高中数学第三章数系的扩充与复数3.2.3复数的除法课堂探究新人教B选修2-2创新
(完整版)高中数学选修2-2第三章数系的扩充与复数的引入
第三章数系的扩充与复数的引入目录§3.1.1 数系的扩充与复数的概念（新授课）§3.1.2 复数的几何意义（新授课）§3.2.1 复数的代数形式的加减运算及其几何意义（新授课）§3.2.2 复数的代数形式的乘除运算（新授课）第三章数系的扩充与复数的引入小结与复习（复习课）选修2-2 第三章复数基础练习（一）选修2-2 第三章复数基础练习（一）答案选修2-2 第三章复数基础练习（二）选修2-2 第三章复数基础练习（二）答案第三章数系的扩充与复数的引入一、课程目标：本章学习的主要内容是数系的扩充与复数的概念，复数代数形式的四则运算。
复数的引入是中学阶段数系的又一次扩充，这不仅可以使学生对于数的概念有一个初步的、完整的认识，也为进一步学习数学打下了基础。
通过本章学习，要使学生在问题情景中了解数系扩充的过程以及引入复数的必要性，学习复数得一些基本知识，体会人类理性思维在数系扩充中的作用。
二、学习目标：（1）、在问题情境中了解数系的扩充过程，体会实际需求与数学内部的矛盾在数系扩充过程中的作用，感受人类理性思维的作用以及数与现实世界的联系。
（2）、理解复数的基本概念以及复数相等的充要条件。
（3）、了解复数的代数表示法及其几何意义。
（4）、能进行复数代数形式的四则运算，了解复数代数形式的加、减运算的几何意义。
三、本章知识结构：四、课时安排：本章教学时间约4课时，具体分配如下：3.1 数系的扩充与复数的概念约2课时3.2 复数代数形式的四则运算约2课时§3.1.1 数系的扩充与复数的概念（新授课）一、教学目标:知识与技能：了解数系的扩充过程，理解复数及其有关概念。
理解数系的扩充是与生活密切相关的，明白复数及其相关概念。
过程与方法：采取“阅读、质疑、探究”的过程，让学生体验数系的扩充过程。
情感、态度与价值观：让学生在“发现问题，解决问题”中增长技能，充分认识人类理性思维的能动性，使学生在掌握知识的同时增强战胜困难的信心和技能。
高中数学 第三章 数系的扩充与复数的引入 3.2.2 复数代数形式的乘除运算教案1 新人教A版选修2
高中数学第三章数系的扩充与复数的引入3.2.2 复数代数形式的乘除运算教案1 新人教A版选修2-2编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（高中数学第三章数系的扩充与复数的引入3.2.2 复数代数形式的乘除运算教案1 新人教A版选修2-2）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。
本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为高中数学第三章数系的扩充与复数的引入3.2.2 复数代数形式的乘除运算教案1 新人教A 版选修2-2的全部内容。
3.2.2 复数代数形式的乘除运算一、教学目标：1。
知识目标:（1)掌握复数代数形式的乘法与除法的运算法则，会进行乘法与除法运算；（2）理解共轭复数的概念,并会用它及其性质求解相关问题；（3)掌握复数的乘法所满足的运算律，并能应用它们熟练地进行的四则运算．2.能力目标：通过类比实数的四则运算的规律或向量的运算规律，得到复数加减运算的法则，同时了解复数加减法运算的几何意义．3。
情感态度价值观：通过探究复数加减运算法则的过程，感悟由特殊到一般的思想，同时由向量的加减法与复数的类比,理解复数加减的运算法则，知道事物之间是普遍联系的哲学规律．二、重点难点：重点:复数乘除法运算及其应用．。
难点:复数乘除法运算的几何意义．三、学习新知：阅读课本， 找出疑惑之处，并自主探究下列问题:1。
复数乘除法运算的法则？2.复数乘除满足的运算律?3。
复数乘除法运算的几何意义?四、教学过程：1、课前准备⑴设12i,i z a b z c d =+=+，则12z z =___________,12z z =___________． ⑵对于123,,C z z z ∈有12z z =___________，123()z z z =___________，123()z z z +=___________． ⑶一般地，当两个复数的实部___________，虚部___________时，这两个复数叫做互为共轭复数．虚部不为零的两个共轭复数也叫做___________．设i z a b =+，则z =___________． ⑷已知12,z z 是共轭复数，那么①若12,z z 是共轭虚数，在复平面内，12,z z 所对应的点关于___________对称;②12z z =___________．2、学习引领(1）乘法运算的解读复数代数形式的乘法运算也并不繁琐，两个复数相乘,只要按照多项式的乘法进行,并将i 的平方换成1-，最后将结果整理成i(,R)a b a b +∈的形式即可．（2）除法运算的解读复数代数形式的除法运算，要求掌握除法运算的一般规律：分子分母同乘以分母的共轭复数，然后分子运用复数代数形式的乘法运算进行化简,而分母则运用z z =2||z 进行化简,最后将结果整理成i(,R)a b a b +∈的形式即可．(3）共轭复数的解读共轭复数是复数集中比较重要且具有独特性质的复数,应注意它的几何特性：关于是轴对称；代数特性：实部相等，虚部互为相反数．这正是建立方程组的出发点．②实数a 的共轭复数仍然是a 本身,即C z ∈，z z z R =⇔∈，这是判断一个数是否是实数的一个准则．(4）复数运算中i n 的周期性:4414243i 1,i i,i 1,i i n n n n +++===-=-．3、典例导析题型一 复数的乘法基本运算例1计算 ⑴2(1+i)(1i)(1+i)--； ⑵(12i)(34i)(56i)4i +++-．思路导析：解答本题只要熟练运用复数的乘法法则及乘法运算律（乘法公式)即可求解． 解析：⑴2(1+i)(1i)(1+i)--2221i (12i i )=--++22i =-．⑵(12i)(34i)(56i)4i +++-2(34i 6i 8i )(56i)4i =++++-(510i)(56i)4i =-++-22530i 50i 60i 4i =--++-8516i =-+．规律总结：三个或三个以上的复数相乘可按从左到右的顺序运算或利用结合律运算，混合运算与实数的运算一样；对于能够使用乘法公式计算的两个复数的乘法，用乘法公式更简便,如平方差公式，完全平方公式等．【变式练习1】计算⑴2(1i)-； ⑵(13i)(34i)-+-;题型二 复数的除法基本运算例2计算 ⑴(2i)(2i)-÷+；⑵i(2i)12i+-． 思路导析：熟练掌握除法运算法则，将分母实数化解决本题． 解析：⑴2i (2i)(2i)2i --÷+=+222(2i)54i 41i 2i55--===--． ⑵解法一：22i(2i)2i 1(2i 1)(12i)5112i 12i 1(2i)5+--+-====----． 解法二:i(2i)2i 1(12i)112i 12i 12i+---===----． 规律总结：进行复数的除法,通常从两方面计算：①运用复数除法法则“分母实数化”;②逆（或正）用乘法运算律，整体处理；如i i(i)i(i)=(i)a b b a b a a b +=-=--+---．【变式练习2】计算⑴i 2i -；⑵1i 1i-+． 题型三 共轭复数及应用例3 已知复数222(32)i()x x x x x R +-+-+∈是420i -的共轭复数，求x 的值．思路导析：利用共轭复数的概念：实部相等,虚部互为相反数，建立方程组求解x 的值．解析：由题意得，2224,3220,x x x x ⎧+-=⎪⎨-+=⎪⎩解之得3x =-． 故x 的值为3-．规律总结:对于共轭复数及应用型问题，通常抓住共轭复数的代数特征，建立方程进行求解．【变式练习3】若2i x y -+和3i x -互为共轭复数,则实数,x y 的值为（）（A ）3，3 （B ）5,1 （C ）1,1-- （D ）1,1-题型四 简单的复数方程例4 证明:在复数范围内，方程255i (1i)(1i)2iz z z -+--+=+(i 为虚数单位）无解． 思路导析：利用复数相等将复数方程转化为实数方程组进行证明． 证明：原方程化简为2(1i)(1i)13i z z z +--+=-，设i(,)z x y x y R =+∈，则i z x y =-， 代入上述方程得22(22)i 13i x y x y +-+=-,∴221,(22)3,x y x y ⎧+=⎨-+=-⎩整理得281250x x -+=．因2(12)485160∆=--⨯⨯=-<，∴方程无实数解，∴原方程在复数范围内无解．规律总结：处理复数方程问题，一般是设出复数z的代数形式，利用四则运算整理方程，然后复数相等的充要条件转化为代数方程组进行求解．【变式练习4】已知C-=+．zz zz∈,解方程3i13i。
高中数学新人教版选修2-2课件第三章 数系的扩充与复数的引入3.2.2复数代数形式的乘除运算精选ppt课件
解
－i
＝ －i ＝ －i·i ＝－1－3i.
解析答案
题型二 共轭复数及应用 例 3 若 f(z)＝2z＋ z －3i，f( z ＋i)＝6－3i，求 f(－z).
反思与感 悟
解析答案
跟踪训练 3 已知 z∈C，解方程 z·z －3i z ＝1＋3i.
解 将 z·z －3i z ＝1＋3i，
①
两边取共轭复数，得 z ·z＋3iz＝1－3i，
i
.
(3)11－ ＋ii＝－i .
答案
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题型探究
题型一 复数乘除法的运算 例1 计算：(1)(2＋i)(2－i)；(2)(1＋2i)2. 解 (1)(2＋i)(2－i)＝4－i2＝4－(－1)＝5； (2)(1＋2i)2＝1＋4i＋(2i)2＝1＋4i＋4i2＝－3＋4i.
重点突破
反思与感 悟
解析答案
②
②－①得 z ＝－2－z，代入①得 z2＋(2－3i)z＋1－3i＝0，
即(z＋1)(z＋1－3i)＝0， ∴z＝－1或z＝－1＋3i.
解析答案
知识拓展
复数运算的应用
复数的运算在复数开平方运算和分解因式中有广泛应用，下面通过具 体的实例加以说明. 1.求复数的平方根 复数z＝a＋bi开平方，只要令其平方根为x＋yi，利用平方根的定义， 以及复数相等的充要条件，即可求出未知量，从而得到复数z的平方根.
