100测评网高三数学复习极坐标与参数方程测试
高中数学极坐标与参数方程大题及答案
高中数学极坐标与参数方程大题及答案一、题目1.将直角坐标方程x2+y2=4转化为极坐标方程，并求出对应的参数方程；2.已知曲线的极坐标方程为 $r=2\\cos\\theta$，求对应的直角坐标方程并作图；3.曲线的参数方程为 $x=\\sin\\theta$，$y=\\cos\\theta$，求对应的直角坐标方程并判断曲线形状。
二、解答1. 将直角坐标方程转化为极坐标方程给定直角坐标方程x2+y2=4，我们可以假设 $x=r\\cos\\theta$，$y=r\\sin\\theta$，将其带入方程得：$(r\\cos\\theta)^2+(r\\sin\\theta)^2=4$化简得：$r^2(\\cos^2\\theta+\\sin^2\\theta)=4$由于 $\\cos^2\\theta+\\sin^2\\theta=1$，所以方程可以简化为r2=4，即r=±2。
因此，直角坐标方程x2+y2=4对应的极坐标方程为r=2和r=−2。
对应的参数方程为：当r=2时，$x=2\\cos\\theta$，$y=2\\sin\\theta$；当r=−2时，$x=-2\\cos\\theta$，$y=-2\\sin\\theta$。
2. 求曲线的直角坐标方程并作图已知曲线的极坐标方程为 $r=2\\cos\\theta$，我们将其转化为直角坐标方程。
利用极坐标与直角坐标的关系 $x=r\\cos\\theta$，$y=r\\sin\\theta$，我们将$r=2\\cos\\theta$ 代入得：$x=2\\cos\\theta\\cos\\theta=2\\cos^2\\theta$$y=2\\cos\\theta\\sin\\theta=\\sin2\\theta$所以，曲线的直角坐标方程为 $x=2\\cos^2\\theta$，$y=\\sin2\\theta$。
我们现在来作图，首先确定参数的范围。
参数方程 极坐标专项训练 高三数学解析几何专项训练试题(含例题、练习、答案)
心尺引州丑巴孔市中潭学校第三章 参数方程 极坐标专项训练参数方程、极坐标〔一〕【例题精选】：一、参数方程：例1：化以下方程为普通方程解：〔1〕∴=--⎛⎝ ⎫⎭⎪+=+⎛⎝ ⎫⎭⎪-⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪∴--=-+=+⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪x t t y t t x t t y t t 311211131121①②②2－①2得 〔2〕解出cos sin θθ=+=-x y y x 4929〔3〕由x tt =-+21中解出t 得t x x x =-+≠-211（）代入y t t=+21中，化简得：〔4〕由y tg y tg x tg =+=+=sin (cos )θθθθθ得·1 例2：P x y (,)是以A 〔1，0〕为圆心且过原点O 的圆，设∠=AOP α，以α为参数，写出此圆的参数方程。
解：连BP ，自P 作PM OB ⊥，M 为垂足，∴所求圆的参数方程是x y ==⎧⎨⎩∈-⎡⎣⎢⎤⎦⎥22222cos sin αααππ， 例3：一个质点按照规律x a t y b t t =+=+⎧⎨⎩cos sin θθ（为参数）运动，试求它从时间t 1到t 2所经过的距离。
解：设时间t 1、t 2对应的点为A 、B ，那么A 、B 点的坐标分别是：例4：圆锥曲线方程是x t y t =++=-+-⎧⎨⎩3516452cos sin ϕϕ〔1〕假设t 为参数，ϕ为常数，求这圆锥曲线的普通方程，并求出焦点到准线的距离。
〔2〕假设ϕ为参数，t 为常数，求这圆锥曲线的普通方程，并求出它的离心率。
解：〔1〕方程化成x ty t --=-+=-⎧⎨⎩5134562cos sin ϕϕ 消去参数t ，得()()x y --=--+5132452cos sin ϕϕ 顶点为()5145cos sin ϕϕ+-，焦点到准线的距离为P =34〔2〕方程化成x t y t --=++=⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪3156542cos sin ϕϕ消去参数ϕ，得例5：直线l x t y t t R :sin cos =-︒=+︒⎧⎨⎩∈125525（）的倾斜角是：A ．115B ．75C ．155D ．25分析：y t -=︒525cos答案：A例6：直线x ty t t y x =--=+⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪--=1352452122（为参数）与曲线()相交于A 、B 两点。
高中数学极坐标与参数方程练习题及参考答案2023
高中数学极坐标与参数方程练习题及参考答案2023一、选择题：1. 下列哪个不是一个极坐标?A. (2, π/3)B. (-3, 4π/3)C. (2, -5π/6)D. (5, 4π/7)2. 以下哪个函数是参数方程？A. y = 3x + 1B. x^2 + y^2 = 4C. y = sin 2xD. x = t - 1, y = t + 23. 一个曲线的极坐标方程为r = 4 sinθ，该曲线的形状是？A. 玫瑰线B. 半径为4的圆C. 极坐标线段D. 直线二、计算题：1. 已知曲线的极坐标方程为r = 3sinθ，计算该曲线在θ∈[0,π/2]的弧长。
解：由弧长公式可知，弧长需要对r关于θ求导，并同时进行积分操作。
{l = ∫[0,π/2 {√[r^2 + (dr/dθ)^2]}dθ = ∫[0,π/2] {√[9cos^2θ + 9sin^2θ]}dθ= ∫[0,π/2] {3dθ} = 3π/2所以该曲线在θ∈[0,π/2]的弧长为3π/2。
2. 已知曲线的参数方程为 x = t^2 + 2t，y = t^2 - 2t，求该曲线的极坐标方程。
解：根据极坐标与参数方程的转换公式，可得：r^2 = (x-1)^2 + y^2替换x和y，得到：r^2 = [(t^2 + 2t - 1)^2 + (t^2 - 2t)^2]= (t^2 + 2t - 1)^2 + (t^2 - 2t)^2展开式子，得到：r^2 = 2t^4 + 2t^2 + 2因为π是常数，所以就能得到该曲线在极坐标下的表示：r = √[2t^4 + 2t^2 + 2]三、应用题：一艘船沿着曲线r = 2sinθ 前进，求当船越过双极点时速度的大小和方向。
解：当船越过双极点时，θ的值从π- ε 到π+ε （ε接近0），根据速度的定义，得到速度v的表达式：v = ds/dt = √[(dr/dt)^2 + (rdθ/dt)^2]因为θ的变化非常小，所以可认为θ是常数，dθ/dt = 0。
高考第一轮复习数学单元测试卷-参数方程、极坐标
高考第一轮复习数学:参数方程、极坐标一选择题1、曲线的参数方程为(t是参数)，则曲线是A、线段B、双曲线的一支C、圆D、射线2、极坐标方程表示的曲线是A、圆B、椭圆C、双曲线的一支D、抛物线3、原点与极点重合，x轴正半轴与极轴重合，则点（-6，-8）的极坐标是4、在极坐标系中有如下三个结论：= 1 * GB3 ①点P在曲线C上，则点P的极坐标满足曲线C的极坐标方程；= 2 * GB3 ②表示同一条曲线；= 3 * GB3 ③ρ=3与ρ=-3表示同一条曲线。
在这三个结论中正确的是：A、= 1 * GB3 ① = 3 * GB3 ③B、= 1 * GB3 ①C、= 2 * GB3 ② =3 * GB3 ③ D、= 3 * GB3 ③5、已知动园：是常数），则圆心的轨迹是A、直线B、圆C、抛物线的一部分D、椭圆6、在参数方程（t为参数）所表示的曲线上有B、C两点，它们对应的参数值分别为t1、t2，则线段BC的中点M对应的参数值是7、的位置关系是A、相交B、相切C、相离D、视的大小而定8、下列参数方程（t为参数）中与普通方程x2-y=0表示同一曲线的是9、已知点为A、正三角形B、直角三角形C、锐角等腰三角形D、直角等腰三角形10、圆的圆心的极坐标是A、 B、 C、 D、11、直线的位置关系是A、平行B、垂直C、相交不垂直D、与有关，不确定12、已知过曲线上一点P原点O的直线PO的倾斜角为，则P点坐标是A、（3，4）B、C、(-3，-4)D、二填空题13、圆锥曲线的准线方程是_______________________。
14、在极坐标系中，点P=1的距离等于____________。
15、过抛物线y2=4x的焦点作倾斜角为的弦，若弦长不超过8，则的取值范围是________________________________。
16、与曲线对称的曲线的极坐标方程是________________________。
高三数学《极坐标与参数方程》专题测试题含答案
高三数学极坐标与参数方程专题测试题含答案（120分钟 每小题10分，共15小题，总分150分）1.【2017课标1，理22】在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为3cos ,sin ,x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数），直线l 的参数方程为4,1,x a t t y t =+⎧⎨=-⎩（为参数）.（1）若a =−1，求C 与l 的交点坐标；（2）若C 上的点到la.2. 【2017课标II ，理22】在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线1C 的极坐标方程为cos 4ρθ=。
（1）M 为曲线1C 上的动点，点P 在线段OM 上，且满足||||16OM OP ⋅=,求点P 的轨迹2C 的直角坐标方程；（2）设点A 的极坐标为(2,)3π，点B 在曲线2C 上，求OAB △面积的最大值。
3.【2017课标3，理22】在直角坐标系xOy 中，直线l 1的参数方程为2+,,x t y kt =⎧⎨=⎩（t 为参数），直线l 2的参数方程为2,,x m m my k =-+⎧⎪⎨=⎪⎩（为参数）.设l 1与l 2的交点为P ，当k 变化时，P 的轨迹为曲线C . （1）写出C 的普通方程；（2）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，设()3:cos sin 0l ρθθ+=，M 为l 3与C 的交点，求M 的极径.4.【2015高考陕西，理23】在直角坐标系x y O 中，直线l的参数方程为1322x t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）．以原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，C的极坐标方程为ρθ=．（I ）写出C 的直角坐标方程；（II ）P 为直线l 上一动点，当P 到圆心C 的距离最小时，求P 的直角坐标．5.【2015高考新课标2，理23】在直角坐标系xoy 中，曲线1cos ,:sin ,x t C y t αα=⎧⎨=⎩（t 为参数，0t ≠），其中0απ≤<，在以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线2:2sin C ρθ=，曲线3:C ρθ=．（Ⅰ）.求2C 与1C 交点的直角坐标；（Ⅱ）.若2C 与1C 相交于点A ，3C 与1C 相交于点B ，求AB 的最大值．6． 【2014全国2，理20】在直角坐标系xoy 中，以坐标原点为极点，x 轴为极轴建立极坐标系，半圆C 的极坐标方程为2cos ρθ=，0,2πθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦.（Ⅰ）求C 的参数方程；（Ⅱ）设点D 在C 上，C 在D处的切线与直线:2l y =+垂直，根据（Ⅰ）中你得到的参数方程，确定D 的坐标.7. 【2014课标Ⅰ，理23】已知曲线221:149x y C +=，直线l ：2,22,x t y t =+⎧⎨=-⎩（t 为参数）.（I ）写出曲线C 的参数方程，直线l 的普通方程；（II ）过曲线C 上任意一点P 作与l 夹角为30︒的直线，交l 于点A ，PA 的最大值与最小值．8.【2015高考新课标1，理23】在直角坐标系xOy 中，直线1C :x =-2，圆2C ：()()22121x y -+-=,以坐标原点为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系. （Ⅰ）求1C ，2C 的极坐标方程； （Ⅱ）若直线3C 的极坐标方程为()4R πθρ=∈，设2C 与3C 的交点为M ,N ,求2C MN 的面积.9．【2016高考新课标3理数】在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为()sin x y ααα⎧=⎪⎨=⎪⎩为参数，以坐标原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴，，建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为sin()4ρθπ+=（I ）写出1C 的普通方程和2C 的直角坐标方程；（II ）设点P 在1C 上，点Q 在2C 上，求PQ 的最小值及此时P 的直角坐标.10.