第三章随机过程
第三章 随机过程
3-1、设X 是0, 1a σ==的高斯随机变量，试确定随机变量Y cX d =+的概率密度函数( f y ，其中, c d 均为常数。
解：由题得：2( 0, ( 1E x a D x σ====( ( ( E y E cx d cE x d c a d d=+=+=+=222( ( D y D cx d c c σ=+==22( ( ]2x d f y c -=-3-2、设随机过程( t ξ可表示成( 2cos(2 t t ξπθ=+，式中θ是一个离散随机变量，且11(0 , ( 222P P πθθ====, 试求(1E ε和(0,1R ε解：首先应理解(1E ε和(0,1R ε的含义，(1E ε是指当t=1时，所得随机变量的均值，(0,1R ε 是指当t=0和t=1时，所得的两个随机变量的自相关函数。
111[2cos(2][2cos(2]2(cos0cos 1222t E E E εππθπθ==+=+=+=22211(0,1[(0(1][2cos2cos(2]4[cos]4(cos 0cos 2222R E E E επξξθπθθ==⨯+==+=3-3、设1020( cos sin z t x t x t ωω=-是一随机过程，若1x 和2x 是彼此独立且具有均值为0，方差为2σ的正态随机变量，试求：（1）2[(],[(]E z t E z t（2）z(t的一维分布密度函数f(z；（3）12(, B t t 和12(, R t t解：（1）由已知条件12[][]0E X E X ==且1x 和2x 彼此相互独立。
所以1212[][][]0E X X E X E X == 212( ( D x D x σ==，而222[][]E x E x σ=- 所以222111[]( []E x D x E x σ=+=同理222[]E x σ=10200102[(][cos sin ]cos []sin []0E z t E x t x t tE x tE x ωωωω=-=-=22102022200[(][(cos sin ][cos sin 2cos sin ]cos 2[]sin []2cos sin [](cossin E z t E x t x t E x t x t x x t t tE x tE x t tE x x t t ωωωωωωωωωωωωσσ=-=+-=+-=+=（2）由于1x 和2x 是彼此独立的正态随机变量且( z t 是1x 和2x 的线性组合，所以z 也是均值为0，方差为2σ的正态随机变量，其一维概率密度为22( 2z f z σ=-（3）[coscos sin sin ][cos(]R t t E z t z t E x t x t x t x t t t t t t t ωωωωσωωωωσω==--=+=-令12t t γ-=，则21, 20( cos R t t σωγ==2121212120(, (, [(][(](, cos B t t R t t E z t E z t R t t σωγ=-==3-4、已知( x t 与( y t 是统计独立的平稳随机过程，且它们的均值分别为12(, a a τ，自相关函数分别为(, ( x y R R ττ。
第3章 随机过程
∂F1 ( xBiblioteka , t1 ) = f1 ( x1 , t1 ) ∂x1
则称f 的一维概率密度。 则称 1 (x1,t1)为ξ (t)的一维概率密度。 为 的一维概率密度
二维分布函数： 随机过程ξ (t) 的二维分布函数： F2 ( x1 , x2 ; t1 , t 2 , ) = P{ ξ (t1 ) ≤ x1 ,ξ (t 2 ) ≤ x2 } 随机过程ξ (t)的二维概率密度函数： 的二维概率密度函数：
【例】n台示波器同时观测并记录这n台接收机 台示波器同时观测并记录这 的输出噪声波形
