5-3 定积分的换元法与分部积分法
定积分的换元法和分部积分法
10
1 1 ( x)2
d( x) 2
arcsin
x 2
1 0
π 2
2
例3
计算
02
sin6xcosxdx
解
02
sin6xcosxdx02
sin6xd(sinx)
π
sin
7x
2
7 0
1 7
例4
计算
1e
1 lnx x
dx
解
e 1
1 lnx dx x
e1(1lnx)d(1lnx)
(1
ln
1
1
解法1
2 0
arcsinxdx
02arcsixnd(x)
1 1 xdx
xarcsixn02
2 0
1 x2
1 26
1
1 2
20
1 d(1x2) 1x2
12
1
1x2
2
0
31.
12 2
解法2
1
02arcsixndx
换 元t: arcsxin
6td(sitn)
则xsin t 0
分 部 积 分
2. 第二类换元积分法
设函数 f ( x) 在区间 [a, b] 上连续 ,函数 xφ(t)
满足 (1) φ(α)a, φ(β)b
(2) φ(t)在 [α, β](或 [β, α])上具有连续
导数,且 φ(t)[a, b] ,于是
a bf(x)dx βf[φ(t)φ ](t)dt
注意: (1)换元前后,上限对上限、下限对下限;
2
t
3
2 t
3 1
8 3
例7
计算
04
高等数学5-3定积分的换元法和分部积分法
设t=-u有
0
F ( x ) xf( u )( d u ) xf( u )d u
0
0
即 F ( x) xf(u)duF(x) 0
证毕,同理可证(2)
29
二、定积分的分部积分法
设函数u( x)、v( x)在区间a,b上具有连续导数,
则有abudv
uvb a
abvdu.
定积分的分部积分公式
推导 uvuvuv, a b(u v)d xa buvd xa bu vd x,
x2, x2.
1 4 f ( x - 2 ) d x 1 2 1 + c o s 1 ( x - 2 ) d x 2 4 ( x - 2 ) e - ( x - 2 ) 2 d x
tg
1 2
1e-4 2
1. 2
16
解2 令x-2=t,有
4 f(x-2)dx 2 f(t)dt
1
1
011+c1ostdt02te-t2dt
0
0
只和s有关
28
例13若 f (是t ) 连续奇函数,证明
x f是( t 偶) d t函数; 0
若 f ( t ) 是连续偶函数,证明 x f ( t是) d奇t 函数。 0
证明:(1)令 F(x) x f (t)dt, 则F (x) x f(t)dt
0
0
对
F(x)
x
f(t)dt,
12 20
(1 x2)12
1 2
12
0
3 1 12 2
31
例15 计算
4
xdx .
0 1cos2x
解 1 c2 o x 2 s c2 o x , s
4
第三讲:分部积分法及反常积分
b
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例1. 计算反常积分 解:
= [ arctan x] −∞ π π = − (− ) = π 2 2
+∞
yOy=来自1 1+x2x
思考: 思考 分析: 分析 原积分发散 !
注意: 注意 对反常积分, 只有在收敛的条件下才能使用 “偶倍奇零” 的性质, 否则会出现错误 .
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0 dx 下述解法是否正确: 1dx
的收敛性 .
1 1 = − + − =∞ = + 解: 2 2 −1 x x −1 x 0+ 1 dx 1 1 0x Q∫ 2 = − = −1−1 = −2 , ∴积分收敛 −1 x 所以反常积分 x −1 发散 .
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若 f (x) ∈C(−∞, + ∞), 则定义
lim ∫a f (x) dx + b→+∞ ∫c f (x) dx a→−∞ lim
( c 为任意取定的常数 ) 只要有一个极限不存在 , 就称 发散 .
c b
无穷限的反常积分也称为第一类反常积分 第一类反常积分. 第一类反常积分 说明: 说明 上述定义中若出现 ∞ − ∞ , 并非不定型 , 它表明该反常积分发散 .
这时称反常积分 就称反常积分
收敛 ; 如果上述极限不存在, 发散 .
