一种采用分数阶导数的新流变模型理论_张为民

b. Abel 粘壶, 以[ A] 表示. 将式( 1) 用于应变, 得到 Abel 粘壶的本构关系, 松弛模量和蠕变
柔量:
本构方程: R = DGC[ E( t ) ] = GIC( t ) * d E.
( 8)
松弛模量: E ( t ) = GIC( t ) * d[ H( t ) ] = G/ [ #( 1- C) t C] .
[ 摘要] 提出了一种采用分数阶导数的新流变模 型理论, 它将分数 微积分理 论和经典 模型理论 的方法统 一起
来, 使得模型的物理概念更明确. 使已有分散的分数阶导数模型工作系 统化, 使问题的解 法系统化. 它克服 了经
典模型理论与实验结果吻合不好的严重缺点, 仅采用很少几个元件组合 就可获得很好的 效果. 利用这种模 型理
Fig1 Relaxat ion modulus of Abel model( G= 1, C= 0. 1~ 0. 9) Fig2 Creep Compliance of Abel model( G= 1, C= 0. 1~ 0. 9)
Abel 粘壶的本构关系是应力和应变的分数导数成正比. 其松弛模量 E( t ) 是从无穷大按负 分数幂律 tC 松弛到零的( 图 1) , D( t ) 按正分数幂律 tC 增长( 图 2) . 对于不同材料, 可调整参数 C, G 以拟合材料的实验结果, 它更接近于真实材料的表现. 与此相对比, Newton 粘壶是一种理
A New Rheological Model Theory with Fractional Order Derivatives
ZHAN G Wei min ( Department of Architectural Engineering, , Xiangtang University, X iangtang, 411105, China)
1. 2 分数阶导数的积分变换
Laplace 变换和逆变换:
Q]
f * ( p ) = Lf ( t ) = f ( t ) e- pt dt ,
0-
Re( p ) > p 0.
Q f ( t) =
L- 1f * ( p ) =
1 2 Pi
c+ i ]
f * ( p ) ept dp , t >
c- i ]
1 分数阶导数与 Abel 模型
经典模型理论具有直观易懂、物理概念清晰的优点, 其缺点是在蠕变和松弛的初期与实验
数据不能很好吻合. 下面提出的采用分数阶导数的流变模型理论保留了经典模型理论的优点,
克服了其缺点. 少数几个元件的串联和并联的组合就可以与实验结果很好吻合. 下面将看到,
采用分数阶导数的流变模型理论实质上就是用 Abel 体取代在经典模型理论中的 Newton 粘性
第 23 卷 第 1 期 2001 年 3 月
湘潭大学自然科学学报 Natural Science Journal of Xiangtan University
Vol. 23 No. 1 Mar . 2001
一种采用分数阶导数的新流变模型理论X
张为民
( 湘潭大学建筑工程系, 湖南 湘潭 411105)
本构方程: R = ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ ( E) = EE.
( 5)
松弛模量: E( t ) = f [ H( t ) ] = EH( t ) .
( 6)
蠕变柔量:
D ( t ) = f - 1[ H( t ) ] = ( 1/ E) H( t ) .
( 7)
式( 5) 、( 6) 、( 7) 中的第二个等式是线性弹簧的情形. 下面只给出线性弹簧的结果.
X 收稿日期: 2000 08 23 基金项目: 国家自然科学基金资助项目( 19772045) 作者简介: 张为民( 1968 ) , 男, 湖南 醴陵人, 讲师 硕士生.
第1期
张为民 一种采用分数阶 导数的新流变模型理论
31
从 Mandelbrot B B 发表分形学说以来, 有人证明高分子链是分形结构, 而 Bagley 等人从分子理 论的角度指出了分数阶导数模型的有效性. 这使人猜想, 分数微积分是否能成为描述分数维空 间的有力工具呢. 采用分数微积分来描述具有分形结构物体的本构关系这一新思路在国际上 也属起步阶段. 本文提出的采用分数阶导数的新流变模型理论将分数微积分理论和经典模型 理论的方法统一起来, 使得模型的物理概念更明确, 使已有分散的分数阶导数模型工作系统 化, 使问题的解法系统化. 求解中我们首次发现, 出处完全不同、结果貌似相异的、与实验吻合 较好的四参数分数微积分模型和 Rabotnov[ 6] 模型原来是等价的, 它们只是表达形式不同而已 ( 见第 2 节和附录) .
c. 摩擦件, 以[ V] 表示. 它服从 St. Venant 定律:
R= Rs.
Rs 为屈服应力.
( 12)
2. 2 模型的串联与并联
设 R1= F ( D C) E1,
R2= F( D C) E2.
( 13)
当两个模型并联时( 记为| ) 本构方程为:
R = R1 + R2,
32
湘潭大学自然科学学报
2001 年
2 采用分数阶导数的流变模型理论
采用分数阶导数的流变模型理论是以非线性弹簧、Abel 粘壶、摩擦件为基本元件. 下面只
给出一维单向应力状态的结果. 符号作适当改变, 同样适用于三维畸变方程和体变方程.
2. 1 基本元件
a. 非线性弹簧, 以[ E] 表示, 线性体以[ H] 表示.
论, 可望构造出各种与实验结果吻合得很好的新固体和流体模型. 这种新 模型理论可以满 意地描述物体的 瞬时
弹性、延迟弹性、粘性流、塑性等性能.
关 键 词: 分数阶导数; 流变模型理论; 本构方程; 松弛模量; 蠕变柔量
中图分类号: O371
文献标识码: A
文章编号: 1000 5900( 2001) 01 0030 07
Q f ( t) =
F -f 1* ( X) =
1] 2P-
]
f
(
X)
ei Xt dt .
FDC[ f ( t ) ] = ( i X) Cf * ( i X) .
FIC( t ) =
F
1 #( 1 -
C) tC
=
(
i
1 X)
1-
C.
( 4)
从式( 3) 、( 4) 可见分数阶导数的 Laplace 变换和 Fourier 变换的确是整数导数相应变换的推广.
t C] , t > 0; IC( t ) = 0, t [ 0, 0 [ C< 1, # 为 gamma 函数:
]
Q #( z ) = tz- 1e- 1dt ; #( 1+ z ) = z #( z ) ; # ( 1) = #( 2) = 1; Re( z ) > 0. ( 2) 0
可见分数阶导数作用于函数 f ( t ) 上就等于 Abel 核 I C( t ) 与函数 f ( t ) 的广义 Stieltjes 卷积[ 7] .
想模型, 其本构关系是应力和应变的一阶导数成正比, 其松弛模量 E ( t ) 为脉冲函数, 它从无穷 大突然松弛到零, D ( t ) 与 t 成正比:
R = GD[ E( t ) ] = E ( t ) * d[ E( t ) ] ,
E ( t ) = GD( t ) ,
D( t ) = tH( t ) / G ( 11)
0.
LDC[ f ( t ) ] = p Cf * ( p ) .
LI C( t ) =
L
1 #( 1 -
C)
tC =
1 pl-
C.
L- 1p- C =
tC- 1 #( C)
( 3)
Fourier 变换和逆变换:
]
Q f * ( X) = Ff ( t ) =
f ( t ) e- iXt dt .
-]
整数阶微积分是描述 Euclid 空间的有力工具. 经典流变模型理论就是用整数阶微积分这 个工具得到整数阶微分型本构方程. 但实验结果表明, 这种本构关系不能很好地与实验数据吻 合[ 1] , 如标准线性体. 虽然它可以描述固体的瞬时弹性和延迟弹性, 但蠕变柔量和松弛模量的 全过程却不能与实验数据很好吻合, 特别是在蠕变或松弛的初始阶段. Gemant[ 2] 通过实验建议 在构造材料模型时采用分数阶导数. Bagley R L[ 3] 和 Torvik P J 对分数阶导数的三维本构关系、 热力学对模型参数的限制、有限元算法等进行了研究. Shestopal V O[ 4] 等在蠕变屈曲分析时采 用了分数阶导数的 Maxwell 体和 Kelvin 体. 江体乾[ 5] 将分数阶导数的 Jeffrey 模型用于凝胶. 自
( 9)
Q 蠕变柔量:
D( t) =
L- 1
1 Gpp
C
=
1GH( t ) *
t C- 1 #( C)
=
1 G
t 0
tC- 1 # ( C)
d
t
=
1 G
tC #( C+
1) .
( 10)
图 1 C= 0. 1~ 0. 9 时 Abel 模型的松弛模量( G= 1)
图 2 C= 0. 1~ 0. 9 时 A bel 模型的蠕变柔量( G= 1)
流体, 或者说用 Abel 粘壶取代 Newton 粘壶而得到的. 为此, 首先分析分数阶导数的实质.
1. 1 分数阶导数的定义
Q Q DC[ f ( t) ] =
1 #( 1-
d C) dt
t 0
f
(
t
SC