【2016高考新课标1卷】在直角坐标系x O y 中,曲线C 1的参数方程为cos 1sin x a ty a t=⎧⎨=+⎩（t 为参数,a ＞0）．在以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C 2：ρ=4cos θ. （I ）说明C 1是哪一种曲线,并将C 1的方程化为极坐标方程；（II ）直线C 3的极坐标方程为0θα=,其中0α满足tan 0α=2,若曲线C 1与C 2的公共点都在C 3上,求a ．11.【2016高考新课标2理数】在直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为22(6)25x y ++=． （Ⅰ）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C 的极坐标方程； （Ⅱ）直线l 的参数方程是cos sin x t y t αα=⎧⎨=⎩（t 为参数）, l 与C 交于,A B 两点，||10AB =，求l 的斜率．12.【2018年全国卷Ⅲ理】在平面直角坐标系中，的参数方程为（为参数），过点且倾斜角为的直线与交于两点．（1）求的取值范围； （2）求中点的轨迹的参数方程．13．【2018年理数全国卷II】在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），直线的参数方程为（为参数）.（1）求和的直角坐标方程；（2）若曲线截直线所得线段的中点坐标为，求的斜率．14．【贵州省凯里市2018届四模】在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数，），以原点为极点，以轴非负半轴为极轴，建立极坐标系.(1)写出曲线的极坐标方程；(2)设直线（为任意锐角）、分别与曲线交于两点，试求面积的最小值.15．【辽宁省葫芦岛市2018年二模】直角坐标系中，直线的参数方程为 (为参数)，在极坐标系（与直角坐标系取相同的长度单位，且以原点为极点，以轴正半轴为极轴）中，圆的方程为.（1）求圆的直角坐标方程；（2）设圆与直线交于点，若点的坐标为，求的最小值.参考答案1.解析：（1）曲线C 的普通方程为2219x y +=. 当1a =-时，直线l 的普通方程为430x y +-=.由2243019x y x y +-=⎧⎪⎨+=⎪⎩解得30x y =⎧⎨=⎩或21252425x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩.从而C 与l 的交点坐标为(3,0)，2124(,)2525-.…………5分 （2）直线l 的普通方程为440x y a +--=，故C 上的点(3cos ,sin )θθ到l 的距离为d =当4a ≥-时，d=8a =； 当4a <-时，d=16a =-. 综上，8a =或16a =-.…………10分【考点】极坐标与参数方程仍然考查直角坐标方程与极坐标方程的互化，参数方程与普通方程的互化，直线与曲线的位置关系.【名师点睛】化参数方程为普通方程主要是消参，可以利用加减消元、平方消元、代入法等等；在极坐标方程与参数方程的条件下求解直线与圆的位置关系问题，通常将极坐标方程化为直角坐标方程，参数方程化为普通方程来解决.2.解析：（1）设P 的极坐标为()()，＞0ρθρ，M 的极坐标为()()11，＞0ρθρ，由题设知cos 14=，=ρρθOP OM =。
极坐标与参数方程测试题(有详解答案)
极坐标与参数方程测试题一、选择题1.直线12+=x y 的参数方程是（ ）A 、⎩⎨⎧+==1222t y t x （t 为参数） B 、⎩⎨⎧+=-=1412t y t x （t 为参数）C 、 ⎩⎨⎧-=-=121t y t x （t 为参数） D 、⎩⎨⎧+==1sin 2sin θθy x （t 为参数） 2.已知实数x,y 满足02cos 3=-+x x ，022cos 83=+-y y ，则=+y x 2（ ）A ．0B ．1C ．-2D ．83.已知⎪⎭⎫ ⎝⎛-3,5πM ，下列所给出的不能表示点的坐标的是( )A 、⎪⎭⎫⎝⎛-3,5πB 、⎪⎭⎫ ⎝⎛34,5πC 、⎪⎭⎫⎝⎛-32,5π D 、⎪⎭⎫ ⎝⎛--35,5π 4.极坐标系中，下列各点与点P （ρ，θ）（θ≠k π，k ∈Z ）关于极轴所在直线对称的是（ ）A ．（-ρ，θ）B ．（-ρ，-θ）C ．（ρ，2π-θ）D ．（ρ，2π+θ）5.点()3,1-P ，则它的极坐标是( )A 、⎪⎭⎫⎝⎛3,2π B 、⎪⎭⎫ ⎝⎛34,2πC 、⎪⎭⎫⎝⎛-3,2πD 、⎪⎭⎫ ⎝⎛-34,2π 6.直角坐标系xoy 中，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建极坐标系，设点A,B 分别在曲线13cos :sin x C y θθ=+⎧⎨=⎩ （θ为参数）和曲线2:1C ρ=上，则AB 的最小值为( ).A.1B.2C.3D.47.参数方程为1()2x t t t y ⎧=+⎪⎨⎪=⎩为参数表示的曲线是（ ）A ．一条直线B ．两条直线C ．一条射线D ．两条射线8.()124123x tt x ky k y t=-⎧+==⎨=+⎩若直线为参数与直线垂直，则常数（ ）A.-6B.16-C.6D.169.极坐标方程4cos ρθ=化为直角坐标方程是( )A ．22(2)4x y -+= B.224x y += C.22(2)4x y +-= D.22(1)(1)4x y -+-=10.柱坐标（2，32π，1）对应的点的直角坐标是（ ）. A.(1,3,1-) B.(1,3,1-) C.(1,,1,3-) D.(1,1,3-)11.已知二面角l αβ--的平面角为θ，P 为空间一点，作PA α⊥，PB β⊥，A ，B 为垂足，且4PA =，5PB =，设点A 、B 到二面角l αβ--的棱l 的距离为别为,x y ．则当θ变化时，点(,)x y 的轨迹是下列图形中的12.曲线24sin()4x πρ=+与曲线12221222x ty t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩的位置关系是（ ）。
高三数学《极坐标与参数方程》复习专题含答案
极坐标与参数方程专题复习题方法总结1.点M (ρ，θ)的极坐标通式是(ρ，θ＋2k π)或(－ρ，θ＋2k π＋π)(k ∈Z).如果限定ρ>0，0≤θ<2π或－π<θ≤π，那么除极点外，平面内的点和极坐标(ρ，θ)一一对应.2.极坐标和直角坐标的互化公式是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θy ＝ρsin θ或⎩⎪⎨⎪⎧ρ2＝x 2＋y 2tan θ＝yx （x ≠0）.这两组公式必须满足下面的“三个条件”才能使用：(1)原点与极点重合；(2)x 轴正半轴与极轴重合；(3)长度单位相同.极坐标和直角坐标的互化中，需注意等价性，特别是两边乘以ρn时，方程增了一个n 重解ρ＝0，要判断它是否是方程的解，若不是要去掉该解. 3.极坐标方程的应用及求法(1)合理建立极坐标系，使所求曲线方程尽量简单.(2)巧妙利用直角坐标系与极坐标系中坐标之间的互化公式，把问题转化为熟悉的知识解决问题.(3)利用解三角形方法中正弦定理、余弦定理列出关于极坐标(ρ，θ)的方程是求极坐标系曲线方程的法宝. (4)极坐标系内点的对称关系：①点P (ρ，θ)关于极点的对称点P ′(ρ，θ±π)；②点P (ρ，θ)关于极轴所在直线的对称点P ′(ρ，－θ)；③点P (ρ，θ)关于直线θ＝π2的对称点为P ′(ρ，π－θ)；④点P (ρ，θ)关于直线θ＝π4的对称点为P ′⎝⎛⎭⎪⎫ρ，π2－θ.4.极坐标系下A (ρ1，θ1)，B (ρ2，θ2)间的距离公式|AB |＝ρ21＋ρ22－2ρ1ρ2cos （θ1－θ2）1.选取参数时的一般原则是：(1)x ，y 与参数的关系较明显，并列出关系式；(2)当参数取一值时，可唯一的确定x ，y 的值；(3)在研究与时间有关的运动物体时，常选时间作为参数；在研究旋转物体时，常选用旋转角作为参数；此外，也常用线段的长度、倾斜角、斜率、截距等作为参数.2.求曲线的参数方程常常分成以下几步：(1)建立直角坐标系，在曲线上设任意一点P(x ，y)；(2)选择适当的参数；(3)找出x ，y 与参数的关系，列出解析式；(4)证明(常常省略).3.根据直线的参数方程标准式中t 的几何意义，有如下常用结论：(1)若M 1，M 2为l 上任意两点，M 1，M 2对应t 的值分别为t 1，t 2，则|M 1M 2|＝|t 1－t 2|；(2)若M 0为线段M 1M 2的中点，则有t 1＋t 2＝0；(3)若线段M 1M 2的中点为M ，则M 0M ＝t M ＝t 1＋t 22.一般地，若点P 分线段M 1M 2所成的比为λ，则t P ＝t 1＋λt 21＋λ.直线的参数方程的一般式⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋at ，y ＝y 0＋bt (t 为参数)，是过点M 0(x 0，y 0)，斜率为ba 的直线的参数方程.当且仅当a 2＋b 2＝1且b ≥0时，才是标准方程，t 才具有标准方程中的几何意义.将非标准方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋at ，y ＝y 0＋bt 化为标准方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0±|a|a 2＋b 2t ′，y ＝y 0＋|b|a 2＋b2t ′(t′∈R)，式中“±”号，当a ，b 同号时取正；当a ， b 异号时取负. 5.参数方程与普通方程互化时，要注意：(1)不是所有的参数方程都能化为普通方程；(2)在化参数方程为普通方程时变量的范围不能扩大或缩小；(3)把普通方程化为参数方程时，由于参数选择的不同而不同，参数的选择是由具体的问题来决定的.6.在已知圆、椭圆、双曲线和抛物线上取一点可考虑用其参数方程设定点的坐标，将问题转化为三角函数问题求解.7.在直线与圆和圆锥位置关系问题中，涉及距离问题探求可考虑应用直线参数方程中参数的几何意义求解. 8.在求某些动点的轨迹方程时，直接寻找x ，y 的关系困难，甚至找不出时，可以通过引入参数，建立动点的参数方程后求解.典型题【母题原题1】极坐标方程例1. 在平面直角坐标系xOy 中，圆22:40C x y y +-=，直线:40l x y +-=.(1)以原点O 为极点， x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求圆C 和直线l 的交点的极坐标； (2)若点D 为圆C 和直线l 交点的中点，且直线CD 的参数方程为1{2x at y t b=+=+ (t 为参数)，求a ， b 的值.【答案】（1）4,2π⎛⎫⎪⎝⎭和点22,4π⎛⎫⎪⎝⎭；（2）2a =， 3b =.解析：(1)由题可知，圆C 的极坐标方程为4sin ρθ=，直线l 的极坐标方程为cos sin 4ρθρθ+=，由4{ 4sin cos sin ρθρθρθ=+=，可得4{ 2ρπθ==或22{ 4ρπθ==，可得圆C 和直线l 的交点的极坐标为4,2π⎛⎫⎪⎝⎭和点22,4π⎛⎫ ⎪⎝⎭.(2)由(1)知圆C 和直线l 的交点在平面直角坐标系中的坐标为()0,4和()2,2,，那么点D 的坐标为()1,3，又点C 的坐标为()0,2，所以直线CD 的普通方程为20x y -+=，把1{2x at y t b=+=+ (t 为参数)代入20x y -+=，可得()230a t b -+-=，则20{30a b -=-=，即2a =， 3b =.练习1. 在直角坐标系xOy 中，圆1C 的参数方程为22{42x cos y sin αα=-+=+（α为参数).以坐标原点为极点， x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线2C 的极坐标方程为()34R πθρ=∈. （1）求圆1C 的极坐标方程和直线2C 的直角坐标方程； （2）设1C |与2C 的交点为,P Q ，求1C PQ ∆的面积.【答案】（1）1C 的极坐标方程为24cos 8sin 160ρρθρθ+-+=；（2）1C PQ ∆的面积为2.试题解析：（Ⅰ）直线的直角坐标方程为圆的普通方程为因为,所以的极坐标方程为（Ⅱ）将代入,得,解得,故,即.由于圆的半径为,所以的面积为练习2. 在直角坐标系xOy 中，直线l 的方程是6y =，圆C 的参数方程是{ 1x cos y sin φφ==+（ϕ为参数），以原点O 为极点， x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系． （1）分别求直线l 与圆C 的极坐标方程； （2）射线OM : θα=（02πα<<）与圆C 的交点为O ， P 两点，与直线l 交于点M ，射线ON :2πθα=+与圆C 交于O ， Q 两点，与直线l 交于点N ，求OP OQ OMON⋅的最大值．