一道数学竞赛训练题证法的商榷
一道竞赛题的七种证法
一道竞赛题的多种证法一道竞赛题（1994年四川省初中数学竞赛最后一题）设x 为实数，试证：02123456>+-+-+-x x x x x x 。
此题说难，倒也是项数多，次数高，使人望而生畏。
说易，三言两语便可证之。
现给出四种分析思路，多种证法如下：分析一：欲证一个代数式大于零，可考虑将此代数式配方，使其成为非负数之和，从而有：证法一：左边=)]12()2()2([2122344566+-++-++-+x x x x x x x x x =+-+246)1([21x x x 22)1(-x x 0])1(2>-+x 。
证法二：左边 =)2121()2121(41)41(22344456+-++-+++-x x x x x x x x x =0)1(21)1(2141)21(222424>-+-++-x x x x x x 。
证法三：左边=)2121()2121()2121(2122344566+-++-++-+x x x x x x x x x =0)1(21)1(21)1(2121222246>-+-+-+x x x x x x 。
分析二：观察不等式，当10≥≤x x 及时结论显然成立。
当10<<x 时，有n n x x <+1（n 为正整数），由此有：证法四：56x x < ，∴左边 >2324236456)21()1()41()41()2(-+-=+-++-++-x x x x x x x x x x +0)21(2>-x 。
证法五：054>-x x ，∴左边 =+-+-=-++-++-22354236)21()21()()41()41(x x x x x x x x 0)(54>-x x 。
分析三：联想公式a+b ≥2ab ，可使多项式次数降低，从而有（同分析二，只证在0<x <1时，此时5x >6x ）：证法六：左边=>+-+--≥+-+--+21221)(235523546x x x x x x x x x x x 0)21()21()41()41(223236>-+-=+-++-x x x x x x 。
一道竞赛题的解析证法
一道竞赛题的解析证法随着科技的发展，竞赛题目也愈加复杂，解析证法尤为重要。
本文就来对竞赛题的解析证法进行详细的论述：一、必要条件分析法1.认真分析题目中的关键要素：首先需要全面而细致地分析题目，把握题目关键要素，并弄清它们所指代的内涵，明确不同要素之间的联系，进而使得对问题推导出一个结构清晰的答案。
2.把握必要条件：必要条件就是该题必须具备的条件，可以从中得出结果，要严格地加以分析，尽量简化思考路径，减少可能性，使得答案越来越明确。
二、大数定律分析法1.理解大数定律：要把握大数定律的原理，即经过一定数量的实验或者连续事件，最终的结果将会接近概率论中的数学期望。
2.实践总结：按照大数定律原理，可以经过大量的练习总结出解题的经验，因此可以更快道地掌控解题路径从而得出答案。
三、归纳总结法1.归纳抽象：根据同类题目，归纳分析出题目特点，把握题目之间的相同点和不同点，归纳出其中的抽象特征，从而更容易的理解所有题目的解题思路。
2.总结准则：将归纳抽象出来的题目解题特征进行综合总结，归纳出一套可行的答案准则，以此总结出一定的解题方法思路。
四、排除法1.分析可能性：通过题意及常识，首先对题目中提供的可能性进行分析，将题目中可能出现的操作情况及结果都列出来，并进行分类，归纳出所有类型的操作及结果。
2.排除可能性：根据题目给出的附加条件和题意，从所有操作及结果中逐一进行排除，最终仅剩下一种结果，则表明这种结果最可能就是题目的所求答案。
以上就是关于竞赛题解析证法的介绍，从上面我们可以看出，竞赛题解析证法非常丰富，而我们在解答问题时要想得出正确的答案，就必须在充分的分析和思考之后，掌握这些解题方法，从而使得自己在竞赛中更加有优势。
加强命题,巧证数列不等式——一道北方数学奥林匹克试题引发的思考
上述 加 强命 题 的技 巧， 突 破 了数 列 不 等 式证 明过程 中直 接使 用 数学 归纳 法难 以实现 从 ｎ＝ ｋ 到 佗＝ ｋ＋１ 过渡 的瓶颈 ， 思路 独特， 令人耳 目一新．这给 我们启示 ： 有些数 列不等
３ — — ４ ６
第６ 题） 设ｎ 是正整数， 证明：（ １ ＋ １ ） （ １ ＋
１ ） …（ １ ＋ 击 ） ２
分 析 与 证 明：与 正 整 数 有 关 的命 题， 我 们 不妨 用 数 学 归纳法 去 证．若 直 接 使用 数 学
题， 对 加强 命题证 明数 列不等 式加 以阐述 ， 望 对读者起到抛砖引玉的作用 ．
命题法．
结合 数列 本身 的结 构和 性质， 因此， 它 是考查 学生思维品质的 良好素材． 例１ （ ２ ０ １ ２ 年 第 八届 北 方数 学 奥林 匹 克
加强命题 ， 功效独特， 立 马可见峰回路转．
加 强不等式 的方法 往往不拘一格， 主要有 同侧
加强 、异侧加强和 双侧加强， 下面结合若干 例
重 点 内容， 将 两者 结合起 来 的数列 不等式 问题 更是各 级 、各类考 试 的命题 新宠． 解决该类 问 题， 有 时 既要用 到不等 式 的思路 和方 法， 又要
式 问题直接 证明原 问题 比证 明其某个加强命题 更 困难 ， 这 时， 我们不妨 “ 欲擒 故纵” ， 先通 过证 明原 问题 的某 个 “ 更强 的命 题” ， 从而 “ 顺 手 牵 羊” 地 解 决原 问题， 这种 方法 我们 称之 为加 强
．
故取 ， （ ｎ ） ＝ １
，
然成 立． 于是 可用数 学归纳法证 明加强命题 成 立， 从而原命题也成立．
一道代数竞赛题的不同解法与反思
一道代数竞赛题的不同解法与反思本文以《一道代数竞赛题的不同解法与反思》为标题，通过详细分析一道代数竞赛题，探讨不同解决方法及其优劣，以及如何从中吸取教训的相关讨论，主要分为三部分。
第一部分，针对一道有关数学竞赛的代数题，具体问题是：已知椭圆C：x^2+2y^2=3，点P(2,1)在椭圆C上，求椭圆C上任意一点A 到点P的距离。
本文介绍了三种解决方案，即利用正弦定理、勾股定理与几何思维法等。
首先，利用正弦定理，引入新的坐标系Ω，将点P的坐标表示为（a,b），设A(x,y)为椭圆C上任意一点，则点P到点A的距离d为：d=√((x-2)^2+(y-1)^2)。
其次，利用勾股定理，可以将点P（2,1）的坐标改为A(-2,3)，那么点A到点P的距离d就变为：d=√((x+2)^2+(y-3)^2)。
最后，利用几何思维法，可以将此问题等价于求两个灭点（-2，3）和（2，1）之间的距离，即d=√((4)^2 + (-2)^2)，它们之间的距离d就可以得出。
第二部分，讨论了上述三种解决方案的优劣以及如何从中吸取教训。
首先，利用正弦定理最简便，但需要引进新的坐标系Ω，易出错，而勾股定理的坐标变换也较为复杂，易搞混。
此外，几何思维法迅速而有效，且不容易出错，因此本文最终推荐使用几何思维来解决类似的问题。
第三部分，总结本文主要讨论内容，即针对一道有关数学竞赛的代数题，探讨不同解决方法及其优劣，以及如何从中吸取教训。
本文介绍了三种解决方案，即利用正弦定理、勾股定理与几何思维法等，从中可以看出，几何思维法具有快速、有效、不容易出错的优势，有助于解决类似的问题，因此本文推荐同学们从中汲取经验教训，培养几何思维能力。
综上所述，本文通过详细分析一道代数竞赛题，探讨不同解决方法及其优劣，以及如何从中吸取教训的相关讨论，从而提高数学解题能力，有助于学习者取得更好的发展。
数学竞赛中操作性问题刍议下
不出来是变大还是变小 （我们希望变小） ， 如 果再考虑加上每相邻两项和的平方 （称为双 平方和） ， 便有
’##’ 年第 $ 期
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! 命题与解题 !
数 （ 数学 学竞 竞赛 赛中 中操 操作 作性 性问 问题 题刍 刍议 议 （下 下） ）
马茂年
（浙江省杭州市第十四中学， !"###$）
!
利用倒推法解操作性问题 例! 桌上放着 " %%& 根火柴， 甲， 乙两个
师补要一块 ( 证明： 经过有限次的调整后， 大 家的糖就变得一样多了 ( 策略： 本题可通过直接观察糖数的最大 值与最小值之间的关系得出解答 ( 解： 设某次调整前， 糖块数最多的小孩有 最少的小孩有 ’ $ 块， 而 # / $ ( 观察 ’ # 块， 在作了一次调整之后， 小孩手中糖块的变化 情况为： （"） 每人的糖块数仍在 ’ $ 和 ’ # 之间 ( 事实上， 如果某小孩原有 ’ " 块糖， 他左边的 小孩有 ’ % 块， 调整后这小孩的块数就成为 " （如果 " + % 为偶数） 或成为 " + % + " +%块 块 （如果 " + % 为奇数） ， 因 $ " " " #， $" % ， 则有 或 ’ $ " " + % "’ # ’$ 0 " + % + " "# "’ # ； （’） 原来手中糖块数超过 ’ $ 块的， 调整 若 " / $， 则 后仍超过 ’ $ 块 ( 事实上， % # $， " + % / ’ $； （!） 至少有一个手中糖块数为 ’ $ 的小 孩， 调 整 后 多 于 ’ $ 块， 因而至少有一个拿 他左边的小孩拿着 ’ " / ’ $ ’ $ 块糖的小孩， 块 （否则大家手中的糖块就一样多了） ， 调整 后， 这个小孩至少拿着 " + $ 块， 而 "+ $/ ’$ ( 综上 （"） （ ’） （!） 得， 一次调整后就至少减 少一个拿 ’ $ 块的小孩 ( 因此有限次后， 每个 小孩手中的糖块数就都多于 ’ $ 块， 但拿糖块 数最多的小孩手中不会多于 ’ # 块 ( 这样， 最 多的块数与最少的块数的差就要至少减少 ’， 但这个差数是一个有限数， 所以经过有限次 调整后， 这个差数就会变为 #， 也就是大家的
一个数学竞赛试题的证法探究
内接 四边形；凰 是 △Ａ Ａ Ａ 的垂 心，日１ １２４ 是
一
２ ２
数 学教 学
２１ 年第 ７ ０１ 期
而 Ｈ２ Ｈ４＋ Ｈ２ Ｈ４： １ ０ ．所 Ｈｌ Ｈ３ ８ｏ
同理可证 ４ ＝ 日１ 日４ Ａ ． ２
以， 四边形 日１ 日３ 是 圆内接 四边形， 日ｌ 日２ 凰 即 、 ／２ － 、凰 日４ ／ 四点共 圆． 将几何问题代数化， 由坐标的语 言来获得 再 问题 的求解， 这是平面解析几何 的解题 思想． 这 方法的尝试， 可以绕开作辅助线这样的巧思灵 动， 与此同时让解题变得规范．
的外接 圆半径． 日１ 过 作 ３ 和 ２ 的垂线， ４ ４ 垂足分别为 １ ２ 则在四边形 ４ 日１ 中， 、 ． １ ４ Ｈ１＝ Ａ４ １ Ｈ１＝ ９ 。 则 ０，
皿 Ｋ１ ＋
’
．
同理设 日１ 、 则 由对称性可得：
、凰 的坐标分别为
ｒ（ｌｉ） ｔ（２Ｙ） － （３Ｙ） １ ，１、ｔ２ ，２、Ｉ３ ，３， ｆ Ｉ
证 明： 图６ 连结 １ 、Ａ２ ； 如 ， Ｈ１ 我们想证 Ａ１ 丝 Ａ ＨＩ 考虑在 △ ２ ３ 由正 弦定 ２ ； ４ 中，
Ａ１ ｆ ２ ． Ｈ２ Ａ Ｈ１
由平行四边形判定定理可知： 四边形 Ａ１ Ａ 是平行四边形． ２
设 Ａ１ 与Ａ２ 交点为 ， 研 则 日１ 与Ａ１ 关于点Ｍ 成中心对称． ２ 同理可证， 日３ Ａ２ ， 凰 与 ３ ， 与 ３ Ｈ３ ４
．
Ａ２ Ａ４ Ａ１ ＋ Ａ２ Ａ４： １ ０ ， 日３ ８。
Ａ３＝ ＺＡ２ Ａ４ ．
’
．
这是 １９ 年 的全 国高 中数 学联赛 中的一个 ９２ 试题． 们在教 育实习期 间与之邂逅， 我 觉得很 有
初中数学竞赛题分析和解题技巧
初中数学竞赛题分析和解题技巧数学竞赛是中学阶段学生展示自己数学能力和应用数学知识的重要途径之一。
参加数学竞赛不仅可以增加数学知识的广度和深度，还可以培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
为了在初中数学竞赛中取得好成绩，除了掌握扎实的数学基础知识外，还需要针对各种类型的竞赛题进行分析和解题技巧的的训练。
首先，我们需要了解数学竞赛题的特点。
数学竞赛题通常要求学生在短时间内独立解答出，所以题目往往设计得难度较高、思路较复杂。
与普通的课堂练习题相比，数学竞赛题更加侧重于考察学生的逻辑思维和创新能力。
因此，针对数学竞赛题的准备需要注意以下几点。
首先是加强基础知识的学习。
竞赛题的出题范围通常是固定的，掌握好学科中各个章节的基础知识对解题至关重要。
特别是初中阶段的数学竞赛题中，几何、代数、方程、不等式和概率等内容是大部分竞赛题的主要考点。
熟悉这些基础知识，理解其定义和性质，可以帮助我们在解题过程中迅速找到适当的方法和方向。
其次是掌握解题技巧。
解题技巧是在基础知识的基础上，根据不同类型题目的特点和难度进行的合理运用。
比如，在解决几何题时，我们可以通过画图来帮助我们理解题意和找到解题思路；在解决代数和方程题时，我们可以利用化简、代入和消元等方法来简化问题，使其更容易解决；在解决概率问题时，我们可以通过列举并计算所有可能性的方法来找出正确答案。
总之，不同类型的题目需要我们灵活运用各种方法和技巧，以提高解题的效率。
另外，多做题并进行题型分类整理也是提高竞赛成绩的有效方法之一。
通过大量的练习，我们可以加深对各类题目的理解和熟悉程度，找出常见问题和解题方法之间的联系。
同时，我们还需要将练习的题目进行分类整理，形成自己的知识体系和解题思路。
这样可以帮助我们更好地理解和运用知识，提升解题的准确性和效率。
除了以上的准备工作，还需要培养良好的解题思维和态度。
在解题过程中，我们要注重思维的灵活性和创新性，勇于尝试不同的方法和思路。
【国际数学竞赛】反证法
【国际数学竞赛】反证法反正法是数学竞赛中一种常见的证明方法，以下是维基百科中的描述：归谬法(又称悖论)是一种论证方式。
他先假设一个命题成立(即在原命题条件下，结论不成立)，然后推断出明显矛盾的结果，从而得出原假设不成立，原命题得到证明的结论。
这里我们可以举两个经典的例子演示一下，利用反证法证明“素数有无穷多个”和“ \sqrt{2} 是无理数”。
（1）证明：素数有无穷多个假设素数有有限多个.不妨设为p_1,p_2,\ldots,p_n .考虑 p=p_1p_2p_3\ldotsp_n+1 .显然，对于任意 p_i,i=1,2\ldots n ,不能整除 p .所以，构造出来的 p 是素数.又因为 p\neq p_{1}, p_{2}, \dots, p_{n} ，于是产生矛盾，故原假设错误，素数有无穷多个。
（2）证明： \sqrt{2} 是无理数假设 \sqrt{2} 是有理数.不妨设\sqrt{2}=\frac{p}{q} ，其中 p,q 为互质的正整数.两边平方化简可得， 2 q^{2}=p^{2} .所以 p 为偶数，不妨设 p=2k ，其中 k 为正整数.所以 2q^{2}=(2 k)^{2} ，化简可得 q^{2}=2 k^{2} .因此， q 也是偶数.但是这与 p,q 互质矛盾，故\sqrt{2} 是无理数.可以发现，反证法的一般步骤是:首先假设原命题不成立，然后在此基础上进行推理，进而得到矛盾，可能是与已知条件的矛盾，也可能是与已知定理的矛盾，从而证明原命题成立。
反证法的步骤还是比较清晰明了的，关键的好处是：增加了条件。
有些命题很简洁，简洁到无法下手，比如上述两个命题“素数有无穷多个”和“ \sqrt{2} 是无理数”，但是通过反证法我们可以把结论变成条件，那么就有了下手的点，就比较好处理了。
如果在比赛中遇到了无从下手的问题，不妨尝试一下归谬法。
下面是2016DMM杜克数学竞赛团队赛第1题：（3）2016-DMM-Team Round-1题意:用“T”型去覆盖一个 6\times6 的网格，不允许重叠，请问最多能放多少个“T”型？根据题意，“T”型的个数 n\leq\frac{6\times6}{4}=9 ,下面我们给出了8个“T”型的一种放法。
高中数学 一道联赛试题的多种证法论文
5 内不能相等，
2 16( 14 x ) ＜0
即 2 x+1 + 2x-3 + 15-3x ＜2 14+x ≤2 19 五、导数法 新课程中引入了微积分，既显示了对简单性的追求，又拓宽了数学思维的途径。这道题， 我们可以利用导数所确定函数的凸性来证明。 首先给出凸函数的有关定义与定理
用心 爱心 专心
7 7 cos θ 2 2 21 21 cos θ 4 4
≤ 17 17 cos θ +
35 7 cos θ （对后两项使用基本不等式） 2 2
≤ 69 7 cos θ （再用基本不等式） ≤ 76 =2 19 （而上式等号不能同时成立） 故原不等式成立 四、构造函数法 证：构造如下二次函数：
i 1
n
λi =1 有
i 1
n
λi f ( xi ) ≤ f (
λi xi )
i 1
n
证：设 f ( x ) = x ， f ( x ) =-
1 4 x
3
＜0 在
3 , 2
5 ＜（0，+∞）上是凸函数。
∴
f ( x 1) f ( 2 x 3) f ( 15 3x ) ( x 1) ( 2 x 3) ( 15 3x ) ≤ f 3 3
用心 爱心 专心
‐ 3 ‐
‐ 2 ‐
凸函数：如果定义在区间上Ⅰ上，且对任意的x 1, ，x 2 ∈Ⅰ，以及λ∈ 0,1 恒有
f λx1 ( 1 λ ) x 2 ≤λ f ( x1 ) +（1-λ） f ( x 2 ) 称 f ( x ) 为Ⅰ上的凸函数。
定理：若在（a, b）内 f ( x ) ＜0，则 f ( x ) 在（a, b）为凸的；若在（a, b）内， f ( x ) ＞0，则 f ( x ) 在（a, b）为凹的。 一般地，设在 a, b 上， f ( x ) ＜0，则对任意x 1 ∈ a, b ，λ i ∈（0，1）λ i 满足
数学 竞赛中的解题方法与策略
数学竞赛中的解题方法与策略全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：数学竞赛一直以来都是学生们展示自己数学能力的舞台，有着悠久的历史和严谨的规则。
参加数学竞赛既能检验自己的数学水平，也可以提高自己的数学思维能力。
在竞赛中获胜并不容易，需要高超的数学技巧和策略。
本文将重点介绍数学竞赛中的解题方法与策略，希望对广大参赛者有所帮助。
解题方法是竞赛中取胜的关键。
学生在解数学题时，要善于发现问题的本质，深入分析并巧妙运用数学知识来解决问题。
一般来说，数学竞赛中的题目通常不是按照教材上的内容来出的，而是考察学生的逻辑思维和创造力。
解题方法是非常重要的。
解题方法包括一些基本技巧，比如巧用数学定理、观察和分析题目、灵活运用数学知识等等。
策略也是竞赛中夺取胜利的重要因素。
在参加数学竞赛时，学生需要制定合理的解题策略，才能更好地应对各种题目。
要做到心态积极。
数学竞赛本身是一场考验，学生需要保持镇静，不慌不乱地面对问题，不要被难题击垮。
要有耐心。
数学竞赛中的题目往往需要时间去推敲和思考，不能急于求成，要有耐心和恒心。
要有条理。
在解题时要掌握好思路，不要急躁，可以将不确定的解题思路或结论记下来，以备后续检查和修正。
要灵活运用所学知识。
数学竞赛中的题目可能涉及到各个领域的知识，学生需要结合所学的数学知识来解题，不能死记硬背，应该增强自己的逻辑思维能力和解决问题的能力。
除了上面所说的解题方法和策略，还有一些其他的技巧和建议可以帮助学生在数学竞赛中取得好成绩。
学生要多做练习题，加强自己的数学技能和逻辑思维能力。
可以参加一些数学培训班或者数学俱乐部，通过和其他同学交流学习，提高自己的解题水平。
学生可以多参加一些数学竞赛活动，提高自己的竞赛经验和应试能力。
要保持良好的学习习惯和健康的生活方式，有助于提高解题效率和保持好心态。
在总结中，数学竞赛中的解题方法与策略是关键要点。
学生需要通过不断的练习和思考，提高自己的数学水平和解题能力。
要有耐心和恒心，善于运用数学知识和逻辑思维，坚持不懈地努力，相信自己一定能够在数学竞赛中取得好成绩。
对一道竞赛题及其解法的商榷
”这里两
厶
Ｉ行・盟９２一ｍ・导＝ｏ．
－
个等式是怎么得来的？应该有必要的说明才
慧≠１，所以ｇ一乐≠１＇（１５分）
所以Ｂ７Ｃ７∥Ａ７Ｄ ７，且Ｂ’Ｃ７≠Ａ７Ｄ’，所以
四边形Ａ７Ｂ’Ｃ７Ｄ７是梯形． 参考答案和评分细则估计是由命题人提 供的，给出的证明看是图文并茂简单简洁，实 则过分粗略缺乏定量分析存在很大漏洞，参 考答案过分依赖图形直观，默认Ａ７ Ｃ７与 Ｂ’Ｄ’相交于点Ｄ，忽视定量分析，遗漏了Ａ’， Ｂ’，ｃ，，Ｄ’４点共线这一情形． ３对竞赛矗的研究 下面是笔者以研究的心态和追求完美的 思想指导下，用解析法和综合法对Ａ７Ｂ ７Ｃ’Ｄ 究，与读者交流． ３．Ｉ用解析法探究 设对角线ＡＣ，ＢＤ相交于点０，以ＡＣ 所在直线作为ｚ２１盯’Ｙ０２瓣，
口（６２一ｃ２）
２ａｂｃ
所以ｃ，（警≯’６２２ａ＋ｃ２ｂｃ
同理可得Ａ’（一
－－ｈａ即可）
又当ｃ＝一再６时，西矿＝（６，厢６），剪
Ｉ，．
’
Ａ口（６２一ｃ２） ６２＋ｃ２
一丽Ｊ。
２ｈａｂｃ、
＝（一丢口，一譬ｎ）．由ｃ＞Ｏ得ｂ＜Ｏ，所以瓦矿
厶 厶
与孬矿同向，于是当６一一百１口即口一－－２ｂ时，
６（口一ｚｏ）－－ｃｙｏ＝０， 且ｐ ６．ｚｏ＋ｃｙｏ一口６—０． （２）
所以直线ＢＤ的倾斜角为１２０。，即么ＢＯＣ＝
１２０。．又因为当ｃ一一痂时，面矿＝（６，届），
直线ＯＢ７的斜率为石，所以直线ＯＢ７的倾斜
角为６０。，从而么Ｂ ７０Ｄ一６０。，故４点Ａ７，Ｂ７， ｃ，，Ｄ’所在直线就是么ＡＯＢ的平分线所在的 直线．
石霄＝一．：Ｉ石矿，石矿＝一Ａ石矿，
有ＯＡ＝ＯＤ，于是有ＡＣ—ＢＤ，故此时梯形
对一道高等数学竞赛试题解法的商榷
的方 法 ． ［ ］ 结 了北 京 历 届 数 学 竞 赛 试 题 与 一 文 １总 些 省份 的数学 竞赛 试题 并给 予 了较为 详尽 的参 考解 答 ， 数 学工作 者 提 供 了详 实 的理 论 资 料 ， 是 ， 对 但 笔
形， 么， 那 Ｐ和 Ｑ两点 是否 满 足在 此平 面 的同侧 的条
的结果 容易将 题 目中在 已知 平 面 上 点 Ｍ 使 得 Ｉ Ｍ Ｉ Ｐ
＋ＩＭＩ Ｑ 最小 的问题转 化 为求 点 Ｑ与 Ｐ关 于 已知 平
品质． 过鼓 励大 学 生 参 加各 种 形 式 与 不 同 级 别 的 通 高 等数学 （ 数学专 业 ） 赛 ， 于 提 高优 秀 学 生 的 非 竞 对 数 学技 能 与数 学 素 养 以 及 培 养 他 们 构 建 探 索 新 知
维普资讯
第 １ ６卷第 ４期
２００７年 １２月
Байду номын сангаас
河 南教 育 学 院 学报 （ 自然科 学版 ）
Ｊ ｕｎ ｌ ｆ ｎ ｎ Ｉｓ ｔｔ ｏ ｄ ｃ ｔ ｎ（ ａｕａ Ｓ ｉ ｃ ） ｏ ｒａ ｏ Ｈｅ ａ ｔｕｅ ｆ ｕ ａ ｏ Ｎ ｔｒｌ ｃ ｎ ｅ ｎ ｉ Ｅ ｉ ｅ
Ｖ０ ． ６ １ １ Ｎｏ． ４
Ｄｅ ． Ｏ ７ ｃ２Ｏ
对 一道 高等 数 学 竞赛 试 题 解 法 的商 榷
吴 耀 强
（ 迁 学 院 教 师 教 育 系 ， 苏 宿 迁 ２ ３０ ） 宿 江 ２ ８０
摘 要 ： 析 了 一道 竞 赛 试题 的 解 法 中的 不 严 谨 成 因 ， 出 了该 题 的 完 整 解 答 并 得 到 了判 断 空 间 中的 点 与 平 面 剖 给
求 出过 ９点且 与 已知平 面 垂 直 的直 线 方 程 ， 将 其 再
浅谈数学竞赛中的反证法
2 2 2
2
2
2
2,
197
2015 年 22 期
教学研究
可见等式的左端是偶数，但不是 4 的倍数；但此时 2 n abc = 故 x1 , y1 , z1 也满足原方程，也是一个正整数解。 证到这里并无矛盾出现，如果继续往下做，显然会进入 一个新的循环之中。 为了将这一僵局打破， 必须用优化假设。 将证明第一步的那句“若方程有正整数解 x 0 , y 0 , z 0 ”改 成“若方程有正整数解，则在方程的所有正整数解中必存在 一组正整数解 x 0 , y 0 , z 0 ，使得对于方程任一组正整数解
y r sin 3
1 r sin 2 3 2 1 co s b 2 3 2 a.
m1 n1
,
m2 n2
，它们的和、积都
是整数。
m1 n1 m1 n1
由于 a，b 都是整数，其中至少有一个不是零，所以 x， y 不都为整数，这就与已知相矛盾，故命题成立，即连接平 面上任意三个整点构成的三角形都不是等边三角形。 证法二： 设 A ( x 1 , y 1 ),
+
m2 n2
=p,
m1 n1
m2 n2
=q 由 韦达定理知：
m1 n1
,
m2 n2
是
2 x +px+q=0 的两个根。于是，
B ( x 2 , y 2 ), C ( x 3 , y 3 ), 且三
个点坐标都是整数。 假若 ABC 为正三角形， 则 ABC 至 少有两边与 Y 轴不平行。因为
tan A
几道竞赛不等式题的统一证法及再思考
． 由 凸 函 数 的 几 何 意 义 可 知 ， （ ） 的 图
像 不 可 能 于 （ ） 在 点 （ 、 ｎ ， ， （ 、 ÷ Ｉ １ ， ） ， ／ ） 处 的 切 线 的 下 方 ，
的几何性 质（ ５ 凹性 ） １ 给出它们 的统一证法 ， 限于篇 幅 ， 在
题５ 证明： ｉ ￣ ａ ＋ ｂ ＋ ｃ ＋ ｄ ＝ ｓ ， ． 厂 （ ） ＝
一
（ ∈（ ０ ， ｓ ） ） ， 不难
吉 ， ， （ ÷ ） ： ９ ， 由 凸 函 数 的 几 何 意 义 可 知 ， （ ） 的 图 像 得 出－ 厂 （ ） 在Ｅ ｏ ， ｓ ） 上为 １ ５ 函数 ， 注意到待证不等式 中 ６ ＝
换： 。 ， ｂ － － ＋ ｂ ２ ， ｃ 一 ， 即 可 得 题 ２ 中 左 边 “ 三＋ ＋ 故 （ ） 在 （ ｓ ， （ ÷ ） ） 处 的 切 线 方 程 为 ： ｓ 一 替
三
”
—
，
按照题 １ 中左边 各项分子逐个 替换 的思 想“ 。 一 ，
同理可 得ｌ 厂 （ ６ ） ≥ ５ ６
～
ｓ２
，
， （ ｃ ） ≥
ｃ 一
ｓ ２ ，
６ ＿６ ， ｃ ｃ ” ， 也ｆ ｌ ￣＝ ａ ２ ， ｂ ＝ ｂ ２ ｃ ： ｃ ２ 可得ａ ＝ ｌ 或０ ， ｂ ＝ ｌ 或０ ， ｃ ＝
１ 或０ ， 而０ ， ６ ， ｃ ＞ ０ ， 故ｎ ： ｂ ＝ ｃ ＝ １ ， 只需 把 题 １ 中
求证 ：
（ （ ＼ Ｓ ／ ∈ （ ０ ， 为 凸 函 数 （ ＼ 音 ｎ ） ／ ＝ 丽 Ｉ ｎ — １ Ｉ ，
，
， （ ） ＝
二、 问题 的统 一证 明
浅谈高中数学竞赛解题思维
浅谈高中数学竞赛解题思维高中数学竞赛解题思维是指在高中数学竞赛中解题的思考方式和方法。
