笔记(初中数学—平行四边形)
八年级平行四边形知识点总结
八年级平行四边形知识点总结平行四边形是初中数学中一个重要的几何学概念。
它涉及到面积、周长、角度、比例等多个知识点。
本文对八年级学习平行四边形所需掌握的知识点进行总结，以帮助读者更好地理解和掌握平行四边形。
1. 定义和性质
平行四边形是两对对边分别平行的四边形，具有以下性质：
（1）对边平行；
（2）相邻角互补；
（3）对角线互相平分；
（4）对边相等；
（5）对角相等。
2. 面积公式
平行四边形面积公式为 S = 底 ×高。
其中，底指平行四边形中一条边的长度，高指从这条边到与之平行的另一边的距离。
3. 周长公式
平行四边形周长公式为 P = 2a + 2b。
其中，a 和 b 分别指平行四边形相邻的两条边的长度。
4. 角度性质
（1）对角线所在直线的平行线截平行四边形所得的线段所对应的角相等。
（2）平行四边形内角和为 360 度。
（3）相邻角互补，对角相等。
5. 平行四边形的分类
（1）长方形：除了对角线之外，所有的角都是直角。
（2）正方形：对角线相等，所有边相等，所有角都是直角。
（3）菱形：四条边全等，对角线相互垂直，并平分对方角。
6. 平行线判定
（1）同侧内角和等于 180 度，说明两条直线平行。
（2）如果两条同向直线上有两个等于对应内角，则这两条直线平行。
（3）如果一条直线与两个相交的直线，对应内角相等，则这条直线平行于另一条线段。
以上是关于八年级平行四边形的知识点总结，通过对这些知识点的掌握，可以更好地理解和应用平行四边形的概念，也有利于提升数学学科成绩。
初中数学知识归纳平行四边形的性质
初中数学知识归纳平行四边形的性质初中数学知识归纳：平行四边形的性质在初中数学学习中，平行四边形是一个重要的几何图形。
它的定义是具有两对对边平行的四边形。
本文将对平行四边形的性质进行归纳和讨论，帮助读者更好地理解和应用相关知识。
1. 平行四边形的定义及基本性质平行四边形是指具有两对对边平行的四边形。
根据这个定义，我们可以得出以下基本性质：（1）对边性质：平行四边形的对边相等。
即可以得到AB = CD，AD = BC等。
（2）同位角性质：平行四边形的同位角相等。
同位角指的是在两组平行边之间的相对角。
例如∠A = ∠C，∠B = ∠D等。
（3）对角线性质：平行四边形的对角线互相平分。
即可以得出AC 平分BD，BD平分AC等。
2. 平行四边形的特殊性质除了基本性质外，平行四边形还有一些特殊的性质，包括：（1）等腰性质：如果一个平行四边形的相邻边相等，则它就是一个等腰平行四边形。
对于等腰平行四边形来说，两组对边都相等，且同位角也相等。
（2）矩形性质：如果一个平行四边形的所有内角都是直角，则它就是一个矩形。
对于矩形来说，相邻边相等，且对角线相等。
（3）正方形性质：如果一个矩形的四个边都相等，则它就是一个正方形。
正方形是一种具有对边平行且相等的特殊平行四边形。
3. 平行四边形的运用平行四边形的性质可以用于解决各种与图形相关的问题。
以下是几个常见的应用情景：（1）计算周长：根据平行四边形的对边相等性质，可以通过知道一个边长来计算平行四边形的周长。
例如，如果AB = 5cm，BC = 3cm，则平行四边形ABCD的周长为2(AB + BC) = 16cm。
（2）计算面积：平行四边形的面积可以通过底边长乘以高得到。
例如，如果底边长为8cm，高为4cm，则平行四边形的面积为8cm ×4cm = 32cm²。
（3）证明定理：平行四边形的性质也可以用于证明一些几何定理。
例如，可以利用平行四边形的同位角性质和对角线性质来证明平行线与等腰三角形、相似三角形等的性质。
初中数学知识点总结：平行四边形
初中数学知识点总结：平行四边形
知识点总结
1.定义：两组对边分别平行的四边形叫平行四边形
2.平行四边形的性质
〔1〕平行四边形的对边平行且相等；
〔2〕平行四边形的邻角互补，对角相等；
〔3〕平行四边形的对角线互相平分；
3.平行四边形的判定
平行四边形是几何中一个重要内容，如何根据平行四边形的性质，判定一个四边形是平行四边形是个重点，下面就对平行四边形的五种判定方法，进行划分：
第一类：与四边形的对边有关
〔1〕两组对边分别平行的四边形是平行四边形；
〔2〕两组对边分别相等的四边形是平行四边形；
〔3〕一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；
第二类：与四边形的对角有关
〔4〕两组对角分别相等的四边形是平行四边形；
第三类：与四边形的对角线有关
〔5〕对角线互相平分的四边形是平行四边形
常见考法
〔1〕利用平行四边形的性质，求角度、线段长、周长；〔2〕求平行四边形某边的取值范围；〔3〕考查一些综合计算问题；〔4〕
利用平行四边形性质证明角相等、线段相等和直线平行；〔5〕利用判定定理证明四边形是平行四边形。
误区提醒
〔1〕平行四边形的性质较多，易把对角线互相平分，错记成对角线相等；〔2〕〝一组对边平行且相等的四边形是平行四边形〞错记成〝一组对边平行，一组对边相等的四边形是平行四边形〞后者不是平行四边形的判定定理，它只是个等腰梯形。
初中数学平行四边形知识点归纳
初中数学平行四边形知识点归纳平行四边形是一个具有特殊性质的四边形，它的边两两平行且相等。
以下是初中数学中关于平行四边形的常见知识点的归纳。
一、定义和性质1.平行四边形的定义：平行四边形是一个有四个边的四边形，它的边两两平行且相等。
2.平行四边形的性质：（1）相邻角的性质：平行四边形的相邻两个角互补，即它们的和为180°。
（2）对角线性质：平行四边形的对角线互相平分，即两对角线的交点分别成对角线的中点。
（3）边长性质：平行四边形的对边相等，即对角线之间的四条边相等。
（4）角度性质：平行四边形的对角线顶点处的角相等，即相对顶点的两个角相等。
（5）对角线的长度性质：平行四边形的两条对角线中任意一条的平方等于另一条对角线的平方与四条边的平方之和的一半。
二、判定方法1.判断平行四边形的条件：四边形有两组对边分别平行且相等。
2.判断一个四边形是否是平行四边形的方法：根据判断平行四边形的条件，确定对边是否平行且相等。
三、面积计算1.平行四边形面积的计算方法：平行四边形的面积等于底边长与高的乘积。
2.平行四边形面积公式：S=底边长×高。
四、特殊情况1.矩形：矩形是一种特殊的平行四边形，它的所有角都为直角。
2.正方形：正方形是一种特殊的矩形，它的所有边都相等且所有角都为直角。
3.菱形：菱形是一种特殊的平行四边形，它的所有边都相等，且对角线相互垂直。
4.正菱形：正菱形是一种特殊的菱形，它的所有角都相等。
五、平行四边形的性质应用1.解答几何问题：通过利用平行四边形的性质，可以解答与平行四边形相关的几何问题，如计算面积、判定是否为平行四边形等。
2.应用到实际生活中：平行四边形的形状在日常生活中十分常见，如田地、棋盘等，了解平行四边形的性质有助于观察和推理这些实际情境。
以上是初中数学中平行四边形常见知识点的归纳。
了解平行四边形的性质和特点，有助于学生在解决数学问题时灵活运用这些知识，提高几何推理和问题解决能力。
平行四边形—初中数学知识点总结
大家都要知道：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。
接下来为大家整合的是初中数学四边形知识点总结。
1 平行四边形的对角相等2、平行四边形性质定理2 平行四边形的对边相等3、推论夹在两条平行线间的平行线段相等4、平行四边形性质定理3 平行四边形的对角线互相平分5、平行四边形判定定理1 两组对角分别相等的四边形是平行四边形6、平行四边形判定定理2 两组对边分别相等的四边形是平行四边形7、平行四边形判定定理3 对角线互相平分的四边形是平行四边形温馨提示：平行四边形还有一个不常用的判定定理是一组对边平行相等的四边形是平行四边形。
初中数学知识点总结：平面直角坐标系下面是对平面直角坐标系的内容学习，希望同学们很好的掌握下面的内容。
平面直角坐标系平面直角坐标系：在平面内画两条互相垂直、原点重合的数轴，组成平面直角坐标系。
水平的数轴称为某轴或横轴，竖直的数轴称为y轴或纵轴，两坐标轴的交点为平面直角坐标系的原点。
平面直角坐标系的要素：①在同一平面②两条数轴③互相垂直④原点重合三个规定：①正方向的规定横轴取向右为正方向，纵轴取向上为正方向②单位长度的规定；一般情况，横轴、纵轴单位长度相同；实际有时也可不同，但同一数轴上必须相同。
③象限的规定：右上为第一象限、左上为第二象限、左下为第三象限、右下为第四象限。
相信上面对平面直角坐标系知识的讲解学习，同学们已经能很好的掌握了吧，希望同学们都能考试成功。
初中数学知识点：平面直角坐标系的构成对于平面直角坐标系的构成内容，下面我们一起来学习哦。
平面直角坐标系的构成在同一个平面上互相垂直且有公共原点的两条数轴构成平面直角坐标系，简称为直角坐标系。
通常，两条数轴分别置于水平位置与铅直位置，取向右与向上的方向分别为两条数轴的正方向。
水平的`数轴叫做某轴或横轴，铅直的数轴叫做Y轴或纵轴，某轴或Y轴统称为坐标轴，它们的公共原点O称为直角坐标系的原点。
通过上面对平面直角坐标系的构成知识的讲解学习，希望同学们对上面的内容都能很好的掌握，同学们认真学习吧。
八年级平行四边形知识点
八年级平行四边形知识点在中学数学课程中，平行四边形（英语：parallelogram）是初中数学中的一个重要知识点。
本文将介绍八年级数学中平行四边形的相关知识点，包括定义、性质、常见公式和相关例题。
一、定义平行四边形是一个拥有两组对边平行的四边形。
一般来讲，我们称两个角相对的边为平行边，而称同一条边上相邻的两个角为相邻角。
如果一个四边形符合拥有两组平行边的条件，那么它就是一个平行四边形。
二、性质1. 对边平行：平行四边形中的对边都是平行的。
2. 对角线互相平分：平行四边形中的对角线互相平分。
3. 相邻角互补：平行四边形中的相邻角互补，即它们的和等于180度。
4. 同位角相等：平行四边形中同位角相等，即处于对角线同侧的角相等。
5. 对角线长度：通过平行四边形的向量法或勾股定理可以求出对角线的长度。
三、常见公式1. 面积公式：平行四边形的面积可以用底边和高的乘积求得，即 S = 底边 ×高。
2. 周长公式：平行四边形的周长可以通过两条相邻的边长相加再乘以 2 求得，即 P = (a + b) × 2。
3. 对角线长公式：对角线的长度可以通过勾股定理求得，即对角线两端点的坐标为 (x1, y1) 和 (x2, y2)，则对角线的长度为 d = √(x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2。
