高中数学函数奇偶性与周期性共43页文档
高中数学基础之函数的奇偶性与周期性
高中数学基础之函数的奇偶性与周期性函数的奇偶性：一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果∀x∈I，都有－x∈I，且f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数．一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果∀x∈I，都有－x∈I，且f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数．（偶函数的图象特点：关于y轴对称；奇函数的图象特点：关于原点中心对称．）函数的周期性：一般地，对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有□01f(x＋T)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期．函数周期性常用结论对f(x)定义域内任一自变量x：①若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a(a≠0).，则T＝2a(a≠0).②若f(x＋a)＝1f（x），则T＝2a(a≠0).③若f(x＋a)＝－1f（x）④若f(x＋a)＋f(x)＝c，则T＝2a(a≠0，c为常数).函数图象的对称性①若函数y＝f(x＋a)是偶函数，即f(a－x)＝f(a＋x)，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a 对称．②若对于R上的任意x都有f(2a－x)＝f(x)或f(－x)＝f(2a＋x)，则y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称．③若函数y＝f(x＋b)是奇函数，即f(－x＋b)＋f(x＋b)＝0，则函数y＝f(x)的图象关于点(b，0)中心对称．④若对于R上的任意x都有f(2b－x)＋f(x)＝0，则函数y＝f(x)的图象关于点(b，0)中心对称．利用函数奇偶性可以解决的问题(1)求函数值：将待求值利用奇偶性转化为求已知解析式的区间上的函数值．(2)求解析式：将待求区间上的自变量转化到已知解析式的区间上，再利用奇偶性的定义求出．(3)求解析式中的参数：利用待定系数法求解，根据f (x )±f (－x )＝0得到关于参数的恒等式，由系数的对等性得方程(组)，进而得出参数的值．(4)画函数图象：利用函数的奇偶性可画出函数在其关于原点对称区间上的图象． (5)求特殊值：利用奇函数的最大值与最小值之和为零可求一些特殊结构的函数值． 例1 已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x ＋2)＝－f (x )，当0≤x ≤1时，f (x )＝x 2，则f (2023)＝( )A ．20232B ．1C ．0D ．－1 答案 D解析 因为f (x ＋2)＝－f (x )，所以f (x ＋4)＝f (x )，所以函数f (x )的周期为4，因为f (x )为R 上的奇函数，且当0≤x ≤1时，f (x )＝x 2，所以f (2023)＝f (506×4－1)＝f (－1)＝－f (1)＝－1.故选D.例2 已知函数f (x )的定义域为R ，f (x ＋1)为奇函数，f (x ＋2)为偶函数，当x ∈(1，2)时，f (x )＝－3x 2＋2，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫143＝( )A ．－103 B ．103 C ．－23 D ．23答案 B解析 ∵f (x ＋1)为奇函数，∴f (x ＋1)＝－f (－x ＋1)，∵f (x ＋2)为偶函数，∴f (x ＋2)＝f (－x ＋2)，∴f ((x ＋1)＋1)＝－f (－(x ＋1)＋1)＝－f (－x )，即f (x ＋2)＝－f (－x )，∴f (－x ＋2)＝f (x ＋2)＝－f (－x ).令t ＝－x ，则f (t ＋2)＝－f (t )，∴f (t ＋4)＝－f (t ＋2)＝f (t )，∴f (x ＋4)＝f (x ).故函数f (x )的周期为4.∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫143＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫43＝103.故选B.例3 定义在R 上的函数f (x )满足f (x ＋2)＝f (x )，当x ∈[3，5]时，f (x )＝1－|x －4|，则下列不等式成立的是( )A ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π3>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π3 B ．f (sin 1)>f (cos 1)C ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 2π3>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2π3 D ．f (sin 2)>f (cos 2)答案 C解析 ∵当x ∈[3，5]时，f (x )＝1－|x －4|，f (x ＋2)＝f (x )，∴当x ∈[－1，1]时，f (x )＝f (x＋2)＝f (x ＋4)＝1－|x |，当x ∈[0，1]时，f (x )＝1－x ，∴函数f (x )在[0，1]上为减函数，又0<cos π3<sin π3<1，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π3<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π3，A 错误；0<cos 1<sin 1<1，∴f (sin 1)<f (cos 1)，B 错误；f ⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 2π3＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝12，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2π3＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝2－32，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 2π3>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2π3，C 正确；f (sin 2)＝1－sin 2，f (cos 2)＝1－|cos 2|＝1＋cos 2，又sin 2π3<sin 2<1，cos 2π3<cos 2<0，∴0<1－sin 2<1－32，12<1＋cos 2<1，∴f (sin 2)<f (cos 2)，D 错误．故选C.例4 已知f (x )是定义在R 上的函数，且满足f (x ＋2)＝－1f （x ），当2≤x ≤3时，f (x )＝x ，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－112＝________．答案 52解析 因为f (x ＋2)＝－1f （x ），所以f (x ＋4)＝f (x )，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－112＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52，又2≤x ≤3时，f (x )＝x ，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52＝52，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－112＝52. 例5 已知定义域为R 的函数f (x )在区间(－∞，5]上单调递减，对任意实数t ，都有f (5＋t )＝f (5－t )，那么下列式子一定成立的是( )A ．f (－1)<f (9)<f (13)B ．f (13)<f (9)<f (－1)C ．f (9)<f (－1)<f (13)D ．f (13)<f (－1)<f (9) 答案 C解析 ∵f (5＋t )＝f (5－t )，∴函数f (x )的图象关于直线x ＝5对称，∴f (－1)＝f (11)，∵函数f (x )在区间(－∞，5]上单调递减，∴f (x )在(5，＋∞)上单调递增．∴f (9)＜f (11)＜f (13)，即f (9)＜f (－1)＜f (13).例6 已知函数f (x )(x ∈R )满足f (－x )＝2－f (x )，若函数y ＝x ＋1x 与y ＝f (x )图象的交点为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x m ，y m )，则∑mi ＝1(x i ＋y i )＝( )A ．0B ．mC ．2mD ．4m答案 B解析 由f (－x )＝2－f (x )得f (x )的图象关于(0，1)对称，而y ＝x ＋1x ＝1＋1x 也关于(0，1)对称，∴对于每一组对称点，x i ＋x i ′＝0，y i ＋y i ′＝2，∴∑mi ＝1 (x i ＋y i )＝∑mi ＝1x i ＋∑mi ＝1y i ＝0＋2×m2＝m .例7 已知函数f (x )＝⎩⎨⎧log a x ，x >0，|x ＋3|，－4≤x <0(a >0且a ≠1).若函数f (x )的图象上有且只有两个点关于原点对称，则实数a 的取值范围是( )A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14∪(1，＋∞)C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫14，1∪(1，＋∞)D ．(0，1)∪(1，4) 答案 C解析 当－4≤x ＜0时，函数y ＝|x ＋3|关于原点对称的函数为－y ＝|－x ＋3|，即y ＝－|x －3|(0＜x ≤4)，因为函数f (x )的图象上有且只有两个点关于原点对称，则等价为函数f (x )＝log a x (x ＞0)与y ＝－|x －3|(0＜x ≤4)的图象只有一个交点，作出两个函数的图象如图所示，若a ＞1，则f (x )＝log a x (x ＞0)与y ＝－|x －3|(0＜x ≤4)的图象只有一个交点，满足条件，当x ＝4时，y ＝－|4－3|＝－1，若0＜a ＜1，要使两个函数图象只有一个交点，则满足f (4)＜－1，即log a 4＜－1，得14＜a ＜1.综上可得，实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫14，1∪(1，＋∞).故选C.例8 已知函数g (x )的图象与f (x )＝x 2－mx 的图象关于点(－1，2)对称，且g (x )的图象与直线y ＝－4x －4相切，则实数m ＝( )A ．2B ．－4C ．4D ．－1 答案 C解析 设(x ，y )是函数g (x )的图象上任意一点，则其关于(－1，2)对称的点为(－2－x ，4－y )，因此点(－2－x ，4－y )在f (x )的图象上，所以4－y ＝(－2－x )2－m (－2－x )，整理得y ＝－x 2－mx －4x －2m ，即g (x )＝－x 2－mx －4x －2m ，又g (x )的图象与直线y ＝－4x －4相切，所以方程－x 2－mx －4x －2m ＝－4x －4，即x 2＋mx ＋2m －4＝0有两个相等的实数根，则m 2－4(2m －4)＝0，可得m ＝4.故选C.例9 定义在R 上的函数f (x )满足f (2－x )＝f (x )，且当x ≥1时，f (x )＝⎩⎨⎧－x ＋3，1≤x <4，1－log 2x ，x ≥4，若对任意的x ∈[t ，t ＋1]，不等式f (2－x )≤f (x ＋1＋t )恒成立，则实数t 的最大值为( )A ．－1B ．－23 C ．－13 D ．13 答案 C解析 ∵f (2－x )＝f (x )，∴函数f (x )的图象关于直线x ＝1对称，∵当x ≥1时，f (x )＝⎩⎨⎧－x ＋3，1≤x <4，1－log 2x ，x ≥4，当1≤x ＜4时，f (x )＝3－x 为减函数，且f (x )∈(－1，2]；当x ≥4时，f (x )＝1－log 2x 为减函数，且f (x )∈(－∞，－1]，∴f (x )在[1，＋∞)上是减函数，在(－∞，1]上是增函数．若不等式f (2－x )≤f (x ＋1＋t )对任意x ∈[t ，t ＋1]恒成立，由对称性可得|2－x －1|≥|x ＋1＋t －1|对任意x ∈[t ，t ＋1]恒成立，即有|x －1|≥|x ＋t |⇔－2x ＋1≥2tx ＋t 2⇔(2t ＋2)x ＋t 2－1≤0对任意x ∈[t ，t ＋1]恒成立，令g (x )＝(2t ＋2)·x ＋t 2－1，则⎩⎨⎧g （t ）≤0，g （t ＋1）≤0，即⎩⎨⎧2（t ＋1）t ＋t 2－1≤0，2（t ＋1）（t ＋1）＋t 2－1≤0，即⎩⎨⎧3t 2＋2t －1≤0，3t 2＋4t ＋1≤0，解得－1≤t ≤－13，∴实数t 的最大值为－13.故选C. 轴对称(1)f (a －x )＝f (a ＋x )⇔f (x )的图象关于直线x ＝a 轴对称(当a ＝0时，恰好就是偶函数). (2)f (a －x )＝f (b ＋x )⇔f (x )的图象关于直线x ＝a ＋b2轴对称．(3)f (x ＋a )是偶函数，则f (x ＋a )＝f (－x ＋a )，进而可得到f (x )的图象关于直线x ＝a 轴对称． 中心对称(1)f (a －x )＝－f (a ＋x )⇔f (x )的图象关于点(a ，0)中心对称(当a ＝0时，恰好就是奇函数). (2)f (a －x )＝－f (b ＋x )⇔f (x )的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2，0中心对称．(3)f (a －x )＋f (b ＋x )＝2c ⇔f (x )的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2，c 中心对称．。
函数的奇偶性、周期性与对称性-高考数学复习
法二
− −1
因为 f （ x ）是偶函数，所以 f （1）－ f （－1）＝ － −
−1
−1
− −1
＝
＝0，所以 a －1＝1，所以 a ＝2.故选D.
−1
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高中总复习·数学
解题技法
利用函数的奇偶性求参数值的解题策略
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高中总复习·数学
考向3 利用奇偶性求解析式及函数值
【例3】 （1）已知偶函数 f （ x ），当 x ∈[0，2）时， f （ x ）＝2
π
sin x ，当 x ∈[2，＋∞）时， f （ x ）＝log2 x ，则 f （－ ）＋ f （4）
3
＝（
）
B. 1
D. 3
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高中总复习·数学
解析：∵函数 f （ x ）是偶函数，当 x ∈[0，2）时， f （ x ）＝2 sin
所以 f （ x ）既是奇函数又是偶函数.
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高中总复习·数学
（3） f （ x ）＝
36− 2
｜+3|−3
解：由 f （ x ）＝
；
36− 2
｜+3|−3
，可得
36 − 2 ≥ 0，
−6 ≤ ≤ 6，
⇒ቊ
故函数 f （ x ）的定义域为
൝
｜ + 3| − 3 ≠ 0 ≠ 0且 ≠ −6，
1（符合题意）.故选A.
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高中总复习·数学
2. （多选）下列函数中为非奇非偶函数的是（
）
A. y ＝ x ＋e x
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高中总复习·数学
解析：
记 f （ x ）＝ x ＋e x ，则 f （－1）＝－1＋e－1， f （1）＝
第3讲 函数的奇偶性及周期性
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第三章 函数概念与基本初等函数
29
已知定义在 R 上的函数满足 f(x＋2)＝－f（1x），当 x∈(0，2]时，f(x)
＝2x－1.则 f(17)＝________，f(20)＝________． 解析： 因为 f(x＋2)＝－f（1x），
所以 f(x＋4)＝－f（x＋1 2）＝f(x)，
3
[注意] 奇、偶函数定义域的特点是关于原点对称，函数的定义域关于原点对称是函 数具有奇偶性的必要不充分条件．
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第三章 函数概念与基本初等函数
4
2．函数的周期性 (1)周期函数：对于函数 y＝f(x)，如果存在一个非零常数 T，使得当 x 取定义域内的任 何值时，都有__f(_x_＋__T_)_＝__f_(x_)__，那么就称函数 y＝f(x)为周期函数，称 T 为这个函数的 周期． (2)最小正周期：如果在周期函数 f(x)的所有周期中存在一个___最__小_____的正数，那么 这个___最__小_____正数就叫做 f(x)的最小正周期．
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第三章 函数概念与基本初等函数
6
2．函数周期性常用结论 对 f(x)定义域内任一自变量的值 x： (1)若 f(x＋a)＝－f(x)，则 T＝2a(a>0)． (2)若 f(x＋a)＝f（1x），则 T＝2a(a>0)． (3)若 f(x＋a)＝－f（1x），则 T＝2a(a>0)．
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第三章 函数概念与基本初等函数
11
1．已知函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数，当 x≥0 时，f(x)＝x(1＋x)，则 x<0 时，f(x) ＝________． 解析：当 x<0 时，则－x＞0，所以 f(－x)＝(－x)(1－x)．又 f(x)为奇函数，所以 f(－x) ＝－f(x)＝(－x)(1－x)，所以 f(x)＝x(1－x)． 答案：x(1－x)
函数的奇偶性、对称性与周期性总结,史上最全
函数的奇偶性、对称性与周期性常用结论，史上最全函数是高中数学的重点与难点，在高考数学中占分比重巨大。
高考中对函数的考查灵活，相关的结论众多，有奇偶性，对称性，还有周期性，这些结论及变形能否掌握，都影响着学生的最终成绩。
本篇将函数的奇偶性、对称性与周期性常用的结论进行总结，希望对同学们有帮助。
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1.奇偶函数：设[][][]b a a b x b a x x f y ,,,),( --∈∈=或奇偶函数的定义域关于原点对称。
①若为奇函数；则称)(),()(x f y x f x f =-=-()()()0,1()f x f x f x f x +-==-- ②若为偶函数则称)()()(x f y x f x f ==-。
()()-()0,1()f x f x f x f x -==- 2.周期函数的定义：对于()f x 定义域内的每一个x ，都存在非零常数T ，使得()()f x T f x +=恒成立，则称函数()f x 具有周期性，T 叫做()f x 的一个周期，则kT （,0k Z k ∈≠）也是()f x 的周期，所有周期中的最小正数叫()f x 的最小正周期。
分段函数的周期：设)(x f y =是周期函数，在任意一个周期内的图像为C:),(x f y =[]a b T b a x -=∈,,。
把)()(a b K KT x x f y -==轴平移沿个单位即按向量)()0,(x f y kT a ==平移，即得在其他周期的图像：[]b kT a kT x kT x f y ++∈-=,),(。
[][]⎩⎨⎧++∈-∈=b kT a,kT x )(b a, x)()(kT x f x f x f函数周期性的几个重要结论2、()()f x a f x b +=+ ⇔)(x f y =的周期为a b T -=3、)()(x f a x f -=+ ⇔)(x f y =的周期为a T 2=4、)(1)(x f a x f =+⇔)(x f y =的周期为a T 2= 5、)(1)(x f a x f -=+⇔)(x f y =的周期为a T 2=6、)(1)(1)(x f x f a x f +-=+ ⇔)(x f y =的周期为a T 3=7、 1)(1)(+-=+x f a x f ⇔)(x f y =的周期为a T 2= 8、)(1)(1)(x f x f a x f -+=+ ⇔)(x f y =的周期为a T 4=9、)()()2(x f a x f a x f -+=+ ⇔)(x f y =的周期为a T 6= 10、若.2, )2()(,0p T p px f px f p =-=>则推论：偶函数)(x f y =满足)()(x a f x a f -=+⇔)(x f y = 周期a T 2=推论：奇函数)(x f y =满足)()(x a f x a f -=+⇔)(x f y = 周期a T 4=函数的对称性：（1）中心对称即点对称：①点对称；关于点与),()2,2(),(b a y b x a B y x A -- ②对称；关于与点),(),(),(b a y b x a B y b x a A ++--③成中心对称；关于点与函数),()2(2)(b a x a f y b x f y -=-= ④成中心对称；关于点与函数),()()(b a x a f y b x a f y b +=+-=- ⑤成中心对称。
专题51 高中数学正、余弦函数的周期性与奇偶性(解析版)
专题51 正、余弦函数的周期性与奇偶性知识点一 函数的周期性(1)一般地，对于函数f (x )，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的每一个值时，都有f (x ＋T )＝f (x )，那么函数f (x )就叫做周期函数，非零常数T 叫做这个函数的周期．(2)如果在周期函数f (x )的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f (x )的最小正周期． (3)记f (x )＝sin x ，则由sin(2k π＋x )＝sin x (k ∈Z)，得f (x ＋2k π)＝f (x )(k ∈Z)对于每一个非零常数2k π(k ∈Z)都成立，余弦函数同理也是这样，所以正弦函数、余弦函数都是周期函数，2k π(k ∈Z 且k ≠0)都是它们的周期，最小正周期都为2π.2．正弦函数、余弦函数的周期性和奇偶性(1)定义法：即利用周期函数的定义求解．(2)公式法：对形如y ＝A sin(ωx ＋φ)或y ＝A cos(ωx ＋φ)(A ，ω，φ是常数，A ≠0，ω≠0)的函数，T ＝2π|ω|.(3)图象法：即通过观察函数图象求其周期．提醒：y ＝|A sin(ωx ＋φ)|(A ≠0，ω≠0)的最小正周期T ＝π|ω|.2．与三角函数奇偶性有关的结论(1)要使y ＝A sin(ωx ＋φ)(Aω≠0)为奇函数，则φ＝k π(k ∈Z)； (2)要使y ＝A sin(ωx ＋φ)(Aω≠0)为偶函数，则φ＝k π＋π2(k ∈Z)；(3)要使y ＝A cos(ωx ＋φ)(Aω≠0)为奇函数，则φ＝k π＋π2(k ∈Z)；(4)要使y ＝A cos(ωx ＋φ)(Aω≠0)为偶函数，则φ＝k π(k ∈Z)．题型一 三角函数的周期问题及简单应用1．下列函数中，周期为π2的是( )A ．y ＝sin xB ．y ＝sin2xC ．y ＝cos x2 D ．y ＝cos4x[解析]∵T ＝π2＝2π|ω|，∴|ω|＝4，而ω>0，∴ω＝42．利用周期函数的定义求下列函数的周期．(1)y ＝cos 2x ，x ∈R ；(2)y ＝sin ⎝⎛⎭⎫13x －π4，x ∈R.[解析] (1)因为cos 2(x ＋π)＝cos(2x ＋2π)＝cos 2x ，由周期函数的定义知，y ＝cos 2x 的周期为π.(2)因为sin ⎣⎡⎦⎤13(x ＋6π)－π4＝sin ⎝⎛⎭⎫13x ＋2π－π4＝sin ⎝⎛⎭⎫13x －π4， 由周期函数的定义知，y ＝sin ⎝⎛⎭⎫13x －π4的周期为6π. 3．求下列函数的最小正周期．(1)y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3；(2)f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫x 2－π6；(3)f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫－2x ＋π3；(4)f (x )＝|sin x |. [解析] (1)∵sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＋2π＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3，∴sin ⎣⎡⎦⎤2(x ＋π)＋π3＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3，∴y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的周期是π. (2)解法一：∵2sin ⎝⎛⎭⎫x 2－π6＋2π＝2sin ⎣⎡⎦⎤12(x ＋4π)－π6＝2sin ⎝⎛⎭⎫x 2－π6，∴f (x ＋4π)＝f (x )， ∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫x 2－π6的周期是4π. 解法二：∵ω＝12，∴T ＝2π12＝4π.(3)f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫－2x ＋π3＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π3. ∵cos ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋2π＝cos ⎣⎡⎦⎤2(x ＋π)－π3＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π3，∴f (x ＋π)＝f (x )，∴T ＝π. (4)f (x )＝|sin x |的图象如图所示．∴周期T ＝π.4．求下列函数的周期．(1)y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫π2x ＋3；(2)y ＝|cos x |；(3)y ＝3cos ⎝⎛⎭⎫π6－3x ；(4)y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4. [解析] (1)解法一：y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫π2x ＋3＋2π＝3sin ⎣⎡⎦⎤π2(x ＋4)＋3＝3sin ⎝⎛⎭⎫π2x ＋3， 令y ＝f (x )，则f (x ＋4)＝f (x )，∴y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫π2x ＋3的周期为4. 解法二：ω＝π2，∴T ＝2πω＝2ππ2＝4.(2)y ＝|cos x |的图象如下图所示．∴周期T ＝π.(3)解法一：y ＝3cos ⎝⎛⎭⎫π6－3x ＝3cos ⎝⎛⎭⎫3x －π6. ∵3cos ⎝⎛⎭⎫3x －π6＋2π＝3cos ⎣⎡⎦⎤3⎝⎛⎭⎫x ＋2π3－π6＝3cos ⎝⎛⎭⎫3x －π6， 令y ＝f (x )，则f ⎝⎛⎭⎫x ＋2π3＝f (x )，∴y ＝3cos ⎝⎛⎭⎫π6－3x 的周期为2π3. 解法二：∵|ω|＝3，∴T ＝2π|ω|＝2π3.(4)解法一：y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4＋2π＝sin ⎣⎡⎦⎤2(x ＋π)－π4，令y ＝f (x )，则f (x ＋π)＝f (x )， ∴y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4的周期为π. 解法二：∵ω＝2，∴T ＝2πω＝2π2＝π.5．函数y ＝|cos x |－1的最小正周期为[解析]因为函数y ＝|cos x |－1的周期同函数y ＝|cos x |的周期一致，由函数y ＝|cos x |的图象(略)知其最小正周期为π，所以y ＝|cos x |－1的最小正周期也为π. 