2018年1月北京市西城区高三数学期末理科数学试题及答案
2018年高三最新 北京市西城区2018年1月份高三抽样测试数学(理) 精品
北京市西城区2018年抽样测试高三数学试卷（理科）本试卷分第一卷（选择题）和第二卷（非选择题）两部分。
共150分，考试时间120分钟。
第一卷（选择题 共40分）参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么P (A + B ) = P (A ) + P (B ) 如果事件A 、B 相互独立，那么P (A ²B ) = P (A )²P (B )如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率P n (k ) =k n kk n P P C --)1(一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．） 1．已知集合A = {x ∈R | x < 5 –2}，B = {1，2，3，4}，则（R A ）∩B =（ ）（A ）{1，2，3，4} （B ）{2，3，4} （C ）{3，4} （D ）{4}2．设{a n }是公比q ≠1的等比数列，且a 2 = 9，a 3 + a 4 = 18，则q 等于 （ ）（A ）2（B ）21 （C ）– 2 （D ）21- 3．设复数z 满足（2 + i ）z = 1 + 2i ，则复数z 对应的点位于复平面内 （ ） （A ）第一象限 （B ）第二象限 （C ）第三象限 （D ）第四象限4．下面四个图形中，与函数y = 2 + log 2x (x ≥1)的图象关于直线y = x 对称的是 （ ）5．曲线⎪⎩⎪⎨⎧==θθsin cos 3y x （θ为参数）上的点到两坐标轴的距离之和的最大值是 （ ）（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）3+ 16．已知命题p ：函数y = log a (ax + 2a )(a > 0且a ≠1)的图象必过定点（– 1，1）； 命题q ：如果函数y = f (x – 3)的图象关于原点对称，那么函数y = f (x )的图象关于（3，0）点对称．则 （ ） （A ）“p 且q ”为真 （B ）“p 或q ”为假（C ）p 真q 假 （D ）p 假q 真7．已知向量a 和b 的夹角为60°，| a | = 3，| b | = 4，则(2a – b )²a 等于 （ ） （A ）15 （B ）12 （C ）6 （D ）38．定义在R 上的奇函数f (x )在(0，+∞)上是增函数，又f (– 3) = 0，则不等于xf (x ) < 0的解集为 （ ） （A ）（– 3，0）∪（0，3） （B ）（–∞，– 3）∪（3，+∞） （C ）（– 3，0）∪（3，+∞） （D ）（–∞，– 3）∪（0，3）第二卷（非选择题 共110分）二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在题中横线上．） 9．xx x x x --+→2212lim = ____________．10．若(222-x )9展开式的第7项为421，则实数x 等于__________． 11．双曲线与椭圆9x 2 + 25y 2 = 225有相同的焦点，并且一条准线方程为x = 2，则双曲线的焦点坐标为___________________；渐近线方程是_________________．12．不等式组⎪⎩⎪⎨⎧+-+-0, 10, 20, 2y x y x 表示的区域为D ，z = x + y 是定义在D 上的目标函数，则区域D 的面积为_________；z 的最大值为_________．13．已知函数f (x ) =⎩⎨⎧<--)2( 22)( 2x x x ，则f (lg30 – lg3) = _______；不等式xf (x – 1) < 10的解集是________________．14．如果函数y = f (x )的导函数的图象如图所示，给出下列判断： ①函数y = f (x )在区间（– 3，21-）内单调递增； ②函数y = f (x )在区间（21-，3）内单调递减； ③函数y = f (x )在区间（4，5）内单调递增； ④当x = 2时，函数y = f (x )有极小值；⑤当x =21-时，函数y = f (x )有极大值； 则上述判断中正确的是___________．三、解答题（本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
2017-2018年北京市西城区高三(上)期末数学试卷(理科)及参考答案
2017-2018学年北京市西城区高三（上）期末数学试卷（理科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．（5分）若集合A={x|0＜x＜3}，B={x|﹣1＜x＜2}，则A∪B=（）A．{x|﹣1＜x＜3}B．{x|﹣1＜x＜0}C．{x|0＜x＜2}D．{x|2＜x＜3}2．（5分）下列函数中，在区间（0，+∞）上单调递增的是（）A．y=﹣x+1B．y=|x﹣1|C．y=sinx D．3．（5分）执行如图所示的程序框图，输出的S值为（）A．2B．6C．30D．2704．（5分）已知M为曲线C：（θ为参数）上的动点．设O为原点，则|OM|的最大值是（）A．1B．2C．3D．45．（5分）实数x，y满足，则2x﹣y的取值范围是（）A．[0，2]B．（﹣∞，0]C．[﹣1，2]D．[0，+∞）6．（5分）设，是非零向量，且，不共线．则“||=||”是“||=|2|”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件7．（5分）已知A ，B 是函数y=2x 的图象上的相异两点．若点A ，B 到直线的距离相等，则点A ，B 的横坐标之和的取值范围是（ ） A ．（﹣∞，﹣1） B ．（﹣∞，﹣2）C ．（﹣1，+∞）D ．（﹣2，+∞）8．（5分）在标准温度和大气压下，人体血液中氢离子的物质的量的浓度（单位mol/L ，记作[H +]）和氢氧根离子的物质的量的浓度（单位mol/L ，记作[OH ﹣]）的乘积等于常数10﹣14．已知pH 值的定义为pH=﹣lg [H +]，健康人体血液的pH 值保持在7.35～7.45之间，那么健康人体血液中的可以为（参考数据：lg2≈0.30，lg3≈0.48）（ ） A ． B ．C ．D ．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分． 9．（5分）在复平面内，复数对应的点的坐标为 ．10．（5分）数列{a n }是公比为2的等比数列，其前n 项和为S n ．若，则a n = ；S 5= ． 11．（5分）在△ABC 中，a=3，，△ABC 的面积为，则c= ．12．（5分）把4件不同的产品摆成一排．若其中的产品A 与产品B 都摆在产品C 的左侧，则不同的摆法有 种．（用数字作答）13．（5分）从一个长方体中截取部分几何体，得到一个以原长方体的部分顶点为顶点的凸多面体，其三视图如图所示．该几何体的表面积是 ．14．（5分）已知函数，若c=0，则f （x ）的值域是 ；若f （x ）的值域是，则实数c 的取值范围是 ．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）已知函数．（Ⅰ）求f （x ）的最小正周期； （Ⅱ）求f （x ）在区间上的最大值．16．（13分）已知表1和表2是某年部分日期的天安门广场升旗时刻表． 表1：某年部分日期的天安门广场升旗时刻表表2：某年2月部分日期的天安门广场升旗时刻表（Ⅰ）从表1的日期中随机选出一天，试估计这一天的升旗时刻早于7：00的概率；（Ⅱ）甲，乙二人各自从表2的日期中随机选择一天观看升旗，且两人的选择相互独立．记X 为这两人中观看升旗的时刻早于7：00的人数，求X 的分布列和数学期望E （X ）．（Ⅲ）将表1和表2中的升旗时刻化为分数后作为样本数据（如7：31化为）．记表2中所有升旗时刻对应数据的方差为s 2，表1和表2中所有升旗时刻对应数据的方差为，判断s 2与的大小．（只需写出结论）17．（14分）如图，三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，AB ⊥平面AA 1C 1C ，AA 1=AB=AC=2，∠A 1AC=60°．过AA 1的平面交B 1C 1于点E ，交BC 于点F ． （Ⅰ）求证：A 1C ⊥平面ABC 1；（Ⅱ）求证：四边形AA 1EF 为平行四边形； （Ⅲ）若，求二面角B ﹣AC 1﹣F 的大小．18．（13分）已知函数f（x）=e ax•sinx﹣1，其中a＞0．（Ⅰ）当a=1时，求曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；（Ⅱ）证明：f（x）在区间[0，π]上恰有2个零点．19．（14分）已知椭圆过点A（2，0），且离心率为．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设直线与椭圆C交于M，N两点．若直线x=3上存在点P，使得四边形PAMN是平行四边形，求k的值．20．（13分）数列A n：a1，a2，…，a n（n≥4）满足：a1=1，a n=m，a k+1﹣a k=0或1（k=1，2，…，n﹣1）．对任意i，j，都存在s，t，使得a i+a j=a s+a t，其中i，j，s，t∈{1，2，…，n}且两两不相等．（Ⅰ）若m=2，写出下列三个数列中所有符合题目条件的数列的序号；①1，1，1，2，2，2；②1，1，1，1，2，2，2，2；③1，1，1，1，1，2，2，2，2（Ⅱ）记S=a1+a2+…+a n．若m=3，证明：S≥20；（Ⅲ）若m=2018，求n的最小值．2017-2018学年北京市西城区高三（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．（5分）若集合A={x|0＜x＜3}，B={x|﹣1＜x＜2}，则A∪B=（）A．{x|﹣1＜x＜3}B．{x|﹣1＜x＜0}C．{x|0＜x＜2}D．{x|2＜x＜3}【解答】解：∵集合A={x|0＜x＜3}，B={x|﹣1＜x＜2}，∴A∪B={x|﹣1＜x＜3}．故选：A．2．（5分）下列函数中，在区间（0，+∞）上单调递增的是（）A．y=﹣x+1B．y=|x﹣1|C．y=sinx D．【解答】解：对于A，函数在R递减，不合题意；对于B，函数在（0，1）递减，不合题意；对于C，函数在R无单调性，不合题意；对于D，函数在（0，+∞）上单调递增，符合题意；故选：D．3．（5分）执行如图所示的程序框图，输出的S值为（）A．2B．6C．30D．270【解答】解：模拟程序的运行，可得S=1，k=2满足条件k≤5，执行循环体，S=2，k=3满足条件k≤5，执行循环体，S=6，k=5满足条件k≤5，执行循环体，S=30，k=9不满足条件k≤5，退出循环，输出S的值为30．故选：C．4．（5分）已知M为曲线C：（θ为参数）上的动点．设O为原点，则|OM|的最大值是（）A．1B．2C．3D．4【解答】解：曲线C：（θ为参数）转化为：（x﹣3）2+y2=1，则：圆心（3，0）到原点（0.0）的距离为3，故点M到原点的最大值为：3+1=4．故选：D．5．（5分）实数x，y满足，则2x﹣y的取值范围是（）A．[0，2]B．（﹣∞，0]C．[﹣1，2]D．[0，+∞）【解答】解：由实数x，y满足作出可行域如图，由图形可知C（1，2），令z=2x﹣y得：y=2x﹣z，显然直线过C（1，2）时，z最小，z的最小值是0，2x﹣y的取值范围是：[0，+∞）．故选：D．6．（5分）设，是非零向量，且，不共线．则“||=||”是“||=|2 |”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：由“||=|2|”平方得“||2+4•+4||2=4||2+4•+||2，即“||2=||2”，即“||=||”，反之也成立，即“||=||”是“||=|2|”充要条件，故选：C．7．（5分）已知A，B是函数y=2x的图象上的相异两点．若点A，B到直线的距离相等，则点A，B的横坐标之和的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1）B．（﹣∞，﹣2）C．（﹣1，+∞）D．（﹣2，+∞）【解答】解：不妨设A（x1，y1），B（x2，y2），（x1＞x2），可得⇒，利用均值不等式1⇒2∴x1+x2＜﹣2，故选：B．8．（5分）在标准温度和大气压下，人体血液中氢离子的物质的量的浓度（单位mol/L，记作[H+]）和氢氧根离子的物质的量的浓度（单位mol/L，记作[OH﹣]）的乘积等于常数10﹣14．已知pH值的定义为pH=﹣lg[H+]，健康人体血液的pH值保持在7.35～7.45之间，那么健康人体血液中的可以为（参考数据：lg2≈0.30，lg3≈0.48）（）A．B．C．D．【解答】解：由题意可得pH=﹣lg[H+]∈（7.35，7.45），且[H+]•[OH﹣]）=10﹣14，∴lg=lg=lg[H+]2+14=2lg[H+]+14，∵7.35＜﹣lg[H+]＜7.45，∴﹣7.45＜lg[H+]＜﹣7.35，∴﹣0.9＜2lg[H+]+14＜﹣0.7，即﹣0.9＜lg＜﹣0.7，∵lg=﹣lg2≈0.30，故A错误，lg=﹣lg3≈0.48，故B错误，lg=﹣lg6=﹣（lg2+lg3）≈﹣0.78，故C正确，lg=﹣1，故D错误，故选：C．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9．（5分）在复平面内，复数对应的点的坐标为（﹣1，1）．【解答】解：∵，∴复数在复平面上对应的点的坐标是（﹣1，1）故答案为：（﹣1，1）10．（5分）数列{a n}是公比为2的等比数列，其前n项和为S n．若，则a n=2n﹣3；S5=．【解答】解：根据题意，数列{a n}是公比为2的等比数列，若，则a1==，则a n=a1×q n﹣1=2n﹣3，S5===故答案为：2n﹣3，11．（5分）在△ABC中，a=3，，△ABC的面积为，则c=．【解答】解：△ABC中，a=3，，∴△ABC的面积为absinC=×3×sin=，解得b=1；∴c2=a2+b2﹣2abcosC=32+12﹣2×3×1×cos=13，c=．故答案为：．12．（5分）把4件不同的产品摆成一排．若其中的产品A与产品B都摆在产品C的左侧，则不同的摆法有8种．（用数字作答）【解答】解：根据题意，分2步分析：①，将产品A与产品B全排列，都摆在产品C的左侧，有A22=2种情况，②，三件产品放好后，有4个空位，在其中任选1个，安排最后一件产品，有4种情况，则4间产品有2×4=8种不同的摆法；故答案为：8．13．（5分）从一个长方体中截取部分几何体，得到一个以原长方体的部分顶点为顶点的凸多面体，其三视图如图所示．该几何体的表面积是36．【解答】解：根据三视图可得该几何体是四棱锥P ﹣ABCD ，如图， 底面ABCD 是边长为3的正方形，PA ⊥面ABCD ，PA=4 可得CD ⊥面PAD ，BC ⊥面PAB ， ∴S △PCB =S △PCD =S △PAB =S △PAD =S 四边形ABCD =3×3=9．该几何体的表面积是S=S △PCB +S △PCD +S △PAB +S △PAD +S 四边形ABCD =36．故答案为：3614．（5分）已知函数，若c=0，则f （x ）的值域是[﹣，+∞） ；若f （x ）的值域是，则实数c 的取值范围是 [，1] ．【解答】解：c=0时，f（x）=x2+x=（x+）2﹣，f（x）在[﹣2，﹣）递减，在（﹣，0]递增，可得f（﹣2）取得最大值，且为2，最小值为﹣；当0＜x≤3时，f（x）=递减，可得f（3）=，则f（x）∈[，+∞），综上可得f（x）的值域为[﹣，+∞）；∵函数y=x2+x在区间[﹣2，﹣）上是减函数，在区间（﹣，1]上是增函数，∴当x∈[﹣2，0）时，函数f（x）最小值为f（﹣）=﹣，最大值是f（﹣2）=2；由题意可得c＞0，∵当c＜x≤3时，f（x）=是减函数且值域为[，），当f（x）的值域是[﹣，2]，可得≤c≤1．故答案为：；．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）已知函数．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；（Ⅱ）求f（x）在区间上的最大值．【解答】（本小题满分13分）解：（Ⅰ）因为=[（4分）]=[（5分）]=，[（7分）]所以f（x ）的最小正周期．[（8分）]（Ⅱ）因为，所以．[（10分）]当，即时，[（11分）]f（x ）取得最大值为．[（13分）]16．（13分）已知表1和表2是某年部分日期的天安门广场升旗时刻表．表1：某年部分日期的天安门广场升旗时刻表表2：某年2月部分日期的天安门广场升旗时刻表（Ⅰ）从表1的日期中随机选出一天，试估计这一天的升旗时刻早于7：00的概率；（Ⅱ）甲，乙二人各自从表2的日期中随机选择一天观看升旗，且两人的选择相互独立．记X 为这两人中观看升旗的时刻早于7：00的人数，求X 的分布列和数学期望E （X ）．（Ⅲ）将表1和表2中的升旗时刻化为分数后作为样本数据（如7：31化为）．记表2中所有升旗时刻对应数据的方差为s 2，表1和表2中所有升旗时刻对应数据的方差为，判断s 2与的大小．（只需写出结论）【解答】（本小题满分13分）解：（Ⅰ）记事件A 为“从表1的日期中随机选出一天，这一天的升旗时刻早于7：00”，（1分）在表1的20个日期中，有15个日期的升旗时刻早于7：00， 所以．（3分）（Ⅱ）X 可能的取值为0，1，2．（4分）记事件B 为“从表2的日期中随机选出一天，这一天的升旗时刻早于7：00”， 则，．（5分）， ，．（8分）所以X 的分布列为：．（10分）注：学生得到X～，所以，同样给分．（Ⅲ）．（13分）17．（14分）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB⊥平面AA1C1C，AA1=AB=AC=2，∠A1AC=60°．过AA1的平面交B1C1于点E，交BC于点F．（Ⅰ）求证：A1C⊥平面ABC1；（Ⅱ）求证：四边形AA1EF为平行四边形；（Ⅲ）若，求二面角B﹣AC1﹣F的大小．【解答】（本小题满分14分）（Ⅰ）证明：因为AB⊥平面AA1C1C，所以A1C⊥AB．[（1分）]因为三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1=AC，所以四边形AA1C1C为菱形，所以A1C⊥AC1．[（3分）]所以A1C⊥平面ABC1．[（4分）]（Ⅱ）证明：因为A1A∥B1B，A1A⊄平面BB1C1C，所以A1A∥平面BB1C1C．[（5分）]因为平面AA1EF∩平面BB1C1C=EF，所以A1A∥EF．[（6分）]因为平面ABC∥平面A1B1C1，平面AA1EF∩平面ABC=AF，平面AA1EF∩平面A1B1C1=A1E，所以A1E∥AF．[（7分）]所以四边形AA1EF为平行四边形．[（8分）]（Ⅲ）解：在平面AA1C1C内，过A作Az⊥AC．因为AB⊥平面AA1C1C，如图建立空间直角坐标系A﹣xyz．[（9分）]由题意得，A（0，0，0），B（2，0，0），C（0，2，0），，．因为，所以==（﹣，，0），所以．由（Ⅰ）得平面ABC1的法向量为=（0，﹣1，﹣）．设平面AC1F的法向量为=（x，y，z），则，即，令y=1，则x=﹣2，，所以=（﹣2，1，﹣）．[（11分）]所以|cos|==．[（13分）]由图知二面角B﹣AC1﹣F的平面角是锐角，所以二面角B﹣AC1﹣F的大小为45°．[（14分）]18．（13分）已知函数f（x）=e ax•sinx﹣1，其中a＞0．