储庆昕高等电磁场讲义 第十二章

第12讲 镜像原理(II)12.1介质交界平面的镜像原理首先研究二维线电荷λ关于介质交界面的镜像原理。

如图12-1(a)所示，在x >0和x <0的半空间中分别填充介电常数为ε1和ε2的介质，交界面位于x =0。

在x >0空间x d =处放置一线电荷λ。

各区域电位满足的支配方程为∇=-->∇=<⎧⎨⎪⎩⎪212100ΦΦI∏ελδδ()()x d y x x (12-1)交界面边界条件为：ΦΦΦΦI ∏I ∏====⎧⎨⎪⎩⎪ x xx x 0012ε∂∂ε∂∂ (12-2)求x >0空间中的电位时，设全空间只填充一种介质ε1，在原线电荷的镜像位置x d =-处放置镜像线电荷'λξλ ＝，如图12-1(b)所示。

求x <0空间中的电位时，设全空间只填充一种介质ε2，去掉原电荷，在原线电荷位置x d =处放置镜像电荷''ληλ ＝，如图12-1(c)所示。

oxyε1ε2λoxε1ε1λdoxε2ε2''λ-d'λyy(a)(b)(c)dd图12-1 介质交界面镜像原理(a) 原问题 (b) x >0半空间镜像问题 (c) x <0半空间镜像问题于是可得到各区域的电位表达式⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=Φ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡++++-=Φ∏I 22222221)(1ln 2)(1ln)(1ln 2y d x y d x y d x ηπελξπελ (12-3)ΦI 和Φ∏关于x 的导数为∂∂λπεξ∂∂λπεηΦΦI ∏x x d x d y x d x d y x x d x d y =---+++++⎡⎣⎢⎤⎦⎥=-⋅--+⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪2212222222()()()()()() (12-4)利用边界条件(12-2)，得111112εξεηξη()()+=-=⎧⎨⎪⎩⎪ (12-5) 于是ξεεεεηεεε=-+=+⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪12122122 (12-6) 如果从λ''中除去λ，则新增加的电荷为ξλληλλ-=-=-'')1(。

如果原电荷是点电荷q ，可以证明，镜像原理完全一样，即q q ξ='，q q η=''。

12．2 介质交界面平行导体平面的镜像原理考虑一个由空气、介质和导体三层媒质组成的结构，在仅靠介质面的空气中放置一线电荷λ，如图12-2所示。

现在利用镜像原理求解线电荷λ在空间产生的电位。

这一问题的实际背景就是求微带的Green 函数。

图12-2 介质交界面平行导体平面分析的总原则是(1) 在所考虑的区域内保持原电荷及媒质分布；(2) 区域外的电荷和媒质可任意改变，但所有的分布应使边界上的电位满足边界条件。

首先，利用介质镜像原理和导体镜像原理确定0<<x h 的介质区域(区域2)的镜像问题。

将区域1和3也填充区域2的媒质，即整个空间填充εε0r 媒质。

镜像电荷的分布应满足如下规律：在区域2中无电荷；oh λyxεε0rε0PECRegion 1Region 2Region 3● 电荷分布应与y 轴反对称，以满足x =0的导体边界条件 ● 电荷分布也应以x h =对称，以满足介质边界条件。

为了满足x h =处的介质边界条件，在区域1中x h =＋处放置一线电荷21εελrr+，接着为了满足x =0的导体边界条件，在区域3中x h =-处放置线电荷-+21εελrr。

然后再在区域1中x h =3处放置线电荷-+-+2111εεεελr r r r ，以满足介质边界条件。

再在区域3中x h =-3处放置线电荷2111εεεελr r r r +-+，如此继续，直至无穷。

图12-3(a)说明了这一过程。

电荷的位置为±+=(),,,21012k h k 对应的电荷为±++=2111012εεεεr r r r kk (),,,－所以，区域2中的电位为[][]Φ∏＝－1111121121020202202πεεεε()()ln ()()ln()()++⋅-++--+++-⎡⎣⎢⎢⎤⎦⎥⎥=∞∑r r k k x k h y y x k h y y (12-7)o 21εελrr+yx εε0rh 5h3h-h-3h-5h2111εεεελr r r r +-+21112εεεελr r r r +-+⎛⎝ ⎫⎭⎪-+21εελrr-+-+2111εεεελr r r r -+-+⎛⎝ ⎫⎭⎪21112εεεελr r r r o 11-+εελrryxε0h +5h3h-h-3h-5h-+412εελrr ()-+-+41112εεεελr r r r ()-+-+⎛⎝ ⎫⎭⎪411122εεεελr r r r () h -λ(a)(b)图12-3介质交界面平行导体平面结构的镜像问题 （a ） 介质区域的镜像问题 （b ）空气区域的镜像问题再利用介质镜像原理确定等效区域1的镜像电荷分布。

确定区域1镜像问题的规律是● 区域1中只有真实线电荷λ；● 区域1只有一个边界，就是x h =的介质面，电荷分布只需满足该边界条件。

● 应考虑区域2中导体边界对区域1的影响，但无需满足x =0的导体边界条件图12-3(b)表明了确定过程。

为了保证x h =介质边界条件，在区域2中x h =－处加电荷11－＋εελrr。

导体对区域1的影响可以等效地看成图12-3(a)区域3中的电荷对区域1的影响，依照介质镜像原理，在这些电荷上应乘以因子ηε=+21r。

于是区域1中的电位为[]ΦI =+-+--+-++++-=∞∑λπεεεεεε02022020112111121(){ln()()()ln ()()}r rr r rk k x h y y x k h y y(12-8)最后求区域3中的电位，由于区域3为接地导体，故区域3的电位为ΦIII ＝0。

下面检验上述解是否满足边界条件及支配方程。

首先检验x h =处的介质交界面条件。

[]ΦIx hr rr r rk k y y k h y y ==∞=+--+-+++-∑λπεεεεεε0022020112111121(){ln ()()ln ()()}(12-9)])(])1(2[1ln )11(12)(1[ln )1( ])(])1(2[1ln )11()()2(1ln )11()(1[ln )1( ])(])1(2[1ln )()2(1[ln )11()1(02022000202120220002022020∑∑∑∑∞=∞=∞=∞==∏-+++-+--+=-+++---++-+-+=⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-++--++-+=Φk k r r r r r k k r r k k r r r k k r r r h x y y h k y y y y h k y y kh y y y y h k y y kh εεεεεπελεεεεεπελεεεπελ (12-10)可见 ΦΦI∏x hx h=== (12-11)再验证x h =处的导数边界条件∂∂ε∂∂ΦΦI ∏xxx h rx h=== (12-12)根据(12-8)得ΦI x h r rrr r k k x hrr r r k x hx h y y x k hx k h y y k hk ==∞==+---+-++-++++++-=+-+++∑λπεεεεεελεπεεεε0022020021211121214111121(){()()()()[()]()}()()()[()h y y k ]()202+-=∞∑ (12-13)再根据(12-7)得hx k k r r r h x y y h k x hk x y y h k x kk x =∞==∏-++++++-++-+--+-=Φ∑})(])12([)12( )(])12([)12({)11()1(122202020εεεπε＋=+-++-=∞∑λπεεεε0202111122(){()()()r r r k k khkh y y20202202020)(])1(2[)1()11()1(4 })(])1(2[)1(2)11(+y y h k h k y y h k h k k r r r h k r r -++++-+=-++++-∑∑∞=∞=εεεπελεε (12-14) 显然满足(12-12)。

最后还应满足每个区域内的支配方程。

由于电位均是由静电荷产生的，且各区域等效时镜像电荷并未进入区域，故所考虑的区域内电荷分布不变，所以各区域的电位一定满足该区域的Possion 方程或Laplace 方程。

*三、介质球镜像原理如图12-4(a)所示，介质球外一点电荷q 位于距球心r a 处，介质球的半径为r 0，相对介电常数为εr 。

现利用镜像原理求解该问题。

将该问题分成两个区域，区域1：介质球外的空气，区域2：介质球内。

在等效区域1时，区域2填充空气，并在x r r b =<0处放上镜像电荷'=q q ξ，如图12-5(b)所示。

在等效区域2时，区域1中填充εε0r ，在x r a =处放上电荷''=q q η。

于是两个区域中的电位为 ΦI =+-++-q r r rr r r rr aa bb 412202222πεθξθ(cos cos ) (12-15)Φ∏=⋅+-q r r rr r a a 412022πεεθcos (12-16)0r a r 0q 0r a r 0qε0Region2 Region1ε0xr b r θP q ’r ar 0ε0εr Region2 Region1ε0x0r a r 0q r ar 0”ε0εr Region2 Region1xε0εrθ(c)(b)(a)P图12-5 介质球镜像原理（a ）原问题 （b ）区域1的镜像问题 （c ）区域2的等效问题根据边界条件ΦΦI∏r r r r ===0，得()cos cos ηεθξθr a a b b r r r r r r r r -+-=+-112202200220 (12-17) 即 ()(c o s )(c o s )ηεθξθrb b a a r r r r r r r r -+-=+-1222022020220 上式对于任意θ均满足，所以()()()()ηεξηεξrb a rb ar r r r r r-+=+-=⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪112022202222 (12-18) 整理得 r r r r r r a b b a ()()022022+=+即 ()()r r r r r a b a b --=020 (12-19)由于r r a b ≠，r r r a b 02=，即， r r r b a =02 (12-20)将上式代入(12-17)，得： ηεξr a r r -=10(12-21)再利用导数边界条件∂∂ε∂∂ΦΦI∏rrr r rr r ===0(12-22)因为∂∂πεθθξθθΦI r q r r r r r r r r r r r r r r a a a b b b ==--+-+-+-0422000220320022032[cos (cos )(cos )(cos )]∂∂πεεηθθΦ∏rqr r r r r r r r r a a a ==-⋅-+-04200022032(cos )(cos ) 于是 ()(cos )(cos )(cos )(cos )ηθθξθθ--+-=-+-12200220320022032r r r r r r r r r r r r a a a b b b将(12-20)代入，得()(cos )(cos )()ηθξθ--=-1000203r r r r r r r a a a (12-23)考虑到θ的任意性，得ηξηξ－＝－＝113030r r r r a a ⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪ (12-24) 居然出现了矛盾的结果！原因何在？习题 1012-1 试利用镜像原理求解如图12-6所示的线电荷λ在三层介质中产生的电位。