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北京西城北师大实验2017届高三上学期12月月考数学(理)试题

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2017西城区高三一模理科数学试卷跟答案

2017西城区高三一模理科数学试卷跟答案

14． 如图， 正方体 ABCD A1B1C1D1 的棱长为 2， 点 P 在正方形 ABCD 的边界及其内部运动． 平面区域 W 由所有满足 A1 P ≤ 5 的点 P 组成，则 W 的面积是____；四面体 P A1BC 的 体积的最大值是____．
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7．数列 {an } 的通项公式为 an | n c | ( n N* ) ．则“ c ≤1 ”是“ {an } 为递增数列”的 （A）充分而不必要条件 （C）充要条件 （B）必要而不充分条件 （D）既不充分也不必要条件
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共 110 分）
二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分． 9．在 (1 2 x)5 的展开式中， x 的系数为____． （用数字作答） 10．设等比数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ．若 a1 3 ， S2 9 ，则 an ____； Sn ____． 11．执行如右图所示的程序框图，输出的 S 值为____．
测试后，随机抽取了 20 名学生的答题数据进行统计，结果如下： 题号 实测答对人数 1 16 2 16 3 14 4 14 5 4
（Ⅰ）根据题中数据，估计这 240 名学生中第 5 题的实测答对人数； （Ⅱ）从抽样的 20 名学生中随机抽取 2 名学生，记这 2 名学生中第 5 题答对的人数为 X，求 X 的分布列和数学期望； （Ⅲ）试题的预估难度和实测难度之间会有偏差．设 Pi 为第 i 题的实测难度，请用 Pi 和 Pi 设计一个统计量，并制定一个标准来判断本次测试对难度的预估是否合理．

北京市西城区2017届高三二模数学(理)试题【含答案】

北京市西城区2017届高三二模数学(理)试题【含答案】

北京市西城区2016-2017学年度高三第二次统练理科数学2017．5一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1．在复平面内，复数z 对应的点是()12Z -，，则复数z 的共轭复数z =（ ） A ．12i +B ．12i -C ．2i +D ．2i -2．下列函数中，值域为[]01， 的是（ ） A ．2y x =B ．sin y x =C ．211y x =+D．y =3．在极坐标系中，圆sin r q =的圆心的极坐标是（ ）A ．12π⎛⎫ ⎪⎝⎭，B ．()10，C ．122π⎛⎫ ⎪⎝⎭，D ．102⎛⎫⎪⎝⎭，4．在平面直角坐标系中，不等式组3203300x y x y y -≥⎧⎪--≤⎨⎪>⎩表示的平面区域的面积是（ ）A ．1B ．32C ．2D ．525．设双曲线()2222=100y x a b a b->>，的离心率是3，则其渐近线的方程为（ ）A．0x ±=B．0y ±=C ．80x y ±=D ．80x y ±=6．设a ，b 是平面上的两个单位向量，35a b ⋅=．若m R ∈，则|a mb +的最小值是（ ） A ．34B ．43C ．45D ．547．函数()f x x x =．若存在[)1x ∈+∞，，使得()20f x k k --<，则k 的取值范围是（ ） A ．()2+∞，B ．()1+∞，C ．12⎛⎫+∞⎪⎝⎭，D ．14⎛⎫+∞⎪⎝⎭， 8．有三支股票A B C ，，，28位股民的持有情况如下：每位股民至少持有其中一支股票．在不持有A 股票的人中，持有B 股票的人数是持有C 股票的人数的2倍．在持有A 股票的人中，只持有A 股票的人数比除了持有A 股票外，同时还持有其它股票的人数多1．在只持有一支股票的人中，有一半持有A 股票．则只持有B 股票的股民人数是（ ） A ．7B ．6C ．5D ．4二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分． 9．执行如图所示的程序框图，输出的S 值为__________．10．已知等差数列{}n a 的公差为2，且124a a a ，，成等比数列，则1a =__________；数列{}n a 的前n 项和nS =__________．11．在ABC ∆中，角A B C ，，的对边边长分别是a b c ，，，若13A a b π===，，则c 的值为__________．12．函数()220log 0x x f x x x ⎧≤=⎨>⎩，，，则14f ⎛⎫= ⎪⎝⎭__________；方程()12f x -=的解是__________．13．大厦一层有A B C D ，，，四部电梯，3人在一层乘坐电梯上楼，其中2人恰好乘坐同一部电梯，则不同的乘坐方式有__________种．（用数字作答）14．在空间直角坐标系O xyz -中，四面体A BCD -在xOy ，yOz ，zOx 坐标平面上的一组正投影图形如图所示（坐标轴用细虚线表示）．该四面体的体积是__________．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分）已知函数()tan 4f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．（Ⅰ）求()f x 的定义域； （Ⅱ）设()0βπ∈，，且()2cos 4f πββ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，求β的值．如图，在几何体ABCDEF 中，底面ABCD 为矩形，//EF CD AD FC ⊥，．点M 在棱FC 上，平面ADM 与棱FB 交于点N ． （Ⅰ）求证：//AD MN ；（Ⅱ）求证：平面ADMN ⊥平面CDEF ；（Ⅲ）若2CD EA EF ED CD EF ⊥==，，，平面ADE 平面BCF l =，求二面角A l B --的大小．某大学为调研学生在A B ，两家餐厅用餐的满意度，从在A B ，两家餐厅都用过餐的学生中随机抽取了100人，每人分别对这两家餐厅进行评分，满分均为60分．整理评分数据，将分数以10为组距分成6组：[)010， ，[)1020， ，[)2030， ，[)3040， ，[)4050， ，[]5060， ，得到A 餐厅分数的频率分布直方图，和B 餐厅分数的频数分布表：定义学生对餐厅评价的“满意度指数”如下：（Ⅰ）在抽样的100人中，求对A 餐厅评价“满意度指数”为0的人数；（Ⅱ）从该校在A B ，两家餐厅都用过餐的学生中随机抽取1人进行调查，试估计其对A 餐厅评价的“满意度指数”比对B 餐厅评价的“满意度指数”高的概率；（Ⅲ）如果从A B ，两家餐厅中选择一家用餐，你会选择哪一家？说明理由．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线C 的顶点是原点，以x 轴为对称轴，且经过点()12P ， ． （Ⅰ）求抛物线C 的方程；（Ⅱ）设点A B ，在抛物线C 上，直线PA PB ，分别与y 轴交于点M N 、，PM PN =．求直线AB 的斜率．已知函数()()21xf x x ax a e -=+-，其中a R ∈．（Ⅰ）求函数()'f x 的零点个数；（Ⅱ）证明：0a ≥是函数()f x 存在最小值的充分而不必要条件．设集合{}()212322n A n n N n *=∈≥， ， ，， ，．如果对于2n A 的每一个含有()4m m ≥个元素的子集P P ，中必有4个元素的和等于41n +，称正m 为集合2n A 的一个“相关数”． （Ⅰ）当3n =时，判断5和6是否为集合6A 的“相关数”，说明理由； （Ⅱ）若m 为集合2n A 的“相关数”，证明：30m n --≥； （Ⅲ）给定正整数n ．求集合2n A 的“相关数”m 的最小值．2017年北京市西城区高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．（5分）在复平面内，复数z对应的点是Z（1，﹣2），则复数z的共轭复数=（）A．1+2i B．1﹣2i C．2+i D．2﹣i【解答】解：由复数z对应的点是Z（1，﹣2），得z=1﹣2i．则复数z的共轭复数=1+2i．故选：A．2．（5分）下列函数中，值域为[0，1]的是（）A．y=x2B．y=sinx C．D．【解答】解：y=x2的值域为[0，+∞），y=sinx的值域为[﹣1，1]，y=值域为[（0，1]，y=的值域为[0，1]，故选：D．3．（5分）在极坐标系中，圆ρ=sinθ的圆心的极坐标是（）A．，B．（1，0）C．，D．，【解答】解：圆ρ=sinθ即ρ2=ρsinθ，化为直角坐标方程：x2+y2=y，配方为：x2+=．可得圆心C，，可得圆心的极坐标是，．故选：C．4．（5分）在平面直角坐标系中，不等式组表示的平面区域的面积是（）A．1 B．C．2 D．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得B（2，3），∴平面区域的面积S=．故选：B．5．（5分）设双曲线=1（a＞0，b＞0）的离心率是3，则其渐近线的方程为（）A．B．C．x±8y=0 D．8x±y=0【解答】解：双曲线=1（a＞0，b＞0）的离心率是3，可得，则=．双曲线=1（a＞0，b＞0）的离心率是3，则其渐近线的方程为：x．故选：A．6．（5分）设，是平面上的两个单位向量，•=．若m∈R，则|+m|的最小值是（）A．B．C．D．【解答】解：设，是平面上的两个单位向量，则||=1，||=1，∵•=，∴|+m|2=||2+m2||2+2m•=1+m2+m=（m+）2+，当m=﹣时，|+m|2有最小值，∴|+m|的最小值是，故选：C7．（5分）函数f（x）=x|x|．若存在x∈[1，+∞），使得f（x﹣2k）﹣k＜0，则k的取值范围是（）A．（2，+∞）B．（1，+∞）C．（，+∞）D．（，+∞）【解答】解：根据题意，x∈[1，+∞）时，x﹣2k∈[1﹣2k，+∞）；①当1﹣2k≤0时，解得k≥；存在x∈[1，+∞），使得f（x﹣2k）﹣k＜0，即只要f（1﹣2k）﹣k＜0即可；∵1﹣2k≤0，∴f（1﹣2k）=﹣（1﹣2k）2，∴﹣（1﹣2k）2﹣k＜0，整理得﹣1+4k﹣4k2﹣k＜0，即4k2﹣3k+1＞0；∵△=（﹣3）2﹣16=﹣7＜0，∴不等式对一切实数都成立，∴k≥；②当1﹣2k＞0时，解得k＜；存在x∈[1，+∞），使得f（x﹣2k）﹣k＜0，即只要f（1﹣2k）﹣k＜0即可；∵1﹣2k＞0，∴f（1﹣2k）=（1﹣2k）2，∴（1﹣2k）2﹣k＜0，整理得4k2﹣5k+1＜0，解得＜k＜1；又∵k＜，∴＜k＜；综上，k∈（，）∪[，+∞）=（+∞）；∴k的取值范围是k∈（，+∞）．故选：D．8．（5分）有三支股票A，B，C，28位股民的持有情况如下：每位股民至少持有其中一支股票．在不持有A股票的人中，持有B股票的人数是持有C股票的人数的2倍．在持有A股票的人中，只持有A股票的人数比除了持有A股票外，同时还持有其它股票的人数多1．在只持有一支股票的人中，有一半持有A股票．则只持有B股票的股民人数是（）A．7 B．6 C．5 D．4【解答】解：由题意作出文氏图，如下：其中m+n+p=7．∴只持有B股票的股民人数是7人．故选：A．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9．（5分）执行如图所示的程序框图，输出的S值为10．【解答】解：由已知可得该程序的功能是计算并输出S=﹣12+22﹣32+42的值∵S=﹣12+22﹣32+42=10故答案为：1010．（5分）已知等差数列{a n}的公差为2，且a1，a2，a4成等比数列，则a1=2；数列{a n}的前n项和S n=n2+n．【解答】解：∵数列{a n}是公差为2的等差数列，且a1，a2，a4成等比数列，∴a1，a1+2，a1+6成等比数列，∴（a1+2）2=a1（a1+6），解得a1=2，数列{a n}的前n项和S n=2n+=n2+n．故答案为：2；n2+n．11．（5分）在△ABC中，角A、B、C的对边边长分别是a、b、c，若，，b=1，则c的值为2．【解答】解：∵，∴，∴，∵a＞b，所以A＞B．角A、B、C是△ABC中的内角．∴，∴，∴．故答案为：2．12．（5分）函数f（x）=，，＞则=﹣2；方程f（﹣x）=的解是﹣或1．【解答】解：f（）=log2=﹣2，由方程f（﹣x）=，得或＞，解得：x=1或x=﹣，故答案为：﹣2；﹣或1．13．（5分）大厦一层有A，B，C，D四部电梯，3人在一层乘坐电梯上楼，其中2人恰好乘坐同一部电梯，则不同的乘坐方式有36种．（用数字作答）【解答】解：根据题意，分2步进行分析：先将3人分成2组，有C32=3种分组方法，再在A，B，C，D四部电梯中任选2部，安排2组人乘坐，有C42A22=12种情况，则3人不同的乘坐方式有3×12=36种；故答案为：36．14．（5分）在空间直角坐标系O﹣xyz中，四面体A﹣BCD在xOy，yOz，zOx坐标平面上的一组正投影图形如图所示（坐标轴用细虚线表示）．该四面体的体积是．【解答】解：由三视图可知几何体为三棱锥，该三棱锥的底面积S底==4，高h=2，∴V==．故答案为．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）已知函数．（Ⅰ）求f（x）的定义域；（Ⅱ）设β∈（0，π），且，求β的值．【解答】解：（Ⅰ）由，得，k∈Z．[（3分）]所以函数f（x）的定义域是，．[（4分）]（Ⅱ）依题意，得．[（5分）]所以，[（7分）]整理得，[（8分）]所以，或．[（10分）]因为β∈（0，π），所以，，[（11分）]由，得，；[（12分）]由，得，．所以，或．[（13分）]16．（14分）如图，在几何体ABCDEF中，底面ABCD为矩形，EF∥CD，AD⊥FC．点M在棱FC上，平面ADM与棱FB交于点N．（Ⅰ）求证：AD∥MN；（Ⅱ）求证：平面ADMN⊥平面CDEF；（Ⅲ）若CD⊥EA，EF=ED，CD=2EF，平面ADE∩平面BCF=l，求二面角A﹣l﹣B的大小．【解答】（本小题满分14分）（Ⅰ）证明：因为ABCD为矩形，所以AD∥BC，[（1分）]所以AD∥平面FBC．[（3分）]又因为平面ADMN∩平面FBC=MN，所以AD∥MN．[（4分）]（Ⅱ）证明：因为ABCD为矩形，所以AD⊥CD．[（5分）]因为AD⊥FC，[（6分）]所以AD⊥平面CDEF．[（7分）]所以平面ADMN⊥平面CDEF．[（8分）]（Ⅲ）解：因为EA⊥CD，AD⊥CD，所以CD⊥平面ADE，所以CD⊥DE．由（Ⅱ）得AD⊥平面CDEF，所以AD⊥DE．所以DA，DC，DE两两互相垂直．[（9分）]建立空间直角坐标系D﹣xyz．[（10分）]不妨设EF=ED=1，则CD=2，设AD=a（a＞0）．由题意得，A（a，0，0），B（a，2，0），C（0，2，0），D（0，0，0），E（0，0，1），F（0，1，1）．所以=（a，0，0），=（0，﹣1，1）．设平面FBC的法向量为=（x，y，z），则即令z=1，则y=1．所以=（0，1，1）．[（12分）]又平面ADE的法向量为=（0，2，0），所以＜，＞==．因为二面角A﹣l﹣B的平面角是锐角，所以二面角A﹣l﹣B的大小45°．[（14分）]17．（13分）某大学为调研学生在A，B两家餐厅用餐的满意度，从在A，B两家餐厅都用过餐的学生中随机抽取了100人，每人分别对这两家餐厅进行评分，满分均为60分．整理评分数据，将分数以10为组距分成6组：[0，10），[10，20），[20，30），[30，40），[40，50），[50，60]，得到A餐厅分数的频率分布直方图，和B餐厅分数的频数分布表：定义学生对餐厅评价的“满意度指数”如下：（Ⅰ）在抽样的100人中，求对A餐厅评价“满意度指数”为0的人数；（Ⅱ）从该校在A，B两家餐厅都用过餐的学生中随机抽取1人进行调查，试估计其对A餐厅评价的“满意度指数”比对B餐厅评价的“满意度指数”高的概率；（Ⅲ）如果从A，B两家餐厅中选择一家用餐，你会选择哪一家？说明理由．【解答】（本小题满分13分）解：（Ⅰ）由对A餐厅评分的频率分布直方图，得对A餐厅“满意度指数”为0的频率为（0.003+0.005+0.012）×10=0.2，[（2分）]所以，对A餐厅评价“满意度指数”为0的人数为100×0.2=20．[（3分）]（Ⅱ）设“对A餐厅评价‘满意度指数’比对B餐厅评价‘满意度指数’高”为事件C．记“对A餐厅评价‘满意度指数’为1”为事件A1；“对A餐厅评价‘满意度指数’为2”为事件A2；“对B餐厅评价‘满意度指数’为0”为事件B0；“对B餐厅评价‘满意度指数’为1”为事件B1．所以P（A1）=（0.02+0.02）×10=0.4，P（A2）=0.4，[（5分）]由用频率估计概率得：，．[（7分）]因为事件A i与B j相互独立，其中i=1，2，j=0，1．所以P（C）=P（A1B0+A2B0+A2B1）=0.4×0.1+0.4×0.1+0.4×0.55=0.3．[（10分）]所以该学生对A餐厅评价的“满意度指数”比对B餐厅评价的“满意度指数”高的概率为0.3．（Ⅲ）如果从学生对A，B两家餐厅评价的“满意度指数”的期望角度看：A餐厅“满意度指数”X的分布列为：B餐厅“满意度指数”Y的分布列为：因为EX=0×0.2+1×0.4+2×0.4=1.2；EY=0×0.1+1×0.55+2×0.35=1.25，所以EX＜EY，会选择B餐厅用餐．[（13分）]注：本题答案不唯一．只要考生言之合理即可．18．（14分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线C的顶点是原点，以x轴为对称轴，且经过点P（1，2）．（Ⅰ）求抛物线C的方程；（Ⅱ）设点A，B在抛物线C上，直线P A，PB分别与y轴交于点M，N，|PM|=|PN|．求直线AB的斜率．【解答】解：（Ⅰ）依题意，设抛物线C的方程为y2=ax（a≠0）．[（1分）]由抛物线C经过点P（1，2），得a=4，[（3分）]所以抛物线C的方程为y2=4x．[（4分）]（Ⅱ）因为|PM|=|PN|，所以∠PMN=∠PNM，所以∠1=∠2，所以直线P A与PB的倾斜角互补，所以k P A+k PB=0．[（6分）]依题意，直线AP的斜率存在，设直线AP的方程为：y﹣2=k（x﹣1）（k≠0），将其代入抛物线C的方程，整理得k2x2﹣2（k2﹣2k+2）x+k2﹣4k+4=0．[（8分）]设A（x1，y1），则x1=，y1=﹣2，[（10分）]所以A（，﹣2）．[（11分）]以﹣k替换点A坐标中的k，得B（，﹣﹣2．[（12分）]所以k AB==﹣1，所以直线AB的斜率为﹣1．[（14分）]19．（13分）已知函数f（x）=（x2+ax﹣a）•e1﹣x，其中a∈R．（Ⅰ）求函数f'（x）的零点个数；（Ⅱ）证明：a≥0是函数f（x）存在最小值的充分而不必要条件．【解答】解：（Ⅰ）由f（x）=（x2+ax﹣a）•e1﹣x，得f′（x）=（2x+a）e1﹣x﹣（x2+ax﹣a）•e1﹣x=﹣[x2+（a﹣2）x﹣2a]•e1﹣x=﹣（x+a）（x﹣2）•e1﹣x，令f′（x）=0，得x=2，或x=﹣a．所以当a=﹣2时，函数f′（x）有且只有一个零点：x=2；当a≠﹣2时，函数f′（x）有两个相异的零点：x=2，x=﹣a．（Ⅱ）证明：①当a=﹣2时，f′（x）≤0恒成立，此时函数f（x）在（﹣∞，+∞）上单调递减，所以，函数f（x）无极值．②当a＞﹣2时，f′（x），f（x）的变化情况如下表：所以，a≥0时，f（x）的极小值为f（﹣a）=﹣ae1+a≤0．又x＞2时，x2+ax﹣a＞22+2a﹣a=a+4＞0，所以，当x＞2时，f（x）=）=（x2+ax﹣a）•e1﹣x＞0恒成立．所以，f（﹣a）=﹣ae1+a为f（x）的最小值．故a≥0是函数f（x）存在最小值的充分条件．③当a=﹣5时，f′（x），f（x）的变化情况如下表：因为当x＞5时，f（x）=（x2﹣5x+5）e1﹣x＞0，又f（2）=﹣e﹣1＜0，所以，当a=﹣5时，函数f（x）也存在最小值．所以，a≥0不是函数f（x）存在最小值的必要条件．综上，a≥0是函数f（x）存在最小值的充分而不必要条件．20．（13分）设集合A2n={1，2，3，…，2n}（n∈N*，n≥2）．如果对于A2n的每一个含有m（m≥4）个元素的子集P，P中必有4个元素的和等于4n+1，称正整数m为集合A2n的一个“相关数”．（Ⅰ）当n=3时，判断5和6是否为集合A6的“相关数”，说明理由；（Ⅱ）若m为集合A2n的“相关数”，证明：m﹣n﹣3≥0；（Ⅲ）给定正整数n．求集合A2n的“相关数”m的最小值．【解答】解：（Ⅰ）当n=3时，A6={1，2，3，4，5，6}，4n+1=13，①对于A6的含有5个元素的子集{2，3，4，5，6}，因为2+3+4+5＞13，所以5不是集合A6的“相关数”；②A6的含有6个元素的子集只有{1，2，3，4，5，6}，因为1+3+4+5=13，所以6是集合A6的“相关数”．（Ⅱ）考察集合A2n的含有n+2个元素的子集B={n﹣1，n，n+1，…，2n}，B中任意4个元素之和一定不小于（n﹣1）+n+（n+1）+（n+2）=4n+2．所以n+2一定不是集合A2n的“相关数”；所以当m≤n+2时，m一定不是集合A2n的“相关数”，因此若m为集合A2n的“相关数”，必有m≥n+3，即若m为集合A2n的“相关数”，必有m﹣n﹣3≥0；（Ⅲ）由（Ⅱ）得m≥n+3，先将集合A2n的元素分成如下n组：C i=（i，2n+1﹣i），（1≤n），对A2n的任意一个含有n+3个元素的子集p，必有三组，，同属于集合P，再将集合A2n的元素剔除n和2n后，分成如下n﹣1组：D j=（j，2n﹣j），（1≤j≤n﹣1），对于A2n的任意一个含有n+3个元素的子集P，必有一组属于集合P，这一组与上述三组，，中至少一组无相同元素，不妨设与无相同元素．此时这4个元素之和为[i1+（2n+1﹣i1）+（2n﹣j4）]=4n+1，所以集合A2n的“相关数”m的最小值为n+3．第21页（共21页）。

北京市西城区北师大附属实验2017届高三上学期期中考试数学(理)试题Word版缺答案

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北京师范大学附属实验中学2016-2017学年度第一学期高三年级数学（理）期中试卷第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．1．集合2{|4}M x x =≤，1|01N x x ⎧⎫=>⎨⎬-⎩⎭则M N =（ ）．A ．(1,2)B ．[)1,2C ．(]1,2D ．[1,2]2．在等差数列{}n a 中，21a =，45a =，则{}n a 的前5项和5S =（ ）． A ．7 B ．15 C ．20 D ．253．已知向量(1,)a m =，(3,2)b =-且()a b b +⊥，则m =（ ）． A ．8B ．6C ．6-D ．8-4．下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是（ ）． A ．1y x =+ B ．2y x =- C ．1y x=D ．||y x x =-5．设{}n a 是公比为q 的等比数列，则“1q >”是“{}n a 为递增数列”的（ ）． A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件6．已知0x 是函数11()2xf x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的一个零点，10(,)x x ∈-∞，20(,0)x x ∈，则（ ）．A ．1()0f x <，2()0f x <B ．1()0f x >，2()0f x >C ．1()0f x >，2()0f x <D ．1()0f x <，2()0f x >7．已知函数π()sin()0,||2f x x ωϕωϕ⎛⎫=+> ⎪⎝⎭≤，π4x =-为()f x 的零点，π4x =为()y f x =图象的对称轴，且()f x 在π5π,1836⎛⎫⎪⎝⎭单调，则ω的最大值为（ ）．A ．11B ．9C ．7D ．58．某学校运动会的立定跳远和30秒跳绳两个单项比赛分成预赛和决赛两个阶段．下表为10名学生的预赛成绩，其中有三个数据模糊．有6人，则（ ）．A ．2号学生进入30秒跳绳决赛B ．3号学生进入30秒跳绳决赛C ．7号学生进入30秒跳绳决赛D ．9号学生进入30秒跳绳决赛第Ⅱ卷 （非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分． 9．已知复数z 满足(1i)1z -⋅=，则z =__________．10．已知向量a ，b 满足||1a =，||2b =，a 与b 的夹角为60︒，则||a b -=__________．11．如图，设A 、B 两点在河的两岸，一测量者在A 在同侧河岸边选定一点C ，测出AC 距离为50m ，45ACB =︒∠，105CAB =︒∠，则A 、B 两点的距离为__________m ．12．设等比数列{}n a 满足1310a a +=，245a a +=，则12n a a a 的最大值为__________．13．设函数21,2()1log ,2x a x f x x x ⎧-+<⎪⎪=⎨⎪⎪⎩≥的最小值为1-，则实数a 的取值范围是__________．14．对于函数()y f x =，若在其定义域内存在0x ，使得00()1x f x =成立，则称函数()f x 具有性质T ．（1）下列函数中具有性质T 的有__________．①()2f x x =-+②()sin ([0,2π])f x x x =∈③1()f x x x=+，((0,))x ∈+∞ ④()ln(1)f x x =+ （2）若函数()ln f x a x =具有性质T ，则实数a 的取值范围是__________．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15．（本小题满分13分）已知函数2π()sin sin (0)2f x x x x ωωωω⎛⎫=++> ⎪⎝⎭的最小正周期为π．（Ⅰ）求ω的值．（Ⅱ）求函数()f x 的区间2π0,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的取值范围．16．（本小题满分13分）在等差数列{}n a 中，13a =，其前n 项和n S ，等比数列{}n b 的各项均为正数，11b =，公比为q ，且2212b S +=，22S q b =． （Ⅰ）求n a 与n b ．（Ⅱ）设数列{}n c 满足1n nc S =，求{}n c 的前n 项和n T ． 17．（本小题满分13分）ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2cos (cos cos )C a B b A c +=． （Ⅰ）求角C ．（Ⅱ）若c ABC △，求ABC △的周长． 18．（本小题满分13分） 已知函数()ln f x x x =，2()e ex x g x =-． （Ⅰ）求函数()f x 的区间[1,3]上的最小值．（Ⅱ）证明：对任意m ，(0,)n ∈+∞，都有()()f m g n ≥成立． 19．（本小题满分14分）已知函数322()()f x x ax bx a x =--+∈R ，a ，b 为常数． （Ⅰ）若函数()f x 在1x =处有极值10，求实数a ，b 的值． （Ⅱ）若函数()f x 是奇函数．（1）方程()2f x =在[2,4]x ∈-上恰有3个不相等的实数解，求实数b 的取值范围． （2）不等式()20f x b +≥对[1,4]x ∀∈恒成立，求实数b 的取值范围． 20．（本小题满分14分） 已知数集1212{,,,}(1,2)n n A a a a a a a n ==<<≥具有性质P ：对任意的(2)k k n ≤≤，i ∃，(1)j i j n ≤≤≤，使得k i j a a a =+成立．（Ⅰ）分别判断数集{1,3,4}与{1,2,3,6}是否具有性质P ，并说明理由． （Ⅱ）求证：1212(2)n n a a a a n -++≤≥．（Ⅲ）若72n a =，求数集A 中所有元素的和的最小值．。

北京市部分区2017届高三上学期考试数学理试题分类汇编：圆锥曲线

北京市部分区2017届高三上学期考试数学理试题分类汇编：圆锥曲线

北京市部分区2017届高三上学期考试数学理试题分类汇编圆锥曲线一、选择、填空题1、（朝阳区2017届高三上学期期末）已知双曲线2221(0)4x y b b -=>的一条渐近线方程为320x y +=，则b 等于 ．2、（西城区2017届高三上学期期末）已知双曲线2221(0)y x b b-=>的一个焦点是(2,0)，则其渐近线的方程为 （A ）30x y ±= （B ）30x y ±= （C ）30x y ±=（D ）30x y ±=3、（东城区2017届高三上学期期末）抛物线22y x =的准线方程是（A ）1y =- （B ）12y =- （C ）1x =- （D ）12x =-4、（丰台区2017届高三上学期期末）设椭圆C ：222+1(0)16x y a a =>的左、右焦点分别为1F ，2F ，点P 在椭圆C 上，如果12||+||10PF PF =，那么椭圆C 的离心率为 ． 5、（海淀区2017届高三上学期期末）抛物线22y x =的焦点到准线的距离为A ．12B ．1C ．2D ．36、（昌平区2017届高三上学期期末）在焦距为2c 的椭圆2222:1(0)x y M a b a b+=>>中，12,F F 是椭圆的两个焦点，则 “b c <”是“椭圆M 上至少存在一点P ，使得12PF PF ⊥”的（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件7、（海淀区2017届高三上学期期末）已知直线l 经过双曲线2214x y -=的一个焦点且与其一条渐近线平行，则直线l 的方程可能是A ．1522y x =-+B ．152y x =-C ．322y x =-D ．23y x =-+8、（石景山区2017届高三上学期期末）若双曲线2214x y m-=的渐近线方程为32y x =±，则双曲线的焦点坐标是 ．9、（通州区2017届高三上学期期末）“>1m ”是“方程2211x y m m -=-表示双曲线”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件10、（东城区2017届高三上学期期末））若点(2,0)P 到双曲线2221(0)x y a a-=>的一条渐近线的距离为1，则a =_______．11、（北京昌平临川育人学校2017届高三上学期期末）设双曲线=1的两焦点分别为F 1，F 2，P 为双曲线上的一点，若PF 1与双曲线的一条渐近线平行，则•=（ ）A ．B ．C ．D ．二、解答题1、（昌平区2017届高三上学期期末）椭圆C 的焦点为1(2,0)-F ,2(2,0)F ，且点(2,1)M 在椭圆C 上.过点(0,1)P 的动直线l 与椭圆相交于,A B 两点,点B 关于y 轴的对称点为点D （不同于点A ）.(I) 求椭圆C 的标准方程；(II)证明：直线AD 恒过定点，并求出定点坐标.2、（朝阳区2017届高三上学期期末）已知椭圆22:132x y C +=上的动点P 与其顶点(3,0)A -,(3,0)B 不重合．（Ⅰ）求证：直线PA 与PB 的斜率乘积为定值；（Ⅱ）设点M ，N 在椭圆C 上，O 为坐标原点，当//OM PA ,//ON PB 时，求OMN ∆的面积．3、（西城区2017届高三上学期期末）已知直线:l x t =与椭圆22:142x y C +=相交于A ，B 两点，M 是椭圆C 上一点．（Ⅰ）当1t =时，求△MAB 面积的最大值；（Ⅱ）设直线MA 和MB 与x 轴分别相交于点E ，F ，O 为原点．证明：||||OE OF ⋅ 为定值．4、（东城区2017届高三上学期期末）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>经过点(2,0)M ，离心率为12．,A B 是椭圆C 上两点，且直线,OA OB 的斜率之积为34-，O 为坐标原点． （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）若射线OA 上的点P 满足||3||PO OA =，且PB 与椭圆交于点Q ，求||||BP BQ 的值．5、（丰台区2017届高三上学期期末）已知抛物线C ：22(0)y px p =>的焦点为F ，且经过点(12)，A ，过点F 的直线与抛物线C 交于P ，Q 两点. （Ⅰ）求抛物线C 的方程；（Ⅱ）O 为坐标原点，直线OP ，OQ 与直线2px =-分别交于S ，T 两点，试判断FS FT ⋅uu r uu u r 是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由.6、（海淀区2017届高三上学期期末）已知(0,2),(3,1)A B 是椭圆G ：22221(0)x y a b a b+=>>上的两点．（Ⅰ）求椭圆G 的离心率；（Ⅱ）已知直线l 过点B ，且与椭圆G 交于另一点C （不同于点A ），若以BC 为直径的圆经过点A ，求直线l 的方程．7、（石景山区2017届高三上学期期末）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的离心率为32，点(2,0)在椭圆C 上．（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）过点(1,0)P 的直线（不与坐标轴垂直）与椭圆交于A B 、两点，设点B 关于x 轴的对称点为B '．直线B A '与x 轴的交点Q 是否为定点？请说明理由．8、（通州区2017届高三上学期期末）如图，已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>经过点)23,1(P ，离心率21=e . （Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）设AB 是经过右焦点F 的任一弦（不经过点P ），直线AB 与直线:4l x =相交于点M ，记PA ，PB ，PM 的斜率分别为1k ，2k ，3k ，求证：1k ，3k ，2k 成等差数列．参考答案一、选择、填空题1、32、B3、D4、535、B6、A7、A8、(7,0)±9、A 10、311、解：由双曲线=1的a=，b=1，c=2，得F 1（﹣2，0），F 2（2，0），渐近线为，由对称性，不妨设PF 1与直线平行，可得，由得，即有，，•=﹣×+（﹣）2=﹣．故选B ．二、解答题1、解：(I)法一设椭圆C 的标准方程为22221(0)x y a b a b+=>>.由已知得22222,211,2,a b c a b c ⎧=+⎪⎪+=⎨⎪⎪=⎩解得22a b =⎧⎪⎨=⎪⎩.所以椭圆C 的方程为22142x y +=. …………6分法二设椭圆C 的标准方程为22221(0)x y a b a b+=>>.由已知得2c =，2122[2(2)]114a MF MF =+=--++=.所以2a =， 2222b a c =-=.所以椭圆C 的方程为22142x y +=. …………6分(II)法一当直线l 的斜率存在时（由题意0≠k ），设直线l 的方程为1y kx =+.由221,421x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩得22(21)420k x kx ++-=. 设11(,)A x y ，22(,)B x y .则22122122168(21)0,4,212.21k k k x x k x x k ⎧⎪∆=++>⎪⎪+=-⎨+⎪⎪=-⎪+⎩特殊地，当A 为(2,0)时，12=-k ，所以2423=-x ，223=-x ，243=y ，即24(,)33-B .所以点B 关于y 轴的对称点24(,)33D ，则直线AD 的方程为(2)=--y x . 又因为当直线l 斜率不存时，直线AD 的方程为0=x ， 如果存在定点Q 满足条件，则(0,2)Q . 所以111112111---===-QA y y k k x x x ，222222111---===-+--QD y y k k x x x ， 又因为 121212112()2()220QA QB x x k k k k k k x x x x +-=-+=-=-=， 所以=QA QD k k ，即,,A D Q 三点共线.即直线AD 恒过定点，定点坐标为(0,2)Q . …………14分 法二(II)①当直线l 的斜率存在时（由题意0≠k ），设直线l 的方程为1y kx =+ .由221,24y kx x y =+⎧⎨+=⎩，可得22(12)420k x kx ++-=. 设1122(,),(,)A x y B x y ，则22(,)D x y -.所以22122122168(21)0,4,212.21k k k x x k x x k ⎧⎪∆=++>⎪⎪+=-⎨+⎪⎪=-⎪+⎩因为2121AD y y k x x -=--，所以直线AD 的方程为：211121()y y y y x x x x --=---.所以21121112121y y x y x yy x y x x x x --=⋅++--+21121121112121y y x y x y x y x y x x x x x --++=⋅+--+2112212121y y x y x y x x x x x -+=⋅+--+2112212121(1)(1)y y x kx x kx x x x x x -+++=⋅+--+21122121212y y kx x x x x x x x x -++=⋅+--+2112212121y y kx x x x x x x -=⋅++--+21212y y x x x -=⋅+--.因为当0,2x y ==， 所以直线MD 恒过(0,2)点.②当k 不存在时，直线AD 的方程为0x =，过定点(0,2).综上所述，直线AD 恒过定点，定点坐标为(0,2). …………14分2、解：（Ⅰ）设00(,)P x y ，则2200132x y +=． 所以直线PA 与PB 的斜率乘积为22000022000062233(3)333y y y x x x x x -⨯===---+-．……4分 （Ⅱ）依题直线,OM ON 的斜率乘积为23-． ①当直线MN 的斜率不存在时，直线,OM ON 的斜率为63±，设直线OM 的方程是63y x =，由22236,6,3x y y x ⎧+=⎪⎨=⎪⎩得62x =±，1y =±． 取6(,1)2M ，则6(,1)2N -．所以OMN ∆的面积为62． ②当直线MN 的斜率存在时,设直线MN 的方程是y kx m =+,由22,2360y kx m x y =+⎧⎨+-=⎩得222(32)6360k x kmx m +++-=．因为M ，N 在椭圆C 上，所以2222364(32)(36)0k m k m ∆=-+->，解得22320k m -+>．设11(,)M x y ,22(,)N x y ,则122632kmx x k +=-+，21223632m x x k -=+．22222121222636(1)[()4](1)[()4]3232km m MN k x x x x k k k --=++-=+-⨯++222226(1)(32)2(32)k k m k +-+=+． 设点O 到直线MN 的距离为d ，则21m d k =+．所以OMN ∆的面积为2222216(32)2(32)OMNm k m S d MN k ∆-+=⨯⨯=+⋅⋅⋅⋅⋅⋅①． 因为//OM PA ,//ON PB ，直线OM ,ON 的斜率乘积为23-，所以121223y y x x =-．所以2212121212121212()()()y y kx m kx m k x x km x x m x x x x x x +++++==2222636m k m -=-． 由222262363m k m -=--，得22322k m +=．⋅⋅⋅⋅⋅⋅② 由①②，得2222222246(32)6(2)6(32)42OMNm k m m m m S k m ∆-+-===+．综上所述，62OMN S ∆=． …………………………………13分 3、解：（Ⅰ）将1x =代入22142x y +=，解得62y =±，所以||6AB =．[2分] 当M 为椭圆C 的顶点()2,0-时，M 到直线1x =的距离取得最大值3，[4分]所以△MAB 面积的最大值是362．[5分] （Ⅱ）设,A B 两点坐标分别为(),A t n ，(),B t n -，从而2224t n +=．[6分]设()00,M x y ，则有220024x y +=，0x t ≠，0y n ≠±．[7分]直线MA 的方程为00()y ny n x t x t--=--，[8分] 令0y =，得000ty nx x y n -=-，从而000ty nx OE y n-=-．[9分]直线MB 的方程为00()y ny n x t x t++=--，[10分] 令0y =，得000ty nx x y n +=+，从而000ty nx OF y n+=+．[11分]所以000000=ty nx ty nx OE OF y n y n -+⋅⋅-+222200220=t y n x y n--()()222202204242=n y n y y n ----[13分]22022044=y n y n -- =4．所以OE OF ⋅为定值．[14分]4、解：（Ⅰ）由题意得222212.a c a a b c =⎧⎪⎪=⎨⎪⎪=+⎩，，解得3b =．所以椭圆C 的方程为22143x y +=． ……………………………5分 （Ⅱ）设112233(,),(,),(,)A x y B x y Q x y ． 因为点P 在直线AO 上且满足||3||PO OA =， 所以11(3,3)P x y ． 因为,,B Q P 三点共线， 所以BP BQ λ=．所以12123232(3,3)(,)x x y y x x y y λ--=--，123212323(),3().x x x x y y y y λλ-=-⎧⎨-=-⎩ 解得31231231,31.x x x y y y λλλλλλ-⎧=+⎪⎪⎨-⎪=+⎪⎩因为点Q 在椭圆C 上，所以2233143x y +=．所以2212123131()()143x x y y λλλλλλ--+++=．即22222112212122296(1)()()()()1434343x y x y x x y y λλλλλ--+++-+=1， 因为,A B 在椭圆C 上，所以2211143x y +=，2222143x y +=．因为直线,OA OB 的斜率之积为34-， 所以121234y y x x ⋅=-，即1212043x x y y +=．所以2291()1λλλ-+=，解得5λ=． 所以||||5||BP BQ λ==． ……………………………14分 5、解：（Ⅰ）把点(1,2)A 代入抛物线C 的方程22y px =，得42p =，解得2p =，所以抛物线C 的方程为24y x =. ……………….4分 （Ⅱ）因为2p =，所以直线2p x =-为1x =-，焦点F 的坐标为(1,0) 设直线PQ 的方程为1x ty =+，211(,)4y P y ，222(,)4y Q y ， 则直线OP 的方程为14y x y =,直线OQ 的方程为24y x y =. ……………….5分 由14,1,y x y x ⎧=⎪⎨⎪=-⎩得14(1,)S y --，同理得24(1,)T y --． ……………….7分 所以14(2,)FS y =--uu r ，24(2,)FT y =--uu u r ，则12164FS FT y y ⋅=+uu r uu u r ． ……………….9分 由21,4,x ty y x =+⎧⎨=⎩得2440y ty --=，所以124y y =-， ……………….11分 则164(4)FS FT ⋅=+-uu r uu u r 440=-=． 所以，FS FT ⋅uu r uu u r 的值是定值，且定值为0. ……………….13分6、解：（Ⅰ）由已知2,b =由点(3,1)B 在椭圆G 上可得29114a +=， 解得212,23a a ==. 所以2228,22c abc =-==，所以椭圆G 的离心率是6.3c e a == （Ⅱ）法1： 因为以BC 为直径的圆经过点A ，所以AB AC ⊥，由斜率公式和(0,2),(3,1)A B 可得13AB k =-， 所以3Ac k =，设直线AC 的方程为32y x =+. 由2232,1124y x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得2790x x +=， 由题设条件可得90,7A C x x ==-， 所以913()77C -,-， 所以直线BC 的方程为213y x =-. 法2：因为以BC 为直径的圆经过点A ，所以AB AC ⊥，由斜率公式和(0,2),(3,1)A B 可得13AB k =-， 所以3Ac k =，设C C C x y （，） ,则23C Ac Cy k x -==，即32C C y x =+① 由点C 在椭圆上可得221124C C x y +=② 将①代入②得2790C C x x +=，因为点C 不同于点A ，所以97C x =-， 所以913()77C -,-， 所以直线BC 的方程为213y x =-. 法3：当直线l 过点B 且斜率不存在时，可得点(3,1)C -，不满足条件.设直线BC 的方程为1(3)y k x -=-，点C C C x y （，）由2213,1124y kx k x y =+-⎧⎪⎨+=⎪⎩可得222(31)6(13)3(13)120k x k k x k ++-+--=， 显然0∆>，此方程两个根是点B C 和点的横坐标， 所以223(13)12331C k x k --=+，即22(13)4,31C k x k --=+ 所以22361,31C k k y k --+=+ 因为以BC 为直径的圆经过点A ，所以AB AC ⊥，即0AB AC ⋅=.（此处用1AB AC k k ⋅=-亦可）2222963961(3,1)(,)3131k k k k AB AC k k -----⋅=-⋅=++2236128031k k k --=+， 即(32)(31)0k k -+=，1221,,33k k ==- 当213k =-时，即直线AB ,与已知点C 不同于点A 矛盾， 所以12,3BC k k == 所以直线BC 的方程为213y x =-. 7、解：（Ⅰ）因为点（2,0）在椭圆C 上，所以2a =． 又因为32c e a ==，所以3c =，221b a c =-=． 所以椭圆C 的标准方程为：2214x y +=． ……………………5分 （Ⅱ）设112222(,),(,),(,),(,0)A x y B x y B x y Q n '-．设直线AB ：(1)(0)y k x k =-≠． ……………………6分联立22(1)440y k x x y =-+-=和，得：2222(14)8440k x k x k +-+-=． 所以2122814k x x k +=+，21224414k x x k -=+． ……………8分 直线AB '的方程为121112()y y y y x x x x +-=--， ……………9分令0y =，解得112122111212()y x x x y x y n x y y y y -+=-+=++ ………11分 又1122(1),(1)y k x y k x =-=-， 所以121212()42x x x x n x x -+==+-． 所以直线B A '与x 轴的交点Q 是定点，坐标为(4,0)Q ．………13分8、解：（Ⅰ）由点3(1,)2P 在椭圆上得，221914a b+=① 11,22c e a ==又所以② 由①②得2221,4,3c a b ===， 故椭圆C 的标准方程为22143x y +=……………….4分 （Ⅱ）椭圆右焦点坐标F (1,0)，显然直线AB 斜率存在，设,AB k AB 的斜率为则直线的方程为(1)y k x =-③…………….5分 代入椭圆方程22143x y +=， 整理得2222(43)84(3)0k x k x k +-+-= ……………….6分设1122(,),(,)A x y B x y ， 则有2212122284(3),4343k k x x x x k k -+==++④ ……………….7分 在方程③中，令4x =得，(4,3)M k ，从而2121213322,,11y y k k x x --==-- 33312412k k k -==--，……………….9分 又因为B F A 、、共线，则有BF AF k k k ==， 即有k x y x y =-=-112211所以=+21k k =--+--1231232211x y x y )1111(2311212211-+---+-x x x y x y =2k -121212232()1x x x x x x +--++⑤ 将④代入⑤得=+21k k 322k -12134834)3(42348222222-=++-+--+k k k k k k k ，……………….12分又213-=k k ， 所以=+21k k 32k ，即132,,k k k 成等差数列.……………….13分。

北京西城8中2017届高三上12月月考数学【理】试题(含解析)

北京西城8中2017届高三上12月月考数学【理】试题(含解析)

2016-2017学年度第一学期高三数学12月练习一、选择题（本大题共8道小题，每小题5分，共40分）1．如图，在复平面内，点A 对应的复数为z ，则复数2z =（ ）．A ．34i --B ．54i +C ．54i -D ．34i -【答案】D【解析】由题意2i z =-+，所以222(2i)4i 4i=34i z =-+=+--．故选D ．2．当向量(2,2)a c ==-，(1,0)b =时，执行如图所示的程序框图，输出的i 值为（ ）．A ．5B ．4C ．3D ．2【答案】B【解析】i 0=时， 22(2)28a c ⋅=-+=，i 1=时，(2)(1)226a c ⋅=-⨯-+⨯=，i 2=时，(2)0224a c ⋅=-⨯+⨯=，i 3=时，(2)1222a c ⋅=-⨯+⨯=， i 4=时，(2)2220a c ⋅=-⨯+⨯=，此时0a c ⋅=，所以输出i 4=．故选B ．3．数列{}n a 的前n 项和n S ，若121(2)n n S S n n --=-≥，且23S =，则13a a +的值为（ ）． A ．1B ．3C ．5D ．6【答案】C【解析】∵121(2)n n S S n n --=-≥，且23S =，∴10S =，38S =，∴10a =，23a =，35a =，135a a +=．故选C ．4．”0x >”是”sin 0x x +>”的（ ）． A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】令()sin f x x x =+，则()1cos 0f x x '=+≥， ∴()f x 单调递增，且(0)0f =，∴“0x >”是”sin 0x x +>”的必要条件．故选C ．5．已知抛物线2:8C y x =的焦点为F ，准线与x 轴的交点为K ，点A 在C上且||||AK AF =，则AFK △的面积为（ ）． A ．4 B ．8C ．16D ．32【答案】B【解析】∵抛物线2:8C y x =的焦点为(2,0)F ，准线为2x =-，∴(2,0)k -， 设00(,)A x y ，过点A 向准线作垂线AB ，垂足为B ，则0(2,)B y -，∵AK =，又00(2)2AF AB x x ==--=+，∴由222BK AK AB =-，则2200(2)y x =+， 即2008(2)x x =+，解得(2,4)A ±，∴AFK △的面积为01144822KF y ⋅=⨯⨯=．故选B ．6．如图，点O 为坐标原点，点(1,1)A ，若函数2y a =（0a >，且1a ≠）及log b y x =（0b >，且1b ≠）的图象与线段OA 分别交于点M ，N ，且M ，N 恰好是线段OA 的两个三等分点，则a ，b 满足（ ）．A ．1a b <<B ．1b a <<C ．1b a >>D ．1a b >>【答案】A【解析】由图象可以知道，函数均为减函数， 所以01a <<，01b <<，∵点D 为坐标原点，点(1,1)A ，∴直线OA 为y x =， ∵x y a =经过点M ，则它的反函数log a y x =也经过点M ， 又∵log b y x =（0b >，且0b ≠）的图象经过点N ， 根据对数函数的图象和性质可知：a b <， ∴1a b <<．故选A ．7．已知11,1,()ln ,01,x f x x x x ⎧-⎪=⎨⎪<<⎩≥若函数()()g x f x kx k =-+只有一个零点，则k 的取值范围是（ ）．A ．(,1)(1,)-∞-+∞B ．(1,1)-C ．[0,1]D ．(,1][0,1]-∞-【答案】D【解析】根据题意可得函数()y f x =的图象和直线(1)y k x =-只有一个交点， 直线(1)y k x =-经过定点(1,0)，斜率为k ，当01x <<，1()1f x x '->，当1x ≥时，21()[1,0)f x x'=-∈-，如图所示，故(,1][0,1]k ∈-∞-．故选D ．y=18．已知点A 在曲线2:(0)P y x x =>上，⊙A 过原点O ，且与y 轴的另一个交点为M ，若线段OM ，⊙A 和曲线P 上分别存在点B 、点C 和点D ，使得四边形ABCD （点A ，B ，C ，D 顺时针排列）是正方形，则称点A 为曲线P 的“完美点”．那么下列结论中正确的是（ ）． A ．曲线P 上不存在”完美点”B ．曲线P 上只存在一个“完美点”，其横坐标大于1C ．曲线P 上只存在一个“完美点”，其横坐标大于12且小于1 D ．曲线P 上存在两个“完美点”，其横坐标均大于12【答案】B【解析】如图1，如果点A 为“完美点”则有AB AD AC ===，以A 为半径作圆（如图2中虚线圆）交y 轴于B ，B '（可重合），交抛物线于点D ，D '当且仅当AB AD ⊥时，在圆A 上总存在点C ，使得AC 为BAD ∠的角平分线，即45BAC DAC ==︒∠∠，利用余弦定理可求得此时2BC CD ==，即四边形ABCD 是正方形，即点A 为“完美点”，如图，结合图象可知，点B 一定是上方的交点，否则在抛物线上不存在D 使得AB AD ⊥，D 也一定是上方的点，否则，A ，B ，C ，D 不是顺时针，再考虑当点A 横坐标越来越大时，BAD ∠的变化情况：设2(,)A m m ，当1m <时，45AOy >︒∠，此时圆与y 轴相离，此时点A 不是“完美点”，故只需要考虑1m ≥，当m 增加时，BAD ∠越来越小，且趋近于0︒，而当1m =时，90BAD >︒∠；故曲线P 上存在唯一一个“完美点”其横坐标大于1．故选B ．2二、填空题共6小题，每小题5分，共30分9．若双曲线221y x m+=的一条渐近线的倾斜角为60︒，则m =__________．【答案】3-【解析】由题意可知双曲线的渐近线方程为y =， ∵其中一条渐近线的倾斜是60︒，，故3m =-．10．在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若4c =，sin 2sin C A =，sin B ，则a =__________，ABC S =△__________． 【答案】2；【解析】∵sin 2sin C A =，由正弦定理可得：2c a =， ∴4c =，2a =，∴11sin 2422ABC S ac B ==⨯⨯=△．11．已知直线1:(2)20l ax a y +++=，2:10l x ay ++=．若12l l ∥，则实数a =__________．【答案】1-【解析】若12l l ∥，则(2)1a a a ⨯=+⨯，且121a ⨯≠⨯，解得1a =-．12．若直线2y x =上存在点(,)x y 满足约束条件30,230,,x y x y x m +-⎧⎪--⎨⎪⎩≤≤≥则实数m 的取值范围为__________．【答案】1m ≤【解析】由题意230y xx y =⎧⎨+-=⎩，可求得交点坐标为(1,2)，如图所示，要使直线2y x =上存在点(,)x y 满足约束条件，则1m ≤．y 3=013．如图，线段2AB =，点A ，B 分别在x 轴和y 轴的非负半轴上运动，以AB 为一边，在第一象限内作矩形ABCD ，1BC =．设O 为原点，则OC OD ⋅的取值范围是__________．【答案】[1,3]【解析】令OAB θ=∠，则(2cos sin ,cos )D θθθ+，(sin ,cos 2sin )C θθθ+， (sin ,cos 2sin )OC θθθ=+，(2cos sin ,cos )OD θθθ=+，∴(2cos sin ,cos )(sin ,cos 2sin )OC OD θθθθθθ⋅=+⋅+ 2sin21θ=+，∵sin 2[0,1]θ∈，∴OC OD ⋅的取值范围是[1,3]．14．对于函数()y f x =，若在其定义域内存在0x ，使得00()1x f x =成立，则称函数()f x 具有性质P ． （1）下列函数中具有性质P 的有__________． ①()2f x x =-+②()sin ([0,2π])f x x x =∈③1(),((0,))f x x x x-+∈+∞ ④()ln(1)f x x =+（2）若函数()ln f x a x =具有性质P ，则实数a 的取值范围是__________．【答案】（1）①②④（2）0a >或e a -≤ 【解析】（1）在0x ≠时，1()f x x-有解，即函数具有性质P ， ①令12x-+，即2210x -+-=， ∵880∆=-=，方程有一个非0实根，故()2f x x =-+具有性质P ． ②()sin ([0,2π])f x x x =∈的图象与1y x =有交点，故1sin x x=有解， 故()sin ([0,2π])f x x x =∈具有性质P ．③令11x x x+=，此方程无解， 故1()f x x x=+，((0,))x ∈+∞不具有性质P ．④()ln(1)f x x =+的图象与1y x =的图象有交点，故1ln(1)x x+=有解，故()ln(1)f x x =+具有性质P ． 综上所述，具有性质P 的函数有：①②④．（2）()ln f x a x =具有性质P ，显然0a ≠，方程1ln x x a=有根， ∵()ln g x x x =的值域为1,e ⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭，∴11e a -≥，解得0a >或e a -≤．三、解答题共6小题，共80分，解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．15．（本小题满分13分）函数π()cos(π)02f x x ϕϕ⎛⎫=+<< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示．（Ⅰ）写出ϕ及图中0x 的值．（Ⅱ）设1()()3g x f x f x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，求函数()g x 在区间11,23⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值．【答案】见解析【解析】（Ⅰ）∵图象过点⎛ ⎝⎭，∴cos ϕ， 又π02ϕ<<，∴π6ϕ=，由0πcos π6x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭02x k =或0123x k =-+，k z ∈，又()f x 的周期为2，结合图象知002x <<，∴053x =．（Ⅱ）由题意可得11ππcos πcos πsin π3362f x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++=+=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，∴1πππ()cos πsin πcos πcos sin πsin sin π3666f x f x x x x x x ⎛⎫⎛⎫++=+-=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭13πsin πsin ππsin π22x x x x x =--=-ππ3x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，∵11,23x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，∴ππ2ππ633x -+≤≤，∴当ππ03x +=，即13x =-时，()f x当π2ππ33x +=，即13x =时，()g x取得最小值．16．（本小题满分13分）甲、乙两人进行射击比赛，各射击4局，每局射击10次，射击命中目标得1分，未命中目标得0分，两人4局的得分情况如下：（Ⅰ）若从甲的4局比赛中，随机选取（Ⅱ）如果7x y -=，从甲、乙两人的4局比赛中随机各选取1局，记这2局的得分和为x ，求x 的分布列和数学期望．（Ⅲ）在4局比赛中，若甲、乙两人的平均得分相同，且乙的发挥更稳定，写出x 的所有可能取值．（结论不要求证明） 【答案】见解析【解析】（Ⅰ）由已知可得从甲的4局的比赛中，随机选取2局的情况有24C 6=种， 得分恰好相等的有2种，所以这2局的得分恰好相等的概率为2163=． （Ⅱ）当7x y ==时，x 的可能取值有13，15，16，18，所以11231144C C 3(13)C C 8P X ===，121144C 1(15)C C 8P X ===，11231144C C 3(16)C C 8P X ===，121144C 1(18)C C 8P X ===，所以X 的分布列为：3131()13151618158888E X =⨯+⨯+⨯+⨯=．（Ⅲ）x 的可能值为6，7，8．17．（本小题满分13分）如图，在四棱锥P ABCD -中，PB ⊥底面ABCD ，底面ABCD 为梯形，AD BC ∥，AD AB ⊥，且3PB AB AD ===，1BC =．（Ⅰ）若点F 为PD 上一点且13PF PD =，证明：CF ∥平面PAB ．（Ⅱ）求二面角B PD A --的大小．（Ⅲ）在线段PD 上是否存在一点M ，使得CM PA ⊥？若存在，求出PM 的长；若不存在，说明理由．PF DBCA【答案】见解析【解析】（Ⅰ）证明：过点F 作FH AD ∥， 交PA 于H ，连结BH ，如图所示，∵13PF PD =，∴13HF AD BC ==，又FH AD ∥，AD BC ∥，HF BC ∥，∴四边形BCFH 为平行四边形， ∴CF BH ∥，又BH ⊄平面PAB ，CF ⊄平面PAB ， ∴CF ∥平面PAB ．D（Ⅱ）解：∵梯形ABCD 中，AD BC ∥，AD AB ⊥， ∴BC AB ⊥， ∵PB ⊥平面ABCD ， ∴PB AB ⊥，PB BC ⊥，∴如图，以B 为原点，BC ，BA ，BP所在直线为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系， 则(1,0,0)C ，(3,0,0)D ，(0,3,0)A ，(0,0,3)P ， 设平面BPD 的一个法向量为(,,)n x y z =，平面APD 的一个法向量为(,,)m a b c =， ∵(3,3,3)PD =-，(0,0,3)BP =， ∴00PD n BP n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即333030x y z z +-=⎧⎨=⎩，令1x =得(1,1,0)n =-，同理可得(0,1,1)m =， ∴1cos ,2||||n m n m n m ⋅<>==-⋅，∵二面角B PD A --为锐角， ∴二面角B PD A --为π3． （Ⅲ）假设存在点M 满足题意，设(3,3,3)PM PD λλλλ=-， ∴(13,3,33)CM CP PD λλλλ=+=-+-，∵(0,3,3)PA =-，∴93(33)0PA CM λλ⋅=+-=，解得12λ=，∴PD 上存在点M 使得CM PA ⊥，且12PM PD ==18．（本小题满分13分）已知函数2()(2)ln f x x a x a x =-++（a 为实常数）． （Ⅰ）若1x =为()f x 的极值点，求实数a 的取值范围． （Ⅱ）讨论函数()f x 在[1,e]上的单调性．（Ⅲ）若存在[1,e]x ∈，使得()0f x ≤成立，求实数a 的取值范围． 【答案】见解析【解析】（Ⅰ）22(2)(1)(2)()2(2)a x a x a x x a f x x a x x x-++--'=-++==，∵1x =为()f x 的极值点，∴12a≠，2a ≠． （Ⅱ）∵(2)(1)()x a x f x a--'=，[1,e]x ∈，当12a≤，即2a ≤时，[1,e]x ∈，()0f x '≥， 此时，()f x 在[1,e]上单调增，当1e 2a <<即22e a <<时，1,2a x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时， ()0f x '<，,e 2a x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '>，故()f x 在1,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在,e 2a ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，当e 2a≥即2e a ≥时，[1,e]x ∈，()0f x '≤， 此时，()f x 在[1,e]上单调递减．（Ⅲ）当2a ≤时，∵()f x 在[1,e]上单调递增， ∴()f x 的最小值为(1)1f a =--， ∴12a -≤≤，当22e a <<时，()f x 在1,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在,e 2a ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，∴()f x 的最小值为2ln ln 124224a a a a a f a a a ⎛⎫⎛⎫=--+=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∵22e a <<， ∴0ln12a <<，3e11242a <+<+， ∴ln 10224a a a f a ⎛⎫⎛⎫=--< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴22e a <<．当2e a ≥时，()f x 在[1,e]上单调递减， ∴()f x 的最小值为2(e)e (2)e f a a =-++，∵2e 2e2e e 1a ->-≥，(e)0f <，∴2e a ≥，综上可得：1a -≥． 19．（本小题满分14分）已知椭圆的中心在坐标原点O ，焦点在x 轴上，短轴长为2，且两个焦点和短轴的两个端点恰为一个正方形的顶点，过右焦点F 与x 轴不垂直的直线交椭圆于P ，Q 两点． （Ⅰ）求椭圆的方程．（Ⅱ）当直线l 的斜率为1时，求POQ △的面积．（Ⅲ）在线段OF 上是否存在点(,0)M m ，使得经MP ，MQ 为领边的平行四边形是菱形？若存在，求出m 的取值范围；若不存在，请说明理由． 【答案】见解析【解析】（Ⅰ）由已知，椭圆方程可设为22221(0)x y a b a b +=>>，∵两个焦点和短轴的两个端点恰为正方形的顶点，且短轴长为2，∴1b c ==，a =故所求椭圆方程为2212x y +=．（Ⅱ）右焦点(1,0)F ，直线l 的方程为1y x =-，设11(,)P x y ，22(,)Q x y ， 由22221x y y x ⎧+=⎨=-⎩得，23210y y +-=，解得11y =-，213y =，∴1212112||||||223DOQ S OF y y y y =⋅-=-=△． （Ⅲ）假设在线段OF 上存在点(,0)(01)M m m <<，使得以MP ，MQ 为邻边的平行四边形建菱形，因为直线与x 轴不垂直，所以设直线l 的方程为(1)(0)y k x k =-≠，由22221x y y kx ⎧+=⎨=-⎩可得：2222(12)4220k x k x k +-+-=， ∴2122412k x x k +=+，21222212k x x k -=+，11(,)MP x m y =-，22(,)MQ x m y =-，2121(,)PQ x x y y =--，其中210x x -≠，以MP 、MQ 为邻边的平行四边形是菱形()MP MQ PQ ⇔+⊥， ∴()0MP MQ PQ +⋅=，即12211221(2)()()()0x x m x x y y y y +-+++-=， ∴1212(2)()0x x m k y y +-++=，∴22222442201212k k m k k k ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭，化简得222(24)0k k m -+=， ∴22(0)12k m k k =≠+， ∴102m <<．20．（本小题满分14分） 设函数21()51623f x x x =++，L 为曲线:()C y f x =在点11,12⎛⎫- ⎪⎝⎭处的切线． （Ⅰ）求L 的方程．（Ⅱ）当15x <-时，证明：除切点11,12⎛⎫- ⎪⎝⎭之外，曲线C 在直线L 的下方．（Ⅲ）设1x ，2x ，3x ∈R ，且满足1233x x x ++=-，求123()()()f x f x f x ++的最大值． 【答案】见解析【解析】解：（Ⅰ）221016()(51623)x f x x x +'=++，∴1(1)24f '-=-， ∴L 的方程为11(1)1224y x -=-+， 即112424y x =-+． （Ⅱ）要证除切点11,12⎛⎫- ⎪⎝⎭之外，曲线C 在直线L 的下方，只需要证明1(,1)1,5x ⎛⎫∀∈-∞--- ⎪⎝⎭，2111516232424x x x <-+++恒成立， ∵2516230x x ++>， ∴只需要证明1(,1)1,5x ⎛⎫∀∈-∞--- ⎪⎝⎭，32511710x x x +++<恒成立， 令321()511715g x x x x x ⎛⎫=+++- ⎪⎝⎭≤，则()(1)(157)g x x x '=++，令()0g x '>，则1x <-或715x >-，令()0g x '<，则7115x -<<-， ∴()g x 在(,1)-∞-上单调递增，在71,15⎛⎫-- ⎪⎝⎭上单调递减，在71,155⎛⎫-- ⎪⎝⎭上单调递增，且(1)0f -=，105f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭， ∴1(,1)1,5x ⎛⎫∀∈-∞--- ⎪⎝⎭，32511710x x x +++<恒成立， 即当15x <-时，除切点11,12⎛⎫- ⎪⎝⎭之外，曲线C 在直线L 的下方．（Ⅲ）①当115x <-，215x >-，且315x <-时，由（2）可知：112111()516232424f x x x x =-+++≤，222111()516232424f x x x x =-+++≤，332111()516232424f x x x x =-+++≤，三式相加，得12312311()()()()248f x f x f x x x x +-++++≤，∵1233x x x ++=-，∴1231()()()4f x f x f x ++≤，当且仅当1231x x x ===-时取等号．②当1x ，2x ，2x 中至少有一个大于等于15-时，不妨设115x -≥，222111851185151623552055555x x x ⎛⎫⎛⎫++=++-++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭≥，∵2222285151516235555x x x ⎛⎫++=++ ⎪⎝⎭≥，233385151516235555x x x ⎛⎫++=++ ⎪⎝⎭≥，∴1231551()()()2051514f x f x f x ++++<≤， 综上所述，当1231x x x ===-时，123()()()f x f x f x ++取到最大值14．。

北京市西城区44中2017届高三上学期12月月考数学(理)试题Word版含解析

北京市西城区44中2017届高三上学期12月月考数学(理)试题Word版含解析

北京市西城44 中 2018 届高三 12 月月考数学（理）试题一、选择题本大题共 8 道小题。

1. 会合，，那么“”是“”的（）．A. 充足而不用要条件B. 必需而不充足条件C. 充要条件D. 既不充足也不用要条件【答案】 A【分析】∵会合，，∴，∴“”是“”的充足而不用要条件．选．2. 已知点在抛物线上，且点到的准线的距离与点到轴的距离相等，则的值为（）．A. B. C.D.【答案】 B【分析】试题剖析：因为点 P 到 W 的准线的距离与点P 到 x 轴的距离相等，所以点是抛物线通径的一个端点，所以，应选 B.考点：抛物线的定义、标准方程及几何性质；【名师点睛】此题考察抛物线的定义、标准方程及几何性质；中档题；抛物线是一种重要的圆锥曲线，在高考取，常常以抛物线为载体与直线、圆综合考察，主要考察抛物线的定义、标准方程及几何性质、直线与抛物线的综合应用，点到直线的距离问题.3. 平面向量与的夹角为，，，则（）．A. B. C. D.【答案】 C【分析】∵与的夹角为，，，∴，∴．选．4. 已知正方形的棱长为，，分别是边，的中点，点是上的动点，过点，，的平面与棱交于点，设，平行四边形的面积为，设，则对于的函数的分析式为（）．A. B.C. D.【答案】 A【分析】试题剖析：依据题意，因为平面所以平面，且平面所以，四边形为平行四边形，同时，平面平面平面，直线平面，所以，所以四边形,，为菱形，其面积是：KS5U...KS5U...KS5U...KS5U...KS5U...KS5U...KS5U...KS5U...KS5U...，所以，答案为A．考点： 1．线面平行的性质定理；2．菱形的面积公式．5.已知，为两条直线，，为两个平面，给定以下四个命题：①，；②，；③，；④，．此中不正确的选项是（）．A. 个B. 个C. 个D. 个【答案】 D【分析】对于①，若，，则或，故①错误；对于②，若，，则或，故②错误；对于③，若，，则或，故③错误；对于④，若，，则或，故④错误．综上不正确的有个．选．6. 已知函数（，，均为正的常数）的最小正周期为，当时，函数获得最小值，则以下结论正确的选项是（）．A. B.C. D.【答案】 A【分析】∵函数的最小正周期为，∴，∵当时，函数获得最小值，∴，∴，∴，∴在上单一递减，∵，，，又，∴，即．选．点睛：此题考察了函数分析式的求法及其性质，判断函数值大小的要点是怎样将变量转变到函数的同一个单一区间内，在获得函数分析式的基础上，将问题的要点转变为怎样找寻一个适合的单一区间，在解题中获得，后，将问题转变到区间上办理即可。

2017西城区高三(上)期末数学(理科)

2017西城区高三(上)期末数学(理科)

2017西城区高三（上）期末数学（理科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．（5分）已知集合A={x|0＜x＜2}，B={x|x2﹣1≤0}，那么A∪B=（）A．{x|0＜x≤1}B．{x|﹣1≤x＜2}C．{x|﹣1≤x＜0}D．{x|1≤x＜2}2．（5分）下列函数中，定义域为R的奇函数是（）A．y=x2+1 B．y=tanx C．y=2x D．y=x+sinx3．（5分）已知双曲线x2﹣=1（b＞0）的一个焦点是（2，0），则其渐近线的方程为（）A．x±y=0 B．x±y=0 C．x±3y=0 D．3x±y=04．（5分）在极坐标系中，已知点P（2，），则过点P且平行于极轴的直线的方程是（）A．ρsinθ=1B．ρsinθ=C．ρcosθ=1 D．ρcosθ=5．（5分）某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥的四个侧面的面积中最大的是（）A．3 B．C．6 D．6．（5分）设，是非零向量，且≠±．则“||=||”是“（）⊥（）”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件7．（5分）实数x，y满足若z=ax+y的最大值为3a+9，最小值为3a﹣3，则a的取值范围是（）A．[﹣1，0]B．[0，1]C．[﹣1，1]D．（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞）8．（5分）在空间直角坐标系O﹣xyz中．正四面体P﹣ABC的顶点A，B分别在x轴，y轴上移动．若该正四面体的棱长是2，则|OP|的取值范围是（）A．[﹣1，+1]B．[1，3]C．[﹣1，2]D．[1，+1]二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9．（5分）复数等于．10．（5分）设等比数列{a n}的各项均为正数，其前S n项和为a1=1，a3=4，则a n=；S6=．11．（5分）执行如图所示的程序框图，输出的S值为．12．（5分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．若c=3，C=，sinB=2sinA，则a=．13．（5分）设函数f（x）=，其中a＞0①若a=3，则f[f（9）]=；②若函数y=f（x）﹣2有两个零点，则a的取值范围是．14．（5分）10名象棋选手进行单循环赛（即每两名选手比赛一场）．规定两人对局胜者得2分，平局各得1分，负者得0分，并按总得分由高到低进行排序．比赛结束后，10名选手的得分各不相同，且第二名的得分是最后五名选手得分之和的．则第二名选手的得分是．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）已知函数f（x）=sin（2ωx﹣）+2cos2ωx﹣1（ω＞0）的最小正周期为π（Ⅰ）求ω的值；（Ⅱ）求f（x）在区间[0，]上的最大值和最小值．16．（14分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AD∥BC，∠BAD=90°，PA=PD，AB⊥PA，AD=2，AB=BC=1（Ⅰ）求证：平面PAD⊥平面ABCD（Ⅱ）若E为PD的中点，求证：CE∥平面PAB（Ⅲ）若DC与平面PAB所成的角为30°，求四棱锥P﹣ABCD的体积．17．（13分）手机完全充满电量，在开机不使用的状态下，电池靠自身消耗一直到出现低电量警告之间所能维持的时间称为手机的待机时间．为了解A，B两个不同型号手机的待机时间，现从某卖场库存手机中随机抽取A，B两个型号的手机各7台，在相同条件下进行测试，统计结果如下：手机编号1234567A型待机时间（h）120125122124124123123B型待机时间（h）118123127120124a b其中，a，b是正整数，且a＜b（Ⅰ）该卖场有56台A型手机，试估计其中待机时间不少于123小时的台数；（Ⅱ）从A型号被测试的7台手机中随机抽取4台，记待机时间大于123小时的台数为X，求X 的分布列；（Ⅲ）设A，B两个型号被测试手机待机时间的平均值相等，当B型号被测试手机待机时间的方差最小时，写出a，b的值（结论不要求证明）．18．（13分）已知函数f（x）=lnx﹣a•sin（x﹣1），其中a∈R．（Ⅰ）如果曲线y=f（x）在x=1处的切线的斜率是﹣1，求a的值；（Ⅱ）如果f（x）在区间（0，1）上为增函数，求a的取值范围．19．（14分）已知直线l：x=t与椭圆C：=1相交于A，B两点，M是椭圆C上一点（Ⅰ）当t=1时，求△MAB面积的最大值；（Ⅱ）设直线MA和MB与x轴分别相交于点E，F，O为原点．证明：|OE|•|OF|为定值．20．（13分）数字1，2，3，…，n（n≥2）的任意一个排列记作（a1，a2，…，a n），设S n为所有这样的排列构成的集合．集合A n={（a1，a2，…，a n）∈S n|任意整数i，j，1≤i＜j≤n，都有a i+i≤a j﹣j}；集合B n={（a1，a2，…，a n}∈S n|任意整数i，j，1≤i＜n，都有a i+i≤a j+j}．（Ⅰ）用列举法表示集合A3，B3（Ⅱ）求集合A n∩B n的元素个数；（Ⅲ）记集合B n的元素个数为b n．证明：数列{b n}是等比数列．参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．【解答】∵集合A={x|0＜x＜2}，B={x|x2﹣1≤0}={x|﹣1≤x≤1}，∴A∪B={﹣1≤x＜2}．故选：B．2．【解答】A．y=x2+1是偶函数，不满足条件．B．y=tanx是奇函数，但函数的定义域不是R，不满足条件．C．y=2x为增函数，为非奇非偶函数，不满足条件．D．y=x+sinx是奇函数，满足条件．故选：D3．【解答】由题意可得c=2，即1+b2=4，解得b=，可得渐近线方程为y=±x．故选B．4．【解答】∵点P（2，）的直角坐标为（，1），此点到x轴的距离为1，故经过此点到x轴的距离为1的直线的方程是y=1，故过点P且平行于极轴的直线的方程是ρsinθ=1，故选A．5．【解答】由三视图得几何体是四棱锥P﹣ABCD，如图所示：且PE⊥平面ABCD，底面ABCD是矩形，AB=4、AD=2，面PDC是等腰三角形，PD=PC=3，则△PDC的高为=，所以△PDC的面积为：×4×=2，因为PE⊥平面ABCD，所以PE⊥BC，又CB⊥CD，PE∩CD=E，所以BC⊥面PDC，即BC⊥PC，同理可证AD⊥PD，则两个侧面△PAD、△PBC的面积都为：×2×3=3，侧面△PAB的面积为：×4×=6，所以四棱锥P﹣ABCD的四个侧面中面积最大是：6，故选C．6．【解答】若“（）⊥（）”，则“（）•（）=0，即“||2=||2”，即||=||，反之当||=||，则（）•（）=||2﹣||2=0，即（）⊥（），故“||=||”是“（）⊥（）”的充要条件，故选：C7．【解答】作出不等式组对应的平面区域如图：由z=ax+y得y=﹣ax+z，∵z=ax+y的最大值为3a+9，最小值为3a﹣3，∴当直线y=﹣ax+z经过点B（3，9）时直线截距最大，当经过点A（3，﹣3）时，直线截距最小．则直线y=﹣ax+z的斜率﹣a满足，﹣1≤﹣a≤1，即﹣1≤a≤1，故选：C8．【解答】如图所示，若固定正四面体P﹣ABC的位置，则原点O在以AB为直径的球面上运动，设AB的中点为M，则PM==；所以原点O到点P的最近距离等于PM减去球M的半径，最大距离是PM加上球M的半径；所以﹣1≤|OP|≤+1，即|OP|的取值范围是[﹣1，+1]．故选：A．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9．【解答】复数===i．故答案为：i．10．【解答】设正数等比数列{a n}的公比为q＞0，∵a1=1，a3=4，∴q2=4，q＞0，解得q=2．则a n=2n﹣1．S6==63．故答案为：2n﹣1；63．11．【解答】模拟程序的运行，可得k=1，S=1满足条件k≤3，执行循环体，S=1，k=2满足条件k≤3，执行循环体，S=0，k=3满足条件k≤3，执行循环体，S=﹣3，k=4不满足条件k≤3，退出循环，输出S的值为﹣3．故答案为：﹣3．12．【解答】△ABC中，∵c=3，C=，sinB=2sinA，∴由正弦定理可得b=2a．再由余弦定理可得c2=a2+b2﹣2ab•cosC，即9=a2+4a2﹣2a•2a•cos，求得a=，故答案为：．13．【解答】①当a=3时，f（9）=log39=2，∴f（2）=，∴f[f（9）]=，②分别画出y=f（x）与y=﹣2的图象，如图所示，函数y=f（x）﹣2有两个零点，结合图象可得4≤a＜9，故a的取值范围是[4，9）故答案为：，[4，9）14．【解答】每个队需要进行9场比赛，则全胜的队得：9×2=18（分），而最后五队之间赛10场，至少共得：10×2=20（分），所以第二名的队得分至少为20×=16（分）．故答案是：16三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15．【解答】（Ⅰ）因为f（x）=sin（2ωx﹣）+2cos2ωx﹣1=sin2ωxcos﹣cos2ωxsin+cos2ωx=sin2ωx+cos2ωx=sin（2ωx+），所以f（x）的最小正周期T=，解得ω=1．（Ⅱ）由（Ⅰ）得f（x）=sin（2x+），因为0≤x≤，所以≤2x+≤，所以，当2x+=，即x=时，f（x）取得最大值为1；当2x+=，即x=时，f（x）取得最小值为﹣．16．【解答】证明：（Ⅰ）因为∠BAD=90°，所以AB⊥AD，（1分）又因为AB⊥PA，所以AB⊥平面PAD．（3分）所以平面PAD⊥平面ABCD．（4分）解：（Ⅱ）取PA的中点F，连接BF，EF．（5分）因为E为PD的中点，所以EF∥AD，，又因为BC∥AD，，所以BC∥EF，BC=EF．所以四边形BCEG是平行四边形，EC∥BF．（7分）又BF⊂平面PAB，CE⊄平面PAB，所以CE∥平面PAB．（8分）（Ⅲ）过P作PO⊥AD于O，连接OC．因为PA=PD，所以O为AD中点，又因为平面PAD⊥平面ABCD，所以PO⊥平面ABCD．如图建立空间直角坐标系O﹣xyz．（9分）设PO=a．由题意得，A（0，1，0），B（1，1，0），C（1，0，0），D（0，﹣1，0），P（0，0，a）．所以=（1，0，0），=（0，1，﹣a），=（1，1，0）．设平面PCD的法向量为=（x，y，z），则，令z=1，则y=a．所以=（0，a，1）．（11分）因为DC与平面PAB所成角为30°，所以|cos＜＞|===sin30°=，解得a=1．（13分）所以四棱锥P﹣ABCD的体积．（14分）17．【解答】（Ⅰ）被检测的7台手机中有5台的待机时间不少于123小时，因此，估计56台A型手机中有台手机的待机时间不少于123小时．（Ⅱ）X可能的取值为0，1，2，3，；；；．所以，X 的分布列为：X0123P（Ⅲ）若A，B两个型号被测试手机的待机时间的平均值相等，当B型号被测试手机的待机时间的方差最小时，a=124，b=125．18．【解答】（Ⅰ）函数f（x）的定义域是（0，+∞），[（1分）]导函数为．[（2分）]因为曲线y=f（x）在x=1处的切线的斜率是﹣1，所以f'（1）=﹣1，即1﹣a=﹣1，[（3分）]所以a=2．[（4分）]（Ⅱ）因为f（x）在区间（0，1）上为增函数，所以对任意x∈（0，1），都有．[（6分）]因为x∈（0，1）时，cos（x﹣1）＞0，所以．[（8分）]令g（x）=x•cos（x﹣1），所以g'（x）=cos（x﹣1）﹣x•sin（x﹣1）．[（10分）]因为x∈（0，1）时，sin（x﹣1）＜0，所以x∈（0，1）时，g'（x）＞0，g（x）在区间（0，1）上单调递增，所以g（x）＜g（1）=1．[（12分）]所以a≤1．即a的取值范围是（﹣∞，1]．[（13分）]19．【解答】（Ⅰ）当t=1时，将x=1代入，解得：，∴．[（2分）]当M为椭圆C的顶点（﹣2，0）时，M到直线x=1的距离取得最大值3，[（4分）]∴△MAB面积的最大值是．[（5分）]（Ⅱ）设A，B两点坐标分别为A（t，n），B（t，﹣n），从而t2+2n2=4．[（6分）]设M（x0，y0），则有，x0≠t，y0≠±n．[（7分）]直线MA的方程为，[（8分）]令y=0，得，从而．[（9分）]直线MB的方程为，[（10分）]令y=0，得，从而．[（11分）]所以=，=，[（13分）]==4．∴|OE|•|OF|为定值．[（14分）]20．【解答】（Ⅰ）A3={（1，2，3）}，B3={（1，2，3），（1，3，2），（2，1，3），（3，2，1）}．（Ⅱ）考虑集合A n中的元素（a1，a2，a3，…，a n）．由已知，对任意整数i，j，1≤i＜j≤n，都有a i﹣i≤a j﹣j，所以（a i﹣i）+i＜（a j﹣j）+j，所以a i＜a j．由i，j的任意性可知，（a1，a2，a3，…，a n）是1，2，3，…，n的单调递增排列，所以A n={（1，2，3，…，n）}．又因为当a k=k（k∈N*，1≤k≤n）时，对任意整数i，j，1≤i＜j≤n，都有a i+i≤a j+j．所以（1，2，3，…，n）∈B n，所以A n⊆B n．所以集合A n∩B n的元素个数为1．（Ⅲ）由（Ⅱ）知，b n≠0．因为B2={（1，2），（2，1）}，所以b2=2．当n≥3时，考虑B n中的元素（a1，a2，a3，…，a n）．（1）假设a k=n（1≤k＜n）．由已知，a k+k≤a k+1+（k+1），所以a k≥a k+k﹣（k+1）=n﹣1，+1≤n﹣1，所以a k+1=n﹣1．又因为a k+1依此类推，若a k=n，则a k+1=n﹣1，a k+2=n﹣2，…，a n=k．①若k=1，则满足条件的1，2，3，…，n的排列（a1，a2，a3，…，a n）有1个．②若k=2，则a2=n，a3=n﹣1，a4=n﹣2，…，a n=2．所以a1=1．此时满足条件的1，2，3，…，n的排列（a1，a2，a3，…，a n）有1个．③若2＜k＜n，只要（a1，a2，a3，…a k﹣1）是1，2，3，…，k﹣1的满足条件的一个排列，就可以相应得到1，2，3，…，n的一个满足条件的排列．此时，满足条件的1，2，3，…，n的排列（a1，a2，a3，…，a n）有b k﹣1个．（2）假设a n=n，只需（a1，a2，a3，…a n﹣1）是1，2，3，…，n﹣1的满足条件的排列，此时满足条件的1，2，3，…，n的排列（a1，a2，a3，…，a n）有b n﹣1个．综上b n=1+1+b2+b3+…+b n﹣1，n≥3．因为b3=1+1+b2=4=2b2，且当n≥4时，b n=（1+1+b2+b3+…+b n﹣2）+b n﹣1=2b n﹣1，所以对任意n∈N*，n≥3，都有．所以{b n}成等比数列．。

2017届高北京西城重点学校三上学期12月月考数学(理)试题(解析版)

2017届高北京西城重点学校三上学期12月月考数学(理)试题(解析版)

2017届高北京西城重点学校三上学期12月月考数学（理）试题（解析版）一、选择题（本大题共8道小题，每小题5分，共40分）1．如图，在复平面内，点A 对应的复数为z ，则复数2z =（ ）．A ．34i --B ．54i +C ．54i -D ．34i -【答案】D【解析】由题意2i z =-+，所以222(2i)4i 4i=34i z =-+=+--．故选D ．2．当向量(2,2)a c ==-，(1,0)b =时，执行如图所示的程序框图，输出的i 值为（ ）．A ．5B ．4C ．3D ．2【答案】B【解析】i 0=时， 22(2)28a c ⋅=-+=，i 1=时，(2)(1)226a c ⋅=-⨯-+⨯=，i 2=时，(2)0224a c ⋅=-⨯+⨯=，i 3=时，(2)1222a c ⋅=-⨯+⨯=， i 4=时，(2)2220a c ⋅=-⨯+⨯=，此时0a c ⋅=，所以输出i 4=．故选B ．3．数列{}n a 的前n 项和n S ，若121(2)n n S S n n --=-≥，且23S =，则13a a +的值为（ ）． A ．1 B ．3 C ．5 D ．6【答案】C【解析】∵121(2)n n S S n n --=-≥，且23S =，∴10S =，38S =，∴10a =，23a =，35a =，135a a +=．故选C ．4．”0x >”是”sin 0x x +>”的（ ）． A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】令()sin f x x x =+，则()1cos 0f x x '=+≥， ∴()f x 单调递增，且(0)0f =，∴“0x >”是”sin 0x x +>”的必要条件．故选C ．5．已知抛物线2:8C y x =的焦点为F ，准线与x 轴的交点为K ，点A 在C上且|||AK AF ，则AFK △的面积为（ ）． A ．4 B ．8 C ．16 D ．32【答案】B【解析】∵抛物线2:8C y x =的焦点为(2,0)F ，准线为2x =-，∴(2,0)k -， 设00(,)A x y ，过点A 向准线作垂线AB ，垂足为B ，则0(2,)B y -，∵AK ，又00(2)2AF AB x x ==--=+，∴由222BK AK AB =-，则2200(2)y x =+， 即2008(2)x x =+，解得(2,4)A ±，∴AFK △的面积为01144822KF y ⋅=⨯⨯=．故选B ．6．如图，点O 为坐标原点，点(1,1)A ，若函数2y a =（0a >，且1a ≠）及log b y x =（0b >，且1b ≠）的图象与线段OA 分别交于点M ，N ，且M ，N 恰好是线段OA 的两个三等分点，则a ，b 满足（ ）．A ．1a b <<B ．1b a <<C ．1b a >>D ．1a b >>【答案】A【解析】由图象可以知道，函数均为减函数， 所以01a <<，01b <<，∵点D 为坐标原点，点(1,1)A ，∴直线OA 为y x =，∵x y a =经过点M ，则它的反函数log a y x =也经过点M ， 又∵log b y x =（0b >，且0b ≠）的图象经过点N ， 根据对数函数的图象和性质可知：a b <， ∴1a b <<．故选A ．7．已知11,1,()ln ,01,x f x x x x ⎧-⎪=⎨⎪<<⎩≥若函数()()g x f x kx k =-+只有一个零点，则k 的取值范围是（ ）．A ．(,1)(1,)-∞-+∞B ．(1,1)-C ．[0,1]D ．(,1][0,1]-∞- 【答案】D【解析】根据题意可得函数()y f x =的图象和直线(1)y k x =-只有一个交点， 直线(1)y k x =-经过定点(1,0)，斜率为k ，当01x <<，1()1f x x '->，当1x ≥时，21()[1,0)f x x'=-∈-，如图所示，故(,1][0,1]k ∈-∞-．故选D ．y=18．已知点A 在曲线2:(0)P y x x =>上，⊙A 过原点O ，且与y 轴的另一个交点为M ，若线段OM ，⊙A 和曲线P 上分别存在点B 、点C 和点D ，使得四边形ABCD （点A ，B ，C ，D 顺时针排列）是正方形，则称点A 为曲线P 的“完美点”．那么下列结论中正确的是（ ）． A ．曲线P 上不存在”完美点”B ．曲线P 上只存在一个“完美点”，其横坐标大于1C ．曲线P 上只存在一个“完美点”，其横坐标大于12且小于1 D ．曲线P 上存在两个“完美点”，其横坐标均大于12【答案】B【解析】如图1，如果点A 为“完美点”则有AB AD ==，以A 为半径作圆（如图2中虚线圆）交y 轴于B ，B '（可重合），交抛物线于点D ，D '当且仅当AB AD ⊥时，在圆A 上总存在点C ，使得AC 为BAD ∠的角平分线，即45BAC DAC ==︒∠∠，利用余弦定理可求得此时BC CD ==，即四边形ABCD 是正方形，即点A 为“完美点”，如图，结合图象可知，点B 一定是上方的交点，否则在抛物线上不存在D 使得AB AD ⊥，D 也一定是上方的点，否则，A ，B ，C ，D 不是顺时针，再考虑当点A 横坐标越来越大时，BAD ∠的变化情况：设2(,)A m m ，当1m <时，45AOy >︒∠，此时圆与y 轴相离，此时点A 不是“完美点”，故只需要考虑1m ≥，当m 增加时，BAD ∠越来越小，且趋近于0︒，而当1m =时，90BAD >︒∠；故曲线P 上存在唯一一个“完美点”其横坐标大于1．故选B ．2二、填空题共6小题，每小题5分，共30分9．若双曲线221y x m+=的一条渐近线的倾斜角为60︒，则m =__________．【答案】3-【解析】由题意可知双曲线的渐近线方程为y =， ∵其中一条渐近线的倾斜是60︒，，故3m =-．10．在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若4c =，sin 2sin C A =，sin B =，则a =__________，ABC S =△__________．【答案】2【解析】∵sin 2sin C A =，由正弦定理可得：2c a =， ∴4c =，2a =，∴11sin 2422ABC S ac B ==⨯⨯=△11．已知直线1:(2)20l ax a y +++=，2:10l x ay ++=．若12l l ∥，则实数a =__________． 【答案】1-【解析】若12l l ∥，则(2)1a a a ⨯=+⨯，且121a ⨯≠⨯，解得1a =-．12．若直线2y x =上存在点(,)x y 满足约束条件30,230,,x y x y x m +-⎧⎪--⎨⎪⎩≤≤≥则实数m 的取值范围为__________．【答案】1m ≤【解析】由题意230y xx y =⎧⎨+-=⎩，可求得交点坐标为(1,2)，如图所示，要使直线2y x =上存在点(,)x y 满足约束条件，则1m ≤．y 3=013．如图，线段2AB =，点A ，B 分别在x 轴和y 轴的非负半轴上运动，以AB 为一边，在第一象限内作矩形ABCD ，1BC =．设O 为原点，则OC OD ⋅的取值范围是__________．【答案】[1,3]【解析】令OAB θ=∠，则(2cos sin ,cos )D θθθ+，(sin ,cos 2sin )C θθθ+，(sin ,cos 2sin )OC θθθ=+，(2cos sin ,cos )OD θθθ=+，∴(2cos sin ,cos )(sin ,cos 2sin )OC OD θθθθθθ⋅=+⋅+2sin 21θ=+，∵sin 2[0,1]θ∈，∴OC OD ⋅的取值范围是[1,3]．14．对于函数()y f x =，若在其定义域内存在0x ，使得00()1x f x =成立，则称函数()f x 具有性质P ． （1）下列函数中具有性质P的有__________． ①()2f x x =-+②()sin ([0,2π])f x x x =∈③1(),((0,))f x x x x-+∈+∞ ④()ln(1)f x x =+（2）若函数()ln f x a x =具有性质P ，则实数a 的取值范围是__________．【答案】（1）①②④（2）0a >或e a -≤ 【解析】（1）在0x ≠时，1()f x x-有解，即函数具有性质P ， ①令12x-+=，即2210x -+-=， ∵880∆=-=，方程有一个非0实根，故()2f x x =-+P ． ②()sin ([0,2π])f x x x =∈的图象与1y x =有交点，故1sin x x=有解， 故()sin ([0,2π])f x x x =∈具有性质P ．③令11x x x+=，此方程无解， 故1()f x x x=+，((0,))x ∈+∞不具有性质P ．④()ln(1)f x x =+的图象与1y x =的图象有交点，故1ln(1)x x+=有解，故()ln(1)f x x =+具有性质P ．综上所述，具有性质P 的函数有：①②④．（2）()ln f x a x =具有性质P ，显然0a ≠，方程1ln x x a=有根， ∵()ln g x x x =的值域为1,e ⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭，∴11e a -≥，解得0a >或e a -≤．三、解答题共6小题，共80分，解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．15．（本小题满分13分）函数π()cos(π)02f x x ϕϕ⎛⎫=+<< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示．（Ⅰ）写出ϕ及图中0x 的值．（Ⅱ）设1()()3g x f x f x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，求函数()g x 在区间11,23⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值．【答案】见解析【解析】（Ⅰ）∵图象过点⎛ ⎝⎭，∴cos ϕ=， 又π02ϕ<<，∴π6ϕ=，由0πcos π6x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭02x k =或0123x k =-+，k z ∈，又()f x 的周期为2，结合图象知002x <<，∴053x =． （Ⅱ）由题意可得11ππcos πcos πsin π3362f x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++=+=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，∴1πππ()cos πsin πcos πcos sin πsin sin π3666f x f x x x x x x ⎛⎫⎛⎫++=+-=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭13πsin πsin ππsin π22x x x x x =--=-ππ3x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，∵11,23x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，∴ππ2ππ633x -+≤≤，∴当ππ03x +=，即13x =-时，()f x当π2ππ33x +=，即13x =时，()g x取得最小值．16．（本小题满分13分）甲、乙两人进行射击比赛，各射击4局，每局射击10次，射击命中目标得1分，未命中目标得0分，两人4局的得分情况如下：（Ⅰ）若从甲的4局比赛中，随机选取2（Ⅱ）如果7x y -=，从甲、乙两人的4局比赛中随机各选取1局，记这2局的得分和为x ，求x 的分布列和数学期望．（Ⅲ）在4局比赛中，若甲、乙两人的平均得分相同，且乙的发挥更稳定，写出x 的所有可能取值．（结论不要求证明） 【答案】见解析【解析】（Ⅰ）由已知可得从甲的4局的比赛中，随机选取2局的情况有24C 6=种， 得分恰好相等的有2种，所以这2局的得分恰好相等的概率为2163=． （Ⅱ）当7x y ==时，x 的可能取值有13，15，16，18，所以11231144C C 3(13)C C 8P X ===，121144C 1(15)C C 8P X ===，11231144C C 3(16)C C 8P X ===，121144C 1(18)C C 8P X ===，所以X 的分布列为：3131()13151618158888E X =⨯+⨯+⨯+⨯=．（Ⅲ）x 的可能值为6，7，8． 17．（本小题满分13分）如图，在四棱锥P ABCD -中，PB ⊥底面A B C D ，底面A B C D 为梯形，AD BC ∥，AD AB ⊥，且3P B A B A D ===，1BC =．（Ⅰ）若点F 为PD 上一点且13PF PD =，证明：CF ∥平面PAB ．（Ⅱ）求二面角B PD A --的大小．（Ⅲ）在线段PD 上是否存在一点M ，使得CM PA ⊥？若存在，求出PM 的长；若不存在，说明理由．PF DBCA【答案】见解析【解析】（Ⅰ）证明：过点F 作FH AD ∥， 交PA 于H ，连结BH ，如图所示，∵13PF PD =，∴13HF AD BC ==，又FH AD ∥，AD BC ∥，HF BC ∥， ∴四边形BCFH 为平行四边形， ∴CF BH ∥，又BH ⊄平面PAB ，CF ⊄平面PAB ， ∴CF ∥平面PAB ．z D（Ⅱ）解：∵梯形ABCD 中，AD BC ∥，AD AB ⊥， ∴BC AB ⊥， ∵PB ⊥平面ABCD ， ∴PB AB ⊥，PB BC ⊥，∴如图，以B 为原点，BC ，BA ，BP所在直线为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系， 则(1,0,0)C ，(3,0,0)D ，(0,3,0)A ，(0,0,3)P ， 设平面BPD 的一个法向量为(,,)n x y z =， 平面APD 的一个法向量为(,,)m a b c =， ∵(3,3,3)PD =-，(0,0,3)BP =，∴00PD n BP n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即333030x y z z +-=⎧⎨=⎩，令1x =得(1,1,0)n =-，同理可得(0,1,1)m =， ∴1cos ,2||||n m n m n m ⋅<>==-⋅，∵二面角B PD A --为锐角， ∴二面角B PD A --为π3． （Ⅲ）假设存在点M 满足题意，设(3,3,3)PM PD λλλλ=-， ∴(13,3,33)CM CP PD λλλλ=+=-+-，∵(0,3,3)PA =-，∴93(33)0PA CM λλ⋅=+-=，解得12λ=，∴PD 上存在点M 使得CM PA ⊥，且12PM PD ==． 18．（本小题满分13分）已知函数2()(2)ln f x x a x a x =-++（a 为实常数）． （Ⅰ）若1x =为()f x 的极值点，求实数a 的取值范围． （Ⅱ）讨论函数()f x 在[1,e]上的单调性．（Ⅲ）若存在[1,e]x ∈，使得()0f x ≤成立，求实数a 的取值范围． 【答案】见解析【解析】（Ⅰ）22(2)(1)(2)()2(2)a x a x a x x a f x x a x x x-++--'=-++==，∵1x =为()f x 的极值点，∴12a≠，2a ≠． （Ⅱ）∵(2)(1)()x a x f x a--'=，[1,e]x ∈，当12a≤，即2a ≤时，[1,e]x ∈，()0f x '≥， 此时，()f x 在[1,e]上单调增，当1e 2a<<即22e a <<时，1,2a x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '<，,e 2a x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '>，故()f x 在1,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在,e 2a ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，当e 2a≥即2e a ≥时，[1,e]x ∈，()0f x '≤， 此时，()f x 在[1,e]上单调递减．（Ⅲ）当2a ≤时，∵()f x 在[1,e]上单调递增， ∴()f x 的最小值为(1)1f a =--， ∴12a -≤≤，当22e a <<时，()f x 在1,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在,e 2a ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，∴()f x 的最小值为2ln ln 124224a a a a a f a a a ⎛⎫⎛⎫=--+=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∵22e a <<， ∴0ln12a <<，3e11242a <+<+， ∴ln 10224a a a f a ⎛⎫⎛⎫=--< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴22e a <<．当2e a ≥时，()f x 在[1,e]上单调递减， ∴()f x 的最小值为2(e)e (2)e f a a =-++，∵2e 2e2e e 1a ->-≥，(e)0f <，∴2e a ≥，综上可得：1a -≥． 19．（本小题满分14分）已知椭圆的中心在坐标原点O ，焦点在x 轴上，短轴长为2，且两个焦点和短轴的两个端点恰为一个正方形的顶点，过右焦点F 与x 轴不垂直的直线交椭圆于P ，Q 两点． （Ⅰ）求椭圆的方程．（Ⅱ）当直线l 的斜率为1时，求POQ △的面积．（Ⅲ）在线段OF 上是否存在点(,0)M m ，使得经MP ，MQ 为领边的平行四边形是菱形？若存在，求出m 的取值范围；若不存在，请说明理由． 【答案】见解析【解析】（Ⅰ）由已知，椭圆方程可设为22221(0)x y a b a b+=>>，∵两个焦点和短轴的两个端点恰为正方形的顶点，且短轴长为2，∴1b c ==，a =故所求椭圆方程为2212x y +=．（Ⅱ）右焦点(1,0)F ，直线l 的方程为1y x =-，设11(,)P x y ，22(,)Q x y ，由22221x y y x ⎧+=⎨=-⎩得，23210y y +-=，解得11y =-，213y =，∴1212112||||||223DOQ S OF y y y y =⋅-=-=△． （Ⅲ）假设在线段OF 上存在点(,0)(01)M m m <<，使得以MP ，MQ 为邻边的平行四边形建菱形，因为直线与x 轴不垂直，所以设直线l 的方程为(1)(0)y k x k =-≠，由22221x y y kx ⎧+=⎨=-⎩可得：2222(12)4220k x k x k +-+-=， ∴2122412k x x k +=+，21222212k x x k-=+， 11(,)MP x m y =-，22(,)MQ x m y =-，2121(,)PQ x x y y =--，其中210x x -≠，以MP 、MQ 为邻边的平行四边形是菱形()MP MQ PQ ⇔+⊥，∴()0MP MQ PQ +⋅=，即12211221(2)()()()0x x m x x y y y y +-+++-=， ∴1212(2)()0x x m k y y +-++=， ∴22222442201212k k m k k k ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭，化简得222(24)0k k m -+=， ∴22(0)12k m k k =≠+， ∴102m <<．20．（本小题满分14分） 设函数21()51623f x x x =++，L 为曲线:()C y f x =在点11,12⎛⎫- ⎪⎝⎭处的切线． （Ⅰ）求L 的方程． （Ⅱ）当15x <-时，证明：除切点11,12⎛⎫- ⎪⎝⎭之外，曲线C 在直线L 的下方． （Ⅲ）设1x ，2x ，3x ∈R ，且满足1233x x x ++=-，求123()()()f x f x f x ++的最大值．【答案】见解析【解析】解：（Ⅰ）221016()(51623)x f x x x +'=++，∴1(1)24f '-=-， ∴L 的方程为11(1)1224y x -=-+， 即112424y x =-+． （Ⅱ）要证除切点11,12⎛⎫- ⎪⎝⎭之外，曲线C 在直线L 的下方， 只需要证明1(,1)1,5x ⎛⎫∀∈-∞--- ⎪⎝⎭，2111516232424x x x <-+++恒成立， ∵2516230x x ++>，∴只需要证明1(,1)1,5x ⎛⎫∀∈-∞--- ⎪⎝⎭，32511710x x x +++<恒成立， 令321()511715g x x x x x ⎛⎫=+++- ⎪⎝⎭≤，则()(1)(157)g x x x '=++， 令()0g x '>，则1x <-或715x >-，令()0g x '<，则7115x -<<-， ∴()g x 在(,1)-∞-上单调递增，在71,15⎛⎫-- ⎪⎝⎭上单调递减， 在71,155⎛⎫-- ⎪⎝⎭上单调递增，且(1)0f -=，105f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭， ∴1(,1)1,5x ⎛⎫∀∈-∞--- ⎪⎝⎭，32511710x x x +++<恒成立， 即当15x <-时，除切点11,12⎛⎫- ⎪⎝⎭之外，曲线C 在直线L 的下方． （Ⅲ）①当115x <-，215x >-，且315x <-时，由（2）可知：112111()516232424f x x x x =-+++≤， 222111()516232424f x x x x =-+++≤， 332111()516232424f x x x x =-+++≤， 三式相加，得12312311()()()()248f x f x f x x x x +-++++≤， ∵1233x x x ++=-，∴1231()()()4f x f x f x ++≤， 当且仅当1231x x x ===-时取等号． ②当1x ，2x ，2x 中至少有一个大于等于15-时，不妨设115x -≥， 222111851185151623552055555x x x ⎛⎫⎛⎫++=++-++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭≥， ∵2222285151516235555x x x ⎛⎫++=++ ⎪⎝⎭≥， 233385151516235555x x x ⎛⎫++=++ ⎪⎝⎭≥， ∴1231551()()()2051514f x f x f x ++++<≤， 综上所述，当1231x x x ===-时，123()()()f x f x f x ++取到最大值14．。

北京西城北师大实验2017届高三上12月月考数学(理)试题

北京西城北师大实验2017届高三上12月月考数学(理)试题

北京师范大学附属实验中学12月高三月考试题数学（理科）第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选中符合题目要求的一项1．已知全集U =R ，集合{}2|1A x x =≥，则U A =ð（ ）． A ．(,1)-∞B ．(1,1)-C ．(1,)+∞D ．(,1)(1,)-∞-+∞【答案】B【解析】解：∵集合{}{2|1|1A x x x x ==-≥≤或}1x ≥， ∴{}|11U A x x =-<<ð． 故选B ．2．在平面直角坐标系xOy 中，已知(0,0)O ，(0,1)A ，B ，则OA OB ⋅的值为（ ）．A ．1B 1CD 1【答案】B【解析】解：=(0,1)OA，(11)OB = ，∴1OA OB ⋅．故选B ．3．已知数列{}n a 的前n 项和122n n S +=-，则3a =（ ）．A ．1-B ．2-C ．4-D ．8-【答案】D【解析】解：4334332(22)(22)228a S S =-=---=-=-． 故选D ．4．为了得到函数sin cos y x x =+的图像，只需把sin cos y x x =-的图像上所有的点（ ）． A ．向左平移π4个单位长度 B ．向右平移π4个单位长度C ．向左平移π2个单位长度D ．向右平移π2个单位长度 【答案】C【解析】解：由πsin cos 4y x x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，πsin cos 4y x x x ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，因此，为了得到sin cos y x x =+的图像，只需将sin cos y x x =-的图像上所有的点向左平移π2个单位长度． 故选C ．5．“0t ≥”是“函数2()f x x tx t =+-在(,)-∞+∞内存在零点”的（ ）． A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】解：当函数2()f x x tx t =+-在(,)-∞+∞内存在零点时，有240t t ∆=+≥， 即4t -≤或0t ≥，所以“0t ≥” 是“函数2()f x x tx t =+-在(,)-∞+∞内存在零点”的充分而不必要体条件． 故选A ．6．已知函数1,0()1,0x f x x -<⎧=⎨⎩≥，则不等式(1)xf x -≤1的解集为（ ）．A ．[1,)-+∞B ．(,1]-∞C ．[1,2]D ．[1,1]-【答案】D【解析】解：∵1,0()1,0x f x x -<⎧=⎨⎩≥，∴1,1(1)1,1x f x x -<⎧-=⎨⎩≥，当1x ≥时，(1)11xf x x -⇔≤≤， ∴1x =，当1x <时，(1)111xf x x x -⇔-⇔-≤≤≥， ∴11x -<≤，综上所述，(1)1xf x -≤的解集为[1,1]-． 故选D ．7．已知直线:1()l y kx k k =+-∈R ，若存在实数k ，使直线l 与曲线C 交于两点A 、B ，且||||AB k =，则称曲线C 具有性质P ，给定下列三条曲线方程：①|1|y x =--；②222210x y x y +--+=； ③2y x =．其中，具有性质P 的曲线的序号是（ ）．A ．①②B ．②C ．③D ．②③【答案】D【解析】解：①．|1|y x =--与直线l 至多一个交点，故①不具性质P ．②．222210x y x y +--+=，圆心为(1,1)，半径为1，直线1y kx k =+-过定点(1,1)， 故存在2k =±，使直线l 与曲线C 交于A 、B 两点，且||AB k =，具有性质P ． ③2y x =过点(1,1)，直线:1l y kx k =+-过定点(1,1)，故存在k ，使得直线l 与曲线C 交于A 、B 两点，且||||AB k =，具有性质P ． 综上，具有性质P 的曲线的序号是②③． 故选D ．8．甲、乙、丙、丁、戊五人出差，分别住在1、2、3、4、5号房间，现已知： （1）甲与乙不是邻居； （2）乙的房号比丁小； （3）丙住的房是双数； （4）甲的房号比戊大3．根据上述条件，丁住的房号是（ ）．A ．2号B ．3号C ．4号D ．5号【答案】B【解析】解：根据题意可知，1、2、3、4、5号房间分别住的是乙、戊、丁、丙、甲，故丁住的房号是3． 故选B ．第Ⅱ卷（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分9．设a ∈R ，若复数(1i)(+i)a +在复平面内对应的点位于实轴上，则a =__________． 【答案】1-【解析】解：复数(1i)(+i)=(1)(+1)i a a a +-， 因为该复数在复平面内对应的点在数轴上， 所以10a +=． 故1a =-．10．设2log 3a =，4log 6b =，6log 9c =，则a 、b 、c 从大到小的顺序为__________． 【答案】a b c >>【解析】解：2log 3a =，4221log 6log 6log 2b ===∴a b >，8221log 9log 9log 3c ===∴b a >， ∴a b c >>．11．在ABC △中，点M 为边AB 的中点，若OP OM ∥，且(0)OP xOA yOB x =+≠，则yx=__________． 【答案】1【解析】解：∵M 是AB 的中点， ∴1()2OM OA OB =+ ，又∵1()2OP OM OA OB xOA yOB λλ==+=+ ，∴12x λ=，12y λ=，∴1yx=．12．双曲线22:12x C y -=的离心率为__________；若椭圆2221(0)x y a a+=>与双曲线C 有相同的焦点，则a =__________．2 【解析】解：∵双曲线22:12x C y -=，∴焦点坐标为(，，双曲线的离心率e ==， ∵椭圆的焦点与双曲线的焦点相同， ∴213a -=， ∴2a =．13．已知点(2,)P t 在不等式组4030x y x y --⎧⎨+-⎩≤≤，表示的平面区域内，则点(2,)P t 到直线34100x y ++=距离的最大值为__________．【答案】4【解析】解：∵点(2,)P t 在不等式组4030x y x y --⎧⎨+-⎩≤≤，表示的平面区域内，∴240230t t --⎧⎨+-⎩≤≤，解得21t -≤≤，点P 到直线34100x y ++=的距离|164|5t d +=，(21)t -≤≤， 当1t =时，点P 到直线34100x y ++=的距离最大，max 4d =．14．设a ∈R ，定义x 为不小于实数x 的最小整数（如π4=，π3-=-），若n ∈Z ，则满足n a n +=的实数a 的取值范围是__________；若a ∈R ，则方程13122x x +=-的根为__________． 【答案】(,0]-∞；4- 【解析】∵n a n +=， ∴n n a +≥，故0a ≤，设122x k -=∈Z ，则214k x +=，233114k x k ++=++，∴原方程等价于2314k +⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦， 即23214k +-<-≤，从而11722k -<-≤， ∴5k =-或4-，相应的x 为94-，74-，故所有实根之和为97444⎛⎫-+-=- ⎪⎝⎭．三、解答题：本大题共6小题，共80分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15．已知函数2π()2sin cos 22f x x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭．（Ⅰ）求π8f ⎛⎫⎪⎝⎭的值．（Ⅱ）求函数()f x 的最小正周期及单调递减区间． 【答案】见解析【解析】解：（Ⅰ）函数2π()2sin cos 22f x x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭1cos 2sin 2x x =-+π214x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，∴πππ211884f ⎛⎫⎛⎫=⨯-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．（Ⅱ）由（Ⅰ）可得：π()214f x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，∴()f x 的最小正周期2ππ2T ==， 令ππ3π2π22π242k x k +-+≤≤，则3π5πππ88k x k +=≤≤，k ∈Z ， ∴函数()f x 的单调递减区间为3π5ππ,π88k k ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦，()k ∈Z ．16．在ABC △中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，设π3A =，sin 3sinBC =．（Ⅰ）若a b 的值． （Ⅱ）求tan C 的值． 【答案】见解析【解析】解：（Ⅰ）∵sin 3sin B C =， ∴由正弦定理可得：3b c =，由余弦定理可得：2222cos a b c bc A =+-，π3A =，a ∴227b c bc =+-，∴222733b bb ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭，解得3b =． （Ⅱ）∵π3A =，∴2π3B C =-， ∴2πsin 3sin 3C C ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，1sin 3sin 2C C C +=，5sin 2C C =，∴tan C17．已知定圆22:(3)4C x y +-=，定直线:360m x y ++=，过(1,0)A -的一条动直线l 与直线m 相交于N ，与圆C 相交于P ，Q 两点，M 是PQ 中点． （Ⅰ）当l 与m 垂直时，求证：l 过圆心C ．（Ⅱ）当||PQ =l 的方程．（Ⅲ）设t AM AN =⋅，试问t 是否为定值，若为定值，请求出t 的值；若不为定值，请说明理由． 【答案】见解析【解析】解：（Ⅰ）由已知13m k =-，故3l k =，∴直线l 的方程为3(1)y x =+，将圆心(0,3)C 代入方程3(1)y x =+成立， 故l 过圆心C ．（Ⅱ）当直线l 与x 轴垂直时，易知1x =-符合题意， 当直线l 与x 轴不垂直时，设直线l 的方程为(1)y k x =+，∴||PQ = ∴||1CM =，1=，解得43k =，此时，4(1)3y x =+，即4340x y -+=，故直线l 的方程为1x =-或4340x y -+=．（Ⅲ）当l 与x 轴垂直时，易得(1,3)M -，51,3N ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，又(1,0)A -，则(0,3)AM = ，50,3AN ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ ，故5AM AN ⋅=-，即5t =-，当l 的斜率存在时，设直线l 的方程为(1)y k x =+，代入圆的的方程得：2222(1)(26)650k x k k x k k ++-+-+=，则2122261k k x x k -++=+，2122321M x x k k x k +-+==+，223(1)1M M k ky k x k +=+=+， 即222233,11k k k k M k k ⎛⎫-++ ⎪++⎝⎭，222313,11k k k AM k k ⎛⎫++= ⎪++⎝⎭， 又由(1)360y k x x y =+⎧⎨++=⎩得365,1313k k N k k ---⎛⎫⎪++⎝⎭， 则55,1313k AN k k --⎛⎫= ⎪++⎝⎭ ， 故t AM AN =⋅2221555(3)(1)(13)(1)(13)k k k k k k k k ---+=+++++ 225(13)(1)(13)(1)k k k k -++=++ 5=-，综上所述，t 的值为定值，且5t =-．18．已知函数21()4f x x =+，1()ln(2e )2g x x =．（Ⅰ）求函数()()y f x g x =-的最小值．（Ⅱ）是否存在一次函数()h x ，使得对于(0,)x ∀∈+∞，总有()()f x h x ≥，且()()h x g x ≥成立？若存在，求出()h x 的表达式；若不存在，说明理由． 【答案】见解析【解析】解：（Ⅰ）()()y f x g x =-的定义域为{}|0x x >，211()()ln(2e )42y x g x x x =-=+-，2141222x y x x x-'=-=， 易知102x <<时，0y '<，12x >时，0y '>，∴()()y f x g x =-在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，∴当12x =时，()()y f x g x =-取得最小值为0． （Ⅱ）由（Ⅰ）知，1118222f ⎛⎫== ⎪⎝⎭，所以1122h ⎛⎫= ⎪⎝⎭，故可证1()22kh x kx =+-，代入()()f x h x ≥，得21024k x kx -+-≥恒成立， ∴2(1)0k ∆=-≤， ∴1k =，()h x x =，设1()ln(2e )2G x x x =-，则1()12G x x '=-，当102x <<时，()0G x '<，当12x >时，()0G x '>， ∴()G x 在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，∴1()02G x G ⎛⎫= ⎪⎝⎭≥，即()()h x g x ≥对一切0x >恒成立，综上，存在一次函数()h x ，使得对于(0,)x ∀∈+∞，总有()()f x h x ≥， 且()()h x g x ≥，()h x x =．19．已知椭圆2222:1x y C a b+=过点(2,0)A ，(0,1)B 两点．（Ⅰ）求椭圆C 的方程及离心率．（Ⅱ）设P 为第三个象限内一点且在椭圆C 上，直线PA 与y 轴交于点M ，直线PB 与x 轴交于点N ，求证：四边形ABNM 的面积为定值． 【答案】见解析【解析】解：（Ⅰ）∵椭圆2222:1x y C a b+=，过点(2,0)A ，(0,1)B 两点，∴2a =，1b =，c =∴椭圆C 的标准方程为2214x y +=，离心率c e a ==． （Ⅱ）设P 点坐标为0000(,)(0,0)x y x y <<，则直线PB 的方程为0011y y x x --=⋅， N 点坐标为00,01x y ⎛⎫⎪-⎝⎭，直线PA 的方程为00(2)2yy x x =--，M 点坐标为0020,2y x ⎛⎫ ⎪-⎝⎭，则001221ABN x S y ⎛⎫=- ⎪-⎝⎭△，0000212212MNA x y S y x ⎛⎫=⋅⋅ ⎪--⎝⎭△， 所以ABNM ABN MNA S S S =+△△△00002121212x y y x ⎛⎫⎛⎫=-+ ⎪⎪--⎝⎭⎝⎭ 20000(22)12(1)(2)x y y x +-=⋅-- 220000000000444481222x y x x y y x y x y ++-+-=⋅--+①， 又∵220014x y +=，∴220044x y +=，代入①得：00000000444481222ABNM x x y y S x y x y +-+-=⋅--+ 0000)00004(221222x x y y x y x y -+-=⋅--+ 2=．故四边形ABNM 的面积为定值2．20．若无穷数列{}n a 满足：只要(,*)p q a a p q =∈N ，必有11p q a a ++=，则称{}n a 具有性质P ． （Ⅰ）若{}n a 具有性质P ，且11a =，22a =，43a =，52a =，67821a a a ++=，求3a ． （Ⅱ）若无穷数列{}n b 是等差数列，无穷数列{}n c 是公比为正数的等比数列，151b c ==，5181b c ==，n n n a b c =+判断{}n a 是否具有性质P ，并说明理由．（Ⅲ）设{}n b 是无穷数列，已知1sin (*)n n n a b a n +=+∈N ，求证：“对任意1a ，{}n a 都具有性质P ”的充要条件为“{}n b 是常数列”． 【答案】见解析【解析】解：（Ⅰ）∵{}n a 具有性质P ，已知252a a ==， ∴36a a =，47a a =，58a a =，∴678345a a a a a a ++=++，又43a =，52a =，66821a a a ++=， ∴3213216a =--=．（Ⅱ）设{}n b 公差为d ，{}n c 公比为0q >， ∵51480b b d -==，∴20d =，∴2019n b n =-， ∵451181c q c ==， ∴13q =， ∴513n n c -⎛⎫= ⎪⎝⎭， ∴5120193n n n n a b c n -⎛⎫=+=-+ ⎪⎝⎭，∵182a =，582a =而2212748a =+=，6130410133a =+=，15a a =但26a a ≠， 故{}n a 不具有性质P ．（Ⅲ）充分性：已知{}n b 是常数列，设n b c =，则1sin n n a c a +=+， 若存在p 、q 使得p q a a =，则11sin sin p p q q a c a c a a ++=+=+=， 故{}n a 具有性质P ，必要性：若对任意1a ，{}n a 具有性质P ，则211sin a b a =+， 设函数1()f x x b =-，()sin g x x =，由()f x ，()g x 图像可得，对任意的1b ，二者的图像必有一个交点，∴一定能找到一个1a ，使得111sin a b a -=， ∴2111sin a b a a =+=，∴1n n a a +=，故1211sin sin n n n n n n b a a a a b ++++-=-=， ∴{}n b 是常数列，综上“对任意1a ，{}n a 都具有性质P ” 的充要条件为“{}n b 是常数数列”．。

北京西城35中2017届高三上学期12月月考数学(理)试题

北京西城35中2017届高三上学期12月月考数学(理)试题

高三年级12月月考数学试卷一、选择题： 1．若集合{}|23M x x =-<<，{}1|21x Nx +=≥，则MN =（ ）． A ．(3,)+∞B ．(1,3)-C ．[1,3)-D ．(2,1]--【答案】C 【解析】{}{}{}1|21|10|1x N x x x x x +==+=-≥≥≥，∴{}|13MN x x =-<≤．故选C ．2．设命题:p n ∃∈N ，22nn >，则p ⌝为（ ）． A ．n ∀∈N ，22nn > B ．n ∃∈N ，22nn ≤ C ．n ∀∈N ，22nn ≤ D ．n ∃∈N ，22nn<【答案】C【解析】特称命题的否定需将特称量词变为全称量词，同时否定结论， 所以命题:p n ∃∈N ，22nn >，则p ⌝为n ∀∈N ，22nn ≤．故选C ．3．极坐标方程co s ρθ=和参数方程123x ty t=--⎧⎨=+⎩（t 为参数）所表示的图形分别是（ ）． A ．直线、直线 B ．圆、圆C ．直线、圆D ．圆、直线【答案】D【解析】极坐标方程co s ρθ=化为直角坐标方程为22x yx +-=，表示圆，参数方程123x ty t=--⎧⎨=+⎩，化为普通方程为310x y ++=，表示直线．故选D ．4．为了得到函数3lg10x y+=的图象，只需要把函数lg yx=的图象上所有的点（ ）．A ．向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度B ．向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度C ．向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度D ．向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度 【答案】C 【解析】函数3lglg (3)110x yx +==+-，所以为了得到3lg10x y +=的图象，只需把函数lg yx=的图象上所有的点，向左左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度．故选C ．5．已知两条直线m ，n ，两个平面α，β，给出下面四个命题： ①m n ∥，m n αα⇒⊥⊥ ②αβ∥，mα⊂，nm nβ⊂⇒∥ ③m n ∥，m n αα⇒∥∥④αβ∥，m n ∥，m n αβ⇒⊥⊥ 其中正确命题的序号是（ ）．A ．①③B ．②④C ．①④D ．②③【答案】C【解析】①若m n ∥，m α⊥，则n α⊥，①正确； ②若αβ∥，mα⊂，nβ⊂，则m n ∥或m ，n 异面，②错误；③若m n ∥，m α∥，则n α∥或nα⊂，③错误； ④若αβ∥，m n ∥，m α⊥，则n β⊥，④正确．综上，正确命题的序号为①④，故选C ．6．已知数列{}n a 中，其前n 项和为n S ，且n ，n a ，n S 成等差数列()n +∈N ，则4a =（ ）．A ．1B ．4C ．7D ．15【答案】D【解析】∵n ，n a ，n S 成等差数列， ∴2n na n S =+，当1n =时，1121a S =+，11a =，当2n ≥时，1211n n a n S -=-+-，∴1221n n n a a a --=+，即121n n a a -=+，∴112(1)n n a a +-=+，∴1n a +是以2为首项，2为公比的等比数列，∴12nn a +=，∴21nna =-，∴442115a =-=．故选D ．7．设函数π2s in 23yx ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象为C ，下面结论中正确的是（ ）．A ．函数()f x 的最小正周期是2πB ．图象C 关于点π,06⎛⎫⎪⎝⎭对称C ．图象C 向右平移π2个单位后关于原点对称D ．函数()f x 的区间ππ,122⎛⎫-⎪⎝⎭上是增函数【答案】B【解析】A 项．()f x 的最小正周期2ππ2T==，故A 项错误； B项．πππ2s in 20663f ⎛⎫⎛⎫=⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()f x 的图象关于点对称π,06⎛⎫⎪⎝⎭对称，故B 项正确； C项．π()2s in 23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭向右平移π2个单位后得到π2s in 23yx ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭的图象，不关于原点对称，故C 项错误；D项．ππ,122x ⎛⎫∈-⎪⎝⎭时，ππ2π2,323x⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，当πππ2,322x⎛⎤-∈- ⎥⎝⎦，即π5π,1212x ⎛⎤∈-⎥⎝⎦时，()f x 单调递增，当ππ2π2,323x ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，即5ππ,122x ⎛⎫∈⎪⎝⎭时，()f x 单调递减，故D 错误．综上，故选B ．8．直线3yx=绕原点逆时针旋转90︒，再向右平移1个单位，所得到的直线（ ）．A ．1133yx =-+B ．113yx =-+ C ．33yx =- D ．113yx =+【答案】A 【解析】直线3y x=绕原点逆时针旋转90︒的直线13yx=-，将13yx=-再向右平移1个单位得到1(1)3y x =--，即1133y x =-+．故选A ．9．已知()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x>时，2()4f x x x=-，则不等式()0xfx >的解集为（ ）． A ．(,4)(4,)-∞-+∞ B ．(4,0)(4,)-+∞C ．(,4)(0,4)-∞- D ．(4,4)-【答案】A 【解析】∵()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x>时，2()4f x x x=-，∴当0x <时，()(4)f x x x =-+，当0x >时，2()0()0404x fx f x x x x >⇔>⇔->⇔>， 当0x<时，()0()0(4)04xf x f x x x x >⇔<⇔-+<⇔<-，∴不等式()0xf x >的解集为(,4)(4,)-∞-+∞．故选A ．10．在空间直角坐标系Ox y z-中，一个四面体的顶点坐标分别是(0,0,2)，(2,2,0)，(1,2,1)，(2,2,2)，则该四面体的体积为（ ）．A ．2B ．43C 3D ．23【答案】D【解析】112212323V=⨯⨯⨯⨯=．故选D ．二、填空题： 11．已知平面量(2,1)a =，(1,3)b=-，若向量()a ab λ+⊥，则实数λ的值是__________．【答案】5-【解析】∵(2,1)a =，(1,3)b=-，∴(2,13)a b λλλ=-+⊥，∵()a ab λ+⊥，∴()0a ab λ⋅+=，∴2(2)130λλ-++=，解得，5λ=-．12．已知方程22240x yx y m +--+=表示圆，则m 的取值范围为__________． 【答案】(,5)-∞ 【解析】若方程22240x yx y m +--+=表示圆，则41640m+->，解得5m<，故m 的取值范围为(,5)-∞．13．一平面截一球得到直径是6cm 的圆面，球心到这个平面的距离是4cm ，则该球的体积是__________． 【答案】500π35=，故球的体积为34π500π533⨯=．14．如图中的曲线为2()2f x x x=-，则阴影部分面积为__________．【答案】83【解析】021448()d ()d 333S f x x f x x -⎛⎫=-=--= ⎪⎝⎭⎰⎰．15．已知x 、y 满足以下约束条件5503x y x y x +⎧⎪-+⎨⎪⎩≥≤≤，使(0)zx ay a =+>取得最小值的最优解有无数个，则a 的值为__________． 【答案】1 【解析】∵zx ay=+，则11yx zaa=-+，z a为直线1z yx aa=-+在y 轴上的截距，要使目标函数的最优解有无穷多个，则截距最小时的最优解有无数个， ∵0a>，把x ay z+=平移，使之与可行域的边界A C 重合即可，∴1a -=-，1a =．16．在A B C △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c，若a=4c=，60A=︒，则b=__________．【答案】1或3【解析】由余弦定理可得2222co s a b c b c A=+-，将a =4c=，60A=︒，代入得2430b b -+=，解得1b=或3b =．17．已知向量a ，b 满足||||1a b==且34,55a b ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，则a 与b 的夹角为__________．【答案】120︒ 【解析】∵||||1ab ==且34,55a b ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，∴22()||||2||||c o s 1ab a b a b θ+=++=，∴1c o s 2θ=-，120θ=︒．18．如图，已知边长为4的正方形A B C D ，E 是B C 边上一动点（与B 、C 不重合），连结A E ，作EFAE⊥交B C D ∠的外角平分线于F ．设BEx=，记()f x E C C F=⋅，则函数()f x 的值域是__________．FDABC【答案】(0,4]【解析】如图，作F G B C⊥，交B C 延长线于G ，则C G F G =，易证得A B E E G F △∽△， ∴A B B E E GF G=， 设F G C G m ==，则4E GE C C G x m=+=-+，∴44x m xx mm=⇒=-+，∴π()(4)co s(4)4f x E C C F x x x =⋅=-⋅⋅=-，由题知04x <<，所以0()4f x <≤，故()f x 的值域是(0,4]．EGBADF三、解答题：19．已知圆C 过点(0,1)，4)，且圆心C 在y 轴上．（1）求圆C 的标准方程．（2）若过原点的直线l 与圆C 无交点，求直线l 斜率的取值范围． 【答案】见解析【解析】（1）∵圆心C 在y 轴上， ∴可设⊙C 的标准方程为222()x y b γ+-=，∵⊙C 过点(0,1)和点4)，∴2222(1)3(4)b b γγ⎧-=⎪⎨+-=⎪⎩，解得32b γ=⎧⎨=⎩，∴⊙C的标准方程为22(3)4x y+-=．（2）设过原点的直线l的方程为y kx=，即0kx y-=，∵l与圆C无交点，∴圆心(0,3)到直线l的距离大于γ，2>，解得22k-<<20．已知向量(s in,2)a x=-，(1,c o s)b x=互相垂直，其中π0,2x⎛⎫∈ ⎪⎝⎭．（1）求sin x，c o s x的值．（2）若5c o s()o sxθθ-=，π2θ<<，求co sθ的值．【答案】见解析【解析】（1）∵a b⊥，∴sin2co s0a b x x⋅=-=，即sin2cosx x=，又∵22sin co s1x x+=，π0,2x⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴s in5x=，c o s5x=．（2）∵5co s()5(co s co s sin sin)x x xθθθ-=+s sθθθ=-=∴sin cosθθ=，又22sin co s1θθ+=，π2θ<<，∴c o s2θ=．21．已知等比数列{}na中，11a=，48a=．（1）求数列{}na的通项公式．（2）若3a，5a分别为等差数列{}n b的第6项和第8项，求123||||||||(*)nb b b b n+++∈N．【答案】见解析【解析】（1）∵在等比数列{}na中，11a=，48a=，∴2q=，∴数列{}na的通项公式为12nna-=，*n∈N．（2）∵3a，5a分别为等差数列{}n b的第6项和第8项，∴634b a==，，8516b a==，设等差数列{}nb的公差为d，则：1171654b db d+=⎧⎨+=⎩，解得，12b b=-，6d=，∴等差数列{}nb的通项公式1(1)32nb b n d b n=+-=-，当5n ≤时，21212||||||()329n n b b b b b b n n+++=-+++=-+， 当6n ≥时，121256||||||()n nb b b b b b b b +++=-++++++2270(32970)329140n n n =+-+=-+．综上所述：21232329,5,*||||||||329140,6,*n n n n n b b b b n n n n ⎧-+∈⎪+++=⎨++∈⎪⎩N N ≤≥．22．如图，在三棱柱111A B CA B C -，1A A ⊥底面A B C ，A B A C⊥，1A CA B A A ==，E ，F分别是棱B C ，1A A 的中点，G 为棱1C C 上的一点，且1C F ∥平面A E G ．（1）求1C G C C 的值．（2）求证：1E G A C⊥．（3）求二面角1A A G E--的余弦值．A 1B 1C 1G F A BCE【答案】【解析】（1）∵1C F ∥平面A E G ，又1C F⊂平面11A C C A ，平面11A C C A 平面A E GA G=，∴1C FA G∥，∵F 为1A A 的点，且侧面11A C C A 为平行四边形， ∴G 为1C C 中点， ∴112C G C C =．（2）证明：∵1A A ⊥底面A B C ，1A A A B⊥，1A A A C⊥，又A B A C⊥，如图，以A 为原点建立空间直角坐标系Ax y z-，设2AB=，则由1A BA C A A ==可得(2,0,0)C ，(0,2,0)B ，1(2,0,2)C ，1(0,0,2)A ， ∵E ，G 分别是B C ，1C C 的中点，∴(1,1,0)E ，(2,0,1)G ， ∴1(1,1,1)(2,0,2)0E G C A ⋅=-⋅-=，∴1E GC A ⊥， ∴1E G A C⊥．（3）设平面A E G 的法向量为(,,)nx y z=，则：n A E n A G ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即020x y x z +=⎧⎨+=⎩，令1x =，则1y =-，2z=-，∴(1,1,2)n=--，由已知可得平面1A A G 的法向量(0,1,0)m=，∴6c o s ,6||||n m n m n m ⋅<>==-⋅，由题意知二面角1A A G E--为钝角，∴二面角1A A G E--的余弦值为6-．z 123．设函数2()ln ()f x x a x x a =+-∈R ．（1）若1a=，求函数()f x 的单调区间．（2）若函数()f x 在区间(0,1]上是减函数，求实数a 的取值范围．（3）过坐标原点O 作曲线()y f x =的切线，证明：切点的横坐标为1．【答案】见解析 【解析】（1）当1a =时，2()ln (0)f x x x x x =+->，1(21)(1)()21x x f x x xx-+'=+-=，令()0f x '>，则12x>，令()0f x '<，则102x <<，∴函数()f x 的单调减区间为10,2⎛⎫⎪⎝⎭，单调增区间为1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭．（2）1()2f x x a x'=+-，∵()f x 在区间(0,1]上是减函数，∴()0f x '≤对任意(0,1]x ∈恒成立， 即12a x x -≤对任意(0,1]x ∈恒成立， 令1()2g x xx=-，则m in()a g x ≤，易知()g x 在(0,1]上单调递减， ∴m in()(1)1g x f ==-，∴1a -≤．（3）设切点为(,())Mt f t ，1()2f x x a x'=+-，∴切线的斜率12kt a t=+-，又切线过原点，()f t k t=，∴()12f t t a tt=+-，即22ln 21t a t t t a t +-=+-，∴21ln 0t t -+=，存在性，1t =满足方程21ln 0t t -+=， 所以1t=是方程21ln 0t t -+=的根唯一性，设2()1ln t t tϕ=-+，则1()20t t t ϕ'-+>， ∴()t ϕ在(0,)+∞上单调递增，且(1)0ϕ=，∴方程21ln 0t t -+=有唯一解1t =．综上，过坐标原点O 作曲线()yf x =的切线，则切点的横坐标为1．。

北师大实验高三上学期12月数学月考试卷(含答案)

北师大实验高三上学期12月数学月考试卷(含答案)
MB, MC 是否关于直线 m 对称，并说明理由.
7
22.（14 分）对于由有限个自然数组成的集合 A ,定义集合 S( A) = {a + b∣a A,b A}, 记集合 S( A) 的元素个数为 d (S( A)) . 定义变换T ，变换T 将集合 A 变换为集合 T ( A) = A S( A) .
3
18.（13 分）已知等差数列{an} 和等比数列{bn} 中， a1 = b1 = 1 ， a2 = b2 ， a4 + 2 = b3 ． (Ⅰ)求数列{an} 和{bn} 的通项公式； (Ⅱ)如果 am = bn (n N*) ，写出 m，n 的关系式 m = f (n) ，并求 f (1) + f (2) + + f (n)
Γ的圆心（2,0）到 l2 距离 d2=|√2������������2−+11|
Γ被 l2 截得的弦长为2√������2 − ������22 = 2√6 − （2������������2−+11）2……………………………………10
由题可知2√3
所以−√3������������������������ = 3������������������������.
……………………………………2
若������������������������ = 0，则������������������������ = 0，与������������������2������ + ������������������2������ = 1矛盾，故������������������������ ≠ 0. …………………………
2
则 f（1）+f（2）+…f（n）=12（30+1+31+1+…+3n-1+1）

北京西城44中2017届高三上学期12月月考数学理试题 含

北京西城44中2017届高三上学期12月月考数学理试题 含

高三数学理科12月考试卷一、选择题（本大题8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出，的四个选项中，选出符合题目是要求的一项）1．集合{}|2,0x M y y x ==>，{}2|log N y y x ==，那么“x M ∈”是“x ∈N ”的（ ）． A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】∵集合{}{}|2,0|1x M y y x y y ==>=>，{}2|log N y y x ===R ， ∴m N Ü，∴“x M ∈” 是“x ∈N ”的充分而不必要条件．故选A ．2．已知()f x 是定义在(2,)a a -上的奇函数，则(0)f a +的值为（ ）． A ．0B ．1C ．1-D ．2【答案】B【解析】∵()f x 是定义在(2,)a a -上的奇函数， ∴20a a -+=，即1a =，且(0)0f =， ∴(0)1f a +=．故选B ．3．已知a ，b 为两条直线，α，β为两个平面，给定下列四个命题： ①a b ∥，a b αα⇒∥∥；②a b ⊥，a b αα⇒⊥∥； ③a α∥，a βαβ⇒∥∥；④a α⊥，a βαβ⇒⊥∥． 其中不正确的是（ ）． A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】D【解析】①a b ∥，a α∥，则b α∥或b α⊂，故①错误； ②a b ⊥，a α⊥，则b α∥或b α⊂，故②错误； ③a α∥，βα∥，则a β∥或a α⊂，故③错误； ④a α⊥，βα⊥，则a β∥或a β⊂，故④错误． 综上，不正确的有4个．故选D ．4．已知点00(,)P x y 在抛物线2:4W y x =上，且点P 到W 的准线的距离与点P 到x 轴的距离相等，则0x 的值为（ ）．A ．12B ．1C ．32D ．2【答案】B 【解析】根据题意可知001||x y +=， ∵2004y x =，∴200(1)4x x +=，解得01x =．故选B ．5．已知函数()sin()f x A x ωϕ=+（A ，ω，ϕ均为正的常数）的最小正周期为π，当2π3x =时，函数()f x 取得最小值，则下列结论正确的是（ ）． A ．(2)(2)(0)f f f <-< B ．(0)(2)(2)f f f <<- C ．(2)(0)(2)f f f -<<D ．(2)(0)(2)f f f <<-【答案】A【解析】∵函数()f x 的最小正周期为π，∴2ω=，∵当2π3x =时，函数()f x 取得最小值，2π3π242π32k ⋅+=+，∴π2π6k ϕ=+，令π6ϕ=，则π()sin 26f x A x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，()f x 在π2π,63⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，1(0)2f A =，(2)(π2)f f -=-，π2ππ5π1sin sin (0)33662f A A A f ⎛⎫⎛⎫=+=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 又∵π5π2ππ223123<-<<<， ∴π(π2)(2)3f f f ⎛⎫>-> ⎪⎝⎭，∴(2)(2)(0)f f f <-<．故选A ．6．平面向量a 与b 的夹角为120︒，(2,0)a =，||1b =，则|2|a b +=（ ）．A ．4B ．3C ．2D 【答案】C【解析】∵a 与b 的夹角为120︒，(2,0)a =，||1b =，∴2221|2|||4||4||||cos1204442142a b a b a b ⎛⎫+=++⋅︒=++⨯⨯⨯-= ⎪⎝⎭，∴|2|2a b +=．故选C ．7．已知函数()f x 的零点为1x ，()422x g x x =+-的零点为2x ，12||0.25x x -≤，()f x 可以是（ ）．A ．2()1f x x =-B ．()24x f x =-C ．()ln(1)f x x =-D ．()82f x x =-【答案】D【解析】∵(1)4220g =+->，(0)120g =-<，121202g ⎛⎫=+-> ⎪⎝⎭，11042g ⎛⎫=< ⎪⎝⎭，∴211,42x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭．A 项．2()1f x x =-的零点为11x =±，不满足12||0.25x x -≤；B 项．函数()24x f x =-的零点为12x =，不满足12||0.25x x -≤；C 项．函数()ln(1)f x x =-的零点为10x =，不满足12||0.25x x -≤；D 项．函数的零点为114x =，满足12||0.25x x -≤．故选D ．8．已知正方形1111ABCD A B C D -的棱长为1，E ，F 分别是边1AA ，1CC 的中点，点M 是1BB 上的动点，过点E ，M ，F 的平面与棱1DD 交于点N ，设BM x =，平行四边形EMFN 的面积为S ，设2y S =，则y 关于x 的函数()y f x =的解析式为（ ）．A ．23()22,[0,1]2f x x x x =-+∈B ．31,0,22()11,,122x x f x x x ⎧⎡⎫-∈⎪⎪⎢⎪⎣⎭=⎨⎡⎤⎪+∈⎢⎥⎪⎣⎦⎩C ．22312,0,22()312(1),,122x x f x x x ⎧⎡⎤-+∈⎪⎢⎥⎪⎣⎦=⎨⎛⎤⎪--+∈ ⎥⎪⎝⎦⎩D ．23()22,[0,1]2f x x x x =-++∈【答案】A【解析】由题意得EF ⊥平面11BB D D ，即EF MN ⊥，∴12EMFN S EF MN =⋅，在平面11BB D D 中，2222(12)443MN x x x =+-=-+，∴2213(443)22242y S x x x x ==-+⨯=-+，[0,1]x ∈．故选A ．二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在答题纸相应位置的横线上．）9．一个几何图的三视图如图所示，则该几何体的体积为__________．俯视图侧视图【答案】32【解析】根据三视图，作出直观图，如图所示， ∴该几何体的体积1131111111222V =⨯⨯+⨯⨯⨯=+=．11210．已知直线(23)50t x y -++=不通过第一象限，则实数t 的取值范围__________． 【答案】3,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【解析】直线(23)50t x y -++=恒成立(0,5)-，斜率为(23)t --，∵直线(23)50t x y -++=不通过第一象限，∴(23)0t --≤，解得32t ≥，故实数t 的取值范围是3,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭．11．椭圆一个长轴的一个顶点为A ，以A 为直角顶点做一个内接于椭圆的等腰直角三角形，则此直角三角形的面积等于__________．【答案】1625【解析】设内切于椭圆的等腰直角三角形为ABC ， 则1AB k =，(2,0)A ，直线:2AB y x =-，可求得45B y =-，45C y =，1841625525ABC S ⨯⨯=△．12．复数1cos i z θ=-，2sin i z θ=-，则12z z 实部的最大值__________，虚部的最大值__________．【答案】12-【解析】∵1cos i z θ=-，2sin i z θ=-，∴12(cos i)(sin i)sin cos (sin cos )i 1z z θθθθθθ=--=-+-，∴12z z 的实部为11sin cos 1sin2122θθθ-=--≤，∴实部的最大值为12-，12z z的虚部为πcos sin 4θθθ⎛⎫--=+ ⎪⎝⎭13．A 、B 两地街道如图所示，某人要从A 地前往B 地，则路最短的走法有__________种．AB【答案】10【解析】根据题意，需要向上走2次，向右走3次，共5次，从5次中选3次向右，剩下2次向上即可，则有35C 10=种不同的走法．14．若对任意x A ∈，(,)y B A R B R ∈⊆⊆有唯一确定的(,)f x y 与之对应，则称(,)f x y 为关于x ，y 的二元函数，现定义满足下列性质的(,)f x y 为关于实数x ，y 的广义“距离”． （1）非负性：(,)0f x y ≥，当且仅当x y =时取等号； （2）对称性：(,)(,)f x y f y x =；（3）三角形不等式：(,)(,)(,)f x y f x z f z y +≤对任意的实数z 均成立．给出三个二元函数：①(,)||f x y x y =-；②2(,)()f x y x y =-；③(,)f x y 则所有能够成为关于x ，y 的广义“距离”的序号为__________． 【答案】①【解析】①(,)||0f x y x y =-≥，满足（1）非负性， (,)||||(,)f x y x y y x f y x =-=-=，满足（2）对称性，(,)|||()()|||||(,)(,)f x y x y x z z y x z z y f x z f z y =-=-+--+-=+≤，满足（3）三角形不等式，故①能够成为关于x ，y 的广义“距离”． ②不妨设2x y -=，则有122x y x yx y ++-=-=，此时有2()4x y -=， 而22122x y x y x y ++⎛⎫⎛⎫-=-= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，故(,)(,)(,)f x y f x z f z y +≤不成立， 所以不满足（3）三角形不等式，故②不能成为关于x ，y 的广义“距离”． ③由于0x y ->时，(,)f y x 综上，故正确答案是：①．三、解答题（本大题共6小题，共80分）15．在ABC △中，内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ．角π6A =，(12c b =． （1）求角C 的值．（2）若1CA CB ⋅=+a 、b 、c 的值． 【答案】见解析【解析】解：（1）在ABC △中，由正弦定理sin sin b cB C=，得(12sin C B =，∵5π2sin 2sin cos 6B C C C ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，∴cos sin C C =，π4C =． （2）cos CA CB ab c ⋅==，∴ab ，c =，由余弦定理得22222212cosc 2(12(2c a b ab c x =+-=-=-+， 解得2c =，∴a1b =2c =．16．学校高一年级开设A 、B 、C 、D 、E 五门选修课，每位同学须彼此独立地选三课程，其中甲同学必选A 课程，不选B 课程，另从其余课程中随机任选两门课程．乙、丙两名同学从五门课程中随机任选三门课程．（Ⅰ）求甲同学选中C 课程且乙同学未选中C 课程的概率．（Ⅱ）用X 表示甲、乙、丙选中C 课程的人数之和，求X 的分布列和数学期望． 【答案】见解析【解析】（Ⅰ）设事件A 为“甲同学选中C 课程”，事件B 为“乙同学选中C 课程”， 则1223C 2()C 3P A ==，2435C 3()C 5P B ==， ∵事件A 与B 相互独立，∴甲同学选中C 课程且乙同学未选中C 课程的概率224()()(1()3515P AB P A P B =⋅-=⨯=．（Ⅱ）设事件C 为“两同学选中C 课程”，则2435C 3()C 5P C ==， X 的可能取值为0，1，2，3，1224(0)()35575P X P ===⨯⨯=， 22213212320(1)()()()35535535575P X P ABC P ABC P ABC ==++=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=，23222313333(2)()()()35535535575P X P ABC P ABC P ABC ==++=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=，23318(3)()35575P X P ABC ===⨯⨯=． ∴X 的分布列为：42033()0123757575757515E X =⨯+⨯+⨯+⨯==．17．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是平行四边形，135BCD =︒∠，侧面PAB ⊥底面ABCD ，90BAP =︒∠，2AB AC PA ===，E ，F 分别为BC ，AD 的中点，点M 在线段PD 上．（Ⅰ）求证：EF ⊥平面PAC ．（Ⅱ）若M 为PD 的中点，求证：M E ∥平面PAB ．（Ⅲ）如果直线ME 与平面PBC 所成的角和直线ME 与平面ABCD 所在的角相等，求PMPD的值．MF ECBAPD【答案】见解析【解析】（Ⅰ）证明：在平行四边形ABCD 中， ∵AB AC =，135BCD =︒∠，45ABC =︒∠， ∴AB AC ⊥，∵E ，F 分别为BC ，AD 的中点， ∴EF AB ∥，∴EF AC ⊥，∵侧面PAB ⊥底面ABCD ，且90BAP =︒∠， ∴PA ⊥底面ABCD ，∴PA EF ⊥， 又∵PAAC A =，PA ⊂平面PAC ，AC ⊂平面PAC ，∴EF ⊥平面PAC ．（Ⅱ）证明：∵M 为PD 的中点，F 为AD 的中点， ∴MF PA ∥，又∵MF ⊄平面PAB ，PA ⊂平面PAB ， ∴M F ∥平面PAB ，同理，得EF ∥平面PAB ， 又∵MFEF F =，M F ⊂平面MEF ，EF ⊂平面MEF ，∴平面MEF ∥平面PAB ，又∵ME ⊂平面MEF ， ∴M E ∥平面PAB ．（Ⅲ）解：∵PA ⊥底面ABCD ，AB AC ⊥，∴AP ，AB ，AC 两两垂直，故以AB ，AC ，AP 分别为x 轴，y 轴和z 轴建立如图空间直角坐标系，则(0,0,0)A ，(2,0,0)B ，(0,2,0)C ，(0,0,2)P ，(2,2,0)D -，(1,1,0)E ， 所以(2,0,2)PB =-，(2,2,2)PD =--，(2,2,0)BC =-， 设([0,1])PMPDλλ=∈，则(2,2,2)PM λλλ=--， ∴(2,2,22)M λλλ--，(12,12,22)ME λλλ=+--， 易得平面ABCD 的法向量(0,0,1)m =， 设平面PBC 的法向量为(,,z)n x y =，则：0n BC n PB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即220220x y x z -+=⎧⎨-=⎩，令1x =，得(1,1,1)n =， ∴直线ME 与平面PBC 所成的角和此直线与平面ABCD 所成的角相等，∴|cos ,||cos ,|ME m ME n <>=<>，即||||||||||||MEm ME n ME m ME n ⋅⋅=⋅⋅，∴|21|λ-=，解得λ=或λ=（舍去），故PM PD =D18．已知常数0m >，向量(0,1)a =，(,0)b m =经过点(,0)A m ，以a b λ+为方向向量的直线与经过点(,0)B m -，以4b a λ-为方向向量的直线交于点P ，其中λ∈R ． （1）求点P 的轨迹方程，并指出轨迹E ．（2）若点(1,0)C ，当m =M 为轨迹E 上任意一点，求||MC 的最小值． 【答案】见解析【解析】解：（1）∵(,)a b m λλ+=， ∴直线AP 的方程为：()y x m mλ=-①式，又4(,4)b a m λλ-=-， ∴直线BP 的方程为：4()y x m mλ=-+②式， 由①式，②式消去入得22224()y x m m =--，即22214x y m +=，故点P 的轨迹方程为22214x y m+=．当2m =时，轨迹E 是以(0,0)为圆心，以2为半径的圆，当2m >时，轨迹E是以原点为中心，以(为焦点的椭圆， 当02m<<时，轨迹E 是以原点为中心，以(0,为焦点的椭圆．（2）当m =22184x y +=，∵M 为轨迹E 是任意一点，∴设,2sin)Mθθ，∴||MC=∵cos[1,1]θ∈-，∴当cosθ=||MC19．已知函数21()(1)(1)ln2f x x a x a x=-+++-，a∈R．（Ⅰ）当3a=时，求曲线:()C y f x=在点(1,(1))f处的切线方程．（Ⅱ）当[1,2]x∈时，若曲线:()C y f x=上的点(,)x y都在不等式组12,,3,2xx yy x⎧⎪⎪⎨⎪⎪+⎩≤≤≤≤所表示的平面区域内，试求a的取值范围．【答案】见解析【解析】解：（Ⅰ）当3a=时，21()42ln2f x x x x=-+-，0x>，2()4f x xx'=-+-，∴(1)1f'=，7(1)2f=，∴曲线C在点(1,(1))f处的切线方程为712y x==-，即2250x y-+=．（Ⅱ）根据题意，当[1,2]x∈时，曲线C上的点(,)x y都在不等式组1232xx yy x⎧⎪⎪⎨⎪⎪+⎩≤≤≤≤所表示的平面区域内，等价于12x≤≤时，3()2x f x x+≤≤恒成立，设21()()(1)ln2g x f x x x ax a x=-=-++-，[1,2]x∈，∴21(1)(1)[(1)]()a x ax a x x ag x x Ax x x--++-----'=-++==，①当11a-≤，即2a≤时，当[1,2]x∈时，()0g x'≤，()g x单调递减，故(2)()(1)g g x g≤≤，根据题意有13(1)22(2)22(1)ln20g ag a a⎧=-⎪⎨⎪=-++-⎩≥≥，解得21a a ⎧⎨⎩≤≥，即12a ≤≤，②当112a <-<，即23a <<时，当[1,1]x a ∈-，()0g x '≥，()g x 单调递增，当[1,2]x a ∈-，()0g x <，()g x 单调递减，∵3(1)2g >，∴不符合题意．③当12a -≥，即3a ≥时，注意到15(1)22g a =-≥，显然不合题意．综上所述，12a ≤≤．20．已知椭圆22:11612x y C +=的右焦点为F ，右顶点为A ，离心离为e ，点(,0)(4)P m m >满足条件||||FA e AP =． （Ⅰ）求m 的值．（Ⅱ）设过点F 的直线l 与椭圆C 相交于M 、N 两点，记PMF △和PNF △的面积分别为1S 、2S ，求证：12||||S PM S PN =． 【答案】见解析【解析】解：（Ⅰ）∵椭圆C 的方程为2211612x y +=，∴4a =，b =2c =，∴12c e a ==，||2FA =，||4AP m =-， ∵||21||42FA AP m ==-， ∴8m =．（Ⅱ）若直线l 的斜率不存在，则有12S S =，||||PM PN =，符合题意， 若直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为(2)y k x =-，11(,)M x y ，22(,)N x y ， 由2211612(2)x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩，得2222(43)1616480k x k x k +-+-=， 可知0∆>恒成立，且21221643k x x k +=+，2122164843k x x k -=+，∵12121212(2)(2)8888PM PN y y k x k x k k x x x x --+=+=+----122112(2)(8)(2)(8)(8)(8)k x x k x x x x --+--=--121212210()32(8)(8)kx x k x x kx x -++=--2222121648162103243430(8)(8)k k k k k k k x x -⋅-⋅+++==--， ∴MPF NPF =∠∠，∵PMF △和PNF △的面积分别为：11||||sin 2S PF PM MPF =∠，21||||sin 2S PF PN NPF =∠， ∴12||||S PM S PN =．。

2016-2017学年北京市西城区高三(上)期末数学试卷与解析word(理科)

2016-2017学年北京市西城区高三(上)期末数学试卷与解析word(理科)

2016-2017学年北京市西城区高三（上）期末数学试卷（理科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．（5分）已知集合A={x|0＜x＜2}，B={x|x2﹣1≤0}，那么A∪B=（）A．{x|0＜x≤1}B．{x|﹣1≤x＜2}C．{x|﹣1≤x＜0}D．{x|1≤x＜2} 2．（5分）下列函数中，定义域为R的奇函数是（）A．y=x2+1 B．y=tanx C．y=2x D．y=x+sinx3．（5分）已知双曲线x2﹣=1（b＞0）的一个焦点是（2，0），则其渐近线的方程为（）A．x±y=0 B．x±y=0 C．x±3y=0 D．3x±y=04．（5分）在极坐标系中，已知点P（2，），则过点P且平行于极轴的直线的方程是（）A．ρsinθ=1B．ρsinθ=C．ρcosθ=1 D．ρcosθ=5．（5分）某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥的四个侧面的面积中最大的是（）A．3 B．C．6 D．6．（5分）设，是非零向量，且≠±．则“||=||”是“（）⊥（）”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件7．（5分）实数x，y满足若z=ax+y的最大值为3a+9，最小值为3a ﹣3，则a的取值范围是（）A．[﹣1，0]B．[0，1]C．[﹣1，1]D．（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞）8．（5分）在空间直角坐标系O﹣xyz中．正四面体P﹣ABC的顶点A，B分别在x轴，y轴上移动．若该正四面体的棱长是2，则|OP|的取值范围是（）A．[﹣1，+1] B．[1，3]C．[﹣1，2] D．[1，+1]二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9．（5分）复数等于．10．（5分）设等比数列{a n}的各项均为正数，其前S n项和为a1=1，a3=4，则a n=；S6=．11．（5分）执行如图所示的程序框图，输出的S值为．12．（5分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．若c=3，C=，sinB=2sinA，则a=．13．（5分）设函数f（x）=，其中a＞0①若a=3，则f[f（9）]=；②若函数y=f（x）﹣2有两个零点，则a的取值范围是．14．（5分）10名象棋选手进行单循环赛（即每两名选手比赛一场）．规定两人对局胜者得2分，平局各得1分，负者得0分，并按总得分由高到低进行排序．比赛结束后，10名选手的得分各不相同，且第二名的得分是最后五名选手得分之和的．则第二名选手的得分是．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）已知函数f（x）=sin（2ωx﹣）+2cos2ωx﹣1（ω＞0）的最小正周期为π（Ⅰ）求ω的值；（Ⅱ）求f（x）在区间[0，]上的最大值和最小值．16．（14分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AD∥BC，∠BAD=90°，PA=PD，AB⊥PA，AD=2，AB=BC=1（Ⅰ）求证：平面PAD⊥平面ABCD（Ⅱ）若E为PD的中点，求证：CE∥平面PAB（Ⅲ）若DC与平面PAB所成的角为30°，求四棱锥P﹣ABCD的体积．17．（13分）手机完全充满电量，在开机不使用的状态下，电池靠自身消耗一直到出现低电量警告之间所能维持的时间称为手机的待机时间．为了解A，B两个不同型号手机的待机时间，现从某卖场库存手机中随机抽取A，B两个型号的手机各7台，在相同条件下进行测试，统计结果如下：其中，a，b是正整数，且a＜b（Ⅰ）该卖场有56台A型手机，试估计其中待机时间不少于123小时的台数；（Ⅱ）从A型号被测试的7台手机中随机抽取4台，记待机时间大于123小时的台数为X，求X 的分布列；（Ⅲ）设A，B两个型号被测试手机待机时间的平均值相等，当B型号被测试手机待机时间的方差最小时，写出a，b的值（结论不要求证明）．18．（13分）已知函数f（x）=lnx﹣a•sin（x﹣1），其中a∈R．（Ⅰ）如果曲线y=f（x）在x=1处的切线的斜率是﹣1，求a的值；（Ⅱ）如果f（x）在区间（0，1）上为增函数，求a的取值范围．19．（14分）已知直线l：x=t与椭圆C：=1相交于A，B两点，M是椭圆C上一点（Ⅰ）当t=1时，求△MAB面积的最大值；（Ⅱ）设直线MA和MB与x轴分别相交于点E，F，O为原点．证明：|OE|•|OF|为定值．20．（13分）数字1，2，3，…，n（n≥2）的任意一个排列记作（a1，a2，…，a n），设S n为所有这样的排列构成的集合．集合A n={（a1，a2，…，a n）∈S n|任意整数i，j，1≤i＜j≤n，都有a i+i≤a j﹣j}；集合B n={（a1，a2，…，a n}∈S n|任意整数i，j，1≤i＜n，都有a i+i≤a j+j}．（Ⅰ）用列举法表示集合A3，B3（Ⅱ）求集合A n∩B n的元素个数；（Ⅲ）记集合B n的元素个数为b n．证明：数列{b n}是等比数列．2016-2017学年北京市西城区高三（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．（5分）已知集合A={x|0＜x＜2}，B={x|x2﹣1≤0}，那么A∪B=（）A．{x|0＜x≤1}B．{x|﹣1≤x＜2}C．{x|﹣1≤x＜0}D．{x|1≤x＜2}【解答】解：∵集合A={x|0＜x＜2}，B={x|x2﹣1≤0}={x|﹣1≤x≤1}，∴A∪B={﹣1≤x＜2}．故选：B．2．（5分）下列函数中，定义域为R的奇函数是（）A．y=x2+1 B．y=tanx C．y=2x D．y=x+sinx【解答】解：A．y=x2+1是偶函数，不满足条件．B．y=tanx是奇函数，但函数的定义域不是R，不满足条件．C．y=2x为增函数，为非奇非偶函数，不满足条件．D．y=x+sinx是奇函数，满足条件．故选：D3．（5分）已知双曲线x2﹣=1（b＞0）的一个焦点是（2，0），则其渐近线的方程为（）A．x±y=0 B．x±y=0 C．x±3y=0 D．3x±y=0【解答】解：由题意可得c=2，即1+b2=4，解得b=，可得渐近线方程为y=±x．故选B．4．（5分）在极坐标系中，已知点P（2，），则过点P且平行于极轴的直线的方程是（）A．ρsinθ=1B．ρsinθ=C．ρcosθ=1 D．ρcosθ=【解答】解：∵点P（2，）的直角坐标为（，1），此点到x轴的距离为1，故经过此点到x轴的距离为1的直线的方程是y=1，故过点P且平行于极轴的直线的方程是ρsinθ=1，故选A．5．（5分）某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥的四个侧面的面积中最大的是（）A．3 B．C．6 D．【解答】解：由三视图得几何体是四棱锥P﹣ABCD，如图所示：且PE⊥平面ABCD，底面ABCD是矩形，AB=4、AD=2，面PDC是等腰三角形，PD=PC=3，则△PDC的高为=，所以△PDC的面积为：×4×=2，因为PE⊥平面ABCD，所以PE⊥BC，又CB⊥CD，PE∩CD=E，所以BC⊥面PDC，即BC⊥PC，同理可证AD⊥PD，则两个侧面△PAD、△PBC的面积都为：×2×3=3，侧面△PAB的面积为：×4×=6，所以四棱锥P﹣ABCD的四个侧面中面积最大是：6，故选C．6．（5分）设，是非零向量，且≠±．则“||=||”是“（）⊥（）”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：若“（）⊥（）”，则“（）•（）=0，即“||2=||2”，即||=||，反之当||=||，则（）•（）=||2﹣||2=0，即（）⊥（），故“||=||”是“（）⊥（）”的充要条件，故选：C7．（5分）实数x，y满足若z=ax+y的最大值为3a+9，最小值为3a ﹣3，则a的取值范围是（）A．[﹣1，0]B．[0，1]C．[﹣1，1]D．（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞）【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：由z=ax+y得y=﹣ax+z，∵z=ax+y的最大值为3a+9，最小值为3a﹣3，∴当直线y=﹣ax+z经过点B（3，9）时直线截距最大，当经过点A（3，﹣3）时，直线截距最小．则直线y=﹣ax+z的斜率﹣a满足，﹣1≤﹣a≤1，即﹣1≤a≤1，故选：C8．（5分）在空间直角坐标系O﹣xyz中．正四面体P﹣ABC的顶点A，B分别在x轴，y轴上移动．若该正四面体的棱长是2，则|OP|的取值范围是（）A．[﹣1，+1] B．[1，3]C．[﹣1，2] D．[1，+1]【解答】解：如图所示，若固定正四面体P﹣ABC的位置，则原点O在以AB为直径的球面上运动，设AB的中点为M，则PM==；所以原点O到点P的最近距离等于PM减去球M的半径，最大距离是PM加上球M的半径；所以﹣1≤|OP|≤+1，即|OP|的取值范围是[﹣1，+1]．故选：A．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9．（5分）复数等于i．【解答】解：复数===i．故答案为：i．10．（5分）设等比数列{a n}的各项均为正数，其前S n项和为a1=1，a3=4，则a n= 2n﹣1；S6=63．【解答】解：设正数等比数列{a n}的公比为q＞0，∵a1=1，a3=4，∴q2=4，q＞0，解得q=2．则a n=2n﹣1．S6==63．故答案为：2n﹣1；63．11．（5分）执行如图所示的程序框图，输出的S值为10．【解答】解：由已知可得该程序的功能是计算并输出S=﹣12+22﹣32+42的值∵S=﹣12+22﹣32+42=10故答案为：1012．（5分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．若c=3，C=，sinB=2sinA，则a=．【解答】解：△ABC中，∵c=3，C=，sinB=2sinA，∴由正弦定理可得b=2a．再由余弦定理可得c2=a2+b2﹣2ab•cosC，即9=a2+4a2﹣2a•2a•cos，求得a=，故答案为：．13．（5分）设函数f（x）=，其中a＞0①若a=3，则f[f（9）]=；②若函数y=f（x）﹣2有两个零点，则a的取值范围是[4，9）．【解答】解：①当a=3时，f（9）=log39=2，∴f（2）=，∴f[f（9）]=，②分别画出y=f（x）与y=﹣2的图象，如图所示，函数y=f（x）﹣2有两个零点，结合图象可得4≤a＜9，故a的取值范围是[4，9）故答案为：，[4，9）14．（5分）10名象棋选手进行单循环赛（即每两名选手比赛一场）．规定两人对局胜者得2分，平局各得1分，负者得0分，并按总得分由高到低进行排序．比赛结束后，10名选手的得分各不相同，且第二名的得分是最后五名选手得分之和的．则第二名选手的得分是16．【解答】解：每个队需要进行9场比赛，则全胜的队得：9×2=18（分），而最后五队之间赛10场，至少共得：10×2=20（分），所以第二名的队得分至少为20×=16（分）．故答案是：16三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）已知函数f（x）=sin（2ωx﹣）+2cos2ωx﹣1（ω＞0）的最小正周期为π（Ⅰ）求ω的值；（Ⅱ）求f（x）在区间[0，]上的最大值和最小值．【解答】解：（Ⅰ）因为f（x）=sin（2ωx﹣）+2cos2ωx﹣1=sin2ωxcos﹣cos2ωxsin+cos2ωx=sin2ωx+cos2ωx=sin（2ωx+），所以f（x）的最小正周期T=，解得ω=1．（Ⅱ）由（Ⅰ）得f（x）=sin（2x+），因为0≤x≤，所以≤2x+≤，所以，当2x+=，即x=时，f（x）取得最大值为1；当2x+=，即x=时，f（x）取得最小值为﹣．16．（14分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AD∥BC，∠BAD=90°，PA=PD，AB⊥PA，AD=2，AB=BC=1（Ⅰ）求证：平面PAD⊥平面ABCD（Ⅱ）若E为PD的中点，求证：CE∥平面PAB（Ⅲ）若DC与平面PAB所成的角为30°，求四棱锥P﹣ABCD的体积．【解答】（本小题满分14分）证明：（Ⅰ）因为∠BAD=90°，所以AB⊥AD，（1分）又因为AB⊥PA，所以AB⊥平面PAD．（3分）所以平面PAD⊥平面ABCD．（4分）解：（Ⅱ）取PA的中点F，连接BF，EF．（5分）因为E为PD的中点，所以EF∥AD，，又因为BC∥AD，，所以BC∥EF，BC=EF．所以四边形BCEG是平行四边形，EC∥BF．（7分）又BF⊂平面PAB，CE⊄平面PAB，所以CE∥平面PAB．（8分）（Ⅲ）过P作PO⊥AD于O，连接OC．因为PA=PD，所以O为AD中点，又因为平面PAD⊥平面ABCD，所以PO⊥平面ABCD．如图建立空间直角坐标系O﹣xyz．（9分）设PO=a．由题意得，A（0，1，0），B（1，1，0），C（1，0，0），D（0，﹣1，0），P（0，0，a）．所以=（1，0，0），=（0，1，﹣a），=（1，1，0）．设平面PCD的法向量为=（x，y，z），则，令z=1，则y=a．所以=（0，a，1）．（11分）因为DC与平面PAB所成角为30°，所以|cos＜＞|===sin30°=，解得a=1．（13分）（14分）所以四棱锥P﹣ABCD的体积．17．（13分）手机完全充满电量，在开机不使用的状态下，电池靠自身消耗一直到出现低电量警告之间所能维持的时间称为手机的待机时间．为了解A，B两个不同型号手机的待机时间，现从某卖场库存手机中随机抽取A，B两个型号的手机各7台，在相同条件下进行测试，统计结果如下：其中，a，b是正整数，且a＜b（Ⅰ）该卖场有56台A型手机，试估计其中待机时间不少于123小时的台数；（Ⅱ）从A型号被测试的7台手机中随机抽取4台，记待机时间大于123小时的台数为X，求X 的分布列；（Ⅲ）设A，B两个型号被测试手机待机时间的平均值相等，当B型号被测试手机待机时间的方差最小时，写出a，b的值（结论不要求证明）．【解答】解：（Ⅰ）被检测的7台手机中有5台的待机时间不少于123小时，因此，估计56台A型手机中有台手机的待机时间不少于123小时．（Ⅱ）X可能的取值为0，1，2，3，；；；．所以，X 的分布列为：（Ⅲ）若A，B两个型号被测试手机的待机时间的平均值相等，当B型号被测试手机的待机时间的方差最小时，a=124，b=125．18．（13分）已知函数f（x）=lnx﹣a•sin（x﹣1），其中a∈R．（Ⅰ）如果曲线y=f（x）在x=1处的切线的斜率是﹣1，求a的值；（Ⅱ）如果f（x）在区间（0，1）上为增函数，求a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）的定义域是（0，+∞），[（1分）]导函数为．[（2分）]因为曲线y=f（x）在x=1处的切线的斜率是﹣1，所以f'（1）=﹣1，即1﹣a=﹣1，[（3分）]所以a=2．[（4分）]（Ⅱ）因为f（x）在区间（0，1）上为增函数，所以对任意x∈（0，1），都有．[（6分）]因为x∈（0，1）时，cos（x﹣1）＞0，所以．[（8分）]令g（x）=x•cos（x﹣1），所以g'（x）=cos（x﹣1）﹣x•sin（x﹣1）．[（10分）]因为x∈（0，1）时，sin（x﹣1）＜0，所以x∈（0，1）时，g'（x）＞0，g（x）在区间（0，1）上单调递增，所以g（x）＜g（1）=1．[（12分）]所以a≤1．即a的取值范围是（﹣∞，1]．[（13分）]19．（14分）已知直线l：x=t与椭圆C：=1相交于A，B两点，M是椭圆C上一点（Ⅰ）当t=1时，求△MAB面积的最大值；（Ⅱ）设直线MA和MB与x轴分别相交于点E，F，O为原点．证明：|OE|•|OF|为定值．【解答】解：（Ⅰ）当t=1时，将x=1代入，解得：，∴．[（2分）]当M为椭圆C的顶点（﹣2，0）时，M到直线x=1的距离取得最大值3，[（4分）]∴△MAB面积的最大值是．[（5分）]（Ⅱ）设A，B两点坐标分别为A（t，n），B（t，﹣n），从而t2+2n2=4．[（6分）]设M（x0，y0），则有，x0≠t，y0≠±n．[（7分）]直线MA的方程为，[（8分）]令y=0，得，从而．[（9分）]直线MB的方程为，[（10分）]令y=0，得，从而．[（11分）]所以=，=，[（13分）]==4．∴|OE|•|OF|为定值．[（14分）]20．（13分）数字1，2，3，…，n（n≥2）的任意一个排列记作（a1，a2，…，a n），设S n为所有这样的排列构成的集合．集合A n={（a1，a2，…，a n）∈S n|任意整数i，j，1≤i＜j≤n，都有a i+i≤a j﹣j}；集合B n={（a1，a2，…，a n}∈S n|任意整数i，j，1≤i＜n，都有a i+i≤a j+j}．（Ⅰ）用列举法表示集合A3，B3（Ⅱ）求集合A n∩B n的元素个数；（Ⅲ）记集合B n的元素个数为b n．证明：数列{b n}是等比数列．【解答】解：（Ⅰ）A3={（1，2，3）}，B3={（1，2，3），（1，3，2），（2，1，3），（3，2，1）}．（Ⅱ）考虑集合A n中的元素（a1，a2，a3，…，a n）．由已知，对任意整数i，j，1≤i＜j≤n，都有a i﹣i≤a j﹣j，所以（a i﹣i）+i＜（a j﹣j）+j，所以a i＜a j．由i，j的任意性可知，（a1，a2，a3，…，a n）是1，2，3，…，n的单调递增排列，所以A n={（1，2，3，…，n）}．又因为当a k=k（k∈N*，1≤k≤n）时，对任意整数i，j，1≤i＜j≤n，都有a i+i≤a j+j．所以（1，2，3，…，n）∈B n，所以A n⊆B n．所以集合A n∩B n的元素个数为1．（Ⅲ）由（Ⅱ）知，b n≠0．因为B2={（1，2），（2，1）}，所以b2=2．当n≥3时，考虑B n中的元素（a1，a2，a3，…，a n）．（1）假设a k=n（1≤k＜n）．由已知，a k+k≤a k+1+（k+1），所以a k+1≥a k+k﹣（k+1）=n﹣1，又因为a k+1≤n﹣1，所以a k+1=n﹣1．依此类推，若a k=n，则a k+1=n﹣1，a k+2=n﹣2，…，a n=k．①若k=1，则满足条件的1，2，3，…，n的排列（a1，a2，a3，…，a n）有1个．②若k=2，则a2=n，a3=n﹣1，a4=n﹣2，…，a n=2．所以a1=1．此时满足条件的1，2，3，…，n的排列（a1，a2，a3，…，a n）有1个．③若2＜k＜n，只要（a1，a2，a3，…a k﹣1）是1，2，3，…，k﹣1的满足条件的一个排列，就可以相应得到1，2，3，…，n的一个满足条件的排列．此时，满足条件的1，2，3，…，n的排列（a1，a2，a3，…，a n）有b k﹣1个．（2）假设a n=n，只需（a1，a2，a3，…a n﹣1）是1，2，3，…，n﹣1的满足条件的排列，此时满足条件的1，2，3，…，n的排列（a1，a2，a3，…，a n）有b n﹣1个．综上b n=1+1+b2+b3+…+b n﹣1，n≥3．因为b3=1+1+b2=4=2b2，且当n≥4时，b n=（1+1+b2+b3+…+b n﹣2）+b n﹣1=2b n﹣1，所以对任意n∈N*，n≥3，都有．所以{b n}成等比数列．赠送初中数学几何模型【模型五】垂直弦模型：图形特征：运用举例：1.已知A、B、C、D是⊙O上的四个点.(1)如图1，若∠ADC＝∠BCD＝90°，AD＝CD，求证AC⊥BD；(2)如图2，若AC⊥BD，垂足为E，AB＝2，DC＝4，求⊙O的半径.O DAB CEAOD CB2.如图，已知四边形ABCD 内接于⊙O ，对角线AC ⊥BD 于P ，设⊙O 的半径是2。

北京海淀20中2017届高三上12月月考数学(理)试题

北京海淀20中2017届高三上12月月考数学(理)试题

2016—2017学年第一学期高三数学（理）12月月考一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请把答案代号填涂在答题纸上．1．集合{0,2,}A a =，2{1,}B a =，若{0,1,2,4,16}A B = ，则a 的值为（ ）． A ．0 B ．1 C ．2 D ．4 【答案】D【解析】∵{0,1,2,4,16}A B = ，{0,2,}A a =，2{1,}B a =，∴2{,}{4,16}a a =，∴4a =． 故选D ．2．已知{}n a 为等差数列，其前n 项和为n S ，若36a =，312S =，则公差d 等于（ ）．A ．1B ．53C ．2D ．3【答案】C【解析】设等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d ，则由36a =，312S =，得： 11263312a d a d +=⎧⎨+=⎩，解得12a =，2d =． 故选C ．3．命题“存在0x ∈R ，020x ≤”的否定是（ ）．A ．不存0x ∈R ，020x >B ．存在0x ∈R ，020x ≥C ．对任意x ∈R ，20x ≤D ．对任意的x ∈R ，20x > 【答案】D【解析】对于含特称量词的命题的否定，需将特称量词改为全称量词，同时否定命题的结论．因此命题“存在0x ∈R ，020x ≤”的否定是：“对于任意的x ∈R ，20x >”． 故选D ．4．已知直线1:(3)453l a x y a ++=-与2:2(5)8l x a y ++=平行，则a 等于（ ）． A ．7-或1- B ．7或1 C ．7- D ．1- 【答案】C【解析】由题意可知(3)(5)42a a ++=⨯且(3)8(53)2a a +⨯≠-⨯，解得： 7a =-． 故选C ．5．已知函数π()sin (0)4f x x ωω⎛⎫=> ⎪⎝⎭+的最小正周期为π，刚该函数的图象（ ）．A ．关于点π,04⎛⎫⎪⎝⎭对称 B ．关于直线π8x =对称C ．关于点π,08⎛⎫⎪⎝⎭对称 D ．关于直线π4x =对称【答案】B【解析】根据题意得2ππT ω==，2ω=，故π()sin 24f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．∴ππππsin 2sin 18842f ⎛⎫⎛⎫=⨯+== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，πππ3πsin 2sin 4444f ⎛⎫⎛⎫=⨯+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∴该函数的图象关于直线π8x =对称，不关于点π,04⎛⎫ ⎪⎝⎭和π,08⎛⎫⎪⎝⎭对称，也不关于直线π4x =对称．故选B ．6．已知P 是以1F ，2F 为焦点的椭圆22221(0)x y a b a b=>>+上一点，若120PF PF ⋅= 且121tan 2PF F ∠=，则椭圆的离心率为（ ）． A ．12 B ．23 C ．13D【答案】D【解析】∵点P 是以1F ，2F 为焦点的椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上一点，12PF PF ⊥，21tan 2PF F ∠=， ∴12||2||PF PF =，设2||PF x =，则1||2PF x =． 由椭圆定义可知23x x a +=，∴23a x =， ∴22||3PF a =，则14||3PF a =．由勾股定理知2222112||||||PF PF F F +=，即222416494a a c +=，计算得出c =，∴c e a ==． 故选D ．7．甲、乙、丙等6个人排成一排照相，且甲、乙不在丙的同侧，则不同的排法共有（ ）． A ．480 B ．240 C ．120 D ．360 【答案】B【解析】先排甲、乙、丙，共有22A 种排法，再将剩余3人插进去，∴6人排成一排，甲、乙不在丙同侧的排法共有21112456A C C C 240=种． 故选B ．8．如图所示，在正方体1111ABCD A B C D -中，M 、N 分别为11A B ，1CC 的中点，P 为AD 上一动点，记α为异面直线PM 与1D M 所成的角，则sin α的值为（ ）．A ．12BCD ．1【答案】D 【解析】如图，分别以DA ，DC ，1DD 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示空间直角坐标系，设正方体边长为1，则(,0,0)P x ，(01)x ≤≤，11,,12M ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭，(0,0,1)D ，10,1,2N ⎛⎫ ⎪⎝⎭．∴11,,12PM x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ ，110,1,2D N ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ ，∴10PM D N ⋅=，1PM D N ⊥，∴π2α=，sin 1α=．故选D ．二、填空题：本大题共6小题，每题5分，共30分．把答案填在答题纸上． 9．双曲线241x y -=的虚轴长为____________． 【答案】1【解析】双曲线2241x y -=化为标准方程为2214y x -=，∴1a =，12b =．故虚轴长为21b =．10．如图中阴影部分的面积等于____________．【答案】1【解析】根据题意，所求面积为函数23y x =在区间[0,1]上的定积分值，即该阴影部分面积为1231003d 1x x x ==⎰．11．已知抛物线22(0)y px p =>的准线与圆2(3)16x y -=+相切，则p 的值为____________． 【答案】2【解析】抛物线22(0)y px p =>的准线方程为2p x =-． ∵抛物线22(0)y px p =>的准线方程与圆22(3)16x y -+=相切，∴342p+=，2p =．12．已知直线m ，n 与平面α、β，给出下列四个命题： ①若m α∥，n α∥，则m n ∥；②若m α∥，n α⊥，则n m ⊥；③若m α⊥，m β∥，则αβ⊥；④若m n ∥，m α∥，则n α∥．其中所有真名题的序号是_____________． 【答案】②③【解析】①若m α∥，n α∥，则m ，n 平行，相交，异面都有可能，故①错误； ②m α∥，则存在m α'⊂且m m '∥，又n α⊥，所以n m '⊥，故m n ⊥，②正确；③若m α⊥，m β∥，则存在直线n β⊂，使m n ∥，由面面垂直的判定定理可知③正确； ④若m n ∥，m α∥，则n α∥或n α⊂，故④错误． 综上所述，所有真命题的序号为②③．13．为了解本市居民的生活成本，甲、乙、丙三名同学利用假期分别对三个社区进行了“家庭每月日常消费额”的调查．他们将调查所得到的数据分别绘制成分布直方图（如图所示），记甲、乙、丙所调查数据的标准差分别为1s ，2s ，3s ，则它们的大小关系为___________（用“>”连接）．甲频率乙O频率丙【答案】123s s s >>【解析】根据频率分布直方图知，甲的数据的两端的数字较多，离平均值较远，表现的最分散，标准差最大．乙的数据，分布均可，不如甲组中偏离平均值大，标准差比甲组中的小． 丙的数据绝大部分都集中在平均值左右，数据表现的最集中，方差最小． 故本题的正确答案为123s s s >>．14．已知函数1,()0,x f x x ∈⎧=⎨∈⎩R QQ ð，则（ⅰ）(())f f x =____________．（ⅱ）给出下列三个命题：①函数()f x 是偶函数；②存在(1,2,3,)i x i ∈=R ，使得以点(),()(=1,2,3)i i x f x i 为顶点的三角形是等腰三角形；③存在(1,2,3,4)i x i ∈=R ，使得以点(),()(=1,2,3,4)i i x f x i 为顶点的四边形为菱形．其中，所有真名题的序号是____________．【答案】（ⅰ）1；（ⅱ）①③ 【解析】（ⅰ）由题可知()f x ∈Q ，所以(())1f f x =．（ⅱ）①若x 为有理数，则x -也为有理数，∴()()1f x f x =-=， 若x 为无理数，则x -也为无理数，∴()()0f x f x =-=， 综上有()()f x f x =-，∴函数()f x 为偶数，故①正确．②根据1,()0,x f x x ∈⎧=⎨∈⎩RQQ ð可知：假设存在等腰直角三角形ABC ，则斜边AB 知能在x 轴上或在直线1y =上，且斜边上的高始终是1，不妨假设AB 在x 轴，则2AB =，故点A ，B 的坐标不可能是无理数，故不存在．另外，当AB 在1y =上，C 在x 轴时，由于2AB =，则C 的坐标应是有理数，故假设不成立，即不存在符合题意的等腰直角三角形，故②错误． ③取两个自变量是有理数，使得另外两个无理数的差与两个有理数的差相等，即可画出平行四边形，且对角线互相垂直，所以可以做出点(),()(=1,2,3,4)i i x f x i 为顶点的四边形为菱形，故③正确．综上，所有真命题的序号是①③． 15．（本小题满分13分）在ABC △1cos2B B =-． （Ⅰ）求角B 的值．（Ⅱ）若2BC =，π4A =，求ABC △的面积．【答案】【解析】（121cos2B B =-，∴2cos 2sin B B B =． ∵0πB <<，∴sin 0B >，从而tan B∴π3B =．（2）∵π4A =，π3B =，根据正弦定理得sin sin AC BCB A =，∴sin sin BC BAC A⋅=∵5ππ12C A B =--=，∴5πππsin sin sin 1246C ⎛⎫=== ⎪⎝⎭+ 所以ABC △的面积1sin 2ABC S AC BC C =⋅⋅=△16.（本小题满分13分）设直线5y ax =+与圆22(1)25x y -+=相交于A ，B 两点，问是否存在实数a ，使得过点4()2,P -的直线l 垂直平分弦AB ？若存在，求出实数a 的值；若不存在，请说明理由． 【答案】【解析】∵直线l 垂直平分弦AB ，∴直线l 经过圆心(1,0)．又∵直线l 过点(2,4)P -，∴直线l 的斜率为404213-=---，∴直线l 的方程为5y ax =+的斜率为34，∴354y x =+，此时，圆心(1,0)到354y x =+的距离2354d =<，符合题意．故存在实数a ，使得过点(2,4)P -的直线l 垂直平分弦AB ，此时34a =．17．（本小题满分13分）某中学举行一次“环保知识竞赛”，全校学生参加了这次竞赛．为了解本次竞赛成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩（得分取正整数，满分为100分）作为样本进行统计，请根据下面尚未完成并有局部污损的样本的频率分布表和频率分布直方图（如图所示）解决下列问题： （Ⅰ）写出a ，b ，x ，y 的值．（Ⅱ）在选取的样本中，从竞赛成绩是80分以上（含80分）的同学中随机抽取2名同学到广场参加环保知识的志愿宣传活动，求所抽取的2名同学来自同一组的概率．（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，设ξ表示所抽取的2名同学中来自第5组的人数，求ξ的分布列及其数学期望．频率【答案】 【解析】（1）由题意可知16a =，0.04b =，0.032x =，0.004y =．（2）由题意可知，第4组有4人，第5组有2人，共6人．从竞赛成绩是80分以上（含80分）的同学中随机抽取2名同学有26C 15=种情况． 设事件A ：随机抽取的2名同学来自同一组，则224226C C 7()C 15P A ==+． 故随机抽取的2名同学来自同一组的概率是715．（3）由（2）可知，ξ的可能的值为0，1，2，则：2426C 62(0)C 155P ξ====，114226C C 8(1)C 15P ξ===，2226C 1(2)C 15P ξ===． 所以，ξ的分布列为：2812()012515153E ξ=⨯⨯⨯=++．18．（本小题满分14分）己知四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面A B C D ，底面ABCD 是菱形，且2PA AB ==．60ABC ∠=︒，BC 、PD 的中点分别为E ，F ． （Ⅰ）求证BC PE ⊥．（Ⅱ）求二面角F AC D --的余弦值．（Ⅲ）在线段AB 上是否存在一点G ，使得AF 平行于平面PCG ？若存在，指出G 在AB 上的位置并给予证明，若不存在，请说明理由．D【答案】 【解析】（1）证明：连结AE ，PE ．∵PA ⊥平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ， ∴PA BC ⊥．又∵底面ABCD 是菱形，AB BC =，60ABC ∠=︒， ∴ABC △是正三角形． ∵E 是BC 的中点， ∴AE BC ⊥．又∵PA AE A = ，PA ⊂平面PAE ，PE ⊂平面PAE ， ∴BC ⊥平面PAE ， ∴BC PE ⊥．（2）由（1）得AE BC ⊥，由BC AD ∥可得AE AD ⊥． 又∵PA ⊥底面ABCD ，∴PA AE ⊥，PA AD ⊥．∴以A 为原点，分别以AE ，AD ，AP 为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系A xyz -，如图所示，则(0,0,0)A ，E，(0,2,0)D ，(0,0,2)P，1,0)B -，C ，(0,1,1)F ． ∵PA ⊥平面ABCD ，∴平面ABCD 的法向量为(0,0,2)AP=．又∵,0)AC =，(0,1,1)AF = ．设平面ACF 的一个法向量(,,)n x y z =，则： 0AC n AF n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即00y y z +==⎪⎩+，令1x =，则y =，z ，∴(1,n =．∴cos ,||||AP n AP n AP n ⋅==．∵二面角F AC D --是锐角，∴二面角F AC D --．（3）G 是线段AB 上的一点，设(01)AG t AB t =≤≤．∵1,0)AB =-，∴,0)G t -．又∵,2)PC =-，,,2)PG t =--．设平面PCG 的一个法向量为(,,)n x y z =，则： 1100PC n PG n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即1111112020y z ty z -=--=+，∴1(1)n t t =- +， ∵AF ∥平面PCG ，∴AF n ⊥ ，0AF n ⋅=1)0t -=，解得12t =．故线段AB 上存在一点G ，使得AF 平行于平面PCG ，G 是AB 中点． 19．（本小题满分13分）已知a ∈R ，函数()ln 1af x x x=-+．（Ⅰ）当1a =时，求曲线()y f x =在点(2,(2))f 处的切线方程． （Ⅱ）求()f x 在区间(0,e]上的最小值． 【答案】【解析】（1）当1a =时，1()ln 1f x x x=-+，(0,x ∈∞+)，∴22111()x f x x x x -'=-=+，(0,x ∈∞+)，∴1(2)4f '=，即曲线()y f x =在点(2,(2))f 处的切线斜率为14．又∵1(2)ln22f =-，∴曲线()y f x =在点(2,(2))f 处的切线方程为11ln 2(2)24y x ⎛⎫--=- ⎪⎝⎭，即44ln 240x y --=+．（2）∵()ln 1a f x x x =-+，∴221()a x af x x x x-'=-=+．令()0f x '=，得x a =．①若0a ≤，则()0f x '>，()f x 在区间(0,e]上单调递增，此时函数()f x 无最小值． ②若0e a <<，当(0,)x a ∈时，()0f x '<，函数()f x 在区间(0,)a 上单调递减， 当(,e]x a ∈时，()0f x '>，函数()f x 在区间(,e]a 上单调递增， 所以当x a =时，函数()f x 取得最小值ln a ．③当e a ≥，则当(0,e]x ∈时，()0f x '≤，函数()f x 在区间(0,e]上单调递减，所以当e x =时，函数()f x 取得最小值ea．综上所述，当0a ≤时，函数()f x 在区间(0,e]上无最小值． 当0e a <<时，函数()f x 在区间(0,e]上的最小值为ln a ．当e a ≥时，函数()f x 在区间(0,e]上的最小值为ea．20．（本小题满分14分）已知椭圆2222:1(0)x y M a b a b=>>+过点(0,1)A -，且离心率e =．（Ⅰ）求椭圆M 的方程．（Ⅱ）若椭圆M 上存在点B 、C 关于直线1y kx =-对称，求k 的所有取值构成的集合S ，并证明对于k S ∀∈，BC 的中点恒在一条定直线上． 【答案】 【解析】（1）∵椭圆M 过点(0,1)A -，∴1b =．∵=c e a ，222a b c =+，∴2a =． ∴椭圆M 的方程为2214x y =+．（2）依题意得0k ≠，因为椭圆M 上存在点B ，C 关于直线1y kx =-对称， 所以直线BC 与直线1y kx =-垂直，且线段BC 的中点在直线1y kx =-上，设直线BC 的方程为1y x t k=-+，11(,)B x y ，22(,)C x y ．由22144y x tk x y ⎧=-⎪⎨⎪=⎩++，得22222(4)8440k x ktx k t k --=++． 由2222222222644(4)(44)16(4)0k t k k t k k k t k ∆=--=->++，得22240k t k --<．∵12284ktx x k =++，∴BC 的中点坐标为2224,44kt k t k k ⎛⎫⎪⎝⎭++．又线段BC 的中点在直线1y kx =-上，∴22241k t ktk k k =⋅-，∴22314k tk =+，代入22240k tk --<，得k <或k > ∴S k k ⎧⎪=<⎨⎪⎩k ⎪⎭．∵22143k t k =+， ∴对于k S ∀∈，线段BC 的中点的纵坐标恒为13，即线段BC 的中点总在直线13y =上．。

北京西城北师大实验2017届高三上12月月考数学(理)试题含解析

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北京师范大学附属实验中学12月高三月考试题数学(理科）第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题,每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选中符合题目要求的一项 1．已知全集U =R ,集合{}2|1A x x =≥，则UA =（ ）．A ．(,1)-∞B ．(1,1)-C ．(1,)+∞D ．(,1)(1,)-∞-+∞【答案】B【解析】解:∵集合{}{2|1|1A x x x x ==-≥≤或}1x ≥,∴{}|11UA x x =-<<．故选B ．2．在平面直角坐标系xOy 中,已知(0,0)O ，(0,1)A ，B ，则OA OB ⋅的值为（ ）．A ．1 B 1C D 1【答案】B【解析】解:=(0,1)OA ,(1,1)OB =，∴31OA OB ⋅=-．故选B ．3．已知数列{}na 的前n 项和122n nS+=-，则3a =（ ）．A ．1-B ．2-C ．4-D ．8- 【答案】D 【解析】解：4334332(22)(22)228a S S =-=---=-=-．故选D ．4．为了得到函数sin cos y x x =+的图像,只需把sin cos y x x =-的图像上所有的点（ ）．A ．向左平移π4个单位长度B ．向右平移π4个单位长度C ．向左平移π2个单位长度D ．向右平移π2个单位长度【答案】C【解析】解:由πsin cos 4y x x x ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，πsin cos 4y x x x ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，因此,为了得到sin cos y x x =+的图像，只需将sin cos y x x =-的图像上所有的点向左平移π2个单位长度．故选C ．5．“0t ≥”是“函数2()f x xtx t=+-在(,)-∞+∞内存在零点”的( ）．A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】解：当函数2()f x x tx t=+-在(,)-∞+∞内存在零点时，有240tt ∆=+≥，即4t -≤或0t ≥，所以“0t ≥" 是“函数2()f x x tx t=+-在(,)-∞+∞内存在零点”的充分而不必要体条件． 故选A ．6．已知函数1,0()1,0x f x x -<⎧=⎨⎩≥，则不等式(1)xf x -≤1的解集为( ）． A ．[1,)-+∞ B ．(,1]-∞ C ．[1,2] D ．[1,1]- 【答案】D【解析】解:∵1,0()1,0x f x x -<⎧=⎨⎩≥, ∴1,1(1)1,1x f x x -<⎧-=⎨⎩≥, 当1x ≥时，(1)11xf x x -⇔≤≤， ∴1x =，当1x <时,(1)111xf x x x -⇔-⇔-≤≤≥， ∴11x -<≤，综上所述，(1)1xf x -≤的解集为[1,1]-． 故选D ．7．已知直线:1()l y kx k k =+-∈R ，若存在实数k ，使直线l 与曲线C 交于两点A、B ，且||||AB k =,则称曲线C 具有性质P ,给定下列三条曲线方程:①|1|y x =--； ②222210xy x y +--+=；③2y x =．其中，具有性质P 的曲线的序号是（ ）．A ．①②B ．②C ．③D ．②③ 【答案】D【解析】解:①．|1|y x =--与直线l 至多一个交点,故①不具性质P ． ②．222210xy x y +--+=,圆心为(1,1)，半径为1，直线1y kx k =+-过定点(1,1)，故存在2k =±，使直线l 与曲线C 交于A 、B 两点，且||AB k =，具有性质P ． ③2y x =过点(1,1)，直线:1l y kx k =+-过定点(1,1)，故存在k ，使得直线l 与曲线C 交于A 、B 两点，且||||AB k =，具有性质P ． 综上，具有性质P 的曲线的序号是②③． 故选D ．8．甲、乙、丙、丁、戊五人出差,分别住在1、2、3、4、5号房间，现已知：（1）甲与乙不是邻居；(2）乙的房号比丁小；（3）丙住的房是双数；（4）甲的房号比戊大3．根据上述条件，丁住的房号是（）．A．2号B．3号C．4号D．5号【答案】B【解析】解:根据题意可知,1、2、3、4、5号房间分别住的是乙、戊、丁、丙、甲,故丁住的房号是3．故选B．第Ⅱ卷（非选择题共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分9．设a∈R，若复数(1i)(+i)a+在复平面内对应的点位于实轴上,则a=__________．【答案】1-【解析】解:复数(1i)(+i)=(1)(+1)i+-,a a a因为该复数在复平面内对应的点在数轴上,所以10a+=．故1a=-．10．设2log 3a =，4log 6b =,6log 9c =，则a 、b 、c 从大到小的顺序为__________．【答案】a b c >>【解析】解：2log 3a =,421log 6log 6log2b ===∴a b >，8221log 9log 9log 3c ===∴b a >， ∴a b c >>．11．在ABC △中，点M 为边AB 的中点，若OP OM ∥，且(0)OP xOA yOB x =+≠，则y x=__________．【答案】1【解析】解：∵M 是AB 的中点， ∴1()2OM OA OB =+，又∵1()2OP OM OA OB xOA yOB λλ==+=+，∴12x λ=,12y λ=,∴1yx =．12．双曲线22:12x C y -=的离心率为__________;若椭圆2221(0)x y a a +=>与双曲线C 有相同的焦点,则a =__________．【答案】2【解析】解：∵双曲线22:12x C y -=，∴焦点坐标为(，，双曲线的离心率e =，∵椭圆的焦点与双曲线的焦点相同， ∴213a-=，∴2a =．13．已知点(2,)P t 在不等式组4030x y x y --⎧⎨+-⎩≤≤，表示的平面区域内，则点(2,)P t 到直线34100x y ++=距离的最大值为__________． 【答案】4【解析】解:∵点(2,)P t 在不等式组4030x y x y --⎧⎨+-⎩≤≤，表示的平面区域内， ∴240230t t --⎧⎨+-⎩≤≤， 解得21t -≤≤，点P 到直线34100x y ++=的距离|164|5t d +=，(21)t -≤≤，当1t =时，点P 到直线34100x y ++=的距离最大，max4d=．14．设a ∈R ，定义x 为不小于实数x 的最小整数（如π4=，π3-=-），若n ∈Z ，则满足n a n+=的实数a 的取值范围是__________;若a ∈R ，则方程1122x x +=-的根为__________．【答案】(,0]-∞；4- 【解析】∵n a n+=，∴n n a +≥，故0a ≤，设122x k -=∈Z ,则214k x +=,233114k x k ++=++， ∴原方程等价于2314k +⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦，即23214k +-<-≤，从而11722k -<-≤，∴5k =-或4-，相应的x 为94-，74-，故所有实根之和为97444⎛⎫-+-=- ⎪⎝⎭．三、解答题:本大题共6小题，共80分,解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15．已知函数2π()2sincos 22f x x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭．（Ⅰ）求π8f ⎛⎫⎪⎝⎭的值．（Ⅱ）求函数()f x 的最小正周期及单调递减区间． 【答案】见解析【解析】解：(Ⅰ）函数2π()2sincos 22f x x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭1cos 2sin 2x x =-+π214x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，∴πππ211884f ⎛⎫⎛⎫=⨯-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．（Ⅱ）由（Ⅰ）可得:π()214f x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，∴()f x 的最小正周期2ππ2T ==,令ππ3π2π22π242k x k +-+≤≤， 则3π5πππ88k x k +=≤≤，k ∈Z ，∴函数()f x 的单调递减区间为3π5ππ,π88k k ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦,()k ∈Z ．16．在ABC △中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，设π3A =，sin 3sin B C =．(Ⅰ）若a ，求b 的值． （Ⅱ)求tan C 的值． 【答案】见解析【解析】解：（Ⅰ）∵sin 3sin B C =， ∴由正弦定理可得：3b c =， 由余弦定理可得:2222cos a b c bc A=+-，π3A =，a =，∴227b c bc=+-， ∴222733b b b ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭，解得3b =． （Ⅱ）∵π3A =，∴2π3B C =-，∴2πsin 3sin 3C C ⎛⎫-= ⎪⎝⎭， 即1sin 3sin 2C C C +=，∴5sin 2C C =，∴tan C =17．已知定圆22:(3)4C xy +-=,定直线:360m x y ++=,过(1,0)A -的一条动直线l 与直线m 相交于N ，与圆C 相交于P ，Q 两点,M 是PQ 中点． (Ⅰ）当l 与m 垂直时,求证：l 过圆心C ． (Ⅱ)当||PQ =l 的方程．（Ⅲ）设t AM AN =⋅，试问t 是否为定值,若为定值,请求出t 的值；若不为定值,请说明理由． 【答案】见解析【解析】解：（Ⅰ）由已知13mk =-,故3lk=，∴直线l 的方程为3(1)y x =+，将圆心(0,3)C 代入方程3(1)y x =+成立， 故l 过圆心C ．（Ⅱ）当直线l 与x 轴垂直时,易知1x =-符合题意, 当直线l 与x 轴不垂直时,设直线l 的方程为(1)y k x =+， ∴||PQ =∴||1CM =， 即1=，解得43k =,此时，4(1)3y x =+，即4340x y -+=，故直线l 的方程为1x =-或4340x y -+=．（Ⅲ）当l 与x 轴垂直时,易得(1,3)M -，51,3N ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，又(1,0)A -，则(0,3)AM =，50,3AN ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，故5AM AN ⋅=-, 即5t =-，当l 的斜率存在时，设直线l 的方程为(1)y k x =+, 代入圆的的方程得：2222(1)(26)650k xk k x k k ++-+-+=,则2122261k kx x k -++=+，2122321M x x k k x k +-+==+，223(1)1M M k ky k x k +=+=+，即222233,11k k k k M k k ⎛⎫-++ ⎪++⎝⎭，222313,11k k k AM k k ⎛⎫++= ⎪++⎝⎭，又由(1)360y k x x y =+⎧⎨++=⎩得365,1313k k N k k ---⎛⎫⎪++⎝⎭，则55,1313k AN k k --⎛⎫= ⎪++⎝⎭， 故t AM AN =⋅2221555(3)(1)(13)(1)(13)k k k k k k k k ---+=+++++225(13)(1)(13)(1)k k k k -++=++ 5=-，综上所述，t 的值为定值,且5t =-．18．已知函数21()4f x x=+，1()ln(2e )2g x x =．（Ⅰ）求函数()()y f x g x =-的最小值．（Ⅱ）是否存在一次函数()h x ，使得对于(0,)x ∀∈+∞，总有()()f x h x ≥，且()()h x g x ≥成立？若存在,求出()h x 的表达式；若不存在，说明理由．【答案】见解析【解析】解：（Ⅰ）()()y f x g x =-的定义域为{}|0x x >，211()()ln(2e )42y x g x xx =-=+-,2141222x y x x x-'=-=,易知102x <<时,0y '<，12x >时，0y '>，∴()()y f x g x =-在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增， ∴当12x =时，()()y f x g x =-取得最小值为0．（Ⅱ）由（Ⅰ)知，1118222f ⎛⎫== ⎪⎝⎭， 所以1122h ⎛⎫= ⎪⎝⎭，故可证1()22kh x kx =+-，代入()()f x h x ≥,得21024k xkx -+-≥恒成立,∴2(1)0k ∆=-≤,∴1k =，()h x x =，设1()ln(2e )2G x x x =-，则1()12G x x'=-， 当102x <<时，()0G x '<，当12x >时，()0G x '>，∴()G x 在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，∴1()02G x G ⎛⎫= ⎪⎝⎭≥,即()()h x g x ≥对一切0x >恒成立,综上，存在一次函数()h x ,使得对于(0,)x ∀∈+∞，总有()()f x h x ≥， 且()()h x g x ≥,()h x x =．19．已知椭圆2222:1x y C a b+=过点(2,0)A ，(0,1)B 两点．（Ⅰ）求椭圆C 的方程及离心率．（Ⅱ）设P 为第三个象限内一点且在椭圆C 上，直线PA 与y 轴交于点M ，直线PB 与x 轴交于点N ，求证:四边形ABNM 的面积为定值． 【答案】见解析【解析】解：（Ⅰ)∵椭圆2222:1x y C a b+=，过点(2,0)A ，(0,1)B 两点，∴2a =，1b =，c∴椭圆C 的标准方程为2214x y +=，离心率ce a==（Ⅱ）设P 点坐标为000(,)(0,0)x y xy <<，则直线PB 的方程为0011y y x x --=⋅，N点坐标为00,01xy⎛⎫⎪-⎝⎭,直线PA 的方程为00(2)2y y x x =--，M点坐标为020,2y x⎛⎫⎪-⎝⎭，则001221ABNx Sy ⎛⎫=- ⎪-⎝⎭△，0000212212MNAx y Sy x ⎛⎫=⋅⋅ ⎪--⎝⎭△，所以ABNMABN MNA SS S =+△△△00002121212x y y x ⎛⎫⎛⎫=-+ ⎪⎪--⎝⎭⎝⎭ 20000(22)12(1)(2)x y y x +-=⋅-- 220000000000444481222x y x x y y x y x y ++-+-=⋅--+①，又∵220014x y +=，∴22044xy +=，代入①得:00000000444481222ABNM x x y y S x y x y +-+-=⋅--+ 0000)00004(221222x x y y x y x y -+-=⋅--+ 2=．故四边形ABNM 的面积为定值2．20．若无穷数列{}na 满足：只要(,*)pq aa p q =∈N ,必有11p q aa ++=，则称{}na 具有性质P ．（Ⅰ）若{}na 具有性质P ,且11a =，22a=,43a =，52a=，67821aa a ++=,求3a ．（Ⅱ)若无穷数列{}nb 是等差数列，无穷数列{}nc 是公比为正数的等比数列,151b c==,5181b c ==,n n na b c =+判断{}na 是否具有性质P ，并说明理由．(Ⅲ)设{}nb 是无穷数列，已知1sin (*)n n n ab a n +=+∈N ，求证：“对任意1a ，{}na 都具有性质P "的充要条件为“{}nb 是常数列”．【答案】见解析【解析】解：（Ⅰ)∵{}na 具有性质P ，已知252aa ==，∴36aa =，47aa =，58aa =,∴678345a a a a a a ++=++，又43a=,52a =,66821a a a ++=，∴3213216a=--=．(Ⅱ)设{}nb 公差为d ,{}nc 公比为0q >，∵51480b b d -==，∴20d =， ∴2019nbn =-，∵451181cq c==，∴13q =，∴513n n c -⎛⎫= ⎪⎝⎭，∴5120193n n n n a b c n -⎛⎫=+=-+ ⎪⎝⎭，∵182a =,582a=而2212748a=+=,6130410133a =+=，15a a =但26aa ≠，故{}na 不具有性质P ．（Ⅲ）充分性：已知{}nb 是常数列，设nbc=，则1sin n n ac a +=+,若存在p 、q 使得pqaa =，则11sin sin p p q q ac a c a a ++=+=+=，故{}na 具有性质P ，必要性:若对任意1a ，{}n a 具有性质P ，则211sin ab a =+，设函数1()f x x b =-，()sin g x x =，由()f x ,()g x 图像可得，对任意的1b ，二者的图像必有一个交点，∴一定能找到一个1a ,使得111sin a b a -=，∴2111sin ab a a =+=，∴1nn a a +=，故1211sin sin n n n n n nbaa a ab ++++-=-=，∴{}nb 是常数列，综上“对任意1a ，{}n a 都具有性质P ” 的充要条件为“{}nb 是常数数列”．。

北京市西城区第八中学2017届高三上学期12月月考数学(理)试题Word版含解析

北京市西城区第八中学2017届高三上学期12月月考数学(理)试题Word版含解析

2016-2017 学年度第一学期高三数学12 月练习一、选择题（本大题共8 道小题，每题 5 分，共 40 分）1. 如图，在复平面内，点对应的复数为，则复数（）．A. B. C. D.【答案】 D【分析】由题意2. 当向量，，所以．应选．时，履行以下图的程序框图，输出的值为（）．A. B. C. D. 【答案】 B【分析】时，时，，，时，时，，，时，，此时，所以输出．应选．点睛 : 本题考察的是算法与流程图, 对算法与流程图的考察，重视于对流程图循环构造的考察. 要先清晰算法及流程图的有关观点，包含选择构造、循环构造、伪代码，其次要重视循环起点条件、循环次数、循环停止条件，更要经过循环规律，明确流程图研究的数学识题，是求和仍是求项 .3. 数列的前项和，若，且，则的值为（）．A. B. C. D.【答案】 C【分析】∵，且，∴，，∴，，，．应选．4. ””是””的（）．A. 充足不用要条件B. 必需不充足条件C. 充足必需条件D. 既不充足也不用要条件【答案】 C【分析】令，则，∴单一递加，且，∴“” ””．是的必需条件．应选5. 已知抛物线的焦点为，准线与轴的交点为，点在上且，则的面积为（）．A. B. C. D.【答案】 B【分析】试题剖析：解：F（ 2，0）K（ -2，0），过 A 作 AM⊥准线，则 |AM|=|AF| ，∴|AK|= |AM| ，∴△ AFK 的高等于 |AM| ，设 A（ m2，2 m）（ m＞ 0）则△ AFK 的面积 =4×2 m? =4 m 又由|AK|= |AF| ，过 A 作准线的垂线，垂足为P，三角形 APK为等腰直角三角形，所以m= ∴△ AFK 的面积 =4×2 m? =8 故答案为 B考点：抛物线的简单性质评论：本题主要考察了抛物线的简单性质．考察了学生对抛物线基础知识的娴熟掌握．6. 如图，点为坐标原点，点，若函数（，且）及（，且）的图象与线段分别交于点，，且，恰巧是线段的两个三均分点，则，知足（）．A. B. C. D.【答案】 A【分析】由图象能够知道，函数均为减函数，所以，，∵点为坐标原点，点，∴直线为，∵经过点，则它的反函数也经过点，又∵（，且）的图象经过点，依据对数函数的图象和性质可知：，∴．应选．7. 已知若函数只有一个零点，则的取值范围是（）．A. B. C. D.【答案】 D【分析】依据题意可得函数的图象和直线只有一个交点，直线经过定点，斜率为，当，，当时，，以下图，故．应选．8. 已知点在曲线上，⊙过原点，且与轴的另一个交点为，若线段，⊙ 和曲线上分别存在点、点和点，使得四边形（点，，，顺时针摆列）是正方形，则称点为曲线的“完满点”．那么以下结论中正确的选项是（）．A. 曲线上不存在”完满点”B. 曲线上只存在一个“完满点”，其横坐标大于C. 曲线上只存在一个“完满点”，其横坐标大于且小于D. 曲线上存在两个“完满点”，其横坐标均大于【答案】 B【分析】如图，假如点为“完满点”则有，以为圆心，为半径作圆（如图中虚线圆）交轴于，（可重合），交抛物线于点，当且仅当时，在圆上总存在点，使得为的角均分线，即，利用余弦定理可求得此时，即四边形是正方形，即点为“完满点”，如图，联合图象可知，点必定是上方的交点，不然在抛物线上不存在使得，也必定是上方的点，不然，，，，不是顺时针，再考虑当点横坐标愈来愈大时，的变化状况：设，当时，，此时圆与轴相离，此时点不是“完满点”，故只需要考虑，当增添时，愈来愈小，且趋近于，而当时，；故曲线上存在独一一个“”．应选．完满点其横坐标大于二、填空题(共6 小题，每题 5 分，共30 分)9. 若双曲线的一条渐近线的倾斜角为，则__________．【答案】-3【分析】由题意可知双曲线的渐近线方程为，∵此中一条渐近线的倾斜是，∴，故．10. 在中，角，，的对边分别为，，．若，，，则__________ ，__________ ．【答案】(1). 2(2).【分析】∵，由正弦定理可得：，∴，，∴．11. 已知直线，．若，则实数__________ ．【答案】-1【分析】若，则，且，解得．12. 若直线上存在点知足拘束条件则实数的取值范围为__________．【答案】【分析】试题剖析：由题意，由，可求得交点坐标为，要使直线上存在点知足拘束条件，以下图，可得，则实数m 的取值范围．考点：线性规划．13. 如图，线段象限内作矩形，，点，分别在轴和轴的非负半轴上运动，以为一边，在第一．设为原点，则的取值范围是__________．【答案】【分析】令，则，，，，∴，∵，∴的取值范围是．点晴 : 平面向量的数目积计算问题，常常有两种形式，一是利用向量数目积的定义式，二是利用向量数目积的坐标运算公式，波及几何图形的问题，先成立适合的平面直角坐标系，表示出有关点的坐标, 本题中表示并化简可得,的取值范从而可得围是.14. 对于函数，若在其定义域内存在，使得成立，则称函数拥有性质．（）以下函数中拥有性质的有 __________ ．①②③④（）若函数拥有性质，则实数的取值范围是__________ ．【答案】(1). ①②④(2).或【分析】（）在时，有解，即函数拥有性质，①令，即，∵，方程有一个非实根，故拥有性质．②的图象与有交点，故有解，故拥有性质．③令，此方程无解，故，不拥有性质．④的图象与的图象有交点，故有解，故拥有性质．综上所述，拥有性质的函数有：①②④．（）拥有性质，明显，方程有根，∵的值域为，∴，解得或．三、解答题 (共 6 小题，共 80 分，解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程)15. 函数的部分图象以下图．（Ⅰ）写出及图中的值．（Ⅱ）设，求函数在区间上的最大值和最小值．【答案】（Ⅰ），．（Ⅱ）最大值，最小值．【分析】试题剖析：（ 1）将点代入，由已给条件可求得；由并结合图象可求得.（2）由（ 1）可获得，由，得，可得在和时，函数分别获得最大值和最小值。

精品解析：北京市西城区北京师范大学附属实验中学2019-2020学年高三上学期12月月考数学试题(原卷版)

精品解析：北京市西城区北京师范大学附属实验中学2019-2020学年高三上学期12月月考数学试题(原卷版)

北京师范大学附属实验中学2019-2020学年度第一学期高三月考数学试卷(191202)一､选择题:本题共10题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知全集U ＝R ，集合A ＝{x|x 2－2x ＜0}，B ＝{x|x －1≥0}，那么集合A∩U B ð＝（）A.{x|0＜x ＜1}B.{x|x ＜0}C.{x|x ＞2}D.{x|1＜x ＜2}2.1x <是12log 0x >的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件3.函数2x y －＝的单调递增区间是()A.(－∞，＋∞)B.(－∞，0]C.[0，＋∞)D.(0，＋∞)4.△ABC 的两个顶点坐标A（-4，0），B（4，0），它的周长是18，则顶点C 的轨迹方程是()A.21X B.221259y x +=（y≠0）C.221(0)169x y y +=≠ D.21X （y≠0）5.(2016高考新课标III ，理3)已知向量1(,22BA uu r =,1),22BC uu u r =则∠ABC =A.30oB.45oC.60oD.120o6.若圆C 经过(1,0),(3,0)两点，且与y 轴相切，则圆C 的方程为（）A.()222(2)3x y -+±=B.()222(3x y -+=C .()222(2)4x y -+±= D.()222(4x y -+±=7.向量,,a b c 在正方形网格中的位置如图所示.若向量λ+a b 与c 共线,则实数λ=A.2-B.1-C.1D.28.等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若70a >，80a <，则下列结论正确的是（）A.78S S <B.1516S S <C.130S >D.150S >9.在ABC ∆中，,,a b c 分别为,,A B C 的对边，如果,,a b c 成等差数列，30B =︒，ABC ∆的面积为32，那么b =（）A.132+ B.13+ C.223+ D.2310.若1a >，设函数()4x f x a x =+-的零点为(),log 4a m g x x x =+-的零点为n ，则11m n +的取值范围是()A.7,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭ B.[)1,+∞ C.()4,+∞ D.9,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭二､填空题:本题共6题，每小题5分，共30分.11.设向量,a b 是互相垂直的单位向量，向量a b λ+ 与2a b + 垂直，则实数λ=_______12.已知点(2,0),(0,2)A B -，若点C 是圆222x x y -+＝0上的动点，ABC ∆的面积的最大值为．13.在等比数列{}n a 中，14a =，公比为q ，前n 项和为n S ，若数列{}2n S +也是等比数列，则q 等于14.若圆()()22229x y -+-=上存在两点关于直线() 200,0ax by a b +-=>>对称，则19 a b+的最小值为__________.15.已知点3,,,1,,06242A B C πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，若三个点中有且仅有两个点在函数()sin f x x ω=的图象上，则正数ω的最小值为__________.16.已知双曲线22:12x C y -=，点M 的坐标为()0,1.设P 是双曲线C 上的点，Q 是点P 关于原点的对称点.记MP MQ λ=，则λ的取值范围是__________.三､解答题(本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.)17.已知向量(cos ,sin )x x =a ，(3,=b ，[0,]x π∈.（1）若a b ∥，求x 的值；（2）记()f x a b =⋅，求()f x 的最大值和最小值以及对应的x 的值.18.已知等差数列{}n a 和等比数列{}n b 中，1122431,,2a b a b a b ===+=(1)求数列{}n a 和{}n b 的通项公式;(2)如果()*m n a b n N =∈，写出,m n 的关系式()m f n =，并求()()()12···f f f n +++19.已知点()4,0C ，点 A B 、是圆22 :20O x y +=上任意两个不同点，且满足0AC BC = ，点P 是弦AB 的中点.(1)求点P 的轨迹Γ方程;(2)已知直线12 :, :1,l y l y kx ==-，若12,l l 被Γ:1，求k 的值20.设函数2()()e ()x f x x ax a a -=+-⋅∈R .（1）当0a =时，求曲线()y f x =在点(1,(1))f --处的切线方程；（2）设2()1g x x x =--，若对任意的[0,2]t ∈，存在[0,2]s ∈使得()()f s g t ≥成立，求a 的取值范围.21.已知椭圆G :的离心率为12，过椭圆G 右焦点F 的直线:1m x =与椭圆G 交于点M （点M 在第一象限）．（Ⅰ）求椭圆G 的方程；（Ⅱ）已知A 为椭圆G 的左顶点，平行于AM 的直线l 与椭圆相交于,B C 两点．判断直线,MB MC 是否关于直线m 对称，并说明理由．22.对于由有限个自然数组成的集合A，定义集合S（A）={a+b|a∈A，b∈A}，记集合S（A）的元素个数为d （S（A））．定义变换T，变换T 将集合A 变换为集合T（A）=A∪S（A）．（1）若A={0，1，2}，求S（A），T（A）；（2）若集合A 有n 个元素，证明：“d（S（A））=2n-1”的充要条件是“集合A 中的所有元素能组成公差不为0的等差数列”；（3）若A⊆{1，2，3，4，5，6，7，8}且{1，2，3，…，25，26}⊆T（T（A）），求元素个数最少的集合A．。

2023届北京市西城区北京师范大学附属中学高三上学期12月月考数学试题(解析版)

2023届北京市西城区北京师范大学附属中学高三上学期12月月考数学试题(解析版)

2023届北京市西城区北京师范大学附属中学高三上学期12月月考数学试题一、单选题1．已知集合{}{}21,2,0,1,2x A xB =≤=-∣，则A B =（ ） A ．{}2,0- B ．{}0,1C ．2,0,1D ．2,0,1,2【答案】A【分析】计算{}0A x x =≤，再计算交集得到答案.【详解】{}{}210x A xx x =≤=≤∣，{}2,0,1,2B =-，故{}2,0A B =-. 故选：A 2．已知复数11iz =+，则z 在复平面内对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限【答案】A【分析】由复数除法化简后写出出共轭复数，再由出其共轭复数，得出其对应点及象限． 【详解】()11i 1111i,i 1(1i)1i 2222z z i -===-=+++-，对应点坐标为11(,)22，在第一象限． 故选：A3．已知向量()()1,3,2a m b ==-，，且()a b b +⊥，则m = A ．−8 B ．−6 C ．6 D ．8【答案】D【分析】由已知向量的坐标求出a b +的坐标，再由向量垂直的坐标运算得答案． 【详解】∵(1,),(3,2),(4,2)a m b a b m ==-∴+=-，又()a b b +⊥， ∴3×4+（﹣2）×（m ﹣2）＝0，解得m ＝8． 故选D ．【点睛】本题考查平面向量的坐标运算，考查向量垂直的坐标运算，属于基础题． 4．下列说法中正确的是A ．平行于同一直线的两个平面平行B ．垂直于同一直线的两个平面平行C ．平行于同一平面的两条直线平行D ．垂直于同一平面的两个平面平行【答案】B【详解】平行于同一直线的两个平面可以平行、相交，故不正确，垂直于同一直线的两个平面平行正确，平行于同一平面的两条直线平行错误，因为也可以相交也可以是异面直线，垂直于同一平面的两个平面平行错误，因为也可以相交，故选B.5．设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若13244,,n n a S S S b a ==+=，则{}n b 的最小项为（ ） A ．1b B ．2b C ．3b D ．4b【答案】B【分析】由题意求得{}n a 的通项公式，进而得{}n b 的通项公式写成分段函数形式，分别研究各段的单调性可得结果.【详解】由题意知：1(1)2n n n S na d -=+, ∵324S S S =+ ， ∴11133246a d a d a d +=+++又∵14a = ，∴3d =- ，∴1(1)43(1)37n a a n d n n =+-=--=-+ ∴37,2N3737,3N n n n n n b a n n n n **-+≤∈⎧==-+=⎨-≥∈⎩且且 ， ∴当2n ≤且N n *∈，{}n b 单调递减，当3N n n *≥∈且时，{}n b 单调递增， 又∵21b = ，32b = ，∴23b b < ， ∴{}n b 的最小项为2b . 故选：B.6．已知双曲线222:1(2x y C b b -=>的渐近线上存在点,A B 使ABO 为等边三角形（O 是原点），则双曲线C 的离心率为（ ）A ．2BC ．3D 【答案】A【分析】计算渐近线为y =，根据题意得到π3θ=，计算得到b c =.【详解】渐近线为y =，b >θ，π0,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则2tan 12bk θ==>，故ππ42θ<<，ABO 为等边三角形，渐近线的夹角为π3，故π3θ=，即232b=，6b =，22c =，2222c e a ===. 故选：A7．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1,,E F 是线段11B D 上的动点且1EF =，则三棱锥A BEF -的体积为（ ） A ．24B ．26C ．212D ．无法确定【答案】C【分析】确定AO ⊥平面11BDD B ，再计算体积得到答案.【详解】如图所示：连接AC 与BD 交于点O ，1BB ⊥平面ABCD ，AO ⊂平面ABCD ， 故1AO BB ⊥，AO BD ⊥，1BD BB B ⋂=，故AO ⊥平面11BDD B . 1112211332212BEF A BEF V S AO -=⨯⨯=⨯⨯⨯⨯=△. 故选：C8．已知实数,x y 满足log log (01)a a x y a <<<，则下列不等式中恒成立的是（ ） A ．sin sin x y > B ．211e e xy x ++> C ．221111x y >++ D ．ln ln 1y x y x->-【答案】D【分析】根据题意得到0x y >>，举反例得到A 错误；根据函数单调性得到B 错误；计算得到C 错误；设x t y =，()1ln 1f t t t=+-，根据函数单调性计算最值得到D 正确，得到答案. 【详解】log log (01)a a x y a <<<，故0x y >>，对选项A ：取πx =，π2y =，πsin πsin 2<，错误；对选项B ：211xy x +<+，故211e e xy x ++<，错误； 对选项C ：221111x y >++即22y x >，不成立，错误； 对选项D ：ln ln ln1x y x y y x -=>-，设x t y =，()1,t ∈+∞，即1ln 1t t >-，设()1ln 1f t t t=+-，()221110t f t t t t-'=-=>恒成立，函数单调递增，()()10f t f >=，故1ln 1t t >-，正确.故选：D9．设123,,a a a ∈R ，则“123,,a a a 成等比数列”是“()()()2222212231223a a a a a a a a ++=+”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】利用等比数列证明充分性，而举反例证明必要性不成立即可得解.【详解】①若123,,a a a 成等比数列，则2213a a a =⋅，所以()()22221223a a a a ++()()22113133a a a a a a =+⋅⋅+()()113133a a a a a a ⎡⎤⎡⎤=++⎣⎦⎣⎦()21313a a a a =+()22132a a a =+()2132a a a ⎡⎤=+⎣⎦()21223a a a a =+；②若1230a a a ===,满足()()()2222212231223a a a a a a a a ++=+，但是不满足123,,a a a 成等比数列（因为等比数列中不能含有0）“123,,a a a 成等比数列”是“()()()2222212231223a a a a a a a a ++=+”的充分不必要条件， 故选：A.10．已知函数()253,121,1?2x x x f x x x x ⎧-+≤⎪⎪=⎨⎪+>⎪⎩设R a ∈，若关于x 的不等式()2x f x a ≥+恒成立，则a 的取值范围是（ ） A ．[]2,1- B．⎡⎢⎣⎦C．⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．[]1,2-【答案】A【分析】不等式转化为()()2xf x a f x -≤+≤，考虑1x ≤和1x >两种情况，分别计算函数的最值得到范围.【详解】不等式()2x f x a ≥+，即()()2xf x a f x -≤+≤， 当1x ≤时，225533222x x x a x x -+-≤+≤-+，222333x x a x x -+-≤≤-+， ()2223122x x x -+-=---≤-，1x =时取等号，()22333324⎛⎫=-+=-+ ⎪⎝⎭f x x x x ，在(],1-∞上单调递减，()()11f x f ≥=，所以21a -≤≤； 当1x >时，21212x x a x x x --≤+≤+，即3222211x x a x x--≤≤+， 函数12213y x x=--在()1,+∞上单调递减，故12y <-；函数2221x y x=+在()1,+∞上单调递增，21y >， 所以21a -≤≤. 综上所述：21a -≤≤. 故选：A二、填空题11．若抛物线2x ay =经过点2,1，则其准线方程是___________. 【答案】1y =【分析】把已知点坐标代入求得a 后可得准线方程．【详解】由抛物线2x ay =经过点2,1，则4a =-，即4a =-，又抛物线的焦点在y 轴负半轴，故准线方程为1y =． 故答案为：1y =．12．若函数()sin cos f x x x =-在区间[],0a 单调递增，则a 的最小值是___________. 【答案】π4-##π14-【分析】先利用辅助角公式化简得()π4f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，再利用正弦函数的性质求出()f x 的单调递增区间，即可求解.【详解】()πsin cos 4f x x x x ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭,令()πππ2π2πZ 242k x k k -+≤-≤+∈，解得：()π3π2π2πZ 44k x k k -+≤≤+∈， 令0k =，得π3π,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦可得()sin cos f x x x =-在π3π,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦单调递增，因为函数()sin cos f x x x =-在区间[],0a 单调递增 则04a π-<≤，所以a 的最小值是π4-，故答案为：π4-.13．在直四棱柱1111ABCD A B C D -中，当底面四边形ABCD 满足条件___________.时，有111AC B D ⊥.（注：填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能的情形.） 【答案】()AC BD ⊥其他正确答案也可. 【分析】根据线面垂直判定和性质推理即可得解.【详解】如图所示:连接 ,BD AC , 1A C ,11B D ,因为 1A A ⊥ 平面 ,ABCD BD ⊂平面 ABCD , 所以 1A A BD ⊥, 因为 1,AC BD A A AC C ⊥⋂=, 所以BD ⊥ 平面 1A AC . 因为 1A C ⊂平面 1A AC , 所以 1A C BD ⊥. 因为 11//BD B D , 所以 111AC B D ⊥. 故答案为：AC BD ⊥.14．如图，已知向量,,OA OB OC 满足：||||1OA OB ==，,OA OC α=且tan 7,,4OB OC πα==.若(),R ,OC mOA nOB m n =+∈则mn=___________.【答案】57【分析】设,OA OB β=，计算3cos 5β=-，35n OC OA m ⋅=-，35n OC OB m =⋅-+，根据向量的运算法则得到答案.【详解】设,OA OB β=，π4βα=+，tan 7α=，π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，故72sin α=2cos α=)π23cos cos cos sin 425βααα⎛⎫=+=-=- ⎪⎝⎭，OC mOA nOB =+，()32510OC mOA nO OA OA m O n B C ⋅=+==⋅-，()3252OC mOA n B OB OB m n O OC ⋅⋅=-+==+，故33555m n m n ⎛⎫-+=- ⎪⎝⎭，整理得到57=m n .故答案为：5715．已知直线3:10(0)2l mx y m m -++=>与圆22:4O x y +=相交于,A B 两点，与两条坐标轴分别交于,C D 两点.记AOB 的面积为1S ，COD △的面积为2S .给出下列四个结论： ① 12S ≤；② 存在m ，使23S =； ③ 3AB④ 存在m ，使AB CD =.其中所有正确结论的序号是___________. 【答案】① ② ③【分析】确定直线过定点3,12M ⎛⎫- ⎪⎝⎭，d ≤AB =③ 正确；利用均值不等式得到12S d =≤，① 正确；23913282S m m =++≥，② 正确；12S S ≠，④ 错误，得到答案. 【详解】直线3:10(0)2l mx y m m -++=>，即3102m x y ⎛⎫+-+= ⎪⎝⎭，直线过定点3,12M ⎛⎫- ⎪⎝⎭.取0x =得到312y m =+；取0y =得到312x m =--.CD =圆心到直线的距离为d MO ≤=AB ===l 与MO 垂直时等号成立，③ 正确； 22114222d d S AB d d -+=⋅≤=，当224d d -=，即d =① 正确；213313913132222822S m m m m ⎛⎫⎛⎫=++=++≥+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，当9182m m =，即23m =时等号成立，故② 正确；若AB CD =，则12S S ，12S ≤，23S ≥，不成立，故④ 错误. 故答案为：① ② ③三、解答题16．在ABC 中，17,7ABCa S B ===-.(1)求b ；(2)求AC 边上的中线. 【答案】(1)8【分析】（1）计算sin B =，根据面积公式得到3c =，再利用余弦定理计算得到答案. （2）D 是AC 中点，连接BD ，根据余弦定理结合πADB CDB ∠+∠=计算即可.【详解】（1）因为()0,πB ∈，1cos 7B =-，故sin B =所以17sin 22ABC S c ac B ===△3c =， 故22212cos 499237647b a c ac B ⎛⎫=+-=+-⨯⨯⨯-= ⎪⎝⎭，故8b =.（2）如图所示，D 是AC 中点，连接BD ，22243cos 24BD ADB BD +-∠=⨯⨯，22247cos 24BD CDB BD+-∠=⨯⨯，πADB CDB ∠+∠=， 故22222243472424BD BD BD BD+-+-=-⨯⨯⨯⨯，解得13BD =AC 1317．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>经过点()0,1M 和13,2N ⎫-⎪⎭.(1)求椭圆C 的方程；(2)若直线:l y kx m =+与椭圆C 交于,A B 两点，且坐标原点O 到直线l 25，求证：以AB 为直径的圆经过点O . 【答案】(1)2214x y +=(2)证明见解析【分析】（1）根据题意可得所以1b =，23114a +=，解得2a =，进而可得椭圆的方程． （2）联立直线l 与椭圆的方程可得关于x 的一元二次方程，设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，由韦达定理得12x x +，12x x ，由点到直线的距离公式可得原点O 到直线l 的距离2251d k+，解得2254(1)m k =+，计算1212OA OB x x y y ⋅=+为0，即可得出结论．【详解】（1）解：因为椭圆经过点()0,1M ，所以1b =， 又因为椭圆经过点13,2N ⎫-⎪⎭，所以23114a +=，解得2a =，所以椭圆的方程为2214x y +=；（2）证明：设1(A x ,1)y ，2(B x ,2)y ，由2214y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，可得222(14)8440k x kmx m +++-=， 由题意，22222Δ(8)4(14)(44)1616640km k m k m =-+-=-++>，即22140k m +->，所以122841km x x k +=-+，21224441m x x k -=+，因为原点O 到直线l 25，所以2251d k +2254(1)m k =+，因为12121212()()OA OB x x y y x x kx m kx m ⋅=+=+++22222121222448(1)()(1)4141m kmk x x km x x m k km m k k -=++++=+-+++222544041m k k --==+，所以OA OB ⊥．因此以AB 为直径的圆过原点O ．18．天文学上用星等表示星体亮度，星等的数值越小，星体越亮．视星等是指观测者用肉眼所看到的星体亮度；绝对星等是假定把恒星放在距地球32.6光年的地方测得的恒星的亮度，反映恒星的真实发光本领．下表列出了（除太阳外）视星等数值最小的10颗最亮恒星的相关数据，其中[]0,1.3a ∈．（1）从表中随机选择一颗恒星，求它的绝对星等的数值小于视星等的数值的概率；（2）已知北京的纬度是北纬40︒，当且仅当一颗恒星的“赤纬”数值大于50-︒时，能在北京的夜空中看到它．现从这10颗恒星中随机选择4颗，记其中能在北京的夜空中看到的数量为X 颗，求X 的分布列和数学期望；（3）记0a =时10颗恒星的视星等的方差为21s ，记 1.3a =时10颗恒星的视星等的方差为22s ，判断21s 与22s 之间的大小关系．（结论不需要证明） 【答案】（1）12；（2）分布列见解析；数学期望为145；（3）2212s s <． 【分析】（1）由图表数据可知有5颗恒星绝对星等的数值小于视星等的数值，由古典概型概率公式可计算得到结果；（2）首先确定X 所有可能取值，利用超几何分布概率公式计算可得每个取值对应的概率，由此可得分布列；根据数学期望计算公式可得期望；（3）根据数据的波动程度可得方差大小关系.【详解】（1）设一颗星的绝对星等的数值小于视星等的数值为事件A ，由图表可知：10颗恒星有5颗恒星绝对星等的数值小于视星等的数值．()51102P A ∴==． （2）由图表知，有7颗恒星的“赤纬”数值大于50-︒，有3颗恒星的“赤纬”数值小于50-︒，则随机变量X 的所有可能取值为：1，2，3，4．()137341*********C C P X C ====，()22734103210C C P X C ===，()3173410132C C P X C ===，()3407041146C C P X C ===． ∴随机变量X 的分布列为：()13111412343010265E X ∴=⨯+⨯+⨯+⨯=． （3）结论：2212s s <．理由：当0a =时，视星等的平均数为0.143-；当 1.3a =时，视星等的平均数为0.013-；可知当0a =时，视星等的数值更集中在平均数附近，由此可知其方差更小.【点睛】关键点点睛：本题第二问考查了服从于超几何分布的随机变量的分布列与数学期望的求解，关键是能够确定随机变量服从于超几何分布，进而利用超几何分布概率公式计算得到每个取值对应的概率.19．设函数()()()e 2,x f x ax x a =--∈R .(1)若曲线()y f x =在点()()22f ,处的切线斜率为2e ，求a 的值；(2)若()f x 存在两个极值点()1212,x x x x <，且对任意[]()20,,0x x f x ∈<恒成立，求实数a 的取值范围.【答案】(1)0a =(2)0e 2a <<或e e 2a <<.【分析】（1）求出()f x '，令()22e f '=，求解可得答案； （2）令()0f x '=得1x =，()ln 2x a =，当02e <<a 由()()()e 20=--<x f x ax x 可得e 0x ax ->，令()(]e ,0,1=∈xg x x x ，求导利用单调性可得答案； 当2e a >根据()00f <，令可得()()()10ln 20f f a ⎧<⎪⎨<⎪⎩求解可得答案.【详解】（1）()()()()()e 2e 2e e 22'''=--+--=--+x x x x f x ax x ax x x ax a ，所以()22222e e 42e '=--+=f a a ，解得0a =；（2）()e e 22'=--+x x f x x ax a ，令()0f x '=得()()1e 21=--x x a x ，解得1x =，或e 2=xa 时0a >且()ln 2x a =， 当02e <<a 即0e 2a <<时，21x =，对任意[]()0,1,0∈<x f x 恒成立， 得()()()e 20=--<x f x ax x 可得e 0x ax ->，(]0,1x ∈， 0x =时成立，0x ≠时，有e xa x<在(]0,1x ∈恒成立， 令()(]e ,0,1=∈x g x x x ，()()21e 0-'=≤x x g x x ，所以()g x 在(]0,1x ∈单调递减， 有()()1e g x g ≤=，所以0e 2a <<； 当2e a >即e 2a >时，22x a =，对任意[]()0,2,0∈<x a f x 恒成立，求实数a 的取值范围，即()()()e 20=--<x f x ax x 在[]0,2x a ∈上恒成立，因为()()()00e 0020=--<f ，可得()()()()()()()()1ln 21e 120ln 2e ln 2ln 220a f a f a a a a ⎧=--<⎪⎨⎡⎤⎡⎤=--<⎪⎣⎦⎣⎦⎩， 解得e e 2a <<， 当2a e =即e2a =时，12,x x 重合，不符合题意， 综上所述，0e 2a <<或e e 2a <<. 20．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左右焦点分别为1212,,2F F F F =，连接椭圆C 的四个顶点所成的四边形的周长为(1)求椭圆C 的方程和离心率；(2)已知过点1F 的直线1l 与椭圆交于,P Q 两点，过点2F 且与直线1l 垂直的直线2l 与椭圆交于,M N 两点，求PQ MNPQ MN +⋅的值.【答案】(1)标准方程：22143x y +=，离心率：12. (2)712【分析】（1）根据椭圆的焦距和椭圆的顶点四边形位置、数量关系结合a b c ，，关系即可求解；（2）设而不求，假设直线方程后与椭圆联立，利用韦达定理和弦长公式整理即可得解.【详解】（1）根据题意22c =，所以1c =，椭圆顶点围成的四边形周长为：所以227a b +=，又因为2217a a +-=，所以24a =，23b =， 故椭圆方程为：22143x y +=， 椭圆离心率为12c e a ==. （2）①当直线PQ 斜率不存在时， |PQ|22b a=，|MN|2a =， 此时211172212PQ MNa PQ MN PQ MNb a +=+=+=⋅. ②当直线PQ 斜率为0时，|PQ|2a =，|MN|22b a=， 此时211172212PQ MNa PQ MN PQ MN ab +=+=+=⋅. ③当直线PQ 斜率存在且不为0时，设直线PQ :()1y k x =+，直线MN ：()11y x k =-- 联立221,43(1)x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩所以[]2234(1)12,x k x ++=所以2222(34)84120k x k x k +++-=， 所以221212228412,3434k k x x x x k k -+=-=++，PQ ====()22(1)1234k k +=+ 同理可得，2211234k MN k +=+. 此时22222222113434777(1)712(1)12(1)12(1)12(1)12PQ MN k k k k PQ MN PQ MN k k k k +++++=+=+===⋅++++. 综上所述，PQ MNPQ MN +⋅的值为712. 21．对于由有限个自然数组成的集合A ，定义集合S （A ）={a+b|a ∈A ，b ∈A}，记集合S （A ）的元素个数为d （S （A ））．定义变换T ，变换T 将集合A 变换为集合T （A ）=A ∪S （A ）．（1）若A={0，1，2}，求S （A ），T （A ）；（2）若集合A 有n 个元素，证明：“d （S （A ））=2n-1”的充要条件是“集合A 中的所有元素能组成公差不为0的等差数列”；（3）若A ⊆{1，2，3，4，5，6，7，8}且{1，2，3，…，25，26}⊆T （T （A ）），求元素个数最少的集合A ．【答案】（1）{}()()0,1,2,3,4S A T A ==；（2）见解析；（3）{}1,5,8【分析】（1）根据定义直接进行计算即可（2）根据充分条件和必要条件的定义结合等差数列的性质进行证明（3）首先证明：1∈A ，然后根据条件分别判断A 中元素情况即可得到结论．【详解】（1）若集合A ={0，1，2}，则S （A ）=T （A ）={0，1，2，3，4}．（2）令{}12,,n A x x x =．不妨设12n x x x <<<．充分性：设{}k x 是公差为()d d ≠0的等差数列．则111(1)(1)2(2),(1,)i j x x x i d x j d x i j d i j n +=+-++-=++-≤≤且22i j n +．所以i j x x +共有2n -1个不同的值．即d （S （A ））=2n -1．必要性：若d （S （A ））=2n -1．因为1122,(1,2,,1)i i i i x x x x j n ++<+<=-．所以S （A ）中有2n -1个不同的元素：12122312,2,,2,,,,n n n x x x x x x x x x -⋯++⋯+任意i j x x +（1≤i ，j ≤n ） 的值都与上述某一项相等．又1212i i i i i i x x x x x x ++++++<+<，且11122,(1,2,,2)i i i i i x x x x x j n ++++++<<=-． 所以212i i i x x x +++=，所以{}k x 是等差数列，且公差不为0．（3）首先证明：1∈A ．假设1∉A ，A 中的元素均大于1，从而1∉S （A ），因此1∉T （A ），1∉S （T （A ）），故1∉T （T （A ）），与{1，2，3，…，25，26}⊆T （T （A ））矛盾，因此1∈A ．设A 的元素个数为n ，S （A ）的元素个数至多为C 2n +n ，从而T （A ）的元素个数至多为C 2n +n +n =()32n n +． 若n =2，则T （A ）元素个数至多为5，从而T （T （A ））的元素个数至多为582⨯=20， 而T （T （A ））中元素至少为26，因此n ≥3．假设A 有三个元素，设{}231,,A a a =，且2318a a <<，则1，2，3223,1,,1a a a a ++，32232,,2()a a a a T A +∈，从而1，2，3，4∈T （T （A ））．若25a >，T （T （A ））中比4大的最小数为2a ，则5∉T （T （A ）），与题意矛盾，故2a ≤5．集合T （T （A ））．中最大数为34a ，由于26∈T （T （A ）），故34a ≥26，从而3a ≥7，（i ）若A ={1，a 2，7}，且2a ≤5．此时1，2，2a ，2a +1，7，8，22a ，7+2a ，14∈T （A ），则有8+14=22，2×14=28∈T （T （A ）），在22与28之间可能的数为14+22a ，21+2a ．此时23，24，25，26不能全在T （T （A ））．中，不满足题意．（ii ）若A ={1，2a ，8}，且2a ≤5．此时1，2，2a ，2a +1，8，9，22a ，8+2a ，16∈T （A ），则有16+9=25∈T（T （A ）），若26∈T （T （A ）），则16+22a =26或16+（8+2a ）=26，解得2a =5或2a =2．当A={1，2，8}时，15，21，23∉T（T（A））．不满足题意．当A={1，2，8}时，T（T（A））={1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，13，14，15，16，17，18，19，20，21，22，23，24，25，26，29，32}，满足题意．故元素个数最少的集合A为{1，5，8}【点睛】本题主要考查集合元素性质以及充分条件和必要条件的应用，综合性强，难度比较大．不太好理解．。

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北京师范大学附属实验中学12月高三月考试题数学（理科）第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选中符合题目要求的一项 1．已知全集U =R，集合{}2|1Ax x =≥，则U A =ð（ ）． A ．(,1)-∞ B ．(1,1)-C ．(1,)+∞D ．(,1)(1,)-∞-+∞【答案】B【解析】解：∵集合{}{2|1|1A x x x x ==-≥≤或}1x ≥，∴{}|11U Ax x =-<<ð．故选B ．2．在平面直角坐标系xO y 中，已知(0,0)O ，(0,1)A ，B ，则O A O B ⋅的值为（ ）．A ．1B 1 CD 1【答案】B【解析】解：=(0,1)O A ，1)O B =，∴1O A O B ⋅=．故选B ．3．已知数列{}n a 的前n 项和122n n S +=-，则3a =（ ）．A ．1-B ．2-C ．4-D ．8-【答案】D 【解析】解：4334332(22)(22)228a S S =-=---=-=-．故选D ．4．为了得到函数sin co s y x x=+的图像，只需把sin co s yx x=-的图像上所有的点（ ）．A ．向左平移π4个单位长度B ．向右平移π4个单位长度C ．向左平移π2个单位长度D ．向右平移π2个单位长度【答案】C【解析】解：由πs in c o s in 4y x x x ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，πs in c o s in 4yx x x ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，因此，为了得到sin co s y x x=+的图像，只需将sin co s yx x=-的图像上所有的点向左平移π2个单位长度． 故选C ．5．“0t ≥”是“函数2()f x x tx t=+-在(,)-∞+∞内存在零点”的（ ）． A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】解：当函数2()f x x tx t=+-在(,)-∞+∞内存在零点时，有240t t ∆=+≥，即4t -≤或0t ≥，所以“0t ≥” 是“函数2()f x x tx t=+-在(,)-∞+∞内存在零点”的充分而不必要体条件．故选A ．6．已知函数1,0()1,0x f x x -<⎧=⎨⎩≥，则不等式(1)xf x -≤1的解集为（ ）．A ．[1,)-+∞B ．(,1]-∞C ．[1,2]D ．[1,1]-【答案】D 【解析】解：∵1,0()1,0x f x x -<⎧=⎨⎩≥，∴1,1(1)1,1x f x x -<⎧-=⎨⎩≥，当1x ≥时，(1)11xf x x -⇔≤≤，∴1x =， 当1x<时，(1)111xf x x x -⇔-⇔-≤≤≥，∴11x -<≤，综上所述，(1)1xf x -≤的解集为[1,1]-． 故选D ．7．已知直线:1()l y kx k k =+-∈R ，若存在实数k ，使直线l 与曲线C 交于两点A 、B ，且||||A B k =，则称曲线C 具有性质P ，给定下列三条曲线方程：①|1|y x =--； ②222210x y x y +--+=；③2y x=．其中，具有性质P 的曲线的序号是（ ）．A ．①②B ．②C ．③D ．②③【答案】D 【解析】解：①．|1|y x =--与直线l 至多一个交点，故①不具性质P ．②．222210x y x y +--+=，圆心为(1,1)，半径为1，直线1y kx k =+-过定点(1,1)，故存在2k =±，使直线l 与曲线C 交于A 、B 两点，且||A B k=，具有性质P ．③2yx=过点(1,1)，直线:1l y kx k=+-过定点(1,1)，故存在k ，使得直线l 与曲线C 交于A 、B 两点，且||||A B k =，具有性质P．综上，具有性质P 的曲线的序号是②③． 故选D ．8．甲、乙、丙、丁、戊五人出差，分别住在1、2、3、4、5号房间，现已知： （1）甲与乙不是邻居； （2）乙的房号比丁小； （3）丙住的房是双数； （4）甲的房号比戊大3．根据上述条件，丁住的房号是（ ）．A ．2号B ．3号C ．4号D ．5号【答案】B【解析】解：根据题意可知，1、2、3、4、5号房间分别住的是乙、戊、丁、丙、甲，故丁住的房号是3． 故选B ．第Ⅱ卷（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分9．设a ∈R ，若复数(1i)(+i)a +在复平面内对应的点位于实轴上，则a =__________．【答案】1-【解析】解：复数(1i)(+i)=(1)(+1)ia a a +-，因为该复数在复平面内对应的点在数轴上，所以10a +=． 故1a =-．10．设2lo g 3a =，4lo g 6b =，6lo g 9c=，则a 、b 、c 从大到小的顺序为__________．【答案】ab c>>【解析】解：2lo g 3a =，4221lo g 6lo g 6lo g 2b===∴ab>，8221lo g 9lo g 9lo g 3c ===∴b a>， ∴a b c>>．11．在A B C △中，点M 为边A B 的中点，若O P O M ∥，且(0)O Px O A y O B x =+≠，则yx =__________．【答案】1【解析】解：∵M 是A B 的中点， ∴1()2O MO A O B =+，又∵1()2O P O M O A O B x O A y O Bλλ==+=+，∴12xλ=，12yλ=，∴1y x=．12．双曲线22:12xCy -=的离心率为__________；若椭圆2221(0)x y a a+=>与双曲线C 有相同的焦点，则a =__________．22【解析】解：∵双曲线22:12xC y -=，∴焦点坐标为(0)，0)，双曲线的离心率22e ==，∵椭圆的焦点与双曲线的焦点相同， ∴213a -=，∴2a =．13．已知点(2,)P t 在不等式组4030x y x y --⎧⎨+-⎩≤≤，表示的平面区域内，则点(2,)P t 到直线34100x y ++=距离的最大值为__________．【答案】4【解析】解：∵点(2,)P t 在不等式组4030x y x y --⎧⎨+-⎩≤≤，表示的平面区域内，∴240230t t --⎧⎨+-⎩≤≤，解得21t -≤≤， 点P 到直线34100x y ++=的距离|164|5t d+=，(21)t -≤≤， 当1t =时，点P 到直线34100x y ++=的距离最大，m a x4d =．14．设a ∈R ，定义x为不小于实数x 的最小整数（如π4=，π3-=-），若n ∈Z ，则满足n a n+=的实数a 的取值范围是__________；若a ∈R ，则方程13122x x +=-的根为__________． 【答案】(,0]-∞；4- 【解析】∵n a n+=， ∴n n a+≥，故0a ≤，设122x k -=∈Z，则214k x +=，233114k x k ++=++，∴原方程等价于2314k +⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦，即23214k +-<-≤，从而11722k -<-≤，∴5k=-或4-，相应的x 为94-，74-，故所有实根之和为97444⎛⎫-+-=- ⎪⎝⎭．三、解答题：本大题共6小题，共80分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15．已知函数2π()2sin c o s 22f x x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭．（Ⅰ）求π8f ⎛⎫⎪⎝⎭的值．（Ⅱ）求函数()f x 的最小正周期及单调递减区间．【答案】见解析 【解析】解：（Ⅰ）函数2π()2sin c o s 22f x x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭1cos 2sin 2x x =-+πin 214x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，∴πππin 211884f ⎛⎫⎛⎫=⨯-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．（Ⅱ）由（Ⅰ）可得：π()in 214f x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，∴()f x 的最小正周期2ππ2T==，令ππ3π2π22π242k x k +-+≤≤，则3π5πππ88k x k +=≤≤，k ∈Z ，∴函数()f x 的单调递减区间为3π5ππ,π88k k ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦，()k ∈Z ．16．在A B C △中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，设π3A =，sin 3sin BC=．（Ⅰ）若a=b 的值．（Ⅱ）求tan C 的值． 【答案】见解析【解析】解：（Ⅰ）∵sin 3sin B C=，∴由正弦定理可得：3b c=，由余弦定理可得：2222co s a b c b c A=+-，π3A=，a=∴227b c b c=+-，∴222733b b b ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭，解得3b=．（Ⅱ）∵π3A =，∴2π3BC=-，∴2πs in 3s in 3C C ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，1o s sin 3sin 22C C C+=，5o s sin 22C C=，∴ta n 5C =17．已知定圆22:(3)4Cx y +-=，定直线:360m x y ++=，过(1,0)A -的一条动直线l 与直线m 相交于N ，与圆C 相交于P ，Q 两点，M 是P Q 中点． （Ⅰ）当l 与m 垂直时，求证：l 过圆心C ．（Ⅱ）当||P Q =l 的方程．（Ⅲ）设t A M A N=⋅，试问t 是否为定值，若为定值，请求出t 的值；若不为定值，请说明理由．【答案】见解析【解析】解：（Ⅰ）由已知13m k =-，故3lk =，∴直线l 的方程为3(1)y x =+，将圆心(0,3)C 代入方程3(1)yx =+成立，故l 过圆心C ．（Ⅱ）当直线l 与x 轴垂直时，易知1x =-符合题意，当直线l 与x 轴不垂直时，设直线l 的方程为(1)yk x =+，∴||P Q =∴||1C M =，1=，解得43k=，此时，4(1)3yx =+，即4340x y-+=，故直线l 的方程为1x =-或4340x y-+=．（Ⅲ）当l 与x 轴垂直时，易得(1,3)M -，51,3N⎛⎫-- ⎪⎝⎭，又(1,0)A -，则(0,3)A M =，50,3A N⎛⎫=- ⎪⎝⎭，故5A M A N ⋅=-，即5t=-，当l 的斜率存在时，设直线l 的方程为(1)y k x =+，代入圆的的方程得：2222(1)(26)650k x k k x k k ++-+-+=，则2122261kkx x k-++=+，2122321Mx x kkx k+-+==+，223(1)1MM kky k x k+=+=+，即222233,11k k k k M k k ⎛⎫-++ ⎪++⎝⎭，222313,11k k k A M k k ⎛⎫++= ⎪++⎝⎭，又由(1)360y k x x y =+⎧⎨++=⎩得365,1313k k Nk k ---⎛⎫ ⎪++⎝⎭，则55,1313k A N k k --⎛⎫= ⎪++⎝⎭，故tA M A N=⋅2221555(3)(1)(13)(1)(13)k k kk k k k k ---+=+++++225(13)(1)(13)(1)k k k k -++=++5=-，综上所述，t 的值为定值，且5t =-．18．已知函数21()4f x x =+，1()ln (2e )2g x x =．（Ⅰ）求函数()()yf xg x =-的最小值．（Ⅱ）是否存在一次函数()h x ，使得对于(0,)x ∀∈+∞，总有()()f x h x ≥，且()()h xg x ≥成立？若存在，求出()h x 的表达式；若不存在，说明理由． 【答案】见解析 【解析】解：（Ⅰ）()()yf xg x =-的定义域为{}|0x x >，211()()ln (2e )42yx g x x x =-=+-，2141222x y x xx-'=-=，易知102x <<时，0y '<，12x>时，0y '>，∴()()yf xg x =-在10,2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，在1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭上单调递增，∴当12x=时，()()yf xg x =-取得最小值为0．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，1118222f ⎛⎫==⎪⎝⎭，所以1122h ⎛⎫=⎪⎝⎭，故可证1()22k h x kx =+-，代入()()f x h x ≥，得21024k x kx -+-≥恒成立，∴2(1)0k ∆=-≤， ∴1k=，()h x x=，设1()ln (2e )2G x x x =-，则1()12G x x'=-，当102x <<时，()0G x '<，当12x>时，()0G x '>，∴()G x 在10,2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，在1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭上单调递增，∴1()02G x G ⎛⎫= ⎪⎝⎭≥，即()()h x g x ≥对一切0x >恒成立，综上，存在一次函数()h x ，使得对于(0,)x ∀∈+∞，总有()()f x h x ≥，且()()h x g x ≥，()h x x=．19．已知椭圆2222:1x y Cab+=过点(2,0)A ，(0,1)B 两点．（Ⅰ）求椭圆C 的方程及离心率．（Ⅱ）设P 为第三个象限内一点且在椭圆C 上，直线P A 与y 轴交于点M ，直线P B 与x 轴交于点N ，求证：四边形A B N M 的面积为定值． 【答案】见解析【解析】解：（Ⅰ）∵椭圆2222:1x y C ab+=，过点(2,0)A ，(0,1)B 两点，∴2a=，1b =，c =∴椭圆C 的标准方程为2214xy+=，离心率2c ea ==．（Ⅱ）设P 点坐标为0000(,)(0,0)x y x y <<，则直线P B 的方程为0011y yxx --=⋅，N点坐标为00,01x y ⎛⎫⎪-⎝⎭，直线P A 的方程为00(2)2y y x x =--，M点坐标为0020,2y x ⎛⎫⎪-⎝⎭，则001221A B Nx S y ⎛⎫=- ⎪-⎝⎭△，0000212212M N Ax y S y x ⎛⎫=⋅⋅ ⎪--⎝⎭△，所以A B N MA B N M N AS S S =+△△△00002121212x y y x ⎛⎫⎛⎫=-+ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭20000(22)12(1)(2)x y y x +-=⋅--220000000000444481222x y x x y y x y x y ++-+-=⋅--+①，又∵220014x y +=，∴220044x y +=，代入①得：00000000444481222A B N M x x y y S x y x y +-+-=⋅--+0000)00004(221222x x y y x y x y -+-=⋅--+2=．故四边形A B N M 的面积为定值2．20．若无穷数列{}n a 满足：只要(,*)p q a a p q =∈N ，必有11p q a a ++=，则称{}n a 具有性质P ． （Ⅰ）若{}n a 具有性质P ，且11a =，22a =，43a =，52a =，67821a a a ++=，求3a ．（Ⅱ）若无穷数列{}n b 是等差数列，无穷数列{}n c 是公比为正数的等比数列，151b c ==，5181b c ==，n n n a b c =+判断{}n a 是否具有性质P ，并说明理由．（Ⅲ）设{}n b 是无穷数列，已知1sin (*)n n n a b a n +=+∈N ，求证：“对任意1a ，{}n a 都具有性质P ”的充要条件为“{}n b 是常数列”． 【答案】见解析【解析】解：（Ⅰ）∵{}n a 具有性质P ，已知252a a ==，∴36a a =，47a a =，58a a =，∴678345a a a a a a ++=++，又43a =，52a =，66821a a a ++=，∴3213216a =--=．（Ⅱ）设{}n b 公差为d ，{}n c 公比为0q>，∵51480b b d -==，∴20d =，∴2019n b n =-， ∵451181c qc ==，∴13q=，∴513n n c -⎛⎫= ⎪⎝⎭，∴5120193n n n n a b c n -⎛⎫=+=-+ ⎪⎝⎭，∵182a =，582a =而2212748a =+=，6130410133a =+=，15a a =但26a a ≠，故{}n a 不具有性质P ．（Ⅲ）充分性：已知{}n b 是常数列，设n b c=，则1sin n na c a +=+，若存在p 、q 使得pqa a =，则11s in s in p p q q a c a c a a ++=+=+=，故{}n a 具有性质P ，必要性：若对任意1a ，{}n a 具有性质P ，则211sin a b a =+，设函数1()f x x b =-，()sin g x x=，由()f x ，()g x 图像可得，对任意的1b ，二者的图像必有一个交点，∴一定能找到一个1a ，使得111sin a b a -=，∴2111sin a b a a =+=，∴1nn a a +=，故1211sin sin n n n n n nb a a a a b ++++-=-=，∴{}n b 是常数列，综上“对任意1a ，{}n a 都具有性质P ” 的充要条件为“{}n b 是常数数列”．。

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