类似地 , 若 f (x) ∈C[a, b), 而在 b 的左邻域内无界, 则定义
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而在点 c 的 邻域内无界 , 则定义
∫a f (x) dx + ∫c f (x) dx
5.3 定积分的换元法和分部积分法
= − න (π − )(sin(π − ))d
则 d = −d
0
0
π
= න (π − )(sin )d
0
π
π
= π න (sin )d − න (sin )d
0
π
0
π
= π න (sin )d − න (sin )d ,
0
+ න () d
0
= න [(−) + ()] d
0
2 න () d , (−) = (),
=
0
0,
− = − .
奇、偶函数在对称区间上的定积分性质 偶倍奇零
第三节 定积分的换元法和分部积分法
定积分
第五章
1
2 2 + cos
例6 计算 න
0
解
1
d.
( > 0)
π
令 = sin , d = cos d, = ⇒ = , = 0 ⇒ = 0.
2
π
2
cos
d
原式 = න
2
2
0 sin + (1 − sin )
=න
π
2
0
cos
1
d = න
sin + cos
1
=
6
6
1
อ
第三节 定积分的换元法和分部积分法
0
cos 5 sin d
= − න cos 5 d(cos )
= 0 ⇒ = 1.
原式 = − න
π
2
1
= .
5-3定积分的换元法与分部法-精品文档
1 ( 1 cos 2 t)d t cos t d t 2
2
1 1 t sin 2t 2 arcsin x x1 x C C 2 2 2 4
由牛顿 莱布尼兹公式 , 得
1 1 1 2 1 x d x arcsin x x 1 x . 0 2 2 0 4 1 2
0
a
x ) d x [ f ( x ) f ( x )] d x . f(
a 0
a
a
( 1 )若 f ( x ) 为偶函数,则 f ( x ) f ( x ) ,故有
a
a
f (x)dx 2
a
0
f (x)d x
( 2 ) 若 f ( x ) 为奇函数,则 f ( x ) - f ( x ) ,故
1
1 2 2 1 2 2 sin xcos xdx sin xdsin x sin x |0 0 0 2 2
例5
设 f(x ) 在对称区间 [ a ,a ]上连续,证明:
( 1 ) 当 f ( x ) 为偶函数时, x ) d x 2 x ) d x . f( f(
f (x)dx f ( t)(dt) f ( x )dx. t)dt f( a a
0
0
0
0
a
a
于是
( x ) d x f ( x ) d x f ( x ) d x f
a 0 0
a
a
a
x ) f( x )] d x . [f(
则
定理证明 定理证
b
5-3定积分的换元法和分部积分法
令 t cos x, x t 0, 2
x 0 t 1,
0 5
0
2
cos x sin xdx 1 t dt
5
1
0
t 5 dt
t 1 . 6 0 6
6
1
例2
计算 0
sin3 x sin5 xdx.
3 2
解
f ( x ) sin 3 x sin5 x cos x sin x
2
2
3 2
4 . 5
例3 解
计算 令 x a sin t ,
dx a cos tdt ,
原式
x a t , 2
x 0 t 0,
2 0
a cos t a cos tdt
sin 2t 2 t 2 0
a 2
2
2 0
或
例1. 计算 解: 原式 = x arcsin x
1 2 0
1 2
x 1 x
2
2
dx
0
1 π 12 2
1 2 0
1 1 x2
d(1 x )
1 2
π 1 2 (1 x 2 ) 12 2 0
3 π 1 2 12
例2. 计算 解: 先去根号,
a f ( x )dx F (b) F (a ) ( ) ( )
f [ ( t )] ( t )dt .
b
注意 当 时,换元公式仍成立.