高中数学竞赛题目通常较为复杂，需要运用数学知识和思维方法解决。
下面我将浅谈高中数学竞赛解题思维的一些重要方面。
高中数学竞赛解题思维需要具备良好的数学基础知识。
高中数学竞赛的题目通常涉及广泛的数学知识，如代数、几何、概率等等。
解题思维首先要建立在扎实的数学基础之上，只有具备了扎实的数学知识，才能更好地理解题目和运用知识解题。
高中数学竞赛解题思维需要注重细节和准确性。
高中数学竞赛的题目往往非常复杂，解题过程中有时需要进行繁琐的计算和推导。
解题思维需要注重细节的注意和准确性的把握，一旦出现错误就可能导致整个解题过程的错误。
高中数学竞赛解题思维需要拓宽思维的视野。
在解题过程中，如果仅限于书本上的知识和方法，往往无法解决一些独特的题目。
解题思维需要拓宽视野，学习一些非常规的解题方法，培养灵活的思维能力。
可以通过参加数学讲座、阅读数学竞赛的解题技巧等方式来拓宽思维的视野。
高中数学竞赛解题思维需要培养合作意识和团队合作能力。
在数学竞赛中，一些题目较难，需要集中团队的力量解决。
团队合作能力能够在解题过程中发挥重要作用。
合作意识可以引导团队成员分工合作，互相补充，互相促进，最终得到优质的解题方案。
高中数学竞赛解题思维还需要注重实践和积累经验。
解题思维需要不断地实践和尝试，通过解题过程中不断总结和归纳，积累解题的经验，提高解题能力。
可以多做一些高中数学竞赛的模拟题和真题，通过解题过程的反思和总结，不断提升解题能力。
高中数学竞赛解题思维是一个全面的思考方式和方法，需要具备扎实的数学基础、注重细节和准确性、拓宽思维的视野、培养合作意识和团队合作能力，以及注重实践和积累经验。
只有通过不断的努力和实践，才能提高自己的解题能力，在高中数学竞赛中取得好成绩。
一道数学竞赛题的证明与推广
一道数学竞赛题的证明与推广蒋明斌【摘要】文章给出2013年摩尔多瓦数学奥林匹克国家队选拔赛一道试题的2个证明,然后给出此题及一个类似题目的推广.【期刊名称】《中学教研：数学版》【年(卷),期】2016(000)010【总页数】5页(P46-50)【关键词】数学竞赛;代数不等式;推广【作者】蒋明斌【作者单位】蓬安中学校四川蓬安637851【正文语种】中文【中图分类】O122.3例1 设x,y,z为正实数，求证:证法1 由于式(1)是齐次的，不妨设xy+yz+zx=1，设x2=a,y2=b,z2=c，则a,b,c为正实数，且0<ab+bc+ca=(xy)2+(yz)2+(zx)2<xy+yz+zx≤1.记p=a+b+c,则.若p≤2，由柯西不等式，并注意到0<ab+bc+ca<1，有从而.若p>2，由0<ab+bc+ca<1知0<ca+bc<1，0<ab+ca<1,0<bc+ab<1,从而于是因此,故不等式(1)成立.证法2 不妨设x≥y≥z，令,则,于是又，显然x2+y2<s2+t2，因此其中.上述不等式由“在[1,+∞)上是增函数且v≥2，于是f(v)≥f(2)”而得到.故不等式(1)成立.由证法1可知，不等式(1)等价于:命题1 设x,y,z为正实数，且xy+yz+zx≤1，则另外，当x,y,z为非负实数且xy+yz+zx=1时，不等式(2)可以取到等号(当x,y,z中有一个值为0，另2个值为1时，等号成立).因此，将命题1的条件“x,y,z为正实数，且xy+yz+zx≤1”变为“x,y,z为非负实数，且xy+yz+zx=1”即得2008年全国高中数学联赛江西省预赛试题第14题:例2 已知x,y,z为非负实数，且xy+yz+zx=1，求证:此题曾引起广泛关注，笔者在文献[1]和文献[2]中探讨过此题的证明与推广.用例1的证法1可以给出很简洁的证明，同时命题1也可以用此证法进行证明.命题2 已知x,y,z为正实数，α为实常数，且α≥1，则证明由于式(4)是齐次的，不妨设xy+yz+zx=1.设xα=a，yα=b,zα=c,由α≥1，0<ab+bc+ca≤xy+yz+zx≤1，应用命题1的结论，得即不等式(4)成立.当α≥2时，也可以用例1的证法2证明命题2：不妨设x≥y≥z，令,根据例1的证法2，得又，由，得从而即于是同理可证显然xα+yα≤sα+tα，因此其中.上述不等式由“在[1,+∞)上是增函数且v≥2，于是f(v)≥f(2)”而得到.故不等式(4)成立.应用例1的证法2还可以证明以下例3[3]：例3 设x,y,z是非负实数，且x,y,z中最多1个为0，求证:不等式(5)等价于这里我们证明更广泛的结论：命题3 已知x,y,z是非负实数，且x,y,z中最多1个为0，α为实常数，且α≥2，则证明不妨设x≥y≥z，令,则从而根据命题2的证明，得从而因此,其中.上述不等式由“在[1,+∞)上是增函数且v≥2，于是f(v)≥f(2)”而得到.故不等式(7)成立.命题1、命题2还可以推广为如下的命题4：命题4 已知x,y,z为非负实数，α,λ为实常数，且α≥1,-1≤λ≤3，则证明由于式(8)是齐次的，不妨设xy+yz+zx=1，设xα=a,yα=b,zα=c，由α≥1，得0<ab+bc+ca≤xy+yz+zx=1，且a,b,c为非负实数.记p=a+b+c,则.当p≤2时，由柯西不等式，得从而.由λ≥-1⟺λ+3≥2及p≤2≤3+λ知不等式显然成立.若p>2，由0<ab+bc+ca≤1知0<ca+bc≤1，0<ab+ca≤1,0<bc+ab≤1,从而于是由λ≤3⟺≤2及知不等式显然成立.因此故不等式(8)成立.当α≥2时，命题3和命题4可以推广如下命题5：命题5 已知x,y,z是非负实数，且x,y,z中最多一个为0，x≥y≥z，其中α,λ,μ为实常数，且α≥2，μ≥0，则1)当-μ≤λ≤4-μ时，2)当λ>4-μ时，证明令,注意到x≥y≥z，当α≥2时，根据命题3和命题4的证明可得注意到μ≥0，μ+λ≥0，从而因此，.令≥2，则,且在上递减，在上是递增，于是1)当-μ≤λ≤4-μ时，，由v≥2，得即故不等式(9)和不等式(10)成立.2)当λ>4-μ时，，由v≥2，得即故不等式(11)和不等式(12)成立.【相关文献】[1] 蒋明斌.一道竞赛题的证法再探[J].数学教学，2011(2):27-28.[2] 蒋明斌.一道数学竞赛题的新证与推广[J].数学教学，2015(7):46-48.[3] Cirtoaje V.Mathematical inequalities[M].Ploiestl：University of Ploiestl,2015.。
谈一道竞赛题的多种证法及其推广
谈一道竞赛题的多种证法及其推广
徐惠荣
【期刊名称】《中学数学月刊》
【年(卷),期】2005(000)012
【摘要】2005年全国初中数学联赛武汉选拔赛中有一道试题结构新颖优美，构思巧妙，解法灵活多样，思路宽广，富有启发性并易推广引申．该题是
【总页数】2页(P36-37)
【作者】徐惠荣
【作者单位】江苏省金坛市朱林中学,213241
【正文语种】中文
【中图分类】O1
【相关文献】
1.对一道竞赛题多种证法的分析 [J], 金齐斌;
2.一道高等数学竞赛题的多种证法及推广 [J], 叶建兵
3.一道竞赛题的多种证法 [J], 张卜;
4.一道初中几何竞赛题的多种证法及推广 [J], 熊月琴
5.一道高中数学竞赛题的多种证法 [J], 周园
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对一道竞赛辅导题的商榷
对一道竞赛辅导题的商榷
王志安
【期刊名称】《邯郸学院学报》
【年(卷),期】1999(000)003
【摘要】就一道典型例题存在着与工程技术实际相脱节的问题，提出不同观点，以便与专家们进行商榷。
【总页数】1页(P66)
【作者】王志安
【作者单位】邯郸师专物理系，邯郸056004
【正文语种】中文
【中图分类】G633.7
【相关文献】
1.对“由一道化学竞赛题引发的质疑和思考”的商榷 [J], 朱殿飞
2.一道值得商榷的高中生物奥赛题——对2008年浙江省一道高中生物竞赛试题的分析 [J], 周兴生
3.一道数学竞赛训练题证法的商榷 [J], 王炜
4.对一道经典竞赛题的商榷 [J], 邵韬
5.对一道经典竞赛题的商榷 [J], 邵韬
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数学竞赛试卷分析与应对策略
数学竞赛试卷分析与应对策略数学竞赛作为一项智力竞赛活动，对参赛者的数学能力和解题能力提出了较高的要求。
参加数学竞赛，除了需要扎实的数学基础知识外，还需要具备一定的解题技巧和应对策略。
本文将从试卷分析和应对策略两个方面，探讨数学竞赛的相关问题。
一、试卷分析1. 难度分布数学竞赛试卷通常由多个题目组成，难度分布是其中一个重要的考察点。
试卷中的题目难度应该有一定的分布，既有难度适中的题目，也有难度较高和较低的题目。
这样可以考察参赛者的整体水平和应对能力。
对于试卷的难度分布，参赛者需要进行合理的预估，以便在考试过程中做到心中有数。
2. 知识点覆盖数学竞赛试卷中的题目通常会涉及到多个数学知识点，如代数、几何、概率等。
参赛者需要对各个知识点的要点和解题技巧有所了解，并进行有针对性的复习和训练。
在试卷分析的过程中，可以对各个知识点的题目数量进行统计，以便更好地掌握试卷的重点和难点。
3. 解题思路数学竞赛试卷中的题目通常会有多种解题思路，参赛者需要在有限的时间内找到最有效的解题方法。
在试卷分析的过程中，可以对每个题目的解题思路进行总结和归纳，以便在考试过程中能够快速找到解题的思路和方法。
二、应对策略1. 认真阅读题目在数学竞赛中，题目的理解是解题的第一步。
参赛者需要认真阅读题目，理解题目的要求和条件，找到解题的关键点。
有时候，题目中可能会有一些陷阱或者误导性的信息，参赛者需要通过仔细阅读，排除干扰，找到正确的解题思路。
2. 灵活运用数学方法数学竞赛试卷中的题目通常需要用到多种数学方法，参赛者需要根据题目的要求和条件，灵活运用各种数学方法进行解题。
有时候，同一个问题可以用多种方法来解决，参赛者可以根据自己的熟练程度和解题思路选择最合适的方法。
3. 注意时间管理数学竞赛试卷的时间通常是有限的，参赛者需要合理安排时间，控制解题的速度。
在解题过程中，如果遇到难题或者卡壳，可以暂时放弃，转而解答其他题目，以充分利用时间。
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cosC
cos( C - A) - cosCcosA + cos(A - B) - cosAcosB
2
丁心王 ^*1 - cosBcosC 1 + cosA
1 + cosA
=2 --
2
1
+
沪
bc
cosA
W2 _
4bc
.
