线代模拟题(I)
线性代数模拟试题
线性代数模拟试题1. 矩阵A的转置已知矩阵 A = [1 2 3; 4 5 6; 7 8 9]，求其转置矩阵 AT。
解答：设矩阵 B 为 A 的转置矩阵，即 B = AT。
则矩阵 B 的第 i 行第 j 列元素等于矩阵 A 的第 j 行第 i 列元素，即 Bij = Aji。
根据以上规律，可以得到矩阵 A 的转置矩阵 B = [1 4 7; 2 5 8; 3 6 9]。
2. 矩阵相乘已知矩阵 A = [1 2; 3 4]，矩阵 B = [5 6; 7 8]，求矩阵 A 乘以矩阵 B的结果 AB。
解答：设矩阵 C 为 A 乘以 B 的结果，即 C = AB。
矩阵 C 的第 i 行第 j 列元素等于矩阵 A 的第 i 行与矩阵 B 的第 j 列的对应元素相乘再相加，即Cij = ∑(Aik * Bkj) (k=1 to n)。
根据以上规律，可以得到矩阵 A 乘以矩阵 B 的结果 C = [19 22; 43 50]。
3. 矩阵的逆已知矩阵 A = [2 -1; 4 3]，求其逆矩阵 A-1。
解答：逆矩阵 A-1 的定义为 A * A-1 = I，其中 I 为单位矩阵。
设矩阵 B 为A 的逆矩阵，即 B = A-1。
可以通过求解线性方程组的方式来求解矩阵A 的逆矩阵。
首先，构造增广矩阵 [A I]，其中 I 为 2 阶单位矩阵。
经过初等行变换，将矩阵 A 转化为单位矩阵的形式，此时 [I B] 的形式就是矩阵 A的逆矩阵。
经过计算，可以得到矩阵 A 的逆矩阵 B = [3 1; -4 2]。
4. 矩阵的特征值和特征向量已知矩阵 A = [3 -2; 1 4]，求其特征值和对应的特征向量。
解答：特征值λ 是矩阵 A 满足方程 |A - λI| = 0 的根，其中 I 为单位矩阵。
特征向量 v 是非零向量 x 满足方程 (A - λI)x = 0。
首先，计算矩阵 A - λI 的行列式，即 |A - λI|。
大一线代试题及答案
大一线代试题及答案一、选择题（每题2分，共10分）1. 线性代数中，向量空间的维数是指：A. 向量空间中的向量个数B. 向量空间中的基的个数C. 向量空间中任意向量的分量数D. 向量空间中最大的线性无关向量组的向量个数答案：D2. 对于任意的矩阵A，行列式|A|等于：A. 矩阵A的迹B. 矩阵A的秩C. 矩阵A的逆的负数D. 矩阵A的主对角元素的乘积答案：A3. 如果一个矩阵A可逆，那么下列哪个选项是正确的？A. |A| = 0B. A的秩小于A的阶数C. A的行列式不为零D. A的转置矩阵不可逆答案：C4. 对于n维向量空间中的任意两个向量，它们：A. 一定线性相关B. 一定线性无关C. 可以线性相关也可以线性无关D. 以上都不对答案：C5. 矩阵的特征值是：A. 矩阵的对角线元素B. 矩阵的迹C. 满足方程Ax = λx的非零向量x对应的λD. 矩阵的行列式的值答案：C二、填空题（每题3分，共15分）6. 向量组α1, α2, ..., αk的秩为r，那么这组向量的极大无关组中包含的向量个数为________。
答案：r个7. 设A是一个m×n矩阵，B是一个n×m矩阵，若AB=I（单位矩阵），则称矩阵B为矩阵A的________。
答案：左逆矩阵8. 若向量β1, β2, ..., βs能由向量组α1, α2, ..., αt线性表示，且向量组α1, α2, ..., αt也能由向量组β1, β2, ...,βs线性表示，则称向量组α1, α2,..., αt和向量组β1,β2, ..., βs________。
答案：等价9. 设矩阵A的特征多项式为f(λ)=λ^2 - aλ + b，那么矩阵A的迹为________。
答案：a10. 对于任意的n阶方阵A，|A^T| = |A|________。
答案：相等三、解答题（共75分）11. （15分）已知矩阵A和B满足AB=BA，证明(A+B)^2 = A^2 + B^2 + 2AB。
线性代数模拟题1含答案
（A）若 m n ，则 Ax b 有无穷多解；
（B）若 m n ，则 Ax 0 有非零解，且基础解系含有 n m 个线性无关解；
（C）若 A 有 n 阶子式不为零，则 Ax b 有唯一解；
模一第 1 页 共 2 页
（D）若 A 有 n 阶子式不为零，则 Ax 0 仅有零解.
5．若 n 阶矩阵 A，B 有共同的特征值，且各有 n 个线性无关的特征向量，则（ ）.
.
二、单项选择题（每小题 3 分，共 15 分）
1．下列矩阵中，（
）不是初等矩阵.
0 0 1
1 0 0
1 0 0
1 0 0
（A） 0 1 0 （B） 0 1 2 （C） 0 2 0 （D） 0 0 0
1 0 0
0 0 1
0 0 1
0 1 0
2．设向量组1,2 ,3 线性无关，则下列向量组中线性无关的是（ ）.
5.(11 分) 设二次型 f (x1, x2 , x3 ) 5x12 5x22 3x32 2x1x2 6x1x3 6x2 x3 ，
（1）写出 f 对应的对称矩阵 A ；（2）求一个正交变换，化二次型为标准型.
四、证明题(13 分)
1.(6 分)向量组 A :1＝(0,1,1)T, 2＝(1,1, 0)T; 向量组 B : 1＝(1, 0,1)T ,
（2） A E 1 5 3 4 5 3 3 3 5 0 3 3
= (-4)(-9) ….. ……. ….. ……. ……. ……. ….. ……. ……. ……...(3 分)
3. n 元齐次线性方程组 Ax 0 有非零解的充要条件是______ .
4.设 B 可逆，矩阵 C 的秩 R C 3 , A BC ，则矩阵 A 的秩 R A
线性代数模拟考试题（4套）
线性代数模拟考试题（4套）模拟试题⼀⼀、判断题：（正确：√，错误：×）（每⼩题2分，共10分）1、若B A ,为n 阶⽅阵，则 B A B A +=+. ……………………( )2、可逆⽅阵A 的转置矩阵T A 必可逆. ……………………………( )3、n 元⾮齐次线性⽅程组b Ax =有解的充分必要条件n A R =)(.…( )4、A 为正交矩阵的充分必要条件1-=A A T .…………………………( )5、设A 是n 阶⽅阵，且0=A ，则矩阵A 中必有⼀列向量是其余列向量的线性组合.…………………………………………………………( ) ⼆、填空题：(每空2分，共20分)1、,A B 为 3 阶⽅阵，如果 ||3,||2A B ==，那么 1|2|AB -= .2、⾏列式中元素ij a 的余⼦式和代数余⼦式,ij ij M A 的关系是 .3、在5阶⾏列式中，项5541243213a a a a a 所带的正负号是 .4、已知()??-==256,102B A 则=AB .5、若?--=1225A ，则=-1A . 6、设矩阵--2100013011080101是4元⾮齐次线性⽅程组b Ax =的增⼴矩阵,则b Ax =的通解为 .7、()B A R + ()()B R A R +.8、若*A 是A 的伴随矩阵，则=*AA .9、设=A-500210111t ，则当t 时，A 的⾏向量组线性⽆关.10、⽅阵A 的特征值为λ，⽅阵E A A B 342+-=，则B 的特征值为 . 三、计算：(每⼩题8分，共16分) 1、已知4阶⾏列式1611221212112401---=D ，求4131211132A A A A +-+.2、设矩阵A 和B 满⾜B A E AB +=+2，其中=101020101A ，求矩阵B .四、(10分) 求齐次线性⽅程组=++-=-++=--+-=++-0242205230204321432143214321x x x x x x x x x x x x x x x x 的基础解系和它的通解.五、(10分) 设三元⾮齐次线性⽅程组b Ax =的增⼴矩阵为+-+----22)1)(1()2)(1(00)1(11011λλλλλλλλλλ，讨论当λ取何值时，b Ax =⽆解，有唯⼀解和有⽆穷多解，并在⽆穷多解时求出通解.六、(10分) 判断向量组---=? --=? =? -=1622,4647,3221,1123:4321a a a a A 的线性相关性，如果线性相关，求⼀个最⼤⽆关组，并⽤它表⽰其余向量. 七、综合计算：（本题14分）已知⼆次型31232221321422),,(x x x x x x x x f --+= （1）求⼆次型所对应的矩阵A ，并写出⼆次型的矩阵表⽰；（2）求A 的特征值与全部特征向量；（3）求正交变换PY X =化⼆次型为标准形, 并写出标准形；（4）判断该⼆次型的正定性。
线性代数模拟试卷及答案
线性代数（文)模拟试卷（一)参考答案一.填空题（每小题3分，共12分)1.设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=333222111c b a c b a c b a A ，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=333222111d b a d b a d b a B ,2=A ，3=B ,则B A -2=1.解 B A -2=3332221113332221113333222211112222d b a d b a d b a c b a c b a c b a d c b a d c b a d c b a -=---=12=-B A 。
2。
已知向量)3,2,1(=α,)31,21,1(=β，设βαT A =，其中T α是α的转置,则n A =A n 13-.解 注意到3321)31,21,1(=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=T βα，故n A =βαβαβαβαT n T T T 个)())((=ββαβαβααβαTn T T T T 个)1()())((-=A n T n 1133--=βα。
注 若先写出A ,再求2A ，…,n A 将花比前更多的时间.3。
若向量组T )1,0,1(1-=α，T k )0,3,(2=α,T k ),4,1(3-=α线性相关,则k =3-。
解 由1α,2α,3α线性相关,则有321,,ααα=k k 0143011--=1043011--k k k =04)1(3143=--=-k k k k . 由此解得3-=k .4。
若4阶矩阵A 与B 相似，矩阵A 的特征值为21,31，41，51，则行列式E B --1 =24。
解 因为A 与B 相似，所以A ,B 有相似的特征值,从而E B --1有特征值1,2，3，4。
故2443211=⋅⋅⋅=--E B 。
注 本题解答中要用到以下结论：（1）若A 可逆,A 的特征值为λ，则1-A 的特征值为λ1。
（2)若λ是A 的特征值，则)(A f 的特征值为)(λf ，其中)(x f 为任意关于x 的多项式。
线代习题一答案(周勇朱砾版,新版)
1 按第3列展开 (−1) 2+3 ×1× d
ab+1 d
a
d
-cd -1
=abcd+ab+ad
a-b-c 2a
（5） 0
2a
a+b+c a+b+c b-a-c 2c 1 2c 1 1 -a-b-c 0
a+b+c 2b c-a-b
-a-b-c
0 r1 +r2 +r3 2b
r1 / (a +b+c)
（ a+b+c ）
按第一列展开
-1 x n+1 （-1）（ x n +a1 x n-1 +...+an-1 x +an） ... 0
0 ... 0 0 -1 ... 0 0 ... ... ... 0 ... x -1
n+1 n-1 × = （-1） （-1）（ x n +a1 x n-1 +...+an-1 x +an）
4 1 10 0
1
2 0 5 2 1
-7 2 -4 2 r1 -4r2 1 2 0 2 r +7r 按第一列展开 - -15 2 20 1 3 0 r3 +10r2 0 -15 2 -20 r2 +15r3 1 1 7 1 7 0 1 1 7
2
4
0 -7
2
-4
0 9 - 0 17 1
(-1)=-3
-ab ac ae (3) bd - cd de bf cf - ef
r1 / a r2 / d r3 / f
0 2e 2c 0
=4abcdef
线性代数练习题及答案10套
1 0 1 14．设矩阵 A= 0 2 0 ，矩阵 B A E ，则矩阵 B 的秩 r(B)= __2__． 0 0 1 0 0 1 B A E = 0 1 0 ，r(B)=2． 0 0 0
15．向量空间 V={x=(x1,x2,0)|x1,x2 为实数}的维数为__2__． 16．设向量 (1,2,3) ， (3,2,1) ，则向量 ， 的内积 ( , ) =__10__． 17．设 A 是 4×3 矩阵，若齐次线性方程组 Ax=0 只有零解，则矩阵 A 的秩 r(A)= __3__． 18 ． 已 知 某 个 3 元 非 齐 次 线 性 方 程 组 Ax=b 的 增 广 矩 阵 A 经 初 等 行 变 换 化 为 ：
三、计算题（本大题共 6 小题，每小题 9 分，共 54 分）
Ibugua
交大打造不挂女神的领跑者
123 23 3 21．计算 3 阶行列式 249 49 9 ． 367 67 7 123 23 3 100 20 3 解： 249 49 9 200 40 9 0 ． 367 67 7 300 60 7
线代练习题及答案（一）
一、单项选择题（本大题共 10 小题，每小题 2 分，共 20 分）
1．设 A 为 3 阶方阵，且 | A | 2 ，则 | 2 A 1 | （ D A．-4 B．-1 C． 1 ） D．4
| 2 A 1 | 2 3 | A | 1 8
1 4． 2
）
1 2 3 1 2 2． 设矩阵 A= （1， 2） ， B= C= 则下列矩阵运算中有意义的是 （ B 4 5 6 ， 3 4 ，
行成比例值为零．
a1b2 a 2 b2 a 3 b2
南京大学线性代数试题1
线代试题1、______________,,4321=+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=X X A AX A2、_______________________1,001013002501000=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=-A A3、___________________1,001520310=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=-A A4、设,,0||,03I AA A A I T=<=+ 其中 I 为单位矩阵，求 A 的伴随矩阵 A* 的一个特征值。
5、设 A ，B 为同阶可逆方阵，证明**)*(A B AB =; 若A*=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--1001,B*=⎪⎪⎭⎫⎝⎛--0110则 ______________________)*(=AB6、若A 是正定矩阵，求证 A* 也是正定矩阵.7、,43242111⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----=x A ,00020002⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=y B 设A 相似于 B ， 1）求常数 y x ,； 2）求可逆矩阵P ，使得B AP P =-1. 8、已知 ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=122212221A ， ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=k B 00050001， 且A 与 B 相似，则.______=k 9、设⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=10001000021001x A 有特征值 ,3=λ 求实数x 的值，并求可逆矩阵P 和对角矩阵 B 使得B AP P T =.10、向量组 )1,0,2,1(1-=α，)0,3,1,2(2=α，)1,,0,3(3λα=线性无关，则常数λ应满足条件____________.11、若向量321,,ααα线性无关， 求证 2132αα+，324αα+，135αα+ 也线性无关.12、方程组的 ⎪⎩⎪⎨⎧=+=-=-+0005443321x x x x x x x 的一个基础解系为________________________.13、线性方程组 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+=+=+414343232121a x x a x x a x x a x x 有解的充要条件是________________.14、设方程组 ⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++4234321321321x bx x x bx x x x ax 问b a ,为何值时，方程组无解，有唯一解，有无穷多解？在有无穷多解时，求出全部解.15、设实对称矩阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=211121112A ， 求一正交矩阵 P ，使得AP P AP P T =-1为对角矩阵.16、（特征值与实对称矩阵）设m n A ⨯为实矩阵，求证 TAA n A r ⇔=)(为正定矩阵.17、证明：1、相似矩阵有相同的特征根； 2、若实对称矩阵A 和B 相似，则存在正交矩阵P ，使得B AP P =-1.六、设 E E A A E A =++-)2)((2, E 为单位矩阵，求证 E A + 可逆. 七、（10分） 设 n ααα,,,21 是线性相关的n 维列向量组，),,,,(21n A ααα =A是 A 的伴随矩阵，*A 的 (1,1) 元 011≠A ，求线性齐次方程组 0*=X A 的通解.八、（18分） 设 321,,ααα 是线性无关的3维列向量组，A 为3阶矩阵，32112αααα-+=A ，3222ααα+=A ，32332ααα+=A ，1） 若 B A ),,(),,(321321αααααα=，求矩阵 B ； 2） 求 B 的特征值与特征向量； 3）求 A 的特征值； 4）求可逆矩阵 P 和对角阵 D ，使得 D AP P =-1.2010年上半年期末试题： 一、填空题：（1）若12 z 1 0y 13 x =1，则 11 1 7 1 101-z 1-y 1-x = ．（2）设三阶行列式A =) , ,( γβα=3，（其中γβα , ,为三维列向量）． 则 B =) , ,( αγγββα+++= ．（3）设三阶方阵A 的逆矩阵为 1A -=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛ 2 0 0 2- 2 0 2 0 1 ，则 (A *)1－= ．（4）设n 阶方阵A 的各行元素之和为0，且A 的秩为 n -1，则线性方程组Ax=0的通解为．（5）已知三阶矩阵A 的特征值1λ=0，2λ=1，3λ=-1，对应的特征向量分别为321 , ,ξξξ，设矩阵P=（123,,ξξξ）， 则P 1-AP= ．（6）设A=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛- 1 1 3 2 x 2 0 0 2与B=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--2 0 0 0 2 0 0 0 1相似 ． 则x= ．(7) 已知三阶矩阵A 有三个特征值1λ=-2，2λ=1，3λ=2， 又B=3A -32A ．则B 的所有特征值为．（8）设二次型 f(321,,x x x ) =()2332211x a x a x a ++，则此二次型的矩阵是 ．（9）二次型 f(21,x x )=222121cx x bx ax ++ 正定的充要条件是 ．（10）在线性空间 P 2[x] 中，求从基底 1, x -2, (x -2)2 到基底 1, x , x 2 的过渡矩阵．二．(10分)求向量组 1α=(1, 2, -1, -2)T , 2α=(2, 5, -6, -5)T , 3α=(3, 1, 1, 1)T ,4α=(-1, 2, -7, -3)T 的一个极大无关组, 并将其余向量表示成它们的线性组合．三．(10分) 设三阶实对称矩阵A 的秩为2，1λ=2λ=6是A 的二重特征值，若1α=( 1, 1, 0)T , 2α=(2, 1, 1)T , 3α=(-1, 2, -3)T 都是A 的属于特征值6的特征向量．求A 的另一个特征值和对应的特征向量．四. (10分)(1)求一个正交变换，将二次型 f(321,,x x x ) =2(313221x x x x x x ++) 化为标准型． (2)设A 为n 阶实对称矩阵，试证明：存在N>0，对任意 c> N ，A + cE 为正定矩阵五．(10分)设两个线性方程组分别为：(I) ⎩⎨⎧=+-=++0 02431321x x x x x x ； (II) ⎩⎨⎧=-+=-++-0 0623214321x x x x x x x ．（1）分别求这两个线性方程组（I ）和（II ）的解空间S 1, S 2的基和维数；（2）求这两个解空间的交S 1∩S 2与 和S 1+S 2的基与维数．六．(10分) 设数域K=R ，线性变换T 在在基 321,,εεε下的矩阵是A= ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛122212221 ，求T 的特征值和特征向量.七．(10分) 设欧氏空间 P 2[x] 中的内积定义为 (f,g)=⎰-11)()(dx x g x f ,（1）求基 1, x , x 2的度量矩阵A ；（2）利用矩阵A 计算 f(x)=1- x + x 2 与 g(x)= 1-4 x -5x 2的内积．。
线性代数模拟试题及答案(三套)
第一套线性代数模拟试题解答一、填空题(每小题4分，共24分)1、 若12335544i j a a a a a 是五阶行列式中带正号的一项，则,12i j ==。
令1,2i j ==，(12354)(13524)134τπ+=+=，取正号。
2、 若将n 阶行列式D 的每一个元素添上负号得到新行列式D ，则D =(1)n D- 。
即行列式D 的每一行都有一个(-1)的公因子，所以D =(1)n D-。
3、设1101A ⎛⎫=⎪⎝⎭, 则100A =110001⎛⎫ ⎪⎝⎭。
23111112121113,,010*********A A ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==== ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭可得4、设A 为5 阶方阵，5A =，则5A =15n +。
由矩阵的行列式运算法则可知：1555n n A A +==。
5、A 为n 阶方阵,TAA E =且=+<E A A 则,0 0 。
由已知条件：211,1T T TAA E AA A A A E A A =⇒====⇒=±⇒=-， 而 ：0TTA E A AA A E A A A E A E A E +=+=+=+=-+⇒+=。
6、设三阶方阵2000023A x y ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭可逆，则,x y 应满足条件32x y ≠。
可逆，则行列式不等于零：2002(32)032023A x y x y x y ==⨯-≠⇒≠。
二、单项选择题(每小题4分，共24分) 7、设0333231232221131211≠=M a a a a a aa a a ，则行列式=---------232221333231131211222222222a a a a a a a a a A 。
A ．M 8 B ．M 2 C ．M 2- D ．M 8-由于 ()()111213111213111213331323331323321222321222321222331323322222228(1)8222a a a a a a a a a a a a a a a a a a M a a a a a a a a a ------=-=--=---8、设n 阶行列式n D ，则0n D =的必要条件是 D 。
考研数学一数一线代大题汇编
2017（20）(本题满分11分)．设3矩阵123(,,)A ααα=有3个不同的特征值，3122ααα=+ （I ）证明：(A)2r =;（II ）若123βααα=++，求方程组Ax β=的解. （21）（本题满分11分）．设二次型222123123121323(,,)2282f x x x x x ax x x x x x x =-++-+在正交变换Qy x =下的标准形为221122y y λλ+，求a 的值及一个正交矩阵Q 。
2016（20）（本题满分11分）设矩阵1112221,11112A a B a a a --⎛⎫⎛⎫⎪⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭当a 为何值时，方程AX B =无解、有唯一解、有无穷多解？（21）（本题满分11分）已知矩阵011230000A -⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭（I ）求99A（II ）设3阶矩阵23(,,)B ααα=满足2B BA =，记100123(,,)B βββ=将123,,βββ分别表示为123,,ααα的线性组合。
2015(20)(本题满11分) 设向量组1,23,ααα内3R 的一个基，113=2+2k βαα，22=2βα，()313=++1k βαα.（I ）证明向量组1β2β3β为3R 的一个基;（II ）当k 为何值时，存在非0向量ξ在基1,23,ααα与基1β2β3β下的坐标相同，并求所有的ξ. (21)(本题满分11分)设矩阵02313312a -⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪-⎝⎭A 相似于矩阵12000031b -⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭B =. (I) 求,a b 的值；（II ）求可逆矩阵P ，使1-P AP 为对角矩阵.201420)(本题满分11分)设矩阵123401111203A --⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭，E 为三阶单位矩阵. (I)求方程组0Ax =的一个基础解系； (II)求满足AB E =的所有矩阵B . (21)(本题满分11分)证明n 阶矩阵111111111⎛⎫⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭L LM M M ML 与00100200n ⎛⎫⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭LL M M M M L 相似. 2013（20）（本题满分11分） 设101,101a A B b ⎛⎫⎛⎫==⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当,a b 为何值时，存在矩阵C 使得AC CA B -=，并求所有矩阵C 。
线性代数模拟试题及答案
3、
1 1 =__________。 2 2 é 2 3ù é - 1ù ú ê ú =__________。 ë - 1 0û ë 3 û
4、矩阵 ê
5、若 A，B 为 n 阶矩阵，则 ( A + B )( A - B ) =__________。 6.设 A, B 为 3 阶方阵，且 A = 4, B = 2 ，则 2( B* A-1 ) = 7、若 A 是可逆矩阵，则 ( A¢ ) -1 =__________。 .
æ- 2 0 0 ö æ1 0 0 ö ÷ ç ç ÷ A - 3E = ç - 2 2 - 2 ÷ ~ ç 0 1 - 1÷ ç - 2 4 - 4÷ ç0 0 0 ÷ ø è è ø æ0ö ç ÷ ì x 2 - x3 = 0 从而解得基础解系 p1 = ç 1 ÷ 得对应的方程组为 í î x1 = 0 ç1÷ è ø
.
A+ B = A + B
A. 若矩阵 A, B 满足 AB = O ，则有 A = O 或 B = O B. 若矩阵 A, B 满足 AB = E ，则矩阵 A, B 都可逆。 C. 若 A* 是 n 阶矩阵 A 的伴随矩阵，则 A* = A D. 若 A ¹ O ，则 A ¹ 0
7．下列说法不正确的是（ ） 。
æ1 ç 0 8.设矩阵 A = ç ç0 ç ç0 è
2 0 0ö ÷ 1 0 0÷ -1 ，则 A = ÷ 0 3 3 ÷ 0 2 1÷ ø
.
9 、 在 线性方程组 AX = O 中，若 末知 量的个数 n=5 ， r ( A) = 3 ，则方程组的一 般 解中 自由末知 量的个数为 _________。 10. 设向量组 a1 , a 2 , a3 线性无关，则向量组 a1 , a1 + a 2 , a1 + a2 + a3 （填线性相关，线性无关） 。
线性代数全真模拟试卷
线性代数全真模拟试卷第一题 选择题1、已知行列式22221111b a b a b a b a -+-+=4，则2211b a b a =（ ）A 、2B 、4C 、-4D 、-22、若方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-+=+-=-+03,02,022132132132x x x x x x x x x λ有非零解，则λ=（ ）A 、0B 、1C 、-1D 、23、设A 是n 阶非零方阵，下列矩阵不是对称矩阵的是（ ） A 、A+A TB 、AA TC 、A-A TD 、21（A+A T） 4、设ABC 均为n 阶可逆方阵，且ABC=E,则下列结论成立的是（ ） A 、ABC=E B 、BAC=E C 、BCA=E D 、CBA=E5、设a1，a2，a3线性无关，而a2，a3，a4线性相关，则（ ） A 、a1必可由a2，a3线性表示 B 、a2必可由a3，a4线性表示 C 、a3必可由a2，a4线性表示 D 、a4必可由a2，a3线性表示6、向量组a 1,a 2…，a s 的秩为s 的充要条件为（ ）A 、此向量组中不含零向量B 、此向量组中没有两个向量的对应分量成比例C 、此向量组中有一个向量不能由其余向量线性表示D 、此向量组线性无关7、设A 为m*n 矩阵，且任何n 维列向量都是齐次线性方程组Ax=0的解，则（ ） A 、A=0B 、r （A ）=mC 、r （A ）=nD 、0<r （A ）<n8、设三元非齐次线性方程组Ax=b 的两个解为1η=（2,0,3），2η=（1，-1，2）T,r （A ）=2，则此线性方程组的通解为（ ） A 、k1（2,0,3）T+k2（1，-1,2）TB 、（2,0,3）T+k （1,1,1）TC 、（2,0,3）T+k （1，-1,2）TD 、（2,0,3）T+k （3，-1,5）T9、下列命题正确的是（ ）A 、两个同阶的正交矩阵的行列式都等于1B 、两个同阶的正交矩阵的和必是正交矩阵C 、两个同阶的正交矩阵的乘积必是正交矩阵D 、特征值为1的矩阵就是正交矩阵10、设A 为n 阶矩阵，则在（ ）情况下，它的特征值可以是零。
线性代数试题(完整试题与详细答案)
线性代数试题（完整试题与详细答案）一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1．行列式111101111011110------第二行第一列元素的代数余子式21A =（ ）A ．-2B ．-1C ．1D ．22．设A 为2阶矩阵，若A 3=3，则=A 2（ ） A ．21 B ．1 C ．34 D ．23．设n 阶矩阵A 、B 、C 满足E ABC =，则=-1C （ ） A ．AB B ．BA C ．11--B AD ．11--A B4．已知2阶矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=d c b a A 的行列式1-=A ，则=-1*)(A （ ） A ．⎪⎪⎭⎫⎝⎛----d c b aB ．⎪⎪⎭⎫⎝⎛--a c b dC ．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--a cb d D ．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛d c b a5．向量组)2(,,,21≥s s ααα 的秩不为零的充分必要条件是（ ） A ．s ααα,,,21 中没有线性相关的部分组 B ．s ααα,,,21 中至少有一个非零向量 C ．s ααα,,,21 全是非零向量D ．s ααα,,,21 全是零向量6．设A 为n m ⨯矩阵，则n 元齐次线性方程组0=Ax 有非零解的充分必要条件是（ ）A ．n r =)(AB ．m r =)(AC ．n r <)(AD ．m r <)(A 7．已知3阶矩阵A 的特征值为-1，0，1，则下列矩阵中可逆的是（ ） A ．A B ．AE - C ．A E -- D ．A E -2 8．下列矩阵中不是．．初等矩阵的为（ ）A ．⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛101010001B ．⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-101010001C ．⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛100020001D ．⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛1010110019．4元二次型4332412143212222),,,(x x x x x x x x x x x x f +++=的秩为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．410．设矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=001010100A ，则二次型Ax x T 的规范形为（ ）A ．232221z z z ++ B ．232221z z z ---C ．232221z z z --D ．232221z z z -+二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）请在每小题的空格中填上正确答案。
线性代数模拟试卷及答案4套
线性代数模拟试卷（一）一、 填空题（每小题3分，共6小题，总分18分）1、四阶行列式44434241343332312423222114131211a a a a a a a a a a a a a a a a 展开式中，含有因子3214a a 且带正号的项为___________2、设A 为n 阶可逆方阵，将A 的第i 行和第j 行对换后得到的矩阵记为B ，则AB -1=_________3、已知向量组)2- 5, 4,- ,0( , )0 t,0, ,2( , )1 1,- 2, ,1(321'='='=ααα线性相关，则t =_________4、设三阶方阵) , ,(B ), , ,(2121γγβγγα==A ，其中 , ,,21γγβα都是三维列向量且2B 1, ==A ，则=- 2B A _________5、A 为n 阶正交矩阵， , ,,21n ααα 为A 的列向量组，当i ≠j 时，)21 ,31(j i αα=_________ 6、三阶方阵A 的特征值为1，-2，-3，则 A =_______; E+A -1的特征值为______ 二、 单项选择题（每小题2分，共6小题，总分12分） 1、 设齐次线性方程组AX=0有非零解，其中A=()nn ija ⨯，A ij 为a ij (i,j=1,2,…n) 的代数余子式，则（ ） (A)0111=∑=ni i i A a(B)0111≠∑=ni i i A a(C)n A ani i i =∑=111(D)n A ani i i ≠∑=1112、若A -1+ E, E+A, A 均为可逆矩阵，E 为单位矩阵，则(A -1+ E)-1=( ) (A) A+E (B) (A+E)-1 (C) A -1+ E (D) A(A+E)-13、设A, B 为n 阶方阵 ，A*,B*分别为A, B 对应的伴随矩阵，分块矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=B 00 A C ，则C 的伴随矩阵C* =( )(A) ⎪⎪⎭⎫⎝⎛*A B 0 0 *B A (B) ⎪⎪⎭⎫⎝⎛*B A 0 0 *A B(C) ⎪⎪⎭⎫⎝⎛*B B 0 0 *A A (D) ⎪⎪⎭⎫⎝⎛*A A 0 0 *B B 4、若向量组 , ,,21m ααα 的秩为r ，则（ ）(A) 必有 r<m (B)向量组中任意小于 r 个向量的部分组线性无关 (C) 向量组中任意 r 个向量线性无关(D) 向量组中任意 r+1个向量必线性相关5、已知 ,,321ααα是四元非齐次线性方程组AX=B 的三个解，且r(A)=3, 已知)3 2, 1, ,0( , )4 3, 2, ,1(321'=+'=ααα，C 为任意常数，则AX=B 通解X=( )(A) ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛11114321C (B)⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛32104321C(C) ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛54324321C (D) ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛65434321C6、设A 为三阶方阵，有特征值λ1=1，λ2= -1， λ3=2，其对应的特征向量分别为 ,,321ααα，记P=(132 ,ααα)，则P -1AP=( )(A) ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛1 2 1- (B)⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛1- 1 2(C) ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛2 1- 1 (D) ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛2 1 1-三、计算下列行列式 （12分）1、 D=1- 3 3- 131 1 41- 3 0 5-21- 1 3 2、D n = n1 1 1 1.....................1 1 3 1 111 12 111 1 1 1四、已知A 、B 同为3阶方阵，且满足AB=4A+2B (12分) （1）证明：矩阵A-2E 可逆（2）若B=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛2 0 00 2 10 2- 1 ，求A五、求向量组 )1 1, 1,- ,1( , )3 2, 1, ,1(21'='=αα， , )6 5, 2,- ,4( , )1 3, 3, ,1( 43'='=αα)7- 4,- 1,- ,3(5'-=α的一个极大无关组，并将其余向量用该极大无关组线性表示（10分）六、已知线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=---=+++-=+-=+-+bx x x x x ax x x x x x x x x x 432143214314321 6 - 17231 4 032 ，讨论参数a 、b 为何值方程组有解，在有解时，求出通解 （12分）七、用正交变换化二次型323121232221321222333),,(x x x x x x x x x x x x f ---++=为标准形，并写出相应的正交变换 （16分）八、已知 ,,,4321αααα是AX = 0的一个基础解系，若322211,ααβααβt t +=+=，144433,ααβααβt t +=+=,讨论t 为何值， ,,,4321ββββ是AX = 0的一个基础解系 （8分）线性代数模拟试卷(二)三、 填空题（每小题3分，共5小题，总分15分）1、j i a a a a a 53544231是五阶行列式展开式中带正号的一项，则i=_____, j=_____2、设n 阶方阵A 满足A 2 =A ，则A+E 可逆且（A+E ）-1=_______________(E 为n 阶单位阵)3、已知向量组)0 6, 1,- ,1( , )2k - k,- ,3 ,1( , )2- 2, 1, ,1(321'='='=ααα 若该向量组的秩为2，则k =_________4、已知四阶方阵A 相似于B ，A 的特征值为2，3，4，5，E 是单位阵，则=- E B _________5、 向量α=（4，0，5）′在基)1 ,1- ,1(,)0 ,1 ,1( ,)1 ,2 ,1(321'='='=ηηη下的坐标为_________四、 单项选择题（每小题2分，共5小题，总分10分）1、 设 A 是三阶方阵A 的行列式，A 的三个列向量以γβα ,,表示，则 A =（ ） (A)αβγ (B) γβα---(C)αγγββα+++ (D) γβαβαα+++2、设A, B ，C 为n 阶方阵, 若 AB = BA, AC = CA, 则ABC=( ) (A) BCA (B) ACB (C) CBA (D) CAB3、 A, B 均为n 阶方阵, A*为A 的伴随矩阵， 3B 2, -==A ，则21-*B A = ( )(A) 32 12--n (B) 32 1--n (C) 23 12--n (D) 23 1--n4、已知向量组 , ,,4321αααα线性无关，则向量组（ ） (A)14433221 , , ,αααααααα++++线性无关(B)14433221 , , ,αααααααα----线性无关(C)14433221 , , ,αααααααα-+++线性无关 (D)14433221 , , ,αααααααα--++线性无关5、若A ～ B ，则 有 ( )(A) A 、B 有相同的特征矩阵 (B) B =A(C) 对于相同的特征值λ，矩阵A 与B 有相同的特征向量 (D) A 、B 均与同一个对角矩阵相似三、计算下列行列式 （13分）2、 D=2- 3 0 112 1 - 121 0 331- 2 1 4、D n = 11 1 111 x 1 1 (1)1 1 1 x 1 1 1 1 x x ++++a)设B= ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1 0 0 01- 1 0 00 1- 1 00 0 1- 1 ，C=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛2 0 0 01 2 0 03 12 043 12 ,且矩阵A 满足 E C B C E A =''--)(1, 试将关系式化简并求A (12分)b)求向量组, )4 1,- 2, ,1(1'=α )2 3, 1, ,0( 2'=α， , )14 0, 7, 3,(3'=α , )10 1, 5, 2,( 4'=α)0 2,- 2, ,1(5'=α的一个极大无关组，并将其余向量用该极大无关组线性表示 （13分）六、k 为何值时，线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-=++---=+++=+++kx x x x x k x x x x x x x x x x x 9 10 5 - 3)5(2 31 6 3 13 2 4321432143214321 有无穷多个解并求出通解 （14分）七、用正交变换化二次型31232221321422),,(x x x x x x x x f +-+=为标准形，并写出相应的正交变换 （16分）八、若矩阵A=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0y 10 1- 01 x0 有三个线性无关的特征向量，证明：x – y = 0线性代数模拟试卷(三)一、填空题（每小题3分，共18分）1、A 是三阶方阵，且|A|＝6，则 |(3A)-1|＝ 。
线性代数模拟题及答案
模拟试题一一. 填空题 （将正确答案填在题中横线上。
每小题2分，共10分）1．n 阶行列式D 的值为c, 若将D 的所有元素改变符号, 得到的行列式值为 .2．设矩阵A = ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛101020101 ，矩阵X 满足 E AX + = X A +2 ，则X = ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛2010301023．设n 阶矩阵A 满足 E A A 552+- = 0 ，其中E 为n 阶单位阵，则 1)2(--E A =4．设A ，B 均为3阶方阵，A 的特征值为 1，2，3，则EA +*= .5．当 λ 满足条件 时线性方程组 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+--=-++-=-++-=+--00004321432143214321x x x x x x x x x x x x x x x x λλλλ 只有零解．二、单项选择题 (每小题仅有一个正确答案, 将正确答案题号填入括号内。
每小题2分，共20分)1．131211232221333231333231232221131211222333 d a a a a a a a a a a a a a a a a a a ---=则=( ).① 6d ② ―6d ③ 4d ④ ―4d 2. 向量组 s ααα,,,21Λ的秩为s 的充要条件是（ ）。
① 向量组不含零向量② 向量组没有两个向量的对应分量成比例 ③ 向量组有一个向量不能由其余向量线性表示 ④向量组线性无关3. 当t =（ ）时，向量组 ),4,5( , )5,2,3( , )0,1,2(321t ===ααα线性相关。
① 5 ② 10③ 15 ④ 204．已知向量组α1，α2，α3线性无关，则向量组（ ）线性无关。
① α1+2α2+α3, 2α1+4α2+α3, 3α1+6α2 ② α1, α1+α2, α1+α2+α3 ③ α1+α2, α2+α3, α1+2α2+α3 ④ α1-α2, α2-α3, α3-α15. 已知⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=63322211t A , B 为三阶非零矩阵且AB = 0, 则( ). ① 当t = 4时,B 的秩必为1 ② 当t = 4时,B 的秩必为2 ③ 当t ≠ 4时,B 的秩必为1 ④ 当t ≠ 4时,B 的秩必为26．设非齐次线性方程组A X = b 中未知量个数为n ，方程个数为m ，系数矩阵A 的秩为r ，则 ．① r = m 时，方程组A X = b 有解 ② r = n 时，方程组A X = b 有唯一解 ③ m = n 时，方程组A X = b 有唯一解 ④ r ＜ n 时，方程组A X = b 有无穷多解7． 设矩阵A 和B 等价，A 有一个k 阶子式不等于零，则B 的秩（ ）k.① < ② = ③ ≥ ④ ≤8. 一个向量组的极大线性无关组（ ）. ① 个数唯一 ② 个数不唯一 ③ 所含向量个数唯一 ④ 所含向量个数不唯一9. 下列关于同阶不可逆矩阵及可逆矩阵的命题正确的是( ). ① 两个不可逆矩阵之和仍是不可逆矩阵 ② 两个可逆矩阵之和仍是可逆矩阵 ③ 两个不可逆矩阵之积仍是不可逆矩阵④ 一个不可逆矩阵与一个可逆矩阵之积必是可逆矩阵10．已知任一n 维向量均可由n ααα,,,21Λ线性表示，则n ααα,,,21Λ（ ）。
线性代数模拟试题及答案
...《 线性代数期末模拟试题一 》一、填空（本题20分每小题2分） 1．设)det(ij a 为四阶行列式,若23M 表示元素23a 的余子式，23A 表示元素23a 的代数余子式，则23M +23A = 。
2．三阶行列式3331221311000a a a a a 中只有位于两条对角线上的元素均不为零， 则该三阶行列式的所有项中有 项不为零，这一结论对n 阶行列式（填成立或不成立）。
3．设321,,ααα均为3维列向量，记矩阵),,,(321ααα=A 记矩阵),,2(313221αααααα-+-=B ，若6=B ，则=A 。
4．设矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=458271,131027241,213012C B A ，则=-C B A T2。
5．设矩阵A 可逆，且矩阵AB C =，所以矩阵C 一定可以由矩阵B 经过（填行或列）初等变换而得到。
6．设向量组43,21,,,αααα，若,3),,(,2),,(432321==ααααααR R 则1α一定可以由向量唯一的线性表示。
得分阅卷人...7．非齐次线性方程组b Ax =有 唯一的解是对应的齐次方程组0=Ax 只有零解的充分但不必要条件。
8．设3阶矩阵A 的行列式0=A ，则矩阵A 一定有一个特征值。
9．n 阶矩阵A 有n 个特征值1，2，, n ，n 阶矩阵B 与A 相似，则=B 。
10．向量组：[][]1,121,1,12121-==p p（填是或不是）向量空间2R 一个规范正交基。
二、单项选择（本题10分，每小题2分）注意：请务必将你的选择题的答案按要求填入下表，否则答案无效！1．设矩阵A 为n 阶方阵，则关于非齐次线性方程组b Ax =的解下列说法（ ）不正确（A ） 若方程组有解，则系数行列式0≠A ; （B ） 若方程组无解，则系数行列式0=A ;（C ） 若方程组有解，则或者有唯一解或者有无穷多解;...（D ） 系数行列式0≠A 是方程组有唯一解的充分必要条件. 2. 设A 为n 阶可逆矩阵，下列正确的是（ ） （A ） (2)2T T A A =； (B) 11(2)2A A --=； (C) 111[()][()]T T A A ---=；(D) 111[()][()]T T T A A ---=。
线代第1章练习附答案
1 d
的值。
d2 d4
111 1 1
abcd x 【分析】 利用范作范德蒙行列式 D1 a 2 b2 c 2 d 2 x 2 ，则行
a3 b3 c3 d 3 x3 a4 b4 c4 d 4 x4
列式 D 就是行列式 D1 元素 x3 的余子式 M 45 ，即 D M 45
又 D1 (x a)(x b)(x c)(x d)(d a)(d b)(d c)(c a)(c b)(b a)
2341 2 3 4 1 2341
D
10
3412 3 4 1 2 3412
4123 4 1 2 3 4123
1 1 1 1 11 1 1
0 1 2 1 0 1 2 1
10
10
160
0 1 2 1 0 0 4 0
0 3 2 1 0 0 0 4
1 222
2 2 22
3．计算 2 2 3 2 的值。
3
111
111
A. 2
B.1
3
5．下列行列式等于零的是(
3 21
A . 3 2 1
003
B. 0 1 0
0 01
130
C.2
D. 8
3
D)
0 1 0
C． 3 0 0
001
3 1 6
D． 2 2 4
162
0 1 1 1
6．行列式 1 0 1 1
1 0
1 1
第二行第一列元素的代数余子式
A21=（
B）
1 1 1 0
2013 0 0
。
00 0 00 0 0 0 2015
【分析】方法一：此行列式刚好只有 n 个非零元素
660线代自测题一第九题
660线代自测题一第九题第九题：已知矩阵A = [[1, 0, 1], [2, 1, 2], [1, 0, 3]]，求矩阵A的特征值和特征向量。
解答：要求矩阵A的特征值和特征向量，首先需要计算矩阵A的特征多项式，然后解特征多项式的根得到特征值，最后代入特征值求解特征向量。
特征多项式的定义为：|A-λI| = 0，其中A是矩阵，λ是特征值，I是单位矩阵。
首先，计算矩阵A-λI：A-λI = [[1-λ, 0, 1], [2, 1-λ, 2], [1, 0, 3-λ]]接下来，计算行列式|A-λI|：|A-λI| = (1-λ)(1-λ)(3-λ) - 2(1-λ) = (1-λ)^2(3-λ) - 2(1-λ)化简得到特征多项式：|A-λI| = (λ-1)^3 - 2(λ-1) = λ^3 - 3λ^2 + 3λ - 1 - 2λ + 2 = λ^3 - 3λ^2 + λ + 1特征多项式为λ^3 - 3λ^2 + λ + 1。
然后，解特征多项式的根得到特征值。
特征值满足特征多项式等于零的条件。
将特征多项式λ^3 - 3λ^2 + λ + 1 = 0 转化为因式分解形式，可以通过观察得到λ = -1 是其一个解。
通过合并因式得到：λ^3 - 3λ^2 + λ + 1 = (λ + 1)(λ^2 - 4λ + 1) = 0解得另外两个特征值为λ = 2±√3。
得到特征值为λ1 = -1，λ2 = 2+√3，λ3 = 2-√3。
接下来，代入特征值求解特征向量。
对于特征值λ1 = -1，代入矩阵A-λI进行求解：A-λ1I = [[2, 0, 1], [2, 2, 2], [1, 0, 4]]将矩阵化为行阶梯形：[[2, 0, 1], [0, 2, 1], [0, 0, 1]]由于第三行已经为行阶梯形，可以直接得到特征向量为 [1, -1, 0]。
对于特征值λ2 = 2+√3，代入矩阵A-λI进行求解：A-λ2I = [[-1-√3, 0, 1], [2, -1-√3, 2], [1, 0, 1-√3]]将矩阵化为行阶梯形：[[1, 0, 1-√3], [0, -1-√3, 1-√3], [0, 0, 0]]由于第三行已经为行阶梯形，可以直接得到特征向量为 [1-√3, 1, 1]。
线代模拟试题
a1 0
三、计算行列式: (本题 10 分) Dn
0 a2 0 0
0 0
0 0 0
1 0 ，其中 ai 0, i 1, 2, , n . 0 an
0 1
0 an 1 0
x1 x 2 2 x 3 a , 四、 （本题 15 分）讨论 a , b 取何值时，线性方程组 2 x1 3 x2 x3 1, 无解，有惟一解或有无穷多个 x 6 x bx 10 2 3 1
1
湖南大学数学与计量经济学院编
班级
姓名
学号
(D) α1 , α 2 必为矩阵 2E A 的特征向量, α 3 不是矩阵 2E A 的特征向量. 5. 设 n 阶方阵 A 与 B 相似，则必有 (A) A 与 B 同时可逆或不可逆； (C) A 和 B 均与同一个对角矩阵相似； (B) A 与 B 有相同的特征向量； (D) 矩阵 E A 与 E B 相等. [ ]
2 2 2 f y1 y2 4 y3 , 其中 P (α 1 ,α 2 ,α 3 ) , 且 α 3
1 3
(1,1,1)T ，试求所作的正交变换.
2
湖南大学数学与计量经济学院编
α2 (1,0,1)T ,α3 (1,0, 1)T . (1) 求矩阵 A ；(2) 求 A 2012 ；(3) 判断 A 所对应的二次型是否为正定二次型.
八、 （ 本 题 10 分 ） 设 A 为 三 阶 实 对 称 矩 阵 ， 二 次 型 f XT AX 经 正 交 变 换 X PY 得 标 准 形
T T
.
T T
3, 4, 2 ,α 4 4, 3,, 11 ,则 3. 已知向量组 α1 2,1, 3, 1 , α 2 3, 1, 2, 0 , α 3 1,
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
线性代数模拟试题(I)一 填空题◆1． 设A 为3阶方阵且2=A ，则=-*-A A231 ； 【分析】只要与*A 有关的题，首先要想到行列式的展开定理，E A A A AA ==**，从中推 你要的结论。
这里11*2--==A A A A 代入A A A A A 1)1(231311-=-=-=---*- 注意： 为什么是3)1(- ◆2． 设133322211,,α+α=βα+α=βα+α=β，如321,,ααα线性相关，则321,,βββ线性______(相关)如321,,ααα线性无关，则321,,βββ线性______(无关)【分析】对于此类题，最根本的方法是把一个向量组由另一个向量表示的问题转化为矩阵乘法的关系，然后用矩阵的秩加以判明。
参阅教材P89例6⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=111010101],,[],,[321321αααβββ，记此为AK B = 如321,,ααα线性无关，则],,[321ααα=A 是列满秩矩阵，它左乘一个矩阵不改变 这个矩阵的秩（可以用这个结论），这里)()()(K r AK r B r ==，这样B 的秩就等于 K 的秩，如果3=（所含向量个数），B 的列向量321,,βββ就是无关的，否则 K 是相关的。
切不可两边取行列式！！因为矩阵不一定是方阵！！你来做 下面的三个题：（1）已知向量组m ααα,,,21 （2≥m ）线性无关。
设111322211,,,,ααβααβααβααβ+=+=+=+=--m m m m m试讨论向量组m βββ,,,21 的线性相关性。
（答案：m 为奇数时无关，偶数时相关）（2）已知321,,ααα线性无关，试问常数k m ,满足什么条件时，向量组312312,,αααααα---m k线性无关？线性相关？（答案：当1≠mk 时，无关；当1=mk 时，相关）（3）教材P110第19题和第20题◆3． 设非齐次线性方程b x A m =⨯4，2)(=A r ，321,,ηηη是它的三个解，且T T T )5,4,3,2(,)4,3,2,1(,)7,6,4,3(133221=+=+=+ηηηηηη求该方程组的通解。
(答案：T T T k k x )2,2,1,1()1,1,1,1()6,5,3,2(2121++=，形式不 唯一)【分析】对于此类题，首先要知道齐次方程组基础解系中向量的个数（也是解空间的维数）是多少，通解是如何构造的。
其次要知道下面的结论：设m ηηη,,,21 是非齐次方程组b Ax =的解，则（1）m m k k k ηηη+++ 2211是0=Ax 的解⇔021=+++m k k k（2）m m k k k ηηη+++ 2211是b Ax =的解⇔121=+++m k k k你再做 教材P111第29题◆4． 当=k 时，)5,,1(k =β能由)1,1,2(),2,3,1(21-=α-=α线性表示（答案8-=k ）【分析】一个向量能否用一个向量组表示的问题，可转化为非齐次方程组有无解的问题，再利用矩阵的秩去判别。
对于此题，记],[21αα=A ，看看β=Ax 是否有解，有解就是能表示，无解就是不能表示，有唯一解就是表示是唯一的。
表示系数（组合系数）就是解。
这里只要求k 使2],[)(==βA r A r 的秩即可，这里],[βA 是方阵，用行列式的方法是方便的0243,=+=k A β你来做：设T t )2,1,2(+-=β，T t )1,1,1(1+=α，T t )1,1,1(2+=α，T t )1,1,1(3+=α，问t 为何值时，β不能由321,,ααα线性表示；β能由321,,ααα线性表示且表法唯 一；β能由321,,ααα线性表示且表法无穷多并写出所有的表示方法。
注意： 关于含参数的方程组求解，如果系数矩阵是方阵，用行列式的方法往往简单，如果不是方阵只有用初等行变换的方法了。
◆5． 设T )1,1,1(311=α，求32,αα使[]321,,ααα=Q 为正交矩阵【分析】求与一个向量正交的问题，就是解方程组的问题01=x T α当然要根据题之要求，还要使用Schimidt 正交化，单位化过程（答案：详见教材P117 例3，还要再单位化）你写一写正交矩阵的充要条件有哪些，如果给你两个正交向量求一个向量与它们都正交你也应该会！二 选择题◆1． 设B A ,为满足0=AB 的两个非零矩阵，则必有(A) A 的列向量组线性相关，B 的行向量组线性相关(B) A 的列向量组线性相关，B 的列向量组线性相关(C) A 的行向量组线性相关，B 的行向量组线性相关(D) A 的行向量组线性相关，B 的列向量组线性相关【分析】遇到0=⨯⨯p n n m B A ，就要想到n B r A r ≤+)()(以及B 的列向量均是线性方程组0=Ax 的解。
思路1：n B r A r ≤+)()(，又B A ,为非零矩阵，必有n A r <<)(0, n B r <<)(0， 所以A 的列向量组线性相关，B 的行向量组线性相关，故选(A)。
思路2：B 的列均为0=Ax 的解，又B 为非零矩阵，说明0=Ax 存在非零解，所以n A r <)(，所以A 的列向量组线性相关。
考虑0=T T A B ，又知TB 的列向量组即B 的行向量组线性相关，故选(A)。
另外： 遇到ABC =要想到C 的列组都是A 的列组的线性组合，C 的行组都是B 的行组的线性组合。
从这个角度也可做此题，你来想想。
◆2．设n m A r n m <=⨯)(，则（ ）（多选）。
（Ａ）],[O E A m r −→−（Ｂ）],[O E A m c−→−（Ｃ）对n R b ∈∀，b Ax =必有无穷多解 （Ｄ）若O B O BA =⇒= （Ｅ）0=A A T (答案:B,C,D,E )【分析】（I ） (A)和(B)是化标准形的问题。
这里A 是行满秩矩阵，必有m 阶子式非零，这个m 阶子式所在的行就是A 的所有的行，只用列变换可把它所在的m 列调到前面来],[C B A m m C ⨯−→−此时B 是非奇异矩阵，可只用列变换化为单位矩阵，然后用此单位矩阵只用列变换 把后面的矩阵C 消为零。
故（B ）是对的。
（A ）不对。
（II ） 对于（C ）要知道，如果A 是行满秩矩阵，则b Ax =一定是有解的，这是因为),()(),()(b A r A r m b A r A r m n m n m =⇒≤≤=⨯⨯至于是否有唯一解还是有无穷多解还要把增广矩阵的秩（即独立方程组的个数）与 未知数的个数（即A 的列数比较），由题设n m A r n m <=⨯)(，故有无穷多解（C ） 也是对的。
（III ） 对于(D)这是书上定理O AX =只有零矩阵解的充要条件是A 是列满矩阵的变形O B A O BA T T =⇔=这里TA 是列满秩,故(D)也是对的。
（IV ） 对于（E ）要了解形如A A T 的是一个非常重要的矩阵，你必须知道这两个结论一是A A T 是一个对称半正定的矩阵（这用0)(≥x A A x T T 是很容易证明的），二 是)()(A A r A r T =（这是书上的例题）。
用第二个结论立即知A A T可逆（实际上是 对称正定）的充要条件是A 是列满秩。
这样就（E ）是对的。
另外： 对于m n n m B A ⨯⨯型的矩阵，如果n m >，一定有0=⨯⨯m n n m B A （这是因为m n A r B A r m n n m <≤≤⨯⨯)()(），记忆方法：高的矩阵乘矮的矩阵一定不可逆的（如 果是方阵的话）◆3． 设A 为n 阶可逆矩阵)2(≥n ，交换A 的第1行与第2行得矩阵B ，则（ ）（Ａ）交换*A 的第１列与第２列得*B （Ｂ）交换*A 的第１行与第２行得*B（Ｃ）交换*A 的第１列与第２列得*B -（Ｄ）交换*A 的第１行与第２行得*B -【分析】对于此类题你不仅要熟悉伴随矩阵的运算还要熟悉初等矩阵的性质。
交换A 和第1行和第2行得B ，则有B A j i E =),(（左行右列原则），从而B A =-，由此关系 找*A 与*B 的关系： ),(),(),(*1111*j i E A j i E A A j i E A A B B B -=-=-==----由此知(C)是对的。
◆4． 设A 为方阵，21,αα是齐次线性方程组0=Ax 的两个不同的解向量，则（ ）是A 的特征向量（A ）1α与2α，（B ）21α+α，（C ）21α-α，（D ）（A ）、（B ）、（C ）都是【分析】齐次方程组有有两个不的解，当然必有非零解，从而必有特征值0，对应的特征向量就是其非零解。
这里要选（C ）才能保证是非零的。
把此题变化一下：设21,αα是齐次线性方程组0=Ax 的两个不同的解向量，1)(-=⨯n A r n m ，则（ ）是0=Ax 的基础解系。
（A ）1α（B ）2α，（C ）21α+α，（D ）21α-α◆5． 与矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=Λ211相似的矩阵是（ ）（答案：B ） （A ）⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡200010011，（B ）⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡200110001，（C ）⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡200010111，（D ）⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-211011001 【分析】首先相似矩阵有相同的特征值，都是1（二重）和2（单重），如有不是的就该排除，这里没有。
这就要靠矩阵可对角化的充要条件是任一特征值的重数等于它所对应的无关特征向量的个数（也称几何重数）去判别。
即)(A E r n n i i --=λ亦即i i n n n A E r -==-)(λ，对于单重的不需要考虑（这是为什么？），只需考虑多 重的。
这里只需考虑 123?)1(=--⋅A E r三 计算题 ◆1． 计算行列式nD n222232222222221=提示 此行列式特点是对角元不等，其余相等。
每一行减第一行。
你还有更好的方法吗。
答案 )!2(2-⨯-n ）评注 关于行列式的计算重点掌握化三角形，以及特殊分块行列式的计算◆2． 解矩阵方程E AX XA A 122)21(11*+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--其中⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=0100200000310021A ，求X 提示 先化简方程为： E A E X 12)24(=-答案 ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡----=2100220000220042X 评注 关于解矩阵方程一定要先化简，变为如下形式之一C AXB B XA B AX ===,,主要考察矩阵的基本运算，矩阵求逆等知识。
注意 左乘还右乘的关系，这是同学们最容易错的。