两个平面平行的判定和性质

两个平面平行的判定和性质（一）

●教学目标

(一)教学知识点

1．两个平面的位置关系．

2．两个平面平行的判定方法．

(二)能力训练要求

1．等价转化思想在解决问题中的运用．

2．通过问题解决提高空间想象能力．

(三)德育渗透目标

1．渗透问题相对论观点．

2．通过问题的证明寻求事物的统一性．

●教学重点

两个平面的位置关系；两个平面平行的判定．

●教学难点

判定定理、例题的证明．

●教学方法

启发式

在启发、诱思下逐步完成定理的证明过程．

平面的位置关系也需以实物(教室)为例，启发诱思完成．通过师生互议，解决例1问题．

●教具准备

投影片两张

第一张：(记作§9．5．1 A)

第二张：(记作§9．5．1 B)

●教学过程

Ⅰ．复习回顾

师生共同复习回顾，线面垂直定义，判定定理．

性质定理：归纳小结线面距离问题求解方法，以及利用三垂线定理及其逆定理解决问题．

立体几何的问题解决：一是如何将立体几何问题转化成平面几何问题；二是数学思想方法怎样得到充分利用、渗透，这些都需在实践中进一步体会．

下面继续研究面面位置关系．

Ⅱ．讲授新课

1．两个平面的位置关系

除教材上例子外，我们以所在教室为例，观察面与面之间关系．

［师］观察教室前、后两个面，左、右两个面及上、下两个面都是平行的，而其相邻两个面是相交的．［师］打开教材竖直放在桌上，其间有许多个面，它们共同点是都经过一条直线．观察教室的门与其所在墙面关系，随着门的开启，门所在面与墙面始终有一条公共线．结合生观察教室的结论，引导其寻找平面公共点，然后给出定义．

定义：如果两个平面没有公共点，我们就说这两个平面互相平行．

如果两个平面有公共点，它们相交于一条公共直线．

两个平面的位置关系只有两种：

(1)两个平面平行——没有公共点；

(2)两个平面相交——有一条公共直线．

［师］两个平面平行，如平面α和平面β平行，记作α∥β．

下面给出两个示意图，同学们考虑哪个较直观？

［生］图(1)较直观，图(2)不直观．

［师］从以上两种画法，告诉我们画图过程中应注意什么？图(2)为何不直观？

［生］画两个平面平行时，要注意把表示平面的平行四边形画成对应边平行，图(2)不直观的理由是表

示平面的平行四边形对应边不平行，其画法不恰当．

［师］现在给出两个相交平面的画法(师生互动)：

(1)先画表示两个平面的平行四边形的相交两边．

(2)再画出表示两个平面相交的线段．

(3)过线段的端点分别引线段，使它平行且等于(2)中线段．

(4)画出表示两个平行平面的平行四边形的第四边．

(被遮住部分的线，可以用虚线，也可以不画．)

2．两个平面平行的判定

判定两个平面平行可依定义，看它们的公共点如何．

［师］由两个平面平行的定义可知：其中一个平面内的所有直线一定都和另一个平面平行．这是因为在这些直线中，如果有一条直线和另一平面有公共点，这点也必是这两个平面的公共点，那么这两个平面

就不可能平行了．

另一方面，若一个平面内所有直线都和另一个平面平行，那么这两个平面平行，否则，这两个平面有公共点，那么在一个平面内通过这点的直线就不可能平行于另一个平面．由此将判定两个平面平行的问题转化为一个平面内的直线与另一个平面平行的问题，但事实上判定两个平面平行的条件不需要一个平面内的所有直线都平行于另一平面，到底要多少条直线(且直线与直线应具备什么位置关系)与另一面平行，才能判定两个平面平行呢？

下面我们共同学习定理．

两个平面平行的判定定理：

如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行．

［师］以上是两个平面平行的文字语言，另外定理的符号语言为：

若a⊂α，b⊂α，a∩b＝A，且a∥β ，b∥β ，则α∥β．

利用判定定理证明两个平面平行，必须具备：

①有两条直线平行于另一个平面；

②这两条直线必须相交．

定理的证明

§9．5．1 A

已知：在平面β内，有两条相交直线a、b和平面α平行．求证：α∥β．

［师］从平行平面的定义可知，要证α∥β，需证α、β无公共点，而要证明两面无公共点，这是困难的

事．

由此启发我们去寻求另外途径．

联想面面位置关系，利用反证法，经学生思考试着完成证明过程，证明过程实质上就是设法否定两面

相交的过程．

［生］假设两面相交，设法推出矛盾，注意等价转化思想渗透．

证明过程如下：

证明：假设α∩β＝c，

∵a∥α，a⊂β，

⇒线线平行)．

∴a∥c(线面平行

同理b∥c．

∴a∥b．

这与题设a、b是相交直线相矛盾．

∴α∥β．

⇒面面平行．［师］再从转化的角度认识该定理就是：线线相交、线面平行

［生］在判断一个平面是否水平时，把水准器在这个平面内交叉地放两次，如果水准器的气泡都是居中的，就可以判定这个平面和水平面平行，实质上正是利用了面面平行的判定定理．

(例题解析)

［例1］求证：垂直于同一直线的两个平面平行．

已知：α⊥AA′，β⊥AA′，

求证：α∥β．

(§9．5．1 B)

分析：要证两个平面平行，需设法证明一面内有两相交线与另一面平行，那么由题如何找出这两条线

成为关键．

如果这样的线能找到问题也就解决啦．

诱导学生思考怎样找线．

［生］通过作图完成找线，利用转化解决问题，证明如下：

证明：设经过AA′的两个平面r、δ分别与平面α、β相交于直线a、a′和b、b′．

∵AA′⊥α，AA′⊥β．

∴AA′⊥a，AA′⊥a′．

又a⊂γ，a′⊂γ，

∴a∥a′，于是a′∥α

同理可证b′∥α

又a′∩b′＝A′∴α∥β．

［师］这是一个重要的结论，主要用来判断空间的直线与平面具备条件：两个平面垂直于同一直线，则应有这两个平面平行．用符号语言就可以表示为：

⇒α∥β．

l⊥α，l⊥β

此题也告诉我们，空间的两个平面平行，其判定方法：1°定义；2°判定定理；3°例1结论．

Ⅲ．课堂练习

(一)课本P32练习1．(1)、(4)．

1．判断下列命题的真假，对真命题给出证明，对假命题举出反例．

(1)m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β⇒α∥β；

⇒α∥β．

(4)α内的任一直线都平行于β

解：

(1)这是一个假命题．

如黑板的上、下两边平行于地面，但黑板所在平面与地面是相交的位置关系．

(4)这是一个真命题．

在平面α内任取两相交直线a、b．

则由题a∥β，b∥β，

那么α∥β．

［前一个题是解决立体几何问题常用做法，判断一个命题为假，则需举一个反例说明即可．

而判断一个命题为真，则要有理有据地证明．］

(二)课本P32习题1，2．