PA ⊥底面ABCD ， 2AB =，若该四棱锥的所有顶点都在表面积为16π的同一球面上，则PA =__________． 15．如图所示三棱锥 的顶点 、 、 在平面 内， , ，若将该三棱锥以 为轴转动，到点 落到平面 内为止，则 、 两点所经过的路程之和是__________. 三、解答题 16．（10分）如图所示，在三棱锥A BOC -中，OA ⊥底面B O C ，030OAB OAC ∠=∠=，4AB AC ==，BC =D 在线段AB 上．○…………装…………订…※※请※※不※※要订※※线※※内※※答○…………装…………订…（1）求证：平面COD⊥平面AOB；（2）当OD AB⊥时，求三棱锥C OBD-的体积．17．如图，半圆的直径长为2，是半圆上除外的一个动点，矩形所在的平面垂直于该半圆所在的平面，且，设平面与半圆弧的另一个交点为．（1）求证：；（2）若，求三棱锥的体积．18．如图，在直三棱柱111ABC A B C-中，底面ABC∆是边长为2的等边三角形，D为AB的中点.（Ⅰ）求证：1//BC平面1A CD；（Ⅱ）若1A D，求直线1A D与平面11BCC B所成角的正弦值.19．如图，菱形的对角线与交于点，点分别在上，交于点，将沿折起到的位置.…………订…………………○……级：___________考号：______…………订…………………○…… （Ⅰ）证明： ； （Ⅱ)若，求五棱锥 的体积. 20．如图，已知平面 平面 ，四边形 是正方形，四边形 是菱形，且 ， ，点 、 分别为边 、 的中点，点 是线段 上的动点． （1）求证： ； （2）求三棱锥 的体积的最大值． 21．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，AD ⊥平面1A BC ，其垂足D 落在直线1A B 上. （1）求证：1BC A B ⊥； （2）若P 是线段AC 上一点，2AD AB BC ===，三棱锥1A PBC -，求AP PC 的值.参考答案1．A【解析】由题设tan 2θ=，则22tan 4sin22sin cos 1tan 5θθθθθ===+，应选答案A 。
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2016-2017学年度下学期高一年级期中考试文数试卷第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知直线230x y --=的倾斜角为θ，则sin 2θ的值是（ ）A ．45B ．34C ．25D ．142.下列命题正确的是（ ）A ．两两相交的三条直线可确定一个平面B ．两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行C ．过平面外一点的直线与这个平面只能相交或平行D ．和两条异面直线都相交的两条直线一定是异面直线3.如图，A B C '''∆是ABC ∆用“斜二侧画法”画出的直观图，其中1O B O C ''''==，2O A ''=，则ABC ∆是（ ）A ．等边三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．三边互不相等的三角形4.如图是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ）A ．6B ．9 C.12 D ．185.一锥体的三视图如图所示，则该棱锥最长棱的棱长为（ ）A 6.堑堵，我国古代数学名词，其三视图如图所示，《九章算术》中有如下问题：“今有堑堵，下广二丈，表一十八丈六尺，高二丈五尺，问积几何？”意思是：今有堑堵，底面宽为2丈，长为18丈6尺，高为2丈5尺，问它的体积是多少？（ ）（注：一丈=十尺）A ．25500立方尺B ．34300立方尺 C. 46500立方尺 D ．48100立方尺7.已知一个棱长为2的正方体，被一个平面截后所得几何体的三视图如图所示，则该截面的面积为（ ）A ． 2B ．4 C. 92 D ．5 8.如图，将绘有函数()2sin()f x x ωθ=+ (0ω>， 2πθπ<<)部分图象的纸片沿x 轴折成平面α⊥平面β，若,A B ，则()1f -=（ ）A ．-2B ．2 C.9.如图，正方体1111ABCD A BC D -A 为球心，2为半径作一个球，则图中球面与正方体的表面相交所得到的两段弧长之和为（ ）A ．56πB ．23π C. π D ．76π 10.