拉姆齐-卡斯-库
拉姆齐模型第一部分
5拉姆齐—卡斯—库普曼斯模型几个重要关系：● 收入由生产函数决定：(),Y F K AL = ● 收入＝消费＋储蓄：YC S =+● 在均衡中，储蓄＝投资：SI =● 在没有折旧、人口增长和技术进步时，资本存量的增长＝投资：K I ∆=●()()0ntL t L e =，人口，资本，效用等都以指数形式增长。
Ramsey模型的基本思想：国民收入()Y F K AL=。
所以经济增长决定于资本存量K、人,口L和劳动有效性A的增长。
在Solow和Ramsey增长模型中，人口L和劳动有效性A的增长率外生给定。
因此，必须研究经济增长与资本存量增长之间的关系。
资本存量的变化源于投资，投资形成于储蓄，所以，储蓄率影响资本存量的变化并进而影响经济增长。
在Solow模型中，储蓄率为外生变量。
但是在Ramsey模型中为内生变量，我们必须分析决定储蓄率的机制。
国民产出（收入）分为消费和储蓄两部分。
所以，分析储蓄必须分析消费。
家庭的消费行为是在生命周期收入约束下使其效用最大。
最优储蓄规模＝投资经济增长分析步骤：1、确定家庭的效用函数2、确定家庭的预算约束 3、 确定最优消费数量 4、 确定最优投资 5、 6、5.1假定1、消费者的行为：在预算约束下（支出小于禀赋）最大化效用函数：()max ..u s t y≤x px离散时间下消费者的效用函数：消费者生存n 个时期，n →∞，在时期t ，消费t C ，获得效用()()u C t ，该效用贴现值为()()t e uC t ρ-。
ρ为贴现率，总效用为()()ntt eu C t ρ-=∑或()()tt eu C t ρ∞-=∑ 连续时间下消费者的效用函数：()()0te u C t dt ρ∞-⎰teρ-：()()u C t ：()C t ：个人在时点t消费的数量人口数量：()0L ()L t ：()()0ntLt e L =家庭数量：()()0H H t H ==（有人口出生但是没有新的婚姻） 家庭的人口数量：()0L H()L t H ()()0ntL t L e H H=家庭效用函数：()()()()()()()()()()()()()00000,ttn t t e u C t dt e u C t dt L e u C t dt H L e u C t dt n H ρρρρρρ∞-∞-∞--∞'-=='==-⎰⎰⎰⎰nt L t H L 0e H瞬时效用函数的形式：()()()1,01C t u C t θθθ-=>-)1(>---g n θρ相对风险厌恶系数为()()u C Cu C ''-' 这里，相对风险厌恶系数固定为θ，因此称为“相对风险厌恶系数固定”的效用函数。
稳增长与防风险：我国宏观经济政策
摘要：2008年金融危机以来，我国宏观经济政策的实践可总结为“稳增长、防风险”的双底线思维。
基于引入债务因素的RCK 模型，从理论层面推导负债与经济增长的关系，结果表明负债扩张能够促进经济增长的必要条件是资产回报率显著高于潜在经济增速，为宏观操作双底线思维的提出提供了理论依据。
基于TVP-SV-VAR 模型的实证检验发现，稳增长政策与去杠杆政策对长期经济增长是有益的。
2018年底宏观经济政策重心再次转向稳增长，但该轮杠杆率上升并未能促进长期经济增速的提高，实证结论与理论推论基本一致。
新冠肺炎疫情以来我国的宏观调控政策在实施节奏上或存在一定的“错位效应”。
因此，一方面，我国未来的宏观经济政策在较长时间段内仍然需要坚持稳增长与防风险的双底线思维；另一方面，应通过积极降低企业成本、加大经济结构调整以及促进科创要素发挥作用等措施加快引导资产回报率上行，扩大我国宏观经济政策的操作空间。
关键词：经济增长；债务风险；宏观调控；资产回报率；经济政策重心中图分类号：F202文献标识码：A文章编号：2096-2517（2022）06-0003-13DOI ：10.16620/ki.jrjy.2022.06.001稳增长与防风险：我国宏观经济政策重心转换的实践与效果评估毛振华，等（中诚信国际信用评级有限责任公司，北京100000）收稿日期：2022-05-24基金项目：中诚信国际信用评级有限责任公司重点课题“中国宏观经济政策实践探索”（zcxzdkt003）作者简介：毛振华，男，湖北石首人，中国人民大学经济研究所联席所长，武汉大学董辅礽经济社会发展研究院院长，香港大学经管学院教授，中诚信国际信用评级有限责任公司首席经济家，研究方向为宏观经济理论、金融市场等；张林，男，山东聊城人，中诚信国际信用评级有限责任公司研究员，科斯研究所研究员，研究方向为宏观利率与债券市场；张堃，女，山东胶南人，博士，中诚信国际信用评级有限责任公司博士后研究员，研究方向为宏观经济、地方债与城投行业等；袁海霞，女，河南许昌人，博士，中诚信国际信用评级有限责任公司研究院副院长，财政部政府债务咨询专家，研究方向为地方债与城投行业、宏观经济、债券市场等。
拉姆齐-卡斯-库普曼斯模型PPT精选文档
28
4、福利 • 所考察的模型满足“完全竞争市场”的所
有假设，因此“福利经济学第一定理”必 然成立。
29
5、平衡增长路径
（1）平衡增长路径的特性 ➢ 与索洛模型相同；