（Ⅰ）当a=1时，求曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；（Ⅱ）证明：f（x）在区间[0，π]上恰有2个零点．【解答】（本小题满分13分）（Ⅰ）解：当a=1时，f（x）=e x•sinx﹣1，所以f'（x）=e x（sinx+cosx）．[（2分）]因为f'（0）=1，f（0）=﹣1，[（4分）]所以曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为y=x﹣1．[（5分）]（Ⅱ）证明：f'（x）=e ax（asinx+cosx）．[（6分）]由f'（x）=0，得asinx+cosx=0．[（7分）]因为a＞0，所以．[（8分）]当时，由asinx+cosx=0，得．所以存在唯一的，使得．[（9分）]f（x）与f'（x）在区间（0，π）上的情况如下：所以f（x）在区间（0，x0）上单调递增，在区间（x0，π）上单调递减．[（11分）]因为，[（12分）]且f（0）=f（π）=﹣1＜0，所以f（x）在区间[0，π]上恰有2个零点．[（13分）]19．（14分）已知椭圆过点A（2，0），且离心率为．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设直线与椭圆C交于M，N两点．若直线x=3上存在点P，使得四边形PAMN是平行四边形，求k的值．【解答】（本小题满分14分）解：（Ⅰ）由题意得a=2，，所以．[（2分）]因为a2=b2+c2，[（3分）]所以b=1，[（4分）]所以椭圆C的方程为．[（5分）]（Ⅱ）若四边形PAMN是平行四边形，则PA∥MN，且|PA|=|MN|．[（6分）]所以直线PA的方程为y=k（x﹣2），所以P（3，k），．[（7分）]设M（x1，y1），N（x2，y2）．由得，[（8分）]由△＞0，得．且，．[（9分）]所以．=．[（10分）]因为|PA|=|MN|，所以．整理得16k4﹣56k2+33=0，[（12分）]解得，或．[（13分）]经检验均符合△＞0，但时不满足PAMN是平行四边形，舍去．所以，或．[（14分）]20．（13分）数列A n：a1，a2，…，a n（n≥4）满足：a1=1，a n=m，a k+1﹣a k=0或1（k=1，2，…，n﹣1）．对任意i，j，都存在s，t，使得a i+a j=a s+a t，其中i，j，s，t∈{1，2，…，n}且两两不相等．（Ⅰ）若m=2，写出下列三个数列中所有符合题目条件的数列的序号；①1，1，1，2，2，2；②1，1，1，1，2，2，2，2；③1，1，1，1，1，2，2，2，2（Ⅱ）记S=a1+a2+…+a n．若m=3，证明：S≥20；（Ⅲ）若m=2018，求n的最小值．【解答】（本小题满分13分）解：（Ⅰ）∵数列A n：a1，a2，…，a n（n≥4）满足：a1=1，a n=2，a k+1﹣a k=0或1（k=1，2，…，n﹣1）．对任意i，j，都存在s，t，使得a i+a j=a s+a t，其中i，j，s，t∈{1，2，…，n}且两两不相等．∴在①中，1，1，1，2，2，2，不符合题目条件；在②中，1，1，1，1，2，2，2，2，符合题目条件；在③中，1，1，1，1，1，2，2，2，2，符合题目条件．（3分）注：只得到②或只得到③给（1分），有错解不给分．证明：（Ⅱ）当m=3时，设数列A n中1，2，3出现频数依次为q1，q2，q3，由题意q i≥1（i=1，2，3）．①假设q1＜4，则有a1+a2＜a s+a t（对任意s＞t＞2），与已知矛盾，所以q1≥4．同理可证：q3≥4．（5分）②假设q2=1，则存在唯一的k∈{1，2，…，n}，使得a k=2．那么，对∀s，t，有a1+a k=1+2≠a s+a t（k，s，t两两不相等），与已知矛盾，所以q2≥2．（7分）综上：q1≥4，q3≥4，q2≥2，所以．（8分）解：（Ⅲ）设1，2，…，2018出现频数依次为q1，q2，…，q2018．同（Ⅱ）的证明，可得q1≥4，q2018≥4，q2≥2，q2017≥2，则n≥2026．取q1=q2018=4，q2=q2017=2，q i=1，i=3，4，5， (2016)得到的数列为：B n：1，1，1，1，2，2，3，4，…，2015，2016，2017，2017，2018，2018，2018，2018．（10分）下面证明B n满足题目要求．对∀i，j∈{1，2，…，2026}，不妨令a i≤a j，①如果a i=a j=1或a i=a j=2018，由于q1=4，q2018=4，所以符合条件；②如果a i=1，a j=2或a i=2017，a j=2018，由于q1=4，q2018=4，q2=2，q2017=2，所以也成立；③如果a i=1，a j＞2，则可选取a s=2，a t=a j﹣1；同样的，如果a i＜2017，a j=2018，则可选取a s=a i+1，a t=2017，使得a i+a j=a s+a t，且i，j，s，t两两不相等；④如果1＜a i≤a j＜2018，则可选取a s=a i﹣1，a t=a j+1，注意到这种情况每个数最多被选取了一次，因此也成立．综上，对任意i，j，总存在s，t，使得a i+a j=a s+a t，其中i，j，s，t∈{1，2，…，n}且两两不相等．因此B n满足题目要求，所以n的最小值为2026．（13分）第21页（共21页）。
北京市西城区2018-2019学年度第一学期期末试卷高三数学(理科)(解析版)
北京市西城区2018-2019学年度第一学期期末试卷高三数学（理科）一、选择题（本大题共8小题，共40.0分）1.已知集合，，那么A. 2，B. 0，C.D.【答案】B【解析】解：集合，，0，．故选：B．先求出集合A，B，由此能求出．本题考查交集的求法，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2.在等比数列中，若，，则A. 10B. 16C. 24D. 32【答案】D【解析】解：等比数列中，若，，则，故选：D．根据等比数列的性质即可求出．本题考查了等比数列的性质，考查了运算和求解能力，属于基础题3.一个四棱锥的三视图如图所示，那么这个四棱锥最长棱的棱长为A. B. C. D.【答案】C【解析】解：由三视图可知：该几何体如图所示，底面ABCD，，底面是一个直角梯形，其中，，，．可知其最长棱长为．故选：C．由三视图可知：该几何体如图所示，底面ABCD，，底面是一个直角梯形，其中，，，即可得出．本题考查了四棱锥的三视图的有关计算，属于基础题．4.在极坐标系中，点到直线的距离等于A. 1B. 2C. 3D.【答案】A【解析】解：在极坐标系中，点，，，点P的直角坐标方程为，直线，直线的直角坐标方程为，点到直线的距离．故选：A．求出点P的直角坐标方程为，直线的直角坐标方程为，由此能求出点到直线的距离．本题考查点到直线的距离的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．5.在平面直角坐标系xOy中，点，点B在圆上，则的最大值为A. 3B.C.D. 4【答案】C【解析】解：，故选：C．根据向量减法的三角形法则转化为求，再根据两边之和大于等于第三边可得最大值．本题考查了直线与圆的位置关系，属中档题．6.设M，，，则“”是“”的A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】解：当，则为减函数，又，所以，可得，即“”是“”的充分条件，由“”不能推出“”，故由“”不能推出“”，即“”是“”的不必要条件，即即“”是“”的充分不必要条件，故选：A．由，则为减函数，可得“”的充要条件为：，再判断即可．本题考查了对数函数的增减性及充分必要条件，属简单题．7.已知函数，，则A. 曲线不是轴对称图形B. 曲线是中心对称图形C. 函数是周期函数D. 函数最大值为【答案】D【解析】解：根据题意，依次分析选项：对于A，函数，为轴对称图形，且其中一条对称轴为，，为轴对称图形，且其对称轴为，故是轴对称图形，且其对称轴为，A错误；对于B，，不是中心对称图形，则曲线不是中心对称图形，B错误；对于C，不是周期函数，不是周期函数，C错误；对于D，，当时，取得最小值，而，当时，取得最大值1，则函数最大值为；D正确；故选：D．根据题意，依次分析选项，综合即可得答案．本题考查函数的对称性、周期性和最值，关键掌握函数的性质，属于基础题．8.一个国际象棋棋盘由个方格组成，其中有一个小方格因破损而被剪去破损位置不确定“L”形骨牌由三个相邻的小方格组成，如图所示现要将这个破损的棋盘剪成数个“L”形骨牌，则A. 至多能剪成19块“L”形骨牌B. 至多能剪成20块“L”形骨牌C. 一定能剪成21块“L”形骨牌D. 前三个答案都不对【答案】C【解析】解：由下图的一个图形能剪成2块“L”形骨牌，在个国际象棋棋盘由个方格组成，其中有一个小方格因破损而被剪去破损位置不确定，共包含有10个这样的能剪成2块“L”形骨牌的图形，且包含一个田字图形，这个田字图形能剪成1块“L”形骨牌，故要将这个破损的棋盘剪成数个“L”形骨牌，一定能剪成21块“L”形骨牌．故选：C．由右图的一个图形能剪成2块“L”形骨牌，在个国际象棋棋盘由个方格组成，其中有一个小方格因破损而被剪去破损位置不确定，共包含有10个这样的能剪成2块“L”形骨牌的图形，且包含一个田字图形，这个田字图形能剪成1块“L”形骨牌，由此能这个破损的棋盘剪成数个“L”形骨牌，一定能剪成“L”形骨牌的块数．本题考查满足条件的“L”形骨牌个数的求法，考查简单的计数问题等基础知识，考查化归与转化思想、数形结合思想，考查推理论论能力，是基础题．二、填空题（本大题共6小题，共30.0分）9.复数z满足方程，则______．【答案】【解析】解：由，得，则．故答案为：．把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础题．10.已知角的终边经过点，则______；______．【答案】【解析】解：角的终边经过点，则；，故答案为：；．利用意角的三角函数的定义，诱导公式，求得所求式子的值．本题主要考查任意角的三角函数的定义，诱导公式，属于基础题．11.执行如图所示的程序框图，若输入的，则输出数据的总个数为______．【答案】6【解析】解：模拟程序的运行，可得满足条件，执行循环体，，输出n的值为3，满足条件，执行循环体，，输出n的值为7，满足条件，执行循环体，，输出n的值为15，满足条件，执行循环体，，输出n的值为31，满足条件，执行循环体，，输出n的值为63，满足条件，执行循环体，，输出n的值为127，此时，不满足条件，退出循环，结束．可得输出数据的总个数为6．故答案为：6．由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量n的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．12.设x，y满足约束条件则的取值范围是______．【答案】【解析】解：根据x，y满足约束条件作出可行域，如图1所示阴影部分．作出直线l：，将直线l向上平移至过点时，取得最小值：．则的取值范围是．故答案为：．作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，结合数形结合即可得到结论．本题主要考查线性规划的应用本题先正确的作出不等式组表示的平面区域，再结合目标函数的几何意义进行解答是解决本题的关键．13.能说明“若定义在R上的函数满足，则在区间上不存在零点”为假命题的一个函数是______．【答案】【解析】解：可举函数，可得，，即有，但在内存在零点1，可说明“若定义在R上的函数满足，则在区间上不存在零点”为假命题．故答案为：．可考虑函数，计算，但在内存在零点1．本题考查命题的真假判断，考查函数的零点问题，考查判断能力和推理能力，属于基础题．14.设双曲线：的左焦点为F，右顶点为若在双曲线C上，有且只有2个不同的点P使得成立，则实数的取值范围是______．【答案】【解析】解：双曲线：的左焦点为，右顶点为设，可得：，推出，，，，可得，，如图：当：时，在双曲线C上，有且只有2个不同的点P使得成立，故答案为：．设出P的坐标，求出双曲线：的左焦点为F，右顶点为利用推出的表达式，通过二次函数的性质，转化求解即可．本题考查双曲线的简单性质的应用，函数的最值的求法，考查数形结合以及转化思想的应用．三、解答题（本大题共6小题，共80.0分）15.在中，，，．Ⅰ求的值；Ⅱ试比较与的大小．【答案】本题满分为13分解：Ⅰ，，．由正弦定理可得：，分；分Ⅱ，，可得：，分，，分，分，，分，又函数在上单调递减，且B，，分【解析】Ⅰ由已知利用正弦定理，二倍角的正弦函数公式即可求得的值．Ⅱ利用同角三角函数基本关系式可求，利用二倍角公式可求，进而可求的值，根据三角形内角和定理，两角和的余弦函数公式可求的值，由于，根据余弦函数的图象和性质可求．本题主要考查了正弦定理，二倍角的正弦函数公式，同角三角函数基本关系式，三角形内角和定理，两角和的余弦函数公式，余弦函数的图象和性质在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．16.如图，在三棱柱中，侧面为正方形，M，N分别是，AC的中点，平面BCM．Ⅰ求证：平面平面；Ⅱ求证：平面BCM；Ⅲ若是边长为2的菱形，求直线与平面所成角的正弦值．【答案】证明：Ⅰ平面BCM，平面BCM，，正方形，，，平面，平面，平面平面．Ⅱ设BC中点为Q，连结NQ，MQ，，N分别是，AC的中点，，且，又，，，，四边形为平行四边形，，平面BCM，平面BCM，平面BCM．解：Ⅲ由Ⅰ知BA，BM，BC两两互相垂直，以B为原点，BA，BM，BC分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，是边长为2的菱形，M为的中点，且，，0，，0，，，0，，，，，0，，，0，，，设平面的法向量y，，则，令，则，设直线与平面所成角为，则．直线与平面所成角的正弦值为．【解析】Ⅰ推导出，，从而平面，由此能证明平面平面．Ⅱ设BC中点为Q，连结NQ，MQ，推导出四边形为平行四边形，从而，由此能证明平面BCM．Ⅲ以B为原点，BA，BM，BC分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线与平面所成角的正弦值．本题考查面面垂直、线面平行的证明，考查线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．17.为保障食品安全，某地食品监管部门对辖区内甲、乙两家食品企业进行检查，分别从这两家企业生产的某种同类产品中随机抽取了100件作为样本，并以样本的一项关键质量指标值为检测依据已知该质量指标值对应的产品等级如下：根据质量指标值的分组，统计得到了甲企业的样本频率分布直方图和乙企业的样本频数分布表如下面表，其中．Ⅰ现从甲企业生产的产品中任取一件，试估计该件产品为次品的概率；Ⅱ为守法经营、提高利润，乙企业将所有次品销毁，并将一、二、三等品的售价分别定为120元、90元、60元一名顾客随机购买了乙企业销售的2件该食品，记其支付费用为X元，用频率估计概率，求X的分布列和数学期望；Ⅲ根据图表数据，请自定标准，对甲、乙两企业食品质量的优劣情况进行比较．【答案】解：Ⅰ由，解得，所以甲企业的样本中次品的频率为，即从甲企业生产的产品中任取一件，该件产品为次品的概率是；Ⅱ由图表知，乙企业在100件样本中合格品有96件，则一等品的概率为，二等品的概率为，三等品的概率为，由题意知，随机变量X的可能取值为：120，150，180，210，240；且，，，，，随机变量X的分布列为：所以X的数学期望为；Ⅲ答案不唯一，只要言之有理便可得分，参考如下；以产品的合格率非次品的占有率为标准，对甲、乙两家企业的食品质量进行比较，由图表可知，甲企业产品的合格率约为，乙企业产品的合格率约为，即乙企业产品的合格率高于甲企业产品的合格率，所以认为乙企业的食品生产质量更高．以产品次品率为标准，对甲、乙两家企业的食品质量进行比较也可得出结论．以产品中一等品的概率为标准，对甲、乙两家企业的食品质量进行比较，根据图表可知，甲企业产品中一等品的概率约为，乙企业产品中一等品的概率约为，即一企业产品中一等品的概率高于甲企业产品中一等品的概率，所以乙企业的食品生产质量更高．根据第Ⅱ问的定价，计算购买一件产品费用的数学期望，从而比较甲、乙两个企业产品的优劣．【解析】Ⅰ由频率和为1列方程求出a的值，再计算甲企业的样本中次品的频率；Ⅱ由题意知随机变量X的可能取值，计算对应的概率值，写出X的分布列，计算数学期望；Ⅲ答案不唯一，只要言之有理便可得分，可以参考产品的合格率为标准，以产品次品率为标准，以产品中一等品的概率为标准，根据第Ⅱ问的定价为标准等．本题考查了离散型随机变量的分布列与数学期望应用问题，是中档题．18.已知函数，其中．Ⅰ如果曲线与x轴相切，求a的值；Ⅱ若，证明：；Ⅲ如果函数在区间上不是单调函数，求a的取值范围．【答案】解：求导得曲线与x轴相切，此切线的斜率为0．由，解得，又由曲线与x轴相切，得解得．证明由题意，，令函数求导，得由，得，当x变化时，与的变化情况如下表所示：函数在上单调递增，在单调递减，故当时，，任给，，即，Ⅲ由题意可得，，，当时，在上恒成立，函数单调递增，当时，在上恒成立，函数单调递减，在上恒成立，或在上恒成立，在上恒成立，或在上恒成立，令，，由，解得，当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增，，，，或，或，函数在区间上不是单调函数，，故a的取值范围为．【解析】Ⅰ先求导，再根据导数的几何意义即可求出，Ⅱ构造函数，根据导数和函数单调性的关系以及最值得关系，即可证明Ⅲ先求出函数在上是单调函数a的范围即可，求导，分离参数构造函数，求出函数的最值即可．本题主要考查了利用导数研究函数的单调性和最值，以及导数的几何意义，同时考查了运算求解的能力，属于难题．19.已知椭圆C：的离心率为，左、右顶点分别为A，B，点M是椭圆C上异于A，B的一点，直线AM与y轴交于点P．Ⅰ若点P在椭圆C的内部，求直线AM的斜率的取值范围；Ⅱ设椭圆C的右焦点为F，点Q在y轴上，且，求证：为定值．【答案】解：Ⅰ由题意可得，，，，椭圆的方程为，设，由点P在椭圆C的内部，得，又，直线AM的斜率，又M为椭圆C上异于A，B的一点，，，证明Ⅱ由题意，，其中，则，直线AM的方程为，令，得点P的坐标为，，直线AQ的方程为，令，得点Q的坐标为，由，，，，即，故为定值【解析】Ⅰ根据题意可得得，由，解得即可出椭圆的方程，再根据点在其内部，即可线AM的斜率的取值范围，Ⅱ题意，，可得直线AM的方程，求出点P的坐标，再根据直线平行，求出直线AQ的方程，求出Q的坐标，根据向量的数量积即可求出，即可证明．本题考查直线与椭圆的位置关系的应用，考查转化思想以及计算能力，属于中档题20.设正整数数列A：，，，满足，其中如果存在3，，，使得数列A中任意k项的算术平均值均为整数，则称A为“k 阶平衡数列”．Ⅰ判断数列2，4，6，8，10和数列1，5，9，13，17是否为“4阶平衡数列”？Ⅱ若N为偶数，证明：数列A：1，2，3，，N不是“k阶平衡数列”，其中3，，．Ⅲ如果，且对于任意3，，，数列A均为“k阶平衡数列”，求数列A中所有元素之和的最大值．【答案】解：Ⅰ由不为整数，可得数列2，4，6，8，10不是4阶平衡数列；数列1，5，9，13，17为首项为1，公差为4的等差数列，则数列1，5，9，13，17是4阶平衡数列；Ⅱ证明：若N为偶数，设，考虑1，2，3，，k这k项，其和为．所以这k项的算术平均值为：，此数不是整数；若k为奇数，设，，考虑1，2，3，4，5，，；这k项，其和为，所以这k项的算术平均数为：，此数不是整数；故数列A，1，2，3，4，，N不是“k阶平衡数列”，其中3，4，；Ⅲ在数列A中任意两项，，，对于任意3，4，5，，，在A中任意取两项，，相异的项，并设这项和为由题意可得，都是k的倍数，即，，q为整数，可得，即数列中任意两项之差都是k的倍数，3，，，因此所求数列A的任意两项之差都是2，3，，的倍数，如果数列A的项数超过8，那么，，，均为2，3，4，5，6，7的倍数，即，，，均为420的倍数，为2，3，4，5，6，7的最小公倍数，，即，这与矛盾，故数列A的项数至多7项．数列A的项数为7，那么，，，均为2，3，4，5，6的倍数，即，，，均为60的倍数，为2，3，4，5，6的最小公倍数，又，且，所以，，，，所以当且仅当，取得最大值12873；验证可得此数列为“k阶平衡数列”，3，，，如果数列的项数小于或等于6，由，可得数列中所有项的之和小于或等于，综上可得数列A中所有元素之和的最大值为12873．【解析】Ⅰ由不为整数，数列1，5，9，13，17为等差数列，结合新定义即可得到结论；Ⅱ讨论k为偶数或奇数，结合新定义即可得证；Ⅲ在数列A中任意两项，，，作差可得数列中任意两项之差都是k的倍数，3，，，讨论数列A的项数超过8，推得数列A的项数至多7项讨论数列A的项数为7，数列的项数小于或等于6，奇数可得所求最大值．本题考查新定义的理解和运用，考查分类讨论思想和化简运算能力、推理能力，属于难题．。