应用换元公式时应注意:
t 时,积分限也 (1)用 x ( t ) 把变量x 换成新变量
定积分的换元积分法与分部积分法
定积分的换元积分法与分部积分法教学目的:掌握定积分换元积分法与分部积分法 难 点:定积分换元条件的掌握 重 点:换元积分法与分部积分法由牛顿-莱布尼茨公式可知,定积分的计算归结为求被积函数的原函数.在上一章中,我们已知道许多函数的原函数需要用换元法或分部积分法求得,因此,换元积分法与分部积分法对于定积分的计算也是非常重要的.1.定积分换元法 定理 假设(1) 函数)(x f 在区间],[b a 上连续;(2) 函数)(t x ϕ=在区间],[βα上有连续且不变号的导数;(3) 当t 在],[βα变化时,)(t x ϕ=的值在],[b a 上变化,且b a ==)(,)(βϕαϕ, 则有[]dt t t f dx x f ba⎰⎰'=βαϕϕ)()()(. (1)本定理证明从略.在应用时必须注意变换)(t x ϕ=应满足定理的条件,在改变积分变量的同时相应改变积分限,然后对新变量积分.例1 计算⎰-211dx xx . 解 令t x =-1,则tdt dx t x 2,12=+=.当1=x 时,0=t ;当2=x 时,1=t .于是⎰⎰⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=⋅+=-102102211112211dt t tdt t t dx x x ⎪⎭⎫⎝⎛-=-=412)arctan (210πt t .例2 计算⎰-adx x a 022)0(>a .解 令t a x sin =,则tdt a dx cos =.当0=x 时,0=t ;当a x =时,2π=t .故⎰-adx x a 022dt t a t a ⎰⋅=20cos cos πdt t a )2cos 1(2202+=⎰π2022sin 212π⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=t t a42aπ=.显然,这个定积分的值就是圆222a y x =+在第一象限那部分的面积(图5-8).例3 计算⎰205sin cos πxdx x .解法一 令x t cos =,则xdx dt sin -=. 当0=x 时,1=t ;当2π=x 时,0=t ,于是6161sin cos 01650125=-=-=⎰⎰t dt t xdx x π. 解法二 也可以不明显地写出新变量t ,这样定积分的上、下限也不要改变.即x d x xdx x cos cos sin cos 205205⎰⎰-=ππ61610cos 61206=⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-=πx .此例看出:定积分换元公式主要适用于第二类换元法,利用凑微分法换元不需要变换上、下限.例4 计算dx x ⎰-π0sin 1.解dx x ⎰-πsin 1⎰-=π2cos 2sindx xx 注去绝对值时注意符号.=⎰⎰-+-πππ220)2cos 2(sin )2sin 2(cos dx xx dx x x=222(sin cos )2(cos sin )2222x x x xπππ+--=)12(4-.例5 计算⎰+π2sin 3sin dx xx .解 设x t cos =,则当0=x 时,1=t ;当π=x 时,1-=t .⎰+π2sin 3sin dx xx =⎰⎰---=--1111224141dt tdt t11arcsin23t π-==.例6 设)(x f 在],[a a -上连续,证明: (1) 若)(x f 为奇函数,则0)(=⎰-aa dx x f ;(2) 若)(x f 为偶函数,则dx x f dx x f aa a)(2)(0⎰⎰=-.证 由于dx x f dx x f dx x f aaaa)()()(0⎰⎰⎰+=--,对上式右端第一个积分作变换t x -=,有dt t f dt t f dx x f aaa)()()(00-=--=⎰⎰⎰-dx x f a)(0-=⎰.故dx x f x f dx x f aaa)]()([)(0+-=⎰⎰-.(1) 当)(x f 为奇函数时,)()(x f x f -=-,故00)(0==⎰⎰-dx dx x f aaa.(2) 当)(x f 为偶函数时,)()(x f x f =-,故dx x f dx x f dx x f aaaa)(2)(2)(0⎰⎰⎰==-.利用例6的结论能很方便地求出一些定积分的值. 例如0sin 6=⎰-xdx x ππ.⎰⎰---+=-+1122112)424()4(dx x x dx x x 80411=+=⎰-dx .2.定积分的分部积分法设函数)(x u 与)(x v 均在区间],[b a 上有连续的导数,由微分法则vdu udv uv d +=)(,可得vdu uv d udv -=)(.等式两边同时在区间],[b a 上积分,有vdu uv udv baba ba⎰⎰-=)(. (2)公式(2)称为定积分的分部积分公式,其中a 与b 是自变量x 的下限与上限. 例7 计算xdx eln 1⎰.解 令dx dv x u ==,ln ,则x v xdxdu ==,.故 xdx x x x xdx e ee⋅-=⎰⎰111]ln [ln 1)1()0(=---=e e .例8 计算xdx x 3cos 0⎰π.解x xd xdx x 3sin 313cos 00⎰⎰=ππ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎰xdx x x 3sin 3sin 3100ππ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=π03cos 31031x 92-=. 例9 计算⎰+42cos 1πdx xx.解⎰+42cos 1πdx x x =⎰⎰=4042tan 21cos 2ππx xd dx x x=)tan tan (214040⎰-ππxdx x x =)cos ln 4(2140ππx +=2ln 418-π. 例10 计算⎰403sec πxdx .解⎰⎰⎰=⋅=40402403tan sec sec sec sec πππx xd xdx x xdxxdx x x x x tan sec tan tan sec 4040⋅-=⎰⎰ππxdx x sec )1(sec 2240--=⎰π⎰⎰+-=40403sec sec 2ππxdx xdx40403)tan ln(sec sec 2ππx x xdx ++-=⎰)12ln(sec 2403++-=⎰πxdx .即 )12ln(2sec 2403++=⎰πxdx 注移项得.故 )12ln(2122sec 43++=⎰πxdx . 例11 计算dx e x ⎰10.解 先用换元法,令t x =,则tdt dx t x 2,2==. 当0=x 时,0=t ;当1=x 时,1=t . 于是dt te dx e t x⎰⎰=112.再用分部积分法,得dx e x ⎰111122()t t t tde t e e dt ==-⎰⎰2)]1([2=--=e e .小结:1.定积分换元积分定理:假设 (1) 函数)(x f 在区间],[b a 上连续;(2) 函数)(t x ϕ=在区间],[βα上有连续且不变号的导数;(3) 当t 在],[βα变化时,)(t x ϕ=的值在],[b a 上变化,且b a ==)(,)(βϕαϕ. 则有[]dt t t f dx x f ba⎰⎰'=βαϕϕ)()()(.2.定积分分部积分法:设函数)(x u 与)(x v 均在区间],[b a 上有连续的导数,则有vdu uv udv baba ba⎰⎰-=)(.。
定积分第三节定积分的换元法和分部积分法
2
解
4
0
sin
xdx
x0 t,tx0,;dxx22t,d tt202tsitndt
42
202tdcots
2tcot0 2s202cotdst
2sint02 2
例4 计算
1 0
l(n2(1x)x2)dx.
解
1
0
l(n2(1x)x2)dx
01ln1 ( x)d2 1x
ln2(1xx)10012 1xdln1(x)
f[ ( t ) ] ( t ) dt
说明:
b
af(x)d x f[ ( t ) ] ( t ) dt
1) 当 < , 即区间换为[,]时,定理 1 仍成立 .
2) 必需注意换元必换限 , 原函数中的变量不必代回 .
3) 换元公式也可反过来使用 , 即
f[
( t ) ]
( t ) dt
b
f (x)dx
0 2 fx 1 d 0 1 x fx 1 d 1 2 x fx 1 dx
1ex1dx 21dx
0
1x
01ex1dx1121 xdx
ex 11 0ln x1 211 eln 2
二、分部积分公式
设函数u( x)、v( x)在区间a, b上具有连续
导数,则有
b
a udv
例9 计算 01xscionsx2 xdx .
解 积分区间为 0,,被积函数为 xfsixn
型,利用定积分公式⑥得
0 1 xs cix o 2x n ds x 20 1 scix o 2n xdsx
20 1c1o 2xd scoxs 2arccta oxn s 042
例11
设f
定积分换元法
s in 2
x
(1exex
1 1 ex
)
s in 2
x,
4 sin2 x
4
1
ex
dx
4 sin2 xdx
0
4 1 cos2x dx 02
[1 x 1 sin 2x] 4 2 .
24
08
4
(2)
(cos
x
(1
s
in
2x)dx.
1
c1os2 xd(cos
x)
arctan(cos x) ( ) 2 .
2
0 2 44 4
8.已知g(x) x tf (xt)dt ,求g(x) 。 0
g(x)
x
t
令xtu
f (xt)dt
0 (xu) f (u)du
0
0
e2x sin x
2 0
2 sin x d(e2x )
0
e 2 2 e2x sin x dx e 2 2 e2x d(cosx)
0
0
e 2 e2x cosx
2 0
2
2 cosxd(e2x )
0
e 2 4 2 e2x cosxdx 0 5I e 2,
2
2
2 cos6 xdx 2 5 3 1 5 .
0
6 4 2 2 16
(3)
cos8 x dx 2
定积分的换元积分法与分部积分法
解:对 p 1,
a
dx (a 0) p x
收敛或发散
b
1
1 1 1 p 1 p 1 ( b ) x dx x p 1 p 1 p 1
p
重要的问题是b的指数是正数还是负数. 假如是
负数, 则当b趋向无穷时, b–p+1趋向于0. 若指数为
正数,则b–p+1当b趋于无穷时无界增长. 因此, 若–
a
udv uv a vdu .
a
回忆::
定积分的分部积分公式
不定积分的分部积分公 式为 :
udv uv vdu .
例1. 计算
解: 原式 =
x arctan x
1 2
1 0
1
0
1 1 2 d (1 x ) 2 4 2 0 1 x
1 2 ln( 1 x ) 2 4 0 1 ln 2 2 4
当p>1时积分有值
1
b 1 1 1 1 p 1 b ) dx lim p dx lim ( p b p 1 b 0 x p 1 x
1 1 ( ) p 1 p 1
定理1 (比较判别法) [a,), g ( x) f ( x) 0, 设 且f ( x), ( x)于[a,)内有界, 则 g (1) 当 a g ( x)dx 收敛时,a f ( x)dx 也收敛 ; (2) 当
1
dx 增长且无界, x
y 1 x
dx 发散. y x
1
b
dx x
0
1
b
x
2. 其它情形意义
§5.3_定积分的换元法与分部法
2
20
定积分的换元法和分部积分法
3
例
e4
dx
e x ln x(1 ln x)
d( ln x) 1 1 d ln x 2 ln x
3
e4
解 原式
d(ln x)
e ln x(1 ln x)
3
3
e4
d(ln x)
e4 d ln x
2
e ln x (1 ln x)
e 1 ( ln x)2
2 arcsin(
ln x )
3
e4 e
.
6
21
定积分的换元法和分部积分法
a
1
dx (a 0)
0 x a2 x2
解 令 x a sint, dx a cos tdt
x0t0
x a t
2
原式
2
0
a
sin
t
a cost a 2 (1
则
b
a f ( x)dx F(b) F(a)
N--L公式
由于 d dt
F (t) F(t)(t)t) (t)的原函数, N--L公式
则
f [ (t)](t)dt
F ( )
b
a
所以 f (a b x)dx f (t)(dt)
a
b
b
b
a f (t)dt a f (x)dx
所以,原命题成立。
10
例
计算
4 dx .
0 1 x
解 用定积分换元法.
令
x
t, 则
定积分的换元法与分部法
由此公得式:
In
n 1 n
In2
注意:
I0
2 dx
,
0
2
I1
2 sin xdx 1,
0
In
2 sin n xdx
0
2 cosn xdx
0
n n
1 n 1 n
n n n n
3 2 3 2
a
0
注: (1) 当f(x)为奇函数时,
a
f (x)dx 0.
a
(2) 当f(x)为偶函数时,
a
a
f (x)dx 2 f (x)dx.
a
0
练习
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例5 若f(x)在[0, 1]上连续, 证明
(1) 02 f (sin x)dx02 f (cosx)dx ;
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例8
计算
1 0
ln(1 x) (2 x)2
dx
解
原式=
1
0
ln(1
x)
d
2
1
x
ln(1 x) 1 1
1
1 dx
2 x 0 0 2 x 1 x
ln
2
1 3
1 1 01 x
2
1
x
dx
ln
2
1 3
ln(1
定积分的换元法
(1)若f ( x )奇函数 ( x )为偶函数 (2)若f ( x )偶函 ( x )为奇函数 数 证明 (1) ( x )
f 偶,(x ) 奇 f ( t )dt f 奇, (x )偶
x
0
f (t )dt
x 0
x
0
令t u
x
0
f ( u)d( u)
5
注意: 去绝对值或去根号时,应注意其正负,否则就会出错.