跟踪训练1 计算：(1)(1－2i)(3＋4i)(－2＋i)； 解 (1－2i)(3＋4i)(－2＋i) ＝(11－2i)(－2＋i) ＝－20＋15i； (2)(3＋4i)(3－4i)； 解 (3＋4i)(3－4i)＝32－(4i)2＝9－(－16)＝25； (3)(1＋i)2. 解 (1＋i)2＝1＋2i＋i2＝2i.
新人教版高中数学选修2-2教案：第3章 数系的扩充与复数的引入
数系的扩充与复数的引入【知识要点】1、 虚数单位的引入及其性质：为了社会的发展，满足实际解题的需要，我们发现了很多问题在实数范围内还无法解决，但是把数集的范围进一步的扩充引入了复数（虚数），我们发现很多问题是可以解决； 如：在实数范围内求方程:2-+1=0,=1-4= -3<0x x ∆,故方程在实数范围内无解。
但是，当我们引入虚数，令2= -1i ，那么2= -3=3i ∆，12-1==22b x a ±±、， 故：一般地，我们记作虚数为=+(b 0)z a bi ≠为虚数，当=0a ，我们把=(b 0)z bi ≠叫做纯虚数。
2、 复数的概念：形如=+(a,)z a bi ∈b R 的数叫做复数，其中i 叫做虚数单位，a 叫做实部，b 叫做虚部，全体复数构成的集合叫做复数集，通常用C 表示。
==+(a ,bR )=0(b 0)0z a bi a a ⇔⎧⎪∈⇔⎧⎨≠⎨⎪⇔≠⎩⎩实数b 0复数纯虚数虚数非纯虚数 3、 复数的几何意义：=+(a,b )z a bi R ∈表示复数构成直角平面坐标系（复平面）中的实数点(a,b)，那么|z 4、 共轭复数：12=+, =-z a bi z a bi ，形如这样的复数12 z z 、互为共轭复数，记作12= z z 。
5、 若12=+, =z a bi z c +di ，且12= z z ，则=,=a c b d 6、 复数的加减法：已知12=+, =z a bi z c +di ，则：122+=()+()=()+()1z z a +c b +d iz -z a -c b -d i7、 复数的乘除法：已知12=+, =z a bi z c +di ，则：12122222=()(c )=+()i()()(c-)+-===+(c )(c )(c-)++z z a +bi +di ac -bd ad +bc z a +bi a +bi di ac bd ac bd i z +di +di di c d c d【解题方法】【利用定义求解方程的未知数】1-1、 对于这样的题，一般会在一个方程里面出现虚部单位i ，然后出现一个方程等式等于0或者其他常数，我们则要利用若12=+, =z a bi z c +di ，且12= z z ，则=,=a c b d .若说x 为复数，则设=+x a bi 代入解题。
高中数学 第三章 数系的扩充与复数的引入 3.2.2 复数的乘法和除法课堂探究 新人教B版选修1-2
究新人教B版选修1-2编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（高中数学第三章数系的扩充与复数的引入3.2.2 复数的乘法和除法课堂探究新人教B版选修1-2）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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堂探究新人教B版选修1—2探究一复数的乘、除运算两个复数的积和商仍为复数，运算过程中乘法运算可类比多项式的乘法运算规则；对于除法运算要格外注意,复数的除法与实数的除法有所不同，实数的除法可以直接约分化简，得出结论，但复数的除法因为分母为复数一般不能直接约分化简．【典型例题1】（1）（2014课标全国卷Ⅱ高考）设复数z1，z2在复平面内的对应点关于虚轴对称,z1＝2＋i，则z1z2＝( )A．－5 B．5 C．－4＋i D．－4－i解析：由题意知：z2＝－2＋i。
又z1＝2＋i，所以z1z2＝(2＋i）(－2＋i)＝i2－4＝－5.故选A。
答案：A（2）(2014新课标全国卷Ⅰ高考）错误!＝( ）A．1＋i B．1－i C．－1＋i D．－1－i解析：错误!＝错误!＝错误!＝－1－i.故选D.答案：D点评对于复数的运算，除应用四则运算法则之外,对于一些简单的算式要知道其结果,这样起点就高，计算过程就可以简化，达到快速、简捷、出错少的效果．比如下列结论，要记住：①错误!＝－i；②错误!＝i;③错误!＝－i;④a＋b i＝i(b－a i)；⑤错误!3＝1;⑥错误!3＝－1。
探究二共轭复数性质的应用1．共轭复数常用的性质有：①错误!＝z.②z·错误!＝|z｜2＝｜错误!｜2。
2017_2018版高中数学第三章数系的扩充与复数的引入3_2_2复数的乘法和除法学案新人教B版选修
3.2.2 复数的乘法和除法明目标、知重点 1.把握复数代数形式的乘法和除法运算.2.明白得复数乘法的互换律、结合律和乘法对加法的分派律.3.进一步明白得共轭复数的概念及性质.1.复数的乘法法则设z1＝a＋b i，z2＝c＋d i(a，b，c，d∈R)，则z1·z2＝(a＋b i)(c＋d i)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i.2.复数乘法的运算律对任意复数z1、z2、z3∈C，有交换律z1·z2＝z2·z1结合律(z1·z2)·z3＝z1·(z2·z3)乘法对加法的分配律z1(z2＋z3)＝z1z2＋z1z3 3.复数的除法法则设z1＝a＋b i，z2＝c＋d i(c＋d i≠0)，则z1z2＝a＋b ic＋d i＝ac＋bdc2＋d2＋bc－adc2＋d2i.[情境导学]咱们学习过实数的乘法运算及运算律，那么复数的乘法如何进行运算，复数的乘法知足运算律吗？探讨点一复数乘除法的运算试探1 如何进行复数的乘法？答两个复数相乘，类似于两个多项式相乘，只要把已得结果中的i2换成－1，而且把实部与虚部别离归并即可. 试探2 复数的乘法与多项式的乘法有何不同？答复数的乘法与多项式乘法是类似的，有一点不同即必需在所得结果中把i2换成－1.例1 计算：(1)(1－2i)(3＋4i)(－2＋i)；(2)(3＋4i)(3－4i)；(3)(1＋i)2.解(1)(1－2i)(3＋4i)(－2＋i)＝(11－2i)(－2＋i)＝－20＋15i；(2)(3＋4i)(3－4i)＝32－(4i)2＝9－(－16)＝25；(3)(1＋i)2＝1＋2i ＋i 2＝2i.反思与感悟 复数的乘法能够按多项式的乘法法则进行，注意选用适当的乘法公式进行简便运算，例如平方差公式、完全平方公式等.跟踪训练1 计算：(1)(2＋i)(2－i)；(2)(1＋2i)2.解 (1)(2＋i)(2－i)＝4－i 2＝4－(－1)＝5；(2)(1＋2i)2＝1＋4i ＋(2i)2＝1＋4i ＋4i 2＝－3＋4i.试探3 如何明白得复数的除法运算法则？答 复数的除法先写成份式的形式，再把分母实数化(方式是分母与分子同时乘以分母的共轭复数，若分母是纯虚数，则只需同时乘以i).例2 计算：(1)4－3i 4＋3i ＋4＋3i 4－3i ； (2)(1＋i 1－i )6＋2＋3i 3－2i. 解 (1)原式＝4－3i 24＋3i 4－3i＋4＋3i 24－3i 4＋3i ＝16－9－24i 42＋32＋16－9＋24i 42＋32＝7－24i 25＋7＋24i 25＝1425； (2)方式一 原式＝[1＋i 22]6＋2＋3i 3＋2i 32＋22 ＝i 6＋6＋2i ＋3i －65＝－1＋i. 方式二 (技术解法)原式＝[1＋i 22]6＋2＋3i i 3－2i i ＝i 6＋2＋3ii 2＋3i ＝－1＋i.反思与感悟 复数的除法是分子、分母同乘以分母的共轭复数.跟踪训练2 计算：(1)7＋i 3＋4i ；(2)－1＋i 2＋i －i. 解 (1)7＋i 3＋4i＝7＋i 3－4i 3＋4i 3－4i ＝25－25i 25＝1－i. (2)－1＋i 2＋i －i ＝－3＋i －i ＝－3＋i ·i －i·i＝－1－3i. 探讨点二 共轭复数及其应用试探1 复数a ＋b i 及其共轭复数之积是实数仍是虚数？答 复数a ＋b i 的共轭复数表示为a －b i ，由于 (a ＋b i)·(a －b i)＝a 2＋b 2，因此两个共轭复数之积为实数. 试探2 共轭复数有哪些性质，这些性质有什么作用？答 (1)在复平面上，两个共轭复数对应的点关于实轴对称.(2)实数的共轭复数是它本身，即z ＝z ⇔z ∈R ，利用那个性质可证明一个复数为实数.(3)若z ≠0且z ＋z ＝0，则z 为纯虚数，利用那个性质，可证明一个复数为纯虚数.试探3 z ·z 与|z |2和|z |2有什么关系？ 答 z ·z ＝|z |2＝|z |2.例3 已知复数z 知足|z |＝1，且(3＋4i)z 是纯虚数，求z 的共轭复数z .解 设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则z ＝a －b i 且|z |＝a 2＋b 2＝1，即a 2＋b 2＝1.①因为(3＋4i)z ＝(3＋4i)(a ＋b i)＝(3a －4b )＋(3b ＋4a )i ，而(3＋4i)z 是纯虚数，因此3a －4b ＝0，且3b ＋4a ≠0.②由①②联立，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝45，b ＝35，或⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－45，b ＝－35.因此z ＝45－35i ，或z ＝－45＋35i. 反思与感悟 本题利用了复数问题实数化思想，运用待定系数法，化解了问题的难点.跟踪训练3 已知复数z 知足：z ·z ＋2i z ＝8＋6i ，求复数z 的实部与虚部的和.解 设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则z ·z ＝a 2＋b 2，∴a 2＋b 2＋2i(a ＋b i)＝8＋6i ，即a 2＋b 2－2b ＋2a i ＝8＋6i ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＋b 2－2b ＝82a ＝6，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝3b ＝1，∴a ＋b ＝4，∴复数z 的实部与虚部的和是4.1.设复数z 知足i z ＝1，其中i 为虚数单位，则z 等于( )A.－iC.－1答案 A解析 z ＝1i＝－i. 2.已知集合M ＝{1,2，z i}，i 为虚数单位，N ＝{3,4}，M ∩N ＝{4}，则复数z 等于( )A.－2iC.－4i答案 C解析 由M ∩N ＝{4}得z i ＝4，z ＝4i ＝－4i.3.复数i －21＋2i等于( )B.－iC.－45－35i D.－45＋35i 答案 A4.复数z ＝2－i 2＋i(i 为虚数单位)在复平面内对应的点所在象限为( ) A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限 答案 D解析 因为z ＝2－i 2＋i ＝2－i 25＝3－4i 5，故复数z 对应的点在第四象限，选D. [呈重点、现规律]1.复数代数形式的乘除运算(1)复数代数形式的乘法类似于多项式乘以多项式，复数的乘法知足互换律、结合律和乘法对加法的分派律.(2)在进行复数代数形式的除法运算时，通常先将除法写成份式的形式，再把分子、分母都乘以分母的共轭复数，化简后可得，类似于以前学习的分母有理化.2.共轭复数的性质能够用来解决一些复数问题.3.复数问题实数化思想.复数问题实数化是解决复数问题的大体思想方式，其桥梁是设复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，利用复数相等的充要条件转化.。