四、例题1. 若平行四边形ABCD的底边 CD 长为 8 cm，高为 4 cm，则其面积为多少？解：S = 底边 ×高 = 8 × 4 = 32 cm²。
2. 平行四边形ABCD中，对角线 AC 长为 10 cm，BD 长为 12 cm，求其面积。
解：设 BD 为底边，则BD = √(AC² - AD²) = √(10² - 8²) = 6 cm。
由于 BD = 12 cm，因此底边长为 12/2 = 6 cm，高为 8 cm。
新人教版初中数学——特殊的平行四边形-知识点归纳及中考典型题解析
新人教版初中数学——特殊的平行四边形知识点归纳及中考题型解析一、矩形的性质与判定1．矩形的性质：（1）四个角都是直角；（2）对角线相等且互相平分；（3）面积=长×宽=2S△ABD=4S△AOB．（如图）2．矩形的判定：（1）定义法：有一个角是直角的平行四边形；（2）有三个角是直角；（3）对角线相等的平行四边形．二、菱形的性质与判定1．菱形的性质：（1）四边相等；（2）对角线互相垂直、平分，一条对角线平分一组对角；（3）面积=底×高=对角线乘积的一半．2．菱形的判定：（1）定义法：有一组邻边相等的平行四边形；（2）对角线互相垂直的平行四边形；（3）四条边都相等的四边形．三、正方形的性质与判定1．正方形的性质：（1）四条边都相等，四个角都是直角；（2）对角线相等且互相垂直平分；（3）面积=边长×边长=2S△ABD=4S△AOB．2．正方形的判定：（1）定义法：有一个角是直角，且有一组邻边相等的平行四边形；（2）一组邻边相等的矩形；（3）一个角是直角的菱形；（4）对角线相等且互相垂直、平分．四、联系（1）两组对边分别平行；（2）相邻两边相等；（3）有一个角是直角；（4）有一个角是直角；（5）相邻两边相等；（6）有一个角是直角，相邻两边相等；（7）四边相等；（8）有三个角都是直角．五、中点四边形（1）任意四边形所得到的中点四边形一定是平行四边形.（2）对角线相等的四边形所得到的中点四边形是矩形.（3）对角线互相垂直的四边形所得到的中点四边形是菱形.（4）对角线互相垂直且相等的四边形所得到的中点四边形是正方形.考向一矩形的性质与判定1．矩形除了具有平行四边形的一切性质外，还具有自己单独的性质，即：矩形的四个角都是直角；矩形的对角线相等．2．利用矩形的性质可以推出直角三角形斜边中线的性质，即在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．3．矩形的判定：有三个角是直角的四边形是矩形；对角线相等的平行四边形是矩形．典例1 如图，矩形ABCD的对角线交于点O，若∠BAO=55°，则∠AOD等于A．105°B．110°C．115°D．120°【答案】B【解析】∵四边形ABCD是矩形，∴OA=O B．∴∠BAO=∠ABO=55°．∴∠AOD=∠BAO+∠ABO=55°+55°=110°．故选B．典例2 如图，矩形ABCD的对角线AC与数轴重合（点C在正半轴上），AB=5，BC=12，点A表示的数是–1，则对角线AC、BD的交点表示的数A．5.5 B．5 C．6 D．6.5【答案】A【解析】连接BD交AC于E，如图所示：∵四边形ABCD是矩形，∴190,2B AE AC ∠==，∴13AC=，∴AE=6.5，∵点A表示的数是−1，∴OA=1，∴OE=AE−OA=5.5，∴点E表示的数是5.5，即对角线AC、BD的交点表示的数是5.5；故选A.1．如图，四边形ABCD 的对角线互相平分，要使它成为矩形，那么需要添加的条件是A ．AB =BC B ．AC 垂直BD C ．∠A =∠C D ．AC =BD2．如图，在平行四边形ABCD 中，对角线AC BD 、交于点O ，并且6015DAC ADB ∠=︒∠=︒，，点E 是AD 边上一动点，延长EO 交于BC 点F ，当点E 从点D 向点A 移动过程中（点E 与点D ，A 不重合），则四边形AFCE 的变化是A ．平行四边形→菱形→平行四边形→矩形→平行四边形B ．平行四边形→矩形→平行四边形→菱形→平行四边形C ．平行四边形→矩形→平行四边形→正方形→平行四边形D ．平行四边形→矩形→菱形→正方形→平行四边形考向二 菱形的性质与判定1．菱形除了具有平行四边形的一切性质外，具有自己单独的性质，即：菱形的四条边都相等； 菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角． 2．菱形的判定：四条边都相等的四边形是菱形； 对角线互相垂直的平行四边形是菱形．典例3 菱形具有而平行四边形不具有的性质是 A ．两组对边分别平行 B ．两组对边分别相等 C ．一组邻边相等D ．对角线互相平分【答案】C【解析】根据菱形的性质及平行四边形的性质进行比较，可发现A，B，D两者均具有，而C只有菱形具有平行四边形不具有，故选C．【名师点睛】有一组邻边相等的平行四边形是菱形.典例4如图，四边形ABCD的对角线互相垂直，且满足AO=CO，请你添加一个适当的条件_____________，使四边形ABCD成为菱形．（只需添加一个即可）【答案】BO=DO（答案不唯一）【解析】四边形ABCD中，AC、BD互相垂直，若四边形ABCD是菱形，需添加的条件是：AC、BD 互相平分（对角线互相垂直且平分的四边形是菱形）．故答案为：BO=DO（答案不唯一）．3．已知菱形的一条对角线与边长相等，则菱形的邻角度数分别为A．45°，135°B．60°，120°C．90°，90°D．30°，150°4．如图，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，DE∥AC交AB于E，DF∥AB交AC于F，求证：四边形AEDF是菱形．考向三正方形的性质与判定1．正方形的性质=矩形的性质+菱形的性质．2．正方形的判定：以矩形和菱形的判定为基础，可以引申出更多正方形的判定方法，如对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形．证明四边形是正方形的一般步骤是先证出四边形是矩形或菱形，再根据相应判定方法证明四边形是正方形．典例5面积为9㎝2的正方形以对角线为边长的正方形面积为A．18㎝2B．20㎝2C．24㎝2D．28㎝2【答案】A【解析】∵正方形的面积为9cm2，∴边长为3cm，∴根据勾股定理得对角线长cm，∴以=2=18cm2.故选A．典例6如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=BC=4，把△ABC绕点A逆时针旋转45°得到△ADE，过点C作CF⊥AE于F，DE交CF于G，则四边形ADGF的周长是A．8 B．C．D．【答案】D【解析】如图，连接AG，∵∠B=90°，AB=BC=4，∴∠CAB=∠ACB=45°，AC，∵把△ABC绕点A逆时针旋转45°得到△ADE，∴AD=AB=4，∠EAD=∠CAB=45°，∴∠FAB=90°，CD=AC﹣AD﹣4，∵∠B=90°=∠FAB，CF⊥AE，∴四边形ABCF是矩形，且AB=BC=4，∴四边形ABCF是正方形，∴AF=CF=AB=4=AD，∠AFC=∠FCB=90°，∴∠GCD =45°，且∠GDC =90°，∴∠GCD =∠CGD =45°，∴CD =GD ﹣4，∵AF =AD ，AG =AG ，∴Rt △AGF ≌Rt △AGD （HL ），∴FG =GD ﹣4，∴四边形ADGF 的周长=AF +AD +FG +GD ﹣﹣，故选D ．5．如图，在正方形ABCD 内一点E 连接BE 、CE ，过C 作CF ⊥CE 与BE 延长线交于点F ，连接DF 、DE ．CE =CF =1，DE ，下列结论中：①△CBE ≌△CDF ；②BF ⊥DF ；③点D 到CF 的距离为2；④S 四边形DECF +1．其中正确结论的个数是A ．1B ．2C ．3D ．46．如图，在正方形ABCD 中，,2BE FC CF FD ==，AE 、BF 交于点G ，下列结论中错误的是A ．AE BF ⊥B ．AE BF =C ．43BG GE =D ．ABGCEGF S S=四边形考向四 中点四边形1．中点四边形一定是平行四边形；2．中点四边形的面积等于原四边形面积的一半．典例7如图，任意四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA上的点，对于四边形EFGH的形状，某班学生在一次数学活动课中，通过动手实践，探索出如下结论，其中错误的是A．当E，F，G，H是各边中点，且AC=BD时，四边形EFGH为菱形B．当E，F，G，H是各边中点，且AC⊥BD时，四边形EFGH为矩形C．当E，F，G，H不是各边中点时，四边形EFGH可以为平行四边形D．当E，F，G，H不是各边中点时，四边形EFGH不可能为菱形【答案】D【解析】A．当E，F，G，H是四边形ABCD各边中点，且AC=BD时，存在EF=FG=GH=HE，故四边形EFGH为菱形，故A正确；B．当E，F，G，H是四边形ABCD各边中点，且AC⊥BD时，存在∠EFG=∠FGH=∠GHE=90°，故四边形EFGH为矩形，故B正确；C．如图所示，当E，F，G，H不是四边形ABCD各边中点时，若EF∥HG，EF=HG，则四边形EFGH 为平行四边形，故C正确；D．如图所示，当E，F，G，H不是四边形ABCD各边中点时，若EF=FG=GH=HE，则四边形EFGH 为菱形，故D错误，故选D．7．顺次连接下列四边形的四边中点所得图形一定是菱形的是A．平行四边形B．菱形C．矩形D．梯形8．如图，我们把依次连接任意四边形ABCD各边中点所得四边形EFGH叫中点四边形．若四边形ABCD的面积记为S1，中点四边形EFGH的面积记为S2，则S1与S2的数量关系是A．S1=3S2B．2S1=3S2C．S1=2S2D．3S1=4S21．如图，矩形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，∠ADB=30°，AB=4，则OC=A．5 B．4 C．3.5 D．32．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，已知∠AOD=120°，AC=16，则图中长度为8的线段有A．2条B．4条C．5条D．6条3．如图，在长方形ABCD中，AB=3，BC=4，若沿折痕EF折叠，使点C与点A重合，则折痕EF 的长为A．158B．154C．152D．154．如图，菱形ABCD的对角线交于点O，AC=8 cm，BD=6 cm，则菱形的高为A．