实现， 样本函数ξi (t)：随机过程的一次实现，是确定的 ) 随机过程的一次实现 时间函数。 时间函数。 随机过程： 随机过程：ξ (t) ={ξ1 (t), ξ2 (t), …, ξn (t)} ) ), ), )} 是全部样本函数的集合。 是全部样本函数的集合。
二、分布函数和概率密度
表示一个随机过程， 设ξ (t)表示一个随机过程，则它在任意时刻 1的取ξ (t1) 表示一个随机过程 则它在任意时刻t 是一个随机变量， 是一个随机变量，其统计特性可以用分布函数或概率 密度函数来描述。 密度函数来描述。 随机变量ξ (t1)个于或等于某一数取 1的概率 ： 个于或等于某一数取x 个于或等于某一数取 F1 ( x1 , t1 ) = P[ξ (t1 ) ≤ x1 ] 的一维分布函数。 叫做随机过程ξ (t)的一维分布函数。 的一维分布函数 如果存在
= E[ξ (t1) ⋅ ξ (t 2) − ξ (t1) ⋅ a (t 2) − a (t1) ⋅ ξ (t 2) + a (t1) ⋅ a (t 2)]
= E[ξ (t1) ⋅ ξ (t 2)] − E[ξ (t1)] ⋅ a (t 2) − E[ξ (t 2)] ⋅ a (t1) + a (t1) ⋅ a (t 2)
随机过程
两者在定义方法上相似 样本空间不同：
①随机变量的样本空间是一个实数集合 ②随机过程的样本空间是一个时间函数的集合 • 结论：随机过程具有随机变量和时间函数的特点
第3章 随机过程
n部接收机噪声记录
第3章 随机过程
例 X(t)=asin(ωt+ θ),t∈(-∞, ∞)，式中a和ω是正常数， θ是在 （0,2π）上服从均匀分布的随机变量。
0
自相关函数为
R t1, t2 E[ (t1) (t2 )] E[sin0t1 sin0t2 ]
令t1＝t，t2＝t＋τ则
Rt,t E[sin0t sin0t 0 ]
2 0
sin0t
sin0t
第3章 随机过程
第3章 随机过程
随机过程 平稳随机过程 高斯随机过程 平稳随机过程通过线性系统 窄带随机过程 高斯白噪声和带限白噪声
第3章 随机过程
§3.1 随机过程的基本概念
• 随机信号
信号的某个或某几个参数不能预知或不能完全被预知， 这种具有随机性的信号称为随机信号。
• 随机噪声
第3章 随机过程
x1(t), θ i =0
x2(t), θ i =3π /2
第3章 随机过程
第3章 随机过程
一般描述
• 分布函数： F1(x1; t1) P{ (t1) x1} • 概率密度函数：分布函数对x的偏导数
部分描述——数字特征
数学期望
• 定义：
E[ (t)]
x
表示随机过程在时刻t对于均值的偏离程度
数学期望和方差描述了随机过程各个孤立时刻的特征，
随机过程第三章
随机过程的概率密度函数
概率密度函数
对于连续随机过程，其概率密度函数描述了随机过程在各个时间点或位置上的取值的可能性密度。
联合概率密度函数
对于多个连续随机过程的组合，其联合概率密度函数描述了这些随机过程在各个时间点或位置上的取 值的联合可能性密度。
03
随机过程的数字特征
均值函数
总结词
描述随机过程中心趋势的数字特征
泊松过程
定义
泊松过程是一种随机过程，其中事件的 发生是相互独立的，且以恒定的平均速
率在时间上均匀地发生。
应用
在物理学、工程学、生物学等领域都 有应用，如放射性衰变、电话呼叫等。
性质
泊松过程具有无记忆性，即两次事件 发生的时间间隔与它们是否同时发生 无关。
扩展
泊松过程可以推广为更复杂的过程， 如非齐次泊松过程和条件泊松过程。
随机过程第三章
目录
• 随机过程的基本概念 • 随机过程的概率分布 • 随机过程的数字特征 • 随机过程的平稳性和遍历性 • 马尔科夫链和泊松过程 • 随机过程的应用
01
随机过程的基本概念
随机过程的定义
01
随机过程：一个随机过程是一个定义在概率空间上的
参数集的集合，这个集合的元素是随机变量。
02
马尔科夫链和泊松过程的比较
关联性
马尔科夫链和泊松过程都是随机过程，但它们的 性质和应用场景有所不同。
时间连续性
马尔科夫链可以适用于连续时间，而泊松过程通 常适用于离散时间。
ABCD
状态转移
马尔科夫链关注的是状态之间的转移，而泊松过 程关注的是事件的发生。
应用领域
马尔科夫链在社会科学和生物科学中应用广泛， 而泊松过程在物理学和工程学中更为常见。
第三章通信原理 随机过程
体 x1t, x2 ，t,就,是xn 一t个
随机过程，记作 。
t
因此从这个角度得到随机过程的这种定义： 随机过程是所有样本函数的集合。
角度2：现在，我们在某一特定时刻如 时t1刻观察
各台接收机的噪声，可以发现在同一时刻，每个接 收机的输出噪声值是不同的，它在随机变化。
（1）随机过程的协方差函数:B(t1,t2) 描述了随机过程§(t)在任意两个时刻t1和t2，相对
均值的起伏量之间的相关程度。
B(t1, t2 ) E (t1) a(t1) (t2 ) a(t2 )
B(t1, t2 ) x1 a(t1 ) x2 a(t2 ) f2( x1, x2;t1, t2 )dx1dx2
f1x,t
F1x, t
x
F1x, t
x
f1 y, tdy
F1和x, t f即1x是, t 的函数，x 又是时间 的函数。t很显然，
一维分布函数及一维概率密度函数仅仅表示了随机过程 在任一瞬间的统计特性，它对随机过程的描述很不充分， 通常需要在足够多的时间上考察随机过程的多维分布。
测试结果表明，得到的 n张记录图形并不因为有 相同的条件而输出相同 的波形。恰恰相反，即 使n足够大，也找不到两 个完全相同的波形。这 就是说，通信机输出的 噪声电压随时间的变化 是不可预知的，因而它 是一个随机过程。
N部通信机的噪声输出记录
测试结果的每一个记录， 都是一个确定的时间函
数 ，xi 称t 之为样本函数
式中 是一个离散随机变量，且
P
、0
1 2
P 2， 试12求 和E 1。 R 0,1
随机过程_课件---第三章
随机过程_课件---第三章第三章随机过程3.1 随机过程的基本概念1、随机过程定义3-1 设(),,F P Ω是给定的概率空间，T 为一指标集，对于任意t T ∈，都存在定义在(),,F P Ω上，取值于E 的随机变量()(),X t ωω∈Ω与它相对应，则称依赖于t 的一族随机变量(){},:X t t T ω∈为随机过程，简记(){}tX ω，{}tX 或(){}X t 。
注：随机过程(){,:,}X t t T ωω∈Ω∈是时间参数t 和样本点ω的二元函数，对于给定的时间是()00,,t T X t ω∈是概率空间(),,F P Ω上的随机变量；对于给定样本点()00,,X t ωω∈Ω是定义在T 上的实函数，此时称它为随机过程对应于0ω的一个样本函数，也成为样本轨道或实现。
E 称为随机过程的相空间，也成为状态空间，通常用""t X x =表示t X 处于状态x 。
2、随机过程分类：随机过程t X 按照时间和状态是连续还是离散可以分为四类：连续型随机过程、离散型随机过程、连续随机序列、离散随机序列。
3、有穷维分布函数定义3-2 设随机过程{}t X ，在任意n 个时刻1,,n t t 的取值1,,nt tX X 构成n 维随机向量()1,,n t t XX ，其n 维联合分布函数为：()()11,,11,,,,nnt t nt t nF x x P X x Xx ≤≤其n 维联合密度函数记为()1,,1,,n t tn f x x 。
我们称(){}1,,11,,:1,,,nt t n n Fx x n t t T ≥∈ 为随机过程{}t X 的有穷维分布函数。
3.2 随机过程的数字特征1、数学期望对于任何一个时间t T ∈，随机过程{}t X 的数学期望定义为()()tX t t E X xdF x μ+∞-∞==?()t E X 是时间t 的函数。
2、方差与矩随机过程{}t X 的二阶中心矩22()[(())],tX t t t Var X E X E X t T σ==-∈称为随机过程{}t X 的方差。
概率论第三章 平稳随机过程