高中数学 第三章 数系的扩充与复数本章整合 新人教B版选修2-2(2021年最新整理)
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高中数学第三章数系的扩充与复数本章整合新人教B版选修2-2知识网络专题探究专题一复数的概念及几何意义复数的概念是复数的基本内容，是解决复数问题的基础．在解决与复数概念相关的问题时，复数问题实数化是求解的基本策略，“桥梁”是设z＝x＋y i(x，y∈R)，依据是“两个复数相等的充要条件"．此外，这类问题还常以方程的形式出现，与方程的根有关，这时将已知根代入(或设出后代入),利用复数相等的充要条件再进行求解．复数的几何意义实质是复数与复平面上的点以及从原点出发的向量建立了一一对应关系，因此还常常利用数形结合的思想来解决复数问题．【例1】设复数z＝（1＋i)m2－(2＋4i）m－3＋3i.试求当实数m取何值时:（1)z是实数；(2)z是纯虚数；(3）z对应的点在直线x＋y＝0上；(4)|z｜＝0;(5)错误!＝－3＋i。
解：z＝（1＋i)m2－（2＋4i)m－3＋3i＝(m2－2m－3）＋(m2－4m＋3）i。
①因为z是实数,所以m2－4m＋3＝0，解得m＝1或m＝3。
②因为z是纯虚数,所以错误!解得m＝－1；③由于z对应的点在直线x＋y＝0上，所以（m2－2m－3）＋（m2－4m＋3）＝0,④因为|z｜＝0，所以z＝0，因此错误!解得m＝3。
高中数学 第3章 数系的扩充与复数的引入 3.2 复数的四则运算(二)学案 苏教版选修2-2-苏教版
3．2 复数的四则运算(二)1.了解复数乘方的运算性质和复数除法的分母实数化方法．2.理解i 幂性质，能熟练进行复数的乘方和除法运算． 3．掌握综合运用复数概念、共轭复数及复数的四则运算解决问题．1．复数的乘方在复数范围内，实数范围内的正整数指数幂的运算律仍然成立，即对任意的复数z ，z 1，z 2和正整数m ，n 有z m z n ＝z m ＋n ，(z m )n ＝z mn ＝(z n )m ，(z 1z 2)n ＝z n 1z n2．2．i 幂性质一般地，如果n ∈N *，我们有①i 4n＝1；②i 4n ＋1＝i ；③i4n ＋2＝－1；④i4n ＋3＝－i ．3．复数的除法法则(1)我们把满足(c ＋d i)(x ＋y i)＝a ＋b i(c ＋d i ≠0)的复数x ＋y i(x ，y ∈R )叫做复数a ＋b i 除以复数c ＋d i 的商，记作a ＋b ic ＋d i或(a ＋b i )÷(c ＋d i)． (2)一般地，我们有a ＋b ic ＋d i ＝(a ＋b i)(c －d i)(c ＋d i)(c －d i)＝ac ＋bd c 2＋d 2＋bc －adc 2＋d 2i. (3)两个复数的商仍是一个复数．1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)两个复数的积与商一定是虚数．( ) (2)两个共轭复数的和与积是实数．( )(3)复数加减乘除的混合运算法则是先乘除，后加减．( ) 答案：(1)× (2)√ (3)√ 2.1＋3i1－i＝( ) A ．1＋2i B ．－1＋2i C ．1－2i D ．－1－2i答案：B3．复数3＋ii2(i 为虚数单位)的实部等于________．答案：－34．已知z 是纯虚数，z ＋21－i是实数，那么z 等于________．解析：因为z 为纯虚数，所以设z ＝b i(b ∈R 且b ≠0)，则z ＋21－i ＝b i ＋21－i ＝(b i ＋2)(1＋i)(1－i)(1＋i)＝b i ＋b i 2＋2＋2i 1－i2＝－b ＋2＋(b ＋2)i 2＝－b ＋22＋12(b ＋2)i ，又z ＋21－i 为实数，所以12(b ＋2)＝0，即b ＝－2.所以z ＝－2i.答案：－2i复数的乘方运算(1)⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i 2 017等于________．(2)化简i ＋2i 2＋3i 3＋…＋100i 100.【解】 (1)⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i 2 017＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤(1＋i)(1＋i)(1－i)(1＋i)2 017＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2i 2 2 017＝i 2 017＝(i 4)504·i ＝1504·i ＝i.故填i.(2)设S ＝i ＋2i 2＋3i 3＋…＋100i 100，① 所以i S ＝i 2＋2i 3＋…＋99i 100＋100i 101，② ①－②得(1－i)S ＝i ＋i 2＋i 3＋…＋i 100－100i 101＝i(1－i 100)1－i－100i 101＝0－100i ＝－100i.所以S ＝－100i 1－i ＝－100i(1＋i)(1－i)(1＋i)＝－100(－1＋i)2＝50－50i.所以i ＋2i 2＋3i 3＋…＋100i 100＝50－50i.(1)等差、等比数列的求和公式在复数集C 中仍适用，i 的周期性要记熟，即i n＋i n ＋1＋in ＋2＋in ＋3＝0(n ∈N *)．(2)记住以下结果，可提高运算速度． ①(1＋i)2＝2i ，(1－i)2＝－2i.②1－i 1＋i ＝－i ，1＋i1－i＝i. ③1i＝－i. 1.计算：(1)2＋2i (1－i)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫21＋i 2 016； (2)i ＋i 2＋…＋i2 017.解：(1)原式＝2(1＋i)－2i ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫22i 1 008＝i(1＋i)＋(－i)1 008＝i ＋i 2＋(－1)1 008·i 1 008＝i －1＋i4×252＝i －1＋1 ＝i.(2)法一：原式＝i(1－i 2 017)1－i ＝i －i2 0181－i＝i －(i 4)504·i 21－i ＝i ＋11－i ＝(1＋i)(1＋i)(1－i)(1＋i)＝2i2＝i.法二：因为i n＋in ＋1＋in ＋2＋in ＋3＝i n (1＋i ＋i 2＋i 3)＝0(n ∈N *)，所以原式＝(i ＋i 2＋i 3＋i 4)＋(i 5＋i 6＋i 7＋i 8)＋…＋(i 2 013＋i2 014＋i2 015＋i2 016)＋i2 017＝i2 017＝(i 4)504·i ＝1504·i ＝i.复数的除法运算计算下列各题． (1)3＋2i 2－3i －3－2i 2＋3i； (2)1i (2＋2i)5＋⎝ ⎛⎭⎪⎫11＋i 4＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i 7； (3)⎝ ⎛⎭⎪⎫－32－12i 12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋2i 1－3i 8. 【解】 (1)3＋2i 2－3i －3－2i 2＋3i＝(3＋2i)(2＋3i)－(3－2i)(2－3i)(2－3i)(2＋3i)＝13i ＋13i13＝2i.(2)原式＝－i ·(2)5·[(1＋i)2]2·(1＋i)＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤1(1＋i)22＋i 7＝162(－1＋i)－14－i ＝－⎝⎛⎭⎪⎫162＋14＋(162－1)i. (3)原式＝(－i)12·⎝ ⎛⎭⎪⎫－32－12i 12＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1＋i 12－32i 8 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋32i 12＋[(1＋i)2]4·⎝ ⎛⎭⎪⎫12－32i ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫12－32i 33＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋32i 34＋(－8＋83i)＝1－8＋83i ＝－7＋83i.(1)复数的除法运算中，要牢记“分母实数化”(类比实数运算的分母有理化)，即分子、分母同乘以分母的共轭复数，不必死记除法法则．(2)复数的运算顺序与实数运算顺序相同，都是先进行高级运算(乘方、开方)，再进行次级运算(乘、除)，最后进行低级运算(加、减)．如i 的幂运算，先利用i 的幂的周期性，将其次数降低，然后再进行四则运算．(3)要记住下列结果，使运算起点高． ①1i ＝－i ；②1＋i 1－i ＝i ；③1－i 1＋i ＝－i ； ④⎝ ⎛⎭⎪⎫－12±32i 3＝1；⑤⎝ ⎛⎭⎪⎫12±32i 3＝－1. 2.计算下列各题：(1)－1＋3i 1＋i ；(2)3－4i 4＋3i ＋1＋i 1－i ；(3)(2＋2i)4(1－3i)5. 解：(1)原式＝(－1＋3i)(1－i)(1＋i)(1－i)＝－1＋3＋(1＋3)i 2＝3－12＋3＋12i.