【答案】(1) sin 6ρθ=, 2sin ρθ=；（2）136. 【解析】试题分析：（1）利用直角坐标与极坐标的互化公式，即可求得直线和圆的极坐标方程；（2）由题意可得：点P ， M 的极坐标，可得2sin 3OPa OM =，同理可得： 2sin 3OQ ON α=，即可得出结论． 试题解析：（1）直线l 的方程是6y =，可得极坐标方程： sin 6ρθ=圆C 的参数方程是{1x cos y sin ϕϕ==+（ϕ为参数），可得普通方程： ()2211x y +-=展开为2220x y y +-=．化为极坐标方程： 22sin 0ρρθ-=即2sin ρθ=练习3. 在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线1C 的参数方程为12{ 22x t y t=+=-（t 为参数），以O 为极点， x轴的非负半轴为极轴，曲线2C 的极坐标方程为： 22cos sin θρθ=. （Ⅰ）将曲线1C 的方程化为普通方程；将曲线2C 的方程化为直角坐标方程； （Ⅱ）若点()1,2P ，曲线1C 与曲线2C 的交点为A B 、，求PA PB +的值.【答案】(Ⅰ) 12:30,:C x y C +-= 22y x =；（Ⅱ）2【解析】试题分析：⑴利用参数方程与普通方程之间的转化方法进行化简(2) 曲线1C 与曲线2C 的相交，法一和法二将参数方程代入曲线方程，利用两根之和计算出结果，法三利用普通方程计算求出结果 解析：（Ⅰ） 1:3C x y +=，即： 30x y +-=；222:sin 2cos C ρθρθ=，即： 22y x =（Ⅱ）方法一：1C 的参数方程为212{ 22x y =-=+代入22:2C y x =得26240t t ++=∴1262t t +=-，∴1262PA PB t t +=+=. 方法二：【母题原题2】参数方程 例2.已知动点P 、Q 都在曲线2:{(2x costC t y sint==为参数）上，对应参数分别为t α=与2t α=（02απ<<），M 为PQ 的中点．(Ⅰ) 求M 的轨迹的参数方程；(Ⅱ)将M 到坐标原点的距离d 表示为α的函数，并判断M 的轨迹是否过坐标原点． 【答案】（1）2{2x cos cos y sin sin αααα=+=+（2）见解析【解析】试题分析：（1）根据中点坐标公式得()cos cos2,sin sin2M αααα++，即得M 的轨迹的参数方程；（2）根据两点间距离公式得d ，再根据x=y=0得απ=，即M 的轨迹过坐标原点. 试题解析：(Ⅰ)依题意有()()2cos ,2sin ,2cos2,2sin2P Q αααα 因此()cos cos2,sin sin2M αααα++M 的轨迹的参数方程为2{2x cos cos y sin sin αααα=+=+（α为参数， 02απ<<）(Ⅱ)M 点到坐标原点的距离2222cos (02)d x y ααπ=+=+<<当απ=时， 0d =，故M 的轨迹过坐标原点.练习1. 已知直角坐标系中动点()1cos sin P αα+，，参数[)02απ∈，，在以原点为极点、x 轴正半轴为极轴所建立的极坐标系中，动点()Q ρθ，在曲线C ：sin 1cos a θθρ-=上. （1）求点P 的轨迹E 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；（2）若动点P 的轨迹E 和曲线C 有两个公共点，求实数a 的取值范围. 【答案】(1) ()2211x y -+= ()1y a x =+ ()0a ≠ (2) 33,00,a ⎛⎫⎛⎫∈-⋃ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭试题解析：（1）设点P 的坐标为(),x y ，则有1{,x cos y sin αα=+= [)0,2απ∈消去参数α，可得()2211x y -+=，为点P 的轨迹E 的方程； 由曲线C ：sin 1cos a θθρ-=，得sin cos a a ρθρθ-=，且0a ≠， 由sin y ρθ=， cos x ρθ=故曲线C 的方程为： 0ax y a -+= ()0a ≠； （2）曲线C 的方程为： 0ax y a -+= ()0a ≠，即()1y a x =+ ()0a ≠表示过点()10-，，斜率为a 的直线，动点P 的轨迹E 是以()1,0为圆心， 1为半径的圆 由轨迹E 和曲线C 有两个公共点，结合图形可得33a ⎛⎫⎛∈⋃ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭． 练习2. 已知曲线2:{3x cos C y sin θθ== (θ为参数)和曲线22:{3x t l y t=-+= (t 为参数)相交于两点,A B ，求,A B两点的距离．【答案】AB＝13 2．【解析】试题分析：利用平方法消去曲线2:{3x cosCy sinθθ==的参数可得曲线C的普通方程，利用代入法消练习3. 已知直线l的参数方程为1{1x tcosy tsinαα=-+=+（t为参数）.以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为cos2ρρθ=+.（Ⅰ）写出直线l经过的定点的直角坐标，并求曲线C的普通方程；（Ⅱ）若4πα=，求直线l的极坐标方程，以及直线l与曲线C的交点的极坐标.【答案】（1）()1,1-,244y x=+；（2）2,2π⎛⎫⎪⎝⎭.解析：（1）直线l经过定点()1,1-，由cos 2ρρθ=+得()22cos 2ρρθ=+，得曲线C 的普通方程为()2222x y x +=+，化简得244y x =+；（2）若4πα=，得212{21x ty t=-+=+的普通方程为2y x =+，则直线l 的极坐标方程为sin cos 2ρθρθ=+， 联立曲线C ： cos 2ρρθ=+. ∵0ρ≠得sin 1θ=，取2πθ=，得2ρ=，所以直线l 与曲线C 的交点为2,2π⎛⎫⎪⎝⎭.【母题原题3】极坐标、参数方程、普通方程互化 例3. 已知曲线2:{ 3x cos C y sin θθ==（θ为参数）和曲线22:{3x t l y t=-+=（t 为参数）相交于两点,A B ，求两点,A B 的距离.【答案】13. 【解析】试题分析：由22143{ 332x y y x +==-+，解得112{ 0x y ==或111{ 32x y ==．∴()32,0,1,2A B ⎛⎫⎪⎝⎭，∴AB ==即两点,A B． 练习1. 已知直线l的参数方程为12{12x ty t=--=（t 为参数)，以坐标原点为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为24cos 3πρθ⎛⎫=- ⎪⎝⎭. （1）求圆C 的直角坐标方程；（2）若(),P x y 是直线l 与圆面24cos 3πρθ⎛⎫≤-⎪⎝⎭y +的取值范围. 【答案】（1）2220x y x ++-=（2）[]2,2-【解析】【试题分析】（1）将圆的极坐标方程展开后两边乘以ρ转化为直角坐标方程.（2）将直线的参数方y +的取值范围. 【试题解析】解：（1）∵圆C 的极坐标方程为24cos 3πρθ⎛⎫=-⎪⎝⎭，∴2214cos 4cos 32πρρθρθθ⎫⎛⎫=-=-⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， 又∵222x y ρ=+， cos ,sin x y ρθρθ==，∴222x y x +=-，∴圆C的普通方程为2220x y x ++-=练习2. 已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点处，极轴与x 轴的非负半轴重合，直线l 的参数方程为122{ 32x ty t=-=（t 为参数），曲线C 的极坐标方程为2sin ρθ=.（1）写出曲线C 的直角坐标方程和直线l 的普通方程；（2）设P ， Q 分别是直线l 与曲线C 上的点，求PQ 的最小值. 【答案】（1）()2211x y +-=3230x y +-=;（2）min 233||PQ -=. 【解析】试题分析：（1）利用极坐标与直角坐标的互化公式可得曲线C 的直角坐标方程，通过消去参数可将直线l 的参数方程转化为普通方程；（2）在直角坐标系中进行求解，运用点到直线的距离公式，求出圆心到直线的距离d ，利用数形结合边框求出PQ 的最小值. 试题解析：（1）∵2sin ρθ=，∴22sin ρρθ=，∵222x y ρ=+， sin y ρθ=，∴222x y y +=，即()2211x y +-=，∴曲线C 的直角坐标方程为()2211x y +-=.由12,2 {3x ty t=-=（t为参数），消去t得3230x y+-=，∴直线l的普通方程为3230x y+-=.【母题原题4】.利用参数方程求最值例4. 在平面直角坐标系xOy中，曲线1C的参数方程为2,{x cosy sinϕϕ==（ϕ为参数），在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线2C是圆心为3,2π⎛⎫⎪⎝⎭，半径为1的圆．（1）求曲线1C，2C的直角坐标方程；（2）设M为曲线1C上的点，N为曲线2C上的点，求MN的取值范围．【答案】(1)1C的直角坐标方程为2214xy+=，2C的直角坐标方程为()2231x y+-=．(2) []1,5. 【解析】试题分析：（1）利用平方法消去参数ϕ可得1C的直角坐标方程，将极坐标化为直角坐标可得曲线2C 的圆心的直角坐标为()0,3，结合半径为1可得2C的直角坐标方程；（2）根据曲线1C的参数方程设()2cos,sinMϕϕ，根据两点间的距离公式，由三角函数和二次函数的性质可得2MC的取值范围，结合圆的几何性质可得答案.试题解析：（1）消去参数ϕ可得1C的直角坐标方程为2214xy+=，曲线2C的圆心的直角坐标为()0,3，∴2C的直角坐标方程为()2231x y+-=．（2）设()2cos,sinMϕϕ，则()()222222cos sin34cos sin6sin9MCϕϕϕϕϕ=+-=+-+23sin 6sin 13ϕϕ=--+ ()23sin 116ϕ=-++．∵1sin 1ϕ-≤≤，∴2min ||2MC =， 2max ||4MC =，根据题意可得min ||211MN =-=，max ||415MN =+=，即MN 的取值范围是[]1,5．练习1. 在平面直角坐标系中，曲线1C 的参数方程为： 4{3x cos y sin θθ==（θ为参数），以坐标原点O 为极点， x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为52sin 4πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭.（1）求曲线2C 的直角坐标方程；（2）已知点M 为曲线1C 上任意一点，求点M 到曲线2C 的距离d 的取值范围.【答案】（1）5x y +=；（2）052d ⎡⎤∈⎣⎦，试题解析：（1）由52sin 42πρθ⎛⎫+=⎪⎝⎭得cos sin 5ρθρθ+=， 将cos x x ρ=， sin y ρθ=代入得到5x y +=.（2）设()4cos 3sin M θθ，， M 到曲线2C ： 5x y +=的距离，4cos 3sin 52d θθ+-=()5sin 52θϕ+-=()52sin 1θϕ+-=当()sin 1θϕ+=-时， max 52d =，当()sin 1θϕ+=时， min 0d =.所以052d ⎡∈⎣. 练习2. 在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程是12,{2x cos y sin αα=+=（α为参数），以该直角坐标系的原点O 为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 3sin cos 0m ρθρθ-+=. （1）写出曲线C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程；（2）设点(),0P m ，直线l 与曲线C 相交于,A B 两点，且1PA PB =，求实数m 的值. 【答案】（1）曲线C 的普通方程为()2212x y -+=，直线l 的直角坐标方程为()33y x m =-；（2）13m =±或0m =或2m =.222311222m t t t ⎛⎫⎛⎫+-+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ )()231120m t m +-+--=，代入韦达定理即得答案 解析： （1）()2212,{122x cos x y y sin αα=⇒-+==，故曲线C 的普通方程为()2212x y -+=. 直线l )333x m y x m -+⇒=-. （2）直线l 的参数方程可以写为3,{12x m y t ==（t 为参数）.