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2017-2018学年陕西省西安市高新第一中学国际部高二上学期期中考试数学(文)试题

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陕西省西安市高新第一中学2017-2018学年高二上学期期中考试数学(文)试卷Word版含解析

陕西省西安市高新第一中学2017-2018学年高二上学期期中考试数学(文)试卷Word版含解析

高二数学试题（文科）第I 卷（选择题 共60 分）【答案】_J i 2 .故选1.设集合A y|yln x, x > 1 ,By|t 1 2x ,x R 则 AI B ().A . [0 ),1]B . [0,1)C . (,1]D . [0,)【答案】 B【解析】x > 1 时， ln x > ln1 0,故 A [0,),因为2x 0,所以12x 1，故 B (,1)，故AI B[0,1).故选B .一、选择题：本大题共 合题目要求的. 3.已知在 则 n , l 1 , l 2表示直线， ). m , //的一个充分条件是 表示平面. ,I 1,l 2 , l 1I l 2 M ,B . m // 且nC . m//且n l2m // l 1 且 n // 12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符2.已知 i 为虚数单位，复数导的共轭复数为|z| ).3. i 21 3. i2 2C .——i 23i i 2【解析】計的共轭复数为z ，_2i 2 i, |z||z|【答案】【解析】由题意得， m , n 是平面 内的两条直线，l i , I 2是平面 内的两条相交直线, 要使 // ，只要一个平面内有两条相交直线和另一个平面平行即可.故选D .4 •某学校计划在周一至周四的艺术节上展演《雷雨》 、《茶馆》、《天籁》和《马蹄声碎》四部话剧，每天一部.受多种因素影响，话剧《雷雨》不能在周一和周四上演；《茶馆》不能在周一和周三上演； 《天籁》不能在周三和周四上演； 《马蹄声碎》不能在周一和周四上演.那么下列说法正确的是().A .《雷雨》只能在周二上演B .《茶馆》可能在周二或周四上演C .周三可能上演《雷雨》或《马蹄声碎》D .四部话剧都有可能在周二上演【答案】C【解析】由题意，周一上演《天籁》 ，周四上演《茶馆》，周三可能上演《雷雨》或《马蹄声碎》 故选C .5.阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，若输出的 ( ).A . n 6B . n<6C . n < 6D . n < 8【答案】C【解析】模拟执行程序框图，可得 SO , n 2 ,满足条件，S 12，n4 , 满足条件， S 1 12 43 ,n 6,411S 为，则判断框中填写的内容可以是121 1 1 11满足条件，S2 & 6悝，n 8，由题意，此时应该不满足条件，退出循环，输出S 的值为 ，12故判断框中填写的内容可以是 n < 6 .故选C .12 n 6.已知 sin cos -贝 y3cos41 1A .B —18 9【答案】 C【解析】本题主要考查三角函数.因为sin 1cos -，故(sin3cos )2所以 cos2n—2cosJ 2sin42 2故选C . ( ).17 C .D .辽1891 2sin cos-2sin 8 cos9，9，1(12sin cos ) 17218 •A . P 在厶ABC 内部B . P 在厶ABC 外部C . P 在AB 边所在直线上 【答案】DULU uuu uur uuu【解析】••• PA PB PC AB , uuu uuu uuiu uuu uuci • PA PB PC PB PA , uuir UUL uuu • PC 2PA 2AP ,••• P 是AC 边的一个三等分点.故选D .7.已知△ ABC 的三个顶点A 、B 、C 及所在平面内一点 的关系为（）.uuu uuu P 满足PA PB uuu PCAB ,则点P 与△ ABCD . P 在△ ABC 的AC 边的一个三等分点上8《九章算术》中有如下问题：今有勾八步，股一^五步，问勾中容圆，径几何? ”其大意：已知直角三角形两直角边长分别为8步和15步，问其内切圆的直径为多少步? 粒豆子，则豆子落在其内切圆外的概率是（【答案】A•••内切圆的面积为n2 9n,故选A .【答案】D【解析】如图，可行域,•- x 2y (0,2],• sin(x 2y)的最小值为1，最大值为0.故选D .”现若向此三角形内随机投一A. 120 3n203n10)•【解析】直角三角形的斜边长为15 17，设内切圆的半径为r，则815 r 17, 解得r 3 ,豆子落在内切圆外部的概率3n 20 .9 •若实数x , y满足x y 1 > 0,x y > 0,则z sin(xx w 0,2y）的最小值与最大值和是（)•A. 1 si n2B. sin2C. 0D. 110•四棱锥P ABCD的三视图如图所示，四棱锥P ABCD的五个顶点都在一个球面上，是棱AB、CD的中点，直线EF被球面所截得的线段长为2 2，则该球表面积为（）•A • 12 nB • 24 nC • 36 nD . 48 n【答案】A【解析】将三视图还原为直观图如图，可得四棱锥P ABCD的五个顶点位于同一个正方体的顶点处，且与该正方体内接于同一个球，设该正方体的棱长为a，设处接球的球心为O,则O也是正方体的中心，设EF中点为G，连接OG , OA, AG ,根据题意，直线EF被球面所截得的线段长为2」2 ,即正方体面对角线也是 2 2，可得AG .2 A ,所以正方体棱长a 2 ,1••• Rt A OGA中，OG -a 1 , AO 3 ,即外接球半径R 3,•••外接球表面积为4 T R212 n.故答案为：12 n.E、F分别【答案】B i (0，b) , h(c,0),uuuir --B 1F 2(c,b),uuuurA 2B 2(a,b),uuur B 1F 2 UJULt 2 AB 2 ca b0,即b 22 2ac a c ,即e 221 e , e e 10,••• e 1.52，由椭圆0 e 1 ,O 11.如图， 交于P 点, 椭圆的中心在坐标原点 O ,顶点分别是A , A 2, B 若/ BPA 2为钝角，则此椭圆的离心率的取值范围为（ B 2, 焦点为F 1 , F 2 ,延长B 1F 2与A 2B 2).C .亠4【解析】由题意, B 1F 2 _L A 2 B 2 ,A 2(a,0),B 2(0,b),12 .定义：如果函数 f (x)在［a,b ］上存在x, , X 2, (a x, x ? b)，满足f (为)丄^―空,【答案】满足 fg f(m) f(0)m1 32m m 3 m•- f(x)f (X 2)f(b) f (a)，则称数冷,X 2为［a,b ］上的 対望数”，函数f(x)为［a,b ］上的 対望函数”. 数 f (x)b1 3 x 3m 是［0,m ］上的 対望函数”，贝U 实数m 的取值范围是().已知函U 3,3 2C . (2,3)D . |，3【解析】 由题意可知, 在区间［0, m ］存在x 1, x 2(0X i X 2m),二 f (x)x 2 2x ,•••方程x2x ^m ：3(0,m)有两个解,2令 g(x) x 2xm(0 x m)，44 2 m34mnrt g(x) 1 2 m m 则3g(m) 1 2 m m 00 3，解得3m 13•••实数m 的取值范围是 3 ,3 2故选D .第II 卷(非选择题共90分)二、填空题：本大题共 4小题，每小题5分，共20分. 13.某学校对高三年级一次考试进行抽样分析.如图是根据抽样分析后的考试成绩绘制的频率分布直方图，其中抽样成绩的范围是 [96,106]，样本数据分组为96,98 , 98,100 , 100,102 , 102,104 ,[104,106].已知样本中成绩小于 100分的人数是36，则样本中成绩大于或等于 98分且小于104分的人数是 ___________ .【答案】90【解析】本题主要考查频率分布直方图.成绩小于100分的频率是(0.0500.100) 2 0.300 ,频数是36，故样本容量是 120人,0.300成绩大于或等于 98分且小于104分的频率是(0.1000.1500.125) 2 0.750 ,所以成绩大于或等于 98分且小于104分的人数是120 0.750 90 .x 1 x W 114.函数f(x),，的零点个数为 __________log 2(x 1),x 1【答案】3【解析】①当x < 1时，令f (x) x 2 10 , 解得x 1或x 1.0.150 0.125 0.100 0.075 0.050②当 x 1 时，令 f (x) log 2(x 1) 0 , 解得x 2 ,故答案为：3.2 215•已知离心率为2的双曲线 — —1(m,n R)的右焦点与抛物线 y 2 4x 的焦点重合，则m nm n【答案】313 m 14,解得m-，n -，所以--•【答案】330 【解析】解：如图，512 由 sin B ，得 cosB -1313又T cos / ADC34二 cosZ ADB, sin /ADB -,5 5••• sin / BAD sin(B / BDA)sinBcos Z BDA cosB sin / BDA_5 3 12 4 135 13 515 48 336565，由正弦定理得故函数f(x)x 2 1,x W 1 log 2(x 1),x1的零点个数为3-【解析】由题意可得 16 •在厶ABC 中，D 为边BC 上的一点， BD 33 , sin B5 13，cos / ADC3,贝U S AABD33 |AB|sin Z BAD sin/ADB33••• | AB |334 13 52,--S A ABD33651-| AB| | AD| sin Z B 5213三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤（本大题共17. （本题满分12分）已知等比数列a n的各项为正数，且9af a?a6（1 ）求a n的通项公式.（2 ）设nb n logsd log s a? L log 3 a n，若数列b的前n 和为S n 【答案】见解析.【解析】（1 ）设数列N的公比为q , 70 分).,a3 2a2 9.，求S100 .••• 9a f a2 a6 ,2 2即9a?q4 2a2 a?q，解得q 9 ,又q0,则q 3 ,••• a32a2 9, 即9a16a1 9，解得a1 3, ••• a n3n.(2) log3a1log 3 a2L log 3 a nlog 3 ai a2 a3 L a nlog a311030018. （本题满分12分）城市公交车的数量太多容易造成资源的浪费，太少又难以满足乘客需求，为此， 某市公交公司在某站台 60名候车乘客中随机抽取 15人，将他们的候车时间作为样本分成 5组，如下表所示（单位： min ）.（1 ）求这15名乘客的平均候车时间.（2） 估计这60名乘客中候车时间少于 10分钟的人数.（3） 若从下表第三、四组的 6人中选2人作进一步问卷调查，求抽到的两人恰好来自不同组的概率.【答案】见解析.11【解析】(1 )(2.5 2 7.5 6 12.5 4 17.5 2 22.5 1)157.7 10.5min . 15158所以候车时间少于10分钟的人数为60-32人a1, a 2 ,比,a 4，第四组乘客编号为 bl , D ,佝电），佝^3）,（砂4）,⑻七）,（a 「b 2）,n(1 n)b nn(1 n)2__ n100 1101 Soo候车时间少于 10分钟的概率为2 6 158 15， 从6人中任选两人有包含以下15个基本事件:（3）将第三组乘客编号为(a 2,a 3), @284) , (a 2,bj , @2,鸟),@3,84),19. (本题满分12分)如图，已知三棱柱 ABC A 1B 1C 1中，侧面A i ACC i 丄底面ABC ，底面边长和侧棱 长均为2 , AB 6 .(1 )求证：平面 A.BG 丄平面AB I C . (2 )求四棱锥 A BCC 1B 1的体积.【答案】见解析.【解析】(1 )证明：取AC 的中点O , AQ , BO , 因为△ ABC 是等边三角形，所以 BO 丄AC ,因为侧面A 1ACC 1丄底面ABC ，侧面AAC 。

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2018学年陕西省西安市高新一中国际部高二（上）期中数学试卷（文科）一、选择题：（共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（4分）若抛物线y2=2px，p＞0的准线过点（﹣1，2），则该抛物线的焦点坐标是（）A．（﹣1，0）B．（0，﹣1）C．（1，0） D．（0，1）2．（4分）已知函数f（x）=x3+ax2+bx+c，下列结论中错误的是（）A．存在x0∈R，f（x0）=0B．若f′（x0）=0，则x0不一定是函数f（x）的极值点C．若x0是函数f（x）的极小值点，则f（x）在（﹣∞，x0）上单调递减D．若x0是函数f（x）的极值点，则f′（x0）=03．（4分）若双曲线的一条渐近线方程为y=2x，则离心率e=（）A．B．C．D．4．（4分）若函数y=f（x）的导函数在区间[a，b]上是增函数，则函数y=f（x）在区间[a，b]上的图象可能是（）A．B．C．D．5．（4分）已知圆（x+1）2+（y﹣1）2=2﹣m截直线x+y+2=0所得弦的长度为4，则实数m=（）A．﹣2 B．﹣4 C．﹣6 D．﹣86．（4分）若函数f（x）=x3﹣6x2+cx无极值点，则实数c的取值范围是（）A．[12，+∞）B．（12，+∞）C．（﹣∞，12）D．（﹣∞，12]7．（4分）已知f（x）=，则f′（）等于（）A．B．C．D．﹣8．（4分）函数f（x）=e x+x3﹣2在区间（0，1）内的零点个数是（）A．0 B．1 C．2 D．39．（4分）定义在[0，+∞）的函数f（x）的导函数为f′（x），对于任意的x≥0，恒有f′（x）＜f（x），m=，n=，则m，n的大小关系是（）A．m＞n B．m＜n C．m=n D．无法确定10．（4分）设f′（x）是函数y=f（x）的导数，f″（x）是f′（x）的导数，若方程f″（x）=0有实数解x0，则称点（x0，f（x0）为函数y=f（x）的“拐点”．已知：任何三次函数都有“拐点”，任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心．设f（x）=，数列{a n}的通项公式为a n=n﹣1007，则f（a i）=（）A．4034 B．4036 C．2018 D．2017二、填空题：（本大题共4小题，每小题4分，共16分）11．（4分）设曲线y=e x上点P处的切线平行于直线x﹣y﹣1=0，则点P的坐标是．12．（4分）已知点P为抛物线C：y2=4x上的一动点，则点P到点A（0，2）的距离与点P到抛物线C准线的距离之和的最小值为．13．（4分）用总长14.8 m的钢条作一个长方体容器的框架，如果制作容器的一边比另一边长0.5 m，那么高为时，容器容积最大．14．（4分）已知函数f（x）=alnx﹣x2，若对区间（1，2）内任意两个实数p，q（p≠q），都有，则实数a的取值范围是．三、解答题：（本大题共4小题，共44分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15．（10分）已知函数f（x）=．（1）若函数f（x）在（）上存在单调增区间，求实数a的取值范围．（2）若函数f（x）在（）上单调递增，求实数a的取值范围．16．（10分）在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C1的极坐标方程为：ρ2cos2θ+3ρ2sin2θ=3，曲线C2的参数方程是（t为参数）．（1）求曲线C1和C2的直角坐标方程；（1）设曲线C1和C2交于两点A，B，求以线段AB为直径的圆的直角坐标方程．17．（12分）已知动点M到定点F（1，0）和定直线x=2的距离之比为，设动点M的轨迹为曲线C．（1）求曲线C的方程．。

2017-2018年陕西省西安市雁塔区高新一中高二上学期期末数学试卷(理科)与解析

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2017-2018学年陕西省西安市雁塔区高新一中高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题：（本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题绐出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的）1．（3分）复效z满足，i为虚数单位，则为（）A．B．C．D．2．（3分）下列结论中正确的是（）A．若直线l与平面a内无数条直线平行，则l一定与a平行B．若直线l写平面α垂直，则l一定垂直于直于α内意一条直线C．若平面α与平面β均垂直于平面γ，则α一定平行于βD．空间中，经过三点一定可以确定一个平面3．（3分）由抛物线y=x2与直线y=2x围成的封闭图形的面积为（）A．8B．C．D．44．（3分）已如直线2x+my﹣8=0与圆C：（x﹣m）2+y2=4相交于A、B两点，且△ABC为等腰直角形，则m=（）A．2或14B．2C．14D．15．（3分）直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，若∠BAC=90°，AB=AC=AA1，则异面直线BA1与AC1所成的角等于（）A．30°B．45°C．60°D．90°6．（3分）已知R上的可导函数f（x）的图象如图所示，则不等式（x2﹣2x﹣3）f′（x）＞0的解集为（）A．（﹣∞，﹣2）∪（1，+∞）B．（﹣∞，﹣2）∪（1，2）C．（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，1）∪（3，+∞）D．（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，0）∪（2，+∞）7．（3分）对任意复数z=x+yi（x，y∈R），i为虚数单位，则下列结论正确的是（）A．|z﹣|=2y B．z2=x2+y2C．|z﹣|≥2x D．|z|≤|x|+|y| 8．（3分）若存在过点O（0，0）的直线l与曲线f（x）=x3﹣3x2+2x和y=x2+a都相切，则a的值是（）A．1B．C．1或D．1或﹣9．（3分）如果函数f（x）=x﹣sin2x+asinx在区间[0，]上递增，则实数a 的取值范围是（）A．[﹣1，]B．[﹣1，1]C．[﹣，+∞）D．[﹣，+∞）10．（3分）如图，在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P为棱A1B1中点，点Q在侧面DCC1D1内运动，若∠PBQ=∠PBD，则动点Q的轨迹所在曲线为（）A．圆B．椭圆C．双曲线D．抛物线二、填空题：（共大题共4小题，每小题4分，共16分）11．（4分）已知两直线l1：（m+2）x+（m+3）y﹣5=0，l2：6x+（2m﹣1）y=5，若l1∥l1，则实数m等于．12．（4分）已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为．13．（4分）已知双曲线的左右焦点分别为F1、F2，若双曲线上存在点A，使∠F1AF2=90°，且|AF1|=3|AF2|，则双曲线的离心率为．14．（4分）如图所示，在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥底面ABC，AC=1，AB=3，BC=，，则该三棱锥外接球的表面积为．三、解答题（本大题共4小题，共54分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15．（8分）如图，PCBM是直角梯形，∠PCB=90°，PM∥BC．PM=1，BC=2，又AC=1，∠ACB=120°，AB⊥PC，直线AM与直线PC所成的角为60°（1）求证：平面PAC⊥平面ABC；（2）求三棱锥P﹣MAC的体积．16．（12分）如图，在几何体ABCDEF中，平面ADE⊥平面ABCD，四边形ABCD 为菱形，且∠DAB=60°，EA=ED=AB=2EF，EF∥AB，M为BC中点．（1）求证：FM∥平面BDE；（2）求二面角D﹣BF﹣C的平面角的正弦值．17．（12分）椭圆C：的长轴是短轴的两倍，点在椭圆上．不过原点的直线l与椭圆相交于A、B两点，设直线OA、l、OB的斜率分别为k1、k、k2，且k1、k、k2恰好构成等比数列，记△ABO的面积为S．（1）求椭圆C的方程．（2）试判断|OA|2+|OB|2是否为定值？若是，求出这个值；若不是，请说明理由？（3）求S的最大值．18．（12分）已知函数f（x）=lnx+．（Ⅰ）若函数f（x）有零点，求实数a的取值范围；（Ⅱ）证明：当a≥，b＞1时，f（lnb）＞．请考生在19、20两题中任选一题[极坐标与参数方程]19．（10分）在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数，φ∈[0，]），以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知圆C的圆心C的极坐标为（2，），半径为2，直线l与圆C相交于M，N两点．（I）求圆C的极坐标方程；（Ⅱ）求当φ变化时，弦长|MN|的取值范围．[不等式选讲]20．已知函数f（x）=|a﹣3x|﹣|2+x|；（1）若a=2，解不等式f（x）≤3；（2）若关于x的不等式f（x）≥1﹣a+2|2+x|有实数解，求实数a的取值范围．六、附加题21．设点P（x1，y2）在椭圆上，点Q（x2，y2）在直线x+2y﹣8=0上，求：|x1﹣x2|+|y1﹣y2|最小值．22．已知α、β均为锐角，满足sin2α+sin2β=sin（α+β），求α+β的值．2017-2018学年陕西省西安市雁塔区高新一中高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题绐出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的）1．（3分）复效z满足，i为虚数单位，则为（）A．B．C．D．【解答】解：由，得z=（z﹣i）i=zi+1，∴z=，∴．故选：B．2．（3分）下列结论中正确的是（）A．若直线l与平面a内无数条直线平行，则l一定与a平行B．若直线l写平面α垂直，则l一定垂直于直于α内意一条直线C．若平面α与平面β均垂直于平面γ，则α一定平行于βD．空间中，经过三点一定可以确定一个平面【解答】解：对于A，直线l与平面a内无数条直线平行，则l不一定与a平行，可能直线l在平面a内；对于B，若直线l与平面α垂直，则l一定垂直于直于α内任意一条直线，正确；对于C，若平面α与平面β均垂直于平面γ，则α不一定平行于β，比如墙角，α和β相交；对于D，空间中，经过不共线的三点一定可以确定一个平面，则D不正确．故选：B．3．（3分）由抛物线y=x2与直线y=2x围成的封闭图形的面积为（）A．8B．C．D．4【解答】解：由，可得交点的坐标为（0，0），A（2，4），∴所求的封闭图形的面积为S==（x2﹣）=4﹣=，故选：C．4．（3分）已如直线2x+my﹣8=0与圆C：（x﹣m）2+y2=4相交于A、B两点，且△ABC为等腰直角形，则m=（）A．2或14B．2C．14D．1【解答】解：由题意得△ABC为等腰直角三角形，∴圆心C（m，0）到直线2x+my﹣8=0的距离d=rsin45°，即=，整理得m2﹣16m+28=0，解得m=2或14．故选：A．5．（3分）直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，若∠BAC=90°，AB=AC=AA1，则异面直线BA1与AC1所成的角等于（）A．30°B．45°C．60°D．90°【解答】解：延长CA到D，使得AD=AC，则ADA1C1为平行四边形，∠DA1B就是异面直线BA1与AC1所成的角，又A1D=A1B=DB=AB，则三角形A1DB为等边三角形，∴∠DA1B=60°故选：C．6．（3分）已知R上的可导函数f（x）的图象如图所示，则不等式（x2﹣2x﹣3）f′（x）＞0的解集为（）A．（﹣∞，﹣2）∪（1，+∞）B．（﹣∞，﹣2）∪（1，2）C．（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，1）∪（3，+∞）D．（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，0）∪（2，+∞）【解答】解：由已知中函数f（x）的图象可得：当x＜﹣1时，函数为增函数，此时f′（x）＞0，x2﹣2x﹣3＞0，（x2﹣2x﹣3）f′（x）＞0；当﹣1＜x＜1时，函数为减函数，此时f′（x）＜0，x2﹣2x﹣3＜0，（x2﹣2x﹣3）f′（x）＞0；当x＞1时，函数为增函数，此时f′（x）＞0；当1＜x＜3时，x2﹣2x﹣3＜0，（x2﹣2x﹣3）f′（x）＜0，当x＞3时，x2﹣2x﹣3＞0，（x2﹣2x﹣3）f′（x）＞0；综上可得：不等式（x2﹣2x﹣3）f′（x）＞0的解集为（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，1）∪（3，+∞），故选：C．7．（3分）对任意复数z=x+yi（x，y∈R），i为虚数单位，则下列结论正确的是（）A．|z﹣|=2y B．z2=x2+y2C．|z﹣|≥2x D．|z|≤|x|+|y|【解答】解：由于复数z=x+yi（x，y∈R），i为虚数单位，∴|z﹣|=|2yi|=2|y|，故（A）错误．由z2 =x2﹣y2+2xyi，故（B）错误．由|z﹣|=2|y|，不一定大于或等于2x，故（C）错误．由|z|=≤=|x|+|y|，故（D）正确．故选：D．8．（3分）若存在过点O（0，0）的直线l与曲线f（x）=x3﹣3x2+2x和y=x2+a都相切，则a的值是（）A．1B．C．1或D．1或﹣【解答】解：设直线l：y=kx．∵y′=3x2﹣6x+2，∴y′|x=0=2，又∵直线与曲线均过原点，于是直线y=kx与曲线y=x3﹣3x2+2相切于原点时，k=2．直线l的方程为2x﹣y=0若直线与曲线f（x）=x3﹣3x2+2x切于点（x0，y0）（x0≠0），则k=，∵y0=x03﹣3x02+2x0，∴=x02﹣3x0+2，又∵k=y′|_x=x0=3x02﹣6x0+2，∴x02﹣3x0+2=3x02﹣6x0+2，∴2x02﹣3x0=0，∵x0≠0，∴x0=，∴k=x02﹣3x0+2=﹣，直线l的方程为x+4y=0．直线l的方程为2x﹣y=0与y=x2+a联立，可得x2﹣2x+a=0，其中△=0，即（﹣2）2﹣4a=0，解得a=1；直线l的方程为x+4y=0与y=x2+a联立，可得x2+x+a=0，其中△=0，即（）2﹣4a=0，解得a=．故选：C．9．（3分）如果函数f（x）=x﹣sin2x+asinx在区间[0，]上递增，则实数a 的取值范围是（）A．[﹣1，]B．[﹣1，1]C．[﹣，+∞）D．[﹣，+∞）【解答】解：由题意得，f′（x）=1﹣cos2x+acosx，∵函数f（x）=x﹣sin2x+asinx在区间[0，]上递增，∴函数f′（x）≥0在区间[0，]上恒成立，则1﹣cos2x+acosx≥0，即﹣cos2x+acosx≥0，设t=cosx（0≤t≤1），即有5﹣4t2+3at≥0，当t=0时，不等式显然成立；当0＜t≤1时，3a≥4t﹣，∵y=4t﹣在（0，1]递增，∴t=1时，取得最大值﹣1，即3a≥﹣1，解得a≥，综上可得a的范围是[）．故选：C．10．（3分）如图，在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P为棱A1B1中点，点Q在侧面DCC1D1内运动，若∠PBQ=∠PBD，则动点Q的轨迹所在曲线为（）A．圆B．椭圆C．双曲线D．抛物线【解答】解：∵∠PBQ=∠PBD，∴∠PBQ是定值，∵平面DCC1D1∥BP，∴动点Q的轨迹所在曲线为双曲线，故选：C．二、填空题：（共大题共4小题，每小题4分，共16分）11．（4分）已知两直线l1：（m+2）x+（m+3）y﹣5=0，l2：6x+（2m﹣1）y=5，若l1∥l1，则实数m等于﹣．【解答】解：∵两直线l1：（m+2）x+（m+3）y﹣5=0，l2：6x+（2m﹣1）y=5，l1∥l1，∴，解得m=﹣．实数m等于﹣．故答案为：﹣．12．（4分）已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为3+．【解答】解：由三视图知，几何体是一个四棱锥，四棱锥的底面是一个边长为1的正方体，一条侧棱与底面垂直，且这条侧棱的长是2，∴该几何体的表面积包括5部分，S=1×1+2××2×1+2×××1=3+，故答案为：3+．13．（4分）已知双曲线的左右焦点分别为F1、F2，若双曲线上存在点A，使∠F1AF2=90°，且|AF1|=3|AF2|，则双曲线的离心率为．【解答】解：由题意知，|AF1|﹣|AF2|=2a，又|AF1|=3|AF2|，∴|AF1|=3a，|AF2|=a，∵∠F1AF2=90°，∴|AF1|2+|AF2|2=|F1F2|2，，即（3a）2+a2=2c2，即5a2=2c2∴e=．故答案为：．14．（4分）如图所示，在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥底面ABC，AC=1，AB=3，BC=，，则该三棱锥外接球的表面积为10π．【解答】解：底面△ABC，AC=b=1，AB=c=3，BC=a=，由余弦定理：可得cosA=，即A=60°．正弦定理：2r==∴r=．∵PA⊥底面ABC，∴球心与圆心的距离为AP=球心与圆心接线垂直，构成直接三角形：∴R2=，∴R2=．该三棱锥外接球的表面积S=4πR2=10π．故答案为：10π．三、解答题（本大题共4小题，共54分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15．（8分）如图，PCBM是直角梯形，∠PCB=90°，PM∥BC．PM=1，BC=2，又AC=1，∠ACB=120°，AB⊥PC，直线AM与直线PC所成的角为60°（1）求证：平面PAC⊥平面ABC；（2）求三棱锥P﹣MAC的体积．【解答】证明（1）∵PC⊥AB，PC⊥BC，AB∩BC=B，∴PC⊥平面ABC，又∵PC⊂平面PAC，∴平面PAC⊥平面ABC．解（2）取BC的中点N，则CN=1，连接AN，MN，∵PM=CN且PM∥CN，∴MN∥PC，从而MN⊥平面ABC，作NH⊥AC，交AC的延长线于H，连接MH，则由三垂线定理知，AC⊥NH，从而∠MHN为二面角M﹣AC﹣B的平面角，直线AM与直线PC所成的角为60°，∴∠AMN=60°，在△ACN中，由余弦定理得AN=．在△AMN中，MN=AN•cot∠AMN=1．在△CNH中，NH=CN•sin∠NCH=，=V A﹣PCM=V A﹣MNC=V M﹣ACN=．∴PCMN为正方形．∴V P﹣MAC16．（12分）如图，在几何体ABCDEF中，平面ADE⊥平面ABCD，四边形ABCD 为菱形，且∠DAB=60°，EA=ED=AB=2EF，EF∥AB，M为BC中点．（1）求证：FM∥平面BDE；（2）求二面角D﹣BF﹣C的平面角的正弦值．【解答】（1）证明：取CD中点N，连结MN、FN，因为N，M分别为CD，BC 中点，所以MN∥BD．又BD⊂平面BDE，且MN⊄平面BDE，所以MN∥平面BDE，因为EF∥AB，AB=2EF，所以EF∥CD，EF=DN．所以四边形EFND为平行四边形．所以FN∥ED．又ED⊂平面BDE且FN⊄平面BDE，所以FN∥平面BDE，又FN∩MN=N，所以平面MFN∥平面BDE．又FM⊂平面MFN，所以FM∥平面BDE．（2）解：取AD中点O，连结EO，BO．因为EA=ED，所以EO⊥AD．因为平面ADE⊥平面ABCD，所以EO⊥平面ABCD，EO⊥BO．因为AD=AB，∠DAB=60°，所以△ADB为等边三角形．因为O为AD中点，所以AD⊥BO．因为EO，BO，AO两两垂直，设AB=4，以O为原点，OA，OB，OE为x，y，z轴，如图建立空间直角坐标系O﹣xyz由题意得，A（2，0，0），，，D（﹣2，0，0），，.，，，设平面BDF的法向量为则，即令x=1，则，z=0所以．设平面BCF的法向量为则，即令z=1，则y=2，x=0所以．∴．二面角D﹣BF﹣C平面角的正弦值为．17．（12分）椭圆C：的长轴是短轴的两倍，点在椭圆上．不过原点的直线l与椭圆相交于A、B两点，设直线OA、l、OB的斜率分别为k1、k、k2，且k1、k、k2恰好构成等比数列，记△ABO的面积为S．（1）求椭圆C的方程．（2）试判断|OA|2+|OB|2是否为定值？若是，求出这个值；若不是，请说明理由？（3）求S的最大值．【解答】解：（1）由题意可知a=2b且，∴a=2，b=1，…2分∴椭圆的方程为；（2）设直线l的方程为y=kx+m，A（x1，y1），B（x2，y2），由直线l的方程代入椭圆方程，消去y得：（1+4k2）x2+8kmx+4m2﹣4=0，∴x1+x2=﹣，x1x2=且△=16（1+4k2﹣m2）＞0，∵k1、k、k2恰好构成等比数列．∴k2=k1k2=∴﹣4k2m2+m2=0，∴k=，此时△=16（2﹣m2）＞0，即m∈（﹣，）∴x1+x2=±2m，x1x2=2m2﹣2∴|OA|2+|OB|2==[（x1+x2）2﹣2x1x2]+2=5，∴|OA|2+|OB|2是定值为5．…（3）S=|AB|d====1，当且仅当m=±1时，S的最大值为1．18．（12分）已知函数f（x）=lnx+．（Ⅰ）若函数f（x）有零点，求实数a的取值范围；（Ⅱ）证明：当a≥，b＞1时，f（lnb）＞．【解答】解：（Ⅰ）法1：函数的定义域为（0，+∞）．由，得．…（1分）因为a＞0，则x∈（0，a）时，f'（x）＜0；x∈（a，+∞）时，f'（x）＞0．所以函数f（x）在（0，a）上单调递减，在（a，+∞）上单调递增．…（2分）当x=a时，[f（x）]min=lna+1．…（3分）当lna+1≤0，即0＜a≤时，又f（1）=ln1+a=a＞0，则函数f（x）有零点．…（4分）所以实数a的取值范围为．…（5分）法2：函数的定义域为（0，+∞）．由，得a=﹣xlnx．…（1分）令g（x）=﹣xlnx，则g'（x）=﹣（lnx+1）．当时，g'（x）＞0；当时，g'（x）＜0．所以函数g（x）在上单调递增，在上单调递减．…（2分）故时，函数g（x）取得最大值．…（3分）因而函数有零点，则．…（4分）所以实数a的取值范围为．…（5分）（Ⅱ）证明：令h（x）=xlnx+a，则h'（x）=lnx+1．当时，h'（x）＜0；当时，h'（x）＞0．所以函数h（x）在上单调递减，在上单调递增．当时，．…（6分）于是，当a≥时，．①…（7分）令φ（x）=xe﹣x，则φ'（x）=e﹣x﹣xe﹣x=e﹣x（1﹣x）．当0＜x＜1时，f'（x）＞0；当x＞1时，f'（x）＜0．所以函数φ（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减．当x=1时，．…（8分）于是，当x＞0时，．②…（9分）显然，不等式①、②中的等号不能同时成立．故当x＞0，时，xlnx+a＞xe﹣x．…（10分）因为b＞1，所以lnb＞0．所以lnb•ln（lnb）+a＞lnb•e﹣lnb．…（11分）所以，即．…（12分）请考生在19、20两题中任选一题[极坐标与参数方程]19．（10分）在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数，φ∈[0，]），以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知圆C的圆心C的极坐标为（2，），半径为2，直线l与圆C相交于M，N两点．（I）求圆C的极坐标方程；（Ⅱ）求当φ变化时，弦长|MN|的取值范围．【解答】解：（I）由圆C的圆心C的极坐标为（2，），即，半径为2，可得圆的标准方程为：=4，展开可得：x2+y2﹣2x﹣2y=0，化为极坐标方程：ρ2﹣2ρcosθ﹣2ρsinθ=0，即ρ=2cosθ+2sinθ=4cos．（II）把直线l的参数方程代入圆C的方程可得：t2+2tcosφ﹣3=0，∴t1+t2=﹣2cosφ，t1t2=﹣3．∴|MN|=|t1﹣t2|==2，∵φ∈[0，]，∴cosφ∈，cos2φ∈．∴|MN|∈．[不等式选讲]20．已知函数f（x）=|a﹣3x|﹣|2+x|；（1）若a=2，解不等式f（x）≤3；（2）若关于x的不等式f（x）≥1﹣a+2|2+x|有实数解，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）a=2时：f（x）=|3x﹣2|﹣|x+2|≤3，或或，解得：﹣≤x≤；（2）不等式f（x）≥1﹣a+2|2+x|成立，即|3x﹣a|﹣|3x+6|≥1﹣a，由绝对值不等式的性质可得||3x﹣a|﹣|3x+6||≤|（3x﹣a）﹣（3x+6）|=|a+6|，即有f （x ）的最大值为|a +6|， ∴或，解得：a ≥﹣．六、附加题21．设点P （x 1，y 2）在椭圆上，点Q （x 2，y 2）在直线x +2y ﹣8=0上，求：|x 1﹣x 2|+|y 1﹣y 2|最小值． 【解答】解：①取x 1=x 2∈[0，2]，则y 1=，y 2=（8﹣x 2）=（8﹣x 1），则|x 1﹣x 2|+|y 1﹣y 2|=|y 1﹣y 2|=（8﹣x 1）﹣=4﹣（x 1+），令（），则|y 1﹣y 2|=4﹣（）=4﹣2sin （）≥4﹣2=2．②取y 1=y 2∈[0，]，则，x 2=8﹣2y 2，则|x 1﹣x 2|+|y 1﹣y 2|=|x 1﹣x 2|=8﹣2y 1﹣=8﹣（2y 1+），令y 1=sinθ，（θ∈[0，]），则|x 1﹣x 2|=8﹣（2sinθ+2cosθ）=8﹣4sin （）≥4．综上可得：|x 1﹣x 2|+|y 1﹣y 2|的最小值是2．22．已知α、β均为锐角，满足sin 2α+sin 2β=sin （α+β），求α+β的值．【解答】解：α、β均为锐角，满足sin 2α+sin 2β=sin （α+β），即sin 2α+sin 2β=sinαcosβ+cosαsinβ，∴sinα（sinα﹣cosβ）+sinβ（sinβ﹣cosα）=0 ①． 若sinα﹣cosβ＞0，即sinα＞cosβ=sin （﹣β），∴α＞﹣β，即β＞﹣α，∴sinβ＞sin（﹣α）=cosα，即s inβ﹣cosα＞0，此时，①不成立． 若sinα﹣cosβ＜0，即sinα＜cosβ=sin （﹣β），∴α＜﹣β，即β＜﹣α，∴sinβ＜sin （﹣α）=cosα，即sinβ﹣cosα＜0，此时，①不成立． 故有sinα=cosβ=sin （﹣β），∴α=﹣β，∴α+β=．赠送—高中数学知识点【1.3.1】单调性与最大（小）值（1）函数的单调性②在公共定义域内，两个增函数的和是增函数，两个减函数的和是减函数，增函数减去一个减函数为增函数，减函数减去一个增函数为减函数． ③对于复合函数[()]y f g x =，令()u g x =，若()y f u =为增，()u g x =为增，则[()]y f g x =为增；若()y f u =为减，()u g x =为减，则[()]y f g x =为增；若()y f u =为增，()u g x =为减，则[()]y f g x =为减；若()y f u =为yxo减，()u g x =为增，则[()]y f g x =为减． （2）打“√”函数()(0)af x x a x=+>的图象与性质 ()f x 分别在(,]a -∞-、[,)a +∞上为增函数，分别在[,0)a -、]a 上为减函数．（3）最大（小）值定义①一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数M 满足：（1）对于任意的x I ∈，都有()f x M ≤；（2）存在0x I ∈，使得0()f x M =．那么，我们称M 是函数()f x 的最大值，记作max ()f x M =．②一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数m 满足：（1）对于任意的x I ∈，都有()f x m ≥；（2）存在0x I ∈，使得0()f x m =．那么，我们称m 是函数()f x 的最小值，记作max ()f x m =．【1.3.2】奇偶性（4）函数的奇偶性①定义及判定方法②若函数()f x 为奇函数，且在0x =处有定义，则(0)0f =．③奇函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相同，偶函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相反．④在公共定义域内，两个偶函数（或奇函数）的和（或差）仍是偶函数（或奇函数），两个偶函数（或奇函数）的积（或商）是偶函数，一个偶函数与一个奇函数的积（或商）是奇函数．。