(2)原式＝(3－4i)(4－3i)(4＋3i)(4－3i)＋(1＋i)2(1－i)(1＋i)＝(12－12)－(16＋9)i 25＋2i2＝－i ＋i ＝0.(3)(2＋2i)4(1－3i)5＝24(1＋i)4(1－3i)5＝24·(2i)2(1－3i)5＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫12－32i 5 ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋32i 5＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋32i 6⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋32i 5＝－1＋3i.复数范围内解方程、因式分解问题在复数范围内解方程： (1)x 2－2x ＋3＝0； (2)x 3－1＝0.【解】 (1)法一：因为x 2－2x ＋3＝(x －1)2＋2 ＝(x －1)2－(2i)2＝(x －1－2i)(x －1＋2i)＝0， 所以x ＝1＋2i 或x ＝1－2i.所以方程x 2－2x ＋3＝0的两根为1＋2i 和1－2i. 法二：设x ＝a ＋b i(a ，b ∈R )为方程x 2－2x ＋3＝0的根， 则(a ＋b i)2－2(a ＋b i)＋3＝0， 整理得a 2－b 2－2a ＋3＋2b (a －1)i ＝0.由复数相等的充要条件，得⎩⎪⎨⎪⎧a 2－b 2－2a ＋3＝0，2b (a －1)＝0.解得⎩⎨⎧a ＝1，b ＝2，或⎩⎨⎧a ＝1，b ＝－ 2.所以方程x 2－2x ＋3＝0的两根为1＋2i 和1－2i. 法三：因为x 2－2x ＋3＝(x －1)2＋2， 又因为x 2－2x ＋3＝0，所以(x －1)2＋2＝0. 所以(x －1)2＝－2.所以x －1＝2i 或x －1＝－2i ， 即x ＝1＋2i 或x ＝1－2i.所以方程x 2－2x ＋3＝0的两根为1＋2i 和1－2i. (2)因为x 3－1＝(x －1)(x 2＋x ＋1)＝(x －1)⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋34＝(x －1)⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122－⎝ ⎛⎭⎪⎫32i 2＝(x －1)⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12－32i ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12＋32i ＝0，所以x ＝1或x ＝－12＋32i 或x ＝－12－32i.复数范围内解方程的一般思路：一是因式分解，二是对次数较低的方程依据题意设出方程的根，代入方程，利用复数相等的充要条件求解．对于一元二次方程，也可以利用求根公式求解，要注意在复数范围内负数是能开方的，此外，根与系数的关系也是成立的．注意求方程中参数的取值时，不能利用判别式求解．3.在复数范围内分解因式：(1)x 2＋x ＋1；(2)x 2－x ＋1；(3)x 6－1.解：(1)x 2＋x ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋34＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122－34i 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122－⎝ ⎛⎭⎪⎫32i 2 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12－32i ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12＋32i . (2)x 2－x ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122－34i 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122－⎝ ⎛⎭⎪⎫32i 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12－32i ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12＋32i . (3)x 6－1＝(x 3＋1)(x 3－1)＝(x ＋1)(x 2－x ＋1)(x －1)(x 2＋x ＋1)＝(x ＋1)(x －1)⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12－32i ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12＋32i ·⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12－32i ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12＋32i .1．复数除法的认识复数除法的法则形式复杂，难于记忆．所以有关复数的除法运算，只要记住利用分母的共轭复数对分母进行“实数化”，然后结果再写成一个复数a ＋b i(a ，b ∈R )的形式即可．2．复数范围内因式分解由于实数范围内的乘法公式在复数范围内仍然成立，因此可以据此在复数范围内进行因式分解，而原来在实数范围内不能进行的因式分解，在复数范围内则可以进行，比如a 2＋b 2＝a 2－(b i)2＝(a ＋b i)(a －b i)．3．1的三次虚根ω的性质由方程x 3－1＝0得x 1＝1，x 2＝－1＋3i 2，x 3＝－1－3i 2.若取ω1＝－1＋3i 2，ω2＝－1－3i2，有如下性质： (1)ω31＝ω32＝1； (2)1＋ω1＋ω2＝0； (3)ω21＝ω2； (4)ω1·ω2＝1，ω1＝1ω2，ω2＝1ω1；(5)ω1＝ω2；(6)1＋ω1＋ω21＝0，1＋ω2＋ω22＝0.下列命题中错误的序号是________． ①若z ∈C ，则z 2≥0；②若z 1，z 2∈C ，且z 1－z 2＞0，则z 1＞z 2. 【解析】 ①错，反例设z ＝i 则z 2＝i 2＝－1＜0.②错，反例设z 1＝2＋i ，z 2＝1＋i ，满足z 1－z 2＝1＞0，但z 1、z 2不能比较大小． 【答案】 ①②(1)认为任何一个实数的平方大于零可推广到复数中，易误认为命题①正确． (2)认为两实数之差大于零等价于前一个大于后一个实数，也可推到复数中来．认为两复数差为实数则这两个复数也为实数．而误认为命题②是正确的．(3)把不等式性质错误的推广到复数中，忽略不等式是在实数中成立的前提条件．1．复数z ＝1－i 1＋i ，则ω＝z 2＋z 4＋z 6＋z 8＋z 10的值为( )A ．1B ．－1C ．iD ．－i解析：选B ．z 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－i 1＋i 2＝－1，所以ω＝－1＋1－1＋1－1＝－1. 2.i －21＋2i＝________． 解析：法一：原式＝(－2＋i)(1－2i)(1＋2i)(1－2i)＝(－2＋2)＋(1＋4)i5＝i.法二：原式＝i ＋2i 21＋2i ＝i(1＋2i)1＋2i ＝i.答案：i3．若z 是复数，且(3＋z )i ＝1(i 为虚数单位)，则z 为________． 解析：由(3＋z )i ＝1，得3＋z ＝1i ＝－i ，所以z ＝－3－i.答案：－3－i[A 基础达标]1．设复数z ＝3＋2i2－3i ，则z 的共轭复数为( )A ．1B ．－1C ．iD ．－i解析：选D ．z ＝3＋2i 2－3i ＝2－3i2－3i ·i ＝i ，于是z 的共轭复数为－i.2．若a 为实数，且2＋a i1＋i ＝3＋i ，则a ＝( )A ．－4B ．－3C ．3D ．4解析：选D ．因为2＋a i1＋i ＝3＋i ，所以2＋a i ＝(3＋i)(1＋i)＝2＋4i ，又a ∈R ，所以a＝4.3．已知复数z ＝1－i ，则z 2－2zz －1＝( )A ．2iB ．－2iC ．2D ．－2解析：选B ．法一：因为z ＝1－i ，所以z 2－2z z －1＝(1－i)2－2(1－i)1－i －1＝－2－i＝－2i.法二：由已知得z －1＝－i ，从而z 2－2z z －1＝(z －1)2－1z －1＝(－i)2－1－i ＝2i＝－2i.4．若复数z 满足z－1－i ＝i ，其中i 为虚数单位，则z ＝( )A ．1－iB ．1＋iC ．－1－iD ．－1＋i解析：选A ．由题意z －＝i(1－i)＝1＋i ，所以z ＝1－i ，故选A ． 5．若ω＝－12＋32i ，则ω＋1ω＝________．解析：ω＋1ω＝－12＋32i ＋1－12＋32i ＝－12＋32i －12－32i ＝－1.答案：－16．设a ，b ∈R ，a ＋b i ＝11－7i1－2i (i 为虚数单位)，则a ＋b 的值为________．解析：因为11－7i 1－2i ＝(11－7i)(1＋2i)(1－2i)(1＋2i)＝15(25＋15i)＝5＋3i ，所以a ＝5，b ＝3. 所以a ＋b ＝5＋3＝8. 答案：87．已知复数z ＝1＋a i(a ∈R ，i 是虚数单位)，z －z ＝－35＋45i ，则a ＝________．解析：由题意可知1－a i 1＋a i ＝(1－a i)2(1＋a i)(1－a i)＝1－a 21＋a 2－2a 1＋a 2i ＝－35＋45i ， 因此1－a 21＋a 2＝－35. 化简得5a 2－5＝3a 2＋3，所以a 2＝4，则a ＝±2. 由－2a 1＋a 2＝45可知a <0，所以a ＝－2.答案：－28．若复数z ＝1＋2i ，其中i 是虚数单位，则⎝⎛⎭⎪⎫z ＋1z －·z －＝________．解析：因为z ＝1＋2i ，所以z －＝1－2i.所以⎝⎛⎭⎪⎫z ＋1z －·z －＝z ·z －＋1＝5＋1＝6.答案：69．计算：－23＋i 1＋23i ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫21＋i 2 018＋(4－8i)2－(－4＋8i)24＋3i . 