汽车动力总成橡胶悬置的建模及应用
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基金项目：国家自然科学基金资助项目（50575073）；汽车安全与节能国家重点实验室开放基金资助项目 （KF2006-06） 作者简介：上官文斌（1963-），男，博士，华南理工大学副教授 E-mail：shangguanwb99@
5－74
2007 年第九届振动理论及应用学术会议论文集
Modeling and Applications of Dynamic Characteristics of Rubber Mounts for
automotive powertrain
SHANGGUAN Wen-bin ,JIANG Cuicui,WU Jie
(College of Automotive Engineering, South China University of Technology, Guangzhou, 510641)
本文对一橡胶悬置的动态特性进行了测试，建立了基于分数导数粘弹性模型的橡胶悬置动 态特性分析的模型，利用实验测试的一橡胶悬置的动态特性，拟合得到了模型的参数。计算分 析了所建立的模型与目前广泛采用的其它两种描述橡胶悬置动态特性的模型（基于 Maxwell 的 模型和粘性阻尼模型）在表征其与激振振幅和激振频率相关性；使用分数导数和 Kelvin-Voigt 模型时，计算分析了一个含有橡胶悬置的单自由度振动系统时域响应。计算结果表明，采用分 数导数模型能更加准确地描述橡胶悬置的动态特性，建立的模型可以用于含有橡胶悬置的振动 系统的动态特性分析。
1700
10
1600
9
动刚度 /K (N.mm-1) d
滞后角 f /(o)
1500
8
1400
7
1300
6
1200
振幅 = 0.05mm
5
振幅 = 0.10mm
振幅 = 0.05mm 振幅 = 0.10mm
1100
4
0
50
100
150
200
0
50
100
150
200
频率 f/Hz
频率 f/Hz
图 2 不同激振振幅下橡胶悬置动态特性的频率相关性
0
0
-200 -400 -600 -800
-1.0
-0.5 0.0 位移 x/mm
测量值 计算值
0.5
1.0
-1000 -2000 -3000
-4
-2
0
2
位移 x/mm
(a) 振幅为1mm
(b) 振幅为 4mm
图 5 激振频率为 0.01Hz 时，橡胶悬置的力-位移曲线
Felast = Kelast x
(2) 摩擦力模型
(d) 粘性阻尼模型
(2)
图 4 图形法确定参数 Kelast ， x2 和 Ff max
摩擦力 Ffrict 可以表示为[6]：
5－76
2007 年第九届振动理论及应用学术会议论文集
杭州,2007.10.17-19
⎧
⎪ Ffs
x = xs
⎪
Ffrict
=
⎪⎪ ⎨
Ffs
⎪
+
(x − xs )(Ff max − Ffs ) x2 (1− μ) + (x − xs )
x > xs
(3)
⎪
⎪ ⎪⎩
Ffs
+
(x − xs )(Ff max x2 (1+ μ) − (x
+ −
Ffs ) xs )
x < xs
其中，μ = Ffs Ff max ，( Fs ， xs )为力—位移迟滞环每个分支的状态参考点，即起始点， 并且在达到稳态之前被不断更新。SJÖBERG M[6]用图形法(见图 4)来确定参数 Kelast 、 Ff max 和 x2 ，但由于实验数据曲线并不光滑，用这种方法容易产生比较大地识别误差。
引言
橡胶悬置的动态特性与预载、激振振幅和激振频率等相关[1, 2]。目前已有不同的模型，如Maxwell 模型、Kelvin-Voigt模型或者以它们的不同组合而得到的模型等等，来表征橡胶悬置的动态特 性[3, 4, 5]，但它们都有不同的局限性。例如，由线性弹簧和粘性阻尼并联得到的Kelvin-Voigt模 型，由于粘性阻尼的存在，在高频段过高地估计了动刚度和阻尼因子[6]；由线性弹簧和粘性阻尼 串联得到的Maxwell模型，虽然在高频阶段较好地估计了动刚度，却低估了阻尼因子[6]；由 Kelvin-Voigt模型或Maxwell模型组合而得到广义Kelvin-Voigt模型或广义Maxwell模型，但却 增加了模型的复杂程度及参数个数[4, 5]。
5－75
汽车动力总成橡胶悬置的建模及应用
述橡胶悬置动态特性的模型，分别为 Maxwell 模型（图 3（c））、粘性阻尼模型（图 3（d））。
设位移激励为 x = x0 sin 2πft ，其中， x0 为振幅， f 为频率，则力响应为：
F = Felast + Ffrict + Ffreq
(1)
其中， Felast 、 Ffrict 和 Ffreq 分别为弹性恢复力、摩擦力和粘性力。下面分别给出弹性恢
复力模型、摩擦力模型和粘性力模型。
(a) 分数导数模型
(1) 弹性恢复力模型
(b) 分数导数 Maxwell 模型 (c) 基于 Maxwell 的模型 图 3 橡胶悬置动态特性模型
弹性恢复力 Felast 可以简单地表示为：
为避免图解法的困难，本文采用最小二乘法来识别摩擦力模型参数。在进行摩擦力模型
的参数识别时，应用的是橡胶悬置在低频、大振幅时的动态特性。由于实验频率很低
( f = 0.01Hz )，实验数据中含有的粘性力成份可以忽略不计，因此只含有弹性恢复力和摩
擦力。从实验数据可直接得到摩擦力模型两个分支的状态参考点，但此时的状态参考点中含
Ff max = 302N 。图 5 给出了频率为 0.01Hz ，振幅分别为1mm 、 4mm 的拟合力—位移曲
线，可以看出，计算值和测试值拟合的很好。说明该摩擦力模型以及使用最小二乘法来识别
摩擦力模型中参数可以用来表征橡胶悬置动态特性与振幅的相关性。
800
3000
600 2000
400Βιβλιοθήκη 2001000Abstract: Measurements show that dynamic characteristics of the rubber mounts relate mainly to excitation amplitude and excitation frequency. A model characterizing the relations between excitation frequencies and excitation amplitudes and the dynamic performances of a rubber mount is presented in this paper. The amplitude dependency is characterized by adding friction effects and the frequency dependency is included by a viscoelastic fractional derivative element. In order to verify the proposed model, the estimated dynamic characteristics of the rubber mount using the proposed model are compared with those estimated using two other frequently used models ( a model based on Maxwell model and a Dashpot model). A one-degree-of-freedom system with a rubber mount is used to calculate the response of a mass under the free and step excitations when the rubber model is characterized with proposed model and the ordinary K-V model, respectively. The calculated results show that the proposed model is efficient over the two other frequently used models (Maxwell and Dashpot) in estimating the frequency- and amplitude- dependent dynamic characteristics of a rubber mount. Thus the proposed model can be used to analyze dynamic response of a system with rubber mounts. Key words: Rubber mount; Modeling of dynamic characteristics; Viscoelastic fractional derivati
1 橡胶悬置的动态特性与建模
所研究的橡胶悬置的结构图和对其进行动态实验时的激振方向见图 1，橡胶悬置动态特性的 实验方法见文献[1-2]。当激振振幅不同时，橡胶悬置动态特性与激振频率的关系见图 2，由图 可见，橡胶悬置的动态特性显示出了很强的频率相关性和振幅相关性。
图 1 橡胶悬置 Fig.1 A rubber mount
本文给出的基于分数导数的模型由一个线性弹簧单元、一个粘弹性分数导数单元和一个
摩擦力单元并联而成，如图 3（a）、3（b）所示，其中， Kelast 是线性弹簧的刚度，b 、α 分 别是分数导数单元所表示粘性力的阻尼系数和分数导数阶数， Ff max 、 x2 分别是最大摩擦力
和达到最大摩擦力一半时的位移。为进行对比分析，图 3 中同时给出了其它 2 种目前用于描
汽车动力总成橡胶悬置的建模及应用
汽车动力总成橡胶悬置的建模及应用
上官文斌，蒋翠翠，吴杰
（华南理工大学汽车工程学院，广州，510641）
摘要：橡胶悬置的动态特性与激振振幅及激振频率相关，本文给出一个可以表征橡胶悬置动态特性与激振 振幅及激振频率相关的模型，其中，用摩擦力模型表征其动态特性与振幅的相关性，用分数导数粘弹性模 型表征其动态特性与频率的相关性。计算分析了所建立的模型与目前广泛采用的两种描述橡胶悬置动态特 性模型（基于 Maxwell 的模型和粘性阻尼模型）在表征其与激振振幅及激振频率的相关性；使用分数导数 和 Kelvin-Voigt 模型时，计算分析了一个含有橡胶悬置的单自由度振动系统在时域的响应。计算结果表 明，采用分数导数模型能更加准确地描述橡胶悬置的动态特性，建立的模型可以用于含有橡胶悬置的振动 系统的动态特性分析。 关键词：橡胶悬置；动态特性建模；粘弹性分数导数
有弹性恢复力的成份，这就要求在最小二乘法的拟合表达式中（包括弹性恢复力和摩擦力），
去除状态参考点中含有的弹性恢复力成份。假设从实验数据中直接得到的两个状态参考点分
别为 (Ffsb , xsb ) 和 (Ffsc , xsc ) ，则在拟合表达式中，摩擦力模型真正的状态参考点应该是
(F fsb , xsb ) 和 (F fsc , xsc ) ，其中， F fsb = Ffsb − Kelast xsb ， F fsc = Ffsc − Kelast xsc 。 用 最 小 二 乘 法 识 别 出 的 模 型 参 数 值 为 ： Kelast = 512N/mm ， x2 = 0.6mm ，
杭州,2007.10.17-19
SJÖBERG M [6]提出了一种摩擦力模型，能很好地反映模型与激振振幅的相关性。为准确描述 粘弹性材料的动态特性与激振频率的相关性，同时减少模型参数，一些学者采用了分数导数模 型。基于分数导数的粘弹性模型，只需用三到五个模型参数，可以在很宽的频域内较好地拟合 材料的复模量[7, 8]。SCHMIDT A 等[9]、BAGLEY R L 等[10, 11]详细讨论了分数导数在粘弹性材料本构 关系及有限元方程建立中的应用。随着橡胶、塑料等材料的广泛使用，分数导数模型将得到越 来越多的应用。
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2007 年第九届振动理论及应用学术会议论文集
Modeling and Applications of Dynamic Characteristics of Rubber Mounts for
automotive powertrain
SHANGGUAN Wen-bin ,JIANG Cuicui,WU Jie
(College of Automotive Engineering, South China University of Technology, Guangzhou, 510641)
本文对一橡胶悬置的动态特性进行了测试，建立了基于分数导数粘弹性模型的橡胶悬置动 态特性分析的模型，利用实验测试的一橡胶悬置的动态特性，拟合得到了模型的参数。计算分 析了所建立的模型与目前广泛采用的其它两种描述橡胶悬置动态特性的模型（基于 Maxwell 的 模型和粘性阻尼模型）在表征其与激振振幅和激振频率相关性；使用分数导数和 Kelvin-Voigt 模型时，计算分析了一个含有橡胶悬置的单自由度振动系统时域响应。计算结果表明，采用分 数导数模型能更加准确地描述橡胶悬置的动态特性，建立的模型可以用于含有橡胶悬置的振动 系统的动态特性分析。
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9
动刚度 /K (N.mm-1) d
滞后角 f /(o)
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振幅 = 0.05mm
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振幅 = 0.05mm 振幅 = 0.10mm
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频率 f/Hz
图 2 不同激振振幅下橡胶悬置动态特性的频率相关性
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-0.5 0.0 位移 x/mm
测量值 计算值
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2
位移 x/mm
(a) 振幅为1mm
(b) 振幅为 4mm
图 5 激振频率为 0.01Hz 时，橡胶悬置的力-位移曲线
Felast = Kelast x
(2) 摩擦力模型
(d) 粘性阻尼模型
(2)
图 4 图形法确定参数 Kelast ， x2 和 Ff max
摩擦力 Ffrict 可以表示为[6]：
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2007 年第九届振动理论及应用学术会议论文集
杭州,2007.10.17-19
⎧
⎪ Ffs
x = xs
⎪
Ffrict
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Ffs
⎪
+
(x − xs )(Ff max − Ffs ) x2 (1− μ) + (x − xs )
x > xs
(3)
⎪
⎪ ⎪⎩
Ffs
+
(x − xs )(Ff max x2 (1+ μ) − (x
+ −
Ffs ) xs )
x < xs
其中，μ = Ffs Ff max ，( Fs ， xs )为力—位移迟滞环每个分支的状态参考点，即起始点， 并且在达到稳态之前被不断更新。SJÖBERG M[6]用图形法(见图 4)来确定参数 Kelast 、 Ff max 和 x2 ，但由于实验数据曲线并不光滑，用这种方法容易产生比较大地识别误差。
引言
橡胶悬置的动态特性与预载、激振振幅和激振频率等相关[1, 2]。目前已有不同的模型，如Maxwell 模型、Kelvin-Voigt模型或者以它们的不同组合而得到的模型等等，来表征橡胶悬置的动态特 性[3, 4, 5]，但它们都有不同的局限性。例如，由线性弹簧和粘性阻尼并联得到的Kelvin-Voigt模 型，由于粘性阻尼的存在，在高频段过高地估计了动刚度和阻尼因子[6]；由线性弹簧和粘性阻尼 串联得到的Maxwell模型，虽然在高频阶段较好地估计了动刚度，却低估了阻尼因子[6]；由 Kelvin-Voigt模型或Maxwell模型组合而得到广义Kelvin-Voigt模型或广义Maxwell模型，但却 增加了模型的复杂程度及参数个数[4, 5]。
5－75
汽车动力总成橡胶悬置的建模及应用
述橡胶悬置动态特性的模型，分别为 Maxwell 模型（图 3（c））、粘性阻尼模型（图 3（d））。
设位移激励为 x = x0 sin 2πft ，其中， x0 为振幅， f 为频率，则力响应为：
F = Felast + Ffrict + Ffreq
(1)
其中， Felast 、 Ffrict 和 Ffreq 分别为弹性恢复力、摩擦力和粘性力。下面分别给出弹性恢
复力模型、摩擦力模型和粘性力模型。
(a) 分数导数模型
(1) 弹性恢复力模型
(b) 分数导数 Maxwell 模型 (c) 基于 Maxwell 的模型 图 3 橡胶悬置动态特性模型
弹性恢复力 Felast 可以简单地表示为：
为避免图解法的困难，本文采用最小二乘法来识别摩擦力模型参数。在进行摩擦力模型
的参数识别时，应用的是橡胶悬置在低频、大振幅时的动态特性。由于实验频率很低
( f = 0.01Hz )，实验数据中含有的粘性力成份可以忽略不计，因此只含有弹性恢复力和摩
擦力。从实验数据可直接得到摩擦力模型两个分支的状态参考点，但此时的状态参考点中含
Ff max = 302N 。图 5 给出了频率为 0.01Hz ，振幅分别为1mm 、 4mm 的拟合力—位移曲
线，可以看出，计算值和测试值拟合的很好。说明该摩擦力模型以及使用最小二乘法来识别
摩擦力模型中参数可以用来表征橡胶悬置动态特性与振幅的相关性。
800
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600 2000
400Βιβλιοθήκη 2001000Abstract: Measurements show that dynamic characteristics of the rubber mounts relate mainly to excitation amplitude and excitation frequency. A model characterizing the relations between excitation frequencies and excitation amplitudes and the dynamic performances of a rubber mount is presented in this paper. The amplitude dependency is characterized by adding friction effects and the frequency dependency is included by a viscoelastic fractional derivative element. In order to verify the proposed model, the estimated dynamic characteristics of the rubber mount using the proposed model are compared with those estimated using two other frequently used models ( a model based on Maxwell model and a Dashpot model). A one-degree-of-freedom system with a rubber mount is used to calculate the response of a mass under the free and step excitations when the rubber model is characterized with proposed model and the ordinary K-V model, respectively. The calculated results show that the proposed model is efficient over the two other frequently used models (Maxwell and Dashpot) in estimating the frequency- and amplitude- dependent dynamic characteristics of a rubber mount. Thus the proposed model can be used to analyze dynamic response of a system with rubber mounts. Key words: Rubber mount; Modeling of dynamic characteristics; Viscoelastic fractional derivati
1 橡胶悬置的动态特性与建模
所研究的橡胶悬置的结构图和对其进行动态实验时的激振方向见图 1，橡胶悬置动态特性的 实验方法见文献[1-2]。当激振振幅不同时，橡胶悬置动态特性与激振频率的关系见图 2，由图 可见，橡胶悬置的动态特性显示出了很强的频率相关性和振幅相关性。
图 1 橡胶悬置 Fig.1 A rubber mount
本文给出的基于分数导数的模型由一个线性弹簧单元、一个粘弹性分数导数单元和一个
摩擦力单元并联而成，如图 3（a）、3（b）所示，其中， Kelast 是线性弹簧的刚度，b 、α 分 别是分数导数单元所表示粘性力的阻尼系数和分数导数阶数， Ff max 、 x2 分别是最大摩擦力
和达到最大摩擦力一半时的位移。为进行对比分析，图 3 中同时给出了其它 2 种目前用于描
汽车动力总成橡胶悬置的建模及应用
汽车动力总成橡胶悬置的建模及应用
上官文斌，蒋翠翠，吴杰
（华南理工大学汽车工程学院，广州，510641）
摘要：橡胶悬置的动态特性与激振振幅及激振频率相关，本文给出一个可以表征橡胶悬置动态特性与激振 振幅及激振频率相关的模型，其中，用摩擦力模型表征其动态特性与振幅的相关性，用分数导数粘弹性模 型表征其动态特性与频率的相关性。计算分析了所建立的模型与目前广泛采用的两种描述橡胶悬置动态特 性模型（基于 Maxwell 的模型和粘性阻尼模型）在表征其与激振振幅及激振频率的相关性；使用分数导数 和 Kelvin-Voigt 模型时，计算分析了一个含有橡胶悬置的单自由度振动系统在时域的响应。计算结果表 明，采用分数导数模型能更加准确地描述橡胶悬置的动态特性，建立的模型可以用于含有橡胶悬置的振动 系统的动态特性分析。 关键词：橡胶悬置；动态特性建模；粘弹性分数导数
有弹性恢复力的成份，这就要求在最小二乘法的拟合表达式中（包括弹性恢复力和摩擦力），
去除状态参考点中含有的弹性恢复力成份。假设从实验数据中直接得到的两个状态参考点分
别为 (Ffsb , xsb ) 和 (Ffsc , xsc ) ，则在拟合表达式中，摩擦力模型真正的状态参考点应该是
(F fsb , xsb ) 和 (F fsc , xsc ) ，其中， F fsb = Ffsb − Kelast xsb ， F fsc = Ffsc − Kelast xsc 。 用 最 小 二 乘 法 识 别 出 的 模 型 参 数 值 为 ： Kelast = 512N/mm ， x2 = 0.6mm ，
杭州,2007.10.17-19
SJÖBERG M [6]提出了一种摩擦力模型，能很好地反映模型与激振振幅的相关性。为准确描述 粘弹性材料的动态特性与激振频率的相关性，同时减少模型参数，一些学者采用了分数导数模 型。基于分数导数的粘弹性模型，只需用三到五个模型参数，可以在很宽的频域内较好地拟合 材料的复模量[7, 8]。SCHMIDT A 等[9]、BAGLEY R L 等[10, 11]详细讨论了分数导数在粘弹性材料本构 关系及有限元方程建立中的应用。随着橡胶、塑料等材料的广泛使用，分数导数模型将得到越 来越多的应用。