limtk t 0: limeRtengtk t 0
t
t
( n1 g)
16
3、经济的动态学 （1）c的动态学 （2）k的动态学 （3）c的初始值与鞍点路径
17
• c的动态学
欧 拉 方 程 ：c c & ttf kt g (2 .2 2 )
k * 满 足 ： c & t 0 ， 即 f k * g
（2）平衡增长路径与黄金律资本存量 ➢ 拉姆齐模型中，资本存量高于黄金律资本存量是
不可能的； ➢ 拉姆齐模型中，经济并不收敛于产生最大的可持
续c的平衡增长路径； ➢ 修正的黄金律资本存量。
30
6、贴现率下降的影响 （1）定性影响 （2）调整速度与鞍点路径的斜率
31
• 贴现率下降的定性影响
➢贴现率下降影响的相图分析
20
21
22
• 稳态条件：
c& t 0 k& t 0
或
fk*g c*f k* ngk*
23
• 由稳态条件可知，在拉姆齐模型中，稳态 资本存量小于黄金率资本存量。
24
• c的初始值与鞍点路径
欧 拉 方 程 ：c c & ttf kt g (2 .2 2 )
k & t f k t c t n g k t ( 2 . 2 3 )
(高级宏观经济学课件)拉姆齐—卡斯—库普曼斯模型
2.2
1 定义R t
t
家庭的最大化问题
先看家庭的预算约束
0
r t d ,
Rt
含义 : 在0期投资的1单位产品在t期产生e 反之, t期1单位产品在0期的价值为:e 家庭的预算约束为 :
Rt Rt
单位的产品,
.
L t K 0 t Rt L t t 0 e C t H dt H t 0 e A t w t H dt 对上式用有效劳动进行正规化,并化简 :
e dt
nt
2.2
家庭的最大化问题
1
U A 0 B 其中 : B A 0
1
L 0 n 1 g t c t e dt H t 0 1 c t dt 1
1
t 0
e
t
2
1
L 0 , n 1 g 0 H
家庭的问题是, 在预算约束下选择c t 的路径 以最大化一生效用.
1
2.3
家庭行为
我们用目标函数 1 和
预算约束 2 来构建拉格朗日函数: L B e
t 0 t
c t dt + 1
t R t R t n g t n g t k 0 e w t e dt e c t e dt t 0 t 0 家庭选择每一时点上的c,对单个c t 的一阶条件是 :
第三章
拉姆齐—卡斯—库普曼斯模型
这一堂课的内容安排
• • • • • • 1 2 3 4 5 6 模型的假设； 家庭与厂商的行为； 经济动态学； 平衡增长路径； 贴现率下降的影响； 调整速度与鞍点路径的斜率。
第二章 无限期界与世代交叠模型(罗默版本)
C (t )1 L(t ) dt 1 H
1 nt c ( t ) L ( 0 ) e e t [ A(0)1 e (1 ) gt ] dt t 0 1 H 1 L ( 0 ) c ( t ) A(0)1 e [ n (1 ) g ]t ]d t t 0 H 1 1 c ( t ) B e t ]d t (2.12) t 0 1 1 L (0) B A(0) , n (1 ) g H
e R (t )C (t )
t 0
e
R (t )
c(t )e
( n g )t
d t k (0) e R (t ) w(t )e ( n g )t d t
t 0
(2.14)
• 单位有效劳动的非蓬齐条件变为：
s
lim e R ( s ) e ( n g ) s k ( s) 0 (2.15)
• 消费者均衡条件为终生效用保持不变，即消费变
动带来的效用损失和储蓄投资带来收入增加导致 的效用增加量必须相等，所以：
(t ) / c (t )]dt [ r (t )n g ]dt Be t c(t ) dc(t ) Be (t dt ) [c(t )e[c ] e dc(t ) (2.22)
e
R (t ) ( n g )t
e
(2.17)
• 利用变分法得到：
• 泛函： T V ( y ) F [t , y, y]d t
0
y dy / dt
• 的欧拉方程为：
Fyy y(t ) Fyy y(t ) Fty Fy 0
• 特殊情形： • Case 1： F F (t , y) • 欧拉方程为： Fy constant • Case 2：
《高级微宏观经济学》教学大纲
《高级微宏观经济学》教学大纲课程编号：课程名称：高级微宏观经济学适合专业：经济类和工商管理学科各专业研究生先修课程要求：在本课程开设之前应修完《数理分析方法与技术》课程。
总学时和学分：85学时、开课学期：第二学期任课教师及职称：彭国富教授教学目的及要求：本课程的目的主要是让学生在硕士学习期间掌握微观经济学和宏观经济学相关理论的分析框架，学会使用均衡分析方法、边际分析方法、博弈论分析方法、经济建模方法等来分析研究一些现实问题。
通过本课程的学习，要求学生熟练掌握相关经济理论和经济方法，并能够比较准确地分析和认识经济现象和经济问题，对相关的微观及宏观经济政策也应有所了解。
教学方式：本课程的教学采用课堂讲授为主、课堂讨论为辅的方法。
在课堂讲授过程中，每一个理论基本上都采用“提出的背景——理论的构造——理论的应用”的基本思路来讲解。
要求同学们在学习时，对于每一个理论均应掌握三个为什么，即：说的是什么事？怎么说的？有什么用？考核方式：闭卷笔试。
课程内容与学时分配：本课程的教学内容分为高级微观经济学与高级宏观经济学两个部分：高级微观经济学由前言等十四个部分的内容组成，计划讲授课时为68课时，具体教学内容是：导言（2课时）主要讲授内容有西方经济学及其研究方法、西方经济学内容体系、本课程的教学目的、教材选用、教学内容与讲授方法、西方经济学学习与研究参考资料等第一章偏好与选择（4课时）本章主要介绍消费者理性行为分析框架，具体内容包括：第一节理性消费者、第二节效用函数、第三节效用最大化选择、第四节显示性偏好理论。
第二章需求分析（4课时）本章有关教学内容是在给出消费者行为分析对偶原理的基础上，经斯拉茨基方程的引进，对需求的替代效应和收入效应进行的分析与研究。
具体内容包括：第一节需求函数、第二节支出函数与对偶原理、第三节需求弹性、第四节替代效应与收入效应。
第三章需求分析理论扩展（4课时）本章介绍的内容分为显示性偏好理论的扩展研究和消费者的福利分析。
拉姆齐模型(第一部分)
储蓄的价值 从t期到s期 如何变化
t期的储蓄 （它可能为负）
51
52
非蓬齐博弈：将任意时刻s的财富 贴现到当前，应为非负。
limeR(s) K(s) 0
s
H
K kAL kA(0)L(0)e(ng)t
lim lim eR(s) K(s) 0
eR(s)e(ng)tk(s) 0
s
H
s
53
储蓄
每个家庭在 0 时期有
L0 / H 个成员
每个家庭在 0 时期拥有
K 0 / H 的资本
作出储蓄—消费决策
当期收入
消费
每将 人全
提部
产品市场
（完全竞争）
购提 买供 产产 品品
供 资 要素市场
1 单
本 （完全竞争） 租
位给
劳厂 动商
付出工资，一个家庭获得：
Lt At f kt kt f kt
H
付资本报酬，一个家庭获得：
20
关于家庭效用函数的说明：
2.家庭无限期的效用
21
22
关于家庭效用函数的说明：
3.家庭无限期效用函数的现值
23
u(Ct )
24
(1)连续的复利计算和贴现 计算
由于时间 t被假定为连续的，利息 率也被假定
按照复利连续计算
25
lim (1 / n)nt
n
lim[11/(n / )](n/ )t et n
新古典生产函数：Y F(K, AL) 根据欧拉定理：Y Y K Y AL
K (AL)
31
二、模型中决策主体的行为（厂商）
资本的边际产品：FK, AL f (k)
K
有效劳动的边际产品：f k kf k
罗默《高级宏观经济学》(第3版)课后习题详解(第2章 无限期界与世代交叠模型)
罗默《高级宏观经济学》（第3版）第2章 无限期界与世代交叠模型跨考网独家整理最全经济学考研真题，经济学考研课后习题解析资料库，您可以在这里查阅历年经济学考研真题，经济学考研课后习题，经济学考研参考书等内容，更有跨考考研历年辅导的经济学学哥学姐的经济学考研经验，从前辈中获得的经验对初学者来说是宝贵的财富，这或许能帮你少走弯路，躲开一些陷阱。
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2.1 考虑N 个厂商，每个厂商具有规模报酬不变的生产函数()Y F K AL =，，或者（利用密集形式）()Y ALf k =。
设()·0f '>，()()***1c s f k =-。
设所有厂商以工资wA 雇用工人，以成本r 租借资本，并且拥有相同的A 值。
（a ）考虑一位厂商试图以最小成本生产Y 单位产出的问题。
证明k 的成本最小化水平()()()**1001t t t f c c k cs f k n g k L n L αδ*+⎛⎫"==-=++=+ ⎪⎝⎭＜唯一地被确定并独立于Y ，所有厂商因此选择相同的k 值。
（b ）证明N 个成本最小化厂商的总产出等于具有相同生产函数的一个单个厂商利用N 个厂商所拥有的全部劳动与资本所生产的产出。
证明：（a ）题目的要求是厂商选择资本K 和有效劳动AL 以最小化成本rK wAL +，同时厂商受到生产函数()Y ALf k =的约束。
这是一个典型的最优化问题。
().mi . n s t w Y ALf k AL rK = +本题使用拉格朗日方法求解，构造拉格朗日函数： 求一阶条件：用第一个结果除以第二个结果：上式潜在地决定了最佳资本k 的选择。
很明显，k 的选择独立于Y 。
上式表明，资本和有效劳动的边际产品之比必须等于两种要素的价格之比，这便是成本最小化条件。
（b ）因为每个厂商拥有同样的k 和A ，下面是N 个成本最小化厂商的总产量关系式：单一厂商拥有同样的A 并且选择相同数量的k ，k 的决定独立于Y 的选择。
中级宏观经济学(第6章)-内生增长理论
(6.2)
可以看出，该模型把生产函数为柯布-道格拉斯函数的索洛模型作为 时的特例,即。如此设计的模型中，出现了两个要由经济系统本身决定其 存量变化的变量：资本和知识。把技术进步内生化以后，经济增长分析 的复杂性增加了。因此，分析和讨论将分两步进行：第一步，假定产出 不受资本影响，考察知识和产出如何增长；第二步，放弃资本不影响产 出的假定，分析这种一般情况下资本、知识和产出如何增长的问题。
(t ) A (t ) (t ) (1 a L ) A y y (t ) (1 a L ) A(t ) A(t )
(6.4)
值得注意的是y(t)不再像以前那样表示单位有效劳动的产出， 而直接代表人均产出。g仍表示技术进步增长率，即知识增长率。 但g不再当常数看待，而是随时间变化的一个变量：
(6.7)式的特殊含义是，当 1且 g (t )恒等于 n
(t ) 0 ， g (1 ) 时，
即知识的增长率 g (t ) 恒为常数。鉴于此，把 n (1 ) 记为 g * ，即
n g* 1
(6.8)
进一步分析知识增长率(即人均产出增长率) g (t ) 的变动情
L
g (t )[ n ( 1) g (t )]
(6.6)
n (1 ) g (t ) 0
可知当 n (1 ) g (t ) 0 时， (t ) 0 ， g (t ) 上升；当 g
(t ) 0 ， g (t ) 不变。 g (t ) 下降；当 n (1 ) g (t ) 0 时 g 时，
Y (t ) [(1 a K ) K (t )] [(1 a L ) A(t ) L(t )]1 (t ) B [a K K (t )] [a L L(t )] [ A(t )] A
拉姆齐卡斯库普曼模型
劳动力
知识或技术 有效劳动 总产出 总消费 有效劳动的平均资本
人均资本
有效劳动的人均产出 人均产出 有效劳动的人均消费 人均消费 资本产出比
储蓄率
s=(y-c)/y
高级经济学Ⅰ（宏观部分）
2.4 平衡增长路径
结论： 将储蓄率内生化并没有改变索洛模型中关于平衡增长路 径的描述。即使储蓄率是内生的，外生的技术进步依 然是人均产出持续增长的唯一根源。
高级经济学Ⅰ（宏观部分）
2.2 家庭与厂商的行为
2.2.2 家庭的行为 对于家庭部门来说，每个家庭都把实际利率和实际工 资率的运动路径 r（t）和 w（t）视为既定。家庭只能 接受它们，而无法影响它们，因为要素市场是完全竞 争的。 家庭的目标是实现终生效用最大化。在追求这一目标 的过程中，家庭的经济活动要受到预算约束的限制， 也就是说，家庭终生消费的现值不能超过家庭初始拥 有的财富与家庭终生劳动收入的现值之和。
高级经济学Ⅰ（宏观部分）
2.2 家庭与厂商的行为
2.2.2 家庭的行为 贴现率：按连续复利计算，从时刻0到时刻t这一时间 区间上单位资本的(连续复利)利率为：
R(t )
r( ) d
0
t
这意味着时刻0的1单位资本，在到达时刻t时变成为 e R(t ) 个单位的资本。等价地说，未来t时刻的一元钱的价值(即 R (t ) 现值)是 e 。所以R(t)就是未来价值向当前的贴现率。
0
*
f k f k *
c
c0 c0
*
0
高级经济学Ⅰ（宏观部分） k
当 k k 时， f k f k c 0 当 k k 时， f k f k c 0
内生增长理论
ɺ K (t ) = sY (t ) ɺ L(t ) = nL(t )
(6.2)
可以看出，该模型把生产函数为柯布可以看出，该模型把生产函数为柯布-道格拉斯函数的索洛模型作为 时的特例, 时的特例,即。如此设计的模型中，出现了两个要由经济系统本身决定其 如此设计的模型中， 存量变化的变量：资本和知识。把技术进步内生化以后， 存量变化的变量：资本和知识。把技术进步内生化以后，经济增长分析 的复杂性增加了。因此，分析和讨论将分两步进行：第一步， 的复杂性增加了。因此，分析和讨论将分两步进行：第一步，假定产出 不受资本影响，考察知识和产出如何增长；第二步， 不受资本影响，考察知识和产出如何增长；第二步，放弃资本不影响产 出的假定，分析这种一般情况下资本、知识和产出如何增长的问题。 出的假定，分析这种一般情况下资本、知识和产出如何增长的问题。
Y ( t ) = F ((1 − a K ) K ( t ), (1 − a L ) A( t ) L( t )) ɺ A( t ) = G (a K ( t ), a L( t ), A( t ) )
K L
产品生产与知识生产具有不同的特点。对于产品生产来说，可以 产品生产与知识生产具有不同的特点。对于产品生产来说， 假定规模稿酬不变。然而对于知识生产来说， 假定规模稿酬不变。然而对于知识生产来说，把生产知识的各种要素 都增加一倍时，如果假定增加的要素也同原来的要素一样， 都增加一倍时，如果假定增加的要素也同原来的要素一样，发挥同样 的作用，就意味着没有新的发现，因此知识没有增加， 的作用，就意味着没有新的发现，因此知识没有增加，假定知识生产 的规模报酬递减是合理的；另一方面，在知识的生产中， 的规模报酬递减是合理的；另一方面，在知识的生产中，研究人员之 间的相互交流、实验仪器及固定设备的投资，都是相当重要的因素， 间的相互交流、实验仪器及固定设备的投资，都是相当重要的因素， 在这些因素的作用下，各种投入要素都增加一倍后， 在这些因素的作用下，各种投入要素都增加一倍后，新增的知识量就 可能高于原来规模上的知识产量， 可能高于原来规模上的知识产量，这意味着知识生产的规模报酬可能 是递增的。所以，知识生产很不同于产品生产， 是递增的。所以，知识生产很不同于产品生产，不能对知识生产作出 规模报酬递减或递增或不变的假设。 规模报酬递减或递增或不变的假设。
宏观考试要点(研二)
宏观经济学复习资料第一章索洛模型索洛模型基本内容、政策含义、主要说明什么问题、核心公式的理解，资本水平效应、资本增长效应、如何理解索洛模型中的A索洛模型包含四个变量：产量（Y），资本K，劳动L和知识或劳动的有效性A。
在任一时间，经济中有一定量的资本、劳动和知识，而这些被结合起来生产产品。
生产函数的形式为Y（t）=F（K（t），A（t）L（t）），其中t表示时间。
时间不直接进入生产函数，只是通过K，L，A进入。
这就是说，仅在生产投入变化时，产量才随时间变化。
具体而言，从一定的资本和劳动量中得到的产品量随时间增加—有技术进步—的唯一前提是知识量增加。
A和L以相乘形式影响Y，AL被称为有效劳动，而以这种形式引入的技术进步被称为劳动增进型或哈罗德中性的。
模型的基本假定：1）规模报酬不变。
即对于c≥0，有F（cK，cAL）=cF（K，AL），令c=1/AL，规模报酬不变的假定使我们可以使用生产函数的密集形式：F（K/AL，1）=F（K，AL）/AL，定义k=K/AL,y=Y/AL,f(k)=F(k,1),y=f（k），,y为单位有效劳动的平均产量，k为单位有效劳动的平均资本量。
f’(k)＞0,f’(k)<0,边际报酬递减。
2）关于投入品的假设L(t）=nL(t),A(t)=gA(t),n为人口增长率，g为技术进步率，均为外生参数，表示不变增长速度。
资本的增长率K(t)=sY(t)- δK(t),其中s为储蓄率，δ为资本折旧率，均为外生变量。
索洛模型的核心公式：k(t)=sf(k(t))-(n+g+δ)k(t)它表明每单位有效劳动的平均资本量的变动率是两项之差。
第一项sf(k)是每单位有效劳动的平均实际投资：每单位有效劳动的平均产量为f(k),该产量中用于投资的比例为s。
第二项（n+g+δ）k是持平投资，即使得k保持在现有水平上所必须的投资量。
为防止k下降，必须进行一些投资。
其原因有二。
第一，现有资本有折旧，这一部分资本必须予以补足以防止资本存量下降，这就是δk项。
经济增长模型
∆A = 0 ⇒ ∆A > 0
生的技术进步，即从 A
A。
令
g
=
∆A A
为技术进步引起的增长率，那么
g
产生的影响是：
1）使得 y = f (k) 以 g 的增长率增长（注意 A 的影响是对整个生产函数的影响）
2）使得人均储蓄 sy = sf (k) 以 g 的增长率增长 注意 P53 图 3－7，技术进步作为外生变量导致生产函数曲线整体上移。 此时在稳态， y 和 k 不是不变，而是均以 g 的速率增长——人均指标。而总
y
kA
为
∆y y
=θ
•
∆k k
+
(1−θ )
∆A（对应 A
P52
倒数第
6
行，参见专栏
3－3）。将
∆A A
=
∆k
k
代入该式，我们得到：
g = ∆y = θ • ∆k + (1 −θ ) ∆A = θ • ∆k + (1−θ ) ∆k = ∆k
y
k
A
k
kk
这说明，产出与资本以同样速率增长，人均产出的增长率 ∆y y 与人均资本的
sy* = (n + d )k * 用图表示为：
4
关于稳态的几个结论：因为在稳态有 ∆y = 0 ，表示人均 GDP 不增长，那么此 时总的 GDP 增长率（ ∆Y Y ）＝人口增长率 n。即在稳态的增长率与储蓄率 s 无关 （仅仅与 n 有关）。 ※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※
3．戴蒙德模型 拉姆齐－卡斯－库普曼斯模型仍然存在缺陷，即其中的家庭都是神仙，长生 不老，显然与事实不符。戴蒙德修正了这一不足，引入新老家庭的更替，从而将 现实的人口生死更替引入增长模型，使增长模型与现实更为相符。在戴蒙德模型 下，平衡增长路径的资本存量又可以高于黄金律资本存量，维护了索洛模型的结 论。 4．新增长理论 虽然以上三类模型通过不断修正与现实越来越接近，但还是忽视了一个十分 核心的问题。这些模型里的核心变量——技术一直被假设是外生的，技术进步到 底如何发生、与增长是否有内在联系等重要问题都被回避。新增长理论正是针对 这一缺陷，将技术进步视为内生，研究经济增长，具体包括 R&D 模型和人力资 本模型，从而使得经济增长理论研究与现实世界之间的距离进一步得到了缩短。
(高级宏观经济学课件)拉姆齐卡斯库普曼斯模型
储蓄
指居民可支配收入中未用于消费 的部分，可转化为投资，是经济 增长的重要动力。
投资
指企业用于购买固定资产、增加 生产能力以及研发等方面的支出 ，对经济增长具有乘数效应。
跨期选择与最优化原理
跨期选择
消费者需要在不同时间点之间进行权衡，以最大化 其一生中的总效用。这涉及到对当前消费和未来消 费的权衡取舍。
该模型基于跨期最优化原理，将消费者的效用最大化作为 目标，同时考虑生产技术和市场约束条件。
拉姆齐-卡斯-库普曼斯模型为分析经济增长的源泉、经济 政策的效应以及不同经济体的增长差异提供了理论框架。
宏观经济学中的消费、储蓄与投资
消费
指居民用于满足个人生活需要的 商品和服务的支出，是总需求的 重要组成部分。
最优化原理
在给定约束条件下，消费者通过选择最优的消费和 储蓄路径来实现效用最大化。这要求消费者在每一 时点上根据边际效用和预期未来收益进行决策。
02
模型构建与假设条件
Chapter
代表性消费者假设
代表性消费者
模型中假设存在一个代表性消费者， 其行为和决策能够代表整个经济体系 中所有消费者的行为和决策。
06
相关研究领域前沿动态
Chapter
行为经济学对模型假设的挑战与改进
行为经济学对理性人假设的挑战
指出人们在决策时可能受到情绪、认知偏差等因素的影响，不完全符合拉姆齐-卡斯-库 普曼斯模型中理性人的假设。
基异质性及其对经济现象的 影响。
社会保障政策
该模型还可以用于分析社会保障政策对经济主体跨期决策 的影响。例如，养老保险制度的设计需要考虑如何平衡当 前消费和未来养老需求之间的关系，拉姆齐-卡斯-库普曼 斯模型为此类问题提供了分析工具。
12RCK增长模型
or
Rn V (1 r)n
(2) 从时期n向时期m一次贴现的贴现公式(n>m)
Rm
Rn (1 r)nm
or Rn Rm (1 r)nm
(3) 资金流{R1, R2,, Rn ,}的贴现公式
V
RtBiblioteka t 1 (1 r )t(4) 均匀资金流 R = R1 = R2 == Rn =的贴现公式
所能获得的全部效用之总和——(在时期0看的)终生效用。
4. 跨期消费替代
消费者的行为是去选择终生消费计划{C0, C1, C2, }使终生
效用U({Ct})达到最大。既然使用贴现法让消费者能够对不同时
期的效用进行比较，那么为了终生效用最大化，消费者可能要
对不同时期的消费安排进行调整：减少(增加)这个时期的消费
获得各个时期的效用。效用本身就是一种价值概念，商品对消
费者有效用就有价值，无效用则无价值。为了对不同时期的效
用进行比较，必须把不同时期的效用贴现到同一个时期。这样
做时，必然要求所考虑的效用是基数意义下的效用。假定消费
者的效用函数为 u(C)。如果消费者在时期t的消费量为Ct，那么 他在时期 t 的效用就为u(Ct)。注意, 不同时期的效用是通过不同 时期的消费来区别的。只要 n m，u(Cn) 和 u(Cm) 就不能直接比 较。必须把时期 m 的效用u(Cm)贴现到时期 n, 或者把时期 n 的效
该模型由拉姆齐(F. P. Ramsey)1928年初创驺型，1965年分 别得到卡斯 (D. Cass) 和库普曼 (T.C. Koopmans) 的发展和完善。
[1] F. P. Ramsey，A Mathematical Theory of Saving [2] D. Cass，Optimum Growth in an Aggregative Model of Capital
2.拉姆齐-卡斯-库普曼模型
劳动力
知识或技术 有效劳动 总产出 总消费 有效劳动的平均资本
人均资本
有效劳动的人均产出 人均产出 有效劳动的人均消费 人均消费 资本产出比
储蓄率
s=(y-c)/y
高级经济学Ⅰ（宏观部分）
2.4 平衡增长路径
结论： 将储蓄率内生化并没有改变索洛模型中关于平衡增长路 径的描述。即使储蓄率是内生的，外生的技术进步依 然是人均产出持续增长的唯一根源。
高级经济学Ⅰ（宏观部分）
2.6 拉姆齐模型的基本结论
拉姆齐模型没有改变索洛模型关于经济增长平 衡路径的基本结论。 索洛模型可以被看作是拉姆齐模型的一个特例， 它必须对应于后者特殊的参数和稳态。 拉姆齐模型的特点在于储蓄的决定被内生化了。 拉姆齐模型中的任意初始状态不一定收敛到稳 态，会存在发散的情况，而索洛模型则不会。
高级经济学Ⅰ（宏观部分）
2.3 经济的动态学
2.3.2 k的动态学
高级经济
高级经济学Ⅰ（宏观部分）
2.3 经济的动态学
2.3.3 相图 注意：k*小于黄金 率资本存量水平 f ' ( k gold ) ( n g )
f ' (k * (t )) g
2.3.5 鞍点路径
c
0 c
k 0
如果我们引入消费 者预算约束和资本 存量为正的条件， 鞍点路径是一个经 济唯一可能运行的 路径。
O
k*
k
高级经济学Ⅰ（宏观部分）
2.4 平衡增长路径
变量 绝 对 量 K L A AL Y C 相 对 量 k K/L y Y/L c C/L K/Y s 资本存量 含义 平衡增长速度 n+g n g n+g n+g n+g 0 g 0 g 0 g 0 0 c=c* y=f(k)=Y/AL F(cK,cAL)=cF(K,AL) C=ALc k=k* k=K/AL 备注证明
第八讲 拉姆齐-卡斯-库普曼斯模型
吉林财经大学高级宏观经济学课件
=
f ′(k ) − ρ − θg
θ
− α [(1 − z )
f ′(k )
α
− (n + g )]
= f ′(k )[ z −
θ −1 1 ] + ( ρ + θg )(s * − ) θ θ
1
由此可得，z的行为依赖于s*是大于、等于还是小于 1 / θ 的行为。 （1）首先假定 s =
c − c* k − k * = ≡ μ1 , c − c* k − k *
那么一定有如下等式成立：
•
•
c(t ) − c* = e μ1t [c(0) − c*], k (t ) − k * = e μ1t [k (0) − k *].