严平稳过程只要均方值有界， 就是广义平稳的， 但反之则不一定。
当我们同时考虑两个平稳过程X(t)和Y(t)时，若它 们的互相关函数仅是单变量τ 的函数，即
RX Y (t1, t2 ) E[ X (t1 )Y (t2 )] RXY ( ), t2 t1,
则称X(t)和Y(t)宽平稳相依，或称这两个随机过程 是联合宽平稳的。
例3.1 设随机过程 X (t) a cos(0 t )
式中a，ω0为常数，Φ是在区间(0，2π)上均匀分 布的随机变量, 这种信号通常称为随相正弦波。求 证X(t)是宽平稳的。
二、各态历经（遍历）随机过程
在上面的讨论中，每当谈到随机过程时，就意味 着所涉及的是大量的样本函数的集合。要得到随机过 程的统计特性，就需要观察大量的样本函数。
ln
p( X
/
mX
)
K
N 1
exp
i0
(xi
mX
2
2 X
)2
均值估计
让对数似然函数取最大值
ln p( X / mX ) 0 m X
得到均值的最大似然估值
mˆ X
1 N
N 1
xi
i0
此式说明，可用N个观测值的算术平均作为均值mX的估值。
估计量的性质（工程）
1．有偏估计与无偏估计
由于估计量依赖于观测结果，因此估计量本身是 随机变量，于是它也存在其均值和方差。
定义1：取对应于ρX(τ)=0．05的那个时间为相关 时间τ
0
定义2：用图3.6中的矩形(高为ρX(0)=1，底为τ0的
矩形)面积等于阴影面(ρX(τ)积分的一半)来定义
τ0，即
第3章 随机过程
A2 cos c 2 比较统计平均与时间平均，有
a a, R( ) R ( )
14
因此，随机相位余弦波是各态历经的。
3.2.3 平稳过程的自相关函数
实平稳过程的自相关函数： R( ) E[ (t ) (t )] 性质：
R(0) E[ 2 (t )]
f 2 ( x1 , x2 ; t1 , t 2 ) f 2 ( x1 , x2 ; )
广义平稳
均值与时间 t 无关: 相关函数仅与 τ有关:
a(t ) a R(t1 , t1 ) R( )
注意：
必 广义平稳 狭义平稳 未必
3.2.2 各态历经性（遍历性）
通信原理
第3章 随机过程
本章内容:
随机过程的基本概念
第3章 随机过程
平稳、高斯、窄带过程的统计特性 正弦波加窄带高斯过程的统§3.1 随机过程的基本概念
随机过程是一类随时间作随机变化的 过程，它不能用确切的时间函数描述。
① 所有样本函数 ② 随机变量
12
例题：
自相关函数：
E[ A cos( c t1 ) A cos( c t 2 )] A2 E{cos c ( t 2 t1 ) cos[ c ( t 2 t1 ) 2 ]} 2 A2 A 2 2 1 cos c ( t 2 t1 ) cos[ ( t t ) 2 ] d c 2 1 0 2 2 2 2 A cos c ( t 2 t1 ) 0 2
erfc( x) 2 erfc( x)
B(t1 , t2 ) R(t1 , t2 ) a(t1 ) a(t 2 )
《通信原理》第三章 随机过程的技巧及规律new
1第一部分 随机过程的基本概念总体思路：分清随机变量和确知变量。
每一条曲线ξi (t )都是一个随机起伏的时间函数——样本函数（确在某一特定时刻t 1观察各台接收机的输出噪声值ξ(t 1) ，发现他们的值是不同的－－ 是一个随机量（随机变量）两种分统平均第二部分 随机过程的数字特征均值：代表随机过程的摆动中心。
均方值：相对于横轴的振动程度。
协方差与相关函数：随机过程不同时刻取值之间的相互关系。
广义平稳随机过程：数学期望与t 无关：()at a =；自相关函数只与τ有关：()()11,R t t R ττ+=。
平稳随机过程的各态历经性：各态历经的含义：随机过程的任一实现（样本函数），都经历了随机过程的所有的可能状态。
()()a a R R ττ==思路：时间平均验证平稳随机过程统计平均P ξ(ω) R (τ)平稳随机过程的自相关函数 ： （1） ()()20R E t Sξ⎡⎤==⎣⎦ ---()t ξ的平均功率。
（2）()()R R ττ=----()Rτ是偶函数。
（3） ()()0R R τ≤ --- ()R τ 的上界。
（4） ()()()R E t t ξξ⎡⎤∞=+∞⎣⎦()()2E t E t a ξξ⎡⎤⎡⎤=+∞=⎣⎦⎣⎦---()t ξ的直流功率。
（5） ()()20RR σ-∞= ----方差，()t ξ的交流功率。
平稳随机过程的自相关函数与其功率谱密度之间互为傅里叶关系。
第三部分 高斯过程（1）高斯过程若广义平稳，则必狭义平稳 。
（2）高斯过程中的随机变量()()()123t t t ξξξ，，，之间若不相关，则它们也是统计独立的。
（3）若干个高斯过程之和仍是高斯过程。
－－从信号角度。
（4）高斯过程经线性变换后，仍是高斯过程。
－－从系统（线性系统）角度第四部分 随机过程通过线性系统[][]()()()()002()()0i i E t E t H P P H ξξξξωωω==第五部分 窄带随机过程和正弦波加窄带高斯噪声窄窄窄窄窄窄窄窄()()()cos (t),0()cos (t)sin c c c s c t a t t a t t t t ξξξξωϕξωξω⎡⎤=+≥⎣⎦=-2222221()=exp ,0(),(,)21(,)=exp(()()2a a f a a f a a f a f a f ξξξξξξξξξξξξξξξφππσσπφφπσσ-≥=--=；正弦信号加窄带高斯噪声[]()()cos cos sin sin ()cos ()sin co ()cos ()sin c s ()cos [s os in ()]sin c c c c c s c c c c s c c s c z t t z t t A t A t n t t n t tA n t z t t n t t t A t θωθωωωθωωωωϕθω=-+-=+-+=-⎡⎤=+⎣⎦()cos ()()sin ()c c c s z t A n t z t A n t θθ=+=+cos()()()c r t n t t A ωθ=++n (t) 均值为0、方差为 、窄带平稳高斯随机过程; θ给定，，同样是窄带平稳高斯随机过程()c z t ()c z t 2σ[][]()cos ,()sin c s E z t A E z t A θθ==222csz z σσσ==2202221()exp ()02n n n zAz f z z A I z σσσ⎡⎤⎛⎫=-+≥ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭莱斯（Rice ）分布瑞利分布结论 若()t ξ：均值为0、方差为2σ、窄带、平稳、高斯随机过程。
第3章随机过程
2
3.0 引言
1.信号的分类 按信号的性质分为确定信号和随机信号两类。 确定信号：是指在相同的实验条件下，能够 重复实现的信号。又有周期信号和非周期信号 之分。确定性信号是时间的确定函数。 随机信号：是在相同的实验条件下，不能够 重复的信号。信号的某个或几个参数不能预知 或不可能完全预知（具有随机性）。
取值小于或等于 x 的概率，即
FX x P X x
在许多问题中，采用概率密度函数 PX x 比采用概率分布函数更方便。概率密度函 数被定义为概率分布函数的导数。
分布函 数：distribution function 概率密度函数： probability density function
式中: a (t1) a(t2) － 在t1和t2时刻得到的 (t)的均值 f 2(x1, x2; t1, t2) － (t)的二维概率密度函数。
相关函数和协方差函数之间的关系
B(t1 , t 2 ) R(t1 , t 2 ) a(t1 ) a(t 2 )
若a(t1) = a(t2)=0，则B(t1, t2) = R(t1, t2)
二维分布函数只与时间间隔 = t2 – t1有关：
f 2 ( x1 , x2 ; t1 , t2 ) f 2 ( x1, x2 ; t1 , t2 ) f 2 ( x1, x2 ; )
10
什么是随机过程？
随机过程是一类随时间作随机变化的过程，不能
用确切的时间函数描述。
角度1：随机过程可视为无穷多个样本函数的 集合 (assemble) 。 设Sk(k=1, 2, …)是随机试验。 每一次试验都有 一条时间波形（称为样本函数或实现)，记作xi(t)， 所有可能出现的结果的总体{x1(t), x2(t), …, xn(t) …}就构成一随机过程，记作ξ(t)。简言 之，无穷多个样本函数的总体叫做随机过程。
第3章_随机过程
2013-8-1
通信原理
19
第3章 随机过程
3.2 平稳随机过程
3.2.1定义
1.狭义平稳随机过程
假设一个随机过程ξ(t)，如果它的任何n维分布或概率密 度函数与时间起点无关，即对于任意的t 和τ，随机过程ξ(t) 的n 维概率密度函数满足 fn（x1，x2，...，xn；t1，t2，...，tn） =fn（x1，x2，...，xn；t1+τ，t2+τ，...，tn+τ） 则称ξ(t)是严平稳随机过程或狭义平稳随机过程。
记为 （t） 2
x 2 f1 ( x，t )dx [a (t )]2
称为随机过程ξ(t)的方差。 －－相对于均值的振动程度 。
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通信原理
13
第3章 随机过程
4.协方差与相关函数－－随机过程不同时刻取值之间的相 互关系 衡量随机过程ξ(t)在任意两个时刻t1和t2上获得的随机变量 ξ(t1)和ξ(t2)的统计相关特性时，常用协方差函数B(t1，t2)和相 关函数R(t1，t2)来表示。 （1）相关函数 ξ(t1)和ξ(t2)的二阶原点混合矩
概率论：随机变量分析－－分布函数和概率密度
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通信原理
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第3章 随机过程
3.1.1 随机过程的分布函数
１. 分布函数和概率密度 （1）一维描述 ●一维分布函数 随机过程ξ(t)任一时刻 t1 的取值是随机变量ξ(t1)，则随机 变量ξ(t1)小于等于某一数 值 x1的概率 F1（x1，t1）=P[ξ(t1) ≤x1] 叫做随机过程ξ(t)的一维分布函数。 （3.1.1）
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通信原理
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第三章 更新理论-随机过程
n
n=0,1,2,,且在这些时刻的更新次数是独立的几何随机变量-1（例 如在 t=0 点，当 X1<时 X1 0 ，第一个事件在 t=0 发生，当 X2< 时 X 2 0， 第二个事件在 t=0 发生， ， 直到某个 k 有 Xk时 X k , 第 k 个事件在 t=发生,因此在 t=0 发生的事件个数服从参数为 1 P{Xn} 的 几 何 分 布 -1 ） 其 均 值 为 -1 ， 于 是
t
t [ ]
m(t ) E[ N (t )] E[ N (t )] m(t ) 结论得证。
0
2
3
t {[ ] 1}
三、若干极限定理(some limit theorems) 1.平均更新速率（the average renewal rate) （1） N () lim N (t)
