【跟踪训练】2020高考数学一轮复习-系统知识__平面向量的数量积含解析

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2020届高考数学一轮复习学霸提分秘籍专题6.3 平面向量的数量积及其应用(解析版)

第六篇平面向量与复数专题6.03 平面向量的数量积及其应用【考试要求】1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义；2.了解平面向量的数量积与向量投影的关系；3.掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算；4.能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系；5.会用向量的方法解决某些简单的平面几何问题. 【知识梳理】1.平面向量数量积的有关概念(1)向量的夹角：已知两个非零向量a 和b ，记OA →＝a ，OB →＝b ，则∠AOB ＝θ(0°≤θ≤180°)叫做向量a 与b 的夹角.(2)数量积的定义：已知两个非零向量a 与b ，它们的夹角为θ，则a 与b 的数量积(或内积)a ·b ＝|a ||b |cos__θ.规定：零向量与任一向量的数量积为0，即0·a ＝0.(3)数量积的几何意义：数量积a ·b 等于a 的长度|a |与b 在a 的方向上的投影|b |cos θ的乘积. 2.平面向量数量积的性质及其坐标表示设向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，θ为向量a ，b 的夹角. (1)数量积：a ·b ＝|a ||b |cos θ＝x 1x 2＋y 1y 2.(2)模：|a |＝a ·a ＝x 21＋y 21.(3)夹角：cos θ＝a ·b |a ||b |＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21·x 22＋y 22. (4)两非零向量a ⊥b 的充要条件：a·b ＝0⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0.(5)|a·b|≤|a||b|(当且仅当a ∥b 时等号成立)⇔|x 1x 2＋y 1y 2. 3.平面向量数量积的运算律(1)a ·b ＝b ·a (交换律).(2)λa ·b ＝λ(a ·b )＝a ·(λb )(结合律). (3)(a ＋b )·c ＝a ·c ＋b ·c (分配律).【微点提醒】1.两个向量a ，b 的夹角为锐角⇔a·b>0且a ，b 不共线；两个向量a ，b 的夹角为钝角⇔a·b<0且a ，b 不共线.2.平面向量数量积运算的常用公式 (1)(a ＋b )·(a －b )＝a 2－b 2. (2)(a ＋b )2＝a 2＋2a ·b ＋b 2. (3)(a －b )2＝a 2－2a ·b ＋b 2. 【疑误辨析】1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”) (1)两个向量的夹角的范围是⎣⎡⎦⎤0，π2.( ) (2)向量在另一个向量方向上的投影为数量，而不是向量.( )(3)两个向量的数量积是一个实数，向量的加、减、数乘运算的运算结果是向量.( ) (4)若a ·b ＝a ·c (a ≠0)，则b ＝c .( ) 【答案】 (1)× (2)√ (3)√ (4)× 【解析】 (1)两个向量夹角的范围是[0，π].(4)由a ·b ＝a ·c (a ≠0)得|a ||b |·cos 〈a ，b 〉＝|a ||c |·cos 〈a ，c 〉，所以向量b 和c 不一定相等. 【教材衍化】2.(必修4P108A10改编)设a ，b 是非零向量.“a ·b ＝|a ||b |”是“a ∥b ”的( ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】 A【解析】设a 与b 的夹角为θ.因为a ·b ＝|a |·|b |cos θ＝|a |·|b |，所以cos θ＝1，即a 与b 的夹角为0°，故a ∥b .当a ∥b 时，a 与b 的夹角为0°或180°，所以a ·b ＝|a |·|b |cos θ＝±|a |·|b |，所以“a ·b ＝|a |·|b |”是“a ∥b ”的充分而不必要条件.3.(必修4P108A2改编)在圆O 中，长度为2的弦AB 不经过圆心，则AO →·AB →的值为________. 【答案】 1【解析】设向量AO →，AB →的夹角为θ，则AO →·AB →＝|AO →||AB →|·cos θ＝|AO →|cos θ·|AB →|＝12|AB →|·|AB→|＝12×(2)2＝1. 【真题体验】4.(2018·全国Ⅱ卷)已知向量a ，b 满足|a |＝1，a ·b ＝－1，则a ·(2a －b )＝( ) A.4 B.3C.2D.0【答案】 B【解析】 a ·(2a －b )＝2|a |2－a ·b ＝2×12－(－1)＝3.5.(2018·上海嘉定区调研)平面向量a 与b 的夹角为45°，a ＝(1，1)，|b |＝2，则|3a ＋b |等于( ) A.13＋6 2 B.2 5 C.30D.34【答案】 D【解析】依题意得a 2＝2，a ·b ＝2×2×cos 45°＝2，|3a ＋b |＝（3a ＋b ）2＝9a 2＋6a ·b ＋b 2＝18＋12＋4＝34.6.(2017·全国Ⅰ卷)已知向量a ＝(－1，2)，b ＝(m ，1).若向量a ＋b 与a 垂直，则m ＝________. 【答案】 7【解析】由题意得a ＋b ＝(m －1，3)，因为a ＋b 与a 垂直，所以(a ＋b )·a ＝0，所以－(m －1)＋2×3＝0，解得m ＝7. 【考点聚焦】考点一平面向量数量积的运算【例1】 (1)若向量m ＝(2k －1，k )与向量n ＝(4，1)共线，则m ·n ＝( ) A.0B.4C.－92D.－172(2)(2018·天津卷)在如图的平面图形中，已知OM ＝1，ON ＝2，∠MON ＝120°，BM →＝2MA →，CN →＝2NA →，则BC →·OM →的值为( )A.－15B.－9C.－6D.0【答案】 (1)D (2)C【解析】 (1)由题意得2k －1－4k ＝0，解得k ＝－12，即m ＝⎝⎛⎭⎫－2，－12，所以m ·n ＝－2×4＋⎝⎛⎭⎫－12×1＝－172. (2)连接OA .在△ABC 中，BC →＝AC →－AB →＝3AN →－3AM →＝3(ON →－OA →)－3(OM →－OA →)＝3(ON →－OM →)，∴BC →·OM →＝3(ON →－OM →)·OM →＝3(ON →·OM →－OM →2)＝3×(2×1×cos 120°－12)＝3×(－2)＝－6.【规律方法】 1.数量积公式a ·b ＝|a ||b |cos θ在解题中的运用，解题过程具有一定的技巧性，需要借助向量加、减法的运算及其几何意义进行适当变形；也可建立平面直角坐标系，借助数量积的坐标运算公式a ·b ＝x 1x 2＋y 1y 2求解，较为简捷、明了.2.在分析两向量的夹角时，必须使两个向量的起点重合，如果起点不重合，可通过“平移”实现.【训练1】 (1)在△ABC 中，AB ＝4，BC ＝6，∠ABC ＝π2，D 是AC 的中点，E 在BC 上，且AE ⊥BD ，则AE →·BC →等于( ) A.16B.12C.8D.－4(2)(2019·皖南八校三模)已知|a |＝|b |＝1，向量a 与b 的夹角为45°，则(a ＋2b )·a ＝________. 【答案】 (1)A (2)1＋ 2【解析】 (1)以B 为原点，BA ，BC 所在直线分别为x ，y 轴建立平面直角坐标系(图略)，A (4，0)，B (0，0)，C (0，6)，D (2，3).设E (0，t )，BD →·AE →＝(2，3)·(－4，t )＝－8＋3t ＝0，∴t＝83，即E ⎝⎛⎭⎫0，83， AE →·BC →＝⎝⎛⎭⎫－4，83·(0，6)＝16. (2)因为|a |＝|b |＝1，向量a 与b 的夹角为45°，所以(a ＋2b )·a ＝a 2＋2a ·b ＝|a |2＋2|a |·|b |cos 45°＝1＋ 2. 考点二平面向量数量积的应用角度1 平面向量的垂直【例2－1】 (1)(2018·北京卷)设向量a ＝(1，0)，b ＝(－1，m ).若a ⊥(m a －b )，则m ＝________. (2)(2019·宜昌二模)已知△ABC 中，∠A ＝120°，且AB ＝3，AC ＝4，若AP →＝λAB →＋AC →，且AP →⊥BC →，则实数λ的值为( ) A.2215B.103C.6D.127【答案】 (1)－1 (2)A【解析】 (1)a ＝(1，0)，b ＝(－1，m )，∴a 2＝1，a ·b ＝－1，由a ⊥(m a －b )得a ·(m a －b )＝0，即m a 2－a ·b ＝0. ∴m －(－1)＝0，∴m ＝－1. (2)因为AP →＝λAB →＋AC →，且AP →⊥BC →，所以有AP →·BC →＝(λAB →＋AC →)·(AC →－AB →)＝λAB →·AC →－λAB →2＋AC →2－AB →·AC →＝(λ－1)AB →·AC →－λAB →2＋AC →2＝0，整理可得(λ－1)×3×4×cos 120°－9λ＋16＝0，解得λ＝2215.【规律方法】1.当向量a ，b 是非坐标形式时，要把a ，b 用已知的不共线向量作为基底来表示且不共线的向量要知道其模与夹角，从而进行运算.2.数量积的运算a·b ＝0⇔a ⊥b 中，是对非零向量而言的，若a ＝0，虽然有a·b ＝0，但不能说a ⊥b.角度2 平面向量的模【例2－2】 (1)已知平面向量α，β，|α|＝1，|β|＝2，α⊥(α－2β)，则|2α＋β|的值是________. (2)(2019·杭州调研)已知直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ADC ＝90°，AD ＝2，BC ＝1，P 是腰DC 上的动点，则|PA →＋3PB →|的最小值为________. 【答案】 (1)10 (2)5【解析】 (1)由α⊥(α－2β)得α·(α－2β)＝α2－2α·β＝0，所以α·β＝12，所以(2α＋β)2＝4α2＋β2＋4α·β＝4×12＋22＋4×12＝10，所以|2α＋β|＝10.(2)建立平面直角坐标系如图所示，则A (2，0)，设P (0，y )，C (0，b )，则B (1，b ).所以PA →＋3PB →＝(2，－y )＋3(1，b －y )＝(5，3b －4y )，所以|PA →＋3PB →|＝25＋（3b －4y ）2(0≤y ≤b )，所以当y ＝34b 时，|PA →＋3PB →|取得最小值5.【规律方法】1.求向量的模的方法：(1)公式法，利用|a |＝a ·a 及(a ±b )2＝|a |2±2a ·b ＋|b |2，把向量的模的运算转化为数量积运算；(2)几何法，利用向量的几何意义.2.求向量模的最值(范围)的方法：(1)代数法，把所求的模表示成某个变量的函数，再用求最值的方法求解；(2)几何法(数形结合法)，弄清所求的模表示的几何意义，结合动点表示的图形求解.角度3 平面向量的夹角【例2－3】 (1)(2019·衡水中学调研)已知非零向量a ，b 满足|a ＋b |＝|a －b |＝233|a |，则向量a ＋b 与a －b 的夹角为________.(2)若向量a ＝(k ，3)，b ＝(1，4)，c ＝(2，1)，已知2a －3b 与c 的夹角为钝角，则k 的取值范围是________.【答案】 (1)π3(2)⎝⎛⎭⎫－∞，－92∪⎝⎛⎭⎫－92，3 【解析】 (1)将|a ＋b |＝|a －b |两边平方，得a 2＋b 2＋2a ·b ＝a 2＋b 2－2a ·b ，∴a ·b ＝0. 将|a ＋b |＝233|a |两边平方，得a 2＋b 2＋2a ·b ＝43a 2，∴b 2＝13a 2.设a ＋b 与a －b 的夹角为θ，∴cos θ＝（a ＋b ）·（a －b ）|a ＋b |·|a －b |＝a 2－b 2233|a |·233|a |＝23a 243a 2＝12.又∵θ∈[0，π]，∴θ＝π3.(2)∵2a －3b 与c 的夹角为钝角， ∴(2a －3b )·c <0，即(2k －3，－6)·(2，1)<0，解得k ＜3. 又若(2a －3b )∥c ，则2k －3＝－12，即k ＝－92.当k ＝－92时，2a －3b ＝(－12，－6)＝－6c ，此时2a －3b 与c 反向，不合题意.综上，k 的取值范围为⎝⎛⎭⎫－∞，－92∪⎝⎛⎭⎫－92，3. 【规律方法】1.研究向量的夹角应注意“共起点”；两个非零共线向量的夹角可能是0或π；注意向量夹角的取值范围是[0，π]；若题目给出向量的坐标表示，可直接套用公式cos θ＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21·x 22＋y 22求解.2.数量积大于0说明不共线的两向量的夹角为锐角，数量积等于0说明不共线的两向量的夹角为直角，数量积小于0且两向量不共线时两向量的夹角为钝角.【训练2】 (1)已知向量a ＝(－2，3)，b ＝(3，m )，且a ⊥b ，则m ＝________.(2)(一题多解)(2017·全国Ⅰ卷)已知向量a ，b 的夹角为60°，|a |＝2，|b |＝1，则|a ＋2b |＝________.(3)(2017·山东卷)已知e 1，e 2是互相垂直的单位向量，若3e 1－e 2与e 1＋λe 2的夹角为60°，则实数λ的值是________. 【答案】 (1)2 (2)23 (3)33【解析】 (1)由a ⊥b ，得a ·b ＝0，又a ＝(－2，3)，b ＝(3，m )， ∴－6＋3m ＝0，则m ＝2. (2)法一 |a ＋2b |＝（a ＋2b ）2＝a 2＋4a ·b ＋4b 2＝22＋4×2×1×cos 60°＋4×12＝12＝2 3.法二 (数形结合法)由|a |＝|2b |＝2知，以a 与2b 为邻边可作出边长为2的菱形OACB ，如图，则|a ＋2b |＝|OC →|.又∠AOB ＝60°，所以|a ＋2b |＝2 3. (3)由题意知|e 1|＝|e 2|＝1，e 1·e 2＝0，|3e 1－e 2|＝（3e 1－e 2）2＝3e 21－23e 1·e 2＋e 22＝3－0＋1＝2.同理|e 1＋λe 2|＝1＋λ2.所以cos 60°＝（3e 1－e 2）·（e 1＋λe 2）|3e 1－e 2||e 1＋λe 2|＝3e 21＋（3λ－1）e 1·e 2－λe 2221＋λ2＝3－λ21＋λ2＝12，解得λ＝33. 考点三平面向量与三角函数【例3】 (2019·潍坊摸底)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，向量m ＝(cos(A －B )，sin(A －B ))，n ＝(cos B ，－sin B )，且m ·n ＝－35.(1)求sin A 的值；(2)若a ＝42，b ＝5，求角B 的大小及向量BA →在BC →方向上的投影. 【答案】见解析【解析】(1)由m ·n ＝－35，得cos(A －B )cos B －sin(A －B )sin B ＝－35，所以cos A ＝－35.因为0<A <π，所以sin A ＝1－cos 2A ＝1－⎝⎛⎭⎫－352＝45. (2)由正弦定理，得a sin A ＝bsin B ，则sin B ＝b sin A a ＝5×4542＝22，因为a >b ，所以A >B ，且B 是△ABC 一内角，则B ＝π4.由余弦定理得(42)2＝52＋c 2－2×5c ×⎝⎛⎭⎫－35，解得c ＝1，c ＝－7舍去，故向量BA →在BC →方向上的投影为|BA →|cos B ＝c cos B ＝1×22＝22.【规律方法】平面向量与三角函数的综合问题的解题思路：(1)题目条件给出向量的坐标中含有三角函数的形式，运用向量共线或垂直或等式成立等，得到三角函数的关系式，然后求解.(2)给出用三角函数表示的向量坐标，要求的是向量的模或者其他向量的表达形式，解题思路是经过向量的运算，利用三角函数在定义域内的有界性，求得值域等.【训练3】 (2019·石家庄模拟)已知A ，B ，C 分别为△ABC 的三边a ，b ，c 所对的角，向量m ＝(sin A ，sin B )，n ＝(cos B ，cos A )，且m ·n ＝sin 2C . (1)求角C 的大小；(2)若sin A ，sin C ，sin B 成等差数列，且CA →·(AB →－AC →)＝18，求边c 的长. 【答案】见解析【解析】(1)由已知得m ·n ＝sin A cos B ＋cos A sin B ＝sin(A ＋B )，因为A ＋B ＋C ＝π，所以sin(A ＋B )＝sin(π－C )＝sin C ，所以m ·n ＝sin C ，又m ·n ＝sin 2C ，所以sin 2C ＝sin C ，所以cos C ＝12.又0<C <π，所以C ＝π3.(2)由已知及正弦定理得2c ＝a ＋b . 因为CA →·(AB →－AC →)＝CA →·CB →＝18，所以ab cos C ＝18，所以ab ＝36.由余弦定理得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝(a ＋b )2－3ab 所以c 2＝4c 2－3×36，所以c 2＝36，所以c ＝6. 【反思与感悟】1.计算向量数量积的三种方法定义、坐标运算、数量积的几何意义，要灵活运用，与图形有关的不要忽略数量积几何意义的应用.2.求向量模的常用方法利用公式|a |2＝a 2，将模的运算转化为向量的数量积的运算.3.利用向量垂直或平行的条件构造方程或函数是求参数或最值问题常用的方法与技巧. 【易错防范】数量积运算律要准确理解、应用，例如，a ·b ＝a ·c (a ≠0)不能得出b ＝c ，两边不能约去一个向量.数量积运算不满足结合律，(a ·b )·c 不一定等于a ·(b ·c ). 【核心素养提升】【数学运算、数学建模】——平面向量与三角形的“四心”1.数学运算是指在明晰运算的基础上，依据运算法则解决数学问题的素养.通过学习平面向量与三角形的“四心”，学生能进一步发展数学运算能力，形成规范化思考问题的品质，养成一丝不苟、严谨求实的科学精神.2.数学建模要求在熟悉的情境中，发现问题并转化为数学问题，能够在关联的情境中，经历数学建模的过程，理解数学建模的意义.本系列通过学习平面向量与三角形的“四心”模型，能够培养学生用模型的思想解决相关问题.设O 为△ABC 所在平面上一点，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，则 (1)O 为△ABC 的外心⇔|OA →|＝|OB →|＝|OC →|＝a2sin A. (2)O 为△ABC 的重心⇔OA →＋OB →＋OC →＝0. (3)O 为△ABC 的垂心⇔OA →·OB →＝OB →·OC →＝OC →·OA →. (4)O 为△ABC 的内心⇔aOA →＋bOB →＋cOC →＝0. 类型1 平面向量与三角形的“重心”【例1】已知A ，B ，C 是平面上不共线的三点，O 为坐标原点，动点P 满足OP →＝13[(1－λ)OA→＋(1－λ)OB →＋(1＋2λ)·OC →]，λ∈R ，则点P 的轨迹一定经过( ) A.△ABC 的内心 B.△ABC 的垂心 C.△ABC 的重心D.AB 边的中点【答案】 C【解析】取AB 的中点D ，则2OD →＝OA →＋OB →， ∵OP →＝13[(1－λ)OA →＋(1－λ)OB →＋(1＋2λ)OC →]，∴OP →＝13[2(1－λ)OD →＋(1＋2λ)OC →]＝2（1－λ）3OD →＋1＋2λ3OC →，而2（1－λ）3＋1＋2λ3＝1，∴P ，C ，D 三点共线，∴点P 的轨迹一定经过△ABC 的重心. 类型2 平面向量与三角形的“内心”问题【例2】在△ABC 中，AB ＝5，AC ＝6，cos A ＝15，O 是△ABC 的内心，若OP →＝xOB →＋yOC →，其中x ，y ∈[0，1]，则动点P 的轨迹所覆盖图形的面积为( ) A.1063B.1463C.4 3D.6 2【答案】 B【解析】根据向量加法的平行四边形法则可知，动点P 的轨迹是以OB ，OC 为邻边的平行四边形及其内部，其面积为△BOC 的面积的2倍.在△ABC 中，设内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，得a ＝7.设△ABC 的内切圆的半径为r ，则 12bc sin A ＝12(a ＋b ＋c )r ，解得r ＝263，所以S △BOC ＝12×a ×r ＝12×7×263＝763.故动点P 的轨迹所覆盖图形的面积为2S △BOC ＝1463.类型3 平面向量与三角形的“垂心”问题【例3】已知O 是平面上的一个定点，A ，B ，C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足OP→＝OA →＋λ⎝⎛⎭⎪⎫AB →|AB →|cos B + AC →|AC →|cos C ，λ∈(0，＋∞)，则动点P 的轨迹一定通过△ABC 的( ) A.重心 B.垂心C.外心D.内心【答案】 B【解析】因为OP →＝OA →＋λ⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →|AB →|cos B + AC →|AC →|cos C ，所以AP →＝OP →－OA →＝λ⎝⎛⎭⎪⎫AB →|AB →|cos B + AC →|AC →|cos C ，所以BC →·AP →＝BC →·λ⎝ ⎛⎭⎪⎫AB→|AB →|cos B + AC →|AC →|cos C ＝λ(－|BC →|＋|BC →|)＝0，所以BC →⊥AP →，所以点P 在BC 的高线上，即动点P 的轨迹一定通过△ABC 的垂心. 类型4 平面向量与三角形的“外心”问题【例4】已知在△ABC 中，AB ＝1，BC ＝6，AC ＝2，点O 为△ABC 的外心，若AO →＝xAB →＋yAC →，则有序实数对(x ，y )为( ) A.⎝⎛⎭⎫45，35 B.⎝⎛⎭⎫35，45 C.⎝⎛⎭⎫－45，35D.⎝⎛⎭⎫－35，45 【答案】 A【解析】取AB 的中点M 和AC 的中点N ，连接OM ，ON ，则OM →⊥AB →，ON →⊥AC →， OM →＝AM →－AO →＝12AB →－(xAB →＋yAC →)＝⎝⎛⎭⎫12－x AB →－yAC →， ON →＝AN →－AO →＝12AC →－(xAB →＋yAC →)＝⎝⎛⎭⎫12－y AC →－xAB →. 由OM →⊥AB →，得⎝⎛⎭⎫12－x AB →2－yAC →·AB →＝0，① 由ON →⊥AC →，得⎝⎛⎭⎫12－y AC →2－xAC →·AB →＝0，② 又因为BC →2＝(AC →－AB →)2＝AC →2－2AC →·AB →＋AB →2，所以AC →·AB →＝AC →2＋AB →2－BC→22＝－12，③把③代入①、②得⎩⎪⎨⎪⎧1－2x ＋y ＝0，4＋x －8y ＝0，解得x ＝45，y ＝35.故实数对(x ，y )为⎝⎛⎭⎫45，35.【分层训练】【基础巩固题组】(建议用时：40分钟) 一、选择题1.已知向量a ＝(m －1，1)，b ＝(m ，－2)，则“m ＝2”是“a ⊥b ”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】 A【解析】当m ＝2时，a ＝(1，1)，b ＝(2，－2)，所以a ·b ＝(1，1)·(2，－2)＝2－2＝0，所以a ⊥b ，充分性成立；当a ⊥b 时，a ·b ＝(m －1，1)·(m ，－2)＝m (m －1)－2＝0，解得m ＝2或m ＝－1，必要性不成立. 所以“m ＝2”是“a ⊥b ”的充分不必要条件.2.(2019·北京通州区二模)已知非零向量a ，b 的夹角为60°，且|b |＝1，|2a －b |＝1，则|a |＝( ) A.12B.1C. 2D.2【答案】 A【解析】由题意得a ·b ＝|a |×1×12＝|a |2，又|2a －b |＝1，∴|2a －b |2＝4a 2－4a ·b ＋b 2＝4|a |2－2|a |＋1＝1，即4|a |2－2|a |＝0，又|a |≠0，解得|a |＝12.3.(2019·石家庄二模)若两个非零向量a ，b 满足|a ＋b |＝|a －b |＝2|b |，则向量a ＋b 与a 的夹角为( ) A.π3B.2π3C.5π6D.π6【答案】 D【解析】设|b |＝1，则|a ＋b |＝|a －b |＝2. 由|a ＋b |＝|a －b |，得a ·b ＝0，故以a 、b 为邻边的平行四边形是矩形，且|a |＝3，设向量a ＋b 与a 的夹角为θ，则cos θ＝a ·（a ＋b ）|a |·|a ＋b |＝a 2＋a ·b |a |·|a ＋b |＝|a ||a ＋b |＝32，又0≤θ≤π，所以θ＝π6.4.如图，在等腰梯形ABCD 中，AB ＝4，BC ＝CD ＝2，若E ，F 分别是边BC ，AB 上的点，且满足BE BC ＝AF AB＝λ，则当AE →·DF →＝0时，λ的值所在的区间是( )A.⎝⎛⎭⎫18，14B.⎝⎛⎭⎫14，38 C.⎝⎛⎭⎫38，12D.⎝⎛⎭⎫12，58【答案】 B【解析】在等腰梯形ABCD 中，AB ＝4，BC ＝CD ＝2，可得〈AD →，BC →〉＝60°，所以〈AB →，AD →〉＝60°，〈AB →，BC →〉＝120°，所以AB →·AD →＝4×2×12＝4，AB →·BC →＝4×2×⎝⎛⎭⎫－12＝－4，AD →·BC →＝2×2×12＝2，又BE BC ＝AF AB＝λ，所以BE →＝λBC →，AF →＝λAB →，则AE →＝AB →＋BE →＝AB →＋λBC →， DF →＝AF →－AD →＝λAB →－AD →，所以AE →·DF →＝(AB →＋λBC →)·(λAB →－AD →) ＝λAB →2－AB →·AD →＋λ2AB →·BC →－λAD →·BC →＝0，即2λ2－7λ＋2＝0，解得λ＝7＋334(舍去)或λ＝7－334∈⎝⎛⎭⎫14，38. 5.(2017·浙江卷)如图，已知平面四边形ABCD ，AB ⊥BC ，AB ＝BC ＝AD ＝2，CD ＝3，AC 与BD 交于点O .记I 1＝OA →·OB →，I 2＝OB →·OC →，I 3＝OC →·OD →，则( )A.I 1＜I 2＜I 3B.I 1＜I 3＜I 2C.I 3＜I 1＜I 2D.I 2＜I 1＜I 3【答案】 C【解析】如图所示，四边形ABCE 是正方形，F 为正方形的对角线的交点，易得AO <AF ，而∠AFB ＝90°，∴∠AOB 与∠COD 为钝角，∠AOD 与∠BOC 为锐角，根据题意，I 1－I 2＝OA →·OB →－OB →·OC →＝OB →·(OA →－OC →)＝OB →·CA →＝|OB →||CA →|·cos ∠AOB <0，∴I 1<I 2，同理I 2>I 3，作AG ⊥BD 于G ，又AB ＝AD ，∴OB <BG ＝GD <OD ，而OA <AF ＝FC <OC ，∴|OA →||OB →|<|OC →||OD →|，而cos ∠AOB ＝cos ∠COD <0，∴OA →·OB →>OC →·OD →，即I 1>I 3.∴I 3<I 1<I 2. 二、填空题6.(2019·杭州二模)在△ABC 中，三个顶点的坐标分别为A (3，t )，B (t ，－1)，C (－3，－1)，若△ABC 是以B 为直角顶点的直角三角形，则t ＝________. 【答案】 3【解析】由已知，得BA →·BC →＝0，则(3－t ，t ＋1)·(－3－t ，0)＝0，∴(3－t )(－3－t )＝0，解得t ＝3或t ＝－3，当t ＝－3时，点B 与点C 重合，舍去.故t ＝3.7.若非零向量a ，b 满足|a |＝3|b |＝|a ＋2b |，则a ，b 夹角θ的余弦值为________. 【答案】－13【解析】 |a |＝|a ＋2b |，两边平方得， |a |2＝|a |2＋4|b |2＋4a ·b ＝|a |2＋4|b |2＋4|a ||b |·cos θ. 又|a |＝3|b |，所以0＝4|b |2＋12|b |2cos θ，得cos θ＝－13.8.(2019·佛山二模)在Rt △ABC 中，∠B ＝90°，BC ＝2，AB ＝1，D 为BC 的中点，E 在斜边AC 上，若AE →＝2EC →，则DE →·AC →＝________. 【答案】 13【解析】如图，以B 为坐标原点，AB 所在直线为x 轴，BC 所在直线为y 轴，建立平面直角坐标系，则B (0，0)，A (1，0)，C (0，2)，所以AC →＝(－1，2).因为D 为BC 的中点，所以D (0，1)，因为AE →＝2EC →，所以E ⎝⎛⎭⎫13，43，所以DE →＝⎝⎛⎭⎫13，13，所以DE →·AC →＝⎝⎛⎭⎫13，13·(－1，2)＝－13＋23＝13.三、解答题9.在平面直角坐标系xOy 中，点A (－1，－2)，B (2，3)，C (－2，－1). (1)求以线段AB ，AC 为邻边的平行四边形两条对角线的长； (2)设实数t 满足(AB →－tOC →)·OC →＝0，求t 的值. 【答案】见解析【解析】(1)由题设知AB →＝(3，5)，AC →＝(－1，1)，则AB →＋AC →＝(2，6)，AB →－AC →＝(4，4). 所以|AB →＋AC →|＝210，|AB →－AC →|＝4 2. 故所求的两条对角线的长分别为42，210.(2)由题设知：OC →＝(－2，－1)，AB →－tOC →＝(3＋2t ，5＋t ). 由(AB →－tOC →)·OC →＝0，得 (3＋2t ，5＋t )·(－2，－1)＝0，从而5t ＝－11，所以t ＝－115.10.在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知向量a ＝(－1，2)，又点A (8，0)，B (n ，t )，C (k sin θ，t )(0≤θ≤π2).(1)若AB →⊥a ，且|AB →|＝5|OA →|，求向量OB →；(2)若向量AC →与向量a 共线，当k >4，且t sin θ取最大值4时，求OA →·OC →.【答案】见解析【解析】(1)由题设知AB →＝(n －8，t )， ∵AB →⊥a ，∴8－n ＋2t ＝0. 又∵5|OA →|＝|AB →|，∴5×64＝(n －8)2＋t 2＝5t 2，得t ＝±8. 当t ＝8时，n ＝24；当t ＝－8时，n ＝－8， ∴OB →＝(24，8)或OB →＝(－8，－8). (2)由题设知AC →＝(k sin θ－8，t )， ∵AC →与a 共线，∴t ＝－2k sin θ＋16， t sin θ＝(－2k sin θ＋16)sin θ ＝－2k (sin θ－4k )2＋32k .∵k >4，∴0<4k<1，∴当sin θ＝4k 时，t sin θ取得最大值32k .由32k ＝4，得k ＝8，此时θ＝π6，OC →＝(4，8)，∴OA →·OC →＝(8，0)·(4，8)＝32. 【能力提升题组】(建议用时：20分钟)11.在△ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝6，点P 满足CP ＝2，则PA →·PB →的最大值为( ) A.9 B.16C.18D.25【答案】 B【解析】 ∵∠C ＝90°，AB ＝6，∴CA →·CB →＝0，∴|CA →＋CB →|＝|CA →－CB →|＝|BA →|＝6，∴PA →·PB →＝(PC →＋CA →)·(PC →＋CB →)＝PC →2＋PC →·(CA →＋CB →)＋CA →·CB → ＝PC →·(CA →＋CB →)＋4，∴当PC →与CA →＋CB →方向相同时，PC →·(CA →＋CB →)取得最大值2×6＝12， ∴PA →·PB →的最大值为16.12.(2018·浙江卷)已知a ，b ，e 是平面向量，e 是单位向量.若非零向量a 与e 的夹角为π3，向量b 满足b 2－4e ·b ＋3＝0，则|a －b |的最小值是( ) A.3－1 B.3＋1 C.2D.2－ 3【答案】 A【解析】设O 为坐标原点，a ＝OA →，b ＝OB →＝(x ，y )，e ＝(1，0)，由b 2－4e ·b ＋3＝0得x 2＋y 2－4x ＋3＝0，即(x －2)2＋y 2＝1，所以点B 的轨迹是以C (2，0)为圆心，1为半径的圆.因为a 与e 的夹角为π3，所以不妨令点A 在射线y ＝3x (x >0)上，如图，数形结合可知|a －b |min＝|CA →|－|CB →|＝3－1.13.(2019·安徽师大附中二模)在△ABC 中，AB ＝2AC ＝6，BA →·BC →＝BA →2，点P 是△ABC 所在平面内一点，则当PA →2＋PB →2＋PC →2取得最小值时，AP →·BC →＝________. 【答案】－9【解析】 ∵BA →·BC →＝|BA →|·|BC →|·cos B ＝|BA →|2， ∴|BC →|·cos B ＝|BA →|＝6， ∴CA →⊥AB →，即A ＝π2，以A 为坐标原点建立如图所示的坐标系，则B (6，0)，C (0，3)，设P (x ，y )，则PA →2＋PB →2＋PC →2＝x 2＋y 2＋(x －6)2＋y 2＋x 2＋(y －3)2＝3x 2－12x ＋3y 2－6y ＋45＝3[(x －2)2＋(y －1)2＋10]∴当x ＝2，y ＝1时，PA →2＋PB →2＋PC →2取得最小值，此时AP →·BC →＝(2，1)·(－6，3)＝－9.14.在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足(2a －c )BA →·BC →＝cCB →·CA →.(1)求角B 的大小；(2)若|BA →－BC →|＝6，求△ABC 面积的最大值.【答案】见解析【解析】(1)由题意得(2a －c )cos B ＝b cos C .根据正弦定理得(2sin A －sin C )cos B ＝sin B cos C ，所以2sin A cos B ＝sin(C ＋B )，即2sin A cos B ＝sin A ，因为A ∈(0，π)，所以sin A >0，所以cos B ＝22，又B ∈(0，π)，所以B ＝π4. (2)因为|BA →－BC →|＝6，所以|CA →|＝6，即b ＝6，根据余弦定理及基本不等式得6＝a 2＋c 2－2ac ≥2ac －2ac ＝(2－2)ac (当且仅当a ＝c 时取等号)，即ac ≤3(2＋2).故△ABC 的面积S ＝12ac sin B ≤3（2＋1）2，因此△ABC 的面积的最大值为32＋32. 【新高考创新预测】15.(新定义题型)对任意两个非零的平面向量α和β，定义α⊗β＝|α||β|cos θ，其中θ为α和β的夹角.若两个非零的平面向量a 和b 满足：①|a |≥|b |；②a 和b 的夹角θ∈⎝⎛⎭⎫0，π4；③a ⊗b 和b ⊗a 的值都在集合{x |x ＝n 2，n ∈N }中，则a ⊗b 的值为________. 【答案】 32【解析】 a ⊗b ＝|a ||b |cos θ＝n 2，b ⊗a ＝|b ||a |cos θ＝m 2，m ，n ∈N .由a 与b 的夹角θ∈⎝⎛⎭⎫0，π4，知cos 2θ＝mn 4∈⎝⎛⎭⎫12，1，故mn ＝3，m ，n ∈N .因为|a |≥|b |，所以0<b ⊗a ＝m 2<1，所以m ＝1，n ＝3，所以a ⊗b ＝32.。