485cm B．245cm C．125cm D．105cm5．如图，在菱形ABCD中，∠ADC=72°，AD的垂直平分线交对角线BD于点P，垂足为E，连接CP，则∠CPB的度数是A．108°B．72°C．90°D．100°6．如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，且BE=CF．连接AE，BF，AE与BF 交于点G．下列结论错误的是A．AE=BF B．∠DAE=∠BFCC．∠AEB+∠BFC=90°D．AE⊥BF7．如图，矩形ABCD中将其沿EF翻折后，D点恰落在B处，∠BFE=65°，则∠AEB=____________.8．如图，P为正方形ABCD内一点，且BP=2，PC=3，∠APB=135°，将△APB绕点B顺时针旋转90°得到△CP′B，连接PP′，则AP=_______．9．如图，在ABCD中，AB=6，BC=8，AC=10．（1）求证：四边形ABCD是矩形；（2）求BD的长．10．如图，△ABC中，AB=AC=1，∠BAC=45°，△AEF是由△ABC绕点A按顺时针方向旋转得到的，连接BE，CF相交于点D．（1）求证：BE=CF；（2）当四边形ACDE为菱形时，求BD的长．11．如图，△ABC中，点O是AC边上的一个动点，过点O作直线MN∥BC，交∠ACB的平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F．（1）判断OE与OF的大小关系？并说明理由；（2）当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形？并说出你的理由；（3）在（2）的条件下，当△ABC满足什么条件时，四边形AECF是正方形．直接写出答案，不需说明理由．1．下列命题正确的是A．有一个角是直角的平行四边形是矩形B．四条边相等的四边形是矩形C．有一组邻边相等的平行四边形是矩形D．对角线相等的四边形是矩形2．如图，四边形ABCD为菱形，A，B两点的坐标分别是(2,0)，(0,1)，点C，D在坐标轴上，则菱形ABCD的周长等于AB．C．D．203．如图，在正方形ABCD中，点E，F将对角线AC三等分，且AC=12，点P在正方形的边上，则满足PE+PF=9的点P的个数是A．0 B．4 C．6 D．84．如图，正方形ABCD中，点E.F分别在边CD，AD上，BE与CF交于点G．若BC=4，DE=AF=1，则GF的长为A．135B．125C．195D．1655．如图，正方形纸片ABCD的边长为12，E是边CD上一点，连接AE．折叠该纸片，使点A落在AE上的G点，并使折痕经过点B，得到折痕BF，点F在AD上．若5DE ，则GE的长为__________．6．如图，把某矩形纸片ABCD沿EF、GH折叠（点E、H在AD边上，点F、G在BC边上），使得点B、点C落在AD边上同一点P处，A点的对称点为A 点，D点的对称点为D点，若FPG，A EP90△的面积为1，则矩形ABCD的面积等于__________.△的面积为4，D PH7．如图，已知菱形ABCD的对角线AC，BD交于点O，E为BC的中点，若OE=3，则菱形的周长为__________．8．如图，正方形ABCD，点E，F分别在AD，CD上，且DE=CF，AF与BE相交于点G．（1）求证：BE=AF；（2）若AB=4，DE=1，求AG的长．9．已知：如图，在▱ABCD中，AE⊥BC，CF⊥AD，E，F分别为垂足．（1）求证：△ABE≌△CDF；（2）求证：四边形AECF是矩形．10．如图，在菱形ABCD中，点E.F分别为A D．CD边上的点，DE=DF，求证：∠1=∠2．11．如图，点E、F分别是矩形ABCD的边AB、CD上的一点，且DF=BE．求证：AF=CE．12．如图，四边形ABCD中，AB=CD，AD=BC，对角线AC，BD相交于点O，且OA=OD．求证：四边形ABCD是矩形．13．如图，矩形EFGH的顶点E，G分别在菱形ABCD的边AD，BC上，顶点F，H在菱形ABCD 的对角线BD上．（1）求证：BG=DE；（2）若E为AD中点，FH=2，求菱形ABCD的周长．1．【答案】D【解析】结合选项可知，添加AC=BD，∵四边形ABCD的对角线互相平分，∴四边形ABCD是平行四边形，∵AC=BD，根据矩形判定定理对角线相等的平行四边形是矩形，∴四边形ABCD是矩形，故选D．2．【答案】A【解析】点E从D点向A点移动过程中，当∠EOD<15°时，四边形AFCE为平行四边形，当∠EOD=15°时，AC⊥EF，四边形AFCE为菱形，当15°<∠EOD <75°时，四边形AFCE 为平行四边形， 当∠EOD =75°时，∠AEF =90°，四边形AFCE 为矩形， 当75°<∠EOD <105°时，四边形AFCE 为平行四边形，故选A ． 3．【答案】B【解析】如图，由题意知AB =BC =AC ，∵AB =BC =AC ，∴△ABC 为等边三角形，即60B ∠=︒，根据平行四边形的性质，18060120.BAD ∠=-=︒︒︒故选B ．4．【解析】∵DE ∥AC ，DF ∥AB ， ∴四边形AEDF 为平行四边形， ∴∠FAD =∠EDA ，∵AD 是∠BAC 的平分线，∴∠EAD =∠FAD ，∴∠EAD =∠EDA ， ∴AE =ED ，∴四边形AEDF 是菱形． 5．【答案】B【解析】∵四边形ABCD 是正方形，∴BC =CD ，∠BCD =90°， ∵CF ⊥CE ，∴∠ECF =∠BCD =90°，∴∠BCE =∠DCF ，在△BCE 与△DCF 中，BC CDBCE DCF CE CF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△BCE ≌△DCF （SAS ），故①正确；∵△BCE ≌△DCF ，∴∠CBE =∠CDF ，∴∠DFB =∠BCD =90°，∴BF ⊥ED ， 故②正确，过点D 作DM ⊥CF ，交CF 的延长线于点M ，∵∠ECF =90°，FC =EC =1，∴∠CFE =45°，∵∠DFM +∠CFB =90°，∴∠DFM =∠FDM =45°，∴FM =DM ，∴由勾股定理可求得：EF ，∵DE ，∴由勾股定理可得：DF =2，∵EF 2+BE 2=2BE 2=BF 2，∴DM =FM ∵△BCE ≌△DCF ，∴S △BCE =S △DCF ，∴S 四边形DECF =S △DCF +S △DCE =S △ECF +S △DEF =S △AFP +S △PFB =12B ． 6．【答案】C【解析】在正方形ABCD 中，AB =BC ，∠ABE =∠C =90，又∵BE =CF ，∴△ABE ≌△BCF （SAS ），∴AE =BF ，∠BAE =∠CBF ，∴∠FBC +∠BEG =∠BAE +∠BEG =90°，∴∠BGE =90°，∴AE ⊥BF ．故A 、B 正确； ∵CF =2FD ，∴CF :CD =2:3，∵BE =CF ，AB =CD ，32AB BE ∴=， ∵∠EBG +∠ABG =∠ABG +∠BAG =90°，∴∠EBG =∠BAG ， ∵∠EGB =∠ABE =90°，∴△BGE ∽△ABE ，32BG AB GE BE ∴==，故C 不正确, ∵△ABE ≌△BCF ，∴S △ABE =S △BFC ，∴S △ABE –S △BEG =S △BFC –S △BEG ，∴S 四边形CEGF =S △ABG ， 故D 正确．故选C ．7．【答案】C【解析】∵顺次连接任意四边形的四边中点所得图形一定是平行四边形， 当对角线相等时，所得图形一定是菱形，故选C ． 8．【答案】C【解析】如图，设AC 与EH 、FG 分别交于点N 、P ，BD 与EF 、HG 分别交于点K 、Q ， ∵E 是AB 的中点，F 是BC 的中点，∴EF ∥AC ， 同理可证EH ∥BD ，∴△EBK ∽△ABM ，△AEN ∽△EBK ，1．【答案】B【解析】∵四边形ABCD 是矩形，∴AC =BD ，OA =OC ，∠BAD =90°， ∵∠ADB =30°，∴AC =BD =2AB =8，∴OC =AC =4．故选B ． 2．【答案】D【解析】∵AC =16，四边形ABCD 是矩形， ∴DC =AB ，BO =DO =12BD ，AO =OC =12AC =8，BD =AC ， ∴BO =OD =AO =OC =8，∵∠AOD =120°，∴∠AOB =60°，∴△ABO 是等边三角形，∴AB =AO =8，∴DC =8，即图中长度为8的线段有AO 、CO 、BO 、DO 、AB 、DC 共6条，故选D ． 3．【答案】B【解析】如图，连接AF ．根据折叠的性质，得EF 垂直平分AC ，则设，则，在中，根据勾股定理，得，解得． 在中，根据勾股定理，得AC =5，则AO =2.5．12．AF CF =AF x =4BF x =-Rt △ABF 229(4)x x =+-258x =Rt △ABC在中，根据勾股定理，得 根据全等三角形的性质，可以证明则故选B ．4．【答案】B【解析】∵菱形ABCD 的对角线∴AC ⊥BD ，OA =AC =4 cm ，OB =BD =3 cm ，根据勾股定理，（cm ）．设菱形的高为h ，则菱形的面积，即，解得，即菱形的高为cm ．故选B ． 5．【答案】B【解析】如图，连接AP ，∵在菱形ABCD 中，∠ADC =72°，BD 为菱形ABCD 的对角线，∴∠ADP =∠CDP =12∠ADC =36°. ∵AD 的垂直平分线交对角线BD 于点P ，垂足为E ，∴PA =P D. ∴∠DAP =∠ADP =36°.∴∠APB =∠DAP +∠ADP =72°. 又∵菱形ABCD 是关于对角线BD 对称的，∴∠CPB =∠APB =72°.故选B.6．【答案】CRt △AOF 158，OF =，OE OF =154．EF=8cm 6cm AC BD ==，，12125AB ===12AB h AC BD =⋅=⋅15862h =⨯⨯245h =245【解析】∵AD//BC，∴∠DAE=∠AEB，∵BE=CF，AB=BC，∠ABE=∠BCF，∴△ABE≌△BCF，∴AE=BF，∠DAE=∠BFC，∵∠FBC+∠BFC=90°，∠AEB=∠BFC，∴∠FBC+AEB=90°，∴AE ⊥BF，所以A、B、D三个选项正确，∠AEB=∠BFC，故C选项错误，故选C.7．【答案】50°【解析】如图所示，由矩形ABCD可得AD∥BC，∴∠1=∠BFE=65°，由翻折得∠2=∠1=65°，∴∠AEB=180°–∠1–∠2=180°–65°–65°=50°．