陕西省西安中学2017-2018学年高二上学期第二次月考数学试卷 Word版含解析

陕西省西安中学2017-2018学年高二上学期第二次月考数学试卷 Word版含解析

2017-2018学年陕西省西安中学高二（上）第二次月考数学试卷一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．命题“存在实数x，使x＞1”的否定是（）A．对任意实数x，都有x＞1 B．不存在实数x，使x≤1C．对任意实数x，都有x≤1 D．存在实数x，使x≤12．已椭圆方程为，则该椭圆的焦距为（）A．10 B．8 C．6 D．33．命题“若x2＜1，则﹣1＜x＜1”x∈R的逆否命题和真假性分别为（）A．若x2≥1，则x≥1或x≤﹣1；假命题B．若﹣1＜x＜1，则x2＜1；假命题C．若x＞1或x＜﹣1，则x2＞1；真命题D．若x≥1或x≤﹣1，则x2≥1；真命题4．若平面α与β的法向量分别是，则平面α与β的位置关系是（）A．平行 B．垂直 C．相交但不垂直 D．无法确定5．已知向量，则与向量共线的单位向量为（）A．和B．C．和D．6．已知向量=（1，1，0），=（﹣1，0，2），且与互相垂直，则k的值是（）A．1 B．C．D．7．已知正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=2AB=2，E为AA1中点，则异面直线BE与CD1所成角的余弦值为（）A．B．C．D．8．非零向量使得成立的一个充分非必要条件是（）A．B． C．D．9．过椭圆+=1（a＞b＞0）的左焦点F1作x轴的垂线交椭圆于点P，F2为右焦点，若∠F1PF2=60°，则椭圆的离心率为（）A．B．C．D．10．已知空间四面体D﹣ABC的每条边都等于1，点E，F分别是AB，AD的中点，则•等于（）A．B．﹣C．D．﹣11．椭圆的焦点F1，F2，P为椭圆上的一点，已知PF1⊥PF2，则△F1PF2的面积为（）A．8 B．9 C．10 D．1212．以下命题正确的个数为（）①若“p且q”与“¬p或q”均为假命题，则p真q假；②“a＞0”是“函数f（x）=|（ax﹣1）x|在区间（﹣∞，0）上单调递减”的充要条件；③函数f（x）=3ax+1﹣2a在（﹣1，1）上存在x0，使得f（x0）=0，则a的取值范围是a＜﹣1或；④若向量，且与的夹角为钝角，则m＜10．A．1 B．2 C．3 D．4二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．已知向量，且，那么x+y的值为．14．已知，则的最小值．15．已知点P（5，3，6），直线l过点A（2，3，1），且一个方向向量，则点P到直线l的距离为．16．已知椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，椭圆C上点A满足AF2⊥F1F2，若点P是椭圆C上的动点，则的最大值为．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．设p：实数x满足x2﹣4ax+3a2＜0，其中a≠0，q：2＜x≤3．（1）若a=1，且p∧q为真，求实数x的取值范围；（2）若p是q的必要不充分条件，求实数a的取值范围．18．如图直角梯形OABC中，面OABC，SO=1，以OC，OA，OS分别为x轴，y轴，z轴建立直角坐标系O﹣xyz．（1）求与的夹角α的余弦值；（2）设SB与平面SOC所成的角为β，求sinβ．19．设椭圆C： +=1（a＞b＞0）过点（0，4），离心率为．（1）求椭圆C的方程；（2）求过点（3，0）且斜率为的直线被椭圆所截得线段的中点坐标．20．如图，正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=2AB=4，点E在C1C上，且C1E=3EC．（1）证明A1C⊥平面BED；（2）求平面A1DE与平面BDE的夹角余弦值．21．已知命题p：∀x∈[1，2]，x2﹣（k+1）x+1≤0，命题q：方程表示焦点在x轴上的椭圆．（1）若p是真命题，求实数k的取值范围；（2）若p且q为假命题，p或q为真命题，求实数k的取值范围．22．如图，四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是平行四边形，AD=2，AB=1，∠ABC=60°，PA ⊥面ABCD，且PA=3，设G为PB中点，点F在线段PD上且PF=2FD．（1）求点G到ACF的距离；（2）在线段PC上是否存在点E，使得BE∥面ACF，若存在，确定点E的位置；若不存在，说明理由．2015-2016学年陕西省西安中学高二（上）第二次月考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．命题“存在实数x，使x＞1”的否定是（）A．对任意实数x，都有x＞1 B．不存在实数x，使x≤1C．对任意实数x，都有x≤1 D．存在实数x，使x≤1【考点】命题的否定．【分析】根据存在命题（特称命题）否定的方法，可得结果是一个全称命题，结合已知易得答案．【解答】解：∵命题“存在实数x，使x＞1”的否定是“对任意实数x，都有x≤1”故选C2．已椭圆方程为，则该椭圆的焦距为（）A．10 B．8 C．6 D．3【考点】椭圆的简单性质．【分析】椭圆方程为，可得a，b，c=，即可得出焦距．【解答】解：椭圆方程为，∴a=5，b=4，c==3，则该椭圆的焦距=2c=6．故选：C．3．命题“若x2＜1，则﹣1＜x＜1”x∈R的逆否命题和真假性分别为（）A．若x2≥1，则x≥1或x≤﹣1；假命题B．若﹣1＜x＜1，则x2＜1；假命题C．若x＞1或x＜﹣1，则x2＞1；真命题D．若x≥1或x≤﹣1，则x2≥1；真命题【考点】命题的真假判断与应用．【分析】先判断原命题的真假，结合互为逆否的命题真假性相同，再写出原命题的逆否命题，可得答案．【解答】解：命题“若x2＜1，则﹣1＜x＜1”为真命题，故其逆否命题也为真命题，故排除A，B；又由其逆否命题为：若x≥1或x≤﹣1，则x2≥1，可排除C，故选：D4．若平面α与β的法向量分别是，则平面α与β的位置关系是（）A．平行 B．垂直 C．相交但不垂直 D．无法确定【考点】向量语言表述面面的垂直、平行关系．【分析】先计算向量与向量的数量积，根据数量积为0得到两向量垂直，从而判断出两平面的位置关系．【解答】解：=﹣2+8﹣6=0∴⊥∴平面α与平面β垂直故选B5．已知向量，则与向量共线的单位向量为（）A．和B．C．和D．【考点】共线向量与共面向量．【分析】求出向量的模||，得出与向量共线的单位向量是±．【解答】解：向量的模为：||==4，故与向量共线的单位向量是±=±（﹣3，1，）=±（﹣，，）；即（﹣，，）或（，﹣，﹣）．故选：C．6．已知向量=（1，1，0），=（﹣1，0，2），且与互相垂直，则k的值是（）A．1 B．C．D．【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系．【分析】根据题意，易得k+，2﹣的坐标，结合向量垂直的性质，可得3（k﹣1）+2k ﹣2×2=0，解可得k的值，即可得答案．【解答】解：根据题意，易得k+=k（1，1，0）+（﹣1，0，2）=（k﹣1，k，2），2﹣=2（1，1，0）﹣（﹣1，0，2）=（3，2，﹣2）．∵两向量垂直，∴3（k﹣1）+2k﹣2×2=0．∴k=，故选D．7．已知正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=2AB=2，E为AA1中点，则异面直线BE与CD1所成角的余弦值为（）A．B．C．D．【考点】异面直线及其所成的角．【分析】求异面直线所成的角，一般有两种方法，一种是几何法，其基本解题思路是“异面化共面，认定再计算”，即利用平移法和补形法将两条异面直线转化到同一个三角形中，结合余弦定理来求．还有一种方法是向量法，即建立空间直角坐标系，利用向量的代数法和几何法求解．本题采用几何法较为简单：连接A1B，则有A1B∥CD1，则∠A1BE就是异面直线BE与CD1所成角，由余弦定理可知cos∠A1BE的大小．【解答】解：如图连接A1B，则有A1B∥CD1，∠A1BE就是异面直线BE与CD1所成角，设AB=1，则A1E=AE=1，∴BE=，A1B=．由余弦定理可知：cos∠A1BE=．故选C．8．非零向量使得成立的一个充分非必要条件是（）A．B． C．D．【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据向量的有关概念和运算，利用充分条件和必要条件的定义进行判断．【解答】解：由得：，即，∴，∵，∴，即，∴共线且方向相反．∴满足使得成立的一个充分非必要条件是，故选：B．9．过椭圆+=1（a＞b＞0）的左焦点F1作x轴的垂线交椭圆于点P，F2为右焦点，若∠F1PF2=60°，则椭圆的离心率为（）A．B．C．D．【考点】椭圆的简单性质．【分析】把x=﹣c代入椭圆方程求得P的坐标，进而根据∠F1PF2=60°推断出=整理得e2+2e﹣=0，进而求得椭圆的离心率e．【解答】解：由题意知点P的坐标为（﹣c，）或（﹣c，﹣），∵∠F1PF2=60°，∴=，即2ac=b2=（a2﹣c2）．∴e2+2e﹣=0，∴e=或e=﹣（舍去）．故选B．10．已知空间四面体D ﹣ABC 的每条边都等于1，点E ，F 分别是AB ，AD 的中点，则•等于（ ）A ．B ．﹣C ．D ．﹣【考点】平面向量数量积的运算．【分析】根据题意知EF ∥BD ，且EF=BD ，所以根据共线向量基本定理可得：，因为，所以这就可以求出了．【解答】解：由已知条件得：EF ∥BD ，且EF=BD ，∴；∴．故选：A ．11．椭圆的焦点F 1，F 2，P 为椭圆上的一点，已知PF 1⊥PF 2，则△F 1PF 2的面积为（ ） A ．8 B ．9C ．10D ．12 【考点】椭圆的应用． 【分析】先设出|PF 1|=m ，|PF 2|=n ，利用椭圆的定义求得n +m 的值，平方后求得mn 和m 2+n 2的关系，代入△F 1PF 2的勾股定理中求得mn 的值，即可求出△F 1PF 2的面积． 【解答】解：设|PF 1|=m ，|PF 2|=n ， 由椭圆的定义可知m +n=2a ， ∴m 2+n 2+2nm=4a 2， ∴m 2+n 2=4a 2﹣2nm 由勾股定理可知 m 2+n 2=4c 2，求得mn=18，则△F1PF2的面积为9．故选B．12．以下命题正确的个数为（）①若“p且q”与“¬p或q”均为假命题，则p真q假；②“a＞0”是“函数f（x）=|（ax﹣1）x|在区间（﹣∞，0）上单调递减”的充要条件；③函数f（x）=3ax+1﹣2a在（﹣1，1）上存在x0，使得f（x0）=0，则a的取值范围是a＜﹣1或；④若向量，且与的夹角为钝角，则m＜10．A．1 B．2 C．3 D．4【考点】命题的真假判断与应用．【分析】①根据“p且q”与“¬p或q”均为假命题，结合复合命题的真值表，易判断命题p与q的真假，根据原命题与其否定之间的关系，即得答案；②根据二次函数的单调性，利用充分条件和必要条件的定义进行判断即可；③由零点存在性定理，通过f（﹣1）•f（1）＜0，即可得出结论；④由题意可得•＜0且与不共线，解不等式排除共线的情形即可．【解答】解：对于①，若“p且q”为假命题，则p与q存在假命题，又“¬p或q”为假命题，则¬p与q均为假命题，故p真q假，命题①正确；对于②，如图所示，当a＞0时，f（x）=|ax2﹣x|=|a（x2﹣x）|=|a（x﹣）2﹣|，则函数f（x）的对称轴为x=＞0，又f（x）=|ax2﹣x|=|ax（x﹣）|=0得两个根分别为x=0或x=＞0，∴函数f（x）=|ax2﹣x|在区间（﹣∞，0）内单调递减，充分性成立；当a=0时，函数f（x）=|ax2﹣x|=|x|，满足在区间（﹣∞，0）上单调递减”，必要性不成立；∴“a＞0”是“函数f（x）=|（ax﹣1）x|在区间（﹣∞，0）内单调递减”的充分不必要条件，命题②错误；对于③，函数f（x）=3ax+1﹣2a在（﹣1，1）上存在x0，使f（x0）=0，由零点存在性定理，可知f（﹣1）•f（1）＜0，即（﹣3a+1﹣2a）•（3a+1﹣2a）＜0；解得a＜﹣1或a＞，命题③正确；④若向量，且与的夹角为钝角，∴•＜0且与不共线，由•＜0可得﹣2+2m﹣18＜0，解得m＜10，当与共线时，==，可得m=﹣4，∴实数m的取值范围为：m＜10且m≠﹣4，命题④错误．综上，正确的命题序号是①③．故选：B．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．已知向量，且，那么x+y的值为﹣4．【考点】共线向量与共面向量．【分析】利用向量共线定理即可得出．【解答】解：∵，∴存在实数λ使得，∴，解得λ=﹣，x=2，y=﹣6．∴x+y=﹣4．故答案为：﹣4．14．已知，则的最小值．【考点】空间向量的加减法；空间两点间的距离公式．【分析】先利用向量减法及向量模的公式求得，进而利用二次函数的性质求得其最小值．【解答】解：==，∴当t=﹣1时，|AB|有最小值，故答案为：．15．已知点P（5，3，6），直线l过点A（2，3，1），且一个方向向量，则点P到直线l的距离为4．【考点】点、线、面间的距离计算．【分析】求出=（﹣3，0，﹣5），sin＜，＞=，即可求出点P（5，3，6）到直线l的距离．【解答】解：由题意，=（﹣3，0，﹣5），∵，∴cos＜，＞==，∴sin＜，＞=∵||=，∴P（5，3，6）到直线l的距离为4．故答案为：4．16．已知椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，椭圆C上点A满足AF2⊥F1F2，若点P是椭圆C上的动点，则的最大值为．【考点】椭圆的简单性质．【分析】由已知可得点A，F1，F2的坐标，再利用数量积运算法则和点P的纵坐标的取值范围即可得出最大值．【解答】解：由椭圆可得a2=4，b2=3，c==1，可得F1（﹣1，0），F2（1，0），由AF2⊥F1F2，令x=1，可得y=±•=±，可设A（1，），设P（m，n），则+=1，又﹣≤n≤，则•=（m+1，n）•（0，）=n≤．可得•的最大值为．故答案为：．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．设p：实数x满足x2﹣4ax+3a2＜0，其中a≠0，q：2＜x≤3．（1）若a=1，且p∧q为真，求实数x的取值范围；（2）若p是q的必要不充分条件，求实数a的取值范围．【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；复合命题的真假．【分析】（1）先求出命题p为：x∈（1，3），结合p∧q为真，从而得到x的范围；（2）由题意得x∈（2，3）是不等式x2﹣4ax+3a2＜0的根范围的子集，通过讨论a的范围，得出答案．【解答】解（1）∵a=1，∴x2﹣4x+3＜0，∴命题p为：x∈（1，3），又∵q：2＜x≤3，∴x∈（2，3）；（2）∵p是q的必要不充分条件，∴x∈（2，3）是不等式x2﹣4ax+3a2＜0的根范围的子集，当a＞0时，p：x∈（a，3a），当a＜0时，p：x∈（3a，a），又∵q：x∈（2，3]，∴a∈（1，2）．18．如图直角梯形OABC中，面OABC，SO=1，以OC，OA，OS分别为x轴，y轴，z轴建立直角坐标系O﹣xyz．（1）求与的夹角α的余弦值；（2）设SB与平面SOC所成的角为β，求sinβ．【考点】直线与平面所成的角；异面直线及其所成的角．【分析】（1）根据已知，求出各顶点的坐标，进而求出向量与的坐标，代入向量夹角公式，即可得到结论．（2）求出平面SOC的法向量为（0，1，0），=（1，1，﹣1），利用向量的夹角公式，即可求SB与平面SOC夹角的正弦值．【解答】解：（1）如图所示：C（2，0，0），S（0，0，1），O（0，0，0），B（1，1，0）．∴=（2，0，﹣1），=（1，1，0），∴cos＜，＞==．∴与的夹角α的余弦值为；（2）平面SOC的法向量为（0，1，0），=（1，1，﹣1），∴sinβ=||=．19．设椭圆C： +=1（a＞b＞0）过点（0，4），离心率为．（1）求椭圆C的方程；（2）求过点（3，0）且斜率为的直线被椭圆所截得线段的中点坐标．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．【分析】（1）椭圆C： +=1（a＞b＞0）过点（0，4），可求b，利用离心率为，求出a，即可得到椭圆C的方程；（2）过点（3，0）且斜率为的直线为y=（x﹣3），代入椭圆C方程，整理，利用韦达定理，确定线段的中点坐标．【解答】解：（1）将点（0，4）代入椭圆C的方程得=1，∴b=4，…由e==，得1﹣=，∴a=5，…∴椭圆C的方程为+=1．…（2）过点（3，0）且斜率为的直线为y=（x﹣3），…设直线与椭圆C的交点为A（x1，y1），B（x2，y2），将直线方程y=（x﹣3）代入椭圆C方程，整理得x2﹣3x﹣8=0，…由韦达定理得x1+x2=3，y1+y2=（x1﹣3）+（x2﹣3）=（x1+x2）﹣=﹣．…由中点坐标公式AB中点横坐标为，纵坐标为﹣，∴所截线段的中点坐标为（，﹣）．…20．如图，正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=2AB=4，点E在C1C上，且C1E=3EC．（1）证明A1C⊥平面BED；（2）求平面A1DE与平面BDE的夹角余弦值．【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定．【分析】（1）如图所示，建立空间直角坐标系，只要证明：•=0，•=0，即可得出A1C⊥平面BED．（2）由（1）可得平面BDE的一个法向量：==（﹣2，2，﹣4），设平面A1DE的法向量为=（x，y，z），则，可得，利用=，即可得出．【解答】（1）证明：如图所示，建立空间直角坐标系．D（0，0，0），C（0，2，0），B（2，2，0），E（0，2，1），A1（2，0，4），∴=（0，2，1），=（2，2，0），=（﹣2，2，﹣4），∵•=0+4﹣4=0，•=﹣4+4=0，DE∩DB=D，∴A1C⊥平面BED．（2）解：由（1）可得平面BDE的一个法向量：==（﹣2，2，﹣4），=（2，0，4），设平面A1DE的法向量为=（x，y，z），则，即，取=（4，﹣1，2），∴===．∴平面A1DE与平面BDE的夹角余弦值为．21．已知命题p：∀x∈[1，2]，x2﹣（k+1）x+1≤0，命题q：方程表示焦点在x轴上的椭圆．（1）若p是真命题，求实数k的取值范围；（2）若p且q为假命题，p或q为真命题，求实数k的取值范围．【考点】复合命题的真假．【分析】（1）p是真命题，∀x∈[1，2]，x2﹣（k+1）x+1≤0，可得k≥x+﹣1．令f（x）=x+﹣1，利用导数研究其单调性即可得出．（2）命题q：方程表示焦点在x轴上的椭圆，则9﹣2k＞k＞0，解得k范围．由p且q为假命题，p或q为真命题，可得p与q必然一真一假．【解答】解：（1）p是真命题，∀x∈[1，2]，x2﹣（k+1）x+1≤0，∴k≥x+﹣1．令f（x）=x+﹣1，则f′（x）=1﹣≥0，∴函数f（x）在x∈[1，2]上单调递增，∴f（x）的最大值为2+﹣1=．∴k≥，即实数k的取值范围是．（2）命题q：方程表示焦点在x轴上的椭圆，则9﹣2k＞k＞0，解得0＜k＜3．∵p且q为假命题，p或q为真命题，∴p与q必然一真一假．∴，，解得k ≥3或．∴实数k 的取值范围是∪[3，+∞）．22．如图，四棱锥P ﹣ABCD 的底面ABCD 是平行四边形，AD=2，AB=1，∠ABC=60°，PA ⊥面ABCD ，且PA=3，设G 为PB 中点，点F 在线段PD 上且PF=2FD ． （1）求点G 到ACF 的距离；（2）在线段PC 上是否存在点E ，使得BE ∥面ACF ，若存在，确定点E 的位置；若不存在，说明理由．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；点、线、面间的距离计算． 【分析】（Ⅰ）由验证利用余弦定理可得：AC 2=3，于是AB 2+AC 2=BC 2．可得AB ⊥AC ．又PA ⊥面ABCD ，以AB ，AC ，AP 分别为x ，y ，z 轴建立坐标系．利用，可得F 坐标．设面ACF 的法向量为=（x ，y ，z ），则，可得．利用点G 到ACF 的距离d=即可得出．（2）取线段PC 的中点E ，使得BE ∥面ACF ，只要证明=0，且BE ⊄面ACF ，即可得出BE ∥平面ACF ． 【解答】（Ⅰ）解：∵由AD=2，AB=1，ABCD 是平行四边形，∠ABC=60°， ∴AC 2=12+22﹣2×1×2cos60°=3， ∴AB 2+AC 2=BC 2=4． ∴AB ⊥AC ．又∵PA ⊥面ABCD ，∴以AB ，AC ，AP 分别为x ，y ，z 轴建立坐标系．则A （0，0，0），B （1，0，0），C （0，，0），D （﹣1，，0），P （0，0，3），G．设F（x，y，z），∵，（x，y，z﹣3）=2（﹣1﹣x，﹣y，﹣z）．解得：x=﹣，y=，z=1，∴F．设面ACF的法向量为=（x，y，z），则，即，取=（3，0，2）．∴点G到ACF的距离d===．（2）解：取线段PC的中点E，使得BE∥面ACF，E．=，∵=﹣3+0+=0，∴，且BE⊄面ACF，∴BE∥平面ACF．2016年12月8日。

2018-2019学年陕西省西安市高新一中高二(上)期中数学试卷文科

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2018-2019学年陕西省西安市高新一中高二（上）期中数学试卷（文科）一、选择题（本大题共10小题，共40.0分） 1.抛物线的焦点坐标为A.B.C.D.【答案】D【解析】解：根据题意，抛物线的方程为：，则其标准方程为：， 其焦点在y 轴正半轴上，且， 则其焦点坐标为； 故选：D ．根据题意，先将抛物线的方程变形为标准方程的形式，分析可得抛物线的焦点位置以及p 的值，进而可得其焦点坐标，即可得答案．本题考查抛物线的标准方程和性质，注意先将抛物线的方程变形为标准方程的形式．2.圆的圆心到直线的距离为1，则A.B.C.D. 2【答案】A【解析】解：圆的圆心坐标为：，故圆心到直线的距离，解得：，故选：A ．求出圆心坐标，代入点到直线距离方程，解得答案．本题考查的知识点是圆的一般方程，点到直线的距离公式，难度中档． 3.已知直线l 的参数方程是，则直线l 的斜率为A.B.C. 1D.【答案】D【解析】解：根据题意，直线l 的参数方程是，其普通方程为，即， 直线l 的斜率为； 故选：D ．根据题意，将直线的参数方程变形为普通方程，分析可得答案．本题考查直线的参数方程，注意将直线的参数方程变形为普通方程，属于基础题．4. 已知椭圆：的焦距为4，则m 等于A. 4B. 8C. 4或8D. 以上均不对【答案】C【解析】解：焦点在x 轴上时： 解得：焦点在y 轴上时 解得： 故选：C ．首先分两种情况：焦点在x 轴上时：焦点在y 轴上时分别求出m 的值即可．本题考查的知识要点：椭圆方程的两种情况：焦点在x 轴或y 轴上，考察a 、b 、c 的关系式，及相关的运算问题．5. 已知向量，则k 等于A. B. 12C. D. 6【答案】B【解析】解：因为，，，，解得：，故选：B ．用数量积公式列方程计算．本题考查了平面向量的数量积的性质及其运算属基础题． 6.已知是定义在R 上的奇函数，且当对，，A.B.C.D.【答案】C【解析】解：由题意，；故；故选：C ．由题意，利用奇偶性可得；再求即可．本题考查了分段函数的应用，属于基础题．7. 已知双曲线的左、右焦点分别为，，过的直线与该双曲线的右支交于A 、B 两点，若，则的周长为A. 16B. 20C. 21D. 26【答案】D【解析】解：由双曲线的方程可知， 则，， 则， 即，则的周长为， 故选：D ．根据双曲线的定义和性质，即可求出三角形的周长．本题主要考查双曲线的定义，根据双曲线的定义得到A ，B 到两焦点距离之差是个常数是解决本题的关键． 8.已知直线、经过圆的圆心，则的最小值是A. 9B. 8C. 4D. 2【答案】A【解析】解：圆化成标准方程，得， 圆的圆心为，半径． 直线经过圆心C ，，即，因此，，、，，当且仅当时等号成立． 由此可得当，即且时，的最小值为9．故选：A ．将圆化成标准方程可得圆心为，代入题中的直线方程算出，从而化简得，再根据基本不等式加以计算，可得当且时，的最小值为9． 本题给出已知圆的圆心在直线上，在b 、的情况下求的最小值着重考查了直线与圆的位置关系、圆的标准方程和基本不等式等知识，属于中档题．9. 函数的图象大致是A.B.C.D.【答案】A【解析】解：，又在单调递增，， 函数的图象应在x 轴的上方，又，图象过原点， 综上只有A 符合． 故选：A ．，又在单调递增，，函数的图象应在x 轴的上方，在令x 取特殊值，选出答案．对于函数的选择题，从特殊值、函数的性质入手，往往事半功倍，本题属于低档题．10. 已知椭圆的左，右焦点为，，离心率为是椭圆上一点，满足，点Q 在线段上，且若，则A.B.C.D.【答案】C【解析】解：由题意可知：，则， 由，，则，，，由，则，整理得：，则，整理得：，则，解得：， 由，则， 故选：C ．由题意求得P 点坐标，根据向量的坐标运算求得Q 点坐标，由，求得，则，根据离心率的取值范围，即可求得椭圆的离心率．本题考查椭圆的离心率的求法，考查向量数量积的坐标运算，考查计算能力，属于中档题．二、填空题（本大题共4小题，共16.0分） 11. 若直线与直线平行，那么实数m 的值为______． 【答案】0或【解析】解：当时，两条直线的斜率都不存在，两直线的方程分别为和，显然两直线平行．当时，两条直线的斜率都存在，两直线平行的充要条件是斜率相等，且在y 轴上的截距不相等，即，且，解得，综上，实数m 的值为0或， 故答案为0或．先检验时，两条直线的斜率都不存在的情况再考虑时，两条直线的斜率都存在的情况，此时，两直线平行的充要条件是斜率相等，且在y 轴上的截距不相等，解出实数m 的值．本题考查两条直线平行的条件，注意检验两条直线的斜率都不存在的情况，体现了分类讨论的数学思想．12. 圆心在半径为1的圆的极坐标方程是______． 【答案】【解析】解：由题意，圆的标准方程是：， 展开得：， 由，得：，故答案为：． 根据，将普通方程转化为极坐标方程即可． 本题考查了普通方程和极坐标方程的转化，是一道基础题．13.在中，内角A，B，C所对应的边分别是a，b，c ，若，，则的面积是______．【答案】【解析】解：由，可得，由余弦定理：，所以：，所以；所以．故答案为：．利用余弦定理，结合，，求出，利用，求出的面积．本题考查余弦定理，正弦定理的运用，考查学生的计算能力，确定是关键．14. 长为2的线段AB 的两个端点在抛物线上滑动，则线段AB中点M到y轴距离的最小值是______．【答案】【解析】解：设抛物线的准线为l，A、B、M在l上的射影分别为C、D、N，连结AC、BD、MN．由梯形的中位线定理，可得连结AF、BF ，根据抛物线的定义得，根据平面几何知识，可得，当且仅当点F在AB上时取等号，可得设M的横坐标为a ，抛物线的准线方程为．则，得．因此，当且仅当线段AB为抛物线经过焦点的弦时，AB中点M到y 轴距离的最小值为故答案为：设A、B、M抛物线的准线上的射影分别为C、D、N，连结AC、BD 、根据梯形中位线定理证出，利用抛物线的定义得，由此结合平面几何的知识证出，即可求出AB中点M到y轴距离的最小值．本题给出抛物线长度为2的弦，当弦在抛物线上滑动时求它的中点到y轴的最小距离着重考查了抛物线的定义、标准方程和简单几何性质等知识，属于中档题．三、解答题（本大题共7小题，共64.0分）15. 已知正项等比数列的前n 项和为，且．求数列的通项公式；若，求数列的前n 项和．【答案】解：时得，，又，数列是首项为2，公比为2的等比数列，；，．【解析】当时，，可得出数列是等比数列，再用等比数列的通项公式可得；利用等差数列与等比数列的前n项和公式即可得出．本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式、利用分组求和法是解决本题的关键，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．16. 在直角坐标系xOy中，曲线C 的参数方程为为参数，直线l 的方程是，以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．Ⅰ求直线l和圆C的极坐标方程；Ⅱ已知射线OM ：其中与圆C交于O、P，射线OQ ：与直线l交于点Q，若，求的值．【答案】解：Ⅰ直线l 的方程是，，，直线l 的极坐标方程为，即．曲线C 的参数方程为为参数，圆C 的直角坐标方程为，圆C 的极坐标方程为．Ⅱ由题意得，，则，解得，又，．【解析】Ⅰ由，，能求出直线l的极坐标方程；由曲线C的参数方程求出圆C的直角坐标方程，从而能求出圆C的极坐标方程．Ⅱ由，，由，得，由此能求出的值．本题考查直线与圆的极坐标的求法，考查角的求法，考查直角坐标方程、极坐标方程、参数方程的互化等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．17. 已知圆C ：，O为坐标原点，动点P在圆C外，过P作圆C的切线，设切点为M．若点P 运动到处，求此时切线l的方程；当时，求点P的轨迹方程P；求两切点所在直线方程．【答案】解：C ：，即C ：，当时，圆心到直线的距离，此时直线与圆相切，当斜率存在时，可设直线即由直线与圆相切的性质可知，，解方程可得，，直线方程为故所求的切线l 的方程为或；，，整理可得P 的轨迹方程为设，另一切点为N，连接CM，CN 则，，则PMCN 四点共圆，且此圆的方程为C ：可得，两切点所在直线方程为．【解析】对切线的斜率是否存在分类讨论，用点斜式求得直线的方程；设出P的坐标，代入平面两点间的距离公式，化简得轨迹方程设，另一切点为N，则PMCN四点共圆，两圆方程相减可得切点所在的直线方程．本题主要考查了用点斜式求解直线方程，注意分类讨论思想的应用，还考查了直线与圆相切的性质，点到直线的距离公式及轨迹方程的求解，属于中档试题18. 已知函数的最小正周期为Ⅰ求的值；Ⅱ求在区间上的最大值和最小值．【答案】解：Ⅰ因为，所以的最小正周期，解得．Ⅱ由Ⅰ得，因为，所以，所以，当，即时，取得最大值为1；当，即时，取得最小值为．【解析】Ⅰ根据三角函数的倍角公式以及辅助角公式将函数进行化简即可．Ⅱ求出角的取值范围，结合三角函数的最值性质进行判断求解即可．本题主要考查三角函数的图象和性质，利用辅助角公式将函数进行化简是解决本题的关键．19. 椭圆C ：的左、右焦点分别为、，离心率为，长轴长为4．求椭圆C的方程；设不过原点O的直线l与椭圆C相较于P、Q两点，满足直线OP、PQ、OQ的斜率依次成等比数列，求面积的取值范围．【答案】解：由得，，椭圆C 的方程为：由题意可知，直线l的斜率存在且不为0，故可设直线l 的方程为：，，，由，消去y 得：则且，，故，因为直线OP，PQ，OQ的斜率依次成等比数列，所以，即，又，所以，即，由于直线OP，OQ 的斜率存在，且，得，设d为点O到直线l 的距离，则，所以的取值范围是【解析】根据离心率和长轴，求出a，b即可；设出直线的方程，将直线方程与椭圆方程联立，消去x得到关于y的二次方程，利用韦达定理得到关于两个交点的坐标的关系，将直线OP，OQ的斜率用坐标表示，据已知三个斜率成等比数列，列出方程，将韦达定理得到的等式代入，求出k的值，利用判别式大于0得到m 的范围，将面包用m表示，求出面积的范围．本题考查了直线与椭圆的综合属难题．20. 数列满足，求的值．【答案】解：数列满足，可得，即有，设，，两式相减可得，化简可得，则．【解析】由题意可得，运用数列恒等式，以及数列的求和方法：错位相减法，计算可得所求值．本题考查数列的求和方法：错位相减法，考查等比数列的求和公式和化简变形能力，属于中档题．21. 如图：某污水处理厂要在一个矩形污水处理池的池底水平铺设污水净化管道H 是直角顶点来处理污水，管道越长，污水净化效果越好设计要求管道的接口H是AB的中点，E，F分别落在线段BC，AD上已知米，米，记．试将污水净化管道的长度L 表示为的函数，并写出定义域；问：当取何值时，污水净化效果最好？并求出此时管道的长度．【答案】解：由题意可得，，，由于，，而且，，，即，设，则，由于，由于在上是单调减函数，当时，即或时，L 取得最大值为米．【解析】解直角三角形求得得EH、FH、EF 的解析式，再由得到污水净化管道的长度L的函数解析式，并注明的范围．设，根据函数在上是单调减函数，可求得L的最大值．本题主要考查在实际问题中建立三角函数的模型，利用三角函数的单调性求三角函数的最值，属于中档题．。

陕西省西安市高新第一中学2017-2018学年高一上学期期中考试数学试卷 Word版含解析

陕西省西安市高新第一中学2017-2018学年高一上学期期中考试数学试卷 Word版含解析

A．有最大值 4
B．有最小值 4
C．有最大值 3
D．有最小值 3
【答案】B
【解析】解：由于 f (x) 是奇函数，在 (0,) 上是减函数，则 f (x) 在 (,0) 上也是减函数，在区 间[a,b](a b 0) 上的最小值为 3 ，最大值为 4 ，
由于区间[b,a] 与[a,b] 对称，则可知 f (x) 在[b,a] 上最大值为 3 ，最小值为 4 ．
A． a b c
B． a b c
C． b c a
D． a c b
【答案】D
【解析】解：
y① ②
③ 1
O1
x
6．已知函数 f (x) x2 kx 8 在[1,4] 上单调，则实数 k 的取值范围为（ ）．A．Βιβλιοθήκη [2, 8]B． [8, 2]
C． (,8] [2,) D． (,2] [8,)
x, x 0 已知 | x | 0, x 0 ，故 AB 项错误；
x, x 0 x, x 0 | x | sgn x 0, x 0 ，故 C 项错误； x, x 0 D 项正确． 故选 D ．
10．若在定义域内存在实数 x0 ，满足，则称 f (x) 为“有点奇函数”，若 f (x) 4x m2x1 m2 3 为 定义域 R 上的“有点奇函数”，则实数 m 的取值范围是（ ）．
故选 C ．
1, x 0 9．设 x R ，定义符号函数 sgn x 0, x 0 ，则（ ）．
1, x 0
A． x x | sgn x |
B． x xsgn | x |
C． | x || x | sgn x
【答案】D
【解析】解：本题主要考查函数的概念与性质。
D． | x | xsgn x

陕西省黄陵中学高新部2017-2018学年高二上学期期中考试数学试题含答案

陕西省黄陵中学高新部2017-2018学年高二上学期期中考试数学试题含答案

高新部高二期中考试数学试题一、选择题（60分）1．在△ABC中,a＝3，b＝5，sin A＝错误!,则sin B＝A．错误!B．错误!C．错误!D．12．△ABC中，b＝30，c＝15，C＝26°，则此三角形解的情况是A．一解B．两解C．无解D．无法确定3．在△ABC中，下列关系式中一定成立的是A．a>b sin A B．a＝b sin AC．a〈b sin A D．a≥b sin A4．在△ABC中，下列关系式中一定成立的是A．a>b sin A B．a＝b sin AC．a<b sin A D．a≥b sin A5．已知△ABC的面积为32，且b＝2，c＝错误!，则sin A＝A．错误!B．错误! C．错误!D．错误!6．已知△ABC中，a＝x，b＝2，∠B＝45°，若三角形有两解，则x的取值范围是A．x〉2 B．x〈2C．2〈x<2 2 D．2<x〈2错误!7．设等比数列的前三项依次为3，错误!，错误!,则它的第四项是A．1 B．8，3C．错误!D．错误!KS5UKS5U］8．(2016·华南师范大学附属中学）在等比数列{a n}中，a3a11＝4a7。

若数列｛b n}是等差数列，且b7＝a7,则b5＋b9等于A．2 B．4C．8 D．169．一个等比数列前三项的积为2，最后三项的积为4，且所有项的积为64，则该数列有A．13项B．12项C．11项D．10项10．若等比数列｛a n｝各项都是正数，a1＝3，a1＋a2＋a3＝21，则a3＋a4＋a5的值为A．21 B．42C．63 D．8411．等比数列{a n}中，已知前4项之和为1,前8项和为17，则此等比数列的公比q为A．2 B．－2C．2或－2 D．2或－112．在等比数列{a n｝中，a1＝a，前n项和为S n,若数列｛a n＋1｝成等差数列，则S n等于A．a n＋1－a B．n（a＋1）C．na D．(a＋1)n－1二、填空题（20分)13．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若a ＝错误!，b＝2,sin B＋cos B＝错误!，则角A的大小为.14．在△ABC中，BC＝8，AC＝5，且三角形面积S＝12，则cos2C ＝。

【精品】2017学年陕西省西安一中大学区高二上学期期中数学试卷和解析(理科)

【精品】2017学年陕西省西安一中大学区高二上学期期中数学试卷和解析(理科)

2017学年陕西省西安一中大学区高二（上）期中数学试卷（理科）一、选择题：（本大题共12小题，每小题3分，共36分）1．（3分）已知向量=（﹣1，1，﹣1），=（2，0，﹣3），则•等于（）A．﹣2B．﹣4C．﹣5D．12．（3分）不等式≥0的解集为（）A．[﹣2，1]B．（﹣2，1]C．（﹣∞，﹣2）∪（1，+∞）D．（﹣∞，﹣2]∪（1，+∞）3．（3分）下列命题中是假命题的是（）A．若a＞0，则2a＞1B．若x2+y2=0，则x=y=0C．若b2=ac，则a，b，c成等比数列D．若a+c=2b，则a，b，c成等差数列4．（3分）已知{a n}是等比数列，a1=4，a4=，则公比q等于（）A．B．﹣2C．2D．5．（3分）命题“任意x∈R，|x|+x2≥0”的否定是（）A．任意x∈R，|x|+x2＜0B．存在x∈R，|x|+x2≤0C．存在x0∈R，|x0|+x02＜0D．存在x0∈R，|x0|+x02≥06．（3分）如图，在平行六面体ABCD﹣A 1B1C1D1中，已知，，，则用向量，，可表示向量=（）A．B．C．D．﹣7．（3分）对于实数a，b，c，下列命题正确的是（）A．若a＞b，则ac2＞bc2B．若a＜b＜0，则a2＞ab＞b2C．若a＜b＜0，则D．若a＜b＜0，则8．（3分）若命题￢（p∨（￢q））为真命题，则p，q的真假情况为（）A．p真，q真B．p真，q假C．p假，q真D．p假，q假9．（3分）已知变量x，y满足条件，则目标函数z=2x+y（）A．有最小值3，最大值9B．有最小值9，无最大值C．有最小值8，无最大值D．有最小值3，最大值810．（3分）已知数列{a n}的前n项和S n=，则a3=（）A．B．C．D．11．（3分）设a n=﹣n2+9n+10，则数列{a n}前n项和最大值n的值为（）A．4B．5C．9或10D．4或512．（3分）方程ax2+2x+1=0至少有一个负的实根的充要条件是（）A．0＜a≤1B．a＜1C．a≤1D．0＜a≤1或a＜0二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）已知x＞0，y＞0，4x+y=1，则+的最小值为．14．（5分）不等式ax2+4x+a＞1﹣2x2对一切x∈R恒成立，则实数a的取值范围是．15．（5分）已知数列{a n}的首项a1=1，a n+1=3S n（n≥1），则数列{a n}的通项公式为．16．（5分）若不等式组表示的平面区域是一个三角形，则a的取值范围为．三、解答题（本大题共4小题，共44分）17．（8分）已知向量=（1，5，﹣1），=（﹣2，3，5）．（1）若（k+）∥（﹣3），求实数k；（2）若（k+）⊥（﹣3），求实数k．18．（12分）设命题P：实数x满足2x2﹣5ax﹣3a2＜0，其中a＞0，命题q：实数x满足．（1）若a=2，且p∧q为真，求实数x的取值范围；。

陕西省西安市高新第一中学2017-2018学年高一上学期期中考试数学试卷 含解析

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2017—2018学年第一学期期中考试2020届高一年级数学试题 满分：120分 时间：120分钟一、选择题：（本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．下列函数中与函数y x =是同一个函数的是（ ）．A ．2y =B ．3y =C ．y =D ．2x y x=【答案】B【解析】解：y x =的定义域为R ，对应法则是“函数值与自变量相等”． 选项A ：,0||,0x x y x x x x ⎧===⎨-<⎩≥；选项B ：2x y x =的定义域为{}|0x x ≠；选项C ：33y x x =；选项D ：2y =的定义域为[0,)+∞． 故选B ．2．若一次函数y kx b =+在R 上是增函数，则k 的范围为（ ）．A ．0k >B ．0k ≥C ．0k <D ．0k ≤【答案】A【解析】解：有一次函数的单调性可以知道：函数()f x kx b =+在R 上是减函数，0k <． 故选A ．3．已知集合A 满足{}{}1,2,31,2,3,4A =，则集合A 的个数为（ ）．A ．2B ．4C ．8D ．16【答案】C【解析】解：∵{}{}1,2,31,2,3,4A =，∴{}4A =，{}1,4，{}2,4，{}3,4，{}1,2,4，{}1,3,4，{}2,3,4，{}1,2,3,4， 则集合A 的个数为8． 故选B ．4．函数2()=1f x x -在[2,0]-上的最大值与最小值之差为（ ）．A ．83B ．43C ．23D ． 1【答案】B【解析】解：∵2()log f x x =在区间[2,2]a 上为单调增函数， 由题可得：221log (2)log 22a -=， ∴221log 22a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，∴a =，点睛：求函数最值的一般方法即为利用函数的单调性，研究函数单调性的一般方法： （1）直接利用基本初等函数的单调性． （2）利用定义判断函数的单调性． （3）求导得函数单调性． 故选B ．5．如图是①a y x =；②b y x =；③c y x =，在第一象限的图像，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）．A ．a b c >>B ．a b c <<C ．b c a <<D ．a c b <<【答案】D 【解析】解：6．已知函数2()8f x x kx =--在[1,4]上单调，则实数k 的取值范围为（ ）．A ．[2,8]B ．[8,2]--C ．(,8][2,)-∞--+∞D ．(,2][8,)-∞+∞【答案】D【解析】解：二次函数2()28f x x kx =--的对称轴为4kx =， ∵函数2()28f x x kx =--在区间[1,2]上不单调， ∴124k<<，得48k <<． 故选B ．7．已知函数()f x 是奇函数，在(0,)+∞上是减函数，且在区间[,](0)a b a b <<上的值域为[3,4]-，则在区间[,]b a --上（ ）．A ．有最大值4B ．有最小值4-C ．有最大值3-D ．有最小值3-【答案】B【解析】解：由于()f x 是奇函数，在(0,)+∞上是减函数，则()f x 在(,0)-∞上也是减函数，在区间[,](0)a b a b <<上的最小值为3-，最大值为4，由于区间[,]b a --与[,]a b 对称，则可知()f x 在[,]b a --上最大值为3，最小值为4-． 借助函数图像可更直观的得到答案，如下图所示：8．设0.60.6a=， 1.50.6b=，0.61.5c=，则a，b，c的大小关系是（）．A．a b c<<B．a c b<<C．b a c<<D．b c a<<【答案】C【解析】解：本题主要考查指数与指数函数。

2017-2018学年陕西省西安市高新一中高二上学期期中考试数学(文)试题 解析版

2017-2018学年陕西省西安市高新一中高二上学期期中考试数学(文)试题 解析版

2017-2018学年陕西省西安市高新一中高二上学期期中考试数学（文）试题一、选择题：（共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知抛物线22(0)y px p =>的准线经过(1,2)-，则抛物线的焦点坐标为（ ）．A ．(1,0)-B ．(1,0)C ．(0,1)-D ．(0,1) 【答案】B【解析】∵抛物线22(0)y px p =>的准线经过点(1,1)-， ∴12p=， ∴该抛物线焦点坐标为(1,0)．2．已知函数32()f x x ax bx c =+++，下列结论中错误的是（ ）．A ．存在0x ∈R ，0()0f x =B ．若0()0f x '=，则0x 不一定是函数()f x 的极值点C ．若0x 是函数()f x 的极小值点，则()f x 在0(,)x -∞上单调递减D ．若0x 是函数()f x 的极值点，则0()0f x '= 【答案】C【解析】2112xy O 12A ．对于三次函数32()f x x ax bx c =+++，A ．由于当x →-∞时，y →-∞，当x →+∞时，y →+∞，故0x ∃∈R ，0()0f x =，故A 正确；B ．∵2()3af x f x ⎛⎫--+ ⎪⎝⎭，32332222422333273a a a a ab x a x b x c x ax bx c c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--+--+--+++++=-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，32323333273a a a a a ab f a b c c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+-+-+=-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，∵2()233a a f x f x f ⎛⎫⎛⎫--+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ∴点,33a a P f⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭为对称中心，故B 正确． C ．若取1a =-，1b =-，0c =，则32()f x x x x =--， 对于32()f x x x x =--， ∵2()321f x x x '=--，∴由2()3210f x x x '=-->得1,(1,)3x ⎛⎫∈-∞-+∞ ⎪⎝⎭ ，由2()3210f x x x '=--<得1,13x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，∴函数()f x 的单调增区间为：1,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭，(1,)+∞，减区间为：1,13⎛⎫- ⎪⎝⎭，故1是()f x 的极小值点，但()f x 在区间(,1)-∞-不是单调递减，故C 错误；D ．若0x 是()f x 的极值点，根据导数的意义，则0()0f x '=，故D 正确．综上所述． 故选C ．3．若双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>一条渐近线方程为2y x =，则该双曲线离心率为（ ）．A ．2B ．3C ．52D ．5【答案】D【解析】∵双曲线的两条渐近线方程为22b by x x x a =±=±=±，∴22b=，则4b =， 则224162025c a b =+=+==， 则双曲线的离心率2552c e a ===． 故选D ．4．若函数()y f x =的导函数在区间[,]a b 上是增函数，则函数()y f x =在区间[,]a b 上的图象可能是下列中的（ ）．A ．ab xyOB ．bxaOyC ．b xaO yD ．b xaO y【答案】A【解析】∵函数()y f x =的导函数在区间[,]a b 上是增函数， ∴对任意的a x x b '''<<<， 有()()()()f a f x f x f b '''''''<<<，也即在a ，x '，x ''，b 处它们的斜率是依次增大的， ∴A 满足上述条件，B 存在()()f x f x '''''>，C 对任意的a x x b '''<<<，()()f x f x '''''=，D 对任意的[,]x a b ∈，()f x '不满足逐项递增的条件．故选A ．5．已知圆22(1)(1)2x y m ++-=-截直线20x y ++=所得弦的长度为4，则实数m =（ ）．A ．2-B ．4-C ．6-D ．8-【答案】B【解析】由题意：圆心(1,1)-，2r a =-， 设圆心到直线的距离为d ，∴22(2)422AB d r a a ⎛⎫=-=--=-- ⎪⎝⎭，∵|112|211d -++==+，∴22a --=， ∴4a =-．6．若函数32()6f x x x cx =-+无极值点，则实数c 的取值范围是（ ）．A ．[)12,+∞B ．(12,)+∞C ．(,12)-∞D ．(],12-∞【答案】A【解析】2()312f x x x c '=-+， ∵无极值点，∴2()312f x x x c '=-+中，0∆≤，即2(12)430c --⨯⨯≤， 解得：12c ≥．7．已知函数sin ()sin cos x f x x x =+，则π4f ⎛⎫'= ⎪⎝⎭（ ）．A ．14B ．0C ．12D ．2【答案】C【解析】解：22cos (sin cos )sin (cos sin )1()(sin cos )(sin cos )x x x x x x f x x x x x +--'==++，∴π142f ⎛⎫'= ⎪⎝⎭．故选C ．8．函数3()e 2x f x x =+-在区间(0,1)内的零点个数是（ ）．A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】B【解析】2()e 30x f x x '=+>； ∴()f x 在R 上单调递增； 又(0)10f =-<，(1)e 10f =->； ∴()f x 在区间(0,1)内零点个数是1． 故答案为：1．9．定义在[)0,+∞的函数()f x 的导函数为()f x '，对于任意的0x ≥，恒有()()f x f x '<，(1)e f m =，2(2)ef n =，则m ，n 的大小关系是（ ）． A ．m n > B ．m n < C ．m n = D ．无法确定 【答案】B【解析】构造函数()()ex f x F x =， 因()()()0e xf x f x F x '-'=>，故()()e xf x F x =在[)0,+∞上单调递增，则(2)(3)F F <， 即23(2)(3)e ef f <， 所以m n <．故选B ．10．设()f x '是函数()y f x =的导数，()f x ''是()f x '的导数，若方程()0f x ''=有实数解0x ，则称点00(,())x f x 为函数()y f x =的“拐点”．已知：任何三次函数都有“拐点”，任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心．设3218()2133f x x x x =-++，数列{}n a 的通项公式为1007n a n =-，则20171()i i f a ==∑（ ）．A ．4034B ．4036C ．2018D ．2017【答案】A【解析】解：28()43f x x x '=-+，()24f x x ''=-，令()0f x ''=得2x =， 又(2)2f =，∴()f x 的对称中心为(2,2)． ∵1007n a n =-，∴{}n a 是以1006-为首项，以1为公差的等差数列， 因此，本题正确答案是：4034．二、填空题：（本大题共4小题，每小题4分，共16分）11．设曲线x y e =上点P 处的切线平行于直线10x y --=，则点P 的坐标是__________． 【答案】(1,0)【解析】解：∵切线与直线10x y -+=平行， ∴斜率为1，∵ln y x x =，11ln 1ln y x x x x'=⨯+⋅=+，∴0()1y x '=， ∴01ln 1x +=， ∴01x =， ∴切点为(1,0)，因此，本题正确答案是：(1,0)．12．已知点P 为抛物线2:4C y x =上的一动点，则点P 到点(0,2)A 的距离与点P 到抛物线C 准线的距离之和的最小值为__________． 【答案】5【解析】由题得：如图：F 1,0()l :x =1A'A''A 0,2()y 2=4xxy O由图易得：5AA AA '''+=．13．用总长为14.8m 的钢条制作一个长方体容器的框架，如果所制容器底面一边的长比另一边的长多0.5m ，那么高为__________m 时容器的容积最大？ 【答案】1.2【解析】设底面一边长为x 米，另一边的长为(0.5)x +米，高(3.22)h x =-米， 容器的容积223 2.2 1.6n n V x x x ==-++ ，(0 1.6)x <<， 令0V '=得1x =，或415x =-（舍去）． 当(0,1)x ∈时，0V '>； 当(1,1.6)x ∈时，0V '<．因此，1x =是函数()V x 的极大值点，也是最大值点．所以，长方体容器的高为1.2米时，容器最大，最大容积为1.8立方米．14．已知函数2()ln f x a x x =-，若对区间(1,2)内任意两个实数p ，()q p q ≠，都有()()0f p f q p q-<-，则实数a 的取值范围是__________．【答案】21a ≥ 【解析】不等式(1)(1)1f p f q p q+-+>-恒成立，即(1)(1)1(1)(1)f p f q p q +-+>+-+，即函数(1)(12)y f x x =+<<图像上任意两点， 连线的斜率1k >，那么曲线()y f x =在(2,3)上任意两点连线的斜率1k '>， 只需()1f x '>，((2,3))x ∈即可． 即()21af x x x'=->，需22a x x >+恒成立， ∵(2,3)x ∈，∴22x x +的值域为(10,21)，∴21a ≥．三、解答题：（本大题共4小题，共44分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（本小题满分10分）已知函数3211()232f x x x ax =-++．（1）若函数()f x 在2,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上存在单调增区间，求实数a 的取值范围．（2）若函数()f x 在2,13⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，求实数a 的取值范围．【答案】见解析．【解析】2()2f x x x a '=-++． （1）2,3x ⎛⎫∃∈+∞ ⎪⎝⎭，()0f x '>，∴2min2x x a ⎛⎫-> ⎪⎝⎭，∴19a >-．（2）2,1()03x f x ⎛⎫'∀∈> ⎪⎝⎭，2min2x x a ⎛⎫-> ⎪⎝⎭，∴0a >．16．（本小题满分10分）在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线1C 的极坐标方程为：2222cos 3sin 3ρθρθ+=，曲线2C 的参数方程是31x t y t⎧=-⎪⎨=+⎪⎩（t 为参数）． （1）求曲线1C 和2C 的直角坐标方程．（2）设曲线1C 和2C 交于两点A ，B ，求以线段AB 为直径的圆的直角坐标方程． 【答案】见解析．【解析】（1）曲线2232cos 3sin 3ρθρθ+=化为直角坐标方程为：2233x y +=，即2213x y +=； 曲线2C 参数方程是31x t y t⎧=-⎪⎨=+⎪⎩（t 为参数）化为直角坐标方程为：3(1)x y =--，即330x y +-=．（2）22333(1)x y x y ⎧+=⎪⎨=--⎪⎩，解得01x y =⎧⎨=⎩，3x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩，即(0,1)A ，(3,0)B ，线段AB 的中点为31,22M ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，则以线段AB 为直径的圆的直角坐标方程为2231122x y ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．17．（本小题满分12分）已知动点M 到定点(1,0)F 和定直线2x =的距离之比为22，设动点M 的轨迹为曲线C ． （1）求曲线C 的方程．（2）已知点O 为坐标原点，A ，B 为曲线C 上两点，且OA OB ⊥，求证：2211||||OA OB +为定值．【答案】见解析． 【解析】（1）(,)M x y ， 222(1)|2|2x y x -+=-， ∴2212x y +=． （2）11(,)A ρθ，21π,2B ρθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，∴2212x y +=化为极坐标方程， 2221cos sin 12ρθθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭． ∴2221111cos sin 12ρθθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，∴22221sin cos 12ρθθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，∴2211||||OA OB +， 222211cos sin sin cos 22θθθθ=+++， 32=．18．（本小题满分12分）已知函数2()ln f x a x bx =-图象上一点(2,(2))P f 处的切线方程为32ln 22y x =-++．（1）求a ，b 的值．（2）若方程()0f x m +=在区间1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦内有两个不等实根，求实数m 的取值范围．（e 为自然对数的底数） 【答案】见解析．【解析】函数2()ln f x a x bx =-的导数()f x '， 2abx x=-， 由切线方程得(2)42af b '=-，(2)ln 24f a b =-，∴432ab -=-， 且ln 2462ln 222ln 24a b -=-++=-，解得2a =，1b =． （2）则2()2ln f x x x =-， 令2()()2ln h x f x m x x m '=+=-+， 则2()2h x x x'=-，令()0h x '=，得1x =（1x =-舍去）． 在1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦内，当1,1e x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，()0h x '>， 即()h x 是增函数；当(]1,e x ∈时，()0h x '<，即()h x 是减函数，则方程()0h x =在1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦内有两个不等实根的充要条件是10e (1)0(e)0h h h ⎧⎛⎫⎪⎪⎝⎭⎪⎪>⎨⎪⎪⎪⎩≤≤，即2112e m <+≤， 故答案为：211,2e ⎛⎤+ ⎥⎝⎦．四、附加题：（本大题共2小题，共20分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19．（本小题满分8分）在锐角三角形ABC 中，若s i n 2s i n s i A B C =．求t a n 2t a n t a nt a n t a A B C A BC ++的最小值．【答案】16．【解析】sin()2sin sin B C B C +=，sin cos cos sin 2sin sin B C B C B C +=，∴tan tan 2tan tan B C B C +=， tan tan tan tan()1tan tan B CA B C B C+=-+=-，2tan tan 1tan tan B CB C-=-，设tan tan B C t =，∴1t >， ∴原式22211t tt t t t--=++⋅--， 2222221t t t t t-+--=-， 241t t =-， 2(1)2(1)141t t t -+-+=⋅-， 14(1)21t t ⎡⎤=-++⎢⎥-⎣⎦，∴最小值为16．20．（本小题满分12分）在ABC △中，已知(1,0)B -，(1,0)C ，且sin sin 2sin B C A +=． （1）求顶点A 的轨迹M 的方程．（2）直线l 过点(1,0)B -，且与轨迹M 交于P ，Q 两点，求CPQ △的内切圆面积的最大值． 【答案】见解析．【解析】（1）sin sin 2sin B C A +=， ∴2b c a +=， ∴||||4AC AB +=，∴22143x y +=． （2）内切圆面积最大，即内切圆半径最大，111222CPQ S r PQ r QC r PC =⋅+⋅+⋅，1()2r PQ QC PC =++， 1842r r =⋅=， 即CPQ △面积最大时，r 最大， :1l x ky =-，22(43)690k y ky +--=，11(,)P x y ，22(,)Q x y ， 212211212||234k S c y y k +=⋅⋅-=+， max 3S =，此时34r =， ∴内切圆面积最大为9π16．11。

最新-【数学】陕西省西安高新一中2018学年高二上学期期末考试(文) 精品

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西安高新第一中学 2018—2018年度第一学期期末2018届高二数学试题（文科）一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）1、若)2,2,0(),3,0,2(),1,3,2(==-=c b a ，则()=+∙c b aA 、4B 、15C 、7D 、32、若),,(),,,(321321b b b b a a a a ==，则332211b a b a b a ==是a //b 的 A 、充分不必要条件 B 、必要不充分条件C 、充要条件D 、既不充分又不必要条件3、已知ABC ∆的顶点C B 、在椭圆1322=+y x 上，顶点A 是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC 边上，则ABC ∆的周长是 A 、32 B 、6 C 、34 D 、12 4、抛物线2x y -=的焦点坐标为A 、)41,0(B 、)41,0(-C 、)0,41(D 、)0,41(-5、设21F F 、为椭圆的两个焦点，点P 是以21F F 、为直径的圆与椭圆的一个交点，若F PF F PF 2215∠=∠，则椭圆离心率为 A 、32 B 、36 C 、22 D 、236、若点A 的坐标为()2,3，F 为抛物线x y 22=的焦点，点P 是抛物线上的一个动点，则PF PA +取得最小值时点P 的坐标是A 、（0，0）B 、（1，1）C 、（2，2）D 、（21，1）7、正方体1111D C B A ABCD -中，直线1BC 与平面BD B D 11所成的余弦值为A 、41B 、33C 、21D 、238、如图，平面α⊥平面β，AB B A ,,βα∈∈与两平面βα、所成的角分别为4π和6π，过AB 分别作两平面交线的垂线，垂足为‘、B A '，若12=AB ，则=‘BA ' A 、4B 、6C 、8D 、99、已知()()ααααcos ,1,sin ,sin ,1,cos ==b a，则b a +与b a -的夹角是 A 、o 90 B 、o 60 C 、o 30 D 、o 010、双曲线12222=-by a x 的左支上一点P ，⊙‘O 为21F PF ∆的内切圆，圆心‘O 的横坐标为A 、aB 、a -C 、2a c - D 、2ca - 二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分）11、已知)3,1,2(),,2,4(=-=b x a且b a ⊥，则=x .12、若双曲线18222=-by x 的一条渐近线与抛物线x y 82=的准线重合，则双曲线的离心率为 .13、若椭圆19822=++y k x 的离心率为21，则k 的值为 . 14、在棱长为1的正四面体ABCD 中，F E 、分别是AD BC ,的中点，则=∙CF AE .15、已知两条直线n m ,，两个平面βα,，给出下面四个命题：①αα⊥⇒⊥n m n m ,// ②n m n m //,,//⇒⊂⊂βαβα ③αα////,//n m n m ⇒ ④βαβα⊥⇒⊥n m n m ,//,//其中正确命题的序号是 .三、解答题（本大题共5小题，每小题8分，共40分）16、如图，在底面是正方形的四棱锥ABCD P -中，PA ⊥底面ABCD ，且2==AB PA .（1）求证：PAD PDC 平面平面⊥；（2）E 是PD 的中点，求异面直线AE 与平面PB 所成角的余弦值；D 1C 1B 1A 1ED C BA 17、如图，在长方体1111D CB A ABCD -中，11==AA AD ，2=AB ，点E 在棱AB 上移动.（1）证明：D A E D 11⊥；（2）当E 为AB 的中点时，求点E 到面1ACD 的距离；18、已知中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆与直线01=-+y x 交于B A 、两点，M 为AB 中点，OM 的斜率为0.25，椭圆的短轴长为2，求椭圆的方程.19、直线1+=kx y 与双曲线1322=-y x 相交于不同两点B A 、. （1）求k 的取值范围；（2）若以AB 为直径的圆经过坐标原点，求实数k .20、过抛物线x y 42=的焦点F ，引两条相互垂直的弦BD AC 、.求：四边形ABCD 面积的最小值.附加题：（本大题共2小题，第21题5分，第22题15分，共20分）21、O 是平面上一个定点，C B A 、、是平面上不共线的三个点，动点P 满足⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++=C AC AC B AB AB OA OP sin sin λ，[)+∞∈,0λ，则P 的轨迹一定通过ABC ∆的A 、外心B 、内心C 、重心D 、垂心22、如图，已知椭圆的中心在原点，焦点在x 轴上，长轴长是短轴长的2倍且经过点()12，M ，平行于OM 的直线l 在y 轴上的截距为m ()0≠m ，l 交椭圆于B A 、两个不同点。

2017-2018年陕西省西安一中高二(上)期中数学试卷和参考答案(文科)

2017-2018年陕西省西安一中高二(上)期中数学试卷和参考答案(文科)

2017-2018学年陕西省西安一中高二（上）期中数学试卷（文科）一、选择题（本大题共12小题，每小题4分，共计48分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（4分）若集合A={x|lg（x﹣2）＜1}，集合B={x|＜2x＜8}，则A∩B=（）A．（﹣1，3）B．（﹣1，12）C．（2，12）D．（2，3）2．（4分）已知=﹣5，那么tanα的值为（）A．﹣2 B．2 C．D．﹣3．（4分）在棱长为1的正方体上，分别用过共顶点的三条棱中点的平面截该正方形，则截去8个三棱锥后，剩下的几何体的体积是（）A．B．C．D．4．（4分）甲、乙两名运动员的5次测试成绩如图所示，设s1，s2分别表示甲、乙两名运动员测试成绩的标准差，分别表示甲、乙两名运动员测试成绩的平均数，则有（）A．，s 1＜s2B．，s1＞s2C．，s 1＞s2 D．，s1=s25．（4分）执行如图所示的程序框图．若输出S=15，则框图中①处可以填入（）A．k＜2 B．k＜3 C．k＜4 D．k＜56．（4分）已知a＞0，函数f（x）=ax2+bx+c，若x0满足关于x的方程2ax+b=0，则下列选项的命题中为假命题的是（）A．∃x∈R，f（x）≤f（x0）B．∃x∈R，f（x）≥f（x0）C．∀x∈R，f （x）≤f（x0）D．∀x∈R，f（x）≥f（x0）7．（4分）若函数y=a x+b﹣1（a＞0且a≠1）的图象经过第二、三、四象限，则一定有（）A．0＜a＜1，且b＞0 B．a＞1，且b＞0 C．0＜a＜1，且b＜0 D．a＞1，且b＜08．（4分）设a1=2，数列{1+2a n}是公比为2的等比数列，则a6=（）A．31.5 B．160 C．79.5 D．159.59．（4分）设抛物线y2=8x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，PA⊥l，A 为垂足．如果直线AF的斜率为，那么|PF|=（）A．B．8 C．D．1610．（4分）在集合{（x，y）|0≤x≤5，0≤y≤4}内任取一个元素，能使不等式+﹣1≤0成立的概率为（）A．B．C．D．11．（4分）已知F1、F2为双曲线C：x2﹣y2=1的左、右焦点，点P在C上，∠F1PF2=60°，则P到x轴的距离为（）A．B．C．D．12．（4分）已知函数f（x）=x2﹣2ax+a2﹣1，若关于x的不等式f（f（x））＜0的解集为空集，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣2]B．（﹣∞，﹣1）C．[﹣2，﹣1]D．（﹣1，+∞]二、填空题（本大题共4个题，每小题4分，共16分）13．（4分）在样本的频率分布直方图中，共有11个小长方形，若中间一个小长方形的面积等于其他10个小长方形的面积之和的，且样本容量为160，则中间一组的频数为．14．（4分）已知=（6，1），=（﹣2，2），若单位向量与2+3共线，则向量的坐标为．15．（4分）在平面直角坐标系中，不等式组表示的平面区域的外接圆的方程为．16．（4分）已知椭圆的左、右焦点分别为F1、F2，则|F1F2|=2c，点A 在椭圆上且，则椭圆的离心率为．三、解答题（本大题5个小题，共56分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（8分）△ABC中内角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量=（2sinB，﹣），=（cos2B，2cos2﹣1）且∥．（Ⅰ）求锐角B的大小；的最大值．（Ⅱ）如果b=2，求△ABC的面积S△ABC18．（8分）已知数列{a n}满足a l=﹣2，a n+1=2a n+4．（Ⅰ）证明数列{a n+4}是等比数列；（Ⅱ）求数列{|a n|}的前n项和S n．19．（10分）从某学校高三年级共800名男生中随机抽取50人测量身高．据测量，被测学生身高全部介于155cm到195cm之间，将测量结果按如下方式分成八组：第一组[155，160）；第二组[160，165）；…；第八组[190，195]．如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分．已知第一组与第八组人数相同，第六组、第七组、第八组人数依次构成等差数列．（1）估计这所学校高三年级全体男生身高在180cm以上（含180cm）的人数及平均身高；（2）求第六组、第七组的频率并补充完整频率分布直方图；（3）若从身高属于第六组和第八组的所有男生中随机抽取两人，记他们的身高分别为x、y，求满足“|x﹣y|≤5”的事件的概率．20．（10分）在平面直角坐标系xOy中，经过点且斜率为k的直线l与椭圆有两个不同的交点P和Q．（Ⅰ）求k的取值范围；（Ⅱ）设椭圆与x轴正半轴、y轴正半轴的交点分别为A，B，是否存在常数k，使得向量与共线？如果存在，求k值；如果不存在，请说明理由．21．（12分）已知抛物线C：y2=2px（p＞0），直线l交此抛物线于不同的两个点A（x1，y1）、B（x2，y2））（1）当直线l过点M（﹣p，0）时，证明y1•y2为定值；（2）当y1y2=﹣p时，直线l是否过定点？若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由；（3）记N（p，0），如果直线l过点M（﹣p，0），设线段AB的中点为P，线段PN的中点为Q．问是否存在一条直线和一个定点，使得点Q到它们的距离相等？若存在，求出这条直线和这个定点；若不存在，请说明理由．22．（8分）已知p：x2﹣8x﹣20≤0；q：x2﹣2x+1﹣m2≤0（m＞0）若￢p是￢q 的必要不充分条件，求实数m的取值范围．2017-2018学年陕西省西安一中高二（上）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题4分，共计48分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（4分）若集合A={x|lg（x﹣2）＜1}，集合B={x|＜2x＜8}，则A∩B=（）A．（﹣1，3）B．（﹣1，12）C．（2，12）D．（2，3）【解答】解：A={x|lg（x﹣2）＜1}={x|lg（x﹣2）＜lg10}={x|2＜x＜12}，B={x|＜2x＜8}={x|2﹣1＜2x＜23}={x|﹣1＜x＜3}，∴A∩B={x|2＜x＜3}故选：D．2．（4分）已知=﹣5，那么tanα的值为（）A．﹣2 B．2 C．D．﹣【解答】解：由题意可知：cosα≠0，分子分母同除以cosα，得=﹣5，∴tanα=﹣．故选：D．3．（4分）在棱长为1的正方体上，分别用过共顶点的三条棱中点的平面截该正方形，则截去8个三棱锥后，剩下的几何体的体积是（）A．B．C．D．【解答】解：由题意几何体的体积，就是正方体的体积求得8个正三棱锥的体积，故选：D．4．（4分）甲、乙两名运动员的5次测试成绩如图所示，设s1，s2分别表示甲、乙两名运动员测试成绩的标准差，分别表示甲、乙两名运动员测试成绩的平均数，则有（）A．，s 1＜s2B．，s1＞s2C．，s 1＞s2 D．，s1=s2【解答】解：由茎叶图中的数据知，甲运动员测试成绩的平均数为=×（13+15+20+26+26）=20；方差为s12=×[（13﹣20）2+（15﹣20）2+（20﹣20）2+（26﹣20）2+（26﹣20）2]=；乙动员测试成绩的平均数为=×（14+16+21+24+25）=20，方差为s22=×[（14﹣20）2+（16﹣20）2+（21﹣20）2+（24﹣20）2+（25﹣20）2]=；∴=，s12＞s22，∴s1＞s2．故选：B．5．（4分）执行如图所示的程序框图．若输出S=15，则框图中①处可以填入（）A．k＜2 B．k＜3 C．k＜4 D．k＜5【解答】解：程序在运行过程中各变量的值如下表示：是否继续循环S k循环前/1 1第一圈是 2 2第二圈是 6 3第三圈是15 4第四圈否所以判断框内可填写“k＜4”，故选：C．6．（4分）已知a＞0，函数f（x）=ax2+bx+c，若x0满足关于x的方程2ax+b=0，则下列选项的命题中为假命题的是（）A．∃x∈R，f（x）≤f（x0）B．∃x∈R，f（x）≥f（x0）C．∀x∈R，f （x）≤f（x0）D．∀x∈R，f（x）≥f（x0）【解答】解：∵x0满足关于x的方程2ax+b=0，∴∵a＞0，∴函数f（x）在x=x0处取到最小值是等价于∀x∈R，f（x）≥f（x0），所以命题C错误．故选：C．7．（4分）若函数y=a x+b﹣1（a＞0且a≠1）的图象经过第二、三、四象限，则一定有（）A．0＜a＜1，且b＞0 B．a＞1，且b＞0 C．0＜a＜1，且b＜0 D．a＞1，且b＜0【解答】解：如图所示，图象与y轴的交点在y轴的负半轴上（纵截距小于零），即a0+b﹣1＜0，且0＜a＜1，∴0＜a＜1，且b＜0．故选C．故选：C．8．（4分）设a1=2，数列{1+2a n}是公比为2的等比数列，则a6=（）A．31.5 B．160 C．79.5 D．159.5【解答】解：∵a1=2，数列{1+2a n}是公比为2的等比数列，∴由题意得1+2a1=5，∴1+2a n=5×2n﹣1，即a n=5×2n﹣2﹣，∴=79.5．故选：C．9．（4分）设抛物线y2=8x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，PA⊥l，A 为垂足．如果直线AF的斜率为，那么|PF|=（）A．B．8 C．D．16【解答】解：抛物线的焦点F（2，0），准线方程为x=﹣2，直线AF的方程为，所以点、，从而|PF|=6+2=8故选：B．10．（4分）在集合{（x，y）|0≤x≤5，0≤y≤4}内任取一个元素，能使不等式+﹣1≤0成立的概率为（）A．B．C．D．【解答】解：集合{（x，y）|0≤x≤5，0≤y≤4}对应的平面区域为矩形OABC，约束条件对应的平面区域为直角三角形OAD，由几何概型公式可以求得概率为．故选：A．11．（4分）已知F1、F2为双曲线C：x2﹣y2=1的左、右焦点，点P在C上，∠F1PF2=60°，则P到x轴的距离为（）A．B．C．D．【解答】解：不妨设点P（x0，y0）在双曲线的右支，由双曲线的第二定义得，．由余弦定理得cos∠F1PF2=，即cos60°=，解得，所以，故P到x轴的距离为故选：B．12．（4分）已知函数f（x）=x2﹣2ax+a2﹣1，若关于x的不等式f（f（x））＜0的解集为空集，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣2]B．（﹣∞，﹣1）C．[﹣2，﹣1]D．（﹣1，+∞]【解答】解：函数f（x）=x2﹣2ax+a2﹣1=x2﹣2ax+（a﹣1）（a+1）=（x﹣a﹣1）（x﹣a+1），由f（x）＜0，即[x﹣（a﹣1）][x﹣（a+1）]＜0，解得a﹣1＜x＜a+1，那么不等式f（f（x））＜0⇒a﹣1＜f（x）＜a+1，①又f（x）=（x﹣a）2﹣1，当x=a时，f（x）取得最小值﹣1，即函数的值域为[﹣1，+∞），若不等式的解集为空集，则①的解集为空集，那么（a﹣1，a+1）与值域的交集为空集，所以a+1≤﹣1，所以a≤﹣2．故选：A．二、填空题（本大题共4个题，每小题4分，共16分）13．（4分）在样本的频率分布直方图中，共有11个小长方形，若中间一个小长方形的面积等于其他10个小长方形的面积之和的，且样本容量为160，则中间一组的频数为32．【解答】解：设中间一个小长方形的面积为x，其他10个小长方形的面积之和为y，则有：，解得：x=0.2，∴中间一组的频数=160×0.2=32．故填：32．14．（4分）已知=（6，1），=（﹣2，2），若单位向量与2+3共线，则向量的坐标为（，）或（﹣，﹣）．【解答】解：=（6，1），=（﹣2，2），向量2+3=（6，8），|2+3|==10．单位向量与2+3共线，=±（2+3）=±（6，8），则向量的坐标（，）或（﹣，﹣）．故答案为：（，）或（﹣，﹣）．15．（4分）在平面直角坐标系中，不等式组表示的平面区域的外接圆的方程为．【解答】解：根据题意可知不等式组，表示的平面区域为直角△ABC，可得B（2，2），C（1，1），因为BC为外接圆的直径，而BC间的距离d==，所以圆的半径为则圆心坐标为（，）即（，），所以圆的标准方程为．故答案为：16．（4分）已知椭圆的左、右焦点分别为F1、F2，则|F1F2|=2c，点A在椭圆上且，则椭圆的离心率为．【解答】解：∴AF1⊥F1F2A（﹣c，），=（0，﹣），=（2c，﹣）∵∴又∵a2=b2+c2∴c2+ac﹣a2=0，即e2﹣e﹣1=0∴e=或﹣（舍负）故答案为三、解答题（本大题5个小题，共56分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（8分）△ABC中内角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量=（2sinB，﹣），=（cos2B，2cos2﹣1）且∥．（Ⅰ）求锐角B的大小；的最大值．（Ⅱ）如果b=2，求△ABC的面积S△ABC【解答】解：（Ⅰ）∵=（2sinB，﹣），=（cos2B，2cos2﹣1）且∥，∴2sinB（2cos2﹣1）=﹣cos2B，∴2sinBcosB=﹣cos2B，即sin2B=﹣cos2B，∴tan2B=﹣，又B为锐角，∴2B∈（0，π），∴2B=，则B=；…（6分）（Ⅱ）当B=，b=2，由余弦定理cosB=得：a2+c2﹣ac﹣4=0，当B=，b=2，由余弦定理cosB=得：a2+c2+ac﹣4=0，又a2+c2≥2ac，代入上式得：ac≤4（当且仅当a=c=2时等号成立），∴S=acsinB=ac≤（当且仅当a=c=2时等号成立），△ABC的最大值为．…（12分）则S△ABC18．（8分）已知数列{a n}满足a l=﹣2，a n+1=2a n+4．（Ⅰ）证明数列{a n+4}是等比数列；（Ⅱ）求数列{|a n|}的前n项和S n．【解答】（I）证明：∵数列{a n}满足a l=﹣2，a n+1=2a n+4，+4=2（a n+4），∴数列{a n+4}是等比数列，公比与首项为2．∴a n+1（II）解：由（I）可得：a n+4=2n，∴a n=2n﹣4，∴当n=1时，a1=﹣2；n≥2时，a n≥0，∴n≥2时，S n=﹣a1+a2+a3+…+a n=2+（22﹣4）+（23﹣4）+…+（2n﹣4）=﹣4（n﹣1）=2n+1﹣4n+2．n=1时也成立．∴S n=2n+1﹣4n+2．n∈N*．19．（10分）从某学校高三年级共800名男生中随机抽取50人测量身高．据测量，被测学生身高全部介于155cm到195cm之间，将测量结果按如下方式分成八组：第一组[155，160）；第二组[160，165）；…；第八组[190，195]．如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分．已知第一组与第八组人数相同，第六组、第七组、第八组人数依次构成等差数列．（1）估计这所学校高三年级全体男生身高在180cm以上（含180cm）的人数及平均身高；（2）求第六组、第七组的频率并补充完整频率分布直方图；（3）若从身高属于第六组和第八组的所有男生中随机抽取两人，记他们的身高分别为x、y，求满足“|x﹣y|≤5”的事件的概率．【解答】解：（1）由频率分布直方图得前五组频率为（0.008+0.016+0.04+0.04+0.06）×5=0.82，后三组频率为1﹣0.82=0.18，人数为0.18×50=9，∴学校高三年级全体男生身高在180 cm以上（含180 cm）的人数为800×0.18=144，由频率分布直方图得第八组频率为0.008×5=0.04，人数为0.04×50=2，设第六组人数为m，则第七组人数为9﹣2﹣m=7﹣m，又由等差数列可得m+2=2（7﹣m），解得m=4，∴第六组人数为4，第七组人数为3，∴平均身高为（182.5×4+187.5×3+192.5×2）≈186.4（2）由（1）可得第八组频率为0.008×5=0.04，人数为0.04×50=2，第六组人数为4，第七组人数为3，频率分别等于0.08，0.06．分别等于0.016，0.012．其完整的频率分布直方图如图．（3）由（2）知身高在[180，185）内的人数为4，设为a、b、c、d，身高在[190，195]内的人数为2，设为A、B，若x，y∈[180，185）时，有ab、ac、ad、bc、bd、cd共6种情况；若x，y∈[190，195]时，有AB共1种情况；若x，y分别在[180，185）和[190，195]内时，有aA、bA、cA、dA、aB、bB、cB、dB，共8种情况．∴基本事件总数为6+1+8=15，事件“|x﹣y|≤5”所包含的基本事件个数有6+1=7，∴P（|x﹣y|≤5）=．20．（10分）在平面直角坐标系xOy中，经过点且斜率为k的直线l与椭圆有两个不同的交点P和Q．（Ⅰ）求k的取值范围；（Ⅱ）设椭圆与x轴正半轴、y轴正半轴的交点分别为A，B，是否存在常数k，使得向量与共线？如果存在，求k值；如果不存在，请说明理由．【解答】解：（Ⅰ）由已知条件，直线l的方程为，代入椭圆方程得．整理得①直线l与椭圆有两个不同的交点P和Q，等价于①的判别式△=，解得或．即k的取值范围为．（Ⅱ）设P（x1，y1），Q（x2，y2），则，由方程①，．②又．③而．所以与共线等价于，将②③代入上式，解得．由（Ⅰ）知或，故没有符合题意的常数k．21．（12分）已知抛物线C：y2=2px（p＞0），直线l交此抛物线于不同的两个点A（x1，y1）、B（x2，y2））（1）当直线l过点M（﹣p，0）时，证明y1•y2为定值；（2）当y1y2=﹣p时，直线l是否过定点？若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由；（3）记N（p，0），如果直线l过点M（﹣p，0），设线段AB的中点为P，线段PN的中点为Q．问是否存在一条直线和一个定点，使得点Q到它们的距离相等？若存在，求出这条直线和这个定点；若不存在，请说明理由．【解答】（1）证明：l过点M（﹣p，0）与抛物线有两个交点，可知其斜率一定存在，设l：y=k（x+p），其中k≠0（若k=0时不合题意），由得k•y2﹣2py+2p2k=0，∴．（2）①当直线l的斜率存在时，设l：y=kx+b，其中k≠0（若k=0时不合题意）．由得ky2﹣2py+2pb=0．∴，从而．假设直线l过定点（x0，y0），则y0=kx0+b，从而，得，即，即过定点（，0）．②当直线l的斜率不存在，设l：x=x 0，代入y2=2px得y2=2px0，，∴，解得，即，也过（，0）．综上所述，当y1y2=﹣p时，直线l过定点（，0）．（3）依题意直线l的斜率存在且不为零，由（1）得点P的纵坐标为，代入l：y=k（x+p）得，即P（）．设Q（x，y），则，消k得，由抛物线的定义知存在直线，点，点Q到它们的距离相等．22．（8分）已知p：x2﹣8x﹣20≤0；q：x2﹣2x+1﹣m2≤0（m＞0）若￢p是￢q 的必要不充分条件，求实数m的取值范围．【解答】解：由题知，若¬p是¬q的必要不充分条件的等价命题为：p是q的充分不必要条件．由x2﹣8x﹣20≤0，解得﹣2≤x≤10，∴p：﹣2≤x≤10；由x2﹣2x+1﹣m2≤0（m＞0），整理得[x﹣（1﹣m）][x﹣（1+m）]≤0 解得1﹣m≤x≤1+m，∴q：1﹣m≤x≤1+m，又∵p是q的充分不必要条件，∴1﹣m≤﹣2且1+m≥10，∴m≥9，∴实数m的取值范围是[9，+∞）．。

2017-2018年陕西省西安一中高二上学期数学期中试卷带答案(理科)

2017-2018年陕西省西安一中高二上学期数学期中试卷带答案(理科)

2017-2018学年陕西省西安一中高二（上）期中数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（3分）下列不等式的证明过程正确的是（）A．若a，b∈R，则=2B．x，y∈R+，则lgx+lgyC．若x为负实数则x=﹣4D．若x为负实数，则2x+2﹣x=22．（3分）已知{a n}是等比数列，且a n＞0，a2a4+2a3a5+a4a6=36，则a3+a5的值等于（）A．6 B．12 C．18 D．243．（3分）在△ABC中，若∠B=30°，AB=2，AC=2，则满足条件的三角形有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．0个4．（3分）已知正数x、y满足，则z=22x+y的最大值为（）A．8 B．16 C．32 D．645．（3分）等差数列中，a1+a2+a3=﹣24，a18+a19+a20=78，则此数列前20项和等于（）A．160 B．180 C．200 D．2206．（3分）一元二次不等式ax2+bx+c＞0的解集为（α，β）（α＞0），则不等式cx2+bx+a ＞0的解集为（）A．（） B．（）C．（） D．（）7．（3分）在△ABC中，A=60°，AB=2，且△ABC的面积为，则BC的长为（）A．B．C．2 D．28．（3分）某旅行社租用A、B两种型号的客车安排900名客人旅行，A、B两种车辆的载客量分别为36人和60人，租金分别为1600元/辆和2400元/辆，旅行社要求租车总数不超过21辆，且B型车不多于A型车7辆．则租金最少为（）A．31200元B．36000元C．36800元D．38400元9．（3分）已知x＞0，y＞0，x，a，b，y成等差数列，x，c，d，y成等比数列，则的最小值是（）A．0 B．1 C．2 D．410．（3分）设关于x，y的不等式组表示的平面区域内存在点P（x0，y0），满足x0﹣2y0=2，求得m的取值范围是（）A．B．C．D．11．（3分）在△ABC中，sin2=（a、b、c分别为角A、B、C的对应边），则△ABC的形状为（）A．正三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形 D．等腰三角形12．（3分）设x，y满足约束条件，若目标函数z=ax+by（a＞0，b ＞0）的值是最大值为12，则的最小值为（）A．B．C．D．4二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分．将答案填写在题中的横线上）13．（4分）植树节某班20名同学在一段直线公路一侧植树，每人植一棵，相邻两棵树相距10米．开始时需将树苗集中放置在某一树坑旁边，使每位同学从各自树坑出发前来领取树苗往返所走的路程总和最小，这个最小值为（米）．14．（4分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，设S为△ABC的面积，S=（a2+b2﹣c2），则C的大小为．15．（4分）设x，y为实数，满足3≤xy2≤8，4≤≤9，则的最大值是．16．（4分）若不等式对一切非零实数x恒成立，则实数a的取值范围是．17．（4分）在锐角△ABC中，BC=1，B=2A，AC的取值范围为．三、解答题（本大题共4小题，共44分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）18．（10分）已知a，b均为正实数，且a+b=1，求y=（a+）（b+）的最小值．19．（10分）在等差数列{a n}中a2=6，a3+a6=27．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若数列{b n}的通项公式为b n=3n﹣1，求数列{a n，b n}的前n项和T n．20．（12分）已知a和b是任意非零实数．（1）求的最小值．（2）若不等式|2a+b|+|2a﹣b|≥|a|（|2+x|+|2﹣x|）恒成立，求实数x的取值范围．21．（12分）在海岸A处，发现北偏东45°方向，距A处（﹣1）海里的B处有一艘走私船，在A处北偏西75°方向，距A处2海里的C处的缉私船奉命以10海里/小时的速度追截走私船，此时走私船正以10海里/小时的速度从B处向北偏东30°的方向逃窜，问缉私船沿什么方向能最快追上走私船，并求出所需要的时间．2017-2018学年陕西省西安一中高二（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（3分）下列不等式的证明过程正确的是（）A．若a，b∈R，则=2B．x，y∈R+，则lgx+lgyC．若x为负实数则x=﹣4D．若x为负实数，则2x+2﹣x=2【解答】解：对于A：a，b∈R，不满足条件，对于B，x，y∈R+，lgx，lgy与0的关系无法确定，对于C：x为负实数则x+=﹣（﹣x+）≤﹣2=﹣4，故错误，对于D：正确，故选：D．2．（3分）已知{a n}是等比数列，且a n＞0，a2a4+2a3a5+a4a6=36，则a3+a5的值等于（）A．6 B．12 C．18 D．24【解答】解：由等比数列的性质可得a2a4+2a3a5+a4a6=a32+2a3a5+a52=（a3+a5）2=36，又∵a n＞0，∴a3+a5＞0∴a3+a5=6故选：A．3．（3分）在△ABC中，若∠B=30°，AB=2，AC=2，则满足条件的三角形有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．0个【解答】解：在△ABC中，∠B=30°，AB=2，AC=2，则：AB＞AC＞ABsinB．故△ABC有两解．故选：B．4．（3分）已知正数x、y满足，则z=22x+y的最大值为（）A．8 B．16 C．32 D．64【解答】解：满足约束条件的平面区域如下图所示：由得A（1，2），由图可知：当x=1，y=2时z=22x+y的最大值为24=16，故选：B．5．（3分）等差数列中，a1+a2+a3=﹣24，a18+a19+a20=78，则此数列前20项和等于（）A．160 B．180 C．200 D．220【解答】解：∵a1+a2+a3=﹣24，a18+a19+a20=78∴a1+a20+a2+a19+a3+a18=54=3（a1+a20）∴a1+a20=18∴=180故选：B．6．（3分）一元二次不等式ax2+bx+c＞0的解集为（α，β）（α＞0），则不等式cx2+bx+a ＞0的解集为（）A．（） B．（）C．（） D．（）【解答】解：不等式ax2+bx+c＞0（a≠0）的解集为（α，β），其中0＜α＜β，则α，β是一元二次方程ax2+bx+c=0的实数根，且a＜0；∴α+β=﹣，αβ=；则不等式cx2+bx+a＜0化为x2+x+1＞0，即αβx2﹣（α+β）x+1＞0；化为（αx﹣1）（βx﹣1）＞0，又0＜α＜β，∴0＜＜．∴不等式cx2+bx+a＜0的解集为：（，）．故选：C．7．（3分）在△ABC中，A=60°，AB=2，且△ABC的面积为，则BC的长为（）A．B．C．2 D．2【解答】解：∵在△ABC中，A=60°，AB=2，且△ABC的面积为，∴AB•AC•sinA=，即×2×AC×=，解得：AC=1，由余弦定理得：BC2=AC2+AB2﹣2AC•AB•cosA=1+4﹣2=3，则BC=．故选：B．8．（3分）某旅行社租用A、B两种型号的客车安排900名客人旅行，A、B两种车辆的载客量分别为36人和60人，租金分别为1600元/辆和2400元/辆，旅行社要求租车总数不超过21辆，且B型车不多于A型车7辆．则租金最少为（）A．31200元B．36000元C．36800元D．38400元【解答】解：设分别租用A、B两种型号的客车x辆、y辆，所用的总租金为z 元，则z=1600x+2400y，其中x、y满足不等式组，（x、y∈N）∵A型车租金为1600元，可载客36人，∴A型车的人均租金是≈44.4元，同理可得B型车的人均租金是=40元，由此可得，租用B型车的成本比租用A型车的成本低因此，在满足不等式组的情况下尽可能多地租用B型车，可使总租金最低由此进行验证，可得当x=5、y=12时，可载客36×5+60×12=900人，符合要求且此时的总租金z=1600×5+2400×12=36800，达到最小值故选：C．9．（3分）已知x＞0，y＞0，x，a，b，y成等差数列，x，c，d，y成等比数列，则的最小值是（）A．0 B．1 C．2 D．4【解答】解：∵x，a，b，y成等差数列，x，c，d，y成等比数列，根据等差数列和等比数列的性质可知：a+b=x+y，cd=xy，∴．当且仅当x=y时取“=”，故选：D．10．（3分）设关于x，y的不等式组表示的平面区域内存在点P（x0，y0），满足x0﹣2y0=2，求得m的取值范围是（）A．B．C．D．【解答】解：先根据约束条件画出可行域，要使可行域存在，必有m＜﹣2m+1，要求可行域包含直线y=x﹣1上的点，只要边界点（﹣m，1﹣2m）在直线y=x﹣1的上方，且（﹣m，m）在直线y=x﹣1的下方，故得不等式组，解之得：m＜﹣．故选：C．11．（3分）在△ABC中，sin2=（a、b、c分别为角A、B、C的对应边），则△ABC的形状为（）A．正三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形 D．等腰三角形【解答】解：因为sin2==，即，由余弦定理可得，可得a2+b2=c2，所以三角形是直角三角形．故选：B．12．（3分）设x，y满足约束条件，若目标函数z=ax+by（a＞0，b ＞0）的值是最大值为12，则的最小值为（）A．B．C．D．4【解答】解：不等式表示的平面区域如图所示阴影部分，当直线ax+by=z（a＞0，b＞0）过直线x﹣y+2=0与直线3x﹣y﹣6=0的交点（4，6）时，目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）取得最大12，即4a+6b=12，即2a+3b=6，而=，故选：A．二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分．将答案填写在题中的横线上）13．（4分）植树节某班20名同学在一段直线公路一侧植树，每人植一棵，相邻两棵树相距10米．开始时需将树苗集中放置在某一树坑旁边，使每位同学从各自树坑出发前来领取树苗往返所走的路程总和最小，这个最小值为2000（米）．【解答】解：记公路一侧所植的树依次记为第1棵、第2棵、第3棵、…、第20棵设在第n个树坑旁放置所有树苗，领取树苗往返所走的路程总和为f（n）（n 为正整数）则f（n）=[10+20+…+10（n﹣1）]+[10+20+…+10（20﹣n）]=10[1+2+…+（n﹣1）]+10[1+2+…+（20﹣n）]=5（n2﹣n）+5（20﹣n）（21﹣n）=5（n2﹣n）+5（n2﹣41n+420）=10n2﹣210n+2100，∴f（n）=20（n2﹣21n+210），相应的二次函数图象关于n=10.5对称，结合n为整数，可得当n=10或11时，f（n）的最小值为2000米．故答案为：200014．（4分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，设S为△ABC的面积，S=（a2+b2﹣c2），则C的大小为．【解答】解：∵△ABC的面积为S=absinC，∴由S=（a2+b2﹣c2），得（a2+b2﹣c2）=absinC，即absinC=（a2+b2﹣c2）∵根据余弦定理，得a2+b2﹣c2=2abcosC，∴absinC=×2abcosC，得sinC=cosC，即tanC==∵C∈（0，π），∴C=故答案为：15．（4分）设x，y为实数，满足3≤xy2≤8，4≤≤9，则的最大值是9．【解答】解：设，∴，∴∴∵4≤≤9，∴①．又∵3≤xy2≤8，∴②，①×②可得：．∴，当且仅当=9，且xy2=3，即x=3，y=1时，的最大值是9．故答案为：9．16．（4分）若不等式对一切非零实数x恒成立，则实数a的取值范围是[﹣，] ．【解答】解：∵|x+|=|x|+≥2∴不等式对一切非零实数x恒成立，等价于|2a﹣1|≤2∴﹣2≤2a﹣1≤2∴∴实数a的取值范围是[﹣，]故答案为：[﹣，]．17．（4分）在锐角△ABC中，BC=1，B=2A，AC的取值范围为．【解答】解：在锐角△ABC中，BC=1，∠B=2∠A，∴＜3 A＜π，且0＜2A＜，故＜A＜，故＜cosA＜．由正弦定理可得：=，∴b=2cosA，∴＜b＜，即b．故答案为：三、解答题（本大题共4小题，共44分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）18．（10分）已知a，b均为正实数，且a+b=1，求y=（a+）（b+）的最小值．【解答】解：y=（a+）（b+）=ab+++=ab++=ab+﹣2，∵a+b=1，∴ab≤（）2=，当且仅当a=b=时取等号，设ab=x，则0＜x≤，则y=x+﹣2，函数f（x）=x+﹣2，在（0，]上单调递减，∴y min=f（）=+8﹣2=故y=（a+）（b+）的最小值．19．（10分）在等差数列{a n}中a2=6，a3+a6=27．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若数列{b n}的通项公式为b n=3n﹣1，求数列{a n，b n}的前n项和T n．【解答】解：（1）等差数列{a n}的公差设为d，a2=6，a3+a6=27，可得a1+d=6，2a1+7d=27，解得a1=3，d=3，则a n=3+3（n﹣1）=3n；（2）a n b n=n•3n，前n项和T n=1•3+2•32+3•33+…+n•3n，3T n=1•32+2•33+3•34+…+n•3n+1，两式相减可得，﹣2T n=3+32+33+…+3n﹣n•3n+1，=﹣n•3n+1，化简可得T n=．20．（12分）已知a和b是任意非零实数．（1）求的最小值．（2）若不等式|2a+b|+|2a﹣b|≥|a|（|2+x|+|2﹣x|）恒成立，求实数x的取值范围．【解答】解：（1）∵≥==4，故的最小值为4．（2）若不等式|2a+b|+|2a﹣b|≥|a|（|2+x|+|2﹣x|）恒成立，即|2+x|+|2﹣x|≤恒成立，故|2+x|+|2﹣x|不大于的最小值．（4分）由（1）可知，的最小值为4，当且仅当（2a+b）（2a﹣b）≥0时取等号，∴的最小值等于4．（8分）∴x的范围即为不等式|2+x|+|2﹣x|≤4的解集．解不等式得﹣2≤x≤2，故实数x的取值范围为[﹣2，2]．（10分）21．（12分）在海岸A处，发现北偏东45°方向，距A处（﹣1）海里的B处有一艘走私船，在A处北偏西75°方向，距A处2海里的C处的缉私船奉命以10海里/小时的速度追截走私船，此时走私船正以10海里/小时的速度从B处向北偏东30°的方向逃窜，问缉私船沿什么方向能最快追上走私船，并求出所需要的时间．【解答】解：如图所示，设缉私船追上走私船需t 小时， 则有CD=，BD=10t ．在△ABC 中，∵AB=﹣1，AC=2，∠BAC=45°+75°=120°． 根据余弦定理可求得BC=．∠CBD=90°+30°=120°．在△BCD 中，根据正弦定理可得 sin ∠BCD=，∵∠CBD=120°，∴∠BCD=30°，∠BDC=30°， ∴BD=BC=，则有10t=，t==0.245（小时）=14.7（分钟）．所以缉私船沿北偏东60°方向，需14.7分钟才能追上走私船．赠送初中数学几何模型【模型二】半角型：图形特征：AB正方形ABCD 中，∠EAF =45° ∠1=12∠BAD 推导说明：1.1在正方形ABCD 中，点E 、F 分别在BC 、CD 上，且∠FAE ＝45°，求证：EF ＝BE +DFE-a1.2在正方形ABCD中，点E、F分别在BC、CD上，且EF＝BE+DF，求证：∠FAE＝45°DEa+b-aa45°A BE挖掘图形特征：a+bx-aa 45°DBa+b-a45°A运用举例：1．正方形ABCD 的边长为3，E 、F 分别是AB 、BC 边上的点,且∠EDF =45°.将△DAE 绕点D 逆时针旋转90°，得到△DCM . （1）求证：EF =FM（2）当AE =1时，求EF 的长．E3．如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠C ＝90°，BC ＝CD ＝2AD ＝4，E 为线段CD 上一点，∠ABE＝45°.（1）求线段AB的长；（2）动点P从B出发，沿射线．．BE运动，速度为1单位/秒，设运动时间为t，则t为何值时，△ABP为等腰三角形；（3）求AE－CE的值.变式及结论：4.在正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，且∠EAF=∠CEF=45°．（1）将△ADF绕着点A顺时针旋转90°，得到△ABG（如图1），求证：△AEG≌△AEF；（2）若直线EF与AB，AD的延长线分别交于点M，N（如图2），求证：EF2=ME2+NF2；（3）将正方形改为长与宽不相等的矩形，若其余条件不变（如图3），请你直接写出线段EF，BE，DF之间的数量关系．F。

陕西省西安市雁塔区高新一中高二上学期期中考试数学(

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2017-2018学年第一学期期中考试 2019届高二数学（文）试题一、选择题：（共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知抛物线22(0)y px p =>的准线经过(1,2)-，则抛物线的焦点坐标为（ ）．A ．(1,0)-B ．(1,0)C ．(0,1)-D ．(0,1)【答案】B【解析】∵抛物线22(0)y px p =>的准线经过点(1,1)-， ∴12p=， ∴该抛物线焦点坐标为(1,0)．2．已知函数32()f x x ax bx c =+++，下列结论中错误的是（ ）．A ．存在0x ∈R ，0()0f x =B ．若0()0f x '=，则0x 不一定是函数()f x 的极值点C ．若0x 是函数()f x 的极小值点，则()f x 在0(,)x -∞上单调递减D ．若0x 是函数()f x 的极值点，则0()0f x '= 【答案】C【解析】A ．对于三次函数32()f x x ax bx c =+++，A ．由于当x →-∞时，y →-∞，当x →+∞时，y →+∞，故0x ∃∈R ，0()0f x =，故A 正确； B ．∵2()3a f x f x ⎛⎫--+ ⎪⎝⎭，32332222422333273a a a a ab x a x b x c x ax bx c c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--+--+--+++++=-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，32323333273a a a a a ab f a b c c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+-+-+=-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，∵2()233a a f x f x f⎛⎫⎛⎫--+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ∴点,33a a P f ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭为对称中心，故B 正确． C ．若取1a =-，1b =-，0c =，则32()f x x x x =--， 对于32()f x x x x =--， ∵2()321f x x x '=--，∴由2()3210f x x x '=-->得1,(1,)3x ⎛⎫∈-∞-+∞ ⎪⎝⎭，由2()3210f x x x '=--<得1,13x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，∴函数()f x 的单调增区间为：1,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭，(1,)+∞，减区间为：1,13⎛⎫- ⎪⎝⎭，故1是()f x 的极小值点，但()f x 在区间(,1)-∞-不是单调递减，故C 错误；D ．若0x 是()f x 的极值点，根据导数的意义，则0()0f x '=，故D 正确．综上所述． 故选C ．3．若双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>一条渐近线方程为2y x =，则该双曲线离心率为（ ）．ABC D【答案】D【解析】∵双曲线的两条渐近线方程为22b by x x x a =±=±=±，∴22b=，则4b =，则c ===，则双曲线的离心率c e a === 故选D ．4．若函数()y f x =的导函数在区间[,]a b 上是增函数，则函数()y f x =在区间[,]a b 上的图象可能是下列中的（ ）．A．B．C．D．【答案】A【解析】∵函数()y f x =的导函数在区间[,]a b 上是增函数， ∴对任意的a x x b '''<<<， 有()()()()f a f x f x f b '''''''<<<，也即在a ，x '，x ''，b 处它们的斜率是依次增大的， ∴A 满足上述条件，B 存在()()f x f x '''''>，C 对任意的a x x b '''<<<，()()f x f x '''''=，D 对任意的[,]x a b ∈，()f x '不满足逐项递增的条件．故选A ．5．已知圆22(1)(1)2x y m ++-=-截直线20x y ++=所得弦的长度为4，则实数m =（ ）．A ．2-B ．4-C ．6-D ．8-【答案】B【解析】由题意：圆心(1,1)-，r =， 设圆心到直线的距离为d ，∴d∵d == ∴4a =-．6．若函数32()6f x x x cx =-+无极值点，则实数c 的取值范围是（ ）．A ．[)12,+∞B ．(12,)+∞C ．(,12)-∞D ．(],12-∞【答案】A【解析】2()312f x x x c '=-+， ∵无极值点，∴2()312f x x x c '=-+中， 0∆≤，即2(12)430c --⨯⨯≤， 解得：12c ≥．7．已知函数sin ()sin cos x f x x x =+，则π4f ⎛⎫'= ⎪⎝⎭（ ）．A ．14B ．0C ．12D【答案】C【解析】解：22cos (sin cos )sin (cos sin )1()(sin cos )(sin cos )x x x x x x f x x x x x +--'==++， ∴π142f ⎛⎫'= ⎪⎝⎭．故选C ．8．函数3()e 2x f x x =+-在区间(0,1)内的零点个数是（ ）．A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】B【解析】2()e 30x f x x '=+>； ∴()f x 在R 上单调递增； 又(0)10f =-<，(1)e 10f =->； ∴()f x 在区间(0,1)内零点个数是1． 故答案为：1．9．定义在[)0,+∞的函数()f x 的导函数为()f x '，对于任意的0x ≥，恒有()()f x f x '<，(1)e f m =，2(2)ef n =，则m ，n 的大小关系是（ ）． A ．m n > B ．m n < C ．m n = D ．无法确定 【答案】B【解析】构造函数()()e xf x F x =， 因()()()0e xf x f x F x '-'=>，故()()e xf x F x =在[)0,+∞上单调递增，则(2)(3)F F <， 即23(2)(3)e ef f <， 所以m n <．故选B ．10．设()f x '是函数()y f x =的导数，()f x ''是()f x '的导数，若方程()0f x ''=有实数解0x ，则称点00(,())x f x 为函数()y f x =的“拐点”．已知：任何三次函数都有“拐点”，任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心．设3218()2133f x x x x =-++，数列{}n a 的通项公式为1007n a n =-，则20171()i i f a ==∑（ ）．A ．4034B ．4036C ．2018D ．2017【答案】A【解析】解：28()43f x x x '=-+，()24f x x ''=-，令()0f x ''=得2x =， 又(2)2f =，∴()f x 的对称中心为(2,2)． ∵1007n a n =-，∴{}n a 是以1006-为首项，以1为公差的等差数列， 因此，本题正确答案是：4034．二、填空题：（本大题共4小题，每小题4分，共16分）11．设曲线x y e =上点P 处的切线平行于直线10x y --=，则点P 的坐标是__________． 【答案】(1,0)【解析】解：∵切线与直线10x y -+=平行， ∴斜率为1，∵ln y x x =，11ln 1ln y x x x x'=⨯+⋅=+，∴0()1y x '=， ∴01ln 1x +=， ∴01x =， ∴切点为(1,0)，因此，本题正确答案是：(1,0)．12．已知点P 为抛物线2:4C y x =上的一动点，则点P 到点(0,2)A 的距离与点P 到抛物线C 准线的距离之和的最小值为__________．【解析】由题得：如图：l :由图易得：AA AA '''+．13．用总长为14.8m 的钢条制作一个长方体容器的框架，如果所制容器底面一边的长比另一边的长多0.5m ，那么高为__________m 时容器的容积最大？ 【答案】1.2【解析】设底面一边长为x 米，另一边的长为(0.5)x +米，高(3.22)h x =-米， 容器的容积223 2.2 1.6n n V x x x ==-++，(0 1.6)x <<，令0V '=得1x =，或415x =-（舍去）． 当(0,1)x ∈时，0V '>； 当(1,1.6)x ∈时，0V '<．因此，1x =是函数()V x 的极大值点，也是最大值点．所以，长方体容器的高为1.2米时，容器最大，最大容积为1.8立方米．14．已知函数2()ln f x a x x =-，若对区间(1,2)内任意两个实数p ，()q p q ≠，都有()()0f p f q p q-<-，则实数a 的取值范围是__________．【答案】21a ≥ 【解析】不等式(1)(1)1f p f q p q+-+>-恒成立，即(1)(1)1(1)(1)f p f q p q +-+>+-+，即函数(1)(12)y f x x =+<<图像上任意两点， 连线的斜率1k >，那么曲线()y f x =在(2,3)上任意两点连线的斜率1k '>， 只需()1f x '>，((2,3))x ∈即可． 即()21af x x x'=->，需22a x x >+恒成立， ∵(2,3)x ∈，∴22x x +的值域为(10,21)，∴21a ≥．三、解答题：（本大题共4小题，共44分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（本小题满分10分）已知函数3211()232f x x x ax =-++．（1）若函数()f x 在2,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上存在单调增区间，求实数a 的取值范围．（2）若函数()f x 在2,13⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，求实数a 的取值范围．【答案】见解析．【解析】2()2f x x x a '=-++． （1）2,3x ⎛⎫∃∈+∞ ⎪⎝⎭，()0f x '>，∴2min2x x a ⎛⎫-> ⎪⎝⎭，∴19a >-．（2）2,1()03x f x ⎛⎫'∀∈> ⎪⎝⎭，2min2x x a ⎛⎫-> ⎪⎝⎭，∴0a >．16．（本小题满分10分）在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线1C 的极坐标方程为：2222cos 3sin 3ρθρθ+=，曲线2C 的参数方程是1x y t ⎧=⎪⎨=+⎪⎩（t 为参数）．（1）求曲线1C 和2C 的直角坐标方程．（2）设曲线1C 和2C 交于两点A ，B ，求以线段AB 为直径的圆的直角坐标方程． 【答案】见解析．【解析】（1）曲线2232cos 3sin 3ρθρθ+=化为直角坐标方程为：2233x y +=，即2213x y +=；曲线2C 参数方程是1x y t ⎧=⎪⎨=+⎪⎩（t 为参数）化为直角坐标方程为：1)x y =-，即0x +=．（2）22331)x y x y ⎧+=⎪⎨=-⎪⎩，解得01x y =⎧⎨=⎩，0x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩即(0,1)A ，B ，线段AB 的中点为12M ⎫⎪⎪⎝⎭，则以线段AB 为直径的圆的直角坐标方程为22112x y ⎛⎛⎫-+-= ⎪ ⎝⎭⎝⎭．17．（本小题满分12分）已知动点M 到定点(1,0)F 和定直线2x =，设动点M 的轨迹为曲线C ． （1）求曲线C 的方程．（2）已知点O 为坐标原点，A ，B 为曲线C 上两点，且OA OB ⊥，求证：2211||||OA OB +为定值．【答案】见解析． 【解析】（1）(,)M x y ，2|x =-， ∴2212x y +=． （2）11(,)A ρθ，21π,2B ρθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，∴2212x y +=化为极坐标方程， 2221cos sin 12ρθθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭．∴2221111cos sin 12ρθθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，∴22221sin cos 12ρθθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，∴2211||||OA OB +， 222211cos sin sin cos 22θθθθ=+++， 32=．18．（本小题满分12分）已知函数2()ln f x a x bx =-图象上一点(2,(2))P f 处的切线方程为32ln 22y x =-++．（1）求a ，b 的值．（2）若方程()0f x m +=在区间1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦内有两个不等实根，求实数m 的取值范围．（e 为自然对数的底数） 【答案】见解析．【解析】函数2()ln f x a x bx =-的导数()f x '， 2abx x=-， 由切线方程得(2)42af b '=-，(2)ln 24f a b =-，∴432ab -=-， 且ln2462ln222ln24a b -=-++=-，解得2a =，1b =． （2）则2()2ln f x x x =-， 令2()()2ln h x f x m x x m '=+=-+， 则2()2h x x x'=-，令()0h x '=，得1x =（1x =-舍去）． 在1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦内，当1,1e x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，()0h x '>， 即()h x 是增函数；当(]1,e x ∈时，()0h x '<，即()h x 是减函数，则方程()0h x =在1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦内有两个不等实根的充要条件是10e (1)0(e)0h h h ⎧⎛⎫⎪⎪⎝⎭⎪⎪>⎨⎪⎪⎪⎩≤≤，即2112em <+≤， 故答案为：211,2e ⎛⎤+ ⎥⎝⎦．四、附加题：（本大题共2小题，共20分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19．（本小题满分8分）在锐角三角形ABC 中，若sin 2sin sin A B C =．求t a n 2t a n t a n t a n t a A B C A B C ++的最小值． 【答案】16．【解析】sin()2sin sin B C B C +=， sin cos cos sin 2sin sin B C B C B C +=，∴tan tan 2tan tan B C B C +=， tan tan tan tan()1tan tan B CA B C B C+=-+=-，2tan tan 1tan tan B CB C-=-，设tan tan B C t =，∴1t >， ∴原式22211t tt t t t--=++⋅--， 2222221t t t t t-+--=-， 241t t =-， 2(1)2(1)141t t t -+-+=⋅-， 14(1)21t t ⎡⎤=-++⎢⎥-⎣⎦，∴最小值为16．20．（本小题满分12分）在ABC △中，已知(1,0)B -，(1,0)C ，且sin sin 2sin B C A +=． （1）求顶点A 的轨迹M 的方程．（2）直线l 过点(1,0)B -，且与轨迹M 交于P ，Q 两点，求CPQ △的内切圆面积的最大值． 【答案】见解析．【解析】（1）sin sin 2sin B C A +=， ∴2b c a +=， ∴||||4AC AB +=，∴22143x y +=． （2）内切圆面积最大，即内切圆半径最大， 111222CPQ S r PQ r QC r PC =⋅+⋅+⋅，1()2r PQ QC PC =++， 1842r r =⋅=， 即CPQ △面积最大时，r 最大，:1l x ky =-，22(43)690k y ky +--=， 11(,)P x y ，22(,)Q x y ，1212||2S c y y =⋅⋅-=max 3S =，此时34r =， ∴内切圆面积最大为9π16．。

陕西省西安中学2017-2018学年高二上学期期中考试理数(平行班)试卷

陕西省西安中学2017-2018学年高二上学期期中考试理数(平行班)试卷

西安中学2017-2018学年度第一学期期中考试高二数学理科（平行班）试题（时间：120分钟满分：150分）命题人：第Ⅰ卷选择题（共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把正确的选项填涂在答题纸上指定位置。

）1．为了了解1 200名学生对学校某项教改试验的意见，打算从中抽取一个容量为40的样本，考虑用系统抽样，则分段的间隔k为()A．40B．30 C．20D．122．命题“存在”的否定是（）A ．存在B．存在C ．任意D ．任意3．甲、乙两名篮球运动员在某几场比赛中得分的茎叶图如图所示，则甲、乙两人在这几场比赛中得分的中位数之和是()A．62 B．63 C．64 D．654．有分别写着数字1到120的120张卡片，从中取出1张，这张卡片上的数字是3的倍数的概率是( )A ．B．34C．47D．125．已知点(413)(251)A B-，，，，，，C为线段AB上一点，且13ACAB=，则C的坐标为（）A．715222⎛⎫-⎪⎝⎭，，B．3328⎛⎫-⎪⎝⎭，，C．107133⎛⎫-⎪⎝⎭，，D．573222⎛⎫-⎪⎝⎭，，6．阅读如右图所示的算法框图，若输出s的值为－7，则判断框内可填写（）A．i 3 B．i 4 C．i 5 D．i 67．从800件产品中抽取60件进行质检，利用随机数表法抽取样本时，先将800件产品按001,002，…，800进行编号．如果从随机数表第8行第8列的数8开始往右读数(随机数表第7行至第9行的数如下)，则抽取的第4件产品的编号是()……8442175331572455068877047447672176335025839212067663016378591695566711691056717512867358074439523879332112342978645607825242074438 15510013429966027954……A．105 B．556 C．671 D．1698．下列各组事件中，不是．．互斥事件的是（）A．一个射手进行一次射击，命中环数大于8与命中环数小于6B．统计一个班级数学期中考试成绩，平均分数不低于90分与平均分数不高于90分C．播种菜籽100粒，发芽90粒与发芽80粒D．检查某种产品，合格率高于70%与合格率为70%9．对具有线性相关关系的变量x，y有一组观测数据(x i，y i)(i＝1,2，…，8)，其回归直线方程是：y＝16x＋a，且x1＋x2＋x3＋…＋x8＝3，y1＋y2＋y3＋…＋y8＝6，则a＝( )A．116B．18C．14D．111610．若样本数据x1，x2，…，x10的标准差为8，则数据2x1－1，2x2－1，…，2x10－1的标准差为()A．8 B．15 C．16 D．3211．若()f x 是R 上的减函数，且(0)3f =，(3)1f =-，设{}|()12P x f x t =+-<，{}|()1Q x f x =<-，若“x P ∈”是“x Q ∈”的充分不必要条件，则实数t 的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．12．从区间[0,1]随机抽取2n 个数x 1，x 2，…，x n ，y 1，y 2，…，y n ，构成n 个数对(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )，其中两数的平方和小于1的数对共有m 个，则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近似值为( ) A ．4n m B ．2n m C ．4m n D ．2m n第Ⅱ卷 非选择题（共90分）二．填空题（本大题有4小题,每小题5分,满分20分。

『精选』2020年陕西省西安市高新一中国际部高二上学期期中数学试卷和解析(文科)

『精选』2020年陕西省西安市高新一中国际部高二上学期期中数学试卷和解析(文科)

2018学年陕西省西安市高新一中国际部高二（上）期中数学试卷（文科）一、选择题：（共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（4分）若抛物线y2=2px，p＞0的准线过点（﹣1，2），则该抛物线的焦点坐标是（）A．（﹣1，0）B．（0，﹣1）C．（1，0） D．（0，1）2．（4分）已知函数f（x）=x3+ax2+bx+c，下列结论中错误的是（）A．存在x0∈R，f（x0）=0B．若f′（x0）=0，则x0不一定是函数f（x）的极值点C．若x0是函数f（x）的极小值点，则f（x）在（﹣∞，x0）上单调递减D．若x0是函数f（x）的极值点，则f′（x0）=03．（4分）若双曲线的一条渐近线方程为y=2x，则离心率e=（）A．B．C．D．4．（4分）若函数y=f（x）的导函数在区间[a，b]上是增函数，则函数y=f（x）在区间[a，b]上的图象可能是（）A．B．C．D．5．（4分）已知圆（x+1）2+（y﹣1）2=2﹣m截直线x+y+2=0所得弦的长度为4，则实数m=（）A．﹣2 B．﹣4 C．﹣6 D．﹣86．（4分）若函数f（x）=x3﹣6x2+cx无极值点，则实数c的取值范围是（）A．[12，+∞）B．（12，+∞）C．（﹣∞，12）D．（﹣∞，12]7．（4分）已知f（x）=，则f′（）等于（）A．B．C．D．﹣8．（4分）函数f（x）=e x+x3﹣2在区间（0，1）内的零点个数是（）A．0 B．1 C．2 D．39．（4分）定义在[0，+∞）的函数f（x）的导函数为f′（x），对于任意的x≥0，恒有f′（x）＜f（x），m=，n=，则m，n的大小关系是（）A．m＞n B．m＜n C．m=n D．无法确定10．（4分）设f′（x）是函数y=f（x）的导数，f″（x）是f′（x）的导数，若方程f″（x）=0有实数解x0，则称点（x0，f（x0）为函数y=f（x）的“拐点”．已知：任何三次函数都有“拐点”，任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心．设f（x）=，数列{a n}的通项公式为a n=n﹣1007，则f（a i）=（）A．4034 B．4036 C．2018 D．2017二、填空题：（本大题共4小题，每小题4分，共16分）11．（4分）设曲线y=e x上点P处的切线平行于直线x﹣y﹣1=0，则点P的坐标是．12．（4分）已知点P为抛物线C：y2=4x上的一动点，则点P到点A（0，2）的距离与点P到抛物线C准线的距离之和的最小值为．13．（4分）用总长14.8 m的钢条作一个长方体容器的框架，如果制作容器的一边比另一边长0.5 m，那么高为时，容器容积最大．14．（4分）已知函数f（x）=alnx﹣x2，若对区间（1，2）内任意两个实数p，q（p≠q），都有，则实数a的取值范围是．三、解答题：（本大题共4小题，共44分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15．（10分）已知函数f（x）=．（1）若函数f（x）在（）上存在单调增区间，求实数a的取值范围．（2）若函数f（x）在（）上单调递增，求实数a的取值范围．16．（10分）在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C1的极坐标方程为：ρ2cos2θ+3ρ2sin2θ=3，曲线C2的参数方程是（t为参数）．（1）求曲线C1和C2的直角坐标方程；（1）设曲线C1和C2交于两点A，B，求以线段AB为直径的圆的直角坐标方程．17．（12分）已知动点M到定点F（1，0）和定直线x=2的距离之比为，设动点M的轨迹为曲线C．（1）求曲线C的方程．（2）已知点O为坐标原点，A，B为曲线C上两点，且OA⊥OB，求证：为定值．18．（12分）已知函数f（x）=alnx﹣bx2图象上一点P（2，f（2））处的切线方程为y=﹣3x+2ln2+2．（1）求a，b的值；（2）若方程f（x）+m=0在[，e]内有两个不等实根，求m的取值范围（其中e为自然对数的底数）．四、附加题：（本大题共2小题，共20分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19．（8分）在锐角三角形ABC中，若sinA=2sinBsinC．求tanA+2tanBtanC+tanAtanBtanC的最小值．20．（12分）在△ABC中，已知B（﹣1，0），C（1，0），且sinB+sinC=2sinA．（1）求顶点A的轨迹M的方程．（2）直线l过点B（﹣1，0），且与轨迹M交于P，Q两点，求△CPQ的内切圆面积的最大值．2018学年陕西省西安市高新一中国际部高二（上）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：（共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（4分）若抛物线y2=2px，p＞0的准线过点（﹣1，2），则该抛物线的焦点坐标是（）A．（﹣1，0）B．（0，﹣1）C．（1，0） D．（0，1）【解答】解：∵抛物线y2=2px（p＞0）的准线经过点（﹣1，2），∴准线方程为x=﹣1，∴该抛物线焦点坐标为（1，0）．故选：C．2．（4分）已知函数f（x）=x3+ax2+bx+c，下列结论中错误的是（）A．存在x0∈R，f（x0）=0B．若f′（x0）=0，则x0不一定是函数f（x）的极值点C．若x0是函数f（x）的极小值点，则f（x）在（﹣∞，x0）上单调递减D．若x0是函数f（x）的极值点，则f′（x0）=0【解答】解：A：对于三次函数f（x）=x3+ax2+bx+c，∵x→﹣∞时，f（x）→﹣∞；x→+∞，f （x）→+∞，函数f（x）必然穿过x轴，即∃x0∈R，f（x0）=0，故A正确；B．若f′（x0）=0，则x0不一定是函数f（x）的极值点，正确，例如取f（x）=x3，f′（0）=0，而0不是函数f（x）的极值点，C、若取a=﹣1，b=﹣1，c=0，则f（x）=x3﹣x2﹣x，对于f（x）=x3﹣x2﹣x，∵f′（x）=3x2﹣2x﹣1∴由f′（x）=3x2﹣2x﹣1＞0得x∈（﹣∞，﹣）∪（1，+∞）由f′（x）=3x2﹣2x﹣1＜0得x∈（﹣，1）∴函数f（x）的单调增区间为：（﹣∞，﹣），（1，+∞），减区间为：（﹣，1），故1是f（x）的极小值点，但f（x ）在区间（﹣∞，1）不是单调递减，故C错误；D：若x0是f（x）的极值点，根据导数的意义，则f′（x0）=0，故D正确．故选：C．3．（4分）若双曲线的一条渐近线方程为y=2x，则离心率e=（）A．B．C．D．【解答】解：根据题意，双曲线的方程为：，其焦点在x轴上，则其渐近线方程为y=±x，又由双曲线的一条渐近线方程为y=2x，则有=2，即b=2a，则c==a，则其离心率e==，故选：B．4．（4分）若函数y=f（x）的导函数在区间[a，b]上是增函数，则函数y=f（x）在区间[a，b]上的图象可能是（）A．B．C．D．【解答】解：∵函数y=f（x）的导函数在区间[a，b]上是增函数，∴对任意的a＜x′＜x″＜b，有f′（a）＜f′（x′）＜f′（x″）＜f′（b），也即在a，x'，x“，b处它们的斜率是依次增大的．∴A 满足上述条件，B 存在f′（x′）＞f′（x″），C 对任意的a＜x′＜x″＜b，f′（x′）=f′（x″），D 对任意的x∈[a，b]，f′（x）不满足逐项递增的条件，故选：A．5．（4分）已知圆（x+1）2+（y﹣1）2=2﹣m截直线x+y+2=0所得弦的长度为4，则实数m=（）A．﹣2 B．﹣4 C．﹣6 D．﹣8【解答】解：圆的标准方程为（x+1）2+（y﹣1）2=2﹣a，则圆心坐标为（﹣1，1），半径r=，∵圆x2+y2+2x﹣2y+m=0截直线x+y+2=0所得弦的长度为4，∴圆心到直线的距离d===，解得m=﹣4，故选：B．6．（4分）若函数f（x）=x3﹣6x2+cx无极值点，则实数c的取值范围是（）A．[12，+∞）B．（12，+∞）C．（﹣∞，12）D．（﹣∞，12]【解答】解：函数f（x）=x3﹣6x2+cx，函数f′（x）=3x2﹣12x+c，∵函数f（x）=x3﹣6x2+cx无极值点，∴f′（x）=3x2﹣12x+c中，△=144﹣12c≤0，解得：c≥12．故选：A．7．（4分）已知f（x）=，则f′（）等于（）A．B．C．D．﹣【解答】解：∵f（x）=，∴f′（x）==，则f′（）=，故选：C．8．（4分）函数f（x）=e x+x3﹣2在区间（0，1）内的零点个数是（）A．0 B．1 C．2 D．3【解答】解：函数f（x）=e x+x3﹣2，可得函数f′（x）=e x+3x2＞0；∴f（x）在R上单调递增；又f（0）=﹣1＜0，f（1）=e﹣1＞0；∴f（x）在区间（0，1）内零点个数是1．故选：B．9．（4分）定义在[0，+∞）的函数f（x）的导函数为f′（x），对于任意的x≥0，恒有f′（x）＜f（x），m=，n=，则m，n的大小关系是（）A．m＞n B．m＜n C．m=n D．无法确定【解答】解：构造函数g（x）=，∴g′（x）=＜0，故g（x）在[0，+∞）上单调递减，则g（1）＞g（2），即＞，所以m＞n．故选：A．10．（4分）设f′（x）是函数y=f（x）的导数，f″（x）是f′（x）的导数，若方程f″（x）=0有实数解x0，则称点（x0，f（x0）为函数y=f（x）的“拐点”．已知：任何三次函数都有“拐点”，任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心．设f（x）=，数列{a n}的通项公式为a n=n﹣1007，则f（a i）=（）A．4034 B．4036 C．2018 D．2017【解答】解：f′（x）=x2﹣4x+，f″（x）=2x﹣4，令f″（x）=0得x=2，又f（2）=2，∴f（x）的对称中心为（2，2）．∵a n=n﹣1007，∴{a n}是以﹣1006为首项，以1为公差的等差数列，∴a1+a2017=a2+a2016=…=a1008+a1010=2a1009=4，∴f（a1）+f（a2017）=f（a2）+f（a2016）=…=f（a1008）+f（a1010）=4，∴f（a i）=f（a1）+f（a2）+…+f（a2017）=1008×4+f（a1009）=4032+f（2）=4032+2=4034．故选：A．二、填空题：（本大题共4小题，每小题4分，共16分）11．（4分）设曲线y=e x上点P处的切线平行于直线x﹣y﹣1=0，则点P的坐标是（0，1）．【解答】解：∵切线与直线x﹣y﹣1=0平行，∴斜率为1，设切点（x0，f（x0）），∵曲线y=e x，可得y′=e x，∴，∴x0=0，∴切点为（0，1），故答案为：（0，1）．12．（4分）已知点P为抛物线C：y2=4x上的一动点，则点P到点A（0，2）的距离与点P到抛物线C准线的距离之和的最小值为．【解答】解：由题得：如图：依题设A在抛物线准线的投影为A′，抛物线的焦点为F，A（0，2）．F在准线上的射影A″∵抛物线y2=4x，∴F（1，0），依抛物线的定义知P到该抛物线准线的距离为|PA″|=|PF|，则点P到点A（0，2）的距离与P到该抛物线准线的距离之和d=|PF|+|PA|≥|AF|=．故选：D．13．（4分）用总长14.8 m的钢条作一个长方体容器的框架，如果制作容器的一边比另一边长0.5 m，那么高为 1.2m时，容器容积最大．【解答】解：设容器底面短边长为x m，则另一边长为（x+0.5）m，高为3.2﹣2x．由3.2﹣2x＞0和x＞0，得0＜x＜1.6，设容器的容积为ym3，则有y=x（x+0.5）（3.2﹣2x）（0＜x＜1.6）．整理，得y=﹣2x3+2.2x2+1.6x∴y′=﹣6x2+4.4x+1.6﹣﹣6分令y′=0，有x=1从而，在定义域（0，1.6）内只有在x=1 处使y取最大值，这时，高为1.2m．答：容器的高为1.2m时容积最大，故填1.2m．14．（4分）已知函数f（x）=alnx﹣x2，若对区间（1，2）内任意两个实数p，q（p≠q），都有，则实数a的取值范围是（﹣∞，2] ．【解答】解：对区间（1，2）内任意两个实数p，q（p≠q），都有，可得f（x）在（1，2）递减，函数f（x）=alnx﹣x2的导数为f′（x）=﹣2x，即﹣2x≤0在（1，2）恒成立，需a≤2x2恒成立，∵x∈（1，2），∴2x2的值域为（2，8），∴a≤2．可得a的范围是（﹣∞，2]．故答案为：（﹣∞，2]．三、解答题：（本大题共4小题，共44分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15．（10分）已知函数f（x）=．（1）若函数f（x）在（）上存在单调增区间，求实数a的取值范围．（2）若函数f（x）在（）上单调递增，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）f′（x）=﹣x2+x+2a，当∃x∈（，+∞），f′（x）≥0，∴a≥，∵y=在（，+∞）上单调递增，∴y＞（﹣）=﹣，∴a≥﹣（2）∀x∈（，1），f′（x）≥0，a≥，∵y=在（，1）上单调递增，∴y＜0，∴a≥016．（10分）在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C1的极坐标方程为：ρ2cos2θ+3ρ2sin2θ=3，曲线C2的参数方程是（t为参数）．（1）求曲线C1和C2的直角坐标方程；（1）设曲线C1和C2交于两点A，B，求以线段AB为直径的圆的直角坐标方程．【解答】解：（I）曲线ρ2cos2θ+3ρ2sin2θ=3化为直角坐标方程为：x2+3y2=3，即=1；曲线C2参数方程是（t为参数）化为直角坐标方程为：x=﹣（y﹣1），即x+y ﹣=0．（II），解得，即A（0，1），B（，0），线段AB的中点为M，则以线段AB为直径的圆的直角坐标方程为=1．17．（12分）已知动点M到定点F（1，0）和定直线x=2的距离之比为，设动点M的轨迹为曲线C．（1）求曲线C的方程．（2）已知点O为坐标原点，A，B为曲线C上两点，且OA⊥OB，求证：为定值．【解答】解：（1）设M（x，y），∵动点M到定点F（1，0）和定直线x=2的距离之比为，∴=|x﹣2|，∴整理得=1，∴曲线C的方程为=1．证明：（2）设A（ρ1，θ1），B（），∴=1化为极坐标方程，得：=1．∴（）=1，•=（）=1，∴=+=．∴为定值．18．（12分）已知函数f（x）=alnx﹣bx2图象上一点P（2，f（2））处的切线方程为y=﹣3x+2ln2+2．（1）求a，b的值；（2）若方程f（x）+m=0在[，e]内有两个不等实根，求m的取值范围（其中e为自然对数的底数）．【解答】解：（1）函数f（x）=alnx﹣bx2则：，所以：．且满足：f（2）=aln2﹣4b=﹣6+2ln2+2．解得：a=2，b=1．（2）由（1）得：f（x）=2lnx﹣x2，令h（x）=f（x）+m=2lnx﹣x2+m，则：=，令h'（x）=0，得x=1（x=﹣1舍去）．在[]内，当x∈时，h′（x）＞0，所以：h（x）是增函数；当x∈（1，e]时，h'（x）＜0，∴h（x）是减函数．则：方程h（x）=0在[，e]内有两个不等实根的充要条件是，解不等式得：．四、附加题：（本大题共2小题，共20分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19．（8分）在锐角三角形ABC中，若sinA=2sinBsinC．求tanA+2tanBtanC+tanAtanBtanC的最小值．【解答】解：sinA=2sinBsinC，即为sin（B+C）=2sinBsinC，即sinBcosC+cosBsinC=2sinBsinC，由锐角三角形ABC，上式两边同除以cosBcosC，∴tanB+tanC=2tanBtanC，tanA=﹣tan（B+C）=﹣=﹣设tanBtanC=t，则tanA=，t＞1．∴原式=+2t+•t===4•=4[（t﹣1）++2]≥4（2+2）=16，当且仅当t=2时，上式取得等号，可得所求最小值为16．20．（12分）在△ABC中，已知B（﹣1，0），C（1，0），且sinB+sinC=2sinA．（1）求顶点A的轨迹M的方程．（2）直线l过点B（﹣1，0），且与轨迹M交于P，Q两点，求△CPQ的内切圆面积的最大值．【解答】解：（1）∵在△ABC中，B（﹣1，0），C（1，0），且sinB+sinC=2sinA．∴b+c=2a，∴|AC|+|AB|=4，∴顶点A的轨迹M是以B，C为焦点的椭圆，且2a=4，∴顶点A的轨迹M的方程为=1．（2）内切圆面积最大，即内切圆半径最大，S△CPQ==（PQ+QC+PC）=，即△CPQ面积最大时，r最大，设直线l：x=ky﹣1，联立，得：（4+3k2）y2﹣6ky﹣9=0，设P（x1，y1），Q（x2，y2），则x1+x2=，x1x2=，则S===，∴当k=0时，S max=3，此时r=，∴△CPQ的内切圆面积的最大值为：πr2=．赠送初中数学几何模型【模型五】垂直弦模型：图形特征：运用举例：1.已知A、B、C、D是⊙O上的四个点.(1)如图1，若∠ADC＝∠BCD＝90°，AD＝CD，求证AC⊥BD；(2)如图2，若AC⊥BD，垂足为E，AB＝2，DC＝4，求⊙O的半径.2.如图，已知四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC⊥BD于P，设⊙O的半径是2。

