2019届高考数学总复习高分突破复习：小题满分限时练三

高分突破复习：小题满分限时练(三)(限时：45分钟)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)1.已知集合A＝{x|x2＋2x－3≤0}，B＝{x|y＝ln(x＋2)}，则A∩B＝( )A.(－2，－1]B.(－2，3]C.(－2，1]D.[－2，1]解析A＝{x|x2＋2x－3≤0}＝[－3，1]，B＝{x|y＝ln(x＋2)}＝(－2，＋∞)，∴A∩B＝(－2，1].答案 C2.设复数z满足(1＋i)z＝2i，则|z|＝( )A.12B.22C.2D.2解析z＝2i1＋i＝2i（1－i）（1＋i）（1－i）＝2i＋22＝i＋1，则|z|＝12＋12＝ 2.答案 C3.下列命题中正确的是( )A.命题“存在x∈R，使得x2＋x＋1<0”的否定是“对任意x∈R，均有x2＋x＋1<0”B.若p为真命题，q为假命题，则(綈p)∨q为真命题C.为了了解高考前高三学生每天的学习时间情况，现要用系统抽样的方法从某班50名学生中抽取一个容量为10的样本，已知50名学生的编号为1，2，3，…，50，若8号被选出，则18号也会被选出D.已知m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，α∩β＝m，则“nα，n⊥m”是“α⊥β”的充分条件解析选项A，需要先换量词，再否定结论，故命题“存在x∈R，使得x2＋x＋1<0”的否定为“对任意x∈R，均有x2＋x＋1≥0”，选项A错误；选项B，∵綈p为假命题，q为假命题，∴(綈p)∨q为假命题，选项B错误；选项C，根据系统抽样的特点，从50名学生中抽取10人，需间隔5人抽取1人，8＋2×5＝18，18号会被选出，故选项C正确；选项D，根据线面垂直的判定定理可知，一条直线垂直于一个平面内的两条相交直线才能得出该直线与该平面垂直，故由n⊥m不能得到n⊥β，进而不能得到α⊥β，故选项D错误.答案 C4.在如图所示的正方形中随机投掷10 000个点，则落在阴影部分(曲线C 的方程为x 2－y ＝0)的点的个数约为( ) A.3 333 B.6 667 C.7 500 D.7 854解析 题图中阴影部分的面积为⎠⎛01(1－x 2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －x 33⎪⎪⎪10＝23，正方形的面积为1，设落在阴影部分的点的个数为n ，由几何概型的概率计算公式可知，231＝n10 000，n ≈6 667.答案 B 5.⎝⎛⎭⎪⎫2x 2－x 43的展开式中的常数项为( ) A.－32B.32C.6 D.－6 解析 通项T r ＋1＝C r3⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 23－r(－x 4)r＝C r3(2)3－r(－1)r x－6＋6r，当－6＋6r ＝0，即r ＝1时为常数项，T2＝－6. 答案 D6.某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积是( )A.13B.14C.15D.16解析 所求几何体可看作是将长方体截去两个三棱柱得到的几何体，在长方体中还原该几何体，如图中ABCD －A ′B ′C ′D ′所示，长方体的长、宽、高分别为4，2，3，两个三棱柱的高为2，底面是两直角边长分别为3和1.5的直角三角形，故该几何体的体积V ＝4×2×3－2×12×3×32×2＝15.答案 C7.已知奇函数f (x )满足f (x ＋1)＝f (1－x )，若当x ∈(－1，1)时，f (x )＝lg 1＋x1－x，且f (2 018－a )＝1，则实数a 的值可以是( )A.911B.119C.－911D.－119解析 ∵f (x ＋1)＝f (1－x )，∴f (x )＝f (2－x )，又函数f (x )为奇函数，∴f (－x )＝－f (2－x )，∴f (2＋x )＝－f (x )，∴f (x ＋4)＝－f (x ＋2)＝f (x )，∴函数f (x )为周期函数，周期为4.当x ∈(－1，1)时，令f (x )＝lg 1＋x 1－x ＝1，得x ＝911.又f (2 018－a )＝f (2－a )＝f (a )＝1，∴a 可以是911.答案 A8.执行如图所示的程序框图，输出的S 值为－4时，条件框内应填写( )A.i >3?B.i <5?C.i >4?D.i <4?解析 由程序框图可知，S ＝10，i ＝1；S ＝8，i ＝2；S ＝4，i ＝3；S ＝－4，i ＝4.由于输出的S ＝－4.故应跳出循环，条件为i <4？.答案 D9.某企业生产甲、乙两种产品均需用A ，B 两种原料，已知生产1吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示.如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得的最大利润为( )A.15万元B.16万元C.17万元D.18万元解析 设该企业每天生产x 吨甲产品，y 吨乙产品，可获得利润为z 万元，则z ＝3x ＋4y ，且x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋2y ≤12，x ＋2y ≤8，x ≥0，y ≥0.画出可行域如图中阴影部分所示，直线z ＝3x ＋4y 过点M 时，z ＝3x ＋4y 取得最大值，由⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋2y ＝12，x ＋2y ＝8，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝3，∴M (2，3)，故z ＝3x ＋4y 的最大值为18. 