Concurrent Process up to Homotopy (II)

a rX iv:mat h /32284v1[mat h.AT]24Feb23CONCURRENT PROCESS UP TO HOMOTOPY (II)PHILIPPE GAUCHER Abstract.On d´e montre que la cat´e gorie des CW-complexes globulaires `a dihomotopie pr`e s est ´e quivalente `a la cat´e gorie des flots `a dihomotopie faible pr`e s.Ce th´e or`e me est une g´e n´e ralisation du th´e or`e me classique disant que la cat´e gorie des CW-complexes modulo homotopie est ´e quivalente `a la cat´e gorie des espaces topologiques modulo homotopie faible.One proves that the category of globular CW-complexes up to dihomo-topy is equivalent to the category of flows up to weak dihomotopy.This theorem generalizes the classical theorem which states that the category of CW-complexes up to homotopy is equivalent to the category of topological spaces up to weak homotopy.1.Rappels sur les flots Cette note est la deuxi`e me de deux notes pr´e sentant quelques r´e sultats de [1].Tous les espaces topologiques sont suppos´e s faiblement s´e par´e s et compactement engendr´e s,c’est-`a -dire dans ce cas hom´e omorphes `a la limite inductive de leurs sous-espaces compacts (cf.l’appendice de [5]pour un survol des propri´e t´e s de ces espaces).La cat´e gorie correspondante est not´e e Top .On travaille ainsi dans une cat´e gorie d’espaces topologiques qui est non seulement compl`e te et cocompl`e te mais en plus cart´e siennement ferm´e e [6].En d’autres termes,le foncteur −×X :Top →Top a un adjoint `a droite TOP (X,−).Dans la suite,D n est le disque ferm´e de dimension n et S n −1est le bord de D n ,`a savoir la sph`e re de dimension n −1.En particulier la sph`e re de dimension 0est la paire {−1,+1}.D´e finition 1.1.[1]Un flot X consiste en la donn´e e d’un ensemble X 0appel´e 0-squelette,d’un espace topologique P X appel´e espace des chemins,de deux appli-cations continues s :P X →X 0et t :P X →X 0(X 0´e tant muni de la topologie discr`e te)et d’une application continue ∗:{(x,y )∈P X ×P X,t (x )=s (y )}→P X satisfaisant les axiomes s (x ∗y )=s (x ),t (x ∗y )=t (y )et enfin x ∗(y ∗z )=(x ∗y )∗z pour tout x,y,z ∈P X .Un morphisme de flots f de X vers Y est une applica-tion continue de X 0⊔P X vers Y 0⊔P Y telle que f (X 0)⊂Y 0,f (P X )⊂P Y ,s (f (x ))=f (s (x )),t (f (x ))=f (t (x )),f (x ∗y )=f (x )∗f (y ).La cat´e gorie corre-spondante est not´e e Flow .Les ´e l´e ments de P X sont appel´e s les chemins d’ex´e cution (non-constants)et ceux de X 0les ´e tats de X (ou encore les chemins d’ex´e cution constants).Si Z est un espace topologique,le flot Glob (Z )est d´e fini comme suit :P Glob (Z )=Z ,Glob (Z )0={0,1},et enfin s =0et t =1(il n’y a pas de cheminsd’ex´e cutioncomposables).Si Z est un singleton,on obtient le flot −→I correspondant au segmentdirig´e .2P.GAUCHERD´e finition 1.2.[1]Deux morphismes de flots f et g de X dans Y sont S-homotopes s’il existe une application continue H :X ×[0,1]→Y telle que(1)H (−,u )est un morphisme de flots de X dans Y(2)H (−,0)=f et H (−,1)=gOn ´e crit f ∼S g .De l`a on d´e finit la notion de flots S-homotopes :D´e finition 1.3.[1]Deux flots X et Y sont S-homotopes s’il existe un morphisme de flots f :X →Y et un morphisme de flots g :Y →X tels que f ◦g ∼S Id Y et g ◦f ∼S Id X .On dit alors que f et g sont deux ´e quivalences de S-homotopie r´e ciproques.Il existe une deuxi`e me classe de morphismes de flots appel´e s T-homotopie qui permet d’identifier des flots ayant les mˆe mes propri´e t´e s informatiques sous-jacentes[2,1].Nous n’en dirons rien de nouveau ici par rapport `a la pr´e c´e dente note.Il est donc inutile de rappeler la d´e finition pr´e cise de cette classe de morphismes.2.Flot S-cofibrantUn flot S-cofibrant est obtenu par d´e finition comme suit.On part d’un espace discret X 0et on consid`e re le flot correspondant ayant X 0comme 0-squelette et l’ensemble vide ∅comme espace de chemins.On lui attache ensuite des −→I pourobtenir un premier flot X 10.On passe ensuite de X 1n `a X 1n +1pour n 0en attachantdes Glob (D n +1)le long de morphismes d’attachement Glob (S n )→X 1n .En d’autres termes,on choisit une famille de morphismes de flots f i :Glob (S n )→X 1n pour i ∈I et X 1n +1est alors obtenu par le diagramme cocart´e sien dans la cat´e gorie des flots (qui se trouve ˆe tre cocompl`e te)i ∈I Glob (S n ) i ∈I f i X 1nX 1n +1Si Z est un CW-complexe,alors Glob (Z )est un exemple de flot S-cofibrant.Vu la similitude entre la construction des CW-complexes globulaires introduits dans[3,2]et celle des flots S-cofibrants,on n’aura pas de mal `a se convaincre du :Th´e or`e me 2.1.[1]Le plongement des CW-complexes globulaires dans les flots in-duit une ´e quivalence de cat´e gories entre les CW-complexes globulaires `a S-homotopie et T-homotopie pr`e s et les flots S-cofibrants `a S-homotopie et T-homotopie pr`e s.La preuve de ce th´e or`e me repose essentiellement sur le fait que deux CW-complexes globulaires sont S-homotopes (resp.T-homotopes)si et seulement si les flots correspondants sont S-homotopes (resp.T-homotopes)(cf.[2]).3.Dihomotopie faibleD´e finition 3.1.[1]Un morphisme de flots f :X →Y est une S-homotopie faible si f induit une bijection entre X 0et Y 0et une ´e quivalence d’homotopie faible de P X vers P Y .On dit alors que X et Y sont faiblement S-homotopes.PARALL´ELISME ET HOMOTOPIE(II)3 Th´e or`e me3.2.[1]Un morphisme deflots f:X→Y entre deuxflots S-cofibrants X et Y est une´e quivalence de S-homotopie faible si et seulement si c’est une ´e quivalence de S-homotopie.Si les deuxflots S-cofibrants sont de la forme Glob(Z)et Glob(T)o`u Z et T sont deux CW-complexes,cet´e nonc´e correspond au th´e or`e me classique de Whitehead.Pour le d´e montrer,on commence par introduire pour tout espace topologique U et toutflot X unflot U⊠X de telle fa¸c on que l’on ait la bijection naturelle Flow([0,1]⊠X,Y)∼=Top([0,1],FLOW(X,Y))o`u FLOW(X,Y)est l’ensemble des morphismes deflots de X`a Y muni de la Kelleyfication de la topologie in-duite par celle de TOP(X,Y).Mais le foncteur FLOW(X,−):Flow→Top ne commute pas avec les limites projectives.En effet,si X est un singleton, alors FLOW(X,Y)=Y0est toujours discret mais la limite projective d’espaces topologiques discrets peutˆe tre totalement discontinue sansˆe tre discr`e te.On doit donc proc´e der autrement pour d´efinir correctement U⊠X.Mais d`e s que U est connexe,la bijection naturelle ci-dessus est vraie et U⊠X est alors leflot libre engendr´e par X0⊔(U×X)quotient´e par les relations s(u,x)=s(x),t(u,x)=t(x) et(u,x)∗(u,y)=(u,x∗y)d`e s que t(x)=s(y)pour tout u∈U et tout x,y∈P X.Puis on adapte`a la cat´e gorie desflots la th´e orie des paires NDR et DR d’espaces topologiques[6]de la fa¸c on notion de paire NDR d’espaces topologiques devient la notion de S-cofibration d´efinie comme suit:D´efinition3.3.[1]Un morphisme deflots i:X→Y est une S-cofibration si i v´e rifie la propri´e t´e de rel`e vement des S-homotopies,i.e.pour tous morphismes deflots g:Y→Z et H:[0,1]⊠X→Z tels que H(0⊠x)=g(i(x)),il existe un morphisme deflots H(u⊠i(x))=H(u⊠x)et1⊠x→f(x)Y4P.GAUCHERMuni de ces outils,on suit alors pas-`a-pas la d´e monstration du th´e or`e me de Whitehead telle que expos´e e dans le livre[7]en adaptant auxflots les th´e or`e mes de compression ainsi que les diff´e rents th´e or`e mes d’extension de morphismes ou d’homotopies.On obtient mˆe me gratuitement le th´e or`e me suivant:Th´e or`e me3.7.[1]Soit f:X→Y un morphisme deflots o`u X et Y sont deux flots S-cofibrants.Alors f est S-homotope`a un morphisme deflots g:X→Y tel que pour tout n 0,g(X1n)⊂Y1n.Enfin on a:Th´e or`e me3.8.[1]Toutflot est faiblement S-homotope`a unflot S-cofibrant.Ce CW-complexe globulaire est n´e cessairement unique`a S-homotopie pr`e s d’apr`e s le th´e or`e me pr´e c´e dent.Si X est un espace topologique,on sait qu’il existe une proc´e dure pour construire une famille de CW-complexes(Y n)n 0o`u pour tout i 0et tout point base, l’application canoniqueπi(Y n)→πi(X)est surjective et pour tout0 i n et tout point base,l’application canoniqueπi(Y n)→πi(X)est injective.Dans cette proc´e dure,on passe de Y n`a Y n+1en attachant des disques D n+1`a Y notation πi d´e signe´e videmment le i-i`e me groupe d’homotopie.Une proc´e dure exactement similaire fonctionne pour lesflots.On part d’unflot X et on commence par associer`a P X un espace Y0et une application continue Y0→P X v´e rifiant les mˆe mes conditions que ci-dessus.On prend alors leflot libre T0engendr´e par X0et Y0,ce qui ne change´e videmment rien`a la situation pour les groupes d’homotopie.Puis on attache`a T0des cellules Glob(D1)le long de morphismes d’attachement Glob(S0)→T0de fa¸c on`a obtenir un morphisme deflots T1→X induisant des bijections pourπ0etπ1.L’unique diff´e rence avec ce qui se passe pour les espaces topologiques est qu’attacher une cellule`a unflot peut engendrer,du fait de la composition des chemins,un attachement de plusieurs cellules`a l’espace des chemins sous-jacents.Cela ne change rien pour les groupes d’homotopie.D’o`u le r´e sultat en it´e rant le proc´e d´e.Et comme corollaire,on obtient leTh´e or`e me3.9.[1]Le foncteur r´e alisation cat´e gorique induit une´e quivalence de cat´e gories entre la cat´e gorie des CW-complexes globulaires`a S-homotopie et`a T-homotopie pr`e s et la cat´e gorie desflots`a S-homotopie faible et`a T-homotopie pr`e s.Nous avons donc obtenu apr`e s[3]une deuxi`e me fa¸c on de d´e crire les automates parall`e les`a dihomotopie pr`e s.L’immense avantage de cette seconde fa¸c on est que la cat´e gorie desflots est compl`e te et cocompl`e te,contrairement`a la cat´e gorie des CW-complexes globulaires.De plus on a leTh´e or`e me3.10.[1]Il existe une structure mod`e le sur la cat´e gorie desflots dont les´e quivalences faibles sont exactement les S-homotopies faibles.Il existe une deuxi`e me classe de morphismes deflots appel´e s T-homotopie qu’on aimerait voir transformer en´e quivalence faible.D’o`u laQuestion3.11.Existe-t-il une structure mod`e le sur la cat´e gorie desflots dont les ´e quivalences faibles contiendraient aussi les T-homotopies?Cette structure mod`e le pourraitˆe tre obtenue´e ventuellement par localisation`a gauche ou`a droite au sens de[4]de la structure mod`e le du th´e or`e me3.10.PARALL´ELISME ET HOMOTOPIE(II)5 Il y a deux obstacles`a surmonter pour r´e pondre`a cette question:1)prou-ver l’existence d’une ou des deux localisations,2)v´e rifier que la ou les nouvelles structures mod`e le n’identifient pas des automates parall`e les ayant des propri´e t´e s diff´e rentes.Pour terminer,la cat´e gorie desflots n’est pas cart´e siennement ferm´e e mais elle poss`e de quand mˆe me une structure mono¨ıdale ferm´e e qui a une signification infor-matique int´e ressante[1].References[1]P.Gaucher,A Convenient Category for The Homotopy Theory of Concurrency,2002,arXiv:math.AT/0201252.[2]P.Gaucher,Automate parall`e le`a homotopie pr`e s(I),projet de note aux C.R.A.S.,2002.[3]P.Gaucher and E.Goubault,Topological Deformation of Higher Dimensional Automata,2001,arXiv:math.AT/0107060,`a paraˆitre dans Homology,Homotopy and Applications.[4]P.S.Hirschhorn,Localization of model categories,available at http://www-/˜psh/,October2001.[5]L.G.Lewis,The stable category and generalized thom spectra,Ph.D.thesis,University ofChicago,1978.[6]N.E.Steenrod,A convenient category of topological spaces,Michigan Math.J.14(1967),133–152.[7]G.W.Whitehead,Elements of homotopy theory,Springer-Verlag,New York,1978.Institut de Recherche Math´e matique A vanc´e e,ULP et CNRS,7rue Ren´e Descartes, 67084Strasbourg Cedex,FranceE-mail address:gaucher@math.u-strasbg.frURL:http://www-irma.u-strasbg.fr/~gaucher/。