力系的平衡-讲义
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第四章力系的平衡
各力对任意一点 A、B和C之矩的 力矩方程 代数和等于零。
条件：其中，A，B，C三点不能共直线。
说明：
对于平面一般力系，无论选择哪种形式的平衡方 程，都只能列出独立的三个方程，故只能求出三个 未知量。
4、特殊情况
1).平面平行力系的平衡方程
各力作用线位于同一平面内且互相平行的力系，称为平面 平行力系。
AD B
C
3m 3m 3m
FAx
MA
qD M
y o
AD B
FAy
3m 3m 3m
x C
FC
FBx qB
B
FBy
C
FC
(a)
(b)
整体受力图中含有4个未知量FAx、FAy、MA及FC， 由于是平面一般力系，当研究整体时只能列出3个 平衡方程，不能将此4个未知量全部求解，故必须 分开研究。
取次要部分BC分析，受力图如图所示：
例4.7
如图4-8所示两跨静定刚架，自重不计。已知：F=30kN， q=10kN/m。试求A、B、C、D处的约束反力。 解： 这是一个由基本部分刚架AB和附属的半刚架CD所组成 的系统。
q
F
C
A
B
D
6m
3m
(a)
3m 3m
FC y
q
FCx
F
C
FAx
FCx FCy
B
D
FAy (b)
FB
(c) FD
图4-18
物体系统平衡时，组成物体系统的每个物体 也处于平衡。
若物体系统由ｎ个物体组成，则对于平面一般 力系：
有３ｎ个独立的平衡方程 可以求解3ｎ个未知数。
4.物体系统的分类
按构造特点与荷载传递规律可将物体系统分为：
理论力学：第3 章 力系的平衡
第 3 章 力系的平衡
力系平衡是静力学研究的主要内容之一，也是静力学最重要的内容。其中平面力系的平衡又
是重要之重要内容，平面物系的平衡又是重要之重要内容。
事实上我们已经得到力系的平衡条件(充要)：
R
0，M O
0 。下面将其写成代数方程即
平衡方程，用其解决具体问题。
3.1 平面力系的平衡条件与平衡方程
受力图如图(c)，列解方程：
Y 0, P cos G sin 0
P
使 P 最小，则
G sin cos
G sin cos( )
cos( ) 1,
arctan 3
3652'
Pmin
G sin
20
3 5
12kN
4
另解：（几何法） 画自行封闭的力三角形，如图(d)，则
Q
G(b
e) 50b a
Hale Waihona Puke 350.0kN∴ 使起重机正常工作的平衡重为：333.3kN≤Q≤350.0kN 注：也可按临界平衡状态考虑，求 Pmin 和 Pmax。 静力学的应用：
学习静力学有何用处？——上面几个例题有所反映。
例 1：碾子问题——满足工作条件的载荷设计。
例 2：梁平衡问题——结构静态设计（一类重要工程问题）。
分由由由图图图析(((：acb)))汽：：：车受平面平行力mmm系EBB(((，FFF))易) 列解000,,,方程。下shl面只给出方程：
例 4 平行力系典型题目，稳定性问题且求范围。 行动式起重机的稳定性极其重要，要求具有很好的稳定裕度，满载时不向右翻倒，空载时不 向左翻倒。已知自重 G = 500kN，最大载荷 Pmax = 210kN，各种尺寸为：轨距 b = 3m，e = 1.5m， l = 10m，a = 6m，试设计平衡重 Q，使起重机能正常工作，且轨道反力不小于 50kN。
力系平衡是静力学研究的主要内容之一，也是静力学最重要的内容。其中平面力系的平衡又
是重要之重要内容，平面物系的平衡又是重要之重要内容。
事实上我们已经得到力系的平衡条件(充要)：
R
0，M O
0 。下面将其写成代数方程即
平衡方程，用其解决具体问题。
3.1 平面力系的平衡条件与平衡方程
受力图如图(c)，列解方程：
Y 0, P cos G sin 0
P
使 P 最小，则
G sin cos
G sin cos( )
cos( ) 1,
arctan 3
3652'
Pmin
G sin
20
3 5
12kN
4
另解：（几何法） 画自行封闭的力三角形，如图(d)，则
Q
G(b
e) 50b a
Hale Waihona Puke 350.0kN∴ 使起重机正常工作的平衡重为：333.3kN≤Q≤350.0kN 注：也可按临界平衡状态考虑，求 Pmin 和 Pmax。 静力学的应用：
学习静力学有何用处？——上面几个例题有所反映。
例 1：碾子问题——满足工作条件的载荷设计。
例 2：梁平衡问题——结构静态设计（一类重要工程问题）。
分由由由图图图析(((：acb)))汽：：：车受平面平行力mmm系EBB(((，FFF))易) 列解000,,,方程。下shl面只给出方程：
例 4 平行力系典型题目，稳定性问题且求范围。 行动式起重机的稳定性极其重要，要求具有很好的稳定裕度，满载时不向右翻倒，空载时不 向左翻倒。已知自重 G = 500kN，最大载荷 Pmax = 210kN，各种尺寸为：轨距 b = 3m，e = 1.5m， l = 10m，a = 6m，试设计平衡重 Q，使起重机能正常工作，且轨道反力不小于 50kN。
机械基础教材第一章力系与平衡知识ppt课件
5
§1.1 力的概念与基本性质
5.力矢量:力是具有大小和方向的量，所以力是矢量，且作用于物体上的 力是定位矢量。
6.力的图示: 力的三要素可以用有向线段表示。线 段的长度按一定比例表示力的大小，线段的方位和 箭头的指向表示力的方向，线段的起点或终点表示 力的作用点。过力的作用点，沿力矢量的方位画出 的直线，称为力的作用线。
受力分析的步骤： 确定研究对象：需要研究的物体(物体系统)。 取分离体：设想把研究对象从周围的约束中分离出来，单独画其简图，称为 取分离体。 受力分析：分析分离体受几个外力作用，每个力的作用位置和方向。 画受力图：在分离体上将物体所受的全部外力（包括主动力和约束力）画在 相应力的作用点上。
50
§1.3 约束、约束力、力系和受力图的应用 画受力图时必须清楚：
48
§1.3 约束、约束力、力系和受力图的应用 二、受力图 受力图：将研究对象从周围物体中分离出来，将周围物体对它的作用以相应
的主动力和约束力代替，这种表示物体受力情况的简明图形称 为受力图。
49
§1.3 约束、约束力、力系和受力图的应用 受力分析的方法: 解除约束定理：受约束的物体受到某些主动力的作用时，若将其全部 （或部分） 约束除去，代之以相应的约束力，则物体的运动状态不受影 响。 解除约束后的物体称为分离体或隔离体（自由体）。
“＋” —— 使物体逆时针旋转的力矩为正值； “－” —— 使物体顺时针旋转的力矩为负值。
【注意】由力矩的定义可知：
（1）当力的大小等于零或力的作用线通过矩心（力臂d=0）时，力对
点之矩等于零； （2）当力沿其作用线移动时，力对点之矩不变。
14
二、力偶 力偶实例
§1.2 力矩、力偶与力的平移
F1 F2
§1.1 力的概念与基本性质
5.力矢量:力是具有大小和方向的量，所以力是矢量，且作用于物体上的 力是定位矢量。
6.力的图示: 力的三要素可以用有向线段表示。线 段的长度按一定比例表示力的大小，线段的方位和 箭头的指向表示力的方向，线段的起点或终点表示 力的作用点。过力的作用点，沿力矢量的方位画出 的直线，称为力的作用线。
受力分析的步骤： 确定研究对象：需要研究的物体(物体系统)。 取分离体：设想把研究对象从周围的约束中分离出来，单独画其简图，称为 取分离体。 受力分析：分析分离体受几个外力作用，每个力的作用位置和方向。 画受力图：在分离体上将物体所受的全部外力（包括主动力和约束力）画在 相应力的作用点上。
50
§1.3 约束、约束力、力系和受力图的应用 画受力图时必须清楚：
48
§1.3 约束、约束力、力系和受力图的应用 二、受力图 受力图：将研究对象从周围物体中分离出来，将周围物体对它的作用以相应
的主动力和约束力代替，这种表示物体受力情况的简明图形称 为受力图。
49
§1.3 约束、约束力、力系和受力图的应用 受力分析的方法: 解除约束定理：受约束的物体受到某些主动力的作用时，若将其全部 （或部分） 约束除去，代之以相应的约束力，则物体的运动状态不受影 响。 解除约束后的物体称为分离体或隔离体（自由体）。
“＋” —— 使物体逆时针旋转的力矩为正值； “－” —— 使物体顺时针旋转的力矩为负值。
【注意】由力矩的定义可知：
（1）当力的大小等于零或力的作用线通过矩心（力臂d=0）时，力对
点之矩等于零； （2）当力沿其作用线移动时，力对点之矩不变。
14
二、力偶 力偶实例
§1.2 力矩、力偶与力的平移
F1 F2
力系的平衡条件与平衡方程资料课件
然后，利用微分性质和平衡条 件求解微分方程。
最后，将微分方程的解代回原 方程进行验证。
积分法求解平衡方程
积分法是通过对方程进行积分，然后 利用积分性质和平衡条件求解平衡方 程的方法。
然后，利用积分性质和平衡条件求解 积分方程。
首先，将平衡方程表示为积分方程。
最后，将积分方程的解代回原方程进 行验证。
空间力系平衡方程的形式
空间力系平衡方程的一般形式为FX=0、FY=0和FZ=0，其中FX、FY和FZ分别表示X轴、Y 轴和Z轴上的合力矩。
特殊力系的平衡方程
01
特殊力系平衡方程 的概念
特殊力系平衡方程是在研究特殊 情况下物体受力情况时，根据力 的平衡条件建立起来的方程。
02
特殊力系平衡方程 的建立方法
THANKS
感谢观看
3
平衡方程
对于特殊力系，需要结合具体问题进行分析和求 解。
03
平衡方程的建立
平面力系的平衡方程
01
平面力系平衡方程的概念
平面力系平衡方程是在研究平面物体受力情况时，根据力的平衡条件建
立起来的方程。
02
平面力系平衡方程的建立方法
通过分析物体的受力情况，列出所有力的正负号，然后根据力的平衡条
件建立方程。
弹性力学问题
弹性力学问题主要研究物体在受到外力作用时发生的形变 和应力分布情况。平衡方程在弹性力学问题中同样发挥着 重要的作用。
弹性力学问题中，平衡方程的应用包括分析物体的形变情 况、求解物体的应力分布和应变等参数，以及判断物体的 稳定性和平衡状态等。
05
平衡方程的求解方法
代数法求解平衡方程
01
空间力系的平衡条件
空间力系中，所有力的矢量和为零，即合力为零。
理论力学课件—力系的平衡
分布荷载的合力及其作用线位置 P
q(x)
dP
A
x dx h l
由合力之矩定理：
B
x
Ph dP x q( x) xdx
l 0
q(x)
荷载集度
合力作用线位置：
dP=q(x)dx 合力大小：
P dP 0 q( x)dx
l
q( x) xdx h q( x)dx
0 l 0
q A 2a
M B
C
G 4a
FAx
FB
解：以水平横梁AB为研究对象。
X 0, F 0 M A F 0,
Ax
FB 4a G 2a q 2a a M 0 3 1 FB G qa 4 2
Y 0, F
Ay
q 2a G FB 0
FAx
y
X 0,
M A ( F ) 0,
FAx P 0
FAx P
x
FB 2a M Pa 0
FB P
Y 0,
FAy FB 0
FAy P
2a M
P
a
C
FAy
D
FB
解法2
A
FAx
B
解法3
M A ( F ) 0, M B ( F ) 0, M C ( F ) 0,
即
2M FA FB ab
§3.3 平面任意力系的平衡条件与平衡方程
1. 平面任意力系的平衡方程
FR=0 ′ Mo=0
X 0 Y 0 M F 0
O
｝
平衡方程
平面任意力系平衡的解析条件：所有各力在两个任选的坐标轴上 的投影的代数和分别等于零，以及各力对于任意一点的矩的代数 和也等于零。 ● 几点说明：
理论力学PPT课件第2章 力系的平衡
2020/11/16
32
3. 摩擦角与自锁
摩擦角的定义：当摩擦力达到最大值时其全反力 与法线的夹角称为摩擦角。
tgmFFmNax
fsFN FN
fs
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33
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34
摩擦系数的测定：OA绕O 轴转动使物块刚开始下
滑时测出α角，tg α=fs , (即为该两种材料间的静 摩擦系数)。
2
dFd Qx(x)q(x),dM dx(x)FQ(x)
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19
例7 试导出理想流体(无粘性)的静力平衡微分方 程。设单位质量的体分布力为f。
解：在静止流体中取边长分别为dx,dy,dz的微小六面体, 受体积力FVf 及6个侧面上的表面压力作用. 考察左 右两侧面中点的压强大小如图所示，并视为整个侧面的 平均压强。
Mz
F Nx
F Qz
F Qy My
3KN
1KN 2KN
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1KN
14
思考：如何求各段内力函数？
D
1m
3KN
2m
1KN 2 m
1m
2KN
A
1KN
分三段，三个坐标
如：将D处2m，改为x，则CD段 扭矩为常数，弯矩为线性函数
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15
5、变形体的内力计算
例5：已知 q、l 试求图示简支梁，横截面内
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研究对象：三根直杆+重物+缆绳
受力分析：汇交力系 F A, F B, F C , F P, W , FPW500kN
FAFA co6s0osin60oico6s0oco6s0o jsin60ok FB FB co6s0osin60oico6s0oco6s0o jsin60ok FCFC co6s0o jsin60ok FPFP co6s0o jsin60ok
最新完美版建筑力学第三章力系的平衡
目录
第3章 力系的平衡\平面力系向一点的简化
目录
第3章 力系的平衡\平面力系向一点的简化
3－1－1 力的平移定理
平面力系向一点简化的理论基础是力的平移定理。 设在刚体上A点作用一个力F，现要将其平行移动到 刚体内任一点O (图a)，但不能改变力对刚体的作用效应。
目录
第3章 力系的平衡\平面力系向一点的简化
根据加减平衡力系公理，可在O点加上一对平衡力F、 F，力F 和F的作用线与原力F的作用线平行，且F ＝ F ＝F (图b)。 力F 和F 组成一个力偶M，其力偶矩等于原力F对O 点之矩。
b2 A y B
F
a2
a1、b1和a2、b2，线段a1b1、a2b2
a1 冠以适当的正负号称为力F在x 轴和y轴上的投影，分别记作Fx、Fy，即
Fx
b1
x
Fx=±a1b1
Fy=±a2b2
式中的正负号规定为：从a1到b1（或a2到b2）的指向与坐 标轴正向相同时取正，相反时取负。
目录
第3章 力系的平衡\平面力系向一点的简化
中心O的主矩。其大小和转向与简化中心的选择有关。 如果选取的简化中心不同，主矢不会改变，故它与 简化中心的位置无关；但力系中各力对不同简化中心的矩 一般是不相等的，因而主矩一般与简化中心的位置有关。
目录
第3章 力系的平衡\平面力系向一点的简化
3－1－3 力在坐标轴上的投影
在力F作用的平面内建立直角 坐标系Oxy。 Fy 由力F的起点A和终点B分别 向坐标轴作垂线，设垂足分别为
y
由图可知，若已知力F的大 小及力F与x、y轴正向间的夹角 分别为和，则有
b2
B
Fy
a2 A
F
第3章 力系的平衡\平面力系向一点的简化
目录
第3章 力系的平衡\平面力系向一点的简化
3－1－1 力的平移定理
平面力系向一点简化的理论基础是力的平移定理。 设在刚体上A点作用一个力F，现要将其平行移动到 刚体内任一点O (图a)，但不能改变力对刚体的作用效应。
目录
第3章 力系的平衡\平面力系向一点的简化
根据加减平衡力系公理，可在O点加上一对平衡力F、 F，力F 和F的作用线与原力F的作用线平行，且F ＝ F ＝F (图b)。 力F 和F 组成一个力偶M，其力偶矩等于原力F对O 点之矩。
b2 A y B
F
a2
a1、b1和a2、b2，线段a1b1、a2b2
a1 冠以适当的正负号称为力F在x 轴和y轴上的投影，分别记作Fx、Fy，即
Fx
b1
x
Fx=±a1b1
Fy=±a2b2
式中的正负号规定为：从a1到b1（或a2到b2）的指向与坐 标轴正向相同时取正，相反时取负。
目录
第3章 力系的平衡\平面力系向一点的简化
中心O的主矩。其大小和转向与简化中心的选择有关。 如果选取的简化中心不同，主矢不会改变，故它与 简化中心的位置无关；但力系中各力对不同简化中心的矩 一般是不相等的，因而主矩一般与简化中心的位置有关。
目录
第3章 力系的平衡\平面力系向一点的简化
3－1－3 力在坐标轴上的投影
在力F作用的平面内建立直角 坐标系Oxy。 Fy 由力F的起点A和终点B分别 向坐标轴作垂线，设垂足分别为
y
由图可知，若已知力F的大 小及力F与x、y轴正向间的夹角 分别为和，则有
b2
B
Fy
a2 A
F
力系的平衡介绍
学 1:0.32:0.17。已知涡轮连同轴和锥齿轮的总重量为W=12Kn，
其作用线沿轴Cz；锥齿轮的平均半径OB=0.6m ，试求止推
轴承C和轴承A的反力。
第 三 章
力 系 的 平 衡
工
例：翻到问题
程 力
塔式起重机的结构简图如
学 图所示。起重机自重为W，载 重为W1，平衡物重W2。要使
W2
起重机在空载、满载且载重在
工 2、平面平行力系的平衡方程
程
力 学
平面平行力系的方程为两个，有两种形式：
Fy 0 Mo 0
各力不得与投影轴垂直。
第 三 章
M A 0 M B 0 A, B 两点连线不得与各力平行。
力 系 的 平 衡
工 3、平面汇交力系的平衡方程
程
力 学
Fx 0,
Fy 0
4、平面力偶系的平衡条件
第
M 0
三
即：力偶系各力偶力偶矩的代数和等于零。
章
力 系 的 平 衡
工
§3-3 平衡方程的应用
程
力
求解平衡问题的步骤
学
1、选择合适的平衡对象，从系统中隔离；
2、进行受力分析；
第
3、应用平衡方程进行求解
三
章
力 系 的 平 衡
工 例：圆弧杆AB与折杆BDC在B处铰接，A、C两处均为固定 程 铰支座，结构受力如图所示。试求A、C两处的约束力。 力 学
Fx Fy
0 0
的 平
Mo 0
衡
工 平面任意力系平衡方程的三种形式： 程
力
学
刚体平衡条件
一矩式 第
三
章
理论力学：第3章 力系的平衡
1第3章 力系的平衡 3.1 主要内容空间任意力系平衡的必要和充分条件是：力系的主矢和对任一点的主矩等于零，即 0=R F 0=O M 空间力系平衡方程的基本形式 0,0,0=∑=∑=∑z y x F F F 0)(,0)(,0)(=∑=∑=∑F F F z y x M M M空间汇交力系平衡的必要和充分条件是：力系的合力 0=R F空间汇交力系平衡方程的基本形式0,0,0=∑=∑=∑z y x F F F空间力偶系平衡的必要和充分条件是：各分力偶矩矢的矢量和 0=∑i M空间力偶系平衡方程的基本形式 0)(,0)(,0)(=∑=∑=∑F F F z y x M M M平面力系平衡的必要和充分条件:力系的主矢和对于任一点的主矩都等于零，即：0=∑='F F R;0)(=∑=F O O M M 平面力系的平衡方程有三种形式：基本形式： 0)(,0,0=∑=∑=∑F M F F O y x二矩式： 0)(,0)(,0=∑=∑=∑F M F M F B A x （A 、B 连线不能与x 轴垂直）三矩式： 0)(,0)(,0=∑=∑=∑F M F M M C B A （A 、B 、C 三点不共线）平面力系有三个独立的平衡方程，可解三个未知量。
平面汇交力系平衡的必要和充分条件是合力为零，即0=∑=F F R 平衡的解析条件：各分力在两个坐标轴上投影的代数和分别等于零，即0,0=∑=∑y x F F两个独立的平衡方程，可解两个未知量。
平面力偶系平衡的必要和充分条件为：力偶系中各力偶矩的代数和等于零，即∑=0Mi一个独立的平衡方程，可解一个未知量。
3.2 基本要求1．熟练掌握力的投影，分布力系的简化、力对轴之矩等静力学基本运算。
2．能应用各种类型力系的平衡条件和平衡方程求解单个刚体和简单刚体系统的平衡问题。
对平面一般力系的平衡问题，能熟练地选取分离体和应用各种形式的平衡方程求解。
3．正确理解静定和超静定的概念，并会判断具体问题的静定性。
第3章 力系的平衡
静力学
例题8
M F 解：1. 分析梁AB，受力如图
45
2. 列平衡方程
B M
45 F
Fx 0
FAx F cos 45 0
Fy 0
FAy ql F sin 45 0
Bx
M AF 0
M
A
ql
l 2
F
cos
45 l M
0
FAx 0.707 F FAy ql 0.707F
MA
1 2
ql 2
0.707Fl
M
第3章 力系的平衡
静力学
静定与超静定
已知梁的尺寸及主动力求梁ABC的约束反力
Mq
30
FAy
F MA M
q
30
F
A
B 60 C FAx
A
B 60
C
FB
l
2l
l
l
2l
l
分析:
构件数：一个
受力：主动力、约束反力。（平面任意力系）
未知数数目：四个
平衡方程数目：三个
静力学
第3章 力系的平衡
平衡的解析表达式（平衡方程）：
平面力系
Fx 0
基本式： Fy 0 MO 0
Fx 0
二矩式： MA 0 MB 0
MA 0
三矩式： MB 0 MC 0
限制条件？ A,B连线与x轴不垂直
限制条件？ A,B,C三点不共线
第3章 力系的平衡
静力学
平面力系
平面平行力系的平衡方程？
力系的平衡条件： FR 0
MO 0
力系的平衡ppt课件
A
x
A、B 连线不垂直于x 轴
（两矩式）
MA（F）= 0 MB（F）= 0 MC（F）= 0 （三矩式）
C B
A
C
A、B、C三点不
在同一条直线上 17
平面任意力系平衡方程讨论：
Fx = 0 Fy = 0 MO= 0
平面任意力系：三个独立的平衡方程，可解3个未知量 平面汇交力系：二个独立的平衡方程，可解2个未知量 平面平行力系：二个独立的平衡方程，可解2个未知量
y
F’Cy
F
F’Cx C
E
G
O FBx
B x
FBy
Fx 0,
FCx FBx 0
Fy 0,
FCy FBy F G 0
MC F 0,
FAx 32.89 kN, FAy 2.32 kN, M A 10.37 kN 3m9
例9 图示三铰拱桥，由左右两段借铰链C连
接，又用铰链A，B与基础相连接。已知每 段重G = 40 kN，重心分别在D，E处，且桥 面受一集中载荷F =10 kN。设各铰链都是光 滑的，试求平衡时各铰链约束力。
注意：对任意一点的主矩为零。
平衡方程：
Fx 0
Mx(F )0
Fy 0
My(F )0
Fz 0
Mz( F ) 0
3
一、平面汇交力系
力系的平衡条件：主矢为零
平面汇交力系平衡方程：
Fx 0
平衡几何条件：
Fy 0
汇交力系的力多边形自行封闭
求解方法： 1、 几何法：利用力多边形自行封闭求解 2、 解析法：利用平衡方程求解
第三章 力系的平衡
本章重点：
1、力系平衡方程及其应用 2、物体系统平衡问题分析 3、桁架内力分析
第三章力系的平衡原理
选压块C
F
x
0
FCB cos θ FCx 0
F Fl FCx cotθ 11.25kN 2 2h
F
y
0 F CBsin FCy 0
FCy 1.5kN
省力装置
FCE B E FAy MA C D FDE F DE D FDA FDB
E
F
B FAy MA FAx C F CE F DB
M FR
例 已知：图示梁，求：A、B、C处约束力。
mA XA YA 分析： 整体： 四个反力
NB
→不可直接解出 拆开： AC杆五个反力 →不可解
mA XA YA
XC YC
XC YC
BC杆三个反力
NB
→可解
故先分析BC杆，再分析整体或AC杆，可解。
F FDA
FAx
A
例题. 图示铰链四连杆机构OABO1处于平衡位置. 已知OA=40cm, O1B=60cm, m1=1N· m,各杆自重不
计.试求力偶矩m2的大小及杆AB所受的力.
B
O 30o A
m1 m2
O1
解: AB为二力杆 SA = SB = S 取OA杆为研究对象.
B
S S m2
O
S 30o
则
M 0, M 0, F 0 F 0, F 0, M 0
x y z x y z
---基本式
F
x
0, M A 0, M B 0 ---二矩式
( AB x )
M
A
0, M B 0, M C 0 ---三矩式
(A,B,C不共线)
例
力系的平衡条件与平衡方程资料
mB (F ) 0
X 0
可否求出T、YA、XA；
T
XA A YA
D 300
B
E
PQ
思考题2
C
（2）由下图所示的受力图，试按
mA(F) 0 mB (F) 0 mc (F ) 0
可否求出T、YA、XA。
T
XA A YA
D 300
B
E
PQ
由下图所示的受力图，可否列出下列四 思考题3 个独立的平衡方程？
YB
- 4 × 3 × 1.5 - 20 × 3 + 4 YB = 0
YB = 19.5 kN
P 1m
q
C
XA
2m
2m
A
YA
Fy = 0 YA - 20 + 19.5 = 0
XB B YB
YA = 0.5 kN
( 2 ) 取 BC 为研究对象画受力图
P 1m
XC
C
YC
XB B
YB
MC ( F ) = 0
Fy 0
FN P cos j 0 FN P cos j
考虑极限平衡状态有： F Fmax fs FN
从而得到： FT P ( fs cos j sin j). 当 FT P ( fs cos j sin j) 时, 物块才能下滑。
(3) 画受力图如右 列平衡方程
P
(c) j
解： 取起重机，画受力图.
Fx 0 FAx FB 0
F y
0
FAy P1 P2 0
M A 0 FB 5 1.5 P1 3.5 P2 0
FAy 50kN FB 31kN FAx 31kN
•利用“力偶只能由力偶来平衡”的概念解题有时较方 便：
X 0
可否求出T、YA、XA；
T
XA A YA
D 300
B
E
PQ
思考题2
C
（2）由下图所示的受力图，试按
mA(F) 0 mB (F) 0 mc (F ) 0
可否求出T、YA、XA。
T
XA A YA
D 300
B
E
PQ
由下图所示的受力图，可否列出下列四 思考题3 个独立的平衡方程？
YB
- 4 × 3 × 1.5 - 20 × 3 + 4 YB = 0
YB = 19.5 kN
P 1m
q
C
XA
2m
2m
A
YA
Fy = 0 YA - 20 + 19.5 = 0
XB B YB
YA = 0.5 kN
( 2 ) 取 BC 为研究对象画受力图
P 1m
XC
C
YC
XB B
YB
MC ( F ) = 0
Fy 0
FN P cos j 0 FN P cos j
考虑极限平衡状态有： F Fmax fs FN
从而得到： FT P ( fs cos j sin j). 当 FT P ( fs cos j sin j) 时, 物块才能下滑。
(3) 画受力图如右 列平衡方程
P
(c) j
解： 取起重机，画受力图.
Fx 0 FAx FB 0
F y
0
FAy P1 P2 0
M A 0 FB 5 1.5 P1 3.5 P2 0
FAy 50kN FB 31kN FAx 31kN
•利用“力偶只能由力偶来平衡”的概念解题有时较方 便：
建筑力学之力系的平衡培训课件
MO (F ) 0
（4-5）
三个方程表示了平面一般力系平衡的必要与充分的解析 条件，即：力系中各力在力系作用平面内任一直角坐标轴上 投影的代数和为零，同时各力对力系平面内任一点之矩的代 数和也为零。
（4-5）式的三个方程彼此独立，可以求解3个未知量。
4.3.2 平面一般力系平衡方程的其他形式 平面一般力系除了基本形式的平衡方程以外，还有下列
mA F 0 :
FNC 8 F1 2 F2 sin 60o 6 FNB sin 45o 4 0
FNB 3.5kN
F1 O
A
B
F2 600 C
FNA
2m
2m
FNB
2m 2m
FNC
例4.5 试求图4.5（a）所示悬臂梁固定支座A的约束反力。
梁上受线荷载作用，线荷载最大集度为qB，梁长度为l。
由3.2.1的讨论可知，平面汇交力系各力作用线交于 一点，可以合成为一个合力，因此，平面汇交力系平衡 的必要与充分条件是力系的合力为零，即
FR = F 0
（4-1）
（3-15）式可知，合力的大小FR为
FR
Fx
2
Fy
2
，当 FR = 0 时，必有
Fx 0 Fy 0
（4-2）
Fx 0 Fy 0
FB 1 F 3 q 21 20kN
2
q
F
FAx
B
FAy A
CD
图4-3(b)
FB
θ
FB 20kN
Fx 0 : FAx FB sin 0
FAx FB sin 10 3kN
Fy 0 : FAy FB cos q 2 F 0
FAy F q 2 FB cos kΝ
第九章 力系的平衡
第九章 力系的平衡力系的平衡是静力学的核心内容。
本章由一般力系的简化结果得出一般力系平衡的几何条件及其解析表达形式——平衡方程，并由此导出各类特殊力系的独立平衡方程；运用平衡条件，求解各类物体系统的平衡问题，确定物体的受力状态或平衡位置。
§9.1 一般力系的平衡原理广义地说，不改变物体运动状态的力系称为平衡力系，平衡力系所需满足的条件称为力系的平衡条件。
刚体在平衡力系作用下既可能保持静止状态，也可能保持惯性运动状态(例如绕中心轴匀速转动)。
因此，只有在静力学中，力系的平衡条件对同一刚体才是必要而又充分的。
9.1.1 一般力系的平衡条件根据空间一般力系的简化结果，得到空间一般力系平衡的充分必要条件是，力系的主矢和对任一点的主矩均为零，即故一般力系平衡的几何条件是，力系简化的力矢多边形和力偶矩矢多边形同时封闭。
问题9-1 图(a)中三力构成三角形ABC ，图(b)中四力构成平行四边形ABCD ，问受力圆板平衡吗？答 图(a)中，主矢0R =F ，而主矩0A ≠M ，圆板不平衡；图(b)中，主矢0R =F ，且主矩0O =M ，圆板平衡。
思考9-1 所示力系各力分别沿正方体棱边作用且大小相等，试加一力使其平衡。
(a) (b)问题9-1图 思考9-1图如图8.30所示，以力系的简化中心O 为原点，建立直角坐标系Oxyz ，由式(9-1)分别向各坐标轴投影得0, 0, 0, 0, 0, 0x x y y z z F M F M F M ======∑∑∑∑∑∑ (9-2) 方程组(9-2)称为空间一般力系平衡方程的基本形式。
它表明，空间一般力系平衡的充分必要条件是，力系中各力在三个坐标轴上投影的代数和以及对三个坐标轴力矩的代数和同时等于零。
一般说来，应用这组方程于单个平衡刚体，可求得相应空间一般力系平衡问题的60 且 0R O ==F M （9-1）个未知量。
顺便指出，一般力系的平衡方程组还有四矩式(4个力矩方程，两个投影方程)、五矩式和六矩式，这些方程组的独立补充条件比较复杂，不过它们在求解已知的平衡问题时并不重要。
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力系最简结果 平衡 合力偶 合力 合力 力螺旋
0 0 0
(FR MO )
力 系 的 平 衡
作用于同一刚体上的空间力系平衡的充要条件是力系 的主矢和对任一确定点的主矩全为零，即： FR Fi 0, M O M O ( Fi ) 0
版权所有 张强
M
x
0,
M
y
0,
M
z
0
Mi
Mn
(3) 空间平行力系
版权所有 张强
F1
Fi
5
Fz 0,
M x 0,
M y 0
z
Fn
x
y
2.1 力系的平衡条件及其平衡方程 - 1. 空间力系 一般空间力系的代数式平衡方程：
FR 0, MO 0
工 程 力 学
F 0
版权所有 张强
9
2.1 力系的平衡条件及其平衡方程 - 2. 平面力系 基本形式： Fx 0, Fy 0, M A ( Fi ) 0 一矩式
工 程 力 学
FR 0, MO 0
1. 两矩式
Fil 0, M A (Fi ) 0, M B (Fi ) 0
版权所有 张强
14
2.1 力系的平衡条件及其平衡方程 - 2. 平面力系 平面任意力系平衡问题的解题方法与步骤 (1) 选取研究对象，并画出分离体简图；
FR 0, MO 0
工 程 力 学
(2) 分析研究对象的全部受力并画出其受力图；
(3) 建立平衡方程；
F
x
0,
F
y
0,
附加条件：投影轴 l 不垂直于 A、B 连线。
力 系 的 平 衡
2. 三矩式
M A(Fi ) 0, MB (Fi ) 0, MC (Fi ) 0
附加条件： A、B、C 三点不共线。
！
版权所有 张强
10
在实际应用中，选取哪种形式，取决于计算是否方便， 基本形式居多。
2.1 力系的平衡条件及其平衡方程 - 2. 平面力系 1. 平面汇交力系
B
Fx
x
F
版权所有 张强
(3)
O A
11
2.1 力系的平衡条件及其平衡方程 - 2. 平面力系 2. 平面力偶系的平衡方程
工 程 力 学
FR 0, MO 0
平面特殊力系的平衡方程，平衡方程数目会相应地减少 平面力偶系的主矢等于零， 力偶系对任一点主矩都相等。
力 系 的 平 衡
M
工 程 力 学
静定问题
平衡方程总数： m = 3 未知量总数： n = 3
静不定问题
平衡方程总数： m = 3 未知量总数： n = 4
静定问题
平衡方程总数： m = 6 未知量总数： n = 6
力 系 的 平 衡
静不定问题
版权所有 张强
静不定问题
平衡方程总数： m = 3 未知量总数： n = 4
x
力 系 的 平 衡
Fiy 0 M A ( Fi ) 0
附加条件： y 轴与各力不垂直。
Fn
Fy
y
A
F
版权所有 张强
Fy 0 F 0
13
2.1 力系的平衡条件及其平衡方程 - 2. 平面力系 3. 平面平行力系的平衡方程
工 程 力 学
FR 0, MO 0
x
0,
B
F
y
0,
M
B
A
0
M
A
D
F
30o
l
q1
q2 B 3a
B
A
力 系 的 平 衡
M
A a
C
C
l
F a
D
B
C
B
R
C
O
l
P1
A a
P
C G
D
A
A
版权所有 张强
16
2.1 力系的平衡条件及其平衡方程 - 2. 平面力系 静定和静不定问题
力系类型
工 程 力 学
3
2.1 力系的平衡条件及其平衡方程 - 1. 空间力系 FR Fi 0, M O M O ( Fi ) 0 矢量式方程
工 程 力 学
建立 Oxyz 直角坐标系则有
F
ix
0,
F
iy
0, Fiz 0
M
ix
0, Miy 0, Miz 0
静不定问题
平衡方程总数： m = 6 未知量总数： n = 7
18
平衡方程总数： m = 6 未知量总数： n = 7
2.1 力系的平衡条件及其平衡方程 - 2. 平面力系 静定和静不定问题
工 程 力 学
静不定问题
平衡方程总数： m = 6 未知量总数： n = 7
静不定问题
平衡方程总数： m = 6 未知量总数： n = 7
2.2 桁架的内力计算
实际的物系平衡问题：
工程中多个构件组成的结构的平衡问题
工 程 力 学
常见的结构： 构架 桁架 机构
力 系 的 平 衡
是指由多根杆件组合而成的，至少包含一个非 二力构件的刚性承载结构。
M
A
0
力 系 的 平 衡
(4) 解方程得到应求的未知约束反力 或平衡位置的几何参数。
！
有 3 个独立的平衡方程，可求解 3 个未知量!
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15
2.1 力系的平衡条件及其平衡方程 - 2. 平面力系 平面任意力系平衡问题的解题方法与步骤
FR 0, MO 0
F
工 程 力 学
i
0
版权所有 张强
12
2.1 力系的平衡条件及其平衡方程 - 2. 平面力系 3. 平面平行力系的平衡方程
工 程 力 学
FR 0, MO 0
平面特殊力系的平衡方程，平衡方程数目会相应地减少
平面平行力系中，各力的作用线都在同一平面内 且相互平行。 (1) 基本形式
F1 F2 Fi
力 系 的 平 衡
F
x
0,
F
y
0,
M
z
0
版权所有 张强
7
2.1 力系的平衡条件及其平衡方程 - 2. 平面力系 基本形式： Fx 0, Fy 0, M A ( Fi ) 0 一矩式
工 程 力 学
FR 0, MO 0
F
1. 两矩式
Fil 0 M A ( Fi ) 0 M B ( Fi ) 0
力 系 的 平 衡
版权所有 张强
21
2.1 力系的平衡条件及其平衡方程 – 物系平衡
工 程 力 学
F
q
D B
A
CLeabharlann B ArrA
F B
q C
M
D
E
E
力 系 的 平 衡
M
H
A
C
D B
30
P
B
C
D
q
q C
F2 F1 E
M B
a
E
A
D
A
B
P
D
版权所有 张强
E
C
F
a
A
D
H
22
A
B
C
a
力 系 的 平 衡
DABC 是整体
版权所有 张强
静不定问题
平衡方程总数： m = 9 未知量总数： n = 10
静不定问题
平衡方程总数： m = 6 未知量总数： n = 7
19
2.1 力系的平衡条件及其平衡方程 – 物系平衡 物系是指由两个或两个以上刚体相互连接所组成的系统。 D
工 程 力 学
E
F 0, F 0, F 0 M 0, M 0, M 0
x y z x y z
力 系 的 平 衡
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6
2.1 力系的平衡条件及其平衡方程 - 2. 平面力系 一般空间力系的代数式平衡方程：
FR 0, MO 0
工 程 力 学
F 0, F 0, F 0 M 0, M 0, M 0
代数式方程
力 系 的 平 衡
更简便的表达： Fx 0,
M
x
0, etc.
！
1. 六个独立的方程；最多能求得六个未知量！ 2. 投影轴或矩轴具有任意性，可以各自不同； 可巧妙选择使方程中尽可能少地出现未知量， 如投影轴与未知力垂直，矩轴与未知力共面等。
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4
2.1 力系的平衡条件及其平衡方程 - 1. 空间力系 一般空间力系的代数式平衡方程：
A Fl B
l
力 系 的 平 衡
附加条件：投影轴 l 不垂直于 A、B 连线。
F 过 A、B 两点 FR Fi 0 M A M A ( Fi ) 0
F 0
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8
2.1 力系的平衡条件及其平衡方程 - 2. 平面力系 基本形式： Fx 0, Fy 0, M A ( Fi ) 0 一矩式 2. 三矩式
C
力 系 的 平 衡
A
B
物体系统整体平衡，而且物体系统中的每一个物体都平衡， 称之为物体系统平衡，简称物系平衡。
物系整体受力平衡
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