答案 D10.已知函数f (x )＝1＋2cos x cos(x ＋3φ)是偶函数，其中φ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，则下列关于函数g (x )＝cos(2x －φ)的正确描述是( )A.g (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π12，π3上的最小值为－1B.g (x )的图象可由函数f (x )的图象向上平移2个单位长度，向右平移π3个单位长度得到C.g (x )的图象的一个对称中心是⎝ ⎛⎭⎪⎫－π12，0D.g (x )的一个单调递减区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2解析 ∵f (x )＝1＋2cos x cos(x ＋3φ)是偶函数，∴y ＝cos(x ＋3φ)是偶函数，3φ＝k π，k ∈Z .又φ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，因此φ＝π3.∴g (x )＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3.当－π12≤x ≤π3时，－π2≤2x －π3≤π3，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3∈[0，1]，故A 错误；f (x )＝1＋2cos x cos(x＋π)＝1－2cos 2x ＝－cos 2x ，显然B 错误；当x ＝－π12时，g (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＝0，故C 正确；当0≤x ≤π2时，－π3≤2x －π3≤2π3，g (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3有增有减，故D 错误. 答案 C11.设双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左焦点为F ，直线4x －3y ＋20＝0过点F 且与双曲线C在第二象限的交点为P ，|OP |＝|OF |，其中O 为原点，则双曲线C 的离心率为( ) A.5 B.5C.53D.54解析 在直线4x －3y ＋20＝0中，令y ＝0，得x ＝－5，故c ＝5，取右焦点为F ′，由|OF |＝|OP |＝|OF ′|，可得PF ⊥PF ′.由直线4x －3y ＋20＝0，可得tan∠F ′FP ＝43，又|FF ′|＝10，故|PF |＝6，|PF ′|＝8.∴|PF ′|－|PF |＝2＝2a ，∴a ＝1，又∵2c ＝10，c ＝5， 故双曲线C 的离心率e ＝c a＝5. 答案 A12.在正整数数列中，由1开始依次按如下规则，将某些数染成红色.先染1；再染两个偶数2，4；再染4后面最邻近的3个连续奇数5，7，9；再染9后面的最邻近的4个连续偶数10，12，14，16；再染此后最邻近的5个连续奇数17，19，21，23，25.按此规则一直染下去，得到一红色子数列1，2，4，5，7，9，10，12，14，16，17，…，则在这个红色子数列中，由1开始的第2 018个数是( )A.3 971B.3 972C.3 973D.3 974解析 由题意，设第1组的数为1；第2组的数为2，4；第3组的数为5，7，9，…，根据等差数列的前n 项和，前n 组共有n （n ＋1）2个数.由于2 016＝63×（63＋1）2<2 018<64×（64＋1）2＝2 080，因此，第2 018个数是第64组的第2个数.由于第1组最后一个数是1，第2组最后一个数是4，第3组最后一个数是9，……，第n 组最后一个数是n 2，因此，第63组最后一个数为632，632＝3 969，第64组为偶数组，其第1个数为3 970，第2个数为3 972. 答案 B二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分.请把正确的答案填写在各小题的横线上.)13.如果点P 1，P 2，P 3，…，P 10是抛物线y 2＝2x 上的点，它们的横坐标依次为x 1，x 2，x 3，…，x 10，F 是抛物线的焦点，若x 1＋x 2＋x 3＋…＋x 10＝5，则|P 1F |＋|P 2F |＋|P 3F |＋…＋|P 10F |＝________.解析 由抛物线的定义可知，抛物线y 2＝2px (p >0)上的点P (x 0，y 0)到焦点F 的距离|PF |＝x 0＋p2，在y 2＝2x 中，p ＝1，所以|P 1F |＋|P 2F |＋…＋|P 10F |＝x 1＋x 2＋…＋x 10＋5p ＝10.答案 1014.已知a ，b ，c 分别是△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边，且c ＝2，C ＝π3，若sin C ＋sin(B －A )＝2sin 2A ，则A ＝________.解析 在△ABC 中，由sin C ＋sin(B －A )＝2sin 2A ， 得sin(A ＋B )＋sin(B －A )＝4sin A cos A ， ∴cos A sin B ＝2sin A cos A ， 即cos A (sin B －2sin A )＝0. 则cos A ＝0或sin B ＝2sin A . ①若cos A ＝0，则A ＝π2；②若sin B ＝2sin A ，则b ＝2a .