6．函数y ＝⎪⎪⎪⎪sin x2的最小正周期是 [解析]∵y ＝sin x2的周期为4π，∴y ＝⎪⎪⎪⎪sin x 2的周期为2π 7．如图所示的是定义在R 上的四个函数的图象，其中不是周期函数的图象的是( )[解析]观察图象易知，只有D 选项中的图象不是周期函数的图象． 8．设a ＞0，若函数y ＝sin(ax ＋π)的最小正周期是π，则a ＝________． [解析]由题意知T ＝2πa＝π，所以a ＝2.9．函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π6的最小正周期为π5，其中ω＞0，则ω等于[解析] 由已知得2π|ω|＝π5，又ω＞0，所以2πω＝π5，ω＝10.10．若函数f (x )＝2cos ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3的最小正周期为T ，且T ∈(1,4)，则正整数ω的最大值为________． [解析]T ＝2πω，1＜2πω＜4，则π2＜ω＜2π，∴ω的最大值是6.11．函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫k 4x ＋π3(k >0)的最小正周期不大于2，则正整数k 的最小值应是________． [解析] 由题意得2πk 4＝8πk ≤2，∴k ≥4π.∴正整数k 的最小值为4π.12．函数y ＝cos(sin x )的最小正周期是[解析] ∵y ＝cos[sin(x ＋π)]＝cos(－sin x )＝cos(sin x )，∴函数y ＝cos(sin x )的最小正周期为π.13．函数y ＝⎪⎪⎪⎪sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＋2的最小正周期是________． [解析]∵函数y ＝sin2x 的最小正周期T ＝π，∴函数y ＝⎪⎪⎪⎪sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＋2的最小正周期为π2. 14．若函数f (x )的定义域为R ，最小正周期为3π2，且满足f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧cos x ，－π2≤x <0sin x ，0≤x <π，则f ⎝⎛⎭⎫－15π4＝________. [解析]∵T ＝3π2，∴f ⎝⎛⎭⎫－15π4＝f ⎝⎛⎭⎫－15π4＋3π2×3＝f ⎝⎛⎭⎫3π4＝sin 3π4＝22. 15．设函数f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π6，ω＞0，x ∈R ，且以π2为最小正周期．若f ⎝⎛⎭⎫α4＋π12＝95，则sin α的值为_____．[解析]因为f (x )的最小正周期为π2，ω＞0，所以ω＝2ππ2＝4.所以f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫4x ＋π6. 因为f ⎝⎛⎭⎫α4＋π12＝3sin ⎝⎛⎭⎫α＋π3＋π6＝3cos α＝95，所以cos α＝35.所以sin α＝±1－cos 2α＝±45. 16．已知f (n )＝sin n π4(n ∈Z)，则f (1)＋f (2)＋…＋f (100)＝________.[解析]f (1)＋f (2)＋…＋f (8)＝0，f (9)＋f (10)＋…＋f (16)＝0，依此循环， f (1)＋f (2)＋…＋f (100)＝0＋f (97)＋f (98)＋f (99)＋f (100)＝2＋1. 17．设函数f (x )＝sin π3x ，则f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2 019)＝[解析]∵f (x )＝sin π3x 的周期T ＝2ππ3＝6，∴f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2 019)＝336[f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＋f (5)＋f (6)]＋f (2 017)＋f (2 018)＋f (2 019)＝336sin π3＋sin 23π＋sin π＋sin 43π＋sin 53π＋sin 2π＋f (336×6＋1)＋f (336×6＋2)＋f (336×6＋3)＝336×0＋f (1)＋f (2)＝sin π3＋sin 23π＋sin 33π＝ 3.18．已知f (x )是R 上的奇函数，且f (x ＋2)＝－f (x )．(1)求证：f (x )是以4为周期的函数； (2)当0≤x ≤1时，f (x )＝x ，求f (7.5)的值．[解析] (1)证明：f (x ＋4)＝f [(x ＋2)＋2]＝－f (x ＋2)＝－[－f (x )]＝f (x )，所以f (x )是以4为周期的函数．(2)由(1)可知f (x ＋4)＝f (x )，所以f (7.5)＝f (3.5＋4)＝f (3.5)＝f (－0.5＋4)＝f (－0.5)＝－f (0.5)＝－0.5. 19．已知f (x )＝sin ax (a ＞0)的最小正周期为12.(1)求a 的值；(2)求f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2019)． [解析] (1)由2πa ＝12，得a ＝π6.(2)∵f (x )＝sin π6x 的最小正周期为12，且f (1)＋f (2)＋…＋f (12)＝0，所以f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2019)＝f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2017)＋f (2018)＋f (2019) ＝0＋f (2017)＋f (2018)＋f (2019)＝0＋f (1)＋f (2)＋f (3)＝0＋sin π6＋sin π3＋sin π2＝3＋32.20．已知函数y ＝12sin x ＋12|sin x |.(1)画出函数的简图；(2)此函数是周期函数吗？若是，求其最小正周期．[解析](1)y ＝12sin x ＋12|sin x |＝⎩⎪⎨⎪⎧sin x ，x ∈[2k π，2k π＋π](k ∈Z )，0，x ∈[2k π－π，2k π](k ∈Z )，图象如下：(2)由图象知该函数是周期函数，且周期是2π. 21．已知函数y ＝12cos x ＋12|cos x |.(1)画出函数的图象；(2)这个函数是周期函数吗？如果是，求出它的最小正周期．[解析] (1)y ＝12cos x ＋12|cos x |＝⎩⎨⎧cos x ，x ∈⎝⎛⎦⎤2k π－π2，2k π＋π2(k ∈Z )0，x ∈⎝⎛⎦⎤2k π＋π2，2k π＋3π2(k ∈Z )，函数图象如图所示．(2)由图象知这个函数是周期函数，且最小正周期是2π.22．已知函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3，若函数g (x )的最小正周期是π，且当x ∈⎣⎡⎦⎤－π2，π2时，g (x )＝f ⎝⎛⎭⎫x2，求关于x 的方程g (x )＝32的解集． [解析]当x ∈⎣⎡⎦⎤－π2，π2时，g (x )＝f ⎝⎛⎭⎫x 2＝cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π3.因为x ＋π3∈⎣⎡⎦⎤－π6，5π6，所以由g (x )＝32解得x ＋π3＝－π6或π6，即x ＝－π2或－π6.又因为g (x )的最小正周期为π，所以g (x )＝32的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ＝k π－π2或x ＝k π－π6，k ∈Z . 题型二 三角函数奇偶性的判断1．判断下列函数的奇偶性：(1)f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫－12x ＋π2；(2)f (x )＝lg(1－sin x )－lg(1＋sin x )； (3)f (x )＝1＋sin x －cos 2x 1＋sin x；(4)f (x )＝x sin ⎝⎛⎭⎫π2＋x ；(5)f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋3π2. [解析] (1)显然x ∈R ，f (x )＝cos 12x ，∵f (－x )＝cos ⎝⎛⎭⎫－12x ＝cos 12x ＝f (x )，∴f (x )是偶函数． (2)由⎩⎪⎨⎪⎧1－sin x ＞0，1＋sin x ＞0，得－1＜sin x ＜1，解得定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ∈R 且x ≠k π＋π2，k ∈Z ， ∴f (x )的定义域关于原点对称．又∵f (x )＝lg(1－sin x )－lg(1＋sin x )，∴f (－x )＝lg [1－s i n (－x )]－lg [1＋s i n (－x )]＝lg(1＋sin x )－lg(1－sin x )＝－f (x )，∴f (x )为奇函数． (3)∵1＋sin x ≠0，∴sin x ≠－1，∴x ∈R 且x ≠2k π－π2，k ∈Z.∵定义域不关于原点对称，∴该函数是非奇非偶函数．(4)函数f (x )＝x sin ⎝⎛⎭⎫π2＋x 的定义域为R.∵f (x )＝x sin ⎝⎛⎭⎫π2＋x ＝x cos x ， ∴f (－x )＝(－x )·cos(－x )＝－x cos x ＝－f (x )，∴f (x )是奇函数． (5)f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋3π2＝－2cos2x ，定义域为R. ∵f (－x )＝－2cos(－2x )＝－2cos2x ＝f (x )，∴f (x )是偶函数. 2．判断下列函数的奇偶性．(1)f (x )＝3cos2x ；(2)f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x 3＋π2＋2；(3)f (x )＝x ·cos x . [解析] (1)因为x ∈R ，f (－x )＝3cos(－2x )＝3cos2x ＝f (x )， 所以f (x )＝3cos2x 是偶函数．(2)因为x ∈R ，f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x 3＋π2＋2＝cos 2x 3＋2，所以f (－x )＝cos 2(－x )3＋2＝cos 2x3＋2＝f (x )， 所以函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x 3＋π2＋2是偶函数．(3)因为x ∈R ，f (－x )＝－x ·cos(－x )＝－x ·cos x ＝－f (x )，所以f (x )＝x cos x 是奇函数． 3．判断下列函数的奇偶性．(1)f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫3x 4＋3π2；(2)f (x )＝sin|x |；(3)f (x )＝1－cos x ＋cos x －1. [解析] (1)因为函数的定义域为R ，f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫3x 4＋3π2＝－cos 3x4， 所以f (－x )＝－cos ⎝⎛⎭⎫－3x 4＝－cos 3x4＝f (x )，所以函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫3x 4＋3π2是偶函数． (2)因为函数的定义域为R ，f (－x )＝sin|－x |＝sin|x |＝f (x )，所以函数f (x )＝sin|x |是偶函数．(3)由⎩⎪⎨⎪⎧1－cos x ≥0，cos x －1≥0，得cos x ＝1，所以x ＝2k π(k ∈Z)，此时f (x )＝0，故该函数既是奇函数又是偶函数． 4．判断下列函数的奇偶性：(1)f (x )＝－2cos 3x ；(2)f (x )＝x sin(x ＋π)；(3)f (x )＝|sin x |＋cos x ；(4)f (x )＝cos(2π－x )－x 3·sin x . [解析] (1)f (－x )＝－2cos 3(－x )＝－2cos 3x ＝f (x )，x ∈R ，所以f (x )＝－2cos 3x 为偶函数．(2)f (x )＝x sin(x ＋π)＝－x sin x ，x ∈R ，所以f (－x )＝x sin(－x )＝－x sin x ＝f (x )，故函数f (x )为偶函数． (3)函数的定义域为R ，又f (－x )＝|sin(－x )|＋cos(－x )＝|sin x |＋cos x ＝f (x )，所以f (x )是偶函数． (4)函数的定义域为R ，关于原点对称，因为f (x )＝cos x －x 3·sin x ，所以f (－x )＝cos(－x )－(－x )3·sin(－x )＝cos x －x 3·sin x ＝f (x )，所以f (x )为偶函数．5．判断函数f (x )＝lg(sin x ＋1＋sin 2x )的奇偶性．[解析]∵f (－x )＝lg[sin(－x )＋1＋sin 2(－x )]＝lg(1＋sin 2x －sin x )＝lg (1＋sin 2x )－sin 2x 1＋sin 2x ＋sin x＝lg(sin x ＋1＋sin 2x )－1＝－lg(sin x ＋1＋sin 2x )＝－f (x )． 