2020届高三全国1卷高考适应性训练2理科数学试卷含答案解析版
2020高考理数全国卷一 试题及答案解析
2020年普通高等学校招生全国统一考试理科数学本试卷共5页，23题（含选考题）．全卷满分150分．考试用时120分钟．注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．4．选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑．答案写在答题卡上对应的答题区域内，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．5．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若1z i =+，则22z z -=A ．0B ．1C 2D ．22．设集合{}240A x x =-≤,{}20B x x a =+≤,且{}21A B x x =-≤≤ ,则a =A ．4-B ．2-C ．2D ．43．埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥．以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为A ．514B ．512-C ．514D ．512+4．已知A 为抛物线2:2(0)C y px p =>上一点，点A 到C 的焦点的距离为12，到y 轴的距离为9，则p =A ．2B ．3C ．6D ．95．某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率y 和温度x （单位：C ︒）的关系，在20个不同的温度条件下进行种子发芽实验，由实验数据()(),1,2,,20i i x y i = 得到下面的散点图：由此散点图，在10C 至40C 之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率y 和温度x 的回归方程类型的是A ．y a bx =+B ．2y a bx =+C ．x y a be =+D ．ln y a b x=+6．函数43()2f x x x =-的图像在点()()1,1f 处的切线方程为A ．21y x =--B ．21y x =-+C ．23y x =-D ．21y x =+7．设函数()cos6f x x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在[],ππ-的图像大致如下图，则()f x 的最小正周期为A ．109πB ．76πC ．43πD ．32π8．25()()y x x y x++的展开式中33x y 的系数为A ．5B ．10C ．15D ．209．已知(0,)απ∈，且3cos 28cos 5αα-=，则sin α=A ．53B ．23C ．13D ．5910．已知A ，B ，C 为球O 的球面上的三个点，1O 为ABC △的外接圆．若1O 的面积为4π，1AB BC AC OO ===，则球O 的表面积为A ．64πB ．48πC ．36πD ．32π11．已知22:2220M x y x y +---= ，且直线:220l x y ++=，P 为l 上的动点，过点P 作M 的切线PA ，PB ，切点为A ，B ，当AB PM ⋅最小时，直线AB 的方程为A ．210x y --=B ．210x y +-=C ．210x y -+=D ．210x y ++=12．若242log 42log a b a b +=+，则A ．2a b>B ．2a b<C ．2a b >D ．2a b <二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．若,x y 满足约束条件2201010x y x y y +-≤⎧⎪--≥⎨⎪+≥⎩，则7z x y =+的最大值是________．14．设,a b 为单位向量，且1+=a b ，则-=a b ________．15．已知F 为双曲线2222:1x y C a b -=（0,0a b >>）的右焦点，A 为C 的右顶点，B 为C 上的点，且BF 垂直于x 轴．若AB 斜率为3，则C 的离心率为_______．16．如图，在三棱锥P ABC -的平面展开图中1AC =，3AB AD ==，AB AC ⊥，AB AD ⊥，30CAE ︒∠=，则cos FCB ∠=__________．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．（12分）设{}n a 是公比不为1的等比数列，1a 为2a ，3a 的等差中项．（1）求{}n a 的公比；（2）若11a =，求数列{}n na 的前项和．18．（12分）如图，D 为圆锥的顶点，O 是圆锥底面的圆心，AE 为底面直径，AE AD =．ABC △是底面的内接正三角形，P 为DO 上一点，6PO DO =．（1）证明：PA ⊥平面PBC ；（2）求二面角B PC E --的余弦值．19．（12分）甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛，约定赛制如下：累计负两场者被淘汰：比赛前抽签决定首先比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场轮空，直至有一人被淘汰；当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束．经抽签，甲、乙首先比赛，丙轮空．设每场比赛双方获胜的概率都为12．（1）求甲连胜四场的概率；（2）求需要进行第五场比赛的概率；（3）求丙最终获胜的概率．20．（12分）已知,A B 分别为椭圆222:1(1)x E y a a+=>的左、右顶点，G 为E 的上顶点，8AG GB ⋅= ．P为直线6x =上的动点，PA 与E 的另一交点为C ，PB 与E 的另一交点为D ．（1）求E 的方程；（2）证明：直线CD 过定点．21．（12分）已知函数()2x f x e ax x =+-．（1）当1a =时，讨论()f x 的单调性；（2）当0x ≥时，()3112f x x ≥+，求a 的取值范围．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为cos sin kkx ty t⎧=⎪⎨=⎪⎩（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为4cos 16sin 30ρθρθ-+=，（1）当1k =时，1C 是什么曲线？（2）当4k =时，求1C 与2C 的公共点的直角坐标．23．[选修4-5：不等式选讲]（10分）已知函数()3121f x x x =++-．（1）画出()y f x =的图象；（2）求不等式()()1f x f x >+的解集．参考答案一、选择题1【答案】D .【解析】∵()()2221212z z i i -=+-+=-,∴2222z z -=-=，故选D .2.【答案】.B 【解析】{}240A x x =-≤{}22x x =-≤≤,{}20B x x a =+≤2a x x ⎧⎫=≤-⎨⎬⎩⎭,∵{}21A B x x =-≤≤ ,∴12a-=,∴ 2.a =-故选.B 3.【答案】.C 【解析】如图，设金字塔对应的正四棱锥的高为h ，金字塔斜面上的高为'h ，金字塔底面边长为a ，则有22221'2'2h a h h h h ⎧=⋅⎪⎪⎨⎛⎫⎪+= ⎪⎪⎝⎭⎩化简得22''4210h h a a ⎛⎫⎛⎫--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得'14h a =.故选.C 4.【答案】.C 【解析】设点(),A x y ，由点A y 轴的距离为9得9x =，根据抛物线定义，由A 到C 的焦点的距离为12得122p x +=，即6122p+=，解得 6.p =故选.C 5.【答案】.D 【解析】由题中散点图可知，大致分布在一条递增的对数型函数图象附近，故选.D 6.【答案】.B 【解析】∵()32'46f x x x =-,∴()'12k f ==-,又∵()1121f =-=-,∴由点斜式方程可得所求切线方程为()()121y x --=--,即21y x =--.故选.B 7.【答案】.C 【解析】根据函数图象得409f π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，∴4cos 096ππω⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，∴()4962k k Z πππωπ-+=+∈，解得()394kk Z ω+=-∈，又∵22T T π<<，∴242πππωω<<，解得12ω<<，∴32ω=，∴最小正周期243T ππω==.故选.C 8.【答案】.C 【解析】∵()5x y +的通项为()5150,1,,5r r r r T C x y r -+== ，h 'h a∴1r =时，2143355y C x y x y x=；3r =时，32333510xC x y x y =.∴33x y 项的系数为51015+=.故选.C 9.【答案】.A 【解析】根据余弦倍角公式，3cos 28cos 5αα-=可化为23cos 4cos 40αα--=，解得cos 2α=（舍）或2cos 3α=-.∵()0,απ∈，∴sin 3α=.故选.A 10.【答案】.A 【解析】不妨设AB a =，1O 的半径为r ，球O 的半径为R ，依题意有24r ππ=，∴2r =，又1r O A ==，∴a =222114R OO O A =+=，∴球O 的表面积为2464R ππ=.故选.A 11.【答案】.D 【解析】M 方程化为标准方程得：()()22114x y -+-=，∵四边形PAMB 的面积112222PAM S PM AB S PA AM ∆⎛⎫=⋅==⨯ ⎪⎝⎭2PA ==∴当且仅当PM 最小时AB PM ⋅最小，此时PM l ⊥，又∵:220l x y ++=，∴11:22PM y x =+，易得PM 与直线l 的交点坐标()1,0P -，∴过()1,0P -作M 的切线所得切点所在直线方程为210x y ++=，故选.D 12.【答案】.B 【解析】22422log 42log 2log a b b a b b +=+=+，∵2222222log 2log 221log b b b b b b +<+=++∴2222log 2log a b a b +<+，构造函数()22log x f x x =+，易知()f x 在()0,+∞单调递增，∴由()()2f a f b <得2a b <，故选.B 二、填空题13.【答案】1.【解析】如图，易知当直线7z x y =+经过直线220x y +-=与10x y --=的交点()1,0时，z 取最大值，max 1701z =+⨯=.14..xy10y +=220x y +-=10x y --=()1,0O【解析】∵()222221+=+=++⋅=a b a b a b a b ,∴12⋅=-a b ,∴()()22243-=-=+-⋅=a b a b a b a b,∴-=a b .15.【答案】2.【解析】由题意得()(),0,,0A a F c ，∵BF 为通径长的一半，∴2,b B c a ⎛⎫⎪⎝⎭，又()2213b b c a a k e c a a c a a+====+=--，∴离心率2e =.16.【答案】1.4-【解析】根据题意得BD ==,,D E F 三点重合，∴AE AD ==BF BD ==在ACE ∆中，由余弦定理得2222cos CE AC AE AC AE ACE=+-⋅⋅∠13211=+-⨯︒=∴1CE CF ==，在BCF ∆中，根据余弦定理得2221cos 24BC CF BF FCB BC CF +-∠==-⋅三、解答题17.解：（1）设{}n a 的公比为q ，由题设得1232a a a =+，即21112a a q a q =+∴220q q +-=，解得1q =（舍去）或2q =-.∴{}n a 的公比为2-.（2）记n S 为{}n na 的前n 项和，由（1）及题设可知()12n n a -=-，∴()()11222n n S n -=+⨯-++⨯- ①()()()2222212nn S n -=-+⨯-++-⨯- ②由①②得()()()()21312222n nn S n -=+-+-++--⨯- ()()1223nnn --=-⨯-∴()()312199nn n S +-=-18.解：（1）设DO a =，由题设可得,,63PO a AO AB a ===，2PA PB PC ===，∴222PA PB AB +=，∴PA PB ⊥，又222PA PC AC +=，∴PA PC ⊥，∴PA ⊥平面PBC（2）以O 为坐标原点,OE方向为y 轴正方向,OE 为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -.由题设可得()()10,1,0,0,1,0,22E A C ⎛⎫--⎪⎝⎭，0,0,2P ⎛ ⎝⎭，∴1,,0,0.1,222EC EP ⎛⎫⎛=--=- ⎪ ⎝⎭⎝⎭。
2020年全国一卷理科数学(解析版)
2绝密★启用前2020 年普通高等学校招生全国统一考试理科数学本试卷共 5 页，23 题（含选考题），全卷满分 150 分。
考试用时 120 分钟。
注意事项： ★祝考试顺利★1.答题前，先将自己的姓名，准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2.选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4.选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用 2B 铅笔涂黑。
答案写在答题卡上对应的答题区域内，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
5.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交。
一、选择题：本题共 12 小题。
每小题 5 分，共 60 分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若 z = 1+ i ，则 |z 2- 2z |=A.0B.1C. D.22.设集合 A = {x | x 2- 4 ≤ 0}， B = {x| 2x + a ≤ 0}，且 A ∩B = {x - 2 ≤ x ≤ 1}，则 a =A. - 4B. - 2C.2D.43.埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它们的形状可视为一个正四棱锥。
以该正四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为4.已知 A 为抛物线C : y 2= 2 px (p > 0)上一点，点 A 到C 的焦点的距离为 12，到 y轴的距离为 9，则 p =A.2B.3C.6D.95.某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率 y 和温度 x （单位：℃）的关系，在 20 个不同的温度条件下进行种子发芽实验，由实验数据(x i , y i )(i = 1,2, ····,20)得到下面的散点图：100% 80% 60% 40% 20% 0 010203040温度/℃由此散点图，在 10℃至 40℃之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率 y 和温 度 x 的回归方程类型的是A.y = a + bxB.y = a + bx 2C.y = a + be xD.y = a + b ln x6.函数 f (x ) = x 4- 2x 3的图像在点(1, f (1))处的切线方程为A.y = -2x -1B.y = -2x +1C.y = 2x - 3D.y = 2x +17. 设函数在[-π,π]的图像大致如下图。
2020年高考全国一卷理科数学答案及解析
2020年高考全国一卷理科数学答案及解析2020-12-12【关键字】情况、条件、问题、焦点、建设、建立、了解、研究、位置、关系、检验、倾斜、满足、规划、实现参考答案与解析一、选择题：本题有12小题，每小题5分，共60分。
1、设z=，则|z|=A 、0B 、C 、1D 、【答案】C【解析】由题可得i z =+=2i ）i -（，所以|z|=1【考点定位】复数2、已知集合A={x|x 2-x-2>0}，则A =A 、{x|-1<x<2}B 、{x|-1x 2}C 、{x|x<-1}∪{x|x>2}D 、{x|x -1}∪{x|x 2} 【答案】B【解析】由题可得C R A={x|x 2-x-2≤0}，所以{x|-1x 2}【考点定位】集合3、某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，实现翻番，为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例，得到如下饼图：则下面结论中不正确的是：A 、新农村建设后，种植收入减少。
B 、新农村建设后，其他收入增加了一倍以上。
C 、新农村建设后，养殖收入增加了一倍。
D 、新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半。
【答案】A【解析】由题可得新农村建设后，种植收入37%*200%=74%>60%， 【考点定位】简单统计4、记S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若3S 3=S 2+S 4，a 1=2，则a 5= A 、-12 B 、-10C 、10D 、12 【答案】B【解析】3*(a 1+a 1+d+a 1+2d)=( a 1+a 1+d) (a 1+a 1+d+a 1+2d+a 1+3d)，整理得: 2d+3a 1=0 ; d=-3 ∴a 5=2+(5-1)*(-3)=-10 【考点定位】等差数列 求和5、设函数f （x ）=x 3+(a-1)x 2+ax ，若f （x ）为奇函数，则曲线y=f （x ）在点（0，0）处的切线方程为： A 、y=-2x B 、y=-x C 、y=2x D 、y=x 【答案】D【解析】f （x ）为奇函数，有f （x ）+f （-x ）=0整理得: f （x ）+f （-x ）=2*(a-1)x 2=0 ∴a=1 f （x ）=x 3+x 求导f ‘（x ）=3x 2+1 f ‘（0）=1 所以选D【考点定位】函数性质：奇偶性；函数的导数 6、在ABC 中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则=A 、--B 、--C 、-+D 、- 【答案】A【解析】AD 为BC 边∴上的中线 AD=AC 21AB 21+ E 为AD 的中点∴AE=AC 41AB 41AD 21+= EB=AB-AE=AC 41AB 43）AC 41AB 41（-AB -=+= 【考点定位】向量的加减法、线段的中点7、某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如右图，圆柱表面上的点M 在正视图上的对应点为11A ，圆柱表面上的点N 在左视图上的对应点为B ，则在此圆柱侧面上，从M 到N的路径中，最短路径的长度为 A 、B 、C 、3D 、2 【答案】B【解析】将圆柱体的侧面从A 点展开：注意到B 点在41圆周处。
2020年高考理科数学试卷(全国1卷)(附详细答案)
2绝密★启用前2020年普通高等学校招生全国统一考试理科数学本试卷共5页，23题（含选考题）。
全卷满分150分。
考试用时120分钟。
★祝考试顺利★注意事项：1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4.选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。
答案写在答题卡上对应的答题区域内，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
5.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．若z =1+i ,则22z z -=()A ．0B ．1C ．D ．2解：z =1+i ⇒z 2-2z=z (z -2)=(1+i )(i -1)=i 2-12=-2⇒|z 2-2z|=2.选D ．2．设集合A ={x |x 2-4≤0}，B ={x |2x +a ≤0},且A∩B ={x |-2≤x ≤1},则a =（）A ．-4B ．-2C ．2D ．4解：A=[-2,2],B=(-∞,2a -],A ∩B=[-2,1]⇒2a-=1⇒a=-2.选B ．3.埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥，以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为（）A.514 B.512- C.514+ D.512解：设正四棱锥的底面边长为a ,高为h ，斜高为b ,则222211154210224b b b ab h b a a a a +⎛⎫⎛⎫⎛⎫==-⇒--=⇒=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭（舍负）.选 C.4.已知A 为抛物线C :y 2=2px (p >0)上一点，点A 到C 的焦点的距离为12，到y 轴的距离为9，则p =（）A ．2B ．3C ．6D ．9解：91262pp +=⇒=.选C.5.某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率y 和温度x （单位：℃）的关系，在20个不同的温度条件下进行种子发芽实验，由实验数据(xi ,yi )（i =1，2，…，20）得到下面的散点图：由此散点图，在10℃至40℃之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率y 和温度x 的回归方程类型的是（）A .y =a +bxB .y =a +bx 2C .y =a +bexD ．y =a +b ln x解：选D ．6.函数f (x )=x 4-2x 3的图像在点(1，f (1))处的切线方程为（）A ．y =-2x -1B ．y =-2x +1C .y =2x -3D ．y =2x +1解：'32'()46,(1)1,(1)2f x x x f k f =-=-==-∴切线方程为(1)2(1)y x --=--,即21y x =-+.选B ．7.设函数f (x )=cos()6x πω+在[-π,π]的图像大致如下图，则f (x )的最小正周期为（）A.109πB.76πC.43π D.32π解：由图可知T<π-(-π)<2T,即222212πππωωω<<⨯⇒<<又42,962k k Z πππωπ⎛⎫-+=-∈ ⎪⎝⎭⇒92(2),43k k Z ω=-∈∴当0k =时，32ω=，从而43T π=，选C ．8.()25y x x y x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的展开式中x 3y 3的系数为（）A ．5B ．10C ．15D ．20解：()()()22555y y x x y x x y x y x x ⎛⎫++=+++ ⎪⎝⎭()25y x x y x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的展开式中含x 3y 3的项为22234455y xC x y C x yx +∴()25y x x y x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的展开式中x 3y 3的系数为245515C C +=,选C ．9．已知α∈(0,π)，且3cos2α-8cos α=5，则sin α=（）A.53B.23 C.13 D.593cos2α-8cos α=5⇒3（2cos 2α-1）-8cos α-5=0⇒（3cos α+2)(cos α-2)=0∴cos α=23-这里α∈(0,π)，所以2225sin 1cos 1()33αα=-=--，选A.10.已知A ，B ，C 为球O 的球面上的三个点，O 1为△ABC 的外接圆．若O 1的面积为4π，AB =BC =AC =OO 1，则球O 的表面积为A ．64πB ．48πC ．36πD ．32π解：设AB =BC =AC =OO 1=a ，则O 1A=33a r =又22234123O S r a πππ⎛⎫===⇒= ⎪ ⎪⎝⎭ ，从而24r =在Rt∆O 1OA 中，22216R a r =+=2464S R ππ==球选A.11.已知M ::x 2+y 2-2x -2y -2=0，直线l ：2x +y +2=0，P 为l 上的动点，过点P 作M 的切线PA ，PB ，切点为A ，B ，当|PM ||AB|最小时，直线AB 的方程为（）A ．2x -y -1=0B ．2x +y -1=0C ．2x -y +1=0D ．2x +y +1=0解：22:(1)(1)4M x y -+-= 的圆心为M （1，1），半径为2PA ，PB 是 M 的切线，设PM ∩AB=C ，则PA ⊥AM ，PM ⊥ABAC AMRt PAM Rt ACM PA PM∆∆⇒= ，即1224ACAM PM AB AM PA PA PA PM =⇒== 当|PM||AB |最小时，PA 最小，此时，PM ⊥l ，AB //l,22521PM ==+由2AM MC MP = ，即225MC =，得5MC =∴555PC PM MC =-==设AB:2x+y+c =0155c =⇒=∴AB:2x+y+1=0，选D ．12.若242log 42log aba b +=+，则（）A ．a ＞2bB ．a ＜2bC ．a ＞b 2D ．a ＜b 2解：显然2()2log xf x x =+是R +上的增函数若a <2b ，则()(2)f a f b <，即2222log 2log 2aba b +<+………………………❶又22422log 42log 2log a b b a b b+=+=+………………………………………❷❶-❷得220log 2log 1b b <-=怛成立，选B ．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2020年全国I卷理科数学高考试题及解析
2020年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（I 卷）试题及解析一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 若1z i =+,则22z z -= ( )D.2 解析：把Z=1+i ，代入计算222(1)2(1)(1)(12)(1)(1)112z z i i i i i i -=+-+=++-=+-+=--=正解答案为D或者 22222211(1)1(11)12z z z z z i -=-+-=--=+--=这里是凑好了一个完成平方的形式，正好抵消了1点评：这是复数的计算题，掌握复数的运算法则就可以，属于送分题。
2.设集合{}240A x x =-≤，{}20B x x a =+≤，且{}21A B x x =-≤≤，则a =( )A.-4B.-2C.2D.4解析：解不等式，集合{|22}A x x =-≤≤集合{|/2}B x x a =≤-而 {}21A B x x =-≤≤，由此可以看出交集的下限是A 集合的-2，上眼1应该是B 集合的，也集12a -= ，解得a=-2。
正确答案为B3. 埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥，以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为（ ）A. 514-B. 512-C. 514+D.512+ 解析：设正四棱锥的顶点为H ，底面正方形为ABCD ，中心为O ，AB 的中点F ，则求x=HF/AB 的值，示意图。
面积关系：21*2HAB OH S AB HF ∆==， 三角形HOF 为直角三形，由勾股定理：22214HF OH AB =+则，2211*24HF AB HF AB =+ 把x=HF/AB 代入式中 24210x x --=解得154x += 点评：不要被金子塔吓着，其实题目和它没什么关系，就是考查正四棱锥的几何关系，不题不算难，但过程还是有点复杂，对四棱锥的结构一定要非常熟悉，思路一定要清晰。
2020年高考理科数学 (全国I卷)-(含答案解析word)
2020年高考理科数学 (全国I卷)一、单选题本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的4个选项中，有且只有一项是符合题目要求。
1. 若,则（）A、0B 、1C 、D 、22.设集合，，且，则（）A 、-4 B、-2 C、2 D、43. 埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥，以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为（）A、B、C、D、4.已知A为抛物线上一点，点A到C的焦点的距离为12，到y轴的距离为9，则P=（）A、2B、3C、6D、95.某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率y和温度x（单位：℃）的关系，在20个不同的温度条件下进行种子发芽实验，由实验数据得到下面的散点图：由此散点图，在10℃至40℃之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率y和温度x的回归方程类型的是（）A、B、C、D、6.函数的图像在点处的切线方程为（）A、B、C、D、7.设函数在的图像大致如下图，则的最小正周期为（）A、B、C、D、8. 的展开式中的系数为（）A、5B、10C、15D、209. 已知，且，则=（）A、B、C、D、10. 已知A、B、C为球O的球面上的三个点，⊙O1为∆ABC的外接圆，若⊙O1的面积为4π，AB=BC=AC=O O1,则球O的表面积为（）A、64πB、48πC、36πD、32π11. 已知⊙M:x2+y2-2x-2y-2=0，直线l:2x+y=0,P为l上的动点.过点P作⊙M的切线PA、PB切点为A,B,当|PM|●|AB|最小时，直线AB的方程为（）A 、B 、C 、 D、12.若则（）A 、a>2bB 、a<2bC 、a>b 2D 、a< b 2二、填空题 本大题共4小题，每小题5分，共20分。
把答案填写在题中横线上。
13.若x ，y 满足约束条件则z=x+7y 的最大值为 。
2020年全国1卷 理科数学真题(pdf版含解析)
2020年全国1卷理科数学真题（解析版）一、选择题：（每小题5分，共60分）1.若z=1+i ，则|z 2–2z |=（）A.0B.1C.D.2【答案】D【详解】由题得：()2212z i i =+=，则()222212z z i i -=-+=-.故2222z z -=-=.故选：D.考点：复数的运算2.设集合A ={x |x 2–4≤0}，B ={x |2x +a ≤0}，且A ∩B ={x |–2≤x ≤1}，则a =（）A.–4B.–2C.2D.4【答案】B【详解】由题得：{}2|2A x x -=≤≤，|2a B x x ⎧⎫=≤-⎨⎬⎩⎭∴12a-=，解得：2a =-.故选：B.考点：集合的运算3.埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥，以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为（）A.14B.12- C.14+ D.12+【答案】C【详解】如图，设,CD a PE b ==，则PO ==，由题意212PO ab =，即22142a b ab -=，化简得24(210b b a a -⋅-=，解得154b a =（负值舍去）.故选：C.考点：正四棱锥4.已知A 为抛物线C :y 2=2px （p >0）上一点，点A 到C 的焦点的距离为12，到y 轴的距离为9，则p =（）A.2B.3C.6D.9【答案】C 【详解】设焦点为F ，由题知||122A p AF x =+=，即1292p=+，解得6p =.故选：C.考点：抛物线5.某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率y 和温度x （单位：°C ）的关系，在20个不同的温度条件下进行种子发芽实验，由实验数据(,)(1,2,,20)i i x y i = 得到下面的散点图：由此散点图，在10°C 至40°C 之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率y 和温度x 的回归方程类型的是（）A.y a bx=+ B.2y a bx =+ C.e xy a b =+ D.ln y a b x=+【答案】D 【详解】由散点图分布可知，散点图分布在一个对数函数的图象附近，.故选：D.考点：散点图与曲线拟合6.函数43()2f x x x =-的图像在点(1(1))f ，处的切线方程为（）A.21y x =--B.21y x =-+ C.23y x =- D.21y x =+【答案】B【详解】()432f x x x =- ，()3246f x x x '∴=-，()11f ∴=-，()12f '=-，因此，所求切线的方程为()121y x +=--，即21y x =-+.故选：B.考点：导数的几何意义与切线方程7.设函数()cos π(6f x x ω=+在[π,π]-的图像大致如下图，则f (x )的最小正周期为（）A.10π9B.7π6C.4π3D.3π2【答案】C【详解】由图可得：函数图象过点4,09π⎛⎫- ⎪⎝⎭，将它代入函数()f x 可得：4cos 096ππω⎛⎫-⋅+= ⎪⎝⎭又4,09π⎛⎫-⎪⎝⎭是函数()f x 图象与x 轴负半轴的第一个交点，所以4962πππω-⋅+=-，解得：32ω=所以函数()f x 的最小正周期为224332T πππω===故选：C 考点：三角函数的图像与性质8.25()x x y xy ++的展开式中x 3y 3的系数为（）A.5B.10C.15D.20【答案】C【详解】5()x y +展开式的通项公式为515r rr r T C xy -+=（r N ∈且5r ≤）所以2y x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭与5()x y +展开式的乘积可表示为：56155r rrr rrr xT xC xy C xy --+==或22542155r r rr r r r T C x y xC y y y x x --++==在615rrr r xT C xy -+=中，令3r =，可得：33345xT C x y =，该项中33x y 的系数为10，在42152r r r r T C x x y y -++=中，令1r =，可得：521332T C y x xy =，该项中33x y 的系数为5所以33x y 的系数为10515+=故选：C 考点：二项式定理9.已知 π()0,α∈，且3cos28cos 5αα-=，则sin α=（）A.3B.23C.13D.59【答案】A【详解】3cos 28cos 5αα-=，得26cos 8cos 80αα--=，即23cos 4cos 40αα--=，解得2cos 3α=-或cos 2α=（舍去），又(0,),sin 3απα∈∴== .故选：A.考点：三角函数给值求值10.已知,,A B C 为球O 的球面上的三个点，⊙1O 为ABC 的外接圆，若⊙1O 的面积为4π，1AB BC AC OO ===，则球O 的表面积为（）A.64π B.48πC.36πD.32π【答案】A【详解】设圆1O 半径为r ，球的半径为R ，依题意，得24,2r r ππ=∴=，由正弦定理可得2sin 60AB r =︒=，1OO AB ∴==，根据圆截面性质1OO ⊥平面ABC ，11,4OO O A R OA ∴⊥====，∴球O 的表面积2464S R ππ==.故选：A考点：外接球11.已知⊙M ：222220x y x y +---=，直线l ：220x y ++=，P 为l 上的动点，过点P 作⊙M 的切线,PA PB ，切点为,A B ，当||||PM AB ⋅最小时，直线AB 的方程为（）A.210x y --=B.210x y +-=C.210x y -+=D.210x y ++=【答案】D【详解】圆的方程可化为()()22114x y -+-=，点M 到直线l的距离为2d ==>，所以直线l 与圆相离．依圆的知识可知，四点,,,A P B M 四点共圆，且AB MP ⊥，所以12222PAM PM AB S PA AM PA ⋅==⨯⨯⨯=△，而PA =，当直线MP l ⊥时，min MP =，min 1PA =，此时PM AB ⋅最小．∴()1:112MP y x -=-即1122y x =+，由1122220y x x y ⎧=+⎪⎨⎪++=⎩解得，10x y =-⎧⎨=⎩．所以以MP 为直径的圆的方程为()()()1110x x y y -++-=，即2210x y y +--=，两圆的方程相减可得：210x y ++=，即为直线AB 的方程．故选：D .考点：解析几何直线与圆12.若242log 42log a ba b +=+，则（）A.2a b >B.2a b< C.2a b > D.2a b <【答案】B【详解】设2()2log x f x x =+，则()f x 为增函数，因为22422log 42log 2log a b ba b b +=+=+所以()(2)f a f b -=2222log (2log 2)a b a b +-+=22222log (2log 2)b bb b +-+21log 102==-<，所以()(2)f a f b <，所以2a b <.2()()f a f b -=22222log (2log )a b a b +-+=222222log (2log )b b b b +-+=22222log b b b --，当1b =时，2()()20f a f b -=>，此时2()()f a f b >，有2a b >当2b =时，2()()10f a f b -=-<，此时2()()f a f b <，有2a b <，所以C 、D 错误.故选：B.考点：指数与对数二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2020年全国I卷理科数学试卷(含答案)
2020年普通高等学校招生全国统一考试理科数学本试卷5页，23小题，满分150分。
考试用时120分钟。
注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。
用2B 铅笔将试卷类型（B ）填涂在答题卡相应位置上。
将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。
答案不能答在试卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
4．考生必须保证答题卡的整洁。
考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 若1z i =+,则22z z -= A.0 B.1 C.2 D.22.设集合{}240A x x =-≤，{}20B x x a =+≤，且{}21A B x x =-≤≤，则a =A.-4B.-2C.2D.43. 埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥，以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为A. 514-B. 512-C. 514+D. 512+ 4.已知A 为抛物线2:2(0)C y px p =>上一点，点A 到C 的焦点的距离为12，到y轴的距离为9，则p =A ．2B ．3C ．6D ．95.某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率y 和温度x （单位：C ο）的关系，在20个不同的温度条件下进行种子发芽实验，由实验数据i i (,)x y (1,2,...,20)i =得到下面的散点图： 由此散点图，在10℃至40℃之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率y 和温度x 的回归方程类型的是A ．y a bx =+B ．2y a bx =+C ．x y a be =+D ．ln y a b x =+6.函数43()2f x x x =-的图像在点(1,(1))f 处的切线方程为 A ．21y x =-- B ．21y x =-+ C ．23y x =- D ．21y x =+7.设函数()cos()6f x x πω=+在[]-ππ，的图像大致如下图，则()f x 的最小正周期为A.109π B. 76π C. 43π D. 32π 8. 25()()y x x y x++的展开式中33x y 的系数为 A. 5 B. 10 C. 15 D. 209. 已知(0,)α∈π，且3cos28cos 5αα-=，则sin α=A. 53B. 23C. 13D. 5910. 已知,,A B C 为球O 的球面上的三个点，1O 为ABC 的外接圆，若1O 的面积为14,AB BC AC OO π===,则球O 的表面积为A. 64πB. 48πC. 36πD. 32π11. 已知22:2220M x y x y +---=，直线:20,l x y p +=为l 上的动点.过点p作M 的切线PA ，PB ,切点为,A B ,当PM AB 最小时，直线AB 的方程为A. 210x y --=B. 210x y +-=C. 210x y -+=D. 210x y ++=12.若a 242log 42log b a b +=+则A.a>2bB.a<2bC.a>2bD.a<2b二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2020届高考理科数学(理数)高三模拟试卷(全国1卷)pdf参考答案
理科数学答案全解全析一、选择题1. 【答案】D【解析】集合 A 满足： x2 3x 4 0 ，( x 4)( x 1) 0 ， x 4 或x 1 ， A {x | x 4 或 x 1} ， CU A={x | 1 x 4} ， y 2x 2 2 ， B {y | y 2} ，可知 (CU A) B {x | 2 x 4} .故选 D. 2. 【答案】A【解析】 z 1 i (1 i)(1 2i) 1 3i ，复数 z 的虚部为 3 ，1 2i555故错误；② | z | ( 1)2 ( 3)2 10 ，故错误；③复数 z 对应的555点为 ( 1 ， 3) 为第三象限内的点，故正确；④复数不能比较大小， 55故错误.故选 A.3. 【答案】C【解析】 Sn 2an 4 ，可得当 n 1 时， a1 2a1 4 ， a1 4 ，当n 2时，S n 12 an 14与已知相减可得an an 12，可知数列{ an } 是首项为 4，公比为 2 的等比数列， a5 4 24 64 .故选 C.4. 【答案】D【解析】可知降落的概率为pA22 A55 A661 3.故选D.5. 【答案】C【解析】函数 f (x) 2 020x sin 2x 满足 f (x) 2 020x sin 2x f (x) ，且 f (x) 2 020 2cos 2x 0 ，可知函数 f (x) 为单调递增的奇函数， f (x2 x) f (1 t) 0 可以变为 f (x2 x) f (1 t) f (t 1) ，可知 x2 x t 1 ，t x2 x 1 ，x2 x 1 (x 1)2 2 3 3 ，可知实数 t 3 ，故实数 t 的取值范围为 (∞，3] .故选 C.44446. 【答案】A【解析】双曲线的渐近线方程为 y 3x ，可得双曲线的方程为x2 y2 ，把点 P(2，3) 代入可得 4 3= ， 1 ，双曲线的 3方程为 x2 y2 1，c2 1 3 4，c 2，F(2，0) ，可得 A(2，2 3) ， 3B(2， 23)，可得SAOB1 224343 .故选 A.7. 【答案】B【解析】 f (x) sin(x π )sin x cos2 x3 (sin x cos π cos x sin π )sin x 1 cos 2x332 3 sin 2x 1 cos 2x 3 1 ( 3 sin 2x 1 cos 2x) 3444 2224 1 sin(2x π ) 3264把函数 f (x) 的图象向右平移 π 单位，再把横坐标缩小到原来的一 6半，得到函数 g(x) ，可得 g (x) 1 sin(4x π ) 3 ，最小正周期为2642π π ，故选项 A 错误； x π ， 4x π 4 π π π ，故选426666 2项 B 正确；最大值为 1 3 5 ，故选项 C 错误；对称中心的方程 244为 (kπ π ，3)(k Z) ，故选项 D 错误.故选 B. 4 24 48. 【答案】D【解析】可知 BDC 120°，且 AD 3 ，BD DC 1 ，在 BDC中，根据余弦定理可得 BC 2 1 1 2 11 cos120° 3， BC 3 ，据正弦定理可得 BC 2r ， sin120°3 32r，r 1 ， O1 为 BDC2的外心，过点 O1 作 O1O 平面 BDC ， O 为三棱锥 A BCD 的外 接球的球心，过点 O 作 OK AD ， K 为 AD 的中点，连接 OD 即为外接球的半径 R 12 ( 3 )2 7 ，可得外接球的表面积为22S 4πR2 4π ( 7 )2 7π .故选 D. 29. 【答案】C【解析】二项式 (x y)n 的展开式的二项式项的系数和为 64 ，可得 2n 64 ，n 6 ，(2x 3)n (2x 3)6 ，设 x 1 t ，2x 3 2t 1 ，(2x 3)n (2x 3)6 (2t 1)6 a 0 a1t a 2t 2 a 6t 6 ，可得 Tr1 C64 (2t)6414 C64 22t 2 60t 2 ，可知 a2 60 .故选 C. 10.【答案】A【解析】设点 P(x0 ，y0) ，则 x0 y0 6 0 ，则过点 P 向圆 C 作切 线，切点为 A，B ，连接 AB ，则直线 AB 的方程为 xx0 yy0 4 ，可得y0x06，代入可得(xy) x06y40，满足 x y 0 6y 4 0 x 2 3，故过定点为M(2，2).故选A. y2 33311.【答案】B【解析】f (x) log2 (x2 e|x|) ，定义域为 R ，且满足 f ( x) f (| x |) ，当 x 0 时，单调递增，而 (5)0.2 1 ， 0 (1)0.3 1 ， b a ，42cf(log 125) 4f( log25) 4f(log25 4)，而0log25 4 log221， 2( 1 )0.3 21 2， log 25 4 (1)0.3 ， 2f(log25) 4f(( 1 )0.3 ) 2，故 c a，故 c a b .故选 B.12.【答案】D【解析】f (x1) f (x2 ) x1 x21 x1x2，不妨设 x1x2 ，则f( x1) f (x2 ) 1 x21 x1，整理可得f (x1) 1 x1f (x2 ) 1 x2，设函数 h(x) f (x) 1 xa ln xx1 x在[e2 ，e4 ]上单调递减，可知 h'(x)a(1 ln x2x)1 x20，可知 a 1 1 lnx，而函数F ( x)1 1 lnx在[e2，e4 ]单调递增，F (x)maxF (4)11 41 3，可知实数a 1 3.故选D.二、填空题13.【答案】 9 5 5【解析】向量 a b在 a上的投影为| a b|cos (a b) a|a| (1，5) (1，2) 9 5 .5514.【答案】 5 2 6【解析】首先作出可行域，把 z ax by(a 0，b 0) 变形为 y a x z ，根据图象可知当目标函数过点 A 时，取最大值为 1， bb理科数学答案第 1 页（共 4 页） x 2x y 1 0 y40A(3，2)，代入可得3a2b1，则1 a1 b3a a2b 3a 2b 3 2b 3a 2 5 2 2b 3a 5 2 6 ，当且仅当bababb 6 a 取等号，可知最小值为 5 2 6 .故选 C. 215.【答案】 4 3【解析】 cos A cos B 2 3 sin C ，根据正弦定理 sin B cos A ab3asin Acos B 2 3 sin B sin C ，可知 sin( A B) 2 3 sin B sin C ，33sin C 2 3 sin B sin C ，sin B 3 ，在 ABC 内，可知 B π 或3232π ，因为锐角 ABC ，可知 B π ，利用余弦定理可得 b2 a2 c2 332ac cos B a2 c2 ac 2ac ac ac ，可知 ac 16 ，则 ABC 的面积的最大值 1 ac sin B 1 16 3 4 3 ，当且仅当 a c 时，取222等号，故面积的最大值为 4 3 .16.【答案】 4 5【解析】抛物线 C ：y2 2 px( p 0) 的准线方程为 x 2 ，可知抛物线 C 的方程为：y2 8x ，设点 A(x1 ，y1) ，B(x2 ，y2 ) ，AB 的中点为 M (x0 ，y0 ) ，则 y12 8x1 ，y22 8x2 两式相减可得 ( y1 y2 )( y1 y2 ) 8(x1 x2 )，y1 y2 x1 x2 8 y1 y2 ，可知 8 (1) 1 2 y0 x0 y0 6 0，解得 x0 y02 4，可得 M(2，4)，则 OA OB 2OM 2(2，4) (4，8) ，可得 | OA OB | | (4，8) | 42 82 4 5 .三、解答题17.【解析】（1） a1 1，an1 2an 1 ，可得 an1 1 2(an 1) ，{an 1} 是首项为 2，公比为 2 的等比数列.--------------- 2 分 an 1 2 2n1 2n ， an 2n 1 .即数列 { an } 的通项公式 an 2n 1 .--------------- 4 分数列 { bn } 的前 n 项的和为 Sn n2 ，可得 b1 S1 1 ，当 n 2 时， bn Sn Sn1 n2 (n 1)2 2n 1 ，故数列 { bn } 的通项公式为 bn 2n 1 .--------------- 6 分（2）可知 cn bn an (2n 1) (2n 1) (2n 1) 2n (2n 1) --------------- 7 分设 An 1 2 3 22 5 23 (2n 1) 2 n ， 2 An 1 22 3 23 (2n 3) 2 n (2n 1) 2 n 1 ， 两式相减可得 An 2 2(22 23 2 n) (2n 1) 2 n 1 ，可得 An 6 (2n 1) 2n1 2n2 ，--------------- 10 分而数列 {2n 1}的前n项的和为Bn(1 2n 1) 2nn2，所以 Tn 6 (2n 1) 2n1 2n2 n2 .--------------- 12 分 18.【解析】（1）证明： PD 面 ABCD ， PD BC ，在梯形 ABCD 中，过 B 作 BH DC 交 DC 于 H ， BH 1 ，BD DH 2 BH 2 1 1 2 ，BC 2 ，( 2)2 ( 2)2 22 ，即 DB2 BC 2 DC 2 ，即 BC DB .--------------- 2 分 BC DB ， PD BD D ， BC 平面 PDB ， BC 平面 EBC 平面 PBC 平面 PDB .--------------- 4 分 （2）连接 PH ， BH 面 PDC ，BPH 为 PB 与面 PDC 所成的角， tan BPH BH 1 ， BH 1 ， PH 2 ， PH 2 PD2 DH 2 PH 2 ， PD2 1 2 ， PD 1 ，--------------- 6 分以 D 为原点，分别以 DA ， DC 与 PD 为 x ，y ，z 轴，建立如图所示的E(空0间，2直，角12)坐，标可系知，则PBP(0(1，，01，，1) ，1)A，(A1，B0，(00)，，1B，(01)，1，，0) ，C (0，2，0) ，设平面PAB 可知 PB a AB a 设平面 PEB的法向量为 a (x，y，z) ， 0 0 xy y z 00，可取 a(1，0，1)，-----------的法向量为 b(x，y ，z ) ，BE(1，1，1)，8分2可知 PB BE b b 0 0 x x y y z 1 2 z0 0 ，可取 b(3，1，4)，-----10分可知两向量的夹角的余弦值为 cos a b 1 3 0 11 4| a || b | 1 1 32 1 42 7 13 ，可知两平面所成的角为钝角，可知两平面所成角的余弦 26值为 7 13 .--------------- 12 分 2619.【解析】（1）完成 2 2 列联表， 满意 不满意总计男生302555女生50合计80156540120 ----------- 4 分根据列联表中的数据，得到 K 2 120 (30 15 25 50)2 55 65 80 40 960 6.713 6.635 ，所以有 99% 的把握认为对“线上教育是否 143满意与性别有关”.--------------- 6 分（2）由（1）可知男生抽 3 人，女生抽 5 人， 0，1，2，3 .P(0)C53 C835 ，P( 28 1)C52C31 C8315 28，P(2)C51C32 C8315 ，P( 563)C33 C831 56.---------------8分可得分布列为0123P515152828561------------ 10 分56可得 E( ) 0 5 1 15 2 15 3 1 9 .--------------- 12 分 28 28 56 56 820.【解析】（1）x2 4 y ，焦点 F (0 ， 1) ，代入得 b 1，e c 2 ， a2a2 b2 c2 ，解得 a2 2，b2 1 ， x2 y2 1 ，-------------- 2 分 2 直线的斜率为 1，且经过 (1，0) ，则直线方程为 y x 1 ，联立 x2 2y2 1，解得y x 1，x y 0 1或 x y 4 3 1 3， ，C(0，1) ，D( 4 ，1) ，--------------- 4 分 33理科数学答案第 2 页（共 4 页）| CD | 4 2 ，又原点 O 到直线 y x 1 的距离 d 为 2 ，32 SCOD1 2| CD|d1 242 32 2 .--------------- 6 分 23（2）根据题意可知直线 m 的斜率存在，可设直线 m 的方程为： y kx t，ykxt，联立 x2 2y2 1，(2k 2 1)x24ktx2t 220，可得 (4kt)2 4(2k 2 1)(2t 2 2) 0 ，整理可得 t 2 2k 2 1 ，可知 F2 (1，0) ， A(1，k t)，B(2，2k t) ，--------------- 8 分则 | AF2 | (1 1)2 (k t 0)2 k 2 2kt t2| BF2 | (2 1)2 (2k t 0)2 1 (4k 2 4kt t2) k 2 2kt t2 2 为定值.--------------- 12 分 2k 2 4kt 2t 2 221.【解析】（1）函数 f (x) 的定义域为 (0， ∞) ，f (x) x a 1 x2 ax 1 ，设 h(x) x2 ax 1 ，xx函数 h(x) 在 (1，3) 内有且只有一个零点，满足 h(1) h(3) 0 ，可得 (1 a 1)(9 3a 1) 0 ，解得 2 a 10 ， 3故实数 a 的取值范围为 (2，10) .--------------- 4 分3（2） 2 f (x) 2x 2 (a 1)x2 ，可以变形为 2ln x 2x 2 a(x22x)，因为x0，可得a 2ln x x2 2x 2x2，--------------6分设g(x)2ln x 2x x2 2x2，g' ( x)2(x 1)(2ln x (x2 2x)2x).设 h(x) 2 ln x x ，h(x) 在 (0， ∞) 单调递增，h(1 ) 2ln 2 1 0 ， h(1) 1 0 .22故存在一点 x0 (0.5，1) ，使得 h(x0 ) 0 ，--------------- 8 分当 0 x x0 时， h(x) 0，g'(x) 0 ，函数 g(x) 单调递增；当 x x0 时， h(x) 0，g'(x) 0 ，函数 g(x) 的最大值为 g(x0) ，且 2 ln x0 x0 0 ，--------------- 10 分g (x)max g(x0) 2ln x0 2x0 2 x02 2x01 x0，可知 a 1 x0，又1 x0 (1，2) ，可得整数 a 的最小值为 2.--------------- 12 分22.【解析】（1）由题可知：2 2 2 cos2 6 ， 2(x2 y2 ) x2 6 ，曲线 C 的直角坐标方程为 y2 x2 1 ， 32直线 l 的普通方程为 3x 4 y 4 3a 0 ，--------------- 3 分两方程联立可得 33x2 6 (4 3a)x (4 3a)2 48 0 ，可知 [6 (4 3a)]2 4 33 [(4 3a)2 48] 0 ，解得 a 66 4 或 a 66 4 .--------------- 6 分33（2）曲线 C 的方程y2x21，可设x 2 cos ，32 y 3 sin则 2x 3y 2 2 cos 3 3 sin (2 2)2 (3 3)2 sin( ) ，其中 tan 2 6 ，可知最大值为 9(2 2)2 (3 3)2 35 .--------------- 10 分 23.【解析】（1）当 a 1 时， f (x) | 3x 6 | | x 1 | x 10 ，当 x 1时， (3x 6) (x 1) x 10 ，解得 x 1 ， 可得 x 1；--------------- 2 分 当 1 x 2 时， (3x 6) (x 1) x 10 ，解得 x 1 ， 可得 x 1； 当 x 2 时， (3x 6) (x 1) x 10 ，解得 x 5 ， 综上可得 {x | x 5或x 1} .--------------- 4 分 （2）由 f (x) 0 可知， f (x) | 3x 6 | | x 1| ax 0 ， | 3x 6 | | x 1| ax ，设 g(x) | 3x 6 | | x 1| ， h(x) ax ， 同一坐标系中作出两函数的图象如图所示，--------------- 6 分 4x 5，x 1， g(x) 2x 7，1 x 2，可得 A(2，3) ， 4x 5，x 2， 当函数 h(x) 与函数 g (x) 的图象有两个交点时，方程 f (x) 0 有两 个不同的实数根，--------------- 8 分由函数图象可知，当 3 a 4 时，有两个不同的解，故实数 a 的 2取值范围为 ( 3 ，4) .--------------- 10 分 2理科数学答案第 3 页（共 4 页）理科数学答案第 4 页（共 4 页）。
2020年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学(全国 I 卷)解析版
A.
B.
C.
D.
答案：
B
解析：
由指数与对数运算可得 ，
又因为 ，
即 ，
令 ，由指对函数单调性可得 在 内单调递增，
由 ，可得 ，故选B.
二、填空题
13.若 ， 满足约束条件 ，则 的最大值为.
答案：
解析：
如图，作出约束条件 所表示的可行域.
易得 点的坐标为 ，当目标函数经过 点时， 取得最大值，
23.已知函数 .
（1）画出 的图像；
（2）求不等式 的解集.
答案：
见解析
解析：
（1） ，
故图像如下：
（2） 图像是由 图像向左平移一个单位得到，如图所示.
联立 ，得交点 ，
∴不等式 的解集为 .
∵ ，∴ ，得 .
∴ ，则 .
∴ ，得 .
同理 ，得 .
又∵ 平面 ， 平面 ， ,
∴ 平面 .
（2）如图，以 为坐标原点平行于 方向为 轴， 为 轴， 为 轴，建立空间直角坐标系.
由（1）可设 ，则有 ， ， ，
.∴ ， ， ，
设平面 的一个法向量为 ，
则 得 ，得 .
设平面 的一个法向量为 ，
则 得 ，设 ，
2020年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷I）
理科数学
一、选择题
1.若 ，则 （ ）
A.
B.
C.
D.
答案：
D
解析：
由 ，可得 ， ，所以 .
2.设集合 ， ，且 ，则 （ ）
A.
B.
C.
D.
答案：
B
解析：
由题意知 ， ，又因为 ，所以 ，解得 .
2020年普通高等学校招生全国统一考试(全国Ⅰ卷)理科数学模拟试题(PDF版,含解析)
2020年普通高等学校招生全国统一考试（全国Ⅰ卷）理科数学注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、考号等填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．填空题和解答题的作答：用签字笔直接写在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
一、单项选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知全集{}3,U x x x Z =<∈，{}1,2M =，{}2,1,2N =−−，则()UMN =（ ）. A ．{}1 B ．{}1,2 C ．{}2 D ．{}0,1,2 2．函数()sin2xxf x e=的大致图像是（ ） A ． B ．C ．D ．3．在ABC 中，D 为BC 边上一点，若ABD △是等边三角形，且AC =则ADC 的面积的最大值为（ ）A ．B ．C ．D ．4．数列{}n a 是各项均为正数的等比数列，数列{}n b 是等差数列，且56a b =，则（ ）A ．3748a a b b +≤+B ．3748a a b b +≥+C ．3748a a b b +≠+D ．3748a a b b +=+5．已知2log 0.7a =，0.12b =，ln 2c =，则( ) A ．b c a <<B ．a c b <<C ．b a c <<D ．a b c <<6．设函数()sin()(0,0)f x x ωφωφπ=+><<的图象关于点(,0)3M π对称，点M 到该函数图象的对称轴的距离的最小值为4π，则（ ） A ．()f x 的周期为2π B ．()f x 的初相6πφ=C ．()f x 在区间2[,]33ππ上是单调递减函数 D ．将()f x 的图象向左平移12π个单位长度后与函数cos 2y x =图象重合 7．2018年6月18日，是我国的传统节日“端午节”.这天，小明的妈妈煮了5个粽子，其中两个腊肉馅，三个豆沙馅.小明随机抽取出两个粽子，若已知小明取到的两个粽子为同一种馅，则这两个粽子都为腊肉馅的概率为( ) A ．14B ．34C ．110D ．3108．若1321xlog ≤−，则函数f （x ）＝4x ﹣2x +1+1的最小值为（ ） A ．4B ．0C ．5D ．99．已知i 为虚数单位，实数a ，b 满足(2)()(8)i a bi i i −−=−−，则ab 的值为（ ） A ．6B ．-6C ．5D ．-55−10．已知1a xdx =⎰， 12b x dx =⎰， 0c =，则a ， b ， c 的大小关系是（ ）A ．a b c <<B ．a c b <<C ．b a c <<D ．c a b <<11．在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，ABC ∆的面积为S ，已知15A =，2a =，则b cc b+的值为（ ）AB ．CD ．12．已知函数()f x 的定义域为R ，且()26f =，对任意x ∈R ，()2f x '>，则()22f x x >+的解集为（ ）A ．(),2−∞−B ．()2,+∞C ．()2,2−D ．(),−∞+∞二、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分)13．变量满足约束条件，若的最大值为2，则实数等于_________14．已知正数x ，y 满足2x y +=，若2212x ya x y ≤+++恒成立，则实数a 的取值范围是______15．在三棱锥P ABC −中，6,3PB AC ==，G 为PAC ∆的重心，过点G 作三棱锥的一个截面，使截面平行于直线PB 和AC ，则截面的周长为_________.16．某人乘车从A 地到B 地，所需时间（分钟）服从正态分布N （30，100），求此人在40分钟至50分钟到达目的地的概率为__________．参考数据：若2~(,)Z N μσ， 则()0.6826P Z μσμσ−<<+=，(22)0.9544P Z μσμσ−<<+=， (33)0.9974P Z μσμσ−<<+=．三、解答题(本题共7小题，共70分。
2020年高考理数全国卷1 试题+答案详解
2020年普通高等学校招生全国统一考试理科数学本试卷共5页，23题（含选考题）．全卷满分150分．考试用时120分钟． 注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．4．选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑．答案写在答题卡上对应的答题区域内，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 5．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．若1z i =+，则22z z -=A ．0B ．1C 2D ．22．设集合{}240A x x =-≤,{}20B x x a =+≤,且{}21A B x x =-≤≤,则a =A ．4-B ．2-C ．2D ．43．埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥．以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为A 51-B 51-C 51+D 51+4．已知A 为抛物线2:2(0)C y px p =>上一点，点A 到C 的焦点的距离为12，到y 轴的距离为9，则p =A ．2B ．3C ．6D ．95．某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率y 和温度x （单位：C ︒）的关系，在20个不同的温度条件下进行种子发芽实验，由实验数据()(),1,2,,20i i x y i =得到下面的散点图：由此散点图，在10C 至40C 之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率y 和温度x 的回归方程类型的是A ．y a bx =+B ．2y a bx =+C ．x y a be =+D ．ln y a b x =+6．函数43()2f x x x =-的图像在点()()1,1f 处的切线方程为 A ．21y x =--B ．21y x =-+C ．23y x =-D ．21y x =+7．设函数()cos 6f x x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在[],ππ-的图像大致如下图，则()f x 的最小正周期为A ．109πB ．76π C ．43π D ．32π 8．25()()y x x y x ++的展开式中33x y 的系数为A ．5B ．10C ．15D ．209．已知(0,)απ∈，且3cos28cos 5αα-=，则sin α= A ．5B ．23 C ．13D ．5 10．已知A ，B ，C 为球O 的球面上的三个点，1O 为ABC △的外接圆．若1O 的面积为4π，1AB BC AC OO ===，则球O 的表面积为A ．64πB ．48πC ．36πD ．32π11．已知22:2220M x y x y +---=，且直线:220l x y ++=，P 为l 上的动点，过点P 作M 的切线PA ，PB ，切点为A ，B ，当AB PM ⋅最小时，直线AB 的方程为A ．210x y --=B ．210x y +-=C ．210x y -+=D ．210x y ++= 12．若242log 42log a b a b +=+，则A ．2a b >B ．2a b <C ．2a b >D ．2a b < 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．若,x y 满足约束条件2201010x y x y y +-≤⎧⎪--≥⎨⎪+≥⎩，则7z x y =+的最大值是________．14．设,a b 为单位向量，且1+=a b ，则-=a b ________．15．已知F 为双曲线2222:1x y C a b-=（0,0a b >>）的右焦点，A 为C 的右顶点，B 为C 上的点，且BF 垂直于x 轴．若AB 斜率为3，则C 的离心率为_______． 16．如图，在三棱锥P ABC -的平面展开图中1AC =， 3AB AD ==，AB AC ⊥，AB AD ⊥，30CAE ︒∠=，则cos FCB ∠=__________．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：共60分．17．（12分）设{}n a 是公比不为1的等比数列，1a 为2a ，3a 的等差中项．（1）求{}n a 的公比；（2）若11a =，求数列{}n na 的前项和．18．（12分）如图，D 为圆锥的顶点，O 是圆锥底面的圆心，AE 为底面直径，AE AD =．ABC △是底面的内接正三角形，P 为DO 上一点，6PO DO =． （1）证明：PA ⊥平面PBC ；（2）求二面角B PC E --的余弦值．19．（12分）甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛，约定赛制如下：累计负两场者被淘汰：比赛前抽签决定首先比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场轮空，直至有一人被淘汰；当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束．经抽签，甲、乙首先比赛，丙轮空．设每场比赛双方获胜的概率都为12． （1）求甲连胜四场的概率； （2）求需要进行第五场比赛的概率； （3）求丙最终获胜的概率．20．（12分）已知,A B 分别为椭圆222:1(1)x E y a a+=>的左、右顶点，G 为E 的上顶点，8AG GB ⋅=．P为直线6x =上的动点，PA 与E 的另一交点为C ，PB 与E 的另一交点为D ．（1）求E 的方程；（2）证明：直线CD 过定点．21．（12分）已知函数()2x f x e ax x =+-．（1）当1a =时，讨论()f x 的单调性； （2）当0x ≥时，()3112f x x ≥+，求a 的取值范围．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为cos sin kkx ty t ⎧=⎪⎨=⎪⎩（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为4cos 16sin 30ρθρθ-+=，（1）当1k =时，1C 是什么曲线？（2）当4k =时，求1C 与2C 的公共点的直角坐标．23．[选修4-5：不等式选讲]（10分）已知函数()3121f x x x =++-． （1）画出()y f x =的图象；（2）求不等式()()1f x f x >+的解集．参考答案一、选择题 1【答案】D .【解析】∵()()2221212z z i i -=+-+=-,∴2222z z -=-=，故选D .2.【答案】.B【解析】{}240A x x =-≤{}22x x =-≤≤,{}20B x x a =+≤2a x x ⎧⎫=≤-⎨⎬⎩⎭,∵{}21A B x x =-≤≤,∴12a-=,∴ 2.a =-故选.B 3.【答案】.C【解析】如图，设金字塔对应的正四棱锥的高为h ，金字塔斜面上的高为'h ，金字塔底面边长为a ，则有22221'2'2h a h h h h ⎧=⋅⎪⎪⎨⎛⎫⎪+= ⎪⎪⎝⎭⎩化简得22''4210h h a a ⎛⎫⎛⎫--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得'14h a =.故选.C 4.【答案】.C【解析】设点(),A x y ，由点A y 轴的距离为9得9x =，根据抛物线定义，由A 到C 的焦点的距离为12得122p x +=，即6122p+=，解得 6.p =故选.C 5.【答案】.D【解析】由题中散点图可知，大致分布在一条递增的对数型函数图象附近，故选.D 6.【答案】.B【解析】∵()32'46f x x x =-,∴()'12k f ==-,又∵()1121f =-=-,∴由点斜式方程可得所求切线方程为()()121y x --=--,即21y x =--.故选.B7.【答案】.C【解析】根据函数图象得409f π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，∴4cos 096ππω⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，∴()4962k k Z πππωπ-+=+∈，解得()394kk Z ω+=-∈， 又∵22T T π<<，∴242πππωω<<，解得12ω<<， ∴32ω=，∴最小正周期243T ππω==.故选.C 8.【答案】.C【解析】∵()5x y +的通项为()5150,1,,5r r r r T C x y r -+==，h'h a。
2020年全国I卷高考考前适应性试卷理科数学(二)含答案
2020年全国I 卷高考考前适应性试卷理 科 数 学（二）注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合2{|280}A x x x =+-<，{|0}B y y =≥，则A B =（ ）A ．[0,4)B ．[0,2)C ．(2,4)D ．∅2．记复数z 的共轭复数为z ，已知复数z 满足(2i)5z -=，则||z =（ ） A ．3B ．5C ．7D ．53．下列关于命题的说法正确的是（ ）A ．命题“若0xy =，则0x =”的否命题是“若0xy =，则0x ≠”B ．命题“若0x y +=，则x ，y 互为相反数”的逆命题是真命题C ．命题“x ∃∈R ，2220x x -+≥”的否定是“x ∀∈R ，2220x x -+≥” D ．命题“若cos cos x y =，则x y =”的逆否命题是真命题 4．已知233a =，cos22b =，12log (2sin 4)c =+，则（ ）A ．b a c <<B ．a b c <<C ．b c a <<D ．c b a <<5．某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为扇形，则该几何体的体积为（ ）A ．16π3B ．π3C ．2π9D ．16π96．运行如图所示的程序框图，输出的k 的值为（ ）A ．8B ．10C ．12D ．147．已知平面向量a ，b ，满足(1,3)=a ，||3=b ，(2)⊥-a a b ，则||-=a b （ ） A ．2B ．3C ．4D ．68．已知函数()sin()(0,0,||π)f x A x A ωϕωϕ=+>><的部分图象如图所示，则函数()cos()g x A x ϕω=+图象的一个对称中心可能为（ ）A ．5(,0)2-B ．1(,0)6C ．1(,0)2-D ．9(,0)6-9．如图所示，ABC △是等腰直角三角形，且AB AC =，E 为BC 边上的中点，ADE △与AEF △为等边三角形，点M 是线段AB 与线段DE 的交点，点N 是线段AC 与线段EF 的交点，若往ABC △中任意投掷一点，该点落在图中阴影区域内的概率为（ ）此卷只装订不密封班级 姓名 准考证号 考场号 座位号参考数据：62sin 754+︒=，62sin154-︒=．A 33-B 523- C 33- D 523- 10．在梯形ABCD 中，AB CD ∥，1CD =，2AB BC ==，120BCD ∠=︒，动点P 和Q 分别在线段BC 和CD 上，且BP BC λ=，18DQ DC λ=，则AP BQ ⋅的最大值为（ ） A ．2-B ．32-C ．34D ．9811．已知函数(1)y f x =-的图象关于点(1,0)对称，函数()y f x =对于任意的(0,π)x ∈满足()sin ()cos f x x f x x '>（其中()f x '是函数()f x 的导函数），则下列不等式成立的是（ ）A ．ππ()3()36f ->-B 3ππ2()()42f <-- C ππ3()2()23f >D 5π3π2()()64f < 12．已知关于x 的不等式()xxx x me me ->有且仅有三个正整数解（其中 2.71828e =为自然对数的底数），则实数m 的取值范围是（ ） A ．43169(,]54e e B ．3294(,]43e e C ．43169[,)54e e D ．3294[,)43e e第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．若抛物线28x y =上的点P 到焦点的距离为12，则P 到x 轴的距离是 ．14．已知实数x ，y 满足250340x y x y x y -≤⎧⎪+≥⎨⎪-≥⎩，则2z x y =-的最大值为 ．15．在ABC △中，若cos 4AB BC B ⋅⋅=，||32BC BA -=ABC △面积的最大值为 ． 16．已知半径为3cm 的球内有一个内接四棱锥S ABCD -，四棱锥S ABCD -的侧棱长都相等，底面是正方形，当四棱锥S ABCD -的体积最大时，它的底面边长等于 cm ．三、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12分）已知公差不为零的等差数列{}n a 和等比数列{}n b 满足：113a b ==，24b a =， 且1a ，4a ，13a 成等比数列． （1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式； （2）令nn na cb =，求数列{}nc 的前n 项和n S ．18．（12分）如图，在斜三棱柱111ABC A B C -中，底面ABC 是边长为2的正三角形，13BB =，110AB =160CBB ∠=︒．（1）求证：平面ABC ⊥平面11BCC B ；（2）求二面角1B AB C --的正弦值．19．（12分）为了调查一款电视机的使用时间，研究人员对该款电视机进行了相应的测试，将得到的数据统计如下图所示．并对不同年龄层的市民对这款电视机的购买意愿作出调查，得到的数据如下表所示．（1）根据图中的数据，试估计该款电视机的平均使用时间；（2）根据表中数据，判断是否有99.9%的把握认为“愿意购买该款电视机”与“市民的年龄”有关； （3）用频率估计概率，若在该电视机的生产线上随机抽取4台，记其中使用时间不低于4年的电视机的台数为X ，求X 的分布列及期望．附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，20．（12分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的长轴长为6，且椭圆C 与圆2240:(2)9M x y -+=410． （1）求椭圆C 的方程；（2）过点(0,2)P 作斜率为k (0)k ≠的直线l 与椭圆C 交于两点A ，B ，试判断在x 轴上是否存在点D ，使得ADB △为以AB 为底边的等腰三角形．若存在，求出点D 的横坐标的取值范围，若不存在，请说明理由．21．（12分）已知函数2()ln(1)1f x a x x =-+-，其中a 为正实数． （1）求()f x 的单调区间；（2）证明：当2x >时，()(1)2xf x e a x a <+--．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．22．（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】在直角坐标系xOy 中，直线l的方程是x =，曲线C 的参数方程为2cos 22sin x y αα=⎧⎨=+⎩（α为参数），以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系． （1）求直线l 和曲线C 的极坐标方程； （2）射线:OM θβ=（其中5π012β<≤）与曲线C 交于O ，P 两点，与直线l 交于点M ，求||||OP OM 的取值范围．23．（10分）【选修4-5：不等式选讲】 设a ∈R ，函数()|||23|f x x a x a =++-． （1）当1a =时，求函数()f x 的最小值；（2）若1143a <<，解关于x 的不等式()1f x ≥．2020年全国I 卷高考考前适应性试卷理 科 数 学（二）答 案第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．【答案】B【解析】依题意，2{|280}{|42}A x x x x x =+-<=-<<，故[0,2)A B =，故选B ．2．【答案】B【解析】因为(2i)5z -=，所以52i 2iz ==+-，2i z =-，所以||||z z ==B ． 3．【答案】B【解析】逐一分析所给命题的真假：A 命题“若0xy =，则0x =”的否命题是“若0xy ≠，则0x ≠”，题中说法错误；B 命题“若0x y +=，则x ，y 互为相反数”是真命题，则其逆命题是真命题，题中说法正确；C 命题“x ∃∈R ，2220x x -+≥”的否定是“x ∀∈R ，2220x x -+<”，题中说法错误； D 命题“若cos cos x y =，则x y =”是假命题，则其逆否命题是假命题，题中说法错误， 故选B ． 4．【答案】D【解析】因为1122log (2sin 4)log 1c =+<=，203331a =>=，cos200221b <=<=，所以a b c >>，故选D ． 5．【答案】D【解析】从三视图中提供的图形信息与数据信息可知： 该几何体的底面是圆心角为2π3的扇形，高是4的圆锥体，容易算得底面面积14ππ433S =⨯=，所以其体积1116ππ44339V =⨯⨯⨯=， 故答案为D ． 6．【答案】C【解析】运行该程序，第一次，999S =，2k =；第二次，995S =，4k =； 第三次，979S =，6k =；第四次，915S =，8k =； 第五次，659S =，10k =，第六次365S =-，12k =， 此时0S <，故输出的k 的值为12，故选C ． 7．【答案】B【解析】由题意可得||2==a ，且(2)0⋅-=a a b ， 即220-⋅=a a b ，420-⋅=a b ，2⋅=a b ，由平面向量模的计算公式可得||3-===a b ，故选B ．8．【答案】C【解析】由图象最高点与最低点的纵坐标知A =又6(2)82T =--=，即2π16T ω==，所以π8ω=，则π()sin()8f x x ϕ=+，图象过点(2,-，则πsin()14ϕ+=-， 即ππ2π42k ϕ+=-+，所以3π2π4k ϕ=-+，又||πϕ<，则3π4ϕ=-，故3ππ())48g x x =-+， 令3ππππ482x k -+=+，得1423x k =--， 令0k =，可得其中一个对称中心为1(,0)2-，故本题答案选C ． 9．【答案】A【解析】不妨设1AE =，在AME △中，由正弦定理得sin 75sin 60AE AM=︒︒，解得3262AM -=， 则阴影部分面积为3262331222AME ANE S S --+=⨯⨯=△△， 而1ABC S =△，故所求概率332P -=，故选A ． 10．【答案】D【解析】因为AB CD ∥，1CD =，2AB BC ==，120BCD ∠=︒， 所以ABCD 是直角梯形，且3CM =，30BCM ∠=︒，以AB 所在直线为x 轴，以AD 所在直线为y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系， 因为BP BC λ=，18DQ DC λ=，动点P 和Q 分别在线段BC 和CD 上， 则1[,1]8λ∈，(2,0)B ，(2,3)P λλ-，1(,3)8Q λ， 所以111(2,3)(2,3)54848AP BQ λλλλλ⋅=-⋅-=+--， 令11()5448f λλλ=+--且1[,1]8λ∈，由对勾函数性质可知，当1λ=时可取得最大值， 则max 119()(1)54488f f λ==+--=，所以选D ．11．【答案】C【解析】由已知，()f x 为奇函数，函数()y f x =对于任意的(0,π)x ∈满足()sin ()cos f x x f x x '>， 得()sin ()cos 0f x x f x x '->，即()()0sin f x x '>，所以()sin f x y x=在(0,π)上单调递增； 又因为()sin f x y x =为偶函数，所以()sin f x y x=在(π,0)-上单调递减， 所以ππ()()32ππsin sin 32f f <，即ππ3()2()23f f >，故选C ．12．【答案】C【解析】依题意，2xxx mxe me ->，故2(1)e xx m x >+，即2(1)ex x m x >+，令2()e x x f x =，故22(2)()e e xxx x x xf x --'==， 故当(,0)x ∈-∞时，()0f x '<；当(0,2)x ∈时，()0f x '>；当(2,)x ∈+∞时，()0f x '<， 作出函数()f x 的图象如下所示，可知三个正整数解为1，2，3，令2()e e xxg x x mx m =--，则33(3)93e e 0g m m =-->，44(4)164e e 0g m m =--≤，解得431695e 4e m ≤<，故选C ．第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．【答案】10【解析】因为抛物线28x y =，所以焦点坐标为(0,2)，准线方程为2y =-，因为点P 到焦点的距离为12，根据抛物线定义，则P 到准线的距离也为12，所以点P 到x 轴的距离为10． 14．【答案】5【解析】作出不等式组所表示的平面区域如下图阴影部分所示，观察可知，当直线2z x y =-过点55(,)33A -时，2z x y =-取最大值，最大值为5．15．317【解析】设内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，依题意222cos cos 42a cb AB BC B ac B +-⋅⋅===， 而||||32BC BA AC b -===2226a c +=， 而22222222111sin sin cos 222ABC S ac B a c B a c a c B ===-△ 222221131716()16222a c a c +=-≤-=，当且仅当a c =时等号成立， 故ABC △31716．【答案】4【解析】如图，设四棱锥S ABCD -的侧棱长为x ，底面正方形的边长为a ，棱锥的高为h ． 由题意可得顶点S 在地面上的射影为底面正方形的中心1O ，则球心O 在高1SO 上． 在1OO B Rt △中，13OO h =-，3OB =，12O B =， ∴22223(3))2h a =-+，整理得22122a h h =-，又在1SO B Rt △中，有222222()(6)62x h a h h h h =+=+-=， ∴26x h =，∴422218x a x =-，∴422264111(2)(6)333654S ABCDx x V a h x x x -=⋅⋅=⨯-⨯=-+． 设64()6f x x x =-+，则5332()6246(24)f x x x x x '=-+=--， ∴当026x <<时，()0f x '>，()f x 单调递增； 当26x >时，()0f x '<，()f x 单调递减，∴当26x =时()f x 取得最大值，即四棱锥S ABCD -的体积取得最大值，此时422(26)2(26)1618a =⨯-=，解得4a =， ∴四棱锥S ABCD -的体积最大时，底面边长等于4cm ，故答案为4cm ．三、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．【答案】（1）21n a n =+，3nn b =；（2）223n nn S +=-． 【解析】（1）设{}n a 的公差为d ，则由已知得21134a a a =，即23(312)(33)d d +=+，解之得2d =或0d =（舍），所以32(1)21n a n n =+-=+；因为249b a ==，所以{}n b 的公比3q =，所以3nn b =． （2）由（1）可知213n nn c +=，所以23357213333n nn S +=++++， 21572133333n n n S -+=++++， 所以121112(1)11121212433232()34133333313n n n n n nn n n S --⋅-+++=++++-=+-=--， 所以223n nn S +=-． 18．【答案】（1）证明见解析；（2）47437． 【解析】（1）取BC 的中点O ，连接OA ，1OB ，因为底面ABC 是边长为2的正三角形，所以OA BC ⊥，且3OA =，因为13BB =，160CBB ∠=︒，1OB =，所以222113213cos 607OB =+-⨯⨯⨯︒=，所以17OB =， 又因为110AB =，所以2221110OA OB AB +==，所以1OA OB ⊥， 又因为1OB BC O =，所以OA ⊥平面11BCC B ，又因为OA ⊂平面ABC ，所以平面ABC ⊥平面11BCC B ．（2）如图所示，以点O 为坐标原点，OC 为x 轴，OA 为y 轴，OH 为z 轴建立空间直角坐标系，其中2BH =，则(0,3,0)A ，(1,0,0)B -，(1,0,0)C ，1133(,0,)22B ， 所以1133(,3,)22AB =-，(1,3,0)AB =--，(1,3,0)AC =-， 设1111(,,)x y z =n 为平面1ABB 的法向量，则11100AB AB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n ，即11111301333022x y x y z ⎧--=⎪⎨-+=⎪⎩，令11y =，得1(3,1,1)=-n ； 设2222(,,)x y z =n 为平面1AB C 的法向量，则22100AC AB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n ，即22222301333022x y x y z ⎧-=⎪⎨-+=⎪⎩，令21y =，得21(3,1,)3=n ， 所以12121213153cos(,)||||373759-++⋅===-⨯n n n n n n ，所以二面角1B AB C --的正弦值为547413737-=． 19．【答案】（1）7.76；（2）有99.9%的把握认为；（3）分布列见解析，16()5E X =． 【解析】（1）依题意，所求平均数为20.260.36100.28140.12180.04⨯+⨯+⨯+⨯+⨯0.4 2.16 2.8 1.680.727.76=++++=．（2）依题意，完善表中的数据如下所示：故222000(800600200400)333.3310.828100010001200800K ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯， 故有99.9%的把握认为“愿意购买该款电视机”与“市民的年龄”有关．（3）依题意，4~(4,)5X B ，故411(0)()5625P X ===，1341416(1)C ()()55625P X ===， 22241496(2)C ()()55625P X ===，33414256(3)C ()()55625P X ===，44256(4)()5625P X ===， 故X 的分布列为故416()455E X =⨯=． 20．【答案】（1）22198x y +=；（2）在x 轴上存在满足题目条件的点D ，22[,0)(0,]1212-． 【解析】由题意可得26a =，所以3a =， 由椭圆C 与圆2240:(2)9M x y -+=的公共弦长为103，恰为圆M 的直径，可得椭圆C 经过点210(2,±，所以2440199b+=，解得28b =， 所以椭圆C 的方程为22198x y +=． （2）直线l 的解析式为2y kx =+，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，AB 的中点为00(,)E x y ，假设存在点(,0)D m ，使得ADB △为以AB 为底边的等腰三角形，则DE AB ⊥，由222198y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得22(89)36360k x kx ++-=，故1223698k x x k +=-+，所以021898k x k -=+，00216298y kx k =+=+，因为DE AB ⊥，所以1DEk k =-，即221601981898k k k mk -+=---+，所以2228989k m k k k --==++， 当0k >时，89k k+≥=，所以012m -≤<； 当0k <时，89k k+≤-0m <≤综上所述，在x 轴上存在满足题目条件的点D ，且点D 的横坐标的取值范围为2[(0,]1212-． 21．【答案】（1）单调递减区间为2(1,1)a +，单调递增区间为2(1,)a++∞；（2）证明见解析． 【解析】（1）由10x ->，得1x >，所以()f x 的定义域为(1,)+∞，2222(1)2(2)()1(1)(1)(1)a a x ax a f x x x x x ---+'=-==----， 由()0f x '>，得2a x a+>， 所以当211x a <<+时，()0f x '<；当21x a>+时，()0f x '>， 所以()f x 的单调递减区间为2(1,1)a +，单调递增区间为2(1,)a++∞． （2）证明：令()ln 1g x x x =-+，则1()1g x x'=-， 所以当01x <<时，()0g x '>；当1x >时，()0g x '<， 所以()(1)0g x g ≤=，所以ln 1x x ≤-， 所以当2x >时，有ln(1)2x x -≤-成立， 又因为0a >，所以要证()(1)2xf x e a x a <+--，只需证2(2)(1)21x a x e a x a x -+<+---，即201x e x x -->-对于任意的2x >恒成立， 令2()1xh x e x x =---，2x >，则22()1(1)xh x e x '=-+-，因为2x >，所以()0h x '>恒成立，所以()h x 在(2,)+∞上单调递增， 所以2()(2)40h x h e >=->，所以当2x >时，()(1)2xf x e a x a <+--．22．【答案】（1）:cos l ρθ=:4sin C ρθ=；（2）． 【解析】（1）∵cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩，∴直线l的极坐标方程是cos ρθ=，由2cos 22sin x y αα=⎧⎨=+⎩，消参数得22(2)4x y +-=， ∴曲线C 的极坐标方程是4sin ρθ=．（2）将θβ=分别代入4sin ρθ=，cos ρθ= 得||4sin OP β=，||OM =||2||OP OM β=， ∵5π012β<≤，∴5π026β<≤，∴0222β<≤， ∴||||OP OM的取值范围是． 23．【答案】（1）52；（2）21(,41][,)3a a +-∞-+∞． 【解析】（1）当1a =时，332,23()|1||23|4,1232,1x x f x x x x x x x ⎧-≥⎪⎪⎪=++-=-+-<<⎨⎪-+≤-⎪⎪⎩，所以()f x 在3(,)2-∞上单调递减，在3(,)2+∞上单调递增，所以min 35()()22f x f ==． （2）①当32x a ≥时，()32f x x a =-，解321x a -≥，得213a x +≥， 因为1143a <<，21332a a +>，所以此时213a x +≥；②当32a x a -<<时，()4f x x a =-+，解41x a -+≥，得41x a ≤-， 因为1143a <<，413a a a -<-<，所以此时41a x a -<≤-； ③当x a ≤-时，()32f x x a =-+，解321x a -+≥，得213a x -≤， 因为1143a <<，213a a ->-，所以此时x a ≤-， 综上可知，()1f x ≥的解集为21(,41][,)3a a +-∞-+∞．。
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2x
的图像向右平移
0
2
个单位长度得到
f
(x)
的图像，若函数
f
(x)
在区间
0,
3
上单调递增，且
f
(x)
的最大负零点在区间
−
5 12
,− 12
上，则
的取值范围是(
)
A. ( , ] 64
B. ( , ) 64
C. ( , ] 12 4
D.[ , ] 12 4
12.已知函数 f ( x) = ( x − 3) ex + a (2ln x − x +1) 在 (1, +) 上有两个极值点,且 f ( x) 在 (1, 2) 上单调递增,
则三棱锥 D﹣MNQ 体积的最大值为 ；当三棱锥 D﹣MNQ 体积最大时，其外接球的半径 R =
．
三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. (本小题满分 12 分)
如图, CM , CN 为某公园景观湖畔的两条木栈道, MCN = 120o ,现拟在两条木栈道的 A, B 处设置观景 台,记 BC = a, AC = b, AB = c.
A.40
B.50
C.60
D.70
理科数学第1页共11页
7.明朝数学家程大位著的《算法统宗》里有一道著名的题目：“一百馒
头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大、小和尚各几丁？”.
如右图所示的程序框图反映了此题的一个算法．执行如图的程序框图，
则输出的 n ＝（ ）
A.25
B.45
C.60
D.75
y x,
8.已知实数 x, y 满足 2x − y 0, 则 z = x2 + y2 的最大值为(
)
x + y 5,
A. 25 2
B. 25 4
C. 25 8
D. 125 9
9.已知两个夹角为 的单位向量 a, b .若向量 m 满足 m − a − b = 1,则 m 的最大值是(
)
3
A. 3 −1
B. 3 +1
C. 2
D. 6 + 2 +1
10.已知抛物线 y2 = 2x 的焦点为 F ,其准线与 x 轴的交点为 Q ,过点 F 作直线与此抛物线交于 A, B 两点,
若 FA• QB = 0 ,则 AF − BF = ( )
ห้องสมุดไป่ตู้
A. 3
B. 2
C. 4
D. 6
11.将函数
y
=
sin
2020 届高三 适应性训练 2 理科数学
本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分,满分 150 分，,时间 120 分钟 第Ⅰ卷（选择题共 60 分）
一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的.）
( ) 1.设集合 A = x Z y = lg −x2 + 3x + 4 , B = x 2x 4 则 A B = ( )
13.二项式
3
x
−
3 x
8
的展开式中的常数项为
.
14.已知双曲线
x2 a2
−
y2 b2
= 1( a
0, b
0) 的左顶点为
A ,右焦点为 F
,点 B (0,b) ,双曲线的渐近线上存在
一点 P ,使得 A, B, F , P 顺次连接构成平行四边形,则双曲线 C 的离心率 e =
.
理科数学第2页共11页
( ) C. 20 + 4 3 D. 28
6.2020 年,一场突如其来的“新型冠状肺炎”使得全国学生无法在春季正常开学, 不得不在家“停课不停学”.
为了解高三学生居家学习时长,从某校的调查问卷中,随机抽取 n 个学生的调查问卷进行分析,得到学生可接
受的学习时长频率分布直方图（如下图所示）,已知学习时长在 [9,11) 的学生人数为 25，则 n 的值为（ ）
则实数 a 的取值范围是( )
A. (e, +)
B. (e, 2e2 )
C. (2e2 + )
D. (e, 2e2 ) (2e2 + )
第Ⅱ卷 本卷包括必考题和选考题两部分(共 90 分).第 13 ～21 题为必考题，每个试题考生都必须作答.第 22～23 为选考题，考生根据要求作答.
二、填空题（本大题共 4 个小题，每小题 5 分，共 20 分.把答案填写在答题卡相应的题号后的横线上）
乙品牌的扫地机器人作为奖品,从这两种品牌的扫地机器人中各随机抽取 6 台,检测它们充满电后的工作时
（Ⅰ）若 a, b, c 成等差数列，且公差为 4，求 b 的值； （Ⅱ）已知 AB = 12, 记 ABC = , 试用 表示观景路线 AC + CB 的长，并求
观景路线长 AC + CB 的最大值.
18.(本小题满分 12 分) 为迎接“五一国际劳动节”，某商场规定购买超过 6000 元商品的顾客可以参与抽奖活动.现有甲品牌和
A.2, 4)
B.2, 4
C.3
D. 2, 3
2.已知
tan
(
−
)
=
5 12
,且
2
,
3 2
,则
sin
+
2
=
(
)
5
A.
13
B. − 5 13
12
C.
13
D. − 12 13
3.下列四个命题中,正确的有( )
①随机变量 服从正态分布 N (1,9) ,则 P (−1 0) = P (2 3)
②
x0
R, sin
x0
+
cos
x0
=
3 2
③命题"x R, x2 − x − 2 0"的否定是"x R, x2 − x − 2 0"
④复数 z1, z2, z3 C ,若 ( z1 − z2 )2 + ( z2 − z3 )2 = 0 则 z1 = z3
A.1 个
B.2 个
C.3 个
D.4 个
15.定义在 R
上的函数
f
( x) 对任意 x R ，都有
f
(x
+
2)
=
1− 1+
f f
(x) (x),
f
(2)
=
1 4
，则
f
( 2020 )
=
.
16.如图，矩形 ABCD 中， AB = 2 3, AD = 2, Q 为 BC 的中点，点 M，N 分别在线段 AB，CD 上运动（其
中 M 不与 A，B 重合，N 不与 C，D 重合），且 MN∥AD，沿 MN 将△DMN 折起，得到三棱锥 D﹣MNQ，
4.已知在等比数列 an 中, an 0 , a22 + a42 = 900 − 2a1a5, a5 = 9a3 ,则 a2020 = ( )
A. 31010
B. 31009
C. 32019
D. 32020
5.如下图所示，是一个几何体的三视图,则此三视图所描述几何体的表面积为( )
( ) A. 12 + 4 3 B. 20