2020年高考数学(理)之平面向量专题03 平面向量的数量积及应用(解析版)

平面向量03 平面向量的数量积及应用一、具本目标：1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义.2.了解平面向量的数量积与向量投影的关系.3.掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算.4.能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系. 考纲解读：1.以考查向量的数量积、夹角、模为主，基本稳定为选择题或填空题，难度较低；2.与三角函数、解析几何等相结合，以工具的形式进行考查，中等难度，但是解决以上问题的桥梁.3.备考重点：(1) 理解数量积的概念是基础，掌握数量积的两种运算的方法是关键；(2)解答与平面几何、三角函数、解析几何等交汇问题时，注意运用数形结合的数学思想，通过建立平面直角坐标系，利用坐标运算解题. 二、知识概述：一）主要公式：1.向量的数量积：已知两个非零向量a r 、b r ，它们的夹角为θ，则r a ·b rθcos b a . 若a r =(1x ,1y ),b r =(2x ,2y )，则a r ·b r=2121y y x x +.2.向量的模：若a r =(,)x y ，则|a r 22x y +.3.两向量的夹角余弦值：>=<=,cos cos θa ba b×r r r r .【考点讲解】4.向量垂直的等价条件：a r ⊥b r ⇔0r r a b?⇔02121=+y y x x .二）主要知识点： 1.两个向量的夹角（1）定义：已知两个非零向量和，作OA u u u r ＝，OB u u u r＝，则∠AOB ＝θ 叫做向量与的夹角．（2）夹角范围：向量夹角θ的范围是0°≤θ≤180°与同向时，夹角θ＝0°；与反向时，夹角θ＝180°.（3）向量垂直：如果向量与的夹角是90°，则与垂直，记作⊥. 2.平面向量数量积：（1）已知两个非零向量与θ⋅叫做与的数量积，记作⋅，即⋅θcos ，其中θ是与的夹角．规定00=⋅a.当⊥时，θ＝90°，这时0r ra b?.（2）⋅的几何意义：数量积⋅等于与在θcos 的乘积．3.向量数量积的性质：（1）=⋅=（2）>=<=,cos cos θa ba b×r r r r (θ为与的夹角). （3≤⋅4.数量积的运算律（1）交换律：⋅=⋅. （2）分配律：()⋅+⋅=⋅+（3）对()()()R λλλλ⋅=⋅=⋅∈,.5.数量积的坐标运算：设()()2211,,,y x b y x a ==，有下面的结论：（1）2121y y x x +=⋅.（2）a r ⊥b r ⇔0r r a b?⇔02121=+y y x x .（3.2121y x +=（4）>=<=b a ,cos cosθr r r r a ba b×=(θ为与的夹角).1．【2019年高考全国I 卷】已知非零向量a ，b 满足||2||=a b ，且()-a b ⊥b ，则a 与b 的夹角为（） A ．π6B ．π3C ．2π3D ．5π6【解析】本题考查的是向量夹角的计算，先计算出向量的数量积及各个向量的摸，在利用向量夹角公式求出夹角的余弦值，再求出夹角，注意向量夹角范围为[0,]π．因为()-a b ⊥b ，所以2()-⋅=⋅-a b b a b b =0，所以2⋅=a b b ，所以cos θ=22||12||2⋅==⋅a b b a b b ，所以a 与b 的夹角为π3，故选B ．【答案】B2.【2019年高考全国II 卷】已知AB u u u r =(2,3)，AC uuu r =(3，t )，BC uuu r =1，则AB BC ⋅u u u r u u u r=（） A ．−3 B ．−2 C ．2 D ．3【解析】本题考点为平面向量的数量积.由(1,3)BC AC AB t =-=-u u u r u u u r u u u r ，221(3)1BC t =+-=u u u r ，得3t =，则(1,0)BC =u u u r ，(2,3)(1,0)21302AB BC ==⨯+⨯=u u u r u u u rg g ．故选C ．【答案】C3.【2018年高考全国II 卷】已知向量a ，b 满足||1=a ，1⋅=-a b ，则(2)⋅-=a a b （） A ．4 B ．3 C ．2 D ．0【解析】本题主要考查平面向量的数量积.因为()()22222||1213⋅-=-⋅=--=+=a a b a a b a 所以选B.【真题分析】【答案】B4.【2018年高考浙江卷】已知a ，b ，e 是平面向量，e 是单位向量．若非零向量a 与e 的夹角为π3，向量b满足b 2−4e ·b +3=0，则|a −b |的最小值是（）A 1BC ．2D ．2【解析】本题主要考查平面向量的夹角、数量积、模及最值问题.设，则由得，由b 2−4e ·b +3=0得因此|a −b |的最小值为圆心到直线的距离2减去半径1，为选A. 【答案】A5.【2019年高考北京卷理数】设点A ，B ，C 不共线，则“AB u u u r 与AC uuur 的夹角为锐角”是“||||AB AC BC +>u u u r u u u r u u u r ”的（）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【解析】本题考查充要条件的概念与判断､平面向量的模､夹角与数量积.AB u u u r 与AC uuu r的夹角为锐角，所以2222||||2||||2AB AC AB AC AB AC AB AC ++⋅>+-⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r，即22||||AB AC AC AB +>-u u u r u u u r u u u r u u u r ，因为AC AB BC -=u u u r u u u r u u u r ，所以|AB u u u r +AC uuur |>|BC uuu r |；当|AB u u u r +AC uuu r |>|BC uuu r |成立时，|AB u u u r +AC uuu r |2>|AB u u u r -AC uuu r |2AB ⇒u u u r •AC uuu r >0，又因为点A ，B ，C 不共线，所以AB u u u r与AC uuu r的夹角为锐角.故“AB u u u r与AC uuu r 的夹角为锐角”是“|AB u u u r +AC uuu r |>|BC u u u r|”的充分必要条件,故选C ．【答案】C6.【2018年高考北京卷理数】设a ，b 均为单位向量，则“33-=+a b a b ”是“a ⊥b ”的（） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【解析】222222699+63333-=+-=⇔⇔-++⋅=⋅+a a b a b a b a b a b b a a b b ，因为a ，b 均为单位向量，所以2222699+6=0-⋅+=⋅+⇔⋅⇔a a b b a a b b a b a ⊥b ，即“33-=+a b a b ”是“a ⊥b ”的充分必要条件.故选C. 【答案】C7.【2018年高考天津卷文数】在如图的平面图形中，已知1,2,120OM ON MON ==∠=o,2,2,BM MA CN NA ==u u u u r u u u r u u u r u u u r则·BC OM u u u r u u u u r 的值为（）A ．15-B ．9-C ．6-D ．0【解析】如图所示，连结MN ，由可知点分别为线段上靠近点的三等分点，则，由题意可知：，，结合数量积的运算法则可得：. 本题选择C 选项.【答案】C8.【2019年高考北京卷文数】已知向量a =（–4，3），b =（6，m ），且⊥a b ，则m =__________．【解析】向量(4,3),(6,)m =-=⊥，，a b a b 则046308m m ⋅=-⨯+==，，a b . 【答案】89.【2019年高考全国III 卷】已知a ，b 为单位向量，且a ·b =0，若25=c a b ，则cos ,=a c ___________. 【解析】因为25=c a b ，0⋅=a b ，所以225⋅=⋅a c a a b 2=，222||4||55||9=-⋅+=c a a b b ，所以||3=c ，所以cos ,=a c22133⋅==⨯⋅a c a c ．【答案】2310.【2019年高考天津卷理数】在四边形ABCD 中，,23,5,30AD BC AB AD A ==∠=︒∥，点E在线段CB 的延长线上，且AE BE =，则BD AE ⋅=u u u r u u u r___________．【解析】建立如图所示的直角坐标系，∠DAB =30°，23,5,AB AD ==则(23,0)B ，535()22D . 因为AD ∥BC ，30BAD ∠=︒，所以30ABE ∠=︒，因为AE BE =，所以30BAE ∠=︒，所以直线BE的斜率为33，其方程为3(23)3y x=-，直线AE的斜率为33-，其方程为33y x=-.由3(23),333y xy x⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩得3x=，1y=-，所以(3,1)E-.所以35(,)(3,1)122BD AE=-=-u u u r u u u rg g. 【答案】1-11.【2019年高考江苏卷】如图，在ABC△中，D是BC的中点，E在边AB上，BE=2EA，AD与CE交于点O.若6AB AC AO EC⋅=⋅u u u r u u u r u u u r u u u r，则ABAC的值是___________．【解析】如图，过点D作DF//CE，交AB于点F，由BE=2EA，D为BC的中点，知BF=FE=EA,AO=OD．()()()3632AO EC AD AC AE AB AC AC AE=-=+-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u rg g g，()223131123233AB AC AC AB AB AC AB AC AB AC⎛⎫⎛⎫=+-=-+-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u rg g g22223211323322AB AC AB AC AB AC AB AC AB AC ⎛⎫=-+=-+= ⎪⎝⎭u u ur u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r g g g ，得2213,22AB AC =u u u r u u u r 即3,AB AC =u u u r u u u r 故3ABAC= 【答案】3.12.【2018年高考上海卷】在平面直角坐标系中，已知点()10A -，、()20B ，，E 、F 是y 轴上的两个动点，且||2EF =u u u r ，则AE BF ⋅u u u r u u u r的最小值为___________．【解析】根据题意，设E （0，a ），F （0，b ）；∴2EF a b =-=u u u r；∴a =b +2，或b =a +2；且()()1,2,AE a BF b ==-u u u r u u u r ，；∴2AE BF ab ⋅=-+u u u r u u u r ；当a =b +2时，()22222AE BF b b b b ⋅=-++⋅=+-u u u r u u u r；∵b 2+2b ﹣2的最小值为8434--=-； ∴AE BF ⋅u u u r u u u r 的最小值为﹣3，同理求出b =a +2时，AE BF ⋅u u u r u u u r的最小值为﹣3．故答案为：﹣3．【答案】-313.【2017年高考全国I 卷理数】已知向量a ，b 的夹角为60°，|a |=2，|b |=1，则| a +2b |=___________．【解析】方法一：222|2|||44||4421cos60412+=+⋅+=+⨯⨯⨯+=oa b a a b b ，所以|2|1223+==a b .方法二：利用如下图形，可以判断出2+a b 的模长是以2为边长，一夹角为60°的菱形的对角线的长度，则为23.【答案】314.【2017年高考山东卷理数】已知12,e e 123-e e 与12λ+e e 的夹角为60︒，则实数λ的值是___________．【解析】∵221212112122(3)()333λλλλ-⋅+=+⋅-⋅-=-e e e e e e e e e e ，22212121122|3|(3)3232-=-=-⋅+=e e e e e e e e ，2222212121122||()21λλλλλ+=+=+⋅+=+e e e e e e e e ，∴22321cos601λλλ-=+⨯︒=+，解得3λ=．【答案】31.已知向量(1,2)a =r ，(1,1)b =-r ，则()(2)a b a b +•-=r r r r（）A ．2B ．-2C ．-3D ．4【解析】因)4,1(2),1,2(-=-=+，故224412)1()2()(=-=⨯+⨯-=-⋅+，应选A. 【答案】A2. 已知非零向量m ，n 满足4│m │=3│n │，cos<m ，n >=13.若n ⊥（t m +n ），则实数t 的值为（）A.4B.–4C.94D.–94 【解析】由43m n =u r r，可设3,4(0)m k n k k ==>u r r ，又()n tm n ⊥+r u r r ，所以22221()cos ,34(4)41603n tm n n tm n n t m n m n n t k k k tk k ⋅+=⋅+⋅=⋅<>+=⨯⨯⨯+=+=r u r r r u r r r u r r u r r r .所以4t =-，故选B. 【答案】B3.已知△ABC 是边长为1的等边三角形，点E D ,分别是边BC AB ,的中点，连接DE 并延长到点F ，使得EF DE 2=，则BC AF ⋅的值为（）【模拟考场】A.85-B.81 C.41 D.811【解析】设BA a =u u u r r ，BC b =u u u r r ，∴11()22DE AC b a ==-u u u r u u u r r r ，33()24DF DE b a ==-u u u r u u u r r r，1353()2444AF AD DF a b a a b =+=-+-=-+u u u r u u u r u u u r r r r r r ，∴25353144848AF BC a b b ⋅=-⋅+=-+=u u u r u u u r r r r ，故选B.【答案】B4.已知向量a r 与b r 的夹角为60°，||2a =r ，||5b =r，则2a b -r r 在a r 方向上的投影为（）A ．23 B ．2 C ．52 D ．3【解析】由已知条件可知，2a b -r r 在a r，其中()360cos 2=⋅-=⋅-=⋅-οa b a b a .23=.【答案】A5. 在ABC ∆中，已知tan AB AC A ⋅=u u u r u u u r ，当6A π=时，ABC ∆的面积为________.【解析】本题考点是平面向量的数量积、三角函数同角关系、三角形的面积公式的应用.由题意可知tan AB AC A ⋅=u u u r u u u r 得，⋅=u u u r u u u rAB AC tantan 26||||cos tan ,||||cos 3cos 6A AB AC A A AB AC A ππ⋅=⋅===u u u r u u u r u u u r u u u r ，所以，11221||||sin sin 223636ABC S AB AC A π∆=⋅=⨯⨯==u u u r u u u r .【答案】166.已知向量ba ,, 21==，若对任意单位向量，均有6≤⋅+⋅ ,则⋅的最大值是．【解析】本题考点是平面向量的数量积及不等式的性质的具体应用．由题意可知221|(a b)||a ||b ||a b ||a ||b |2a b 6a b 2e e e +⋅≤⋅+⋅+≤++⋅≤⇒⋅≤r r r r r r r r r r r r r r r ，即最大值为12. 【答案】127.在等腰梯形ABCD 中,已知AB DC P ,2,1,60,AB BC ABC ==∠=o 点E 和点F 分别在线段BC 和CD 上,且21,,36BE BC DF DC ==u u u r u u u r u u u r u u u r 则AE AF ⋅u u u r u u u r 的值为．【解析】本题考点是平面向量的数量积及向量的线性运算，在等腰梯形ABCD 中,由AB ∥DC ,2,1,60,AB BC ABC ==∠=o 得12AD BC ⋅=u u u r u u u r ,1AB AD ⋅=u u u r u u u r ,12DC AB =u u u r u u u r , 所以()()AE AF AB BE AD DF ⋅=+⋅+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r =⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛+12132 221131218=⋅+⋅++⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r AB AD BC AD AB BC AB 111291331818=++-= 【答案】29188.如图，在△ABC 中，D 是BC 的中点，E ，F 是AD 上的两个三等分点，BA →·CA →＝4，BF →·CF →＝－1，则BE →·CE →的值是________．【解析】本题考点是平面向量的线性运算及数量积的运算，由题意可设==,，则()()433=-=+-⋅+=⋅，()()1-=-=+-⋅+=⋅，.85813== 则()().8722=-=+-⋅+=⋅【答案】78 9.设向量()2log 3,a m =r ，()3log 4,1b =-r ，且a b ⊥r r ，则m 的值为__________．【解析】因为a b ⊥r r ，所以有0r r a b?，可以得到23log 3log 40m -=，则23lg3lg4log 3log 42lg2lg3m ==⨯=，应填答案2. 【答案】2 10.在ABC △中，60A =︒∠，3AB =，2AC =.若2BD DC =u u u r u u u r ，()AE AC AB λλ∈=-R u u u r u u u r u u u r ，且4AD AE ⋅=-u u u r u u u r ，则λ的值为___________.【解析】由题意可知：360cos ==⋅ο，()32313232+=-+=+=， ()AB AC AC AB AE AC -⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⋅λ3231 =433293143233-=⨯-⨯-⨯+⨯λλ，所以可得113=λ. 【答案】113 11.已知3a =r ， 4b =r ， 0a b ⋅=r r ，若向量c r 满足()()0a c b c -⋅-=r r r r ，则c r 的取值范围是__________．【解析】易知5a b +=r r ，由()()0a c b c -⋅-=r r r r ，且0a b ⋅=r r ，可得： ()2cos ,5cos ,=+=+⋅+=+r r r r r r r r r r r r r r c a b c a b c a b c c a b c .所以0c =r 或5cos ,c a b c =+r r r r ，由此可得c r 的取值范围是[]0,5.【答案】[]0,512.已知两个不共线的向量,，它们的夹角为θ13==，x 为正实数． (1)若2+与4-垂直，求tan θ；(2)若θ＝π6，求x -的最小值及对应的x 的值，并判断此时向量与x -是否垂直．【解析】(1)因为2+与4-垂直，所以()()042=-⋅+. 所以08222=-⋅-，所以32－2×3×1×cos θ－8×12＝0，所以cos θ＝16，又θ∈(0，π)，sin θ＝1－cos 2θ＝356，所以tan θ＝sin θcos θ＝35.。

2020年高考数学(文)一轮复习专题5.3 平面向量的数量积及应用(讲)(解析版)

专题5.3平面向量的数量积及应用1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义；2.了解平面向量的数量积与向量投影的关系；3.掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算；4.能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系；5.会用向量的方法解决某些简单的平面几何问题；6.会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题。

知识点一平面向量数量积的有关概念(1)向量的夹角：已知两个非零向量a 和b ，记OA →＝a ，OB →＝b ，则∠AOB ＝θ(0°≤θ≤180°)叫做向量a 与b 的夹角.(2)数量积的定义：已知两个非零向量a 与b ，它们的夹角为θ，则a 与b 的数量积(或内积)a ·b ＝|a ||b |cos θ.规定：零向量与任一向量的数量积为0，即0·a ＝0.(3)数量积的几何意义：数量积a ·b 等于a 的长度|a |与b 在a 的方向上的投影|b |cos θ的乘积.知识点二平面向量的数量积定义设两个非零向量a ，b 的夹角为θ，则数量|a||b|cos θ叫做a 与b 的数量积，记作a·b 投影|a|cos θ叫做向量a 在b 方向上的投影，|b|cos θ叫做向量b 在a 方向上的投影几何意义数量积a·b 等于a 的长度|a|与b 在a 的方向上的投影|b|cos θ的乘积知识点三平面向量数量积的有关结论已知非零向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，a 与b 的夹角为θ.结论几何表示坐标表示模|a|＝a·a |a|＝x 21＋y 21夹角cos θ＝a·b|a||b|cos θ＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21·x 22＋y 22a ⊥b 的充要条件a ·b ＝0x 1x 2＋y 1y 2＝0|a ·b|与|a ||b |的关系|a ·b|≤|a ||b ||x 1x 2＋y 1y 2|≤（x 21＋y 21）（x 22＋y 22）知识点四向量数量积的运算律交换律a ·b ＝b ·a分配律(a ＋b)·c ＝a ·c ＋b ·c 数乘结合律(λa)·b ＝λ(a ·b)＝a ·(λb)考点一平面向量的数量积的运算【典例1】(2019·高考全国卷Ⅱ文数)已知AB →＝(2，3)，AC →＝(3，t )，|BC →|＝1，则AB →·BC →＝()A ．－3B ．－2C ．2D ．3【答案】C【解析】因为BC →＝AC →－AB →＝(1，t －3)，所以|BC →|＝1＋（t －3）2＝1，解得t ＝3，所以BC →＝(1，0)，所以AB →·BC →＝2×1＋3×0＝2，故选C.【方法技巧】1.数量积公式a ·b ＝|a ||b |cos θ在解题中的运用，解题过程具有一定的技巧性，需要借助向量加、减法的运算及其几何意义进行适当变形；也可建立平面直角坐标系，借助数量积的坐标运算公式a ·b ＝x 1x 2＋y 1y 2求解，较为简捷、明了.2.在分析两向量的夹角时，必须使两个向量的起点重合，如果起点不重合，可通过“平移”实现.【举一反三】(2018·全国卷Ⅱ)已知向量a ，b 满足|a|＝1，a·b ＝－1，则a·(2a －b)＝()A ．4 B.3C ．2D ．0【答案】B【解析】a·(2a －b)＝2a 2－a·b ＝2|a|2－a·b.∵|a|＝1，a·b ＝－1，∴原式＝2×12＋1＝3.【变式1】(2018·天津卷)在如图的平面图形中，已知OM ＝1，ON ＝2，∠MON ＝120°，BM →＝2MA →，CN →＝2NA →，则BC →·OM →的值为()A.－15B.－9C.－6D.0【答案】C【解析】连接OA .在△ABC 中，BC →＝AC →－AB →＝3AN →－3AM →＝3(ON →－OA →)－3(OM →－OA →)＝3(ON →－OM →)，∴BC →·OM →＝3(ON →－OM →)·OM →＝3(ON →·OM →－OM →2)＝3×(2×1×cos 120°－12)＝3×(－2)＝－6。

2020版高考数学一轮复习第4章平面向量第3讲平面向量的数量积及应用讲义理含解析

第3讲平面向量的数量积及应用1．两个向量的夹角2．平面向量的数量积3．平面向量数量积的性质设a，b都是非零向量，e是单位向量，θ为a与b(或e)的夹角，则(1)e·a＝a·e＝|a|cosθ.(2)a ⊥b ⇔□01a ·b ＝0.(3)当a 与b 同向时，a ·b ＝|a ||b |；当a 与b 反向时，a ·b ＝－|a ||b |. 特别地，a ·a ＝□02|a |2或|a |＝□03a ·a . (4)cos θ＝a ·b|a ||b |. (5)|a ·b |≤□04|a ||b |. 4．平面向量数量积满足的运算律 (1)a ·b ＝□01b ·a ； (2)(λa )·b ＝□02λ(a ·b )＝□03a ·(λb )(λ为实数)； (3)(a ＋b )·c ＝□04a ·c ＋b ·c . 5．平面向量数量积有关性质的坐标表示设向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ·b ＝□01x 1x 2＋y 1y 2，由此得到： (1)若a ＝(x ，y )，则|a |2＝□02x 2＋y 2或|a |＝□03 x 2＋y 2； (2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则A ，B 两点间的距离|AB |＝|AB →|＝□04x 2－x 12＋y 2－y 12；(3)设两个非零向量a ，b ，a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ⊥b ⇔□05x 1x 2＋y 1y 2＝0； (4)设两个非零向量a ，b ，a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，θ是a 与b 的夹角，则cos θ＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21·x 22＋y 22.1．概念辨析(1)两个向量的数量积是一个实数，向量的加、减、数乘运算的结果是向量．( ) (2)若a ·b >0，则a 和b 的夹角为锐角；若a ·b <0，则a 和b 的夹角为钝角．( ) (3)由a ·b ＝0可得a ＝0或b ＝0.( ) (4)(a ·b )c ＝a (b ·c )．( )(5)若a ·b ＝b ·c (b ≠0)，则a ＝c .( ) 答案 (1)√ (2)× (3)× (4)× (5)× 2．小题热身(1)(2018·全国卷Ⅱ)已知向量a ，b 满足|a |＝1，a ·b ＝－1，则a ·(2a －b )＝( ) A ．4 B ．3 C ．2 D ．0 答案 B解析因为a ·(2a －b )＝2a 2－a ·b ＝2|a |2－(－1)＝2＋1＝3.所以选B.(2)(2017·全国卷Ⅲ)已知向量a ＝(－2,3)，b ＝(3，m )，且a ⊥b ，则m ＝________. 答案 2解析 ∵a ＝(－2,3)，b ＝(3，m )，且a ⊥b ，∴a ·b ＝0，即－2×3＋3m ＝0，解得m ＝2.(3)设向量a ，b 满足：|a |＝1，|b |＝2，a ⊥(a －b )，则a 与b 的夹角是________．答案 60°解析设a 与b 的夹角为θ，因为a ⊥(a －b )，所以a ·(a －b )＝0，故|a |2－|a ||b |cos θ＝0，解得cos θ＝12，故a 与b 的夹角为60°.(4)已知|a |＝5，|b |＝4，a 与b 的夹角θ＝120°，则向量b 在向量a 方向上的投影为________．答案－2解析因为a ·b ＝|a ||b |cos θ＝5×4×cos120°＝－10，所以b 在a 方向上的投影为|b |cos θ＝a ·b |a |＝－105＝－2.题型一平面向量数量积的运算1．已知两个单位向量a 和b 的夹角为60°，则向量a －b 在向量a 方向上的投影为( ) A ．－1 B ．1 C ．－12 D.12答案 D解析由两个单位向量a 和b 的夹角为60°，可得a ·b ＝1×1×12＝12，(a －b )·a ＝a2－a ·b ＝1－12＝12，向量a －b 在向量a 方向上的投影为a －b a |a |＝121＝12，故选D. 2．(2018·天津高考)在如图的平面图形中，已知OM ＝1，ON ＝2，∠MON ＝120°，BM →＝2MA →，CN →＝2NA →，则BC →·OM →的值为()A ．－15B ．－9C ．－6D ．0 答案 C解析连接MN ，因为BM →＝2MA →，所以AB →＝3AM →，同理AC →＝3AN →，BC →＝AC →－AB →＝3AN →－3AM →＝3MN →，BC →·OM →＝3MN →·OM →＝3(ON →－OM →)·OM →＝3ON →·OM →－3(OM →)2＝3×2×1×cos120°－3×12＝－6.3．已知菱形ABCD 的两条对角线BD ，AC 的长度分别为6,10，点E ，F 分别是线段BC ，CD 的中点，则AE →·BF →＝________.答案 12解析依题意，建立如图所示的平面直角坐标系，故A (－5,0)，C (5,0)，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫52，32，B (0,3)，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫52，－32，则AE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫152，32，BF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫52，－92，则AE →·BF →＝12.计算向量数量积的三种方法(1)定义法：已知向量的模与夹角时，可直接使用数量积的定义求解，即a ·b ＝|a ||b |cos θ(θ是a 与b 的夹角)．(2)基向量法：计算由基底表示的向量的数量积时，应用相应运算律，最终转化为基向量的数量积，进而求解．如举例说明2.(3)坐标法：若向量选择坐标形式，则向量的数量积可应用坐标的运算形式进行求解．如举例说明3.1．已知向量a ＝(x,2)，b ＝(2,1)，c ＝(3，x )，若a ∥b ，则a ·c ＝( ) A ．4 B ．8 C ．12 D ．20 答案 D解析因为a ∥b ，所以x －2×2＝0，解得x ＝4，所以a ＝(4,2)，所以a ·c ＝(4,2)·(3,4)＝4×3＋2×4＝20.2．(2019·西安八校联考)已知点A (－1,1)，B (1，2)，C (－2，－1)，D (3,4)，则向量CD →在BA →方向上的投影是( )A ．－3 5B ．－322C ．3 5 D.322答案 A解析依题意得，BA →＝(－2，－1)，CD →＝(5,5)，BA →·CD →＝(－2，－1)·(5,5)＝－15，|BA →|＝5，因此向量CD →在BA →方向上的投影是BA →·CD →|BA →|＝－155＝－3 5.3．在平行四边形ABCD 中，点M ，N 分别在边BC ，CD 上，且满足BC ＝3MC ，DC ＝4NC ，若AB ＝4，AD ＝3，则AN →·MN →＝( )A ．－7B ．0 C.7 D ．7 答案 B解析以AB →，AD →为基底，AN →＝AD →＋34AB →，MN →＝CN →－CM →＝14CD →－13CB →＝－14AB →＋13AD →，AN →·MN →＝⎝⎛⎭⎪⎫AD →＋34AB →·⎝ ⎛⎭⎪⎫－14AB →＋13AD →＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫AD →2－916AB →2＝13×(9－9)＝0，故选 B.题型二平面向量数量积的性质1．(2018·华南师大附中一模)已知向量|OA →|＝3，|OB →|＝2，BC →＝(m －n )OA →＋(2n －m －1)OB →，若OA →与OB →的夹角为60°，且OC →⊥AB →，则实数mn的值为( )A.87B.43C.65D.16 答案 A解析由题意得，OC →＝OB →＋BC →＝(m －n )OA →＋(2n －m )OB →，AB →＝OB →－OA →，OA →·OB →＝3×2×cos60°＝3.又因为OC →⊥AB →，所以OC →·AB →＝[(m －n )OA →＋(2n －m )OB →]·(OB →－OA →) ＝－(m －n )OA →2＋(2m －3n )OA →·OB →＋(2n －m )OB →2＝－9(m －n )＋3(2m －3n )＋4(2n －m )＝0，整理得7m －8n ＝0，故m n ＝87.2．(2017·全国卷Ⅰ)已知向量a ，b 的夹角为60°，|a |＝2，|b |＝1，则|a ＋2b |＝________.答案 2 3解析由题意得，a ·b ＝2×1×cos60°＝1，所以|a ＋2b |2＝a 2＋4a ·b ＋4b 2＝4＋4＋4＝12，所以|a ＋2b |＝2 3.3．已知向量m ＝(sin θ，1－cos θ)(0<θ<π)与向量n ＝(2,0)的夹角为π3，则θ＝________.答案2π3解析由已知条件得 |m |＝sin 2θ＋－cos θ2＝2－2cos θ，|n |＝2，m ·n ＝2sin θ，于是由平面向量的夹角公式得cos π3＝m ·n |m ||n |＝2sin θ22－2cos θ＝12，整理得2cos 2θ－cos θ－1＝0，解得cos θ＝－12或cos θ＝1(舍去)．因为0<θ<π，所以θ＝2π3.条件探究1 把举例说明1的条件改为“已知OA →＝(23，0)，OB →＝(0,2)，AC →＝tAB →，t∈R ，当|OC →|最小时”，求t 的值．解由题意得，OC →－OA →＝t (OB →－OA →)，OC →＝(1－t )OA →＋tOB →＝(1－t )·(23，0)＋t (0,2) ＝(23－23t,2t )，所以|OC →|2＝12(1－t )2＋4t 2＝16⎝ ⎛⎭⎪⎫t －342＋3，所以当t ＝34时，|OC →|取最小值．条件探究2 把举例说明2的条件改为“平面向量a 与b 的夹角为45°，a ＝(1,1)，|b |＝2”，求|3a ＋b |.解由题意得，|a |＝12＋12＝2，a ·b ＝2×2×cos45°＝2.所以|3a ＋b |2＝9a 2＋6a ·b ＋b 2＝9×2＋6×2＋22＝34. 所以|3a ＋b |＝34.1．求向量夹角问题的方法(1)当a ，b 是非坐标形式时，求a 与b 的夹角θ，需求出a ·b 及|a |，|b |或得出它们之间的关系；(2)若已知a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则cos 〈a ，b 〉＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21·x 22＋y 22.如举例说明3.2．求向量模的常用方法(1)若向量a 是以坐标形式出现的，求向量a 的模可直接利用公式|a |＝x 2＋y 2. (2)若向量a ，b 是以非坐标形式出现的，求向量a 的模可应用公式|a |2＝a 2＝a ·a ，或|a ±b |2＝(a ±b )2＝a 2±2a ·b ＋b 2，先求向量模的平方，再通过向量数量积的运算求解．如举例说明2.3．解答向量垂直问题的两个策略(1)若证明两个向量垂直，先根据共线、夹角等条件计算出这两个向量的坐标；然后根据向量数量积的坐标运算公式，计算出这两个向量的数量积为0即可．(2)根据两个向量垂直的充要条件a ·b ＝0，列出相应的关系式．如举例说明1.1．已知平面向量a ＝(1,2)，b ＝(4,2)，c ＝m a ＋b (m ∈R )，且c 与a 的夹角等于c 与b 的夹角，则m ＝( )A ．－2B ．－1C ．1D ．2 答案 D解析 ∵a ＝(1,2)，b ＝(4,2)，∴c ＝m a ＋b ＝(m ＋4,2m ＋2)，|a |＝5，|b |＝25， ∴a ·c ＝5m ＋8，b ·c ＝8m ＋20. ∵c 与a 的夹角等于c 与b 的夹角， ∴c ·a |c ||a |＝c ·b|c ||b |， ∴5m ＋85＝8m ＋2025，解得m ＝2. 2．(2018·北京高考)设向量a ＝(1,0)，b ＝(－1，m )，若a ⊥(m a －b )，则m ＝________. 答案－1解析由已知，m a －b ＝(m ＋1，－m )，又a ⊥(m a －b )，所以a ·(m a －b )＝1×(m ＋1)＋0×(－m )＝0，解得m ＝－1.3．(2018·青岛模拟)已知|a |＝2，|b |＝3，a 与b 的夹角为2π3，且a ＋b ＋c ＝0，则|c |＝________.答案7解析因为a ＋b ＋c ＝0，所以c ＝－a －b ，所以c 2＝a 2＋b 2＋2a ·b ＝22＋32＋2×2×3×cos 2π3＝4＋9－6＝7. 所以|c |＝7.题型三向量数量积的综合应用角度1 向量在平面几何中的应用1．已知AB →，AC →是非零向量，且满足(AB →－2AC →)⊥AB →，(AC →－2AB →)⊥AC →，则△ABC 的形状为( )A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等边三角形D ．等腰直角三角形答案 C解析 ∵(AB →－2AC →)⊥AB →⇒(AB →－2AC →)·AB →＝0，即AB →·AB →－2AC →·AB →＝0，(AC →－2AB →)⊥AC→⇒(AC →－2AB →)·AC →＝0，即AC →·AC →－2AB →·AC →＝0，∴AB →·AB →＝AC →·AC →＝2AB →·AC →，即|AB →|＝|AC→|，则cos A ＝AB →·AC→|AB →||AC →|＝12，∴∠A ＝60°，∴△ABC 为等边三角形．角度2 向量在解析几何中的应用2．已知AB →·BC →＝0，|AB →|＝1，|BC →|＝2，AD →·DC →＝0，则|BD →|的最大值为________．答案5 解析由AB →·BC →＝0可知，AB →⊥BC →.故以B 为坐标原点，分别以BA ，BC 所在的直线为x 轴、y 轴建立平面直角坐标系(图略)，则由题意，可得B (0,0)，A (1,0)，C (0,2)．设D (x ，y )，则AD →＝(x －1，y )，DC →＝(－x,2－y )．由AD →·DC →＝0，可得(x －1)(－x )＋y (2－y )＝0，整理得⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋(y －1)2＝54.所以点D 在以E ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1为圆心，半径r ＝52的圆上．因为|BD →|表示B ，D 两点间的距离，而|EB →|＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋12＝52. 所以|BD →|的最大值为|EB →|＋r ＝52＋52＝ 5.角度3 向量与三角函数的综合应用3．(2018·石家庄模拟)已知A ，B ，C 分别为△ABC 的三边a ，b ，c 所对的角，向量m ＝(sin A ，sin B )，n ＝(cos B ，cos A )，且m ·n ＝sin2C .(1)求角C 的大小；(2)若sin A ，sin C ，sin B 成等差数列，且CA →·(AB →－AC →)＝18，求边c 的长．解 (1)由已知得m ·n ＝sin A cos B ＋cos A sin B ＝sin(A ＋B )，因为A ＋B ＋C ＝π，所以sin(A ＋B )＝sin(π－C )＝sin C ，所以m ·n ＝sin C .又m ·n ＝sin2C ，所以sin2C ＝sin C ，所以cos C ＝12.又0<C <π，所以C ＝π3.(2)由已知得2sin C ＝sin A ＋sin B ，由正弦定理得2c ＝a ＋b .因为CA →·(AB →－AC →)＝CA →·CB →＝18，所以ab cos C ＝18，所以ab ＝36.由余弦定理得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝(a ＋b )2－3ab ，所以c 2＝4c 2－3×36，所以c 2＝36，所以c ＝6.1．向量在平面几何中的应用用平面向量解决平面几何问题时，常常建立平面直角坐标系，这样可以使向量的运算更简便一些．在解决这类问题时，共线向量定理和平面向量基本定理起主导作用．如举例说明1.2．向量在解析几何中的作用(1)载体作用：向量在解析几何问题中出现，多用于“包装”，解决此类问题时关键是利用向量的意义、运算脱去“向量外衣”，导出曲线上点的坐标之间的关系，从而解决有关距离、斜率、夹角、轨迹、最值等问题．如举例说明2.(2)工具作用：利用a ⊥b ⇔a ·b ＝0；a ∥b ⇔a ＝λb (b ≠0)，可解决垂直、平行问题，特别是向量垂直、平行的坐标表示在解决解析几何中的垂直、平行问题时经常用到．3．向量与三角函数的综合应用解决这类问题的关键是应用向量知识将问题准确转化为三角函数问题，再利用三角函数的知识进行求解．如举例说明3.1．已知点A (－2,0)，B (3,0)，动点P (x ，y )满足PA →·PB →＝x 2，则点P 的轨迹是( ) A ．圆 B ．椭圆 C ．双曲线 D ．抛物线答案 D解析由已知得PA →·PB →＝(－2－x ，－y )·(3－x ，－y )＝(－2－x )·(3－x )＋(－y )·(－y )＝x 2－x －6＋y 2＝x 2，所以y 2＝x ＋6，故点P 的轨迹是抛物线．2．若O 为△ABC 所在平面内任一点，且满足(OB →－OC →)·(OB →＋OC →－2OA →)＝0，则△ABC的形状为( )A ．正三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形D ．等腰直角三角形答案 C解析 ∵(OB →－OC →)·(OB →＋OC →－2OA →)＝0，即(OB →－OC →)·(OB →－OA →＋OC →－OA →)＝0，∴CB →·(AB →＋AC →)＝0，∴(AB →－AC →)·(AB →＋AC →)＝0，即|AB →|2－|AC →|2＝0，|AB →|＝|AC →|，∴三角形ABC 为等腰三角形．3．已知函数f (x )＝a ·b ，其中a ＝(2cos x ，－3sin2x )，b ＝(cos x,1)，x ∈R . (1)求函数y ＝f (x )的单调递减区间；(2)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，f (A )＝－1，a ＝7，且向量m ＝(3，sin B )与n ＝(2，sin C )共线，求边长b 和c 的值．解 (1)f (x )＝a ·b ＝2cos 2x －3sin2x ＝1＋cos2x －3sin2x ＝1＋2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，由2k π≤2x ＋π3≤2k π＋π(k ∈Z )，解得k π－π6≤x ≤k π＋π3(k ∈Z )，∴f (x )的单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π6，k π＋π3(k ∈Z )．11 (2)∵f (A )＝1＋2cos ⎝⎛⎭⎪⎫2A ＋π3＝－1， ∴cos ⎝⎛⎭⎪⎫2A ＋π3＝－1. ∵0<A <π，∴π3<2A ＋π3<7π3， ∴2A ＋π3＝π，即A ＝π3. ∵a ＝7，由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝(b ＋c )2－3bc ＝7.① ∵向量m ＝(3，sin B )与n ＝(2，sin C )共线， ∴2sin B ＝3sin C .由正弦定理得2b ＝3c ，② 由①②，可得b ＝3，c ＝2.。