由余弦定理，c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，且c ＝2，C ＝π3.∴a 2＋b 2－ab ＝4，联立b ＝2a ，得a ＝233，b ＝433，则b 2＝a 2＋c 2，B ＝π2，从而A ＝π6.答案π2或π615.在等腰梯形ABCD 中，已知AB ∥DC ，AB ＝2，BC ＝1，∠ABC ＝60°，点E 和点F 分别在线段BC 和DC 上，BE →＝λBC →，DF →＝19λDC →，则AE →·AF →的最小值为________. 解析 法一 由题意，得AD ＝CD ＝BC ＝1，AB ＝2， ∴AE →·AF →＝(AB →＋BE →)·(AD →＋DF →) ＝(AB →＋λBC →)·⎝⎛⎭⎪⎫AD →＋19λDC →＝AB →·AD →＋λBC →·AD →＋19λAB →·DC →＋19BC →·DC →＝|AB →||AD →|·cos 60°＋λ|BC →||AD →|cos 60° ＋19λ|AB →||DC →|cos 0°＋19|BC →||DC →|cos 120° ＝2×1×12＋λ2＋29λ－118＝1718＋λ2＋29λ≥178＋2λ2×29λ＝2918(当且仅当λ＝23时，等号成立). 法二 如图，以A 为坐标原点建立平面直角坐标系，过点D 作DG ⊥AB 交AB 于点G ，过点C 作CH ⊥AB 交AB 于点H ，由题意得，AB ∥DC ，AB ＝2，AD ＝BC ＝1，∠ABC ＝60°， ∴AG ＝BH ＝AD cos 60°＝12，同理，DG ＝CH ＝32， ∴A (0，0)，B (2，0)，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，32，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，∴BC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32，DC →＝(1，0)，AB →＝(2，0)，AD →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32.∵BE →＝λBC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－λ2，3λ2，DF →＝19λDC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫19λ，0，∴AE →＝AB →＋BE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2－λ2，3λ2，AF →＝AD →＋DF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋19λ，32，∴AE →·AF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2－λ2，3λ2·⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋19λ，32＝1718＋29λ＋λ2≥178＋2λ2×29λ＝1718＋23＝2918(当且仅当λ＝23时等号成立). 答案291816.已知函数f (x )＝x ＋a ln x (a >0)，若x 1，x 2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1(x 1≠x 2)，|f (x 1)－f (x 2)|>⎪⎪⎪⎪⎪⎪1x 1－1x 2，则正数a 的取值范围是________.解析 由f (x )＝x ＋a ln x (a >0)，得当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1时，f ′(x )＝1＋a x >0，f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1上单调递增，不妨设x 1>x 2，则|f (x 1)－f (x 2)|>⎪⎪⎪⎪⎪⎪1x 1－1x 2，即f (x 1)－f (x 2)>1x 2－1x 1，f (x 1)＋1x 1>f (x 2)＋1x 2，令g (x )＝f (x )＋1x ，则g (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1上单调递增， 所以g ′(x )＝1＋a x －1x 2≥0在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1上恒成立，a x ≥1x 2－1，即a ≥1x －x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1上恒成立， 令h (x )＝1x －x ，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，则h ′(x )＝－1－1x2<0，h (x )单调递减，h (x )<h ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝32，则a ≥32，故正数a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞. 答案 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞。