高二数学同步测试(9)—向量的加减法、实数与向量的乘积
2020_2021学年高二数学上册空间向量的数乘运算同步练习pdf含解析
A． 1 a 1 b c 22
C． 1 a 1 b c 22
【答案】B
B． 1 a 1 b c 22
D． 1 a 1 b c 22
【解析】如图所示， MC1 MC CC1 ，
MC
1 2
AC
，
AC
AB
AD
，
AB
a
，
AD
b
， CC1
c
，
1
MC1 2
AB AD
CC1
1 2
AB
2．已知正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,AC1 的中点为 O,则下列命题中正确的是（ ）
A． OA OD 与 OB1 OC1 是一对相等向量
B． OB OC 与 OA1 OD1 是一对相反向量
C． OA1 OA 与 OC OC1 是一对相等向量
D． OA OB OC OD 与 OA1 OB1 OC1 OD1 是一对相反向量
c.
故选 B
4．在平行六面体 ABCD A1B1C1D1 ，设 AA1 a ， AB b ， AD c ， M，N，P 分别是 AA1 ， BC ，
C1D1的中点，则 MP NC1 （ ）
A． 3 a 1 b 3 c 222
C． 1 a 1 b c 22
【答案】A 【解析】如图
A． 1 a 2 b 1 c 232
B． 2 a 1 b 1 c 322
C． 1 a 1 b 2 c 223
【答案】B
D． 2 a 2 b 1 c 332
【解析】 MN
＝ ON
－ OM
＝
1 2
( OB
＋ OC
)－
2 3
OA ＝
1 2
向量的加减法实数与向量的乘积专题练习
高中学生学科素质训练高一数学同步测试（9）—向量的加减法、实数与向量的乘积一、选择题（每小题5分，共60分，请将所选答案填在括号内）1．如图，已知四边形ABCD 是梯形，AB ∥CD ，E 、F 、G 、H 分别是AD 、BC 、AB 与CD 的中点，则EF 等于（ ）A ．BC AD +B ．DC AB +C ．DH AG +D ．GH BG +2．下列说法正确的是 （ ） A ．方向相同或相反的向量是平行向量 B ．零向量的长度为0C ．长度相等的向量叫相等向量D ．共线向量是在同一条直线上的向量3．在△ABC 中，D 、E 、F 分别BC 、CA 、AB 的中点，点M 是△ABC 的重心，则 MC MB MA -+等于（ ）A ．OB ．MD 4C ．MF 4D ．ME 4 4．已知向量b a 与反向，下列等式中成立的是（ ） A ．||||||b a b a -=- B ．||||b a b a -=+C ．||||||b a b a -=+D ．||||||b a b a +=+5．在 ABCD 中，设d BD c AC b AD a AB ====,,,，则下列等式中不正确的是（ ） A ．c b a =+ B ．d b a =- C ．d a b =-D ．b a c =-6．下列各量中是向量的是（ ） A ．质量 B ．距离 C ．速度 D ．电流强度7．在矩形ABCD 中，O 是对角线的交点，若OC e DC e BC 则213,5=== （ ）A ．)35(2121e e + B ．)35(2121e e - C ．)53(2112e e - D ．)35(2112e e - 8．若),,(,,,R o b a b a ∈=+μλμλ不共线则（ ）A ．o b o a ==,B ．o o a ==μ,C ．o b o ==,λD ．o o ==μλ, 9．化简)]24()82(21[31b a b a --+的结果是（ ）A ．b a -2B ．a b -2C ．a b -D ．b a -10．下列三种说法：①一个平面内只有一对不共线向量可作为表示该平面所有向量的基底 ②一个平面内有无数对不共线向量可作为该平面的所有向量的基底 ③零向量不可作为基底中的向量。
高二数学实数与向量的积
C
变式练习2:
已知OA a , OB b , 对任意点M , 关于点A的 对称点为S，点S关于点B的对称点为N， 试用 向量a , b 表示MN。
简析： MN 2AB （ 2 OB OA) 2(b a )
N
b
O
M
B A
a
S
上海保健 上海保健
P A P C 2P M PB PD 2 PN 又 G是MN中点 PM PN 2 PG 得证。
B P A N G
M C
PA PB PC PD 2( PM PN ) 4 PG
开放创新：
已知四边形ABCD是菱形，点P在对角线AC上， （不包括端点 A，C），则AP ( A )
长度是OB 的3倍。
B
A
A
B
O
所以OB与OB共线且同向，
例 4：
在ABC中，设D为边BC的中点，求证： 1 AD ( AB AC) A 2
A M B B D C D C B M D C A N
变式练习2:
2.如图示，四边形 ABCD对角线AC与BD的中点M , N .且M , N的中点为G , P为该平面内的任意一点 . 求证 : 4 PG PA PB PC PD 证明： M，N是AC, BD中点
C N B
2 4 x c d 3 3 4 2 y c d 3 3
OA 3OA, AB 3 AB 例3 如图示：已知 说明向量OB与OB的关系.
解： OB OA AB 3OA 3AB 3(OA AB) 3OB
xrg08yua
口气，趴在桌子上。由于动作过猛，吹起了写着作文的纸，突然发现还有一张纸是空白的。慕容凌娢拿起来一看，顿时有种想 骂人的冲动。这上面居然还有两道题。第一道——九百九十九文钱，及时梨果买一千。一十一文梨九个，七枚果子四文钱。问: 梨果多少价几何?小学级别的数学题，绝对是送分题。慕容凌娢飞快点的算出了答案。第二题算是几何题，用勾股定理求证边 长。慕容凌娢很轻松的写出了求证过程。然后……以下就是她的懵逼时间盯着写满整张纸的阿拉伯数字发呆……这个朝代的人 估计不会支持使用阿拉伯数字吧……不知怎么了，她居然在悲愤纠结中睡了过去。被拽醒时，她依稀记得那个收卷人嫌弃的表 情。毕竟她的睡相很糟糕，而且还把试卷压得死死的……浑浑噩噩的走出号房，慕容凌娢感觉已经是生无可恋了，就像马上要 开家长会了一样。等等！这个年代好像没有家长会吧？那我怕个毛线！太阳落了明早依旧爬上来～劳资考砸明天还是一样的 嗨～大不了换个路线，或者三年之后再考。慕容凌娢绕开人员密集的地带，不仅感叹，没想到这个时代的人居然也会对答案。 可惜啊～我连个可以对答案的人都没有。还是赶快回去吧……慕容凌娢走到了贡院的正门附近，看见门前站着几人，应该也是 在讨论题目的考生，本想要直接走过去。结果其中一人无意间回眸，吓得慕容凌娢赶紧窜回了人多的地方。我去～我怎么这么 倒霉啊。那个是张祁渊吗？应该是的，也许是的，很可能是……我骗谁啊！明明就是。他好像看到我了，怎么办怎么办……慕 容凌娢有种身体被掏空的紧张感。诶……他好像没有见过我长什么样吧……对，他绝对不认识我，不认识我……柯蒂丽娅隐藏 在一群人中，跟着他们出了贡院。“祁渊，你怎么心不在焉的？”“没什么。”张祁渊温煦一笑，“好像认错了人……”出了 贡院，慕容凌娢快步往回走，生怕张祁渊出来时认出她。“这位姑娘情留步。”好像是冲着自己叫得……慕容凌娢回头到一半， 然后又赶快扭了回来。差点就露馅了……自己现在可是穿的男装啊。可是这说话的声音……怎么有点熟悉呢？第080章 天机不 可泄露迟疑了片刻，慕容凌娢终于回过头。发现路边坐着一个算命先生，留着很长的胡子，身前的桌子上摆着铜钱，《周易》， 挂签之类的东西。桌旁摆着的旌旗上还写着“胡半仙”。历史果然总是惊人的相似，当年夏桦不就是这样把自己骗到晴穿会嘛。 慕容凌娢不禁多打量了那个算命先生几眼，结果发现算命先生也正在看着自己。反正闲着也没事，慕容凌娢就走了过去。好奇 心害死猫的剧情又有了进展。“你在叫我？”“是啊。”“你认识我？”“没错。”“你知道我……女扮男装？”“当 然。”“我去～666，你开挂了？”“没
人教版高中数学必修第二册6.2.1-6.2.2 向量的减法运算 向量的加法运算 同步精练(含解析)
人教版高中数学必修第二册6.2.1-6.2.2向量的减法运算向量的加法运算同步精练【考点梳理】考点一向量加法的定义及其运算法则1.向量加法的定义：求两个向量和的运算，叫做向量的加法.2.向量求和的法则考点二向量加法的运算律交换律a ＋b ＝b ＋a 结合律(a ＋b )＋c ＝a ＋(b ＋c )技巧：向量加法的平行四边形法则和三角形法则的区别和联系区别联系三角形法则(1)首尾相接(2)适用于任何向量求和三角形法则作出的图形是平行四边形法则作出图形的一半考点三：相反向量1.定义：与向量a 长度相等，方向相反的向量，叫做a 的相反向量，记作－a .2.性质(1)零向量的相反向量仍是零向量.(2)对于相反向量有：a ＋(－a )＝(－a )＋a ＝0.(3)若a ，b 互为相反向量，则a ＝－b ，b ＝－a ，a ＋b ＝0.考点四：向量的减法向量求和的法则三角形法则已知非零向量a ，b ，在平面内任取一点A ，作AB →＝a ，BC →＝b ，则向量AC →叫做a 与b 的和，记作a ＋b ，即a ＋b ＝AB →＋BC →＝AC →.这种求向量和的方法，称为向量加法的三角形法则.对于零向量与任意向量a ，规定a ＋0＝0＋a ＝a平行四边形法则以同一点O 为起点的两个已知向量a ，b 为邻边作▱OACB ，则以O 为起点的对角线OC →就是a 与b 的和.把这种作两个向量和的方法叫做向量加法的平行四边形法则1.定义：向量a加上b的相反向量，叫做a与b的差，即a－b＝a＋(－b)，因此减去一个向量，相当于加上这个向量的相反向量，求两个向量差的运算，叫做向量的减法.2.几何意义：在平面内任取一点O，作OA→＝a，OB→＝b，则向量a－b＝BA→，如图所示.3.文字叙述：如果把两个向量的起点放在一起，那么这两个向量的差是以减向量的终点为起点，被减向量的终点为终点的向量.【题型归纳】题型一：向量加法法则1．（2021·全国·高一课时练习）如图，已知向量a，b，c不共线，作向量a+b+c．2．（2021·全国·高一课时练习）如图，已知向量a，b不共线，求作向量a b ．3．（2021·全国·高一课时练习）如图，O 为正六边形ABCDEF 的中心，作出下列向量：（1）OA OC +；（2）BC FE +（3）OA FE +．题型二：向量加法的运算律4．（2021·陕西·宝鸡市陈仓区教育体育局教学研究室高一期中）向量AB CB BD BE DC ++++化简后等于（）A ．A EB ．ACC ．ADD ．AB5．（2021·全国·高一课时练习）如图，四边形ABCD 是梯形，AD ∥BC ，对角线AC 与BD 相交于点O ，则OA BC AB DO +++等于（）A ．CDB ．DC C ．DAD ．DO6．（2021·广东·茂名市华英学校高一阶段练习）向量()()AB PB BO BM OP ++++化简后等于（）A ．BCB ．ABC ．ACD ．AM题型三：向量加法法则的几何应用7．（2021·全国·高一课时练习）如图，D ，E ，F 分别为ABC 的边AB ，BC ，CA 的中点，则（）A ．0AD BE CF ++=B ．0++=BD CF DFC ．0++=AD CE CF D ．0++=BD BE FC 8．（2021·全国·高一课时练习）如图，在正六边形ABCDEF 中，BA CD FB ++等于（）A ．0B ．BEC ．AD D ．CF9．（2021·江西省修水县英才高级中学高一阶段练习）如图，在平行四边形ABCD 中，E 是CD 的中点，设AB a =，AD b =，则向量BE =（）.A ．12a b-B ．12a b-+C ．12a b-D ．12a b-+题型四：相反向量10．（2021·辽宁·建平县实验中学高一期末）如图，在四边形ABCD 中，AC 与BD 交于点O ，若AD BC =，则下面互为相反向量的是（）A ．AC 与CBB ．OB 与ODuuu rC ．AB 与DCD ．AO 与OC11．（2021·山西临汾·高一阶段练习）在任意四边形ABCD 中，E ，F 分别为AD ，BC 的中点，设,AB a CD b ==，下列式子正确的是（）A ．2a b EF+=B ．2a b EF-=C ．a b EF+=D ．a b EF-=12．（2021·全国·高一单元测试）若b 是a 的负向量，则下列说法中错误的是（）A ．a 与b 的长度必相等B ．//a bC ．a 与b 一定不相等D ．a 是b 的负向量题型五：向量减法法则13．（2021·全国·高一课时练习）如图，已知向量a ，b ，c ，求作向量a b c --．14．（2021·全国·高一课时练习）如图，点O 是ABCD 的两条对角线的交点，AB a =，DA b =，OC c =，求证：b c a OA +-=．15．（2021·全国·高一课时练习）如图，已知OA a =，OB b =，OC c =，OD d =，OF f =，试用a ，b ，c ，d ，f r表示以下向量：（1）AC ；（2）AD ；（3）AD AB -；（4）AB CF +；（5）BF BD -．题型六：向量减法的运算律16．（2021·全国·高一课时练习）下列运算正确的个数是（）①()326a a -⋅=-；②()()223a b b a a +--=；③()()220a b b a +-+=．A ．0B ．1C ．2D ．317．（2021·北京市第一六六中学高一期中）在ABC 中，13BD BC =，若AB a =，AC b =,则AD =（）A ．1233a b-B ．1233a b+C ．2133a b+D ．2133a b-18．（2021·浙江·金乡卫城中学高一阶段练习）在平行四边形ABCD 中，设M 为线段BC 的中点，N 为线段AB 上靠近A 的三等分点，AB a =，AD b =，则向量NM =（）A ．1132a b+B ．2132a b+C ．1132a b-D ．2132a b-题型七：向量减法法则的几何应用19．（2021·全国·高一课时练习）已知非零向量a 与b 方向相反，则下列等式中成立的是（）A ．a b a b -=-B ．a b a b +=-C ．a b a b+=-D ．a b a b+=+20．（2021·全国·高一单元测试）已知正方形ABCD 的边长为1，AB a =，BC b =，AC c =，则||a b c +-等于（）A ．0B ．1C ．2D ．221．（2021·全国·高一课时练习）如图，向量AB a →=，AC b →=，CD c →=，则向量BD →可以表示为（）A ．a b c --B ．b a c +-C ．a b c-+D ．b a c-+【双基达标】一：单选题22．（2021·全国·高一课时练习）化简下列各式：①AB BC CA ++；②()AB MB BO OM +++uu u r uuu r uu u r uuu r；③OA OC BO CO +++；④AB CA BD DC +++．其中结果为0的个数是（）A ．1B ．2C ．3D ．423．（2021·全国·高一课时练习）已知a 、b 是不平行的向量，若2AB a b =+，4BC a b =--，53CD a b =--，则下列关系中正确的是（）A ．AD CB =B ．AD BC =C ．2AD BC=D ．2AD BC=-24．（2021·全国·高一课时练习）若非零向量a 和b 互为相反向量，则下列说法中错误的是（）．A ．//a br r B ．a b≠C ．a b≠r r D ．b a=-25．（2021·全国·高一课时练习）已知点O 是ABCD 的两条对角线的交点，则下面结论中正确的是（）．A ．AB CB AC +=B ．AB AD AC+=C ．AD CD BD+≠D ．0AO CO OB OD +++≠26．（2021·全国·高一课时练习）下列四式不能化简为PQ 的是（）A ．()AB PA BQ ++B ．()()AB PC BA QC ++-C ．QC CQ QP +-D ．PA AB BQ+-27．（2021·全国·高一课时练习）已知六边形ABCDEF 是一个正六边形，O 是它的中心，其中,,OA a OB b OC c ===，则EF =（）A ．a b +B ．b a -C ．-c bD ．b c-r r28．（2021·全国·高一课前预习）下列等式中，正确的个数为（）①0a a -=-；②()a a --=；③()0a a +-=；④0a a +=；⑤()a b a b -=+-；⑥()0a a --=．A ．3B ．4C ．5D ．629．（2021·重庆实验外国语学校高一阶段练习）如右图，D ，E ，P 分别是ABC 的边AB ，BC ，CA 的中点，则（）A ．0AD BE CF ++=B ．0BD CF DF -+=uu u r uu u r uuu r rC ．0AD CE CF +-=uuu r uur uu u r r D ．0BD BE FC --=30．（2021·山东济南·高一期末）在ABC 中，若点D 满足3BC DC =，则（）A ．1233AD AB AC =+B ．2133AD AB AC =-C ．1344AD AB AC =+D ．3144AD AB AC =-31．（2021·山东滨州·高一期末）在ABC 中，2BD DC =，AE ED =，则BE =（）A ．1536AC AB-+B ．1536AC AB-C ．1136AC AB-+D ．1136AC AB-【高分突破】一：单选题32．（2021·全国·高一课时练习）设()()a AB CD BC DA =+++，b 是任一非零向量，则在下列结论中:①//a b r r；②a b a +=；③a b b +=；④a b a b +<+；⑤a b a b +=+.正确结论的序号是（）A ．①⑤B ．②④⑤C ．③⑤D ．①③⑤33．（2021·山东枣庄·高一期中）已知点G 是三角形ABC 所在平面内一点，满足0GA GB GC ++=，则G 点是三角形ABC 的（）A ．垂心B ．内心C ．外心D ．重心34．（2021·全国·高一课时练习）下列命题中正确的是（）A ．如果非零向量a 与b 的方向相同或相反，那么a b +的方向必与a ，b 之一的方向相同B ．在ABC 中，必有0AB BC CA ++=C ．若0AB BC CA ++=，则A ，B ，C 为一个三角形的三个顶点D ．若a ，b 均为非零向量，则||a b +与||||a b +一定相等35．（2021·福建·莆田第二十五中学高一期中）如图，已知OA a =，OB b =，OC c =，2AB BC =，则下列等式中成立的是（）A ．2c a b =-B ．2=-c b aC ．3122c b a =-D ．3122c a b =-36．（2021·安徽·六安市裕安区新安中学高一期中）在平行四边形ABCD 中，14AE AC =，设AB a =，BC b =，则向量DE =uuu r （）A ．1344a b-B ．3144a b-C ．2133a b-D ．1233a b-37．（2021·湖南·高一阶段练习）在ABC 中，点E ，F 在边AB 上，且E ，F 为AB 边上的三等分点（其中E 为靠近点A 的三等分点），且CE mCB nCA =+，则（）A ．23m =，13n =-B ．13m =，23n =C ．23m =，13n =D ．13m =，23n =-38．（2021·全国·高一课时练习）（多选）下列结论中错误的是（）A ．两个向量的和仍是一个向量B ．向量a 与b 的和是以a 的始点为始点，以b 的终点为终点的向量C ．0a a+=D ．向量a 与b 都是单位向量，则||2a b +=r r 39．（2021·广东·江门市新会第二中学高一阶段练习）下列各式结果为零向量的有（）A ．AB CA BC→→→++B ．AB AC BD CD+++C ．OA OD AD-+D ．NQ QP MN MP++-40．（2021·广东·南方科技大学附属中学高一期中）已知点D ，E ，F 分别是ABC 的边,,AB BC AC 的中点，则下列等式中正确的是（）A ．FD DA FA +=B ．0FD DE EF ++=C ．DE DA EC+=D ．DA DE FD+=41．（2021·江苏·南京二十七中高一期中）已知OD OE OM +=，则下列结论正确的是（）A ．OD EO OM +=B ．OM DO OE +=C ．OM OE OD-=D ．DO EO MO+=42．（2021·广东·洛城中学高一阶段练习）化简以下各式，结果为0的有（）A ．AB BC CA ++B ．AB AC BD CD -+-C ．OA OD AD-+D ．NQ QP MN MP++-43．（2021·福建·永安市第三中学高中校高一阶段练习）下列命题中,正确的命题为（）A ．对于向量,a b ，若||||a b =，则a b =或=-a bB ．若e 为单位向量，且a //e ，则||a a e =±C ．若a 与b 共线，b 与c 共线，则a 与c 共线D ．四边形ABCD 中，AB CD AD CB+=+uu u r uu u r uuu r uu r 二：填空题44．（2021·全国·高一课时练习）已知平面内三个不同的点A 、B 、C ，则“A 、B 、C 是一个三角形的三个顶点”是“0AB BC AC ++=”的___________条件.（填“充分不必要”、“必要不充分”或“充要”）45．（2021·全国·高一课时练习）已知下列各式：①AB BC CA ++；②()AB MB BO OM +++；③OA OC BO CO +++；④AB CA BD DC +++.其中结果为0的是____.(填序号)46．（2021·全国·高一课时练习）在ABC 中，D 是BC 的中点．若AB c =，AC b =，BD a =，d AD =，则下列结论中成立的是________．（填序号）①d a b -=；（2）d a b -=-；③d a c -=；④d a c -=-．47．（2021·全国·高一课时练习）如图，在正六边形ABCDEF 中，与OA OC CD -+相等的向量有__.①CF ；②AD ；③BE ；④DE FE CD -+；⑤CE BC +；⑥CA CD -；⑦AB AE +.三：解答题48．（2021·全国·高一课时练习）化简．（1）AB CD BC DA +++．（2）()()AB MB BO BC OM ++++．49．（2021·上海·高一课时练习）向量,,,,a b c d e r r r u r r 如图所示，据图解答下列问题：（1）用,,a d e 表示DB ；（2）用,b c 表示DB ；（3）用,,a b e 表示EC ；（4）用,d c 表示EC .50．（2021·全国·高一课时练习）化简：（1）AB BC CA ++；（2） ()AB MB BO OM +++；（3）OA OC BO CO +++；（4）AB AC BD CD -+-；（5）OA OD AD -+；（6）AB AD DC --；（7）NQ QP MN MP ++-.51．（2021·全国·高一课时练习）如图，四边形OADB 是以向量OA a =，OB b =为边的平行四边形，又13BM BC =，13CN CD =，试用a 、b 表示OM 、ON 、MN .【答案详解】【详解】由向量加法的三角形法则，a +b +c 如图，2．作图见解析，BA a b=-【分析】利用向量的加法法则求解.【详解】如图，在平面内任取一点O ，作OA a =，OB b =．因为OB BA OA +=，即b BA a +=，所以BA a b =-．3．（1）答案见解析（2）答案见解析（3）答案见解析【分析】利用向量加法的三角形法则或平行四边形法则进行求解﹒（1）因为四边形OABC 是以OA ，OC 为邻边的平行四边形，OB 为其对角线，所以OA OC OB +=uu r uuu r uu u r ．（2）因为BC 与FE 方向相同且长度相等，所以BC 与FE 是相同的向量，从而BC FE +与BC 方向相同，长度为BC 长度的2倍，因此，BC FE +可用AD 表示，即BC FE AD +=．（3）因为OA 与FE 是一对相反向量，所以0OA FE +=．4．A【分析】根据向量的线性运算求解即可.【详解】由AB CB BD BE DC AC CB BE AE →→++++=++=,故选：A5．B【分析】利用向量加法的三角形法则以及向量加法的交换律即可求解.【详解】OA BC AB DO DO OA AB BC DC =++++=++.故选：B6．D【分析】根据向量的加法运算即可得到结果.【详解】()()()()AB PB BO BM OP AB BM PB BO OP AM++++=++++=故选：D7．A【分析】根据平面向量的线性运算法则计算可得；【详解】解：D Q ，E ，F 分别是ABC 的边AB ，BC ，CA 的中点，∴12AD AB =，12BE BC =，12CF CA =，则1111()02222AD BE CF CA AB CA CA AB CA ++=++=++=，故A 正确；()1111122222BD CF DF BA CA BA CA BA BC BC ++=++=++=，故B 错误；()1111122222AD CE CF AB CB CA CA AB CB CB ++=++=++=，故C 错误；()1111122222BD BE FC BA BC AC BA AC BC BC ++=++=++=，故D 错误；故选：A ．8．A【分析】根据相等向量和向量加法运算直接计算即可.【详解】CD AF =，∴0BA CD FB BA AF FB ++==++.故选：A.9．B【分析】根据平行四边形的性质，利用向量加法的几何意义有BE BC CE =+，即可得到BE 与a 、b 的线性关系.【详解】由题设，AB DC a ==，则12EC a =，又AD BC b ==uuu r uu u r r ，∴12BE BC CE b a =+=-.故选：B10．B【分析】首先根据题意得到四边形ABCD 是平行四边形，从而得到OB 与OD uuu r 为相反向量.【详解】因为AD BC =，所以四边形ABCD 是平行四边形，所以AC ，BD 互相平分，所以OB OD =-，即OB 与OD uuu r 为相反向量.故选：B11．B【分析】根据题意，由向量的加法可得：EF EA AB BF =++和 EF ED DC CF =++，两个式子相加，化简即可得到答案.【详解】在任意四边形ABCD 中，E ，F 分别为AD ，BC 的中点，设,AB a CD b ==，则EF EA AB BF =++,同时有 EF ED DC CF =++，则有2 EF EA ED AB DC BF CF =+++++,因为E 、F 分别为AD,BC 的中点，则0, 0EA ED BF CF +=+=则有2a b EF -=.故选:B.12．C【分析】根据向量的定义判断．【详解】b 是a 的负向量，即b a =-，因此它们的长度相等，方向相反，即共线（平行），a 也是b 的负向量，但a 与b 一般不相等（只有它们为零向量时相等）．错误的C ．故选：C ．13．见解析【分析】利用向量减法的三角形法则即可求解.【详解】由向量减法的三角形法则，令,a OA b OB →→→==,则a b OA OB BA →→→→→-=-=,令c BC →→=,所以a b c BA BC CA →→→--=-=.如下图中CA →即为a b c --.14．证明见解析【分析】利用向量的加法法则和向量相等求解.【详解】证明：因为四边形ABCD 是平行四边形，所以DA CB =．因为b c DA OC OC CB OB +=+=+=，OA a OA AB OB +=+=，所以b c OA a +=+，即b c a OA +-=．15．（1）c a→→-（2）d a→→-（3）d b→→-（4）b a f c→→→→-+-（5）f d→→-【分析】由向量减法法则依次计算即可得出各小问的结果.（1）AC OC OA c a →→→→=-=-.（2）AD OD OA d a →→→→=-=-.（3）AD AB BD OD OB d b →→→→→-==-=-.（4）AB CF OB OA OF OC b a f c →→→→→→→→+=-+-=-+-.（5）BF BD DF OF OD f d →→→→→-==-=-.16．C【分析】利用平面向量的加法，减法，数乘运算及其运算律判断.【详解】①()326a a -⋅=-，由数乘运算知正确；②()()223a b b a a +--=，由向量的运算律知正确；③()()220a b b a +-+=，向量的加法，减法和数乘运算结果是向量，故错误.故选：C17．C【分析】根据平面向量的线性运算法则，用AB ，AC ,表示出AD 即可.【详解】()112121333333AD AB BD AB BC AB AC AB AB AC a b =+=+=+-=+=+.故选：C18．B【分析】根据题意作出图形，将AM 用a 、b 的表达式加以表示，再利用平面向量的减法法则可得出结果.【详解】解：由题意作出图形：在平行四边形ABCD 中，M 为BC 的中点，则12AM AB BM a b =+=+又N 为线段AB 上靠近A 的三等分点，则1133AN AB a ==11212332NM AM AN a b a a b ∴=-=+-=+故选：B19．C【分析】根据方向相反的两个向量的和或差的运算逐一判断.【详解】A.a b -可能等于零，大于零，小于零，0a b a b -=+>，A 不成立B.a b a b +=-r r r r ，a b a b -=+，B 不成立C.a b a b -=+，C 成立D.a b a b a b +=-≠+，D 不成立.故选：C.20．A【分析】根据向量的线性运算即可求出．【详解】因为AB a =，BC b =，AC c =，所以0a b c AB BC AC AC AC +-=+-=-=．故选：A ．21．D【分析】根据平面向量的加减法法则结合图形即可得到答案.【详解】如图，BD BC CD AC AB CD b a c →→→→→→→→→=+=-+=-+.故选：D.22．B【分析】根据向量的加减运算法则计算，逐一判断①②③④的正确性，即可得正确答案.【详解】对于①：0AB BC CA AC CA ++=+=，对于②：()AB MB BO OM AB BO OM MB AM MB AB +++=+++=+=uu u r uuu r uu u r uuu r uu u r uu u r uuu r uuu r uuu r uuu r uu u r，对于③：()()0OA OC BO CO BO OA CO OC BA BA +++=+++=+=，对于④：()()0AB CA BD DC AB BD DC CA AD DA +++=+++=+=，所以结果为0的个数是2，故选：B23．C【分析】结合向量的加法法则运算即可.【详解】AD ＝AB ＋BC ＋CD ＝8a -2b -＝()24a b --＝2BC ．故选：C24．C【分析】根据相反向量的定义逐项判断即可．【详解】解：由平行向量的定义可知A 项正确；因为a 和b 的方向相反，所以a b ≠，故B 项正确；由相反向量的定义可知a b =-，故选D 项正确；由相反向量的定义知||||a b =，故C 项错误；故选：C ．25．B【分析】根据平面向量线性运算法则计算可得；【详解】对于A ：AB CB AB DA DB +=+=，故A 错误；对于B ：AB AD AC +=，故B 正确；对于C ：A B AD CD D B A D +=+=，故C 错误；对于D ：0AO CO OB OD +++=，故D 错误；故选：B26．D【分析】由向量加减法法则计算各选项，即可得结论．【详解】A 项中，()()AB PA BQ AB BQ AP AQ AP PQ ++=+-=-=；B 项中，()()()()AB PC BA QC AB AB PC CQ PQ ++-=-++=；C 项中，QC CQ QP QP PQ +-=-=；D 项中，PA AB BQ PB BQ PQ +-=-≠.故选：D.27．D【分析】由图形可得EF CB OB OC ==-，从而可得正确的选项.【详解】EF CB OB OC b c -=-==，故选：D.28．C【分析】利用向量加减法的运算性质，转化各项表达式即可知正误.【详解】由向量加减法的运算性质知：①0a a -=-；②()a a --=；③()0a a +-=；④0a a +=；⑤()a b a b -=+-，正确；⑥()2a a a a a --=+=，错误.故选：C29．A【分析】根据向量加法和减法的运算法则结合图像逐一运算即可得出答案.【详解】解：0AD BE CF DB BE ED DE ED ++=++=+=，故A 正确；BD CF DF BD FC DF BC -+=++=，故B 错误；AD CE CF AD FE AD DB AB +-=+=+=，故C 错误；2BD BE FC ED FC ED DE ED --=-=-=，故D 错误.故选：A.30．A【分析】利用向量加减法公式，化简已知条件，即可判断结果.【详解】由条件可知()3AC AB AC AD -=-，得1233AD AB AC =+.故选：A31．B【分析】利用向量加法和减法计算即可求解.【详解】()1122BE AE AB AD AB AC CD AB =-=-=+-()11112323AC CB AB AC AB AC AB ⎛⎫⎡⎤=+-=+-- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦1211523336AC AB AB AC AB ⎛⎫=+-=- ⎪⎝⎭，故选：B.32．D【分析】根据向量线性运算可确定a 为零向量，由此可判断得到结果.【详解】()()()()0a AB CD BC DA AB BC CD DA AC CA =+++=+++=+=，又b 是任一非零向量，//a b ∴，a b b +=，a b a b +=+，∴①③⑤正确.故选：D.33．D【分析】由题易得GA GB CG +=，以GA 、GB 为邻边作平行四边形GADB ，连接GD ，交AB 于点O ，进而可得CG GD =，进而可得13GO CO =，所以CG 所在的直线CO 是AB 边上的中线，同理可证AG 所在的直线是BC 边上的中线，BG 所在的直线是AC 边上的中线，最后得出答案即可.【详解】因为0GA GB GC ++=，所以GA GB GC CG +=-=，以GA ､GB 为邻边作平行四边形GADB ，连接GD ，交AB 于点O ，如图所示：则CG GD =，所以13GO CO =，点O 是AB 边的中点，所以CG 所在的直线CO 是AB 边上的中线，同理可证AG 所在的直线是BC 边上的中线，BG 所在的直线是AC 边上的中线，所以G 点是三角形ABC 的重心.故选：D .34．B【分析】根据向量的线性运算法则，逐一分析各个选项，即可得答案.【详解】对于A ：当a 与b 为相反向量时，0a b +=，方向任意，故A 错误；对于B ：在ABC 中，0AB BC CA ++=，故B 正确；对于C ：当A 、B 、C 三点共线时，满足0AB BC CA ++=，但不能构成三角形，故C 错误；对于D ：若a ，b 均为非零向量，则a b a b +≤+，当且仅当a 与b 同向时等号成立，故D 错误.故选：B35．C【分析】结合图形，利用向量加，减法，计算向量.【详解】2AB BC =，()2OB OA OC OB ∴-=-，得3122OC OB OA =-，即3122c b a =-r r r .故选：C36．A【分析】利用向量的加、减法法则计算即可.【详解】解：()()1111344444DE AE AD AC BC AB BC BC a b b a b =-=-=+-=+-=-.故选：A.37．B【分析】利用向量的加法、减法线性运算即可求解.【详解】()22123333CE CB BE CB BA CB CA CB CB CA ==+=++-=+，所以13m =，23n =.故选：B38．BD【分析】根据向量的相关概念，对选项逐一判断即可.【详解】两个向量的和差运算结果都是是一个向量，所以A 正确；两个向量的加法遵循三角形法则，只有当,a b 首尾相连时才成立，故B 错误；任何向量与0相加都得其本身，故C 正确；两个单位向量的方向没有确定，当它们方向相同时才成立，故D 错误；故选：BD39．ACD【分析】根据平面向量的线性运算逐个求解即可【详解】对A ，0AB CA BC CA AB BC CB BC ++=++=+=，故A 正确；对B ，()()2AB AC BD CD AB BD AC CD AD AD AD +++=+++=+=，故B 错误；对C ，0OA OD AD DA AD -+=+=，故C 正确；对D ，0NQ QP MN MP NP PN ++-=+=，故D 正确；故选：ACD【点睛】本题主要考查了平面向量的线性运算，属于基础题40．ABC【分析】根据向量线性运算确定正确选项.【详解】对于A 选项，FD DA FA +=，正确；对于B 选项，0FD DE EF FE EF ++=+=，正确；对于C 选项，根据向量加法的平行四边形法则可知DE DA DF EC =+=，正确；对于D 选项，DA DE DF FD +=≠，所以D 错误.故选：ABC41．BCD【分析】根据向量的线性运算，逐项变形移项即可得解.【详解】根据复数的线性运算，对A ，化简为OD EO ED +=，错误；对B ，即OM OD OE -=，即OD OE OM +=，正确；对C ，对OM OE OD -=移项可得OD OE OM +=，正确；对D ，由OD OE OM --=-，移项即OD OE OM +=，正确；故选：BCD42．ABCD【分析】根据向量的加减运算法则分别判断.【详解】0AB BC CA ++=，0AB AC BD CD AB BD AC CD AD AD -+-=+--=-=，0OA OD AD OA AD OD -+=+-=，0NQ QP MN MP NP PN ++-=+=.所以选项全正确.故选：ABCD43．BD【分析】直接利用向量的线性运算，向量的共线，单位向量的应用判断A 、B 、C 、D 的结论．【详解】对于A ：对于向量,a b ，若||||a b =，则a 与b 不存在关系，故A 错误；对于B ：若e 为单位向量，且//a e ，则||a a e =±，故B 正确；对于C ：若a 与b 共线，b 与c 共线，且0b ≠，则a 与c 共线，当=0b ，则a 与c 不一定共线，故C 错误；对于D ：四边形ABCD 中，AB CD AD CB +=+uu u r uu u r uuu r uu r ，整理得AB AD CB CD DB -=-=，故D 正确；故选：BD ．44．充分不必要【分析】利用向量加法的三角形法则结合充分条件、必要条件的定义判断可得出结论.【详解】充分性：若A 、B 、C 是一个三角形的三个顶点，由平面向量加法的三角形法则可得出0AB BC AC ++=，充分性成立；必要性：若A 、B 、C 三点共线，则0AB BC AC ++=成立，此时A 、B 、C 不能构成三角形，必要性不成立.因此，“A 、B 、C 是一个三角形的三个顶点”是“0AB BC AC ++=”的充分不必要条件.故答案为：充分不必要.45．①④【分析】利用向量加法的运算法则化简各项向量的线性表达式，即可确定结果是否为0.【详解】①0AB BC CA AC CA ++=+=uu u r uu u r uu r uuu r uu r r ;②()()()0AB MB BO OM AB BO OM MB AO OB AB +++=+++=+=≠;③0OA OC BO CO OA BO BA +++=+=≠;④()()0AB CA BD DC CA AB BD DC CB BC +++=+++=+=.故答案为：①④.46．③【分析】根据平面向量的加减法判断即可.【详解】d a AD BD AB c -=-==，故③成立；故答案为：③47．①④【分析】根据向量加减法运算可化简OA OC CD -+为CF ，根据相等向量的定义依次判断各个选项即可得到结果.【详解】四边形ACDF 是平行四边形，OA OC CD CA CD CF ∴-+=+=，①正确；AD 与CF 方向不同，②错误；BE 与CF 方向不同，③错误；DE FE CD CE FE CE EF CF -+=-=+=，④正确；CE BC CE CB BE +=-=，⑤错误；CA CD DA -=与CF 方向不同，⑥错误；四边形ABDE 为平行四边形，AB AE AD ∴+=，⑦错误.故答案为：①④.48．（1）0；（2）AC .【分析】（1）利用平面向量加法的三角形法则化简可得所求代数式的结果；（2）利用平面向量加法的三角形法则化简可得所求代数式的结果.【详解】（1）0AB CD BC DA AB BC CD DA +++=+++=；（2）()()AB MB BO BC OM AB BO OM MB BC AC ++++=++++=.49．（1）DB d e a =++uu u r u r r r ；（2）DB b c =--uu u r r r ；（3）EC e a b =++uu u r r r r ；（4）EC c d =--uu u r r u r .【分析】利用向量的加法法则、减法法则运算即可【详解】由图知,,,,AB a BC b CD c DE d EA e =====,（1）DB DE EA AB d e a =++=++；（2）DB CB CD BC CD b c =-=--=--；（3）EC EA AB BC e a b =++=++；（4）()EC CE CD DE c d=-=-+=--50．（1）0.（2）AB （3）BA .（4）0（5）0（6）CB .（7）0解：（1）原式0AC AC =-=.（2）原式AB BO OM MB AB=+++=（3）原式OA OC OB OC BA =+--=.（4）原式0AB BD DC CA =+++=（5）原式0OA AD DO =++=（6）原式()AB AD DC AB AC CB =-+=-=.（7）原式0MN NQ QP PM =+++=【点睛】本题考查了平面向量的加法与减法的运算问题，属于基础题.51．解：13BM BC =，BC CA =，16BM BA ∴=，∴111()()666BM BA OA OB a b ==-=-．∴()115666OM OB BM b a b a b =+=+-=+．13CN CD =，CD OC =，∴2222()3333ON OC CN OD OA OB a b =+==+=+．∴221511336626MN ON OM a b a b a b =-=+--=-．。
苏教版高中数学必修4高一同步测试(9)—向量的加减法、实数与向量的乘积.doc
高一数学同步测试（9）—向量的加减法、实数与向量的乘积说明：本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分.第Ⅰ卷60分，第Ⅱ卷90分，共150分，答题时间120分钟.第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题（每小题5分，共60分，请将所选答案填在括号内） 1．下列各量中不是向量的是（ ）A BC ．位移D2．下列命题正确的是（ ）A ．向量AB 与BA 是两平B ．若a 、b 都是单位向量,则a =bC ．若AB =DC ,则A 、B 、C 、DD ．两向量相等的充要条件是它们的始点、终点相同3．在△ABC 中，D 、E 、F 分别BC 、CA 、AB 的中点，点M 是△ABC 的重心，则 MC MB MA -+等于（ ）A ．OB ．MD 4C ．MF 4D ．ME 4 4．已知向量b a 与反向，下列等式中成立的是（ ）A ．||||||b a b a -=-B ．||||b a b a -=+C ．||||||b a b a -=+D ．||||||b a b a +=+5．在△ABC 中,AB =AC ,D 、E 分别是AB 、AC 的中点,则（ ）A ．AB 与AC 共线 B ．DE 与CBC ．AD 与AE 相等D ．AD 与BD 相等6．已知向量e 1、e 2不共线,实数x 、y 满足(3x -4y )e 1+(2x -3y )e 2=6e 1+3e 2,则x -y 的值等于( ) A ．3B ．－3C ．0D ．27．已知正方形ABCD 的边长为1, AB =a , BC =b , AC =c ,则|a +b +c |等于 （ ）A ．0B ．3C ．2D ．22 8．下列各式计算正确的有（ ）(1)(－7)6a =-42a (2)7(a +b )－8b =7a +15b(3)a －2b +a +2b =2a (4)若a =m +n ,b =4m +4n ,则a ∥b A ．1个 B ．2个 C ．3 D ．4个9．化简)]24()82(21[31b a b a --+的结果是（ ）A ．b a -2B ．a b -2C ．a b -D ．b a -10．下列各式叙述不正确的是（ ） A ．若a ≠λb ,则a 、b 不共线(λ∈R ) B ．b =3a (a 为非零向量),则a 、bC ．若m =3a +4b ,n =23a +2b ,则m ∥n D ．若a +b +c =0,则a +b =-c11．若2121,,PP P P b OP a OP λ===，则OP 等于（ ）A ．b a λ+B ．b a +λC ．b a )1(λλ-+D ．b a λλλ+++111 12．对于菱形ABCD ，给出下列各式：①BC AB =②||||BC AB =③||||BC AD CD AB +=- ④||4||||22AB BD AC =+ 2其中正确的个数为 （ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题（每小题4分，共16分，答案填在横线上）13．已知|AB |=1,| AC |=2,若∠BAC =60°,则|BC |= . 14．已知点A(－1,5)和向量a ={2,3},若AB =3a ,则点B 的坐标为 . 15．在四边形ABCD 中，若||||,,b a b a b AD a AB -=+==且,则四边形ABCD 的形状是 .16．一艘船从A 点出发以23km/h 的速度向垂直于对岸的方向行驶,而船实际行驶速度的大小为4 km/h,则河水的流速的大小为 . 三、解答题（本大题共74分，17—21题每题12分，22题14分）17．已知菱形ABCD 的边长为2,求向量AB －CB +CD 的模的长.18．设OA 、OB 不共线,P 点在AB 上.: OP =λOA +μOB 且λ+μ=1,λ、μ∈R ．19．已知向量,,32,32212121e e e e b e e a 与其中+=-=不共线向量,9221e e c -=，问是否存在这样的实数,,μλ使向量c b a d 与μλ+=共线？20．i 、j 是两个不共线的向量,已知AB =3i +2j ，CB =i +λj , CD =-2i +j ,若A 、B 、D 三点共线,试求实数λ的值.21．如图，在△ABC 中，P 是BC 边上的任一点，求证：存在,1)1,0(,2121=+∈λλλλ且使 AC AB AP 21λλ+=.22．一架飞机从A 地按北偏西30°方向飞行3000千米到达13地，然后向C 地飞行，设C 地恰在A 地的北偏东30°，并且A 、C 两地相距3000千米，求飞机从B 地向C 地飞行 的方向和B 、C 两地的距离．高一数学同步测试（9）参考答案一、选择题1．D 2．A3．C 4．C 5．B ．A 7．D 8．C9．B 10．A 11．D 12．C 二、填空题13．3 14．(5,4) 15．菱形 16．2 km/h 三、解答题17．解析: ∵AB -CB +CD =AB +(CD -CB )=AB +BD =AD又|AD |=2 ∴|AB -CB +CD |=|AD |=218．证明: ∵P 点在AB 上,∴AP 与AB 共线.∴AP =t AB (t ∈R )∴OP =OA +AP =OA +t AB =OA +t (OB -OA )=OA (1-t )+ OB令λ=1-t ,μ=t∴λ+μ=1∴OP =λOA +μOB 且λ+μ=1,λ、μ∈R19．解析：222,2,,.2339,k R k λμλμλμλμλμ+=⎧=-∈=-⎨-+=-⎩解之故存在只要即可.20．解析: ∵BD =CD -CB =(-2i +j )-(i +λj )=-3i +(1-λ)j∵A 、B 、D 三点共线,∴向量AB 与BD 共线,因此存在实数μ,使得AB =μBD ,即3i +2j =μ［-3i +(1-λ)j ］=-3μi +μ(1-λ)j ∵i 与j 是两不共线向量,由基本定理得:⎩⎨⎧=-=∴⎩⎨⎧=-=-312)1(33λμλμμ 故当A 、B 、D 三点共线时,λ=3.21．解析：如图，作PE ∥AB ，PD ∥AC ，则||||,||||21BC BP BC PC ==λλ，AP AE AD DP EP AC AB =+=+=+∴21λλ． 22．解析：（1）3000千米； （2）正东方向．。
向量的加减法实数与向量的乘积
高中学生学科素质训练高一数学同步测试（9）—向量的加减法、实数与向量的乘积一、选择题（每小题5分，共60分，请将所选答案填在括号内）1．如图，已知四边形ABCD 是梯形，AB ∥CD ，E 、F 、G 、H 分别是AD 、BC 、AB 与CD 的中点，则EF 等于（ ）A ．BC AD +B ．DC AB +C ．DH +D ．GH +2．下列说法正确的是 （ ） A ．方向相同或相反的向量是平行向量 B ．零向量的长度为0C ．长度相等的向量叫相等向量D ．共线向量是在同一条直线上的向量3．在△ABC 中，D 、E 、F 分别BC 、CA 、AB 的中点，点M 是△ABC 的重心，则 MC MB MA -+等于（ ）A ．B ．4C ．4D ．4 4．已知向量与反向，下列等式中成立的是（ ） A ．||||||b a b a -=- B ．||||b a b a -=+C ．||||||b a b a -=+D ．||||||b a b a +=+5．在 ABCD 中，设====,,,，则下列等式中不正确的是（ ） A ．=+ B ．=-C ．=-D ．=-6．下列各量中是向量的是（ ） A ．质量 B ．距离C ．速度D ．电流强度7．在矩形ABCD 中，O 是对角线的交点，若OC e DC e BC 则213,5=== （ ）A ．)35(2121e e + B ．)35(2121e e - C ．)53(2112e e - D ．)35(2112e e - 8．若),,(,,,R ∈=+μλμλ不共线则（ ）A ．==,B ．o ==μ,C ．o ==,λD ．o o ==μλ, 9．化简)]24()82(21[31b a b a --+的结果是（ ）A ．-2B ．-2C ．-D ．-10．下列三种说法：①一个平面内只有一对不共线向量可作为表示该平面所有向量的基底 ②一个平面内有无数对不共线向量可作为该平面的所有向量的基底 ③零向量不可作为基底中的向量。
平面向量的加减与数量积练习题
平面向量的加减与数量积练习题一、向量的加减平面向量的加减是指根据向量的性质进行运算，可以将向量看作有方向和大小的箭头，通过对箭头进行平移和反转等操作进行运算。
1. 已知向量a = 2i + 3j，b = 4i - 5j，求a + b的结果。
解：将a和b的对应分量进行相加，得到：a +b = (2 + 4)i + (3 - 5)j = 6i - 2j2. 已知向量c = 6i - 7j，d = -3i + 2j，求c - d的结果。
解：将c和d的对应分量进行相减，得到：c -d = (6 - (-3))i + (-7 - 2)j = 9i - 9j二、数量积数量积也称为点积或内积，是将两个向量进行运算得到的结果，具体计算方式为将两个向量的对应分量相乘后相加。
3. 已知向量e = 3i + 4j，f = 2i - 5j，求e · f的结果。
解：将e和f的对应分量相乘后相加，得到：e ·f = (3 * 2) + (4 * (-5)) = 6 - 20 = -144. 已知向量g = 5i + 3j，h = -2i + 6j，求g · h的结果。
解：将g和h的对应分量相乘后相加，得到：g · h = (5 * (-2)) + (3 * 6) = -10 + 18 = 8三、练习题1. 已知向量m = 2i + j，n = 3i - 4j，求m + n的结果。
解：将m和n的对应分量进行相加，得到：m + n = (2 + 3)i + (1 - 4)j = 5i - 3j2. 已知向量p = 4i + 3j，q = -2i + 5j，求p - q的结果。
解：将p和q的对应分量进行相减，得到：p - q = (4 - (-2))i + (3 - 5)j = 6i - 2j3. 已知向量r = i - 2j，s = 3i + 4j，求r · s的结果。
解：将r和s的对应分量相乘后相加，得到：r · s = (1 * 3) + (-2 * 4) = 3 - 8 = -54. 已知向量t = 5i + 2j，u = -3i + 6j，求t · u的结果。
(完整版)高中数学向量的加减与数乘知识总结+题库
向量要求层次重难点平面向量的相关概念B①理解平面向量的概念，理解两个向量相等的含义．②理解向量的几何表示．向量的线 性运算向量加法与减法C ① 掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义．② 掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含．③ 了解向量线性运算的性质及其几何意义．向量的数乘 C 两个向量共线B（一） 知识内容⑴ 向量的概念：在高中阶段，我们把具有大小和方向的量称为向量．有些向量不仅有大小和方向，而且还有作用点．例如，力就是既有大小和方向，又有作用点的向量．有些量只有大小和方向，而无特定的位置．例如，位移、速度等，通常把后一类向量叫做自由向量．高中阶段学习的主要是自由向量，以后我们说到向量，如无特别说明，指的都是自由向量．是可以任意平行移动的．向量不同于数量，数量之间可以进行各种代数运算，可以比较大小，两个向量不能比较大小．⑵ 向量的表示：①几何表示法：用有向线段表示向量，有向线段的方向表示向量.的方向，线段的长度表示向量的长度．②字母表示法：AB ，注意起点在前，终点在后．⑶ 相等向量：同向且等长的有向线段表示同一向量，或相等向量．可根据右图的正六边形，或根据下题平行四边形讲解相等向量．POE DCBA例题精讲高考要求板块一：向量的基本概念向量的概念、加减、数乘B已知E、F、G、H分别是平行四边形ABCD边AB、DC、BC、AD的中点，O为对角线AC与BD的交点，分别写图中与DF，BH，AO相等的向量．解：DF FC GO OH AE EB========BH HC AG GD=AO OC⑷向量共线或平行：通过有向线段AB的直线，叫做向量AB的基线．如果向量的基线互相平行或重合，则称这些向量共线或平行．向量a平行于向量b，记作a∥b．说明：共线向量的方向相同或相反，注意：这里说向量平行，包含向量基线重合的情形，与两条直线平行的概念有点不同．事实上，在高等数学中，重合直线是平行直线的特殊情形．⑸零向量：长度等于零的向量，叫做零向量．记作：0．零向量的方向不确定，零向量与任意向量平行．⑹用向量表示点的位置：任给一定点O和向量a，过点O作有向线段OA a=，则点A相对于点O 位置被向量a所唯一确定，这时向量OA又常叫做点A相对于点O的位置向量．⋅=．AB AC3（二）典例分析：【例1】给出命题⑴零向量的长度为零，方向是任意的.⑵若a，b都是单位向量，则a＝b.⑶向量AB与向量BA相等.⑷若非零向量AB与CD是共线向量，则A，B，C，D四点共线.以上命题中，正确命题序号是（）A．⑴ B．⑵ C．⑴⑶ D．⑴⑷【例2】下列命题中正确的有：( )⑴四边形ABCD是平行四边形当且仅当AB DC=；⑵向量AB与BA是两平行向量；⑶向量AB与CD是共线向量，则A，B，C，D四点必在同一直线上；⑷单位向量不一定都相等；⑸a 与b 共线，b 与c 共线，则a 与c 也共线； ⑹平行向量的方向一定相同；【变式】 平面向量a ，b 共线的充要条件是（ ）A ．a ，b 方向相同B ．a ，b 两向量中至少有一个为零向量C ．λ∃∈R ，b a λ=D ．存在不全为零的实数1λ，2λ，120a b λλ+=【例3】 ⑴设0a 为单位向量，①若a 为平面内的某个向量，则0a a a =⋅；②若a 与0a 平行，则0a a a =⋅；③若a 与0a 平行且1a =，则0a a =．上述命题中，假命题个数是（ ） A ．0B ．1C ．2D ．3⑵若非零向量a ，b 满足a b b -=，则（ ）A ．22b a b >-B ．22b a b <-C ．22a a b >-D ．22a a b <-【变式】 给出下列命题：①若a b =，则a b =；②若A B C D ，，，是不共线的四点，则AB DC =是四边形ABCD 为平行四边形的充要条件； ③若a b =，b c =，则a c =； ④a b =的充要条件是a b =且a b ∥； ⑤若a b ∥，b c ∥，则a c ∥；其中正确的序号是 ．【例4】 如图所示，1A ，2A ，3A ，…，8A 是O 的8个等分点，以1A ，2A ，…，8A 及O 这9个点中任意两个为起始点和终点的向量中，模等于半倍的向量有多少个？【变式】 （海淀区2008-2009学年度第一学期期末试卷）如图，在正方形ABCD 中，下列描述中正确的是（ ）A ．AB BC =B ．AB CD =C ．2AC AB = D．AB BC AB BC +=-A 35A D CBA（一） 知识内容1. 向量的加法：a+babbabb aba a+b CCOBa+b b+ccbaa+b+c⑴ 向量加法的三角形法则：已知向量,a b ，在平面上任取一点A ，作AB a =，BC b =，再作向量AC ，则向量AC 叫做a 和b 的和（或和向量），记作a b +，即a b AB BC AC +=+=． ⑵ 向量求和的平行四边形法则：① 已知两个不共线的向量a ，b ，作AB a =，AD b =，则A ，B ，D 三点不共线，以AB ，AD 为邻边作平行四边形ABCD ，则对角线上的向量AC a b =+，这个法则叫做向量求和的平行四边形法则． ② 向量的运算性质：向量加法的交换律：a b b a +=+ 向量加法的结合律：()()a b c a b c ++=++关于0：00a a a +=+= ⑶ 向量求和的多边形法则：已知n 个向量，依次把这n 个向量首尾相连，以第一个向量的始点为始点，第n 个向量的终点为终点的向量叫做这n 个向量的和向量．这个法则叫做向量求和的多边形法则．2. 向量的减法：dcbaa+b+c+dbacda-b baO⑴ 相反向量：与向量a 方向相反且等长的向量叫做a 的相反向量，记作a -． 零向量的相反向量仍是零向量．⑵ 差向量定义：如果把两个向量的始点放在一起，则这两个向量的差是以减向量的终点为始点，被减向量的终点为终点的向量．推论：一个向量BA 等于它的终点相对于点O 的位置向量OA 减去它的始点相对于点O 的位置向量OB ，或简记“终点向量减始点向量”．⑶ 一个向量减去另一个向量等于加上这个向量的相反向量板块二：向量的加减运算（三）典例分析：【例5】 设P 是ABC △所在平面内的一点，2BC BA BP +=，则（ ）A ．0PA PB += B ．0PC PA += C ．0PB PC +=D ．0PA PB PC ++=【变式】 如图，在平行四边形ABCD 中，下列结论中错误的是（ ）A ．AB DC = B ．AD AB AC += C ．AB AD BD -= D ．0AD CB +=【例6】 D 是ABC ∆的边AB 上的中点，则向量CD =（ ）A ．12BC BA -B ．12BC BA -- C ．12BC BA -+D ．12BC BA +.【例7】 设D ，E ，F ，分别是ABC ∆的三边BC 、CA 、AB 上的点，且2,DC BD =2,CE EA =2,AF FB =则AD BE CF ++与BC ( ) A.反向平行B.同向平行C.互相垂直D.既不平行也不垂直【例8】 根据图示填空：⑴ a b += ；⑵ e b d ++= ．【例9】 化简下列各式：⑴ 7()8()a b a b +--； ⑵ 12(2)(432)6a b c a b c +---+【例10】 如图，D ，E ，F 分别是ABC ∆的边AB ，BC ，CA 的中点，则（ ）A ．0AD BE CF ++=B ．0BD CF DF -+=C ．0AD CE CF +-= D ．0BD BE FC --=DCBAFE DCBA【例11】 已知O A B ，，是平面上的三个点，直线AB 上有一点C ，满足20AC CB +=，则OC =( )A ．2OA OB - B ．2OA OB -+C ．2133OA OB -D ．1233OA OB -+【例12】 如图所示，E F 、是四边形ABCD 的对角线AC BD 、的中点，已知,AB a CD c ==，求向量EF ．【例13】 已知O A B ，，是平面上的三个点，直线AB 上有一点C ，满足20AC CB +=，则OC =（ ）A ．2OA OB - B ．2OA OB -+C ．2133OA OB -D ．1233OA OB -+【例14】 已知任意四边形ABCD 中，,E F 分别是,AD BC 的中点，求证：1()2EF AB DC =+．【例15】 ⑴ 已知ABCD □的两条对角线交于点O ，设AB a =，AD b =，用向量a 和b 表示向量BD ，AO ．⑵ 已知ABCD □的两条对角线交于点O ，设对角线AC =a ，BD =b ，用a ，b 表示BC ，AB ．CAAC【例16】 设P 是正六边形OABCDE 的中心，若OA a =，OE b =，试用向量a ，b 表示OB 、OC 、ODOE ．【例17】 在ABC △中，AB c =，AC b =．若点D 满足2BD DC =，则AD =（ ）A ．2133b c +B ．5233c b -C ．2133b c -D ．1233b c +⑵在平行四边形ABCD 中，E 和F 分别是边CD 和BC 的中点．若AC AE AF λμ=+，其中λ，μ∈R ，则λμ+= ．【变式】 证明：若向量,,OA OB OC 的终点A B C 、、共线，当且仅当存在实数,λμ满足等式1λμ+=，使得OC OB OA λμ=+．OCA【变式】 如图，在ABC △中，点O 是BC 的中点，过点O 的直线分别交直线AB ，AC 于不同的两点M N ，，若AB mAM =，AC nAN =，则m n +的值为．ONM CBA【变式】 在平行四边形ABCD 中，E 和F 分别是边CD 和BC 的点．且1BF a FC a =-，1DE bEC b=-， 若AC AE AF λμ=+，其中λ，μ∈R ，则λμ+= ．FB【变式】 设正六边形ABCDEF 的对角线,AC CE 分别被内点,M N 分成为AM CNr AC CE==，如果,,B M N 共线，求r 的值．【变式】 证明：若向量,,OA OB OC 的终点A B C 、、共线，当且仅当存在实数,λμ满足等式1λμ+=，使得OC OB OA λμ=+．（一） 知识内容3. 数乘向量：定义：实数λ和向量a 的乘积是一个向量，记作a λ，且a λ的长a a λλ=<教师备案> 判断正误：已知λμ∈R ，．①()a b a b λλλ+=+；（√） ②()a a a λμλμ+=+；（√） ③()()a a λμλμ=；（√） ④()()a b a b λμλμ+=++．（×）4. 向量共线的条件⑴ 平行向量基本定理：如果a b λ=，则a ∥b ；反之，如果a ∥b ，且0b ≠，则一定存在唯一的一个实数λ，使a b λ=．⑵ 单位向量：给定一个非零向量a ，与a 同方向且长度等于1的向量，叫做向量a 的单位向量．如果a 的单位向量记作0a ，由数乘向量的定义可知0a a a =或0a a a=．（三）典例分析：【例18】 设12,e e 是不共线的向量，已知向量1212122,3,2AB e ke CB e e CD e e =+=+=-，若A B D 、、三点共线，求k 的值．OCBA板块三：向量的数乘与共线【变式】 设a ，b ，c 为非零向量，其中任意两个向量不共线，已知a b +与c 共线，且b c +与a 共线，则b a c ++= ．【变式】 已知,a b 是不共线的向量，25AB a b =+，8BC a b =-+，3()CD a b =-，则A B D 、、C 、四点中共线的三点是___________【变式】 设,a b 是不共线的两个向量，已知22(2)AB ka k b =+-，BC a b =+，2CD a b =-，若A B D、、三点共线，求k 的值．【变式】 证明对角线互相平分的四边形是平行四边形．ODCBA【例19】 如图，平行四边形ABCD 中，E F 、分别是BC DC 、的中点，G 为DE BF 、的交点,若AB =a ，AD =b ，试以a ，b 为基底表示DE 、BF 、CG ．F CBA【变式】 如图，在∆ABC 中，AD 、BE 、CF 分别是BC 、CA 、AB 上的中线，它们交于点G ，则下列各等式中不正确的是（ ） A ．23BG BE = B ．2CG GF =C ．12DG AG =D ．121332DA FC BC +=【变式】 已知五边形ABCDE ，M 、N 、P 、Q 分别是边AB 、CD 、BC 、DE 的中点，K 、H 分别是MN 和PQ 的中点，求证：KH 平行且等于14AE .ED CBA MNP Q K HGFEDC BA【变式】 如图，E 、F 分别是平行四边形ABCD 的边AD 、CD 的中点，BE 、BF 与对角线AC 分别交于点R 和点T ．求证AR RT TC ==．(向量法)TRF E D CB A【变式】 四边形ABCD 中，E ，F ，M ，N 分别为BC ，AD ，BD ，AC 的中点，O 为MN 的中点，试用向量的方法证明：O 也是EF 的中点．FEO MNDCB A【变式】 ⑴在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 交于点O E ，是线段OD 的中点，AE 的延长线与CD 交于点F ．若AC a =，BD b =，则AF =( )A ．1142a b +B ．2133a b +C ．1124a b +D ．1233a b +⑵如图，两块斜边长相等的直角三角板拼在一起．若AD xAB y AC =+， 则x = ，y = ．OF E DCBA【变式】 若等边ABC ∆的边长为23，平面内一点M 满足1263CM CB CA =+，则MA = ，MB = ．（用CB ，CA 向量表示） FECBA M三角形有五心：内心、外心、垂心、重心和旁心，这里我们用向量这个工具来研究三角形的前四心，有些地方涉及到数量积，老师可以根据情况先补充数量积的知识，或将这些地方跳过去以后再讲．板块四：三角形有五心相关证明60︒45︒EDBCA⑴内心：过点A ，方向平行于向量()(0)||||AB ACAB AC λλ+≠的直线过ABC ∆的内心(BAC ∠的角分线所在直线)；||||||0AB PC BC PA CA PB P ++=⇔为ABC ∆的内心；⑵外心：PA PB PC ==⇔P 为ABC ∆的外心；⑶垂心：PA PB PB PC PC PA P ⋅=⋅=⋅⇔为ABC ∆的垂心（先补充数量积的相关知识） ⑷重心：0PA PB PC P ++=⇔为ABC ∆的重心．另外：在ABC ∆中，G 为平面上任意一点，有1()3GO GA GB GC =++⇔O 为ABC ∆的重心1()()()()03GO GA GB GC GA GO GB GO GC GO =++⇒-+-+-=，即0OA OB OC ++=，知O 为ABC ∆的重心；若O 为ABC ∆的重心，则11()(3)33GA GB GC GO OA OB OC ++=+++20OA OB OC OA OE ++=+=，故1()3GA GB GC GO ++=.【例20】 在OAB ∆中，M 为OB 的中点，N 为AB 的中点，P 为,ON AM 交点，利用向量证明23AP AM =，即重心为中线的一个三等分点．【变式】 ⑴已知3()2(2)4()0m a m a m a b -++-+-=，则m =⑵已知a ，b 方向相同，且3a =，7b =，则2a b -=【变式】 若O 是ABC ∆内一点，0OA OB OC ++=，则O 是ABC ∆的（ ）Ａ．内心 B ．外心 C ．垂心 D ．重心【变式】 （2003年天津）O 是平面内一定点，A ,B ,C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足AB AC OP OA AB AC λ⎛⎫ ⎪=++ ⎪⎝⎭，[0,)λ∈+∞，则P 的轨迹一定通过ABC ∆的( ) A ．外心 B ．内心 C ．重心 D ．垂心【变式】 若点O 是ABC △的外心，且0OA OB CO ++=，则内角C 的大小为____OEDC BA【变式】 已知点G 是ABC ∆的重心，过G 作直线与AB 、AC 两边分别交于M 、N 两点，且设AM xAB =，AN y AC =，则113x y+=．NMGCBA【变式】 非正ABC △的外接圆的圆心为O ，两条边上的高的交点为H ，()OH m OA OB OC =++，求实数m 的值．【变式】 如图，设G 为OAB ∆的重心，过G 的直线与,OA OB 分别交于P 和Q ，已OP hOA =，OQ kOB =，OAB ∆与OPQ ∆的面积分别为S 和T ．求证：⑴113h k+=；⑵4192S T S ≤≤．【例21】 已知任意四边形ABCD 中，,E F 分别是,AD BC 的中点，求证：1()2EF AB DC =+．E BBAMG QP O【例22】 如图所示，E F 、是四边形ABCD 的对角线AC BD 、的中 点，已知,AB a CD c ==，求向量EF ．A【变式】 在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 交于点O ，E 是线段OD 的中点，AE 的延长线与CD 交于点F ．若AC a =，BD b =，则AF =（ ）A ． 1142a b +B ． 2133a b +C ． 1124a b +D ． 1233a b +【变式】 已知点M 是ABC ∆的重心，,MA a MB b ==，用,a b 表示,,AB AC BC ．FEDCBAM【变式】 M 、N 分别是ABC ∆的边AB 、AC 的靠近A 的三等分点．求证：13MN BC =，且MN ∥BC ．【变式】 已知矩形ABCD 中，宽为2，长为AB a =，BC b =，AC c =，试作出向量a b c ++，并求其长度．OFE DCBA【变式】 如图，在ABC △中，点O 是BC 的中点，过点O 的直线分别交直线AB ，AC 于不同的两点M N ，，若AB mAM =，AC nAN =，则m n +的值为 ．ONMCBA。
高中数学必修二 专题6 2 平面向量的加法、减法、数乘运算-同步培优专练
专题6.2 平面向量的加法、减法、数乘运算知识储备一．向量加法的法则已知非零向量a，b，在平面内任取一点A，作AB＝a，BC＝b，则向量AC叫做a与b的和，记作a＋b，即a＋b＝AB＋BC＝AC.这种求向量和的方法，称为向量加法的三角形法则.对于零向量与任意向量a，规定a＋0＝0＋a＝a以同一点O为起点的两个已知向量a，b为邻边作▱OACB，则以O为起点的对角线OC就是a与b的和.把这种作两个向量和的方法叫做向量加法的平行四边形法则有什么关系？【答案】(1)当向量a与b不共线时，a＋b的方向与a，b不同，且|a＋b|<|a|＋|b|.(2)当a与b同向时，a＋b，a，b同向，且|a＋b|＝|a|＋|b|.(3)当a与b反向时，若|a|>|b|，则a＋b的方向与a相同，且|a＋b|＝|a|－|b|；若|a|<|b|，则a＋b的方向与b相同，且|a＋b|＝|b|－|a|.二．向量的减法1.定义：向量a加上b的相反向量，叫做a与b的差，即a－b＝a＋(－b)，因此减去一个向量，相当于加上这个向量的相反向量，求两个向量差的运算，叫做向量的减法.2.几何意义：在平面内任取一点O，作OA＝a，OB＝b，则向量a－b＝BA，如图所示.3.文字叙述：如果把两个向量的起点放在一起，那么这两个向量的差是以减向量的终点为起点，被减向量的终点为终点的向量.【思考】若a ，b 是不共线向量，|a ＋b |与|a －b |的几何意义分别是什么？【答案】如图所示，设OA ＝a ，OB ＝b .根据向量加法的平行四边形法则和向量减法的几何意义，有OC ＝a ＋b ，BA ＝a －b .因为四边形OACB 是平行四边形，所以|a ＋b |＝|OC |，|a －b |＝|BA |，分别是以OA ，OB 为邻边的平行四边形的两条对角线的长.三 向量数乘的定义实数λ与向量a 的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作λa ，其长度与方向规定如下：(1)|λa |＝|λ||a |.(2)λa (a ≠0)的方向⎪⎩⎪⎨⎧<>.00的方向相反时，与当的方向相同；时，与当a a λλ 特别地，当λ＝0时，λa ＝0.当λ＝－1时，(－1)a ＝－a .四 向量共线定理向量a (a ≠0)与b 共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使b ＝λa .【思考】向量共线定理中为什么规定a ≠0?【答案】若将条件a ≠0去掉，即当a ＝0时，显然a 与b 共线.(1)若b ≠0，则不存在实数λ，使b ＝λa .(2)若b ＝0，则对任意实数λ，都有b ＝λa .能力检测姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________注意事项：本试卷满分150分，考试时间120分钟，试题共16题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（2020·江西高一期末（理））下列四式不能化简为AD 的是（ ）A ．MB AD BM +- B ．()()AD MB BC CM +++C ．()AB CD BC ++D ．OC OA CD -+【答案】A 【解析】对B ，()()AD MB BC CM AD MB BC CM AD +++=+++=，故B 正确； 对C ，()AB CD BC AB BC CD AD ++=++=，故C 正确；对D ，OC OA CD AC CD AD -+=+=，故D 正确；故选：A.2．（2021·北京市第四中学顺义分校高一期末）在平行四边形ABCD 中，设对角线AC 与BD 相交于点O ，则AB CB +=（ ）A ．2BOB ．2DOC ．BD D ．AC【答案】B 【解析】因为四边形ABCD 为平行四边形，故0AO CO +=，故22AB CB AO OB CO OB OB DO +=+++==，故选B.3．（2020·莆田第七中学高二期中）在五边形ABCDE中（如图），AB BC DC+-=（）A．AC B．AD C．BD D．BE【答案】B【解析】AB BC DC AB BC CD AD+-=++=.故选B4．（2020·全国高二单元测试）如图所示，已知空间四边形ABCD，连接AC，BD，M，G分别是BC，CD的中点，则AB＋12BC＋12BD等于（）A．AD B．GA C．AG D．MG 【答案】C【解析】∵四面体A-BCD中，M、G为BC、CD中点，∵12BC BM=，12BD MG=，∵1122AB BC BD AB BM MG AM MG AG ===+++++.故选C 5．（2021·江苏高一）八卦是中国文化中的哲学概念，如图1是八卦模型图，其平面图形记为图2中的正八边形 ABCDEFGH ，其中1OA =，则给出下列结论：①0BF HF HD -+=；①2OA OC OF +=-；①AE FC GE AB +-=．其中正确的结论为（ ）A ．①①B ．①①C ．①①D ．①①①【答案】C 【解析】对于∵：因为BF HF HD BF FH HD BH HD BD -+=++=+=，故∵错误； 对于∵：因为3602908AOC ︒∠=⨯=︒，则以,OA OC 为邻边的平行四边形为正方形， 又因为OB 平分AOC ∠，所以22OA OC OB OF +==-，故∵正确；对于∵：因为AE FC GE AE FC G EG A FC +-=++=+，且FC GB =，所以AE FC GE AG GB AB +-=+=，故∵正确，故选：C.6．（2019·天津市南开区南大奥宇培训学校高三月考）如图，在四边形ABCD 中，设,,AB a AD b BC c ===，则DC =（ ）A ．a b c -++B ．a b c -+-C ．a b c ++D ．a b c -+【答案】D 【解析】由题意，在四边形ABCD 中，设,,AB a AD b BC c ===，根据向量的运算法则，可得DC DA AB BC b a c a b c =++=-++=-+.故选D.7．（2020·陕西宝鸡市·高三二模（文））点P 是ABC ∆所在平面内一点且PB PC AP +=，在ABC ∆内任取一点，则此点取自PBC ∆内的概率是（ ）A ．12B ．13C ．14D ．15【答案】B【解析】设D 是BC 中点，因为PB PC AP +=，所以2PD AP =，所以A 、P 、D 三点共线且点P 是线段AD 的三等分点， 故13PBC ABC S S ∆∆=，所以此点取自PBC ∆内的概率是13．故选B. 8．（2020·自贡市田家炳中学高二开学考试）P 是ABC 所在平面内一点，若CB PA PB λ=+，其中R λ∈，则P 点一定在（ ）A ．ABC 内部B ．AC 边所在直线上 C ．AB 边所在直线上D ．BC 边所在直线上【答案】B【解析】根据题意，CB PA PB CB PB PA CP PA λλλ=+⇔-=⇔=，∴点P 在AC 边所在直线上，故选B.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
复习高考真题同步：向量、向量的加法与减法、实数与向量的积
向量、向量的加法与减法、实数与向量的积080618一、考题选析：例1、（08上海春）已知向量(2,3),(3,)a b λ=-=，若//a b ，则λ等于( ) A 、23 B 、2- C 、92- D 、23- 例2、（07天津）设两个向量22(2cos )λλα=+-，a 和sin 2m m α⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，b ，其中m λα，，为实数．若2=a b ，则mλ的取值范围是（ ） Ａ、[]16，- Ｂ、[48]， Ｃ、]1[，-∞ Ｄ、]61[，-例3、（07全国Ⅱ）在ABC △中，已知D 是AB 边上一点，若123AD DB CD CA CB λ==+，，则λ=（ ）A 、23B 、13C 、13-D 、23- 例4、（06全国Ⅰ）设平面向量321,,a a a 的和0321=++a a a 。
如果向量321,,b b b 满足||2||i i a b =，且i a 顺时针旋转30o 后与i b 同向，其中1,2,3i =，则( )A 、321=++-b b bB 、321=+-b b bC 、321=-+b b bD 、321=++b b b例5、（06安徽）在平行四边形ABCD 中，,,3AB a AD b AN NC ===，M 为BC 的中点，则MN =_______。
（用,表示）例6、（05全国Ⅲ）已知向量()12OA k =，，()45OB =，，()10OC k =-，，且C B A ，，三点共线，则k = ；例7、（05上海22）在直角坐标平面中，已知点1(1,2)P ，22(2,2)P ，33(3,2)P ，…，(,2)n n P n ，其中n 是正整数．对平面上任一点0A ，记1A 为0A 关于点1P 的对称点，2A 为1A 关于点2P 的对称点，……，n A 为1n A -关于点n P 的对称点。
（1）求向量02A A 的坐标；（2）当点0A 在曲线C 上移动时，点2A 的轨迹是函数()y f x =的图象，其中()f x 是以3为周期的周期函数，且当(]0,3x ∈时，()lg f x x =，求以曲线C 为图象的函数在(]1,4的解析式；（3）对任意偶数n ，用n 表示向量0n A A 的坐标。
向量的运算性质练习题
向量的运算性质练习题向量的运算性质练习题向量是数学中的重要概念，广泛应用于各个领域。
向量的运算性质是学习向量的基础，通过练习题的形式可以更好地理解和掌握这些性质。
本文将给出一些向量的运算性质练习题，帮助读者加深对向量的理解。
一、向量的加法和减法1. 已知向量a=3i+4j，b=-2i+5j，求a+b和a-b的结果。
2. 已知向量c=2i-3j，d=-i+4j，求c-d和d-c的结果。
3. 设向量e=3i+2j，f=-4i+j，g=-i-3j，求e+f+g的结果。
二、向量的数量积1. 已知向量a=2i+3j，b=4i-5j，求a·b的结果。
2. 已知向量c=-3i+4j，d=5i-2j，求c·d的结果。
3. 设向量e=2i-j，f=-i+3j，求e·f的结果。
三、向量的数量积的性质1. 已知向量a=3i+4j，b=-2i+5j，求|a·b|的值。
2. 已知向量c=2i-3j，d=-i+4j，求|c·d|的值。
3. 设向量e=3i+2j，f=-4i+j，求|e·f|的值。
四、向量的数量积和向量的模的关系1. 已知向量a=2i+3j，b=4i-5j，求|a·b|和|a|·|b|的关系。
2. 已知向量c=-3i+4j，d=5i-2j，求|c·d|和|c|·|d|的关系。
3. 设向量e=2i-j，f=-i+3j，求|e·f|和|e|·|f|的关系。
五、向量的叉积1. 已知向量a=2i+3j，b=4i-5j，求a×b的结果。
2. 已知向量c=-3i+4j，d=5i-2j，求c×d的结果。
3. 设向量e=2i-j，f=-i+3j，求e×f的结果。
六、向量的叉积的性质1. 已知向量a=3i+4j，b=-2i+5j，求|a×b|的值。
2. 已知向量c=2i-3j，d=-i+4j，求|c×d|的值。
(整理)向量的加减法实数与向量的乘积.
高中学生学科素质训练高一数学同步测试（9）—向量的加减法、实数与向量的乘积一、选择题（每小题5分，共60分，请将所选答案填在括号内）1．如图，已知四边形ABCD 是梯形，AB ∥CD ，E 、F 、G 、H 分别是AD 、BC 、AB 与CD 的中点，则EF 等于（ ）A ．+B ．+C ．DH +D ．GH +2．下列说法正确的是 （ ） A ．方向相同或相反的向量是平行向量 B ．零向量的长度为0C ．长度相等的向量叫相等向量D ．共线向量是在同一条直线上的向量3．在△ABC 中，D 、E 、F 分别BC 、CA 、AB 的中点，点M 是△ABC 的重心，则 -+等于（ ）A ．B ．4C ．4D ．4 4．已知向量与反向，下列等式中成立的是（ ） A ．||||||-=- B ．||||-=+C ．||||||-=+D ．||||||+=+5．在 ABCD 中，设====,,,，则下列等式中不正确的是（ ）A ．=+B ．=-C ．=-D ．=-6．下列各量中是向量的是（ ） A ．质量 B ．距离C ．速度D ．电流强度7．在矩形ABCD 中，O 是对角线的交点，若OC e DC e BC 则213,5=== （ ）A ．)35(2121e e + B ．)35(2121e e - C ．)53(2112e e - D ．)35(2112e e - 8．若),,(,,,R ∈=+μλμλ不共线则（ ）A ．==,B ．o ==μ,C ．o ==,λD ．o o ==μλ, 9．化简)]24()82(21[31--+的结果是（ ）A ．-2B ．-2C ．-D ．-10．下列三种说法：①一个平面内只有一对不共线向量可作为表示该平面所有向量的基底 ②一个平面内有无数对不共线向量可作为该平面的所有向量的基底 ③零向量不可作为基底中的向量。
其中正确的是 （ ）A ．①②B ．②③C ．①③D ．①②③11．若2121,,PP P OP λ===，则等于 （ ）A ．b a λ+B ．b a +λC ．)1(λλ-+D ．λλλ+++111 12．已知ABCD 为菱形，则下列各式中正确的个数为 （ ）①=②||||=③||||+=-④||4||||22=+2A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个二、填空题（每小题4分，共16分，答案填在横线上）13．21,e e 不共线，当k= 时，2121,e k e b e e k a +=+=共线. 14．非零向量||||||,b a b a b a +==满足，则b a ,的夹角为 . 15．在四边形ABCD 中，若||||,,-=+==且,则四边形ABCD 的形状是 .16．已知,,的模分别为1、2、3，则||++的最大值为 .三、解答题（本大题共74分，17—21题每题12分，22题14分）17．设21,e e 是两个不共线的向量，2121212,3,2e e e e e k e -=+=+=，若A 、 B 、D 三点共线，求k 的值.18．已知△ABC 及一点O ，求证：O 为△ABC 的重心的充要条件是.=++19．已知向量,,32,32212121e e e e e e 与其中+=-=不共线向量,9221e e -=，问是否存在这样的实数,,μλ使向量与μλ+=共线？20．试证：以三角形三边上的中线为边可以作一个三角形.21．如图，在△ABC 中，P 是BC 边上的任一点，求证：存在,1)1,0(,2121=+∈λλλλ且使 21λλ+=.22．一架飞机从A 地按北偏西30°方向飞行3000千米到达13地，然后向C 地飞行，设C 地恰在A 地的北偏东30°，并且A 、C 两地相距3000千米，求飞机从B 地向C 地飞行 的方向和B 、C 两地的距离.高一数学同步测试（9）参考答案一、1．C 2．B 3．C 4．C 5．B 6．C 7．A 8．D 9．B 10．B 11．D 12．C二、13．1± 14．120° 15．菱形 16．6三、17．k=－818．设P 、Q 、R 分别是BC 、CA 、AB 的中点，则.3,,3231,3231,3231000000重合与故可知则为重心设反之故O O OC OB OA OO O O O O =++==++=++=+++=+=+=19．μλμλμλμλμλ2.,,2933222-=∈-=⎩⎨⎧-=+-=+只要故存在解之R k k即可.20．如图，=++===则,,λ)()(21=+++++=++故证21．如图，作PE ∥AB ，PD ∥AC ，则21==λλ=+=+=+∴21λλ 22．（1）3000千米 （2）正东方向。
向量的加减法、实数与向量的乘积测试题
向量的加减法、实数与向量的乘积测试题MA MB - MC 等于B . 4MDC . 4MFD . 4ME已知向量a与b 反向，下列等式中成立的是5.在 =ABCD 中，设AB 二a, AD 二b,AC 二c, BD 二d ，则下列等式中不正确的是B . a 「b 二 dC . b -a =d1 一 一6.下列各量中是向量的是 A .质量 B .距离C .速度D .电流强度7.在矩形ABCD 中，O 是对角线的交点，若 BC =5e,DC p 则OC =1. 、选择题（每小题 5分，共60分，请将所选答案填在括号内）如图，已知四边形 ABCD是梯形，AB // CD , E 、F 、G 、H 分别是 AD 、BC 、AB 与 CD2. 3. 的中点，贝U EF 等于A . AD BC C . AG DH AB DC BG GH下列说法正确的是A. 方向相同或相反的向量是平行向量B. 零向量的长度为 0 C .长度相等的向量叫相等向量 D .共线向量是在同一条直线上的向量在厶ABC 中，D 、E 、F 分别BC 、CA 、AB 的中点，点 M 是厶ABC 的重心,A . |a|-|b 冃a-b|B . | a b |=|a - b |C . |a| |b|=|a -b|D . | a | | b hl a b |1 ■ - 1 -C . —(3^-5©)D . —(5e 2 一斜)2 2A . (5e1 3e2)21 —一B . —(5© -3e2)2&若a, b不共线，’a= o,(',「R),则-1-A . a=o,b=oB . a=o,」=oC . ■ =o,b=o 1 1 — — I —9.化简—[ — (2a - 8b) -(4a -2b)]的结果是3 2—► —►—► —►—► —A . 2a —bB . 2b — aC . b — a10 .下列三种说法：① 一个平面内只有一对不共线向量可作为表示该平面所有向量的基底② 一个平面内有无数对不共线向量可作为该平面的所有向量的基底 ③ 零向量不可作为基底中的向量.其中正确的是11.若 OR =a,0F 2 =b,RP = APF 2，则 0P 等于A . a bB . ■ a b12 .对于菱形 ABCD ，给出下列各式：② I AB 冃BC|其中正确的个数为A . 1个B . 2个C . 3个、填空题（每小题 4分，共16分，答案填在横线上）13 . 0,62 不共线，当 k= ______________ 时，a = k0 • e 2,b =0 • ke 2 共线.14 .非零向量 a, b 满足|a F |b|=|a b |,贝U a,b 的夹角为 ____________________ 15 .在四边形ABCD 中，若AB 二a,AD 二b,且|a ，b|=|a-b|,则四边形ABCD 的形状是16 .已知a,b,c 的模分别为1、2、3，则|a • b • c|的最大值为 __________________________ 三、解答题（本大题共 74分，17— 21题每题12分，22题14分）■i”*■■,J8.6ili■.,IB17 .设 e,e 2 是两个不共线的向量， AB =2© - ke 2,C^e 1 - 3e 2,CD =2e -e 2，若 A 、B 、D 三点共线，求k 的值.()D . 4个D . ' = 0, = 0( )D. a - bA .①②B .②③C .①③D .①②③① AB = BC③ | AB -CD 冃 AD BC|④ | AC|2| BD |2 = 4| AB|218.已知△ ABC及一点0,求证：O为厶ABC的重心的充要条件是OA • OB • OC = O.19•已知向量a=2u -处山=2^ 其中与e2,不共线向量c = 2©-9e2,，问是否存在这样的实数■,〜使向量d = ■ a亠匚b与c共线？20.试证：以三角形三边上的中线为边可以作一个三角形22.一架飞机从A地按北偏西30°方向飞行3000千米到达13地，然后向地恰在A地的北偏东30 °，并且A、C两地相距3000千米，求飞机从的方向和B、C两地的距离.高一数学同步测试（9）参考答案1 . C 2. B 3. C 4. C 5. B 6. C 7. A 8. D 9. B 10.13. -1 14. 120°15.菱形16. 6-4- C地飞行，设C B地向C地飞行B 11. D12. C17. k= —&18. 设P 、Q 、R 分别是BC 、CA 、AB 的中点，则1 2 OA CBBA,OB故亠4 -故 OA OB OC = BA AC CB 0., 反之,设0。
{高中试卷}实数和向量的积[仅供参考]
![{高中试卷}实数和向量的积[仅供参考]](https://img.taocdn.com/s3/m/52b766a27fd5360cba1adbef.png)
20XX年高中测试高中试题试卷科目：年级：考点：监考老师：日期：实数和向量的积【基础知识精讲】1.实数与向量的积的定义 实数λ与向量的积是一个向量，记λ，它的长度与方向规定如下：(1)｜λ｜=｜λ｜·｜｜;(2)当λ＞0时，λ的方向与的方向相同；当λ＜0时，λ的方向与的方向相反；当λ=0时，λa =0,方向是任意的.2.实数和向量的积的运算律设λ、μ为实数，那么：(1)λ(μa)=λμ(2)(λ+μ)a =λa +μa(3)λ(a +b )=λa +λb3.两个向量共线定理 向量b 与非零向量a 共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使得b =λa .4.平面向量基本定理 如果1e ，2e ，是同一平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2使：a =λ11e +λ22e 其中不共线的向量1e ，2e 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.注意：(1)平面内的任一向量都可以沿两个不共线的方向分解成两个向量和的形式.(2)上面分解是唯一的.向量的加法、减法、实数与向量的积的混合运算称为向量的线性运算，也叫做向量的初步运算.任一平面直线型图形都可以表示为某些向量的线性组合.【重点难点解析】1.实数与向量的积的运算律与实数乘法的运算律很相似，只是实数与向量相乘的分配律有两种不同形式.(λ+μ)a =λa +μa 和λ(a +b )=λa +λb ；实数与向量相乘的运算中的关键是等式两边向量的模相等的同时，方向也必须相同.2.掌握实数与向量积的概念，运算及两个向量共线的充要条件.例1 化简32［(4-3)+31-41 (6-7)］=.例2 设a ，b 是不共线的两个向量，已知AB =2a +k b ，BC =a +b ,CD =a -2b ，若A 、B 、D 三点共线，求k 的值.例4 已知□ABCD ，E 、F 分别是DC 和AB 的中点，判断AE 、CF 是否平行?分析：要判断AE 、CF 是否平行，就是判断AE 能否用CF 表示出来.解：设AB =a ,AD =b 因为E 、F 分别是DC 和AB 的中点所以DE =21DC =21AB =21a 例5 求向量x ,y :【难题巧解点拔】例1 设M 为△ABC 的重心，证明对任意一点O ，有OM =31(OA +OB +OC )例2 如图，已知在△ABC 中，D 是BC 上的一点，且DCBD =λ.试证：=λλ++1AB AB例3 若O 、A 、B 三点不共线，已知OP =m ·OA +n ·OB ,m ·n ∈R,且m+n=1,那么P 点位置如何?请说明理由.例4 求证：平行四边形一顶点和对边中点的连线三等分此平行四边形的一条对角线(如图)【典型热点考题】例1 若AB =31e ,CD =-51e 且｜AD ｜=｜BC ｜,则四边形ABCD 是( )A.平行四边形B.菱形C.等腰梯形D.非等腰的梯形例2 已知λ，u ∈R ，则在以下各命题中，正确的命题共有( )(1)λ＜0，a ≠0时，λa 与a 的方向一定相反(2)λ＞0，a ≠0时，λa 与a 的方向一定相同(3)λ≠0，a ≠0时，λa 与a 是共线向量(4)λu ＞0，a ≠0时，λa 与u a 的方向一定相同(5)λu ＜0，a ≠0时，λa 与u a 的方向一定相反A.2个B.3个C.4个D.5个例3 梯形ABCD ，AB ∥CD ，且||2||CD AB ，M 、N 分别是DC 和AB 的中点，如图，若AB =a ,AB =b ，试用a ，b 表示BC 和MN ，则BC =.。
2020_2021学年高二数学上册空间向量的数乘运算同步练习
【解析】A. 取 AD, B1C1 的中点 M,N，则： OA OD 2OM , OB1 OC1 2ON ，两者不是一对相等
向量；
uuur uuur uur B. OB OC CB ， OA1 OD1 D1A1 ，两者是一对相等向量；
C. OA1 OA AA1 ， OC OC1 C1C ，两者是一对相反向量；
B． a 1 c 2
D． 3 a 1 b 1 c 222
MP
MD1
D1P
MA1
A1D1
1 2
D1C1
1 2
AA1
AD
1 2
AB
1 2
a
c
1 2
b
NC1
NC
CC1
1 2
BC
AA1
1 2
AD
AA1
1 2
c
a
MP
NC1
1 2
a
c
1 2
b
1 2
c
a
3 2
a
1 2
b
3 2
c
故选 A
5．在长方体 ABCD A1B1C1D1 中， AB a ， AD b ， AA1 c ， E 是 BB1 中点，则 D1E （ ）
A． 1 a 2 b 1 c 232
B． 2 a 1 b 1 c 322
C． 1 a 1 b 2 c 223
【答案】B
D． 2 a 2 b 1 c 332
【解析】 MN
＝ ON
－ OM
＝
1 2
( OB
＋ OC
)－
2 3
OA ＝
1 2
(b＋c)－
2 3
a＝－
2 3
高中数学实数与向量的积试卷,复习资料
实数与向量的积一．知识清单1. 实数与向量的积的定义实数λ与向量a 的积是一个向量，记作 ，它的长度与方向规定如下： （1） ；（2）当0λ>时，λa 的方向与a 的方向 ；当0λ<时，λa 的方向与a 的方向 ；0λ=时，λa = 。
2. 实数与向量的积的运算律：设R λμ∈，则 （1）()a λμ= ； （2）()λμ+a = ；（3）λ（a+b ）= ； 3．两个向量共线的充要条件向量b 与非零向量a 共线的充要条件是 ，使得b=λa 4. 平面向量基本定理如果12,e e 是同一平面内两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a ， ，使得1122a e e λλ=+5．基底用来表示某一平面内任一向量的一对不共线的向量，叫做 。
6．三点共线的充要条件,O A O B 不共线，三点A 、B 、P 共线的充要条件是()AP t AB t R =∈ 二．基础训练1．已知a =12e e +,b =122e e -,则向量a+2b 与2a-b （ ）A 一定共线B 一定不共线C 仅当12e e 与共线时共线D 以上均不成立 2．在ABCD 中，AC 与BD 交于点M ，若设AB =a ，AD =b ，则下列选项中与12-a +12b 相等的向量是（ ）A MAB MBC MCD MD 3．设四边形ABCD 中，有12DC AB =，且AD BC =，则这个四边形是（ ） A 平行四边形 B 矩形 C 等腰梯形 D 菱形4．已知向量12,e e 不共线，实数x,y 满足1212(34)(23)63x y e x y e e e -+-=+，则x-y 的值等于（ ）A 3B -3C 0D 25．若M 是ABC ∆的重心，则下列各向量中与AB 共线的是（ ） A AB BC AC ++ B AM MB BC ++ C AM BM CM ++ D 3AM AC +6．若3a =，b 与a 的方向相反，且5b =，则a = b 7．已知向量12,e e 不共线（1）若12AB e e =-，1228BC e e =-，1233CD e e =+，求证A 、B 、D 三点共线； （2）向量12e e λ-与12e e λ-共线，求实数λ的值 三．强化训练1．（2005山东）已知向量a 、b 且AB =a+2b ，BC =-5a+6b ，CD =7a -2b ，则一定共线的三点是（ ）A A 、B 、D B A 、B 、C C C 、B 、D D A 、C 、D 2．（2006广东）如图D 是ABC ∆的边AB 上的中点，则向量CD =（ ） A 12BC BA +B 12BC BA -+ C 12BC BA -- D 12BC BA -3．如图，在ABC ∆中，OA =a ，OB =b,M 为OB 的中点，N 为AB 的中点，P 为ON 、AM 的交点，则AP 等（ ）A23a 13- b B 23-a 13-b C 13a 23-b D 13-a 23+ b4．（2006武汉）如图所示），已知43AP AB =，用OA 、OB 表示OP ，则OP 等于（ ）A 1433OA OB -+B 1433OA OB +C 1433OA OB -D 1433OA OB --BCD AAO MNPB。
向量的加减法实数与向量的乘积
高一数学同步测试
一、选择题(每小题5分，共60分，请将所选答案填在括号内)
1. 如图，已知四边形ABCD是梯形，AB〃CD, E・F、G、H分别是AD、BC、AB与CD的屮点，则丽等于
C • AG+~DHD •BG + GH
2.下列说法正确的是
A•方向相同或相反的向量是平行向量
B.零向戢的长度为0
Q9
A.2a-bb_uD.a_b
■
1量的基底
2一个平而内有无数对不共线向量可作为该平而的所有向量的基底
3零向量不可作为基底中的向戢。其屮正确的是
A.①②B.②③C.8D.①綁
11.若西二：，亟二&,丽二几亜，则帀等于（）
A・ci+AhB・Au + bC・Act+ （1—A） Z?1 _ A r
16.已知7Z二的模分别为1.2、3・贝11归+方#c|的最大值为
三、解答题（本大题共74分，17—21题每题12分，22题14分）
17.设石，石是两个不共线的向量，AB=2e[+ke \CB=e,+ XD-2erZ^A>
B、D三点共线，求k的值.
18.已知AABC及一点0,求证：0为AABC的重心的充要条件是OA+OB+OC二0.
D.a +h
12.已知ABCD为菱形,则下列各式中正确的个数为
③IAB-CDHAD+FC1@1ACI2+1丽卩=41丽2
A •1个B.2个C.3个D.4个
二、填空题（每小题4分，共16分，答案填在横线上）
13.ei9e2不共线，当k=时，&二kex+e2fb=e（+ke2共线.
高考数学(理)二轮试题：第5章《向量、向量的加法与减法、实数与向量的积》
精选题库试题理数1.(2014 安徽 ,10,5 分 )在平面直角坐标系xOy 中,已知向量a,b,|a|=|b|=1,a b=0,点·Q 知足=(a+b).曲线 C={P|=acosθ +bsinθ ,0≤θ地区<2Ωπ={P|0<r},≤||≤ R,r<R}若. C∩Ω为两段分别的曲线,则 ()A.1<r<R<3B.1<r<3 ≤ RC.r ≤ 1<R<3D.1<r<3<R1.A1.依据题意不如设a=(1,0),b=(0,1),∴=(a+b)=(,),=acos θ +bsinθ =(cosθ ,sinθ ),∴ ||=|(-cos θ, -sinθ)|==(0 ≤θ <2π ).∴1≤| | ≤3,易知曲线 C 为单位圆 ,又∵地区Ω={P|0<r ≤| | ≤R,r<R},且 C∩Ω为两段分别的曲线,联合图形可知,? 且端点不重合,∴ 1<r<R<3. 应选 A.2.（ 2014 重庆一中高三放学期第一次月考，10）（原创）已知分别是的三边上的点，且知足，，，，.则（）（A）（B）（C）（D）2. D2.由于＝，∴；又由于，可得, 因此DE ⊥ AC;，则可得, 所以可得.3. (2014福州高中毕业班质量检测, 6)如图 ,设向量,, 若＝λ()＋μ, 且, 则用暗影表示点全部可能的地点地区正确的选项是3. D3.设，由于，因此，解得，由于，因此，应选 D.4. (2014 广东广州高三调研测试，3) 已知向量，，，若，则实数的值为（）A. B. C. D.4.A4.由已知，由于，因此，即，解得.5.(2014 吉林省长春市高中毕业班第二次调研测试，3) 已知向量,,, 若为实数，，则的值为（）A．B．C．D．5.5.，，又，∴，即，解得，应选6.(2014 周宁、政和一中第四次联考，3) 如图，、、分别是的边、、的中点，则（）A．B．C．D．6. D6. 依题意，.7. (2014 重庆七校结盟 , 6) 向量，，且，则锐角α的余弦值为（）A.B.C.D.7. D7.依题意，当，则，即，为锐角，.8. (2014 天津七校高三联考, 3) 已知向量，，若与垂直，则的值为（）（A）（B）（C）（D）18. C8. 依题意，，与垂直，则，解得.9. (2014 江西七校高三上学期第一次联考,6) 设，向量，，，且，，则（）A.B.C.D.109. B9.，，即，又，，即，，，，故.10.(2014 广州高三调研测试, 3) 已知向量，，，若，则实数的值为（）A．B．C．D．10.A10.依题意，，又，，即.11. (2014 湖北黄冈高三期末考试) 已知为线段上一点，为直线外一点，为上一点，知足，，，且，则的值为（）A.B.C.D.11. C11.，而，，，又，即，在径，作的角均分线上，由此得的内切圆，如图，分别切是的心里，过、于、作，于，为圆心，，为半，，在中，，..12. (2014 北京东城高三12 月教课质量调研) 设向量，，则“” 是“”的（）（ A ）充足但不用要条件（B）必需但不充足条件（ C）充要条件（D）既不充足也不用要条件12.A12.当，，，，；由，，即，解得，故向量，，则“” 是“” 的充足但不用要条件.13.(2014 北京 ,10,5 分)已知向量a,b 知足 |a|=1,b=(2,1), 且λ a+b=0(∈λR),则 | λ |=________.13.13.∵ λ a+b=0,即λ a=-b,∴ | λ ||a|=|b|.∵ |a|=1,|b|=,∴ | λ|=.14.(2014 天津蓟县第二中学高三第一次模拟考试，15) 设向量 a， b 的夹角为θ，a=（2，1），a+3b=（5， 4），则 sin θ=14.14.设，则由题意可得，解得. 因此，又由于，联合平方关系式可得sin θ=. 15. (2014 山西太原高三模拟考试（一），15)已知O是锐角ABC的外接圆的圆心，且∠ A=，若，则实数m=. (用表示)15.15.设外接圆半径为R，则：可化为：（*）.易知与的夹角为 2∠ C，与的夹角为 2∠ B，与的夹角为0，||=||=||=R. 则对（ *）式左右分别与作数目积，可得：.即R2（cos2C－1）+?R2（cos2B－ 1） =－ 2mR2 .∴－ 2sinCcosB+ （－ 2sinBcosC ）=－ 2m，∴ sinCcosB+sinBcosC=m ，即sin（ B+C ） =m.由于 sinA=sin=sin （ B+C ）且∠ A=θ，因此， m=sinA =sin θ.16. (2014 山东青岛高三第一次模拟考试, 11) 已知向量，，若，则实数______.16. 216.依题意，，因此.17. (2014 重庆五区高三第一次学生调研抽测，11) 设向量，，则向量在向量上的投影为.17.17.向量在向量上的投影为.18.(2014 湖北八市高三放学期 3 月联考， 14) 如图，己知, ∠ AOB 为锐角，OM 均分∠ AOB ，点 N 为线段 AB 的中点，，若点P在暗影部分（含界限）内，则在以下给出的对于x、 y 的式子中，知足题设条件的为（写出全部正确式子的序号）．① x≥0， y≥0；② x－y≥0；③ x－y≤0；④ x－ 2y≥0；⑤ 2x－y≥0．18.①③⑤18.当点在射线上时,则当点在射线上时,因此，由于点 P 在暗影部分（含界限）内，因此故应选①③⑤.19. (2014 天津七校高三联考, 10) 在中，已知是边上一点，若，则______．19.19.如下图，，，又，.20. (2014 山东青岛高三第一次模拟考试, 16) 已知向量，，.（Ⅰ）求函数的单一递减区间；（Ⅱ）在中,分别是角的对边,,,若，求的大小.20.查察分析20.（Ⅰ），因此递减区间是. （ 5 分）（Ⅱ）由和得:,若，而又, 因此由于，因此若，同理可得：，明显不切合题意，舍去. （ 9 分）因此，由正弦定理得 :. （12 分）21. (2014 贵州贵阳高三适应性监测考试, 17) 已知向量,,函数.（Ⅰ）求函数的最小正周期；（Ⅱ）已知分别为内角、、的对边，此中为锐角，，,且求的面积.21.查察分析21.解：（Ⅰ），由于，因此.（6分）（Ⅱ），由于，因此，，则，因此，即，则，进而. (12 分）22. (2014 江苏苏北四市高三期末统考, 15) 已知向量，.（Ⅰ）若，求的值；（Ⅱ）若，，求的值.22.查察分析22.分析（Ⅰ）由可知，，因此，因此. （6分）（Ⅱ）由可得，，即，①（10分）又，且②，由①②可解得，，因此. （14 分）23. (2014 重庆七校结盟 , 20) 在中,三个内角所对边的长分别为,已知.（Ⅰ）判断的形状 ;（Ⅱ）设向量,若,求.23.查察分析23. （Ⅰ）在中,为等腰三角形 .（6分）（Ⅱ）由, 得，, 又为等腰三角形，.（12分）24. (2014 成都高中毕业班第一次诊疗性检测，16) 已知向量，，设函数.（Ⅰ）求函数的最小正周期；（Ⅱ）在中，角、、所对的边分别为、、，且，，，求的大小.24.查察分析24.分析（Ⅰ），，又，.（5分）（Ⅱ）由正弦定理，可得，即，，，又（8 分)，，，由题意知识锐角，25. （ 2014 陕西宝鸡高三质量检测(一 )， 17.）在(12 分）中，角所对的边分别为，且∥（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求三角函数式的取值范围.25.查察分析25. (Ⅰ) ∵，且∥，∴，由正弦定理得，又，∴，，∴，又∵，∴，∴.（6分）（Ⅱ）原式，∵，∴，∴，∴，即三角函数式的取值范围为.（12分）26. (2014 湖北黄冈高三期末考试)设向量，，，函数（ 1）求函数的最小正周期；（ 2）在锐角中，角、、所对的边分别为、、，，，，求的值.26.查察分析26.（ 1）,因此，函数的.(5分)（2）,，,,。
数学(文)专题提分训练：向量、向量的加法与减法、实数与向量的积(含答案解析)
向量、向量的加法与减法、实数与向量的积高考试题考点一 向量的线性运算1.(2012年大纲全国卷，文9）△A BC 中,AB 边的高为CD,若CB =a ，CA =b,a ·b=0,｜a|=1，｜b ｜=2,则AD 等于（）(A ）13a —13b （B ）23a —23b(C)35a-35b （D ）45a-45b解析:∵a ·b=0，∴a ⊥b.又∵｜a ｜=1,｜b ｜=2,∴|AB ｜=5. ∴｜CD ｜=125⨯=255。
∴｜AD |=222525⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭=455.∴AD =4555AB =45AB =45（a —b ）=45a —45b 。
答案：D2。
(2011年四川卷，文7）如图,正六边形ABCDEF 中， BA +CD +EF等于（ )(A)0 （B）BE(C）AD（D) CF解析: BA+CD+EF=DE+EF+CD=DF+CD=CD+DF=CF，故选D.答案:D3。
(2010年大纲全国卷Ⅱ，文10）△ABC中,点D在边AB上，CD 平分∠ACB，若CB=a, CA=b，|a｜=1,|b|=2，则CD等于( ）（A）13a+23b （B)23a+13b（C）35a+45b (D）45a+35b解析:∵CD平分∠ACB，∴CACB =ADDB=21。
∴AD=2DB=23AB=23（CB-CA）=23(a—b).∴CD=CA+AD=b+23(a—b)=23a+13b。
答案：B4.（2009年湖南卷，文4）如图,D,E，F分别是△ABC的边AB,BC，CA的中点,则( ）(A) AD+BE+CF=0(B）BD-CF+DF=0（C）AD+CE—CF=0（D) BD—BE-FC=0解析: AD+BE+CF=12AB+12BC+12CA=12（AB+BC+CA）=0.故选A.答案:A5。
（2013年四川卷，文12）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O, AB+AD=λAO，则λ= 。
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高二数学同步测试（9）—向量的加减法、实数与向量的乘积 说明：本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分.第Ⅰ卷60分，第Ⅱ卷90分，共150分，答题时间120分钟.
第Ⅰ卷（选择题，共60分）
一、选择题（每小题5分，共60分，请将所选答案填在括号内） 1．下列各量中不是向量的是
（ ）
A ．浮力
B ．风速
C ．位移
D ．密度
2．下列命题正确的是
（ ）
A ．向量与是两平行向量
B ．若a 、b 都是单位向量,则a =b
C ．若=,则A 、B 、C 、
D 四点构成平行四边形 D ．两向量相等的充要条件是它们的始点、终点相同
3．在△ABC 中，D 、E 、F 分别BC 、CA 、AB 的中点，点M 是△ABC 的重心，则 -+等于
（ ）
A ．
B ．4
C ．4
D ．4 4．已知向量与反向，下列等式中成立的是
（ ）
A ．||||||-=-
B ．||||-=+
C ．||||||-=+
D ．||||||+=+
5．在△ABC 中,AB =AC ,D 、E 分别是AB 、AC 的中点,则
（ ）
A ．与共线
B ．与共线
C ．与相等
D ．与相等 6．已知向量e 1、e 2不共线,实数x 、y 满足(3x -4y )e 1+(2x -3y )e 2=6e 1+3e 2,则x -y 的值等于( ) A ．3
B ．－3
C ．0
D ．2
7．已知正方形ABCD 的边长为1, =a , =b , =c ,则|a +b +c |等于 （ ） A ．0 B ．3 C ．2 D ．22 8．下列各式计算正确的有
（ ）
(1)(－7)6a =-42a (2)7(a +b )－8b =7a +15b
(3)a －2b +a +2b =2a (4)若a =m +n ,b =4m +4n ,则a ∥b A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个
9．化简)]24()82(2
1[31b a b a --+的结果是
（ ）
A ．-2
B ．-2
C ．-
D ．-
10．下列各式叙述不正确的是 （ ）
A ．若a ≠λb ,则a 、b 不共线(λ∈R )
B ．b =3a (a 为非零向量),则a 、b 共线
C ．若m =3a +4b ,n =
2
3
a +2
b ,则m ∥n D ．若a +b +
c =0,则a +b =-c
11．若2121,,PP P OP OP λ===，则等于
（ ）
A ．b a λ+
B ．b a +λ
C ．b a )1(λλ-+
D ．
b a λ
λ
λ+++111 12．对于菱形ABCD ，给出下列各式：
①BC AB =
②||||BC AB =
③||||+=- ④||4||||2
2
=+ 2
其中正确的个数为 （ ）
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
二、填空题（每小题4分，共16分，答案填在横线上）
13．已知|AB |=1,| AC |=2,若∠BAC =60°,则|BC |= .
14．已知点A(－1,5)和向量a ={2,3},若AB =3a ,则点B 的坐标为 . 15．在四边形ABCD 中，若||||,,b a b a b AD a AB -=+==且,则四边形ABCD 的形状是 .
16．一艘船从A 点出发以23km/h 的速度向垂直于对岸的方向行驶,而船实际行驶速度的大小为4 km/h,则河水的流速的大小为 .
三、解答题（本大题共74分，17—21题每题12分，22题14分） 17．已知菱形ABCD 的边长为2,求向量AB －CB +CD 的模的长.
18．设、不共线,P 点在AB 上. 求证: =λ+μ且λ+μ=1,λ、μ∈R ．
19．已知向量,,32,32212121e e e e e e 与其中+=-=不共线向量,9221e e -=，问是否
存在这样的实数,,μλ使向量与μλ+=共线？
20．i 、j 是两个不共线的向量,已知=3i +2j ，=i +λj , =-2i +j ,若A 、B 、D 三点共线,试求实数
λ的值.
21．如图，在△ABC 中，P 是BC 边上的任一点，求证：存在,1)1,0(,2121=+∈λλλλ且使 AC AB AP 21λλ+=.
22．一架飞机从A 地按北偏西30°方向飞行3000千米到达13地，然后向C 地飞行，设C 地恰在A 地的北偏东30°，并且A 、C 两地相距3000千米，求飞机从B 地向C 地飞行 的方向和B 、C 两地的距离．
高一数学同步测试（9）参考答案
一、选择题
1．D 2．A3．C 4．C 5．B ．A 7．D 8．C9．B 10．A 11．D 12．C 二、填空题
13．3 14．(5,4) 15．菱形 16．2 km/h 三、解答题
17．解析: ∵AB -CB +CD =AB +(CD -CB )=AB +BD =AD
又|AD |=2 ∴|AB -CB +CD |=|AD |=2 18．证明: ∵P 点在AB 上,∴与共线.
∴=t (t ∈R )
∴=+=+t =+t (-)= (1-t )+ 令λ=1-t ,μ=t ∴λ+μ=1
∴=λ+μ且λ+μ=1,λ、μ∈R
19．解析：222,
2,,.2339,k R k λμλμλμλμλμ+=⎧=-∈=-⎨
-+=-⎩
解之故存在只要即可.
20．解析: ∵=-=(-2i +j )-(i +λj )=-3i +(1-λ)j
∵A 、B 、D 三点共线,
∴向量与共线,因此存在实数μ,使得=μ, 即3i +2j =μ［-3i +(1-λ)j ］=-3μi +μ(1-λ)j ∵i 与j 是两不共线向量,由基本定理得:
⎩
⎨
⎧=-=∴⎩⎨⎧=-=-31
2)1(33λμλμμ 故当A 、B 、D 三点共线时,λ=3.
21．解析：如图，作PE ∥AB ，PD ∥AC ，则
|
||
|21BC BC =
=
λλ
=+=+=+∴21λλ． 22．解析：（1）3000千米； （2）正东方向．。