新课改专用2020版高考数学一轮复习课时跟踪检测三十一系统题型__平面向量的数量积及应用含解析

课时跟踪检测（三十一）系统题型——平面向量的数量积及应用[A 级保分题——准做快做达标]1．(2019·牡丹江第一高级中学月考)已知圆O 是△ABC 的外接圆，其半径为1，且AB ―→＋AC ―→＝2AO ―→，AB ＝1，则CA ―→·CB ―→＝( )A.32 B.3 C. 3D ．2 3解析：选B 因为AB ―→＋AC ―→＝2AO ―→，所以点O 是BC 的中点，即BC 是圆O 的直径，又AB ＝1，圆的半径为1，所以∠ACB ＝30°，且AC ＝3，则CA ―→·CB ―→＝|CA ―→|·|CB ―→|cos ∠ACB ＝3.故选B.2.(2019·广州综合测试)如图，半径为1的扇形AOB 中，∠AOB ＝2π3，P 是弧AB 上的一点，且满足OP ⊥OB ，M ，N 分别是线段OA ，OB 上的动点，则PM ―→·PN ―→的最大值为( )A.22B.32C ．1D ． 2解析：选C ∵扇形OAB 的半径为1，∴|OP ―→ |＝1，∵OP ⊥OB ，∴OP ―→·OB ―→＝0.∵∠AOB ＝2π3，∴∠AOP ＝π6，∴PM ―→·PN ―→＝(PO ―→＋OM ―→)·(PO ―→＋ON ―→)＝PO ―→2＋ON ―→·PO ―→＋OM ―→·PO ―→＋OM ―→·ON ―→＝1＋|OM ―→|cos5π6＋|OM ―→|·|ON ―→|cos 2π3≤1＋0×⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＋0×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝1，故选C.3．(2019·南昌模拟)已知a ＝(cos α，sin α)，b ＝(cos(－α)，sin(－α))，那么a ·b ＝0是α＝k π＋π4(k ∈Z)的( )A ．充分不必要条件 B.必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选 B a ·b ＝cos α·cos(－α)＋sin α·sin(－α)＝cos 2α－sin 2α＝cos 2α，若a ·b ＝0，则cos 2α＝0，∴2α＝2k π±π2(k ∈Z)，解得α＝k π±π4(k ∈Z)．∴a ·b ＝0是α＝k π＋π4(k ∈Z)的必要不充分条件．故选B.4.(2019·浙江部分市学校联考)如图，点C 在以AB 为直径的圆上，其中AB ＝2，过A 向点C 处的切线作垂线，垂足为P ，则AC ―→·PB ―→的最大值是( )A ．2 B.1 C ．0D ．－1解析：选B 连接BC ，则∠ACB ＝90°.∵AP ⊥PC ，∴AC ―→·PB ―→＝AC ―→·(PC ―→＋CB ―→)＝AC ―→·PC ―→＝(AP ―→＋PC ―→)·PC ―→＝PC ―→2.依题意可证Rt △APC ∽Rt △ACB ，∴|PC ―→||CB ―→|＝|AC ―→||AB ―→|，即|PC ―→|＝|AC ―→||CB ―→|2.∵|AC ―→|2＋|CB ―→|2＝|AB ―→|2，∴|AC ―→|2＋|CB ―→|2＝4≥2|AC―→||CB ―→|，即|AC ―→||CB ―→|≤2，当且仅当|AC ―→|＝|CB ―→|时取等号，∴|PC ―→|≤1，∴AC ―→·PB ―→＝PC ―→2≤1，∴AC ―→·PB ―→的最大值为1，故选B.5．(2019·四川双流中学月考)已知平面向量PA ―→，PB ―→满足|PA ―→|＝|PB ―→|＝1，PA ―→·PB ―→＝－12.若|BC ―→|＝1，则|AC ―→|的最大值为( )A.2－1B.3－1C.2＋1D ．3＋1解析：选D 因为|PA ―→|＝|PB ―→|＝1，PA ―→·PB ―→＝－12，所以cos ∠APB ＝－12，即∠APB ＝2π3，由余弦定理可得AB ＝1＋1＋1＝ 3.如图，建立平面直角坐标系，则A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，0，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0，由题设点C (x ，y )在以B ⎝⎛⎭⎪⎫32，0为圆心，半径为1的圆上运动，结合图形可知，点C (x ，y )运动到点D 时，有|AC |max ＝|AD |＝|AB |＋1＝3＋1.故选D.6．(2019·重庆梁平调研)过点P (－1,1)作圆C ：(x －t )2＋(y －t ＋2)2＝1(t ∈R)的切线，切点分别为A ，B ，则PA ―→·PB ―→的最小值为( )A.103B.403C.214D ．22－3解析：选C 观察圆C 的方程可知，圆心C 在直线y ＝x －2上运动，则|PC |≥|－1－1－2|12＋－2＝2 2.设∠CPA ＝θ，则PA ―→·PB ―→＝|PA ―→||PB ―→|cos 2θ＝|PA ―→|2(2cos 2θ－1)＝(|PC ―→|2－1)⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2×|PA ―→|2|PC ―→|2－1＝(|PC ―→|2－1)·⎝ ⎛⎭⎪⎫1－2|PC ―→|2＝|PC ―→|2＋2|PC ―→|2－3，令|PC ―→|2＝x ，设y ＝x ＋2x －3，则y ＝x ＋2x －3在[8，＋∞)上为增函数，故PA ―→·PB ―→≥8＋28－3＝214，故选C.7.(2019·北京四中期中考试)如图，在△ABC 中，∠ABC ＝120°，BA ＝4，BC ＝2，D 是AC 边上一点，且DC ―→＝－34DA ―→，则BD ―→·AC ―→＝________.解析：根据题意得BD ―→·AC ―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫37BA ―→＋47 BC ―→·(BC ―→－BA ―→)＝37BA ―→·BC ―→－37×16＋47×4－47BA ―→·BC ―→＝－17BA ―→·BC ―→－327＝－17×4×2×cos 120°－327＝－4.答案：－48．若a ，b ，c 是单位向量，且a ·b ＝0，则(a －c )·(b －c)的最大值为________．解析：依题意可设a ＝(1,0)，b ＝(0,1)，c ＝(cos θ，sin θ)，则(a －c )·(b －c)＝1－(sin θ＋cos θ)＝1－2sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4，所以(a －c )·(b －c)的最大值为1＋ 2.答案：1＋ 29．(2018·泰安二模)已知平面向量a ，b 满足|b|＝1，且a 与b －a 的夹角为120°，则|a|的取值范围为________．解析：在△ABC 中，设AB ―→＝a ，AC ―→＝b ，则b －a ＝AC ―→－AB ―→＝BC ―→，∵a 与b －a 的夹角为120°，∴∠B ＝60°，由正弦定理得1sin 60°＝|a |sin C，∴|a|＝sin C sin 60°＝233sin C ，∵0°<C <120°，∴sin C ∈(0,1]，∴|a|∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，233.答案：⎝⎛⎦⎥⎤0，23310．(2019·河南豫南豫北联考)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且cos B ＝513.(1)若sin A ＝45，求cos C ；(2)若b ＝4，求AB ―→·BC ―→的最小值．解：(1)在△ABC 中，由cos B ＝513得，sin B ＝1213，∵sin B ＝1213>sin A ，∴B >A ，故A为锐角，∴cos A ＝35，∴cos C ＝－cos(A ＋B )＝－cos A cos B ＋sin A sin B ＝3365.(2)由余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2accos B 得，16＝a 2＋c 2－1013ac ≥2ac －1013ac ＝1613ac ，当且仅当a ＝c 时等号成立，∴ac ≤13，∴AB ―→·BC ―→＝ac cos(π－B )＝－accos B ＝－513ac ≥－5.故AB ―→·BC ―→的最小值为－5.11．(2019·太原模拟)已知向量m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3sin x 3，cos x 3，n ＝⎝⎛⎭⎪⎫cos x 3，cos x3，f (x )＝m·n .(1)求函数f (x )的最小正周期和单调递增区间；(2)若a ，b ，c 分别是△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边，且a ＝2，(2a －b)cos C ＝ccos B ，f (A )＝32，求c.解：(1)∵f (x )＝m·n ＝3sin x 3cos x3＋cos 2x3＝32sin 2x 3＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 2x 3＋1＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 3＋π6＋12，∴函数f (x )的最小正周期为3π，令－π2＋2k π≤2x 3＋π6≤π2＋2k π，k ∈Z ，则－π＋3k π≤x ≤π2＋3k π，k ∈Z ，∴函数f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π＋3k π，π2＋3k π，k ∈Z. (2)∵(2a －b)cos C ＝ccos B,∴2sin A cos C ＝sin B cos C ＋cos B sin C ＝sin(B ＋C )＝sin A ， ∵0<A <π，∴sin A >0，∴cos C ＝12，∴C ＝π3.∵f (A )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2A 3＋π6＋12＝32，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2A 3＋π6＝1， ∴2A 3＋π6＝π2＋2k π，k ∈Z ，∴A ＝π2， ∴c ＝asin C ＝2sin π3＝ 3.[B 级难度题——适情自主选做]1．在等腰三角形AOB 中，若|OA ―→|＝|OB ―→|＝5，且|OA ―→＋OB ―→|≥12|AB ―→|，则OA ―→·OB―→的取值范围为( )A ．[－15,25) B.[－15,15] C ．[0,25)D ．[0,15]解析：选A |OA ―→＋OB ―→|≥12|AB ―→|＝12|OB ―→－OA ―→|，所以|OA ―→＋OB ―→|2≥14|OB ―→－OA―→|2，即(OA ―→＋OB ―→)2≥14(OB ―→－OA ―→)2，所以OA ―→2＋2OA ―→·OB ―→＋OB ―→2≥14(OB ―→2－2OA ―→·OB―→＋OA ―→2)，即52＋2OA ―→·OB ―→＋52≥14(52－2OA ―→·OB ―→＋52)，则OA ―→·OB ―→≥－15.又OA ―→·OB ―→≤|OA ―→||OB ―→|＝5×5＝25，当且仅当OA ―→与OB ―→同向时取等号，因此上式等号不成立，所以OA ―→·OB ―→的取值范围为[－15,25)，故选A.2．已知a ，b ，e 是同一平面内的三个向量，且|e|＝1，a ⊥b ，a ·e ＝2，b ·e ＝1，当|a －b|取得最小值时，a 与e 夹角的正切值为( )A.33B.12 C ．1D ．22解析：选D 根据题意，分别以a ，b 为x 轴，y 轴建立平面直角坐标系，设e 与a 的夹角为θ，θ为锐角，则e 与b 的夹角为π2－θ.∵|e|＝1，a ⊥b ，a ·e ＝2，b ·e ＝1，∴|a |·cosθ＝2，|b |·cos ⎝⎛⎭⎪⎫π2－θ＝|b |·sin θ＝1，∴|a|＝2cos θ，|b|＝1sin θ，∴|a －b|2＝|a|2－2a ·b ＋|b|2＝4cos 2θ＋1sin 2θ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫4cos 2θ＋1sin 2θ(sin 2θ＋cos 2θ)＝5＋4sin 2θcos 2θ＋cos 2θsin 2θ≥5＋24sin 2θcos 2θ·cos 2θsin 2θ＝9，当且仅当2sin 2θ＝cos 2θ，即tan θ＝22时等号成立，此时|a －b|取得最小值3，且a 与e 夹角的正切值为22，故选D. 3．(2019·武汉调研)设A ，B ，C 是半径为1的圆O 上的三点，且OA ―→⊥OB ―→，则(OC ―→－OA ―→)·(OC ―→－OB ―→)的最大值是( )A ．1＋ 2 B.1－ 2 C.2－1D ．1解析：选 A 如图，作出OD ―→，使得OA ―→＋OB ―→＝OD ―→，则(OC ―→－OA ―→)·(OC ―→－OB ―→)＝OC ―→2－OA ―→·OC ―→－OB ―→·OC ―→＋OA ―→·OB ―→＝1－(OA ―→＋OB ―→)·OC ―→＝1－OD ―→·OC ―→，由图可知，当点C 在OD 的反向延长线与圆O 的交点处时，OD ―→·OC ―→取得最小值，最小值为－2，此时(OC ―→－OA ―→)·(OC ―→－OB ―→)取得最大值，最大值为1＋2，故选A.4．(2019·江西吉安月考)已知向量a ＝(cos θ，sin θ)，b ＝(cos φ，sin φ)． (1)若|θ－φ|＝π3，求|a －b|的值；(2)若θ＋φ＝π3，记f (θ)＝a ·b －λ|a ＋b|，θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，当1≤λ≤2时，求f (θ)的最小值．解：(1)∵向量a ＝(cos θ，sin θ)，b ＝(cos φ，sin φ)， ∴a －b ＝(cos θ－cos φ，sin θ－sin φ)， ∴|a －b|2＝(cos θ－cos φ)2＋(sin θ－sin φ)2＝2－2cos(θ－φ)．∵|θ－φ|＝π3，∴θ－φ＝±π3，∴|a －b|2＝2－2cos π3＝2－1＝1，或2－2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝2－1＝1，∴|a －b|＝1.(2)∵θ＋φ＝π3，θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，∴a ·b ＝cos θcos φ＋sin θsin φ＝cos(θ－φ)＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2θ－π3，|a ＋b|＝2＋θ－φ＝2⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π6＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π6，∴f (θ)＝a ·b －λ|a ＋b| ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2θ－π3－2λcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π6 ＝2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π6－2λcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π6－1. 令t ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π6，则t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1， ∴g (t )＝2t 2－2λt －1＝2⎝⎛⎭⎪⎫t －λ22－λ22－1.又1≤λ≤2，12≤λ2≤1，∴当t ＝λ2时，g (t )有最小值－λ22－1，∴f (θ)的最小值为－λ22－1.。

