北京航空航天大学理论力学课件-王琪-ch2C
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北航理论力学王琪
2009-10-9
23
理论力学
木桁架节点
§3-2 桁架
榫接
2009-10-9
24
理论力学
钢桁架节点
§3-2 桁架
铆接
2009-10-9
焊接
25
理论力学
钢筋混凝土桁架节点
§3-2 桁架
刚接
2009-10-9 26
理论力学
桁架模型简化的基本假设
§3-2 桁架
假设1：各杆件都用光滑铰链相连接
2009-10-9 27
2009-10-9 10
F
理论力学
三、刚体系的平衡问题
§3-1 刚体系的平衡
刚体系平衡 ⇔ 系统中每个刚体平衡 例：已知 F，M ，AB = BC = L ，F 作用在BC杆的中点， 求：A、C 处的约束力。 A
M
B
F
600
C
2009-10-9
11
理论力学
A
M
§3-1 刚体系的平衡
B
F
60
0
C
求：A、C 处的约束力。
理论力学
§3-2 桁架
假设2：各杆件轴线都是直线，并通过铰链中心
2009-10-9
28
理论力学
§3-2 桁架
假设3：所有外力（荷载及支座约束力）都作用在节点上
2009-10-9
29
理论力学
桁架模型简化的基本假设：
§3-2 桁架
假设1：各杆件都用光滑铰链相连接 假设2：各杆件轴线都是直线，并通过铰链中心 假设3：所有外力（荷载及支座约束力）都作用在节点上
例：已知 F，求 AG 杆上的约束力。
B 2a E a O a
A H
理论力学第2章课件
n (e) dp Fi dt i 1
优点：与内力无关。
分量形式
质点组动量定理的分量形式
dpx d n n (e) mi vix Fix dt dt i 1 i 1
dp n ( e ) Fi dt i 1
二、质心运动定理
dp d n d dvC d 2 rC mi vi (mvC ) m m 2 dt dt i 1 dt dt dt n d 2 rC 由质点组动量定理 m 2 Fi ( e ) dt i 1
dp Fi (e ) dt
wwwchinapostnewscomcn250jykj01htm三体及多体问题科学画报2001年12期1687年牛顿解决了两体问题1889年法国数学家亨利彭加勒于证明三体问题无解天体初始运行状态的细微差别都会在以后的行程中不断积累差之毫厘而失之千里多个天体的运行状况最终将混乱无序运行轨迹亦无规律可循
则两人对滑轮中心的力矩为：
M rm' g rmg rg (m'm)
对滑轮中心的角动量为：
r
J rm' v' rmv r(mv m' v' ) 于是 由 dJ / dt M r(ma m' a' ) rg (m'm)
2 根据位移与加速度的关系(初始速度为0) s 1 at 2
1 2 1 mvC mi v'i2 2 2 i
柯尼希定理：
p mvC 恒矢量
n i 1
vC 恒矢量
(e) 分量守恒律: 若 Fi 在 x 方向为 0, 则该方向 px C，即
北京航空航天大学理论力学课件-王琪-ch5A
O
vx = x &⎫ ⎪ vy = y &⎬ ⎪ vz = z &⎭
2015-10-28
x
加速度
x & & = a x = 0(m/s 2 )
y & & = a y = −10(m/s 2 )
曲率半径 v2 v2 20 ρ= = = m 0 an a cos 30 3
20
ax = & x& ⎫ ⎪ ay = & y &⎬ ⎪ az = & z& ⎭
2、P 点的速度和加速度
2015-10-28 8
理论力学
3、P点的运动轨迹
§5-1 点的运动学
y A P O
θቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
B
ϕ
x
l 2 ⎫ xp = R cosθ + L − R2 sin2 θ ⎪ L ⎬ R ⎪ y p = (L − l ) sinθ ⎭ L
消去上述方程中 参数θ可得 P 点 的轨迹方程。
z
&⎫ 解： v x = x ⎪ vy = y &⎬ ⎪ vz = z &⎭
u
v= x &2 + y &2 + z & = R2ω2 + u2 = const &2 = s
2 a= & x y z &2 + & &2 + & &2 = Rω
ωR
ax = & x& ⎫ ⎪ ay = & y &⎬ ⎪ az = & z& ⎭
T’
•曲率(curvature)
北航 王琪教授讲义
• 在实践的基础上创新
– 在解决问题的过程中“有问题可思考”，“有方法可推敲”, 善于提出自己的观点与方法，培养创新意识。
4
汇报的主要内容
• 目标与理念 • 内容与实践 • 体会与设想
5
内容与实践
1. 探究型课堂教学模式 2. 探究型实践教学平台 3. 科研与教学有机融合
6
1、探究型课堂教学模式 原有的课堂教学模式：
• 实验装置的来源：
– 购置和自制结合
27
数值仿真实验
• 实验目的：
– 应用数值仿真揭示力学现象 – 解决数值仿真中遇到的力学和数学问题 – 定性分析与定量分析的结合
• 实验内容：
– 习题中的数值仿真算例 – 实际工程问题的数值仿真算例
28
数值仿真实验
非光滑质点动力学仿真: 数值 方法给出质点位置、速度和切 向加速度随时间的变化规律
θ 0 = 0 rad , θ 0 = 0 rad/s, f = 0 .1
O
θ
r
mg
θ (t ) θ (t ) θ (t )
t(s)
29
数值仿真实验
掌握应用定性分析 方法判断数值仿真 结果的正确性。
30
数值仿真实验 倒摆数值 仿真实验
A
1 2 1 mLθ + cθ + kθ − mgLsinθ = kbcost 3 2
实现4个结合
• 定性分析与定量分析结合 • 解析分析与数值分析结合 • 理论研究与实际应用结合 • 传授知识与能力培养结合
10
1、探究型课堂教学模式
定性分析与定量分析结合 解析分析与数值分析结合
11
1、探究型课堂教学模式
理论研究与实际应用结合
《工程力学(静力学)》全套精品课件第5章-空间任意力系
F2
A FAy
y
FAx
B
xW
C FC
谢传锋:工程力学(静力学)
7
静力学
§2 空间任意力系的平衡条件
方法二：六矩式方程
M Cy 0 FAz M x 0 F2 M z 0 FC M y 0 F1 M Dz 0 FAx
M Cz 0 FAy
谢传锋:工程力学(静力学)
z
n
n
•主矢 FR Fi Fi '
i1
i1
n
n
•主矩 MO Mi ri Fi
i1
i1
谢传锋:工（程与力简学(静化力点学无) 关）
（与简化点有关）
4
静力学
§2 空间任意力系的平衡条件
一、空间任意力系的平衡条件
空间任意力系简化 {F1, F2 ,, Fn} {FR , MO}
平衡
FR 0, MO 0
n
n
FR Fi ' Fi
i1
i1
n
n
MO Mi ri Fi
i1
i1
FR ( Fx )2 ( Fy )2 ( Fz )2 MO ( MOx )2 ( MOy )2 ( MOz )2
空间任意力系平衡的条件：
FR 0
Fx 0
Fy 0 MO 0
M Ox (F ) 0 M Oy (F ) 0
谢传锋:工程力学(静力学)
x
Fz M
0 x (F
)
0
M y (F ) 0
z
2
A
By
W
C
6
静力学
§2 空间任意力系的平衡条件
z
解：取板为研究对象 画受力图
北航理论力学课件
f min = tan θ
θ ≤ ϕm
θ
2012-9-27
12
理论力学
§2-5 考虑摩擦时物体的平衡
三、滚动摩阻（rolling resistance）
刚体假设： 圆盘为刚体 地面为刚体
F
W
F
W
Fs FN
2012-9-27
13
理论力学
非刚体假设： 圆盘为非刚体 地面为非刚体
§2-5 考虑摩擦时物体的平衡
F
W
W
FR
2012-9-27
16
理论力学
思考题
思考题：已知斧头与树根间的静滑动摩擦因数为f，若斧头不被 卡住，求斧头的楔角θ应满足的关系。 P
Fmax FN ϕmax Fmax
W
α FN
α=
2012-9-27
θ
2
不被卡住的条件：ϕmax ≤ α =
f = tan ϕmax ≤ tan
θ
2
θ
2
17
理论力学
理论力学
A
§2-5 考虑摩擦时物体的平衡
例题：假设墙壁光滑，若使梯子不滑动， 求地面与梯子间的静滑动摩擦因数 fs 的最 小值。 (不计梯子自重, 人重为W ) 解：研究梯子，画受力图 不滑动条件： FB ≤ f s FBN （1）
B
FA
A
FNB
x
∑M
x y
B
=0
F A L AB cos 30 0 − Wx = 0
FN1
W
FN1
W
(a )
FN2
FN2
W
(b ) Fmax( b ) = f sW
Fmax( a ) = f s FN1 + f s FN2 = fs (FN1 + FN2 )
θ ≤ ϕm
θ
2012-9-27
12
理论力学
§2-5 考虑摩擦时物体的平衡
三、滚动摩阻（rolling resistance）
刚体假设： 圆盘为刚体 地面为刚体
F
W
F
W
Fs FN
2012-9-27
13
理论力学
非刚体假设： 圆盘为非刚体 地面为非刚体
§2-5 考虑摩擦时物体的平衡
F
W
W
FR
2012-9-27
16
理论力学
思考题
思考题：已知斧头与树根间的静滑动摩擦因数为f，若斧头不被 卡住，求斧头的楔角θ应满足的关系。 P
Fmax FN ϕmax Fmax
W
α FN
α=
2012-9-27
θ
2
不被卡住的条件：ϕmax ≤ α =
f = tan ϕmax ≤ tan
θ
2
θ
2
17
理论力学
理论力学
A
§2-5 考虑摩擦时物体的平衡
例题：假设墙壁光滑，若使梯子不滑动， 求地面与梯子间的静滑动摩擦因数 fs 的最 小值。 (不计梯子自重, 人重为W ) 解：研究梯子，画受力图 不滑动条件： FB ≤ f s FBN （1）
B
FA
A
FNB
x
∑M
x y
B
=0
F A L AB cos 30 0 − Wx = 0
FN1
W
FN1
W
(a )
FN2
FN2
W
(b ) Fmax( b ) = f sW
Fmax( a ) = f s FN1 + f s FN2 = fs (FN1 + FN2 )
习题课A(10月28日PPT)北航理论力学王琪
BUAA
习题课I
2009-10-28 1
BUAA
对于刚体: •主矢 •主矩
平衡条件
基本原理与定理
{F1 , F2 , L , Fn } = {FR , M O }
FR = ∑Fi = ∑Fi '
i =1 n n
M O = ∑ M i = ∑ ri × Fi
n
i =1
n
FR = 0, M O = 0
1
2
C
D
设：杆1的长度为L
2009-10-28
dL < 0
28
BUAA
C D
E
C D 设：CD杆的长度为L dL > 0
2009-10-28 29
BUAA
思考题：系统如图所示。若人重W < > 板重P且人有足够大的 力量。下列两种情况中，哪个系统能在图示位置维持平衡？
(a)
(b)
A：图(a)
2009-10-28
z
F1
o
FR
F2
y
⎧ ∑ M l1 = 0 ⎪ ⎨ ∑ M l2 = 0 ⎪ ⎩ ∑ M l3 = 0
确定三根轴的位置
4
x
2009-10-28
Fn
BUAA
题8：给出空间平行力系平衡方程的三矩式
z
FR
Fi
y
o
x
MO
⎧∑ M x = 0 ⎪ ⎨∑ M y = 0 ⎪ ⎩∑ M L = 0
如何确定L轴？
2009-10-28
F1
D:力螺旋
F2
3
BUAA
题5：空间汇交力系的平衡方程独立的充分必要条件：
⎧ ∑ Fx = 0 ⎪ ⎨∑ Fy = 0 ⎪ ⎩ ∑ Fz = 0
习题课I
2009-10-28 1
BUAA
对于刚体: •主矢 •主矩
平衡条件
基本原理与定理
{F1 , F2 , L , Fn } = {FR , M O }
FR = ∑Fi = ∑Fi '
i =1 n n
M O = ∑ M i = ∑ ri × Fi
n
i =1
n
FR = 0, M O = 0
1
2
C
D
设：杆1的长度为L
2009-10-28
dL < 0
28
BUAA
C D
E
C D 设：CD杆的长度为L dL > 0
2009-10-28 29
BUAA
思考题：系统如图所示。若人重W < > 板重P且人有足够大的 力量。下列两种情况中，哪个系统能在图示位置维持平衡？
(a)
(b)
A：图(a)
2009-10-28
z
F1
o
FR
F2
y
⎧ ∑ M l1 = 0 ⎪ ⎨ ∑ M l2 = 0 ⎪ ⎩ ∑ M l3 = 0
确定三根轴的位置
4
x
2009-10-28
Fn
BUAA
题8：给出空间平行力系平衡方程的三矩式
z
FR
Fi
y
o
x
MO
⎧∑ M x = 0 ⎪ ⎨∑ M y = 0 ⎪ ⎩∑ M L = 0
如何确定L轴？
2009-10-28
F1
D:力螺旋
F2
3
BUAA
题5：空间汇交力系的平衡方程独立的充分必要条件：
⎧ ∑ Fx = 0 ⎪ ⎨∑ Fy = 0 ⎪ ⎩ ∑ Fz = 0
理论力学(附答案)-谢传峰、王琪-动力学部分
m 2R4 x2
(x2
R
2
)
5 2
,
FN
mg
m 2R5x
(x2
R
2
)
5 2
1－13 解：动点：套筒 A；
动系：OA 杆； 定系：机座； 运动分析： 绝对运动：直线运动； 相对运动：直线运动； 牵连运动：定轴转动。 根据速度合成定理
va ve vr
va
ve
vr
有： va cos ve ，因为 AB 杆平动，所以 va v ，
2014-北航考研-永爱渣渣
《动力学 I》第一章 运动学部分习题参考解答
1－3 解：
运动方程： y l tan ，其中 kt 。
将运动方程对时间求导并将 300 代入得 v y l lk 4lk
cos2 cos2 3
a y 2lk 2 sin 8 3lk 2
ve
va
R
， va
vr
R
，1
ve O1 A
R 2R
0.5
根据加速度合成定理有
aa aet aen ar aC
（b）
将（b）式在垂直于 O1A 杆的轴上投影得
v02l 2 x3
（负号说明滑块 A 的加速度向上）
取套筒 A 为研究对象，受力如图所示，根据质点矢量形式的运动微分方程有：
ma F FN mg
将该式在 x, y 轴上投影可得直角坐标形式的运动微分方程： mx mg F cos my F sin FN
x
(
x2
北航理论力学王琪
理论力学
上次课的主要内容
§3-1 刚体平面运动的运动学
研究刚体平面运动速度问题的几种方法： 1、基 点 法： v B = v A + v BA
y
ω
y'
vBA
B
vB β B vA vA
2、速度投影法： [v B ]AB = [v A ]AB
v M = v MP = ω × rPM 3、速度瞬心法：
A r0
上式在铅垂轴上投影： aBA cosθ = aB =
t n
上式在水平轴上投影：
t aBA sin
θ
t = aB
u L u
2
A
B
θ
α AB =
t aBA
u = 2 AB L cosθ
2
α BC
t aB u2 = = 2 tan θ BC L
u2 aB = α AB L = L cosθ
8
2009-12-11
α
ω
vr O ar
a
vr ω= R
u
v &r − ar α =ω &= = R R
v rB = v rO + v rBO v aB = v eB + v rB v aB = v e + v rO + v rBO
12
2、求圆盘最高点B的速度
A
vaB = u − vr − ωR = u − 2vr
2009-12-11
16
理论力学
§3-1 刚体平面运动的运动学
例：图示机构中，AB杆的A端以速度 u 匀速运动，求图示瞬时
DE杆的角速度。已知该瞬时，AB杆与水平线的夹角为450，套
筒D 位于AB杆的中点，DE杆水平。
理论力学高等教育出版社谢传峰王琪第十一章课件
2 v0 Tmax G (1 ) gl
[注]①减小绳子拉力途径：减小跑车速度或者增加绳子长度。 ②拉力Tmax由两部分组成, 一部分等于物体重量,称为静拉力 一部分由加速度引起，称为附加动拉力。全部拉力称为动拉力。
10
2.第二类：已知作用在质点上的力，求质点的运动（积分问题） 已知的作用力可能是常力, 也可能是变力。变力可能是时间、 位置、速度或者同时是上述几种变量的函数。 解题步骤如下： ①正确选择研究对象。 ②正确进行受力分析，画出受力图。判断力是什么性质的力 （应放在一般位置上进行分析，对变力建立力的表达式）。 ③正确进行运动分析。 (除应分析质点的运动特征外，还要确定 出其运动初始条件）。
1.第一类：已知质点的运动，求作用在质点上的力（微分问题）
解题步骤和要点：
①正确选择研究对象（一般选择联系已知量和待求量的质点）。
②正确进行受力分析,画出受力图(应在一般位置上进行分析)。
③正确进行运动分析（分析质点运动的特征量）。
④选择并列出适当形式的质点运动微分方程（建立坐标系）。 ⑤求解未知量。
11
④选择并列出适当的质点运动微分方程。
⑤求解未知量。应根据力的函数形式决定如何积分，并利用运
动的初始条件，求出质点的运动。 如力是常量或是时间及速度函数时， dv 可直接分离变量 dt 积分 。 如力是位置的函数，需进行变量置换
dv dv v , 再分离变量积分。 dt ds
12
[例2] 煤矿用填充机进行填充, 为保证充 填材料抛到距离为S=5米,H=1.5米的顶 板A处。求 (1)充填材料需有多大的初速 度v0 ? (2)初速 v0 与水平的夹角a0？ 解：属于已知力为常量的第二类问题。 选择填充材料M为研究对象，受力如图所示，M作斜抛运动。
[注]①减小绳子拉力途径：减小跑车速度或者增加绳子长度。 ②拉力Tmax由两部分组成, 一部分等于物体重量,称为静拉力 一部分由加速度引起，称为附加动拉力。全部拉力称为动拉力。
10
2.第二类：已知作用在质点上的力，求质点的运动（积分问题） 已知的作用力可能是常力, 也可能是变力。变力可能是时间、 位置、速度或者同时是上述几种变量的函数。 解题步骤如下： ①正确选择研究对象。 ②正确进行受力分析，画出受力图。判断力是什么性质的力 （应放在一般位置上进行分析，对变力建立力的表达式）。 ③正确进行运动分析。 (除应分析质点的运动特征外，还要确定 出其运动初始条件）。
1.第一类：已知质点的运动，求作用在质点上的力（微分问题）
解题步骤和要点：
①正确选择研究对象（一般选择联系已知量和待求量的质点）。
②正确进行受力分析,画出受力图(应在一般位置上进行分析)。
③正确进行运动分析（分析质点运动的特征量）。
④选择并列出适当形式的质点运动微分方程（建立坐标系）。 ⑤求解未知量。
11
④选择并列出适当的质点运动微分方程。
⑤求解未知量。应根据力的函数形式决定如何积分，并利用运
动的初始条件，求出质点的运动。 如力是常量或是时间及速度函数时， dv 可直接分离变量 dt 积分 。 如力是位置的函数，需进行变量置换
dv dv v , 再分离变量积分。 dt ds
12
[例2] 煤矿用填充机进行填充, 为保证充 填材料抛到距离为S=5米,H=1.5米的顶 板A处。求 (1)充填材料需有多大的初速 度v0 ? (2)初速 v0 与水平的夹角a0？ 解：属于已知力为常量的第二类问题。 选择填充材料M为研究对象，受力如图所示，M作斜抛运动。
北京航空航天大学理论力学课件-王琪-ch1B
非自由体实例
非自由体的运动受到了限制
2015-9-16 5
理论力学
一、约束与约束力
•约
§1-3 平衡问题的解法
束(constraint)：限制物体运动的条件。
•约束体(constraint body)：约束非自由体运动的物体。 • 列车是非自由体 ？ ？ • 铁轨是约束体 • 铁轨作用在车轮 上的力为约束力
北京南站顶棚拱架支座
2015-9-16
13
理论力学
2、连接铰链
§1-3 平衡问题的解法
B A FBy C
FBx
B
' FBy
C
注意：作用力与反作用力的关系
A
B
' FBx
思考题：试画出作用在AB杆B端的约束力（不计销钉质量）
2015-9-16 14
理论力学
§1-3 平衡问题的解法
2015-9-16
15
理论力学
作业要求：
作业：1-3、1-4、1-8
画出研究对象的受力图、速度图和加速度图 一个研究对象画一个受力图 计算题要画相应的图，列写方程，给出计算结果 作业不符合要求的，无作业成绩
每周一 交 前一周的作业
平时成绩占总成绩的20%左右 作业由课代表收齐后，作业放到讲台上的资料袋内
2015-9-16 1
• 基本方法
– 共点力系的合成及其平衡条件（矢量法、解析法） – 受力分析：根据约束的类型和特点画受力图
2015-9-16 27
3、Α.Π.马尔契夫著，李俊峰（清华大学）译《理论力学》高 教育出版社
俄罗斯高校教材（理论深入，内容丰富；是一本很好的力学专业的 教材，例题较少，无习题）
2015-9-16 2
北京航空航天大学理论力学2期末总复习PPT
当主动力均为有势力时 设：L＝T-V （拉格朗日函数）
( j 1,2,, k )
d L j dt q
L 0 q j
4
BUAA
当主动力部分为有势力时
总复习
d T j dt q T Q j ( j 1,2,, k ) q j L Q 'j q j
Fi Fix i Fiy j Fiz k
动力学普遍方程 的直角坐标形式
i i m i j m i k FIi m x y z
ri xi i yi j zi k
n n i 1
(F
i 1
n
ix
mi aix )xi ( Fiy mi aiy )yi ( Fiz mi aiz )zi 0
i 1
2
BUAA
总复习
例题：双摆由两个均质杆组成，初始时杆水平，求该瞬
时各杆的角加速度。已知杆的质量为M，杆长为L 解题步骤：
1：确定系统的自由度
2：建立加速度间的关系
3：确定惯性力 4：应用动力学普遍方程 求解
3
BUAA
总复习
设：具有完整理想约束的非自由质点系有 k 个自由度 系统的广义坐标为： q1 , q2 ,, qk
0 1 2 l0 l
定点运动刚体上点的速度和加速度
r
r r 速 度：v lim t 0 t dv d ( r ) r v a 加速度：
dt
dt
a aR a N
11
BUAA
B点的绝对速度和绝对加速度。
M g M o J z '
Mo M g 0
( j 1,2,, k )
d L j dt q
L 0 q j
4
BUAA
当主动力部分为有势力时
总复习
d T j dt q T Q j ( j 1,2,, k ) q j L Q 'j q j
Fi Fix i Fiy j Fiz k
动力学普遍方程 的直角坐标形式
i i m i j m i k FIi m x y z
ri xi i yi j zi k
n n i 1
(F
i 1
n
ix
mi aix )xi ( Fiy mi aiy )yi ( Fiz mi aiz )zi 0
i 1
2
BUAA
总复习
例题：双摆由两个均质杆组成，初始时杆水平，求该瞬
时各杆的角加速度。已知杆的质量为M，杆长为L 解题步骤：
1：确定系统的自由度
2：建立加速度间的关系
3：确定惯性力 4：应用动力学普遍方程 求解
3
BUAA
总复习
设：具有完整理想约束的非自由质点系有 k 个自由度 系统的广义坐标为： q1 , q2 ,, qk
0 1 2 l0 l
定点运动刚体上点的速度和加速度
r
r r 速 度：v lim t 0 t dv d ( r ) r v a 加速度：
dt
dt
a aR a N
11
BUAA
B点的绝对速度和绝对加速度。
M g M o J z '
Mo M g 0
理论力学(2)终版.ppt
0.0
P = 100 N
P
y
25
阅读材料和作业
• 阅读材料
– (1)P53---P65; P150---P162
– (2)P64---P83 • 作业
– (1)2---31 ; 2---34 ;4---4
– (2)3---6; 3---15; 3---20 • 预习内容
– (1)P83---P91
– (2)P95---P114
0.0
26
再见
0.0
27
=-bSi-aSj
mix = 0
D
Q
C
x
P
bQ-bS=0
(1)
miy = 0
b
aP-aS=0
(2)
P
联立(1)(2)两式得: 0.0
P 1 Q
S=P
23
例题3-5. 若三个力偶作用于楔块上使其保 持平衡.设Q = Q=150N.求力P与F的大小.
z
F´
FQ
o
P
y
0.3m
Q´
x
0.4m
P´
0.0
理论力学
(2)
0.0
1
内容提要
三.力偶理论
3-1.力对点的矩 3-2.两平行力的合成 3-3.力偶与力偶矩 3-4.力偶的等效条件 3-5.力偶系的合成与平衡
0.0
2
3-1.力对点的矩
z
B
(1)力对点的矩
mo(F)
F
mo(F) = r×F
A
mo(F)表示力F绕O点
O
r
y
转动的效应.O点称为矩
d
x
0.0
A
F´ rA
P = 100 N
P
y
25
阅读材料和作业
• 阅读材料
– (1)P53---P65; P150---P162
– (2)P64---P83 • 作业
– (1)2---31 ; 2---34 ;4---4
– (2)3---6; 3---15; 3---20 • 预习内容
– (1)P83---P91
– (2)P95---P114
0.0
26
再见
0.0
27
=-bSi-aSj
mix = 0
D
Q
C
x
P
bQ-bS=0
(1)
miy = 0
b
aP-aS=0
(2)
P
联立(1)(2)两式得: 0.0
P 1 Q
S=P
23
例题3-5. 若三个力偶作用于楔块上使其保 持平衡.设Q = Q=150N.求力P与F的大小.
z
F´
FQ
o
P
y
0.3m
Q´
x
0.4m
P´
0.0
理论力学
(2)
0.0
1
内容提要
三.力偶理论
3-1.力对点的矩 3-2.两平行力的合成 3-3.力偶与力偶矩 3-4.力偶的等效条件 3-5.力偶系的合成与平衡
0.0
2
3-1.力对点的矩
z
B
(1)力对点的矩
mo(F)
F
mo(F) = r×F
A
mo(F)表示力F绕O点
O
r
y
转动的效应.O点称为矩
d
x
0.0
A
F´ rA
北京航空航天大学理论力学第一学期总复习.ppt
2019/11/16
M
vM
CV
13
BUAA
4、平面图形上各点的加速度
aB
aA
aBnA
a
t BA
aBt A AB aBnA AB 2
y
y' aBt A
B
A
aBnA x'
o
aA x
•加速度瞬心：在某瞬时，平面图形上加速度为零的点。 当平面图形的角速度与角加速度不同时为零时，必存
处的静/动摩擦因数均为f。现欲以水平力F 拉动此物体。若F
较小未拉动物体时，根据已知条件 b 能分别求出A，B
两处的静摩擦力。若物体被拉动，则在其运动过程中A，B 两
处的摩擦力 b
相等。
FA
FI
FB
a：一定；
2019/11/16
b：一定不； c：不一定
26
BUAA
基本概念：惯性积、惯量主轴、
中心惯量主轴、动平衡、静平衡
在唯一的一点，在该瞬时其加速度为零。
要求：能熟练求解刚体平面运动和点的复合运动的综合 性问题。
2019/11/16
14
BUAA
思考题：半径为 R 的圆盘做平面运动，已知某瞬时圆盘边缘 上两点A、B的加速度a （大小、方向如图所示），试判 断下列结论哪些是正确的：
A：这种运动不存在； B：能求出圆盘的角速度（大小和方向） C：能求出圆盘上任一点的加速度； D：能求出圆盘的角加速度（大小和方向）
dp
dt
Fi(e) maC
miaCi
Fi ( e )
m dvC dt
Fi ( e )
dm dt
M
vM
CV
13
BUAA
4、平面图形上各点的加速度
aB
aA
aBnA
a
t BA
aBt A AB aBnA AB 2
y
y' aBt A
B
A
aBnA x'
o
aA x
•加速度瞬心：在某瞬时，平面图形上加速度为零的点。 当平面图形的角速度与角加速度不同时为零时，必存
处的静/动摩擦因数均为f。现欲以水平力F 拉动此物体。若F
较小未拉动物体时，根据已知条件 b 能分别求出A，B
两处的静摩擦力。若物体被拉动，则在其运动过程中A，B 两
处的摩擦力 b
相等。
FA
FI
FB
a：一定；
2019/11/16
b：一定不； c：不一定
26
BUAA
基本概念：惯性积、惯量主轴、
中心惯量主轴、动平衡、静平衡
在唯一的一点，在该瞬时其加速度为零。
要求：能熟练求解刚体平面运动和点的复合运动的综合 性问题。
2019/11/16
14
BUAA
思考题：半径为 R 的圆盘做平面运动，已知某瞬时圆盘边缘 上两点A、B的加速度a （大小、方向如图所示），试判 断下列结论哪些是正确的：
A：这种运动不存在； B：能求出圆盘的角速度（大小和方向） C：能求出圆盘上任一点的加速度； D：能求出圆盘的角加速度（大小和方向）
dp
dt
Fi(e) maC
miaCi
Fi ( e )
m dvC dt
Fi ( e )
dm dt
理论力学习题答案 谢传峰、王琪 高等教育出版社
y
x
解：2-6a 坐标如图所示，各力可表示为:
r 1 r 3 r F1 = Fi + Fj ， 2 2
r r F2 = Fi ，
r 1 r 3 r F3 = − F i + Fj 2 2
先将力系向 A 点简化得（红色的） ：
r r r F R = F i + 3F j ， r
r MA =
r
r 3 Fak 2
r
r
3 a ，位置如右图所示。 4
简化中心的选取不同，是否影响最后的简化结果？
2-13 图示梁 AB 一端砌入墙内，在自由端装有滑轮，用以匀速吊起重物 D。设重物重为 P, AB 长为 l， 斜绳与铅垂方向成 α 角。试求固定端的约束力。 法1 解： 整个结构处于平衡状态。选择滑轮为研究对象，受力如图，列平衡方程（坐标一般以水平向右为 x 轴正向，竖直向上为 y 轴正向，力偶以逆时针为正） ：
∑Fx = 0
对 C 点有：
F2 − FBC cos 450 = 0
45 0
30 0
∑ Fx = 0
F1 =
FBC − F1 cos 300 = 0
解以上二个方程可得：
2 6 F2 = 1.63F2 3
y FBC B 45
o
y FBC x C 30o F1 60o FCD x
FAB
F2
解法 2(几何法) 分别选取销钉 B 和 C 为研究对象， 根据汇交力系平衡条件， 作用在 B 和 C 点上的力构成封闭的力多 边形，如图所示。 对 B 点由几何关系可知：
fs 。
∑ Fx = 0 ∑ Fy = 0 M =0 ∑ O
补充方程：
0 F1 + p cos 45 − N 2 = 0 0 F2 − p sin 45 + N 1 = 0 D ( F1 + F2 ) ⋅ − M = 0 2
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B
FA
A
FNB
x
不滑动条件： FB ≤ f s FBN （1）
∑M
∑F ∑F
x
B
=0
0
F A L AB cos 30 − Wx = 0
FA =
L AB
Wx cos 30 0
W
B
2015-9-28
= 0 FB − F A = 0 FB = F A
= 0 F NB − W = 0 F NB = W
FB L AB
2015-9-28 4
理论力学
§2-5 考虑摩擦时物体的平衡
2015-9-28
5
理论力学
§2-5 考虑摩擦时物体的平衡
不滑动条件：
问题： 已知静滑动摩擦因数 为f s , 斜面倾角为多大时,滑 块将要滑动。 FR
θ ≤ ϕ m ax
tan θ ≤ = tan ϕ max = f s
θ n
动/静摩擦因数自动测定实验装置
2、动滑动摩擦（有相对滑动速度） 其中： f 动滑动摩擦因数 f s > f F = − fF N sgn( v ) slip 3、Coulomb摩擦力的一般表达式* ⎧ −FN f sgn(v) if v ≠ 0 F =⎨ F &) if v = 0 ⎩−FN fsSgn(v
F ：摩擦力在切向上的投影 F N：法向约束力的大小
2015-9-28 8
理论力学
§2-5 考虑摩擦时物体的平衡
早期人类对摩擦自锁的应用
2015-9-28
9
理论力学
A
§2-5 考虑摩擦时物体的平衡
例题：假设墙壁光滑，若使梯子不滑动， 求地面与梯子间的静滑动摩擦因数 fs 的最 小值。 (不计梯子自重, 人重为W ) 方法一 解：研究梯子，画受力图
F
W
∑F ∑F ∑M
x
= 0 : F − Fs = 0 ⇒ Fs = F
= 0 : FN − W = 0 ⇒ FN = W = 0 : M f − FR = 0 ⇒ M f = FR
y
A
F
W
Fs
A
不滑动条件： Fs ≤ fFN ⇒ F ≤ fW 不滚动条件： M f ≤ δFN ⇒ F ≤
Fmax = min{ fW ,
FB
B
W
∴ tan 30 0 ≤ tan ϕ max = f s f s m in = tan 3 0 0
11
2015-9-28
理论力学
§2-5 考虑摩擦时物体的平衡
例题：长轴为 a，短轴为 b ，重为W的非均质椭圆盘，一端铅 垂吊起，另一端放在倾角为 θ 的固定斜面上，椭圆盘的长轴与 水平线的夹角为 β 。若该椭圆盘处于平衡，求其与斜面的静滑 动摩擦因数的最小值？
W
θ
问题：传送带的最大倾角？
2015-9-28 6
理论力学
§2-5 考虑摩擦时物体的平衡
问题：已知物体间的静滑动摩擦因数为fs ，若沿垂直于屏幕 方向水平推动滑块，哪种情况更容易推动？
FN1
W
FN1
W
(a)
FN2
FN2
W
(b ) Fmax( b ) = f sW
Fmax( a ) = f s FN1 + f s FN2 = fs (FN1 + FN2 )
Q FN1 + FN 2 > W
2015-9-28
Fmax ( a ) > Fmax ( b )
7
理论力学
§2-5 考虑摩擦时物体的平衡
思考题：已知： α , β , f s T 1 若皮带与固定轮无相对滑动, 求：
T 2 的最大拉力（不计皮带自重）。
T2 = T1e ,
cf s
c = f (α , β )
集值函数
O
2015-9-28
v
if v &>0 ⎧+1 ⎪ Sgn (v &) = ⎨[-1,+1] if v &=0 ⎪ -1 if v &<0 ⎩
3
理论力学
全反力
2
§2-5 考虑摩擦时物体的平衡
FR
二、摩擦角与自锁现象
FR = F + F N
2 N
ϕ
FN
滑动趋势
FR = F + F
F tan ϕ = FN
理论力学
作业 2-31、2-33、2-35
第二章 刚体的平衡
考虑摩擦的物体平衡问题
2015-9-28
1
理论力学
演示实验
演示实验：均质米尺支撑在手上，如图所示。 当一个手指静止，另一个手指 缓慢 向中间移动时 观察1：尺子将如何运动？ 观察2：当两手指靠在一起时，两个手指位于尺子的什么位置？ 问 题：如何解释观察到的现象？
T F
θ
β
W
解：研究椭圆盘，受力分析 不滑动的条件 tan θ ≤ tan ϕ m = f
f min = tan θ
θ ≤ ϕm
θ
2015-9-28
12
理论力学
§2-5 考虑摩擦时物体的平衡
三、滚动摩阻（rolling resistance）
刚体假设： 圆盘为刚体 地面为刚体
2015-9-28
F
W
y
Wx 0 ≤ f W x = L sin 30 s AB max cos 30 0
f s min = tan 300
10
理论力学
方法二
§2-5 考虑摩擦时物体的平衡
A
解：研究梯子，画受力图 不滑动条件： ϕ ≤ ϕ max
FA
n ϕ
A
B
tan ϕ ≤ tan ϕ max = f s
Q 0 ≤ ϕ ≤ 30 0
tan ϕ max
F
0 ≤ F ≤ F max
FR = Fmax + FN
Fmax = FN
FR
ϕ max
FN
Q Fmax = f s ⋅ FN ∴ tan ϕ max = f s
Fmax
ϕ max 称为摩擦角 (angle of friction)
自锁条件 ϕ ≤ ϕ max （只要全反力作用线在摩擦角内，物体就无相对滑动） 注：全反力FR 的作用线不会在摩擦角之外
滚动摩阻力偶矩的方向与轮子滚动（趋势）的方向相反
注意：当滚阻力偶未达到最大值时，其大小由平衡方程确定。
2015-9-28 14
理论力学
§2-5 考虑摩擦时物体的平衡
例： 圆盘为W，半径为R，水平拉力为F，静滑动摩擦因数为 f ，滚动摩擦阻力系数为 δ，求维持平衡时最大拉力Fmax。
解：研究圆盘，画受力图
出现：滑移—粘滞 （slip-stick）现象
2015-9-28
摩擦在现实中的应用实例
2
理论力学
§2-5 考虑摩擦时物体的平衡
FN
滑动趋势
一、滑动摩擦（Coulomb摩擦模型-1781）
1、静滑动摩擦(无相对滑动速度）
F ≤ F max = f s F N
stick
F
v
x
fs 静滑动摩擦因数 其中：
2015-9-28 20
F
W
Fs FN
13
刚体模型无法反映滚阻现象
理论力学
非刚体假设： 圆盘为非刚体 地面为非刚体
§2-5 考虑摩擦时物体的平衡
F
W
F
W
Fs FN
Mf
M f 滚动摩阻力偶（couple of rolling resistance）
0≤ M
f
≤M
f max
M
f max
= δ FN
δ 滚动摩阻系数（mm）（coefficient of rolling resistance）
M2
B 思考题：能否求出球
M1
铰链A、B的约束力？
A
2015-9-28 19
理论力学
• 基本定义
本章主要内容
–力矩(对点、对轴）、摩擦角、自锁条件
• 基本原理和定理
–合力矩定理、三力平衡定理、加减平衡力系原理、 力的滑移和平移定理
• 基本方法
–力系简化、各种力系的平衡方程、平衡方程的力矩 形式（独立条件）
Fmax FN ϕmax Fmax
W
α FN
α=
2015-9-28
θ
2
不被卡住的条件：ϕmax ≤ α =
f = tan ϕmax ≤ tan
θ
2
θ
2
17
理论力学
滚扎机及其力学模型
摩擦在机械中的应用
ϕ max > θ
ω
b a
θ
R
2015-9-28
18
理论力学
思考题
思考题：刚性弯杆AB由正方体的三个棱构成，杆的两端用球 铰链固定在墙壁上，弯杆上作用有两个力偶（如图所示）。若 使弯杆平衡，试确定这两个力偶的大小应满足什么关系。
δ
R
FN
Mf
W
δ
R
W}
15
2015-9-28
理论力学
思考题
思考题：重为W的滑块在水平推力W的作用下可在粗糙的水 平地面上保持平衡，试确定全反力的大小、方向和作用点。
F
W
W
FR
2015-9-28
16
理论力学
思考题
思考题：已知斧头与树根间的静滑动摩擦因数为f，若斧头不被 卡住，求斧头的楔角θ应满足的关系。 P