极坐标与参数方程基本题型-2018年高考一轮复习资料极坐标与直角坐标普通方程与参数方程 的互相转化

极坐标与直角坐标、参数方程与普通方程的转化

一、直角坐标的伸缩

设点P(x ，y)是平面直角坐标系中的任意一点，在变换

φ：⎩⎨⎧>='>='）（）（

0,0,μμλλy y x x 的作用下，点P(x ，y)对应到点P ′(x ′，y ′)，称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩

变换，简称伸缩变换．平面图形的伸缩变换可以用坐标伸缩变换来表示．在伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧

x ′＝λ·x ，λ>0y ′＝μ·y ，μ>0

下，直线仍然变成直线，抛物线仍然变成抛物线，双曲线仍然变成双曲线，圆

可以变成椭圆，椭圆也可以变成圆（重点考察）． 【强化理解】

1．曲线C 经过伸缩变换

后，对应曲线的方程为：x 2+y 2=1，则曲线C 的方程为（ ）

A ．

B ．

C ．

D ．4x 2+9y 2=1

【解答】解：曲线C 经过伸缩变换①后，对应曲线的方程为：x ′2+y ′2=1②，

把①代入②得到：

故选：A

2、在同一直角坐标系中，求满足下列图形变换的伸缩变换：由曲线4x 2＋9y 2＝36变成曲线x ′2＋y ′

2＝1．

【解答】解：设变换为φ：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝λx （λ>0），y ′＝μy （μ>0），

可将其代入x ′2＋y ′2＝1，得λ2x 2＋μ2y 2＝1．

将4x 2＋9y 2＝36变形为x 29＋y 2

4＝1， 比较系数得λ＝1

3，μ＝1

2

．

所以⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝13

x ，

y ′＝1

2

y ．将椭圆4x 2

＋9y 2

＝36上的所有点的横坐标变为原来的13，纵坐标变为原来的1

2，

可得到圆x ′2＋y ′2＝1．

亦可利用配凑法将4x 2

＋9y 2

＝36化为⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x 32＋⎝ ⎛⎭

⎪⎪

⎫y 22

＝1，与x ′2

＋y ′2

＝1对应项比较即可得⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝x 3，y ′＝y 2

．

3、（2015春•浮山县校级期中）曲线x 2+y 2=1经过伸缩变换后，变成的曲线方程是（ ）

A ．25x 2+9y 2=1

B ．9x 2+25y 2=1

C ．25x+9y=1

D ．+=1

【解答】解：由伸缩变换，化为，代入曲线x 2+y 2=1可得25（x ′）2+9（y ′）2=1，

故选：A ．

二、极坐标 1.公式：

（1）极坐标与直角坐标的互化公式如下表：

点M 直角坐标(),x y 极坐标(),ρθ 互化公式 cos sin x y ρθ

ρθ

=⎧⎨

=⎩ ()222tan 0x y y

x x ρθ⎧=+⎪

⎨=≠⎪⎩

已知极坐标化成直角坐标

已知直角坐标化成极坐标

2.极坐标与直角坐标的转化

（1）点：有关点的极坐标与直角转化的思路 A ：直角坐标(),x y 化为极坐标(),ρθ的步骤

①运用()222

tan 0x y y

x x ρθ⎧=+⎪

⎨=≠⎪⎩

②在[)0,2π内由()tan 0y

x x

θ=

≠求θ时，由直角坐标的符号特征判断点所在的象限． B::极坐标(),ρθ化为直角坐标(),x y 的步骤，运用cos sin x y ρθ

ρθ

=⎧⎨=⎩

（2）直线：直线的极坐标与直角坐标转化的思路 A ：直角坐标转化成极坐标

思路：直接利用公式cos sin x y ρθ

ρθ=⎧⎨=⎩，将式子里面的x 和y 用θρθρsin cos 和转化，最后整理化简即可。

例如：x+3y-2=0：用公式将x 和y 转化，即02-sin 3cos =+θρθρ B ：极坐标转化成直角坐标

类型①：直接转化---直接利用公式转化

类型②：利用三角函数的两角和差公式，即()()2sin 2cos k k

ρθαρθα±=±=或

思路：第一步：利用两角和差公式把sin(θ±α)或cos θ±α)化开，特殊角的正余弦值化成数字，整理化简

第二步：利用公式cos sin x y ρθρθ=⎧⎨

=⎩转化

解：第一步：利用两角和差公式把sin(θ±α)或cos θ±α)化开特殊角的正余弦值化成数字，整理化简，

即

第二步：第二步：利用公式cos sin x y ρθ

ρθ=⎧⎨

=⎩转化

类型③：角可以不是特殊角）为倾斜角，可以是特殊（ααθ=，该直线经过原点（极点），对应的直角

坐标方程为kx x即y tanαy =⋅=

(注：直线的直角坐标方程一般要求写成一般式：Ax+By+C=0) 三、曲线极坐标与直角坐标互换 （一）圆的直角与极坐标互换 1.圆的极坐标转化成直角坐标 类型一：θθρsin cos +=

详解：一般θθsin ,cos 要转化成x 、y 都需要跟ρ搭配，一对一搭配。

所以两边同时乘以ρ，即0--,sin cos 22222=++=+∴+=y x y x y x y x 即θρθρρ 类型二：2=ρ

没有三角函数时，可以考虑两边同时平方

44222=+=y x 即ρ

2.圆的直角坐标转化成极坐标

3)1()4(22=++-y x

解题方法一：拆开--公式代入

014sin 2cos 801428031216822222=++-∴=++-+=-++++-θρθρρy x y x y y x x 即

解题方法二：代入-拆-合

031sin 2sin 16cos 8cos 3)1sin ()4cos (222222=-++++-=++-θρθρθρθρθρθρ即 014sin 2cos 8014sin 2cos 8)sin (cos 2222=++-=++-+∴θρθρρθρθρθθρ即

【强化理解】

1.将下列点的极坐标与直角坐标进行互化．