如图，网格纸上小正方形的边长是1，粗线画出的是一个几何体的三视图，则这个几何体的体积为（ ）A ．52B ．72 C. 2 D ．3+ 11.在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是菱形，PA ⊥底面ABCD ，M 是PC 上一点，若PA AC α==，则当MBD ∆的面积为最小值时，直线AC 与平面MBD 所成的角为（ ）A ．6πB ． 4π C. 3π D ．2π12.如图，在ABC ∆中，AB BC ==90ABC ∠=︒，点D 为AC 的中点，将ABD ∆沿BD 折起到PBD ∆的位置，使PC PD =，连接PC ，得到三棱锥P BCD -，若该三棱锥的所有顶点都在同一球面，则该球的表面积是（ ）A ．πB ．3π C. 5π D ．7π第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.直线sin 10()x y R θθ-+=∈的倾斜角范围 ．14.将边长为1的正方形11AAOO （及其内部）绕1OO 旋转一周形成圆柱，如图，120AOC ∠=︒， 111AO B ∠60=︒，其中1B 与C 在平面11AAOO 的同侧，则异面直线1B C 与1AA 所成角的大小是 ．15.已知四棱锥P ABCD -的底面ABCD 为正方形，PA ⊥底面ABCD ，2AB =，若该四棱锥的所有顶点都在表面积为16π的同一球面上，则PA = ．16.如图所示，三棱锥A BCD -的顶点,,B C D 在平面α内，4,CA AB BC CD DB AD ======BC 为轴转动，到点A 落到平面α内为止，则,A D 两点所经过的路程之和是 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 如图所示，在三棱锥A BOC -中，AO ⊥底面,30,42BOC OAB OAC AB AC BC ∠=∠=︒===，，动点D 在线段AB 上.（Ⅰ）求证：平面COD ⊥平面AOB ；（Ⅱ）当OD AB ⊥时，求三棱锥C OBD -的体积.18. 如图，半圆O 的直径AB 长为2，E 是半圆O 上除,A B 外的一个动点，矩形ABCD 所在的平面垂直于该半圆所在的平面，且1tan 2DBA ∠=，设平面ECD 与半圆弧的另一个交点为F .（Ⅰ）求证：//EF BA ；（Ⅱ）若1EF =，求三棱锥E ADF -的体积．19. 如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，底面ABC ∆是边长为2的等边三角形，D 为AB 的中点.（Ⅰ）求证：1//BC 平面1ACD ；（Ⅱ）若1A D 1AD 与平面11BCC B 所成角的正弦值. 20. 如图，菱形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O ，点,EF 分别在,AD CD 上，,AE CF EF =交BD 于点H ，将DEF ∆沿EF 折起到D EF ∆'的位置.（Ⅰ）证明：AC HD ⊥'；（Ⅱ)若55,6,,4AB AC AE OD ==='=D ABCFE '-的体积. 21. 如图，已知平面ABEF ⊥平面ABCD ，四边形ABEF 是正方形，四边形ABCD 是菱形，且2,60BC BAD =∠=︒，点,G H 分别为边,CD DA 的中点，点M 是线段BE 上的动点.（Ⅰ）求证：GH ⊥平面BDM ；（Ⅱ）求三棱锥D MGH -的体积的最大值.22. 如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，AD ⊥平面1A BC ，其垂足D 落在直线1A B 上．（Ⅰ）求证：1BC A B ⊥；（Ⅱ）若P 是线段AC 上一点，2AD AB BC ===，三棱锥1A PBC -，求AP PC 的值.试卷答案一、选择题1-5: ACACC 6-10: CCBAB 11、12：BD二、填空题13.3,44ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦14.45︒ 15.三、解答题17.解：（Ⅰ）∵AO ⊥底面BOC ，∴,AO OC AO OB ⊥⊥．∵30,4OAB OAC AB AC ∠=∠=︒==，∴2OC OB ==．又2BC =，∴OC OB ⊥，∴OC ⊥平面AOB ．∵OC ⊂平面COD ，∴平面COD ⊥平面AOB ．（Ⅱ）∵OD AB ⊥，∴1,BD OD ==∴1112323C OBD V -=⨯⨯=． 