设,A B 两点对应的参数分别为12,t t ，将直线l 的参数方程代入曲线C 的普通方程()2212x y -+=可以得到22231122m t t ⎛⎫⎛⎫+-+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ )()231120m t m +-+--=， 所以()212121PA PB t t m ==--= 2211m m ⇒--= 2220m m ⇒-==或220m m -=，解得13m =0m =或2m =.练习3.已知在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程是{26x t y t ==+（t 是参数），以原点O 为极点， x 轴正半轴为极轴且取相同的单位长度建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为22cos ρθ=． （1）求直线l 的普通方程与曲线C 的直角坐标方程；（2）设(),M x y 为曲线C 上任意一点，求x y +的取值范围． 【答案】（1）260x y -+=， ()2222x y -+=（2）22,22⎡⎤-++⎣⎦【解析】试题分析：（1）消去直角参数方程中的参数可得普通方程，利用公式{x cos y sin ρθρθ==可化极坐标方程为直角坐标方程；（2）利用圆的参数方程，设()22cos ,2sin Mθθ+，则22cos 2sin 22sin 4x y πθθθ⎛⎫+++=++ ⎪⎝⎭＝，由正弦函数的性质可得x y +的取值范围．试题解析： （1）由{26x t y t ==+，得26y x =+，故直线l 的普通方程为260x y -+=，由22cos ρθ=，得222cos ρρθ=，所以2222x y x +=，即()2222x y -+=，故曲线C 的普通方程为()2222x y -+=；【母题原题5】.直线参数方程的几何意义的应用例5.在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l ： 12{ 33x ty =-=+（t 为参数），以坐标原点O 为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为4sin 3πρθ⎛⎫=+⎪⎝⎭.（1）求曲线C 的直角坐标方程； （2）设点M 的极坐标为3,2π⎛⎫⎪⎝⎭，直线l 与曲线C 的交点为A ， B ，求MA MB +的值. 【答案】(1) 2220x y y +--=(2) MA MB +=【解析】试题分析：（Ⅰ）直接由直线的参数方程消去参数t 得到直线的普通方程；把等式4sin 3πρθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭两边同时乘以ρ，代入x=ρcosθ，ρ2=x 2+y 2得答案；（Ⅱ）把直线的参数方程代入圆的普通方程，利用直线参数方程中参数t 的几何意义求得MA MB +的值． 试题解析：（1）把4sin 3πρθ⎛⎫=+⎪⎝⎭展开得2sin ρθθ=+， 两边同乘ρ得22sin cos ρρθθ=+①.将222x y ρ=+， cos x ρθ=， sin y ρθ=代入①即得曲线C的直角坐标方程为2220x y y +--=②.（2）将1,2{3x t y =-=代入②式，得230t ++=， 易知点M 的直角坐标为()0,3.设这个方程的两个实数根分别为1t ， 2t ，则由参数t的几何意义即得12MA MB t t +=+=练习1. 以直角坐标系的原点O 为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线l 的极坐标方程为2sin 306πρθ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭，曲线C 的参数方程是2{ 2x cos y sin ϕϕ==（ϕ为参数）.（Ⅰ）求直线l 和曲线C 的普通方程；（Ⅱ）直线l 与x 轴交于点P ，与曲线C 交于A ， B 两点，求PA PB +.【答案】(1) C 的普通方程为224x y +=, l的普通方程为30x +-=;(2) .解析：（Ⅰ）2sin 306πρθ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭， 3sin cos 30ρθρθ+-=， 即l 的普通方程为330x +-=，2{2x cos y sin ϕϕ==消去ϕ，得C 的普通方程为224x y +=.（Ⅱ）在330x +-=中令0y =得()3,0P ，∵3k =，∴倾斜角56πα=， ∴l 的参数方程可设为536{ 506x tcosy tsin ππ=+=+即33{ 12x y t==， 代入224x y +=得23350t t -+=， 70∆=>，∴方程有两解，1233t t += 1250t t =>，∴1t ， 2t 同号，12PA PB t t +=+ 1233t t =+=练习2. 已知直线l 的参数方程为12{ 32x m ty t=-=（其中t 为参数， m 为常数），以原点为极点， x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2sin ρθ=，直线l 与曲线C 交于点,A B 两点.（1）若15AB =，求实数m 的值； （2）若1m =，点P 坐标为()1,0，求11PA PB+的值.【答案】（1）m =（2）1+.【解析】试题分析：⑴将极坐标方程化为普通方程，根据题目条件计算出弦长的表达式，从而求出实数m 的值⑵将当1m =时代入即可求出结果解析：（1）曲线C 的极坐标方程可化为22sin ρρθ=， 转化为普通方程可得222x y y +=，即()2211x y +-=.把12{x m ty =-=代入()2211x y +-=并整理可得(()220*t m t m -++=，由条件可得(2240m m ∆=+->，解之得m <<设,A B 对应的参数分别为12,t t，则12t t m += 2120t t m =≥，12AB t t =-===，解之得m=（2）当1m =时， ()*式变为(2110t t -++=， 121t t +=， 121t t =，由点P 的坐标为()1,0可得11PA PB +=1212121212111t t t t t t t t t t +++===点睛：本题考查了极坐标方程方程的一些计算，这里需要注意极坐标方程与普通方程之间的互化，将其转化为一般方程，然后借助于解析几何的知识点来解题；第二问结合了上一问的解答结果，注意需求简答的计算练习3. 在直角坐标系xOy 中，已知直线l的参数方程为122{12x ty =+=-+ ，以坐标原点为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为4cos ρθ=.（1）将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）若曲线C 与直线l 相交于不同的两点M ， N ，求线段MN 的长.【答案】（1）曲线C 的直角坐标方程为2240x y x +-=；（2）15.试题解析：（1）曲线C 的直角坐标方程为2240x y x +-=（2）由22131********t t t ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++-+-+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭得， 2330t t --=123t t +=， 123t t =- ，()2121212415MN t t t t t t =-=+-=【母题原题6】利用极角求最值和范围 例6．[选修4—4：坐标系与参数方程]在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线1:1C x y +=与曲线222:{2x cos C y sin ϕϕ=+=（ϕ为参数，[)0,2ϕπ∈）．以坐标原点为极点， x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系． （1）写出曲线12,C C 的极坐标方程；（2）在极坐标系中，已知点A 是射线():0l θαρ=≥与1C 的公共点，点B 是l 与2C 的公共点，当α在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上变化时，求OB OA 的最大值． 【答案】（1）2sin 42πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭， 4cos ρθ=（2）222+【试题解析】（1）曲线1C 的极坐标方程为()cos sin 1ρθθ+=，即sin 42πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭． 曲线2C 的普通方程为()2224x y -+=，即2240x y x +-=，所以曲线2C 的极坐标方程为4cos ρθ=． （2） 由（1）知1,4cos cos sin A B OA OB ρρθθθ====+，()()4cos cos sin 21cos2sin2224OBOA παααααα⎛⎫∴=+=++=++ ⎪⎝⎭… 由02πα≤≤知52+444πππα≤≤，当242ππα+=，即8πα=时，OB OA有最大值2+练习1在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为5{41x t y =+=-- (t 为参数)；圆C 的参数方程是{x cos y sin θθ==（θ为参数），与直线l 交于两个不同的点A B 、，点P 在圆C 上运动，求PAB ∆面积的最大值【解析】试题分析：根据直线及圆的方程，可求出AB =()cos ,sin P θθ，则点到直线的距离为d =≤. 试题解析：设点()cos ,sin P θθ，则点到直线的距离为d =≤练习2．选修4-4：坐标系与参数方程在极坐标系中，曲线C 的极坐标方程2sin ρθθ=+.以极点为原点，极轴为x 轴非负半轴建立平面直角坐标系，且在两坐标系中取相同的长度单位，直线l的参数方程为3, {36x t y t==+（t为参数）.（1）写出曲线C的参数方程和直线l的普通方程；（2）过曲线C上任意一点M作与直线l相交的直线，该直线与直线l所成的锐角为30︒，设交点为A，求MA的最大值和最小值，并求出取得最大值和最小值时点M的坐标.【答案】（1）222220x y x y+--=，230x y-+=（2）点M坐标为()22,0时，max143||MA=，点M的坐标为()0,2时，min23||MA=.【解析】【试题分析】（1）对曲线C的极坐标方程两边乘以ρ转化为直角坐标方程，配方得到圆心和半径，然后直接写出圆的参数方程.将直线的参数方程利用加减消元法消去t，可求得直线l的普通方程.（2）设圆上任意一点到直线的距离为d，则2MA d=，由此利用点到直线的距离公式可求得d的最大值和最小值，也即是MA的最大值和最小值.【试题解析】（2）由题知点M到直线l的距离12d MA=，设点()23cos,13sinMθθ.则有点M到直线l的距离()43sin6cos43sin33dθθθϕ-+++==，其中3cos3ϕ=-，6sin3ϕ=，当()sin 1θϕ+=，即2πθϕ+=时， max d = max ||MA =，此时cos sin θϕ== sin cos θϕ== ()M ；当()sin 1θϕ+=-即32πθϕ+=时， min d = min ||MA =，此时cos sin θϕ=-= sin cos θϕ=-=， ()0,2M .综上，点M 坐标为()时， max ||3MA =，点M 的坐标为()0,2时， min ||3MA =.。
极坐标与参数方程测试题(有详解答案)(最新整理)
换
x
1 3
x
后的图形为曲线
C
y
1 2
y
（Ⅰ）求直线 l 的参数方程和曲线 C 的直角坐标系方程
（Ⅱ）直线 l 与曲线 C 相交于两点 A, B ，求 PA PB 的值。
23.（本小题满分 10 分）《选修 4-4：坐标系与参数方程》 在 直 角 坐 标 系 中 ， 以 原 点 为 极 点 , x 轴 的 正 半 轴 为 极 轴 建 坐 标 系 ,已 知 曲 线
坐标方程是 2 cos
（I）求圆 C 的直角坐标方程；
（II）求圆心 C 到直线 l 的距离。
21.（本小题满分 10 分）【选修 4－4：坐标系与参数方程】
在直角坐标平面内，以坐标原点 O 为极点， x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．已知点
M
的极坐标为
4
2,
4
，曲线 C
的参数方程为
x y
…………（2 分）
圆C的直角坐标方程为x 2 y 2 2x 2 y 0 ，
…………（3 分）
即 (x 2 )2 ( y 2 )2 1，圆心直角坐标为( 2 , 2 ) ．…………（5 分）
2
2
22
（II）方法 1：直线 l 上的点向圆 C 引切线长是
( 2 t 2 )2 ( 2 t 2 4 2)2 1 t 2 8t 40 (t 4)2 24 2 6 ，
).
A.1
B.2
C.3
D.4
7.参数方程为
x
t
1 t
(t为参数)
表示的曲线是（
）
y 2
A．一条直线 B．两条直线 C．一条射线 D．两条射线
8.
x
若直线
高三数学专项训练：极坐标与参数方程(附答案)
x 中，⊙ 的参数方程为cos ，（ 为参数）， xOy O过点 0， 2 且倾斜角为 的直线 与⊙ 交于 ， 两点．l O AB Ptl,（ 为参数），设 与 的交点为 ，当 变化时， 的轨迹为曲线 ． m l l P k P Cm y , k（1）写出 的普通方程： C（2）以坐标原点为极点， 轴正半轴为极轴建立极坐标系，设l : (co s s in ) ， 为 与 M lxC3 cosx 3、（2016 全国 I I I 卷高考）在直角坐标系s in1坐 标 原 点 为 极 点 ， 以 x 轴 的 正 半 轴 为 极 轴 ，， 建 立 极 坐 标 系 ， 曲 线) 2 2 . 41（II ）设点 P 在 上，点 Q 在 上，求|P Q |的最小值及此时 P 的直角坐标.4、（成都市 2018 届高三第二次诊断）在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为x.在以坐标原点O 为极点，轴的正半轴为极轴的极坐标2s ins in ( ) 5 2 0 ，直线的极坐标方程为 . 44（1）求直线的直角坐标方程与曲线C 的普通方程；5、（成都市 2018 届高三第三次诊断）在极坐标系中，曲线C 的极坐标方程是 ，直线l 的2 s in 在直线l 上.以极点为坐标原点 O ，极轴为 x 轴的4正半轴，建立平面直角坐标系，且两坐标系取相同的单位长度.（I ）求曲线C 及直线l 的直角坐标方程； (Ⅱ)若直线l 与曲线C 相交于不同的两点 A，求 Q A Q B 的值.6、（达州市 2017 届高三第一次诊断）在平面直角坐标系中，以原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴2tx 2建立极坐标系，直线l 的参数方程为.t 2y 2 t2 2（1）若l 的参数方程中的t1 1(0, 2) l （2）若点 P， 和曲线C 交于 两点，求.7、（德阳市 2018 届高三二诊考试）在平面直角坐标系xOy 中，直线l ： （t 为参数），以坐标原点为极点， 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C ：x.0,0l与直线 和曲线C 的交点分别为点M 和点 N （异于点O ）， 2 O N 求 的最大值.O M8、（广元市 2018 届高三第一次高考适应性统考）在平面直角坐标系x Oy4cos a 2(a 为参数），以O 为极点，以x 轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，直线 的极坐标方y程为 ( ) .R 6C（2）设直线 与曲线 相交于 , 两点，求的值.ABC A B 轴为极轴建立极坐标系，已知直线 l 的极坐标方程为 3 c os s inC3 0 ， 的极坐标方程为．4s in( ) 6（I ）求直线 l 和 的普通方程；C （II ）直线 l 与 有两个公共点 A 、B ，定点 P (2, 3) ，求|||| 的值．C 10、（绵阳市 2018 届高三第一次诊断）在直角坐标系中，曲线C 的参数方程是yx（1）求曲线C 的极坐标方程；C, AOB与曲线 分别交于异于原点的 A B 两点，求 的面积.（2）设l， ，若631211、（南充市 2018 届高三第二次高考适应性考试）在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为1:1 ，以坐标原点O 为极点，以 轴正半轴y1x22 2(Ⅰ)求曲线C 的普通方程和曲线C 的极坐标方程；12C C,与曲线 ， 分别交于 A B 两点，求61 212、（仁寿县 2018 届高三上学期零诊）在平面直角坐标系xoy 中 ，圆 C 的参数方程为l3）=7． 43 t 2 (t 为参数)，以坐标原 1224 c os(3（1）求圆C 的直角坐标方程； 2（2）若 P(x, y )是直线l 与圆面 4cos( )的公共点，求 3x y的取值范围.32 0（ PQ （1）求点 的轨迹C 的直角坐标方程；3 （2）若C 上点 M 处的切线斜率的取值范围是，求点 M 横坐标的取值范围. 315、（雅安市 2018 届高三下学期三诊）在直角坐标系中，已知圆 的圆心坐标为(2,0) ，半径为CXCl（2）点 的极坐标为 1,，直线 与圆 相交于 ， ，求 PAC 的值.P l A B 235 cos16、（宜宾市 2018 届高三第一次诊断）在直角坐标系 中，曲线C 的参数方程为xOy 5 s iny(其中参数 ).xCx 1 t c os （2）直线l 的参数方程为(其中参数 , 是常数)，直线l 与曲线 交于t RC y点，且 ，求直线l 的斜率．AB2 3 l2t ， x 2 y 4 t的极坐标方程为 4cos ．（1）写出直线 l 普通方程和曲线 C 的直角坐标方程；（2）过点 M (1，0) 且与直线 平行的直线 交 于 A ， B 两点，求| AB | .l l C 在平面直角坐标系中,以坐标原点为极点, 轴x si n 2 cos ( 0) ，过点 的正半轴为极轴建立极坐标系,已知曲线 的极坐标方程为 a a2x 2 （ 为 t参数），直线 与曲线 相交于 两点. 的直线 的参数方程为2 y 42 (1)写出曲线 的直角坐标方程和直线 的普通方程； 2 PA PB AB 求 的值 (2)若 ,. a 1、解答：的参数方程为的普通方程为 22yl : x 0 与e O有两个交点，当| 0 0 2 |t an2 ，由直线l 与e O时，设直线l 的方程为 y x1 两个交点有，得 ，∴或，综上时，点P 坐标为 (0,0)ly 22A22为 y， 1 1 2 2③2 2k 2(1 k )x 2 2kx 1 0 2 2 ，∴，∴得121222y ④2xk 代入④得 x y 2y 0 .当点 P(0,0) 时满足方程 x y 2y 0 ，∴ AB 中点的 P2 2 2 2 y22 2 的 轨 迹 方 程 是 x， 即 xy2 22 2 2 222 2 22B (y 0 ，故点 P 的参数方程为 ，则22 2 2 2y s in2 2 0）.2、【解析】⑴将参数方程转化为一般方程l : y k x 2 112k① ②消 可得： 4k x 2 y 2 即 的轨迹方程为 4 ；P ⑵将参数方程转化为一般方程……③Cl3422x 2y2 c os解得 5y．5s in c os 10 0.4c oss in ，可得直线的直角坐标方程为y ， 2 3 c osx x 2 y 2 将曲线C 的参数方程C12 4（2）设Q(2 3cos ,2s in ) (0 ).(4 2, ) 化为直角坐标为(4, 4).4则 M.2s in( ) 103 cos s in 103.225s in ( ) 1，即 当 3 6∴点 M 到直线的距离的最大值为6 25、.316C242 2 t ) (2 2 22 2121 21121 121 2，4. s in c os2由得：2，所以 x 2 y 2 y ，所以曲线C 的直角坐标方程为： x .224 2s in， s in c oss in s in cos 2O N所以，4 4 23由于0 ，所以当时， 取得最大值：.2844cos a 2得曲线 的普通方程：C所以曲线 的极坐标方程为： 4 c os 12 C 2（2）设 , 两点的极坐标方程分别为( , ),( , ) ,661224 c os 12 0 的两根2是 C2∴ 2 3, 12121 29、解：（I ）直线 l 的普通方程为： 3 3 0， ·································································· 1 分x y因为圆 的极坐标方程为， C 63 1所以 2 4( s i n cos ) ， ··············································································· 3 分2 2所以圆 的普通方程 22 3 0 ；·························································· 4 分 C x 2 y 2 x y （II ）直线 l ： 3 3 0的参数方程为： x y3 y 3 t2代入圆 的普通方程 22 3 0 消去 x 、y 整理得： x 2 y 2 x y 2 9 17 0 ， ··········································································································· 6 分t t | | | ，| | | |，··························································································· 7 分PB tPA t 1 2|| PA | | PB |||| t | | t ||| t t | (t t ) ······························································· 8 分2 12122 12219 417 13 .··································································································· 10 分2 10、解：（Ⅰ）将 C 的参数方程化为普通方程为(x -3) +(y -4) =25，2 2 22．（Ⅱ）把 代入 6 c os 8s in ，得，6 1∴ ． ……………………………………………………………6 分A66 c os 8s in32∴ ． ……………………………………………………………8 分B31s in AOB2 1 21225 3． 4211、解：（Ⅰ）由2.3yx 2所以曲线 的普通方程为C 2.13 c os1 s i n 1，得到，化简得到曲线把 x，代入22的极坐标方程为2 cos.C 2（Ⅱ）依题意可设 A,曲线C 的极坐标方程为 2.2 261211代入C 的极坐标方程得 2 2，解得 .621.622.12）=7．根据 ρcosθ=x ，ρsinθ=y 可得：﹣y+x=7． 即直线 l 的直角坐标方程为 x．---------------------------5 分（θ 为参数），其圆心为（﹣1，2），半径r=4．----6 分5 2．---------------------8 分2∴ AB 的最小值为圆心到直线的距离 d ﹣r ，即 AB min4 c os( )13、【解析】（1）∵圆C 的极坐标方程为323 14 c os ( cos )∴ ， 322又∵ 2222∴圆C 的普通方程为 x 22（2）设 z，y 2x 2 3y 0 (x 1) (y 3) 4 ，22 2 2 ∴圆C 的圆心是(1, 3)3 t2 3x y 得 z t ， 代入 z 12，圆C 的半径是 ，2 3，即 x y 的取值范围是∴，∴.……10 分 2 0 14、解：（1）由，得22设，，1 1x 2 yx 2x 2, y 2y则 x ，122111 1得22，∴221,0 为圆心，1半径的半圆，如图所示，，设点处切线 的倾斜角为 lM设253 由l 斜率范围， …………7 分3 3 63 而，∴，∴ ，26 3 22M , 所以，点 横坐标的取值范围是 ． …………10 分22，，化简得圆 的极坐标方程：，:由l 得 ，y1l 的极坐标方程为.4(1,0)， （2）由 PP22 t x2直线 的参数的标准方程可写成2y 1 t2 2 2t 2) (1 t) 2 ，2 2 2 2，，.3 5 cosx Q 16、解： （1）5 s iny 的普通方程 x 22x 1t c osQ1 直线l 的普通方程 y k xy3k 0 k k 122 t ，217、（1）由2y 4 t2 又由 4cos 得 4cos ，则 的直角坐标方程为 0 ． ··············5 分2C x 2 y 22 t , x2 （2） 过点 M ( 1，0) 且与直线 平行的直线 的参数方程为l l 2 y t .2 将其代入 4 0 得 2 23 0 ，则 t t，x 2 y 2 x tt 1 2 所以| AB ||t t | (t t ) 4t t14 ． ······················································10 分2 1212(1)由 整理得= ,,(2)将直线 的参数方程代入曲线 的直角坐标方程 = 得,.设两点对应的参数分别为,则有∵=,即=,解得或者(舍去),。
极坐标与参数方程测试题(有详解答案)
极坐标与参数方程测试题(有详解答案) 极坐标与参数方程测试题1.直线y=2x+1的参数方程是（）A、x=2t-1，y=4t+1（t为参数）B、x=t^2，y=2t+1（t为参数）C、x=sinθ，y=2t-1D、x=t-1，y=2sinθ+1（θ为参数）2.已知实数x,y满足x^3+cosx-2=π，8y^3-cos2y+2=π，则x+2y=（）A。
π/2B。
πC。
-π/2D。
-π3.已知M(-5,3)，下列所给出的不能表示点的坐标的是()A、(5,-3)B、(5,4π/3)C、(5,-2π/3)D、(-5,-5π/4)4.极坐标系中，下列各点与点P(ρ,θ)（θ≠kπ，k∈Z）关于极轴所在直线对称的是（）A。
(-ρ,θ)B。
(-ρ,-θ)C。
(ρ,2π-θ)D。
(ρ,2π+θ)5.点P1,-3，则它的极坐标是A、(2,π/3)B、(2,4π/3)C、(2,-π/3)D、(2,-4π/3)6.直角坐标系xoy中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建极坐标系，设点A,B分别在曲线C1：(x=3+cosθ。
y=sinθ)（θ为参数）和曲线C2：ρ=1上，则AB的最小值为( ) A。
1B。
2C。
3D。
47.参数方程为x=t+1.y=2(t为参数)表示的曲线是（）A．一条直线B．两条直线C．一条射线D．两条射线8.若直线{t为参数}与直线4x+ky=1垂直，则常数k=（）A。
-6B。
-1/11C。
6D。
119.极坐标方程ρ=4cosθ化为直角坐标方程是()A。
(x-2)+y=4B。
x+y=4C。
x+(y-2)=4D。
(x-1)+(y-1)=410.柱坐标（2，2π/3，1）对应的点的直角坐标是（）A。
(-1,3,1)B。
(1,-3,1)C。
(3,-1,1)D。
(-3,1,1)11.已知二面角$\alpha-\ell-\beta$的平面角为$\theta$，点$P$为空间一点，作$PA\perp\alpha$，$PB\perp\beta$，$A$，$B$为垂足，且$PA=4$，$PB=5$，设点$A$、$B$到二面角$\alpha-\ell-\beta$的棱$\ell$的距离分别为$x$、$y$。
高考数学参数方程与极坐标选择题
高考数学参数方程与极坐标选择题1. 参数方程x=t^2,y=t^3中的参数t在区间[0,1]上取值时，点P(x,y)的轨迹方程是什么？2. 极坐标系中，点P的极坐标为(2,π/3)，则该点在直角坐标系中的坐标是多少？3. 已知参数方程x=t^2,y=2t^3,其中参数t的范围是[0,1]，求点P(x,y)的轨迹方程。
4. 点P的极坐标为(3,π/4)，求该点在直角坐标系中的坐标。
5. 已知参数方程x=2t^3,y=t^2，求点P(x,y)的轨迹方程。
6. 极坐标系中，点P的极坐标为(2,π/6)，求该点在直角坐标系中的坐标。
7. 已知参数方程x=t^3,y=2t^2，求点P(x,y)的轨迹方程。
8. 点P的极坐标为(3,5π/6)，求该点在直角坐标系中的坐标。
9. 已知参数方程x=t^2,y=t^3，求点P(x,y)的轨迹方程。
10. 极坐标系中，点P的极坐标为(4,π/4)，求该点在直角坐标系中的坐标。
11. 已知参数方程x=t^3,y=t^2，求点P(x,y)的轨迹方程。
12. 点P的极坐标为(3,7π/6)，求该点在直角坐标系中的坐标。
13. 已知参数方程x=2t^3,y=t^2，求点P(x,y)的轨迹方程。
14. 极坐标系中，点P的极坐标为(4,π/6)，求该点在直角坐标系中的坐标。
15. 已知参数方程x=t^3,y=t^2，求点P(x,y)的轨迹方程。
16. 点P的极坐标为(3,5π/6)，求该点在直角坐标系中的坐标。
17. 已知参数方程x=t^2,y=t^3，求点P(x,y)的轨迹方程。
18. 极坐标系中，点P的极坐标为(4,π/4)，求该点在直角坐标系中的坐标。
19. 已知参数方程x=t^3,y=t^2，求点P(x,y)的轨迹方程。
20. 点P的极坐标为(3,7π/6)，求该点在直角坐标系中的坐标。
21. 已知参数方程x=2t^3,y=t^2，求点P(x,y)的轨迹方程。
22. 极坐标系中，点P的极坐标为(4,π/6)，求该点在直角坐标系中的坐标。
高三数学高考复习：曲线的极坐标方程、参数方程专项训练试卷及答案解析
高三数学高考复习：曲线的极坐标方程、参数方程专项训练一、填空题1、已知动圆：x2＋y2－2axcos θ－2bysin θ＝0(a，b是正常数，a≠b，θ是参数)，则圆心的轨迹是________【答案】椭圆【解析】略2、在直角坐标系中圆C的参数方程为(θ为参数)，则圆C的普通方程为________，以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴建立极坐标系，则圆C的圆心极坐标为________．【答案】x2＋(y－2)2＝4【解析】略3、已知圆C的参数方程为(θ为参数)，P是圆C与y轴的交点，若以圆心C为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则过点P圆C的切线的极坐标方程是____________．【答案】ρcos＝2或ρcos＝2【解析】略4、若直线x＋y＝a与曲线(θ是参数)没有公共点，则实数a的取值范围是________【答案】{a|a>5或a<－5}【解析】略5、过点A(a＞0)，且平行于极轴的直线l的极坐标方程是________．【答案】ρsin θ＝a【解析】略6、在极坐标系中，过点A引圆ρ＝4si n θ的一条切线，则切线长为________【答案】4【解析】略7、在直角坐标系中，圆C的参数方程为(α为参数)，若以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴建立坐标系，则圆C的极坐标方程为________【答案】ρ＝4sin θ【解析】略8、把极坐标方程ρcos＝1化为直角坐标方程是________【答案】x＋y－2＝0【解析】略9、在极坐标系中，点(1,0)到直线ρ(cos θ＋sin θ)＝2的距离为________【答案】【解析】略10、极坐标方程分别为ρ＝2cos θ和ρ＝sin θ的两个圆的圆心距为________【答案】【解析】略11、曲线C1：(θ为参数)上的点到曲线C2： (t为参数)上的点的最短距离为________．【答案】1【解析】略12、球坐标对应的点的直角坐标是________，对应点的柱坐标是________【答案】【解析】略13、在极坐标系中，已知直线过点(1,0)，且其向上的方向与极轴的正方向所成的最小正角为，则直线的极坐标方程________【答案】ρsin＝【解析】略14、已知点P是曲线(θ为参数，0≤θ≤π)上一点，O为坐标原点，直线PO的倾斜角为，则P点坐标是________．【答案】【解析】略15、已知曲线C1，C2的极坐标方程分别为ρcos θ＝3，ρ＝4cos θ(ρ≥0,0≤θ＜)，则曲线C1，C2交点的极坐标为________【答案】【解析】略16、已知点P在圆x2＋(y－2)2＝上移动，点Q在曲线x2＋4y2＝4上移动，则|PQ|的最大值为________【答案】＋【解析】略二、解答题17、已知P(x，y)是圆x2＋y2＝2y上的动点．(1)求2x＋y的取值范围；(2)若x＋y＋c＞0恒成立，求实数c的取值范围【答案】圆的参数方程为，(1)2x＋y＝2cos θ＋sin θ＋1，∴1－≤2x＋y≤1＋.(2)若x＋y＋c≥0恒成立，即c≥－(cos θ＋sin θ＋1)对一切θ∈R成立．又－(cos θ＋sin θ＋1)最大值是－1，∴当且仅当c≥－1时，x＋y＋c≥0恒成立．【解析】略18、已知直线l的极坐标方程为ρsin＝，求点A到直线l的距离．【答案】由于极坐标中没有直接求点到直线的距离公式，因而需要化为直角坐标后再求距离．以极点为直角坐标原点，极轴为x轴正半轴建立平面直角坐标系，把直线的极坐标方程ρsin＝化为直角坐标方程，得到 x＋y＝1，把点A的极坐标化为直角坐标，得到(，－)．在平面直角坐标系下，由点到直线的距离公式，得到点A(，－)到直线l的距离d＝.所以，点A到直线ρsin＝的距离为【解析】略19、已知直线l的极坐标方程为：ρcos＝6，圆O的参数方程为：求直线l与圆O相交所得弦的弦长．【答案】把直线l的极坐标方程：ρcos＝6化普通方程为：x＋y－12＝0①把圆O的参数方程：化普通方程为：(x－3)2＋(y－)2＝25②圆心坐标为(3，)，半径为5∴圆心到直线的距离为＝3<5∴弦心距为3.∵弦心距，半弦长，半径构成以半径为斜边的直角三角形，∴半弦长＝＝4.∴所求弦长为8.【解析】略20、已知直线l的参数方程：(t为参数)和圆C的极坐标方程：ρ＝2sin(θ为参数)．(1)将直线l的参数方程和圆C的极坐标方程化为直角坐标方程；(2)判断直线l和圆C的位置关系【答案】(1)l：y＝2x＋1，由ρ＝2sin⇒ρ＝2⇒ρ＝2sin θ＋2cos θ⇒ρ2＝2ρsin θ＋2ρcos θ⇒x2＋y2＝2x＋2y即(x－1)2＋(y－1)2＝2.(2)圆心(1,1)到直线l的距离为d＝<故直线l和圆C相交．【解析】略。
高三复习数学74_极坐标与参数方程(有答案)
7.4 极坐标与参数方程一、解答题。
1. 在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为{x =4cos θy =4sin θ（θ为参数），直线l 经过点(1,2)，倾斜角α=π6，写出圆C 的直角坐标方程和直线l 的参数方程．2. 曲线的极坐标方程ρ=4sin θ化成直角坐标方程为（ ）A.(x −2)2+y 2=4 B .x 2+(y +2)2=4 C .(x +2)2+y 2=4 D .x 2+(y −2)2=43. 与普通方程x 2+y −1=0等价的参数方程为（t 为参数）（ ） A.{x =√1−t y =t B.{x =sin ty =cos 2t C.{x =cos t y =sin 2t D.{x =tan ty =1−tan 2t4. 方程{x =2t −2−ty =2t +2−t （t 为参数）表示的曲线是（ ）A.双曲线下支B.双曲线C.圆D.双曲线的上支5. 在平面直角坐标系xOy 中，⊙O 的参数方程为{x =cos θ,y =sin θ（θ为参数），过点(0,−√2)且倾斜角为α的直线l 与⊙O 交于A ，B 两点． 求α的取值范围；求AB 中点P 的轨迹的参数方程．6. （2015·重庆，15）已知直线l 的参数方程为{x =−1+t,y =1+t （t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ2cos 2θ=4(ρ>0,3π4<θ<5π4)，则直线l 与曲线C 的交点的极坐标为________．7. （2015·北京，11）在极坐标系中，点(2,π3)到直线ρ(cos θ+√3sin θ)=6的距离为________．8. 在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的方程为y =k|x|+2．以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ2+2ρcos θ−3=0． 求C 2的直角坐标方程；若C 1与C 2有且仅有三个公共点，求C 1的方程．9. 小结与反思______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________10. 