2020年高考数学三角函数、三角形、平面向量专题14 平面向量的数量积文(含解析)

专题14平面向量的数量积一、本专题要特别小心:1。

平面向量数量积的模夹角公式的应用2。

平面向量数量积的坐标公式应用问题3. 向量垂直的应用4.向量的数量积问题等综合问题5。

向量夹角为锐角、钝角时注意问题6。

向量数量积在解析几何中应用7.向量数量积在三角形中的应用.二．【学习目标】1．理解平面向量数量积的含义及其物理意义．2．了解平面向量的数量积与向量投影的关系．3．掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算．4．能运用数量积表示两个向量的夹角及判断两个平面向量的垂直关系．5．会用向量方法解决一些简单的平面几何问题及力学问题．三．【方法总结】1。

要准确理解两个向量的数量积的定义及几何意义，熟练掌握向量数量积的五个重要性质及三个运算规律。

向量的数量积的运算不同于实数乘法的运算律，数量积不满足结合律：（a·b )·c ≠a ·（b·c )；消去律：a·b ＝a·c b ＝c ；a·b ＝0 a ＝0或b ＝0，但满足交换律和分配律。

2。

公式a·b ＝｜a ||b ｜cos θ；a·b ＝x 1x 2＋y 1y 2；|a |2＝a 2＝x 2＋y 2的关系非常密切,必须能够灵活综合运用.3。

通过向量的数量积，可以计算向量的长度，平面内两点间的距离，两个向量的夹角，判断相应的两直线是否垂直.4.a∥b ⇔x 1y 2－x 2y 1＝0与a ⊥b ⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0要区分清楚. 四．【题型方法】（一）向量的数量积例1. 在矩形ABCD 中，2AB =，2BC =，点E 为BC 的中点，点F在CD ，若，则AE BF ⋅的值（）A ．2B ．2C ．0D ．1【答案】A【解析】建立如图所示的坐标系，可得()0,0A ，()20B ，,()2,1E，(),2F x ，，(),2AF x =，解得1x =，()1,2F ∴，,.故选A项．练习1. 在中，，,点是所在平面内的一点，则当取得最小值时，A．B．C．D．【答案】B【解析】，，，，以A为坐标原点建如图所示的平面直角坐标系，则,设，则，所以当x=2,y=1时取最小值，此时.故选：B.练习2. 如图所示,已知点O为ABC的重心，OA OBAB=,则AC BC⋅的值⊥，6为___________。

2020届高考数学一轮复习第五章平面向量5.2平面向量的数量积及其应用教师用书(PDF,含解析)

第五章平面向量５９
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点Ｄ可以是射线ＢＥ上( 点Ｂ除外) 的任意一点ꎬ而｜ａ｜＝１ꎬ
所以｜ｂ｜ >１ꎬ即｜ｂ｜ ∈(１ꎬ＋∞ )ꎬ故选Ｄ.
１－２若ａꎬｂꎬｃ均为单位向量ꎬ且ａ��ｂ＝０ꎬ( ａ－ｃ) ��( ｂ－ｃ)
��
≤０ꎬ则｜ａ＋ｂ－ｃ｜的最大值为
( )
Ａ. ２－１
Ｂ.１
Ｃ. ２
Ｄ.２
１－２答案Ｂ解析设ａ＝ (１ꎬ０) ꎬｂ＝ (０ꎬ１) ꎬｃ＝ ( ｘꎬｙ) ꎬ
则ｘ２＋ｙ２＝１ꎬａ－ｃ＝ (１－ｘꎬ－ｙ) ꎬｂ－ｃ＝ ( －ｘꎬ１－ｙ) ꎬ 则( ａ－ｃ) ��( ｂ－ｃ) ＝ (１－ｘ) ( －ｘ) ＋( －ｙ) ( １－ｙ) ＝ｘ２＋ｙ２－ｘ－ｙ＝１－ｘ－ｙ≤０ꎬ即ｘ＋ｙ≥１. 又ａ＋ｂ－ｃ＝ (１－ｘꎬ１－ｙ) ꎬ
对应学生用书起始页码Ｐ９９
一、求平面向量的模的方法
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新课改专用2020版高考数学一轮复习课时跟踪检测三十系统知识__平面向量的数量积含解析

1. （2019 •长沙雅礼中学月考）已知平面向量a , b 满足b ・（a + b ） = 3,且|a| = 1, |b|=2，则 |a + b| =()A. 3B. 5C. 7D 2 22解析：选 A 因为 |a| = 1, |b| = 2, b •( a + b) = 3,所以 a - b = 3— b =— 1，所以 |a + b|2 = a 2 + 2a • b + b 2= 1 — 2+ 4 = 3,所以 |a + b| = 3 故选 A.------------------------------------------- > ---- > ------- > ---- > 已知△ ABC 是边长为1的等边三角形，贝U ( AB — 2 BC ) • (3 BC + 4 CA )=()|a + b| = 3 2两边平方可得，a 2+ 2a - b + b 2= 18,解得 |b| = 3，故选 D.4. (2018 •永州二模)已知非零向量 a , b 的夹角为60°,且|b| = 1, |2a — b| = 1,则 |a| =()B.1C. 2解析：选 A •••非零向量 a , b 的夹角为60°,且|b| = 1,二a - b = |a | x 1X 号.课时跟踪检测（三十）系统知识一一平面向量的数量积2. A. 13 ~2 11B. 一 2C. -6-¥D. — 6+f--- > ------- > --------- > ------- > -------- > ------ > ------- > 2 ----- > ----- >解析：选 B ( AB — 2 BC ) • (3 BC + 4 CA ) = 3 AB • BC — 6 BC 2+ 4 AB • CA ——> —> —> —> —> 2—> —> —>8 BC • CA = 3| AB | •I BC | • cos 120 °— 6| BC | + 4| AB | •I CA |cos 120 ° — 8| BC -- > | •I CA | • cos 120 ° = 3X i x i x —2 —6X12+4X 1X 1X—2 —8x 1x 1x11—6 — 2 + 4=——，故选 B.3. （2019 •昆明适应性检测）已知非零向量 a , b 满足a - b = 0, |a| = 3,且a 与a + bn的夹角为7，则|b| =（）A. 6B.3 2C. 2 2D. 3解析：选D 因为a •（ a + b ） =a 2+ a -b = |a||a + b| • cos 寸，所以 |a + b| = 3,2，将 D. 22 2 2 2 2•/ |2a —b| = 1,A |2a —b| = 4a —4a - b+ b = 4|a| —2|a| + 1 = 1 ,「. 4|a| —2|a| = 0,「A. —1B.11|a| = 2或 |a| = 0(舍)，故选 A.直的是（）A. c = ( — 1,2) C. c = (4,2)D. c = ( — 4,2)解析：选 C •••向量 a = (3,1) , b = [— 2, 2、.•. a + 2b = (3,1) + ( — 4,1) = ( — 1,2), ••• ( — 1,2) • ( — 1,2) = 1 + 4= 5, ( — 1,2) • (2 , — 1) =— 2 — 2 = — 4, ( — 1,2) • (4,2) =—4+ 4 = 0, ( —1,2) • ( — 4,2) = 4 + 4= 8,.向量 c = (4,2)与 a + 2b 垂直，故选 C.6.(2019 •漯河高级中学模拟 )已知向量a = (— 2, m ), b = (1,2)，若向量a 在向量b方向上的投影为2,则实数m=()A. — 4B. — 6C. 4D.5+ 1解析：选D 由题意可得a - b = — 2+ 2m 且|b| =寸12 + 22 =、/5,则向量a 在向量b 方向上的投影为0^=— 2+ 2m= 2,解得m = + 1.故选D. |b|寸5%7.(2018 •茂名二模)已知 a = (2sin 13°, 2sin 77° ), |a — b| = 1, a 与 a — b 的夹角n为"3,则 a - b =()A. 2 C. 45. （2019 •北京四中期中则下列向量与 a + 2b 垂B.c = (2 , — 1)B.3 D. 5)已知向量a = (3,1) , b =2，解析：选 B ■/ a = (2s in 13 ,2sin 77 ° ) = (2sin 13 ° , 2cos 13 ° ),.|a| = 2.又•- |a —b| = 1,na与a—b的夹角为—,3n.a •( a —b) = |a||a —b| • cos —,12X 1X 2= 1,. a - b= 3.故选B.& （2019 •鞍山一中一检）已知向量a= (2 , —1), b = ( —1, 2)，则(2a + b) • a=( )A. 6B.5C. 1D. —6解析：选A •••向量a = (2 , —1), b = ( —1,2) ,. 2a + b= (3,0)，则(2a + b) • a= 6.故选A.9. （2019 •南充一诊）已知向量a, b是互相垂直的单位向量，且 c - a= c - b =—1,则(3a —b + 5c) • b=( )A. —1B.1D. - 6解析：选D 因为向量a , b 是互相垂直的单位向量，且c • a = c - b =— 1，所以(3a — b2+ 5c) • b = 0 — b + 5c • b =— 1 + 5x ( — 1) = — 6.故选 D.10. (2019 •闽侯第六中学期末)已知 0B = (cos 23°, cos 67° ) , ~BC = (2cos 68°,冷，故选D.点D 在边BC 上，且BD= 2DC 则^AB • N D 的值为（）2 B. 24 C.3--- A 2 -----A ----- A ----- A解析：选B •/△ ABC 是边长为1的等边三角形，且BD = 2DC •- BD = 3 BC , •- AB • AD 怎•(A B + 金)= 7A 2+1 帚•啟=1 + 2 x 1x 1x (- J ；= 2，故选 B .一-- A ---- AAB AC ---------------- A12. （2019 •福建基地校质量检测）已知非零向量 AB 与AC 满足 ----- + ----- - • BCj "AB | | "A C ^------- A-------- AABAC1=0，且丄中•」A = 2，则厶ABC 为（）| "A A B | |"AC |A.三边均不相等的三角形B.直角三角形C. 6 2cos 22 ），则△ ABC 勺面积为（）A. C.-- >解析：选D 根据题意，AB = （cos23°, cos -- >67° ) ,••• BA =-(cos 23°, sin 23° ),则 | "B A | = 1.又••• -C =(2cos 68,2cos 22)=2(cos 68 ° , sin 68 ° ) , / I "Bc i=2.-- > --- >• BA • BC = — 2(cos 23 ° cos 68 + sin 23sin 68 ° ) = — 2x cos 45 "B A • "Be\f 2•- cos B= =一-^-,贝 V B = 135 ，则----- A --------- A 2 I B A || BC |ABK2| -A || -C |sinB=1x 1X 2X11. （2019 •四川广安、眉山第一次诊断性考试）已知△ ABC 是边长为1的等边三角形,C. 等腰非等边三角形D.等边三角形A. —1 B.1i'—AB ―、一解析：选D 由 ? +——一• BC = 0,得BC 垂直于角 A 的平分线，则△ ABC 为等亦I I ^1 j--- >--->ABAC 1腰三角形，AB AC 为腰•由 ——一•——一=㊁，得A = 60° .所以△ ABC 为等边三角形，故I —A B | | —\C | 2选D.13. ____________________________________________________ 设平面向量 a = (3,5) , b = ( — 2,1)，则 |a + 2b| = ________________________________________ .解析：I |a + 2b|2= ( — 1) 2+ 72= 50,「.|a + 2b| = 5 2. 答案：5 214. ______ (2019 •山东师大附中一模)已知两个单位向量 a , b 满足|a + 2b| =■ 3,则a , b 的夹角为 ___________ .解析：因为 |a + 2b| =3，所以 |a + 2b| 2= a 2 + 4a - b + 4b 2 = ( 3)2.又 a , b 是两个单位1向量，所以|a| = 1, |b| = 1,所以a • b =—乞因为a - b = | a | •〔 b |〔址 a , b ,所以代居a ,答案:15. (2019 •云南师范大学附属中学月考 )在边长为2 3的等边三角形 ABC 中,点OABC 外接圆的圆心，贝U "OA •( "OB + "OC ) = ______ .解析：如图，O 是正三角形ABC 外接圆的圆心(半径为2)，则O 也是正三角形 ABC 的重心•设 AO 的延长线交 BC 于点 -- > ---- > > ---------- > 2OA •( OB + OC ) =— OA =— 4答案：—4-- > ----------- > -------------------- > --- >16. 已知向量 AB = (m,1), BC = (2 — m — 4)，若AB • AC >11，贝U m 的取值范围为-- > --- > -------------------- > > >解析：由向量 AB = (m,1) , BC = (2 — m — 4)，得 AC = AB + BC = (2 , — 3).又因答案：(7, +^)=—扌，贝U a , b 的夹角为2n 为-B • -AC >11 ,所以2m- 3>11,解得m>7.。

2020年高考数学一轮复习：第55课向量的数量积

第55课向量的数量积1. 理解平面向量数量积的含义及其物理意义.2. 掌握数量积的坐标表示，会进行平面向量数量积的运算.3. 能利用数量积表示两个向量夹角的余弦，会用数量积判断两个非零向量是否垂直.1. 阅读：必修4第83～88页.2. 解悟：①数量积的定义；②向量b 在向量a 方向上的投影；③两个向量夹角的范围；④重解第87页例4，体会解题的方法和规范.3. 践习：在教材空白处，完成第89～90页习题12～18题.基础诊断1. 判断下列各题正确与否： (1) 0·a ＝ (2) 0·a ＝0.( √ ) (3) 若a ≠0，a·b ＝a·c ，则b ＝(4) 若a·b ＝a·c ，则b ≠c ，当且仅当a ＝0时成立(5) (a·b)·c ＝a·(b·c)，对任意a ，b ，c 向量都成立(6) 对任意向量a ，有a 2＝|a|2.( √ )【分析与点评】 (1)(2) 实数与向量的乘积是一个向量，向量与向量的数量积是一个实数；(3) 向量不能进行除法运算；(4) 当a ⊥(b －c)时也成立；(5) 向量间的乘法不具有结合律.2. 已知A(2，1)，B(4，2)，C(0，1)，则AB →·AC →＝－4 .解析：由题意得AB →＝(2，1)，AC →＝(－2，0)，所以AB →·AC →＝(2，1)·(－2，0)＝－4. 3. 已知菱形ABCD 的边长为a ，∠ABC ＝60°，则BD →·CD →＝ 32a 2 .解析：由题意得，|BA →|2＝a 2，BA →·BC →＝a ×a ×cos 60°＝12a 2，所以BD →·CD →＝(BA →＋BC →)·BA→＝|BA →|2＋BC →·BA →＝a 2＋12a 2＝32a 2.4. 已知|a|＝2，|b|＝4，且(a ＋b)⊥a ，则向量a 与b 的夹角为2π3. 解析：由题意得(a ＋b)·a ＝0，即a 2＋a·b ＝0，所以a·b ＝－|a|2＝－4.设a 与b 的夹角为θ，所以cos θ＝a·b |a||b|＝－42×4＝－12，所以θ＝2π3.范例导航考向❶ 通过定义求平面向量的数量积例1 已知|a|＝2，|b|＝1，a 与b 的夹角为135°.(1) 求(a ＋b)·(2a －b)的值；(2) 若k 为实数，求|a ＋k b|的最小值.解析：(1) 由题意得a·b ＝|a||b|cos 135°＝－1，(a ＋b)·(2a －b)＝2a 2－b 2＋a·b ＝4－1－1＝2.(2) |a ＋k b|2＝|a|2＋k 2|b|2＋2k a·b ＝k 2－2k ＋2＝(k －1)2＋1. 当k ＝1时，|a ＋k b|2的最小值为1，即|a ＋k b|的最小值为1.已知向量a 、b 满足||b ＝1，且a 与b －a 的夹角为2π3，则|a|的取值范围是 ⎝⎛⎦0，3 .解析：在△ABC 中，设AB →＝a ，AC →＝b.因为b －a ＝AC →－AB →＝BC →，a 与b －a 的夹角为120°，所以∠ABC ＝60°.因为|AC →|＝|b|＝1，所以|a|sin C ＝|b|sin 60°，所以|a|＝233sin C ≤233，所以|a|∈⎝⎛⎦⎤0，233.考向❷ 通过“基底法”求平面向量的数量积例2 如图，在△ABC 中，已知AB ＝4，AC ＝6，∠BAC ＝60°，点D ，E 分别在边AB ，AC 上，且AB →＝2AD →，AC →＝3AE →，F 为DE 的中点，求BF →·DE →的值.解析：DE →＝AE →－AD →＝13AC →－12AB →，BF →＝DF →－DB →＝12DE →－12AB →＝16AC →－34AB →，所以BF →·DE →＝(16AC →－34AB →)·(13AC →－12AB →)＝118|AC →|2－13AC →·AB →＋38|AB →|2＝2－4＋6＝4.在平面四边形ABCD 中，O 为BD 的中点，OA ＝3，OC ＝5. 若AB →·AD →＝－7，则BC →·DC →＝ 9 .解析：因为O 为BD 的中点，所以OB →＋OD →＝0.因为AB →·AD →＝－7，所以(AO →＋OB →)·(AO →＋OD →)＝|AO →|2＋AO →·OD →＋OB →·AO →＋OB →·OD →＝|AO →|2＋AO →·(OD →＋OB →)－|OB →|2＝|AO →|2－|OB →|2＝－7，即32－|OB →|2＝－7，所以|OB →|2＝16，所以|OB →|＝|OD →|＝4，所以BC →·DC →＝(BO →＋OC →)·(DO→＋OC →)＝BO →·DO →＋BO →·OC →＋OC →·DO →＋|OC →|2＝－|BO →|2＋OC →·(BO →＋DO →)＋|OC →|2＝－16＋52＝9，故BC →·DC →的值为9.考向❸ 通过建系法求平面向量的数量积例3 在矩形ABCD 中，边长AB ＝2，AD ＝1，若M ，N 分别是边BC ，CD 上的点，且BM BC ＝CN CD，则AM →·AN →的取值范围是 [1，4] . 解析：以AB 所在的直线为x 轴，以AD 所在的直线为y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系，所以点A(0，0)，B(2，0)，C(2，1)，D(0，1).设点M 的坐标为(2，y)，点N 的坐标为(x ，1).因为BM BC ＝CN CD ，所以y ＝2－x 2，所以AN →＝(x ，1)，AM →＝⎝⎛⎭⎫2，2－x 2，所以AM →·AN→＝⎝⎛⎭⎫2，2－x 2·(x ，1)＝3x 2＋1，0≤x ≤2，所以1≤3x 2＋1≤4，即AM →·AN →∈[1，4].在Rt △ABC 中，CA ＝CB ＝3，M ，N 是斜边AB 上的两个动点，且MN ＝2，则CM →·CN →的取值范围是 [4，6] .解析：以C 为坐标原点，CA 所在的直线为x 轴，CB 所在的直线为y 轴，建立平面直角坐标系，则点A(3，0)，B(0，3)，所以直线AB 的方程为x 3＋y3＝1，即y ＝－x ＋3.设点N(a ，3－a)，M(b ，3－b)，且0≤a ≤3，0≤b ≤3.不妨设a>b ，因为MN ＝2，所以(a －b)2＋(3－a －3＋b)2＝2，所以a －b ＝1，所以a ＝b ＋1，所以0≤b ≤2.CM →·CN →＝(a ，3－a)·(b ，3－b)＝2ab －3(a ＋b)＋9＝2(b ＋1)b －3(b ＋1＋b)＋9＝2(b －1)2＋4.因为0≤b ≤2，当b ＝0或b ＝2时有最大值6，当b ＝1时，有最小值4，所以CM →·CN →的取值范围是[4，6].自测反馈1. 若a ，b 均为单位向量，且a ⊥(a －2b)，则a ，b 的夹角大小为 π3.解析：由题意得a·(a －2b)＝0，即a 2－2a·b ＝0.因为a ，b 均为单位向量，所以a·b ＝12.设a 与b 的夹角为θ，所以cos θ＝a·b |a|·|b|＝121＝12，所以θ＝π3，故a 与b 的夹角大小为π3.2. 已知向量a ＝(1，1)，b ＝(－1，1)，设向量c 满足(2a －c)·(3b －c)＝0，则|c|的最大.解析：设c ＝(x ，y )，则2a －c ＝(2－x ，2－y )，3b －c ＝(－3－x ，3－y ).因为(2a －c)·(3b －c)＝0，所以(2－x ，2－y )·(－3－x ，3－y )＝0，即⎝⎛⎭⎫x ＋122＋⎝⎛⎭⎫y －522＝132.因为圆经过原点，所以|c|的最大值为圆的直径26.3. 在△ABC 中，AC ＝3，BC ＝4，∠C ＝90°，D 是BC 的中点，则BA →·AD →的值为－17 .解析：如图以C 为原点，AC 所在的直线为x 轴，BC 所在的直线为y 轴，建立直角坐标系，则点C(0，0)，A(3，0)，B(0，4)，D(0，2)，所以BA →＝(3，－4)，AD →＝(－3，2)，所以BA →·AD →＝(3，－4)·(－3，2)＝－9－8＝－17.4. 已知菱形ABCD 的边长为2，∠BAD ＝120°，点E ，F 分别在边BC ，DC 上，BE →＝λBC →，CF →＝λCD →. 若AE →·BF →＝－1，则λ＝2Ｗ. 解析：AE →·BF →＝(AB →＋BE →)·(BC →＋CF →)＝(AB →＋λBC →)·(BC →＋λCD →)＝(AB →＋λAD →)·(AD →－λAB →)＝－λ|AB →|2＋λ|AD →|2＋(1－λ2)·AB →·AD →＝(1－λ2)AB →·AD →＝(1－λ2)×2×2×cos 120°＝2(λ2－1)＝－1，解得λ＝±22.因为λ>0，所以λ＝22.1. 求两个非零向量的夹角时，要注意它的取值范围是[0，π].2. 两个向量数量积是一个数，常用的计算方法有：定义法、坐标法、基底法等，在使用定义法时，要准确确定两个向量的夹角.3. 你还有哪些体悟，写下来：。

2020版高考数学一轮复习课时跟踪检测三十系统知识__平面向量的数量积含解析162

课时跟踪检测（三十）系统知识——平面向量的数量积1．(2019·长沙雅礼中学月考)已知平面向量a ，b 满足b ·(a ＋b)＝3，且|a|＝1，|b|＝2，则|a ＋b|＝( )A. 3B. 5C.7D ．2 2解析：选A 因为|a|＝1，|b|＝2，b ·(a ＋b)＝3，所以a ·b ＝3－b 2＝－1，所以|a ＋b|2＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝1－2＋4＝3，所以|a ＋b|＝3，故选A.2．已知△ABC 是边长为1的等边三角形，则(AB ―→－2BC ―→)·(3BC ―→＋4CA ―→)＝( ) A ．－132B.－112C ．－6－32D ．－6＋32解析：选 B (AB ―→－2BC ―→)·(3BC ―→＋4CA ―→)＝3AB ―→·BC ―→－6BC ―→2＋4AB ―→·CA ―→－8BC ―→·CA ―→＝3|AB ―→|·|BC ―→|·cos 120°－6|BC ―→|2＋4|AB ―→|·|CA ―→|cos 120°－8|BC ―→|·|CA ―→|·cos 120°＝3×1×1×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12－6×12＋4×1×1×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12－8×1×1×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－32－6－2＋4＝－112，故选B.3．(2019·昆明适应性检测)已知非零向量a ，b 满足a ·b ＝0，|a|＝3，且a 与a ＋b 的夹角为π4，则|b|＝( )A ．6 B.3 2 C ．2 2D ．3解析：选D 因为a ·(a ＋b)＝a 2＋a ·b ＝|a||a ＋b |·cos π4，所以|a ＋b|＝32，将|a ＋b|＝32两边平方可得，a 2＋2a ·b ＋b 2＝18，解得|b|＝3，故选D.4．(2018·永州二模)已知非零向量a ，b 的夹角为60°，且|b|＝1，|2a －b|＝1，则|a|＝( )A.12B.1C. 2D ．2解析：选A ∵非零向量a ，b 的夹角为60°，且|b|＝1，∴a ·b ＝|a |×1×12＝|a |2.∵|2a －b|＝1，∴|2a －b|2＝4a 2－4a ·b ＋b 2＝4|a|2－2|a|＋1＝1，∴4|a|2－2|a|＝0，∴|a|＝12或|a|＝0(舍)，故选A.5．(2019·北京四中期中)已知向量a ＝(3,1)，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，12，则下列向量与a ＋2b 垂直的是( )A ．c ＝(－1,2) B.c ＝(2，－1) C ．c ＝(4,2)D ．c ＝(－4,2)解析：选C ∵向量a ＝(3,1)，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，12，∴a ＋2b ＝(3,1)＋(－4,1)＝(－1,2)，∵(－1,2)·(－1,2)＝1＋4＝5，(－1,2)·(2，－1)＝－2－2＝－4，(－1,2)·(4,2)＝－4＋4＝0，(－1,2)·(－4,2)＝4＋4＝8，∴向量c ＝(4,2)与a ＋2b 垂直，故选C.6．(2019·漯河高级中学模拟)已知向量a ＝(－2，m )，b ＝(1,2)，若向量a 在向量b 方向上的投影为2，则实数m ＝( )A ．－4 B.－6 C ．4D ．5＋1解析：选D 由题意可得a ·b ＝－2＋2m ，且|b|＝12＋22＝5，则向量a 在向量b 方向上的投影为a·b |b|＝－2＋2m5＝2，解得m ＝5＋1.故选D. 7．(2018·茂名二模)已知a ＝(2sin 13°，2sin 77°)，|a －b|＝1，a 与a －b 的夹角为π3，则a ·b ＝( ) A ．2 B.3 C ．4D ．5解析：选B ∵a ＝(2sin 13°，2sin 77°)＝(2sin 13°，2cos 13°)，∴|a|＝2.又∵|a －b|＝1，a 与a －b 的夹角为π3，∴a ·(a －b)＝|a||a －b |·cos π3，∴a 2－a ·b ＝2×1×12＝1，∴a ·b ＝3.故选B.8．(2019·鞍山一中一检)已知向量a ＝(2，－1)，b ＝(－1，2)，则(2a ＋b )·a ＝( ) A ．6 B.5 C ．1D ．－6解析：选A ∵向量a ＝(2，－1)，b ＝(－1,2)，∴2a ＋b ＝(3,0)，则(2a ＋b )·a ＝6.故选A.9．(2019·南充一诊)已知向量a ，b 是互相垂直的单位向量，且c ·a ＝c ·b ＝－1，则(3a －b ＋5c )·b ＝( )A ．－1B.1C ．6D ．－6解析：选D 因为向量a ，b 是互相垂直的单位向量，且c ·a ＝c ·b ＝－1，所以(3a －b ＋5c )·b ＝0－b 2＋5c ·b ＝－1＋5×(－1)＝－6.故选D.10．(2019·闽侯第六中学期末)已知AB ―→＝(cos 23°，cos 67°)，BC ―→＝(2cos 68°，2cos 22°)，则△ABC 的面积为( )A ．2 B. 2 C ．1D ．22解析：选D 根据题意，AB ―→＝(cos 23°，cos 67°)，∴BA ―→＝－(cos 23°，sin 23°)，则|BA ―→|＝1.又∵BC ―→＝(2cos 68°，2cos 22°)＝2(cos 68°，sin 68°)，∴|BC ―→|＝2.∴BA ―→·BC ―→＝－2(cos 23°cos 68°＋sin 23°sin 68°)＝－2×cos 45°＝－2，∴cos B ＝BA ―→·BC ―→|BA ―→||BC ―→|＝－22，则B ＝135°，则S △ABC ＝12|BA ―→||BC ―→|sin B ＝12×1×2×22＝22，故选D. 11．(2019·四川广安、眉山第一次诊断性考试)已知△ABC 是边长为1的等边三角形，点D 在边BC 上，且BD ＝2DC ，则AB ―→·AD ―→的值为( )A ．1－33B.23C.43D ．1＋33解析：选B ∵△ABC 是边长为1的等边三角形，且BD ＝2DC ，∴BD ―→＝23BC ―→，∴AB ―→·AD―→＝AB ―→·(AB ―→＋BD ―→)＝AB ―→2＋23AB ―→·BC ―→＝1＋23×1×1×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝23，故选B.12．(2019·福建基地校质量检测)已知非零向量AB ―→与AC ―→满足⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫AB ―→|AB ―→|＋AC ―→|AC ―→|·BC―→＝0，且AB―→|AB ―→|·AC ―→|AC ―→|＝12，则△ABC 为( )A ．三边均不相等的三角形 B.直角三角形 C ．等腰非等边三角形D ．等边三角形解析：选D 由⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫AB ―→|AB ―→|＋AC ―→|AC ―→|·BC ―→＝0，得BC 垂直于角A 的平分线，则△ABC 为等腰三角形，AB ，AC 为腰．由AB―→|AB ―→|·AC ―→|AC ―→|＝12，得A ＝60°.所以△ABC 为等边三角形，故选D.13．设平面向量a ＝(3,5)，b ＝(－2,1)，则|a ＋2b|＝________. 解析：∵|a ＋2b|2＝(－1)2＋72＝50，∴|a ＋2b|＝5 2. 答案：5 214．(2019·山东师大附中一模)已知两个单位向量a ，b 满足|a ＋2b|＝3，则a ，b 的夹角为________．解析：因为|a ＋2b|＝3，所以|a ＋2b|2＝a 2＋4a ·b ＋4b 2＝(3)2.又a ，b 是两个单位向量，所以|a|＝1，|b|＝1，所以a ·b ＝－12.因为a ·b ＝|a |·|b |a ，b ，所以a ，b ＝－12，则a ，b 的夹角为2π3.答案：2π315．(2019·云南师范大学附属中学月考)在边长为23的等边三角形ABC 中，点O 为△ABC 外接圆的圆心，则OA ―→·(OB ―→＋OC ―→)＝________.解析：如图，O 是正三角形ABC 外接圆的圆心(半径为2)，则O 也是正三角形ABC 的重心．设AO 的延长线交BC 于点D ，则OB ―→＋OC ―→＝2OD ―→＝－OA ―→，∴OA ―→·(OB ―→＋OC ―→)＝－OA ―→2＝－4.答案：－416．已知向量AB ―→＝(m,1)，BC ―→＝(2－m ，－4)，若AB ―→·AC ―→>11，则m 的取值范围为________．解析：由向量AB ―→＝(m,1)，BC ―→＝(2－m ，－4)，得AC ―→＝AB ―→＋BC ―→＝(2，－3)．又因为AB ―→·AC ―→>11，所以2m －3>11，解得m >7.答案：(7，＋∞)。

新课改瘦专用2020版高考数学一轮复习课时跟踪检测三十系统知识__平面向量的数量积含解析

2020年高考数学(理)高频考点平面向量专题03 平面向量的数量积及应用(解析版)

平面向量03 平面向量的数量积及应用一、具本目标：1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义.2.了解平面向量的数量积与向量投影的关系.3.掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算.4.能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系. 考纲解读：1.以考查向量的数量积、夹角、模为主，基本稳定为选择题或填空题，难度较低；2.与三角函数、解析几何等相结合，以工具的形式进行考查，中等难度，但是解决以上问题的桥梁.3.备考重点：(1) 理解数量积的概念是基础，掌握数量积的两种运算的方法是关键；(2)解答与平面几何、三角函数、解析几何等交汇问题时，注意运用数形结合的数学思想，通过建立平面直角坐标系，利用坐标运算解题. 二、知识概述：一）主要公式：1.向量的数量积：已知两个非零向量a r 、b r ，它们的夹角为θ，则r a ·b rθcos . 若a r =(1x ,1y ),b r =(2x ,2y )，则a r ·b r=2121y y x x +.2.向量的模：若a r =(,)x y ，则|a r.3.两向量的夹角余弦值：>=<=b a ,cos cos θa ba b ×r r r r .4.向量垂直的等价条件：a r ⊥b r ⇔0r ra b?⇔02121=+y y x x .二）主要知识点：【考点讲解】1.两个向量的夹角（1）定义：已知两个非零向量和，作OA u u u r ＝，OB u u u r＝，则∠AOB ＝θ 叫做向量与的夹角．（2）夹角范围：向量夹角θ的范围是0°≤θ≤180°与同向时，夹角θ＝0°；与反向时，夹角θ＝180°.（3）向量垂直：如果向量与的夹角是90°，则与垂直，记作⊥. 2.平面向量数量积：（1）已知两个非零向量与θ⋅叫做与的数量积，记作⋅，即⋅θcos ，其中θ是与的夹角．规定0=⋅.当⊥时，θ＝90°，这时0r ra b?.（2）⋅的几何意义：数量积⋅等于与在θcos 的乘积．3.向量数量积的性质：（1）=⋅=（2）>=<=,cos cos θa ba b×r r r r (θ为与的夹角).（3≤⋅4.数量积的运算律（1）交换律：⋅=⋅. （2）分配律：()⋅+⋅=⋅+（3）对()()()R λλλλ⋅=⋅=⋅∈,.5.数量积的坐标运算：设()()2211,,,y x y x ==，有下面的结论：（1）2121y y x x +=⋅.（2）a r ⊥b r ⇔0r r a b?⇔02121=+y y x x .（3.2121y x +=（4）>=<=b a ,cos cosθr r r r a ba b×=(θ为与的夹角).1．【2019年高考全国I 卷】已知非零向量a ，b 满足||2||=a b ，且()-a b ⊥b ，则a 与b 的夹角为（） A ．π6B ．π3C ．2π3D ．5π6【解析】本题考查的是向量夹角的计算，先计算出向量的数量积及各个向量的摸，在利用向量夹角公式求出夹角的余弦值，再求出夹角，注意向量夹角范围为[0,]π．因为()-a b ⊥b ，所以2()-⋅=⋅-a b b a b b =0，所以2⋅=a b b ，所以cos θ=22||12||2⋅==⋅a b b a b b ，所以a 与b 的夹角为π3，故选B ．【答案】B2.【2019年高考全国II 卷】已知AB u u u r=(2,3)，AC u u u r =(3，t )，BC uuu r =1，则AB BC ⋅u u u r u u u r =（）A ．−3B ．−2C ．2D ．3【解析】本题考点为平面向量的数量积.由(1,3)BC AC AB t =-=-u u u r u u u r u u u r，1BC ==u u u r ，得3t =，则(1,0)BC =u u u r ，(2,3)(1,0)21302AB BC ==⨯+⨯=u u u r u u u rg g ．故选C ．【答案】C3.【2018年高考全国II 卷】已知向量a ，b 满足||1=a ，1⋅=-a b ，则(2)⋅-=a a b （） A ．4 B ．3 C ．2 D ．0【解析】本题主要考查平面向量的数量积.因为()()22222||1213⋅-=-⋅=--=+=a a b a a b a ,所以选B. 【答案】B4.【2018年高考浙江卷】已知a ，b ，e 是平面向量，e 是单位向量．若非零向量a 与e 的夹角为π3，向量b满足b 2−4e ·b +3=0，则|a −b |的最小值是（）【真题分析】A 1BC ．2D ．2【解析】本题主要考查平面向量的夹角、数量积、模及最值问题.设a =(x,y),e =(1,0),b =(m,n)，则由⟨a,e ⟩=π3得a ⋅e =|a|⋅|e|cos π3,x =12√x 2+y 2,∴y =±√3x ，由b 2−4e ·b +3=0得m 2+n 2−4m +3=0,(m −2)2+n 2=1,因此|a −b |的最小值为圆心(2,0)到直线y =±√3x的距离21，为√3−1.选A. 【答案】A5.【2019年高考北京卷理数】设点A ，B ，C 不共线，则“AB u u u r 与AC u u ur 的夹角为锐角”是“||||AB AC BC +>u u u r u u u r u u u r ”的（）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【解析】本题考查充要条件的概念与判断､平面向量的模､夹角与数量积.AB u u u r 与AC u u ur 的夹角为锐角，所以2222||||2||||2AB AC AB AC AB AC AB AC ++⋅>+-⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，即22||||AB AC AC AB +>-u u u r u u u r u u u r u u u r ，因为AC AB BC -=u u u r u u u r u u u r ，所以|AB u u u r +AC u u ur |>|BC uuu r |；当|AB u u u r +AC u u u r |>|BC uuu r |成立时，|AB u u u r +AC u u u r |2>|AB u u u r -AC u u u r |2AB ⇒u u u r •AC u u u r >0，又因为点A ，B ，C 不共线，所以ABu u u r与AC u u u r 的夹角为锐角.故“AB u u u r 与AC uuu r 的夹角为锐角”是“|AB u u u r +AC uuur |>|BC u u u r |”的充分必要条件,故选C ．【答案】C6.【2018年高考北京卷理数】设a ，b 均为单位向量，则“33-=+a b a b ”是“a ⊥b ”的（） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【解析】222222699+63333-=+-=⇔⇔-++⋅=⋅+a a b a b a b a b a b b a a b b ，因为a ，b 均为单位向量，所以2222699+6=0-⋅+=⋅+⇔⋅⇔a a b b a a b b a b a ⊥b ，即“33-=+a b a b ”是“a ⊥b ”的充分必要条件.故选C. 【答案】C7.【2018年高考天津卷文数】在如图的平面图形中，已知1,2,120OM ON MON ==∠=o,2,2,BM MA CN NA ==u u u u r u u u r u u u r u u u r则·BC OM u u u r u u u u r 的值为（）A ．15-B ．9-C ．6-D ．0【解析】如图所示，连结MN ，由BM ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =2MA ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ,CN ⃑⃑⃑⃑⃑ =2NA ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ 可知点M,N 分别为线段AB,AC 上靠近点A 的三等分点，则BC⃑⃑⃑⃑⃑ =3MN ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =3(ON ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ −OM ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ )，由题意可知：OM⃑⃑⃑⃑⃑⃑ 2=12=1，OM ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅ON ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =1×2×cos120∘=−1，结合数量积的运算法则可得：BC ⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅OM ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =3(ON ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ −OM ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ )⋅OM ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =3ON ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅OM ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ −3OM ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ 2=−3−3=−6. 本题选择C 选项.【答案】C8.【2019年高考北京卷文数】已知向量a =（–4，3），b =（6，m ），且⊥a b ，则m =__________．【解析】向量(4,3),(6,)m =-=⊥，，a b a b 则046308m m ⋅=-⨯+==，，a b . 【答案】89.【2019年高考全国III 卷】已知a ，b 为单位向量，且a ·b =0，若2=c a ，则cos ,=a c ___________.【解析】因为2=c a ，0⋅=a b ，所以22⋅=⋅a c a b 2=，222||4||5||9=-⋅+=c a b b ，所以||3=c ，所以cos ,=a c22133⋅==⨯⋅a c a c ．【答案】2310.【2019年高考天津卷理数】在四边形ABCD 中，,5,30AD BC AB AD A ==∠=︒∥，点E在线段CB 的延长线上，且AE BE =，则BD AE ⋅=u u u r u u u r___________．【解析】建立如图所示的直角坐标系，∠DAB =30°，5,AB AD ==则0)B ，5()22D . 因为AD ∥BC ，30BAD ∠=︒，所以30ABE ∠=︒，因为AE BE =，所以30BAE ∠=︒，所以直线BE的斜率为3，其方程为3y x =-，直线AE的斜率为-y x =.由(33y x y x⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩得x =1y =-，所以1)E -.所以5(,)1)122BD AE =-=-u u u r u u u r g g .【答案】1-11.【2019年高考江苏卷】如图，在ABC △中，D 是BC 的中点，E 在边AB 上，BE =2EA ，AD 与CE 交于点O .若6AB AC AO EC ⋅=⋅u u u r u u u r u u u r u u u r，则ABAC的值是___________．【解析】如图，过点D 作DF //CE ，交AB 于点F ，由BE =2EA ，D 为BC 的中点，知BF =FE =EA ,AO =OD ．()()()3632AO EC AD AC AE AB AC AC AE =-=+-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u ur u u u r u u u r u u u r g g g ，()223131123233AB AC AC AB AB AC AB AC AB AC ⎛⎫⎛⎫=+-=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭u u ur u u u r u u u r u u u r u u ur u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r g g g22223211323322AB AC AB AC AB AC AB AC AB AC ⎛⎫=-+=-+= ⎪⎝⎭u u ur u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r g g g ，得2213,22AB AC =u u u r u u u r即,AB =u u u r u u r故ABAC=.12.【2018年高考上海卷】在平面直角坐标系中，已知点()10A -，、()20B ，，E 、F 是y 轴上的两个动点，且||2EF =u u u r ，则AE BF ⋅u u u r u u u r的最小值为___________．【解析】根据题意，设E （0，a ），F （0，b ）；∴2EF a b =-=u u u r；∴a =b +2，或b =a +2；且()()1,2,AE a BF b ==-u u u r u u u r ，；∴2AE BF ab ⋅=-+u u u r u u u r ；当a =b +2时，()22222AE BF b b b b ⋅=-++⋅=+-u u u r u u u r；∵b 2+2b ﹣2的最小值为8434--=-； ∴AE BF ⋅u u u r u u u r 的最小值为﹣3，同理求出b =a +2时，AE BF ⋅u u u r u u u r的最小值为﹣3．故答案为：﹣3．【答案】-313.【2017年高考全国I 卷理数】已知向量a ，b 的夹角为60°，|a |=2，|b |=1，则| a +2b |=___________．【解析】方法一：222|2|||44||4421cos60412+=+⋅+=+⨯⨯⨯+=oa b a a b b ，所以|2|+==a b .方法二：利用如下图形，可以判断出2+a b 的模长是以2为边长，一夹角为60°的菱形的对角线的长度，则为【答案】14.【2017年高考山东卷理数】已知12,e e与的夹角为60︒，则实数的值是___________．12-e 12λ+e e λ【解析】∵221212112122)()λλλλ-⋅+=⋅-⋅-=e e e e e e e ，12|2-===e ，12||λ+===e ecos60λ=︒λ=．1.已知向量(1,2)a =r ，(1,1)b =-r ，则()(2)a b a b +•-=r r r r（）A ．2B ．-2C ．-3D ．4【解析】因)4,1(2),1,2(-=-=+，故224412)1()2()(=-=⨯+⨯-=-⋅+，应选A. 【答案】A2. 已知非零向量m ，n 满足4│m │=3│n │，cos<m ，n >=13.若n ⊥（t m +n ），则实数t 的值为（）A.4B.–4C.94D.–94 【解析】由43m n =u r r ，可设3,4(0)m k n k k ==>u r r，又()n tm n ⊥+r u r r ，所以22221()cos ,34(4)41603n tm n n tm n n t m n m n n t k k k tk k ⋅+=⋅+⋅=⋅<>+=⨯⨯⨯+=+=r u r r r u r r r u r r u r r r .所以4t =-，故选B. 【答案】B3.已知△ABC 是边长为1的等边三角形，点E D ,分别是边BC AB ,的中点，连接DE 并延长到点F ，使得EF DE 2=，则BC AF ⋅的值为（）∴【模拟考场】A.85-B.81 C.41 D.811【解析】设BA a =u u u r r ，BC b =u u u r r ，∴11()22DE AC b a ==-u u u r u u u r r r ，33()24DF DE b a ==-u u u r u u u r r r，1353()2444AF AD DF a b a a b =+=-+-=-+u u u r u u u r u u u r r r r r r ，∴25353144848AF BC a b b ⋅=-⋅+=-+=u u u r u u u r r r r ，故选B.【答案】B4.已知向量a r 与b r 的夹角为60°，||2a =r ，||5b =r，则2a b -r r 在a r 方向上的投影为（）A ．23 B ．2 C ．52 D ．3【解析】由已知条件可知，2a b -r r 在a r，其中()360cos 2=⋅-=⋅-=⋅-οa b a b a .23=.【答案】A5. 在ABC ∆中，已知tan AB AC A ⋅=u u u r u u u r ，当6A π=时，ABC ∆的面积为________.【解析】本题考点是平面向量的数量积、三角函数同角关系、三角形的面积公式的应用.由题意可知tan AB AC A ⋅=u u u r u u u r 得，⋅=u u u r u u u rAB AC tantan 26||||cos tan ,||||cos 3cos 6A AB AC A A AB AC A ππ⋅=⋅===u u u r u u u r u u u r u u u r ，所以，11221||||sin sin 223636ABC S AB AC A π∆=⋅=⨯⨯==u u u r u u u r .【答案】166.已知向量ba ,, 21==，若对任意单位向量，均有6≤⋅+⋅ ,则⋅的最大值是．【解析】本题考点是平面向量的数量积及不等式的性质的具体应用．由题意可知221|(a b)||a ||b ||a b ||a ||b |2a b 6a b 2e e e +⋅≤⋅+⋅+≤++⋅≤⇒⋅≤r r r r r r r r r r r r r r r ，即最大值为12. 【答案】127.在等腰梯形ABCD 中,已知AB DC P ,2,1,60,AB BC ABC ==∠=o 点E 和点F 分别在线段BC 和CD 上,且21,,36BE BC DF DC ==u u u r u u u r u u u r u u u r 则AE AF ⋅u u u r u u u r 的值为．【解析】本题考点是平面向量的数量积及向量的线性运算，在等腰梯形ABCD 中,由AB ∥DC ,2,1,60,AB BC ABC ==∠=o 得12AD BC ⋅=u u u r u u u r ,1AB AD ⋅=u u u r u u u r ,12DC AB =u u u r u u u r , 所以()()AE AF AB BE AD DF ⋅=+⋅+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r =⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛+12132 221131218=⋅+⋅++⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r AB AD BC AD AB BC AB 111291331818=++-= 【答案】29188.如图，在△ABC 中，D 是BC 的中点，E ，F 是AD 上的两个三等分点，BA →·CA →＝4，BF →·CF →＝－1，则BE →·CE →的值是________．【解析】本题考点是平面向量的线性运算及数量积的运算，由题意可设==,，则()()433=-=+-⋅+=⋅，()()1-=-=+-⋅+=⋅，.85813== 则()().8722=-=+-⋅+=⋅【答案】78 9.设向量()2log 3,a m =r ，()3log 4,1b =-r ，且a b ⊥r r ，则m 的值为__________．【解析】因为a b ⊥r r ，所以有0r r a b?，可以得到23log 3log 40m -=，则23lg3lg4log 3log 42lg2lg3m ==⨯=，应填答案2. 【答案】2 10.在ABC △中，60A =︒∠，3AB =，2AC =.若2BD DC =u u u r u u u r ，()AE AC AB λλ∈=-R u u u r u u u r u u u r ，且4AD AE ⋅=-u u u r u u u r ，则λ的值为___________.【解析】由题意可知：360cos ==⋅ο，()32313232+=-+=+=， ()AB AC AC AB AE AC -⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⋅λ3231 =433293143233-=⨯-⨯-⨯+⨯λλ，所以可得113=λ. 【答案】113 11.已知3a =r ， 4b =r ， 0a b ⋅=r r ，若向量c r 满足()()0a c b c -⋅-=r r r r ，则c r 的取值范围是__________．【解析】易知5a b +=r r ，由()()0a c b c -⋅-=r r r r ，且0a b ⋅=r r ，可得： ()2cos ,5cos ,=+=+⋅+=+r r r r r r r r r r r r r r c a b c a b c a b c c a b c .所以0c =r 或5cos ,c a b c =+r r r r ，由此可得c r 的取值范围是[]0,5.【答案】[]0,512.已知两个不共线的向量,，它们的夹角为θ13==，x 为正实数． (1)若2+与4-垂直，求tan θ；(2)若θ＝π6，求x -的最小值及对应的x 的值，并判断此时向量与x -是否垂直．【解析】(1)因为2+与4-垂直，所以()()042=-⋅+. 所以08222=-⋅-，所以32－2×3×1×cos θ－8×12＝0，所以cos θ＝16，又θ∈(0，π)，sin θ＝1－cos 2θ＝356，所以tan θ＝sin θcos θ＝35.。

2020版高考数学一轮复习课时跟踪检测三十一系统题型__平面向量的数量积及应用含解析171

课时跟踪检测（三十一）系统题型——平面向量的数量积及应用[A 级保分题——准做快做达标]1．(2019·牡丹江第一高级中学月考)已知圆O 是△ABC 的外接圆，其半径为1，且AB ―→＋AC ―→＝2AO ―→，AB ＝1，则CA ―→·CB ―→＝( )A.32 B.3 C. 3D ．2 3解析：选B 因为AB ―→＋AC ―→＝2AO ―→，所以点O 是BC 的中点，即BC 是圆O 的直径，又AB ＝1，圆的半径为1，所以∠ACB ＝30°，且AC ＝3，则CA ―→·CB ―→＝|CA ―→|·|CB ―→|cos ∠ACB ＝3.故选B.2.(2019·广州综合测试)如图，半径为1的扇形AOB 中，∠AOB ＝2π3，P 是弧AB 上的一点，且满足OP ⊥OB ，M ，N 分别是线段OA ，OB 上的动点，则PM ―→·PN ―→的最大值为( )A.22B.32C ．1D ． 2解析：选C ∵扇形OAB 的半径为1，∴|OP ―→ |＝1，∵OP ⊥OB ，∴OP ―→·OB ―→＝0.∵∠AOB ＝2π3，∴∠AOP ＝π6，∴PM ―→·PN ―→＝(PO ―→＋OM ―→)·(PO ―→＋ON ―→)＝PO ―→2＋ON ―→·PO ―→＋OM ―→·PO ―→＋OM ―→·ON ―→＝1＋|OM ―→|cos5π6＋|OM ―→|·|ON ―→|cos 2π3≤1＋0×⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＋0×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝1，故选C.3．(2019·南昌模拟)已知a ＝(cos α，sin α)，b ＝(cos(－α)，sin(－α))，那么a ·b ＝0是α＝k π＋π4(k ∈Z)的( )A ．充分不必要条件 B.必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选 B a ·b ＝cos α·cos(－α)＋sin α·sin(－α)＝cos 2α－sin 2α＝cos 2α，若a ·b ＝0，则cos 2α＝0，∴2α＝2k π±π2(k ∈Z)，解得α＝k π±π4(k ∈Z)．∴a ·b ＝0是α＝k π＋π4(k ∈Z)的必要不充分条件．故选B.4.(2019·浙江部分市学校联考)如图，点C 在以AB 为直径的圆上，其中AB ＝2，过A 向点C 处的切线作垂线，垂足为P ，则AC ―→·PB ―→的最大值是( )A ．2 B.1 C ．0D ．－1解析：选B 连接BC ，则∠ACB ＝90°.∵AP ⊥PC ，∴AC ―→·PB ―→＝AC ―→·(PC ―→＋CB ―→)＝AC ―→·PC ―→＝(AP ―→＋PC ―→)·PC ―→＝PC ―→2.依题意可证Rt △APC ∽Rt △ACB ，∴|PC ―→||CB ―→|＝|AC ―→||AB ―→|，即|PC ―→|＝|AC ―→||CB ―→|2.∵|AC ―→|2＋|CB ―→|2＝|AB ―→|2，∴|AC ―→|2＋|CB ―→|2＝4≥2|AC―→||CB ―→|，即|AC ―→||CB ―→|≤2，当且仅当|AC ―→|＝|CB ―→|时取等号，∴|PC ―→|≤1，∴AC ―→·PB ―→＝PC ―→2≤1，∴AC ―→·PB ―→的最大值为1，故选B.5．(2019·四川双流中学月考)已知平面向量PA ―→，PB ―→满足|PA ―→|＝|PB ―→|＝1，PA ―→·PB ―→＝－12.若|BC ―→|＝1，则|AC ―→|的最大值为( )A.2－1B.3－1C.2＋1D ．3＋1解析：选D 因为|PA ―→|＝|PB ―→|＝1，PA ―→·PB ―→＝－12，所以cos ∠APB ＝－12，即∠APB ＝2π3，由余弦定理可得AB ＝1＋1＋1＝ 3.如图，建立平面直角坐标系，则A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，0，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0，由题设点C (x ，y )在以B ⎝⎛⎭⎪⎫32，0为圆心，半径为1的圆上运动，结合图形可知，点C (x ，y )运动到点D 时，有|AC |max ＝|AD |＝|AB |＋1＝3＋1.故选D.6．(2019·重庆梁平调研)过点P (－1,1)作圆C ：(x －t )2＋(y －t ＋2)2＝1(t ∈R)的切线，切点分别为A ，B ，则PA ―→·PB ―→的最小值为( )A.103B.403C.214D ．22－3解析：选C 观察圆C 的方程可知，圆心C 在直线y ＝x －2上运动，则|PC |≥|－1－1－2|12＋－12＝2 2.设∠CPA ＝θ，则PA ―→·PB ―→＝|PA ―→||PB ―→|cos 2θ＝|PA ―→|2(2cos 2θ－1)＝(|PC ―→|2－1)⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2×|PA ―→|2|PC ―→|2－1＝(|PC ―→|2－1)·⎝ ⎛⎭⎪⎫1－2|PC ―→|2＝|PC ―→|2＋2|PC ―→|2－3，令|PC ―→|2＝x ，设y ＝x ＋2x －3，则y ＝x ＋2x －3在[8，＋∞)上为增函数，故PA ―→·PB ―→≥8＋28－3＝214，故选C.7.(2019·北京四中期中考试)如图，在△ABC 中，∠ABC ＝120°，BA ＝4，BC ＝2，D 是AC 边上一点，且DC ―→＝－34DA ―→，则BD ―→·AC ―→＝________.解析：根据题意得BD ―→·AC ―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫37BA ―→＋47 BC ―→·(BC ―→－BA ―→)＝37BA ―→·BC ―→－37×16＋47×4－47BA ―→·BC ―→＝－17BA ―→·BC ―→－327＝－17×4×2×cos 120°－327＝－4.答案：－48．若a ，b ，c 是单位向量，且a ·b ＝0，则(a －c )·(b －c)的最大值为________．解析：依题意可设a ＝(1,0)，b ＝(0,1)，c ＝(cos θ，sin θ)，则(a －c )·(b －c)＝1－(sin θ＋cos θ)＝1－2sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4，所以(a －c )·(b －c)的最大值为1＋ 2.答案：1＋ 29．(2018·泰安二模)已知平面向量a ，b 满足|b|＝1，且a 与b －a 的夹角为120°，则|a|的取值范围为________．解析：在△ABC 中，设AB ―→＝a ，AC ―→＝b ，则b －a ＝AC ―→－AB ―→＝BC ―→，∵a 与b －a 的夹角为120°，∴∠B ＝60°，由正弦定理得1sin 60°＝|a |sin C ，∴|a|＝sin C sin 60°＝233sin C ，∵0°<C <120°，∴sin C ∈(0,1]，∴|a|∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，233.答案：⎝⎛⎦⎥⎤0，23310．(2019·河南豫南豫北联考)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且cos B ＝513.(1)若sin A ＝45，求cos C ；(2)若b ＝4，求AB ―→·BC ―→的最小值．解：(1)在△ABC 中，由cos B ＝513得，sin B ＝1213，∵sin B ＝1213>sin A ，∴B >A ，故A为锐角，∴cos A ＝35，∴cos C ＝－cos(A ＋B )＝－cos A cos B ＋sin A sin B ＝3365.(2)由余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2accos B 得，16＝a 2＋c 2－1013ac ≥2ac －1013ac ＝1613ac ，当且仅当a ＝c 时等号成立，∴ac ≤13，∴AB ―→·BC ―→＝ac cos(π－B )＝－accos B ＝－513ac ≥－5.故AB ―→·BC ―→的最小值为－5.11．(2019·太原模拟)已知向量m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3sin x 3，cos x 3，n ＝⎝⎛⎭⎪⎫cos x 3，cos x3，f (x )＝m·n .(1)求函数f (x )的最小正周期和单调递增区间；(2)若a ，b ，c 分别是△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边，且a ＝2，(2a －b)cos C ＝ccos B ，f (A )＝32，求c.解：(1)∵f (x )＝m·n ＝3sin x 3cos x3＋cos 2x3＝32sin 2x 3＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 2x 3＋1＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 3＋π6＋12，∴函数f (x )的最小正周期为3π，令－π2＋2k π≤2x 3＋π6≤π2＋2k π，k ∈Z ，则－π＋3k π≤x ≤π2＋3k π，k ∈Z ，∴函数f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π＋3k π，π2＋3k π，k ∈Z.(2)∵(2a －b)cos C ＝ccos B,∴2sin A cos C ＝sin B cos C ＋cos B sin C ＝sin(B ＋C )＝sin A ， ∵0<A <π，∴sin A >0，∴cos C ＝12，∴C ＝π3.∵f (A )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2A 3＋π6＋12＝32，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2A 3＋π6＝1， ∴2A 3＋π6＝π2＋2k π，k ∈Z ，∴A ＝π2， ∴c ＝asin C ＝2sin π3＝ 3.[B 级难度题——适情自主选做]1．在等腰三角形AOB 中，若|OA ―→|＝|OB ―→|＝5，且|OA ―→＋OB ―→|≥12|AB ―→|，则OA ―→·OB―→的取值范围为( )A ．[－15,25) B.[－15,15] C ．[0,25)D ．[0,15]解析：选A |OA ―→＋OB ―→|≥12|AB ―→|＝12|OB ―→－OA ―→|，所以|OA ―→＋OB ―→|2≥14|OB ―→－OA―→|2，即(OA ―→＋OB ―→)2≥14(OB ―→－OA ―→)2，所以OA ―→2＋2OA ―→·OB ―→＋OB ―→2≥14(OB ―→2－2OA ―→·OB―→＋OA ―→2)，即52＋2OA ―→·OB ―→＋52≥14(52－2OA ―→·OB ―→＋52)，则OA ―→·OB ―→≥－15.又OA ―→·OB ―→≤|OA ―→||OB ―→|＝5×5＝25，当且仅当OA ―→与OB ―→同向时取等号，因此上式等号不成立，所以OA ―→·OB ―→的取值范围为[－15,25)，故选A.2．已知a ，b ，e 是同一平面内的三个向量，且|e|＝1，a ⊥b ，a ·e ＝2，b ·e ＝1，当|a －b|取得最小值时，a 与e 夹角的正切值为( )A.33B.12 C ．1D ．22解析：选D 根据题意，分别以a ，b 为x 轴，y 轴建立平面直角坐标系，设e 与a 的夹角为θ，θ为锐角，则e 与b 的夹角为π2－θ.∵|e|＝1，a ⊥b ，a ·e ＝2，b ·e ＝1，∴|a |·cosθ＝2，|b |·cos ⎝⎛⎭⎪⎫π2－θ＝|b |·sin θ＝1，∴|a|＝2cos θ，|b|＝1sin θ，∴|a －b|2＝|a|2－2a ·b ＋|b|2＝4cos 2θ＋1sin 2θ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫4cos 2θ＋1sin 2θ(sin 2θ＋cos 2θ)＝5＋4sin 2θcos 2θ＋cos 2θsin 2θ≥5＋24sin 2θcos 2θ·cos 2θsin 2θ＝9，当且仅当2sin 2θ＝cos 2θ，即tan θ＝22时等号成立，此时|a －b|取得最小值3，且a 与e 夹角的正切值为22，故选D. 3．(2019·武汉调研)设A ，B ，C 是半径为1的圆O 上的三点，且OA ―→⊥OB ―→，则(OC ―→－OA ―→)·(OC ―→－OB ―→)的最大值是( )A ．1＋ 2 B.1－ 2 C.2－1D ．1解析：选 A 如图，作出OD ―→，使得OA ―→＋OB ―→＝OD ―→，则(OC ―→－OA ―→)·(OC ―→－OB ―→)＝OC ―→2－OA ―→·OC ―→－OB ―→·OC ―→＋OA ―→·OB ―→＝1－(OA ―→＋OB ―→)·OC ―→＝1－OD ―→·OC ―→，由图可知，当点C 在OD 的反向延长线与圆O 的交点处时，OD ―→·OC ―→取得最小值，最小值为－2，此时(OC ―→－OA ―→)·(OC ―→－OB ―→)取得最大值，最大值为1＋2，故选A.4．(2019·江西吉安月考)已知向量a ＝(cos θ，sin θ)，b ＝(cos φ，sin φ)． (1)若|θ－φ|＝π3，求|a －b|的值；(2)若θ＋φ＝π3，记f (θ)＝a ·b －λ|a ＋b|，θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，当1≤λ≤2时，求f (θ)的最小值．解：(1)∵向量a ＝(cos θ，sin θ)，b ＝(cos φ，sin φ)， ∴a －b ＝(cos θ－cos φ，sin θ－sin φ)， ∴|a －b|2＝(cos θ－cos φ)2＋(sin θ－sin φ)2＝2－2cos(θ－φ)．∵|θ－φ|＝π3，∴θ－φ＝±π3，∴|a －b|2＝2－2cos π3＝2－1＝1，或2－2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝2－1＝1，∴|a －b|＝1.(2)∵θ＋φ＝π3，θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，∴a ·b ＝cos θcos φ＋sin θsin φ＝cos(θ－φ)＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2θ－π3，|a ＋b|＝2＋2cos θ－φ＝2⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π6＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π6， ∴f (θ)＝a ·b －λ|a ＋b| ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2θ－π3－2λcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π6 ＝2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π6－2λcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π6－1. 令t ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π6，则t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1， ∴g (t )＝2t 2－2λt －1＝2⎝⎛⎭⎪⎫t －λ22－λ22－1.又1≤λ≤2，12≤λ2≤1，∴当t ＝λ2时，g (t )有最小值－λ22－1，∴f (θ)的最小值为－λ22－1.。

2020版高考数学一轮总复习检测：5.2 平面向量的数量积及其应用 Word版含解析

5.2 平面向量的数量积及其应用挖命题【考情探究】分析解读 1.向量的数量积是高考命题的热点,主要有以下几个方面:(1)平面向量的运算、化简、证明及其几何意义;(2)平面向量垂直的充要条件及其应用;(3)平面向量的综合应用,向量的坐标是代数与几何联系的桥梁,它融数、形于一体,具有代数形式和几何形式的双重身份,是中学数学知识的重要交汇点,常与平面几何、解析几何、三角函数等内容交叉渗透.2.预计2020年高考试题中,向量的数量积仍是高考的热点,应高度重视.破考点【考点集训】考点一平面向量的数量积1.(2018浙江温州二模(3月),9)已知向量a,b满足|a|=1,且对任意实数x,y,|a-x b|的最小值为,|b-y a|的最小值为,则|a+b|=( )A. B.C.或D.或答案C2.(2017浙江名校(杭州二中)交流卷三)已知向量a=(cos2A,-sin2A),b=,其中A为△ABC的最小内角,且a·b=-,则角A等于 ( )A.B.C.D.或答案C考点二向量的综合应用1.(2018浙江名校协作体期初,12)在△ABC中,AB=3,BC=,AC=2,且O是△ABC的外心,则·=,·=.答案2;-2.(2018浙江绍兴高三3月适应性模拟,16)已知正三角形ABC的边长为4,O是平面ABC上的动点,且∠AOB=,则·的最大值为.答案炼技法【方法集训】方法1 利用数量积求长度和夹角的方法1.(2017浙江镇海中学模拟卷三,13)已知向量a,b满足|a-b|=1且|a|=2|b|,则a·b的最小值为,此时a与b的夹角是. 答案-;π2.(2018浙江“七彩阳光”联盟期初联考,16)若向量a,b满足a2+a·b+b2=1,则|a+b|的最大值为.答案方法2 利用向量解决几何问题的方法1.(2018浙江新高考调研卷二(镇海中学),9)已知点P在边长为2的正方形ABCD的边上,点M在以P为圆心,1为半径的圆上运动,则·的最大值是( )A.2B.1+C.1+2D.2+2答案C2.(2018浙江杭州二中期中,16)在半径为1的扇形AOB中,∠AOB=60°,C为弧AB上的动点,AB与OC交于点P,则·的最小值是.答案-过专题【五年高考】A组自主命题·浙江卷题组考点一平面向量的数量积1.(2017浙江,10,4分)如图,已知平面四边形ABCD,AB⊥BC,AB=BC=AD=2,CD=3,AC与BD交于点O.记I1=·,I2=·,I3=·,则( )A.I1<I2<I3B.I1<I3<I2C.I3<I1<I2D.I2<I1<I3答案C2.(2014浙江,8,5分)记max{x,y}=min{x,y}=设a,b为平面向量,则( )A.min{|a+b|,|a-b|}≤min{|a|,|b|}B.min{|a+b|,|a-b|}≥min{|a|,|b|}C.max{|a+b|2,|a-b|2}≤|a|2+|b|2D.max{|a+b|2,|a-b|2}≥|a|2+|b|2答案D3.(2016浙江文,15,4分)已知平面向量a,b,|a|=1,|b|=2,a·b=1.若e为平面单位向量,则|a·e|+|b·e|的最大值是.答案4.(2015浙江文,13,4分)已知e1,e2是平面单位向量,且e1·e2=,若平面向量b满足b·e1=b·e2=1,则|b|=.答案考点二向量的综合应用1.(2018浙江,9,4分)已知a,b,e是平面向量,e是单位向量.若非零向量a与e的夹角为,向量b满足b2-4e·b+3=0,则|a-b|的最小值是( )A.-1B.+1C.2D.2-答案A2.(2017浙江,15,6分)已知向量a,b满足|a|=1,|b|=2,则|a+b|+|a-b|的最小值是,最大值是.答案4;23.(2016浙江,15,4分)已知向量a,b,|a|=1,|b|=2.若对任意单位向量e,均有|a·e|+|b·e|≤,则a·b的最大值是. 答案B组统一命题、省(区、市)卷题组考点一平面向量的数量积1.(2018课标全国Ⅱ理,4,5分)已知向量a,b满足|a|=1,a·b=-1,则a·(2a-b)=( )A.4B.3C.2D.0答案B2.(2017课标全国Ⅱ,12,5分)已知△ABC是边长为2的等边三角形,P为平面ABC内一点,则·(+)的最小值是( )A.-2B.-C.-D.-1答案B3.(2016课标全国Ⅱ,3,5分)已知向量a=(1,m),b=(3,-2),且(a+b)⊥b,则m=( )A.-8B.-6C.6D.8答案D4.(2018北京文,9,5分)设向量a=(1,0),b=(-1,m).若a⊥(m a-b),则m=.答案-15.(2017课标全国Ⅰ理,13,5分)已知向量a,b的夹角为60°,|a|=2,|b|=1,则|a+2b|=.答案26.(2015广东,16,12分)在平面直角坐标系xOy中,已知向量m=,n=(sinx,cosx),x∈.(1)若m⊥n,求tanx的值;(2)若m与n的夹角为,求x的值.解析(1)因为m⊥n,所以m·n=sinx-cosx=0.即sinx=cosx,又x∈,所以tanx==1.(2)易求得|m|=1,|n|==1.因为m与n的夹角为,所以cos==,则sinx-cosx=sin=.又因为x∈,所以x-∈.所以x-=,解得x=.考点二向量的综合应用1.(2018北京理,6,5分)设a,b均为单位向量,则“|a-3b|=|3a+b|”是“a⊥b”的( )A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件答案C2.(2018天津文,8,5分)在如图的平面图形中,已知OM=1,ON=2,∠MON=120°,=2,=2,则·的值为( )A.-15B.-9C.-6D.0答案C3.(2018天津理,8,5分)如图,在平面四边形ABCD中,AB⊥BC,AD⊥CD,∠BAD=120°,AB=AD=1.若点E为边CD上的动点,则·的最小值为( )A. B.C. D.3答案A4.(2016四川,10,5分)在平面内,定点A,B,C,D满足||=||=||,·=·=·=-2,动点P,M满足||=1,=,则||2的最大值是( )A. B.C. D.答案B5.(2017江苏,12,5分)如图,在同一个平面内,向量,,的模分别为1,1,,与的夹角为α,且tanα=7,与的夹角为45°.若=m+n(m,n∈R),则m+n=.答案 36.(2014江西,14,5分)已知单位向量e1与e2的夹角为α,且cosα=,向量a=3e1-2e2与b=3e1-e2的夹角为β,则cosβ=.答案C组教师专用题组考点一平面向量的数量积1.(2016北京,4,5分)设a,b是向量,则“|a|=|b|”是“|a+b|=|a-b|”的( )A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件答案D2.(2016天津,7,5分)已知△ABC是边长为1的等边三角形,点D,E分别是边AB,BC的中点,连接DE并延长到点F,使得DE=2EF,则·的值为( )A.-B.C.D.答案B3.(2016山东,8,5分)已知非零向量m,n满足4|m|=3|n|,cos<m,n>=.若n⊥(t m+n),则实数t的值为( )A.4B.-4C.D.-答案B4.(2015福建,9,5分)已知⊥,||=,||=t.若点P是△ABC所在平面内的一点,且=+,则·的最大值等于( )A.13B.15C.19D.21答案A5.(2015山东,4,5分)已知菱形ABCD的边长为a,∠ABC=60°,则·=( )A.-a2B.-a2C.a2D.a2答案D6.(2015安徽,8,5分)△ABC是边长为2的等边三角形,已知向量a,b满足=2a,=2a+b,则下列结论正确的是( )A.|b|=1B.a⊥bC.a·b=1D.(4a+b)⊥答案D7.(2015重庆,6,5分)若非零向量a,b满足|a|=|b|,且(a-b)⊥(3a+2b),则a与b的夹角为( )A.B.C. D.π答案A8.(2014大纲全国,4,5分)若向量a、b满足:|a|=1,(a+b)⊥a,(2a+b)⊥b,则|b|=( )A.2B.C.1D.答案B9.(2014四川,7,5分)平面向量a=(1,2),b=(4,2),c=m a+b(m∈R),且c与a的夹角等于c与b的夹角,则m=( )A.-2B.-1C.1D.2答案D10.(2014天津,8,5分)已知菱形ABCD的边长为2,∠BAD=120°,点E,F分别在边BC,DC上,BE=λBC,DF=μDC.若·=1,·=-,则λ+μ=( )A.B.C.D.答案C11.(2014课标Ⅱ,3,5分)设向量a,b满足|a+b|=,|a-b|=,则a·b=( )A.1B.2C.3D.5答案A12.(2017课标全国Ⅲ文,13,5分)已知向量a=(-2,3),b=(3,m),且a⊥b,则m=.答案 213.(2017北京文,12,5分)已知点P在圆x2+y2=1上,点A的坐标为(-2,0),O为原点,则·的最大值为.答案 614.(2017山东理,12,5分)已知e1,e2是互相垂直的单位向量.若e1-e2与e1+λe2的夹角为60°,则实数λ的值是.答案15.(2016课标全国Ⅰ,13,5分)设向量a=(m,1),b=(1,2),且|a+b|2=|a|2+|b|2,则m=.答案-216.(2016江苏,13,5分)如图,在△ABC中,D是BC的中点,E,F是AD上的两个三等分点,·=4,·=-1,则·的值是.答案17.(2015湖北,11,5分)已知向量⊥,||=3,则·=.答案918.(2015天津,14,5分)在等腰梯形ABCD中,已知AB∥DC,AB=2,BC=1,∠ABC=60°.动点E和F分别在线段BC和DC上,且=λ,=,则·的最小值为.答案19.(2014江苏,12,5分)如图,在平行四边形ABCD中,已知AB=8,AD=5,=3,·=2,则·的值是.答案2220.(2014安徽,15,5分)已知两个不相等的非零向量a,b,两组向量x1,x2,x3,x4,x5和y1,y2,y3,y4,y5均由2个a和3个b排列而成.记S=x1·y1+x2·y2+x3·y3+x4·y4+x5·y5,S min表示S所有可能取值中的最小值.则下列命题正确的是(写出所有正确命题的编号).①S有5个不同的值;②若a⊥b,则S min与|a|无关;③若a∥b,则S min与|b|无关;④若|b|>4|a|,则S min>0;⑤若|b|=2|a|,S min=8|a|2,则a与b的夹角为.答案②④考点二向量的综合应用1.(2016课标全国Ⅲ,3,5分)已知向量=,=,则∠ABC=( )A.30°B.45°C.60°D.120°答案A2.(2015湖南,8,5分)已知点A,B,C在圆x2+y2=1上运动,且AB⊥BC.若点P的坐标为(2,0),则|++|的最大值为( )A.6B.7C.8D.9答案B3.(2017课标全国Ⅰ文,13,5分)已知向量a=(-1,2),b=(m,1).若向量a+b与a垂直,则m=.答案74.(2015江苏,14,5分)设向量a k=cos,sin+cos(k=0,1,2,…,12),则(a k·a k+1)的值为.答案9【三年模拟】一、选择题(每小题4分,共24分)1.(2019届浙江温州普通高中适应性测试,9)已知向量a,b满足|a|=2,a2+2a·b+2b2=8,则a·b的取值范围是( )A.[2-2,2+2]B.[-2-2,2-2]C.[-1,+1]D.[--1,-1]答案B2.(2019届衢州、湖州、丽水三地教学质量检测,8)如图,△OA1B1,△A1A2B2,△A2A3B3是边长相等的等边三角形,且O,A1,A2,A3四点共线.若点P1,P2,P3分别是边A1B1,A2B2,A3B3上的动点(不含端点),记I1=·,I2=·,I3=·,则( )A.I1>I2>I3B.I2>I3>I1C.I2>I1>I3D.I3>I1>I2答案B3.(2018浙江嵊州第一学期期末质检,10)如图,已知矩形ABCD中,AB=3,BC=2,该矩形所在的平面内一点P满足||=1,记I1=·,I2=·,I3=·,则( )A.存在点P,使得I1=I2B.存在点P,使得I1=I3C.对任意的点P,有I2>I1D.对任意的点P,有I3>I1答案C4.(2018浙江台州第一学期期末质检,9)已知m,n是两个非零向量,且|m|=1,|m+2n|=3,则|m+n|+|n|的最大值为( )A. B. C.4D.5答案B5.(2018浙江台州第一次调考(4月),9)已知单位向量e1,e2,且e1·e2=-,若向量a满足(a-e1)·(a-e2)=,则|a|的取值范围为( )A. B.C. D.答案B6.(2018浙江杭州第二次教学质量检测(4月),9)记 M 的最大值和最小值分别为 M max和 M min.若平面向量a,b,c满足|a|=|b|=a·b=c·(a+2b-2c)=2,则( )A.|a-c|max=B.|a+c|max=C.|a-c|min=D.|a+c|min=答案A二、填空题(单空题4分,多空题6分,共16分)7.(2019届浙江名校新高考研究联盟第一次联考,16)已知向量a,b满足|a|=2|b|,|a-b|=2,则a·b的取值范围为.答案8.(2019届台州中学第一次模拟,14)已知向量a,b满足|a|=2,|b|=1,a,b的夹角为,则a与a-2b的夹角为.答案9.(2019届镇海中学期中,15)已知两个不共线的非零向量a,b满足|a|=2,|a-b|=1,则向量a,b的夹角的最大值是.答案30°10.(2018浙江金华十校第一学期期末调研,17)已知平面向量a,b,c满足|a|≤1,|b|≤1,|2c-(a+b)|≤|a-b|,则|c|的最大值为.答案。

2020年高考数学一轮复习第四章平面向量第3讲平面向量的数量积课件理

答案：2 3
(2)(2017 年浙江)已知向量 a，b 满足|a|＝1，|b|＝2，则|a＋b| ＋|a－b|的最小值是________，最大值是________；
解析：设向量 a，b 的夹角为 θ，
a＋b＝ a2＋2a·b＋b2＝ 5＋4cos θ，
a－b＝ a2－2a·b＋b2＝ 5－4cos θ，
1.(2017 年新课标Ⅲ)已知向量 a＝(－2,3)，b＝(3，m)，且
a⊥b，则 m＝___2____.
2.(2018 年北京)设向量 a＝(1,0)，b＝(－1，m)，若 a⊥(ma
－b)，则 m＝___－__1___.
3.(2016 年新课标Ⅱ)已知向量 a＝(1，m)，b＝(3，－2)，且
(2)求向量模的最值(范围)的方法：①代数法，把所求的模表示成某个变量的函数，再用求最值的方法求解；②几何法(数形结合法)，弄清所求的模表示的几何意义，结合动点表示的图形求解.
考点 4 平面向量的投影例 4：(1)已知点 A(－1,1)，B(1,2)，C(－2，－1)，D(3,4)，
则向量A→B在C→D方向上的投影为( )
答案：A
【规律方法】(1)平面向量 a 与 b 的数量积为 a·b＝abcos θ，其中 θ 是 a 与 b 的夹角，要注意夹角的定义和它的取值范围： 0°≤θ≤180°；(2)由向量的数量积的性质有|a|＝ a·a，cos θ＝ aa·bb，a·b＝0⇔a⊥b，因此，利用平面向量的数量积可以解决与长度、角度、垂直等有关的问题.
3sin
x 4cos
4x＋cos24x
＝
3 2 sin
2x＋cos
22x＋1＝
3 2 sin
2x＋12cos

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课时跟踪检测（三十）系统知识——平面向量的数量积1．(2019·长沙雅礼中学月考)已知平面向量a ，b 满足b ·(a ＋b)＝3，且|a|＝1，|b|＝2，则|a ＋b|＝( )A. 3B. 5C.7D ．2 2解析：选A 因为|a|＝1，|b|＝2，b ·(a ＋b)＝3，所以a ·b ＝3－b 2＝－1，所以|a ＋b|2＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝1－2＋4＝3，所以|a ＋b|＝3，故选A.2．已知△ABC 是边长为1的等边三角形，则(AB ―→－2BC ―→)·(3BC ―→＋4CA ―→)＝( ) A ．－132B.－112C ．－6－32D ．－6＋32解析：选 B (AB ―→－2BC ―→)·(3BC ―→＋4CA ―→)＝3AB ―→·BC ―→－6BC ―→2＋4AB ―→·CA ―→－8BC ―→·CA ―→＝3|AB ―→|·|BC ―→|·cos 120°－6|BC ―→|2＋4|AB ―→|·|CA ―→|cos 120°－8|BC ―→|·|CA ―→|·cos 120°＝3×1×1×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12－6×12＋4×1×1×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12－8×1×1×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－32－6－2＋4＝－112，故选B.3．(2019·昆明适应性检测)已知非零向量a ，b 满足a ·b ＝0，|a|＝3，且a 与a ＋b 的夹角为π4，则|b|＝( )A ．6 B.3 2 C ．2 2D ．3解析：选D 因为a ·(a ＋b)＝a 2＋a ·b ＝|a||a ＋b |·cos π4，所以|a ＋b|＝32，将|a ＋b|＝32两边平方可得，a 2＋2a ·b ＋b 2＝18，解得|b|＝3，故选D.4．(2018·永州二模)已知非零向量a ，b 的夹角为60°，且|b|＝1，|2a －b|＝1，则|a|＝( )A.12B.1C. 2D ．2解析：选A ∵非零向量a ，b 的夹角为60°，且|b|＝1，∴a ·b ＝|a |×1×12＝|a |2.∵|2a －b|＝1，∴|2a －b|2＝4a 2－4a ·b ＋b 2＝4|a|2－2|a|＋1＝1，∴4|a|2－2|a|＝0，∴|a|＝12或|a|＝0(舍)，故选A.5．(2019·北京四中期中)已知向量a ＝(3,1)，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，12，则下列向量与a ＋2b 垂直的是( )A ．c ＝(－1,2) B.c ＝(2，－1) C ．c ＝(4,2)D ．c ＝(－4,2)解析：选C ∵向量a ＝(3,1)，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，12，∴a ＋2b ＝(3,1)＋(－4,1)＝(－1,2)，∵(－1,2)·(－1,2)＝1＋4＝5，(－1,2)·(2，－1)＝－2－2＝－4，(－1,2)·(4,2)＝－4＋4＝0，(－1,2)·(－4,2)＝4＋4＝8，∴向量c ＝(4,2)与a ＋2b 垂直，故选C.6．(2019·漯河高级中学模拟)已知向量a ＝(－2，m )，b ＝(1,2)，若向量a 在向量b 方向上的投影为2，则实数m ＝( )A ．－4 B.－6 C ．4D ．5＋1解析：选D 由题意可得a ·b ＝－2＋2m ，且|b|＝12＋22＝5，则向量a 在向量b 方向上的投影为a·b |b|＝－2＋2m5＝2，解得m ＝5＋1.故选D. 7．(2018·茂名二模)已知a ＝(2sin 13°，2sin 77°)，|a －b|＝1，a 与a －b 的夹角为π3，则a ·b ＝( ) A ．2 B.3 C ．4D ．5解析：选B ∵a ＝(2sin 13°，2sin 77°)＝(2sin 13°，2cos 13°)，∴|a|＝2.又∵|a －b|＝1，a 与a －b 的夹角为π3，∴a ·(a －b)＝|a||a －b |·cos π3，∴a 2－a ·b ＝2×1×12＝1，∴a ·b ＝3.故选B.8．(2019·鞍山一中一检)已知向量a ＝(2，－1)，b ＝(－1，2)，则(2a ＋b )·a ＝( ) A ．6 B.5 C ．1D ．－6解析：选A ∵向量a ＝(2，－1)，b ＝(－1,2)，∴2a ＋b ＝(3,0)，则(2a ＋b )·a ＝6.故选A.9．(2019·南充一诊)已知向量a ，b 是互相垂直的单位向量，且c ·a ＝c ·b ＝－1，则(3a －b ＋5c )·b ＝( )A ．－1B.1C ．6D ．－6解析：选D 因为向量a ，b 是互相垂直的单位向量，且c ·a ＝c ·b ＝－1，所以(3a －b ＋5c )·b ＝0－b 2＋5c ·b ＝－1＋5×(－1)＝－6.故选D.10．(2019·闽侯第六中学期末)已知AB ―→＝(cos 23°，cos 67°)，BC ―→＝(2cos 68°，2cos 22°)，则△ABC 的面积为( )A ．2 B. 2 C ．1D ．22解析：选D 根据题意，AB ―→＝(cos 23°，cos 67°)，∴BA ―→＝－(cos 23°，sin 23°)，则|BA ―→|＝1.又∵BC ―→＝(2cos 68°，2cos 22°)＝2(cos 68°，sin 68°)，∴|BC ―→|＝2.∴BA ―→·BC ―→＝－2(cos 23°cos 68°＋sin 23°sin 68°)＝－2×cos 45°＝－2，∴cos B ＝BA ―→·BC ―→|BA ―→||BC ―→|＝－22，则B ＝135°，则S △ABC ＝12|BA ―→||BC ―→|sin B ＝12×1×2×22＝22，故选D. 11．(2019·四川广安、眉山第一次诊断性考试)已知△ABC 是边长为1的等边三角形，点D 在边BC 上，且BD ＝2DC ，则AB ―→·AD ―→的值为( )A ．1－33B.23C.43D ．1＋33解析：选B ∵△ABC 是边长为1的等边三角形，且BD ＝2DC ，∴BD ―→＝23BC ―→，∴AB ―→·AD―→＝AB ―→·(AB ―→＋BD ―→)＝AB ―→2＋23AB ―→·BC ―→＝1＋23×1×1×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝23，故选B.12．(2019·福建基地校质量检测)已知非零向量AB ―→与AC ―→满足⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫AB ―→|AB ―→|＋AC ―→|AC ―→|·BC―→＝0，且AB―→|AB ―→|·AC ―→|AC ―→|＝12，则△ABC 为( )A ．三边均不相等的三角形 B.直角三角形 C ．等腰非等边三角形D ．等边三角形解析：选D 由⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫AB ―→|AB ―→|＋AC ―→|AC ―→|·BC ―→＝0，得BC 垂直于角A 的平分线，则△ABC 为等腰三角形，AB ，AC 为腰．由AB―→|AB ―→|·AC ―→|AC ―→|＝12，得A ＝60°.所以△ABC 为等边三角形，故选D.13．设平面向量a ＝(3,5)，b ＝(－2,1)，则|a ＋2b|＝________. 解析：∵|a ＋2b|2＝(－1)2＋72＝50，∴|a ＋2b|＝5 2. 答案：5 214．(2019·山东师大附中一模)已知两个单位向量a ，b 满足|a ＋2b|＝3，则a ，b 的夹角为________．解析：因为|a ＋2b|＝3，所以|a ＋2b|2＝a 2＋4a ·b ＋4b 2＝(3)2.又a ，b 是两个单位向量，所以|a|＝1，|b|＝1，所以a ·b ＝－12.因为a ·b ＝|a |·|b |cos a ，b ，所以cos a ，b ＝－12，则a ，b 的夹角为2π3.答案：2π315．(2019·云南师范大学附属中学月考)在边长为23的等边三角形ABC 中，点O 为△ABC 外接圆的圆心，则OA ―→·(OB ―→＋OC ―→)＝________.解析：如图，O 是正三角形ABC 外接圆的圆心(半径为2)，则O 也是正三角形ABC 的重心．设AO 的延长线交BC 于点D ，则OB ―→＋OC ―→＝2OD ―→＝－OA ―→，∴OA ―→·(OB ―→＋OC ―→)＝－OA ―→2＝－4.答案：－416．已知向量AB ―→＝(m,1)，BC ―→＝(2－m ，－4)，若AB ―→·AC ―→>11，则m 的取值范围为________．解析：由向量AB ―→＝(m,1)，BC ―→＝(2－m ，－4)，得AC ―→＝AB ―→＋BC ―→＝(2，－3)．又因为AB ―→·AC ―→>11，所以2m －3>11，解得m >7.答案：(7，＋∞)。