D7_4一阶线性微分方程
一阶线性微分方程
积分得
u( x) Q( x)e
P( x)dx
于是非齐次线性方程的通解为
P( x)dx P( x)dx y e [ Q( x)e dx C ]
齐次线性方程的通解
齐次线性方程 yP(x )y0 的通解为 y Ce P( x)dx
非齐次线性方程的通解
d ( y 1 ) 1 1 即： y a ln x dx x
令zy1 则上述方程成为
dz 1 z a ln x dx x
这是一个线性方程 它的通解为
以y1代z 得所求方程的通解为
z x[C a (ln x)2 ] 2
yx[C a (ln x)2 ] 1 2
下列方程是什么类型方程？
(1)
dy 1 1 y (1 2 x) y 4 是伯努利方程. dx 3 3
dy (2) y xy5 是伯努利方程. dx x y (3) y 是伯努利方程. y x
(4) dy 2 xy 4 x 不是伯努利方程. dx
伯努利方程的解法 以yn除方程的两边 得
由通解公式得
2 dx y e x 1 [
5 2 dx ( x 1) 2 e x 1 dx C]
33 55 22 2 22 22 ((x x 1 1 )) [[ 2((x x 1 1 ))22 C C ]] ((x x 1 1 )) [[ ((x x 1 1 ))22((x x 1 1 )) dx dx C C ]]
齐次线性方程的通解
齐次线性方程 yP(x )y0 的通解为 y Ce P( x)dx
非齐次线性方程的通解
设非齐次线性方程yP(x)yQ(x)的通解为
高等数学课件--D7_4一阶线性微分方程
2 (5) ; 6 ;
2012-10-12
同济版高等数学课件
习题课1 第五节 目录 上页 下页 返回 结束
备用题
1. 求一连续可导函数 使其满足下列方程: 令 u x t 提示: f ( x) sin x f (u )d u
0 x
则有
f ( x) f ( x) cos x
dz dx
, 则
dy dx
(1 n) P ( x) z (1 n) Q ( x) (线性方程)
求出此方程通解后, 换回原变量即得伯努利方程的通解.
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伯努利 目录 上页 下页 返回 结束
例4. 求方程 解: 令 z y , 则方程变形为
dz dx z x a ln x
x
d y ln C
y
ye
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C (C 0)
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*二、伯努利 ( Bernoulli )方程
伯努利方程的标准形式:
解法:
y
n
除方程两边 , 得
dy dx P( x) y
1 n
1 n
Q( x) dz dx (1 n) y
n
令z y
ye
P ( x )d x
P ( x )d x d x C Q( x) e
2. 伯努利方程
令u y
2012-10-12
1 n
, 化为线性方程求解.
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3. 注意用变量代换将方程化为已知类型的方程
x y dx 法1. 取 y 作自变量: x y dy dx
高考数学中的一阶线性微分方程
高考数学中的一阶线性微分方程微积分是高中数学的一门重要的学科，其中涉及到微分及其应用。
在微分学中，微分方程是一类非常重要的数学工具，它可以帮助我们解决各种不同的问题。
在高考数学中，微分方程也是一个非常重要的考点，其中一阶线性微分方程更是高考数学的热点难点。
一阶线性微分方程是指形如：$\frac{dy}{dx}+p(x)y=q(x)$的微分方程，其中$p(x)$和$q(x)$是已知的函数，$y$是未知函数，$\frac{dy}{dx}$表示$y$对$x$的导数。
这个方程的解决方法非常重要，因为一阶线性微分方程是众多微分方程中比较简单的一种。
下面我们将详细介绍一阶线性微分方程的解法。
一、非齐次线性微分方程的解法对于形如$\frac{dy}{dx}+p(x)y=q(x)$的非齐次线性微分方程，我们可以使用变量分离法来解决。
1. 求出齐次线性微分方程的通解首先我们要求出非齐次线性微分方程对应的齐次线性微分方程的通解，即$\frac{dy}{dx}+p(x)y=0$的通解。
设齐次线性微分方程的通解为$y_0=Ce^{-\int p(x)dx}$，其中$C$是待定系数，$e$为自然对数的底数。
下面我们来证明这个解法的正确性。
将$y_0=Ce^{-\int p(x)dx}$代入到$\frac{dy}{dx}+p(x)y=0$中，即可得到：$\frac{d(Ce^{-\int p(x)dx})}{dx}+p(x)(Ce^{-\int p(x)dx})=0$$\Rightarrow -Cp(x)e^{-\int p(x)dx}+C(e^{-\intp(x)dx})\frac{d}{dx}(e^{-\int p(x)dx})+p(x)Ce^{-\int p(x)dx}=0$ $\Rightarrow \frac{d}{dx}(Ce^{-\int p(x)dx})=0$根据微积分基本定理可知，如果$\frac{d}{dx}(Ce^{-\intp(x)dx})=0$，那么$Ce^{-\int p(x)dx}$就是一个常数，不妨设为$C_1$。
一阶线性微分方程的概念与解的结构讲解
y P( x) y Q( x).