又当x ∈R 时，均有sin x ＋1＋sin 2x ＞0，∴f (x )是奇函数． 6．f (x )＝sin x cos x 是________(填“奇”或“偶”)函数．[解析]x ∈R 时，f (－x )＝sin(－x )cos(－x )＝－sin x cos x ＝－f (x )，即f (x )是奇函数． 7．函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫－12x ＋π2的奇偶性为( ) A ．奇函数 B ．偶函数 C ．非奇非偶函数D ．既是奇函数，又是偶函数 [解析]函数的定义域为R ，且y ＝cos ⎝⎛⎭⎫－12x ＋π2＝sin 12x ，故所给函数是奇函数． 8．函数y ＝|sin x |(1－sin x )1－sin x的奇偶性为( )A ．奇函数B ．既是奇函数也是偶函数C ．偶函数D ．非奇非偶函数[解析]由题意知，当1－sin x ≠0，即sin x ≠1时，y ＝|sin x |(1－sin x )1－sin x ＝|sin x |，所以函数的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≠2k π＋π2，k ∈Z ，由于定义域不关于原点对称，所以该函数是非奇非偶函数．9．若f (x )是R 上的偶函数，当x ≥0时，f (x )＝sin x ，则f (x )的解析式是________． [解析]当x ＜0时，－x ＞0，f (－x )＝sin(－x )＝－sin x ，∵f (－x )＝f (x )， ∴x ＜0时，f (x )＝－sin x .∴f (x )＝sin|x |，x ∈R.10．若f (x )为奇函数，当x ＞0时，f (x )＝cos x －sin x ，当x ＜0时，f (x )的解析式为________． [解析]f (x )＝－cos x －sin x [x ＜0时，－x ＞0，f (－x )＝cos(－x )－sin(－x )＝cos x ＋sin x ，因为f (x )为奇函数，所以f (x )＝－f (－x )＝－cos x －sin x ，即x ＜0时，f (x )＝－cos x －sin x ． 11．若函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫12x －φ是偶函数，则φ的一个取值为( ) A ．2010π B ．－π8 C ．－π4D ．－π2[解析]当φ＝－π2时，f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫12x ＋π2＝cos 12x 为偶函数，故选D. 12．函数f (x )＝sin(2x ＋φ)为R 上的奇函数，则φ的值可以是( )A.π4B.π2 C ．π D.3π2[解析]要使函数f (x )＝sin(2x ＋φ)为R 上的奇函数，需φ＝k π，k ∈Z.故选C. 13．已知函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4＋φ是奇函数，则φ的值可以是( ) A ．0 B ．－π4 C ．π2D ．π[解析]法一：f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4＋φ为奇函数，则只需π4＋φ＝k π，k ∈Z ，从而φ＝k π－π4，k ∈Z . 显然当k ＝0时，φ＝－π4满足题意．法二：因为f (x )是奇函数，所以f (0)＝0，即2sin ⎝⎛⎭⎫π4＋φ＝0，所以φ＋π4＝k π(k ∈Z )， 即φ＝k π－π4，令k ＝0，则φ＝－π4.14．若0<α<π2，g (x )＝sin(2x ＋π4＋α)是偶函数，则α的值为________．[解析]要使g (x )＝sin(2x ＋π4＋α)为偶函数，则须π4＋α＝k π＋π2，k ∈Z.所以α＝k π＋π4，k ∈Z.因为0<α<π2，所以α＝π4.15．已知a ∈R ，函数f (x )＝sin x －|a |，x ∈R 为奇函数，则a 等于________． [解析]因为f (x )＝sin x －|a |，x ∈R 为奇函数，所以f (0)＝sin 0－|a |＝0，所以a ＝0. 16．已知f (x )＝a sin x ＋bx 3c cos x，若f (5)＝－2，则f (－5)＝________．[解析]f (x )＝a sin x ＋bx 3c cos x ，则f (－x )＝a sin （－x ）＋b （－x ）3c cos （－x ）＝－a sin x ＋bx 3c cos x ＝－f (x )，所以f (x )是奇函数．所以f (－5)＝－f (5)＝2.题型三 三角函数的奇偶性与周期性的综合应用1．下列函数中是奇函数，且最小正周期是π的函数是( )A ．y ＝cos|2x |B ．y ＝|sin 2x |C ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫π2＋2x D ．y ＝cos ⎝⎛⎭⎫3π2－2x [解析]y ＝cos|2x |是偶函数，y ＝|sin 2x |是偶函数，y ＝sin ⎝⎛⎭⎫π2＋2x ＝cos 2x 是偶函数， y ＝cos ⎝⎛⎭⎫3π2－2x ＝－sin 2x 是奇函数，根据公式得其最小正周期T ＝π. 2．已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫πx －π2－1，则下列命题正确的是( ) A ．f (x )是周期为1的奇函数 B ．f (x )是周期为2的偶函数C ．f (x )是周期为1的非奇非偶函数D ．f (x )是周期为2的非奇非偶函数 [解析]∵f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫πx －π2－1＝－sin ⎝⎛⎭⎫π2－πx －1＝－cos(πx )－1 ∴T ＝2ππ＝2，而f (－x )＝f (x )，∴f (x )为偶函数．3．函数f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫23x ＋15π2是( )A ．周期为3π的偶函数B ．周期为2π的偶函数C ．周期为3π的奇函数D ．周期为4π3的偶函数[解析]∵f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫23x ＋6π＋π＋π2＝3sin ⎣⎡⎦⎤π＋⎝⎛⎭⎫π2＋2x 3＝－3sin ⎝⎛⎭⎫π2＋23x ＝－3cos 23x ∴T ＝2π23＝3π，而f (－x )＝f (x )，则f (x )为偶函数．4．定义在R 上的函数f (x )既是偶函数，又是周期函数，若f (x )的最小正周期为π，且当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时， f (x )＝sin x ，则f ⎝⎛⎭⎫5π3等于[解析]f ⎝⎛⎭⎫5π3＝f ⎝⎛⎭⎫5π3－π＝f ⎝⎛⎭⎫2π3＝f ⎝⎛⎭⎫2π3－π＝f ⎝⎛⎭⎫－π3＝f ⎝⎛⎭⎫π3＝sin π3＝32. 5．定义在R 上的函数f (x )周期为π，且是奇函数，f ⎝⎛⎭⎫π4＝1，则f ⎝⎛⎭⎫3π4的值为 [解析]由已知得f (x ＋π)＝f (x )，f (－x )＝－f (x )，所以f ⎝⎛⎭⎫3π4＝f ⎝⎛⎭⎫3π4－π＝f ⎝⎛⎭⎫－π4＝－f ⎝⎛⎭⎫π4＝－1. 6．设定义在R 上的函数f (x )满足f (x )·f (x ＋2)＝13.若f (1)＝2，则f (99)＝________. [解析]因为f (x )·f (x ＋2)＝13，所以f (x ＋2)＝13f (x )，所以f (x ＋4)＝13f (x ＋2)＝1313f (x )＝f (x )， 所以函数f (x )是周期为4的周期函数，所以f (99)＝f (3＋4×24)＝f (3)＝13f (1)＝132.7．已知f (x )在R 上是奇函数，且满足f (x ＋4)＝f (x )，当x ∈(0，2)时，f (x )＝2x 2，则f (7)＝ [解析]因为f (x ＋4)＝f (x )，所以函数的周期是4.因为f (x )在R 上是奇函数，且当x ∈(0，2)时，f (x )＝2x 2， 所以f (7)＝f (7－8)＝f (－1)＝－f (1)＝－2.8．函数f (x )是以4为周期的奇函数，且f (－1)＝1，则sin ⎣⎡⎦⎤πf (5)＋π2＝________. [解析] ∵函数f (x )是以4为周期的奇函数，且f (－1)＝1，∴f (5)＝f (4＋1)＝f (1)＝－f (－1)＝－1，则原式＝sin ⎝⎛⎭⎫－π＋π2＝－sin π2＝－1.9．定义在R 上的函数f (x )既是偶函数又是周期函数，若f (x )的最小正周期是π，且当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时， f (x )＝sin x ，求f ⎝⎛⎭⎫5π3的值．[解析]∵f (x )的最小正周期是π，∴f ⎝⎛⎭⎫5π3＝f ⎝⎛⎭⎫5π3－2π＝f ⎝⎛⎭⎫－π3. ∵f (x )是R 上的偶函数，∴f ⎝⎛⎭⎫－π3＝f ⎝⎛⎭⎫π3＝sin π3＝32.∴f ⎝⎛⎭⎫5π3＝32. 10．设函数f (x )(x ∈R)满足f (－x )＝f (x )，f (x ＋2)＝f (x )，则函数y ＝f (x )的图象是( )[解析]由f (－x )＝f (x )，则f (x )是偶函数，图象关于y 轴对称．由f (x ＋2)＝f (x )，则f (x )的周期为2.11．已知f (x )是以π为周期的偶函数，且x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，f (x )＝1－sin x ，当x ∈⎣⎡⎦⎤5π2，3π时，求f (x )的解析式． [解析] x ∈⎣⎡⎦⎤5π2，3π时，3π－x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，因为x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，f (x )＝1－sin x ， 所以f (3π－x )＝1－sin(3π－x )＝1－sin x .又f (x )是以π为周期的偶函数，所以f (3π－x )＝f (－x )＝f (x )，所以f (x )的解析式为f (x )＝1－sin x ，x ∈⎣⎡⎦⎤5π2，3π.12．关于x 的函数f (x )＝sin(x ＋φ)有以下说法：①对任意的φ，f (x )都是非奇非偶函数；②存在φ，使f (x )是偶函数；③存在φ，使f (x )是奇函数； ④对任意的φ，f (x )都不是偶函数．其中错误的是________(填序号)．[解析]答案为①④，φ＝0时，f (x )＝sin x ，是奇函数，φ＝π2时，f (x )＝cos x 是偶函数． 13．已知f (x )是定义在(－3,3)上的奇函数，当0＜x ＜3时，f (x )的图象如图所示，那么不等式f (x )cos x ＜0的解集是______________________．[解析]∵f (x )是(－3,3)上的奇函数，∴g (x )＝f (x )·cos x 是(－3,3)上的奇函数，从而观察图象(略)可知所求不等式的解集为⎝⎛⎭⎫－π2，－1∪(0,1)∪⎝⎛⎭⎫π2，3 14．设函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2k ＋13πx ＋π4(k ∈N *)，若在区间[a ，a ＋3](a 为实数)上存在有不少于4个且不多于8个不同的x 0，使f (x 0)＝12，求k 的值． [解析]∵f (x )在一个周期内有且只有2个不同的x 0，使f (x 0)＝12，∴f (x )在区间[a ，a ＋3]上至少有2个周期，至多有4个周期．而这个区间的长度为3个单位，∴⎩⎪⎨⎪⎧2T ≤3，4T ≥3，即34≤T ≤32，即34≤62k ＋1≤32，解得32≤k ≤72，因为k ∈N *，∴k ＝2或k ＝3.。
高中数学函数的奇偶性与周期性课件
第二部分
函数的周期性
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四、函数的周期性
如果存在一个非零常数 T, 使得对于函数定义域内的任意 x, 都有 f(x+T)=f(x), 则称函数 f(x) 为周期函数, T 为函数的一个周 期. 若f(x)的周期中, 存在一个最小的正数, 则称它为函数的最小 正周期.
函数的奇偶性与周期性
高中数学
第一部分
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函数的奇偶性
一、函数的奇偶性
1.若对于函数 f(x) 定义域内任意一个 x, 都有 f(-x)=f(x), 则 称 f(x) 为偶函数. 2.若对于函数 f(x) 定义域内任意一个 x, 都有 f(-x)=-f(x), 则 称 f(x) 为奇函数.
8.已知 f(x) 是定义在 R 上的不恒为零的函数, 且对于任意的 a, b∈R 都满足: f(ab)=af(b)+bf(a). (1)求 f(0), f(1) 的值; (2)判断 f(x) 的奇偶性, 并证明你的结论. 0, 0, f(-1)=0, f(-b)=-f(b), 奇函数 9.已知 f(x) 是定义在 R 上的函数, 且对于任意的 a, b∈R 都 满足: f(a+b)+f(a-b)=2f(a)f(b) 且 f(0)0. (1)求证: f(x)是偶函数; (2)若存在正数 m, 使 f(m)=0, 求满足 f(x+T)=f(x) 的一个 T(T0) 的值. (1)f(0)=1, f(-b)=f(b), (2)考虑 f(a+m), f(a+2m), f(a+4m).