20181月北京市西城区高三年级数学期末理科数学试题及答案解析
北京市西城区2017 — 2018学年度第一学期期末试卷高三数学（理科） 2018.1第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、 选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．若集合{|03}A x x =<<，{|12}B x x =-<<，则A B =（A ）{|13}x x -<< （B ）{|10}x x -<< （C ）{|02}x x <<（D ）{|23}x x <<2．下列函数中，在区间(0,)+∞上单调递增的是 （A ）1y x =-+（B ）|1|y x =-（C ）sin y x =（D ）12y x =3．执行如图所示的程序框图，输出的S 值为 （A ）2 （B ）6 （C ）30 （D ）2704．已知M 为曲线C ：3cos ,sin x y θθ=+⎧⎨=⎩（θ为参数）上的动点．设O 为原点，则OM 的最大值是 （A ）1 （B ）2 （C ）3（D ）45．实数,x y 满足10,10,10,x x y x y -⎧⎪+-⎨⎪-+⎩≥≥≥ 则2x y -的取值范围是（A ）[0,2] （B ）(,0]-∞ （C ）[1,2]- （D ）[0,)+∞6．设,a b 是非零向量，且,a b 不共线．则“||||=a b ”是“|2||2|+=+a b a b ”的 （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件7．已知A ，B 是函数2xy =的图象上的相异两点．若点A ，B 到直线12y =的距离相等， 则点A ，B 的横坐标之和的取值范围是 （A ）(,1)-∞-（B ）(,2)-∞-（C ）(1,)-+∞（D ）(2,)-+∞8．在标准温度和大气压下，人体血液中氢离子的物质的量的浓度（单位mol/L ，记作[H ]+）和氢氧根离子的物质的量的浓度（单位mol/L ，记作[OH ]-）的乘积等于常数1410-．已知pH 值的定义为pH lg[H ]+=-，健康人体血液的pH 值保持在7.35～7.45之间，那么健康人体血液中的[H ][OH ]+-可以为（参考数据：lg20.30≈，lg30.48≈） （A ）12（B ）13（C ）16（D ）110第Ⅱ卷（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分． 9．在复平面内，复数2i1i-对应的点的坐标为____．10．数列{}n a 是公比为2的等比数列，其前n 项和为n S ．若212a =，则n a =____；5S =____．11．在△ABC 中，3a =，3C 2π∠=，△ABC，则 c =____．12．把4件不同的产品摆成一排．若其中的产品A 与产品B 都摆在产品C 的左侧，则不同的摆法有____种．（用数字作答）13．从一个长方体中截取部分几何体，得到一个以原长方体的部分顶点为顶点的凸多面体，其三视图如图所示．该几何 体的表面积是____．14．已知函数2,2,()1,3.x x x c f x c x x ⎧+-⎪=⎨<⎪⎩≤≤≤若0c =，则()f x 的值域是____；若()f x 的值域是1[,2]4-，则实数c 的取值范围是____．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分）已知函数2π()2sin cos(2)3f x x x =-+．（Ⅰ）求()f x 的最小正周期；（Ⅱ）求()f x 在区间π[0,]2上的最大值．16．（本小题满分13分）已知表1和表2是某年部分日期的天安门广场升旗时刻表．表1：某年部分日期的天安门广场升旗时刻表（Ⅰ）从表1的日期中随机选出一天，试估计这一天的升旗时刻早于7:00的概率； （Ⅱ）甲，乙二人各自从表2的日期中随机选择一天观看升旗，且两人的选择相互独立．记X为这两人中观看升旗的时刻早于7:00的人数，求X 的分布列和数学期望()E X ． （Ⅲ）将表1和表2中的升旗时刻化为分数后作为样本数据（如7:31化为31760）．记表2中所有升旗时刻对应数据的方差为2s ，表1和表2中所有升旗时刻对应数据的方差为2*s ，判断2s 与2*s 的大小．（只需写出结论）17．（本小题满分14分）如图，三棱柱111ABC A B C -中，AB ⊥平面11AA C C ，12AA AB AC ===，160A AC ︒∠=.过1AA 的平面交11B C 于点E ，交BC 于点F . （Ⅰ）求证：1A C ⊥平面1ABC ；（Ⅱ）求证：四边形1AA EF 为平行四边形； （Ⅲ）若23BF BC =，求二面角1B AC F --的大小.18．（本小题满分13分）已知函数()e sin 1axf x x =⋅-，其中0a >．（Ⅰ）当1a =时，求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程； （Ⅱ）证明：()f x 在区间[0,π]上恰有2个零点．19．（本小题满分14分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>过点(2,0)A ．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设直线y kx =C 交于,M N 两点．若直线3x =上存在点P ，使得四边形PAMN 是平行四边形，求k 的值．20．（本小题满分13分）数列n A ：12,,,(4)n a a a n ≥满足：11a =，n a m =，10k k a a +-=或1(1,2,,1)k n =-．对任意,i j ，都存在,s t ，使得i j s t a a a a +=+，其中,,,{1,2,,}i j s t n ∈且两两不相等．（Ⅰ）若2m =，写出下列三个数列中所有符合题目条件的数列的序号； ① 1,1,1,2,2,2； ② 1,1,1,1,2,2,2,2； ③ 1,1,1,1,1,2,2,2,2 （Ⅱ）记12n S a a a =+++．若3m =，证明：20S ≥；（Ⅲ）若2018m =，求n 的最小值．北京市西城区2017 — 2018学年度第一学期期末高三数学（理科）参考答案及评分标准2018.1一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.1．A 2．D 3．C 4．D 5．D 6．C 7．B 8．C二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9．(1,1)- 10．32n -，3141112．8 13．36 14．1[,)4-+∞；1[,1]2注：第10，14题第一空2分，第二空3分.三、解答题：本大题共6小题，共80分. 其他正确解答过程，请参照评分标准给分. 15．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）因为2π()2sin cos(2)3f x x x =-+ππ1cos2(cos2cos sin 2sin )33x x x =--⋅-⋅ [ 4分]32cos212x x =-+[ 5分]π)13x =-+， [ 7分]所以()f x 的最小正周期 2ππ2T ==． [8分] （Ⅱ）因为 π02x ≤≤， 所以 ππ2π2333x --≤≤． [10分] 当 ππ232x -=，即5π12x =时， [11分]()f x 1． [13分]16．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）记事件A 为“从表1的日期中随机选出一天，这一天的升旗时刻早于7:00”，[ 1分]在表1的20个日期中，有15个日期的升旗时刻早于7:00，所以 153(A)204P ==．[ 3分] （Ⅱ）X 可能的取值为0,1,2． [ 4分] 记事件B 为“从表2的日期中随机选出一天，这一天的升旗时刻早于7:00”，则 51(B)153P ==，2(B)1(B)3P P =-=． [ 5分] 4(0)(B)(B)9P X P P ==⋅=； 12114(1)C ()(1)339P X ==-=； 1(2)(B)(B)9P X P P ==⋅=． [ 8分] 所以 X 的分布列为：4412()0129993E X =⨯+⨯+⨯=． [10分]注：学生得到X ~1(2,)3B ，所以12()233E X =⨯=，同样给分．（Ⅲ）22*s s <． [13分]17．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）因为 AB ⊥平面11AA C C ，所以 1A C AB ⊥． [ 1分]因为 三棱柱111ABC A B C -中，1AA AC =，所以 四边形11AA C C 为菱形， 所以 11A C AC ⊥． [ 3分]所以 1A C ⊥平面1ABC ． [ 4分] （Ⅱ）因为 11//A A B B ，1A A ⊄平面11BB C C ，所以 1//A A 平面11BB C C ． [ 5分] 因为 平面1AA EF平面11BB C C EF =，所以 1//A A EF ． [ 6分]因为 平面//ABC 平面111A B C ，平面1AA EF平面ABC AF =，平面1AA EF平面1111A B C A E =，所以 1//A E AF ． [ 7分] 所以 四边形1AA EF 为平行四边形． [ 8分] （Ⅲ）在平面11AA C C 内，过A 作Az AC ⊥．因为 AB ⊥平面11AA C C ，如图建立空间直角坐标系A xyz -． [ 9分] 由题意得，(0,0,0)A ，(2,0,0)B ，(0,2,0)C，1A，1C ．因为23BF BC =，所以 244(,,0)333BF BC −−→−−→==-， 所以 24(,,0)33F ．由（Ⅰ）得平面1ABC的法向量为1(0,1,A C −−→=设平面1AC F 的法向量为(,,)x y z =n ，则10,0,AC AF −−→−−→⎧⋅=⎪⎨⎪⋅=⎩n n 即30,240.33y x y ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩ 令1y =，则2x =-，z = (2,1,=-n ． [11分]所以 111|||cos ,|||||A C A C A C −−→−−→−−→⋅〈〉==n n n [13分] 由图知 二面角1B AC F --的平面角是锐角，所以 二面角1B AC F --的大小为45︒． [14分]18．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）当1a =时，()e sin 1xf x x =⋅-，所以 ()e (sin cos )xf x x x '=+． [ 2分]因为 (0)1f '=，(0)1f =-， [ 4分]所以曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程为1y x =-． [ 5分]（Ⅱ）()e (sin cos )axf x a x x '=+． [ 6分]由 ()0f x '=，得 sin cos 0a x x +=． [ 7分] 因为 0a >，所以π()02f '≠． [ 8分] 当 ππ(0,)(,π)22x ∈时， 由 sin cos 0a x x +=， 得 1tan x a =-．所以 存在唯一的0π(,π)2x ∈， 使得 01tan x a=-． [ 9分] ()f x 与()f x '在区间(0,π)上的情况如下：所以 ()f x 在区间0(0,)x 上单调递增，在区间0(,π)x 上单调递减． [11分]因为π020π()()e 1e 102a f x f >=->-=， [12分]且 (0)(π)10f f ==-<，所以 ()f x 在区间[0,π]上恰有2个零点． [13分]19．（本小题满分14分） 解：（Ⅰ）由题意得 2a =，c e a ==所以 c =． [ 2分] 因为 222a b c =+， [ 3分] 所以 1b =， [ 4分] 所以 椭圆C 的方程为 2214x y +=． [ 5分]（Ⅱ）若四边形PAMN 是平行四边形，则 //PA MN ，且 ||||PA MN =. [ 6分] 所以 直线PA 的方程为(2)y k x =-，所以 (3,)P k ，||PA [ 7分] 设11(,)M x y ，22(,)N x y ．由 2244,y kx x y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩ 得22(41)80k x +++=， [ 8分]由0∆>，得 212k >．且12241x x k +=-+，122841x x k =+． [ 9分]所以 ||MN=． [10分]因为 ||||PA MN =， 所以= 整理得 421656330k k -+=， [12分]解得 k =或 k = [13分]经检验均符合0∆>，但k =PAMN 是平行四边形，舍去．所以 k ，或 2k =． [14分]20．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）②③． [ 3分] 注：只得到 ② 或只得到 ③ 给[ 1分]，有错解不给分．（Ⅱ）当3m =时，设数列n A 中1,2,3出现频数依次为123,,q q q ，由题意1(1,2,3)i q i =≥． ① 假设14q <，则有12s t a a a a +<+（对任意2s t >>），与已知矛盾，所以 14q ≥．同理可证：34q ≥． [ 5分] ② 假设21q =，则存在唯一的{1,2,,}k n ∈，使得2k a =．那么，对,s t ∀，有 112k s t a a a a +=+≠+（,,k s t 两两不相等），与已知矛盾，所以22q ≥． [ 7分]综上：1324,4,2q q q ≥≥≥，所以 3120i i S iq ==∑≥． [ 8分]WORD 整理版分享范文范例 参考指导（Ⅲ）设1,2,,2018出现频数依次为122018,,...,q q q ．同（Ⅱ）的证明，可得120184,4q q ≥≥，220172,2q q ≥≥，则2026n ≥．取12018220174,2q q q q ====，1,3,4,5,,2016i q i == ，得到的数列为： :1,1,1,1,2,2,3,4,,2015,2016,2017,2017,2018,2018,2018,2018n B ． [10分]下面证明n B 满足题目要求．对,{1,2,,2026}i j ∀∈，不妨令i j a a ≤，① 如果1i j a a ==或2018i j a a ==，由于120184,4q q ==，所以符合条件； ② 如果1,2i j a a ==或2017,2018i j a a ==，由于120184,4q q ==，220172,2q q ==， 所以也成立；③ 如果1,2i j a a =>，则可选取2,1s t j a a a ==-；同样的，如果2017,2018i j a a <=， 则可选取1,2017s i t a a a =+=，使得i j s t a a a a +=+，且,,,i j s t 两两不相等； ④ 如果12018i j a a <<≤，则可选取1,1s i t j a a a a =-=+，注意到这种情况每个数最多被选取了一次，因此也成立．综上，对任意,i j ，总存在,s t ，使得i j s t a a a a +=+，其中,,,{1,2,,}i j s t n ∈且两 两不相等．因此n B 满足题目要求，所以n 的最小值为2026． [13分]。
北京市西城区2018 — 2019学年度第一学期期末试卷高三数学理科试题答案
北京市西城区2018 — 2019学年度第一学期期末高三数学（理科）参考答案及评分标准2019.1一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.1．B 2．D 3．C 4．A 5．C 6．A 7．D 8．C 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. 9．1i -- 10．43-；3511． 6 12．[1,)-+∞13．答案不唯一，如2()(1)f x x =-14．(2,0)-注：第10题第一问3分，第二问2分.三、解答题：本大题共6小题，共80分. 其他正确解答过程，请参照评分标准给分. 15．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）在ABC ∆中，由正弦定理sin sin a bA B=， ……………… 2分得3sin A =3sin A = ……………… 4分解得cos A = ……………… 6分（Ⅱ）由(0,π)A ∈，得sin A = ……………… 7分因为2B A =，所以21cos cos22cos 13B A A ==-=. ……………… 8分所以sin B =. ……………… 9分 又因为πA B C ++=，所以co s co s()co s co s s i ns C A B A B A B =-+=-+. ……………… 11分 所以cos cos B C >.又因为函数cos y x =在(0,π)上单调递减，且,(0,π)B C ∈，所以B C ∠<∠. ……………… 13分16．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）因为AB ⊥平面BCM ，BC ⊂平面BCM ，所以AB BC ⊥． ……………… 1分 由正方形11B BCC ，知1BB BC ⊥， 又因为1ABBB B =，所以BC ⊥平面11A ABB ． ……………… 3分 又因为BC ⊂平面11B BCC ，所以平面11B BCC ⊥平面11A ABB ． ……………… 4分 （Ⅱ）设BC 中点Q ，连结NQ MQ ，．因为M ，N 分别是11A B ，AC 的中点， 所以//NQ AB ，且12NQ AB =． 又因为11//AB A B ，且11AB A B =， 所以1//NQ A M ，且1NQ A M =． 所以四边形1A MQN 为平行四边形．所以1//A N MQ ． ……………… 6分 又因为MQ ⊂平面BCM ，1A N ⊄平面BCM ， 所以1//A N 平面BCM ．……………… 8分（Ⅲ）由（Ⅰ）可知BA ，BM ，BC 两两互相垂直，因此以B 为原点，以BA ，BM ，BC 分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系B xyz -，如图所示． ………… 9分因为11A ABB 是边长为2的菱形，M 为11A B 的中点，且11A B BM ⊥， 易得1160BB A ∠=，则(0,0,0)B ，(2,0,0)A，(0,0)M ，(0,0,2)C，10)A，1(1,0)B -，1(12)C -，(1,0,1)N ． ……………… 10分所以1(0,A N −−→=，1(1,0,2)MC −−→=-，1(0)CC −−→=-. 