则有
C( x) y1 C( x) y1 P( x)C( x) y1 Q( x),
解法一 使用常数变易法求解．
将所给的方程改写成下列形式：
y 1 y 1 ex , 22
这是一个线性非齐次方程，它所对应的线性齐次方
程的通解为 x
y Ce 2 , x
设所给线性非齐次方程的解为 y C( x)e 2 ,
将 y 及 y 代入该方程，得
x
C( x)e 2
1 ex,
2
P( x)dx Nhomakorabea1 2
dx
x 2
,
x
e P ( x )dx e 2 ,
Q( x)e P( x)dxdx
1e xe
x
2 dx
e
x 2
,
2
代入通解公式，得原方程的通解为
xx
x
y (C e 2 )e 2 Ce 2 e x .
例 9 求解初值问题．
xy y cos x,
即 C( x) y1 C( x)( y1 P( x) y1 ) Q( x),
因 y1 是对应的线性齐次方程的解，故 y1 P( x) y1 0, 因此有
C( x) y1 Q( x),
其中 y1 与 Q(x) 均为已知函数，所以可以通过积分 求得
C
(
x)
一阶线性微分方程
的微分方程, 称为伯努利(Bernoulli) 方程.
2.解法 方程两端同除yn，得
yn dy P( x) y1n Q( x) dx
令z y1n , 得 dz (1 n)P( x)z (1 n)Q( x).
dx 求出通解后，将 z y1n 代入即可.
例 3 求方程 dy 4 y x2 y 的通解. dx x
1 而方程两端同乘函数 x2 后，得
xdy ydx x2
d
y x
0
是全微分方程， 所以 1 是原方程的一个 x2
积分因子.
原方程的通解为 y C . x
导数，且
Q P x y
则称该方程为全微分方程，或恰当方程.
2. 解法 若微分方程
P( x, y)dx Q( x, y)dy 0
是全微分方程.
则存在u( x, y),使
du(x, y) P(x, y)dx Q(x, y)dy
原方程变为 du( x, y) 0
全微分方程通解为 u( x, y) C.