高中数学【配套Word版文档】函数的奇偶性与周期性
§2.4函数的奇偶性与周期性2014高考会这样考 1.判断函数的奇偶性；2.利用函数的奇偶性求参数；3.考查函数的奇偶性、周期性和单调性的综合应用．复习备考要这样做 1.结合函数的图象理解函数的奇偶性、周期性；2.注意函数奇偶性和周期性的综合问题；3.利用函数的性质解决有关问题．1．奇、偶函数的概念一般地，设函数y＝f(x)的定义域为A.如果对于任意的x∈A，都有f(－x)＝f(x)，那么称函数y＝f(x)是偶函数．如果对于任意的x∈A，都有f(－x)＝－f(x)，那么称函数y＝f(x)是奇函数．奇函数的图象关于原点对称；偶函数的图象关于y轴对称．2．奇、偶函数的性质(1)奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反．(2)在公共定义域内，①两个奇函数的和是奇函数，两个奇函数的积是偶函数；②两个偶函数的和、积都是偶函数；③一个奇函数，一个偶函数的积是奇函数．3．周期性(1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期．(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．4．对称性若函数f(x)满足f(a－x)＝f(a＋x)或f(x)＝f(2a－x)，则函数f(x)关于直线x＝a对称．[难点正本疑点清源]1．函数奇偶性的判断(1)定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要不充分条件；(2)判断f(x)与f(－x)是否具有等量关系．在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价关系式(f(x)＋f(－x)＝0(奇函数)或f(x)－f(－x)＝0(偶函数))是否成立．2．函数奇偶性的性质(1)奇函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性完全相同；偶函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性恰恰相反． (2)若f (x )为偶函数，则f (－x )＝f (x )＝f (|x |)． (3)若奇函数f (x )定义域中含有0，则必有f (0)＝0. f (0)＝0是f (x )为奇函数的既不充分也不必要条件．(4)定义在关于原点对称区间上的任意一个函数，都可表示成“一个奇函数与一个偶函数的和(或差)”．(5)复合函数的奇偶性特点是：“内偶则偶，内奇同外”．(6)既奇又偶的函数有无穷多个(如f (x )＝0，定义域是关于原点对称的任意一个数集)．1．(课本改编题)已知f (x )＝ax 2＋bx 是定义在[a －1,2a ]上的偶函数，那么a ＋b 的值是________．答案 13解析 由f (x )是偶函数知，f (x )＝f (－x )， 即ax 2＋bx ＝a (－x )2－bx ，∴2bx ＝0，∴b ＝0. 又f (x )的定义域应关于原点对称， 即(a －1)＋2a ＝0，∴a ＝13，故a ＋b ＝13.2．(2011·广东)设函数f (x )＝x 3cos x ＋1.若f (a )＝11，则f (－a )＝________.答案 －9解析 令g (x )＝f (x )－1＝x 3cos x ，∵g (－x )＝(－x )3cos(－x )＝－x 3cos x ＝－g (x )， ∴g (x )为定义在R 上的奇函数．又∵f (a )＝11， ∴g (a )＝f (a )－1＝10，g (－a )＝－g (a )＝－10. 又g (－a )＝f (－a )－1，∴f (－a )＝g (－a )＋1＝－9.3．设函数f (x )是定义在R 上的奇函数，若当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝lg x ，则满足f (x )>0的x的取值范围是________．答案 (－1,0)∪(1，＋∞)解析 画草图，由f (x )为奇函数知：f (x )>0的x 的取值范围为 (－1,0)∪(1，＋∞)．4．定义在R 上的偶函数f (x )满足f (x ＋1)＝－f (x )，且在[－1，0]上是增函数，给出下列关于f (x )的判断： ①f (x )是周期函数； ②f (x )关于直线x ＝1对称； ③f (x )在[0,1]上是增函数； ④f (x )在[1,2]上是减函数； ⑤f (2)＝f (0)．其中正确判断的序号为________(写出所有正确判断的序号)． 答案 ①②⑤解析 由f (x ＋1)＝－f (x )得f (x ＋2)＝f (x ＋1＋1)＝－f (x ＋1)＝f (x )， ∴f (x )是周期为2的函数，①正确， f (x )关于直线x ＝1对称，②正确， ∵f (x )为偶函数，在[－1,0]上是增函数， ∴f (x )在[0,1]上是减函数，[1,2]上为增函数， f (2)＝f (0)，因此③，④错误，⑤正确． 综上，①②⑤正确．5．(2011·大纲全国)设f (x )是周期为2的奇函数，当0≤x ≤1时，f (x )＝2x (1－x )，则f ⎝⎛⎭⎫－52＝________. 答案 －12解析 ∵f (x )是周期为2的奇函数， ∴f ⎝⎛⎭⎫－52＝f ⎝⎛⎭⎫－52＋2 ＝f ⎝⎛⎭⎫－12＝－f ⎝⎛⎭⎫12＝－2×12×⎝⎛⎭⎫1－12＝－12. 题型一 判断函数的奇偶性 例1 判断下列函数的奇偶性：(1)f (x )＝9－x 2＋x 2－9； (2)f (x )＝(x ＋1) 1－x1＋x； (3)f (x )＝4－x 2|x ＋3|－3.思维启迪：确定函数的奇偶性时，必须先判定函数定义域是否关于原点对称．若对称，再验证f (－x )＝±f (x )或其等价形式f (－x )±f (x )＝0是否成立．解 (1)由⎩⎪⎨⎪⎧9－x 2≥0x 2－9≥0，得x ＝±3.∴f (x )的定义域为{－3,3}． 又f (3)＋f (－3)＝0，f (3)－f (－3)＝0. 即f (x )＝±f (－x )．∴f (x )既是奇函数，又是偶函数． (2)由⎩⎪⎨⎪⎧1－x1＋x ≥01＋x ≠0，得－1<x ≤1.∵f (x )的定义域(－1,1]不关于原点对称． ∴f (x )既不是奇函数，也不是偶函数．(3)由⎩⎪⎨⎪⎧4－x 2≥0|x ＋3|－3≠0，得－2≤x ≤2且x ≠0.∴f (x )的定义域为[－2,0)∪(0,2]，关于原点对称．∴f (x )＝4－x 2(x ＋3)－3＝4－x 2x. ∴f (x )＝－f (－x )，∴f (x )是奇函数．探究提高判断函数的奇偶性，其中包括两个必备条件：(1)定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以首先考虑定义域对解决问题是有利的；(2)判断f (x )与f (－x )是否具有等量关系．在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价等量关系式(f (x )＋f (－x )＝0(奇函数)或f (x )－f (－x )＝0(偶函数))是否成立．下列函数：①f (x )＝x 3－x ；②f (x )＝ln(x ＋x 2＋1)；③f (x )＝3x －3－x 2；④f (x )＝lg 1－x 1＋x.其中奇函数的个数是________． 答案 4解析 ①f (x )＝x 3－x 的定义域为R ， 又f (－x )＝(－x )3－(－x )＝－(x 3－x )＝－f (x )， 则f (x )＝x 3－x 是奇函数； ②由x ＋x 2＋1>x ＋|x |≥0知f (x )＝ln(x ＋x 2＋1)的定义域为R ，又f (－x )＝ln(－x ＋(－x )2＋1)＝ln1x ＋x 2＋1＝－ln(x ＋x 2＋1)＝－f (x )，则f (x )为奇函数；③f (x )＝3x －3－x2的定义域为R ，又f (－x )＝3－x －3x 2＝－3x －3－x2＝－f (x )，则f (x )为奇函数； ④由1－x1＋x>0得－1<x <1，f (x )＝ln1－x1＋x的定义域为(－1,1)， 又f (－x )＝ln 1＋x1－x ＝ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 1＋x －1＝－ln 1－x1＋x＝－f (x )，则f (x )为奇函数，∴奇函数的个数为4.题型二函数的奇偶性与周期性例2设f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意实数x，恒有f(x＋2)＝－f(x)．当x∈[0,2]时，f(x)＝2x－x2.(1)求证：f(x)是周期函数；(2)当x∈[2,4]时，求f(x)的解析式；(3)计算f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2 013)．思维启迪：(1)只需证明f(x＋T)＝f(x)，即可说明f(x)是周期函数；(2)由f(x)在[0,2]上的解析式求得f(x)在[－2,0]上的解析式，进而求f(x)在[2,4]上的解析式；(3)由周期性求和．(1)证明∵f(x＋2)＝－f(x)，∴f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)．∴f(x)是周期为4的周期函数．(2)解∵x∈[2,4]，∴－x∈[－4，－2]，∴4－x∈[0,2]，∴f(4－x)＝2(4－x)－(4－x)2＝－x2＋6x－8，又f(4－x)＝f(－x)＝－f(x)，∴－f(x)＝－x2＋6x－8，即f(x)＝x2－6x＋8，x∈[2,4]．(3)解∵f(0)＝0，f(2)＝0，f(1)＝1，f(3)＝－1.又f(x)是周期为4的周期函数，∴f(0)＋f(1)＋f(2)＋f(3)＝f(4)＋f(5)＋f(6)＋f(7)＝…＝f(2 008)＋f(2 009)＋f(2 010)＋f(2 011)＝0.∴f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2 013)＝f(0)＋f(1)＝1.探究提高判断函数的周期只需证明f(x＋T)＝f(x) (T≠0)便可证明函数是周期函数，且``周期为T，函数的周期性常与函数的其他性质综合命题，是高考考查的重点问题．已知f(x)是定义在R上的偶函数，并且f(x＋2)＝－1f(x)，当2≤x≤3时，f(x)＝x，则f(105.5)＝________.答案 2.5解析 由已知，可得f (x ＋4)＝f [(x ＋2)＋2] ＝－1f (x ＋2)＝－1－1f (x )＝f (x )．故函数的周期为4.∴f (105.5)＝f (4×27－2.5)＝f (－2.5)． ∵2≤2.5≤3，由题意，得f (2.5)＝2.5. ∴f (105.5)＝2.5.题型三 函数性质的综合应用例3 设f (x )是(－∞，＋∞)上的奇函数，f (x ＋2)＝－f (x )，当0≤x ≤1时，f (x )＝x .(1)求f (π)的值；(2)当－4≤x ≤4时，求f (x )的图象与x 轴所围成图形的面积； (3)写出(－∞，＋∞)内函数f (x )的单调区间．思维启迪：可以先确定函数的周期性，求f (π)；然后根据函数图象的对称性、周期性画出函数图象，求图形面积、写单调区间． 解 (1)由f (x ＋2)＝－f (x )得，f (x ＋4)＝f [(x ＋2)＋2]＝－f (x ＋2)＝f (x )， 所以f (x )是以4为周期的周期函数， ∴f (π)＝f (－1×4＋π)＝f (π－4)＝－f (4－π) ＝－(4－π)＝π－4.(2)由f (x )是奇函数与f (x ＋2)＝－f (x )， 得：f [(x －1)＋2]＝－f (x －1)＝f [－(x －1)]， 即f (1＋x )＝f (1－x )．故知函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝1对称．又当0≤x ≤1时，f (x )＝x ，且f (x )的图象关于原点成中心对称，则f (x )的图象如图所示．当－4≤x ≤4时，f (x )的图象与x 轴围成的图形面积为S ， 则S ＝4S △OAB ＝4×⎝⎛⎭⎫12×2×1＝4.(3)函数f (x )的单调递增区间为[4k －1,4k ＋1] (k ∈Z )， 单调递减区间为[4k ＋1,4k ＋3] (k ∈Z )．探究提高 函数性质的综合问题，可以利用函数的周期性、对称性确定函数图象，充分利用已知区间上函数的性质，体现了转化思想．已知函数f (x )是R 上的偶函数，对于x ∈R 都有f (x ＋6)＝f (x )＋f (3)成立，当x 1、x 2∈[0,3]，且x 1≠x 2时，都有f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2>0.给出下列命题：①f (3)＝0；②直线x ＝－6是函数y ＝f (x )的图象的一条对称轴；③函数y ＝f (x )在[－9， －6]上为增函数；④函数y ＝f (x )在[－9,9]上有四个零点．其中所有正确命题的序号为__________． 答案 ①②④解析 ∵f (x ＋6)＝f (x )＋f (3)，令x ＝－3得，f (－3＋6)＝f (－3)＋f (3)，故f (－3)＝0. 又f (x )是R 上的偶函数，所以f (3)＝0，即①正确；∴f (x ＋6)＝f (x )，即6是函数f (x )的一个周期，由x 1、x 2∈[0,3]，且x 1≠x 2时，都有f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2>0知函数f (x )在[0,3]上单调递增，综上可知，可画出函数f (x )在[－9,9]上的简图．由简图可知②④也正确．等价转换要规范典例：(14分)函数f (x )的定义域D ＝{x |x ≠0}，且满足对于任意x 1，x 2∈D .有f (x 1·x 2)＝f (x 1)＋f (x 2)．(1)求f (1)的值；(2)判断f (x )的奇偶性并证明；(3)如果f (4)＝1，f (3x ＋1)＋f (2x －6)≤3，且f (x )在(0，＋∞)上是增函数，求x 的取值范围． 审题视角 (1)从f (1)联想自变量的值为1，进而想到赋值x 1＝x 2＝1.(2)判断f (x )的奇偶性，就是研究f (x )、f (－x )的关系．从而想到赋值x 1＝－1，x 2＝x .即f (－x )＝f (－1)＋f (x )．(3)就是要出现f (M )<f (N )的形式，再结合单调性转化为M <N 或M >N 的形式求解． 规范解答解 (1)令x 1＝x 2＝1，有f (1×1)＝f (1)＋f (1)，解得f (1)＝0.[2分] (2)f (x )为偶函数，证明如下：[4分] 令x 1＝x 2＝－1，有f [(－1)×(－1)]＝f (－1)＋f (－1)，解得f (－1)＝0. 令x 1＝－1，x 2＝x ，有f (－x )＝f (－1)＋f (x )， ∴f (－x )＝f (x )．∴f (x )为偶函数．[7分] (3)f (4×4)＝f (4)＋f (4)＝2， f (16×4)＝f (16)＋f (4)＝3.[9分] 由f (3x ＋1)＋f (2x －6)≤3， 变形为f [(3x ＋1)(2x －6)]≤f (64)．(*) ∵f (x )为偶函数，∴f (－x )＝f (x )＝f (|x |)．∴不等式(*)等价于f [|(3x ＋1)(2x －6)|]≤f (64)．[11分] 又∵f (x )在(0，＋∞)上是增函数，∴|(3x ＋1)(2x －6)|≤64，且(3x ＋1)(2x －6)≠0. 解得－73≤x <－13或－13<x <3或3<x ≤5.∴x 的取值范围是{x |－73≤x <－13或－13<x <3或3<x ≤5}．[14分]温馨提醒 数学解题的过程就是一个转换的过程．解题质量的高低，取决于每步等价转换的规范程度．如果每一步等价转换都是正确的、规范的，那么这个解题过程就一定是规范的．等价转化要做到规范，应注意以下几点：(1)要有明确的语言表示．如“M”等价于“N”，“M”变形为“N”．(2)要写明转化的条件．如本例中：∵f(x)为偶函数，∴不等式(*)等价于f[|(3x＋1)(2x－6)|]≤f(64)．(3)转化的结果要等价．如本例：因为f[|(3x＋1)(2x－6)|]≤f(64)⇒|(3x＋1)(2x－6)|≤64，且(3x＋1)(2x－6)≠0.若漏掉(3x＋1)(2x－6)≠0，则这个转化就不等价了.方法与技巧1．正确理解奇函数和偶函数的定义，必须把握好两个问题：(1)定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要不充分条件；(2)f(－x)＝－f(x)或f(－x)＝f(x)是定义域上的恒等式．2．奇偶函数的定义是判断函数奇偶性的主要依据．为了便于判断函数的奇偶性，有时需要先将函数进行化简，或应用定义的等价形式：f(－x)＝±f(x)⇔f(－x)±f(x)＝0⇔f(－x)f(x)＝±1(f(x)≠0)．3．奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称，反之也成立．利用这一性质可简化一些函数图象的画法，也可以利用它去判断函数的奇偶性．失误与防范1．判断函数的奇偶性，首先应该判断函数定义域是否关于原点对称．定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条件．2．判断函数f(x)是奇函数，必须对定义域内的每一个x，均有f(－x)＝－f(x)，而不能说存在x0使f(－x0)＝－f(x0)．对于偶函数的判断以此类推．3．分段函数奇偶性判定时，要以整体的观点进行判断，不可以利用函数在定义域某一区间上不是奇偶函数而否定函数在整个定义域上的奇偶性.A组专项基础训练(时间：35分钟，满分：62分)一、填空题(每小题5分，共35分)1．(2012·天津改编)下列函数中，既是偶函数，又在区间(1,2)内是增函数的为________．①y ＝cos 2x ，x ∈R ②y ＝log 2|x |，x ∈R 且x ≠0③y ＝e x －e －x 2，x ∈R ④y ＝x 3＋1，x ∈R 答案 ②解析 ①中函数y ＝cos 2x 在区间⎝⎛⎭⎫0，π2上单调递减，不满足题意； ③中的函数为奇函数；④中的函数为非奇非偶函数，只有②满足．2．(2011·辽宁改编)若函数f (x )＝x (2x ＋1)(x －a )为奇函数，则a ＝________. 答案 12解析 ∵f (－x )＝－f (x )，∴－x (－2x ＋1)(－x －a )＝－x (2x ＋1)(x －a )， ∴(2a －1)x ＝0，∴a ＝12. 3．设函数f (x )＝x (e x ＋a e －x ) (x ∈R )是偶函数，则实数a ＝________. 答案 －1解析 由题意得g (x )＝e x ＋a e －x 为奇函数，由g (0)＝0，得a ＝－1.4．已知f (x )在R 上是奇函数，且满足f (x ＋4)＝f (x )，当x ∈(0,2)时，f (x )＝2x 2，则f (7)＝________.答案 －2解析 ∵f (x ＋4)＝f (x )，∴f (x )是周期为4的函数，∴f (7)＝f (2×4－1)＝f (－1)，又∵f (x )在R 上是奇函数，∴f (－x )＝－f (x )，∴f (－1)＝－f (1)，而当x ∈(0,2)时，f (x )＝2x 2，∴f (1)＝2×12＝2，∴f (7)＝f (－1)＝－f (1)＝－2.5．函数f (x )对于任意实数x 满足条件f (x ＋2)＝1f (x )，若f (1)＝－5，则f (f (5))＝________. 答案 －15解析 ∵f (5)＝1f (3)＝11f (1)＝f (1)＝－5， 又∵f (x ＋2＋2)＝1f (x ＋2)＝f (x )，∴f (x )的周期为4. ∴f (f (5))＝f (－5)＝f (－1)＝1f (－1＋2)＝－15. 6．设f (x )为定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝2x ＋2x ＋b (b 为常数)，则f (－1)＝______.答案 －3解析 因为f (x )是定义在R 上的奇函数，因此f (－x )＋f (x )＝0.当x ＝0时，可得f (0)＝0，可得b ＝－1，此时f (x )＝2x ＋2x －1，因此f (1)＝3.又f (－1)＝－f (1)，所以f (－1)＝－3.7．已知定义在R 上的函数y ＝f (x )满足条件f ⎝⎛⎭⎫x ＋32＝－f (x )，且函数y ＝f ⎝⎛⎭⎫x －34为奇函数，给出以下四个命题：①函数f (x )是周期函数；②函数f (x )的图象关于点⎝⎛⎭⎫－34，0对称； ③函数f (x )为R 上的偶函数；④函数f (x )为R 上的单调函数．其中真命题的序号为________．答案 ①②③解析 由f (x )＝f (x ＋3)⇒f (x )为周期函数，且T ＝3，①为真命题；又y ＝f ⎝⎛⎭⎫x －34关于(0,0)对称，y ＝f ⎝⎛⎭⎫x －34向左平移34个单位得y ＝f (x )的图象， 则y ＝f (x )的图象关于点⎝⎛⎭⎫－34，0对称，②为真命题； 又y ＝f ⎝⎛⎭⎫x －34为奇函数，∴f ⎝⎛⎭⎫x －34＝－f ⎝⎛⎭⎫－x －34，f ⎝⎛⎭⎫x －34－34＝－f ⎝⎛⎭⎫34－x －34＝－f (－x )， ∴f ⎝⎛⎭⎫x －32＝－f (－x )，f (x )＝f (x －3)＝－f ⎝⎛⎭⎫x －32＝f (－x )，∴f (x )为偶函数，不可能为R 上的单调函数．所以③为真命题，④为假命题．二、解答题(共27分)8．(13分)已知函数f (x )＝x 2＋a x(x ≠0)．(1)判断f (x )的奇偶性，并说明理由；(2)若f (1)＝2，试判断f (x )在[2，＋∞)上的单调性．解 (1)当a ＝0时，f (x )＝x 2，f (－x )＝f (x ) ，函数是偶函数．当a ≠0时，f (x )＝x 2＋a x(x ≠0)， 取x ＝±1，得f (－1)＋f (1)＝2≠0；f (－1)－f (1)＝－2a ≠0，∴f (－1)≠－f (1)，f (－1)≠f (1)．∴函数f (x )既不是奇函数也不是偶函数．(2)若f (1)＝2，即1＋a ＝2，解得a ＝1，这时f (x )＝x 2＋1x. 任取x 1，x 2∈[2，＋∞)，且x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝(x 21＋1x 1)－⎝⎛⎭⎫x 22＋1x 2 ＝(x 1＋x 2)(x 1－x 2)＋x 2－x 1x 1x 2＝(x 1－x 2)⎝⎛⎭⎫x 1＋x 2－1x 1x 2. 因为x 1≥2，x 2≥2，且x 1<x 2，∴x 1－x 2<0，x 1＋x 2>1x 1x 2， 所以f (x 1)<f (x 2)，故f (x )在[2，＋∞)上是单调递增函数．9．(14分)已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，且它的图象关于直线x ＝1对称．(1)求证：f (x )是周期为4的周期函数；(2)若f (x )＝x (0<x ≤1)，求x ∈[－5，－4]时，函数f (x )的解析式．(1)证明 由函数f (x )的图象关于直线x ＝1对称，有f (x ＋1)＝f (1－x )，即有f (－x )＝f (x ＋2)．又函数f (x )是定义在R 上的奇函数，故有f (－x )＝－f (x )．故f (x ＋2)＝－f (x )．从而f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，即f(x)是周期为4的周期函数．(2)解由函数f(x)是定义在R上的奇函数，有f(0)＝0.x∈[－1,0)时，－x∈(0,1]，f(x)＝－f(－x)＝－－x.故x∈[－1,0]时，f(x)＝－－x.x∈[－5，－4]时，x＋4∈[－1,0]，f(x)＝f(x＋4)＝－－x－4.从而，x∈[－5，－4]时，函数f(x)＝－－x－4.B组专项能力提升(时间：35分钟，满分：58分)一、填空题(每小题5分，共30分)1．(2011·安徽改编)设f(x)是定义在R上的奇函数，当x≤0时，f(x)＝2x2－x，则f(1)＝________.答案－3解析∵f(x)是奇函数，当x≤0时，f(x)＝2x2－x，∴f(1)＝－f(－1)＝－[2×(－1)2－(－1)]＝－3.2．已知f(x)是定义在R上的偶函数，g(x)是定义在R上的奇函数，且g(x)＝f(x－1)，则f(2 013)＋f(2 015)的值为________．答案0解析由题意，得g(－x)＝f(－x－1)，又∵f(x)是定义在R上的偶函数，g(x)是定义在R上的奇函数，∴g(－x)＝－g(x)，f(－x)＝f(x)，∴f(x－1)＝－f(x＋1)，∴f(x)＝－f(x＋2)，∴f(x)＝f(x＋4)，∴f(x)的周期为4，∴f(2 013)＝f(1)，f(2 015)＝f(3)＝f(－1)，又∵f(1)＝f(－1)＝g(0)＝0，∴f(2 013)＋f(2 015)＝0.3．设奇函数f (x )的定义域为R ，最小正周期T ＝3，若f (1)≥1，f (2)＝2a －3a ＋1，则a 的取值范围是____________．答案 －1<a ≤23解析 函数f (x )为奇函数，则f (1)＝－f (－1)．由f (1)＝－f (－1)≥1，得f (－1)≤－1；函数的最小正周期T ＝3，则f (－1)＝f (2)，由2a －3a ＋1≤－1，解得－1<a ≤23. 4．(2011·浙江)若函数f (x )＝x 2－|x ＋a |为偶函数，则实数a ＝________.答案 0解析 ∵函数f (x )＝x 2－|x ＋a |为偶函数，∴f (－x )＝f (x )，即(－x )2－|－x ＋a |＝x 2－|x ＋a |，∴|－x ＋a |＝|x ＋a |，∴a ＝0.5．已知函数f (x )满足：f (1)＝14，4f (x )f (y )＝f (x ＋y )＋f (x －y )(x ，y ∈R )，则f (2 015)＝________. 答案 14解析 方法一 令x ＝1，y ＝0时，4f (1)·f (0)＝f (1)＋f (1)，解得f (0)＝12， 令x ＝1，y ＝1时，4f (1)·f (1)＝f (2)＋f (0)，解得f (2)＝－14， 令x ＝2，y ＝1时，4f (2)·f (1)＝f (3)＋f (1)，解得f (3)＝－12， 依次求得f (4)＝－14，f (5)＝14，f (6)＝12，f (7)＝14， f (8)＝－14，f (9)＝－12，… 可知f (x )是以6为周期的函数，∴f (2 015)＝f (335×6＋5)＝f (5)＝14.方法二 ∵f (1)＝14，4f (x )·f (y )＝f (x ＋y )＋f (x －y )， ∴构造符合题意的函数f (x )＝12cos π3x ， ∴f (2 015)＝12cos ⎝⎛⎭⎫π3×2 015＝14. 6．设函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且对任意的x ∈R 恒有f (x ＋1)＝f (x －1)，已知当x ∈[0,1]时，f (x )＝⎝⎛⎭⎫121－x ，则①2是函数f (x )的周期；②函数f (x )在(1,2)上递减，在(2,3)上递增；③函数f (x )的最大值是1，最小值是0；④当x ∈(3,4)时，f (x )＝⎝⎛⎭⎫12x －3.其中所有正确命题的序号是________．答案 ①②④解析 由已知条件：f (x ＋2)＝f (x )，则y ＝f (x )是以2为周期的周期函数，①正确；当－1≤x ≤0时0≤－x ≤1，f (x )＝f (－x )＝⎝⎛⎭⎫121＋x ，函数y ＝f (x )的图象如图所示：当3<x <4时，－1<x －4<0，f (x )＝f (x －4)＝⎝⎛⎭⎫12x －3，因此②④正确．③不正确．二、解答题(18分)7．(14分)已知函数f (x )在R 上满足f (2－x )＝f (2＋x )，f (7－x )＝f (7＋x )且在闭区间[0,7]上，只有f (1)＝f (3)＝0，(1)试判断函数y ＝f (x )的奇偶性；(2)试求方程f (x )＝0在闭区间[－2 011,2 011]上根的个数，并证明你的结论．解 (1)若y ＝f (x )为偶函数，则f (－x )＝f (2－(x ＋2))＝f (2＋(x ＋2))＝f (4＋x )＝f (x )，∴f (7)＝f (3)＝0，这与f (x )在闭区间[0,7]上，只有f (1)＝f (3)＝0矛盾；因此f (x )不是偶函数．若y ＝f (x )为奇函数，则f (0)＝f (－0)＝－f (0)，∴f (0)＝0，这与f (x )在闭区间[0,7]上，只有f (1)＝f (3)＝0矛盾；因此f (x )不是奇函数．综上可知：函数f (x )既不是奇函数也不是偶函数．(2)∵f (x )＝f [2＋(x －2)]＝f [2－(x －2)]＝f (4－x )，f (x )＝f [7＋(x －7)]＝f (7－(x －7))＝f (14－x )，∴f (14－x )＝f (4－x )，即f [10＋(4－x )]＝f (4－x )∴f (x ＋10)＝f (x )，即函数f (x )的周期为10.又∵f (1)＝f (3)＝0，∴f (1)＝f (1＋10n )＝0(n ∈Z )，f (3)＝f (3＋10n )＝0(n ∈Z )，即x ＝1＋10n 和x ＝3＋10n (n ∈Z )均是方程f (x )＝0的根．由－2 011≤1＋10n ≤2 011及n ∈Z 可得n ＝0，±1，±2，±3，…，±201，共403个； 由－2 011≤3＋10n ≤2 011及n ∈Z 可得n ＝0，±1，±2，±3，…，±200，－201，共402个；所以方程f (x )＝0在闭区间[－2 011,2 011]上的根共有805个．8．(14分)函数y ＝f (x )是定义域为R 的奇函数，且对任意的x ∈R ，均有f (x ＋4)＝f (x )成立．当x ∈(0,2]时，f (x )＝－x 2＋2x ＋1.(1)当x ∈[4k －2,4k ＋2] (k ∈Z )时，求函数f (x )的表达式；(2)求不等式f (x )>32的解集． 解 (1)当x ＝0时，∵f (0)＝－f (0)，∴f (0)＝0，当x ∈[－2,0)时，－x ∈(0,2]，f (x )＝－f (－x )＝－(－x 2－2x ＋1)＝x 2＋2x －1，由f (x ＋4)＝f (x )，知f (x )为周期函数，且周期T ＝4.当x ∈[4k －2,4k ) (k ∈Z )时，x －4k ∈[－2,0)， ∴f (x )＝f (x －4k )＝(x －4k )2＋2(x －4k )－1. 当x ∈(4k,4k ＋2] (k ∈Z )时，x －4k ∈(0,2]， ∴f (x )＝f (x －4k )＝－(x －4k )2＋2(x －4k )＋1， 当x ＝4k 时，f (x )＝f (4k )＝f (0)＝0，故当x ∈[4k －2,4k ＋2] (k ∈Z )时，f (x )的表达式为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ (x －4k )2＋2(x －4k )－1 x ∈[4k －2，4k )，0 x ＝4k ，－(x －4k )2＋2(x －4k )＋1 x ∈(4k ，4k ＋2].(2)当x ∈[－2,2]时，由f (x )>32得 ⎩⎪⎨⎪⎧ －2≤x <0x 2＋2x －1>32或⎩⎪⎨⎪⎧0<x ≤2－x 2＋2x ＋1>32， 解得1－22<x <1＋22. ∵f (x )是以4为周期的周期函数，∴f (x )>32的解集为{x |4k ＋1－22<x <4k ＋1＋22}．。
高中数学基础之函数的奇偶性与周期性
D.
考点二 函数奇偶性的应用
【例 2】 (1)(2019·全国卷Ⅱ)设 f(x)为奇函数，且当 x≥0 时，f(x)＝ex－1，则
当 x<0 时，f(x)＝( D ) A．e－x－1
B．e－x＋1
C．－e－x－1
D．－e－x＋1
(2)(2020·长沙第一中学期末)若函数 f(x)＝xln(x＋ a＋x2)为偶函数，则 a＝ ___1_____.
又 x<0，∴－x>0. ∵x≥0 时，f(x)＝ex－1，∴－y＝e－x－1， ∴y＝－e－x＋1(x<0)，即 f(x)＝－e－x＋1(x<0)． 解法三(赋值法)：∵f(x)是奇函数，且 x≥0 时，f(x)＝ex－1， ∴f(－1)＝－f(1)＝－(e1－1)＝1－e，即 f(－1)＝－e＋1，只有 D 符合． (2)因为 f(x)－f(－x)＝xln(x＋ a＋x2)＋xln(－x＋ a＋x2)＝xln(a＋x2－x2)＝xlna ＝0，所以 a＝1.
1．(2020·福州市高三期末)下列函数为偶函数的是( B )
A．y＝tan(x＋π4)
B．y＝x2＋e|x|
C．y＝xcosx
D．y＝ln|x|－sinx
[解析] 对于选项 A，易知 y＝tan(x＋π4)为非奇非偶函数；对于选项 B，设 f(x)
＝x2＋e|x|，则 f(－x)＝(－x)2＋e|－x|＝x2＋e|x|＝f(x)，所以 y＝x2＋e|x|为偶函数；对于选
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
B．最小正周期为 2π 的奇函数
C．最小正周期为 π 的偶函数
D．最小正周期为 2π 的偶函数
(2)(2020·河南南阳模拟)已知函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数，并且满足 f(x＋
函数的奇偶性与周期性 课件(44张)
(1)定义法
判断函数奇偶性的方法
(4)若函数 y＝f(x＋a)是偶函数，则函数 y＝f(x)关于直线 x＝a 对
称．( )
(5)若函数 y＝f(x＋b)是奇函数，则函数 y＝f(x)关于点(b,0)中心对 称．
(6)函数 f(x)为 R 上的奇函数，且 f(x＋2)＝f(x)，则 f(2 020)＝ 0.( )
答案：(1)× (2)× (3)√ (4)√ (5)√ (6)√
(2)由1|x－－x22|>≠0， 2， 得定义域为(－1,0)∪(0,1)，关于原点对称．∴ x－2<0，∴|x－2|－2＝－x，∴f(x)＝lg1－－xx2.