设平面1MCC 的法向量为(,,)n x y z =，x则 110,0,MC CC −−→−−→⎧⋅=⎪⎨⎪⋅=⎩n n即20,0.x z x -+=⎧⎪⎨-=⎪⎩令2y =，则x =，z =2,=n ． ……………… 12分 设直线1A N 与平面1MCC 所成角为α， 则111sin |cos ,|||||A N A N A N α−−→−−→−−→⋅=〈〉=n nn =． 因此直线1A N 与平面1MCC． ……………… 14分17．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）由(0.0200.0220.0280.0420.080)51a +++++⨯=，得0.008a =， …………2分所以甲企业的样本中次品的频率为(0.020)50.14a +⨯=，故从甲企业生产的产品中任取一件,该产品是次品的概率约为0.14. ……… 4分 （Ⅱ）由图表知，乙企业在100件样品中合格品有96件，则一等品的概率为481962=，二等品的概率为18141963+=，三等品的概率为161966=， ……………… 5分由题意，随机变量X 的所有可能取值为：120，150，180，210，240. …… 6分且111(120)6636P X ==⨯=，12111(150)C 369P X ==⨯⨯=， 1211115(180)C 263318P X ==⨯⨯+⨯=，12111(210)C 233P X ==⨯⨯=， 111(240)224P X ==⨯=. ……………… 8分 所以随机变量的分布列为：……………… 9分所以11511()1201501802102402003691834E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=. ………10分 （Ⅲ）答案不唯一，只要言之有理便可得分（下面给出几种参考答案）.（1）以产品的合格率．．．（非次品的占有率）为标准，对甲、乙两家企业的食品质量进行比较. X由图表可知：甲企业产品的合格率约为0.86，乙企业产品的合格率约为0.96，即乙企业产品的合格率高于甲企业产品的合格率，所以可以认为乙企业的食品生产质量更高.（2）以产品次品率．．．为标准对甲、乙两家企业的食品质量进行比较（略）. （3）以产品中一等品的概率为标准，对甲、乙两家企业的食品质量进行比较.根据图表可知，甲企业产品中一等品的概率约为0.4；乙企业产品中一等品的概率约为0.48，即乙企业产品中一等品的概率高于甲企业产品中一等品的概率，所以乙企业的食品生产质量更高.（4）根据第（Ⅱ）问的定价，计算购买一件产品费用的数学期望，进而比较甲、乙两个企业产品的优劣（略）. ……………… 13分18．（本小题满分13分） 解：（Ⅰ）求导，得11()1-'=-=xf x x x， ……………… 1分 因为曲线()y f x =与x 轴相切，所以此切线的斜率为0， ……………… 2分 由()0'=f x ，解得1=x ，又由曲线()y f x =与x 轴相切，得(1)10f a =-+=，解得1=a . ……………… 4分（Ⅱ）由题意，得22()ln ()-+==f x x x ag x x x ， 求导，得32ln 12()-+-'=x x ag x x ， ……………… 5分因为(1,e)x ∈，所以()g x '与()2ln 12h x x x a =-+-的正负号相同.…… 6分 对()h x 求导，得22()1-'=-=x h x x x， 由()0'=h x ，解得2=x ， ……………… 7分 当x 变化时，()h x '与()h x 的变化情况如下表所示：所以()h x 在(1,2)上单调递减，在(2,e)上单调递增. 又因为(1)22h a =-，(e)e 12h a =--，所以min ()(2)32ln 22h x h a ==--； max ()(1)22h x h a ==-. ……………… 9分 如果函数2()()=f xg x x在区间(1,e)上单调递增，则当(1,e)x ∈时，()0≥'g x . 所以()0h x ≥在区间(1,e)上恒成立，即min0()(2)32ln 22h x h a ==--≥，解得3ln 22≤-a ，且当3ln 22=-a 时，()0g x '=的解有有限个，即当函数()g x 在区间(1,)e 上单调递增时，3ln 22≤-a ； ○1 ………… 11分 如果函数2()()=f xg x x 在区间(1,e)上单调递减，则当(1,e)x ∈时，()0≤'g x ， 所以()0h x ≤在区间(1,e)上恒成立，即max 0()(1)22h x h a ==-≤，解得1≥a ，且当1=a 时，()0g x '=的解有有限个，所以当函数()g x 在区间(1,)e 上单调递减时，1≥a . ○2 ………… 12分 因为函数2()()=f xg x x 在区间(1,e)上不是单调函数， 结合○1○2，可得3ln 212-<<a ，所以实数a 的取值范围是3ln 212-<<a . ……………… 13分19．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）由题意，得222c a =-，c a =， ……………… 2分解得2a =，c C 的方程为22142x y +=. ……………… 3分设(0,)P m ，由点P 在椭圆C 的内部，得m < 又因为(2,0)A -，所以直线AM 的斜率0(022AM m m k -==∈+， ……………… 5分 又因为M 是椭圆C 上异于,A B 的一点，所以2((0,)AM k ∈. ……………… 6分（Ⅱ）由题意F ，设00(,)M x y ，其中02x ≠±，则2200142x y +=. 所以直线AM 的方程为00(2)2y y x x =++. ……………… 7分令0x =，得点P 的坐标为002(0,)2y x +. ……………… 8分 因为002MB y k x =-，所以002AQ y k x =-. 所以直线AQ 的方程为00(2)2y y x x =+-. ………………10 分 令0x =，得点Q 的坐标为002(0,)2y x -. 由002()2y FP x =+，002()2y FQ x =- ， ……………… 12分 得 FP FQ ⋅222000220042482044y x y x x +-=+==--， 所以FP FQ ⊥，即90PFQ ∠=，所以PFQ ∠为定值. ……………… 14分20．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）数列2, 4, 6, 8, 10不是4阶平衡数列；数列1, 5, 9, 13, 17是4阶平衡数列. ……………… 3分 （Ⅱ）若k 为偶数，设k =2m ()m *∈N . 考虑1,2,3,,k 这k 项，其和为(1)2k k S +=， 所以这k 项的算术平均值为(1)2122S k m k ++==，此数不是整数. ………… 5分若k 为奇数，设k =2m +1()m *∈N .考虑1,2,3,,1,1k k -+这k 项，其和为(1)12k k S +'=+， 所以这k 项的算术平均值为(1)111221S k m k k m '+=+=+++，此数不是整数.故数列 1,2,3,,A N ：不是“k 阶平衡数列”，其中{2,3,,}k N ∈. ……… 8分（Ⅲ）在数列A 中任取两项,()s t a a s t ≠，对于任意{2,3,,1}k N ∈-，在A 中任取与,s t a a 相异的k -1项，并设这k -1项的和为0S .由题意，得00,s t S a S a ++都是k 的倍数，即00,(,)s t S a pk S a qk p q +=+=∈Z ， 因此()s t a a p q k -=-，即数列中任意两项的差s t a a -都是k 的倍数，其中{2,3,,1}k N ∈-.因此所求数列A 的任意两项之差都是2,3,,1N -的公倍数. ……………… 9分如果数列A 的项数超过8，那么213287,,,a a a a a a ---均为2, 3, 4, 5, 6, 7的倍数，即213287,,,a a a a a a ---均为420的倍数 （注： 420为2, 3, 4, 5, 6, 7的最小公倍数），所以81213287()()()42072940a a a a a a a a -=-+-++->⨯=，所以8129402940a a >+>，这与2019N a ≤矛盾，因此数列A 至多有7项. ……………… 11分 如果数列A 的项数为7，那么213276,,,a a a a a a ---均为2, 3, 4, 5, 6的倍数，即213276,,,a a a a a a ---均为60的倍数（注：60为2, 3, 4, 5, 6的最小公倍数），又因为72019a ≤，且1237a a a a <<<<，所以6201960a -≤，52019260a -⨯≤，，12019660a ⨯≤-，所以1672019(201960)(2019660)12873a a a ++++-++-⨯=≤.当且仅当201960(7)159960i a i i =--=+（其中1,2,,7i =）时，167a a a +++取到最大值12873.验证知此数列为“k 阶平衡数列”，其中{2,3,,}k N ∈.如果数列A 的项数小于或等于6，由2019N a ≤，得数列A 中所有项之和小于或等 于2019612114⨯=.综上可得：数列A 的所有元素之和的最大值为12873. ……………… 13分。
高三数学-2018西城答案 精品
北京市西城区抽样测试高三数学（文科）答案及评分标准2001 .5一、ACDCBCBACC DD 二、（13）1010-；（14）22；（15）1：10；（16）①②⑤. 三、解答题：其它解法仿此给分.（17）解：∵q =1时122na S n =，1na S =偶数项又01>a 显然11112na na ≠q ≠1 ………………………………………………2分 ∴2212121)1(1)1(q q q a S q q a S n n n --==--=偶数项 …………………………………4分 依题意221211)1(111)1(qq q a q q a n n --⋅=-- 解之101=q ……………………………………………………………………6分 又421422143),1(q a a a q q a a a =+=+， ………………………………………8分依题意4212111)1(q a q q a =+，将101=q 代入得101=a …………………10分 n n n a --=⋅=2110)101(10………………………………………………………12分 （18）解：由题设知20,πβαβ<<<==且x b tg x a tga …………………………………4分 ∴xabx a b tg tg tg tg tg +-=+-=-βααβαβ1)( …………………………………………6分 ∵ab xab x x ab x =⋅>>且0,0为定值…………………………………………9分 所以，当且仅当x ab x =即ab x =时，xab x +取得最小值ab 2………11分 此时)(αβ-tg 取最大值ab a b 2- ……………………………………………12分 （19）解：（Ⅰ）证明；已知C C F A E B B E A 1111,⊥⊥于于 F ，∵B B 1∥C C 1，∴F A B B 11⊥ ……………………………………………1分 又A F A E A =⋂11.∴EF A B B 11平面⊥所以，平面111BCC B EF A 平面⊥ ………………………………………3分（Ⅱ）因为1111111111,45C A B A C C A AC A AB A B B A =︒=∠==∠=∠，又2.90111111=︒=∠=∠B A FC A EB A∴E B A Rt 11∆≌F C A Rt 11∆，∴211==F A E A∴E B1F C 1，∴EF =211=C B∴22121EF F A E A =+∴EF A 1∆为等腰直角三角形……5分取EF 的中点N ，连N A 1，则EF N A ⊥1，所以111BCC B N A 平面⊥ ………………………………………………………………6分 所以N A 1为点1A 到平面11BCC B 的距离。
2018届西城区高三理科数学期末试题及答案
北京市西城区2017-2018学年度第一学期期末试卷高三数学（理科）第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、 选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．设集合{|1}A x x =>，集合{2}B a =+，若A B =∅ ，则实数a 的取值范围是（ ） （A ）(,1]-∞- （B ）(,1]-∞ （C ）[1,)-+∞ （D ）[1,)+∞2. 下列函数中，值域为R 的偶函数是（ ）（A ）21y x =+ （B ）e e x x y -=- （C ）lg ||y x = （D ）2y x =3. 设命题p ：“若1sin 2α=，则π6α=”，命题q ：“若a b >，则11a b<”，则（ ） （A ）“p q ∧”为真命题 （B ）“p q ∨”为假命题 （C ）“q ⌝”为假命题 （D ）以上都不对4. 在数列{}n a 中，“对任意的*n ∈N ，212n n n a a a ++=”是“数列{}n a 为等比数列”的（ ） （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件 5. 一个几何体的三视图如图所示，那么这个 几何体的表面积是（ ） （A ）1623+ （B ）1625+ （C ）2023+ （D ）2025+侧(左)视图正(主)视图俯视图221 1开始 4x >输出y 结束否 是 输入xy=12○1 6. 设x ，y 满足约束条件1,3,,x y y m y x +-⎧⎪⎨⎪⎩≤≤≥ 若3z x y =+的最大值与最小值的差为7，则实数m =（ ）（A ）32 （B ）32- （C ）14（D ）14-7. 某市乘坐出租车的收费办法如下：不超过4千米的里程收费12元;超过4千米的里程按每千米2元收费（对于其中不足千米的部分，若其小于0.5千米则不收费，若其大于或等于0.5千米则按1千米收费）；当车程超过4千米时，另收燃油附加费1元.相应系统收费的程序框图如图所示，其中x （单位：千米）为行驶里程，y （单位：元）为所收费用，用[x ]表示不大于x 的最大整数，则图中○1处应填（ ） （A ）12[]42y x =-+（B ）12[]52y x =-+（C ）12[]42y x =++（D ）12[]52y x =++8. 如图，正方形ABCD 的边长为6，点E ，F 分别在边AD ，BC 上，且2DE AE =，2CF BF =.如果对于常数λ，在正方形ABCD 的四条边上，有且只有6个不同的点P 使得=PE PF λ⋅成立，那么λ的取值范围是（ ） （A ）(0,7) （B ）(4,7) （C ）(0,4) （D ）(5,16)-第Ⅱ卷（非选择题 共110分）E FD P C A BB OC A NM二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分． 9. 已知复数z 满足(1i)24i z +=-，那么z =____.10．在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c . 若A B =，3a =，2c =，则cos C =____.11．双曲线C ：221164x y -=的渐近线方程为_____；设12,F F 为双曲线C 的左、右焦点，P 为C 上一点，且1||4PF =，则2||PF =____.12．如图，在ABC ∆中，90ABC ∠= ，3AB =，4BC =，点O 为BC 的中点，以BC 为直径的半圆与AC ，AO 分别相交于点M ，N ，则AN =____；AMMC= ____.13. 现有5名教师要带3个兴趣小组外出学习考察，要求每个兴趣小组的带队教师至多2人，但其中甲教师和乙教师均不能单独带队，则不同的带队方案有____种.（用数字作答）14. 某食品的保鲜时间t （单位：小时）与储藏温度x （单位：C ）满足函数关系60,264, , 0.kx x t x +⎧=⎨>⎩≤ 且该食品在4C的保鲜时间是16小时.已知甲在某日上午10时购买了该食品，并将其遗放在室外，且此日的室外温度随时间变化如图所示. 给出以下四个结论：○1 该食品在6C 的保鲜时间是8小时； ○2 当[6,6]x ∈-时，该食品的保鲜时间t 随着x 增大而逐渐减少； ○3 到了此日13时，甲所购买的食品还在保鲜时间内； ○4 到了此日14时，甲所购买的食品已然过了保鲜时间. 其中，所有正确结论的序号是____.。
最新2019年1月北京市西城区高三数学期末理科数学试题及答案
最新2019年1月北京市西城区高三数学期末理科数学试题及答案高三数学（理科） 2018.1第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、 选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．若集合{|03}A x x =<<，{|12}B x x =-<<，则A B =（A ）{|13}x x -<< （B ）{|10}x x -<< （C ）{|02}x x <<（D ）{|23}x x <<2．下列函数中，在区间(0,)+∞上单调递增的是 （A ）1y x =-+（B ）|1|y x =-（C ）sin y x =（D ）12y x = 3．执行如图所示的程序框图，输出的S 值为 （A ）2 （B ）6 （C ）30 （D ）2704．已知M 为曲线C ：3cos ,sin x y θθ=+⎧⎨=⎩（θ为参数）上的动点．设O 为原点，则OM 的最大值是 （A ）1 （B ）2 （C ）3（D ）45．实数,x y 满足10,10,10,x x y x y -⎧⎪+-⎨⎪-+⎩≥≥≥ 则2x y -的取值范围是（A ）[0,2] （B ）(,0]-∞ （C ）[1,2]- （D ）[0,)+∞6．设,a b 是非零向量，且,a b 不共线．则“||||=a b ”是“|2||2|+=+a b a b ”的 （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件7．已知A ，B 是函数2xy =的图象上的相异两点．若点A ，B 到直线12y =的距离相等，则点A ，B 的横坐标之和的取值范围是 （A ）(,1)-∞-（B ）(,2)-∞-（C ）(1,)-+∞（D ）(2,)-+∞8．在标准温度和大气压下，人体血液中氢离子的物质的量的浓度（单位mol/L ，记作[H ]+）和氢氧根离子的物质的量的浓度（单位mol/L ，记作[OH ]-）的乘积等于常数1410-．已知pH 值的定义为pH lg[H ]+=-，健康人体血液的pH 值保持在7.35～7.45之间，那么健康人体血液中的[H ][OH ]+-可以为（参考数据：lg20.30≈，lg30.48≈）（A ）12（B ）13 （C ）16 （D ）110第Ⅱ卷（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9．在复平面内，复数2i1i -对应的点的坐标为____．10．数列{}n a 是公比为2的等比数列，其前n 项和为n S ．若212a =，则n a =____；5S =____．11．在△ABC 中，3a =，3C 2π∠=，△ABC的面积为，则 c =____．12．把4件不同的产品摆成一排．若其中的产品A 与产品B 都摆在产品C 的左侧，则不同的摆法有____种．（用数字作答）13．从一个长方体中截取部分几何体，得到一个以原长方体的部分顶点为顶点的凸多面体，其三视图如图所示．该几何 体的表面积是____．14．已知函数2,2,()1,3.x x x c f x c x x ⎧+-⎪=⎨<⎪⎩≤≤≤ 若0c =，则()f x 的值域是____；若()f x的值域是1[,2]4-，则实数c 的取值范围是____．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本小题满分13分）已知函数2π()2sin cos(2)3f x x x =-+． （Ⅰ）求()f x 的最小正周期；（Ⅱ）求()f x 在区间π[0,]2上的最大值．16．（本小题满分13分）已知表1和表2是某年部分日期的天安门广场升旗时刻表．表1：某年部分日期的天安门广场升旗时刻表（Ⅰ）从表1的日期中随机选出一天，试估计这一天的升旗时刻早于7:00的概率； （Ⅱ）甲，乙二人各自从表2的日期中随机选择一天观看升旗，且两人的选择相互独立．记X 为这两人中观看升旗的时刻早于7:00的人数，求X 的分布列和数学期望()E X ．（Ⅲ）将表1和表2中的升旗时刻化为分数后作为样本数据（如7:31化为31760）．记表2中所有升旗时刻对应数据的方差为2s ，表1和表2中所有升旗时刻对应数据的方差为2*s ，判断2s 与2*s的大小．（只需写出结论）17．（本小题满分14分）如图，三棱柱111A B CA B C -中，AB ⊥平面11AA C C ，12AA AB AC ===，160A AC ︒∠=.过1AA 的平面交11B C 于点E ，交BC 于点F . （Ⅰ）求证：1A C ⊥平面1ABC ；（Ⅱ）求证：四边形1AA EF 为平行四边形； （Ⅲ）若23BF BC =，求二面角1B AC F --的大小.18．（本小题满分13分）已知函数()e sin 1axf x x =⋅-，其中0a >．（Ⅰ）当1a =时，求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程； （Ⅱ）证明：()f x 在区间[0,π]上恰有2个零点．19．（本小题满分14分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>过点(2,0)A ，且离心率为．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设直线y kx =C 交于,M N 两点．若直线3x =上存在点P ，使得四边形PAMN 是平行四边形，求k 的值．20．（本小题满分13分）数列n A ：12,,,(4)n a a a n ≥满足：11a =，n a m =，10k k a a +-=或1(1,2,,1)k n =-．对任意,i j ，都存在,s t ，使得i j s ta a a a +=+，其中,,,{1,2,,}i j s t n ∈且两两不相等．（Ⅰ）若2m =，写出下列三个数列中所有符合题目条件的数列的序号； ① 1,1,1,2,2,2； ② 1,1,1,1,2,2,2,2； ③ 1,1,1,1,1,2,2,2,2 （Ⅱ）记12n S a a a =+++．若3m =，证明：20S ≥；（Ⅲ）若2018m =，求n 的最小值．北京市西城区2017 — 2018学年度第一学期期末高三数学（理科）参考答案及评分标准2018.1一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.1．A 2．D 3．C 4．D5．D 6．C 7．B 8．C二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. 9．(1,1)- 10．32n -，3141112．8 13．36 14．1[,)4-+∞；1[,1]2注：第10，14题第一空2分，第二空3分.三、解答题：本大题共6小题，共80分. 其他正确解答过程，请参照评分标准给分. 15．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）因为2π()2sin cos(2)3f x x x =-+ππ1cos2(cos2cossin 2sin )33x x x =--⋅-⋅ [ 4分]32cos212x x =-+[ 5分]π)13x =-+，[ 7分]所以()f x 的最小正周期2ππ2T ==． [ 8分]（Ⅱ）因为π02x ≤≤，所以 ππ2π2333x --≤≤． [10分] 当ππ232x -=，即5π12x =时， [11分]()f x 取得最大值为1+． [13分]16．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）记事件A 为“从表1的日期中随机选出一天，这一天的升旗时刻早于7:00”，[ 1分]在表1的20个日期中，有15个日期的升旗时刻早于7:00，所以153(A)204P ==． [ 3分]（Ⅱ）X 可能的取值为0,1,2． [ 4分] 记事件B 为“从表2的日期中随机选出一天，这一天的升旗时刻早于7:00”，则51(B)153P ==，2(B)1(B)3P P =-=． [ 5分]4(0)(B )(B )9P X P P ==⋅=；12114(1)C ()(1)339P X ==-=； 1(2)(B)(B)9P X P P ==⋅=． [ 8分]所以 X 的分布列为：4412()0129993E X =⨯+⨯+⨯=． [10分] 注：学生得到X ~1(2,)3B ，所以12()233E X =⨯=，同样给分． （Ⅲ）22*s s <． [13分]17．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）因为 AB ⊥平面11AA C C ，所以 1A C AB ⊥． [ 1分]因为 三棱柱111ABC A B C -中，1AA AC =，所以 四边形11AA C C 为菱形， 所以 11A C AC ⊥． [ 3分]所以 1A C ⊥平面1ABC ． [ 4分] （Ⅱ）因为11//A A B B，1A A ⊄平面11BB C C ，所以1//A A 平面11BBC C ． [ 5分]因为 平面1AA EF 平面11BB C C EF =，所以1//A A EF． [ 6分]因为 平面//ABC 平面111A B C ，平面1AA EF平面ABC AF =，平面1AA EF平面1111A B C A E =，所以 1//A E AF ． [ 7分] 所以 四边形1AA EF 为平行四边形． [ 8分] （Ⅲ）在平面11AA C C 内，过A 作Az AC ⊥．因为 AB ⊥平面11AA C C ，如图建立空间直角坐标系A xyz -． [ 9分] 由题意得，(0,0,0)A ，(2,0,0)B ，(0,2,0)C，1A，1C ．因为 23BF BC =，所以244(,,0)333BF BC −−→−−→==-， 所以 24(,,0)33F ．由（Ⅰ）得平面1ABC的法向量为1(0,1,A C −−→=设平面1AC F 的法向量为(,,)x y z =n ，则10,0,AC AF −−→−−→⎧⋅=⎪⎨⎪⋅=⎩n n 即30,240.33y x y ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩令1y =，则2x =-，z = (2,1,=-n ． [11分]所以 111|||cos ,|||||A C A C A C −−→−−→−−→⋅〈〉==n n n ． [13分]由图知 二面角1B AC F --的平面角是锐角，所以 二面角1B AC F --的大小为45︒． [14分]18．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）当1a =时，()e sin 1xf x x =⋅-，所以 ()e (sin cos )x f x x x '=+． [ 2分]因为 (0)1f '=，(0)1f =-， [ 4分]所以曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程为1y x =-． [ 5分]（Ⅱ）()e (sin cos )ax f x a x x '=+． [ 6分]由 ()0f x '=，得 sin cos 0a x x +=． [ 7分]因为 0a >，所以π()02f '≠． [ 8分]当ππ(0,)(,π)22x ∈时， 由 sin cos 0a x x +=， 得 1tan x a =-． 所以 存在唯一的0π(,π)2x ∈， 使得01tan x a =-． [ 9分] ()f x 与()f x '在区间(0,π)上的情况如下：所以 ()f x 在区间0(0,)x 上单调递增，在区间0(,π)x 上单调递减． [11分]因为π020π()()e 1e 102a f x f >=->-=， [12分]且 (0)(π)10f f ==-<，所以 ()f x 在区间[0,π]上恰有2个零点． [13分]19．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）由题意得 2a =，c e a ==， 所以c ． [ 2分]因为 222a b c =+， [ 3分]所以 1b =， [ 4分] 所以 椭圆C 的方程为 2214x y +=． [ 5分]（Ⅱ）若四边形PAMN 是平行四边形，则 //PA MN ，且 ||||PA MN =. [ 6分] 所以 直线PA 的方程为(2)y k x =-，所以 (3,)P k，||PA [ 7分] 设11(,)M x y ，22(,)N x y ．由2244,y kx x y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩得22(41)80k x +++=， [ 8分] 由0∆>，得212k >．且12241x x k +=-+，122841x x k =+． [ 9分]所以||MN .=． [10分]因为 ||||PA MN =， 所以=．整理得421656330k k -+=， [12分]解得k =，或2k =±． [13分]经检验均符合0∆>，但k =时不满足PAMN 是平行四边形，舍去．所以k ，或2k =． [14分]20．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）②③． [ 3分]注：只得到 ② 或只得到 ③ 给[ 1分]，有错解不给分．（Ⅱ）当3m =时，设数列n A 中1,2,3出现频数依次为123,,q q q ，由题意1(1,2,3)i q i =≥．① 假设14q <，则有12s t a a a a +<+（对任意2s t >>），与已知矛盾，所以 14q ≥．同理可证：34q ≥． [ 5分] ② 假设21q =，则存在唯一的{1,2,,}k n ∈，使得2k a =．那么，对,s t ∀，有 112k s t a a a a +=+≠+（,,k s t 两两不相等），与已知矛盾，所以22q ≥． [ 7分]综上：1324,4,2q q q ≥≥≥，所以 3120i i S iq ==∑≥． [ 8分]（Ⅲ）设1,2,,2018出现频数依次为122018,,...,q q q ．同（Ⅱ）的证明，可得120184,4q q ≥≥，220172,2q q ≥≥，则2026n ≥．取12018220174,2q q q q ====，1,3,4,5,,2016i q i == ，得到的数列为：:1,1,1,1,2,2,3,4,,2015,2016,2017,2017,2018,2018,2018,2018n B ． [10分]下面证明n B 满足题目要求．对,{1,2,,2026}i j ∀∈，不妨令i j a a ≤，① 如果1i j a a ==或2018i j a a ==，由于120184,4q q ==，所以符合条件；② 如果1,2i j a a ==或2017,2018i j a a ==，由于120184,4q q ==，220172,2q q ==，所以也成立； ③ 如果1,2i j a a =>，则可选取2,1s t j a a a ==-；同样的，如果2017,2i j a a <=，则可选取1,2017s i t a a a =+=，使得i j s ta a a a +=+，且,,,i j s t 两两不相等； ④ 如果12018i j a a <<≤，则可选取1,1s i t j a a a a =-=+，注意到这种情况每个数最多被选取了一次，因此也成立． 综上，对任意,i j ，总存在,s t ，使得i j s ta a a a +=+，其中,,,{1,2,,}i j s t n ∈且两两不相等．因此n B 满足题目要求，所以n 的最小值为2026． [13分]。
2018-2019学年北京市西城区高三(上)期末数学试卷(理科)
2018-2019学年北京市西城区高三（上）期末数学试卷（理科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．(★)已知集合A={x|x=2k，k∈Z}，B={x|x 2≤5}，那么A∩B=（）A．{0，2，4}B．{-2，0，2}C．{0，2}D．{-2，2}2．(★)在等比数列{a n}中，若a 3=2，a 5=8，则a 7=（）A．10B．16C．24D．323．(★★)一个四棱锥的三视图如图所示，那么这个四棱锥最长棱的棱长为（）A．B．C．D．4．(★)在极坐标系中，点到直线ρcosθ=-1的距离等于（）A．1B．2C．3D．5．(★★★)在平面直角坐标系xOy中，点A（1，1），点B在圆x 2+y 2=4上，则的最大值为（）A．3B．C．D．46．(★)设M，N＞0，0＜a＜1，则“log a M＞log b N”是“M＜N+1”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件7．(★)已知函数f（x）=sinπx，g（x）=x 2-x+2，则（）A．曲线y=f（x）+g（x）不是轴对称图形B．曲线y=f（x）-g（x）是中心对称图形C．函数y=f（x）g（x）是周期函数D．函数最大值为8．(★)一个国际象棋棋盘（由8×8个方格组成），其中有一个小方格因破损而被剪去（破损位置不确定）．“L”形骨牌由三个相邻的小方格组成，如图所示．现要将这个破损的棋盘剪成数个“L”形骨牌，则（）A．至多能剪成19块“L”形骨牌B．至多能剪成20块“L”形骨牌C．一定能剪成21块“L”形骨牌D．前三个答案都不对二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9．(★)复数z满足方程1-i•z=i，则z= ．10．(★)已知角α的终边经过点（-3，4），则tanα= ；cos（α+π）= ．11．(★)执行如图所示的程序框图，若输入的m=1，则输出数据的总个数为．12．(★)设x，y满足约束条件则z=x+3y的取值范围是．13．(★★)能说明“若定义在R上的函数f（x）满足f（0）f（2）＞0，则f（x）在区间（0，2）上不存在零点”为假命题的一个函数是．14．(★★)设双曲线的左焦点为F，右顶点为A．若在双曲线C上，有且只有2个不同的点P使得成立，则实数λ的取值范围是．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15．(★★★)在△ABC中，a=3，，B=2A．（Ⅰ）求cosA的值；（Ⅱ）试比较∠B与∠C的大小．16．(★★★)如图，在三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，侧面B1BCC 1为正方形，M，N分别是A 1B 1，AC的中点，AB⊥平面BCM．（Ⅰ）求证：平面B 1BCC 1⊥平面A 1ABB 1；（Ⅱ）求证：A 1N∥平面BCM；（Ⅲ）若A 1ABB 1是边长为2的菱形，求直线A 1N与平面MCC 1所成角的正弦值．17．(★★★)为保障食品安全，某地食品监管部门对辖区内甲、乙两家食品企业进行检查，分别从这两家企业生产的某种同类产品中随机抽取了100件作为样本，并以样本的一项关键质量指标值为检测依据．已知该质量指标值对应的产品等级如下：根据质量指标值的分组，统计得到了甲企业的样本频率分布直方图和乙企业的样本频数分布表（如下面表，其中a＞0）．（Ⅰ）现从甲企业生产的产品中任取一件，试估计该件产品为次品的概率；（Ⅱ）为守法经营、提高利润，乙企业将所有次品销毁，并将一、二、三等品的售价分别定为120元、90元、60元．一名顾客随机购买了乙企业销售的2件该食品，记其支付费用为X元，用频率估计概率，求X的分布列和数学期望；（Ⅲ）根据图表数据，请自定标准，对甲、乙两企业食品质量的优劣情况进行比较．18．(★★★)已知函数f（x）=lnx-x+a，其中a∈R．（Ⅰ）如果曲线y=f（x）与x轴相切，求a的值；（Ⅱ）若a=ln2e，证明：f（x）≤x；（Ⅲ）如果函数在区间（1，e）上不是单调函数，求a的取值范围．19．(★★★)已知椭圆C：的离心率为，左、右顶点分别为A，B，点M是椭圆C上异于A，B的一点，直线AM与y轴交于点P．（Ⅰ）若点P在椭圆C的内部，求直线AM的斜率的取值范围；（Ⅱ）设椭圆C的右焦点为F，点Q在y轴上，且AQ∥BM，求证：∠PFQ为定值．20．(★★★★)设正整数数列A：a 1，a 2，…，a N（N＞3）满足a i＜a j，其中1≤i＜j≤N．如果存在k∈{2，3，…，N}，使得数列A中任意k项的算术平均值均为整数，则称A为“k阶平衡数列”．（Ⅰ）判断数列2，4，6，8，10和数列1，5，9，13，17是否为“4阶平衡数列”？（Ⅱ）若N为偶数，证明：数列A：1，2，3，…，N不是“k阶平衡数列”，其中k∈{2，3，…，N}．（Ⅲ）如果a N≤2019，且对于任意k∈{2，3，…，N}，数列A均为“k阶平衡数列”，求数列A中所有元素之和的最大值．。
北京西城区2018年高三(上)期末数学理科