1 一 cosBcosC J (6 + c)2 一 a2'
同理可得 l-ZcocsBcos^2-(c+4ac)a2-6-
cosC
v2 —
4ab
.......
下面证明：[2 -
_ ] + [2 -
(6 + c) - a
4ca2 2] + [2 -——竺_； ]W2,
(c + a) - b
(a + b) - c
上式即(6
+
be c)2
_
a2
+
(c
+
ca a)2
-
b2
*
ab (a + b)2
be
ca
3 '斗 b +c -a + c + a - br+
a.b M a + b + c.① a+b -c
2_ [2 ] Ramya Duta. ARadicalBound [ J ]. American Mathematical Monthly,2018,(3) ：277 〜278.
[3] 匡继昌•常用不等式(第三版)[MJ.济南：山东科学技术 出版社,2004.5&
[4] 郭要红.对一类极值问题的研讨——兼擂台题(60)的证 明[J].中学数学教学,2004(4) ：39〜42.
法同证法1. (2)若为锐角△，则 cosA >0,cosB >0,
cosC
>
0,则]-ccoossBAcosC
*
1
-
cosB cosCcosA
+
cosC w一 -------------cosA------------- + 1 一 cosAcosB cos(B - C) - cosBcosC
cosB
• 48 •
（利用加权平均不等式）W 用不等式（3）） = 3 •
中学数学研究
2019年第5期
取m=2,A = 1,不等式（2）变为不等式（1）,所 以不等式（2）是不等式（1）的推广.
参考文献
+ [1 ] Robert Bosch. Problemll906 [ J ]. American Mathematical Monthly,2016, (4) ：400.
cosA
八
cosB
1 一 cosBcosC V °'1 一 cosCcosA ' °°認’
cosC
厂
cosA
1 - cosAcosB ° cosC,.. i 一 cosBcosC +
COSB
COSC
„
八
c
；1---一--c--o-s-C7c--o-s-A7 + ;1---一--c--o-s-A--c--o-s-n- < cosn + cosC < 2.
(3)若△4BC 为锐角△，则 cosA >0,cosB >0,
cosC > 0 cosBcosC = cos(B + C) + cos(B 一
C)] W *[l +cos(B + C)],所以 1 - cosBcosC Ml
-*[ 1 + cos(B + C) ] =*(l+cosA) >0,应用余
+ c - a = x, 令 + a - b 二 y,贝ll a = *(y +z) ,b = *(z +
+ b _ c 二 z,
光)，c 二 *(% + y)，光,> 0.
于是不等式①等价于a + “)仏+ y)+
x
(" + y)(y + 〃)+(y + Qa + 小 ^4(x + y + z),
弦定理得
cosA
w 2cosA =2__2_ =2_
1 一 cosBcosC 1 + cosA
1 + cosA
2019年第5期
中学数学研究
・49・
1
几—=2
-
(b
4bc +c)2
一/，即
2bc
1
一
cosA cosBcosC
W2
-
(6+c4b)c—2,同理可得
cosB W2 __
cosC W
1 一 cosCcosA
(c + a) -62 1 - cosAcosB
2_
4ab
(a + 6)234*7- c 9
从
而
cosA 1 - cosBcosC
+
1
-
cosB cosCcosA
*
1
-
cosC cosAcosB
W
[2
-
4bc -i 「c
4ca
(6+c)2_/] + [2 _(c+0)2-62】+[2 -
4ab -i (a + b)2 - c
y
z
等价于竺+ — +竺M % + y + z②.再应用二元均值 x yz
不等式得亡+竺+型=*( 三+ Z)% + X(A +
x y z L\ z
Lz
—)y + — +出)z三兌+ y +z.所以不等式②成
x
Lx y
立，也即不等式①成立.
综上所述，原不等式成立.
证法2：(1)若△佔C为她△或钝角△，证明方
原证：设a、b、c为 MBC中角A、B、C所对的三
边长.因为 cosBcosC 二cos(B + C) + cos(B 一
C)] W *[l +cos(B + C)],所以 1 -cos^cosC Ml
一 * [ 1 + cos(B + C) ] = ^-(1 + cosA)〉0,应用余
弦定理得----- 竺 cos塁A---- W "osM 二2 一
下面给出正确的证明方法.
证法 1：（1）若 AABC 为血△，令 A = 90°,B,C
分别为锐角•则1 一co爲 sA 血+匸豐荷+
1
cosC 一 cosAcosB
=cosB
+ cosC
<
2.
(2)若厶ABC为钝角△，令4 >90°,B,C分别
为锐角•二 cosA < 0,cosB > 0,cosC > 0,
1 - cosAcosB 〜 （仇+6）2一尹
上述证明过程中,cosA,cosB,cosC不一定都大
于零.
若cosA < 0时，则c駕 osA
2严气,所
1 一 cosncosc 1 + cosA
以证明时 _ccoos曽A r W 严巴不成立，更谈不
1 - cosficosC 1 + cosA
上后面过程是否成立.
—道数学竞赛训练题证法的商榷
陕西省绥德县绥德中学 (718000)王炜
《数学通讯》高中数学竞赛专辑（2012版），全 国高中数学联赛模拟训练题（6）中加试三，下面就
它的证明过程提出商榷，然后再给出正确证明方法， 供参考.
题目 在厶磁中'求证rr厳 cosA 贏+
---- c-o--sB----- + ---- c-o--sC----- 三 2. 1 - cosCcosA 1 - cosAcosB