解：原式＝i(23i ＋1)1＋23i＋⎝ ⎛⎭⎪⎫22i 1 009＋(4－8i)2－(4－8i)24＋3i＝i ＋(－i)1 009＋04＋3i＝i －i ＋0＝0. 10．已知复数z 1＝a ＋2i(a ∈R )，z 2＝3－4i ，且z 1z 2为纯虚数，求复数z 1.解：z 1z 2＝a ＋2i 3－4i ＝(a ＋2i)(3＋4i)25＝(3a －8)＋(6＋4a )i25，因为z 1z 2为纯虚数，所以3a －8＝0，a ＝83，z 1＝83＋2i.[B 能力提升]1．若一个复数的实部与虚部互为相反数，则称此复数为“理想复数”．已知z ＝a1－2i ＋b i(a ，b ∈R )为“理想复数”，则( )A ．a －5b ＝0B ．3a －5b ＝0C ．a ＋5b ＝0D ．3a ＋5b ＝0解析：选D ．因为z ＝a 1－2i ＋b i ＝a (1＋2i)(1－2i)(1＋2i)＋b i ＝a 5＋(2a 5＋b )i.由题意知，a 5＝－2a 5－b ，则3a ＋5b ＝0. 2．对任意复数ω1，ω2，定义ω1*ω2＝ω1ω2，其中ω2是ω2的共轭复数，对任意复数z 1，z 2，z 3，有如下四个命题：①(z 1＋z 2)*z 3＝(z 1*z 3)＋(z 2*z 3)；②z 1*(z 2＋z 3)＝(z 1*z 2)＋(z 1*z 3)；③(z 1*z 2)*z 3＝z 1*(z 2*z 3)；④z 1*z 2＝z 2*z 1.则真命题的个数是________．解析：由于ω1*ω2＝ω1ω2—，对于①，(z 1＋z 2)*z 3＝(z 1＋z 2)z －3＝z 1z －3＋z 2z －3＝(z 1*z 3)＋(z 2*z 3)，显然成立；对于②，z 1*(z 2＋z 3)＝z 1(z 2＋z 3)＝z 1z －2＋z 1z －3＝(z 1*z 2)＋(z 1*z 3)，显然成立；对于③，(z 1*z 2)*z 3＝(z 1z －2)z －3＝z 1z －2z －3，而z 1*(z 2*z 3)＝z 1*(z 2z －3)＝z 1z －2z 3，显然不成立；对于④，由于z 1*z 2＝z 1z －2，而z 2*z 1＝z 2z －1，显然不一定成立．答案：23．已知x 是实数，y 是纯虚数，且满足(2x －1)＋i ＝y －(3－y )i ，求x 与y 的值． 解：根据已知条件x 是实数，y 是纯虚数，可设y ＝b i(b ∈R ，b ≠0)，代入关系式(2x －1)＋i ＝y －(3－y )i ，整理得：(2x －1)＋i ＝－b ＋(b －3)i ，根据复数相等的充要条件，可得⎩⎪⎨⎪⎧2x －1＝－b ，1＝b －3，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－32，b ＝4，则有⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－32，y ＝4i.4．(选做题)求同时满足下列两个条件的所有复数：(1)z ＋10z 是实数且1＜z ＋10z≤6； (2)z 的实部和虚部都是整数．解：设z ＝x ＋y i(x ，y ∈Z )，则z ＋10z ＝x ＋y i ＋10x ＋y i ＝x ＋y i ＋10(x －y i)x 2＋y 2∈R ，得y －10y x 2＋y 2＝0， 所以y ＝0或x 2＋y 2＝10.若y ＝0，1＜x ＋10x≤6无解，所以x 2＋y 2＝10. 从而z ＋10z＝2x ∈(1，6]．又x ，y ∈Z ，所以x ＝1或x ＝3. 若x ＝1，则y ＝±3；若x ＝3，则y ＝±1.所以z ＝1±3i 或z ＝3±i.。
最新人教版高中数学选修2-2第三章《数系的扩充与复数的引入复习》示范教案
第三章数系的扩充与复数的引入复习课整体设计教材分析复数的引入是中学阶段数系的又一次扩充，这不仅使学生对数的概念有一个初步的完整的认识，也为进一步的学习打下基础．通过前几节课的学习，同学们对复数的基本概念，基本运算法则，以及复数的几何意义等几个不同的方面有了了解，本节的复习将使学生在问题情景中进一步了解数系扩充的过程和引入复数的必要性，以及用复数解决数学问题的基本方法，复数与以前学习的知识之间的联系与区别，加强对复数的理解，体会实际需要与数学内容的矛盾．课时分配1课时．教学目标知识与技能目标理解复数的概念以及复数相等的充要条件，熟练掌握复数代数形式的四则运算，了解复数及其加减运算的几何意义，复数模的概念及其应用．过程与方法目标引导学生去发现问题，探索问题，解决问题，培养学生数形结合，化归与转化的思想意识．情感、态度与价值观通过对本章的复习，激发学生的学习兴趣，培养学生勇于开拓进取的良好品质，从而形成全面且细致的思维习惯．重点难点重点：复数的基本概念，复数的四则运算和复数相等的充要条件．难点：复数的几何意义以及对复数的模的理解应用．教学过程形成网络提出问题问题1：通过前面的学习，我们已经将数系由实数扩充到了复数，谁来将前面学习的有关复数的内容描述一下？活动设计：学生独立思考，5秒后找一位同学口答，其他同学可以补充．活动成果：复数⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧ 复数的概念⎩⎪⎨⎪⎧ 复数的代数形式及其相等的充要条件复平面、实轴、虚轴和复数对应的点和向量共轭复数复数的运算⎩⎪⎨⎪⎧ 复数的加法及其运算律和几何意义复数的减法及其运算律和几何意义复数的乘法法则和除法法则复平面上两点间的距离公式数系的扩充⎩⎪⎨⎪⎧ 复数的分类实系数的一元二次方程提出问题问题2：(1)计算1－i 1＋i＝__________； (2)若m ＋pi ＝2p ＋(1－m)i ，则m ＝__________，p ＝__________(m ，p ∈R )；(3)若复数z ＝1＋2i ，则|z|＝__________，复数z 对应的向量OZ →＝__________.活动设计：找一个学生到黑板上做，然后一起对答案．活动成果：(1)－i (2)23 13(3)5 (1,2) 设计意图通过问题1、2，从理论和实践两个方面回顾复数的基本内容．典型示例类型一：复数的基本概念例1设m ∈R ，复数z ＝(2＋i)m 2－3(1＋i)m －2(1－i)．(1)若z 为实数，则m ＝__________.(2)若z 为纯虚数，则m ＝__________.思路分析：复数a ＋bi(a ，b ∈R )包括实数(b ＝0)和虚数(b ≠0)，其中虚数中a ＝0的数是纯虚数．解：首先整理得：z ＝(2m 2－3m －2)＋(m 2－3m ＋2)i.在(1)中z 为实数，则m 2－3m ＋2＝0，即m ＝1或m ＝2.在(2)中z 为纯虚数，则2m 2－3m －2＝0且m 2－3m ＋2≠0，即m ＝－12. 点评：解决这类问题，首先把z 化成“z ＝a ＋bi ”的形式，分清虚部和实部．若题目条件中直接指明z 为“虚数”，此时我们可设z ＝a ＋bi(a ，b ∈R )；若指明z 是纯虚数，则可设z ＝bi(b ∈R 且b ≠0)即可．注意设复数的同时一定加入必需的条件． 巩固练习已知a ∈R ，复数z ＝a a －3＋(a 2＋2a －15)i ，当a 为何值时，z 分别为：(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数；(4)z 对应的点在直线y ＝9上？答案：(1)－5.(2)a ≠－5且a ≠3.(3)0.(4)4或－6.类型二：复数相等的充要条件例2已知集合A ＝{(m ＋3)＋(n 2－1)i ，8}，集合B ＝{3i ，(m 2－1)＋(n ＋2)i}，满足A ∩B ⊂A ，A ∩B ≠∅，求整数m ，n.思路分析：由A ∩B ⊂A ，可知这两个集合有一个公共元素(m ＋3)＋(n 2－1)i 或8，即(m ＋3)＋(n 2－1)i ＝3i 或8＝(m 2－1)＋(n ＋2)i ，或(m ＋3)＋(n 2－1)i ＝(m 2－1)＋(n ＋2)i.解：依题意，当(m ＋3)＋(n 2－1)i ＝3i ，即m ＋3＝0，n 2－1＝3.解得m ＝－3，n ＝±2.经检验m ＝－3，n ＝－2时，(m 2－1)＋(n ＋2)i ＝8不合题意，舍去．所以有m ＝－3，n ＝2.当8＝(m 2－1)＋(n ＋2)i 时，有m 2－1＝8，n ＋2＝0.可解得m ＝±3，n ＝－2.但m ＝－3，n ＝－2时，(m ＋3)＋(n 2－1)i ＝3i 不合题意，舍去．所以有m ＝3，n ＝－2. 当(m ＋3)＋(n 2－1)i ＝(m 2－1)＋(n ＋2)i 时，有m ＋3＝m 2－1，n 2－1＝n ＋2，此时m ，n 无整数解，不合题意．综合以上得m ＝－3，n ＝2或m ＝3，n ＝－2.点评：此题中复数之间的等量关系并未直接给出，而是通过集合之间的关系间接给出，因此复习时注意知识之间的相互联系，也要注意思维的广阔性和严谨性．巩固练习已知集合M ＝{1,2，(a 2－3a －1)＋(a 2－5a －6)i}，N ＝{－1,3}，M ∩N ＝{3}，则实数a ＝__________.答案：－1类型三：复数的基本四则运算例3求值：(1)已知复数z 与(z －3)2－18i 均是纯虚数，则z ＝__________.(2)已知z 2＝4＋3i ，则z 3－8z －1z＝__________. 思路分析：在(1)中可设z ＝bi(b ∈R 且b ≠0)，将z 代入(z －3)2－18i 中求得b 的值．在(2)中可由z 2＝4＋3i 求得z 以后，再将z 代入z 3－8z －1z 中求值，也可化简z 3－8z －1z后再求值． 解：(1)设z ＝bi(b ∈R 且b ≠0)，则(z －3)2－18i ＝(bi －3)2－18i ＝(9－b 2)－(6b ＋18)i. 由(z －3)2－18i 为纯虚数，所以9－b 2＝0且6b ＋18≠0，所以有b ＝3，即z ＝3i.(2)z 3－8z －1z ＝z 4－8z 2－1z ＝(z 2－4)2－17z ＝－26z ＝－26z z z ＝－26z|z|2. 又由z 2＝4＋3i ，得z ＝±(322＋22i)，|z |2＝|z|2＝|4＋3i|＝5， ∴z ＝±(322－22i)．∴原式等于3925－1325i 或－3925＋1325i. 点评：在解决复数计算问题时，应该先审清题意，尤其是对有条件的求值问题，先审清题意，然后找准切入点，逐步化简求值．巩固练习 －7＋i 1＋7i ＋(－21＋i )2 012＋(3－8i )2－(－3＋8i )22－7i. 答案：－1＋i.类型四：复数的几何意义例4已知复数|z 1|＝|z 2|＝3，|z 1－z 2|＝4，求|z 1＋z 2|的值．思路分析：这里可以先把z 1、z 2、z 1－z 2和z 1、z 2、z 1＋z 2两组复数对应的向量分别组成两个三角形，再借助余弦定理求解．解：设z 1对应向量OA →，z 2对应向量OB →，则z 1－z 2对应向量BA →.∴cos ∠AOB ＝|OA →|2＋|OB →|2－|BA →|22|OA →||OB →|＝|z 1|2＋|z 2|2－|z 1－z 2|22|z 1||z 2|＝19. 设z 1＋z 2对应向量OC →，则BC →＝OA →.∴|z 1＋z 2|2＝|OC →|2＝|OB →|2＋|BC →|2－2|OB →||BC →|cos ∠OBC＝|z 2|2＋|z 1|2＋2|z 2||z 1|cos ∠AOB＝20.∴|z 1＋z 2|＝|OC →|＝2 5.点评：复数的几何意义体现在将复数问题转化为点或向量的问题，也就是将代数问题转化为几何问题，充分体现了数形结合的思想．变式练习已知|z 1|＝|z 2|＝|z 1＋z 2|＝1，求|z 1－z 2|的值．(用代数和几何两种方式求解) 答案： 3.拓展实例例5已知z ＝m －1－mi(m ∈R )，求|z|的最值．思路分析：可以先将|z|整理出来转化为关于m 的最值问题，还可以转化为几何问题，即z 对应的点在哪里才能使z 对应的点到原点的距离最大或最小的问题．解：代数法：因为|z|＝(m －1)2＋m 2＝2m 2－2m ＋1＝2(m －12)2＋12， 所以当m ＝12时，|z|min ＝22，但|z|无最大值． 几何法：如下图所示，设z ＝x ＋yi ，则有x ＝m －1，y ＝－m ，则x ＋y ＋1＝0，所以z 对应的点Z 在直线x ＋y ＋1＝0上．因为|z|的几何意义是表示Z 点到原点的距离，因此|z|就是x ＋y ＋1＝0上的点与原点的距离，|z|的最小值就是原点到直线x ＋y ＋1＝0的最短距离d ＝22，显然无最大值．点评：充分运用复数的几何意义，将模的最值问题转化为距离的最值问题．变式练习若复数z 对应的点在(1)以原点为圆心，半径为1的圆上；(2)以(1,1)为圆心，半径为1的圆上；(3)以(3,0)，(－3,0)为焦点，以原点为对称中心，长轴长为10的椭圆上，分别写出满足上述条件的z 的表达式．答案：(1)|z|＝1；(2)|z －(1＋i)|＝1；(3)|z －3|＋|z ＋3|＝10.变练演编提出问题：(1)当|z 1－1－i|＝1时，可以提出什么问题？(2)当|z 1－1－i|＝1，z ＝m －1－mi ，m ∈R 时，可以提出什么问题？活动设计：学生可先独立探索，后互相交流．学情预测：(1)例如：求|z 1－3－i|的范围．几何方法：如图，由|z 1－1－i|＝1可知，z 1所对应的点Z 在以C(1,1)为圆心，1为半径的圆C 上，那么|z 1－3－i|就是点A(3,1)与圆C 上的点Z 的连线的距离，所以|z 1－3－i|的最大值为|AC|＋1＝3，最小值为|AC|－1＝1.所以|z 1－3－i|的范围为[1,3]．代数方法：设z 1＝a ＋bi ，则|z 1－1－i|＝1可转化为(a －1)2＋(b －1)2＝1，就可以得到|z 1－3－i|＝(a －3)2＋(b －1)2＝(a －3)2＋1－(a －1)2＝9－4a.因复数z 1对应的点Z(a ，b)在圆(x －1)2＋(y －1)2＝1上，故0≤a ≤2.所以当a ＝0时，|z 1－3－i|有最大值3；当a ＝2时，|z 1－3－i|有最小值1.所以|z 1－3－i|的范围为[1,3]．(2)例如：求|z 1－z|的最小值．(答案：322－1) 对于(1)或(2)的问题和答案可以很多，教师可以选有代表性的或有共性的例子拿来讨论． 设计意图加深对复数的代数和几何含义的理解，增强题目的趣味性，训练学生的发散思维，加深对前面知识的理解，考查学生的知识应用能力．达标检测1．设z 1＝3－4i ，z 2＝－2＋3i ，则z 1＋z 2在复平面内对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．设O 是原点，向量OA →，OB →对应的复数分别为2－3i ，－3＋2i ，那么向量BA →对应的复数是( )A ．－5＋5iB ．－5－5iC ．5＋5iD ．5－5i3．(1－i)2·i 等于( )A ．2－2iB ．2＋2iC ．－2D ．2 4．复数(1＋1i)2的值是( ) A ．2i B ．－2iC ．2D ．－2答案：1.D 2.D 3.D 4.B课堂小结学生独立思考后，概括对复数这一章节的认识，教师最后补充．(1)深刻理解复数、实数、虚数、纯虚数、共轭复数的概念和复数的几何表示，对概念的理解上要善于利用数形结合的思想．(2)掌握复数的分类，明确“复数问题实数化”是解决问题的最基本的思想方法，在解决复数问题时，充分利用复数的有关概念和复数相等的充要条件．(3)代数形式的加、减、乘、除四则运算的运算法则类似于合并同类项，乘法法则类似于多项式的乘法法则，除法的主要内容是分母实数化．复数的代数运算与实数有密切联系但又有区别，要特别注意实数范围内的运算法则和性质是否在复数范围内实用．布置作业补充练习中的2、3题．补充练习基础练习1．设复数z1＝2－i，z2＝1－3i，则复数iz1＋z25的虚部等于__________．答案：1.1拓展练习2．已知a∈R，b∈R,2＋ai和b＋i(i是虚数单位)是实系数一元二次方程x2＋px＋q＝0的两个根，那么p，q的值分别是多少？3．若复数z满足|z－3|≤5，求|z－(1＋4i)|的最大值和最小值．提示：2.根据韦达定理：x1＋x2＝－p＝2＋ai＋b＋i，所以有－p＝2＋b且a＋1＝0；x1·x2＝q＝(2＋ai)·(b＋i)＝(2b－a)＋(ab＋2)i，所以有ab＋2＝0，q＝2b－a.由此可得p，q的值．3．可利用几何意义：因为满足条件|z－3|≤5的复数z对应的点Z都在以A(3,0)为圆心，5为半径的圆C内和圆C上，因此求|z－(1＋4i)|的最值可转化为求点A(1,4)到圆C内或圆C 上哪个点的距离最大和最小的问题．答案：2.p＝－4，q＝5.3．最大值为|AC|＋5＝35，最小值|AC|－5＝ 5.设计说明这一节课是复习课，在开始设计两个问题的目的是引领同学们复习基本知识点，形成这一章的知识网络，后又以典型例题为主，巩固或变式练习为辅，层层展开，步步深入，来复习这一章中涉及到的多个知识点，展现多种不同的题型以及各自的解答方式与解答规律．因为是复习课，所以在复习基本题型的同时，也把复数问题进一步升华提高．这样不但加深了同学们对知识的理解，也更好地提高同学们分析问题、解决问题的能力，进一步培养同学们数形结合，化归与转化的数学思想意识，培养学生思维的严谨性、灵活性和深刻性等良好的思维品质．同时展示数学的内在规律，新旧知识之间的联系，展现复数无穷的魅力．备课资料复数的起源与扩张16世纪意大利米兰学者卡当(Jerome Cardan1501～1576)在1545年发表的《重要的艺术》一书中，公布了三次方程的一般解法，被后人称之为“卡当公式”．他第一个把负数的平方根写到公式中，并且在讨论是否能把10分成两部分，使它们的乘积等于40.他把答案写成＝40，尽管他认为和这两个表示式是没有意义的，但他还是把10分成了两部分，并使它们的乘积等于40.给出“虚数”这一名称的是法国数学家笛卡尔(1596～1650)，他在《几何学》(1637年发表)中使“虚的数”与“实的数”相对应，从此，虚数才流传开来．数系中发现一颗新星——虚数，引起了数学界的一片困惑，很多大数学家不承认虚数．德国数学家莱布尼兹(1646～1716)在1702年说：“虚数是神灵遁迹的精微而奇异的隐避所，它大概是存在和虚妄两界中的两栖物”．法国数学家棣莫佛(1667～1754)在1730年发现著名的棣莫佛定理．欧拉在1748年发现了有名的关系式，并且是他在《微分公式》(1777年)一文中第一次用i来表示－1的平方根，首创了i作为虚数的单位．“虚数”实际上不是想象出来的，它是确实存在的．挪威的成塞尔(1745～1818)在1779年试图给予这种虚数以直观的几何解释，并首先发表其作法，然而没有得到学术界的重视．德国数学家阿甘得(1777～1855)在1806年公布了虚数的图象表示法，即所有实数能用一条数轴表示，同样，虚数也能用一个平面上的点来表示．在平面直角坐标系中，横轴上取对应实数a的点A，纵轴上取对应实数b的点B，并过这两点引平行于坐标轴的直线，它们的交点C就表示复数a＋bi.像这样，由各点都对应复数的平面叫做“复平面”，后来又称“阿甘得平面”．高斯在1831年，用实数组(a，b)代表复数a＋bi，并建立了复数的某些运算，使得复数的某些运算也像实数一样地“代数化”．他又在1832年第一次提出了“复数”这个名词，还将表示平面上同一点的两种不同方法——直角坐标法和极坐标法加以综合，统一于表示同一复数的代数式和三角式两种形式中，并把数轴上的点与实数一一对应，扩展为平面上的点与复数一一对应．高斯不仅把复数看作平面上的点，而且还看作是一种向量，并利用复数与向量之间一一对应的关系，阐述了复数的几何加法与乘法．至此，复数理论才比较完整和系统地建立起来了．经过许多数学家长期不懈的努力，深刻探讨并发展了复数理论，才使得在数学领域游荡了200年的幽灵——虚数揭去了神秘的面纱，显现出它的本来面目，原来虚数不虚呵！虚数成为了数系大家庭中的一员，从而实数集才扩充到了复数集．随着科学和技术的进步，复数理论已越来越显出它的重要性，它不但对于数学本身的发展有着极其重要的意义，而且为证明机翼上升力的基本定理起到了重要作用，并在解决堤坝渗水的问题中显示了它的威力，也为建立巨大水电站提供了重要的理论依据．复数概念的进化是数学史中最奇特的一章，那就是数系的历史发展完全没有按照教科书所描述的逻辑连续性．人们没有等待实数的逻辑基础建立之后，才去尝试新的征程．在数系扩张的历史过程中，往往许多中间地带尚未得到完全认识，而天才的直觉随着勇敢者的步伐已经到达了遥远的前哨阵地．回顾数系的历史发展，似乎给人这样一种印象：数系的每一次扩充，都是在旧的数系中添加新的元素．如分数添加于整数，负数添加于正数，无理数添加于有理数，复数添加于实数．但是，现代数学的观点认为：数系的扩张，并不是在旧的数系中添加新元素，而是在旧的数系之外去构造一个新的代数系，其元素在形式上与旧的可以完全不同，但是，它包含一个与旧代数系同构的子集，这种同构必然保持新旧代数系之间具有完全相同的代数构造．当人们澄清了复数的概念后，新的问题是：是否还能在保持复数基本性质的条件下对复数进行新的扩张呢？答案是否定的．当哈米尔顿试图寻找三维空间复数的类似物时，他发现自己被迫要做两个让步：第一，他的新数要包含四个分量；第二，他必须牺牲乘法交换律．这两个特点都是对传统数系的革命．他称这新的数为“四元数”．“四元数”的出现昭示着传统观念下数系扩张的结束.1878年，富比尼(F.Frobenius，1849～1917)证明：具有有限个原始单元的、有乘法单位元素的实系数先行结合代数，如果服从结合律，那就只有实数，复数和实四元数的代数．数学的思想一旦冲破传统模式的藩篱，便会产生无可估量的创造力．哈米尔顿的四元数的发明，使数学家们认识到既然可以抛弃实数和复数的交换性去构造一个有意义、有作用的新“数系”，那么就可以较为自由地考虑甚至偏离实数和复数的通常性质的代数构造．数系的扩张虽然就此终止，但是，通向抽象代数的大门被打开了．(设计者：王明平崔志新)。
高中数学 第三章 数系的扩充与复数 3.2.3 复数的除法
高中数学 第三章 数系的扩充与复数 3.2.3 复数的除法课堂探究新人教B 版选修2-2探究一 复数的除法运算1．复数的除法运算体现了“分母实数化”的思想，这与根式除法运算的“分母有理化”类似；2．复数除法运算的结果要进行化简，通常要写成复数的一般代数形式，即实部与虚部要完全分开的形式．【典型例题1】 计算下列各题：(1)(1＋2i)÷(3－i)； (2)4＋4i 1－3i ； (3)2＋3i 3－2i； (4)52－i 2. 思路分析：按照复数除法运算的分母实数化方法计算．解：(1)(1＋2i)÷(3－i)＝1＋2i 3－i ＝1＋2i 3＋i 3－i 3＋i ＝1＋7i 10＝110＋710i ； (2)4＋4i 1－3i＝4＋4i 1＋3i 1－3i 1＋3i ＝4－43＋43＋4i 4＝(1－3)＋(1＋3)i ；(3)2＋3i 3－2i ＝2＋3i 3＋2i 3－2i3＋2i ＝13i 13＝i ； (4)52－i 2＝53－4i＝53＋4i 3－4i 3＋4i ＝53＋4i 25 ＝35＋45i. 【典型例题2】 求解下列各题：(1)已知复数z 1＝m ＋2i ，z 2＝3－4i ，若z 1z 2为实数，则实数m 的值为( ) A.83 B.32 C ．－83 D ．－32(2)若复数z ＝a ＋2i1－i (i 为虚数单位)在复平面内对应的点在虚轴上，则实数a 的值为( )A ．－2B ．2C ．－1D ．0解析：(1)z 1z 2＝m ＋2i 3－4i ＝m ＋2i 3＋4i 3－4i 3＋4i ＝3m －8＋4m ＋6i 25＝3m －825＋4m ＋625i ， 由于z 1z 2为实数，所以4m ＋625＝0，即m ＝－32. (2)z ＝a ＋2i1－i ＝a ＋2i1＋i 1－i 1＋i ＝a －2＋a ＋2i 2＝a －22＋a ＋22i. 因为z 对应的点在虚轴上，所以a －22＝0且a ＋22≠0，于是a ＝2.答案：(1)D (2)B探究二 复数四则运算的综合问题1．解决复数运算的综合问题时，一定要明确复数的相关概念；二是要熟悉复数的四则运算法则．2．解决复数问题的基本策略是“复数问题实数化”，即将复数设出其代数形式，然后根据条件转化为实数问题进行求解．【典型例题3】 设z 是虚数，ω＝z ＋1z是实数，且－1＜ω＜2. (1)求|z |的值及z 的实部的取值范围；(2)设u ＝1－z 1＋z，求证：u 为纯虚数． 思路分析：(1)按常规解法，设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，化简ω＝z ＋1z，列出等量关系式求解；(2)证明u 为纯虚数，可按定义证明实部为零，虚部不为零，或证明u ＋u ＝0，且u ≠0.(1)解：∵z 是虚数，∴可设z ＝x ＋y i ，x ，y ∈R ，且y ≠0，∴ω＝z ＋1z ＝x ＋y i ＋1x ＋y i ＝x ＋y i ＋x －y i x 2＋y 2＝x ＋x x 2＋y 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －y x 2＋y 2i. ∵ω是实数，且y ≠0，∴y －y x 2＋y 2＝0， ∴x 2＋y 2＝1，即|z |＝1.此时ω＝2x .∵－1＜ω＜2，∴－1＜2x ＜2，从而有－12＜x ＜1. 即z 的实部的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，1. (2)证明：u ＝1－z 1＋z ＝1－x ＋y i 1＋x ＋y i ＝1－x －y i 1＋x －y i 1＋x 2＋y 2＝1－x 2－y 2－2y i 1＋x 2＋y2＝－y1＋x i.∵x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，1，y ≠0，∴y1＋x ≠0.∴u 为纯虚数．。
高中数学 第三章 数系的扩充与复数 3.2.3 复数的除法
1 高中数学 第三章 数系的扩充与复数 3.2.3 复数的除法预习导航
新人教B 版选修2-2 课程目标 学习脉络 1.掌握复数除法运算的运算法则，能进行复数的除法运算．
2．能解决复数四则运算的相关问题. 复数的除法
(1)已知z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，如果存在一个复数z ′，使z ·z ′＝1，则z ′叫做z 的
倒数，记作1z . (2)我们规定两个复数除法的运算法则如下：
(a ＋b i)÷(c ＋d i)＝a ＋b i c ＋d i ＝(a ＋b i)⎝ ⎛⎭
⎪⎫1c ＋d i ＝(a ＋b i)c －d i c 2＋d 2＝ac ＋bd ＋bc －ad i c 2＋d 2＝ac ＋bd c 2＋d 2＋bc －ad c 2＋d 2
i. 其中a ，b ，c ，d ∈R .
上述复数除法的运算法则不必死记．在实际运算时，我们把商a ＋b i c ＋d i
看作分数，分子、分母同乘以分母的共轭复数c －d i ，把分母变为实数，化简后，就可以得到运算结果．
点拨 (1)复数的除法与实数的除法有所不同，实数的除法可以直接约分化简，得出结果，但复数的除法因为分母为复数一般不能直接约分化简．
(2)记住一些常用结论：
1i ＝－i ，1－i ＝i ，1＋i 1－i ＝i ，1－i 1＋i
＝－i. (3)复数模的性质：
①|z |＝|z |
②|z 1·z 2|＝|z 1|·|z 2|
③⎪⎪⎪⎪⎪⎪z 1z 2＝|z 1||z 2|
(z 2≠0) ④|z n |＝|z |n。
高中数学 第三章 数系的扩充与复数 3.2.2 复数的乘法
高中数学 第三章 数系的扩充与复数 3.2.2 复数的乘法课堂探究新人教B 版选修2-2探究一 复数的乘法运算1．复数的乘法与多项式乘法类似，在计算两个复数相乘时，先按多项式的乘法展开，再将i 2换成－1，最后合并同类项即可．2．三个或三个以上的复数相乘可按从左到右的顺序运算或利用结合律运算，混合运算与实数的运算顺序一样，对于能够使用乘法公式计算的两个复数的乘法，用乘法公式更简捷，如平方差公式、立方差公式、完全平方公式等．3．对于复数的高次乘方运算，可以利用公式(z m )n ＝z mn进行转化运算． 【典型例题1】 计算下列各题： (1)(2－4i)(3＋i)； (2)(2＋i)(3＋i)(4－i)； (3)(5＋10i)2； (4)⎝ ⎛⎭⎪⎫－32－12i 12. 思路分析：按照复数乘法运算的法则及运算律进行计算．解：(1)(2－4i)(3＋i)＝6＋2i －12i －4i 2＝6＋2i －12i ＋4＝10－10i ；(2)(2＋i)(3＋i)(4－i)＝(6＋2i ＋3i －1)(4－i)＝(5＋5i)(4－i)＝20－5i ＋20i ＋5＝25＋15i ；(3)(5＋10i)2＝25＋100i －100＝－75＋100i ； (4)⎝ ⎛⎭⎪⎫－32－12i 12＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫－32－12i 26 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫34＋32i －146＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋32i 6＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋32i 23＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋32i 3 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋32i 2⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋32i ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12－32i ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋32i ＝1. 探究二 i 幂值的周期性及其应用1．熟记i 的幂值的4个结果，当幂指数除以4所得的余数为0,1,2,3时，相应的幂值分别是1，i ，－1，－i.2．对于n ∈N ＋，有i n＋in ＋1＋in ＋2＋in ＋3＝0.【典型例题2】 求下列各式的值： (1)i2 014；(2)(1＋i)10＋(1－i)10； (3)1＋i ＋i 2＋i 3＋…＋i 2 014.解：(1)i2 014＝i4×503＋2＝i 2＝－1；(2)(1＋i)10＋(1－i)10＝[(1＋i)2]5＋[(1－i)2]5＝(2i)5＋(－2i)5＝32i 5－32i 5＝32i －32i ＝0； (3)(方法1)1＋i ＋i 2＋i 3＋…＋i2 014＝(1＋i ＋i 2＋i 3)＋(i 4＋i 5＋i 6＋i 7)＋…＋(i 2 008＋i2 009＋i2 010＋i2 011)＋i2 012＋i2 013＋i2 014＝0×503＋i2 012＋i2 013＋i2 014＝1＋i ＋(－1)＝i.(方法2)原式＝1－i 2 0151－i ＝1－i503×4＋31－i ＝1＋i1－i ＝＋＋－＋＝i.探究三 共轭复数及其应用1．求一个复数的共轭复数时，应首先求出该复数的实部与虚部，然后再根据共轭复数定义求解；2．|z |2＝|z |2＝z ·z 是共轭复数的一个重要性质，在解题中注意合理利用． 3．求解复数问题的基本方法是复数问题实数化，即设出复数z 的代数形式，根据条件建立关于其实部与虚部的方程，求出复数的实部与虚部后即可求得复数．【典型例题3】 若复数(1－a i)(2＋i)与(2＋3i)(3－b i)互为共轭复数，求实数a ，b 的值．解：(1－a i)(2＋i)＝2＋i －2a i ＋a ＝(2＋a )＋(1－2a )i ， (2＋3i)(3－b i)＝6－2b i ＋9i ＋3b ＝(6＋3b )＋(9－2b )i ，依题意得⎩⎪⎨⎪⎧2＋a ＝6＋3b ，1－2a ＝－－2b 即⎩⎪⎨⎪⎧a －3b ＝4，a ＋b ＝5.解得：a ＝194，b ＝14.探究四 易错辨析易错点 盲目套用实数集的运算性质而出错【典型例题4】 若x ＝sin 15°cos 15°，则(－i)4x＝________. 错解：因为x ＝sin 15°cos 15°＝12sin 30°＝12×12＝14.所以(－i)4x＝[(－i)4]x＝1x＝141＝1.错因分析：盲目将实数集中的幂的运算性质(a m )n ＝a mn推广到复数集中导致错误．事实上，在复数集中，只有当m ，n ∈N ＋时，(a m )n ＝a mn才成立．正确解答：因为x ＝sin 15°cos 15°＝12sin 30°＝14.所以4x ＝1.所以(－i)4x＝(－i)1＝－i.。
高中数学 第三章 数系的扩充与复数 3.2.2 复数的乘法
高中数学 第三章 数系的扩充与复数 3.2.2 复数的乘法课堂探究新人教B 版选修2-2探究一 复数的乘法运算1．复数的乘法与多项式乘法类似，在计算两个复数相乘时，先按多项式的乘法展开，再将i 2换成－1，最后合并同类项即可．2．三个或三个以上的复数相乘可按从左到右的顺序运算或利用结合律运算，混合运算与实数的运算顺序一样，对于能够使用乘法公式计算的两个复数的乘法，用乘法公式更简捷，如平方差公式、立方差公式、完全平方公式等．3．对于复数的高次乘方运算，可以利用公式(z m )n ＝z mn 进行转化运算．【典型例题1】 计算下列各题：(1)(2－4i)(3＋i)；(2)(2＋i)(3＋i)(4－i)；(3)(5＋10i)2；(4)⎝ ⎛⎭⎪⎫－32－12i 12. 思路分析：按照复数乘法运算的法则及运算律进行计算．解：(1)(2－4i)(3＋i)＝6＋2i －12i －4i 2＝6＋2i －12i ＋4＝10－10i ；(2)(2＋i)(3＋i)(4－i)＝(6＋2i ＋3i －1)(4－i)＝(5＋5i)(4－i)＝20－5i ＋20i ＋5＝25＋15i ；(3)(5＋10i)2＝25＋100i －100＝－75＋100i ；(4)⎝ ⎛⎭⎪⎫－32－12i 12＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫－32－12i 26 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫34＋32i －146＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋32i 6 ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋32i 23＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋32i 3 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋32i 2⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋32i ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12－32i ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋32i ＝1. 探究二 i 幂值的周期性及其应用1．熟记i 的幂值的4个结果，当幂指数除以4所得的余数为0,1,2,3时，相应的幂值分别是1，i ，－1，－i.2．对于n ∈N ＋，有i n ＋in ＋1＋i n ＋2＋i n ＋3＝0.【典型例题2】 求下列各式的值：(1)i 2 014；(2)(1＋i)10＋(1－i)10；(3)1＋i ＋i 2＋i 3＋…＋i2 014. 解：(1)i 2 014＝i 4×503＋2＝i 2＝－1；(2)(1＋i)10＋(1－i)10＝[(1＋i)2]5＋[(1－i)2]5＝(2i)5＋(－2i)5＝32i 5－32i 5＝32i －32i ＝0；(3)(方法1)1＋i ＋i 2＋i 3＋…＋i2 014 ＝(1＋i ＋i 2＋i 3)＋(i 4＋i 5＋i 6＋i 7)＋…＋(i2 008＋i 2 009＋i 2 010＋i 2 011)＋i 2 012＋i 2 013＋i 2 014 ＝0×503＋i 2 012＋i 2 013＋i 2 014＝1＋i ＋(－1)＝i.(方法2)原式＝1－i 2 0151－i ＝1－i 503×4＋31－i＝1＋i 1－i ＝1＋i 1＋i 1－i 1＋i ＝i. 探究三 共轭复数及其应用1．求一个复数的共轭复数时，应首先求出该复数的实部与虚部，然后再根据共轭复数定义求解；2．|z |2＝|z |2＝z ·z 是共轭复数的一个重要性质，在解题中注意合理利用．3．求解复数问题的基本方法是复数问题实数化，即设出复数z 的代数形式，根据条件建立关于其实部与虚部的方程，求出复数的实部与虚部后即可求得复数．【典型例题3】 若复数(1－a i)(2＋i)与(2＋3i)(3－b i)互为共轭复数，求实数a ，b 的值．解：(1－a i)(2＋i)＝2＋i －2a i ＋a ＝(2＋a )＋(1－2a )i ，(2＋3i)(3－b i)＝6－2b i ＋9i ＋3b ＝(6＋3b )＋(9－2b )i ，依题意得⎩⎪⎨⎪⎧ 2＋a ＝6＋3b ，1－2a ＝－9－2b 即⎩⎪⎨⎪⎧ a －3b ＝4，a ＋b ＝5.解得：a ＝194，b ＝14. 探究四 易错辨析易错点 盲目套用实数集的运算性质而出错【典型例题4】 若x ＝sin 15°cos 15°，则(－i)4x ＝________.错解：因为x ＝sin 15°cos 15°＝12sin 30°＝12×12＝14. 所以(－i)4x ＝[(－i)4]x ＝1x ＝141＝1.错因分析：盲目将实数集中的幂的运算性质(a m )n ＝a mn 推广到复数集中导致错误．事实上，在复数集中，只有当m ，n ∈N ＋时，(a m )n ＝a mn才成立．正确解答：因为x ＝sin 15°cos 15°＝12sin 30°＝14.所以4x ＝1. 所以(－i)4x ＝(－i)1＝－i.。
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高中数学 第三章 数系的扩充与复数 3.2.3 复数的除法课堂探究
新人教B 版选修2-2
探究一 复数的除法运算
1．复数的除法运算体现了“分母实数化”的思想，这与根式除法运算的“分母有理化”类似；
2．复数除法运算的结果要进行化简，通常要写成复数的一般代数形式，即实部与虚部要完全分开的形式．
【典型例题1】 计算下列各题：
(1)(1＋2i)÷(3－i)； (2)4＋4i 1－3i ； (3)2＋3i 3－2i
； (4)5 2－i
2. 思路分析：按照复数除法运算的分母实数化方法计算．
解：(1)(1＋2i)÷(3－i)＝1＋2i 3－i ＝ 1＋2i 3＋i 3－i 3＋i ＝1＋7i 10＝110＋710
i ； (2)4＋4i 1－3i ＝ 4＋4i 1＋3i 1－3i 1＋3i
＝ 4－43 ＋ 43＋4 i 4
＝(1－3)＋(1＋3)i ；
(3)2＋3i 3－2i ＝ 2＋3i 3＋2i 3－2i 3＋2i ＝13i 13
＝i ； (4)5 2－i 2＝53－4i ＝5 3＋4i 3－4i 3＋4i ＝5 3＋4i 25
＝35＋45
i. 【典型例题2】 求解下列各题：
(1)已知复数z 1＝m ＋2i ，z 2＝3－4i ，若z 1z 2为实数，则实数m 的值为( ) A.83 B.32 C ．－83 D ．－32
(2)若复数z ＝a ＋2i
1－i (i 为虚数单位)在复平面内对应的点在虚轴上，则实数a 的值为
( )
A ．－2
B ．2
C ．－1
D ．0
解析：(1)z 1z 2＝
m ＋2i 3－4i ＝ m ＋2i 3＋4i 3－4i 3＋4i ＝ 3m －8 ＋ 4m ＋6 i 25＝3m －825＋4m ＋625
i ， 由于z 1z 2为实数，所以4m ＋625＝0，即m ＝－32
. (2)z ＝a ＋2i 1－i ＝ a ＋2i 1＋i 1－i 1＋i ＝ a －2 ＋ a ＋2 i 2＝a －22＋a ＋22i.
因为z 对应的点在虚轴上，
所以a －22＝0且a ＋22≠0，于是a ＝2.
答案：(1)D (2)B
探究二 复数四则运算的综合问题
1．解决复数运算的综合问题时，一定要明确复数的相关概念；二是要熟悉复数的四则运算法则．
2．解决复数问题的基本策略是“复数问题实数化”，即将复数设出其代数形式，然后根据条件转化为实数问题进行求解．
【典型例题3】 设z 是虚数，ω＝z ＋1z
是实数，且－1＜ω＜2. (1)求|z |的值及z 的实部的取值范围；
(2)设u ＝1－z 1＋z
，求证：u 为纯虚数． 思路分析：(1)按常规解法，设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，化简ω＝z ＋1z
，列出等量关系式求解；
(2)证明u 为纯虚数，可按定义证明实部为零，虚部不为零，或证明u ＋u ＝0，且u ≠0.
(1)解：∵z 是虚数，
∴可设z ＝x ＋y i ，x ，y ∈R ，且y ≠0，
∴ω＝z ＋1z ＝x ＋y i ＋1x ＋y i ＝x ＋y i ＋x －y i x 2＋y 2＝x ＋x x 2＋y 2＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫y －y x 2＋y 2i. ∵ω是实数，且y ≠0，
∴y －
y x 2＋y 2＝0， ∴x 2＋y 2＝1，即|z |＝1.此时ω＝2x .
∵－1＜ω＜2，∴－1＜2x ＜2，从而有－12
＜x ＜1. 即z 的实部的取值范围是⎝ ⎛⎭
⎪⎫－12，1. (2)证明：u ＝1－z 1＋z ＝1－ x ＋y i 1＋ x ＋y i ＝ 1－x －y i 1＋x －y i 1＋x 2＋y 2＝1－x 2－y 2－2y i 1＋x 2＋y 2＝－y
1＋x i.
∵x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，1，y ≠0，∴y
1＋x ≠0.
∴u 为纯虚数．。