市西城区2017 — 2018学年度第一学期期末高三数学〔理科〕参考答案及评分标准2018.1一、选择题：本大题共8小题，每题5分，共40分.1．A 2．D 3．C 4．D 5．D 6．C 7．B 8．C 二、填空题：本大题共6小题，每题5分，共30分.9．(1,1)- 10．32n -，31411 12．813．3614．1[,)4-+∞；1[,1]2注：第10，14题第一空2分，第二空3分.三、解答题：本大题共6小题，共80分. 其他正确解答过程，请参照评分标准给分. 15．〔本小题总分值13分〕解：〔Ⅰ〕因为2π()2sin cos(2)3f x x x =-+ππ1cos2(cos2cossin 2sin )33x x x =--⋅-⋅ [ 4分]32cos 212x x =-+[5分] π)13x =-+， [ 7分]所以()f x 的最小正周期 2ππ2T ==． [ 8分] 〔Ⅱ〕因为π02x ≤≤，所以ππ2π2333x --≤≤． [10分] 当ππ232x -=，即5π12x =时， [11分]()f x 取得最1． [13分]16．〔本小题总分值13分〕解：〔Ⅰ〕记事件A 为“从表1的日期中随机选出一天，这一天的升旗时刻早于7:00〞，[ 1分]在表1的20个日期中，有15个日期的升旗时刻早于7:00，所以 153(A)204P ==．[ 3分] 〔Ⅱ〕X 可能的取值为0,1,2．[ 4分]记事件B 为“从表2的日期中随机选出一天，这一天的升旗时刻早于7:00〞，那么 51(B)153P ==，2(B)1(B)3P P =-=．[ 5分] 4(0)(B)(B)9P X P P ==⋅=； 12114(1)C ()(1)339P X ==-=； 1(2)(B)(B)9P X P P ==⋅=．[ 8分]所以 X 的分布列为：X 0 1 2 P4949194412()0129993E X =⨯+⨯+⨯=．[10分]注：学生得到X~1(2,)3B ，所以12()233E X =⨯=，同样给分．〔Ⅲ〕22*s s <． [13分]17．〔本小题总分值14分〕解：〔Ⅰ〕因为 AB ⊥平面11AA C C ，所以 1A C AB ⊥．[1分]因为 三棱柱111ABC A B C -中，1AA AC =，所以 四边形11AA C C 为菱形， 所以 11A C AC ⊥．[3分]所以 1AC ⊥平面1ABC ．[4分]〔Ⅱ〕因为 11//A A B B ，1A A ⊄平面11BB C C ，所以1//A A 平面11BB C C ．[ 5分] 因为 平面1AA EF平面11BB C C EF =，所以1//A A EF ．[ 6分]因为 平面//ABC 平面111A B C ，平面1AA EF平面ABC AF =，平面1AA EF平面1111A B C A E =，所以 1//A E AF ． [7分]所以 四边形1AA EF 为平行四边形．[8分] 〔Ⅲ〕在平面11AA C C ，过A 作Az AC ⊥．因为 AB ⊥平面11AA C C ，如图建立空间直角坐标系A xyz -． [9分]由题意得，(0,0,0)A ，(2,0,0)B ，(0,2,0)C ，1(0,1A ，1C ．因为23BF BC =，所以 244(,,0)333BF BC −−→−−→==-，所以 24(,,0)33F ．由〔Ⅰ〕得平面1ABC 的法向量为1(0,1,3)A C −−→=-． 设平面1AC F 的法向量为(,,)x y z =n ，那么10,0,AC AF −−→−−→⎧⋅=⎪⎨⎪⋅=⎩n n 即330,240.33y z x y ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩ 令1y =，那么2x =-，3z =-，所以 (2,1,3)=--n ． [11分]所以 111||2|cos ,|||||AC AC AC −−→−−→−−→⋅〈〉==n n n ． [13分] 由图知 二面角1B AC F --的平面角是锐角，所以二面角1B AC F --的大小为45︒． [14分]18．〔本小题总分值13分〕解：〔Ⅰ〕当1a =时，()e sin 1x f x x =⋅-，所以 ()e (sin cos )xf x x x '=+．[ 2分]因为 (0)1f '=，(0)1f =-， [ 4分]所以曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程为1y x =-．[ 5分]〔Ⅱ〕()e (sin cos )axf x a x x '=+．[ 6分]由 ()0f x '=，得 sin cos 0a x x +=．[ 7分] 因为 0a >，所以π()02f '≠．[ 8分]当 ππ(0,)(,π)22x ∈时， 由 sin cos 0a x x +=， 得 1tan x a =-．所以 存在唯一的0π(,π)2x ∈， 使得01tan x a =-．[ 9分]()f x 与()f x '在区间(0,π)上的情况如下：x0(0,)x 0x0(,π)x()f x '+-()f x↗极大值 ↘所以()f x 在区间0(0,)x 上单调递增，在区间0(,π)x 上单调递减．[11分]因为π020π()()e 1e 102a f x f >=->-=， [12分]且 (0)(π)10f f ==-<，所以 ()f x 在区间[0,π]上恰有2个零点．[13分]19．〔本小题总分值14分〕 解：〔Ⅰ〕由题意得 2a =，c e a ==， 所以c ． [ 2分] 因为 222a b c =+，[ 3分]所以 1b =， [ 4分] 所以 椭圆C 的方程为 2214x y +=．[ 5分]〔Ⅱ〕假设四边形PAMN 是平行四边形，那么 //PA MN ，且 ||||PA MN =.[ 6分] 所以 直线PA 的方程为(2)y k x =-， 所以 (3,)P k，||PA [ 7分] 设11(,)M x y ，22(,)N x y ．由2244,y kx x y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩得22(41)80k x +++=， [ 8分] 由0∆>，得 212k >．且12x x +=122841x x k =+．[ 9分]所以||MN=[10分]因为 ||||PA MN =， 所以整理得 421656330k k -+=， [12分]解得k =，或k =[13分]经检验均符合0∆>，但k =时不满足PAMN 是平行四边形，舍去．所以 k =k =[14分]20．〔本小题总分值13分〕 解：〔Ⅰ〕②③．[ 3分]注：只得到 ② 或只得到 ③给[ 1分]，有错解不给分．〔Ⅱ〕当3m =时，设数列n A 中1,2,3出现频数依次为123,,q q q ，由题意1(1,2,3)i q i =≥． ①假设14q <，那么有12s t a a a a +<+〔对任意2s t >>〕，与矛盾，所以14q ≥．同理可证：34q ≥．[ 5分]② 假设21q =，那么存在唯一的{1,2,,}k n ∈，使得2k a =．那么，对,s t ∀，有 112k s t a a a a +=+≠+〔,,k s t 两两不相等〕， 与矛盾，所以22q ≥．[ 7分]综上：1324,4,2q q q ≥≥≥，所以3120i i S iq ==∑≥．[ 8分]〔Ⅲ〕设1,2,,2018出现频数依次为122018,,...,q q q ．同〔Ⅱ〕的证明，可得120184,4q q ≥≥，220172,2q q ≥≥，那么2026n ≥．取12018220174,2q q q q ====，1,3,4,5,,2016i q i == ，得到的数列为：:1,1,1,1,2,2,3,4,,2015,2016,2017,2017,2018,2018,2018,2018n B ．[10分]下面证明n B 满足题目要求．对,{1,2,,2026}i j ∀∈，不妨令i j a a ≤，① 如果1i j a a ==或2018i j a a ==，由于120184,4q q ==，所以符合条件； ② 如果1,2i j a a ==或2017,2018i j a a ==，由于120184,4q q ==，220172,2q q ==， 所以也成立；③ 如果1,2i j a a =>，那么可选取2,1s t j a a a ==-；同样的，如果2017,2018i j a a <=， 那么可选取1,2017s i t a a a =+=，使得i j s t a a a a +=+，且,,,i j s t 两两不相等；.11 / 11 ④ 如果12018i j a a <<≤，那么可选取1,1s i t j a a a a =-=+，注意到这种情况每个数最多被选取了一次，因此也成立．综上，对任意,i j ，总存在,s t ，使得i j s t a a a a +=+，其中,,,{1,2,,}i j s t n ∈且两两不相等．因此n B 满足题目要求，所以n 的最小值为2026．[13分]。
2017-2018西城区高三第一学期理科数学期末试卷
（Ⅲ）若
BF BC
2 3
，求二面角
B
AC1
F
的大小.
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18．（本小题满分 13 分）
已知函数 f (x) eax sin x 1，其中 a 0 ． （Ⅰ）当 a 1时，求曲线 y f (x) 在点 (0, f (0)) 处的切线方程；
（A） 2
（D）
y
1
x2
（B） 6
（C） 30
（D） 270
x 3 cos ,
4．已知
M
为曲线 C
：
y
sin
（ 为参数）上的动点．设 O 为原点，则 OM 的最
大值是
（A）1
（B） 2
（C） 3
（D） 4
x 1≥ 0, 5．实数 x, y 满足 x y 1≥ 0, 则 2x y 的取值范围是
x y 1≥ 0,
（A）[0, 2] （C）[1, 2]
（B） ( ,0] （D） [0, )
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6．设 a, b 是非零向量，且 a,b 不共线．则“ | a | | b | ”是“ | a 2b | | 2a b | ”的
（A）充分而不必要条件
（B）必要而不充分条件
（C）充分必要条件
（D）既不充分也不必要条件
7．已知 A ， B 是函数 y 2 x 的图象上的相异两点．若点 A ， B 到直线 y 1 的距离相等，
2
则点 A ， B 的横坐标之和的取值范围是
2018-2019年北京市西城区高三上数学(理)期末试卷+答案
北京市西城区 2018 — 2019学年度第一学期期末试卷在等比数列 {a n } 中，若 a 3 2 ， a 5 8 ，则 a 7一个四棱锥的三视图如图所示，那么这个四棱锥最长棱的棱长为高三数学(理科)2019.1第Ⅰ卷 (选择题共 40 分)选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分 ．在每小题列出的四个选项中，选出1．符合题目要求的一项2已知集合 A {x|x 2k, k Z } ， B { x|x 2≤ 5} ，那么 A BA ) {0,2,4}B ) { 2,0,2}C ) {0,2}D ) { 2,2}2． A )10B )1624D )323．4．5. A ) B ) C ) D )22 10在极坐标系中，点 A )1在平面直角坐标系 A)3P(2, ) 到直线 cos1 的距离等于B )2C )3D )xOy 中，点 A(1,1)，22点 B 在圆 x y 4 上，B )1 2C ) 2 2侧(左)视图则 |OA OB| 的最大值D ) 4俯视图26. 设 M,N 0， 0 a 1，则“ log a M log b N ”是“ M N 1”的27. 已知函数 f(x) sin πx ， g(x) x 2x 2，则(A )曲线 y f (x) g(x) 不是轴对称图形 (B )曲线 y f (x) g(x)是中心对称图形 f (x)4 ( C )函数 y f (x)g(x) 是周期函数(D )函数 y 最大值为g(x)78. 一个国际象棋棋盘(由 8 8个方格组成) ，其中有一个小方格因破损而被剪去(破损位置 不确定) . “ L ”形骨牌由三个相邻的小方格组成，如图所示 . 现要将这个破损的棋盘剪成数个“ L ”形骨牌，则A )至多能剪成 B) 至多能剪成 C) 一定能剪成A )充分而不必要条件 C )充要条件B )必要而不充分条件 D )既不充分也不必要条件L”形骨牌19 块“ L ”形骨牌 20 块“ L ”形骨牌 21 块“ L ”形骨牌国际象棋棋盘D)前三个答案都不对第Ⅱ卷(非选择题共110 分)二、填空题：本大题共6 小题，每小题5分，共30分．9．复数 z 满足方程1 i z i ，则z ___________ ．10．已知角的终边经过点 ( 3,4) ，则 tan _____________ ；cos( π) __________11．执行如图所示的程序框图，若输入的m 1 ，则输出数据的总个数为2x y 3≥0,12．设x，y满足约束条件 x y 3≤0, 则 z x 3y 的取值范围是________________x 2y≥0,13. 能说明“若定义在R上的函数 f(x)满足 f(0) f (2) 0，则 f(x)在区间 (0,2) 上不存在零点”为假命题的一个函数是 ______ ．214．设双曲线 C: x2 y1 的左焦点为F ，右顶点为A. 若在双曲线C 上，有且只有2 个3不同的点P 使得PF PA= 成立，则实数的取值范围是___________ ．三、解答题：本大题共6 小题，共80 分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本小题满分13 分）在ABC中，a 3，b 2 6，B 2A．（Ⅰ）求cosA 的值；（Ⅱ）试比较B 与C的大小．16．（本小题满分14 分）如图，在三棱柱ABC A1 B1C1中，侧面B1BCC1为正方形， M ，N分别是A1B1， AC 的中点， AB 平面 BCM ．（Ⅰ）求证：平面B1BCC1 平面A1ABB1 ；（Ⅱ）求证：A1N // 平面 BCM ；（Ⅲ）若A1 ABB1是边长为 2的菱形，求直线A1N 与平面MCC 1 所成角的正弦值．17．（本小题满分13 分）为保障食品安全，某地食品监管部门对辖区内甲、乙两家食品企业进行检查，分别从这两家企业生产的某种同类产品中随机抽取了100 件作为样本，并以样本的一项关键质量指标值为检测依据. 已知该质量指标值对应的产品等级如下：质量指标值[15,20) [20,25) [25,30) [30,35) [35,40) [40,45] 等级次品二等品一等品二等品三等品次品分布表（图表如下, 其中a 0）质量指标值频数[15,20) 2[20,25) 18[25,30) 48[30,35) 14[35,40) 16[40,45] 2合计100甲企乙企业Ⅰ）现从甲企业生产的产品中任取一件，试估计该件产品为次品的概率；Ⅱ）为守法经营、提高利润，乙企业将所有．次．品．销．毁．．．，并将一、二、三等品的售价分别定为120 元、90元、60元. 一名顾客随机购买了乙企业销售的2件该食品，记其支付费用为X 元，用频率估计概率，求X 的分布列和数学期望；Ⅲ）根据图表数据，请自定标准，对甲、乙两企业食品质量的优劣情况进行比较18．（本小题满分13 分）已知函数f（x） lnx x a，其中a R．（Ⅰ）如果曲线 y f （x）与x轴相切，求a 的值；（Ⅱ）如果函数g（x） f （2x）在区间（1, e）上不是单调函数，求a 的取值范围．x219．（本小题满分14 分）x 2y22已知椭圆 C：x2y1（a 2）的离心率为2，左、右顶点分别为 A,B，点M 是椭 a2 2 2圆C上异于 A, B的一点，直线AM 与y轴交于点P.（Ⅰ）若点P在椭圆C的内部，求直线A M 的斜率的取值范围；（Ⅱ）设椭圆 C 的右焦点为F ，点Q 在y 轴上，且AQ//BM ，求证：PFQ 为定值.20．（本小题满分13 分）设正整数数列A：a1,a2, ,a N（N 3）满足a i a j ，其中1≤i j≤N . 如果存在 k {2,3, ,N} ，使得数列A 中任意k项的算术平均值均为整数，则称A为“k阶平衡数列” .（Ⅰ）判断数列2, 4, 6, 8, 10和数列1, 5, 9, 13, 17是否为“ 4阶平衡数列”？（Ⅱ）若N为偶数，证明：数列 A： 1,2,3, ,N不是“ k阶平衡数列”，其中k {2,3, ,N}. （Ⅲ）如果a N≤2019 ，且对于任意 k {2,3, ,N}，数列A均为“ k阶平衡数列”，求数列A 中所有元素之和的最大值.。
北京市西城区2018—2019学年度第一学期期末试卷高三数学理科试题
北京市西城区2018 — 2019学年度第一学期期末试卷在等比数列｛a n ｝中，若a^2 , a 5 =8，则av 二一个四棱锥的三视图如图所示，那么这个四棱锥最长棱的棱长为高三数学（理科）第I 卷（选择题共40 分）2019.1选择题：本大题共 8小题，每小题5分，共 40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.2已知集合 A ={x|x =2k,k Z} , B ={x|x< 5｝，那么 A 「|B(A) {0,2,4}(B) {-2,0,2}(C ) {0,2}(D) {-2,2}(A ) 10(B) 16(C )24(D)325.(A).5(B)6(C) 2 2(D)10在极坐标系中，点(A) 1在平面直角坐标系(A) 3P（2-）到直线Pcos日=一1的距离等于2(B) 2(C) 3xOy 中，点A(1,1),点B在圆x2 y2 =4 上,(B) 1 2(C) 2 • ..2(D)|OA-OB|的最大值(D) 4-—1—>俯视图2侧（左）视图6.设M,N 0 , 0 :：: a d，则“ log a M ■ log b N ”是“ M ::N 1 ”的(D)既不充分也不必要条件7.已知函数f (x) =sin n, g(x) =x2—x • 2，贝U(A)曲线y = f(x) ・g(x)不是轴对称图形(B)曲线y = f(x)—g(x)是中心对称图形f (x) 4(C)函数y二f(x)g(x)是周期函数(D)函数y最大值为—g(x) 78. 一个国际象棋棋盘(由8 8个方格组成)，其中有一个小方格因破损而被剪去(破损位置不确定)• “L”形骨牌由三个相邻的小方格组成，如图所示.现要将这个破损的棋盘剪成数个“ L”形骨牌，则(A) 至多能剪成(B) 至多能剪成(C) 一定能剪成19块“ L”形骨牌20块“ L”形骨牌21块“ L”形骨牌(A) 充分而不必要条件(B) 必要而不充分条件(C)充要条件(D)前三个答案都不对L”形骨牌国际象棋棋盘第H卷(非选择题共110 分)二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9•复数z满足方程1_i z=i，则z= ________ .10.已知角a的终边经过点(-3,4)，贝U tana = _______ ；cos(a +冗)= ____11 •执行如图所示的程序框图，若输入的m =1，则输出数据的总个数为2x —y 3>0,12 •设x, y满足约束条件以-y-0,则z = x+3y的取值范围是_______________-x+2y\ 0,13.能说明“若定义在R上的函数f(x)满足f(0)f(2)・0,则f(x)在区间(0,2)上不存在零点”为假命题的一个函数是14•设双曲线C： x2壬1的左焦点为F，右顶点为A.若在双曲线C上，有且只有2个不同的点P使得PF PA=k成立，则实数九的取值范围是____________________ .三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出必要的文字说明、 证明过程或演算步骤.15. (本小题满分13分)在.ABC 中，a =3, b=2. 6 , B=2A .(I)求cos A 的值； (n)试比较.B 与.C 的大小.16. (本小题满分14分) 中点，AB_平面BCM .(I)求证：平面 B 1BCC^ 平面A 1 ABB 1 ； (n)求证：AN//平面BCM ；(川)若 AABB 1是边长为2的菱形，求直线 面MCC 1所成角的正弦值.如图，在三棱柱 ABC -ABG 中，侧面B 1BCC 1为正方形, M , N 分别是AB, , AC 的AN 与平17. (本小题满分13分)为保障食品安全，某地食品监管部门对辖区内甲、乙两家食品企业进行检查，分别从这 两家企业生产的某种同类产品中随机抽取了100件作为样本，并以样本的一项关键质量指标值为检测依据•已知该质量指标值对应的产品等级如下：质量指标值[15,20)[20,25)[25,30)[30,35)[35,40)[40,45]等级次品二等品一等品二等品三等品次品根据质量指标值的分组，统计得到了甲企业的样本频率分布直方图和乙企业的样本频数 分布表(图表如下，其中a > 0 )(I)现从甲企业生产的产品中任取一件，试估计该件产品为次品的概率；(H)为守法经营、提高利润，乙企业将所有次品销毁..，并将一、二、三等品的售价分别定为120元、90元、60元• 一名顾客随机购买了乙企业销售的 2件该食品，记其支付费用为X 元，用频率估计概率，求 X 的分布列和数学期望； (川)根据图表数据，请自定标准，对甲、乙两企业食品质量的优劣情况进行比较•18. (本小题满分13分)已知函数f (x) =1 n x -X • a ，其中a R .(I)如果曲线 y = f (x)与x 轴相切，求a 的值；(n)如果函数g(x)二上舉在区间(1，e)上不是单调函数，求 a 的取值范围.x质量指标值频数[15,20) 2 [20,25) 18 [25,30) 48 [30,35) 14 [35,40) 16 [40,45]2 合计100甲企业 乙企业19.（本小题满分14分）2 2x y已知椭圆C: —J 1(aa 2.2）的离心率为—，左、右顶点分别为A,B，点M是椭圆2C上异于A, B的一点，直线AM与y轴交于点P.（I）若点P在椭圆C的内部，求直线 A M的斜率的取值范围；（H）设椭圆C的右焦点为F ,点Q在y轴上，且AQ//BM，求证：• PFQ为定值.20.（本小题满分13分）设正整数数列A:a i,a2,IH,a N（N 3）满足a「：：a j ,其中仁i ：：：丘N•如果存在k • { 2,3丨N,,使得数列A中任意k项的算术平均值均为整数，贝U称A为“k阶平衡数列”.（I）判断数列2, 4, 6, 8, 10和数列1, 5, 9, 13, 17是否为“ 4阶平衡数列”？（□）若N为偶数，证明：数列A:1,2,3,HI,N不是“ k阶平衡数列”，其中k・{2,3,（（|,N}.（川）如果a N < 2019，且对于任意k {2,3川|, N}，数列A均为“ k阶平衡数列”，求数列A中所有元素之和的最大值.2019学年度第一学期期末北京市西城区2018 —高三数学（理科）一、选择题: 本大题共8小题，每小题1. B2. D 5. C6. A二、填空题: 本大题共6小题，每小题5分，共30分.参考答案及评分标准2019.15分，共40分.3. C4. A7. D8. C9. _i16.(本小题满分14分)4310.刁；5注：第10题第一问3分，第二问2分.由 A (0, n ，得 sin A = . 1 - cos 2因为B =2A ,2所以 cosB 二cos2A= 2cos AT所以 sin B = . 1「cos 2 B =3又因为A B C所以 COS C 「COS (A B)「COS A COS B sin Asin B 」 9所以 cos B cosC .又因为函数y =cosx 在(0, n 上单调递减，且B , c •(0, n ,13分12.[-1，：：)213•答案不唯一，如 f(x)=(x -1)14.(-2,0)11. 6三、解答题：本大题共 6小题，共80分.其他正确解答过程，请参照评分标准给分15.(本小题满分13分) 解: (I)在.'ABC 中，由正弦定理a sin A32 6得，即 sin A sin 2A分3 _ 2 ,6sin A 2sin Acos A11第7页共14页9. _i16.(本小题满分14分)解：（I ）因为AB_平面BCM , BC 平面BCM ,由正方形 B 1BCC 1，知BB t _BC ,又因为 ABp| BB 1 二B , 所以BC —平面A i ABB i .又因为BC 二平面B 1BCC 1 , 所以平面 B i BCC i _平面 AABB i .（n ）设BC 中点Q ，连结NQ , MQ .因为M , N 分别是A i B i , AC 的中点,1所以 NQ // AB ，且 NQ AB .2又因为 AB // A 1B 1，且 AB = AB , 所以 NQ//AM ，且 NQ =AiM . 所以四边形A i MQN 为平行四边形.又因为MQ 二平面BCM , AN 二平面BCM , 所以AN//平面BCM（川）由（I ）可知BA , BM , BC 两两互相垂直,分因为A i ABB i 是边长为2的菱形，M 为AB i 的中点，且 A B _ BM , 易得■ BBiA^60，则 B0 , A(2, 0,0) , M (0, 3, 0) , C(0,0,2) , A i (i, 3, 0),B i (-i, 3,0) ,C i (-i, 3, 2) , N(i,0,i).所以 AN (0, -£3,i) , MC =(-1,0,2) , CC i =(-1, 3, 0). 设平面MCC i 的法向量为n= (x, y,z),BC 分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系 B -xyz ，如图所示.所以 A i N // MQ .因此以B 为原点，以BA , BM , i0分令 y =2，则 x =2..3 , z =^3 .所以 n = (2 .. 3, 2, •. 3). 设直线AN 与平面MCC i 所成角为〉，17. （本小题满分13分）解：(I)由(a 0.020 0.022 0.028 0.042 0.080) 5 =1，得 a =0.008,所以甲企业的样本中次品的频率为 （a ，0.020） 5=0.14 ,故从甲企业生产的产品中任取一件，该产品是次品的概率约为 0.14 .1 1 1 1 沁=,P(X =150)=C ； 3 6 P(X =180)=C ；丄5,P(X=210)=C ；1」=丄,2633 182 3 31 1 1P(X =240) ...........2 2 4所以随机变量 X（n ）由图表知，乙企业在100件样品中合格品有96件,则一等品的概率为1 ，二等品的概率为96 29648 18141，三等品的概率为9；1由题意，随机变量 X 的所有可能取值为：120, 150,180, 210, 240. 则n MC1=°,—、即 *2"°,|' x .-』3y =012则 sin : =|cos n , A 1N |二 n ANI n IIAN'l57"38因此直线AN 与平面MCC i 所成角的正弦值为唱 14且 P(X =120)」6 636115 11所以E(X)=120361509180 - 2103 240 V200.10分(川)答案不唯一，只要言之有理便可得分(下面给出几种参考答案)(1) 以产品的合格率.(非次品的占有率)为标准，对甲、乙两家企业的食品质量进行 比较• 由图表可知：甲企业产品的合格率约为0.86，乙企业产品的合格率约为 0.96，即乙企业产品的合格率高于甲企业产品的合格率，所以可以认为乙企业的食品生产质量更高.(2) 以产品次.品•率.为标准对甲、乙两家企业的食品质量进行比较(略) (3 )以产品中一等品的概率为标准，对甲、乙两家企业的食品质量进行比较 .根据图表可知，甲企业产品中一等品的概率约为0.4 ；乙企业产品中一等品的概率约为0.48，即乙企业产品中一等品的概率高于甲企业产品中一等品的概率，所以乙企业的食品生产质量更高.(4)根据第(H)问的定价，计算购买一件产品费用的数学期望，进而比较甲、乙两个企业产品的优劣(略) .......................................................... 13 分18. (本小题满分13分)解: (I)求导，得 f (X )= 1 -1 =1—x ,.................. 1 分XX因为曲线y = f(x)与X 轴相切，所以此切线的斜率为 0,.................... 2分由 f (x) =0，解得 x =1 ,又由曲线y = f (x)与x 轴相切，得f (1) = —1^0 ,解得a=1.................... 4分,、 f (x) In x —x + a g(x) 22X X因为x • (1, e)，所以g (x)与h(x) = x - 2ln x • 1 - 2a 的正负号相同.……6分 2 x — 2对 h(x)求导，得 h (x) =1 —= -------------- ,X X由 h(x) =0，解得 X =2 ,................... 7 分 当x变化时，h (x)与h(x)的变化情况如下表所示:(H)由题意，得求导，得g (x)= x -2 Inx 1 -2a所以h(x)在(1,2)上单调递减，在(2,e)上单调递增又因为 h ⑴=2 —2a , h (e) = e —1 -2a , 所以 h(x)min =h (2)=3—2In 2—2a；h(x)max = h(1) = 2 —'2a ..................... 9 分 如果函数g(x)二丄里 在区间(1,e)上单调递增，则当x ・(1,e)时，g (x)> 0.x所以 h(x) > 0 在区间(1 , e)上恒成立，即 h(x) min 二 h(2) =3-2ln 2—2a 》0 ,3 3解得a< In 2，且当a In 2时，g (x)=0的解有有限个，2 23 即当函数g(x)在区间(1,e)上单调递增时，a——In 2 ;① ............... 11分2 如果函数g (x) =f (：)在区间(1 , e)上单调递减，则当(1,e)时，g (x)< 0 ,x所以 h(x )w 0 在区间(1 ,e)上恒成立，即 h(x)max 二 h(1) = 2-2a w o , 解得a >1，且当a =1时，g (x)=0的解有有限个， 所以当函数g(x)在区间(1,e)上单调递减时，a >1. 因为函数g (x)=上£。
2018西城高三一模理科数学
西城区高三统一测试数学（理科） 2018.4第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、 选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．若集合{|320}A x x =∈+>R ，2{|230}B x x x =∈-->R ，则A B =（A ）{|1}x x ∈<-R （B ）2{|1}3x x ∈-<<-R（C ）2{|3}3x x ∈-<<R（D ）{|3}x x ∈>R2．执行如图所示的程序框图，输出的k 值为 （A ）2 （B ）3 （C ）4 （D ）53．已知圆的方程为2220x y y +-=．以原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，该圆的极坐标方程为 （A ）2sin ρθ=- （B ）2sin ρθ= （C ）2cos ρθ=-（D ）2cos ρθ=4．正三棱柱的三视图如图所示，该正三棱柱的表面积是（A ）（B（C ）6 （D ）6+5．已知O 是正方形ABCD 的中心．若DO AB AC λμ−−→−−→−−→=+，其中λ，μ∈R ，则λμ= （A ）12-（B ）2- （C ）（D6．设函数2()f x x bx c =++．则“()f x 有两个不同的零点”是“0x ∃∈R ，使0()0f x <”的 （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件7．函数2241,0,()23,0.xx x x f x x ⎧-+>⎪=⎨⋅⎪⎩≤ 则()y f x =的图象上关于原点O 对称的点共有 （A ）0对 （B ）1对 （C ）2对（D ）3对8．某计算机系统在同一时间只能执行一项任务，且该任务完成后才能执行下一项任务．现有 三项任务U ，V ，W ，计算机系统执行这三项任务的时间（单位：s ）依次为a ，b ，c ，其中a b c <<．一项任务的“相对等待时间”定义为从开始执行第一项任务到完成该任务的时间与计算机系统执行该任务的时间之比．下列四种执行顺序中，使三项任务“相对等待时间”之和最小的是 （A ）U →V →W （B ）V →W →U（C ）W →U →V（D ）U →W →V第Ⅱ卷（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分． 9．若复数(i)(34i)a ++的实部与虚部相等，则实数a =____．10．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ．若12a =，420S =，则3a =____；n S =____．11．已知抛物线28y x =-的焦点与双曲线2221(0)x y a a-=>的一个焦点重合，则a =____；双曲线的渐近线方程是____．12．设0ω>，若函数2cos y x ω=的最小正周期为π2，则ω=____．13．安排甲、乙、丙、丁4人参加3个运动项目，每人只参加一个项目，每个项目都有人参加．若甲、乙2人不能参加同一个项目，则不同的安排方案的种数为____．（用数字作答）14．如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，12AA AB ==，1BC =，点P 在侧面11A ABB 上．若点P 到直线1AA 和CD 的距离相等， 则1A P 的最小值是____．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分）在△ABC sin sin 2C c A ⋅=⋅． （Ⅰ）求A ∠的大小；（Ⅱ）若a b =ABC 的面积．16．（本小题满分13分）某企业2017年招聘员工，其中A 、B 、C 、D 、E 五种岗位的应聘人数、录用人数和录用比例（精确到1%）如下：（Ⅰ）从表中所有应聘人员中随机选择1人，试估计此人被录用的概率；（Ⅱ）从应聘E 岗位的6人中随机选择2人．记X为这2人中被录用的人数，求X 的分布列和数学期望；（Ⅲ）表中A 、B 、C 、D 、E 各岗位的男性、女性录用比例都接近（二者之差的绝对值不大于5%），但男性的总录用比例却明显高于女性的总录用比例．研究发现，若只考虑其中某四种岗位，则男性、女性的总录用比例也接近，请写出这四种岗位．（只需写出结论）17．（本小题满分14分）如图1，在△ABC 中，D ，E 分别为AB ，AC 的中点，O 为DE 的中点，AB AC ==4BC =．将△ADE 沿DE 折起到△1A DE 的位置，使得平面1A DE ⊥平面BCED ，如图2．（Ⅰ）求证：1AO BD ⊥；（Ⅱ）求直线1A C 和平面1A BD 所成角的正弦值；（Ⅲ）线段1A C 上是否存在点F ，使得直线DF 和BC 求出11A FA C的值；若不存在，说明理由．图1 图218．（本小题满分13分）已知函数1()e (ln )xf x a x x=⋅++，其中a ∈R ． （Ⅰ）若曲线()y f x =在1x =处的切线与直线exy =-垂直，求a 的值； （Ⅱ）当(0,ln 2)a ∈时，证明：()f x 存在极小值．19．（本小题满分14分）已知圆22:4O x y +=和椭圆22:24C x y +=，F 是椭圆C 的左焦点． （Ⅰ）求椭圆C 的离心率和点F 的坐标；（Ⅱ）点P 在椭圆C 上，过P 作x 轴的垂线，交圆O 于点Q （,P Q 不重合），l 是过点Q 的圆O 的切线．圆F 的圆心为点F ，半径长为||PF ．试判断直线l 与圆F 的位置关系，并证明你的结论．20．（本小题满分13分）数列n A ：12,,,(2)n a a a n ≥满足：1(1,2,,)k a k n <=．记n A 的前k 项和为k S ，并规定00S =．定义集合*{n E k =∈N ，|k n ≤k j S S >，0,1,,1}j k =-．（Ⅰ）对数列5A ：0.3-，0.7，0.1-，0.9，0.1，求集合5E ； （Ⅱ）若集合12{,,,}(1n m E k k k m =>，12)m k k k <<<，证明：11(1,2,,1)i i k k S S i m +-<=-；（Ⅲ）给定正整数C ．对所有满足n S C >的数列n A ，求集合n E 的元素个数的最小值．西城区高三统一测试数学（理科）参考答案及评分标准2018.4一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.1．D 2．C 3．B 4．D 5．B 6．C 7．C 8．A二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9．7- 10．6，2n n+110x ±=12．2 13．30 14注：第10，11题第一空3分，第二空2分.三、解答题：本大题共6小题，共80分. 其他正确解答过程，请参照评分标准给分. 15．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）因为sin sin 2C c A ⋅=⋅，所以sin 2sin cos C A A ⋅=． [1分]在△ABC 中，由正弦定理得 sin 2sin cos C A A ⋅=． [3分]所以 cos A =． [ 4分] 因为 0πA <<， [ 5分] 所以 π6A =． [ 6分] （Ⅱ）在△ABC 中，由余弦定理得 2222cos a b c bc A =+-，所以 222c c =+-⋅， [ 8分] 整理得 2650c c -+=， [ 9分] 解得 1c =，或5c =，均适合题意． [11分]当1c =时，△ABC 的面积为1sin 2S bc A == [12分]当5c =时，△ABC的面积为1sin 2S bc A ==． [13分]16．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）因为 表中所有应聘人员总数为 5334671000+=，被该企业录用的人数为 264169433+=，所以 从表中所有应聘人员中随机选择1人，此人被录用的概率约为4331000P =．[ 3分] （Ⅱ）X 可能的取值为0,1,2． [ 4分] 因为应聘E 岗位的6人中，被录用的有4人，未被录用的有2人， [ 5分]所以 2226C 1(0)C 15P X ===； 112426C C 8(1)C 15P X ===； 2426C 2(2)C 5P X ===． [ 8分] 所以 X 的分布列为：()012151553E X =⨯+⨯+⨯=． [10分] （Ⅲ）这四种岗位是：B 、C 、D 、E ． [13分]17．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）因为 在△ABC 中，D ，E 分别为AB ，AC 的中点， 所以 //DE BC ，AD AE =．所以 11A D A E =，又O 为DE 的中点，所以 1AO DE ⊥． [ 1分]因为 平面1A DE ⊥平面BCED ，且1AO ⊂平面1A DE ，所以 1AO ⊥平面BCED ， [ 3分] 所以 1AO BD ⊥． [ 4分] （Ⅱ）取BC 的中点G ，连接OG ，所以 OE OG ⊥． 由（Ⅰ）得 1A O OE ⊥，1A O OG ⊥．如图建立空间直角坐标系O xyz -． [ 5分]由题意得，1(0,0,2)A ，(2,2,0)B -，(2,2,0)C ，(0,1,0)D -． 所以 1(2,2,2)A B −−→=--，1(0,1,2)A D −−→=--，1(2,2,2)A C −−→=-． 设平面1A BD 的法向量为(,,)x y z =n ，则 110,0,A B A D −−→−−→⎧⋅=⎪⎨⎪⋅=⎩n n即 2220,20.x y z y z --=⎧⎨--=⎩令1x =，则2y =，1z =-，所以 (1,2,1)=-n ． [ 7分] 设直线1A C 和平面1A BD 所成的角为θ， 则111||sin |cos ,|||||A C A C A C θ−−→−−→−−→⋅=〈〉==n n n 所以 直线1A C 和平面1A BD． [ 9分] （Ⅲ）线段1A C 上存在点F 适合题意．设 11A F AC λ−−→−−→=，其中[0,1]λ∈． [10分] 设 111(,,)F x y z ，则有111(,,2)(2,2,2)x y z λλλ-=-， 所以 1112,2,22x y z λλλ===-，从而 (2,2,22)F λλλ-， 所以 (2,21,22)DF λλλ−−→=+-，又(0,4,0)BC −−→=， 所以|||cos ,|||||DF BC DF BC DF BC −−→−−→−−→−−→−−→−−→⋅〈〉=[12分]令， 整理得 23720λλ-+=． [13分] 解得 13λ=，舍去2λ=．