极坐标方程ρcosθ=43表示（ ） A.一个圆 B.一条平行于x 轴的直线 C.一条抛物线 D.一条垂直于x 轴的直线11. 直线：3x −4y −9=0与圆：{x =2cos θy =2sin θ,（θ为参数）的位置关系是（ ）A.直线过圆心B.相切C.相交但直线不过圆心D.相离12. 若(x,y )与(ρ,θ)(ρ∈R )分别是点M 的直角坐标和极坐标，t 表示参数，则下列各组曲线：①θ=π6和sin θ=12；②θ=π6和tan θ=√33，③ρ2−9=0和ρ=3；④{x =2+√22ty =3+12t和{x =2+√2t y =3+t 其中表示相同曲线的组数为（ ） A.3 B.1 C.4 D.213. 极坐标方程ρ=sin θ+2cos θ所表示的曲线是（ ） A.双曲线 B.直线 C.抛物线 D.圆14. 若以直角坐标系的原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，则线段y =1−x (0≤x ≤1)的极坐标方程为（ ） A.ρ=cos θ+sin θ，0≤θ≤π2B.ρ=1cos θ+sin θ，0≤θ≤π2C.ρ=cos θ+sin θ，0≤θ≤π4D.ρ=1cos θ+sin θ，0≤θ≤π415. 以平面直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位．已知直线l 的参数方程是{x =t +1y =t −3（t 为参数），圆C 的极坐标方程是ρ=4cos θ，则直线l 被圆C 截得的弦长为（ ） A.√2 B.√14 C.2√2 D.2√1416. 若直线l 的参数方程为{x =3+45ty =−2+35t（t 为参数），则过点(4,−1)且与l 平行的直线在y 轴上的截距为________．17. 参数方程{x =cos θ1+cos θy =sin θ1+cos θ（θ为参数）化成普通方程为________．18. 已知直线l 的极坐标方程为2ρsin (θ−π4)=√2，点A 的极坐标为A (2√2,7π4)，则点A到直线l 的距离为________．19. 在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为{x =a cos ty =1+a sin t （t 为参数，a >0）．在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．说明C 1是哪种曲线，并将C 1的方程化为极坐标方程．20. 已知动点P ，Q 都在曲线C:{x =2cos βy =2sin β（β为参数）上，对应参数分别为β=α与β=2α(0<α<2π)，M 为PQ 的中点． 求M 的轨迹的参数方程；将M 到坐标原点的距离d 表示为α的函数，并判断M 的轨迹是否过坐标原点．21. 在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为{x =2cos θy =4sin θ（θ为参数），直线l 的参数方程为{x =1+t cos αy =2+t sin α’（t 为参数）．求C 和l 的直角坐标方程；若曲线C截直线l所得线段的中点坐标为(1,2)，求l的斜率．参考答案与试题解析7.4 极坐标与参数方程一、解答题。
高考高三数学测试题—参数方程和极坐标方程(
高中学生学科素质训练高三数学测试题—参数方程和极坐标方程（15一、选择题（本题每小题5分，共60分）1．参数方程)50(1,2322≤≤⎪⎩⎪⎨⎧-=+=t t y t x 表示的曲线是（ ）A ．线段B ．双曲线的一支C ．圆弧D ．射线 2．参数方程⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=<<+=)sin 1(21)20(|2sin 2cos |θπθθθy x 表示（ ）A ．双曲线一支，这支过点（1，21） B ．抛物线的一部分，这部分过点（1，21）C ．双曲线的一支，这支过点（－1,21）D ．抛物线的一部分，这部分过点（－1，21）3．极坐标方程)0(arcsin 2≥+=ρρπθ化为直角坐标方程的形式是（ ）A ．022=++x y x B ．)1(x x y +-=C ．)1(+--=x yD ．14122---=y x4．在极坐标系中，如果等边三角形的两个顶点是A （2，4π），B （2，45π），那么顶点C 的坐标可能是（ ）A ．)43,4(πB ．)43,32(π C ．),32(πD ．(3，π)5．已知动圆方程θπθθ(0)4sin(222sin 22=+⋅+-+y x y x 为参数），那么圆心的轨迹 是（ ） A ．椭圆B ．椭圆的一部分C ．抛物线D ．抛物线的一部分6．已知集合}12|),{(},1)1(|),{(22-=-⋅==+-=x y x y y x B y x y x A ，,cos 2|),{(θρθρ==C},,s i nc o s 1|),{(},,4Z k k y x y x D Z k k ∈≠⎩⎨⎧=+==∈≠πθθθπθ，下列等式成立的是（ ）A ．A=B B ．B=DC ．A=CD ．B=C7．点P （x ，y ）是曲线05864322=---+y x y x 上的点，则y x z 2+=的最大值和最小 值分别是（ ）A ．7，－1B ．5，1C ．7，1D ．4，－1 8．实数x 、y 满足2222,623y x x y x +=+则的最大值是 （ ）A ．2B ．4C ．29 D ．5 9．曲线)0(4,0>==ρπθθ和5=ρ所围成的图形的面积是（ ）A ．25π B ．225πC ．625πD ．825π10．直线θθρsin cos 1b a +=与圆)0(cos 2>=c θρ相切的条件是（ ）A ．1222=+ac c b B ．122=+ac c b C ．1222=-bc c a D ．122=-bc c a11．直线απθαθρ-==+2)sin(和a 的位置关系是（ ）A ．平行B ．重合C ．垂直D ．斜交12．已知直线l 的方程θθρsin cos 1+=，直线l '与l 关于极点对称，则l '的方程为（ ）A ．θθρcos sin 1+=B ．θθρsin cos 1-=C ．θθρcos sin 1-=D ．θθρcos sin 1+-=二、填空题（本题每小题4分，共16分）13．由参数方程)22(,2)1(sec 22πθπθθ<<-⎩⎨⎧=-=tg y x 给出的曲线在直角坐标下的普通方程是 .14．在满足方程2)2()2(22=-+-y x 的所有实数对（x ，y ）中，xy 的最大值为最小值为 . 15．在极坐标系中，以)2,2(πa 为圆心，2a为半径的圆的方程为 . 16．长为3a 的线段的端点分别在x 、y 轴上滑动，M 为AB 的一个三等分点，则M 的轨迹方程是 .三、解答题（本题17—21小题每小题12分，22小题14分，共74分）17．已知椭圆ϕϕϕ(sin 3cos 2:1⎩⎨⎧=+=y m x C 为参数）及抛物线φ≠-=2122).23(6:C C x y C 当时，求m 的取值范围.18．求椭圆)0(sin ,cos 2πθθθ<≤⎩⎨⎧==y x 上的点P 到直线04=--y x 的最大距离及此时P 点的坐标.19．求以y 轴为准线，顶点在曲线12222=-by a x 上的抛物线焦点的轨迹方程，并指出是什么曲线.20．已知P '为直线01=-+y x 上任意一点，连P 'O 并延长至P ，使|P 'O|·|OP|=4，求P点的轨迹.21．已知抛物线7:21+=x y C 与圆5:222=+y x C .（1）求证：C 1与C 2无交点；（2）过点P （a ，0）作与x 轴不垂直的直线l 交C 1于A 、D 两点，交C 2于B 、C 两点，且|AB|=|CD|，求a 的取值范围.22．A 、B 是椭圆12222=+by a x 上两点，且OA ⊥OB ，（1）求证22||1||1OB OA +为定值； （2）求证直线恒切于一定圆； （3）试求||1||1OB OA +的最值.高三数学测试题参考答十五、参数方程和极坐标方程一、1．A 消参后，得)241(053≤≤-=--y y x 2. B 3. B 4. B 5. D 圆心轨迹的参数方程为：⎩⎨⎧+-==⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-==)cos (sin cos sin ,)4sin(22sin 21θθθθπθθy x y x 即，消去参数得)2121(212≤≤-+=x x y . 6. B 集合B 与D 都是曲线：).2,0(1)1(22≠≠=+-x x y x 7. 将原方程配方，得13)1(4)1(22=-+-y x令即1)6sin(),6sin(432,sin 31cos 21=+∴++=+⎩⎨⎧+=+=πθπθθθ当则y x y x 时7)2(max =+y x ；当1)2(,1)6sin(min -=+-=+y x 时πθ. 8．B 令θθsin 26,cos 1=+=y x ，代入22y x + 得4)(,1cos .29)2(cos 21max 22222=+=+--=+y x y x 时当θθ. 9.D 10.A 11.C 12.D二、13．)(212x x y -=消参可得 14． 最大值为9，最小值为1. 15．θρsin a =.利用直角三角形 的边、角关系. 16．141422222222=+=+ay a x a y a x 或 利用定比分点坐标公式. 三、17．解：将椭圆C 1的参数方程代入C 2：).23(62-=x y 整理得 )23cos 2(6sin 32-+=ϕϕm3cos 42cos 12-+=-∴ϕϕm 也即,9)2(cos 1.28)2(cos 22≤+≤-=+ϕϕ m.2721.9281≤≤-≤-<∴m m 解之 ].27,21[,21-∈≠∴m C C 时当φ18．解：∵椭圆上的点)0)(sin ,cos 2(πθθθ<≤P 到直线04=--y x 的距离5|4sin cos 2|--=θθd.51cos ,52sin .5|4)sin(5|==+-=ϕϕϕθ其中 当ϕπθϕθ+==-2,1)sin(即时时，).55,554(,51cos sin ,52sin cos ,545max -∴==-=-=+=∴P d ϕθϕθ此时 19．解：依题意，抛物线的顶点坐标为⎩⎨⎧==θθbtg y a x 00sec ，∵y 轴为准线，),(00y x 顶点∴到准线的距离为.|sec |2θa p=∴焦点到准线的距离|,sec |2θa p =又焦点与顶 点的横坐标同号，设焦点为（x ，y ），则⎩⎨⎧==θθbtg y a x sec 2，消去θ，得焦点的轨迹方程为142222=-b ya x .表示双曲线 20．解：以原点O 为极点，O x 为极轴，建立极坐标系，则直线方程化为极坐标方程为：θθρsin cos 2+=， 设),(θρ''P 、),(θρP ，由已知ρρρρ4,4='=⋅'即.代入直线的极坐标方程得：θθρsin 4cos 4+=，化为直角坐标方程：.8)2()2(22=+++y x （除去原点）.21．解：（1）两方程联立，消去y ，得∴<-=⨯-=∆=++,07241,022x x 两曲线无交点.（2）设直线⎩⎨⎧=+=ααsin cos :t y t a x l （t 为参数）代入07cos sin .7222=---+=a t t x y αα得.则,0sin )7(4cos 221>++=∆ααa ① 且.sin cos 221αα=+t t 将l 的方程代入522=+y x ，得 .05cos 222=-++a at t α 0)5(4c o s 42222>--=∆a a α，② 且αcos 221a t t -='+'，由 |AB|=|CD|，∴AB 与BC 的中点必重合，a a t t t t 21sin cos 2sin cos .222121-=⇒-='+'=+∴αααα即).0cos (≠α③ 将③分别代入①和②，得：⎪⎩⎪⎨⎧<<-->⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>+-+>+-+.010,227.05)211(4,0)7(2421122a a a a a a a a 又由③.2110,21121-<<-∴-<⇒<-a a a 22．解（1）将椭圆222222b a y a x b =+化为极坐标方程得：.sin cos 2222222θθρa b b a +=设,sin cos ||),2,(),,(22222221221ααρπαραρa b b a OA A +==∴+.cos sin ||222222222ααρa b b a OB +== ]cos sin sin cos [111||1||12222222222222122ααααρρa b a b b a OB OA +++=+=+∴22222222)(1ba b a b a b a +=+==定值. （2）∆∴⊥,OB OA AOB 是直角三角形. 222||||||OB OA AB +=∴αααα222222222222cos sin sin cos a b b a a b b a +++=)cos sin )(sin cos (sin cos cos sin 222222222222222222ααααααααa b a b a b a b b a +++++= )cos sin )(sin cos ()(22222222222ααααa b a b b a b a +++=.过O 作OH ⊥AB 则OH 为点O 到AB 的距离. ||||||||||21AB AB OB OA OH ρρ==∴αααααααα222222222222222222cos sin sin cos cos sin sin cos a b a b b a ab a b aba b ab+⋅+++⋅+=22ba ab +=（定值）. ∴直线AB 恒切于一定圆：圆心为O （0，0），半径22ba abr +=，方程为222222b a b a y x +=+（3）由21222222211||1||1sin cos ρρθθρ+=+++=OB OA a b b a 得]cos sin sin cos [122222222ααααa b a b ab+++=21222222222])cos sin sin cos [(1ααααa b a b ab+++= 2122222222)2sin )(4(1θb a b a b a ab-+++=. 12sin ,12sin 2±==∴θθ即当时，也就是||1||1,434OB OA +=时或ππθ的最大值为)(21])(4[122212222222b a ab b a b a b a ab +=-+++. 当0,02sin ,02sin 2===θθθ即 或||1||1,OB OA +时π的最小值为.]2[1212222ab b a b a b a ab +=++。
参数方程、极坐标专项训练(2) 高三数学解析几何专项训练(含例题答案)
心尺引州丑巴孔市中潭学校第三章 参数方程、极坐标〔2〕【例题精选】：〔极坐标〕 例1：在极坐标系中，点P ()()ρθρ，≠0关于极轴对称的点的坐标是A ．()-ρθ，B ．()ρθ，-C ．()--ρθ，D ．()ρπθ，+答案：B例2：点M 的极坐标为33，π⎛⎝⎫⎭⎪，试分别写出它符合以下条件之一的极坐标的形式：〔1〕[)ρθπ<∈002，，〔2〕(]ρθπ>∈-020，，〔3〕()ρθππ<∈-0，，解：点M 的极坐标一般可写成323，k ππ+⎛⎝⎫⎭⎪和()-++⎛⎝⎫⎭⎪∈323，k k Z πππ，由题意可得：〔1〕M -⎛⎝ ⎫⎭⎪343，π 〔2〕M 353，-⎛⎝ ⎫⎭⎪π〔3〕M --⎛⎝ ⎫⎭⎪323，π例3：∆ABC 三顶点的极坐标分别是A 56，π⎛⎝ ⎫⎭⎪、B 52，π⎛⎝ ⎫⎭⎪和C -⎛⎝ ⎫⎭⎪433，π，试判断∆ABC 的形状，并求出它的面积。
解：AC BC =∆ABC 是等腰三角形，易知AB =5，AB 边上的高为435231323+= 例4：：A B -⎛⎝ ⎫⎭⎪-⎛⎝ ⎫⎭⎪343556，和，ππ两点，求AB S AOB 和∆〔O 为极点〕。
解：A 、B 两点的极坐标可分别表示为A B 33576，和，ππ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎛⎝ ⎫⎭⎪由余弦定理得AB 2223523515034153=+-⨯⨯⨯︒=+cos由三角形面积公式得例5：极坐标方程ρθ=sin 所表示的曲线是A ．正弦曲线B ．直线C ．和极轴相切的圆D ．圆心在极轴上的圆分析：ρθ=sin ，ρρθ2=·sin ，∴+=+-⎛⎝ ⎫⎭⎪=x y y x y 22221214，答案：C例6：化ρθ=-1653cos 为直角坐标方程。
解：将原方程变形为53165316ρρθρρθ-==+cos cos ，即两边平方并将x y ==ρθρθcos sin ，代入，得例7：化以下极坐标方程为直角坐标方程：〔1〕ρθθ+=20ctg ·csc ；〔2〕ρθθ=+222cos sin解：〔1〕()ρθθρρθθ+=+=202022·cos sin sin cos〔2〕ρθθρθρρθsin cos sin cos 2222222=+=+，【专项训练】：〔时间90分钟〕 一、参数方程：1、参数方程x t ty t t =-+=++⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪231141〔t 为参数〕化成普通方程是，它表示的图形是2、直线x t y t =︒+=-︒⎧⎨⎩sin cos 20320〔t 为参数〕的倾斜角是3、参数方程x e ey e et tt t=-=+⎧⎨⎪⎩⎪--〔t 为参数〕表示的曲线是A ．双曲线B ．双曲线的下支C ．双曲线的上支D ．圆4、将以下参数方程化成普通方程5、曲线x y ==⎧⎨⎪⎩⎪2322cos sin θθ〔θ为参数〕的长是6、假设直线l x x t y y t ：=+=+⎧⎨⎩00cos sin αα〔t 为参数〕与y 轴相交，那么l 在y 轴上的截距是7、过点P 〔2，0〕的直线l 夹在直线y x y x ==+332和间线段长为2，那么l 的普通方程是8、直线x t y t=+=⎧⎨⎩23〔t 为参数〕被双曲线x y 221-=截得的弦长为：A ．10B ．210C ．102D ．1039、过点P 〔2，1〕作椭圆x y 221641+=的弦，使P 为弦的中点，求弦所在的直线方程和弦长。
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极坐标与参数方程测试
一、选择题（每小题4分）
1．点M 的极坐标)3
2,5(π化为直角坐标为（ C ） A ．)235,25(-- B ．)235,25(- C ．)235,25(- D ．)2
35,25( 2．点M 的直角坐标为)1,3(--化为极坐标为（ B ）
A ．)65,2(π
B ．)67,2(π
C ．)611,2(π
D ．)6
,2(π 3．已知曲线C 的参数方程为)(1232为参数t t y t x ⎩⎨
⎧+==则点)4,5(),1,0(21M M 与曲线C
的位置关系是（ A ） A ．1M 在曲线C 上，但2M 不在。
B ．1M 不在曲线C 上，但2M 在。
C ．1M ，2M 都在曲线C 上。
D ．1M ，2M 都不在曲线C 上。
4．曲线5=ρ表示什么曲线（B ）
A ．直线
B ．圆
C ．射线
D ．线段
5．参数方程)(211为参数t t y t x ⎩⎨⎧-=+=表示什么曲线（ C ）
A ．一条直线
B ．一个半圆
C ．一条射线
D ．一个圆
6．椭圆 )(sin 51cos 3为参数θθθ
⎩⎨⎧+-=+=y x 的两个焦点坐标是(B )
A ．(-3，5)，(-3，-3)
B ．(3，3)，(3，-5)
C ．(1，1)，(-7，1)
D ．(7，-1)，(-1，-1)
7．曲线的极坐标方程ρ=４sinθ化 成直角坐标方程为( A)
A ．x 2+(y+2)2=4
B ．x 2+(y-2)2=4
C ．(x-2)2+y 2=4
D ．(x+2)2+y 2=4
8．极坐标方程4sin 2θ=3表示曲线是 ( D)
A ．两条射线
B ．抛物线
C ．圆
D ．两条相交直线
9．直线：3x-4y-9=0与圆：⎩⎨⎧==θ
θsin 2cos 2y x ，(θ为参数)的位置关系是( D )
A ．相切
B ．相离
C ．直线过圆心
D ．相交但直线不过圆心
10．双曲线⎩⎨⎧+=+-=θ
θsec 21tan 2y x (θ为参数)的渐近线方程为( C ) A ．)2(211+±
=-x y B ．x y 21±= C ．)2(21+±=-x y D ．)2(21-±=+x y
二、填空题（每小题5分，共20分）
11．双曲线⎪⎩
⎪⎨⎧+-=++=1121t t y t t x 的中心坐标是 。
12．参数方程 ⎪⎩
⎪⎨⎧+=+=θθθθcos 1sin cos 1cos y x (θ为参数)化成普通方程为 。
13．极坐标方程1)6
cos(=-πθρ的直角坐标方程是 。
14．抛物线y 2=2px(p ＞0)的一条过焦点的弦被焦点分成m 、n 长的两段，则
n m 11+ = 。
三、解答题（共40分）
15．设椭圆 ⎩⎨⎧==θ
θsin 32cos 4y x (θ为参数) 上一点P ，若点P 在第一象限，且3π=∠XOP ，求点P 的坐 标.。
（8分）
16．曲线C 的方程为⎩⎨⎧==pt
y pt x 222
(p ＞0，t 为参数)，当t ∈［-1，2］时 ，曲线C 的端点为A ，B ，设F 是曲线C 的焦点，且S △AFB =14，求P 的值。
（10分）
17．已知过点P(1，-2)，倾斜角为6
π的直线l 和抛物线x 2=y+m （12分） (1)m 取何值时，直线l 和抛物线交于两点?
(2)m 取何值时，直线l 被抛物线截下的线段长为
3
234-。
18．A ，B 为椭圆122
22=+b
y a x ，(a ＞b ＞0) 上的两点，且OA ⊥OB ，求△AOB 的面积的最大值和最小值。
（10分）
试卷答案：
一、选择题
1．C 2．B 3．A 4．B 5．C 6．B 7．A 8．D 9．D 10．C
二、填空题
11．(2，-1)； 12．)21()
21(22≤--=-x x y 13．023=-+y x 14．
p 2 三、解答题
15．)5
154,558( 16．3
32 17．(1)123423+>
m ，(2)m=3； 18． 2222max min ,2b
a b a S ab S +==
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适用版本：
人教版,苏教版, 鲁教版,北京版,语文A 版,语文S 版,冀教版,沪教版,北大师大版,人教版新
版,外研版,新起点,牛津译林,华师大版,湘教版,新目标,苏科版,粤沪版,北京版,岳麓版 适用学科：
语文,数学,英语,科学,物理,化学,生物,政治,历史,地理
适用年级：
一年级,二年级,三年级,四年级,五年级,六年级,七年级,八年级,九年级,小一,小二,小三,小四,小五,小六,初一,初二,初三,高一,高二,高三,中考,高考,小升初
适用领域及关键字：
100ceping,51ceping,52ceping,ceping,xuexi,zxxx,zxjy,zk,gk,xiti,教学,教学研究,在线教学,在线学习,学习,测评,测评网,学业测评, 学业测评网,在线测评, 在线测评网,测试,在线测试,教育,在线教育,中考,高考,中小学,中小学学习,中小学在线学习,试题,在线试题,练习,在线练习,在线练习,小学教育,初中教育,高中教育,小升初复习,中考复习,高考复习,教案,学习资料,辅导资料,课外辅导资料,在线辅导资料,作文,作文辅导,文档,教学文档,真题,试卷,在线试卷,答案,解析,课题,复习资料,复习专题,专项练习,学习网,在线学习网,学科网,在线学科网,在线题库,试题库,测评卷,小学学习资料，中考学习资料,单元测试,单元复习,单元试卷,考点,模拟试题,模拟试卷,期末考试,期末试卷,期中考试,期中试卷
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本卷由《100测评网》整理上传,专注于中小学生学业检测,练习与提升.。