第三章 更新理论（Renewal Theory) 一、 更新过程（a renewal process)概念 1．定义 定义 设 X1,X2, 是非负独立同分布的（independent and identically distributed） iidF， F(0)=P{Xn=0}<1。 令 S0=0,,Sn= X1+X2+ + Xn, n =1,2, 。 N(t)=sup{n:Snt}， (3.1.1) ， 计数过程{N(t),t0}称为更新过程 （a renewal process)。 若将 Xn 解释为第 n-1 个事件与第 n 个事件之间的间隔时间，则第 n 个 事件在时刻 Sn 发生。由于间隔 iid，所以在各个事件发生时刻此过程在概率 意义上重新开始，事件发生时刻即系统更新时刻，事件即更新。N(t)就是系 统在[0,t]中更新次数 SN(t)就是系统在[0,t]中最后一次更新的时刻。 SN(t) t< SN(t)+1
现代通信原理 第3章 随机过程
自相关函数定义
R t1 , t2 E t1 t2
x1 x2 f 2 x1 , x2 ; t1 , t2 dx1dx2
(3-10)
用途：
a.用来判断广义平稳； b.用来求解随机过程的功率谱密度及平均功率。
自协方差与自相关函数之间的关系
程不一定是各态历经的。
例3-1：随机相位正弦波ξ(t)＝sin(ωot+θ)，其中 θ是 在(0～2π)内均匀分布的随机变量。问：
（1）ξ(t)是否广义平稳？
（2）ξ(t)是否各态历经？
解：
(1)由判定广义平稳的条件可知,如果a(t)为常 数, 而R(t,t+τ)仅与τ有关,则ξ(t)广义平稳。
a t E t E sin 0t sin 0t p d
(3-17)
为常数，这表示平稳随机过程的各样本函数围绕 着一水平线起伏。
同样，可以证明平稳随机过程的方差σ2(t)=σ2=
常数，表示它的起伏偏离数学期望的程度也是 常数。 而平稳随机过程ξ(t)的自相关函数 R(t1, t2)=E［ξ(t1)ξ(t1+τ)］=
x1 x2 f 2 ( x1 , x2 ; )dx1dx2 R( )
F2 ( x1 , x2 ; t1, t 2 ) P (t1 ) x1 , (t 2 ) x2
(3-5)
随机过程ξ (t)的二维概率密度函数
2 F2 ( x1, x2 ; t1,t2 ) f 2 ( x1, x2 ; t1, t2 ) x1 x2
(3-6)
第三章 随机过程
第三章随机过程本章主要内容：（1）随机过程（2）平稳随机过程（3）高斯随机过程（4）平稳随机过程通过线性系统（5）窄带随机过程（6）正弦波加窄带随机过程（7）高斯白噪声和带限高斯白噪声本章重点：1．随机过程的基本概念，统计特性和数字特征2．平稳随机过程的定义、自相关函数和功率谱密度的性质3．高斯过程的特性4．窄带随机过程的特性5．高斯白噪声的特性本章练习题：3-1．设是的高斯随机变量，试确定随机变量的概率密度函数,其中均为常数。
查看参考答案3-2．设一个随机过程可表示成式中，是一个离散随机变量，且试求及。
查看参考答案3-3．设随机过程,若与是彼此独立且均值为0、方差为的高斯随机变量，试求：（1）、（2）的一维分布密度函数；（3）和。
查看参考答案3-4．已知和是统计独立的平稳随机过程，且它们的均值分别为和，自相关函数分别为和。
（1）试求乘积的自相关函数。
（2）试求之和的自相关函数。
查看参考答案3-5．已知随机过程,其中，是广义平稳过程，且其自相关函数为=随机变量在（0，2）上服从均匀分布，它与彼此统计独立。
（1）证明是广义平稳的；（2）试画出自相关函数的波形；（3）试求功率谱密度及功率。
查看参考答案3-6．已知噪声的自相关函数为=（为常数）（1）试求其功率谱密度及功率；（2）试画出及的图形。
查看参考答案3-7．一个均值为，自相关函数为的平稳随机过程通过一个线性系统后的输出过程为（1）试画出该线性系统的框图；查看参考答案3-8. 一个中心频率为、带宽为的理想带通滤波器如图3-4所示。
假设输入是均值为零、功率谱密度为的高斯白噪声，试求：图3-4（2）滤波器输出噪声的平均功率；（3）输出噪声的一维概率密度函数。
查看参考答案3-9. 一个RC低通滤波器如图3-5所示，假设输入是均值为零、功率谱密度为的高斯白噪声，试求：（1）输出噪声的功率谱密度和自相关函数；（2）输出噪声的一维概率密度函数。
