理论力学 chap16

一长2a的均质杆，由水平位置绕转轴O下落 并撞在固定支座上弹回。为使轴承O处不发生约束 碰撞冲量，支座应装在杆的撞击中心的位置上：
l
JO

4 ma2 3
4a
ma ma 3
例题2 台球棍打击台球，使台球不借助摩擦而能作纯滚动 。假设棍对球只施加水平力，试求满足上述运动的球棍位 置高度h。
I
h Cd
12
2
补充恢复系数方程：e
vAy

vcy

l 2

cos
1
vAy
v sin
vcx v cos
vcy

1 3cos2 1 3cos2
v sin


12v sin cos (1 3cos2 )l
例4 边长为l的正方形物块，以匀速v运动，突然与一小凸台相撞 ，如图示。设碰撞为塑性的，求（1）物块翻转瞬时的角速度； （2）凸台对物块的碰撞冲量；（3）物体动能的损失。
v
r
冲量分析（图）、运动分析
Is
解： 动量定理：
IN
I Is mv IN 0
对质心动量矩定理：
I
s
0
I(h
r
)

I
2
mv
mr 2
I
h Cd
mxc2

mxc1


I
e x
5
运动学关系：纯滚动时
v r
myc2

myc1


I
e y
Jc Jc
M
c
(
解：将两杆拆开并作受力图: OA杆为定轴转动：
1 3
ml
21

0


I
Axl
AB杆为平面运动：
mv2 0 I I Ax
1 12
ml 2 2

0

(I

I
Ax
)

l 2
补充运动学关系：
v2

l1

1 2
l2
两均质杆的质量均为m，长度均为l，用光滑
铰链连接，求在冲量I作用下两杆获得的角速
vC cos
例5 质量m=2kg的均质圆盘无初速度地从高度h=1m自由下落，碰到一个 固定尖角O上。若圆盘半径r=20cm，距离a=8cm，碰撞时的恢复系数e=0.8 ，假设接触时没有滑动，求碰撞后圆盘的角速度和质心的速度，以及碰撞 前后动能的损失。
5.90 rad/s
vC vCn
2 3
m1v m1v1 I1 m1v1 m1v I2 m2v m2v2 I1 m2v2 m2v I2
e I2 v2 v1 vr h2
I1 v1 v2 vr
h1
v 2gh1
塑性碰撞: e=0 完全的弹性碰撞: e=1
v 2gh2
e vrn vrn
例1质量为m的刚体绕O作定轴转动，对O轴的转动惯量为Jo，角
速度为。在某瞬时受已知冲量I作用，求碰撞后的角速度 ′和碰撞过程中轴承O的约束碰撞冲量Io。
I0y
Jo Jo
M
o
(I
e i
)
I0x
mvc mvc Iie
质量为m的刚体绕O作定轴转动，对O轴的转动惯量为Jo，角速度
完全塑性碰撞:
e0
T

1 2

m1m2 m1 m2
(v1

v2 )2
若第二个T物体m初1m始2速m2度T为1 零m，11即有1Tv12=0 : m2
小锤大砧 大锤小桩
T

m2 m1 m2
T1

1
m1
T1 1
m2
实例解释：
表演者躺在地板上，身上压一块重石板。另一表演者用重锤 猛击石板，石板碎裂，但石下的表演者却毫无损伤。
将石板变小或干脆去掉行吗？
将石板变成木板？
两球的斜碰撞
一 两球的斜碰撞
碰撞前后两球速度矢不在两球接触 面的公法线上。
斜碰撞恢复系数：两球沿公法线方向碰撞后相对分离的速度 与碰撞前相对接近的速度比
二 刚体的斜碰撞
e＝
v2 n－v1n v2n－v1n

vrn vrn
碰撞刚体接触点在公法线方向的相 对分离速度与相对接近速度。
考试时间地点： 12月31日 9：00
YF303
碰撞
碰撞
碰撞的力学特征和模型 碰撞过程的基本定理 两球的碰撞 ·恢复系数 碰撞的应用
碰撞过程的特点及分类
碰撞
一、碰撞过程的特点
1）碰撞接触的时间很短，但相互作用力很大；
应用积分形式的动力学方程；
常规作用往往可以忽略不计；
2）由于碰撞接触时间很短，故 碰撞过程结束后还没有产生 位移，但会产生有限的速度 变化；
例6 两均质杆的质量均为m，长度均为l，用光滑铰链连接 ，求在冲量I作用下两杆获得的角速度及各铰处的约束 碰撞冲量。
mxc2

mxc1

I
e x
my c 2

my c1

I
e y
Jc Jc
M
c
(
I
e i
)
两均质杆的质量均为m，长度均为l，用光滑铰 链连接，求在冲量I作用下两杆获得的角速度 及各铰处的约束碰撞冲量。
I
e i
)
h 7r 7 d 5 10
例3 质量为m长为l的均质细杆与光滑地面成角，并以速度v
平行于杆自身而撞击地面；设碰撞是完全弹性的，求碰
撞后杆的运动。
mxc2

mxc1

I
e x
my c 2

my c1

I
e y
Jc Jc
M
c
(
I
e i
)
e vrn vrn
若刚体定轴转动：Jo Jo
M
o
(I
e i
)
若刚体作平面运动：
mxc2

mxc1


I
e x
myc2

myc1


I
e y
Jc Jc Mc (Iie )
（1）碰撞过程中一般不便于应用动能定理；但在某 些特殊情况下，也能导出动能损失的公式。
（2）碰撞过程除受动力学规律支配外，还与材料的 变形恢复性能密切相关。
evC
vC sin
cos
2 2gh 3
3.246 m/s
a r

1.18 m/s
ω n
vC vC2 vC2n 3.45m/s
碰撞前的动能
T1

1 2
mvC2
vcn vct C α In vc
t It O
碰撞后的动能
T2

1 2
mvC2

1 2
JC 2
碰撞过程能量的损失 T T1 T2 7.00 N m
微分形式：d
积分: dt
Lo

d dt
(
ri mivi )
ri Fi e M o
ri mivi' ri mivi
t2 t1
ri

dI
e i
o Lo Mo (Iie )
n
LC LC MC (Ii(e) ) i 1
vC
a 0.557 2
ag
例5 质量m=2kg的均质圆盘无初速度地从高度h=1m自由下落 ，碰到一个固定尖角O上。若圆盘半径r=20cm，距离a=8cm， 碰撞时的恢复系数e=0.8，假设接触时没有滑动，求碰撞后圆盘 的角速度和质心的速度，以及碰撞前后动能的损失。
解：（1）碰撞前后圆盘的运动分析图及略去
两球的碰撞 ·恢复系数
一 两球的正碰撞 两球的速度在两球连心线的碰撞。
恢复系数：恢复阶段与变形阶段的冲量之比
e I2 I1
e=0 时材料变形完全不能恢复，称为塑性碰撞。
e=1 时材料变形完全恢复，称为完全的弹性碰撞。
e如何获得？
恢复系数：
e I2 I1
碰撞后相对分离的速度与碰撞前相对接近的速度比。
LO rC m vC LC
边长为a的方形木箱在无摩擦的地板上滑动，并与一小障碍
A相碰撞。碰撞后绕A翻转。试求木箱能完成上述运动的最小
初速vo；木箱碰撞后其质心的瞬时速度vc与瞬时角速度ω。
0

vC
vC 0
势能零点：
C
45 A
A
碰末
若箱刚能完成翻转，则转到最高点时 0 ，
2 2
l

cos45

mv

I
x
myc2

myc1


I
e y
Jc Jc
M
c
(
I
e i
)
m
2 2
l
s in
45

0

I
y
Ix


5 8
mv
Iy

3 mv 8
3v
4l
（3）动能的损失
T

T1
T2

1 2
mv2

1 2
JO 2
2). 碰撞过程分为两个阶段：
变形阶段与恢复阶段。
3). 碰撞力很大，作用时间很短， 是瞬时力。在碰撞过程中，重 力等常规力可以忽略不计。