将 u x y 代回, 所求通解为
y ln( x y 1) C, 或 x C1e y y 1
另解 方程变形为 dx x y. 一阶线性微分方程. dy
第五节 全微分方程
1. 定义 如果一阶微分方程
P( x, y)dx Q( x, y)dy 0
中的P( x, y)，Q( x, y)在单连域G内具有一阶连续偏
(3)
Ce P( x)dx e P( x)dx
Q(
x
)e
P
(
x
)dx
dx
对应齐次 方程通解
非齐次方程的特解
例1 求方程 y 1 y sin x 的通解. xx
一阶常微分方程公式大全
一阶常微分方程公式大全一、一阶线性常微分方程。
1. 标准形式。
- 一阶线性常微分方程的标准形式为y'+p(x)y = q(x)。
2. 通解公式。
- 其通解公式为y = e^-∫ p(x)dx(∫ q(x)e^∫ p(x)dxdx + C)。
- 推导过程：- 先求对应的齐次方程y'+p(x)y = 0的通解。
- 分离变量得(dy)/(y)=-p(x)dx。
- 两边积分∫(dy)/(y)=-∫ p(x)dx，得到ln y =-∫ p(x)dx + C_1，即y = Ce^-∫p(x)dx（C = e^C_1）。
- 然后用常数变易法，设原非齐次方程的解为y = C(x)e^-∫ p(x)dx。
- 对y求导得y'=C'(x)e^-∫ p(x)dx-C(x)p(x)e^-∫ p(x)dx。
- 将y和y'代入原方程y'+p(x)y = q(x)，可得C'(x)e^-∫ p(x)dx-C(x)p(x)e^-∫p(x)dx+p(x)C(x)e^-∫ p(x)dx=q(x)。
- 化简得C'(x)e^-∫ p(x)dx=q(x)，即C'(x)=q(x)e^∫ p(x)dx。
- 再积分C(x)=∫ q(x)e^∫ p(x)dxdx + C，所以原方程的通解为y = e^-∫ p(x)dx(∫ q(x)e^∫ p(x)dxdx + C)。
二、可分离变量的一阶常微分方程。
1. 标准形式。
- 可分离变量的一阶常微分方程的标准形式为g(y)dy = f(x)dx。
2. 通解求法。
- 对g(y)dy = f(x)dx两边分别积分，得到∫ g(y)dy=∫ f(x)dx + C，其中C为任意常数。
- 例如，对于方程(dy)/(dx)=(x)/(y)，可化为ydy = xdx。
- 两边积分∫ ydy=∫ xdx，即frac{y^2}{2}=frac{x^2}{2}+C，整理得y^2-x^2=C_1（C_1 = 2C）。
一阶线性微分方程
∫ P ( y )dy dy + C ) ( ∫ Q ( y )e ∫ ( −1)dy dy + C ) ( ∫ ye
=e ∫
− ( −1 ) dy
= e y ( ∫ ye − y dy + C )
= e y ( − ye − y − e − y + C ) = Ce y − y − 1
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(3) ( y − x3 ) dx − 2x dy = 0 (4) 2y dx + ( y3 − x) dy = 0
(5) ( y ln x − 2) y dx = x dy
【思考题】 思考题】
cos y 的通解. 求微分方程 y′ = 的通解. cos y sin 2 y − x sin y
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【思考题解答】 思考题解答】
dx cos y sin 2 y − x sin y = sin 2 y − x tan y , = dy cos y dx ∴ + (tan y ) ⋅ x = sin 2 y , dy
x=e
ln cos y
[∫ sin 2 y ⋅ e
dz 关于z 的一阶线性方程 的一阶线性方程) 关于 + (1 − n) P( x) z = (1 − n)Q( x) (关于 , x的一阶线性方程 dx
求出此方程通解后, 求出此方程通解后
∴y
1− n
换回原变量即得伯努利方程的通解. 换回原变量即得伯努利方程的通解
∫ (1− n ) P ( x ) dx dx + C ). ( ∫ Q ( x )(1 − n)e
一阶线性微分方程
8.3 一阶线性微分方程
第三节 一阶线性微分方程
一.一阶线性微分方程的概念 二.一阶线性微分方程的解法
一、一阶线性微分方程的概念
1. 一阶线性微分方程的定义 在微分方程中，若未知函数及其导数都是一次的，则称其为
一阶线性微分方程.其标准式为：
d y P(x)y Q(x) dx
.
A.
A.是
B.否
四、小结
1.一阶线性齐次微分方程 dy P(x) y 0
dx
通解： y Ce P（x）dx
2.一阶线性非齐次微分方程 dy P(x) y Q(x) , Q(x) 0
dx
通解：
y
e P( x)dx
Q(
x)e
P
(
x
)
dx
dx
C
只看等式右端不能下结论，要变形为标准式.
例如： 3x2 5 y 0
y 3 x2
5
是一阶线性非齐次微分方程
二、一阶线性齐次微分方程的解法
1.一般式
dy P( x) y 0 dx
分离变量
(2) 1 dy P(x)dx y
2.解法
分离变量法
两边积分 通解
ln | y | P ( x)dx C1 | y | e P ( x )dx C1 y eC1 e P ( x )dx
则通解为
y
e 1dx
3x
e
1dx
dx
C
ex 3
xe
x
dx
C
ex 3 xd (ex ) C
一阶线性微分方程
二、
特点： 解法： 令
y f ( x , y)
右端不含 y 降阶
型
y p
y p
代入原方程得
dp f ( x , p) 若已求得其通解为 dx 回代 y p 得 p ( x , c1 ) dy ( x , c1 ) 变量可分离的一阶方程 dx y ( x , c1 )dx c2 积分得
3 2 x 1 x 12 C 3 2
故原方程通解为
1 sin x , y x= =1的解. 例2 求方程 y y x x 1 解 P ( x ) , Q ( x ) sin x , x x
ye
1 dx x
sin x ln x e e dx C x 1 1 sin xdx C cos x C .
2 dx x 1
2 5 dx x 1 dx C x 12 e
e
2 ln x 1
1 2 x 15 2 ln x 1 2e 2 dx C dx C x 1 x 1
dy y P ( x )dx ,
ln y P ( x)dx C1 ,
齐次方程的通解为 y Ce
P ( x ) dx
.
dy P ( x ) y Q( x ). 2.非齐次线性方程 dx
一阶线性非齐次微分方程的通解为:
ye
p ( x ) dx
例2. 求解
解:
(1 x ) y 2x y
2
y
x 0
1 , y
一阶线性微分方程
一阶线性微分方程在数学的领域中，微分方程是一种描述函数关系的方程。
一阶线性微分方程是其中一种常见的微分方程类型，其具有如下的一般形式：dy/dx + P(x)y = Q(x)在这个方程中，y是未知函数，x是自变量。
P(x)和Q(x)是已知函数。
解决一阶线性微分方程的方法之一是使用积分因子的方法。
通过适当选择一个积分因子来将方程转化为可积的形式，从而得到其解。
具体地，我们可以按照以下步骤来解决一阶线性微分方程：步骤1：将方程转化为标准形式需要将一阶线性微分方程转化为以下形式：dy/dx + P(x)y = Q(x)通过移项，得到：dy/dx = -P(x)y + Q(x)步骤2：确定积分因子确定积分因子μ(x)的一种常用方法是将方程乘以一个因子，并使乘积的系数等于∂(μ(x)y)/∂x。
因此，我们可以通过以下公式来确定积分因子：μ(x) = e^∫P(x)dx步骤3：将方程乘以积分因子将方程乘以积分因子μ(x)：μ(x)dy/dx + μ(x)P(x)y = μ(x)Q(x)得到：d[μ(x)y]/dx = μ(x)Q(x)步骤4：对方程进行积分对上述方程两边进行积分，得到：∫d[μ(x)y]/dx dx= ∫μ(x)Q(x) dx化简后得到：μ(x)y = ∫μ(x)Q(x) dx + C其中，C是常数。
步骤5：解出未知函数y解方程μ(x)y = ∫μ(x)Q(x) dx + C，求出未知函数y的表达式。
以上就是解决一阶线性微分方程的步骤。
通过选取适当的积分因子，将方程转化为可积的形式，并通过积分求解得到未知函数的表达式。
总结起来，一阶线性微分方程的求解过程可以分为五个步骤：将方程转化为标准形式、确定积分因子、将方程乘以积分因子、对方程进行积分、解出未知函数y。
这些步骤能够帮助我们解决一阶线性微分方程的问题。
通过学习和掌握一阶线性微分方程的方法，我们可以应用它们解决各种实际问题，如物理学、生物学、经济学等领域中的相关问题。
一阶线性微分方程
齐次方程通解
高等数学（ZYH）
非齐次方程特解
例1. 解方程
d y 2d x d y 2y 0, 即 解: 先解 y x 1 dx x 1 积分得 即 y C ( x 1) 2 2 则 用常数变易法求特解. 令 y u ( x) ( x 1) ,
y u ( x 1) 2 2 u ( x 1)
ln y P( x)d x ln C
故通解为
高等数学（ZYH）
y C e P ( x )d x
dy P( x) y Q( x) 2. 解非齐次方程 dx
P( x) d x 则 用常数变易法: 作变换 y ( x) u ( x) e ,
u e
即
P( x) d x
代入非齐次方程得 解得 故原方程通解为
高等数学（ZYH）
3 2 u ( x 1) 2 C 3
d y 0 的通解 . dx 解: 注意 x, y 同号, 当 x 0 时, 2 d x , 故方程可 x 变形为 这是以 x 为因变量, y为
由一阶线性方程通解公式 , 得
§12.4 一阶线性微分方程
一、一阶线性微分方程 二、伯努利方程
一、一阶线性微分方程 dy P( x) y Q( x) 一阶线性微分方程标准形式: dx 若 Q(x) 0, 称为齐次方程 ; 0, 称为非齐次方程 . dy P( x) y 0 1. 解齐次方程 dx 分离变量 两边积分得 若 Q(x)
P( x) u e
P( x) d x
P( x) u e
P( x) d x
Q( x)
P ( x )d x 对应齐次方程通解 y C e P( x) d x 两端积分得 u Q( x) e dx C
D7_4一阶线性微分方程精品PPT课件
两边积分得 ln y P(x)dx ln C
故通解为
y C e P(x)dx
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2. 解非齐次方程 dy P(x) y Q(x) dx
用常数变易法: 作变换 y(x) u(x) e P(x)d x , 则
u e P(x)d x P(x) u e P(x)d x P(x) u e P(x)d x Q(x)
非齐次方程特解
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例1. 解方程
dy
2y
5
(x 1) 2 .