查看参考答案3-10. 一个LR低通滤波器如图3-6所示，假设输入是均值为零、功率谱密度为的高斯白噪声，试求：（1）输出噪声的自相关函数；（2）输出噪声的方差。
通信原理（第七版）-樊昌信-第三章-随机过程-重要知识点
通信原理（第七版）-樊昌信-第三章-随机过程-重要知识点⼀.⼀些必须知道的：1.均值（数学期望）（详情：）：2.⽅差：3.协⽅差函数和相关函数：3.1协⽅差函数：3.2相关函数：3.3关系：4.性质：⼆、正题：1.严平稳与⼴义平稳：1.1 严平稳：1.2 ⼴义平稳：1.3 关系：严平稳⼀定是⼴义平稳，反之不⼀定成⽴。
2.各态历经性：平稳⼀定具有各态历经性反之不⼀定成⽴；3.⾃相关函数的性质（重点）4.维纳⾟钦定理（重点）：平稳随机过程的⾃相关函数和功率谱密度是⼀对傅⾥叶变换。
（注意：是 R（时域）<---->P（频域））5.⾼斯随机过程：5.1性质：5.2⼀维概率密度函数：5.2.1图像性质5.3误差函数和互补误差函数：5.3.1误差函数：5.3.2互补误差函数：6.平稳随机过程通过线性系统：7.窄带随机过程：7.1 定义：△f << fc7.2 表达式（包络-相位形式）：（同向-正交形式）：8.两个重要结论：9.⽩噪声：9.1 定义：噪声功率谱密度在所有频率为⼀常数（实际中为噪声功率谱密度范围远⼤于⼯作频带时候）9.2 噪声功率谱密度：单边：Pn（f） = n0; 双边：Pn（f） = n0/2;9.3 带限⽩噪声：9.3.1 低通：9.3.2 带通：9.4 功率： N = n0 * B （BPF的带宽）（或者N = n0/2 * 2*B （BPF的带宽））三、⼀些题⽬和不容易理解以及总结：1.不易理解的：2.离散的怎么算：3.总结：3.1 算平均功率：1） R(0)；2）3）3.2 算⽅差：1）E（X²） - E²（X）2）R(0) - R(∞)3）E[ [X-E(X)]² ]。
第三章随机过程
随机过程－ －第三章 随机过程－
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数字期望
数字期望（简称均值）是用来描述随机变量X的统 数字期望（简称均值）是用来描述随机变量 的统 计平均值， 反映随机变量取值的集中位置。 计平均值，它反映随机变量取值的集中位置。 对于离散随机变量X， 是其取值x 对于离散随机变量 ，设 P( xi )(i = 1, 2,L , k )是其取值 i 的 概率， 概率，则其数字期望定义为
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随机变量的数字特征
前面讨论的分布函数和概率密度函数， 前面讨论的分布函数和概率密度函数，能够较 全面地描述随机变量的统计特性。然而， 全面地描述随机变量的统计特性。然而，在许多实 际问题中，我们往往并不关心随机变量的概率分布， 际问题中，我们往往并不关心随机变量的概率分布， 而只想了解随机变量的某些特征， 而只想了解随机变量的某些特征，例如随机变量的 统计平均值， 统计平均值，以及随机变量的取值相对于这个平均 值的偏离程度等。 值的偏离程度等。这些描述随机变量某些特征的数 值就称为随机变量的数字特征。 值就称为随机变量的数字特征。
随机过程－ －第三章 随机过程－
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对于离散随机变量， 对于离散随机变量，上式方差的定义可表示为
D[ X ] = [ x i − E ( X )] 2 Pi ∑
i
式中， 是随机变量X取值为 的概率。 取值为x 式中，Pi是随机变量 取值为 i 的概率。 对于连续随机变量， 对于连续随机变量，方差的定义可表示为
+∞ +∞
{
}
−∞ −∞
∫ ∫ x
1
− a ( t1 ) x2 − a ( t 2 ) f 2 ( x1 , x2 ; t1 , t 2 ) dx1dx2