故答案为：50°．8．【答案】1【解析】∵△BP'C是由△BPA旋转得到，∴∠APB=∠CP'B=135°，∠ABP=∠CBP'，BP=BP'，AP=CP'，∵∠ABP+∠PBC=90°，∴∠CBP'+∠PBC=90°，即∠PBP'=90°，∴△BPP'是等腰直角三角形，∴∠BP'P=45°，∵∠APB=∠CP'B=135°，∴∠PP'C=90°，∵BP=2，∴PP，∵PC=3，∴CP，∴AP=CP′=1，故答案为1．9．【解析】（1）∵AB=6，BC=8，AC=10，∴AB2+BC2=AC2，∴∠ABC=90°，∵四边形ABCD是平行四边形，∴ABCD是矩形．（2）∵四边形ABCD是矩形，∴BD=AC=10.10．【解析】（1）∵△AEF是由△ABC绕点A按顺时针方向旋转得到的，∴AE=AB，AF=AC，∠EAF=∠BAC，∴∠EAF+∠BAF=∠BAC+∠BAF，即∠EAB=∠FAC，在△ACF和△ABE中，AC ABCAF BAEAF AE=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ACF≌△ABE，∴BE=CF.（2）∵四边形ACDE为菱形，AB=AC=1，∴DE=AE=AC=AB=1，AC∥DE，∴∠AEB=∠ABE，∠ABE=∠BAC=45°，∴∠AEB=∠ABE=45°，∴△ABE为等腰直角三角形，∴BEBD=BE﹣DE1．11．【解析】（1）OE=OF，理由如下：因为CE平分∠ACB，所以∠1=∠2，又因为MN∥BC，所以∠1=∠3，所以∠3=∠2，所以EO=CO，同理，FO=CO，所以OE=OF．（2）当点O运动到AC的中点时，四边形AECF是矩形，理由如下：因为OE=OF，点O是AC的中点，所以四边形AECF是平行四边形，又因为CF平分∠BCA的外角，所以∠4=∠5，又因为∠1=∠2，所以∠1=∠2，∠2+∠4=11802⨯︒=90°，即∠ECF=90°，所以平行四边形AECF是矩形．（3）当△ABC是直角三角形时，即∠ACB=90°时，四边形AECF是正方形，理由如下：由（2）证明可知，当点O运动到AC的中点时，四边形AECF是矩形，又因为∠ACB=90°，CE，CN分别是∠ACB与∠ACB的外角的平分线，所以∠1=∠2=∠3=∠4=∠5=45°，所以AC⊥MN，所以四边形AECF是正方形．1．【答案】A【解析】A．有一个角为直角的平行四边形是矩形满足判定条件；B．四条边都相等的四边形是菱形，故B错误；C有一组邻边相等的平行四边形是菱形，故C错误；对角线相等且相互平分的四边形是矩形，则D错误；故选A．【名师点睛】本题考查了矩形的判定，矩形的判定方法有：1.有三个角是直角的四边形是矩形；2.对角线互相平分且相等的四边形是矩形；3.有一个角为直角的平行四边形是矩形；4.对角线相等的平行四边形是矩形.2．【答案】C【解析】∵菱形ABCD的顶点A，B的坐标分别为（2，0），（0，1），∴AO=2，OB=1，AC⊥BD，∴由勾股定理知：AB==，∵四边形ABCD为菱形，∴AB=DC=BC=AD∴菱形ABCD的周长为：C．【名师点睛】此题主要考查了菱形的性质，勾股定理以及坐标与图形的性质，得出AB的长是解题关键．3．【答案】D【解析】如图，过E点作关于AB的对称点E′，则当E′，P，F三点共线时PE+PF取最小值，∵∠EAP=45°，∴∠EAE′=90°，又∵AE=EF=AE′=4，∴PE+PF的最小值为E′F=，∵满足PE+PF∴在边AB上存在两个P点使PE+PF=9，同理在其余各边上也都存在两个P点满足条件，∴满足PE+PF=9的点P的个数是8，故选D．【名师点睛】本题主要考查了正方形的性质以及根据轴对称求最短路径，有一定难度，巧妙的运用求最值的思想判断满足题意的点的个数是解题关键.4．【答案】A【解析】正方形ABCD 中，∵BC =4， ∴BC =CD =AD =4，∠BCE =∠CDF =90°， ∵AF =DE =1，∴DF =CE =3，∴BE =CF =5，在△BCE 和△CDF 中，BC CD BCE CDF CE DF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△BCE ≌△CDF （SAS ），∴∠CBE =∠DCF ， ∵∠CBE +∠CEB =∠ECG +∠CEB =90°=∠CGE ， cos ∠CBE =cos ∠ECG =BC CGBE CE=， ∴453CG =，CG =125，∴GF =CF ﹣CG =5﹣125=135， 故选A ．【名师点睛】此题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，锐角三角函数，证明△BCE ≌△CDF 是解本题的关键． 5．【答案】4913【解析】如图，令AE 与BF 的交点为M . 在正方形ABCD 中，∠BAD =∠D =90︒，∴∠BAM +∠FAM =90︒， 在Rt ADE △中，13==A E ，∵由折叠的性质可得ABF GBF △≌△， ∴AB =BG ，∠FBA =∠FBG ， ∴BF 垂直平分AG ， ∴AM =MG ，∠AMB =90︒， ∴∠BAM +∠ABM =90︒， ∴∠ABM =∠FAM ，∴ABM EAD △∽△，∴AM AB DE AE = ，∴12513AM =，∴AM =6013，∴AG =12013，∴GE =13–120491313=. 【名师点睛】本题考查了正方形与折叠，勾股定理，等腰三角形的性质，以及三角形相似的判定和性质，熟练掌握相关的知识是解题的关键.6．【答案】【解析】∵A 'E ∥PF ，∴∠A 'EP =∠D 'PH ，又∵∠A =∠A '=90°，∠D =∠D '=90°，∴∠A '=∠D '，∴△A 'EP ～△D 'PH ， 又∵AB =CD ，AB =A 'P ，CD =D 'P ，∴A 'P = D 'P ， 设A 'P =D 'P =x ，∵S △A 'EP ：S △D 'PH =4：1，∴A 'E =2D 'P =2x ，∴S △A 'EP =2112422A E A P x x x ''⨯⨯=⨯⨯==， ∵0x >，∴2x =，∴A 'P =D 'P =2，∴A 'E =2D 'P =4，∴EP ==∴1=2PH EP =112DH D H A P ''===，∴415AD AE EP PH DH =+++=+=+ ∴2AB A P '==，∴25)10ABCD S AB AD =⨯=⨯=矩形，【名师点睛】本题考查矩形的性质、折叠的性质，解题的关键是掌握矩形的性质、折叠的性质. 7．【答案】24【解析】∵四边形ABCD 是菱形， ∴AB =BC =CD =AD ，BO =DO ， ∵点E 是BC 的中点， ∴OE 是△BCD 的中位线， ∴CD =2OE =2×3=6，∴菱形ABCD 的周长=4×6=24； 故答案为：24．【名师点睛】本题考查了菱形的性质以及三角形中位线定理；熟记菱形性质与三角形中位线定理是解题的关键．8．【解析】（1）∵四边形ABCD是正方形，∴∠BAE=∠ADF=90°，AB=AD=CD，∵DE=CF，∴AE=DF，在△BAE和△ADF中，AB ADBAE ADF AE DF=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△BAE≌△ADF（SAS），∴BE=AF；（2）解：由（1）得：△BAE≌△ADF，∴∠EBA=∠FAD，∴∠GAE+∠AEG=90°，∴∠AGE=90°，∵AB=4，DE=1，∴AE=3，∴BE，在Rt△ABE中，12AB×AE=12BE×AG，∴AG=435⨯=125．【名师点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、正方形的性质、勾股定理以及三角形面积公式；熟练掌握正方形的性质，证明三角形全等是解题的关键．9．【解析】（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠B=∠D，AB=CD，AD∥BC，∵AE⊥BC，CF⊥AD，∴∠AEB=∠AEC=∠CFD=∠AFC=90°，在△ABE和△CDF中，B DAEB CFD AB CD∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABE≌△CDF（AAS）；（2）∵AD∥BC，∴∠EAF=∠AEB=90°，∴∠EAF=∠AEC=∠AFC=90°，∴四边形AECF是矩形．【名师点睛】本题考查了矩形的判定、平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质；熟练掌握平行四边形的性质和矩形的判定是解题的关键．10．【解析】∵四边形ABCD是菱形，∴AD=CD，在△ADF和△CDE中，AD CDD D DF DE=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ADF≌△CDE（SAS），∴∠1=∠2．【名师点睛】本题考查了菱形的性质、全等三角形的判定与性质；熟练掌握菱形的性质，证明三角形全等是解题的关键．11．【答案】见解析．【解析】∵四边形ABCD是矩形，∴∠D=∠B=90°，AD=BC，在△ADF和△CBE中，AD CBD B DF BE⎧=∠=∠=⎪⎨⎪⎩，∴△ADF≌△CBE（SAS），∴AF=CE．【名师点睛】本题考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质；熟练掌握矩形的性质，证明三角形全等是解题的关键．12．【答案】见解析．【解析】∵四边形ABCD中，AB=CD，AD=BC，∴四边形ABCD是平行四边形，∴AC=2AO，BD=2OD，∵OA=OD，∴AC=BD，∴四边形ABCD是矩形．【名师点睛】本题考查了平行四边形的性质和判定，矩形的判定等知识点，能由题中已知信息推出四边形ABCD是平行四边形是关键．13．【解析】（1）∵四边形EFGH是矩形，∴EH=FG，EH∥FG，∴∠GFH=∠EHF，∵∠BFG=180°﹣∠GFH，∠DHE=180°﹣∠EHF，∴∠BFG=∠DHE，∵四边形ABCD是菱形，∴AD∥BC，∴∠GBF=∠EDH，∴△BGF≌△DEH（AAS），∴BG=DE；（2）连接EG，∵四边形ABCD是菱形，∴AD=BC，AD∥BC，∵E为AD中点，∴AE=ED，∵BG=DE，∴AE=BG，AE∥BG，∴四边形ABGE是平行四边形，∴AB=EG，∵EG=FH=2，∴AB=2，∴菱形ABCD的周长=8．【名师点睛】本题考查了菱形的性质，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，正确的识别作图是解题的关键．。