dx x 1
解:
先解
dy 2y 0 , 即 dx x 1
dy 2dx y x 1
积分得 ln y 2 ln x 1 ln C , 即 y C(x 1)2
用常数变易法求特解. 令 y u (x) (x 1)2 , 则
即
du Q(x) e P(x)d x
dx
两端积分得对应齐u 次 方Q程(x通) e解 P(
xy)
dx
C e P( dx C
x)
d
x
故原方程的通解
y
e
P(
x)
d
x
Q(
x)
e
P
(
x)
d
xd
x
C
即
y C e P(x)d x e P(x)d x Q(x) e P(x)d xdx
齐次方程通解
线性方程
法2. 作变换 u x y, 则 y u x, d y d u 1 dx dx
代入原方程得 d u 1 1 , dx u
du u 1 dx u
答案见课本Ｐ314
可分离变量方程
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一阶线性微分方程
微积分Calculus一阶线性微分方程一定义一阶线性微分方程标准形式:)()(d d x Q y x P x y=+若Q (x ) ≡0, 若Q (x ) ≡0, 称为非齐次方程.称为齐次方程;0)(d d =+y x P x y 分离变量两边积分得C x x P y ln d )(ln +−=⎰故通解为xx P e C y d )(⎰−=二一阶线性齐次微分方程的解法的通解为一阶线性齐次微分方程一阶线性非齐次微分方程的通解是怎样的？我们已知，那么，三一阶线性非齐次微分方程的解法是一阶线性非齐次微分方程，将方程变形为很容易看出方程的左边，正好是求导之后的结果，xy 即两边同时积分得即（原方程的通解）例我们得到一个很重要的方法：积分因子法即对于如下的微分方程，关键是找到积分因子I(x)我们来推导出这个积分因子的结构。
)()(x Q y x P dx dy=+I(x)得在方程两边同时乘上即则方程的通解可以很容易获得。
所以为了找到积分因子，我们必须研究将它展开得整理后得因为只要找到一个积分因子就行，故可令，得C=1这是一个关于的可分离变量的微分方程，I(x)所以可得用积分因子法求解一阶线性非齐次微分方程，只需要在方程的两边同时乘以积分因子再两边同时积分即可得到通解为：方法总结对应齐次方程通解xx P e C y d )(⎰−=常数变易法:,)()(d )(⎰−=x x P e x u x y 则⎰−'x x P e u d )()(x P +⎰−x x P e u d )()(x Q =即作变换⎰−−x x P e u x P d )()(Cx e x Q u x x P +=⎰⎰d )(d )(两端积分得齐次方程通解非齐次方程特解⎰−x x P Ce d )(故原方程的通解xe x Q e x x P x x P d )(d )(d )(⎰⎰⎰−+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=⎰⎰⎰−C x e x Q e y x x P x x P d )(d)(d )(=y 即用常数变易法求解一阶线性非齐次微分方程，只需要先求出对应的齐次微分方程的通解，然后做常数的变易并代回到原微分方程中去，通过方法总结积分即可得到原微分方程的通解dy dx +3x2y=6x2四相关练习例二解方程解这是一阶线性非齐次方程，积分因子为I(x)=e3x2dx=e x3方程两边同时乘以，可得e x3两边同时积分，可得即通解为解: 先解,012d d =+−x y x y 即1d 2d +=x x y y 积分得即2)1(+=x C y y =23(x +1)ൗ32+C 例三解方程)1(2)1(2+⋅++⋅'='x u x u y 代入非齐次方程得解得故原方程通解为用常数变易法求特解. 令,)1()(2+⋅=x x u y 则。