陕西省西安市第一中学2017-2018学年高二上学期期中考试数学(理)试卷 Word版含解析

陕西省西安市第一中学2017-2018学年高二上学期期中考试数学(理)试卷 Word版含解析

西安市第一中学2017-2018学年度第一学期期中高二数学（理科）试题一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．下列不等式的证明过程正确的是（ ）．A ．若a ，b ∈R ，则2b a a b +≥B ．若x ，y +∈R ，则lg lg x y +≥C ．若x 为负实数，则44x x +-=-≥D ．若x 为负实数，则222x x -+=≥ 【答案】D【解析】A 不正确，因为a ，b 不满足同号，故不能用基本不等式；B 不正确，因为lg x 和lg y 不一定是正实数，故不能用基本不等式；C 不正确，因为x 和4x不是正实数，故不能直接利用基本不等式；D 正确，因为2x 和2x -都是正实数，故222x x -+=≥成立，当且仅当22x x -=相等时（即0x =时），等号成立．故选D ．2．已知{}n a 是等比数列，且0n a >，243546236a a a a a a ++=，那么35a a +的值等于（ ）．A ．6B ．12C ．18D ．24【答案】A【解析】由等比数列的性质可得22224354633553522()36a a a a a a a a a a a a ++=++=+=， 又∵0n a >， ∴350a a +>，∴356a a +=． 故选A ．3．在ABC △中，若30B ∠=︒，AB =，2AC =，则满足条件的三角形有（ ）．A ．1个B ．2个C ．3个D ．0个【答案】B【解析】设AB c =，AC b =，BC a =，sin sin b cB C =，212=∴sin C =， ∴120C ∠=︒或60C ∠=︒． 满足条件的三角形有2个． 故选B ．4．已知正数x 、y 满足20350x y x y -⎧⎨-+⎩≤≥，则22x y z +=的最大值为（ ）．A ．8B ．16C ．32D ．64【答案】B 【解析】满足约束条件20350x y x y -⎧⎨-+⎩≤≥的平面区域如下图所示：由20350x y x y -=⎧⎨-+=⎩得(1,2)A ，由图可知：当1x =，2y =时，22x y z +=的最大值为4216=． 故选B ．5．等差数列{}n a ，12324a a a ++=-，18192078a a a ++=，则此数列前20项和等于（ ）．A ．160B ．180C ．200D ．220【答案】B【解析】∵12324a a a ++=-，18192078a a a ++=， ∴120219318120543()a a a a a a a a +++++==+， ∴12018a a +=， ∴1202020()1802a a S +==． 故选B ．6．一元二次不等式20ax bx c ++>的解集为(,)(0)αβα>，则不等式20cx bx a ++>的解集为（ ）．A ．11,αβ⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．11,αβ⎛⎫-- ⎪⎝⎭C ．11,βα⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．11,βα⎛⎫-- ⎪⎝⎭【答案】C【解析】由已知，得0a b a c a αβαβ⎧⎪<⎪⎪+=-⎨⎪⎪=⎪⎩，∵0αβ<<，∴0b a ->，0ca >，∴0b >，0c <， ∵11b c αβαβαβ++==-，111acαβαβ⋅==， ∴1α，1β是方程20cx bx a ++=的两根，且110αβ>>，∴不等式20cx bx a ++>的解集是11|,0x x ββα⎧⎫<<>⎨⎬⎩⎭．故选A ．7．在ABC △中，60A =︒，2AB =，且ABC △，则BC 的长为（ ）． ABC．D ．2【答案】A【解析】∵在ABC △中，60A =︒，2AB =，且ABC △，∴1sin 2AB AC A ⋅⋅，即122AC ⨯⨯， 解得：1AC =， 由余弦定理得：2222cos 1423BC AC AB AC AB A =+-⋅⋅=+-=，则BC．8．某旅行社租用A、B两种型号的客车安排900名客人旅行，A、B两种车辆的载客量分别为36人和60人，租金分别为1600元/辆和2400元/辆，旅行社要求租车总数不超过21辆，且B型车不多于A型车7辆，则租金最少与（）．A．38400元B．36000元C．36800元D．31200元【答案】C【解析】本题主要考查线性规划的实际应用．根据题意列出约束条件为3660900217A BA BB A+⎧⎪+⎨⎪-⎩≥≤≤，且目标函数为16002400z A B=+，作出可行域如下：A据图可知当目标函数直线经过(5,12)M时取得最大值1600524001236800⨯+⨯=，故租金至少为36800元．9．已知0x>，0y>，x，a，b，y成等差数列，x，c，d，y成等比数列，则2()a bcd+的最小值是（）．A．0B．1C．2D．4【答案】D【解析】解：∵x，a，b，y成等差数列，x，c，d，y成等比数列，根据等差数列和等比数列的性质可知：a b x y+=+，cd xy=，∴22()()4a b x y cd xy ++==． 当且仅当x y =时取“=”． 故选D ．10．设关于x 、y 的不等式组21000x y x m y m -+>⎧⎪+<⎨⎪->⎩，表示的平面区域内存在点00(,)P x y ，满足0022x y -=，求得m 的取值范围是（ ）．A ．4,3⎛⎫- ⎪⎝⎭∞B ．1,3⎛⎫- ⎪⎝⎭∞C ．2,3⎛⎫-- ⎪⎝⎭∞D ．5,3⎛⎫-- ⎪⎝⎭∞【答案】C【解析】画出不等式组21000x y x m y m -+>⎧⎪+<⎨⎪->⎩表示的区域及直线22x y -=如图，结合图形可知点(,)M m m -能使得22m m -->，即23m <-．故选A ．11．在ABC △中，2sin 22A c bc-=，则ABC △的形状为（ ）．A ．正三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰三角形【答案】B【解析】解：因为21cos sin 222A c b A c --==，即cos bA c=， 由余弦定理可得2222b b c a c bc +-=，可得222a b c +=，所以三角形是直角三角形． 故选B ．12．设x ，y 满足约束条件360200,0x y x y x y --⎧⎪-+⎨⎪⎩≤≥≥≥，若目标函数(0,0)z ax by a b =+>>的值是最大值为12，则23a b +的最小值为（ ）．A ．256B ．83C ．113D ．4【答案】A【解析】本题主要考查简单的线性规划． 根据题意作出可行域：由图象可知函数(0,0)z ax by a b =+>>在点(4,6)A 处取得最大值，所以可得等式：4612a b +=，即236a b +=．而2323236a b a b a b +⎛⎫⎛⎫+=+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭131325666a b b a =+++≥当且仅当a b =时，等号成立． 故选A ．二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分．将答案填写在题中的横线上）13．植树节某班20名同学在一段直线公路一侧植树，每人植一棵，相邻两棵树相距10米，开始时需将树苗集中放置在某一树坑旁边，使每位同学从各自树坑出发前来领取树苗往返所走的路程总和最小，这个最小值为__________米． 【答案】2000【解析】本题主要考查利用二次函数求极值．先将20棵树编号分别为1，2，3，L ，20，树苗放在编号为k 的树旁，列出每位同学往返总路程的表达式的化简式为220(21210)S k k =-+，又*k ∈N ，故由二次函数的性质得10k =或11时，S 最小，最小值为2000． 故本题正确答案为2000．14．在ABC △中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，设S 为ABC △的面积，满足222)S a b c +-，则角C 的大小为__________． 【答案】π3【解析】解：∵222)S a b c =+-，∴可得：1sin 2cos 2ab C ab C =，∴tan C ∵0πC <<， ∴π3C =．15．设x ，y 为实数，满足238xy ≤≤，249x y ≤≤，则34x y的最小值是__________．【答案】27【解析】利用待定系数法，即令3224()mn x x xy y y ⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭，求得m ，n 后整体代换求解． 设3224()m n x x xy y y ⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭， 则3422m n n m x y x y -+-⋅=⋅， ∴2324m n n m +=⎧⎨-=-⎩，即21m n =⎧⎨=-⎩，∴232214()x x xy y y -⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭， 又由题意得22[16,81]x y ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，2111,83xy ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以232214()[2,27]x x xy y y -⎛⎫=⋅∈ ⎪⎝⎭，故34x y的最大值是27．16．若不等式1|21|a x x-+≤对一切非零实数x 恒成立，则实数a 的取值范围是__________． 【答案】13,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【解析】∵11||2||x x x x +=+≥， ∴不等式1|21|a x x-+≤对一切非零实数x 恒成立，等价于|21|2a -≤， ∴2212a --≤≤，∴1322a -≤≤．∴实数a 的取值范围是13,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦．因此，本题正确答案是：13,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦．17．在锐角ABC △中，1BC =，2B A =，AC 的取值范围为__________．【答案】【解析】解：由题意，得π0π32π022A A ⎧<-<⎪⎪⎨⎪<<⎪⎩，解得ππ64A <<． 由正弦定理sin sin AC BCB A=， 得2cos AC A =， ∵A 的取值范围为ππ64A <<，故AC ∈．三、解答题（本大题共4小题，共44分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 18．（10分）已知a 、b 为正实数，且1a b +=，求11y a b a b ⎛⎫⎛⎫=++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的最小值．【答案】见解析．【解析】解：11y a b a b ⎛⎫⎛⎫=++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭112b a ab ab ab a b ab ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭≥2=2⎛=- ⎝232a b ⎛⎫+⨯ ⎪ ⎪⎝⎭≥2342⎛⎫=- ⎪⎝⎭ 254=． 当且仅当12a b ==时，11y a b a b ⎛⎫⎛⎫=++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭取最小值，最小值为254．19．（10分）在等差数列{}n a 中，26a =，3627a a +=． （1）求数列{}n a 的通项公式．（2）若数列{}n b 的通项公式为13n n b -=，求数列{}n n a b ⋅的前n 项的和n T ．【答案】见解析．【解析】解：（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，则1(1)n a a n d =+-⋅，由26a =，3627a a +=，可得1162427a d a d +=⎧⎨+=⎩，解得133a d =⎧⎨=⎩． 从而，3n a n =．（2）由（1）可知3n a n =，∴23313233313n n n n n a b n T n ⋅=⋅⋅=⨯+⨯+⨯++⋅，① 234131323333n n T n +=⨯+⨯+⨯++⋅，② ①-②，得：23113(13)2133333313n n n n n T n n ++--=⨯++++-⋅=-⋅-， 故1(21)334n n n T +-⋅+=．20．（12分）已知a 和b 是任意非零实数． （1）求|2||2|||a b a b a ++-的最小值． （2）若不等式|2||2|||(|2||2|)a b a b a x x ++-++-≥恒成立，求实数x 的取值范围．【答案】见解析．【解析】解：（1）因为|2||2||22|4||a b a b a b a b a ++-++-=≥对于任意非零实数a 和b 恒成立，当且仅当(2)(2)0a b a b+-≥时取等号，所以|2||2|||a b a ba++-的最小值等于4．（2）因为|2||2||2||2|||a b a bx xa++-++-≤恒成立，故|2||2|x x++-不大于|2||2|||a b a ba++-的最小值．由（1）可知|2||2|||a b a ba++-的最小值等于4．实数x的取值范围即为不等式|2||2|4x x++-≤的解，解不等式得22x-≤≤．21．（12分）如图，在海岸A处发现北偏东45︒方向，距A处1)海里的B处有一艘走私船，在A处北偏西75︒方向，距A处2海里的C处的我方辑私船奉命以/小时的速度追截走私船，此时走私船正以10海里/小时的速度，以B处向北偏东30︒方向逃窜．问：辑私船沿什么方向行驶才能最快截获走私船？并求出所需时间．【答案】见解析．【解析】解：如图所示，设辑私船追上走私船需t小时，则有CD=，10BD t=．在ABC△中，∵1AB=，2AC=，4575120BAC∠=︒+︒=︒．根据余弦定理可求得BC9030120CBD∠=︒+︒=︒．在BCD△中，根据正弦定理可得sin 1sin2BD CBD BCD CD ⋅∠∠=， ∵120CBD ∠=︒，∴30BCD ∠=︒，30BDC ∠=︒，∴BD BC =则有10t ，0.245t ==（小时）14.7=（分钟）． 所以辑私船沿北偏东60︒方向，需14.7分钟才能追上走私船．。

西安高新一中国际部入学考试内容

西安高新一中国际部入学考试内容

西安高新一中国际部入学考试内容
西安高新第一中学国际班国际小学入学条件：
招生范围：面向全国范围招生，幼升小学生，各年级插班生，无国籍户籍限制。

入学考试内容：小学阶段入学考试低年级以面试为主（包括家长）高年级增加笔试，面试主要考察学生的行为习惯，与老师小朋友的相处能力等。

西安高新第一中学国际班国际初中入学条件：
招生范围：面向全国范围招生，应届小学毕业生，初一、初二插班生，无国籍户籍限制。

入学考试内容：初中阶段入学考试包括笔试+面试，笔试包括英语、数学、中文三科，面试为英文口语面试。

西安高新第一中学国际班国际高中入学条件：
招生范围：面向全国范围，招生初中毕业生高一，高二插班生，无国籍户籍限制。

入学考试内容：高中阶段入学考试以笔试+面试为主，笔试包括英语、数学、中文三科（分中英文卷），面试为英文面试，部分学校会参考中考成绩。

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2017-2018学年第一学期期中考试 2019届高二数学（文）试题一、选择题：（共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知抛物线22(0)y px p =>的准线经过(1,2)-，则抛物线的焦点坐标为（ ）．A ．(1,0)-B ．(1,0)C ．(0,1)-D ．(0,1)【答案】B【解析】∵抛物线22(0)y px p =>的准线经过点(1,1)-， ∴12p=， ∴该抛物线焦点坐标为(1,0)．2．已知函数32()f x x ax bx c =+++，下列结论中错误的是（ ）．A ．存在0x ∈R ，0()0f x =B ．若0()0f x '=，则0x 不一定是函数()f x 的极值点C ．若0x 是函数()f x 的极小值点，则()f x 在0(,)x -∞上单调递减D ．若0x 是函数()f x 的极值点，则0()0f x '= 【答案】C【解析】A ．对于三次函数32()f x x ax bx c =+++，A ．由于当x →-∞时，y →-∞，当x →+∞时，y →+∞，故0x ∃∈R ，0()0f x =，故A 正确； B ．∵2()3a f x f x ⎛⎫--+ ⎪⎝⎭，32332222422333273a a a a ab x a x b x c x ax bx c c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--+--+--+++++=-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，32323333273a a a a a ab f a b c c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+-+-+=-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，∵2()233a a f x f x f ⎛⎫⎛⎫--+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ∴点,33a a P f⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭为对称中心，故B 正确． C ．若取1a =-，1b =-，0c =，则32()f x x x x =--， 对于32()f x x x x =--， ∵2()321f x x x '=--，∴由2()3210f x x x '=-->得1,(1,)3x ⎛⎫∈-∞-+∞ ⎪⎝⎭，由2()3210f x x x '=--<得1,13x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，∴函数()f x 的单调增区间为：1,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭，(1,)+∞，减区间为：1,13⎛⎫- ⎪⎝⎭，故1是()f x 的极小值点，但()f x 在区间(,1)-∞-不是单调递减，故C 错误；D ．若0x 是()f x 的极值点，根据导数的意义，则0()0f x '=，故D 正确．综上所述． 故选C ．3．若双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>一条渐近线方程为2y x =，则该双曲线离心率为（ ）．ABC D【答案】D【解析】∵双曲线的两条渐近线方程为22b by x x x a =±=±=±，∴22b=，则4b =，则c ，则双曲线的离心率c e a === 故选D ．4．若函数()y f x =的导函数在区间[,]a b 上是增函数，则函数()y f x =在区间[,]a b 上的图象可能是下列中的（ ）．A．B．C．D．【答案】A【解析】∵函数()y f x =的导函数在区间[,]a b 上是增函数， ∴对任意的a x x b '''<<<， 有()()()()f a f x f x f b '''''''<<<，也即在a ，x '，x ''，b 处它们的斜率是依次增大的， ∴A 满足上述条件，B 存在()()f x f x '''''>，C 对任意的a x x b '''<<<，()()f x f x '''''=，D 对任意的[,]x a b ∈，()f x '不满足逐项递增的条件．故选A ．5．已知圆22(1)(1)2x y m ++-=-截直线20x y ++=所得弦的长度为4，则实数m =（ ）．A ．2-B ．4-C ．6-D ．8-【答案】B【解析】由题意：圆心(1,1)-，r ， 设圆心到直线的距离为d ，∴d =∵d∴4a =-．6．若函数32()6f x x x cx =-+无极值点，则实数c 的取值范围是（ ）． A ．[)12,+∞B ．(12,)+∞C ．(,12)-∞D ．(],12-∞【答案】A【解析】2()312f x x x c '=-+， ∵无极值点，∴2()312f x x x c '=-+中，0∆≤，即2(12)430c --⨯⨯≤， 解得：12c ≥．7．已知函数sin ()sin cos x f x x x =+，则π4f ⎛⎫'= ⎪⎝⎭（ ）．A ．14B ．0C ．12D 【答案】C【解析】解：22cos (sin cos )sin (cos sin )1()(sin cos )(sin cos )x x x x x x f x x x x x +--'==++，∴π142f ⎛⎫'= ⎪⎝⎭．故选C ．8．函数3()e 2x f x x =+-在区间(0,1)内的零点个数是（ ）．A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】B【解析】2()e 30x f x x '=+>； ∴()f x 在R 上单调递增； 又(0)10f =-<，(1)e 10f =->； ∴()f x 在区间(0,1)内零点个数是1． 故答案为：1．9．定义在[)0,+∞的函数()f x 的导函数为()f x '，对于任意的0x ≥，恒有()()f x f x '<，(1)e f m =，2(2)e f n =，则m ，n 的大小关系是（ ）． A ．m n >B ．m n <C ．m n =D ．无法确定【答案】B【解析】构造函数()()e xf x F x =， 因()()()0e xf x f x F x '-'=>，故()()e xf x F x =在[)0,+∞上单调递增， 则(2)(3)F F <， 即23(2)(3)e ef f <， 所以m n <． 故选B ．10．设()f x '是函数()y f x =的导数，()f x ''是()f x '的导数，若方程()0f x ''=有实数解0x ，则称点00(,())x f x 为函数()y f x =的“拐点”．已知：任何三次函数都有“拐点”，任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心．设3218()2133f x x x x =-++，数列{}n a 的通项公式为1007n a n =-，则20171()i i f a ==∑（ ）．A ．4034B ．4036C ．2018D ．2017【答案】A【解析】解：28()43f x x x '=-+，()24f x x ''=-，令()0f x ''=得2x =， 又(2)2f =，∴()f x 的对称中心为(2,2)． ∵1007n a n =-，∴{}n a 是以1006-为首项，以1为公差的等差数列， 因此，本题正确答案是：4034．二、填空题：（本大题共4小题，每小题4分，共16分）11．设曲线x y e =上点P 处的切线平行于直线10x y --=，则点P 的坐标是__________． 【答案】(1,0)【解析】解：∵切线与直线10x y -+=平行， ∴斜率为1，∵ln y x x =，11ln 1ln y x x x x'=⨯+⋅=+， ∴0()1y x '=， ∴01ln 1x +=， ∴01x =， ∴切点为(1,0)，因此，本题正确答案是：(1,0)．12．已知点P 为抛物线2:4C y x =上的一动点，则点P 到点(0,2)A 的距离与点P 到抛物线C 准线的距离之和的最小值为__________．【解析】由题得：如图：l :由图易得：AA AA '''+=．13．用总长为14.8m 的钢条制作一个长方体容器的框架，如果所制容器底面一边的长比另一边的长多0.5m ，那么高为__________m 时容器的容积最大？ 【答案】1.2【解析】设底面一边长为x 米，另一边的长为(0.5)x +米，高(3.22)h x =-米， 容器的容积223 2.2 1.6n n V x x x ==-++，(0 1.6)x <<，令0V '=得1x =，或415x =-（舍去）． 当(0,1)x ∈时，0V '>；当(1,1.6)x ∈时，0V '<．因此，1x =是函数()V x 的极大值点，也是最大值点．所以，长方体容器的高为1.2米时，容器最大，最大容积为1.8立方米．14．已知函数2()ln f x a x x =-，若对区间(1,2)内任意两个实数p ，()q p q ≠，都有()()0f p f q p q-<-，则实数a 的取值范围是__________．【答案】21a ≥ 【解析】不等式(1)(1)1f p f q p q+-+>-恒成立，即(1)(1)1(1)(1)f p f q p q +-+>+-+，即函数(1)(12)y f x x =+<<图像上任意两点， 连线的斜率1k >，那么曲线()y f x =在(2,3)上任意两点连线的斜率1k '>， 只需()1f x '>，((2,3))x ∈即可．即()21af x x x '=->，需22a x x >+恒成立， ∵(2,3)x ∈，∴22x x +的值域为(10,21)， ∴21a ≥．三、解答题：（本大题共4小题，共44分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15．（本小题满分10分）已知函数3211()232f x x x ax =-++．（1）若函数()f x 在2,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上存在单调增区间，求实数a 的取值范围．（2）若函数()f x 在2,13⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，求实数a 的取值范围．【答案】见解析．【解析】2()2f x x x a '=-++． （1）2,3x ⎛⎫∃∈+∞ ⎪⎝⎭，()0f x '>，∴2min2x x a ⎛⎫-> ⎪⎝⎭，∴19a >-．（2）2,1()03x f x ⎛⎫'∀∈> ⎪⎝⎭，2min2x x a ⎛⎫-> ⎪⎝⎭，∴0a >．16．（本小题满分10分）在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线1C 的极坐标方程为：2222cos 3sin 3ρθρθ+=，曲线2C 的参数方程是1x y t⎧=⎪⎨=+⎪⎩（t 为参数）． （1）求曲线1C 和2C 的直角坐标方程．（2）设曲线1C 和2C 交于两点A ，B ，求以线段AB 为直径的圆的直角坐标方程． 【答案】见解析．【解析】（1）曲线2232cos 3sin 3ρθρθ+=化为直角坐标方程为：2233x y +=，即2213x y +=；曲线2C 参数方程是1x y t⎧=⎪⎨=+⎪⎩（t 为参数）化为直角坐标方程为：1)x y =-，即0x =．（2）22331)x y x y ⎧+=⎪⎨=-⎪⎩，解得01x y =⎧⎨=⎩，0x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩即(0,1)A ，B ，线段AB 的中点为12M ⎫⎪⎪⎝⎭，则以线段AB 为直径的圆的直角坐标方程为22112x y ⎛⎛⎫+-= ⎪ ⎝⎭⎝⎭．17．（本小题满分12分）已知动点M 到定点(1,0)F 和定直线2x =，设动点M 的轨迹为曲线C ． （1）求曲线C 的方程．（2）已知点O 为坐标原点，A ，B 为曲线C 上两点，且OA OB ⊥，求证：2211||||OA OB +为定值．【答案】见解析． 【解析】（1）(,)M x y ，|2|x =-， ∴2212x y +=． （2）11(,)A ρθ， 21π,2B ρθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，∴2212x y +=化为极坐标方程， 2221cos sin 12ρθθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭．∴2221111cos sin 12ρθθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，∴22221sin cos 12ρθθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，∴2211||||OA OB +，222211cos sin sin cos 22θθθθ=+++， 32=．18．（本小题满分12分）已知函数2()ln f x a x bx =-图象上一点(2,(2))P f 处的切线方程为32ln 22y x =-++．（1）求a ，b 的值．（2）若方程()0f x m +=在区间1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦内有两个不等实根，求实数m 的取值范围．（e 为自然对数的底数） 【答案】见解析．【解析】函数2()ln f x a x bx =-的导数()f x '，2abx x=-， 由切线方程得(2)42af b '=-，(2)ln 24f a b =-，∴432ab -=-， 且ln 2462ln 222ln 24a b -=-++=-， 解得2a =，1b =． （2）则2()2ln f x x x =-， 令2()()2ln h x f x m x x m '=+=-+，则2()2h x x x'=-，令()0h x '=，得1x =（1x =-舍去）． 在1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦内，当1,1e x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，()0h x '>， 即()h x 是增函数；当(]1,e x ∈时，()0h x '<，即()h x 是减函数，则方程()0h x =在1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦内有两个不等实根的充要条件是10e (1)0(e)0h h h ⎧⎛⎫⎪⎪⎝⎭⎪⎪>⎨⎪⎪⎪⎩≤≤，即2112e m <+≤， 故答案为：211,2e ⎛⎤+ ⎥⎝⎦．四、附加题：（本大题共2小题，共20分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19．（本小题满分8分）在锐角三角形ABC 中，若sin 2sin sin A B C =．求tan 2tan tan tan tan tan A B C A B C ++的最小值．【答案】16．【解析】sin()2sin sin B C B C +=，sin cos cos sin 2sin sin B C B C B C +=，∴tan tan 2tan tan B C B C +=，tan tan tan tan()1tan tan B C A B C B C+=-+=-， 2tan tan 1tan tan B C B C -=-， 设tan tan B C t =，∴1t >， ∴原式22211t t t t t t--=++⋅--， 2222221t t t t t-+--=-， 241t t =-， 2(1)2(1)141t t t -+-+=⋅-， 14(1)21t t ⎡⎤=-++⎢⎥-⎣⎦， ∴最小值为16．20．（本小题满分12分）在ABC △中，已知(1,0)B -，(1,0)C ，且sin sin 2sin B C A +=． （1）求顶点A 的轨迹M 的方程．（2）直线l 过点(1,0)B -，且与轨迹M 交于P ，Q 两点，求CPQ △的内切圆面积的最大值．【答案】见解析．【解析】（1）sin sin 2sin B C A +=，∴2b c a +=，∴||||4AC AB +=， ∴22143x y +=． （2）内切圆面积最大，即内切圆半径最大，111222CPQ S r PQ r QC r PC =⋅+⋅+⋅， 1()2r PQ QC PC =++， 1842r r =⋅=， 即CPQ △面积最大时，r 最大， :1l x ky =-，22(43)690k y ky +--=， 11(,)P x y ，22(,)Q x y ，1212||2S c y y =⋅⋅-= max 3S =，此时34r =， ∴内切圆面积最大为9π16．。

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