初中数学重点梳理：平行四边形
平行四边形知识定位平行四边形在初中几何或者竞赛中占据非常大的地位，平行四边形是平面几何中最重要的图形，它的有关知识是今后我们学习特殊四边形、多边形乃至立体几何的重要基础。
平行四边形的证明性质以及应用，必须熟练掌握。
本节我们通过一些实例的求解，旨在介绍数学竞赛中平行四边形相关问题的常见题型及其求解方法本讲将通过例题来说明这些方法的运用。
知识梳理一．正确理解定义（1）定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形．平行四边形的定义揭示了图形的最本质的属性，它既是平行四边形的一条性质，又是一个判定方法．（2）表示方法：用“”表示平行四边形，例如：平行四边形ABCD记作 ABCD，读作“平行四边形ABCD”．2．熟练掌握性质平行四边形的有关性质和判定都是从边、角、对角线三个方面的特征进行简述的．（1）角：平行四边形的邻角互补，对角相等；（2）边：平行四边形两组对边分别平行且相等；（3）对角线：平行四边形的对角线互相平分；（4）面积：①S==⨯底高ah；②平行四边形的对角线将四边形分成4个面积相等的三角形．3．平行四边形的判别方法①定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形②方法1：两组对角分别相等的四边形是平行四边形③方法2：两组对边分别相等的四边形是平行四边形④方法3：对角线互相平分的四边形是平行四边形⑤方法4：一组平行且相等的四边形是平行四边形二．几种特殊四边形的有关概念（1）矩形：有一个角是直角的平行四边形是矩形，它是研究矩形的基础，它既可以看作是矩形的性质，也可以看作是矩形的判定方法，对于这个定义，要注意把握：①平行四边形；②一个角是直角，两者缺一不可．（2）菱形：有一组邻边相等的平行四边形是菱形，它是研究菱形的基础，它既可以看作是菱形的性质，也可以看作是菱形的判定方法，对于这个定义，要注意把握：①平行四边形；②一组邻边相等，两者缺一不可．（3）正方形：有一组邻边相等且有一个直角的平行四边形叫做正方形，它是最特殊的平行四边形，它既是平行四边形，还是菱形，也是矩形，它兼有这三者的特征，是一种非常完美的图形．（4）梯形：一组对边平行而另一组对边不平行的四边形叫做梯形，对于这个定义，要注意把握：①一组对边平行；②一组对边不平行，同时要注意和平行四边形定义的区别，还要注意腰、底、高等概念以及梯形的分类等问题．（5）等腰梯形：是一种特殊的梯形，它是两腰相等的梯形，特殊梯形还有直角梯形．2．几种特殊四边形的有关性质（1）矩形：①边：对边平行且相等；②角：对角相等、邻角互补；③对角线：对角线互相平分且相等；④对称性：轴对称图形（对边中点连线所在直线，2条）．（2）菱形：①边：四条边都相等；②角：对角相等、邻角互补；③对角线：对角线互相垂直平分且每条对角线平分每组对角；④对称性：轴对称图形（对角线所在直线，2条）．（3）正方形：①边：四条边都相等；②角：四角相等；③对角线：对角线互相垂直平分且相等，对角线与边的夹角为450；④对称性：轴对称图形（4条）．（4）等腰梯形：①边：上下底平行但不相等，两腰相等；②角：同一底边上的两个角相等；对角互补③对角线：对角线相等；④对称性：轴对称图形（上下底中点所在直线）．3．几种特殊四边形的判定方法（1）矩形的判定：满足下列条件之一的四边形是矩形①有一个角是直角的平行四边形；②对角线相等的平行四边形；③四个角都相等（2）菱形的判定：满足下列条件之一的四边形是矩形①有一组邻边相等的平行四边形；②对角线互相垂直的平行四边形；③四条边都相等．（3）正方形的判定：满足下列条件之一的四边形是正方形．①有一组邻边相等且有一个直角的平行四边形②有一组邻边相等的矩形；③对角线互相垂直的矩形．④有一个角是直角的菱形⑤对角线相等的菱形；（4）等腰梯形的判定：满足下列条件之一的梯形是等腰梯形①同一底两个底角相等的梯形；②对角线相等的梯形．4．几种特殊四边形的常用说理方法与解题思路分析（1）识别矩形的常用方法①先说明四边形ABCD为平行四边形，再说明平行四边形ABCD的任意一个角为直角．②先说明四边形ABCD为平行四边形，再说明平行四边形ABCD的对角线相等．③说明四边形ABCD的三个角是直角．（2）识别菱形的常用方法①先说明四边形ABCD为平行四边形，再说明平行四边形ABCD的任一组邻边相等．②先说明四边形ABCD为平行四边形，再说明对角线互相垂直．③ 说明四边形ABCD 的四条相等． （3）识别正方形的常用方法① 先说明四边形ABCD 为平行四边形，再说明平行四边形ABCD 的一个角为直角且有一组邻边相等．② 先说明四边形ABCD 为平行四边形，再说明对角线互相垂直且相等． ③ 先说明四边形ABCD 为矩形，再说明矩形的一组邻边相等．④ 先说明四边形ABCD 为菱形，再说明菱形ABCD 的一个角为直角． （4）识别等腰梯形的常用方法① 先说明四边形ABCD 为梯形，再说明两腰相等．② 先说明四边形ABCD 为梯形，再说明同一底上的两个内角相等． ③ 先说明四边形ABCD 为梯形，再说明对角线相等． 5．几种特殊四边形的面积问题① 设矩形ABCD 的两邻边长分别为a,b ，则S 矩形=ab ．② 设菱形ABCD 的一边长为a ，高为h ，则S 菱形=ah ；若菱形的两对角线的长分别为a,b ，则S 菱形=12ab ． ③ 设正方形ABCD 的一边长为a ，则S 正方形=2a ；若正方形的对角线的长为a ，则S 正方形=212a ． ④ 设梯形ABCD 的上底为a ，下底为b ，高为h ，则S 梯形=1()2a b h ．例题精讲【试题来源】 【题目】如图所示．在ABCD 中，AE ⊥BC ，CF ⊥AD ，DN=BM ．求证：EF 与MN 互相平分．【答案】如下解析【解析】 证明：因为ABCD 是平行四边形，所以ADBC ，ABCD ，∠B=∠D ．又AE ⊥BC ，CF ⊥AD ，所以AECF 是矩形，从而AE=CF．所以Rt△ABE≌Rt△CDF(HL，或AAS)，BE=DF．又由已知BM=DN，所以△BEM≌△DFN(SAS)，ME=NF．①又因为AF=CE，AM=CN，∠MAF=∠NCE，所以△MAF≌△NCE(SAS)，所以 MF=NF．②由①②，四边形ENFM是平行四边形，从而对角线EF与MN互相平分．【知识点】平行四边形【适用场合】当堂例题【难度系数】3【试题来源】【题目】如图2-33所示．Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于D，BG平分∠ABC，EF∥BC且交AC于F．求证：AE=CF．【答案】如下解析【解析】解：作GH⊥BC于H，连接EH．因为BG是∠ABH的平分线，GA⊥BA，所以GA=GH，从而△ABG≌△HBG(AAS)，所以 AB=HB．①在△ABE及△HBE中，∠ABE=∠CBE，BE=BE，所以△ABE≌△HBE(SAS)，所以 AE=EH，∠BEA=∠BEH．下面证明四边形EHCF是平行四边形．因为AD∥GH，所以∠AEG=∠BGH(内错角相等)．②又∠AEG=∠GEH(因为∠BEA=∠BEH，等角的补角相等)，∠AGB=∠BGH(全等三角形对应角相等)，所以∠AGB=∠GEH．从而EH∥AC(内错角相等，两直线平行)．由已知EF∥HC，所以EHCF是平行四边形，所以FC=EH=AE．【知识点】平行四边形【适用场合】当堂练习【难度系数】3【试题来源】【题目】如图2-34所示．ABCD中，DE⊥AB于E，BM=MC=DC．求证：∠EMC=3∠BEM．【答案】如下解析【解析】证明：延长EM交DC的延长线于F，连接DM．由于CM=BM，∠F=∠BEM，∠MCF=∠B，所以△MCF≌△MBE(AAS)，所以M是EF的中点．由于AB∥CD及DE⊥AB，所以，DE⊥FD，三角形DEF是直角三角形，DM为斜边的中线，由直角三角形斜边中线的性质知∠F=∠MDC，又由已知MC=CD，所以∠MDC=∠CMD，则∠MCF=∠MDC+∠CMD=2∠F．从而∠EMC=∠F+∠MCF=3∠F=3∠BEM【知识点】平行四边形【适用场合】当堂例题【难度系数】3【试题来源】【题目】如图2-35所示．矩形ABCD中，CE⊥BD于E，AF平分∠BAD交EC延长线于F．求证：CA=CF．【答案】如下解析【解析】解：延长DC交AF于H，显然∠FCH=∠DCE．又在Rt△BCD中，由于CE⊥BD，故∠DCE=∠DBC．因为矩形对角线相等，所以△DCB≌△CDA，从而∠DBC=∠CAD，因此，∠FCH=∠CAD．①又AG平分∠BAD=90°，所以△ABG是等腰直角三角形，从而易证△HCG也是等腰直角三角形，所以∠CHG=45°．由于∠CHG是△CHF的外角，所以∠CHG=∠CFH+∠FCH=45°，所以∠CFH=45°-∠FCH．②由①，②∠CFH=45°-∠CAD=∠CAF，于是在三角形CAF中，有CA=CF．【知识点】平行四边形【适用场合】当堂练习题【难度系数】3【试题来源】【题目】设正方形ABCD的边CD的中点为E，F是CE的中点(图2-36)．求证：【答案】如下解析【解析】解：如图作∠BAF的平分线AH交DC的延长线于H，则∠1=∠2=∠3，所以FA=FH．设正方形边长为a，在Rt△ADF中，所以 Rt△ABG≌Rt△HCG(AAS)，所以Rt△ABG≌Rt△ADE(SAS)，【知识点】平行四边形【适用场合】当堂例题【难度系数】4【试题来源】【题目】如图2-37所示．正方形ABCD中，在AD的延长线上取点E，F，使DE=AD，DF=BD，连接BF分别交CD，CE于H，G．求证：△GHD是等腰三角形．【答案】如下解析【解析】证明：因为DE BC，所以四边形BCED为平行四边形，所以∠1=∠4．又BD=FD，所以所以 BC=GC=CD．因此，△DCG为等腰三角形，且顶角∠DCG=45°，所以又所以∠HDG=∠GHD，从而GH=GD，即△GHD是等腰三角形．【知识点】平行四边形【适用场合】当堂练习题【难度系数】4【试题来源】【题目】如图，在矩形ABCD中，已知AD=12，AB=5，P是AD边上任意一点，PE⊥BD于E，PF ⊥AC于F，那么PE+PF的值为．【答案】60/13【解析】解：延长CD至M,使DM=CD,连接AM,过P作PN⊥AM,N为AM上的点.在△ACM中,AD⊥CM且CD=DM,则AD是△ACM的角平分线.则PF=PN.又在四边形ABDM中,AB平行等于DM.则为平行四边形.AM平行BD,故PE,PN在同一直线上.那么PE+PF=PE+PN=EN平行四边形ABDM面积S=ABxAD=BDxEN而BD=√(5x5+12x12)=13则EN=ABxAD/BD=5x12/13=60/13.【知识点】平行四边形【适用场合】当堂例题【难度系数】4【试题来源】【题目】如图，设P为等腰直角三角形ACB斜边AB上任意一点，PE⊥AC于点E，PF⊥BC于点F，PG⊥EF于G点，延长GP并在其延长线上取一点D，使得PD＝PC，求证：BC⊥BD，且BC=BD【答案】如下解析【解析】证明：∵PE⊥AC于E，PF⊥BC于F，∠ACB=90°，∴CEPF是矩形（三角都是直角的四边形是矩形），∴OP=OF，∠PEF+∠3=90°，∴∠1=∠3，∵PG⊥EF，∴∠PEF+∠2=90°，∴∠2=∠3，∴∠1=∠2，∵△ABC是等腰直角三角形，∴∠A=∠ABC=45°，∴∠APE=∠BPF=45°，∴∠APE+∠2=∠BPF+∠1，即∠APG=∠CPB，∵∠BPD=∠APG（对顶角相等），∴∠BPD=∠CPB，又∵PC=PD，PB是公共边，∴△PBC≌△PBD（SAS），∴BC=BD，∠PBC=∠PBD=45°，∴∠PBC+∠PBD=90°，即BC⊥BD．故证得：BC⊥BD，且BC=BD【知识点】平行四边形【适用场合】当堂练习题【难度系数】4【试题来源】【题目】如图，正方形ABCD外有一点P，P在BC外侧，并在平行线AB与CD之间，若PA=，PB=，PC=，则PD=（）【答案】2【解析】解：延长AB，DC，过P分作PE⊥AE，PF⊥DF，则CF=BE，AP2=AE2+EP2，BP2=BE2+PE2，DP2=DF2+PF2，CP2=CF2+FP2，∴AP2+CP2=CF2+FP2+AE2+EP2，DP2+BP2=DF2+PF2+BE2+PE2，即AP2+CP2=DP2+BP2，代入AP，BP，CP得DP==2，【知识点】平行四边形【适用场合】当堂例题【难度系数】3【试题来源】【题目】如图，在△ADC中，∠BAC=90°，AD⊥BC，BE、AF分别是∠ABC、∠DAC的平分线，BE 和AD交于G，求证：GF∥AC．【答案】如下解析【解析】证明：连接EF．∵∠BAC=90°，AD⊥BC．∴∠C+∠ABC=90°，∠C+∠DAC=90°，∠ABC+∠BAD=90°．∴∠ABC=∠DAC，∠BAD=∠C．∵BE、AF分别是∠ABC、∠DAC的平分线．∴∠ABG=∠EBD．∵∠AGE=∠GAB+∠GBA，∠AEG=∠C+∠EBD，∴∠AGE=∠AEG，∴AG=AE，∵AF是∠DAC的平分线，∴AO⊥BE，GO=EO，∵∴△ABO≌△FBO，∴AO=FO，∴四边形AGFE是平行四边形，∴GF∥AE，即GF∥AC．【知识点】平行四边形【适用场合】当堂练习题【难度系数】4习题演练【试题来源】【题目】如图，在等腰三角形ABC中，延长AB到点D，延长CA到点E，且AE=BD，连接DE．如果AD=BC=CE=DE，求∠BAC的度数．【答案】100°【解析】解：过D作DF∥BC，且使DF=BC，连CF、EF，则四边形BDFC是平行四边形，∴BD=CF，DA∥FC，∴∠EAD=∠ECF，∵AD=CE，AE=BD=CF，∴△ADE≌△CEF（SAS）∴ED=EF，∵ED=BC，BC=DF，∴ED=EF=DF∴△DEF为等边三角形设∠BAC=x°，则∠ADF=∠ABC=，∴∠DAE=180°﹣x°，∴∠ADE=180°﹣2∠DAE=180°﹣2（180°﹣x°）=2x°﹣180°，∵∠ADF+∠ADE=∠EDF=60°∴+（2x°﹣180°）=60°∴x=100．∴∠BAC=100°．【知识点】平行四边形【适用场合】随堂课后练习【难度系数】5【试题来源】【题目】如图所示，在Rt△ABC中，AB=AC，∠A=90°，点D为BC上任一点，DF⊥AB于F，DE ⊥AC于E，M为BC的中点，试判断△MEF是什么形状的三角形，并证明你的结论【答案】如下解析【解析】解：△MEF是等腰直角三角形．证明如下：连接AM，∵M是BC的中点，∠BAC=90°，AB=AC，∴AM=BC=BM，AM平分∠BAC．∵∠MAC=∠MAB=∠BAC=45°．∵AB⊥AC，DE⊥AC，DF⊥AB，∴DE∥AB，DF∥AC．∵∠BAC=90°，∴四边形DFAE为矩形．∴DF=AE．∵DF⊥BF，∠B=45°．∴∠BDF=∠B=45°．∴BF=FD，∠B=∠MAE=45°，∴AE=BF．∵AM=BM∴△AEM≌△BFM（SAS）．∴EM=FM，∠AME=∠BMF．∵∠AMF+∠BMF=90°，∴∠AME+∠AMF=∠EMF=90°，∴△MEF是等腰直角三角形．【知识点】平行四边形【适用场合】随堂课后练习【难度系数】3【试题来源】【题目】如图，在锐角△ABC中，AD、CE分别是BC、AB边上的高，AD、CE相交于F，BF的中点为P，AC的中点为Q，连接PQ、DE．（1）求证：直线PQ是线段DE的垂直平分线；（2）如果△ABC是钝角三角形，∠BAC＞90°，那么上述结论是否成立？请按钝角三角形改写原题，画出相应的图形，并给予必要的说明．【答案】如下解析【解析】解：（1）证明：连接PD、PE、QD、QE．因为CE⊥AB，P是BF的中点，所以△BEF是直角三角形，且PE是Rt△BEF斜边的中线，所以PE=BF．又因为AD⊥BC，所以△BDF是直角三角形，且PD是Rt△BDF斜边的中线，所以PD=BF=PE，所以点P在线段DE的垂直平分线上．同理可证，QD、QE分别是Rt△ADC和Rt△AEC斜边上的中线，所以QD=AC=QE，所以点Q也在线段DE的垂直平分线上所以直线PQ垂直平分线段DE．（2）当△ABC为钝角三角形时，（1）中的结论仍成立．如图，△ABC是钝角三角形，∠BAC＞90°．原题改写为：如图，在钝角△ABC中，AD、CE分别是BC、AB边上的高，DA与CE的延长线交于点F，BF的中点为P，AC的中点为Q，连接PQ、DE．求证：直线PQ垂直且平分线段DE．证明：连接PD，PE，QD，QE，则PD、PE分别Rt△BDF和Rt△BEF的中线，所以PD=BF，PE=BF，所以PD=PE，点P在线段DE的垂直平分线上．同理可证QD=QE，所以点Q在线段DE的垂直平分线上．所以直线PQ垂直平分线段DE．【知识点】平行四边形【适用场合】随堂课后练习【难度系数】4【试题来源】【题目】如图，在△ABC中，∠C=90°，点M在BC上，且BM=AC，N在AC上，且AN=MC，AM 与BN相交于P，求证：∠BPM=45°．【答案】如下解析【解析】解：如图，过M作ME∥AN，使ME=AN，连NE，BE，则四边形AMEN为平行四边形，∴NE=AM，ME⊥BC，∵ME=AN=CM，∠EMB=∠MCA=90°，BM=AC，∴△BEM≌△AMC，得BE=AM=NE，∠1=∠2，∠3=∠4，∵∠1+∠3=90°，∴∠2+∠4=90°且BE=NE，∴△BEN为等腰直角三角形，∠BNE=45°，∵AM∥NE，∴∠BPM=∠BNE=45°【知识点】平行四边形【适用场合】随堂课后练习【难度系数】3。
平行四边形证明方法
平行四边形证明方法平行四边形是初中数学中的一个重要概念，它在几何学中有着广泛的应用。
在学习平行四边形的过程中，我们需要掌握它的性质和证明方法。
本文将介绍平行四边形的证明方法，希望能够帮助大家更好地理解和掌握这一知识点。
首先，我们来看平行四边形的定义。
平行四边形是指具有两对对边分别平行的四边形。
根据这个定义，我们可以得出平行四边形的性质，对边相等、对角相等、对角线互相平分等等。
接下来，我们将介绍平行四边形的证明方法。
证明一，对边相等。
对于一个平行四边形ABCD，我们需要证明其对边AB与CD相等。
我们可以通过以下步骤进行证明：1. 连接AC和BD两条对角线，我们可以得到两个三角形ABC和ADC。
2. 由于AB与CD平行，所以∠ABC = ∠ADC（同位角）。
3. 又因为AB与CD平行，所以∠BAC = ∠CDA（同位角）。
4. 根据等腰三角形的性质，我们可以得出AB = BC，CD = DA。
5. 综合以上步骤，我们可以得出结论，平行四边形ABCD的对边AB与CD相等。
证明二，对角相等。
对于一个平行四边形ABCD，我们需要证明其对角∠A与∠C相等。
我们可以通过以下步骤进行证明：1. 连接AC和BD两条对角线，我们可以得到两个三角形ABC和ADC。
2. 由于AB与CD平行，所以∠ABC = ∠ADC（同位角）。
3. 又因为AB与CD平行，所以∠BAC = ∠CDA（同位角）。
4. 根据三角形内角和定理，我们可以得出∠A + ∠B + ∠C = 180°，∠C + ∠D + ∠A = 180°。
5. 综合以上步骤，我们可以得出结论，平行四边形ABCD的对角∠A与∠C相等。
证明三，对角线互相平分。
对于一个平行四边形ABCD，我们需要证明其对角线AC和BD互相平分。
我们可以通过以下步骤进行证明：1. 连接AC和BD两条对角线，我们可以得到四个三角形ABC、ACD、BCD和ABD。
2. 由于AB与CD平行，所以∠ABC = ∠ADC（同位角）。
人教版平行四边形和梯形课堂笔记
人教版平行四边形和梯形课堂笔记1. 介绍在本篇文章中，我将针对人教版中学数学课本中的平行四边形和梯形这一主题展开深入探讨。
通过对这两个几何形状的深度评估，我将撰写一篇有价值的文章，帮助您更好地理解这些概念。
2. 平行四边形让我们来了解什么是平行四边形。
平行四边形指的是具有两组对边分别平行的四边形。
在人教版数学课本中，对平行四边形的定义和性质进行了详细的介绍。
平行四边形的特点包括但不限于：对边平行、对角相等、对边相等等。
通过对这些性质的理解，我们可以更好地把握平行四边形的本质，并在实际问题中运用这些性质。
3. 平行四边形的应用让我们探讨平行四边形在日常生活和实际问题中的应用。
在建筑设计中，平行四边形的性质和特点常常被应用到房屋的结构设计中；在工程测量中，我们也可以看到平行四边形的应用。
通过对这些实际问题的讨论，我们可以更好地理解平行四边形的重要性和实用性。
4. 梯形接下来，让我们转向梯形这一几何形状。
在人教版数学课本中，梯形的定义和性质同样得到了详细的介绍。
梯形是指至少一组对边平行的四边形，人教版数学课本对其性质进行了系统的阐述。
通过对这些性质的学习，我们可以更好地理解梯形的结构和特点。
5. 梯形的应用我们来探讨梯形在实际应用中的意义和应用。
在地理测量中，梯形的性质常常被用来计算地块的面积；在建筑设计中，梯形的结构也有着重要的应用。
通过这些实际案例的讨论，我们可以更好地理解梯形在现实生活中的重要性和实际应用。
6. 总结与展望通过对人教版数学课本中平行四边形和梯形的深入学习，我们对这两个几何形状有了更深入的理解和掌握。
在实际问题中，我们可以运用这些知识，解决各种与平行四边形和梯形相关的实际问题。
我们也应该继续深入学习其他几何形状的知识，拓展我们的数学视野。
7. 个人观点和理解在学习平行四边形和梯形的过程中，我深刻体会到几何知识在实际生活中的重要性。
通过深入学习和实际应用，我对这些几何形状有了更加全面和深入的理解，也增强了我在解决实际问题中的能力和信心。
初中数学知识归纳平行四边形的计算与应用的应用
初中数学知识归纳平行四边形的计算与应用的应用平行四边形是初中数学中的重要概念之一，它具有许多独特的性质和应用。
在本文中，我们将归纳平行四边形的计算与应用，并探讨如何在实际问题中应用这些知识。
无论是计算平行四边形的面积、周长，还是解决相关的应用题，掌握这些概念和方法都对我们的数学学习和日常生活有着重要的帮助。
1. 平行四边形的性质平行四边形有很多独特的性质和特点，其中最为重要的是两组对边平行和对角线互相平分。
这些性质使得我们在计算平行四边形的面积和周长时能够简化计算过程，同时也为解决实际问题提供了便利。
2. 平行四边形的计算计算平行四边形的面积和周长是初中数学中常见的题型之一。
对于已知边长和高的平行四边形，我们可以直接利用公式进行计算。
而对于未知边长或已知角度的平行四边形，我们可以通过分解成矩形或三角形来计算。
通过合理地利用平行四边形的性质，我们可以简化计算过程，提高解题效率。
3. 平行四边形的应用平行四边形在实际问题中有着广泛的应用。
例如，在日常生活中，我们常常会遇到顶棚、地板、墙面等呈平行四边形的情况。
我们可以通过计算平行四边形的面积和周长，来估算所需的材料用量，从而避免资源的浪费。
此外，平行四边形的性质还能应用于建筑设计、地图测量等领域，帮助我们解决各种实际问题。
4. 实例分析为了更好地理解平行四边形的计算与应用，让我们来看几个实例。
假设我们要铺设一块地板，其形状为平行四边形。
已知两条对边的长度分别为8米和12米，夹角为60度，求地板的面积和周长。
首先，我们可以利用已知的边长和夹角计算出另外两条边的长度，然后再利用面积和周长的公式进行计算。
通过这个实例，我们可以进一步加深对平行四边形计算与应用的理解。
5. 总结通过对初中数学中平行四边形的计算与应用进行归纳，我们了解到平行四边形具有对边平行和对角线互相平分的性质，这些性质为计算平行四边形的面积和周长提供了便利。
同时，平行四边形在实际问题中有着重要的应用价值，可以帮助我们解决各种实际问题。
初中数学点知识归纳平行四边形的面积和周长计算
初中数学点知识归纳平行四边形的面积和周长计算初中数学点知识归纳：平行四边形的面积和周长计算平行四边形是初中数学中重要的图形之一，掌握计算平行四边形的面积和周长方法对于解题和应用数学习题具有重要意义。
本文将对如何计算平行四边形的面积和周长进行归纳总结，帮助读者更好地理解和掌握这一知识点。
一、平行四边形的定义平行四边形是具有相对边平行关系的四边形，其相对边两两平行，并且相对边对应的角相等。
平行四边形的特点使得我们可以运用一些特定方法来计算其面积和周长。
二、平行四边形的面积计算计算平行四边形的面积通常有两种方法：基本公式法和向量法。
下面我们将分别介绍这两种方法的具体步骤。
1. 基本公式法基本公式法利用平行四边形的底边长度和高的关系来计算面积。
具体计算步骤如下：（1）首先，找出平行四边形的底边和高。
底边可以是任意一条边，高则是从底边到与之平行的相邻边的垂直距离。
（2）使用公式：面积= 底边长度×高。
将底边长度和高代入公式，并进行乘积运算，就可以得到平行四边形的面积。
2. 向量法向量法利用平行四边形的两条邻边的向量来计算面积。
具体计算步骤如下：（1）找出平行四边形的两条邻边，并确定其向量表示。
（2）计算两条邻边向量的叉积，得到的结果就是平行四边形的面积。
需要注意的是，向量法计算的结果可能为负值，因此在计算后需要取绝对值。
三、平行四边形的周长计算计算平行四边形的周长需要知道平行四边形的边长。
对于不规则的平行四边形，可以通过计算四条边之和来得到周长。
而对于具有特殊规律的平行四边形，如矩形和正方形，可以直接利用其特殊性质进行计算。
1. 不规则平行四边形的周长计算对于不规则平行四边形，周长可以通过计算四条边之和得到。
具体计算步骤如下：（1）找出平行四边形的四条边，并确定其长度。
（2）将四条边的长度进行求和，得到的结果就是平行四边形的周长。
2. 矩形和正方形的周长计算矩形和正方形是一种特殊的平行四边形，其特点是相邻边相等且平行。
平行四边形的认识
平行四边形的认识平行四边形，顾名思义，是指四边形的对边是平行的。
它是数学中几何学的基本概念之一，也是初中数学中的重要内容。
平行四边形在生活中随处可见，比如拼装积木的构件、街道的路牌等，因此了解平行四边形的性质和应用非常重要。
要想深入了解平行四边形，首先必须明确它的定义。
平行四边形是指四边形的对边是平行的四边形。
如下图所示，AB和CD是平行四边形的对边，BC和AD，AB和CD，AC和BD 是平行四边形的对边，ABCD是一个平行四边形。
1. 对角线的长度相等平行四边形的两条对角线相交于一点O，那么对角线AO和CO的长度相等，对角线BO和DO的长度相等。
如下图所示：这是因为平行四边形的对边是平行的，所以每个三角形的底角和顶角相等，而底边和斜边之间的夹角也相等，所以所示出的两个三角形是相等的，因此对角线上的线段长度相等。
2. 对角线互相平分平行四边形的两条对角线共同平分对角线上的所有点。
如下图所示：通过线性运算（即前面的元素乘以常数再加上后面的元素），可以证明对角线上的点在对角线上的比例相等，也就是说，每个点都被对角线平分。
3. 相邻两边互补平行四边形中，相邻的两边互补（即和为180度）。
如下图所示：证明这个性质比较简单，主要是利用了平行四边形的性质，从而证明相邻两边互补。
4. 直角平行四边形的性质如果平行四边形的其中一个内角是直角，那么这个平行四边形就是直角平行四边形。
直角平行四边形的性质如下：（3）它的两个邻边互质（其中一个内角是直角）。
如下图所示：通过对直角平行四边形的分析可以发现，其它几何图形也存在类似的性质。
例如，正方形就是一种特殊的矩形，矩形是一种特殊的平行四边形，因此在学习这些几何概念时，需要注重它们之间的联系和区别。
1. 计算面积平行四边形的面积可以通过底边和高求得。
底边和高分别是平行四边形的一条边和它垂直的直线段之间的距离。
计算公式为：S=底边×高2. 解决几何问题平行四边形的性质在解决几何问题中经常被用到。
平行四边形的笔记
平行四边形的笔记
摘要：
1.平行四边形的定义与性质
2.平行四边形的分类
3.平行四边形的应用
正文：
一、平行四边形的定义与性质
平行四边形是指四边形中的一种，其中对边两两平行。
根据这个定义，我们可以得知平行四边形具有以下性质：
1.对边平行且相等：平行四边形的对边分别平行且长度相等。
2.对角线互相平分：平行四边形的两条对角线互相平分，且长度相等。
3.相邻角互补：平行四边形的相邻角之和为180 度。
4.对角线之间的角相等：平行四边形的对角线之间的角互相补角，且相等。
二、平行四边形的分类
根据不同的分类标准，平行四边形可以被分为不同的类型。
以下是常见的几种分类方式：
1.根据边的长度分类：等边平行四边形（四条边长度相等）、矩形（两组相邻边长度相等）、菱形（四条边长度相等且对角线相等）。
2.根据角的大小分类：矩形（四个角都是直角）、菱形（四个角都是锐角或钝角）、一般平行四边形（四个角可以是任意大小）。
3.根据对角线的性质分类：矩形（对角线相等且互相垂直）、菱形（对角线
相等且互相垂直）、一般平行四边形（对角线可以不相等，也可以不互相垂直）。
三、平行四边形的应用
平行四边形在实际生活中有着广泛的应用，例如：
1.建筑设计：在建筑设计中，矩形和菱形常常被用于构建房屋的结构，因为它们具有稳定的性质。
2.计算机图形学：在计算机图形学中，平行四边形常用于表示物体的表面，因为它们可以方便地进行计算和变换。
3.数学研究：平行四边形在数学中有着广泛的应用，例如用于解决几何问题、计算面积和周长等。
综上所述，平行四边形是一种具有丰富性质和应用的四边形。
初中数学四边形知识点复习汇总
中考四边形及三角形复习要求是，能运用这些图形进展镶嵌，你必需会计算特殊的，能依据图形的条件把四边形面积等分。
可以对初中数学特殊四边形的断定方法及联络深入理解。
驾驭平行四边形、矩形、菱形、正方形、等腰梯形的概念、性质和常用判别方法，特殊是梯形添加协助线的常用方法．驾驭三角形中位线和梯形中位线性质的推导和应用。
会画出四边形全等变换后的图形，会结合相关的学问解题．结合几何中的其他学问解答一些有探究性、开放性的问题，进步解决问题的实力·〔一〕、平行四边形的定义、性质及断定．1：两组对边平行的四边形是平行四边形．2．性质：(1)平行四边形的对边相等且平行；(2)平行四边形的对角相等，邻角互补；(3)平行四边形的对角线相互平分．3．断定：(1)两组对边分别平行的四边形是平行四边形：(2)两组对边分别相等的四边形是平行四边形；(3)一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；(4)两组对角分别相等的四边形是平行四边形：(5)对角线相互平分的四边形是平行四边形．4·对称性：平行四边形是中心对称图形．〔二〕、矩形的定义、性质及断定．1-定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形．2·性质：矩形的四个角都是直角，矩形的对角线相等3．断定：(1)有一个角是直角的平行四边形叫做矩形；(2)有三个角是直角的四边形是矩形：(3)两条对角线相等的平行四边形是矩形．4·对称性：矩形是轴对称图形也是中心对称图形．〔三〕、菱形的定义、性质及断定．1·定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形．(1)菱形的四条边都相等；。
(2)菱形的对角线相互垂直，并且每一条对角线平分一组对角(3)菱形被两条对角线分成四个全等的直角三角形．(4)菱形的面积等于两条对角线长的积的一半：s菱=争6(n、6分别为对角线长)．3．断定：(1)有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形(2)四条边都相等的四边形是菱形；(3)对角线相互垂直的平行四边形是菱形．4．对称性：菱形是轴对称图形也是中心对称图形．〔四〕、正方形定义、性质及断定．'1．定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形．2．性质：(1)正方形四个角都是直角，四条边都相等；(2)正方形的两条对角线相等，并且相互垂直平分，每条对角线平分一组对角；(3)正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形；(4)正方形的对角线及边的夹角是45。