13
xe , x 0 4 , 计算 f ( x 2)dx . 例6 设函数f ( x ) 1 1 , 1 x 0 1 cos x x 1 4 解 设x 2 t , 则dx dt , t -1 2
sin x cos xdx sin x ( cos x )dx
2
3 2
3 2
2
3 2
3 2
2
3 2
2 sin xd sin x sin xd sin x
0
3 2
2
5 2 4 2 2 2 2 2 2 [ sin x ]0 [ sin x ] ) . ( 5 5 5 5 5 2
注意:计算定积分时,方法一定要灵活.
例5 计算 0
sin3 x sin5 xdx.
3 2
解 由于 sin3 x sin5 x sin3 x(1 sin2 x ) sin x cos x ,
ห้องสมุดไป่ตู้
原式=
2
0
0
(sin x cos x )dx (sin x cos x )dx
§5-3定积分的换元积分法和分部积分法
把新变量的上、下限代入 F[(t)] 进行运算即可.
例 4 计算下列定积分
ln 2
(1)
e x 1dx ;
0
(2)
a 0
a 2 x 2 dx
解
(1)令
ex
1
t
,
x
ln(t 2
1)
, dx
t
2t 2
1
dt
当 x=0 时,t=0;当 x=ln2 时,t=1.故
0
0
0
0
=(e 2-1)+ 2 sin xd (e x ) =(e 2-1)+ e x sin x 2 2 e xd (sin x)
0
0
0
=(e
2-1)-
2 0
ex
cos
xdx
移项得
2 2 e x 0
cos xdx
= e 2-1,
所以
2 e x 0
cos xdx
= 1 (e 2-1). 2
例 9
x
2
3
x
dx
=
4
4
1 cos 2
dx x
+
4
4
x3 cos 2
dx x
=2
4
0
1 cos 2
dx x
+0=2 tan x
4
0
=2.
二、 定积分的分部积分法
定理 2(定积分的分部积分公式) 设 u(x),v(x)在区间[a,b]上连续,则
或简写为
b a
u
(
x
)v
(x
定积分的换元法和分部积分法
1
4
R2
R
x x
例2 计算
0
cos3 x cos5 xdx
2
解
0
cos3 x cos5 xdx
2
0
cos3 x cos5 xdx
0
3
cos 2 x
1 cos2 xdx
0
3
cos 2 x sin x dx
2
2
2
0
3
cos2 x sin xdx
2
0
2
3
cos 2
解:
I1 tax
a 0
f (a t) dt f (a t) f (t)
2I1
a 0f f(a (ax) x)f f
(x) (x)
dt
a,
I1
a 2
I2 tx
0
( 1
t) sin cos2 t
t
dt
sin t 0 1 cos2 t dt
t sin t
0
1
cos2
dt t
第三节 定积分的换元法和分部积分法
一 定积分的换元法
定理1 设函数f(x)在[a,b]上连续,且x=φ(t)满足条件:(1) φ(t)在[α,β]上连续 可微;(2)当t在[α,β]上变化时, x= φ (t)的值在[a,b]上单调变化,且 φ(α)=a,φ(β)=b则
b
a f (x)dx f [ (t)](t)dt(1)
xd
cos
x
2 5
5
cos 2
x |0 2
2 5
利用换元法计算定积分时,要注意: (1).在换元时,积分的上下限必须同时变化. (2).在换元时,要注意换元后的函数在积分区域内是否有 意义.