考察 C-D 生产函数 f (k ) = k ，则有：
α
f ′′(k * ) = α (α − 1)(k * )α − 2 = α (α − 1)(k * )2α − 2 / f (k * )
从而有：
= a( a
L A B WL − CL − − ) = a( + r − g − n) B A L aAL
即：
= w + (r − n − g )a − c a
4．汉密尔顿函数与一阶条件 构建现值汉密尔顿函数：
H=
根据最优化条件有：
c(t ) (1−θ ) + λ[ w + ( r − n − g ) a − c ] 1−θ
•
•
μ=
θ
μ
从而有： μ − βμ +
2
f ′′(k * )c*
θ
=0
解方程可得： μ =
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1、假定
厂商的生产函数为Y=F(K,AL)，满足于索洛模型相同
的假定。 家庭 家庭规模以n速增长 家庭效用函数为
L (t ) U e u (C (t )) dt 0 H C (t )为t时期每一家庭成员的消 费，u ()为
t
即期效用函数， (t )为经济的总人口， L H为家庭数，L (t ) / H为家庭成员数，
当k大于k 时，f (k )小于 g (边际报酬递减规律，因而c 为 )
负。当k小于k 时，f (k )大于 g，因而c 为正。
c
c0
c0
c0
k*
k
c的动态学
k的动态学
k的增长等于实际投资减去持平投资，不
考虑折旧，则持平投资为（n+g）k，实 际投资为产量减去消费，f(k)-c。因此，
上述结论的含义在于，在最优消费增长
模型中，无效率的过度储蓄不会出现， 这一点与索洛模型不同，原因在于典型 的无限存续家庭一旦储蓄过度，马上会 意识到这不是它的最优消费路径。寻求 最优消费路径的家庭储蓄总是不足以使 资本达到黄金分割率水平，这种缺乏耐 性的消费行为反映了有效贴现率ρ+θg 的影响，减少当前消费以实现最大化的 消费路径，即实现黄金分割率的消费水 平是不值得的。
c
c0
A
鞍点路径
E
k 0
B C F D K(0)
k* c的不同初始值下c和k的变动
k
假定k(0)小于k*，上页图中给出了c的初
始值c(0)处于不同位置时，c和k的轨迹。
如果c(0)高于 k 0曲线，如图形中的 点，那么 A c 是正的，而k 为负，因此经济持续向 上向左移动。 如果c(0)处于B点，此时k 最初为0，经济开始时 在(k , c)空间中向上直移，随后 出现 c 为正，为负，因而 k 经济又是向上向左移动 。如果经济开始时稍微 低于 k 0线，比如在C点，那么初始时的k 为正但较小 且 c 仍为正，因此经济开始 时向上、稍偏右的方向 移动，
c
k 0
k 0
k 0
k
相图
将上面关于c和k的相图结合在一起，形
成下面关于c和k的动态相位图。图中的 箭头表示c和k的变动方向。
c 0
c
E
k 0
k* c和k的动态学
k
在 c 0线的左方，和k 0线的上方，为正， c k 为负，因而， 在上升，k在下降。图中其 c 他部分的箭头所依据的 道理相同。在c 0和 k 0线上，c和k只有一个在变，比如处 k 0 于
A(t ) L(t ) A(0) L(0) R (t ) A(t ) L(t ) t 0e c(t ) H dt k (0) H t 0 e w(t ) H dt A(t ) L(t ) A(0) L(0)e( n g )t，将此式代入上式，两 边同除以A(0) L(0) / H，得
k (t ) f (k (t )) c(t ) (n g )k (t )
对给定的k， 0时的c值由f (k ) (n g )k给定， k 按照索洛模型，当消费 等与实际产量线与持平
投资线间的距离时， 0。 0时的c值随着k递增， k k 直至f (k ) n g (黄金分割)，然后随着k递减。 当c超过使得k 0时的水平时，k下降；当c低于 此水平时，k上升。若k足够大，则持平投资大 于 总产量从而对于所有正 c值，为负。 的 k
3、经济的动态学 c的动态学 由于所有家庭是相似的，因此欧拉方程描述的
不仅是单个家庭的行为，而且是整个经济中所 有家庭的行为。
由于r (t ) f (k (t ))，我们有 c(t ) f (k (t )) g c(t ) 因此当f (k (t )) g，为零，令k 表示 c 0时的k的水平， c
c的初始值与鞍点路径
前面的图为给定c和k的初始值的情况下，c和k
必须如何随时间变动以满足家庭的跨期最优化 条件以及将k的变化与产量和消费联系起来的方 程。k的初始值是给定的，c的初始值也必须确 定。
c (t ) f ( k (t )) g c (t )
k (t ) f (k (t )) c(t ) (n g )k (t )
C CU (C ) / U (C ) C C 1
C 1
θ 值决定了家庭在不同时期转换消费的愿望：
θ越小，随着消费的上升，边际效用下降越慢， 因此家庭越愿意允许期消费随时间变动。如果 θ接近于0，则效用几乎是消费的线性函数。 该效用函数还有三个特点，其一，如果θ小于 1，C1-θ随着C递增，如果θ大于1， C1-θ随着C 递减，因而确保了消费的边际效用为正。其二， 当θ趋近于1时，该效用函数简化为LnC，第三， ρ-n-(1- θ)g大于0，这一假定保证了一生效 用不发散。如果这一条件不满足，家庭就可以 得到无限大的一生效用，其最大化问题也就没 有一个定义良好的解。
线上方且在c 0线上，c不变k下降。在E点上， c 和 k 均为0，没有偏离此点的运动 。
图中的k 小于黄金分割率的 值（图中的虚线）， k 原因在于 (k ) g定义，而黄金分割率 值由 k 由f k f (k GR ) n g定义。由于f (k )为负，因此 当且仅当 g n g时，k kGR， g n g 等价与 n (1 ) g 0，而前面我们已经假定 后者成立，以使一生效 用不发散，因此 处于 k 0 k 曲线最高点的左侧。
不变的效用函数（跨时期固定替代弹性 效用函数）。
相对风险回避系数（边际效用弹性，也
可以看成是不同时期消费之间的替代弹 性的倒数） -CU''(C)/U'(C)=θ，与C无 关。
C (t )1 U (C (t )) 1 1 1 1 U (C (t )) 1 C C U (C (t ))
将上述家庭预算约束表述为每单位有效劳动的
平均消费和平均劳动收入，用c(t)表示每单位 有效劳动的平均消费，家庭在t期的总消费 C(t)L(t)/H，等于每单位有效劳动的平均消费 c(t)乘以家庭的有效劳动数量A(t)L(t)/H。 家庭初始资本持有量等于0期每单位有效劳动 的平均资本k(0)乘以A(0)L(0)/H，这样我们有 下面的家庭预算约束方程：
t 0
t
c(t ) dt 1
R (t ) ( n g )t
(k (0) e
t 0
e
w(t )dt e R (t ) e ( n g )t w(t )dt)
t 0
对上述函数求解得到
Be t c (t ) e R ( t ) e ( n g ) t 两边取对数得 LnB t Ln R (t ) ( n g )t 两边对t求导得
2、家庭与厂商的行为 厂商
完全竞争状态下的厂商，生产函数具有
规模报酬不变特征。 资本的边际产品构成了真实利率水平， 实际工资表示劳动的所得，关系式如下：
r (t ) f ( k (t )) w(t ) f ( k ) kf ( k (t ))
家庭行为
家庭效用最大化的预算约束是，其一生
消费的现值不能超过其初始财富加上其 一生劳动收入的现值。 由于家庭有L(t)/H个成员，所以家庭在t 期的劳动收入为A(t)w(t)L(t)/H，家庭 的消费支出为C(t)L(t)/H，家庭的预算 约束为（对R(t)的解释见教材p56）：
t 0
e
R (ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ )
L(t ) K (0) R (t ) L(t ) C (t ) dt e A(t ) w(t ) dt t 0 H H H
u (C (t ))L (t ) / H为家庭在t期的总即期效用，
为贴现率，值越大，表示对现期的
消费评价越大，反映了 父母式的自私。
即期效用函数的基本形式假设为：
C (t )1 U (C (t )) , 0, n (1 ) g 0 1
这一效用函数被称为相对风险回避系数
c (t ) r (t ) n g (这里用到了R (t )的含义) c (t )
c (t ) r (t ) g (这里用到了 含义) (欧拉方程) c (t ) 由于每工人平均消费 (t )等于每单位有效劳动的 C 平均消 费c (t )和A(t )的乘积，所以 (t )的增长率等于 (t )的增长率 C c 加上A(t )的增长率，所以每工人 平均消费的增长率为 C (t ) r (t ) C (t )
R (t )
t 0
e
R (t )
c(t )e
( n g )t
dt k (0) e R (t ) w(t )e( n g )t dt
t 0
家庭的问题是在预算约束条件下，选择
c(t)的路径以最大化一生的效用。因此我 们构造下面的拉格朗日函数
1
L B e
上面的欧拉方程表明，如果真实利率大于家庭对
未来消费进行贴现时的贴现率，则每工人平均消 费上升，如果出现相反的情况则下降；θ越小 （随着消费变化，边际效用变化越小），在对真 实利率和贴现率之差做出反应时，消费的变化越 大。 直观地说，欧拉方程描述了给定c(0)的情况下，c 如何随时间变动：如果c不按照欧拉方程变动，家 庭就可以调整其消费，从而在不改变其一生支出 现值的情况下增加一生效用。c(0)决定于如下要 求：在所导致的路径上，一生消费的现值等于初 始财富加未来收入的现值。如果选择的c(0)太低， 沿欧拉方程的路径的消费支出，就会用不完一生 的财富，因而以更高的消费路径是可能的，如果 c(0)太高，消费支出就会大于一生财富，因而该 路径是不可行的。