18.解：（Ⅰ）∵四边形ABCD 是矩形，∴//CD BA .又CD ⊄半圆面，BA ⊂半圆面，∴//CD 半圆面.∵CD ⊂平面CDE ，且平面CDE 半圆面EF =，∴//CD EF ，∴//EF BA .（Ⅱ）∵矩形ABCD ⊥半圆面，交线是AB ，且DA AB ⊥， ∴DA ⊥平面AEF .在Rt DAB 中，1tan 22AD AD DBA AB ∠===， ∴1AD =.连接,OE OF ，在OEF ∆中，1OE OF EF ===，∴点O 到EF 边上的高2h =，∴11224AEF S ∆=⨯⨯=，∴113412D AEF V -=⨯=，∴12E AEF D AEF V V --==19.解：（Ⅰ）连1AC ，设AC 1与1AC 相交于点E ，连DE ，则E 为1AC 中点， ∵D 为AB 的中点，∴1//DE BC .又1BC ⊄平面1,ACD DE ⊂平面1ACD ， ∴1//BC 平面1ACD . （Ⅱ）取11B C 得中点H ，连接1A H ，则111A H B C ⊥.∵1BB ⊥平面111A B C ，∴1BB ⊥1A H .∵1111=B C BB B ，∴1A H ⊥平面11BCC B .取11A B 得中点M ，连接BM ，过点M 作1//MN A H ，连接BN . 则有1//A D BM ，MN ⊥平面11BCC B .∴MBN ∠为直线1A D 与平面11BCC B 所成的角.∵112MN A H ==，1BM AD ==∴sin MN MBN BM ∠=== 即直线1A D 与平面11BCC B. 20.解：（Ⅰ）由题得，,AC BD AD CD ⊥= ，又AE CF =，∴AE CF AD CD=， ∴//AC EF ，∴,EF HD ⊥EF HD '⊥.∴AC HD '⊥.（Ⅱ）∵//EF AC ，∴14OH AE DO AD ==， 又5,6AB AC ==，∴4DO BO ==，∴1OH =，3D H DH '==.又2222219OD OH D H ''+=+==，∴OD OH '⊥.由（Ⅰ）知，AC HD '⊥，又AC BD ⊥，BD HD H '= ，∴AC ⊥平面BHD '，∴AC OD '⊥，又OD OH '⊥，0AC OH = ，∴OD '⊥平面ABC ， 又EF DH AC DO =，∴92EF =. 五边形ABCFE 的面积119696832224S =⨯⨯-⨯⨯=， ∴五棱锥D ABCFE '-的体积16934V =⨯⨯=.21.解：（Ⅰ）连接AC 交BD 于点O .∵四边形ABEF 为正方形.∴BE AB ⊥.又∵平面ABEF ⊥平面ABCD ，平面ABEF 平面ABCD AB =. ∴BE ⊥平面ABCD .又AC ⊂平面ABCD ，∴BE AC ⊥.∵四边形ABCD 为菱形，∴BD AC ⊥.∵BD BE B = ，∴AC ⊥平面BDE ，即AC ⊥平面BDM .∵G 、H 分别为DC 、AD 的中点，∴//GH AC ，∴GH ⊥平面BDM .（Ⅱ）在菱形ABCD 中，由60BAD ∠=︒，得120ADC ∠=︒.又∵1DG DH ==，∴sin120?11==1122DGM S DG DH ∆⨯⨯ . ∵BE ⊥平面ABCD ，即BM ⊥平面ABCD ，∴13D MGH M DGH DGH V V S BM --∆==⋅= 显然，当点M 与点E 重合时，BM 取最大值2，此时()max 2126D MGH V -==，即三棱锥D MGH -22.解：（Ⅰ）∵AD ⊥平面1,A BC BC ⊂平面1A BC ，∴AD BC ⊥．在直三棱柱111ABC A B C -中，1A A ⊥平面ABC ， ∴1A A BC ⊥，∵1A A AD A = ，∴BC ⊥平面11AA B B ，∵1A B ⊂平面11AA B B ，∴1BC A B ⊥．（Ⅱ）设PC x =，过点B 作BE AC ⊥交AC 于点E ，由（Ⅰ）知，BC ⊥平面11AA B B ，∴BC AB ⊥， ∵2AB BC ==，∴AC =BE=∴PBC S ∆=12·BE PC=x . ∵AD ⊥平面1A BC ，其垂足D 落在直线1A B 上， ∴1AD A B ⊥，∴1BD ==.又∵1A A AB ⊥．∴1Rt ABD Rt A BA ∆∆∽， ∴1BD AD AB AA =，∴12AA=∴1113A PBC PBC V S AA x -∆=⋅=. 又三棱锥1A PBC -，x =，解得2x =，即2PC =，∴2AP =，∴3AP PC =.。