5.3 定积分的换元法和分部积分法
−a
0
0
a
= ∫ 0 [ f (x ) + f (− x) ]d x
a
a
即
∫ ∫ f ( x)d x = [ f ( x) + f (− x) ] d x
−a
0
a
a
∫ ∫ 即
f (x)d x = [ f (x) + f (−x) ] d x
−a
0
(1)若 f (x) 为偶函数,即 f ( x ) = f (− x )
π
原式 =
t 2
+
ln
|
sin
t
+
cos
t
|
2 0
=π
4
例6:证明
(1)若 f (x) 在 [ - a , a ] 上连续且为偶函数,
a
a
则 ∫ − a f (x)d x = 2∫ 0 f (x)d x
(2)若 f (x) 在 [ - a , a ] 上连续且为奇函数,
a
则 ∫ −a f (x)d x = 0
1 −1
f (u) d u
∫ ∫ ∫ =
1
f (x)d x =
0 (1 + x2 ) d x +
1 e−x d x
−1
−1
0
=
[
x
+
1 3
x
3
]0−1
+
[−e − x ]10
= 7− 1 3e
二、 定积分的分部积分法
设 u = u (x) , v = v(x) 在区间 [ a , b ] 上有连续导
π 2
−
t
dt
π
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0
注
b
a
f ( x )dx f [ (t )] (t )dt
换元公式可以反过来使用:
f [ ( x )] ( x )dx f ( t )dt
a
b
公式反用,可以不换元. 若不换元,则不换限. 例3 计算 例4
换元必换限
不换元则不换限
(1)
且其值域 R [a , b], 则有:
b
a
f ( x )dx f [ ( t )] ( t )dt
定积分换元公式
b
a
f ( x )dx f [ (t )] (t )dt
注 (1) 换元过程
b
a
f ( x )dx
三 个 变 化
(2) 公式特点 例1 计算 例2
例12 (1)
证明
f (sin x )dx f (cos x )dx 0 π π xf (sin x )dx f (sin x )dx (2) 0 2 0 π x sin x (3) 计算 0 1 cos2 x dx
0 π
π 2
π 2
xe x x 0 计算 例13 f ( x ) 1 1 x 0 1 cos x
被积函数 f ( x ) 积分元素 dx 积分区间[a , b]
f [ ( t )] ( t )dt
f ( ( t )) ( t )dt [ , ] 或 [ , ]
变量不必回代
计算
a
换元必换限 必须注意积分限 上限对上限 下限对下限 注意简便算法
0
4
a 2 x 2 dx (a 0)
计算
π 2 0 π
cos5 x sin xdx
0
sin3 x sin5 xdx
绝对值函数的定积分,注意分区间讨论
重要结论 对称区间上奇偶函数的定积分
1
a
a a
a
f ( x )dx 2 f ( x )dx0af( x )dx 02
x | x | dx 例5 计算 dx 例6 计算2 2 1 2 x 1 x2 x4 1 π 1 x 2 2 6 dx 例7 计算 π sin x cos xdx 例8 计算 1 cos x ln 2 1 x 2
x
无穷区间上周期函数的定积分
周期为T
例9 计算
a
a T
a
f ( x )dx f ( x )dx
0
π +50π 6
T
Nπ
0
1 sin 2 xdx 例10 计算 π
6
cos 2 x dx
综合题
ln(1 x ) dx 例11 计算 0 2 1 x
1
不能用牛莱公式作出
b
a
b
b
a
udv uv a vdu
b b a
定积分的分部积分公式 注 使用分部积分公式应边积边代限 例14 计算
1 2
0
arcsin xdx 例15 计算 e x dx
0
1
例16 证明
n 1 n 3 3 1 , n n2 4 2 2
第三讲 定积分的换元法和分部积分法
定积分
牛-莱公式
换元积分法
不定积分 分部积分法
?
特点?
定积分的换元法与分部积分法
一、换元法
二、分部积分法
定积分的换元法与分部积分法
一、换元法
二、分部积分法
定理 假设函数f(x)在区间[a,b]上连续,函数 x ( t )满足条件:
( ) a, ( ) b ; (2) ( t )在[ , ](或[ , ])上具有连续导数,
n 为偶数 n 为奇数
2
4
1
f ( x 2)dx
定积分的换元法与分部积分法
一、换元法
二、分部积分法
定积分的换元法与分部积分法
一、换元法
二、分部积分法
b
a
u( x )v( x )dx u( x )v( x )dx u( x )v( x ) b v( x )u( x )dx a
a