所以 线段1A C 上存在点F 适合题意，且1113A F A C =． [14分]18．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）()f x 的导函数为2111()e (ln )e ()x xf x a x x x x '=⋅+++⋅-221e (ln )x a x x x =⋅+-+． [ 2分]依题意，有 (1)e (1)e f a '=⋅+=， [ 4分]解得 0a =． [ 5分]（Ⅱ）由221()e (ln )x f x a x x x '=⋅+-+及e 0x >知，()f x '与221ln a x x x+-+同号． 令 221()ln g x a x x x=+-+， [ 6分] 则 223322(1)1()x x x g x x x -+-+'==． [ 8分] 所以 对任意(0,)x ∈+∞，有()0g x '>，故()g x 在(0,)+∞单调递增． [ 9分] 因为 (0,ln 2)a ∈，所以 (1)10g a =+>，11()ln 022g a =+<，故 存在01(,1)2x ∈，使得 0()0g x =． [11分]()f x 与()f x '在区间1(,1)上的情况如下：所以 ()f x 在区间01(,)2x 上单调递减，在区间0(,1)x 上单调递增．所以 ()f x 存在极小值0()f x ． [13分]19．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）由题意，椭圆C 的标准方程为22142x y +=． [ 1分] 所以 24a =，22b =，从而 2222c a b =-=．因此 2a =，c =故椭圆C 的离心率 c e a ==． [ 3分]椭圆C 的左焦点F 的坐标为(． [ 4分]（Ⅱ）直线l 与圆F 相切．证明如下： [ 5分]设00(,)P x y ，其中022x -<<，则220024x y +=， [ 6分]依题意可设01(,)Q x y ，则22014x y +=． [ 7分]直线l 的方程为 0101()x y y x x y -=--， 整理为 0140x x y y +-=． [ 9分] 所以圆F 的圆心F 到直线l 的距离02|d =+．[11分] 因为22222200000011||(((4)422PF x y x x x =+=+-=++． [13分]所以 22||PF d =， 即 ||PF d =，所以 直线l 与圆F 相切． [14分]20．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）因为 00S =，10.3S =-，20.4S =，30.3S =，4 1.2S =，5 1.3S =， [ 2分]所以 5{2,4,5}E =． [ 3分] （Ⅱ）由集合n E 的定义知 1i i k k S S +>，且1i k +是使得i k k S S >成立的最小的k ，所以 11i i k k S S +-≤.[ 5分]又因为 11i k a +<，所以 1111i i i k k k S S a +++-=+ [ 6分]1.i k S <+所以 11i i k k S S +-<． [ 8分] （Ⅲ）因为0n S S >，所以n E 非空．设集合 12{,,,}n m E k k k =，不妨设12m k k k <<<，则由（Ⅱ）可知 11(1,2,,1)i i k k S S i m +-<=-，bb 同理 101k S S -<，且 m n k S S ≤． 所以 12110()()()()m m m n n k k k k k k S S S S S S S S S -=-+-++-+- 101111m m <+++++=个．因为 n S C >，所以n E 的元素个数 1m C +≥． [11分]取常数数列n A ：1(1,2,,1)2i C a i C C +==++，并令1n C =+，则 22(1)2122n C C C S C C C +++==>++，适合题意， 且 {1,2,,1}n E C =+，其元素个数恰为1C +． 综上，n E 的元素个数的最小值为1C +． [13分]。
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北京市西城区2017 — 2018学年度第一学期期末试卷高三数学（理科） 2018.1第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、 选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．若集合{|03}A x x =<<，{|12}B x x =-<<，则A B = （A ）{|13}x x -<< （B ）{|10}x x -<< （C ）{|02}x x <<（D ）{|23}x x <<2．下列函数中，在区间(0,)+∞上单调递增的是 （A ）1y x =-+（B ）|1|y x =-（C ）sin y x =（D ）12y x =3．执行如图所示的程序框图，输出的S 值为 （A ）2 （B ）6 （C ）30 （D ）2704．已知M 为曲线C ：3cos ,sin x y θθ=+⎧⎨=⎩（θ为参数）上的动点．设O 为原点，则OM 的最大值是 （A ）1 （B ）2 （C ）3（D ）45．实数,x y 满足10,10,10,x x y x y -⎧⎪+-⎨⎪-+⎩≥≥≥ 则2x y -的取值范围是（A ）[0,2] （B ）(,0]-∞ （C ）[1,2]- （D ）[0,)+∞6．设,a b 是非零向量，且,a b 不共线．则“||||=a b ”是“|2||2|+=+a b a b ”的 （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件7．已知A ，B 是函数2xy =的图象上的相异两点．若点A ，B 到直线12y =的距离相等， 则点A ，B 的横坐标之和的取值范围是 （A ）(,1)-∞-（B ）(,2)-∞-（C ）(1,)-+∞（D ）(2,)-+∞8．在标准温度和大气压下，人体血液中氢离子的物质的量的浓度（单位mol/L ，记作[H ]+）和氢氧根离子的物质的量的浓度（单位mol/L ，记作[OH ]-）的乘积等于常数1410-．已知pH 值的定义为pH lg[H ]+=-，健康人体血液的pH 值保持在7.35～7.45之间，那么健康人体血液中的[H ][OH ]+-可以为（参考数据：lg 20.30≈，lg30.48≈） （A ）12（B ）13（C ）16（D ）110第Ⅱ卷（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分． 9．在复平面内，复数2i1i-对应的点的坐标为____．10．数列{}n a 是公比为2的等比数列，其前n 项和为n S ．若212a =，则n a =____；5S =____．11．在△ABC 中，3a =，3C 2π∠=，△ABC，则 c =____．12．把4件不同的产品摆成一排．若其中的产品A 与产品B 都摆在产品C 的左侧，则不同的摆法有____种．（用数字作答）13．从一个长方体中截取部分几何体，得到一个以原长方体的部分顶点为顶点的凸多面体，其三视图如图所示．该几何 体的表面积是____．14．已知函数2,2,()1, 3.x x x c f x c x x ⎧+-⎪=⎨<⎪⎩≤≤≤若0c =，则()f x 的值域是____；若()f x 的值域是1[,2]4-，则实数c 的取值范围是____．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分）已知函数2π()2sin cos(2)3f x x x =-+．（Ⅰ）求()f x 的最小正周期；（Ⅱ）求()f x 在区间π[0,]2上的最大值．16．（本小题满分13分）已知表1和表2是某年部分日期的天安门广场升旗时刻表．表1：某年部分日期的天安门广场升旗时刻表（Ⅰ）从表1的日期中随机选出一天，试估计这一天的升旗时刻早于7:00的概率； （Ⅱ）甲，乙二人各自从表2的日期中随机选择一天观看升旗，且两人的选择相互独立．记X为这两人中观看升旗的时刻早于7:00的人数，求X 的分布列和数学期望()E X ． （Ⅲ）将表1和表2中的升旗时刻化为分数后作为样本数据（如7:31化为31760）．记表2中所有升旗时刻对应数据的方差为2s ，表1和表2中所有升旗时刻对应数据的方差为2*s ，判断2s 与2*s 的大小．（只需写出结论）17．（本小题满分14分）如图，三棱柱111ABC A B C -中，AB ⊥平面11AA C C ，12AA AB AC ===，160A AC ︒∠=.过1AA 的平面交11B C 于点E ，交BC 于点F . （Ⅰ）求证：1AC ⊥平面1ABC ；（Ⅱ）求证：四边形1AA EF 为平行四边形； （Ⅲ）若23BF BC =，求二面角1B AC F --的大小.18．（本小题满分13分）已知函数()e sin 1axf x x =⋅-，其中0a >．（Ⅰ）当1a =时，求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程； （Ⅱ）证明：()f x 在区间[0,π]上恰有2个零点．19．（本小题满分14分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>过点(2,0)A（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设直线y kx =+C 交于,M N 两点．若直线3x =上存在点P ，使得四边形PAMN 是平行四边形，求k 的值．20．（本小题满分13分）数列n A ：12,,,(4)n a a a n ≥满足：11a =，n a m =，10k k a a +-=或1(1,2,,1)k n =- ．对任意,i j ，都存在,s t ，使得i j s t a a a a +=+，其中,,,{1,2,,}i j s t n ∈ 且两两不相等． （Ⅰ）若2m =，写出下列三个数列中所有符合题目条件的数列的序号； ① 1,1,1,2,2,2； ② 1,1,1,1,2,2,2,2； ③ 1,1,1,1,1,2,2,2,2 （Ⅱ）记12n S a a a =+++ ．若3m =，证明：20S ≥； （Ⅲ）若2018m =，求n 的最小值．北京市西城区2017 — 2018学年度第一学期期末高三数学（理科）参考答案及评分标准2018.1一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.1．A 2．D 3．C 4．D 5．D 6．C 7．B 8．C二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9．(1,1)- 10．32n -，3141112．8 13．36 14．1[,)4-+∞；1[,1]2注：第10，14题第一空2分，第二空3分.三、解答题：本大题共6小题，共80分. 其他正确解答过程，请参照评分标准给分. 15．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）因为2π()2sin cos(2)3f x x x =-+ππ1cos2(cos2cos sin 2sin )33x x x =--⋅-⋅ [ 4分]32cos 212x x =-+[ 5分]π)13x =-+， [ 7分]所以()f x 的最小正周期 2ππ2T ==． [8分] （Ⅱ）因为 π02x ≤≤， 所以 ππ2π2333x --≤≤． [10分] 当 ππ232x -=，即5π12x =时， [11分]()f x 1． [13分]16．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）记事件A 为“从表1的日期中随机选出一天，这一天的升旗时刻早于7:00”，[ 1分]在表1的20个日期中，有15个日期的升旗时刻早于7:00，所以 153(A)204P ==．[ 3分] （Ⅱ）X 可能的取值为0,1,2． [ 4分] 记事件B 为“从表2的日期中随机选出一天，这一天的升旗时刻早于7:00”，则 51(B)153P ==，2(B)1(B)3P P =-=． [5分] 4(0)(B )(B )9P X P P ==⋅=； 12114(1)C ()(1)339P X ==-=； 1(2)(B)(B)9P X P P ==⋅=． [ 8分] 所以 X 的分布列为：()0129993E X =⨯+⨯+⨯=． [10分]注：学生得到X ~1(2,)3B ，所以12()233E X =⨯=，同样给分．（Ⅲ）22*s s <． [13分]17．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）因为 AB ⊥平面11AA C C ，所以 1A C AB ⊥． [ 1分]因为 三棱柱111ABC A B C -中，1AA AC =，所以 四边形11AA C C 为菱形， 所以 11A C AC ⊥． [ 3分]所以 1AC ⊥平面1ABC ． [ 4分] （Ⅱ）因为 11//A A B B ，1A A ⊄平面11BB C C ，所以 1//A A 平面11BB C C ． [ 5分]因为 平面1AA EF 平面11BB C C EF =，所以 1//A A EF ． [ 6分] 因为 平面//ABC 平面111A B C ，平面1AA EF 平面ABC AF =，平面1AA EF 平面1111A B C A E =，所以 1//A E AF ． [ 7分] 所以 四边形1AA EF 为平行四边形． [ 8分] （Ⅲ）在平面11AA C C 内，过A 作Az AC ⊥．因为 AB ⊥平面11AA C C ，如图建立空间直角坐标系A xyz -． [ 9分] 由题意得，(0,0,0)A ，(2,0,0)B ，(0,2,0)C，1(0,1A，1C ．因为23BF BC =，所以 244(,,0)333BF BC −−→−−→==-， 所以 24(,,0)33F ．由（Ⅰ）得平面1ABC的法向量为1(0,1,A C −−→=设平面1AC F 的法向量为(,,)x y z =n ，则10,0,AC AF −−→−−→⎧⋅=⎪⎨⎪⋅=⎩n n 即30,240.33y x y ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩ 令1y =，则2x =-，z = (2,1,=-n ． [11分]所以 111|||cos ,|||||AC AC AC −−→−−→−−→⋅〈〉==n n n ． [13分] 由图知 二面角1B AC F --的平面角是锐角，所以 二面角1B AC F --的大小为45︒． [14分]18．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）当1a =时，()e sin 1xf x x =⋅-，所以 ()e (sin cos )xf x x x '=+． [ 2分]因为 (0)1f '=，(0)1f =-， [ 4分]所以曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程为1y x =-． [ 5分]（Ⅱ）()e (sin cos )axf x a x x '=+． [ 6分]由 ()0f x '=，得 sin cos 0a x x +=． [ 7分] 因为 0a >，所以π()02f '≠． [ 8分] 当 ππ(0,)(,π)22x ∈ 时， 由 sin cos 0a x x +=， 得 1tan x a=-． 所以 存在唯一的0π(,π)2x ∈， 使得 01tan x a=-． [ 9分]()f x 与()f x '在区间(0,π)上的情况如下：所以 ()f x 在区间0(0,)x 上单调递增，在区间0(,π)x 上单调递减． [11分]因为π020π()()e 1e 102a f x f >=->-=，[12分]且 (0)(π)10f f ==-<，所以 ()f x 在区间[0,π]上恰有2个零点． [13分]19．（本小题满分14分） 解：（Ⅰ）由题意得 2a =，c e a ==， 所以 c ． [ 2分] 因为 222a b c =+， [ 3分] 所以 1b =， [ 4分] 所以 椭圆C 的方程为 2214x y +=． [ 5分] （Ⅱ）若四边形PAMN 是平行四边形，则 //PA MN ，且 ||||PA MN =. [ 6分] 所以 直线PA 的方程为(2)yk x =-，所以 (3,)P k ，||PA[ 7分] 设11(,)M x y ，22(,)N x y ．由 2244,y kx x y ⎧=⎪⎨+=⎪⎩ 得22(41)80k x +++=， [ 8分] 由0∆>，得 212k >． 且12x x +=122841x x k =+． [ 9分]所以 ||MN= [10分]因为 ||||PA MN =， 所以 整理得 421656330k k -+=， [12分]解得 k =或 k = [13分]经检验均符合0∆>，但k =PAMN 是平行四边形，舍去．所以 k =，或 k = [14分]20．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）②③． [ 3分] 注：只得到 ② 或只得到 ③ 给[ 1分]，有错解不给分．（Ⅱ）当3m =时，设数列n A 中1,2,3出现频数依次为123,,q q q ，由题意1(1,2,3)i q i =≥． ① 假设14q <，则有12s t a a a a +<+（对任意2s t >>），与已知矛盾，所以 14q ≥．同理可证：34q ≥． [ 5分] ② 假设21q =，则存在唯一的{1,2,,}k n ∈ ，使得2k a =．那么，对,s t ∀，有 112k s t a a a a +=+≠+（,,k s t 两两不相等），与已知矛盾，所以22q ≥． [ 7分]综上：1324,4,2q q q ≥≥≥，所以 3120i i S iq ==∑≥． [ 8分]vip 会员免费（Ⅲ）设1,2,,2018 出现频数依次为122018,,...,q q q ．同（Ⅱ）的证明，可得120184,4q q ≥≥，220172,2q q ≥≥，则2026n ≥．取12018220174,2q q q q ====，1,3,4,5,,2016i q i == ，得到的数列为：:1,1,1,1,2,2,3,4,,2015,2016,2017,2017,2018,2018,2018,2018n B ． [10分]下面证明n B 满足题目要求．对,{1,2,,2026}i j ∀∈ ，不妨令i j a a ≤，① 如果1i j a a ==或2018i j a a ==，由于120184,4q q ==，所以符合条件； ② 如果1,2i j a a ==或2017,2018i j a a ==，由于120184,4q q ==，220172,2q q ==， 所以也成立；③ 如果1,2i j a a =>，则可选取2,1s t j a a a ==-；同样的，如果2017,2018i j a a <=， 则可选取1,2017s i t a a a =+=，使得i j s t a a a a +=+，且,,,i j s t 两两不相等； ④ 如果12018i j a a <<≤，则可选取1,1s i t j a a a a =-=+，注意到这种情况每个数最多被选取了一次，因此也成立．综上，对任意,i j ，总存在,s t ，使得i j s t a a a a +=+，其中,,,{1,2,,}i j s t n ∈ 且两 两不相等．因此n B 满足题目要求，所以n 的最小值为2026． [13分]。