又∵f(－x)＝lg[1－x－x2]＝－lg1－x x2＝－f(x)， ∴函数 f(x)为奇函数．
(3)显然函数 f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对 称．
解析：D [因为函数 y＝ x的定义域为[0，＋∞)，不关于原点对
称，所以函数 y＝ x为非奇非偶函数，排除 A 项；因为 y＝|sin x|为偶
函数，所以排除 B 项；因为 y＝cos x 为偶函数，所以排除 C 项；因
为 y＝f(x)＝ex－e－x，f(－x)＝e－x－ex＝－(ex－e－x)＝－f(x)，所以函数
(2)图象法
(3)性质法 ①“奇＋奇”是奇，“奇－奇”是奇，“奇·奇”是偶，“奇÷奇” 是偶； ②“偶＋偶”是偶，“偶－偶”是偶，“偶·偶”是偶，“偶÷偶” 是偶； ③“奇·偶”是奇，“奇÷偶”是奇．
高中新教材数学必修件第章函数的奇偶性
判断方法：对于分段函数，需要分别在其每个分段区间上 判断奇偶性。具体步骤如下
03
1. 确定分段函数的定义域；
04
2. 针对每个分段区间，分别代入$f(-x)$，并与$f(x)$进行 比较；
05
3. 根据比较结果，判断该分段区间上的函数是否为奇函 数或偶函数；
06
4. 综合所有分段区间的结果，得出整个分段函数的奇偶 性。
$(-x, -y)$也在图像上。
奇函数在$x=0$处的函数值为0 ，即$f(0)=0$。
奇函数的图像通常具有中心对称 性，例如正弦函数$y=sin x$的
图像。
偶函数图像特征
偶函数的图像关于y轴对称，即 如果点$(x, y)$在图像上，则点 $(-x, y)$也在图像上。
偶函数在$x=0$处的函数值通 常为其最大值或最小值，例如 余弦函数$y=cos x$在$x=0$ 处取得最大值1。
THANKS
感谢观看
06
总结与拓展
知识点总结回顾
奇函数
对于所有$x$，都有$f(-x) = -f(x)$
偶函数
对于所有$x$，都有$f(-x) = f(x)$
知识点总结回顾
判断奇偶性的方法 通过定义判断
通过图像判断
知识点总结回顾
奇偶性与对称性的关 系
偶函数关于y轴对称
奇函数关于原点对称
拓展内容：非周期函数奇偶性分析
对称性应用
利用函数的奇偶性可以简 化某些数学问题的求解过 程，如对称区间上的定积 分等。
函数性质分析
通过分析函数的奇偶性可 以。
方程求解
在解某些方程时，可以利 用函数的奇偶性来简化方 程或找到方程的解。
02
奇偶性图像特征
人教版高中数学必修一第二章函数的奇偶性及周期性XS
第三节 函数的奇偶性及周期性1．函数的奇偶性2.(1)周期函数：对于函数y ＝f (x )，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的任何值时，都有f (x ＋T )＝f (x )，那么就称函数y ＝f (x )为周期函数，称T 为这个函数的周期．(2)最小正周期：如果在周期函数f (x )的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f (x )的最小正周期．1．判断函数的奇偶性，易忽视判断函数定义域是否关于原点对称．定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条件．2．判断函数f (x )的奇偶性时，必须对定义域内的每一个x ，均有f (－x )＝－f (x )，而不能说存在x 0使f (－x 0)＝－f (x 0)、f (－x 0)＝f (x 0)．3．分段函数奇偶性判定时，f (－x 0)＝f (x 0)利用函数在定义域某一区间上不是奇偶函数而否定函数在整个定义域上的奇偶性是错误的．[试一试]1．(广东高考)定义域为R 的四个函数y ＝x 3，y ＝2x ，y ＝x 2＋1，y ＝2sin x 中，奇函数的个数是( ) A ．4 B ．3 C ．2 D ．12．已知f (x )＝ax 2＋bx 是定义在[a －1,2a ]上的偶函数，那么a ＋b 的值是( ) A ．－13 B.13 C.12 D ．－121．判断函数奇偶性的两个方法(1)定义法： (2)图像法：2．周期性常用的结论对f (x )定义域内任一自变量的值x ：(1)若f (x ＋a )＝－f (x )，则T ＝2a ； (2)若f (x ＋a )＝1f (x )，则T ＝2a ； (3)若f (x ＋a )＝－1f (x )，则T ＝2a .(a >0) [练一练]已知定义在R 上的函数f (x )满足f (x )＝－f ⎝⎛⎭⎫x ＋32，且f (1)＝2，则f (2 014)＝________.判断下列函数的奇偶性． (1)f (x )＝1－x 2＋x 2－1；(2)f (x )＝3－2x ＋2x －3；(3)f (x )＝3x －3－x ；(4)f (x )＝4－x 2|x ＋3|－3；(5)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ，x >0，x 2－x ，x <0.[类题通法]判断函数奇偶性除利用定义法和图像法，应学会利用性质，具体如下： (1)“奇＋奇”是奇，“奇－奇”是奇，“奇·奇”是偶，“奇÷奇”是偶； (2)“偶＋偶”是偶，“偶－偶”是偶，“偶·偶”是偶，“偶÷偶”是偶； (3)“奇·偶”是奇，“奇÷偶”是奇．[典例] (1)(山东高考)已知函数f (x )为奇函数，且当x >0时， f (x ) ＝x 2＋1x ，则f (－1)＝( )A ．－2B ．0C ．1D ．2(2)已知奇函数f (x )的定义域为[－2,2]，且在区间[－2,0]上递减，求满足f (1－m )＋f (1－m 2)<0的实数m 的取值范围．[类题通法]应用函数奇偶性可解决的四类问题及解题方法(1)求函数值：将待求值利用奇偶性转化为已知区间上的函数值求解．(2)求解析式：将待求区间上的自变量转化到已知区间上，再利用奇偶性求出，或充分利用奇偶性构造关于f (x )的方程(组)，从而得到f (x )的解析式．(3)求函数解析式中参数的值：利用待定系数法求解，根据f (x )±f (－x )＝0得到关于待求参数的恒等式，由系数的对等性得参数的值或方程(组)，进而得出参数的值．(4)画函数图像和判断单调性：利用奇偶性可画出另一对称区间上的图像及判断另一区间上的单调性． [针对训练]1．设函数f (x )＝x (e x ＋a e －x )(x ∈R )是偶函数，则实数a 的值为________．2．已知函数y ＝f (x )是R 上的偶函数，且在(－∞，0]上是减函数，若f (a )≥f (2)，则实数a 的取值范围是________．3.(江苏)已知f(x)是定义在R 上的奇函数.当x>0时,f(x)=x 2-4x,则不等式f(x)>x 的解集用区间表示为 .[典例] 定义在2)2；当－1≤x <3时，f (x )＝x .则f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2 012)＝( )A ．335B ．338C ．1 678D ．2 012[类题通法]函数周期性的判定与应用(1)判断函数的周期只需证明f (x ＋T )＝f (x )(T ≠0)便可证明函数是周期函数，且周期为T ，函数的周期性常与函数的其他性质综合命题．(2)根据函数的周期性，可以由函数局部的性质得到函数的整体性质，在解决具体问题时，要注意结论：若T 是函数的周期，则kT (k ∈Z 且k ≠0)也是函数的周期．[针对训练]1．设f (x )是定义在R 上的奇函数，且对任意实数x ，恒有f (x ＋2)＝－f (x )．当x ∈[0,2]时，f (x )＝2x －x 2.(1)求证：f (x )是周期函数； (2)当x ∈[2,4]时，求f (x )的解析式．2．设f (x )是(－∞，＋∞)上的奇函数，f (x ＋2)＝－f (x )，当0≤x ≤1时，f (x )＝x . (1)求f (3)的值；(2)当－4≤x ≤4时，求f (x )的图像与x 轴所围成图形的面积．[巩固练习]1．下列函数中，既是偶函数又在(0，＋∞)上是减函数的是( ) A ．y ＝x －1 B ．y ＝ln x 2 C ．y ＝cos x xD ．y ＝－x 22．(湖南)已知f (x )是奇函数，g (x )是偶函数，且f (－1)＋g (1)＝2，f (1)＋g (－1)＝4，则g (1)等于( ) A ．4 B ．3 C ．2 D ．13．设f (x )是周期为2的奇函数，当0≤x ≤1时，f (x )＝2x (1－x )，则f ⎝⎛⎭⎫－52＝4．下列函数中，与函数y ＝－3|x |的奇偶性相同，且在(－∞，0)上单调性也相同的是( ) A ．y ＝－1x B ．y ＝log 2|x | C ．y ＝1－x 2D ．y ＝x 3－15．若函数f (x )＝x(2x ＋1)(x －a )为奇函数，则a ＝( )A.12B.23C.34 D ．16．设定义在R 上的奇函数y ＝f (x )，满足对任意t ∈R ，都有f (t )＝f (1－t )，且x ∈⎣⎡⎦⎤0，12时，f (x )＝－x 2，则f (3)＋f ⎝⎛⎭⎫－32的值等于( ) A ．－12 B ．－13 C ．－14 D ．－15 选C7．设函数f (x )＝x 3cos x ＋1.若f (a )＝11，则f (－a )＝________.8．若函数f (x )＝x 2－|x ＋a |为偶函数，则实数a ＝________.9．若偶函数y ＝f (x )为R 上的周期为6的周期函数，且满足f (x )＝(x ＋1)(x －a )(－3≤x ≤3)，则f (－6)等于________．10．设定义在[－2,2]上的偶函数f (x )在区间[－2,0]上单调递减，若f (1－m )<f (m )，求m 的取值范围．11．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ，x >0，0，x ＝0，x 2＋mx ，x <0是奇函数．(1)求实数m 的值；(2)若函数f (x )在区间[－1，a －2]上单调递增，求实数a 的取值范围．选做题1．已知函数f (x )＝x |x |－2x ，则下列结论正确的是( ) A ．f (x )是偶函数，递增区间是(0，＋∞)B ．f (x )是偶函数，递减区间是(－∞，1)C ．f (x )是奇函数，递减区间是(－1,1)D ．f (x )是奇函数，递增区间是(－∞，0)2．已知f (x )，g (x )分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，且f (x )－g (x )＝⎝⎛⎭⎫12x，则f (1)，g (0)，g (－1)之间的大小关系是______________．3．设f (x )是定义在R 上且周期为2的函数，在区间[－1,1]上，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋1，－1≤x ＜0，bx ＋2x ＋1，0≤x ≤1，其中a ，b ∈R .若f ⎝⎛⎭⎫12＝f ⎝⎛⎭⎫32，则a ＋3b 的值为________．。
高中数学第二章 第三节 函数的奇偶性与周期性
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解析：法一：依题意，对于选项 A，当 x＝－1 时，f(－1)＝2；
当 x＝1 时，f(1)＝4，f(－1)≠－f(1)，因此函数 f(x)＝x3＋3x2
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【知识拓展】 定义式 f(x＋T)＝f(x)对定义域内的 x 是恒成立的．若 f(x＋a)＝ f(x＋b)，则函数 f(x)的周期为 T＝|a－b|. 若在定义域内满足 f(x＋a)＝－f(x)，f(x＋a)＝f1x，f(x＋a)＝－ f1x(a>0)，则 f(x)为周期函数，且 T＝2a 为它的一个周期．
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1．判断函数的奇偶性时，易忽视判断函数定义域是否关于原 点对称．定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条 件． 2．判断函数 f(x)的奇偶性时，必须对定义域内的每一个 x，均 有 f(－x)＝－f(x)或 f(－x)＝f(x)，而不能说存在 x0 使 f(－x0)＝ －f(x0)或 f(－x0)＝f(x0)． 3．分段函数奇偶性判定时，误用函数在定义域某一区间上不 是奇偶函数去否定函数在整个定义域上的奇偶性．
答案：D
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高中数学函数的偶奇性与周期性共45页文档
Evaluation only. ed with2．A(s1p)若oys＝ef.(Sx＋lida)e是s偶fo函r数.N，E函T数3y＝.5f(Cx)l的ie图n象t P有r什of么ile 5.2
对称性C？op(2y)如rig果hyt＝2f(0x0＋4b-)是20奇1函1数A，sp函o数sfe(xP)的ty图L象td有.什么
∴Cfo(8p)＝yrfi(g0)h．t 2004-2011 Aspose Pty Ltd.
又函数f(x)是定义在R上的奇函数，
探究·提知能
课后作
∴f(8)＝f(0)＝0，故选B.
【答案】 B
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新课标 ·文科数学（安徽专用）
3．已知y＝f(x)是偶函数，则函数y＝f(x＋1)的图象的
对称轴是( )
对称性？ 探究·提知能 【提示】 (1)f(x)的图象关于直线x＝a对称；(2)f(x)的 课后作
图象关于点(b，0)中心对称．
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1．(人教A版教材习题改编)已知f(x)＝ax2＋bx是定义
落实·固基在础 [a－1，2a]上的偶函数，那么a＋b的值是( )
高考体验·明
一个_最__小__的__正__数__，那么这个___最__小__的__正__数_就叫做它的最小
正周期．
探究·提知能
课后作
(3)周期不唯一：若T是函数y＝f(x)的一个周期，则
nT(n∈Z，且n≠0)也是f(x)的周期．
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1．奇函数、偶函数的定义域具有什么特点？它是函数 高考体验·明
高中数学函数的偶奇性与周期性
高一数学-1-4函数的奇偶性与周期性
二、函数的周期性 (1)对于函数 f(x)，如果存在一个非零常数 T，使得对 定义域内的每一个 x 值，都满足 f(x＋T)＝ f(x) ，那么函 数 f(x)叫做周期函数．T 叫做这个函数的一个周期．如果 在周期函数 f(x)的所有周期中存在一个最小正数，那么这 个最小正数叫做它的最小正周期．
(2)一般我们提到函数的周期是多少，指的是最小正 周期；如果 T 是 f(x)的周期，则 kT(k∈N*)也是该函数的 周期；周期函数不一定有最小正周期．
解析：f(2012)＝f(0＋2×1006)＝f(0)＝02＝02－1＝－ 1.
答案：－1
函数的周期性
[例 4] (2010·揭阳模拟)设 f(x)是定义在 R 上的奇函 数，且对任意实数 x，恒有 f(x＋2)＝－f(x)．当 x∈[0,2] 时，f(x)＝2x－x2.
(1)求证：f(x)是周期函数； (2)当 x∈[2,4]时，求 f(x)的解析式； (3)计算 f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2011)．
解析：∵f(x)为奇函数，∴f(－1)＝－f(1)， ∴a＝－1.
函数 f(x)＝2x＋1xx－a为
奇函数，则 a＝( )
A.12
B.23
3 C.4
D．1
解析：法①：∵f(x)是奇函数且
f(x)＝2x＋1xx－a＝2x2＋1－x 2ax－a
分析：奇偶性讨论的就是 f(－x)与 f(x)的关系，如果 题目中涉及 x 与－x 的函数值之间的关系，一般考虑用奇 偶性解决．如果告诉了函数的奇偶性，应从 f(－x)＝±f(x) 入手．
解析：∵f(x)为奇函数，g(x)为偶函数， ∴f(－x)＝－f(x)，g(－x)＝g(x)． ∴f(－x)－g(－x)＝12－x，即－f(x)－g(x)＝2x. ∴f－xf－x－gxg＝x＝2－x2x ，∴fgxx＝＝2－－x22－x＋22x2－x