平行四边形的笔记
平行四边形的笔记平行四边形是一种特殊的四边形，它有着许多有趣的性质和特点。
在几何学中，平行四边形是指有两对对边分别平行的四边形。
下面我将为大家分享一些关于平行四边形的笔记。
首先，平行四边形的特点是它的对边是平行的。
这意味着无论对边有多长，它们始终保持着相同的方向。
这也是为什么它被称为“平行四边形”的原因。
其次，平行四边形的对边长度相等。
这意味着对边之间的距离是相等的。
这一特点使得平行四边形在建筑和设计中非常有用，可以用于创建平行的墙壁或地板。
平行四边形还有一个有趣的性质，就是它的对角线互相平分。
对角线是连接平行四边形的相对顶点的线段。
由于平行四边形的对边平行，并且对角线可以交叉，所以对角线必然会相互平分。
此外，平行四边形的内角之和为360度。
这意味着平行四边形的四个内角之和始终保持为360度。
这一性质在解决平行四边形的问题时非常有用，可以帮助我们计算、推理和解决各种几何问题。
在实际应用中，平行四边形也有很多用途。
在建筑和工程中，平行四边形的性质可以用于确定建筑物的结构和布局。
在艺术和设计中，平行四边形可以用于创造不同的空间感和视觉效果。
总结起来，平行四边形是一种具有特殊性质和用途的四边形。
它的对边平行、对边长度相等、对角线互相平分以及内角之和为360度，使得它在几何学和实际应用中都有着广泛的应用。
了解平行四边形的性质和特点，有助于我们更好地理解和应用几何学的知识。
希望这篇笔记能对你有所帮助，让你更好地了解和掌握平行四边形的知识。
记住，几何学是一个非常有趣和实用的学科，通过学习几何学的基本概念和性质，我们可以更好地理解和解决与空间和形状相关的问题。
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初中数学—平行四边形
1．正方形具有而菱形不一定具有的特征有（）
A．对角线互相垂直平分 B．内角和为360°
C．对角线相等 D．对角线平分内角
2．平行四边形的一边长是10cm，那么它的两条对角线的长度可能是（）
A．8cm和12cm B．8cm和14cm C．6cm和10cm D．6cm和28cm
3．一个正方形的对角线长为2cm，则它的面积是（）
A．2cm2 B．4cm2 C．6cm2 D．8cm2
4．若矩形的一条对角线与一边的夹角是40°，•则两条对角线所夹的锐角的度数为（）
A．80° B．60° C．45° D．40°
5．已知菱形的周长为9.6cm，两个邻角的比是1：2，这个菱形较短的对角线的长是（）
A．2.1cm B．2.2cm C．2.3cm D．2.4cm
6．正方形ABCD内有一点E，且△ABE为等边三角形，则∠DCE为（）
A．15° B．18° C．22.5° D．30°
7．如图，在正方形ABCD中，CE=MN，∠BCE=40°，则∠ANM等于（）
A．70° B．60° C．50° D．40°
8．如图所示，矩形ABCD中，AB=1/2AD，E为BC上的一点，且AE=AD，则∠EDC的度数是（• ）A．30° B．75° C．45° D．15°
9．在Rt△ABC中，∠C=Rt∠，AC=3√3，BC=1，则AB上的中线长为（）
A．3 B．1.5 C．√7 D．9
10．下列四边形中既是轴对称图形，又是中心对称图形
A．梯形 B．等腰梯形 C．平行四边形 D．矩形
11.能够判定一个四边形是矩形的条件是（）。
A.对角线互相平分且相等
B.对角线互相垂直平分
C. 对角线相等且互相垂直
D.对角线互相垂直
12.如图3，菱形ABCD中对角线相交于点O，且OE⊥AB，若AC=8，BD=6，则OE的长是（）
A.2.5
B.5
C. 2.4
D.不清楚
13.如图，在平行四边形ABCD中，下列结论中错误的是
A.∠1=∠2
B.∠BAD=∠BCD
C. AB=CD
D.AC⊥BD
14.矩形一个角的平分线分矩形一边为1cm和3cm两部分，则这个矩形的面积为（）
A.3cm2
B. 4cm2
C. 12cm2
D. 4cm2或12cm2
15.下面说法正确的是( )
A.一组对边相等且平行的四边形是平行四边形
B.有两边相等的四边形是平行四边形.
C.四个全等的三角形一定可组成一个平行四边形
D.一组对边平行,另一组相等的四边形是平行四边形
16.一矩形两对角线之间的夹角有一个是600, 且这角所对的边长5cm,则对角线长为( )
A. 5 cm
B. 10cm
C. 5√2cm
D. 无法确定
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1．已知正方形的边长为4cm，则其对角线长是（）
A．8cm B．16cm C．32cm D．4√2cm
2．下列命题中，错误的是（）
A．有一个角是直角的菱形是正方形B．三个角相等的四边形是矩形
C．矩形的对角线互相平分且相等 D．菱形的对角线互相垂直平分
3．对角线互相垂直且相等的四边形一定是（）
A．正方形B．矩形C．菱形D．以上均不对
4．在等腰梯形中，下列说法：
①两腰相等；②两底平行；③对角线相等；④同一底上的两底角相等，
其中正确的有
A．1个B．2个C．3个D．4个
5．连接等腰梯形各边中点所得四边形是（）
A．梯形B．矩形 C．菱形D．正方形
6．一组对边相等，另一组对边平行的四边形是（）
A．梯形B．等腰梯形 C．平行四边形D．等腰梯形或平行四边形
7、若三角形三边的比是4︰5︰6，其周长为60㎝，那么三角形中最长的中位线是（）
A、15㎝
B、12㎝
C、10㎝
D、8㎝
8、下列条件中能判定四边形ABCD是平行四边形的是
A、∠A=∠B，∠C=∠D
B、AB=AD，BC=BD
C、AB∥CD，AD=BC
D、AB=CD，AD=BC
1.平行四边形ABCD中，∠A=50°，AB=30cm，则∠B=__ __，DC=__ __
2.菱形的两条对角线分别长10cm，24cm，则菱形的边长为__ ___ cm，面积为__ ____ cm2．
3.矩形ABCD的周长为40㎝，O是它的对角线交点，⊿AOB比⊿AOD周长多4㎝，则它的各边之长为
4．已知平行四边形ABCD的周长是28cm，CD-AD=2cm，那么AB=______cm，BC=______cm．5．若矩形的对角线交点到两邻边的距离差为4cm，周长56cm，则这个矩形的两邻边长分别为_______和_______cm．
6．矩形的周长是22cm，相邻两边的差是1cm，那么这个矩形的面积是______cm2．
7．矩形的两条对角线把矩形分成______个等腰三角形．
8．菱形两对角线长分别为24cm和10cm，则菱形的高为________cm．
9．已知正方形的边长为a，则正方形内任意一点到四边的距离之和为_____．
10．梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=60°，∠C=75°，那么∠A=_______，∠D=_______．11．等腰梯形ABCD的一个角是55°，则其他三个角的度数分别为_______．
12．等腰梯形两底之差为12cm，高为6cm，则其锐角底角为度．
13．梯形的中位线长为10cm被一条对角线分成两条线段的差为3cm，则梯形的两底长分别为
14、写出“等腰三角形两腰上的中线相等”的逆命题。
15、在□ABCD中，AB＝3，BC＝5，AC＝4，则AD，BC间的距离等于____。
16、在平行四边形ABCD中，若∠A+∠C=120°，则∠A=__，
17、已知平行四边形的两邻边比为2︰3，周长为20cm，则这个平行四边形的较长边为
cm。
18、矩形的两条对角线的夹角为600,较短的边长为12cm,则对角线的长为__________cm.
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1、如图，已知□ABCD 中，AE 平分∠BAD ，CF 平分∠BCD ，分别交BC 、AD 于E 、F . 求证：
AF=EC
2、已知：如图，ABC ∆中，︒=∠90ACB ，点D 、E 分别是AC 、AB 的中点，点F 在BC 的延长线上，且A CDF ∠=∠. 求证：四边形DECF 是平行四边形.
3.如图12，已知四边形ABCD 是平行四边形，∠BCD 的平分线CF 交边AB 于F ，∠ADC 的平分线DG 交边AB 于G .试问：线段AF 与GB 相等吗？ 为什么？
4.如图24，在矩形ABCD 中，P 是形内一点，且PA ＝PD .求证:PB ＝PC .
5.如图,在Rt △ABC 中,∠ACB=90°,AD 是∠A 的平分线,CH 是高,AD,CH 相交于点F,DE ⊥AB,垂足是E.求证:四边形CDEF 是菱形.
6．如图，P 是正方形ABCD 对角线BD 上一点，PE ⊥DC ，PF ⊥BC ，E ，F 分别是垂足，求证：AP=EF ．
7.如图，正方形ABCD 的对角线AC 、BD 交于点O ，∠OCF ＝∠OBE ．
求证：OE ＝OF
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8、如图，在□ABCD中，点E，F在AC上，且AF=CE，点G，H分别在AB，CD上，且AG=CH，AC与GH相交于O。
求证：（1）EG∥FH（2）GH、EF互相平分
9．如图，△ABC是等边三角形，D，E分别是BC，CA边上的点，且BD＝CE，以AD为边作等边三角形ADF，使点F位于AB的同侧．求证：∠EFD＝∠EBD．
10．如图，以△ABC的三边为边，在BC的同侧分别作三个等边三角形，•即△ABD，△BCE，△ACF．
（1）求证：四边形ADEF是平行四边形．
（2）在△ABC满足什么条件时，□ADEF是矩形？
（3）对于任意△ABC，□ ADEF是否总存在？
11.在平面直角坐标系中，有点A（0，4）、B（9，4）、C（12，0）。
已知点P从点A出发沿AB路线向点B运动，点Q从点C出发沿CO路线向点O运动，运动速度都是每秒一个单位长度，运动时间为t秒。
（1）当四边形AQCB是平行四边形时，求t值。
（2）连接PQ，当四边形APQO是矩形时，求t值。