D74一阶线性微分方
一阶线性微分方程的通解公式为 (y = e^{int P(x) dx} [C + int Q(x) e^{-int P(x) dx} dx])，其中 (C) 是积分常数。
求解步骤
分离变量
将方程化为标准形式 (y' + P(x)y = Q(x))。
解积分部分
求解 (int Q(x) e^{-int P(x) dx} dx)。
确定方程的类型
首先识别方程是否为一 阶线性微分方程。
解指数部分
求解 (e^{int P(x) dx})。
合并结果
将指数部分和积分部分 合并得到通解。
实例分析
求解方程 (y' - y/x = x^2/2)。
求解方程 (y' + y/x = x/2)。
求解方程 (y' - 2xy = x^2)。
实例1
加强实际应用的探索和研究：尽管一阶线性微分方程在许多领域都有应用，但还有很多实际问题需要我 们去探索和研究。未来可以加强一阶线性微分方程在实际应用方面的研究，如经济、生物、工程等领域 的问题。
提高求解方法的效率和精度：目前求解一阶线性微分方程的方法虽然有很多，但在效率和精度方面还有 很大的提升空间。未来可以尝试改进现有的求解方法，提高其效率和精度，或者寻找新的求解方法，以 更好地解决实际问题。
一阶线性微分方程在许多实际问题中都有应用，如物理学中的振动问题、工程学中的控制 系统、经济学中的增长模型等。
解决一阶线性微分方程的方法和技巧对于研究更复杂的微分方程具有重要的意义，是数学 和物理学等领域研究的重要基础。
一阶线性微分方程的解法
#O2
定义与公式
定义
一阶线性微分方程是形如 (y' + P(x)y = Q(x)) 的微分方程，其中 (P(x)) 和 (Q(x)) 是已知函数。
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P( x) d x
P( x) d x
P( x) d x 故原方程的通解 y e Q ( x ) e d x C P( x) d x P( x) d x P( x) d x e dx y Ce 即 Q( x) e
第四节 一阶线性微分方程
一、一阶线性微分方程 *二、伯努利方程
第七章
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一、一阶线性微分方程
dy P( x) y Q( x) 一阶线性微分方程标准形式: dx 若 Q(x) 0, 称为齐次方程 ;
若 Q(x) 0, 称为非齐次方程 . dy P( x) y 0 1. 解齐次方程 dx 分离变量 两边积分得 故通解为
齐次方程通解
非齐次方程特解
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例1. 解方程
d y 2d x d y 2y 0, 即 解: 先解 y x 1 dx x 1 积分得 即 y C ( x 1) 2 2 y u ( x ) ( x 1 ) ,则 用常数变易法求特解. 令
y u ( x 1) 2 2 u ( x 1)
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2. 设有微分方程 y y f ( x) , 其中
2 , 0 x 1 f ( x) 0 , x 1
试求此方程满足初始条件
解: 1) 先解定解问题
的连续解.
利用通解公式, 得 dx d x 2 e d x C1 ye
x x
ln y P( x)d x ln C
y C e P ( x )d x
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dy P( x) y Q( x) 2. 解非齐次方程 dx P( x) d x 用常数变易法: 作变换 y ( x) u ( x) e ,则 P( x) d x P( x) d x P( x) d x P( x) u e Q( x) u e P( x) u e
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d u u 1 dx u
可分离变量方程
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思考与练习
判别下列方程类型: dy dy (1) x y x y dx dx dy (2) x y (ln y ln x) dx 提示: y 1 dx 可分离 dy 变量方程 y x dy y y ln 齐次方程 dx x x dy 1 x2 线性方程 y dx 2 x 2 dx 1 y2 线性方程 x dy 2 y 2 dy 2 ln x 2 伯努利 y y 方程 dx x x
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(3) ( y x ) dx 2 x d y 0 (4) 2 y dx ( y 3 x) d y 0
3
(5) ( y ln x 2) y dx x d y
作业
P315 1 (3) , (6) , (9) ;
*8 (1) , (3) , (5)
此齐次线性方程的通解为 y C2 e x ( x 1)
利用衔接条件得 C2 2(e 1)
因此有
3) 原问题的解为
y 2(e 1) e x ( x 1)
2(1 e ), 0 x 1 y 2(e 1) e x , x 1
x
y 2 2e x (0 x 1)
y 为自变量的一阶 线性方程
dx 2 x 3 例3. 求方程 xy y y
xe
1 ) 2y 1 Q( y ) y
所求通解为
ye
x
y
C (C 0)
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*二、伯努利 ( Bernoulli )方程
暂态电流
R t e L
sin( t ) R 2 2 L2
稳态电流
Em
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d y 0 的通解 . dx 解: 注意 x, y 同号, 不妨设 x , y 0, 此时 2d x , x 故方程可变形为 这是以 x 为因变量
由一阶线性方程通解公式 , 得
伯努利方程的标准形式:
除方程两边 , 得 n d y y P( x) y1 n Q( x) dx dz 1 n n d y 令 z y , 则 (1 n) y dx dx dz (1 n) P( x) z (1 n) Q( x) (线性方程) dx 求出此方程通解后, 换回原变量即得伯努利方程的通解. 解法:
代入非齐次方程得 解得 故原方程通解为
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3 2 u ( x 1) 2 C 3
例2. 有一电路如图所示, 其中电源 电阻 R 和电
感 L 都是常量, 求电流 解: 列方程 . 由回路电压定律:
R L E
Q
∼
在闭合回路中, 所有支路上的电压降为 0 已知经过电阻 R 的电压降为R i di 经过 L的电压降为 L dt d i E sin t d i R m 因此有 E L R i 0 , 即 i dt dt L L 初始条件: i t 0 0
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Em sin t di R i dt L L i t 0 0
解方程: 利用一阶线性方程解的公式可得
R L E
Q
∼
C
P( x) d x y e : i t 0 由初始条件
P( x) d x Q ( x ) e d x C 0 得
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内容小结
1. 一阶线性方程 方法1 先解齐次方程 , 再用常数变易法. 方法2 用通解公式
P ( x )d x
ye
P ( x )d x Q( x) e dx C
2. 伯努利方程
令 u y1 n , 化为线性方程求解.
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3. 注意用变量代换将方程化为已知类型的方程 dy 1 例如, 解方程 dx x y dx 法1. 取 y 作自变量: 线性方程 x y dy 法2. 作变换 u x y, 则 y u x, d y d u 1 dx dx du 1 1 , 代入原方程得 dx u
2 (5) ; 6 ;
习题课1 第五节
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备用题
1. 求一连续可导函数 使其满足下列方程: 令 u x t 提示: f ( x) sin x f (u )d u
0 x
则有
f ( x) f ( x) cos x
线性方程
f (0) 0
利用公式可求出
1 f ( x) (cos x sin x e x ) 2
y y 2, 0 x 1 y x0 0
x 2 C e e ( 2 e C1 ) 1
利用 y
x0
0 得 C1 2
故有
y 2 2e
x
(0 x 1)
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y y 0 , x 1
2) 再解定解问题
y x 1 y (1) 2 2e 1
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因此所求电流函数为
R t e L
R
Q
LEm L i (t ) 2 E 2 2 R L ∼ Em 2 ( R sin t L cos t ) 2 2 R L L ,则 解的意义: 令 arctan R
LEm i (t ) 2 R 2 L2
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例4. 求方程 解: 令 z y , 则方程变形为 dz z a ln x dx x
1
的通解.
其通解为
ze
1 dx x
(a ln x) e
1 dx x dx C
a 2 x C ( ln x) 2 将 z y 1代入, 得原方程通解: